二次函数中的符号问题专题复习

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九年级数学上册复习专题08二次函数a、b、c符号判断

专题08二次函数a、b、c的符号判断二次函数性质总结（3）画图判断增减性判断依据判断下列图像对应的a，b，c的正负：图像字母符号（“正”或“负”）a b c a b c a b c a b c a b1．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则( )A ．0,0b c >>B ．0,0b c ><C ．0,0b c <<D ．0,0b c <>2．同一平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x －a )2与直线y ＝ax +a 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．3．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax 2＋b 与y ＝ax ＋b （ab ≠0）的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．4．如图,在同一直角坐标系中, y ax c =+与2y ax c =+的图象为( )A ．B ．C ．D ．5．在同一坐标系中，一次函数2y mx n =-+与二次函数2y x m =+的图象可能是（）．A ．B ．C ．D ．6．如图，在同一坐标系下，一次函数y ax b =+与二次函数24y ax bx =++的图像大致可能是（）A ．B ．C ．D ．7．在同一坐标系中，一次函数y =ax +b 与二次函数y =ax 2+b 的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．8．函数y kx b =+与2y kx b =+的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．9．二次函数y ＝ax 2与一次函数y ＝ax+a 在同一坐标系中的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．10．已知抛物线2y ax bx =+和直线y ax b =+在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是（）11．在同一坐标系中表示2y ax =和()0y ax b ab =+>的图象的是( )A ．B ．C ．D ．12．在同一平面直角坐标系中，一次函数y ）ax +b 和二次函数y ）ax 2+bx +c 的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．13．已知函数y 1＝mx 2+n ，y 2＝nx +m （mn ≠0），则两个函数在同一坐标系中的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．14．已知一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx,它们在同一坐标系内大致图象是（）A ．B ．C ．D ．15．函数y=ax 2+ax+a）a≠0）的图象可能是下列图象中的（）A ．B ．C ．D ．16．二次函数2y ax ＝与一次函数y ax a ＝在同一坐标系中的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．17．函数y=a 2x ＋c 与y=-ax ＋c(a≠0)在同一坐标系内的图像是图中的（）A ．B ．C ．D ．18．在同一坐标系中，函数y=ax 2与y=ax ﹣a （a≠0）的图象的大致位置可能是（）A ．B ．C ．D ．19．在同一平面直角坐标系中，若正比例函数(0)y mx m =≠）y 随x 的增大而减小，则它和二次函数2y mx m =+的图象大致是））20．在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x 2+a 的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．21．在同一直角坐标系中y=ax 2+b 与y=ax+b）a≠0）b≠0）图象大致为（）A．B．C．D．。

专题：二次函数中的符号问题

2.若关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值为； 3.已知抛物线y=ax2+bx+c （a＜0)经过点（－1，0），且满足4a＋2b＋c＞0．以下结论：①a＋b＞0；②a＋c＞0；③ －a＋b＋c＞0；④b2-2ac>5a2．其中正确的个数有（（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个）
y
C、4个
D、5个
；
-1 o
1
x
练一练：
3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0； ④（a+c)2＜b2，其中正确的个数是（ B ） A、4个 C、2个 B、3个 D、1个 y
o x=1
x
练一练：
4.如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（）
y
2
x -1 O 1
这节课你有哪些体会？
1.a,b,c等符号与二次函数y=ax2+bx+c有密切的联系； 2.解决这类问题的关键是运用数形结合思想，即会观察图象；如遇到2a+b,2a-b要与对称轴联系等； 3.要注意灵活运用数学知识，具体问题具体分析
课外作业：
1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象写出y2 ≥y1时，x的取值范围是________;
仔细想一想：
7. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴． (以下有(1)、(2)两问，你只需选答一问，若两问都答,则只以第(2)问计分) 第(1)问：给出四个结论： ①a>0；② b>0；③c>0；④ a+b+c=0．其中正确结论的序号是 ①④ （答对得3分，少选、错选均不得分）．第(2)问：给出四个结论： ① abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1．其中正确结论的序号是 ② ③ ④（答对得5分，少选、错选均不得分）．

中考数学二次函数a-b-c符号问题---讲解例题

精品文档二次函数a ，b ，c 符号问题1、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下，则下列结论正确的是（1）a>0 ；（2）b>•0；（3）c<0；（4）0ab < ；（5）0ab <；（6）0bc <；；（7）2a+b>0 ；（8）4a+b<0 ；（9）abc ＜0；（10）0a b c ++>；（11）；a-b ＋c ＜0 ；（12）a ＋c ＞b ；（13）9a-3b ＋c ＜0；(14）4a-2b ＋c ＜0 ；（15）240b ac -> ； (16） 0＜a b 2；（17），（的实数）；（18）3a+c<0 ；（19）；（20）（a+c ）2<b 22、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①c<0，②b>•0，•③4a+2b+c>0，④（a+c ）2<b 2．其中正确的有（）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个4、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③80a c +> ④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是（）A . 1 B . 2 C . 3 D . 411O y精品文档 5、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤。

二次函数中的符号问题

1
基础回顾：
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向、形状与什么有关？
a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下。
a 相等
抛物线的形状相同
2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是（0、c）.
3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是 X=- b .
2a
2
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
y
根据图像可得：
1、a＞0
2、- b ＞0
2a
o
x 3、△=b²-4ac＞0
4、C＞0
6
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：
y
根据图像可得：
1、a＞0
b
2、-
＜0
2a
o
x 3、△=b²-4ac＞0
4、C＝0
7
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：
M
B 1
Ax
O
1
17
再想一想：
5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a<0）的
图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是 -2 .
设正方形的对角线长为2n，根据图像可得：
∵A（0、2n）、B（-n、n）、 C（n、n） ∴n=a（±n）²+2n、c=2n，
∴a=- 1 ，∴ac=2n*（-
②如图2a＋b _______0 4a＋2b＋c_______0
12
根据图象填空：
（1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0；（4）b2 4ac _____0；（5）a＋b＋c_____0；（6）a－b＋c_____0；（7）2a＋b_____0；

二次函数a、b、c、△符号问题及相关问题

二次函数a、b、c、△符号问题及相关问题一选择题1.如图所示，抛物线的图象则下列结论正确的是（）A a<0，b<0，c＞0，b2＜4acB a<0，b>0，c<0，b2＜4acC a<0，b>0，c＞0，b2>4acD a>0，b<0，c＞0，b2>4ac2.如图a＜0，c＞0那么y＝ax2＋bx＋c的图象是（）3.已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③ 4a+b=0；④当y=－2时，x的值只能取0．其中正确的个数是（）A l个 B 2个 C 3个 D 4个4.二次函数y=mx2+2mx-（3-m）的图象如图所示，则m的取值范围是（）A m＜3B m＞3C m＞0D 0＜m＜35.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( )6.已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如右图所示，若y<0，则x的取值范围是（）A −1<x<4B -1<x<3C x<-1或x>4D x<-1或x>37.在某次投篮中，球的运动路线是y=-0.2x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离为( )A 3.5mB 4mC 4.5mD 4.6m8.若抛物线y=x2+8x+h2的顶点在x轴上，则（）A h=0 B h=±16 C h=±4 D h=49.如果二次函数y=ax2+m的值恒大于0，那么必有（）A a＞0，m取任意实数B a＞0，m＞0C a＜0，m＞0D a，m均可取任意实数10.已知a-b+c=0，9a+3b+c=0，则抛物线y=ax2+bx+c的顶点可能在( )A 第一或二象限B 第三或四象限C 第一或四象限D 第二或四象限11.抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），且满足4a+2b+c＞0，以下结论：①a+b＞0；②a+c＞0；③﹣a+b+c ＞0；④b2﹣2ac＞5a2，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12.物线y=ax2+bx+c(a≠0)全部图象都在x轴下方，则( )A a>0，b2-4ac≥0B a>0，b2-4ac<0C a>0，b2-4ac≥0D a<0，b2-4ac<0二填空题13.若二次函数y=(a-1)x2-2x+1的图象与x轴只有一个交点，则a=________14.不论x取什么实数，y=2x2-6x+m的图象都在x轴的上方，那么m的取值范围是________；y=mx2－3x＋2m－m2的图象经过原点，则m＝15.二次函数y＝x2-(m-4)x+9的图象的顶点在y轴上，则m＝16.二次函数y＝x2＋2kx＋8的顶点在x轴上，则k＝17.已知抛物线y＝x2－2（k+1）x＋16的顶点在x轴上，则k的值为______18.抛物线y＝x2－(m－4)x－m与x轴的两个交点关于y轴对称，其顶点坐标为______19.已知抛物线y＝x2+2（m－3）x＋1的顶点在x轴上，则m＝______顶点坐标是_________20.平移抛物线y = x2+2x-8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式21.如果二次函数y=x2-3x-2k,不论x取任何实数,都有y>0,则k的取值范围是________22.把抛物线y=2(x+1)2向下平移______单位后,所得抛物线在x轴上截得的线段长为523.抛物线y=-3(x+2)2的顶点坐标是_____________,若将它旋转180后得新的抛物线,其解析式为____________________24.把y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有b=_____，c=_____三解答题25.如图，抛物线y＝ax2+bx＋c确定a，b，c，b2-4ac，a+b+c，a-b+c的符号26.抛物线y＝ax2+bx＋c的图像如图，对称轴是直线x＝－1确定a,b,c，Δ及a－b＋c 的符号27.已知抛物线y＝ax2+bx+c的一段图象如图所示．（1）确定a、b、c的符号；（2）求a+b+c的取值范围．28.如图为二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c=0的根是x1= －1, x2= 3；③a＋b＋c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大.正确的说法有_____________29.有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，O为原点建立直角坐标系（如图所示）．（1）请你直接写出O、A、M三点的坐标；（2）一艘小船平放着一些长3米，宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，问这些木板最高可堆放多少米（设船身底板与水面在同一平面）？30.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点M（1，—2）、N（—1，6）.（1）求二次函数的关系式；（2）把Rt△ABC 放在坐标系内，其中∠CAB=900，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离.二次函数a、b、c、△符号问题及相关问题答案1.C2.D3.B4.D5.B6.B7.B8.C9.B 10.C 11.D 12.D11.分析（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），把点（﹣1，0）代入解析式，结合4a+2b+c＞0，即可整理出a+b＞0；（2）②+①×2得，6a+3c＞0，结合a＜0，故可求出a+c＞0；（3）画草图可知c＞0，结合a﹣b+c ＝0，可整理得﹣a+b+c＝2c＞0，从而求得﹣a+b+c＞0；（4）把（﹣1，0）代入解析式得a﹣b+c＝0，可得出2a+c＞0，再由a＜0，可知c＞0则c﹣2a＞0，故可得出（c+2a）（c﹣2a）＞0，即b2﹣2ac﹣5a2＞0，进而可得出结论．解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），所以原式可化为a﹣b+c＝0 ①，又因为4a+2b+c＞0 ②，所以②﹣①得：3a+3b＞0，即a+b＞0；（2）②+①×2得，6a+3c＞0，即2a+c＞0，∴a+c＞﹣a，∵a＜0，∴﹣a＞0，故a+c＞0；（3）因为4a+2b+c＞0，可以看作y＝ax2+bx+c（a＜0）当x＝2时的值大于0，草图为：可见c＞0，∵a﹣b+c＝0，∴﹣a+b﹣c＝0，两边同时加2c得﹣a+b﹣c+2c＝2c，整理得﹣a+b+c＝2c＞0，即﹣a+b+c＞0；（4）∵过（﹣1，0），代入得a﹣b+c＝0∴b2﹣2ac﹣5a2＝（a+c）2﹣2ac﹣5a2＝c2﹣4a2＝（c+2a）（c﹣2a）又∵4a+2b+c＞04a+2（a+c）+c＞0，即2a+c＞0①，∵a＜0，∴c＞0则c﹣2a＞0②，由①②知（c+2a）（c﹣2a）＞0，所以b2﹣2ac﹣5a2＞0，即b2﹣2ac＞5a2,综上可知正确的个数有4个．故选：D．13.2 14.m＞9／2，2 15.4 16.±22 17.3或-5 18.（0，-4） 19.4或2，（1,0）或（-1,0） 20.y=x2+2x 21.k＜-9／8 22. 25／2 23.（-2,0），y=3（x+2）2 24.3，725. a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＞0，a+b+c＞0，a-b+c＜026.a＜0，b＜0，c＞0，△＞0，a-b+c＞027.解：（1）根据抛物线开口向上，则a＞0，∵对称轴在x轴正半轴可知﹣＞0，∴b＜0，又与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，故a＞0，b＜0，c＜0；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0），（0，﹣1），∴a﹣b+c＝0，c＝﹣1，即a﹣b＝1，a＝b+1，∴a+b+c＝b+1+b﹣1＝2b，∵b＜0，∴2b＜0，∵a＞0，∴b+1＞0，∴b＞﹣1，2b＞﹣2，故，﹣2＜a+b+c＜0．28.①②④29.解：（1）解：如图，O（0，0）．∵OA为6米，∴A（6，0），又∵BM的对称轴，BM为3米，∴M（3，3）．综上所述，O（0，0），A（6，0），M（3，3）．（2）设抛物线的关系式为y＝a（x﹣3）2+3，因为抛物线过点（0，0），所以0＝a（0﹣3）2+3，解得a＝﹣，所以y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x，要使木板堆放最高，依据题意，得B点应是木板宽CD的中点，把x＝2代入y＝﹣x2+2x，得y＝，所以这些木板最高可堆放米．30.解：（1）∵M（1，﹣2），N（﹣1，6）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，∴，解得二次函数的关系式为y＝x2﹣4x+1．（2）Rt△ABC中，AB＝3，BC，＝5，∴AC＝4，4＝x2﹣4x+1，x2﹣4x﹣3＝0，解得（负值不合题意舍去），∵A（1，0），∴点C落在抛物线上时，△ABC向右平移（1+）个单位．。

二次函数中的符号问题

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
y 2
-2
0
1x
18
仔细想一想：
（06.浙江省）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴． (以下有(1)、(2)两问，每个考生只须选答一问，若两问都答，则只以第(2)问计分) 第(1)问：给出四个结论：
④ a+b+c＜0；⑤a-b+c＞0；正确的是
③ ④ ⑤。
y
- o 1x 1
12
练一练：
已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象（a<0）过点
（-2，0）,且满足2a+b=0，下列结论：①abc＞0；
②b2- 4ac＞0；③4a+2b+c＞ 0；④（a+c)2- b2
＜ 0，其中正确的是
。
③
13
归纳知识点：
4、若关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个交点，则a的取值范围
为
。
5、(03武汉)已知抛物线y=ax2+bx+c （a＜0)经过点（－1，
0），且满足4a＋2b＋c＞0．以下结论：①a＋b＞0；②a＋c＞
0；③－a＋b＋c＞0；④b2-2ac>5a2．其中正确的是
。
15
试一试：
已知：抛物线y=ax2+bx+c 中，a>0，a+b+c = 0， 9a+3b+c = 0，请你根据条件画出草图，并写出几个与二次函数符号问题有关的正确结论。
16
说一说：
解决二次函数符号问题要抓住哪些要点呢？

二次函数符号问题

o
x
△>0.
8
火眼金睛
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：
y
a>0, b>0, c=0,
o
x
△>0.
9
火眼金睛
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：
y
a>0, b<0, c>0,
且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；
判断a＋b＋c的符号
(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为正值，即a· 12＋b· 1＋c＞0，故 a＋ b＋ c＞ 0；
判断a－b＋c的符号
(7)因为图象上的点的横坐标为－1时，点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1) ＋c＜0，故a－b＋c＜0．
①a____0 ＜， ②b_____0, ＜ ③c_ ＞ __0，＞， ④b2-4ac_____0 -2 -1 0 1
⑤a+b+c_____0, ＜
⑥2a+b_ ＜__0.
2.已知 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象右图，5
①3a-b = ② ＞
0, 0.
----达标 5 ~ 10 ----优秀 13 ----NO.1
小结一
a的符号：由抛物线的开口方向确定 b的符号：由抛物线的对称轴的位置确定
C的符号：由抛物线与
y 轴的交点位置确定:
7
由抛物线与 x 轴交点个数决定的符号：
火眼金睛

二次函数中的符号问题abc△等符号课堂测试练习题

二次函数中的符号问题(°、b、C、△等符号)预习案回顾知识点：1、抛物线y=ax1+bx+c的开口方向与有关；2、抛物线y=αv2+bx+c与y轴的交点是；3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是；总结：抛物线产加+法+c的符号问题：(1)。

的符号：由抛物线的开口方向确定开口向上：a>0；开口向下：«<0(2)c的符号：由抛物线与)，轴的交点位置确定：交点在X轴上方：OO；交点在X轴下方：c<0；经过坐标原点：C=O(3)b的符号：由对称轴的位置确定：对称轴在y轴左侧：a、b同号；对称轴在y轴右侧：4、b异号;对称轴是)，轴：b=0简记为：左同右异(4)从-4"的符号：由抛物线与X轴的交点个数确定：与X轴有两个交点：b2-4ac>0i与X轴有一个交点：b2-4ac=0↑与X轴无交点：b2-4ac<0(5)α+Hc的符号：由X=I时抛物线上的点的位置确定(6)Q-Hc的符号：由X=T时抛物线上的点的位置确定探究案探究一抛物线y=0x2+bx+c如图所示，试确定〃、b、c、△的符号：练一练：1.二次函数y=αχ2+"+C•的图象如图所示，则一次函数y=bx+4的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知抛物线)，=加+公+c(WO)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )A.aX)B.b<0C.CyOD.α+b+c>O3.已知二次函数y=αf+加+c(αwθ)的图象如图，对称轴为“=_1下列结论中正确24 .如图所示的二次函数y="?+云+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息:6.如图是二次函数），=如2+"+°（。

=0）在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断：①c >0；②a+b+c <0；③2a-b <0；b 2+Sa>4ac .其中正确的是（填写序1Q的函数的一些结论：①当机=-3时，函数图象的顶点坐标是（1-）；②当m>033时，函数图象截X 轴所得的线段长度大于∙∣;③当机<0时，函数在时，），随X 的增大而减小；④当小声0时，函数图象经过同一个点.其中正确的结论有（） A.®®®®B.①®® C.①③④D.®®9.已知二次函数y=f1√+∕λx +c 的图象如图所示，有以下结论：①a+Z?+c<0；②α-b+c>1：③H?c>0；④4Q -2Z J +C <0；⑤。

二次函数的符号问题的

(三)由函数图象上的点的坐标求函数解析式
求下列条件下的二次函数的解析式: 1.已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。 2.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图象过点（－3，－2）。 3.已知二次函数的图象与x轴交于(-1,0)和(6,0),并且经过点(2,12)
x 0时
x=h时 ymin=0
x=h时 ymin=k
b 4ac b 2 x 时，ymin 2a 4a
b 4ac b 2 x 时，ymax 2a 4a
y y x x
x 0时
y max 0 y max c
在对称轴左侧，y随x的增大而减小增减性在对称轴右侧，y随x的增大而增大
三、待定系数法求二次函数的解析式
例1、已知二次函数求其解析式。
解法一：一般式设解析式为 ∵顶点C（1，4）， ∴对称轴 x=1.
的图像如图所示，
∵A(-1,0)与 B关于 x=1对称， ∴B（3，0）。
∵A(-1,0)、B（3，0）和
C（1，4）在抛物线上，
∴ 即：
三、应用举例
例1、已知二次函数求其解析式。解法二：顶点式的图像如图所示，
开启
智慧
9、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0； ④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是（ C ） A、2个 C、4个 B、3个 D、5个
y
-1 o
1
x
观察与思考
独立作业
10、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中不正确的是（） D

二次函数中的符号问题与求解析式

a、b、c、
2a+b、2a-b、
b2-4ac、
a+b+c、a-b+c、
-1
1
a b c 2a+b
2a-b
b2-4ac a+b+c a-b+c 4a+2b+c 4a-2b+c
开口方向大小向上a>0 向下a<o 对称轴与y轴比较左侧ab同号右侧ab异号
与y轴交点交于上半轴c>o 下半轴c<0
- b 与1比较 2a
∴a=- 1 ，∴ac=2n*（-
1
）
n
n
=-2
19
仔细想一想：
6.（06.浙江省）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴． (以下有(1)、(2)两问，每个考生只须选答一问，若两问都答，则只以第(2)问计分) 第(1)问：给出四个结论：
A、2个 B、3个
y
C、4个 D、5个
根据图像可得： 1、a＜0
2、- b ＝-1 2a
3、△=b²-4ac＞0 4、C＞0
-1 o 1 x
17
想一想：
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过A(1,0),B(0,1),请判断实数 a的范围,并说明理由.
开口向上
a>0
开口向下
a<0
（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定:
交点在x轴上方
c>0
交点在x轴下方
c<0
经过坐标原点
c=0

二次函数的符号问题

y
y
x
-1
0
1
x
-1
0
1
2a+b>0
2a+b>0
（7）2a-b的符号：
由对称轴在直线x=-1的位置确定
y y
-1
0
1
x
-1
0
1
x
2a-b=0
2a-b<0
问题解决
例：根据y=ax2+bx+c的图像，判断下列式子的符号（ 1） a （ 2） b （ 3） c （4）2a+b （5）2a-b, （6）b2-4ac （7）a+b+c （8）a-b+c （9）4a+2b+c （10）4a-2b+c
y
a+b+c <0 a+b+c =0
y y
-1 0
1
x
-2 -1 o 1 2
x
x
1
3
(8) a-b+c的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定 a-b+c >0 点在x轴上方 a-b+c <0 点在x轴下方点在X轴上 a-b+c <0
y
y
-1 0
1
x
-2 -1 o 1 2
x
x
1
3
a-b+c >0
2、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定二次函数的符号： y
2
-1
O
1
x
3、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，对称轴X=-0.5，试确定二次函数的符号：
y
1

初中数学专题训练：二次函数图象与a,b,c,b2-4ac等符号问题(含答案)

初中数学专题训练：二次函数图象与a,b,c,b2－4ac等符号问题（含答案）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a,b,c及判别式b2－4ac的符号之间的关系：一、选择题1．已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是( )A．当a＝1时,函数图象过点(－1,1)B．当a＝－2时,函数图象与x轴没有交点C．若a＞0,则当x≥1时,y随x的增大而减小D．若a＜0,则当x≤1时,y随x的增大而增大2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－ZT－1所示,则下列关系式错误的是( )图2－ZT－1A．a＜0B．b＞0C．b2－4ac＞0D．a＋b＋c＜03．以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限,则实数b 的取值范围是( )A．b≥54B．b≥1或b≤－1C．b≥2 D．1≤b≤24．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图2－ZT－2所示,则正比例函数y＝(b＋c)x与反比例函数y＝a－b－cx在同一坐标系中的大致图象是( )图2－ZT－2图2－ZT－35．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与反比例函数y＝bx的图象在第一象限有一个公共点,其横坐标为1,则一次函数y＝bx＋ac的图象可能是( )图2－ZT－46．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图2－ZT－5所示,对称轴是直线x＝1.下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是( )图2－ZT－5A．①④ B．②④C ．①②③D ．①②③④7．如图2－ZT －6,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于点A (－2,0)和点B ,交y 轴负半轴于点C ,且OB ＝OC .下列结论：①2b －c ＝2；②a ＝12；③ac ＝b －1；④a ＋bc ＞0,其中正确的结论有( )图2－ZT －6A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－2,与x 轴的一个交点在(－3,0)和(－4,0)之间,其部分图象如图2－ZT －7所示,则下列结论：①4a －b ＝0；②c ＜0；③－3a ＋c ＞0；④4a －2b ＞at 2＋bt (t 为实数)；⑤点⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，y 1,⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 2,⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3是该抛物线上的点,则y 1＜y 2＜y 3.正确的结论有( )图2－ZT －7A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分如图2－ZT －8所示,则a 的取值范围是________．图2－ZT－810．如图2－ZT－9是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点是B(4,0),直线y＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论：2①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1,0)；④当1＜x＜4时,有y2＞y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b.其中正确的结论是________．(只填写序号)图2－ZT－911．如图2－ZT－10,二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴在y轴的右侧,其图象与x 轴交于点A(－1,0),C(x2,0),且与y轴交于点B(0,－2),小强得到以下结论：①0＜a＜2；②－1＜b＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时,x2＞5－1.以上结论中,正确的结论序号是________．图2－ZT－1012．如图2－ZT－11,二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为－1,3,与y轴负半轴交于点C.在下面五个结论中：①2a－b＝0；②a＋b＋c>0；③c＝－3a；④当a＝12时,△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有四个．其中正确的结论是________(只填序号)．图2－ZT－11三、解答题13．如图2－ZT－12,二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于B,C两点,交y轴于点A.(1)根据图象确定a,b,c的符号；(2)如果OC＝OA＝13OB,BC＝4,求这个二次函数的表达式．图2－ZT－1214．已知函数y＝ax2＋bx＋c,若a＞0,b＜0,c＜0,则这个函数的图象与x轴交点的情况是怎样的？若无交点,请说明理由；若有交点,请说明有几个交点及交点分别在x轴的哪个半轴上．详解详析二次函数图象与a,b,c,b2－4ac等符号问题1．[答案] D2．[解析] D 抛物线开口向下,则a＜0,所以A选项的关系式正确；抛物线的对称轴在y轴的右侧,a,b异号,则b＞0,所以B选项的关系式正确；抛物线与x轴有2个交点,则b2－4ac＞0,所以C选项的关系式正确；当x＝1时,y＞0,即a＋b＋c＞0,所以D选项的关系式错误．3．[答案] A4．[答案] C5．[解析] B 由公共点的横坐标为1,且在反比例函数y＝bx的图象上,当x＝1时,y＝b,即公共点的坐标为(1,b)．又点(1,b)在抛物线上,得a＋b＋c＝b,即a＋c＝0.由a≠0知ac＜0,一次函数y＝bx＋ac的图象与y轴的交点在负半轴上,而反比例函数y＝bx的图象的一支在第一象限,故b＞0,一次函数的图象满足y随x的增大而增大,选项B符合条件．故选B.6．[解析] C ①抛物线的开口向上,所以a>0.抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝1,所以b<0,所以ab＜0.所以①正确；②抛物线与x轴有两个交点,所以b2－4ac>0,所以b2＞4ac.所以②正确；③由图象知,当x＝1时,y＝a＋b＋c<0.又抛物线与y轴交于负半轴,所以c<0,所以a＋b ＋2c＜0.所以③正确；④由抛物线的对称性知当x ＝3时,y ＝9a ＋3b ＋c>0.又－b2a＝1,所以b ＝－2a,所以3a ＋c>0.所以④错误．综上可知,正确的是①②③.故选C.7．[解析] C 在y ＝ax 2＋bx ＋c 中,当x ＝0时y ＝c,∴C(0,c),∴OC ＝－c.∵OB＝OC,∴B(－c,0)．∵A(－2,0),∴－c,－2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根,∴－c·(－2)＝c a .∵c≠0,∴a ＝12,②正确；∵－c,－2是一元二次方程12x 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根,∴－c ＋(－2)＝－b12,即2b －c ＝2,①正确；把B(－c,0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c,得0＝a(－c)2＋b·(－c)＋c,即ac 2－bc ＋c ＝0.∵c≠0,∴ac －b ＋1＝0,∴ac ＝b －1,③正确；∵抛物线开口向上,∴a ＞0.∵抛物线的对称轴在x 轴左侧,∴－b2a ＜0,∴b ＞0,∴a ＋b ＞0.∵抛物线与y 轴负半轴交于点C,∴c ＜0.∴a ＋bc＜0,④错误．8．[解析] B ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－2,∴－b2a＝－2,∴4a －b ＝0,故①正确；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－2,与x 轴的一个交点在(－3,0)和(－4,0)之间,∴另一个交点位于(－1,0)和(0,0)之间,∴抛物线与y 轴的交点在原点的下方,∴c ＜0.故②正确；∵4a －b ＝0,∴b ＝4a.∵当x ＝－3时,y ＝9a －3b ＋c ＝9a －12a ＋c ＝－3a ＋c>0,故③正确；∵4a －b ＝0,∴b ＝4a,∴at 2＋bt －(4a －2b)＝at 2＋4at －(4a －2×4a)＝at 2＋4at ＋4a ＝a(t 2＋4t ＋4)＝a(t ＋2)2.∵t 为实数,a ＜0,∴a(t ＋2)2≤0,∴at 2＋bt －(4a －2b)≤0,∴at 2＋bt≤4a－2b,即4a －2b≥at 2＋bt,∴④错误；∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，y 1,⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 2,⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3是该抛物线上的点,∴将它们描在图象上可得由图象可知：y1<y3<y2,故⑤错误．综上所述,正确的有3个．故选B.9．[答案] －1＜a＜0[解析] ∵抛物线开口向下,∴a＜0.∵函数图象过点(0,1),∴c＝1.∵函数图象过点(1,0),∴a＋b＋c＝0,∴b＝－(a＋c)＝－(a＋1)．由题意知,当x＝－1时,应有y＞0,∴a－b＋c＞0,∴a＋(a＋1)＋1＞0,∴a＞－1,∴a的取值范围是－1＜a＜0.10．[答案] ②⑤[解析] ①根据函数图象的开口方向、对称轴、与y轴交点可知,a＜0,b＞0,c＞0,故abc＜0；②根据函数图象的顶点坐标可知,方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根,即x1＝x2＝1；③根据抛物线的对称性可知,抛物线与x轴的另一个交点是(－2,0)；④根据函数图象,当1＜x＜4时,有y2＜y1；⑤当x＝1时,y＝a＋b＋c＝3≥x(ax＋b)＋c,∴x(ax＋b)≤a＋b.故正确的结论有②⑤.11．[答案] ①④[解析] 由抛物线的开口向上可知,a ＞0,且抛物线经过点A(－1,0),B(0,－2),对称轴在y 轴的右侧可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，c ＝－2，－b2a >0，即a －b ＝2,b ＜0,故a ＝2＋b ＜2.综合可知0＜a ＜2；由a －b ＝2可得a ＝b ＋2,将其代入0＜a ＜2中,得0＜b ＋2＜2,即－2＜b ＜0；当|a|＝|b|时,因为a ＞0,b ＜0,故有a ＝－b.又a －b ＝2,可得a ＝1,b ＝－1. 故原函数为y ＝x 2－x －2,当y ＝0时,即有x 2－x －2＝0,解得x 1＝－1,x 2＝2, 此时x 2＝2＞5－1.故答案为：①④. 12．[答案] ③④[解析] ∵抛物线与x 轴的交点A,B 的横坐标分别为－1,3,∴AB ＝4,对称轴为直线x ＝－b2a＝1,∴b ＝－2a,即2a ＋b ＝0.故①错误；根据图象知,当x ＝1时,y ＜0,即a ＋b ＋c ＜0.故②错误；∵点A 的坐标为(－1,0),∴a －b ＋c ＝0,而b ＝－2a,∴a ＋2a ＋c ＝0,即c ＝－3a.故③正确；当a ＝12时,b ＝－1,c ＝－32,抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－x －32.设对称轴直线x ＝1与x 轴的交点为E,∴把x ＝1代入y ＝12x 2－x －32,得y ＝12－1－32＝－2,∴点D 的坐标为(1,－2),∴AE ＝2,BE ＝2,DE ＝2,∴△ADE 和△BDE 都为等腰直角三角形,∴△ABD 为等腰直角三角形．故④正确；要使△ACB 为等腰三角形,则必须保证AB ＝BC ＝4或AB ＝AC ＝4或AC ＝BC,当AB ＝BC ＝4时,∵BO ＝3,△BOC 为直角三角形,OC 的长为|c|,∴c 2＝16－9＝7.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上,∴c ＝－7,与2a ＋b ＝0,a －b ＋c ＝0联立组成方程组,解得a ＝73；当AB ＝AC ＝4时,∵AO ＝1,△AOC 为直角三角形,OC 的长为|c|,∴c 2＝16－1＝15. ∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上,∴c ＝－15,与2a ＋b ＝0,a －b ＋c ＝0联立组成方程组,解得a ＝153；当AC ＝BC 时,在△AOC 中,AC 2＝1＋c 2,在△BOC 中,BC 2＝c 2＋9.∵AC ＝BC,∴1＋c 2＝c 2＋9,此方程无解．∴只有两个a 值满足条件．故⑤错误．综上所述,正确的结论是③④.13．解：(1)∵抛物线开口向上,∴a>0. 又∵对称轴x ＝－b2a<0, ∴a,b 同号,即b>0.∵抛物线与y 轴交于负半轴,∴c<0. 综上所述,a>0,b>0,c<0. (2)∵OC＝OA ＝13OB,BC ＝4,∴点A 的坐标为(0,－1),点B 的坐标为(－3,0),点C 的坐标为(1,0)．把A,B,C 三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中,可得⎩⎨⎧－1＝c ，0＝9a －3b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝23，c ＝－1，∴该二次函数的表达式是y ＝13x 2＋23x －1.14．[全品导学号：63422210]解：∵a＞0,b ＜0,c ＜0,∴b 2－4ac ＞0, ∴这个函数图象与x 轴有两个交点．设这个函数图象与x 轴的交点坐标为(x 1,0),(x 2,0)． ∵x 1·x 2＝ca ,a ＞0,c ＜0,∴x 1·x 2＜0,∴这个函数图象与x轴有两个交点,一个交点在x轴的正半轴上,另一个交点在x轴的负半轴上．。

九年级数学上二次函数的系数符号问题专题训练及答案解析

二次函数的系数符号问题专题训练一．选择题（共25小题）1．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列给出四个结论中，正确结论的个数是（）个①c＞0；②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b＝0；④＜0；⑤4a﹣2b+c＞0．A．2B．3C．4D．52．如图，所示是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（5，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中错误的是（）A．abc＞0B．当x＜1时，y随x的增大而增大C．a+b+c＞0D．方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣3，x2＝53．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确是（）A．abc＞0B．2a+b＜0C．3a+c＜0D．ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．abc＜0B．2a+b＜0C．b2﹣4ac＜0D．a+b+c＜05．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示．下列结论中，错误的是（）A．abc＜0B．当m≠1时，a+b＞am2+bmC．2a+b＝0D．若ax12+bx1＝ax22+bx2且x1≠x2，x1+x2＝36．如图，在直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于A（﹣3，0）和B两点，抛物线与x轴交于A、C两点，且C的横坐标在0到1之间（不含端点），下列结论正确的是（）A．abc＜0B．3a﹣b＞0C．2a﹣b+m＜0D．a﹣b＞2m﹣2 7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列四个结论正确的是（）A．abc＞0B．a+c＞b C．b+2a＝0D．b2﹣4ac＜0 8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b＝﹣2a；③b2+4ac＞0；④4a+2b+c＜0．其中结论正确的是（）A．①②B．①②③C．①②③④D．②③④9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，直线x＝1是它的对称轴，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④2a﹣b＝0；⑤方程ax2+bx+c ﹣3＝0有两个相等的实数根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③2a+b＞0；④9a+3b+c＜0；⑤8a+c＞0．其中，结论正确的个数是（）A．5B．4C．3D．211．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论，错误的是（）A．abc＞0B．2a﹣b＜0C．4a﹣2b+c＜0D．（a+c）2＞b2 12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个13．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b＜0；其中正确的个数有（）A．2B．3C．4D．514．抛物线y＝ax2+bx+c过点（1，0）且对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＜0；②b+2a＝0；③b2＞4ac；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物上，则y1＜y2；⑤13a﹣4b+c＞0；⑥3a+2c＜0，其中正确个数有（）A．2B．3C．4D．515．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（3，0），其部分图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0：②b2﹣4ac＜0；③a+b＞0；④当x＞0时，y随x的增大而减小；⑤3a+c＝0；⑥c＜4b．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，则下列结论中正确的个数有（）①4a+b＝0；②9a+3b+c＜0；③若点A（﹣3，y1），点B（﹣，y2），点C（5，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；④若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．A．1个B．2个C．3个D．4个17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③b2﹣4ac＞0；④无论m为何值时，总有am2+bm ≤a+b；⑤9a+c＞3b，其中正确的结论序号为（）A．①②③B．①③④C．①③④⑤D．②③④18．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac﹣b2＜0；②2a﹣b＝0；③a+b+c＜0；④点M（x1，y1）、N（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2＜﹣1，则y1＞y2，⑤abc＞0．其中正确结论的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个19．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，且经过点（0，2）．有下列结论：①ac＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+c＜2﹣b；④a＜﹣；⑤x＝﹣5和x＝7时函数值相等．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个20．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则：①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④当时y＞0，﹣1＜x＜3；其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个21．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴为直线x＝﹣，下列结论：①abc＜0；②ax2+bx+c＝0两根之和大于0；③a+b＝0；④4a+c＜2b；⑤b2﹣4ac＞0；正确的个数是（）A．1B．2C．3D．422．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③25a﹣5b+c＞0；④b﹣4a＝0；⑤方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个23．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论：①AB＝4；②b2﹣4ac＞0；③ab＜0；④a2﹣ab+ac＜0，其中正确的结论有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc ＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＜0；④2a+b＝0．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个25．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a＝0；⑤方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，其中正确的结论有（）A．①③④B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤二．填空题（共6小题）26．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，有下列结论：①b2＞4ac；②ac＜0；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＝0．其中所有正确的结论是．（填写正确结论的序号）27．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论中：①b2﹣4ac＜0；②2a﹣b ＝0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＜0；⑤abc＞0，则其中正确的结论有（填序号）．28．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）abc＞0；（3）b2﹣4ac＞0；（4）5a+c＝0；（5）若m≠2，则m（am+b）＞2（2a+b），其中正确的结论有（填序号）．29．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论正确的有（填序号）．①若图象过点（﹣3，y1）、（2，y2），则y1＜y2；②ac＜0；③2a﹣b＝0；④b2﹣4ac＜0．30．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＜0；④2a+b＝0；⑤b2﹣4ac＜0；⑥当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是（把正确的序号都填上）．31．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x ＝﹣1，给出以下结论：①abc＜0 ②b2﹣4ac＞0 ③4a+2b+c＜0④若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）．二次函数的系数符号问题专题训练参考答案一．选择题（共25小题）1．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列给出四个结论中，正确结论的个数是（）个①c＞0；②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b＝0；④＜0；⑤4a﹣2b+c＞0．A．2B．3C．4D．5解：∵抛物线与y轴交于负半轴∴c＞0，①正确；∵对称轴为直线x＝﹣1，∴x＜﹣1时，y随x的增大而增大，∴y1＞y2②错误；∵对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，则2a﹣b＝0，③正确；∵抛物线的顶点在x轴的上方，∴＞0，④错误；当x＝﹣2时，y＞0，则4a﹣2b+c＞0，⑤正确，故选：B．2．如图，所示是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（5，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中错误的是（）A．abc＞0B．当x＜1时，y随x的增大而增大C．a+b+c＞0D．方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣3，x2＝5解：A、抛物线开口向下得a＜0，抛物线的对称轴在y轴右侧得b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则abc＜0，所以A选项的结论错误；B、a＜0，当x＜1时，y随x的增大而增大，所以B选项的结论正确；C、当x＝1时，y＞0，即a+b+c＝0，所以C选项的结论正确；D、点（5，0）关于直线x＝1的对称点为（﹣3，0），所以方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣3，x2＝5，所以D选项的结论正确．故选：A．3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确是（）A．abc＞0B．2a+b＜0C．3a+c＜0D．ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根解：∵抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣，得到b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，A、abc＜0，错误；B、2a+b＝0，错误；C、把x＝1时代入y＝ax2+bx+c＝a+b+c，结合图象可以得出y＝3，即a+b+c＝3，a+c＝3﹣b，∵2a+b＝0，b＞0，∴3a+c＝2a+a+c＝﹣b+3﹣b＝3﹣2b＜0，3a+c＝2a+a+c＝a﹣b+c，应当x＝﹣1时，y＝a ﹣b+c＜0，所以c正确；D、由图可知，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝3有一个交点，而ax2+bx+c﹣3＝0有一个的实数根，错误；故选：C．4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．abc＜0B．2a+b＜0C．b2﹣4ac＜0D．a+b+c＜0解：抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；对称轴x＝﹣＞0，所以b＜0；所以abc＞0；由图象可知：0＜﹣＜1，所以﹣b＜2a，即2a+b＞0；由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△＝b2﹣4ac＞0；由图可知：当x＝1时，y＜0，所以a+b+c＜0；故选：D．5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示．下列结论中，错误的是（）A．abc＜0B．当m≠1时，a+b＞am2+bmC．2a+b＝0D．若ax12+bx1＝ax22+bx2且x1≠x2，x1+x2＝3解：∵抛物线开口方向，∴a＜0，∵抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，∴2a+b＝0，故C正确；∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，故A正确；∵当x＝1时，函数有最大值，∴当m≠1时，a+b＞am2+bm，故B正确；∵ax12+bx1＝ax22+bx2，∴抛物线和x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），由图象可得x1+x2＜3，故D错误；故选：D．6．如图，在直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于A（﹣3，0）和B两点，抛物线与x轴交于A、C两点，且C的横坐标在0到1之间（不含端点），下列结论正确的是（）A．abc＜0B．3a﹣b＞0C．2a﹣b+m＜0D．a﹣b＞2m﹣2解：A、由图可知，二次函数图象开口向下，所以，a＜0，∵C的横坐标在0到1之间（不含端点），∴﹣＜﹣1，∴b＜2a，∴b＜0，∵与y轴的交点C在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故本选项错误；B、∵A（﹣3，0）在二次函数图象上，∴9a﹣3b+c＝0，∴3a﹣b＝﹣c＜0，∴3a﹣b＜0，故本选项错误；C、∵b＜2a，∴2a﹣b＞0，∵一次函数y＝mx+n经过第一三象限，∴m＞0，∴2a﹣b+m＞0，故本选项错误；D、x＝﹣1时，a﹣b+c＞﹣m+n，∵一次函数经过点（﹣3，0），∴﹣3m+n＝0，∴n＝3m，∴a﹣b＞﹣m+3m﹣c＝2m﹣c，由图可知，c＜2，∴2m﹣c＞2m﹣2，∴a﹣b＞2m﹣2，故本选项正确．故选：D．7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列四个结论正确的是（）A．abc＞0B．a+c＞b C．b+2a＝0D．b2﹣4ac＜0解：A、∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵二次函数的图形与y轴的交点在Y轴的正半轴上，∴c＞0，∵二次函数的图象的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，b＝﹣2a＞0，∴abc＜0，故本选项错误；B、把x＝﹣1代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故本选项错误；C、∵二次函数的图象的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，b＝﹣2a＞0，∴b+2a＝﹣2a+2a＝0，故本选项正确；D、∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；故选：C．8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b＝﹣2a；③b2+4ac＞0；④4a+2b+c＜0．其中结论正确的是（）A．①②B．①②③C．①②③④D．②③④解：图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＞0，c＜0，﹣＞0，b＜0，∴abc＞0，①正确；对称轴为x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，②正确；图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，③正确；∵x＝0时，y＞0，对称轴是x＝1，∴x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，④错误，故选：B．9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，直线x＝1是它的对称轴，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④2a﹣b＝0；⑤方程ax2+bx+c ﹣3＝0有两个相等的实数根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①由图象可知：a＜0，c＞0，＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①错误；②抛物线的对称轴为x＝1，∴（﹣1，y）关于直线x＝1的对称点为（3，y），（0，c）关于直线x＝1的对称点为（2，c）∴x＝2，y＝4a+2b+c＞0，故②正确；③抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由对称轴可知：＝1，∴2a+b＝0，故④错误；⑤由图象可知：y＝3时，此时ax2+bx+c＝3只有一解x＝1，∴方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相同的根，故⑤正确；故选：C．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③2a+b＞0；④9a+3b+c＜0；⑤8a+c＞0．其中，结论正确的个数是（）A．5B．4C．3D．2解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△＝b2﹣4ac＞0，故①正确；②抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，b＝﹣2a，故b＜0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；所以abc＞0；故②正确；③∵x＝﹣＝1，∴2a+b＝0，故③错误；④观察图象得当x＝3时，y＜0，即9a+3b+c＜0，故④正确；⑤∵b＝﹣2a，∴9a+3b+c＝9a﹣6a+c＝3a+c＞0∵a＞0∴8a+c＞0，故⑤正确，所以①②④⑤这四个结论都正确．故选：B．11．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论，错误的是（）A．abc＞0B．2a﹣b＜0C．4a﹣2b+c＜0D．（a+c）2＞b2解：∵抛物线开口向下，∴a＜0；∵对称轴在y轴的左边，∴b＜0；∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，∴选项A正确；∵对称轴﹣1＜﹣＜0，a＜0，∴2a﹣b＜0，∴选项B正确；∵x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，∴选项C正确；∵x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a+c＞b，但无法确定（a+c）2＞b2 ，∴选项D不正确．故选：D．12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0，∴abc＜0，所以①结论错误；∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），∴﹣＝﹣2，＝﹣9a，∴b＝4a，c＝﹣5a，∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax﹣5a，∴4a+2b+c＝4a+8a﹣5a＝7a＞0，所以②结论正确，5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a＝﹣4a＜0，故③结论错误，∵抛物线y＝ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故结论④正确，若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，设方程ax2+bx+c＝1的两根分别为x1，x2，则＝﹣2，可得x1+x2＝﹣4，设方程ax2+bx+c＝1的两根分别为x3，x4，则＝﹣2，可得x3+x4＝﹣4，所以这四个根的和为﹣8，故结论⑤错误，故选：A．13．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b＜0；其中正确的个数有（）A．2B．3C．4D．5解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，所以③正确；∵点（﹣0.5，y1）到直线x＝﹣1的距离比点（﹣2，y2）到直线x＝﹣1的距离小，而抛物线开口向上，∴y1＜y2；所以④错误；∵b＝2a，∴5a﹣2b＝5a﹣4a＝a＞0，所以⑤错误．故选：A．14．抛物线y＝ax2+bx+c过点（1，0）且对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＜0；②b+2a＝0；③b2＞4ac；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物上，则y1＜y2；⑤13a﹣4b+c＞0；⑥3a+2c＜0，其中正确个数有（）A．2B．3C．4D．5解：①由图象可知：a＞0，c＜0，由对称轴可知：＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；②由对称轴可知：＝﹣1，∴b﹣2a＝0，故②错误；③由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④∵（﹣0.5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点为（，y1），∵x＜﹣1时，y随着x的增大而减少，∴y1＜y2，故④正确；⑤∵抛物线经过（1，0），∴0＝a+b+c，∴c＝﹣3a，由于b＝2a，∴13a﹣4b+c＝13a﹣8a﹣3a＝2a＞0，故⑤正确；⑥3a+2c＝3a﹣6a＝﹣3a＜0，故⑥正确；故选：D．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（3，0），其部分图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0：②b2﹣4ac＜0；③a+b＞0；④当x＞0时，y随x的增大而减小；⑤3a+c＝0；⑥c＜4b．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①由抛物线开口方向向下知，a＜0．由抛物线对称轴位于y轴右侧知，a、b异号，即ab＜0，抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．则abc＜0．故错误；②由抛物线与x轴有两个不同的交点知，b2﹣4ac＞0．故错误；③由对称轴x＝﹣＝1知b＝﹣2a，则a+b＝a﹣2a＝﹣a＞0，即a+b＞0．故正确；④如图所示，当x＞1时，y随x的增大而减小，故错误；⑤如图所示，根据抛物线的对称性知，抛物线与x轴的另一交点坐标是（﹣1，0）．所以当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a+2a+c＝3a+c＝0，即3a+c＝0，故正确；⑥∵3a+c＝0．∴c＝﹣3a．∴c﹣4b＝﹣3a﹣4b＝﹣3a+8a＝5a＜0．故正确．综上所述，其中正确的结论有3个．故选：C．16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，则下列结论中正确的个数有（）①4a+b＝0；②9a+3b+c＜0；③若点A（﹣3，y1），点B（﹣，y2），点C（5，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；④若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．A．1个B．2个C．3个D．4个解：由抛物线的对称轴为x＝2可得﹣＝2，即4a+b＝0，故①正确；由抛物线的对称性知x＝0和x＝4时，y＞0，则x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，故②错误；∵抛物线的开口向下，且对称轴为x＝2，∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，∵点A到x＝2的水平距离为5，点B到对称轴的水平距离为2.5，点C到对称轴的水平距离为3，∴y1＜y3＜y2，故③正确；令y＝a（x+1）（x﹣5），则抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与y＝ax2+bx+c形状相同、开口方向相同，且与x轴的交点为（﹣1，0）、（3，0），函数图象如图所示，由函数图象可知方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根即为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3交点的横坐标，∴x1＜﹣1＜5＜x2，故④正确；故选：C．17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③b2﹣4ac＞0；④无论m为何值时，总有am2+bm ≤a+b；⑤9a+c＞3b，其中正确的结论序号为（）A．①②③B．①③④C．①③④⑤D．②③④解：①由图象可得c＞0，∵x＝﹣＝1，∴ab＜0，∴abc＜0，故①正确；②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②错误；∴b2﹣4ac＞0，故③正确；④当x＝1时，函数有最大值，∴a+b+c≥am2+bm+c，∴am2+bm≤a+b，即无论m为何值时，总有am2+bm≤a+b．故④正确；⑤∵当x＝﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，故⑤错误；故选：B．18．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac﹣b2＜0；②2a﹣b＝0；③a+b+c＜0；④点M（x1，y1）、N（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2＜﹣1，则y1＞y2，⑤abc＞0．其中正确结论的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个∴△＝b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，结论①正确；②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，即2a﹣b＝0，结论②正确；③∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴当x＝1与x＝﹣3的值相等，即当x＝1时y＜0，∴a+b+c＜0，结论③正确；④∵当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，x1＜x2＜﹣1，∴y1＜y2，结论④错误；⑤∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，与y轴交于正半轴，∴a＜0，b＝2a＜0，c＞0，∴abc＞0，结论⑤正确．故选：B．19．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，且经过点（0，2）．有下列结论：①ac＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+c＜2﹣b；④a＜﹣；⑤x＝﹣5和x＝7时函数值相等．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，所以①错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴x＝1时，y最大，即a+b+c＞2，∴a+c＞2﹣b，所以③错误；∵x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，而﹣＝1，c＝2，∴4a+4a+2＜0，∴a＜﹣，所以④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴x＝﹣5和x＝7时函数值相等，所以⑤正确．故选：C．20．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则：①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④当时y＞0，﹣1＜x＜3；其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①由图可知：x＝1是抛物线的对称轴，且抛物线的开口向下，∴当x＝1时，y的最大值为y＝a+b+c，故①正确；②由于抛物线过点（﹣1，0），∴x＝﹣1时，y＝0，∴y＝a﹣b+c＝0，故②错误；③由图象可知：△＞0，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；④（﹣1，0）关于x＝1对称点为（3，0），∴﹣1＜x＜3，y＞0，故④正确；故选：C．21．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴为直线x＝﹣，下列结论：①abc＜0；②ax2+bx+c＝0两根之和大于0；③a+b＝0；④4a+c＜2b；⑤b2﹣4ac＞0；正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4解：①图象开口向上，a＞0，与y轴交于负半轴，c＜0，对称轴在y轴左侧，b＞0，∴abc＜0，①正确；②∵对称轴为直线x＝﹣，∴﹣＝﹣，x1+x2＜0，②错误；③∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0③错误；④由图象和对称轴可知x＝﹣2时，y＜0，④正确；⑤图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，⑤正确．故选：C．22．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③25a﹣5b+c＞0；④b﹣4a＝0；⑤方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵﹣＝﹣2，∴b＝4a，ab＞0，∴①错误，④正确，∵抛物线与x轴交于﹣4，0处两点，∴b2﹣4ac＞0，方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，∴②⑤正确，∵当x＝﹣5时y＜0，即25a﹣5b+c＜0，∴③错误，故正确的有②④⑤．故选：B．23．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论：①AB＝4；②b2﹣4ac＞0；③ab＜0；④a2﹣ab+ac＜0，其中正确的结论有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），∴A（﹣3，0），∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵抛物线开口向下，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∴ab＞0，所以③错误；∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，而a＞0，∴a（a﹣b+c）＜0，所以④正确．故选：C．24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc ＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＜0；④2a+b＝0．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵x＝﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2＞4ac，②正确；∵x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，故③错误；∵对称轴为直线x＝1，∴，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，④正确．故选：B．25．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a＝0；⑤方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，其中正确的结论有（）A．①③④B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵﹣＝﹣2，∴b＝4a，ab＞0，∴①错误，④正确，∵抛物线与x轴交于﹣4，0处两点，∴b2﹣4ac＞0，方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，∴②⑤正确，∵当x＝﹣3时y＞0，即9a﹣3b+c＞0，∴③错误，故正确的有②④⑤．故选：B．二．填空题（共6小题）26．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，有下列结论：①b2＞4ac；②ac＜0；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＝0．其中所有正确的结论是①②④．（填写正确结论的序号）解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以①正确；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以②正确；∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴2a+b＝0，所以③错误；∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，所以④正确；故答案为①②④．27．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论中：①b2﹣4ac＜0；②2a﹣b ＝0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＜0；⑤abc＞0，则其中正确的结论有②③⑤（填序号）．解：∵二次函数y＝ax2+bc+c的图象与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，∴结论①错误；函数的对称轴是x＝﹣1，即﹣＝﹣1，则b＝2a，2a﹣b＝0，故②正确；当x＝1时，函数对应的点在x轴下方，则a+b+c＜0，则③正确；当x＝﹣1时，函数对应的点在x轴上方，则a+b+c＞0，则④错误；∵a＜0，b＞0，c＜0，∴abc＞0，则⑤正确，故答案为：②③⑤．28．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）abc＞0；（3）b2﹣4ac＞0；（4）5a+c＝0；（5）若m≠2，则m（am+b）＞2（2a+b），其中正确的结论有（1）（3）（4）（填序号）．解：由对称轴为直线x＝2，得到﹣＝2，即b＝﹣4a，∴4a+b＝0，（1）正确；∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，∴b＞0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，所以（2）错误；因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故（3）正确；∵图象过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，即c＝﹣a+b＝﹣a﹣4a＝﹣5a，∴5a+c＝5a﹣5a＝0，故（4）正确；∵当x＝2时函数取得最大值，且m≠2，∴am2+bm+c＜4a+2b+c，即m（am+b）＜2（2a+b），故（5）错误；故答案为：（1）（3）（4）29．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论正确的有①②③（填序号）．①若图象过点（﹣3，y1）、（2，y2），则y1＜y2；②ac＜0；③2a﹣b＝0；④b2﹣4ac＜0．解：①∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，∴（﹣3，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标为（1，y1），∵﹣3＜﹣1＜1＜2，∴y1＜y2，故①正确；②由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故②正确；③对称轴为x＝﹣1，∴＝﹣1，∴b＝2a，∴2a﹣b＝0，故③正确；④由图象可知抛物线与x轴的交点有两个，∴△＞0，故④错误；故答案为：①②③．30．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＜0；④2a+b＝0；⑤b2﹣4ac＜0；⑥当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是①②③④（把正确的序号都填上）．解：①∵开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故正确；②∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点横坐标在2与3之间，∴另一个交点的横坐标在0与﹣1之间；∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故正确；③∵2a+b＝0，∴b＝﹣2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故正确；④∵对称轴x＝﹣＝1，∴2a+b＝0；故正确；⑤∵抛物线和x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，故错误；⑥如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故错误；∴正确的有4个．故答案为①②③④．31．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x ＝﹣1，给出以下结论：①abc＜0 ②b2﹣4ac＞0 ③4a+2b+c＜0④若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）②③⑤．解：由图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，故①错误．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确．∵抛物线对称轴为x＝﹣1，与x轴交于A（﹣3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∴4a+2b+c＜0，故③正确．∵B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，又点C离对称轴近，∴y1，＜y2，故④错误，由图象可知，﹣3≤x≤1时，y≥0，故⑤正确．∴②③⑤正确，故答案为②③⑤．。