初中数学应用题复习专题

四、二次函数型 例 4. （河北省）研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为了投资商在甲、乙两
地生产并销售该产品提供了如下成果： 第一年的年产量为 x（吨） 时，所需的全部费用 y（万 元）与 x 满足关系式 y 1 x 2 5x 90 ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每
10
吨的售价 P甲 、 P乙 （万元）均与 x 满足一次函数关系。 （注：年利润 =年销售额 -全部费用）
1 x 2 14x 万元， 20
W甲
3 x 2 9x 90 。
20
（ 2）在乙地生产并销售时，年利润
W乙
1 x 2 nx ( 1 x 2 5x 90)
10
10
1 x 2 ( n 5) x 90 5
4
1 ( 90) ( n 5) 2
由
5
35,
4
1
5
解得 n=15 或 -5。
经检验， n=-5 不合题意，舍去，所以 n=15 。
（ 1）成果表明，在甲地生产并销售 x 吨时， P甲
1 x 14 ，请你用含 x 的代数式表 20
示甲地当年的年销售额，并求年利润 W甲 （万元）与 x 之间的函数关系式；
（ 2）成果表明，在乙地生产并销售 x 吨时， P乙 年的最大年利润为 35 万元。试确定 n 的值；
1 x n （ n 为常数），且在乙地当 10
(1) 共有几种符合题意的购票方案 ?写出解答过程； (2) 根据计算判断：哪种购票方案更省钱 ? 解： (1)根据题意，得
x 15 x 2
600x 120(15 x ) 5000 解得 5 x 20
3 所以满足条件的 x 为 5 或 6。 所以共有两种购票方案： 方案一： A 种票 5 张， B 种票 10 张。 方案二： A 种票 6 张， B 种票 9 张。 （ 2）方案一购票费用为
①顺水速度＝静水速度＋水速
②逆水速度＝静水速度－水速
顺水速度－逆水速度＝ 2×水速
（ 7）比例类应用题：若甲、乙的比为 2： 3，可设甲为 2x，乙为 3x。
（ 8）数字类应用题基本关系：若一个三位数，百位数字为 为 c，则这三位数为： 100a 10 b c 。
a，十位数字为 b，个位数字
（ 9）浓度类问题： 溶质＝溶液×浓度 （ 浓度
x 41 解得
y 32
答：略 （ 2）由 3( 4 41 5 32) 972 1000 知，即使工厂满负荷全面转产，也不能如期完成
任务．
可以从加班生产、 改进技术等方面进一步挖掘生产潜力， 尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献．
或动员其他厂家支援等， 想法
二、不等式型 例 2、(青岛市 )2008 年 8 月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行．观看帆
3 条童装生产线，一天可生产帐篷 178 顶．
(1) 每条成衣生产线和童装生产线每天生产帐篷各多少顶
?
(2) 工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务 ?如果你是厂长，你会怎样体现你的社
会责任感？
解： (1)设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷
x、y 顶，则
x 2y 105 2x 3y 178
y 500x 400(16 x) 300(15 x) 600(x 3) 400x 9100. 因为 x 3 0 且 15 x 0 ， 即3 x 5。 又 y 随 x 增大而增大， 所以当 x=3 时，能使运这批挖掘机的总费用最省。 运送方案是 A 地的挖掘机运往甲地 3 台，运往乙地 13 台； B 地的挖掘地运往甲地 12 台，运往乙地 0 台。
x 800
, 解得
2x y 2450
y 850
答：略 （ 2）设租用甲型汽车 z 辆，由题意，得
16z 18( 6 z) 100 800z 850(6 z) 5000
解得 2 z 4。
因为 z 是整数，所以 z=2 或 3 或 4． 所以共有 3 种方案，分别是 方案一：租用甲型汽车 2 辆，租用乙型汽车 4 辆； 方案二：租用甲型汽车 3 辆，租用乙型汽车 3 辆； 方案三：租用甲型汽车 4 辆，租用乙型汽车 2 辆． 三个方案的费用依次为 5000 元， 4950 元， 4900 元，所用最低费用为
(1)求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；
（ 1）等积类应用题的基本关系式：变形前的体积（容积）＝变形后的体积（容积）
。
（ 2）调配类应用题的特点是：调配前的数量关系，调配后又有一种新的数量关系。
（ 3）利息类应用题的基本关系式：本金×利率＝利息，本金＋利息＝本息。
（ 4）商品利润率问题：商品的利润率
商品利润 ，商品利润＝商品售价－商品进价。
4900 元．答：略．
八、不等式与函数结合型
例 8、 (武汉市 )某商品的进价为每件 30 元，现在的售价为每件 40 元，每星期可卖出 150 件．市场调查反映：如果每件的售价每涨 1 元 (售价每件不能高于 45 元 )，那么每星期少卖
10 件．设每件涨价 x 元 (x 为非负整数 )，每星期的销量为 y 件．
表2 测试成绩
奥运知识
甲
乙
丙
综合素质
85
60
70
75
80
60
解：（ 1）甲民主得分 =100× 25% × 2=50， 乙民主得分 =100 ×30%× 2=70， 丙民主得分 =100 ×40%× 2=80。
甲三项平均成绩 = 85 75 50 70 ， 3
乙三项平均成绩
60 80 70 70 ， 3
丙三项平均成绩
70 60 80 70 。 3
S甲2 3.5,S乙2 2.5, S丙2 1. 5 ，
所以 S甲2 S乙2 S2丙 ，而甲、乙、丙三项考查平均成绩相同，故选择丙最合适。 如果用极差说明选丙也给分。
（ 2）甲平均数 85 3 75 4 50 3 70.5 ， 343
乙平均数 60 3 80 4 70 3 71 ， 343
溶质 ，溶液
溶液
溶质 ），溶液＝溶质＋溶剂。
浓度
【题型汇总】
一、方程型
例 1、(长沙市 )“ 5·12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷．某服装厂原有
4 条成衣生
产线和 5 条童装生产线，工厂决定转产，计划用 3 天时间赶制 1000 顶帐篷支援灾区．若启
用 1 条成衣生产线和 2 条童装生产线， 一天可以生产帐篷 105 顶；若启用 2 条成衣生产线和
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〖知识点〗
列出方程 ( 组 ) 解应用题的一般步骤是：
(1) 弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个
( 或几个 ) 未知数 ;
(2) 找出能够表示应用题全部含义的一个 ( 或几个 ) 相等关系 ;
(3) 根据找出的相等关系列出需要的代数式，从而列出方程
( 或方程组 );
质测试，测试成绩 (百分制 )如表 2；之后在 100 人中对三人进行了民主推选，要求每人只推
选 1 人，不准弃权，最后统计三人的得票率如图
1，一票得 2 分．
(1) 请计算甲、乙、丙三人各自关于奥运知识，综合素质，民主推选三项考查得分的平 均成绩，并参考 1000 米测试成绩的稳定性确定谁最合适．
商品进价
（ 5）工程类应用题中的工作量并不是具体数量，因而常常把工作总量看作整体 中，工作效率＝工作总量÷工作时间。
1，其
（ 6）行程类应用题基本关系：路程＝速度×时间。
相遇问题：甲、乙相向而行，则：甲走的路程＋乙走的路程＝总路程。
追及问题：甲、乙同向不同地，则：追者走的路程＝前者走的路程＋两地间的距离。
(1) 求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元
?
(2) 若荣昌公司计划此次租车费用不超过 5000 元，通过计算求出该公司有几种租车方案 ?
请你设计出来，并求出最低的租车费用．
解： (1)设租用一辆甲型汽车的费用是 x 元，租用一辆乙型汽车的费用是 y 元，由题意，
得
x 2y 2500
(4) 解这个方程 ( 或方程组 ) ，求出未知数的值 ;
(5) 写出答案 ( 包括单位名称 ) ．
〖考查重点与常见题型〗 考查列方程 （组）解应用题的能力， 其中重点是列一元二次方程或列分式方程解应用题，
习题以工程问题、行程问题为主，近几年出现了一些经济问题，应引起注意
应用题的类型和每个类型所用到的基本数量关系：
船比赛的船票分为两种： A 种船票 600 元／张， B 种船票 120 元／张． 某旅行社要为一个旅 行团代购部分船票，在购票费不超过 5000 元的情况下，购买 A 、B 两种船票共 15 张，要求 A 种船票的数量不少于 B 种船票数量的一半． 若设购买 A 种船票 x 张，请你解答下列问题：
600 5 120 10 4200( 元
方案二购票费用为
600 6 120 9 4680( 元)
所以方案一更省钱．
三、一次函数型
例 3、 (乌鲁木齐市 )某公司在 A 、 B 两地分别库存挖掘机 16 台和 12 台，现在运往甲、 乙两地支援建设，其中甲地需要 15 台，乙地需要 13 台．从 A 地运一台到甲、乙两地的费
(2)如果对奥运知识，综合素质、民主推选分别赋予
3，4， 3 的权，请计算每人三项考
查的平均成绩，并参考 1000 米测试的平均成绩确定谁最合适．
表1
侯选人 1000 米测试成绩（秒）平均数
甲 185 188 189 190 188
乙 190 186 187 189 188
丙 187 188 187 190 188 测试项目
丙平均数 70 3 60 4 80 3 69 。 343
所以乙平均数 >甲平均数 >丙平均数，而三人的平均测试成绩相同，所以选择乙最合适。