人教版高中数学选修课程课件选修2-1 空间向量
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(人教版)高中数学选修2-1课件：第3章 空间向量与立体几何3.1.2
[提示2] 空间中任意两个向量一定共面．任意三个向量不 一定共面．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
空间向量的数乘运算
1．定义：实数λ与空间向量a的乘积λ—a—仍然是一个—向——量— ，称为向量的数乘运算．
2．向量a与λa的关系
λ的范 围
对于空间任意两个向量 a， 充要
b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在 条件
实数 λ 使__a_＝__λ_b___
若两个向量 a，b 不共线，则 向量 p 与 a，b 共面的充要条 件是存在唯一的有序实数对
(x，y)，使_p_＝__x_a_＋___yb
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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1．下列命题中正确的个数是( )
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；
②向量a，b，c共面即它们所在的直线共面；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
A．1
B．2
C．3
D．0
数学 选修2-1
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
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空间向量的数乘运算
如 图 ， 已 知 平 行 六 面 体 ABCD － A′B′C′D′.
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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空间向量的数乘运算
1．定义：实数λ与空间向量a的乘积λ—a—仍然是一个—向——量— ，称为向量的数乘运算．
2．向量a与λa的关系
λ的范 围
对于空间任意两个向量 a， 充要
b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在 条件
实数 λ 使__a_＝__λ_b___
若两个向量 a，b 不共线，则 向量 p 与 a，b 共面的充要条 件是存在唯一的有序实数对
(x，y)，使_p_＝__x_a_＋___yb
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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1．下列命题中正确的个数是( )
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；
②向量a，b，c共面即它们所在的直线共面；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
A．1
B．2
C．3
D．0
数学 选修2-1
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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空间向量的数乘运算
如 图 ， 已 知 平 行 六 面 体 ABCD － A′B′C′D′.
(人教版)高中数学选修2-1课件：第3章空间向量与立体几何3.1.1
一进行判断：
①(A→B＋B→C)＋C→C1＝A→C＋C→C1＝A→C1； ②(A→A1＋A→1D1)＋D→1C1＝A→D1＋D→1C1＝A→C1； ③(A→B＋B→B1)＋B→1C1＝A→B1＋B→1C1＝A→C1； ④(A→A1＋A→1B1)＋B→1C1＝A→B1＋B→1C1＝A→C1. 所以 4 个式子的运算结果都是A→C1. 答案： 4
• (3)注意零向量的书写，必须是0这种情势． • (4)两个向量不能比较大小．
空间向量的加减法与运算律
空间向 量的加 减法
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算 (如图)：
O→B ＝O→A ＋A→B ＝_a_＋__b___； C→A ＝O→A －O→C ＝_a_－__b___
加法运 (1)交换律：a＋b＝b＋a；
◎在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，化简D→A－D→B＋B→1C－
B→1B＋A→1B1－A→1B. 【错解】 D→A－D→B＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B
＝A→B＋C→B＋B→1B＝D→C＋D→A＋B→1B＝D→B＋D→1D＝D→1B.
【错因】 对向量减法的三角形法则理解、记忆错误，
中，老师从学校大门口回到住地方产生的总位 移就是三个位移的合成(如右图所示)，它们是
不在同一平面内的位移，如何刻画这样的位移 呢？
• [问题1] • [提示1] • [问题2] 吗？
• [提示2]
老师的位移是空间向量吗？ 是． 空间向量的加法与平面向量类似
类似．
空间向量
定义
长度 几何表 示法
在空间，把具有大___小__和_方__向__的量叫做空间向量 向量的_大__小__叫做向量的长度或_模__
6分
(3)在线段 CC1 上取中点 M，则有C→M＝12C→C1， 则有：A→B＋A→D＋12C→C1＝A→B＋B→C＋C→M＝A→M. 9 分 (4)由(2)知13(A→B＋A→D＋A→A1)＝13A→C1，在线段 AC1 上取点 G，使得 AG＝13AC1，即：13(A→B＋A→D＋A→A1)＝A→G. 12 分
①(A→B＋B→C)＋C→C1＝A→C＋C→C1＝A→C1； ②(A→A1＋A→1D1)＋D→1C1＝A→D1＋D→1C1＝A→C1； ③(A→B＋B→B1)＋B→1C1＝A→B1＋B→1C1＝A→C1； ④(A→A1＋A→1B1)＋B→1C1＝A→B1＋B→1C1＝A→C1. 所以 4 个式子的运算结果都是A→C1. 答案： 4
• (3)注意零向量的书写，必须是0这种情势． • (4)两个向量不能比较大小．
空间向量的加减法与运算律
空间向 量的加 减法
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算 (如图)：
O→B ＝O→A ＋A→B ＝_a_＋__b___； C→A ＝O→A －O→C ＝_a_－__b___
加法运 (1)交换律：a＋b＝b＋a；
◎在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，化简D→A－D→B＋B→1C－
B→1B＋A→1B1－A→1B. 【错解】 D→A－D→B＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B
＝A→B＋C→B＋B→1B＝D→C＋D→A＋B→1B＝D→B＋D→1D＝D→1B.
【错因】 对向量减法的三角形法则理解、记忆错误，
中，老师从学校大门口回到住地方产生的总位 移就是三个位移的合成(如右图所示)，它们是
不在同一平面内的位移，如何刻画这样的位移 呢？
• [问题1] • [提示1] • [问题2] 吗？
• [提示2]
老师的位移是空间向量吗？ 是． 空间向量的加法与平面向量类似
类似．
空间向量
定义
长度 几何表 示法
在空间，把具有大___小__和_方__向__的量叫做空间向量 向量的_大__小__叫做向量的长度或_模__
6分
(3)在线段 CC1 上取中点 M，则有C→M＝12C→C1， 则有：A→B＋A→D＋12C→C1＝A→B＋B→C＋C→M＝A→M. 9 分 (4)由(2)知13(A→B＋A→D＋A→A1)＝13A→C1，在线段 AC1 上取点 G，使得 AG＝13AC1，即：13(A→B＋A→D＋A→A1)＝A→G. 12 分
人教版数学高二选修2-1课件空间向量与平行关系
B.l⊂α
C.l⊥α
D.l⊂α或l∥α
解析 ∵a·b＝0，∴l⊂α或l∥α.
解析答案
12345
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是 _②__③__.(填序号) ①A→B；②A—A→1；③B—1→B；④A—1—C→1. 解析 ∵AA1⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC， ∴A—A→1与B—1→B可以作为平面 ABC 的法向量.
12345
2.已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标
平面( C )
A.xOy平行
B.xOz平行为A→B＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB∥平面yOz.
解析答案
12345
3.若A(1,0，－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( A )
解析答案
返回
当堂检测
12345
1.已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量.若l1∥l2， 则( D )
A.x＝6，y＝15 C.x＝3，y＝15
B.x＝3，y＝125 D.x＝6，y＝125
解析 由 l1∥l2 得，23＝4x＝5y，解得 x＝6，y＝125.
解析答案
第三章 § 3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 空间向量与平行关系
学习 目标
1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行 问题. 2.会用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.
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知识梳理
知识点一 直线的方向向量和平面的法向量
《空间向量及其运算》课件10(新人教A版选修2-1)
2答案
练习 3⑴.在正方体 ABCD A1 B1C1 D1中 , E 、F 分别是 BB1 、 CD 的中点,求证: D1F 平面ADE .
证明: 设正方体的棱长为1,
1 则 AD ( 1,0,0), D1F (0, , 1), 1 2 AD D1F (1,0,0) (0, , 1) 0. 2 1
1 B C c a ， C O （ ab ）, 证明：设 C1 B1 a ， , 则 C1 D1 b ， C1C c 1 1 2 1 OD OD1 c （ ba ） c ,若存在实数 x , y ,使得 B1C xOD yOC1成立， 2
1 1 1 y （ ab ） （x y ） a （x y ） b xc 2 2 2
引入
知识要点
练习1
练习2
练习 3
本课小结
z
以 i , j , k 为单位正交基底
P ( x, y, z )
k
z
建立空间直角坐标系O—xyz
p xi y j zk
i , j , k 为基底 ( x, y, z ) p
x
i
O
y
j
y 记
p ( x, y, z )
x
OP ( x, y, z ) P( x, y, z )
注:①、②、③式都称为平面的向量表示式, 即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
思考2
思考 2(课本 P95 思考) B、 C, 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A 、 满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 B、 C 是否共面? x y z 1 )的点 P 与点 A 、
人教A版高中数学选修2-1课件3.1.4空间向量的坐标表示(2))
说明:
z
☆我们一般建立的坐标系
都是右手直角坐标系.
o
y
x
空间直角坐标系的画法:
z 1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴．
2.y轴和z轴的单位长度相同， 1350 o
x轴上的单位长度为y轴（或z
1350
y
轴）的单位长度的一半． x
1、空间向量的坐标表示：
给定一个空间直角坐标系和向量 p，且设 i、j、k
样就建立了空间直角坐
o
标系０－xyz．
y
x 点Ｏ叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做 坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标 平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和Zox 平面．
在空间直角坐标系中,让 右手拇指指向x轴的正方向， 食指指向y轴的正方向，若中 指指向z轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
例3.证明：向量a (8,3,13)b (2,3,5), c (1,3,1)共面
例4.在直三棱柱ABC A1B1C1中,
ACB是直角，M , N分别是AC,
A1B1的中点，ห้องสมุดไป่ตู้证：MN // 平面BCC1B1
练习：
已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1，底面 边长是 2，棱长为1，A1C1与B1D1的交 点为M，求证：DM // 平面ACB1.
设a (a1, a2, a3),b (b1,b2,b3)
则:
a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 )
a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 )
a (a1, a2 , a3 )
a // b a1 b1, a2 b2, a3 b3( R)
高中数学选修2-1精品课件14：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
考点一 基底的判断 例1 若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b ＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底． 解：假设a＋b，b＋c，c＋a共面， 则存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)， ∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底．∴a，b，c不共面．
问题1：这三个向量能作为该空间的一组基底吗？ 提示：能． 问题2：若每层楼高3米，请把“发生火灾”的位置由 向量p表示出来？ 提示：p＝500e1＋400e2＋15e3.
1．空间向量基本定理 定理：如果三个向量a，b，c 不共面 ，那么对空间 任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使 得 p＝xa＋yb＋zc ，其中 {a，b，c} 叫做空间的一 个基底， a，b，c 都叫做基向量．
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
在一次消防演习中，一消防官兵特别行动小组接到命令， 由此往南500米，再往东400米处的某大厦5楼发生火 灾．行动小组迅速赶到现场，经过1个多小时的奋战，终 于将大火扑灭．火灾的发源地点是由消防官兵驻地“南 500米”、“东400米”“5楼”三个量确定. 设e1是向南的单 位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3 不共面，
－3x＋y＝1，
∴x＋y＝2， 2x－y＝－1.
此方程组无解，
即不存在实数 x,y 使OuuAr＝xOuuBr＋yOuuCur.
∴OuuAr ，OuuBr ，OuuCur 不共面．
故{OuuAr ，OuuBr ，OuuCur }能作为空间的一个基底.
人教版高中数学选修课程课件选修2-1空间向量
D` A`
C` B`
出 AB AD AA`,
D
C
AB AA` AD表示
A
的向量.从中你能体
B
图3.1 6
会向量加法运算的
交换律及结合律吗?一般地,三个不共面的向
量的和与这三个向量有什么关系?
OB OA AB a b,CA OA OC a b. 空间向量的加法运算满足交换律及结合律:
a b b a,a b c a b c.
你能证明空间向量的交换律及结合律吗?证明结 合律时,与证明平面向量的结合律有什么不同?
探究 如图3.1 6, 在四棱柱ABCD A`B`C `D`中, 分 别 标
角形钢板所受的三个力F1, F2, F3,正方体的三条
棱 所 表 示 的 三 个 向 量OA, OB, OC都 是 空 间 向 量.
与 平 面 向 量 一 样,空 间 向 量 也
B
用 有 向 线 段 表 示.有 向 线 段 的 长 度 表 示 向 量 的 模.如 图3.1 3,向 量 的 起 点 是A,终 点 是B,则
F3
F1
F2
C
A
O
C
A
B
500kg
图3.3 1
O
B
图3.3 2
图3.3 1中的三个力F1, F2, F3是既有大小又有方向 的量,它们是不在同一平面内的向量.因此, 解决这
个问题需要空间向量的知识.事实上,不在同一平 面 内 的 向 量 随 处 可 见.例 如, 正 方 形 中 过 同 一 顶 点
第三章 空间向量与立体几何
向量是一种重要的数学工具 ,它不仅在解决几何 问题中有着广泛的应用,而且在物理学、工程 科 学 等 方 面 也 有 着 广 泛 的应 用. 向 量 是 近 代 数 学 的 基本概念之一,它的初步知识及其应用, 早已列入 近代数学的基础部分. 通过学习平面向量, 我们知道,平面上的点、直线 可以通过向量及其运算表示出来,它们之间的关 系 , 如 平 行 、 垂 直 、 夹 角 、距离 等可 以 通过 向 量 运算而得到, 从而有关平面图形的问 间向量,学习空间向量的概念、运算、坐标表示, 并利用空间向量的运算解决有关立体几何问题.
高中数学选修2-1课件3.1空间向量的运算
求证:点 M 在直线 OE 上. G
E
分析:
C
F
证三点共线 可尝试用向量来分
B M
D
析.
O
N
A
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 ,且 OP xOA yOB，求 x y的值.
29
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 ,且 OP xOA yO，B 求 x 的y 值.
a
O
A
a
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
bC
p
P
AaB
32
思考 1:如图,平面 为经过已知点 A 且平行两不共线
反过来,如果已知 OP xOA yOB ,且 x y 1 , 那么 A 、B 、P 三点共线吗?
30
例4、已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是 边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且 求证C：F 四23边C形B,CEFGGH23是C梯D.形。
31
三.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
⑴∵ AP // aO,∴存即在，唯一P,A实,数B三t 点R ,共使线AP。 t或a 表. 示
∴ 点 P 在直线 l为上： 唯O一P实数(1ttR)O, 使AAPtO tBa. ①
⑵对于任意一点 O,有 AP OP OA
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t a ② ⑶点 B 在直线 l 上,且 AB a
人教A版高中数学选修2-1课件教学空间向量(2)
相同或相反的非零向量叫做共线向量(或平 行向量),记作 零向量与任意向量共线.
2.平面向量共线定理:
一、共线向量: 1.空间共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 零向量与任意向量共线.
2.空间共线向量定理:对空间任意两个
向量 数使 的
C B
解：
A
练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别 是BC、CD边的中点,化简：
A
D G B M
C
练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边 的中点,化简：
A
(2)原式
D
G B M
C
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面
AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
1.下列说法正确的是：D
A.在平面内共线的向量在空间不一定共 线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共 线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共 线
D.在空间共线的向量在平面内一定共线
E.在平面内,任意两个向量一定共线
推论:如果 为经过已知点A且平行
已知非零向量 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t 其中向量 叫做直线 的方向向量.
P
a
B
P
A
以上叫向量参数表示式
中点公式： 若P为AB中点, 则
O
推论给出了点P在直线AB上的三个充要条件:
中点公式：若P为AB中点, 则
此推论应用于证明三点共线
2.若对任意一点O，
，
则x+y=1是P、A、B三点共线的： D
A.充分不必要条件
2.平面向量共线定理:
一、共线向量: 1.空间共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 零向量与任意向量共线.
2.空间共线向量定理:对空间任意两个
向量 数使 的
C B
解：
A
练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别 是BC、CD边的中点,化简：
A
D G B M
C
练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边 的中点,化简：
A
(2)原式
D
G B M
C
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面
AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
1.下列说法正确的是：D
A.在平面内共线的向量在空间不一定共 线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共 线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共 线
D.在空间共线的向量在平面内一定共线
E.在平面内,任意两个向量一定共线
推论:如果 为经过已知点A且平行
已知非零向量 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t 其中向量 叫做直线 的方向向量.
P
a
B
P
A
以上叫向量参数表示式
中点公式： 若P为AB中点, 则
O
推论给出了点P在直线AB上的三个充要条件:
中点公式：若P为AB中点, 则
此推论应用于证明三点共线
2.若对任意一点O，
，
则x+y=1是P、A、B三点共线的： D
A.充分不必要条件
人教版数学高中二年级选修2-1第三章第一节空间向量及其运算复习(共24张PPT)教育课件
为 60°.
MN ＝ AN － AM ＝1( AC ＋ AD)－1 AB＝1(q＋r－p)，
2
22
∴ MN ·AB＝1(q＋r－p)·p 2
＝1(q·p＋r·p－p2) 2
＝1(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. 2
∴ MN ⊥ AB.即 MN⊥AB.
(2)求 MN 的长； 解由(1)可知 MN ＝1(q＋r－p)，
些
计
划
，
有
的
计
划
《
几
乎
不
去
做
或
者
做
了
坚
持
不
了
多
久
。
其
实 我
成
功
的
关
键
是
做
很
坚
持
。
上
帝
没
有
在
我 是
们
出
生
的
时
候
给
我
们
什
么
额
外
的
装
备
， 算
也
A．2，1 2
B．－1，1 32
C．－3,2
D．2,2
3、已知 P(－2,0,2)，Q(－1,1,2)，R(－3,0,4)，设 a＝ PQ ，b＝ PR ，c＝ QR ，
若实数 k 使得 ka＋b 与 c 垂直，则 k 的值为___2_____．
•
•
•
•
•
•
《
极
，
那有 就些 在人 于经 坚常 持做 。一
(1)证明 设C→A＝a，C→B＝b，CC→′＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且 a·b＝b·c＝c·a＝0，
人教版数学高中二年级选修2-1第三章第一节空间向量及其运算复习课件(共24张PPT)
为 60°.
MN ＝ AN － AM ＝1( AC ＋ AD)－1 AB＝1(q＋r－p)，
2பைடு நூலகம்
22
∴ MN ·AB＝1(q＋r－p)·p 2
＝1(q·p＋r·p－p2) 2
＝1(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. 2
∴ MN ⊥ AB.即 MN⊥AB.
(2)求 MN 的长； 解由(1)可知 MN ＝1(q＋r－p)，
(2)解 AC→′＝－a＋c，C→E＝b＋1c， 2
∴|AC→′|＝ 2|a|，|C→E|＝ 5|a|. 2
AC→′·C→E＝(－a＋c)·（b＋1c）＝1c2＝1|a|2， 2 22
∴cos〈A→C′，C→E〉＝
1|a|2 2
＝ 10.
2· 5|a|2 10
2
即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为 10. 10
A．2，1 2
B．－1，1 32
C．－3,2
D．2,2
3、已知 P(－2,0,2)，Q(－1,1,2)，R(－3,0,4)，设 a＝ PQ ，b＝ PR ，c＝ QR ，
若实数 k 使得 ka＋b 与 c 垂直，则 k 的值为___2_____．
(1)证明 设C→A＝a，C→B＝b，CC→′＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且 a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴C→E＝b＋1c，A→′D＝－c＋1b－1a，
2
22
∴C→E·A→′D＝－1c2＋1b2＝0. 22
∴C→E⊥A→′D，即 CE⊥A′D．
空间向量的数量积及其应用
【训练 3】 如图，在直三棱柱 ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′， ∠ACB＝90°，D，E 分别为 AB，BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值．
人教A版高中数学选修2-1课件-空间向量运算的坐标表示
＝12a2－12a2cos
60°＋a2cos
60°－12a2cos
60°
＝12a2－a42＋a22－a42＝a22．
又∵|A→N|＝|M→C|＝ 23a，
∴A→N·M→C＝|A→N||M→C|cos θ＝ 23a× 23a×cos θ＝a22．
∴cos θ＝23．
∴向量
A→N
②设P(x，y，z)，则A→P＝(x－2，y＋1，z－2)．
x－2＝3， ∵A→P＝12(A→B－A→C)＝3，32，－2，∴y＋1＝32，
z－2＝－2，
解得x＝5，y＝21，z＝0，则点P的坐标为5，12，0．
1．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减 去起点坐标．
2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量 积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法 公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
m＋1＝3λ，
∴n－2＝－λ， －2＝λ，
解得λ＝－2，m＝－7，n＝4．
∴m＋n＝－3．]
4．已知a＝(－ 2，2， 3)，b＝(3 2，6,0)，则|a|＝________， a与b夹角的余弦值等于________．
3
6 9
[|a|＝ － 22＋22＋ 32＝ 9＝3，
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝3× －36＋2122＋62＝ 96．]
(4)∵2a＝(4，－2，－4)， ∴2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4) ＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14． (5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8．
利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题
(人教版)高中数学选修2-1课件：第3章 空间向量与立体几何3.1.3
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
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2．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中， 求异面直线BA1与AC所成的角．
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谢 谢 观 看！
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空间向量的数量积
λ(a·b) b·a a·b＋a·c
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a·b＝0
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对空间向量的数量积的理解 (1)数量积是数量(数值)，可以为正，可以为负，也可以 为零； (2)a·b＝0⇔a⊥b(a，b为非零向量)； (3)向量a，b的夹角〈a，b〉与点的坐标(a，b)不同； (4)a·b的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
人教A版高中数学选修2-1课件空间正交基向量
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
3.空间向量基本定理 a、b、c不共面 p xa yb zc ( x、y、z存在且唯一) {a,b,c} : 基底 a,b,c:基向量
特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，
还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
2019/5/25
二、距离与夹角
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
| a |2 a a a12 a22 a32
| b |2 b b b12 b22 b32
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1) 、
a (a1,a2,a3),( R) ;
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
a // b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
a b a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
（2）由于可视为与0任意一个非零向量共线，与任意两
个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们
都不是。 0
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一 点P，都存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使
OP xOA yOB zOC.
点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
3.空间向量基本定理 a、b、c不共面 p xa yb zc ( x、y、z存在且唯一) {a,b,c} : 基底 a,b,c:基向量
（金戈铁骑 整理制作）
3.空间向量基本定理 a、b、c不共面 p xa yb zc ( x、y、z存在且唯一) {a,b,c} : 基底 a,b,c:基向量
特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，
还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
2019/5/25
二、距离与夹角
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
| a |2 a a a12 a22 a32
| b |2 b b b12 b22 b32
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1) 、
a (a1,a2,a3),( R) ;
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
a // b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
a b a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
（2）由于可视为与0任意一个非零向量共线，与任意两
个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们
都不是。 0
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一 点P，都存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使
OP xOA yOB zOC.
点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
3.空间向量基本定理 a、b、c不共面 p xa yb zc ( x、y、z存在且唯一) {a,b,c} : 基底 a,b,c:基向量
高中数学人教A版选修2-1课件3.1.4空间向量的正交分解及其坐标运算(系列三)
∴O→E＝12(O→A＋O→B)， C→G＝2C→E＝2(O→E－O→C)
33 ∴O→G＝O→C＋C→G＝ O→C＋2(O→E－O→C)＝
3 13(O→A＋O→B＋O→C) ∴λ＝3.
答案：3
5．如图 2，四棱锥 P—OABC 的底面为一矩形， 设O→A＝a，O→C＝b，O→P＝c，E、F 分别是 PC 和 PB 的中点，用 a，b，c 表示B→F、B→E、A→E、E→F.
D．既不充分也不必要条件
解析：当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底， 否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为 非零向量．
答案：B
2．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b， q＝a－b构成基底的向量是( )
A．a
B．b
C．a＋2b
有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底的概念
如果三个向量a、b、c不共面，那么空间所有向量组成的集合 就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R}这个集合可以看作是由 向 量 a 、 b 、 c 生 成 的 ， 我 们 把 {a ， b ， c} 叫 做 空 间 的 一 个 基 底．a、b、c叫做基向量．空间任何三个不共面的向量都可构 成空间的一个基底．
人教版 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算
空间向量的正交分解及其坐标 表示
学习目标
1.了解空间向量的正交分解的含义． 2．掌握空间向量的基本定理，并能用空间向量基本定理
解决一些简单问题． 3．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出
向量的坐标.
新知导入
1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在
人教A版高中数学选修2-1课件教学空间向量基本定理(4)
不共面
，那么对空间任一向量
，存
在一个唯一Hale Waihona Puke 有序实数对 x、y、z，使
A
E
B O
C
D
推论：设点O、A、B、C是不共 面的四点，则对空间任一点P，都 存在唯一的有序实数对 x、y、z 使
O
注：空间任意三个不
P
共面向量都可以构成
C
空间的一个基底 A
如：
PB P
例：已知空间四边形OABC，对角线
OB、AC，M和N分别是OA、BC的中点 ，点G在MN上，且使MG=2GN，试用 基底
4.已知空间四边形OABC，点M、N分别是
边OA、BC的中点，且
，
，
，用
表示向量 O
M A
C
N B
5.已知平行六面体OABC－O’A’B’C’,且
， ， ，用 表示如下
向量:(1)
；
(2)
A/
（点G是侧面BB’C’C的中心）
O/
C/
B/
O A
G
C B
高中数学课件
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9.5 空间向量及其运算
3.空间向量基本定理
空间四点P、M、A、B共面 实数对
一.复习平面向量的基本定理
如果 ， 是平面内两个不共
线向量，那么对于这一平面内 的任一向量 ，有且只有一
对实数t1，t2使
M
C 对向量a进行分
解：
O N
二、空间向量的基本定理
如果三个向量
表示向量
O 解：在△OMG中，
M
GC
A
N
B
练习 1.已知向量
是空间的一个基底，从
中选哪一个向量，一定可以与向量
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O
D
C
A
B
H
G
OE
OF
OG
OH
E
k,
OA OB OC OD
求证 : E, F,G, H四点共面.
F
图3.1 10
分析 欲证E, F,G, H四点共面,只需证明EH, EF,
EG 共面.下面我 们利用AD, AB, AC 共面来证明.
证明 因为OE OF OG OH k, OA OB OC OD
O
D
C
A
B
H
G
EF EH.
E
F
由向量共面的充要条件 图3.1 10
知E, F,G, H 四点共圆.
选 择 恰 当 的 向 量 表 示 问题 中 的 几 何 元 素, 通
过 向 量 运 算 得 出 几 何 元素 的 关 系, 这 是 解 决
立体几何问题的常用方法.
数对x, y, 使p xa yb.
如图3.1 9,空间一点P 位于 平面ABC内的充要条件是存
P
Cp
b A aB
O
图3.1 9
在有序实数x, y, 使 AP x AB y AC;或对空间任
意一点O, 有OP OA x AB y AC. ③
③ 式 称 为 空 间 平 面ABC的 向 量 表 示 式.由 此 可 知,空 间 中任意平面由空间一点及两个不共线向量惟一确定. 利 用 空 间 向 量 共 面 的 条件, 你 能 证 明 这 个 结 论 吗?
思考 1.类似于利用向量判断三点共线, 如何利用向量判断四点共面? 2.已知空间任意一点O 和不共线三点A,
B,C,满足向量关系式OP xOA yOB
zOC 其中x y z 1的点P与A, B,C
是否共面?
例1 3.1 10,已知平行四 边 形ABCD, 过 平 面AC外 一 点O作 射 线OA, OB, OC , OD, 在四条射线上分别取 点E, F,G, H ,并且使
探究 对空间任意两个向量a与b,如果a b, a与
b有什么位置关系?反过来, a与b有什么位置关系
时, a b?
类似于平面向量共线的充要条件, 对空间任
意两个向量a,bb 0, a // b的充要条件是存
在实数,使a b.
a
Pl
如图3.1 8 ,l 为经过已 A B 知点A且平行于已知非
所以 OE kOA,OF kOB,
O
OG kOC ,OH kOD.
由于四边形ABCD是平
D
C
行四边形, 所以
A
B
H
G
AC AB AD.
因此 EG OG OE
E
F
图3.1 10
kOC kOA k AC
k AB AD k OB OA OD OA
OF OE OH OE
lanar vectors).我们知道,空间任意两个向量总是
共面的, 但空间任意三 个向量既 可能是共面的,
也可能是不共面的如本节引例中的向量.那么,
什么情况下三个向量共面呢?
①和②都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间 任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定. 利 用 空 间 向 量 共 线 的 条件, 你 能 证 明 这 个 结 论 吗?
零向量a的直线, 对空间 任 意 一 点O, 点P在 直 线
O 图3.1 8
l上的充要条件是存在实数t, 使OP OA ta, ①
其 中 向 量a叫 做 直 线l的方 向 向 量direction vector.
在l上取AB a,则①式可化为OP OA t AB. ②
由 此 可 见, 可 以 利 用 向 量 之 间 的 关系 判 断 空 间 任 意 三 点 共 线, 这 与 利 用 平 面 向 量 判 断平 面 内 三点共线是一样的. 平行于同一个平面的向量任意两个不共线向 量a,b,如果p xa yb,那么向量p 与 向 量a, b有 什 么 位 置 关 系? 反 过 来,向 量p与a, b有 什 么 位 置 关 系 时, p xa yb ?
如 果 两 个 向 量a, b 不 共 线, 那 么向量 p与向量a,b共面的充 要条件是存在惟一的有序实
空间向量数乘运算满足分配律及结合律:
分配律: a b a b, 结合律: a a.
类似平面向量数乘运算的分配律及结合律, 请你 证明这两个运算律.
如 果 表示 空 间 向 量 的 有 向 线段 所 在的 直线
互 相 平 行 或 重 合, 则 这 些 向 量 叫 做共 线 向 量
colliner vector或平行向量 parallel vectors.
3.1.2 空间向量的数乘运算
a
a 0
图3.1 7
a 0
a
与 平 面 向 量 一 样,实 数 与 空 间 向 量a的
乘 积a 仍 然 是 一 个 向 量, 称 为向量的数 乘 (multiplication of vectorby scalar) 运
算.如 图3.1 7,当 0 时, a 与 向 量a 方 向 相 同;当 0时, a 与a 方 向 相 反;a的 长 度 是a的 长 度 的| | 倍.