人教版九年级数学上册 24.1 圆的有关性质(含答案)

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24.1.1 圆九年级上册数学人教版

A
圆中以A为一个端点的优弧有四条，
劣弧有四条．
D E
O B
C F
课堂检测
2. 一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm, 则这个圆的半径是 7cm或3cm.
课堂检测
3.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例. (1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径； (5)半圆是最长的弧； (6)直径是最长的弦； (7)长度相等的弧是等弧.
圆的集合定义
D
圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点的集合．
r
A
C
r O· r
r r
E
B
探究新知
圆的基本性质
同圆半径相等.
•o
探究新知
【想一想】圆是一条曲线,还是一个曲面? 提示:圆是一条封闭的曲线,它是由到圆心的
距离等于半径的点组成的曲线,而不是曲面.
探究新知素养考点 1 圆的定义的应用
人教版数学九年级上册
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
导入新知
观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
导入新知
骑车运动
看了此画,你有何想法?
【思考】车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形可以吗？
素养目标
2. 掌握弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.
容易看出，等圆是两个半径相等的圆.
等弧:
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
A ·O C
A ·O1 C
探究新知【想一想】长度相等的弧是等弧吗？如图，如果A︵B和C︵D的拉直长度都是10cm，平移并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？

九年级数学： 24.1 圆的有关性质(同步练习题)( 含答案)

24．1圆的有关性质24．1.1圆1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O__旋转一周___，__另一个端点A___所形成的图形叫做圆．这个固定的端点O叫做__圆心___，线段OA叫做__半径___．2．连接圆上任意两点间的线段叫做__弦___．圆上任意两点间的部分叫做__弧___．直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦．3．在同圆或等圆中，能够__互相重合___的弧叫等弧．4．确定一个圆有两个要素，一是__圆心___，二是__半径___，圆心确定__位置___，半径确定__大小___．知识点1：圆的有关概念1．以已知点O为圆心，已知长为a的线段为半径作圆，可以作( A)A．1个B．2个C．3个D．无数个2．下列命题中正确的有( A)①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，图中弦的条数为( B)A．1条B．2条C．3条D．4条4．过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为( A)A．1条B．2条C．3条D．无数条5．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，则A，B，C，D四个点是否在同一个圆上？若在，说出圆心的位置，并画出这个圆．解：在，圆心是线段BD的中点．图略知识点2：圆中的半径相等6．如图，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为( C)A．38°B．52°C．76°D．104°,第6题图),第7题图) 7．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝30°，那么∠BAD＝( D)A．45°B．60°C．90°D．30°8．如图，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长，分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF.解：由ASA证△BEO≌△CFO，∴OE＝OF，又∵OC＝OB，∴OC＋OE＝OB＋OF，即CE＝BF9．如图，点A，B和点C，D分别在两个同心圆上，且∠AOB＝∠COD.求证：∠C＝∠D.解：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB＋∠AOC＝∠COD＋∠AOC，即∠AOD＝∠BOC，又OA＝OB，OC＝OD，∴△AOD≌△BOC，∴∠C＝∠D10．M，N是⊙O上的两点，已知OM＝3 cm，那么一定有( D)A．MN＞6 cm B．MN＝6 cmC．MN＜6 cm D．MN≤6 cm11．如图，点A，D，G，M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形．设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式中正确的是( B)A．a＞b＞c B．a＝b＝cC．c＞a＞b D．b＞c＞a12．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为( C)A．50°B．60°C．70°D．80°,第12题图),第13题图) 13．如图是张老师出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是( D)14．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为7，最小距离为1，则此圆的半径为__3或4___．15．如图，AB，CD为圆O的两条直径，E，F分别为OA，OB的中点．求证：四边形CEDF为平行四边形．解：∵AO＝BO，E，F分别是AO和BO的中点，∴EO＝FO，又CO＝DO，∴四边形CEDF为平行四边形16．如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．解：OE＝OF.证明：连接OA，OB.∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB，∴∠OBA ＝∠OAB.又∵AE＝BF，∴△OAE≌△OBF(SAS)，∴OE＝OF17．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E点，已知AB ＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．解：连接OD.∵AB为⊙O的直径，OC，OD为半径，AB＝2DE，∴OC＝OD＝DE，∴∠DOE＝∠E，∠OCE＝∠ODC.又∠ODC＝∠DOE＋∠E，∴∠OCE＝∠ODC＝2∠E.∵∠E ＝18°，∴∠OCE＝36°，∴∠AOC＝∠OCE＋∠E＝36°＋18°＝54°18．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是内接正方形．(1)求证：OC＝OF；(2)在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK，点G在AB上，H在半圆上，K在EF上．若正方形CDEF的边长为2，求正方形FGHK的面积．解：(1)连接OD，OE，则OD＝OE，又∠OCD＝∠OFE＝90°，CD＝EF，∴Rt△ODC ≌Rt△OEF(HL)，∴OC＝OF(2)连接OH，∵CF＝EF＝2，∴OF＝1，∴OH2＝OE2＝12＋22＝5.设FG＝GH＝x，则(x＋1)2＋x2＝5，∴x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2(舍去)，∴S ＝12＝1正方形FGHK24．1.2 垂直于弦的直径1．圆是__轴对称___图形，任何一条__直径___所在的直线都是它的对称轴．2．(1)垂径定理：垂直于弦的直径__平分___弦，并且__平分___弦所对的两条弧； (2)推论：平分弦(非直径)的直径__垂直___于弦并且__平分___弦所对的两条弧．3．在圆中，弦长a ，半径R ，弦心距d ，它们之间的关系是__(12a)2＋d 2＝R 2___．知识点1：认识垂径定理 1．(2014·毕节)如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是( B ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3,第1题图),第3题图),第4题图)2．CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB ＝10，CD ＝8，则BE 的长是( C )A ．8B ．2C ．2或8D ．3或73．(2014·北京)如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A ＝22.5°，OC ＝4，则CD 的长为( C )A ．2 2B ．4C ．4 2D ．8 4．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点M ，AM ＝18，BM ＝8，则CD 的长为__24___．知识点2：垂径定理的推论5．如图，一条公路弯道处是一段圆弧(图中的弧AB)，点O 是这条弧所在圆的圆心，点C 是AB ︵的中点，半径OC 与AB 相交于点D ，AB ＝120 m ，CD ＝20 m ，则这段弯道的半径是( C )A ．200 mB ．200 3 mC ．100 mD ．100 3 m,第5题图) ,第6题图)6．如图，在⊙O 中，弦AB ，AC 互相垂直，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则四边形OEAD 为( C )A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．梯形知识点3：垂径定理的应用7．如图是一个圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，若水面AB 宽为8 cm ，水的最大深度为2 cm ，则输水管的半径为( C )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm,第7题图) ,第8题图)8．古题今解：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AE ＝1寸，CD ＝10寸，则直径AB 的长为__26___寸．9．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB 宽为2米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米？解：连接OA.∵CD ⊥AB ，且CD 过圆心O ，∴AD ＝12AB ＝1米，∠CDA ＝90°.在Rt△OAD 中，设⊙O 的半径为R ，则OA ＝OC ＝R ，OD ＝5－R.由勾股定理，得OA 2＝AD 2＋OD 2，即R 2＝(5－R)2＋12，解得R ＝2.6，故圆拱形门所在圆的半径为2.6米10．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是( C )A ．2.5B ．3.5C ．4.5D ．5.5,第10题图) ,第11题图)11．(2014·黄冈)如图，在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB 于点E ，若∠BAD ＝30°，且BE ＝2，则CD ＝．12．已知点P 是半径为5的⊙O 内一点，OP ＝3，则过点P 的所有弦中，最长的弦长为__10___；最短的弦长为__8___．13．如图，以点P 为圆心的圆弧与x 轴交于A ，B 两点，点P 的坐标为(4，2)，点A 的坐标为(2，0)，则点B 的坐标为__(6，0)___．,第13题图) ,第14题图)14．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A ，B 重合)，过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为__4___．15．如图，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m ，弓形的高EF ＝1 m ，现计划安装玻璃，请帮工人师傅求出AB ︵所在⊙O 的半径r.解：由题意知OA ＝OE ＝r ，∵EF ＝1，∴OF ＝r －1.∵OE ⊥AB ，∴AF ＝12AB ＝12×3＝1.5.在Rt △OAF 中，OF 2＋AF 2＝OA 2，即(r －1)2＋1.52＝r 2，解得r ＝138，即圆O 的半径为138米16．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A ，B ，C.(1)用尺规作图法找出BAC ︵所在圆的圆心；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC 是等腰三角形，底边BC ＝8 cm ，腰AB ＝5 cm ，求圆片的半径R.解：(1)分别作AB ，AC 的垂直平分线，其交点O 为所求圆的圆心，图略 (2)连接AO交BC 于E.∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC ，BE ＝12BC ＝4.在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝52－42＝3.连接OB ，在Rt △BEO 中，OB 2＝BE 2＋OE 2，即R 2＝42＋(R －3)2，解得R ＝256，即所求圆片的半径为256cm17．已知⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24 cm ，CD ＝10 cm ，则AB ，CD 之间的距离为( D )A ．17 cmB ．7 cmC ．12 cmD ．17 cm 或7 cm18．如图，CD 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点F ，AO ⊥BC ，垂足为E ，BC ＝2 3. (1)求AB 的长； (2)求⊙O 的半径．解：(1)连接AC ，∵CD 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴AF ＝BF ，∴AC ＝BC.延长AO 交⊙O 于G ，则AG 为⊙O 的直径，又AO ⊥BC ，∴BE ＝CE ，∴AC ＝AB ，∴AB ＝BC ＝23 (2)由(1)知AB ＝BC ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴∠OAF ＝30°，在Rt △OAF 中，AF ＝3，可求OA ＝2，即⊙O 的半径为224．1.3 弧、弦、圆心角1．圆既是轴对称图形，又是__中心___对称图形，__圆心___就是它的对称中心． 2．顶点在__圆心___的角叫圆心角．3．在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的__弧___相等，且所对的弦也__相等___． 4．在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦中，有一组量是相等的，则它们所对应的其余各组量也分别__相等___．知识点1：认识圆心角1．如图，不是⊙O 的圆心角的是( D ) A ．∠AOB B ．∠AOD C ．∠BOD D ．∠ACD,第1题图) ,第3题图)2．已知圆O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为5 cm ，则弦AB 所对的圆心角∠AOB ＝__60°___．3．(2014·菏泽)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BD ︵的度数为__50°___．知识点2：弧、弦、圆心角之间的关系4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是BE ︵上的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 是( C )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°,第4题图) ,第5题图)5．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有( D ) ①AB ︵＝CD ︵； ②BD ︵＝AC ︵；③AC ＝BD ； ④∠BOD ＝∠AOC. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD 的度数为( C )A ．100°B ．110°C ．120°D ．135°,第6题图) ,第7题图)7．如图，在同圆中，若∠AOB ＝2∠COD ，则AB ︵与2CD ︵的大小关系为( C ) A .AB ︵＞2CD ︵ B .AB ︵＜2CD ︵ C .AB ︵＝2CD ︵D ．不能确定8．如图，已知D ，E 分别为半径OA ，OB 的中点，C 为AB ︵的中点．试问CD 与CE 是否相等？说明你的理由．解：相等．理由：连接OC.∵D ，E 分别为⊙O 半径OA ，OB 的中点，∴OD ＝12AO ，OE ＝12BO.∵OA ＝OB ，∴OD ＝OE.∵C 是AB ︵的中点，∴AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC ＝∠BOC.又∵OC＝OC ，∴△DCO ≌△ECO(SAS )，∴CD ＝CE9．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝__40°___．,第9题图) ,第10题图)10．如图，AB 是半圆O 的直径，E 是OA 的中点，F 是OB 的中点，ME ⊥AB 于点E ，NF ⊥AB 于点F.在下列结论中：①AM ︵＝MN ︵＝BN ︵；②ME ＝NF ；③AE ＝BF ；④ME ＝2AE.正确的有__①②③___．11．如图，A ，B ，C ，D 在⊙O 上，且AB ︵＝2CD ︵，那么( C )A ．AB ＞2CD B ．AB ＝2CDC ．AB ＜2CDD ．AB 与2CD 大小不能确定12．如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，且AC ＝BD ，求证：AB ＝CD.解：∵AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵，∴AB ︵＝CD ︵，∴AB ＝CD13．如图，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，交AD ，BC 于E ，F ，延长BA 交⊙A 于G ，求证：GE ︵＝EF ︵.解：连接AF ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠GAE ＝∠B ，∠EAF＝∠AFB.又∵AB ＝AF ，∴∠B ＝∠AFB ，∴∠GAE ＝∠EAF ，∴GE ︵＝EF ︵14．如图，AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵，∠COD ＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC ∥BD.解：(1)△AOC 是等边三角形．理由：∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°.又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形(2)∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°，∴∠BOD ＝180°－(∠AOC ＋∠COD)＝60°.∵OD ＝OB ，∴△ODB 为等边三角形，∴∠ODB ＝60°，∴∠ODB ＝∠COD ＝60°，∴OC ∥BD15．如图，在△AOB 中，AO ＝AB ，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交AB 于D ，交AO 于点E ，AD ＝BO.试说明BD ︵＝DE ︵，并求∠A 的度数．解：设∠A ＝x °.∵AD ＝BO ，又OB ＝OD ，∴OD ＝AD ，∴∠AOD ＝∠A ＝x °，∴∠ABO ＝∠ODB ＝∠AOD ＋∠A ＝2x °.∵AO ＝AB ，∴∠AOB ＝∠ABO ＝2x °，从而∠BOD＝2x °－x °＝x °，即∠BOD ＝∠AOD ，∴BD ︵＝DE ︵.由三角形的内角和为180°，得2x ＋2x ＋x ＝180，∴x ＝36，则∠A ＝36°16．如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝2，点A 在⊙O 上，AN ︵的度数为60°，点B 为AN ︵的中点，P 是直径MN 上的一个动点，求PA ＋PB 的最小值．解：作点B 关于MN 的对称点B′.因为圆是轴对称图形，所以点B′在圆上．连接AB′，与MN 的交点为P 点，此时PA ＋PB 最短，ABB ′⌒所对的圆心角为90°，连接OB′，则∠AOB′＝90°，∴AB ′＝AO 2＋OB′2＝2，∴PA ＋PB ＝AB ′＝2，即PA ＋PB 的最小值为224．1.4 圆周角1．顶点在__圆___上，并且两边和圆__相交___的角叫圆周角．2．在同圆或等圆中，__同弧___或__等弧___所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角___的一半．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧__相等___．3．半圆或直径所对的圆周角是__直角___，90°的圆周角所对的弦是__直径___． 4．圆内接四边形对角__互补___，外角等于__内对角___.知识点1：认识圆周角1．下列图形中的角是圆周角的是( B )2．在⊙O 中，A ，B 是圆上任意两点，则AB ︵所对的圆心角有__1___个，AB ︵所对的圆周角有__无数___个，弦AB 所对的圆心角有__1___个，弦AB 所对的圆周角有__无数___个．知识点2：圆周角定理3．如图，已知点A ，B ，C 在⊙O 上，ACB ︵为优弧，下列选项中与∠AOB 相等的是( A ) A ．2∠C B ．4∠B C ．4∠A D ．∠B ＋∠C,第3题图) ,第4题图)4．(2014·重庆)如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠ABC ＋∠AOC ＝90°，则∠AOC 的大小是( C )A ．30°B ．45°C ．60°D ．70°知识点3：圆周角定理推论5．如图，已知AB 是△ABC 外接圆的直径，∠A ＝35°，则∠B 的度数是( C ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．65°,第5题图),第6题图),第7题图)6．如图，CD ⊥AB 于E ，若∠B ＝60°，则∠A ＝__30°___．7．如图，⊙O 的直径CD 垂直于AB ，∠AOC ＝48°，则∠BDC ＝__24°___．8．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC.解：∵AB ＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵，∴∠BDC ＝∠ADB ，∴DB 平分∠ADC知识点4：圆内接四边形的对角互补9．如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的大小是( B )A ．115°B ．105°C ．100°D ．95°,第9题图) ,第10题图)10．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上顺次四点，若∠AOC ＝160°，则∠D ＝__80°___，∠B ＝__100°___.11．如图，▱ABCD 的顶点A ，B ，D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连接AE ，∠E ＝36°，则∠ADC 的度数是( B )A ．44°B ．54°C ．72°D ．53°,第11题图) ,第12题图)12．(2014·丽水)如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD.已知DE ＝6，∠BAC ＋∠EAD ＝180°，则弦BC 的弦心距等于( D )A .412B .342C ．4D ．3 13．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是圆上一点，∠BAC ＝70°，则∠OCB ＝__20°___．,第13题图),第14题图),第15题图)14．如图，△ABC 内接于⊙O ，点P 是AC ︵上任意一点(不与A ，C 重合)，∠ABC ＝55°，则∠POC 的取值范围是__0°＜∠POC ＜110°___．15．如图，⊙C 经过原点，并与两坐标轴分别交于A ，D 两点，已知∠OBA ＝30°，点A 的坐标为(2，0)，则点D 的坐标为．16．如图，在△ABC 中，AB ＝为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，且点D 为边BC 的中点．(1)求证：△ABC 为等边三角形； (2)求DE 的长．解：(1)连接AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵点D 是BC 的中点，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴AB ＝AC.又∵AB ＝BC ，∴AB ＝AC ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形 (2)连接BE ，∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∴BE ⊥AC.∵△ABC 是等边三角形，∴AE ＝EC ，即E 为AC 的中点．又∵D 是BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ＝12×2＝117．(2014·武汉)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是AB ︵上两点，AB ＝13，AC ＝5.(1)如图①，若点P 是AB ︵的中点，求PA 的长；(2)如图②，若点P 是BC ︵的中点，求PA 的长．解：(1)连接PB.∵AB 是⊙O 的直径，P 是AB ︵的中点，∴PA ＝PB ，∠APB ＝90°，可求PA ＝22AB ＝1322(2)连接BC ，OP 交于点D ，连接PB.∵P 是BC ︵的中点，∴OP ⊥BC ，BD＝CD.∵OA ＝OB ，∴OD ＝12AC ＝52.∵OP ＝12AB ＝132，∴PD ＝OP －OD ＝132－52＝4.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，由勾股定理可求BC ＝12，∴BD ＝12BC ＝6，∴PB ＝PD 2＋BD 2＝42＋62＝213.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB ＝90°，∴PA ＝AB 2－PB 2＝132－（213）2＝31318．已知⊙O 的直径为10，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D. (1)如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB ＝6，求AC ，BD ，CD 的长； (2)如图②，若∠CAB ＝60°，求BD 的长．解：(1)∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝∠BDC ＝90°.在Rt △CAB 中，AC ＝BC 2－AB 2＝102－62＝8.∵AD 平分∠CAB ，∴CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD.在Rt △BDC 中，CD 2＋BD 2＝BC 2＝100，∴BD 2＝CD 2＝50，∴BD ＝CD ＝52 (2)连接OB ，OD.∵AD 平分∠CAB ，且∠CAB ＝60°，∴∠DAB ＝12∠CAB ＝30°，∴∠DOB ＝2∠DAB ＝60°.又∵⊙O 中OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∵⊙O 的直径为10，∴OB ＝5，∴BD ＝5。

人教版九年级数学上册第24章24.1--24.4基础测试题含答案

人教版九年级数学上册第24章24.1--24.4基础测试题含答案《24.1 圆的有关性质》一．选择题1．如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（）A．3mm B．4mm C．5mm D．8mm2．如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，已知∠DOB＝72°，则∠E等于（）A．36°B．30°C．18°D．24°3．在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP为（）cm．A．2B．C．3D．24．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是（）A．B．C．D．3cm5．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°6．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为（）A．B．C．D．7．如图，⊙O中，弦AB与直径CD相交于点P，且P A＝4，PB＝6，PD＝2，则⊙O的半径为（）A．9B．8C．7D．68．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM＝ON；③P A＝PC；④∠BPO＝∠DPO，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．49．如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，∠COB＝40°，则∠BAD等于（）A．80°B．50°C．40°D．20°10．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD＝130°，则∠DCE的度数为（）A．45°B．50°C．65°D．75°11．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠COD＝84°，CA平分∠OCD，则∠ABD+∠CAD ＝（）A．68°B．66°C．60°D．52°12．如图，已知直线l与⊙O相交于点E、F，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D，若∠DAE ＝22°，则∠BAF的大小为（）A．12°B．18°C．22°D．30°二．填空题13．如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是．14．若平行四边形ABCD是圆内接四边形，则∠A的度数为．15．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则P A+PB的最小值为．三．解答题16．如图，AB是半圆O上的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O的切线交OE的延长线于点F，已知BC＝8，DE＝2．（1）求⊙O的半径；（2）求CF的长．17．如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C，且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是劣弧AC上的一点，且＝，连接AB，BC，CD．求证：△CDE≌△ABC．18．如图，已知AB，CG是⊙O的两条直径，AB⊥CD于点E，CG⊥AD于点F．（1）求∠AOG的度数；（2）若AB＝2，求CD的长．19．如图，在⊙O中，弦AC⊥BD于点E，连接AB，CD，BC（1）求证：∠AOB+∠COD＝180°；（2）若AB＝8，CD＝6，求⊙O的直径．20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE．（1）求证：∠A＝∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．参考答案一．选择题1．C．2．D．3．A．4．A．5．B．6．D．7．C．8．D．9．D．10．C．11．B．12．C．二．填空题13．4π．14．90°．15．AC＝．三．解答题16．（1）设⊙O的半径为x，∵E点是的中点，O点是圆心，∴OD⊥BC，DC＝＝4，在Rt△ODC中，OD＝x﹣2，∴OD2+DC2＝OC2∴（x﹣2）2+42＝x2∴x＝5，即⊙O的半径为5；（2）∵FC是⊙O的切线，∴OC⊥CF又∵E是的中点．∴OD⊥BC，∴OC2＝OD•OF，即52＝3•OF∴在Rt△OCF中，OC2+CF2＝OF2∴17．证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC＝∠CDE，∵＝，∴∠BAC＝∠DCE，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（AAS）．18．（1）连接OD，∵AB⊥CD，∴＝，∴∠BOC＝∠BOD，由圆周角定理得，∠A＝∠BOD，∴∠A＝∠BOD，∵∠AOG＝∠BOD，∴∠A＝∠AOG，∵∠OF A＝90°，∴∠AOG＝60°；（2）∵∠AOG＝60°，∴∠COE＝60°，∴∠C＝30°，∴OE＝OC＝，∴CE＝＝，∵AB⊥CD，∴CD＝2CE＝．19．（1）证明：延长BO交⊙O于F，连接DF，AD．∵BF是直径，∴∠BDF＝90°，∴DF⊥BD，∵AC⊥BD，∴AC∥DF，∴∠CAD＝∠ADF，∴＝，∴∠COD＝∠AOF，∵∠AOB+∠AOF＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°．（2）解：连接AF．由（1）可知：＝，∴AF＝CD＝6，∵BF是直径，∴∠BAF＝90°，∴BF＝＝＝10，∴⊙O的直径为10．20．证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠DCE+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠AEB，∴∠A＝∠AEB；（2）∵∠A＝∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF＝DF，∴EO是CD的垂直平分线，∴ED＝EC，∵DC＝DE，∴DC＝DE＝EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB＝60°，∴△ABE是等边三角形．24.2 点和圆、直线和圆的位置关系一、选择题1. 下列说法中，正确的是( )A．垂直于半径的直线是圆的切线B．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线C．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线2. 已知半径为10的⊙O和直线l上一点A，且OA＝10，则直线l与⊙O的位置关系是( ) A．相切B．相交C．相离D．相切或相交3. 2020·武汉模拟在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以点A为圆心，4.8为半径的圆与直线BC的公共点的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．不能确定4. 如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD.若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为()A．54° B．36° C．32° D．27°5. 在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点处，半径为2，则下列各点在⊙O上的是() A．(1，1) B．(－1，3)C．(－2，－1) D．(2，－2)6. 如图，在正三角形网格中，△ABC的顶点都在格点上，点P，Q，M是AB与网格线的交点，则△ABC的外心是( )A．点P B．点Q C．点M D．点N7. 一把直尺、含60°角的三角尺和光盘如图所示摆放，A为60°角与直尺的交点，AB＝3，则光盘的直径是()A．3 B．3 3 C．6 D．6 38. 如图，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位长度)选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r 的取值范围为( )图A．22＜r≤17 B.17＜r≤3 2C.17＜r≤5 D．5＜r≤299.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是( )A. 1＜r＜4B. 2＜r＜4C. 1＜r＜8D. 2＜r＜810. 如图，数轴上有A，B，C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在⊙O外、⊙O内、⊙O上，则原点O的位置应该在( )图A．点A与点B之间靠近点AB．点A与点B之间靠近点BC．点B与点C之间靠近点BD．点B与点C之间靠近点C二、填空题11. 如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O相切于点B，CO交⊙O于点D，且BC ＝8，CD＝4，那么⊙O的半径为________．12. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，要使DE是⊙O的切线，则图中的线段应满足的条件是____________．13. 如图0，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PA＝6，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于C，D两点，则△PCD的周长是________.14.在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为________．15. 如图，AB是⊙O的直径，OA＝1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D.若BD＝2－1，则∠ACD＝________°.16. 已知l1∥l2，l1，l2之间的距离是3 cm，圆心O到直线l1的距离是1 cm，如果圆O与直线l1，l2有三个公共点，那么圆O的半径为________cm.17. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是______________．三、解答题18. 2018·邵阳如图所示，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为D，连接BC，BC平分∠ABD.求证：CD为⊙O的切线．19. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点O在BC上，⊙O经过点A，C，且交BC于点D，直径EF⊥AC于点G.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若AC＝8，求BD的长．20. 如图，AC 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，且∠APB ＝60°.(1)求∠BAC 的度数；(2)若PA ＝1，求点O 到弦AB 的距离．21. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，AB ＝10.点P 在AC 上，AP ＝2.若⊙O的圆心在线段BP 上，且⊙O 与AB ，AC 分别切于点D ，E.求： (1)△BAP 的面积S ； (2)⊙O 的半径．22. 如图所示，P 为正比例函数y ＝32x 图象上的一个动点，⊙P 的半径为3，设点P 的坐标为(x ，y)．(1)求⊙P 与直线x ＝2相切时，点P 的坐标；(2)请直接写出⊙P 与直线x ＝2相交、相离时，x 的取值范围； (3)求当原点O 在⊙P 上时，圆心P 的坐标．人教版九年级九年级数学 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系突破训练-答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】D [解析] 若OA ⊥l ，则圆心O 到直线l 的距离就是OA 的长，等于半径，所以直线l 与⊙O 相切；若OA 与直线l 不垂直，根据垂线段最短，可知圆心O 到直线l 的距离小于10，即小于半径，所以直线l 与⊙O 相交．3. 【答案】B4. 【答案】D [解析] ∵AB 为⊙O 的切线，∴∠OAB ＝90°.∵∠ABO ＝36°，∴∠AOB ＝90°－∠ABO ＝54°. ∴∠ADC ＝12∠AOB ＝27°.故选D.5. 【答案】B [解析] A 项，点(1，1)到圆心的距离是2，2＜2，故在圆内；B 项，点(－1，3)到圆心的距离为2，2＝2，故在圆上；C 项，点(－2，－1)到圆心的距离为5，5＞2，故在圆外；D 项，点(2，－2)到圆心的距离为2 2，2 2＞2，故在圆外．故选B.6. 【答案】B [解析] 由题意可知∠BCN ＝60°，∠ACN ＝30°，∴∠ACB ＝∠ACN ＋∠BCN＝90°，∴△ABC 是直角三角形，∴△ABC 的外心是斜边AB 的中点． ∵Q 是AB 的中点， ∴△ABC 的外心是点Q .7. 【答案】D [解析] 设光盘的圆心为O ，连接OA ，OB ，则OB ⊥AB ，∠OAB ＝12×(180°－60°)＝60°.∵AB ＝3，∴OA ＝6，OB ＝3 3，∴光盘的直径是6 3.故选D.8. 【答案】B [解析] 如图，∵AD ＝22，AE ＝AF ＝17，AB ＝3 2，∴AB ＞AE ＝AF ＞AD ， ∴当17＜r ＜3 2时，以点A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内．9.【答案】B 【解析】连接AD ，则AD ＝AC 2＋CD 2＝42＋32＝5，∵⊙A 与⊙D 相交，∴3－r <5<3＋r ，解得2＜r ＜8，又∵点B 在⊙D 外，∴r <BD ，即r <4.∴2<r <4，故选B.解图10. 【答案】C [解析] 如图．二、填空题11. 【答案】6 [解析] 因为BC 是⊙O 的切线，所以∠OBC ＝90°.设⊙O 的半径为x ，则OB ＝x ，OC ＝x ＋4.在Rt △OBC中，由勾股定理，得x2＋82＝(x ＋4)2，解得x ＝6.∴⊙O 的半径为6.12. 【答案】BD ＝CD 或AB ＝AC (答案不唯一)[解析] (1)连接OD .要使DE 是⊙O 的切线，结合DE ⊥AC ，只需OD ∥AC ，根据O 是AB 的中点，只需BD ＝CD 即可；(2)根据(1)中探求的条件，要使BD ＝CD ，则连接AD ，由于∠ADB ＝90°，只需AB ＝AC ，根据等腰三角形的三线合一即可．13. 【答案】12 [解析] ∵PA ，PB 分别切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，∴PB ＝PA ＝6，CA ＝CE ，DB ＝DE ，∴△PCD 的周长＝PC ＋CD ＋PD ＝PC ＋CE ＋DE ＋PD ＝PC ＋CA ＋DB ＋PD ＝PA ＋PB ＝12.14.【答案】24【解析】设AB切⊙O于点E，如解图，连接EO并延长交CD于点M，∵C ⊙O ＝26π＝2πr，∴r ＝13，∵AB∥CD，且AB与CD之间的距离为18，∴OM＝18－r＝5，∵AB为⊙O的切线，∴∠CMO＝∠AEO＝90°，∴在Rt △CMO中，CM＝OC 2－OM 2＝12，∴CD＝2CM＝24.解图15. 【答案】112.5 [解析] 如图，连接OC.∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD.∵BD ＝2－1，OA ＝OB ＝OC ＝1，∴OD ＝2，∴CD ＝OD2－OC2＝（2）2－12＝1，∴OC ＝CD ，∴∠DOC ＝45°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OCA ＝12∠DOC ＝22.5°，∴∠ACD ＝∠OCA ＋∠OCD ＝22.5°＋90°＝112.5°.16. 【答案】2或4 [解析] 设圆O 的半径为r cm 如图①所示，r －1＝3，得r ＝4；如图②所示，r ＋1＝3，得r ＝2.17. 【答案】R ＝4.8或6<R ≤8 [解析] 当⊙C 与AB 相切时，如图①，过点C 作CD ⊥AB于点D .根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10.根据三角形的面积公式，得12AB ·CD＝12AC ·BC ，解得CD ＝4.8，所以R ＝4.8；当⊙C 与AB 相交时，如图②，此时R 大于AC 的长，而小于或等于BC 的长，即6<R ≤8.三、解答题18. 【答案】证明：连接OC .∵BC 平分∠ABD ， ∴∠OBC ＝∠DBC .∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ， ∴∠OCB ＝∠DBC ， ∴OC ∥BD .∵BD ⊥CD ，∴OC ⊥CD ，∴CD 为⊙O 的切线．19. 【答案】解：(1)证明：连接OA ，如图所示．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°， ∴∠B ＝∠C ＝30°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠C ＝30°， ∴∠OAB ＝120°－30°＝90°，即AB ⊥OA.又∵OA 是⊙O 的半径， ∴AB 是⊙O 的切线． (2)∵直径EF ⊥AC ， ∴AG ＝CG ＝12AC ＝4.∵∠OAC ＝30°， ∴OG ＝12OA.在Rt △AOG 中，由勾股定理，得OG2＋AG2＝OA2，∴OG2＋42＝(2OG)2， ∴OG ＝433，∴OA ＝2OG ＝833.∵∠OAB ＝90°，∠B ＝30°， ∴BO ＝2OA ＝2OD ，∴BD ＝BO －OD ＝OD ＝OA ＝833.20. 【答案】解：(1)∵PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，∴PA ＝PB ，∠PAC ＝90°. ∵∠APB ＝60°，∴△APB 是等边三角形，∴∠BAP ＝60°， ∴∠BAC ＝90°－∠BAP ＝30°.(2)过点O 作OD ⊥AB 于点D ，如图所示，则AD ＝BD ＝12AB.由(1)得△APB 是等边三角形， ∴AB ＝PA ＝1，∴AD ＝12.在Rt △AOD 中，∵∠BAC ＝30°， ∴OD ＝12OA.由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，即(2OD)2＝OD2＋(12)2，∴OD ＝36，即点O 到弦AB 的距离为36.21. 【答案】解：(1)∵∠C ＝90°，AC ＝8，AB ＝10， ∴在Rt △ABC 中，由勾股定理，得BC ＝6， ∴△BAP 的面积S ＝12AP·BC ＝12×2×6＝6.(2)连接OD ，OE ，OA.设⊙O 的半径为r ，则S △BAP ＝12AB·r ＋12AP·r ＝6r ，∴6r ＝6，解得r ＝1. 故⊙O 的半径是1.22. 【答案】解：(1)当⊙P 在直线x ＝2的左侧与该直线相切时， ∵圆心P 到直线x ＝2的距离等于半径3， ∴2－x ＝3，∴x ＝－1，此时y ＝－32，P (－1，－32)．当⊙P 在直线x ＝2的右侧与该直线相切时， ∵圆心P 到直线x ＝2的距离等于半径3，∴x －2＝3，∴x ＝5，此时y ＝152，P (5，152)．综上可得，当⊙P 与直线x ＝2相切时，点P 的坐标为(－1，－32)或(5，152)．(2)当－1＜x ＜5时，⊙P 与直线x ＝2相交；当x ＜－1或x ＞5时，⊙P 与直线x ＝2相离． (3)当点O 在⊙P 上时，OP ＝3. 由勾股定理可得(x －0)2＋(y －0)2＝32. 又∵y ＝32x ，∴x 1＝6 1313，x 2＝－6 1313.代入y ＝32x 可得y 1＝9 1313，y 2＝－9 1313.∴当原点O 在⊙P 上时，圆心P 的坐标为(6 1313，9 1313)或(－6 1313，－9 1313)．24.3 正多边形和圆一、选择题1. 正八边形的中心角是( )A ．45°B ．135°C ．360°D ．1080°2. 下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( )A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形3. (2019•贵阳)如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，连接BD ．则∠CBD 的度数是A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4. 2019·安徽月考如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，过点A 作⊙O 的切线交对角线DB的延长线于点F ，则下列结论不成立的是( )A ．AE ∥BFB ．AF ∥CDC ．DF ＝3AFD ．AB ＝BF5. 若正方形的外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为( )A. 2 B ．2 2 C.22D ．16. 已知正六边形的半径为r ，则它的边长、边心距、面积分别为( )A.233r ，r ，3r 2B ．r ，r2，23r 2C.33r ，r ，3r 2 D ．r ，3r 2，332r 27. 以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边长作三角形，则该三角形的面积是 ( ) A.38B.34C.24D.288. 如图，将两张完全相同的正六边形纸片(边长为2a )重合在一起，下面一张纸片保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a 个单位长度，则空白部分与阴影部分的面积之比是( )A．5∶2 B．3∶2 C．3∶1 D．2∶19. 如图0，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，可判断( )A．甲对，乙不对B．甲不对，乙对C．两人都对D．两人都不对10. 如图是由7个全等的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，设定AB边如图所示，则使△ABC是直角三角形的格点有( )A．10个B．8个C．6个D．4个二、填空题11. 一个圆内接正六边形的边长为2，那么这个正六边形的边心距为________．12. 如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为________cm.13. 如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝________°.14. 如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形，则原来的纸带宽为________．15. (2019•扬州)如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=__________．16. 如图，AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，而BC恰好是⊙O 内接正n边形的一边，则n等于________．17. 如图为一个半径为4 m的圆形场地，其中放有六个宽为1 m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在场地边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为__________m.三、解答题18. 如图，在正六边形ABCDEF中，点O是中心，AB＝10，求这个正六边形的半径、边心距、周长、面积．19. 如图2，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.(1) 求图①中∠MON的度数；(2) 图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．20. 如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五等分点，连接AC，CE，EB，BD，DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH.(1)计算∠CAD的度数；(2)连接AE，求证：AE＝ME.人教版九年级数学上册24.3 正多边形和圆课时训练-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】A[解析] ∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3＝120°，正方形一条边所对的圆心角是360°÷4＝90°，正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5＝72°，正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6＝60°，∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形．故选A.3. 【答案】 A【解析】∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD=(62)1806-⨯︒=120°，BC=CD，∴∠CBD=12(180°-120°)=30°，故选A．4. 【答案】C5. 【答案】A [解析] 如图所示，连接OA ，OE.∵AB 是小圆的切线， ∴OE ⊥AB.∵四边形ABCD 是正方形， ∴AE ＝OE.在Rt △AOE 中，由勾股定理，得OA2＝AE2＋OE2，∴22＝AE2＋OE2， ∴OE ＝ 2.故选A.6. 【答案】D7. 【答案】D [解析] 如图①，∵OC ＝1，∴OD ＝12；如图②，∵OB ＝1，∴OE ＝22；如图③，∵OA ＝1，∴OD ＝32，则该三角形的三边长分别为12，22，32.∵(12)2＋(22)2＝(32)2，∴该三角形是以12，22为直角边长，32为斜边长的直角三角形， ∴该三角形的面积是12×12×22＝28.故选D.8. 【答案】C [解析] 正六边形的面积＝6×34×(2a)2＝6 3a2，阴影部分的面积＝a·2 3a＝2 3a2，∴空白部分与阴影部分的面积之比是＝6 3a2∶2 3a2＝3∶1.9. 【答案】C [解析] 由甲的作法可知连接OB，BD，OC，CD后，OB＝BD＝OD＝OC＝CD，所以△BOD和△COD都是等边三角形，四边形OBDC是菱形，所以∠BOC＝120°，则∠BAC ＝60°.因为四边形OBDC是菱形，所以AD⊥BC，AD平分BC，所以AB＝AC，所以△ABC 是等边三角形，所以他的作法是正确的．由乙的作法可知∠BOC＝120°，所以∠BAC＝60°.又因为AD⊥BC，所以AD平分BC，所以AB＝AC，所以△ABC是等边三角形，所以他的作法是正确的．故选C.10. 【答案】A [解析] 如图，当AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形；当AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形．综上所述，使△ABC是直角三角形的格点有6＋4＝10(个)．故选A.二、填空题11. 【答案】 312. 【答案】25【解析】如解图，取圆心为O，连接OA、OC，OC交AB于点D，则OC⊥AB.设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝r，又∵CD＝10，∴OD＝r－10，∵AB＝40，OC⊥AB，∴AD＝2 0.在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝202＋(r－10)2，解得r＝25，即脸盆的半径为25 cm.13. 【答案】48 [解析] 连接AO ，则有∠AOM ＝13×360°＝120°，∠AOB ＝15×360°＝72°，∴∠BOM ＝∠AOM －∠AOB ＝120°－72°＝48°.14. 【答案】3 [解析] 边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，所以原来的纸带宽度为 3.15. 【答案】15【解析】如图，连接OB ，∵AC 是⊙O 的内接正六边形的一边，∴∠AOC=360°÷6=60°， ∵BC 是⊙O 的内接正十边形的一边，∴∠BOC=360°÷10=36°， ∴∠AOB=60°–36°=24°，即360°÷n=24°，∴n=15，故答案为：15．16. 【答案】12 [解析] 连接OA ，OB ，OC ，如图．∵AB ，AC 分别为⊙O 的内接正四边形与内接正三角形的一边， ∴∠AOB ＝90°，∠AOC ＝120°，∴∠BOC ＝∠AOC －∠AOB ＝30°，∴n ＝360°30°＝12，即BC 恰好是⊙O 内接正十二边形的一边．17. 【答案】－3＋3 72[解析] 设圆心是O ，连接OA ，OB ，过点O 作OC ⊥BC 于点C ，交AD 于点D .设长方形摊位的长是2x m ．在Rt △OAD 中，∠AOD ＝30°，AD ＝x m ，则OD ＝3x m.在Rt △OBC 中，由勾股定理，得OC ＝16－x 2m.∵OC －OD ＝CD ＝1 m ， ∴16－x 2＝3x ＋1，解得x ＝－3＋3 74(负值已舍去)，则2x ＝－3＋3 72，∴长方形摊位的长为－3＋3 72 m.三、解答题18. 【答案】解：连接OB ，OC ，过点O 作OH ⊥BC 于点H.∵正六边形的中心角为360°6＝60°，OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴半径R ＝OB ＝BC ＝AB ＝10.∵OH ⊥BC ，∴∠BOH ＝30°，∴BH ＝12OB ＝5.在Rt △OBH 中，边心距r ＝OH ＝102－52＝5 3，周长l ＝6AB ＝6×10＝60.∵S △OBC ＝12BC·OH ＝12×10×53＝253， ∴正六边形的面积S ＝6S △OBC ＝6×25 3＝1503.19. 【答案】解：(1)方法一：连接OB ，OC .∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴∠OBM ＝∠OCN ＝30°，∠BOC ＝120°. 又∵BM ＝CN ，OB ＝OC ，∴△OBM ≌△OCN ，∴∠BOM ＝∠CON ， ∴∠MON ＝∠BOC ＝120°. 方法二：连接OA ，OB . ∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴AB ＝BC ，∠OAM ＝∠OBN ＝30°，∠AOB ＝120°. ∵BM ＝CN ，∴AM ＝BN .又∵OA ＝OB ，∴△AOM ≌△BON ，∴∠AOM ＝∠BON ，∴∠MON ＝∠AOB ＝120°. (2)90° 72° (3)∠MON ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360n °.20. 【答案】解：(1)∵A ，B ，C ，D ，E 是⊙O 上的五等分点， ∴∠COD ＝360°5＝72°，∴∠CAD ＝12∠COD ＝36°.(2)证明：∵A ，B ，C ，D ，E 是⊙O 上的五等分点，∴CD ︵＝DE ︵＝AE ︵＝AB ︵＝BC ︵， ∴∠DAE ＝∠AEB ＝∠CAD ＝36°， ∴∠MAE ＝72°，∴∠AME ＝180°－∠MAE －∠AEB ＝72°＝∠MAE ，∴AE ＝ME.24.4 弧长和扇形面积一、选择题（本大题共10道小题）1. 若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为( ) A .πB .2πC .3πD .6π2. 一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )A ．2πB ．4πC ．12πD ．24π3. 如图，⊙O的半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC＝36°，则劣弧BC ︵的长是( )A. π5B. 25πC. 35πD. 45π4. (2019•遵义)圆锥的底面半径是5 cm ，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是A ．5 cmB ．10 cmC ．6 cmD ．5 cm5. 2019·唐山乐亭期末如图，圆锥的底面半径OB ＝6 cm ，高OC ＝8 cm ，则这个圆锥的侧面积是( )A ．30 cm 2B ．60π cm 2C ．30π cm 2D ．48π cm 26. 改编如图①所示物体由两个圆锥组成，在从正面看到的形状图中(如图②)，∠A ＝90°，∠ABC ＝105°.若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为( )A ．2 B. 3C.32D. 27. 如图AB 为半圆O 的直径，AB ＝4，C ，D 为AB ︵上两点，且AC ︵＝15BD ︵.若∠CED ＝ 52∠COD ，则BD ︵的长为( )图A.59πB.78πC.89πD.109π8. 如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD＝30°，CD＝43，则S 阴影＝( )A . 2πB . 83πC . 43πD . 38π9. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°.曲线CDEF…叫做“等腰直角三角形的渐开线”，其中CD ︵，DE ︵，EF ︵，…的圆心依次按A ，B ，C ，…循环．如果AC ＝1，那么曲线CDEF 和线段CF 围成图的面积为( )图A .（12＋72）4πB .（9＋52）4π C .（12＋72）π＋24D .（9＋52）π＋2410. 如图在扇形OAB 中，∠AOB ＝150°，AC ＝AO ＝6，D 为AC 的中点，当弦AC 沿AB ︵运动时，点D 所经过的路径长为( )图A ．3πB.3πC.323πD ．4π二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，则图中阴影部分的面积是________．12.如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是________．13. 如图，已知扇形OAB 的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为________．14.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB＝123，OP ＝6，则劣弧AB ︵的长为________．(结果保留π)15. 如图，现有一张圆心角为108°，半径为40 cm 的扇形纸片，小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面圆半径为10 cm的圆锥形纸帽(接缝处忽略不计)，则剪去的扇形纸片的圆心角θ为________．16. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 2.若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为________．(结果保留π)17. 如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA长为半径作弧交AB于点A，C，交OB于点D.若OA＝3，则阴影部分的面积为________．18. 如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置．若AB＝16 cm，则图中阴影部分的面积为________．三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图所示的粮囤可以看成是圆柱体与圆锥体的组合体，已知其底面圆的半径为6 m，高为4 m，下方圆柱的高为3 m.(1)求该粮囤的容积；(2)求上方圆锥的侧面积(计算结果保留根号).20. 如图，蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，现想用毛毡搭建底面积为9π m 2，高为6 m ，外围高为2 m 的蒙古包，求至少需要多少平方米的毛毡．(结果保留π)21. 如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上的点F 处，点C 落在点A 处，再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG. (1)求证：EF ∥CG ；(2)求点C ，A 在旋转过程中形成的AC ︵，AG ︵与线段CG 所围成的阴影部分的面积．22. (2019•襄阳)如图，点E 是ABC △的内心，AE 的延长线和ABC △的外接圆圆O 相交于点D ，过D 作直线DG BC ∥． (1)求证：DG 是圆O 的切线；(2)若6DE =，BC =，求优弧BAC 的长．人教版九年级数学 24.4 弧长和扇形面积-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C [解析]扇形的圆心角为90°，它的半径为6，即n=90°，r=6，根据弧长公式l=，得l==3π.故选C .2. 【答案】C [解析] 根据扇形的面积公式，S ＝120×π×62360＝12π.故选C.3. 【答案】B 【解析】连接OB、OC.⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎬⎫∠BOC是BC⌒所对的圆心角 ∠A是BC⌒所对的圆周角∠A＝36°⇒∠BOC＝2∠A＝72° ⊙O的半径是1⇒劣弧BC⌒的长＝72π×1180＝25π.4. 【答案】A【解析】设圆锥的母线长为R ，根据题意得2π·5180π180R=，解得R=10．即圆锥的母线长为10 cm 22105-=3cm ．故选A ．5. 【答案】B6. 【答案】D [解析] ∵∠A ＝90°，∠ABC ＝105°，∴∠ABD ＝45°，∠CBD ＝60°，∴△ABD是等腰直角三角形，△CBD 是等边三角形．设AB 的长为R ，则BD 的长为2R.∵上面圆锥的侧面积为1，即1＝12lR ，∴l ＝2R ，∴下面圆锥的侧面积为12·2R ·2R ＝ 2.故选D.7. 【答案】D8.【答案】B【解析】如解图，连接OC ，设CD 与OB 交于点E ，∵在⊙O 中，弦CD ⊥AB ，∴CE ＝DE ＝23，∵∠BCD ＝30°，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝60°，在Rt△EOD 中，OE ＝DEtan60°＝2，∴OD ＝4，∴BE ＝OB －OE ＝4－2＝2，在△DOE 和△CBE 中，CE ＝DE ，∠CEB ＝∠DEO ，OE ＝BE ，∴△DOE ≌△CBE ，∴S 阴影＝S 扇形OBD ＝60×π×42360＝83π.9. 【答案】C [解析] 曲线CDEF 和线段CF 围成的图是由三个圆心不同，半径不同的扇形以及△ABC 组成的，所以根据面积公式可得135π×1＋135π×（2＋1）2＋90π×（2＋2）2360＋12×1×1＝（12＋7 2）π＋24.10. 【答案】C [解析] 如图∵D 为AC 的中点，AC ＝AO ＝6，∴OD ⊥AC ，∴AD ＝12AC ＝12AO ，∴∠AOD ＝30°，OD ＝33.作BF ＝AC ，E 为BF 的中点．同理可得∠BOE ＝30°， ∴∠DOE ＝150°－60°＝90°，∴点D 所经过的路径长为n πR 180＝90π×3 3180＝3 32π.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】π－2 [解析] ∵在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴S 阴影＝S 半圆AB ＋S 半圆BC －S △ABC ＝12π×(22)2＋12π×(22)2－12×2×2 ＝π－2.12.【答案】3π【解析】∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝2∠C＝2×60°＝120° ，∵⊙O的半径为3，∴阴影部分的面积S 扇形OAB ＝120×π×32360＝3π.13. 【答案】2π [解析] 设扇形的半径是R ，则60·π·R2360＝6π，解得R ＝6(负值已舍去)．设扇形的弧长是l ，则12lR ＝6π，即3l ＝6π，解得l ＝2π.故答案为2π.14.【答案】8π 【解析】∵AB是小圆的切线，∴OP⊥AB，∴AP＝12AB＝63.如解图，连接OA，OB，∵OA＝OB，∴∠AOB＝2∠AOP.在Rt △AOP中，OA＝OP 2＋AP2＝12，tan ∠AOP＝AP OP＝636＝3，∴∠AOP＝60°.∴∠AOB＝120°，∴劣弧AB的长为120π·12180＝8π.15. 【答案】18°16. 【答案】82π [解析] 过点C 作CD ⊥AB 于点D .在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2 2，∴AB ＝2AC ＝4，∴CD ＝2. 以CD 为半径的圆的周长是4π.故Rt△ABC 绕直线AB 旋转一周所得几何体的表面积是2×12×4π×22＝8 2π.17. 【答案】34π [解析] 如图，连接OC ，过点C 作CN ⊥AO 于点N ，CM ⊥OB 于点M.∵∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，∴∠A ＝60°.∵OA ＝OC ，∴△AOC 为等边三角形， ∴∠AOC ＝60°，AC ＝OA. ∵OA ＝3，∴AC ＝OA ＝3.∵CN ⊥OA ，∴AN ＝ON ＝12OA ＝32，∴CN ＝323，∴S △AOC ＝12OA·CN ＝943.∵∠AOB ＝90°，CN ⊥OA ，CM ⊥OB ， ∴四边形CNOM 为矩形， ∴CM ＝ON ＝32.在Rt △AOB 中，∠B ＝30°，OA ＝3， ∴AB ＝2OA ＝6， ∴OB ＝33，∴S △OCB ＝12OB·CM ＝943.∵∠AOC ＝60°，OA ＝3，∴S 扇形OAC ＝60π·32360＝32π.∵∠COD ＝90°－60°＝30°，∴S 扇形OCD ＝30π·32360＝34π， ∴S 阴影＝S 扇形OAC －S △AOC ＋S △OCB －S 扇形OCD ＝34π.18. 【答案】32π cm2 [解析] 由旋转的性质得∠BAB′＝45°，四边形AB′C′D′≌四边形ABCD ，则图中阴影部分的面积＝四边形ABCD 的面积＋扇形ABB′的面积－四边形AB′C′D′的面积＝扇形ABB′的面积＝45π×162360＝32π(cm2)．三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：(1)容积V ＝π×62×3＋13×π×62×(4－3)＝108π＋12π＝120π(m3)．答：该粮囤的容积为120π m3.(2)圆锥的母线长l ＝62＋12＝37(m)，所以圆锥的侧面积S ＝π×6×37＝637π(m2)．20. 【答案】解：∵蒙古包的底面积为9π m 2，高为6 m ，外围(圆柱)高为2 m ，∴底面圆的半径为3 m ，圆锥的高为6－2＝4(m)，∴圆锥的母线长为5 m ，∴圆锥的侧面积为π×3×5＝15π(m 2)，圆锥的底面周长为2π×3＝6π(m)，圆柱的侧面积为6π×2＝12π(m 2)．故至少需要毛毡15π＋12π＝27π(m 2)．21. 【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝AD ＝2，∠ABC ＝90°.∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得△BFA ，∴△BFA ≌△BEC ，∴∠FAB ＝∠ECB ，∠ABF ＝∠CBE ＝90°，AF ＝CE ，∴∠AFB ＋∠FAB ＝90°. ∵线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，∴∠AFB ＋∠CFG ＝∠AFG ＝90°，AF ＝FG ，∴∠CFG ＝∠FAB ＝∠ECB ，CE ＝FG ，∴CE 綊FG ，∴四边形EFGC 是平行四边形，∴EF ∥CG.(2)∵E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ＝12AB. ∵△BFA ≌△BEC ，∴BF ＝BE ＝12AB ＝1， ∴AF ＝AB2＋BF2＝ 5.由(1)知四边形EFGC 是平行四边形，FC 为其对角线，∴点G 到FC 的距离等于点E 到FC 的距离，即BE 的长，∴S 阴影＝S 扇形BAC ＋S △ABF ＋S △FGC －S 扇形FAG ＝90π·22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90π·（5）2360＝52－π4.22. 【答案】(1)连接OD 交BC 于H ，如图，∵点E 是ABC △的内心，∴AD 平分BAC ∠，即BAD CAD ∠=∠，∴BD CD =，∴ODBC ，BH CH =，∵DG BC ∥，∴OD DG ⊥，∴DG 是圆O 的切线．(2)连接BD 、OB ，如图，∵点E 是ABC △的内心，∴ABE CBE ∠=∠，∵DBC BAD ∠=∠，∴DEB BAD ABE DBC CBE DBE ∠=∠+∠=∠+∠=∠， ∴6DB DE ==，∵12BH BC ==在Rt BDH △中，sin 62BH BDH BD ∠===， ∴60BDH ∠=︒，而OB OD =，∴OBD △为等边三角形，∴60BOD ∠=︒，6OB BD ==，∴120BOC ∠=︒，∴优弧BAC 的长=(360120)π68π180-⋅⋅=．。

人教版九年级数学上册 24.1 --24.4分节测试题含答案)

人教版九年级数学上册 24.1 --24.4分节测试题含答案） 24.1 圆的有关性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图所示的圆规，点A 是铁尖的端点，点B 是铅笔芯尖的端点，已知点A 与点B 的距离是2 cm ，若铁尖的端点A 固定，将铅笔芯尖的端点B 绕点A 旋转一周，则作出的圆的直径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．4 cmD ．π cm2. 如图，AB是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则下列结论正确的是( )A ．OE ＝BEB.BC ︵＝BD ︵ C ．△BOC 是等边三角形D ．四边形ODBC 是菱形3. 如图，AB是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( )A ．51°B ．56°C ．68°D ．78°4. 如图，OA是⊙O 的半径，B 为OA 上一点(不与点O ，A 重合)，过点B 作OA的垂线交⊙O 于点C .以OB ，BC 为边作矩形OBCD ，连接BD .若BD ＝10，BC ＝8，则AB 的长为( )A ．8B ．6C ．4D ．25. 在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝3∠COD (∠COD <60°)，则劣弧AB ，劣弧CD 的大小关系是( ) A.AB ︵＝3CD ︵B.AB ︵>3CD ︵C.AB ︵<3CD ︵D ．3AB ︵<CD ︵6. 如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为( )A. 5 B ．2 5 C ．3 D ．2 37. 如图，AB 是⊙O的直径，弦CD ⊥AB 于点E.若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的长是( )A.7 B ．27 C ．6 D ．88. 如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于点B ，C ，连接AC ，BC.若∠ABC ＝54°，则∠1等于( )A ．36°B ．54°C ．72°D ．73°9. 如图，在⊙O 中，AB ︵所对的圆周角∠ACB ＝50°，若P 为AB︵上一点，∠AOP ＝55°，则∠POB 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°10. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C ＝30°，⊙O 的半径为5.若P 是⊙O上的一点，在△ABP 中，PB ＝AB ，则PA 的长为( )A ．5 B.5 32C ．5 2D ．5 3二、填空题（本大题共8道小题） 11. 2018·孝感已知⊙O 的半径为10 cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是________cm.12. 2018·毕节如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为半圆的三等分点，CE ⊥AB 于点E ，则∠ACE 的度数为________．13. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(3，0)，⊙M 的半径为2，过点M 的直线与⊙M 的交点分别为A ，B ，则△AOB 的面积的最大值为________，此时A ，B 两点所在直线与x 轴的夹角等于________°.14. 如图所示，OB ，OC是⊙O 的半径，A 是⊙O 上一点．若∠B ＝20°，∠C ＝30°，则∠A ＝________°.15. 如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ，若∠C ＝25°，则∠D ＝________°.16. 如图所示，动点C 在⊙O 的弦AB 上运动，AB ＝23，连接OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为________．17. 如图，圆内接四边形ABCD 中两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝________°.18. 如图所示，在半圆O 中，AB为直径，P 为AB ︵的中点，分别在AP ︵和PB ︵上取其中点A 1和B 1，再在P A ︵1和PB ︵1上分别取其中点A 2和B 2.若一直这样取下去，则∠A n OB n ＝________°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，以BD 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连接EF. (1)求证：∠1＝∠F ；(2)若AC ＝4，EF ＝2 5，求CD 的长．20.如图，△ABC 和△ABD 都是直角三角形，且∠C ＝∠D ＝90°.求证：A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上.21. (2019•包头)如图，在⊙O 中，B 是⊙O 上的一点，120ABC ∠=︒，弦AC =弦BM 平分ABC ∠交AC 于点D ，连接MA MC ，． (1)求⊙O 半径的长； (2)求证：AB BC BM +=．22. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为半圆ACB ︵上的动点(不与点A ，B 重合)，过点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，则点P 的位置有何规律？请证明你的结论．人教版九年级数学 24.1 圆的有关性质-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】C2. 【答案】B[解析] AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，由垂径定理可以得到CE ＝DE ，BC ︵＝BD ︵，AC ︵＝AD ︵.但并不一定能得到OE ＝BE ，OC ＝BC ，从而A ，C ，D 选项都是错误的．故选B.3. 【答案】A[解析] ∵BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠EOD ＝34°，∴∠AOE ＝180°－∠EOD －∠COD －∠BOC ＝78°. 又∵OA ＝OE ，∴∠AEO ＝∠OAE ，∴∠AEO ＝12×(180°－78°)＝51°.4. 【答案】C5. 【答案】A[解析] 把∠AOB 三等分，得到的每一份角所对的弧都等于CD ︵，因此有AB ︵＝3CD ︵.6. 【答案】D[解析] 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA .根据题意，得OD ＝12OA ＝1.再根据勾股定理，得AD ＝ 3.根据垂径定理，得AB ＝2 3.7. 【答案】B[解析] 连接OC ，则OC ＝4，OE ＝3.在Rt △OCE 中，CE ＝OC2－OE2＝42－32＝7.因为AB ⊥CD ，所以CD ＝2CE ＝2 7.8. 【答案】C9. 【答案】B10. 【答案】D[解析] 如图，连接OB ，OA ，OP ，设OB 与AP 交于点D.由PB＝AB 可知PB ︵＝AB ︵，从而可知OB ⊥AP.运用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”及“同圆的半径相等”可知△OAB 为等边三角形，在Rt △OAD 中，运用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理列方程可求得AD 的长，从而可求出AP 的长为5 3.故选D.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】2或14 [解析] ①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥CD 于点F ，交AB 于点E ，如图①， ∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AE ＝8 cm ，CF ＝6 cm. ∵OA ＝OC ＝10 cm ， ∴EO ＝6 cm ，OF ＝8 cm ， ∴EF ＝OF －OE ＝2 cm ；②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥CD 于点E 并反向延长交AB 于点F ，如图②，∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AF ＝8 cm ，CE ＝6 cm. ∵OA ＝OC ＝10 cm ， ∴OF ＝6 cm ，OE ＝8 cm ， ∴EF ＝OF ＋OE ＝14 cm.∴AB 与CD 之间的距离为2 cm 或14 cm.12. 【答案】30°[解析] 如图，连接OC .∵AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝60°.∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形， ∴∠A ＝60°.∵CE ⊥OA ，∴∠AEC ＝90°， ∴∠ACE ＝90°－60°＝30°.13. 【答案】6 90 [解析] ∵AB 为⊙M 的直径，∴AB ＝4.当点O 到AB 的距离最大时，△AOB 的面积最大，此时AB ⊥x 轴于点M ， ∴△AOB 的面积的最大值为12×4×3＝6，∠AMO ＝90°. 即此时A ，B 两点所在直线与x 轴的夹角等于90°.14. 【答案】50[解析] 连接OA ，则OA ＝OB ，OA ＝OC ，∴∠OAB ＝∠B ，∠OAC ＝∠C ，∴∠BAC ＝∠OAB ＋∠OAC ＝∠B ＋∠C ＝20°＋30°＝50°.15. 【答案】65[解析] ∵∠C ＝25°，∴∠A ＝∠C ＝25°.∵⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ， ∴AB ⊥CD ，∴∠AED ＝90°， ∴∠D ＝90°－25°＝65°.16. 【答案】3 [解析] 如图，连接OD ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝BH＝12AB ＝ 3.∵CD ⊥OC ，∴CD ＝OD 2－OC 2.∵OD 为⊙O 的半径，∴当OC 最小时，CD 最大．当点C 运动到点H 时，OC 最小，此时CD ＝BH ＝3，即CD 的最大值为 3.17. 【答案】40[解析] ∵∠BCD ＝180°－∠A ＝125°，∠CBF ＝∠A ＋∠E ＝85°，∴∠F ＝∠BCD －∠CBF ＝125°－85°＝40°.18. 【答案】(902n －1)[解析] 当n ＝1时，∠A 1OB 1＝90°；当n ＝2时，∠A 2OB 2＝90°2＝45……所以∠A n OB n ＝(902n －1)°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：(1)证明：如图，连接DE. ∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠DEB ＝90°，即DE ⊥AB. 又∵E 是AB 的中点， ∴AD ＝BD ，∴∠1＝∠B. 又∵∠B ＝∠F ，∴∠1＝∠F.(2)∵∠1＝∠F ，∴AE ＝EF ＝2 5， ∴AB ＝2AE ＝4 5.在Rt △ABC 中，∵AC ＝4，∠C ＝90°， ∴BC ＝AB2－AC2＝8. 设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝8－x. 在Rt △ACD 中，∵∠C ＝90°，∴AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x ＝3，即CD ＝3.20. 【答案】证明：如图，取AB 的中点O ，连接OC ，OD.∵△ABC 和△ABD 都是直角三角形，且∠ACB ＝∠ADB ＝90°，∴OC ，OD 分别为Rt △ABC 和Rt △ABD 斜边上的中线，∴OC ＝OA ＝OB ，OD ＝OA ＝OB ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．21. 【答案】(1)连接OA OC 、，过O 作OH AC ⊥于点H ，如图1，∵120ABC ∠=︒，∴18060AMC ABC ∠=-∠=︒︒，∴2120AOC AMC ∠=∠=︒，∴1602AOH AOC ∠=∠=︒， ∵132AH AC ==， ∴2sin60AH OA ==︒，故⊙O 的半径为2．(2)在BM 上截取BE BC =，连接CE ，如图2，∵120ABC ∠=︒，BM 平分ABC ∠，∴60ABM CBM ∠=∠=︒，∵60MBC BE BC ︒∠==，，∴EBC △是等边三角形，∴60CE CB BE BCE ==∠=︒，， ∴60BCD DCE ∠+∠=︒，∵60ACM ∠=︒，∴60ECM DCE ∠+∠=︒，∴ECM BCD ∠=∠，∴6060CAM CBM ACM ABM ∠︒=∠︒=∠=∠=，， ∴ACM △是等边三角形，∴AC CM =，∴ACB MCE △≌△，∴AB ME =，∵ME EB BM +=，∴AB BC BM +=．22. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫360n m 解：P 为半圆ADB ︵的中点．证明：如图，连接OP .∵∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，∴∠PCD ＝∠PCO .∵OC ＝OP ，∴∠PCO ＝∠OPC ，∴∠PCD ＝∠OPC ，∴OP ∥CD .∵CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ，∴AP ︵＝BP ︵，即P 为半圆ADB ︵的中点．24.2.2直线和圆的位置关系一．选择题1．如图，AB 、AC 是⊙O 的切线，B 、C 为切点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C ，则∠BPC 的度数是（）A．65°B．115°C．115°或65°D．130°或65°2．△ABC中，AB＝13，BC＝5，点O是AC上的一点，⊙O与BC相切于点C，与AB相切于点D，则⊙O的半径为（）A．B．3C．D．53．如图，AB为⊙O的切线，A为切点，BO交⊙O于点C，点D在⊙O上，若∠ABO的度数是32°，则∠ADC的度数是（）A．15°B．16°C．29°D．58°4．如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（）A．100°B．160°C．80°D．130°5．如图，在△ABC中，以AB为直径的圆交AC于点D，⊙O的切线DE交BC于点E，若∠A＝35°，则∠CDE是（）A．35°B．45°C．55°D．65°6．如图，射线BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．707．如图，P A、PB是⊙O切线，A、B为切点，AC是直径，∠P＝40°，则∠BAC＝（）A．40°B．80°C．20°D．10°8．如图，AB是⊙O的直径，BP是⊙O的切线，AP与⊙O交于点C，D为BC上一点，若∠P＝36°，则∠ADC等于（）A．18°B．27°C．36°D．54°9．如图，已知P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①P A＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．410．如图，AB为⊙O的切线，切点为A，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，且OD∥AC，若∠B＝38°，则∠ODC的度数为（）A．46°B．48°C．52°D．58°二．填空题11．如图，已知圆O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则圆O的半径为．12．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝23°，则∠OCB＝°．13．已知点P是圆外一点，过点P引圆的两条切线P A、PB，切点分别为A、B，点C是圆上异于A、B的点，若∠P＝70°，则∠ACB＝．14．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，若AB＝5，AC＝4，则BD的长为．15．如图，等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB＝AC＝5，BC＝6，则DE的长是．三．解答题16．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为弦作⊙O，交BC的延长线于点D，且DC＝BC，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点E．（1）猜想∠CAB与∠BDE的数量关系，并说明理由；（2）若AB＝BE，则∠E的度数为°．17．如图，在等腰三角形ABD中，AB＝AD，点C为BD上一点，以BC为直径作⊙O，且点A恰好在⊙O上，连接AC．（1）若AC＝CD，求证：AD是⊙O的切线．（2）在（1）的条件下，若CD＝1，求⊙O的直径．18．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点且AP＝AC．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若AB＝2+，BC＝4，求⊙O的半径．参考答案1．解：∵AB、AC是⊙O的切线，∴OB⊥AB，OC⊥AC，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，当点P在优弧BC上时，∠BPC＝∠BOC＝65°，当点P′在劣弧BC上时，∠BP′C＝180°﹣65°＝115°，故选：C．2．解：依题意画出图形，连接OD，如图：∵⊙O与BC相切于点C，与AB相切于点D，∴∠ACB＝90°，∠ADO＝90°，∴∠ACB＝∠ADO，又∵∠A＝∠A，∴△ADO∽△ACB，∴＝，在△ABC中，AB＝13，BC＝5，由勾股定理得：AC＝＝12，设⊙O的半径为r，则有：＝，解得：r＝．故选：C．3．解：∵AB为⊙O的切线，∴∠OAB＝90°，∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝58°，由圆周角定理得，∠ADC＝∠AOB＝29°，故选：C．4．解：∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°．故选：D．5．解：连接DB，OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OA＝OD，∠A＝35°，∴∠ODA＝∠A＝35°，∴∠ODB＝90°﹣35°＝55°，∵DE是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴∠ODE＝90°，∴∠BDE＝∠ODE﹣∠ODB＝90°﹣55°＝35°，∴∠CDE＝∠CDB﹣∠BDE＝90°﹣35°＝55°，故选：C．6．解：∵射线BM与⊙O相切于点B，∴BC⊥BM，∴∠MBC＝90°，∴∠ABC＝∠MBA﹣∠MBC＝140°﹣90°＝50°，∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣50°＝40°．故选：A．7．解：连接OB，∵P A、PB是⊙O切线，A、B为切点，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝40°，∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠P﹣∠OBP＝140°，∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝20°，故选：C．8．解：连接BC，∵BP是⊙O的切线，∴AB⊥BP，∴∠ABP＝90°，∴∠BAP＝90°﹣∠P＝54°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAP＝36°，由圆周角定理得，∠ADC＝∠ABC＝36°，故选：C．9．解：∵P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴P A＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，P A＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．10．解：连接OA，∵AB为⊙O的切线，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∴∠AOB＝90°﹣∠B＝52°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝×（180°﹣52°）＝64°，∵OD∥AC，∴∠DOC＝∠OCA＝64°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD＝×（180°﹣64°）＝58°，故选：D．11．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，∴AC＝＝5，∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，如图，连接OE，OF，∵OE⊥AC，OF⊥BC，OE＝OF，∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，∴四边形OECF是正方形，设OE＝OF＝CE＝CF＝x，则AD＝AE＝5﹣x，BF＝BD＝12﹣x，∵AD+BD＝13，∴5﹣x+12﹣x＝13，∴x＝2，则圆O的半径为2．故答案为：2．12．解：连接OB，∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC，∴∠OBA+∠CBP＝90°，∵OC⊥OA，∴∠A+∠APO＝90°，∵OA＝OB，∠OAB＝23°，∴∠OAB＝∠OBA＝23°，∴∠APO＝∠CBP＝67°，∵∠APO＝∠CPB，∴∠CPB＝∠APO＝67°，∴∠OCB＝180°﹣67°﹣67°＝46°，故答案为：46．13．解：①当C和P在O的异侧时，如图1，连接OA，OB，∵P A，PB是⊙O的切线，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠P AO＝∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣∠P AO﹣∠PBO﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，∴∠ACB＝∠AOB＝55°；②当C和P在O的同侧时，如图2，连接OA，OB，由①知∠AOB＝110°，∵∠ACB+∠AOB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣∠AOB＝125°；综上所述：∠ACB＝55°或125°，故答案为：55°或125°．14．解：∵AC，AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝4，∵BP，BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝BP＝AB﹣AP＝5﹣4＝1．故答案为：1．15．解：连接OA、OE、OB，OB交DE于H，如图，∵等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴OA平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∴点A、O、E共线，即AE⊥BC，∴BE＝CE＝3，在Rt△ABE中，AE＝＝4，∵BD＝BE＝3，∴AD＝2，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，AO＝4﹣r，在Rt△AOD中，r2+22＝（4﹣r）2，解得r＝，在Rt△BOE中，OB＝＝，∵BE＝BD，OE＝OD，∴OB垂直平分DE，∴DH＝EH，OB⊥DE，∵HE•OB＝OE•BE，∴HE＝＝＝，∴DE＝2EH＝．故答案为：．16．解：（1）∠CAB＝∠BDE．理由如下：连接AD，如图，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°，∴AD为⊙O的直径，∵DE为切线，∴AD⊥DE，∴∠ADC+∠BDE＝90°，∵DC＝BC，AC⊥BD，∴AD＝AB，∴∠ADC＝∠ABC，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BDE；（2）∵∠ADE＝90°，AB＝BE，∴BD＝AB＝BE，而AD＝AB，∴△ABD为等边三角形，∴∠BAD＝60°，∴∠E＝90°﹣60°＝30°．故答案为30．17．解：（1）如图，连接OA．∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB，∵AB＝AD，∴∠B＝∠D，∵AC＝CD，∴∠D＝∠CAD，∴∠OAB＝∠CAD，∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴∠OAD＝90°，即OA⊥AD，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为x，则OA＝OC＝x，BC＝2x，∵∠B＝∠D，AB＝AD，∠BAC＝∠OAD＝90°，∴△BAC≌△DAO，∴BC＝DO，∵CD＝1，∴DO＝OC+CD＝x+1，∴2x＝x+1，∴x＝1，即⊙O的直径为2．18．（1）证明：连接OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，∴OA⊥P A，∴P A是⊙O的切线；（2）解：过点C作CE⊥AB于点E．在Rt△BCE中，∠B＝60°，BC＝4，∴BE＝BC＝2，CE＝2，∵AB＝2+，∴AE＝AB﹣BE＝，在Rt△ACE中，AC＝＝3，∴AP＝AC＝3．在Rt△P AO中，OA＝OP＝3，∴⊙O的半径为3．24.3正多边形和圆一．选择题1．下列说法错误的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．圆内接四边形的对角互补C．任意三角形都有一个外接圆D．正n边形的中心角等于2．下列说法中正确的是（）A．直角三角形只有一条高B．三角形任意两个内角的和大于第3个内角C．在同圆中任意两条直径都互相平分D．如果一个多边形的各边都相等，那么它是正多边形3．如图，A、B、C是⊙O上顺次3点，若AC、AB、BC分别是⊙O内接正三角形、正方形、正n边形的一边，则n＝（）A．9B．10C．12D．154．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是（）A．18°B．30°C．36°D．40°5．下列说法中，正确的个数为（）①三角形的外角等于两个内角的和；②有两边和一角分别相等的两个三角形全等；③各边都相等的多边形是正多边形；④到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．A．1B．2C．3D．06．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是上的任意一点，则∠APB的大小是（）A．15°B．30°C．45°D．60°7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是上不同于点C的任意一点，则∠BPC的大小是（）A．22.5°B．45°C．30°D．50°8．如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（）A．B．C．D．9．如图，AC是⊙O的内接正四边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正六边形的一边．若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为（）A．6B．8C．10D．1210．已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为⊙O上除C、D外任意一点，则∠CPD 的度数为（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°二．填空题11．如图，将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起，则∠ABC的度数为°．12．已知正方形的半径是4，那么这个正方形的边心距是．13．已知正三角形ABC的半径长为R，那么△ABC的周长是．（用含R的式子表示）14．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F为BC上一点，连接AF，若∠AFC＝126°，则∠BAF的度数为．15．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠BOQ＝．三．解答题16．如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH．（1）求∠F AB的度数；（2）求证：OG＝OH．17．如图，⊙O的半径等于4cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O（1）求圆心O到AF的距离；（2）求正六边形ABCDEF的面积．参考答案1．解：A、∵平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，∴选项A符合题意；B、∵圆内接四边形的对角互补，∴选项B不符合题意；C、∵任意三角形都有一个外接圆，∴选项C不符合题意；D、∵正n边形的中心角等于，∴选项D不符合题意；故选：A．2．解：A、直角三角形有3条高，故原命题错误，不符合题意；B、钝角三角形的两个较小的锐角的和小于最大的钝角，故原命题错误，不符合题意；C、在同圆中任意两条直径都互相平分，正确，符合题意；D、如果一个多边形的各角相等，各边都相等，那么它是正多边形，故原命题错误，不符合题意；故选：C．3．解：如图，连接OA，OC，OB．∵若AC、AB分别是⊙O内接正三角形、正方形的一边，∴∠AOC＝120°，∠AOB＝90°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝30°，由题意30°＝，∴n＝12，故选：C．4．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AED＝∠EAB＝∠ABC＝108°，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，∴∠EAC＝72°，∴∠AED+∠EAC＝180°，∴DE∥AF，∵AE＝AF＝DE，∴四边形AEDF是菱形，∴∠EDF＝∠EAF＝72°，∵∠EDC＝108°，∴∠FDC＝36°，故选：C．5．解：①三角形的外角等于两个内角的和，错误，应该是三角形的外角等于和它不相邻两个内角的和．②有两边和一角分别相等的两个三角形全等，错误，应该是有两边和夹角分别相等的两个三角形全等．③各边都相等的多边形是正多边形，错误．缺少各个角相等这个条件．④到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．错误，这个点必须在这个角的内部．故选：D．6．解：连接OA、OB、如图所示：∵∠AOB＝＝60°，∴∠APC＝∠AOC＝30°，故选：B．7．解：如图，连接OB、OC，则∠BOC＝90°，根据圆周角定理，得：∠BPC＝∠BOC＝45°．故选：B．8．解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，∵⊙O的周长等于4πcm，∴⊙O的半径为：＝2，∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴OA＝OB＝AB＝2，∵OG⊥AB，∴AG＝BG＝AB＝1，∴OG＝，∴S△AOB＝AB•OG＝2×＝．∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝6（cm2）．故选：C．9．解：连接AO、BO、CO，∵AC是⊙O内接正四边形的一边，∴∠AOC＝360°÷6＝90°，∵BC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠BOC＝360°÷6＝60°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，∴n＝360°÷30°＝12；故选：D．10．解：连接OC、OD，如图，∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，∴∠COD＝60°，当P点在弧CAD上时，∠CPD＝∠COD＝30°，当P点在弧CD上时，∠CPD＝180°﹣30°＝150°，综上所述，∠CPD的度数为30°或150°．故选：B．11．解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°，∴∠ABC＝360°﹣120°﹣108°＝132°，故答案为：132．12．解：如图，根据正方形的性质知：△BOC是等腰直角三角形，过O作OE⊥BC于E，∵正方形的半径是4，∴BO＝4，∴OE＝BE＝BO＝2，故答案为：2．13．解：如图所示：连接OA、OB、OC，过O作OD⊥BC于D，∵△ABC是半径为R的等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝R，∠ABC＝60°，∴∠OBD＝30°，∵OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，OD＝OB＝R，∴BD＝OD＝R，∴BC＝2BD＝R，∴该三角形的周长为3R，故答案为：3R．14．解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠ABC＝＝108°，∵∠AFC＝126°，∴∠BAF＝∠AFC﹣∠ABF＝126°﹣108°＝18°．故答案为18°．15．解：连结OA，OD，∵△PQR是⊙O的内接正三角形，∴PQ＝PR＝QR，∴∠POQ＝×360°＝120°，∵BC∥QR，OP⊥QR，∵BC∥QR，∴OP⊥BC，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴OP⊥AD，∠AOD＝90°，∴＝，∴∠AOP＝∠DOP，∴∠AOP＝×90°＝45°，∴∠AOQ＝∠POQ﹣∠AOP＝75°．∵∠AOB＝90°，∴∠QOB＝15°，故答案为：15°．16．（1）解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠F AB＝＝120°；（2）证明：连接OA、OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠F AB＝∠CBA，∴∠OAG＝∠OBH，在△AOG和△BOH中，，∴△AOG≌△BOH（SAS）∴OG＝OH．17．解：（1）过O作OH⊥AF于H，连接OA，OF，∵在正六边形ABCDEF中，∠BAF＝120°，∴∠OAF＝60°，∵OA＝4，∴AH＝OA＝2，∴OH＝＝＝2；∴圆心O到AF的距离为2；（2）∵OA＝OF，∠OAF＝60°，∴△OAF是等边三角形，∴AF＝OA＝4，∴S△AOF＝×4×2＝4，∴正六边形ABCDEF的面积＝6S△AOF＝24．24.4 弧长和扇形面积一、选择题1. 如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，O1，O2，O3，O4分别是OA，OB，OC，OD的中点．若⊙O的半径是2，则阴影部分的面积为()A．8 B．4C．4π＋4 D．4π－42. 如图，用一张半径为24 cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子(接缝忽略不计)．如果圆锥形帽子的底面圆半径为10 cm，那么这张扇形纸板的面积是()A．240π cm2B．480π cm2C．1200π cm2D．2400π cm23. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是( )A ．120°B ．180°C ．240°D ．300°4. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交对角线BD 于点E ，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)( )A ．8－πB ．16－2πC ．8－2πD ．8－12π5. 如图AB 为半圆O 的直径，AB ＝4，C ，D 为AB ︵上两点，且AC ︵＝15BD ︵.若∠CED ＝52∠COD ，则BD ︵的长为( )图A.59πB.78πC.89πD.109π6. 如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D .若AC ＝BD ＝4，∠A ＝45°，则CD ︵的长度为( )A ．πB ．2πC ．2 2πD ．4π7. 如图0，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°，CD ＝2 3，则图中阴影部分的面积为( )A ．4πB ．2πC ．π D.2π38. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，且∠ACB ＝90°.曲线CDEF…叫做“等腰直角三角形的渐开线”，其中CD ︵，DE ︵，EF ︵，…的圆心依次按A ，B ，C ，…循环．如果AC ＝1，那么曲线CDEF 和线段CF 围成图的面积为( )图A .（12＋72）4πB .（9＋52）4πC .（12＋72）π＋24D .（9＋52）π＋249. 如图，点I 为△ABC 的内心，AB ＝4，AC ＝3，BC ＝2，将∠ACB 平移使其顶点与点I 重合，则图中阴影部分的周长为( )A ．4.5B ．4C ．3D ．210. 如图所示，矩形纸片ABCD 中，AD ＝6 cm ，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形BAF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为( )A．3.5 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm二、填空题11. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为________．12. 如图所示，有一直径是2米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆心角是90°的最大扇形ABC，则：(1)AB的长为________米；(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为________米．13. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC＝3，∠BOC＝2∠AOC.若用扇形OAC(图中阴影部分)围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是________．AB=，将半圆绕点A顺时针旋转14. (2019•十堰)如图，AB为半圆的直径，且660︒，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为__________．15. 如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA长为半径作弧交AB于点A，C，交OB于点D.若OA＝3，则阴影部分的面积为________．三、解答题16. 已知扇形的圆心角为120°，面积为300π cm2.(1)求扇形的弧长；(2)若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积是多少？17. 已知一个圆锥的轴截面△ABC(如图0)是等边三角形，它的表面积为75π cm2，求这个圆锥的底面圆的半径和母线长．18. 当汽车在雨天行驶时，司机为了看清楚道路，要启动前方挡风玻璃上的雨刷．如图是某汽车的一个雨刷的转动示意图，雨刷杆AB与雨刷CD在B处固定连接(不能转动)，当杆AB绕点A转动90°时，雨刷CD扫过的面积是图中阴影部分的面积，现量得CD＝90 cm，∠DBA＝20°，AC＝115 cm，DA＝35 cm，试从以上信息中选择所需要的数据，求出雨刷扫过的面积．19. 如图是两个半圆，点O 为大半圆的圆心，AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，AB ＝24，求图中阴影部分的面积．20. 如图①，在等腰三角形ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 平分∠BAC ，且AD ＝6，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧EF ，交AB 于点E ，交AC 于点F.(1)求由EF ︵及线段FC ，CB ，BE 围成的图形(图中阴影部分)的面积；(2)将阴影部分剪掉，余下扇形AEF ，将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与AF 正好重合，圆锥侧面无重叠(如图②)，求这个圆锥的高h.人教版九年级数学 24.4 弧长和扇形面积针对训练 -答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】A[解析] ∵扇形的弧长l＝2·π·10＝20π(cm)，∴扇形的面积S＝12lR＝12×20π×24＝240π(cm2)．3. 【答案】B[解析] 设母线长为R，底面圆的半径为r，则底面圆的周长＝2πr，底面积＝πr2，侧面积＝πrR.∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr2＝πrR，∴R＝2r.设该圆锥侧面展开图的圆心角为n°，则nπR180＝2πr，∴nπR180＝πR，∴n＝180.故选B.4. 【答案】C[解析] 在边长为4的正方形ABCD中，BD是对角线，∴AD＝AB＝4，∠BAD＝90°，∠ABE＝45°，∴S△ABD＝12AD·AB＝8，S扇形BAE＝45·π·42360＝2π，∴S阴影＝S△ABD－S扇形BAE＝8－2π.故选C.5. 【答案】D6. 【答案】B7. 【答案】D[解析] 如图，连接OD.∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝3，∠CEO＝∠DEO＝90°.又∵OE＝OE，∴△COE≌△DOE，故S△COE＝S△DOE，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积．∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∴∠OCD ＝30°，∴OE ＝12OC.在Rt △COE 中，CE ＝3，由勾股定理可得OC ＝2，∴OD ＝2.∵△COE ≌△DOE ，∴∠DOE ＝∠COE ＝60°，∴S 扇形OBD ＝60π·22360＝23π，即阴影部分的面积为2π3.故选D.8. 【答案】C [解析] 曲线CDEF 和线段CF 围成的图是由三个圆心不同，半径不同的扇形以及△ABC 组成的，所以根据面积公式可得 135π×1＋135π×（2＋1）2＋90π×（2＋2）2360＋12×1×1＝（12＋7 2）π＋24.9. 【答案】B [解析] 设CA ，CB 平移后分别交AB 于点M ，N ，连接AI ，BI.由平移可知AC ∥MI ，∴∠CAI ＝∠AIM.∵∠CAI ＝∠BAI ，∴∠BAI ＝∠AIM ，∴AM ＝MI.同理BN ＝NI.∴△MNI 的周长＝MI ＋NI ＋MN ＝AM ＋BN ＋MN ＝AB ＝4.故选B.10. 【答案】B [解析] AF ︵的长＝14·2π·AB ，右侧圆的周长为π·D E.∵裁出的扇形和圆恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，∴14·2π·AB ＝π·DE ，∴AB ＝2DE ，即AE ＝2DE.∵AE ＋DE ＝AD ＝6，∴AB ＝4.故选B.二、填空题11. 【答案】4π [解析] 设此圆锥的底面圆的半径为r.由题意可得2πr ＝120π×6180，解得r ＝2，故这个圆锥的底面圆的半径为2，所以底面圆的面积为πr2＝4π.12. 【答案】(1)1 (2)14 [解析] (1)如图，连接BC.∵∠BAC ＝90°，∴BC 为⊙O 的直径，即BC ＝ 2.∵AB ＝AC ，AB2＋AC2＝BC2＝2，∴AB ＝1(米)．(2)设所得圆锥的底面圆的半径为r 米．根据题意，得2πr ＝90·π·1180，解得r ＝14.13. 【答案】12 [解析] 设这个圆锥底面圆的半径是r.∵∠BOC ＝2∠AOC ，∠BOC ＋∠AOC ＝180°，∴∠AOC ＝60°.又∵OA ＝OC ，∴△OAC 为等边三角形，∴OA ＝OC ＝AC ＝3，∴lAC ︵＝60π×3180＝2πr ，解得r ＝12，∴这个圆锥底面圆的半径是12.14. 【答案】6π【解析】由图可得，图中阴影部分的面积为：22260π6π(62)π(62)6π36022⨯⨯⨯÷⨯÷+-=，故答案为：6π．15. 【答案】34π [解析] 如图，连接OC ，过点C 作CN ⊥AO 于点N ，CM ⊥OB于点M.∵∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，∴∠A ＝60°.∵OA ＝OC ，∴△AOC 为等边三角形，∴∠AOC ＝60°，AC ＝OA.∵OA ＝3，∴AC ＝OA ＝3.∵CN ⊥OA ，∴AN ＝ON ＝12OA ＝32，∴CN ＝32 3，∴S △AOC ＝12OA·CN ＝94 3.∵∠AOB ＝90°，CN ⊥OA ，CM ⊥OB ，∴四边形CNOM 为矩形，∴CM ＝ON ＝32.在Rt △AOB 中，∠B ＝30°，OA ＝3，∴AB ＝2OA ＝6，∴OB ＝3 3，∴S △OCB ＝12OB·CM ＝94 3. ∵∠AOC ＝60°，OA ＝3，∴S 扇形OAC ＝60π·32360＝32π.∵∠COD ＝90°－60°＝30°，∴S 扇形OCD ＝30π·32360＝34π，∴S 阴影＝S 扇形OAC －S △AOC ＋S △OCB －S 扇形OCD ＝34π.三、解答题16. 【答案】解：(1)设扇形的半径为r cm.由题意，得120π×r2360＝300π，解得r ＝30，∴扇形的弧长＝120π×30180＝20π(cm)．(2)设圆锥的底面圆的半径为x cm ，则2π·x ＝20π，解得x ＝10， ∴圆锥的高＝302－102＝20 2(cm)，∴圆锥的体积＝13·π·102·20 2＝ 2000 23π(cm3)．17. 【答案】解：∵轴截面△ABC 是等边三角形，∴AC ＝BC ＝2OC.由题意，得π·OC·AC ＋π·OC 2＝75π，∴3π·OC2＝75π，∴OC2＝25.∵OC>0，∴OC ＝5 cm ，∴AC ＝2OC ＝2×5＝10(cm)．即这个圆锥的底面圆的半径为5 cm ，母线长为10 cm.18. 【答案】解：由题意可知△ACD ≌△AC′D′，所以可将△AC′D′旋转到△ACD 处，使阴影部分面积成为一部分环形面积，可通过两扇形面积之差求得，即雨刷CD 扫过的面积S 阴影＝S 扇形ACC′－S 扇形ADD′＝90π×1152360－90π×352360＝π4(115＋35)×(115－35)＝3000π(cm2)．答：雨刷扫过的面积为3000π cm2.19. 【答案】 [解析] 小圆向右平移，使它的圆心与大圆的圆心重合，于是阴影部分的面积可转化为大半圆的面积减去小半圆的面积．解：将小半圆向右平移，使两半圆的圆心重合，如图，连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则AC ＝BC ＝12.∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC 为小半圆的半径，∴S 阴影＝S 大半圆－S 小半圆＝12π·OB2－12π·OC2＝12π(OB2－OC2)＝12π·BC2＝72π.20. 【答案】解：(1)∵在等腰三角形ABC 中，∠BAC ＝120°，∴AB ＝AC ，∠B ＝∠C ＝30°.∵AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD.在Rt △ABD 中，由∠B ＝30°，AD ＝6，可得AB ＝12，BD ＝6 3，∴BC ＝2BD ＝12 3，∴由EF ︵及线段FC ，CB ，BE 围成的图形(图中阴影部分)的面积＝S △ABC －S 扇形AEF ＝12×6×12 3－120·π·62360＝36 3－12π. (2)设圆锥的底面圆的半径为r.根据题意，得2πr ＝120·π·6180，解得r ＝2，∴这个圆锥的高h ＝62－22＝4 2.。

2019-2020学年人教版九年级数学上学期同步测试专题24-1：圆的有关性质(含解析)

专题24.1圆的有关性质（测试）一、单选题1．下列各角中，是圆心角的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】顶点在圆心，两边和圆相交的角是圆心角，选项D 中，是圆心角，故选D ．2．一个周长是l 的半圆，它的半径是（） A ．l π÷ B ．2l π÷C ．()2l π÷+D ．()1l π÷+【答案】C 【解析】半圆的周长为半径的π倍加上半径的2倍，所以一个周长是l 的半圆，它的半径是()2l π÷+，所以选C. 3．如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为（）A ．B ．4C ．D ．4.8【答案】C【解析】∵AB 为直径， ∴90ACB ︒∠=，∴6BC =， ∵OD AC ⊥， ∴142CD AD AC ===，故选C ． 4．如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，点D 是O 上一点，30ADC ∠=︒，则BOC ∠的度数为（）．A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】D【解析】解：如图，∵30ADC ∠=︒， ∴260AOC ADC ∠=∠=︒． ∵AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，∴AC BC =．∴60AOC BOC ∠=∠=︒．故选：D ．.5．如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65°．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器（）台．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】设需要安装n （n 是正整数）台同样的监控器，由题意，得：65°×2×n ≥360°，解得n ≥3613，∴至少要安装3台这样的监控器，才能监控整个展厅．故选：A ．且10CD m =，则这段弯路所在圆的半径为（）A ．25mB ．24mC ．30mD ．60m【答案】A 【解析】解：OC AB ⊥，20AD DB m ∴==，在Rt AOD ∆中，222OA OD AD =+，设半径为r 得：()2221020r r =-+，解得：25r m =，∴这段弯路的半径为25m故选：A ．7．若AB 和CD 的度数相等，则下列命题中正确的是（） A ．AB =CDB ．AB 和CD 的长度相等C ．AB 所对的弦和CD 所对的弦相等D ．AB 所对的圆心角与CD 所对的圆心角相等【答案】D【解析】如图，AB 与CD 的度数相等，A 、根据度数相等，不能推出弧相等，故本选项错误；B 、根据度数相等，不能推出两弧的长度相等，故本选项错误；C 、根据度数相等，不能推出所对应的弦相等，故本选项错误；D 、根据度数相等，能推出弧所对的两个圆心角相等，故本选项正确；8．如图，C、D为半圆上三等分点，则下列说法：①AD=CD=BC；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD ＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【解析】∵C、D为半圆上三等分点，∴»»»AD CD BC==，故①正确，∵在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相，∴AD＝CD＝OC，∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，故②③正确，∵OA=OD=OC=OB，∴△AOD≌△COD≌△COB，且都是等边三角形，∴△AOD沿OD翻折与△COD重合．故④正确，∴正确的说法有：①②③④共4个，故选A．9．下列说法：①优弧一定比劣弧长；②面积相等的两个圆是等圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中不正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】解：在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长，所以①错误；面积相等的两个圆半径相等，则它们是等圆，所以②正确；能完全重合的弧是等弧，所以③错误；经过圆内一个定点可以作无数条弦，所以④正确；经过圆内一定点可以作无数条直径或一条直径，所以⑤错误．10．如图所示，AB 是半圆O 的直径。

初中数学人教版九年级上册第二十四章能力测试题含答案

初初初初初初初初初初初初初初初初初初初初初初初初初24.1圆的有关性质一、选择题1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD=5，CE=√13，则AE =()A. 3B. 3√2C. 4√3D. 2√32.如图，在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm，则⊙O的半径是()A. 6cmB. 10cmC. 8cmD. 20cm3.如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC=40°，则∠ADC的度数是()A. 130°B. 140°C. 150°D. 160°4.如图，A、B是⊙O上两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为()A. √2rB. √3rC. rD. 2r5.下列说法正确的是()1/ 45A. 垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B. 平分弦的直径垂直于弦C. 垂直于直径平分这条直径D. 弦的垂直平分线经过圆心6.下列说法正确的是()A. 相等的圆心角所对的弧相等B. 在同圆中，等弧所对的圆心角相等C. 在同圆中，相等的弦所对的弧相等D. 相等的弦所对的弧相等7.如图，在⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB=8，CD=2，则EC的长度为()A. 2√15B. 8C. 2√10D. 2√138.如图所示，图中弦的条数为()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条9.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为AB⌢的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为()A. 12B. 5 C. 5√32D. 5√310.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为()A. 6B. 8C. 5√2D. 5√3二、填空题11.如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB=8cm，AC=6cm，那么⊙O的半径OA长为______．12.如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为______．13.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD=130°，AC//OD交⊙O于C，连接BC，则∠B=________．14.如图，CD是⊙O的直径，CD=4，∠ACD=20°，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上的一个动点，则PA+PB的3/ 45最小值为______．三、计算题15.⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，且∠DEB=60°，求CD的长．四、解答题16.如图，AB是⊙O的直径，点C为BD⌢的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．(1)求证：△BFG≌△CDG；(2)若AD=BE=2，求BF的长．17.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC．18.如图所示，已知⊙O′与平面直角坐标系交于A，O，B三点，点C在⊙O′上，点A的坐标为(0,2)，∠COB=45°，∠OBC= 75°，求⊙O′的直径．5/ 45答案和解析1.【答案】D【解析】解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠1=∠2，∵∠1=∠CDA，∠2=∠3，∴∠3=∠CDA，∴AC=AD=5，∵AE⊥CB，∴∠AEC=90°，∴AE=√AC2−CE2=√52−(√13)2=2√3．故选：D．连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1=∠CDA，∠2=∠3，从而得到∠3=∠CDA，所以AC=AD=5，然后利用勾股定理计算AE的长．本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).也考查了勾股定理．2.【答案】B【解析】解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OC，∵弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cmAB=8cm，∴OE=6cm，AE=12在Rt△AOE中，根据勾股定理得，OA=√OE2+AE2=10cm故选：B．过点O作OE⊥AB于点E.根据垂径定理和勾股定理求解．本题考查了垂径定理和勾股定理的综合应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．【解析】解：由题意得到OA=OB=OC=OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=40°，∴∠ADC=140°，故选：B．根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．4.【答案】B【解析】解：连接AB，与OC交于点D，如图所示：∵四边形ACBO为菱形，∴OA=OB=AC=BC，OC⊥AB，又OA=OC=OB，∴△AOC和△BOC都为等边三角形，AD=BD，在Rt△AOD中，OA=r，∠AOD=60°，r，∴AD=OAsin60°=√32则AB=2AD=√3r.故选：B．连接AB，与OC交于点D，由ACBO为菱形，根据菱形的性质得到对角线互相垂直，且四条边相等，再由半径相等得到三角形AOC与三角形BOC都为等边三角形，同时得到AD=BD，在直角三角形AOD中，由OA=r，∠AOD为60°，利用余弦函数定义及特殊角的三角函数值求出AD的长，即可求出AB的长．此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，垂径定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．7/ 45【解析】解：A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误；B、平分弦(非直径)的直径垂直于弦，所以B选项错误；C、垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误；D、弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确．故选：D．根据垂径定理对A、C进行判断；根据垂径定理的推论对B、D进行判断．本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．6.【答案】B【解析】解：A、错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本选项不符合题意．B、正确．C、错误．弦所对的弧有两个，不一定相等，本选项不符合题意．D、错误．相等的弦所对的弧不一定相等．故选：B．根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．本题考查圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【答案】D【解析】【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角形中位线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．首先连接BE，由⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，CD=2，根据垂径定理可求得AC=BC=4，然后设OA=R，利用勾股定理可得方程：42+(R−2)2=R2，则可求得半径的长，继而利用三角形中位线的性质，求得BE的长，又由AE是直径，可得∠B=90°，继而求得答案．【解答】解：如图，连接BE，设⊙O的半径为R，∵OD⊥AB，∴AC=BC=12AB=12×8=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R−CD=R−2，由勾股定理，得OC2+AC2=OA2，∴(R−2)2+42=R2，解得R=5，∴OC=5−2=3，∵O是AE的中点，C是AB的中点，∴OC是三角形ABE的中位线，∴BE=2OC=6，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90∘，在Rt△BCE中，CE=√BC2+BE2=2√13．故选D．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了圆的有关概念，熟记连接圆上任意两点的线段叫弦是解题的关键．弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答．【解答】解：由图可知，点A、B、D、C是⊙O上的点，9/ 45图中的弦有AB 、DC 一共2条．故选B ．9.【答案】D【解析】【分析】此题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，含30°直角三角形有关知识，连接OC 、OA ，利用圆周角定理得出∠AOC =60°，再利用垂径定理得出AB 即可．【解答】解：连接OC 、OA ，∵∠ABC =30°，∴∠AOC =60°，∵AB 为弦，点C 为AB⏜的中点， ∴OC ⊥AB ，∴∠OAB =30°，在Rt △OAE 中，∵AO =5，∴OE =2.5，∴AE =√AO 2−OE 2=√52−(52)2=5√32， ∴AB =5√3，故选D ．10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查圆心角定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理．延长AO 交⊙O 于点E ，连接BE ，由∠AOB +∠BOE =∠AOB +∠COD 知∠BOE =∠COD ，据此可得BE=CD=6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．【解答】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE=180°，又∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠BOE=∠COD，∴BE=CD=6，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴AB=√AE2−BE2=√102−62=8，故选B．11.【答案】5cm【解析】解：连接OA，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AE=12AC=12×6=3(cm)，AD=12AB=12×8=4(cm)，∠OEA=∠ODA=90°，∵AB、AC是互相垂直的两条弦，∴∠A=90°，∴四边形OEAD是矩形，∴OD=AE=3cm，在Rt△OAD中，OA=√AD2+OD2=5cm．故答案为：5cm．首先由AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，易证得四边形OEAD是矩形，根据垂径定理，可求得AE与AD的长，然后利用勾股定理即可求得⊙O的半径OA11/ 45长．此题考查了垂径定理，矩形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意特殊图形的性质的应用．12.【答案】30°【解析】解：如图，连接OC．∵AB是直径，AC⏜=CD⏜=BD⏜，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A=60°，∵CE⊥OA，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=90°−60°=30°．故答案为30°想办法证明△AOC是等边三角形即可解决问题．本题考查圆周角定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13.【答案】40°【解析】【分析】本题主要考查圆周角定理及推论，平行线的性质，先求出∠AOD，利用平行线的性质得出∠A，再由圆周角定理求出∠B的度数即可．【解答】解：∵∠BOD=130°，∴∠AOD=50°，又∵AC//OD，∴∠A=∠AOD=50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∴∠B=90°−50°=40°．故答案为40°．14.【答案】2【解析】【分析】本题考查的是轴对称−最短路线问题，解答此题的关键是找到点A的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．首先作A关于CD的对称点Q，连接BQ，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和等边三角形的判定和性质解答．【解答】解：作A关于CD的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，此时AP+PB=QP+PB= QB，根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，连接OQ，OB，∵点B为弧AD的中点，∴∠BOD=∠ACD=20°，∴∠QOD=2∠QCD=2×20°=40°，∴∠BOQ=20°+40°=60°．∵OB=OQ，∴△BOQ是等边三角形，13/ 45BQ=OB=12CD=2，即PA+PB的最小值为2．故答案为2．15.【答案】解：作OP⊥CD于P，连接OD，∴CP=PD，∵AE=1，EB=5，∴AB=6，∴OE=2，在Rt△OPE中，OP=OE⋅sin∠DEB=√3，∴PD=√OD2−OP2=√6，∴CD=2PD=2√6(cm)．【解析】作OP⊥CD于P，连接OD，根据正弦的定义求出OP，根据勾股定理求出PD，根据垂径定理计算．本题考查的是垂径定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．16.【答案】证明：(1)∵C是BC⏜的中点，∴CD⏜=BC⏜，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴BC⏜=BF⏜，∴CD⏜=BF⏜，∴CD=BF，在△BFG和△CDG中，∵{∠F=∠CDG∠FGB=∠DGC BF=CD，∴△BFG≌△CDG(AAS)；(2)如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，∵CD⏜=BC⏜，∵CE⊥AB，∴CH=CE，∵AC=AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC(HL)，∴AE=AH，∵CH=CE，CD=CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE(HL)，∴DH=BE=2，∴AE=AH=2+2=4，∴AB=4+2=6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠BEC=90°，∵∠EBC=∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴BCAB =BEBC，∴BC2=AB⋅BE=6×2=12，∴BF=BC=2√3．【解析】(1)根据AAS证明：△BFG≌△CDG；(2)如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明Rt△AHC≌Rt△AEC(HL)，得AE=AH，再证明Rt△CDH≌Rt△CBE(HL)，得DH=BE=2，计算AE和AB的长，证明△BEC∽△BCA，列比例式可得BC的长，就是BF的长．此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．17.【答案】证明：∵AB=BC，∴AB⏜=BC⏜，∴∠BDC=∠ADB，15/ 45【解析】本题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系.熟练掌握圆周角定理，证出AB⏜=BC⏜是解决问题的关键.由圆心角、弧、弦的关系得出AB⏜=BC⏜，由圆周角定理得出∠BDC=∠ADB，即可得出结论．18.【答案】解：如图，连接AB．∵∠AOB=90°，∴AB是直径，∵∠C=180°−∠COB−∠OBC=180°−45°−75°=60°，∴∠OAB=∠OCB=60°，∴∠ABO=30°，∵A(0,2)，∴OA=2，∴AB=2OA=4，∴⊙O′的直径为4．【解析】本题考查圆周角定理，坐标由图形的性质，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．如图，连接AB.首先证明AB是直径，解直角三角形求出AB即可．24.2点和圆、直线和圆的位置关系1、在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，以A为圆心作圆，如果B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则圆A的半径r的取值范围是？2、试述点和圆的位置关系？17 / 453、直线和圆的公共点的数目不能超过，这是因为。

人教版九年级数学上册第24章24.1 ---24.4练习题(有答案)

人教版九年级数学上册第24章24.1 ---24.4练习题（有答案）24.1 圆的有关性质一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 下列说法中，正确的是（）A.长度相等的两条弧是等弧B.优弧一定大于劣弧C.任意三角形都一定有外接圆D.不同的圆中不可能有相等的弦2. 如图，AB是⊙O的直径，点A是弧CD的中点，若∠B=25∘，则∠AOC=()A.25∘B.30∘C.40∘D.50∘3. 如图，一座石拱桥是圆弧形其跨度AB=24米，半径为13米，则拱高CD为（）A.3√5米B.5米C.7米D.8米4. 锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中．能组成四点共圆的组数是（）A.4组B.5组C.6组D.7组5. 如图，在⊙O中，∠ABC=130∘，则∠AOC等于()A.50∘B.80∘C.90∘D.100∘6. 如图，在⊙O中，∠BAC=15∘，∠ADC=20∘，则∠ABO的度数为()A.70∘B.55∘C.45∘D.35∘7. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5∘，OC=3√2，CD的长为（）A.2B.4C.6D.88. 如图，四边形ABCD 内接于半径为6的⊙O 中，连接AC ，若AB ＝CD ，∠ACB ＝45∘，∠ACD =12∠BAC ，则BC 的长度为（）A.6√3B.6√2C.9√3D.9√29. 高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =12米，净高CD =9米，则此圆的半径OA =( )A.122米B.132米C.142米D.152米10. 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点D 是AĈ的中点，点E 是BC ̂上的一点，若∠CED =40∘，则∠ADC =( )A.100∘B.110∘C.95∘D.120∘二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）11. 已知AB 、CD 是⊙O 的两条弦，若AB ̂=CD ̂，且AB =2，则CD =________．12. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，若△COD为直角三角形，则∠E的度数为________∘．13. 如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝62∘，∠E ＝24∘，则∠F＝________．14. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=62∘，则∠C=________∘．15. 在△ABC中，∠B=60∘，∠BCA=20∘，∠DAC=20∘，∠BCA的平分线交AB于E，连DE，则∠BDE=________．16. 芳芳家今年搬进了新房，新房外飘的凉台呈圆弧形（如图所示），她测得凉台的宽度AB为8m，凉台的最外端C点离AB的距离CD为2m，则凉台所在圆的半径为________．17. 已知一条弧的度数为120∘，则它所对的圆周角的度数是________∘．18. 如图，在△ABC中，已知∠ACB=130∘，∠BAC=20∘，BC=2，以点C为圆心，CB 为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________．19. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是弧CD上一点，且弧DF=弧BC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105∘，∠BAC=25∘，则∠E的度数为________度.20. 如图是比例尺为1:200的铅球场地的示意图，铅球投掷圈的直径为2.135m，体育课上，某生推出的铅球落在投掷区的点A处，他的铅球成绩约为________m（精确到0.1m）．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 如图，⊙O是△ABC外接圆，AB=AC，P是⊙O上一点．（1）分别出图①和图②中∠BPC的角平分线；（2）结合图②，说明你这样理由．22. 如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF．23. 如图，⊙O的弦AC、BD交于点Q，AP、CP是⊙O的切线，O、Q、P三点共线．求证：PA2=PB⋅PD．24. 如图，AB、CD是⊙O中的两条弦，M、N分别是AB、CD的中点，且∠OMN=∠ONM．求证：AB=CD．25. 如图，⊙O的半径长为12cm，弦AB=16cm．（1）求圆心到弦AB的距离；（2）如果弦AB的两端点在圆周上滑动（AB弦长不变），那么弦AB的中点形成什么样的图形？̂上一点，AG、CD的延长线26. 如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AD相交于点F，求证：∠FGD=∠AGC．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】A9.【答案】B10.【答案】A二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】212.【答案】22.513.【答案】32∘14.【答案】11815.【答案】20∘16.【答案】5米17.【答案】6018.【答案】2√319.【答案】5020.【答案】6.1三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：（1）如图①，连接AP，即为所求角平分线；如图②，连接AO并延长，与⊙O交于点D，连接PD，即为所求角平分线（2）∵ AD是直径，∵ 半圆ABD=半圆ACD又∵ AB=AC，̂=AĈ，∵ AB∵ BĈ=BD̂，∵ ∠BPD=∠CPD，即PD平分∠BPC．22.【答案】证明：连结OA、OC，如图，∵ E、F分别为弦AB、CD的中点，∵ OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，∵ AB=CD，∵ AE=CF，在Rt△AEO和Rt△COF中，{AE=CFAO=CO，∵ Rt△AEO≅Rt△COF(HL)，∵ OE=OF．23.【答案】证明：连接OA、OB、OD、OC，设DP交⊙O于E．∵ AP、CP是⊙O的切线，∵ ∠OAP=∠PCO=90∘∵ A、O、C、P四点共圆，∵ OQ⋅PQ=AQ⋅CQ（相交弦定理）；又∵ DQ⋅BQ=AQ⋅CQ（相交弦定理），∵ OQ⋅PQ=DQ⋅BQ，∵ D、O、B、P四点共圆；∵ OD=OB，∵ ∠ODB=∠OBD；又∵ ODPB四点共圆∵ ∠ODB=∠OPB；∠OBD=∠OPD；∵ ∠OPD=∠OPB，∵ PB=PE，∵ PA2=PE⋅PD=PB⋅PD（切割线定理），即PA2=PB⋅PD．24.【答案】证明：∵ M、N分别是AB、CD的中点，∵ OM⊥AB，ON⊥CD，又∵ ∠OMN=∠ONM，∵ OM=ON，∵ AB=CD．25.【答案】解：（1）作OC⊥AB，垂足为C连接AO，则AC=8cm，在Rt△AOC中，OC=√OA2−AC2=√122−82=√80=4√5cm（或OC=8.944cm）；即圆心到弦的距离是4√5cm．（2）形成一个以O为圆心，4√5cm为半径的圆．（答“以O为圆心，OC长为半径的圆”亦可，如果只答“是一个圆”得1分）26.【答案】证明：连接AC，∵ 四边形ACDG是圆内接四边形，∵ ∠FGD=∠ACD．∵ 弦CD⊥AB于点E，∵ AĈ=AD̂，∵ ∠AGC=∠ACD，∵ ∠FGD=∠AGC．24.2 点和圆、直线和圆的位置关系（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 已知⊙O的半径为7cm，OA=5cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.不能确定2. 等边三角形的内切圆与它的外接圆的半径比是（）A.√22B.12C.1D.23. 如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连结OA，若∠ABC=70∘，则∠A等于（）A.10∘B.15∘C.20∘D.30∘4. 如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50∘，则∠AOC的度数为（）A.40∘B.50∘C.80∘D.100∘5. 如图，⊙O的半径为5，△ABC内接于⊙O，且BC＝8，AB＝AC，点D在AĈ上．若∠AOD＝∠BAC，则CD的长为（）A.5B.6C.7D.86. 下列关于圆的切线的说法正确的是（）A.垂直于圆的半径的直线是圆的切线B.与圆只有一个公共点的射线是圆的切线C.经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线D.如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线7. 已知△ABC中，∠B≠∠C，求证：AB≠AC．若用反证法证这个结论，应首先假设（）A.∠B=∠CB.∠A=∠BC.AB=ACD.∠A=∠C8. 如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC=MD=AC，连接AD，现有下列结论：①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB=MO；④∠ADM=120∘，其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个9. 如图，在△ABC中，AB=13，AC=5，BC=12，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）A.125B.6013C.5D.无法确定10. 如图，AE、AD和BC分别切⊙O于点E、D、F，如果AD=20，则△ABC的周长为（）A.20B.30C.40D.50二、填空题（本题共计7 小题，每题3 分，共计21分，）11. 如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________．12. 已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，且⊙O1经过点O1，∠AO1B=100∘，则∠AO2B=________．13. 如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=8，CD=5，则AD+BC的长为________．14. 如图，在边长为54√3的正三角形ABC中，O1为△ABC的内切圆，圆O2与O1外切，且与AC、BC相切；圆O3与O2外切，且与AC、BC相切…如此继续下去，请计算圆O5的周长为________．（结果保留π）15. 已知⊙O是等腰梯形ABCD的内切圆，上底AD=a，下底BC=b，则其内切圆的半径OP为________．16. 已知在直角ABC中，∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm，则△ABC的外接圆半径长为________cm，△ABC的内切圆半径长为________cm，△ABC的外心与内心之间的距离为________cm．17. 如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=2，CD=1，BF= 3，则内切圆的半径r=________．三、解答题（本题共计5小题，共计69分，）18. 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作AC的垂直平分线，垂足为D;②以D为圆心，DA长为半径作圆，交AB于E（E异于A），连接CE；（2）探究CE与AB的位置关系，并证明你的结论．19. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，O为AB上一点，BO=x，⊙O的半径为2．（1）当x为何值时，直线BC与⊙O相切？（2）当x在什么范围内取值时，直线BC与⊙O相离、相交？20. 如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，且BD=CD，过D作DF⊥AC，垂足为F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AD=5√3，∠CDF=30∘，求⊙O的半径．21. 如图，⊙O的半径为5cm，AB、AC是⊙O的两条弦，AB=6√2cm，AC=8cm．过点O作一个圆与AC相切，则这个圆的半径是多少？它与AB具有怎样的位置关系？为什么？22 如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=4．BC=3，点M是AB上一点，以M为圆心作⊙M，（1）若⊙M经过A、C两点，求⊙M的半径，并判断点B与⊙M的位置关系．（2）若⊙M和AC、BC都相切，求⊙M的半径．参考答案与试题解析一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】A【解答】解：∵ ⊙O的半径为7cm，OA=5cm，∵ d<r，∵ 点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，故选A．2.【答案】B【解答】解：如图，连接OD、OE；∵ AB、AC切圆O与E、D，∵ OE⊥AB，OD⊥AC，∵ AO=AO，EO=DO，∵ △AEO≅△ADO(HL)，∵ ∠DAO=∠EAO；又∵ △ABC为等边三角形，∵ ∠BAC=60∘，×60∘=30∘，∵ ∠OAC=12∵ OD:AO=1:2．，∵ 等边三角形的内切圆与外接圆半径的比是12故选B．3.【答案】C【解答】解：连接OB，∵ BC是⊙O的切线，∵ OB⊥BC，∵ ∠CBO=90∘，∵ ∠ABC=70∘，∵ ∠OBA=90∘−70∘=20∘，∵ OA=OB，∵ ∠A=∠OBA=20∘，故选C．4.【答案】C【解答】解：∵ 在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，∵ ∠OCD=90∘，∵ ∠BCD=50∘，∵ ∠OCB=40∘，∵ ∠AOC=80∘，故选C．5.【答案】B【解答】连接BD，∵ AB＝AC，∵ ∠ABC＝∠ACB，∵ ∠BAC+2∠ACB＝180∘，∵ ∠BAC＝∠AOD，∵ ∠AOD+2∠ACB＝180∘，∵ ∠AOD＝2∠ACD，∵ 2∠ACD+2∠ACB＝180∘，∵ ∠ACD+∠ACB＝90∘，即∠BCD＝90∘，∵ BD为⊙O的直径，∵ BD＝10，∵ CD=√BD2−BC2=√102−82=6，6.【答案】D【解答】解：A，经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误；B，与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，故原命题错误；C，经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误；D，如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线，正确．故选D.7.【答案】C【解答】解：∵ 已知△ABC中，∠B≠∠C，求证：AB≠AC．∵ 若用反证法证这个结论，应首先假设：AB=AC．故选：C．8.【答案】D【解答】解：如图，连接CO，DO，∵ MC与⊙O相切于点C，∵ ∠MCO=90∘，在△MCO与△MDO中，{MC=MD，MO=MO，CO=DO，∵ △MCO≅△MDO(SSS)，∵ ∠MCO=∠MDO=90∘，∠CMO=∠DMO，∵ MD与⊙O相切，故①正确；在△ACM与△ADM中，{CM =DM ，∠CMA =∠DMA ，AM =AM ，∵ △ACM ≅△ADM(SAS)，∵ AC =AD ，∵ MC =MD =AC =AD ，∵ 四边形ACMD 是菱形，故②正确；如图连接BC ，∵ AC =MC ，∵ ∠CAB =∠CMO ，又∵ AB 为⊙O 的直径，∵ ∠ACB =90∘，在△ACB 与△MCO 中，{∠CAB =∠CMO ，AC =MC ，∠ACB =∠MCO ， ∵ △ACB ≅△MCO(SAS)，∵ AB =MO ，故③正确；∵ △ACB ≅△MCO ，∵ BC =OC ，∵ BC =OC =OB ，∵ ∠COB =60∘，∵ ∠MCO =90∘，∵ ∠CMO =30∘，又∵ 四边形ACMD 是菱形，∵ ∠CMD =60∘，∵ ∠ADM =120∘，故④正确；故正确的有4个.故选D .9.【答案】B【解答】解：∵ 在△ABC中，AB=13，AC=5，BC=12，∵ AB2=AC2+BC2．∵ ∠ACB=90∘，∵ PQ一定是直径．要使过点C且与边AB相切的动圆的直径最小，则PQ即为斜边上的高，则PQ=AC⋅BCAB =6013．故选B．10.【答案】C【解答】解：据切线长定理有AD=AE，BE=BF，CD=CF；则△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BF+CF+AC=AB+BE+AC+CD=AD+AE=2AD=40．故选C．二、填空题（本题共计7 小题，每题 3 分，共计21分）11.【答案】∠ABC=90∘【解答】解：当△ABC为直角三角形时，即∠ABC=90∘时，BC与圆相切，∵ AB是⊙O的直径，∠ABC=90∘，∵ BC是⊙O的切线，（经过半径外端，与半径垂直的直线是圆的切线）．故答案为：∠ABC=90∘．12.【答案】130∘或50∘【解答】解：①如图：∵ ∠AO1B=80∘，∠AO1B=50∘，∵ ∠ACB=12∵ A、C、B、O2四点共圆，∵ ∠AO2B+∠ACB=180∘，∵ ∠AO2B=130∘，②如图：∠AO1B=50∘；此时∠AO2B=12故答案为：130∘或50∘．13.【答案】13【解答】解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以AD+BC=AB+CD=5+8=13，故选答案是：13．14.【答案】2π3【解答】解：如图过点O2作O2D⊥O1E于D，∵ △ABC是等边三角形，O1为△ABC的内切圆，∵ O1E⊥BC，∠O1BE=∠O1O2D=30∘，BE=12BC=27√3，∵ O1E=27，设⊙O1，⊙O2的半径为R，r，∴O1O2=12O1D，∵ r=13R，同理⊙O3的半径=13r=19R=3，⊙O4=13×3=1，⊙O5=13×1=13，∵ ⊙O5的周长=2×13π=23π．15.【答案】√ab2【解答】解：设⊙O的半径OP=r，过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，过D作MN⊥AD交BC于N，则AE // MN // DF，∵ AD // BC，∵ 四边形AENM和四边形DFNM是平行四边形，∵ AE=NM=DF=2r，AD=EF=b−a，∵ AB=DC，∵ 由勾股定理得：BE=CF=12(b−a)，∵ ⊙O是等腰梯形ABCD的内切圆，∵ AB=DC12(a+b)，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=√[12(a+b)]2−[12(b−a)]2=√ab，∵ OP=√ab2．故答案为：√ab2．16.【答案】5,2,√5【解答】解：(1)∵ ∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm，∵ AB=√82+62=10cm．∵ △ABC的外接圆半径长R=AB2=102=5cm．故答案为：5cm．(2)∵ AC=8cm，BC=6cm，由(1)知AB=10cm，∵ △ABC的内切圆半径长r=a+b−c2，=8+6−10=2cm．故答案为：2cm．(3)连接ID，IE，IF，∵ ⊙I是△ABC的内切圆，∵ ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，∵ ∠CDI=∠CEI=∠C=90∘，又∵ DI=EI，∵ 四边形CDIE是正方形．∵ CD=CE=DI=IE，由(2)知DI=IE=IF2cm，∵ CD=2cm．∵ BC=6cm，∵ BD=4cm．∵ ⊙I是△ABC的内切圆，∵ BD=BF=4cm．∵ BO=5cm，∵ OF=1cm．在Rt△IFO中，IO=√22+12=√5cm．∵ △ABC的外心与内心之间的距离为√5cm．故答案为：√5cm．17.【答案】1【解答】解：∵ ⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∵ AF=AE，EC=CD，DB=BF，∵ AE=2，CD=1，BF=3，∵ AF=2，EC=1，BD=3，∵ AB=BF+AF=3+2=5，BC=BD+DC=4，AC=AE+EC=3，∵ △ABC是直角三角形，=1.∵ 内切圆的半径r=3+4−52故答案为：1．三、解答题（本题共计7 小题，每题10 分，共计70分）18.【答案】（1）解：①如解图，直线DF即为AC的垂直平分线；②如解图，⊙D即为所求作的圆；（2）证明：CE⊥AB．证明：∵ AD是⊙D的半径，点D是线段AC的中点，∵ AC是⊙D的直径，∵ ∠AEC=90∘，∵ CE⊥AB．【解答】（1）解：①如解图，直线DF即为AC的垂直平分线；②如解图，⊙D即为所求作的圆；（2）证明：CE⊥AB．证明：∵ AD是⊙D的半径，点D是线段AC的中点，∵ AC是⊙D的直径，∵ ∠AEC=90∘，∵ CE⊥AB．19.【答案】解：（1）作OD // AC，交BC于点D，∵ ∠C=90∘，∠A=30∘，∵ ∠B=60∘，∠DOB=30∘，∵ BO=x，OD=2，∵ cos30∘=2，x，解得：x=4√33时，直线BC与⊙O相切；即当x为4√33（2）由（1）得：①若圆O与直线BC相离，则有OB大于x，即x>4√3；3．②若圆O与直线CB相交，则有OB小于x，即x<4√33【解答】解：（1）作OD // AC，交BC于点D，∵ ∠C=90∘，∠A=30∘，∵ ∠B=60∘，∠DOB=30∘，∵ BO=x，OD=2，，∵ cos30∘=2x解得：x=4√3，3即当x为4√33时，直线BC与⊙O相切；（2）由（1）得：①若圆O与直线BC相离，则有OB大于x，即x>4√33；②若圆O与直线CB相交，则有OB小于x，即x<4√33．20.【答案】【解答】此题暂无解答21.【答案】解：作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，连接OA，如图所示：则AD=CD=12AC=4cm，AE=BE=12AB=3√2cm，∠ODA=∠OEA=90∘，由勾股定理得：OD=√OA2−AD2=√52−42=3(cm)，OE=√OA2−AE2=√52−(3√2)2=√7(cm)，即过点O作一个圆与AC相切，则这个圆的半径是3cm，这个圆与AB相交，理由如下：∵ √7<3，即d<r，∵ 与CA相切的圆与AB相交．【解答】解：作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，连接OA，如图所示：则AD=CD=12AC=4cm，AE=BE=12AB=3√2cm，∠ODA=∠OEA=90∘，由勾股定理得：OD=√OA2−AD2=√52−42=3(cm)，OE=√OA2−AE2=√52−(3√2)2=√7(cm)，即过点O作一个圆与AC相切，则这个圆的半径是3cm，这个圆与AB相交，理由如下：∵ √7<3，即d<r，∵ 与CA相切的圆与AB相交．22.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）CP=16.9cm【解答】（1）如图，连接OD，：BC是○○的直径，________BAC=90∘AD平分么BAC，∵ ________BAC=2∠BAD，BOD=2BAD，．2BOD=∠BAC=90∘DPIIBC，．________ODP=∠BOD=90∘…．PDLOD，：OD是○○半径，…PD是○O的切线；（2）：PDIIBC，∵ ________ACB=2PACB=∠ADB∵ ．ADB=2P________AB+∠ACD=180∘&nbsp∴ ACD+∠DCP=180∘________DCP=∠ABD∵ ΔABD∼△DCP；（3）：BC是○○的直径，∠BDC=∠BAC=90∘在Rt△ABC中，BC=√AB2+AC2=13cm：AD平分么BAC，∵ 2EAD=∠CAD∵ 2BOD=∠COD∵ BD=CE)．在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2∴ BD=CD=√22BC=13√22ΔABD−△DCP∵ABCD=BDCPCP=16x−s&nbsprcm．BK−P22.【答案】解：（1）∵ ⊙M经过A、C两点，∵ M在AC的垂直平分线上，设点D是AC的中点，连接CM，DM，∵ DM // BC，∵ AM:BM=AD:CD=1，∵ M是AB的中点，∵ AM=CM=BM，连接CM，∵ Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=4，BC=3，∵ AB=√AC2+BC2=5，∵ CM=12AB=2.5，∵ ⊙M的半径为 2.5，点B在⊙M上．（2）连接EM，FM，∵ ⊙M和AC、BC都相切，∵ ME⊥AC，MF⊥BC，CE=CF，∵ ∠C=90∘，∵ 四边形CEMF是正方形，设EM=x，则CE=x，∵ AE=AC−CE=4−x，∵ △AEM∽△ACB，∵ AE:AC=EM:BC，∵ 4−x4=x3，解得：x=127．即⊙M的半径为127．【解答】解：（1）∵ ⊙M经过A、C两点，∵ M在AC的垂直平分线上，设点D是AC的中点，连接CM，DM，∵ DM // BC，∵ AM:BM=AD:CD=1，∵ M是AB的中点，∵ AM=CM=BM，连接CM，∵ Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=4，BC=3，∵ AB=2+BC2=5，∵ CM=12AB=2.5，∵ ⊙M的半径为 2.5，点B在⊙M上．（2）连接EM，FM，∵ ⊙M和AC、BC都相切，∵ ME⊥AC，MF⊥BC，CE=CF，∵ ∠C=90∘，∵ 四边形CEMF是正方形，设EM=x，则CE=x，∵ AE=AC−CE=4−x，∵ △AEM∽△ACB，∵ AE:AC=EM:BC，∵ 4−x4=x3，解得：x=127．即⊙M的半径为127．24.3正多边形和圆一．选择题1．下面说法正确的个数有（）①若m＞n，则ma2＞nb2；②由三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；③有两个角互余的三角形一定是直角三角形；④各边都相等的多边形是正多边形；⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个2．下列说法，错误的是（）A．为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法B．一元二次方程3x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根C．一次函数y＝﹣3x+2的图象经过第一、二、四象限D．正六边形每个内角的度数是外角度数的2倍3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（）A．45°B．36°C．35°D．30°4．如图，用若n个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为（）A．5B．6C．8D．105．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（）A．60°B．36°C．76°D．72°6．如图，正方形ABCD和正三角形AEF内接于⊙O，DC、BC交EF于G、H，若正方形ABCD的边长是4，则GH的长度为（）A．2B．4﹣C．D．﹣7．如图，⊙O是正八边形ABCDEFGH的外接圆，则下列结论：①弧DF的度数为90°；②AE＝DF；③S＝AEDF．正八边形ABCDEFGH其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③8．如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值为（）A．B．C．D．29．如图，正五边形ABCDE与正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，若连接BM，则∠MBC的度数是（）A．12°B．15°C．30°D．48°10．如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题11．正六边形的边长为2，则边心距为．12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是1，则正方形的边长是．13．中心角为36°的正多边形边数为．14．如图，正五边形ABCDE内接于圆O，P为弧DE上的一点（点P不与点D、E重合），则∠CPD的度数为．15．如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转60°，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转°，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为4，则所得正八边形的面积为．三．解答题16．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．17．如图，以△ABC的一边AC为直径的⊙O交AB边于点D，E是⊙O上一点，连接DE，∠E＝∠B．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠E＝45°，AC＝4，求⊙O的内接正四边形的边长．18．如图，实线部分是由正方形，正五边形和正六边形叠放在一起形成的，其中正方形和正六边形的边长相同，求图中∠MON的度数．19．中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：①若m＞n，则ma2＞nb2，当a＝0时错误；故不符合题意；②由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，故不符合题意；③有两个角互余的三角形一定是直角三角形，故符合题意；④各边都相等，各角也相等的多边形是正多边形，故不符合题意．⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形是钝角三角形或直角三角形，故不符合题意；故选：A．2．【解答】解：A、为了解一种灯泡的使用寿命，此调查具有破坏性，宜采用抽查的方法；故此选项符合题意；B、一元二次方程3x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根；故此选项不符合题意；C、一次函数y＝﹣3x+2的图象经过第一、二、四象限；故此选项不符合题意；D、正六边形每个内角的度数是外角度数的2倍；故此选项不符合题意；故选：A．3．【解答】解：如图，连接OC，OD，∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故选：B．4．【解答】解：∵正五边形的每个内角为：＝108°，∴组成的正多边形的每个内角为：360°﹣2×108°﹣24°＝120°，∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形，∴组成的正多边形为正n边形，则＝120°，解得：n＝6，故选：B．5．【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，故选：D．6．【解答】解：连接AC交EF于M，连接OF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴AC是⊙O的直径，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AC＝AD＝4，∴OA＝OC＝2，∵△AEF是等边三角形，∴AM⊥EF，∠OFM＝30°，∴OM＝OF＝，∴CM＝，∴∠ACD＝45°，∠CMG＝90°，∴∠CGM＝45°，∴△CGH是等腰直角三角形，∴GH＝2CM＝2．故选：A ．7．【解答】解：设圆心为O ，连接OD ，OF ，∵∠DOE ＝∠EOF ＝＝45°，∴∠DOF ＝90°，∴弧DF 的度数为90°，∴①正确；∵∠DOF ＝90°，OD ＝OF ，∴2OD 2＝DF 2，∴OD ＝， ∵AE ＝2OD ，∴AE ＝DF ， ∴②正确；∵S 四边形ODEF ＝DFOE ，∴S 正八边形ABCDEFGH ＝4S 四边形ODEF ＝2DFOE ，∵OE ＝AE ，∴S 正八边形ABCDEFGH ＝AEDF ，∴③正确；故选：D ．8．【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，设⊙O的半径是r，则OF＝r，∵AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF＝60°÷2＝30°，∵OA＝OF，∴∠OF A＝∠OAF＝30°，∴∠COF＝30°+30°＝60°，∴FI＝r sin60°＝r，∴EF＝r×2＝r，∵AO＝2OI，∴OI＝r，CI＝r﹣r＝r，∴＝＝，∴GH＝BD＝r，∴＝＝．故选：C．9．【解答】解：连接OA、OC．∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝＝72°，∴∠AOC＝72°×2＝144°，∵△AMN是正三角形，∴∠AOM＝＝120°，∴∠COM＝∠AOC﹣∠AOM＝144°﹣120°＝24°，∴∠MBC＝∠COM＝×24°＝12°．故选：A．10．【解答】解：AB的长等于六边形的边长+最长对角线的长，据此可以确定共有2个点C，位置如图，故选：B．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：如图所示：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，则∠OCA＝90°，AC＝BC＝AB＝1，∠AOB＝60°，∴∠AOC＝30°，∴OC＝AC＝；故答案为：．12．【解答】解：连接OB，OC，则OC＝OB＝1，∠BOC＝90°，在Rt△BOC中，BC＝＝．∴正方形的边长是，故答案为：．13．【解答】解：由题意可得：∵360°÷36°＝10，∴它的边数是10．故答案为10．14．【解答】解：如图，连接OC，OD．∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故答案为：36°．15．【解答】解：如图2所示：将一个正三角形绕其中心最少旋转60°，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；将一个正方形绕其中心最少旋转45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，由题意得：PM＝MN＝NQ，AM＝AP＝BN＝BQ，则MN＝PM＝AM，∵AM+MN+BN＝AB＝4，∴AM+AM+AM＝4，解得：AM＝4﹣2，则所得正八边形的面积为4×4﹣4××（4﹣2）2＝32﹣32；故答案为：（），32﹣32．三．解答题（共4小题）16．【解答】（1）证明：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∵OB＝2，∴OD＝1，∴等边△ABC的边心距为1．17．【解答】解：（1）证明：连接CD，∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∵∠E＝∠ACD，∠E＝∠B．∴∠ACD＝∠B，∴∠ACD+∠CAD＝∠B+∠CAD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）如图，连接OD、CE，若∠E＝45°，则∠AOD＝90°，∵AC＝4，∴OA＝OD＝2，∴AD＝2．∴⊙O的内接正四边形的边长为AD的长为2．18．【解答】解：由正方形、正五边形和正六边形的性质得，∠AOM＝108°，∠OBC＝120°，∠NBC＝90°，∴∠AOB＝×120°＝60°，∠MOB＝108°﹣60°＝48°，∴∠OBN＝360°﹣120°﹣90°＝150°，∴∠NOB＝×（180°﹣150°）＝15°，∴∠MON＝33°．19．【解答】（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝F A，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，。

人教版九年级数学上册 24.1圆的有关性质同步检测题【含答案】

圆24.1 圆的有关性质同步检测题一．选择题（共13 小题）1．已知⊙O 的半径为2，A 为圆内一定点，AO＝1．P 为圆上一动点，以A P 为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG 的最大值为（）A．1+B．1+2C．2+D． 12．如图，AB，BC 是⊙O 的弦，∠B＝60°，点 O 在∠B 内，点 D 为AC上的动点，点 M，N，P分别是A D，D C，C B 的中点．若⊙O 的半径为2，则P N+MN 的长度的最大值是（）A．1+B．1+2C．2+2D．3．如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝10，P 是半径O A 上的一动点，PC⊥AB 交⊙O 于点C，在半径O B 上取点Q，使得O Q＝CP，DQ⊥AB 交⊙O 于点D，点C，D 位于A B 两侧，连接C D 交A B 于点F，点P从点A出发沿A O 向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP 与△DFQ 的面积和的变化情况是（）A．一直减小B．一直不变C．先变大后变小D．先变小后变大4．如图，在⊙O 中，弦A B＝6，点C是A B 所对优弧上一点，∠ABC＝120°，BC＝8，点P 为 AB 上方一点，记△PAB 的面积为 S1，△AOB 的面积为 S2，且 S1＝12S2，则 OP+PC的最小值为（）A ．BCD ．105．如图，AB 是⊙O 的直径，点 D ，C 在⊙O 上，∠DOC ＝90°，AD ，BC ＝1，则⊙O的半径为（）A B ．2 C ．2D ．26．如图，在⊙O 中，AB ＝2CD ，那么（）A ． 2CD AB >B ．2CD AB <C ．=2CD ABD ．AB 与2CD 的大小关系无法比较 7．如图，BC 是⊙O 的直径，A ，D 是⊙O 上的两点，连接 A B ，AD ，BD ，若∠ADB ＝70°，则∠ABC 的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°8．如图，点A、B、C 是⊙O 上的点，OA＝AB，则∠C 的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．30°或60°9．如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是弧AC上的点．若∠BOC ＝500，则∠D 的度数（）A．105°B．115°C．125°D．85°10．如图，四边形A BCD 内接于⊙O，连结O A、OC．若∠AOC＝∠ABC，则∠D 的大小为（）A．50°B．60°C．80°D．120°11．如图，在⊙O 中∠O＝50°，则∠A 的度数为（）A．50°B．20°C．30°D．25°12．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥OB 于E，且点E为半径O B 的中点，连结A C，则∠A 的度数为（）A．20°B．30°C．45°D．60°13．如图，点A、B、C、D 在⊙O 上，OB∥CD．若∠A＝28°，则∠BOD 的大小为（）A．152°B．134°C．124°D．114°二．填空题（共9小题）14．如图，在⊙O 中，弦B C，DE 交于点P，延长B D，EC 交于点A，BC＝10，BP＝2CP，若BDAD＝23，则D P 的长为．15．如图，△ABC 内接于半径为AB 为直径，点 M 是弧AC的中点，连结 BM交AC 于点E，AD 平分∠CAB 交B M 于点D．（1）∠ADB＝°；（2）当点D恰好为B M 的中点时，BC 的长为．16．如图，四边形A BCD 内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝．17．如图，点A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，已知∠BCD＝110°，格据推断出∠BAD 的度数为70°，则她判断的依据是点．18．如图，⊙O 的半径为2，点A为⊙O 上一点，如果∠BAC＝60°，OD⊥弦B C 于点D，那么O D 的长是．19．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，点D 是弧AC上的中点，AC＝8，OA＝5，连接AD、BD，则△ABD 的面积是．20．已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，以A B 为直径作圆交B C 于D，交A C 于E．若∠A＝84°，则弧AE的度数为．21．如图，点A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，点B是弧A C 的中点，如果∠ABC＝70°，那∠ADB＝．22．如图，MN 为⊙O 的直径，MN＝10，AB 为⊙O 的弦，已知M N⊥AB 于点P，AB＝8，现要作⊙O 的另一条弦C D，使得C D＝6 且C D∥AB，则P C 的长度为．三．解答题（共3小题）23．如图，AB 是⊙O 的直径，点C、D 是⊙O 上的点，且O D∥BC，AC 分别与B D、OD 相交于点E、F．（1）求证：点D为弧AC的中点；（2）若C B＝6，AB＝10，求D F 的长；（3）若⊙O 的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段A B 上任意一点，试求出P C+PD 的最小值．24．如图，以△ABC 的一边AB 为直径的半圆与其它两边AC，BC 的交点分别为D，E，且弧DE=弧BE（1）试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求B D 的长．25．如图，AB 为半圆O的直径，CD 是半圆上两点，AC＝2BC，F 在B D 上且C F⊥CD，求证：AD＝2BF．。

人教版九年级上册数学第24章质量检测(含答案)

人教版九年级上册数学第24章质量检测（含答案）24.1 圆的有关性质一、选择题（本大题共10道小题） 1. 2018·衢州如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝35°，则∠AOB 的度数是( )A ．75°B ．70°C ．65°D ．35°2. 如图，AB是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则下列结论正确的是( )A ．OE ＝BEB.BC ︵＝BD ︵C ．△BOC 是等边三角形D ．四边形ODBC 是菱形3. 如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点．若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的度数为 ( )A ．115°B ．105°C ．100°D ．95°4. 2019·梧州如图，在半径为13的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是( )A ．2 6B ．2 10C ．2 11D ．4 35. (2019•广元)如图，AB ，AC分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A ．25B ．4C ．213D ．4.86.如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ，若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦BC 的长为( ) A . 3 3 B . 4 3 C . 5 3 D . 6 37. 如图，△ABC 的内心为I ，连接AI 并延长交△ABC 的外接圆于点D ，则线段DI 与DB 的关系是( )A ．DI ＝DB B ．DI ＞DBC ．DI ＜DBD ．不确定如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD 的延长线上，则∠CDE的度数为( )A．56°B．62°C．68°D．78°9. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD的度数为()A．70°B．60°C．50°D．40°10. 2019·武汉京山期中在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面宽变为8分米，则油面AB上升()A．1分米B．4分米C．3分米D．1分米或7分米二、填空题（本大题共7道小题）11. 如图，C，D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝________．12. 如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB＝23，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________．13. 如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上，且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为________．14. 如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE.若∠A＝65°，则∠DOE＝________°.15. 如图，在⊙O中，BD为⊙O的直径，弦AD的长为3，AB的长为4，AC平分∠DAB，则弦CD的长为________．16. 将量角器按图所示的方式放置在三角形纸片上，使顶点C在半圆上，点A，B 的读数分别为100°，150°，则∠ACB的大小为________°.17. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，C 为弧BD 的中点．若∠DAB ＝40°，则∠ABC ＝________°.三、解答题（本大题共4道小题）18. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，以BD 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连接EF. (1)求证：∠1＝∠F ；(2)若AC ＝4，EF ＝2 5，求CD 的长．19.如图，已知⊙O 上依次有A ，B ，C ，D 四个点，AD ︵＝BC ︵，连接AB ，AD ，BD ，延长AB 到点E ，使BE ＝AB ，连接EC ，F 是EC 的中点，连接BF.求证：BF ＝12BD.20. 如图，在⊙O 中，AB ︵＝2AC ︵，AD ⊥OC于点D.求证：AB ＝2AD.21. 2018·牡丹江如图，在⊙O 中，AB ︵＝2AC ︵，AD ⊥OC 于点D .求证：AB ＝2AD .人教版九年级数学 24.1 圆的有关性质同步训练-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】B2. 【答案】B[解析] AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，由垂径定理可以得到CE ＝DE ，BC ︵＝BD ︵，AC ︵＝AD ︵.但并不一定能得到OE ＝BE ，OC ＝BC ，从而A ，C ，D 选项都是错误的．故选B.3. 【答案】B4. 【答案】C5. 【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴22221086BC AB AC =-=-=， ∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===，在Rt CBD △中，2246213BD =+=．故选C ．6.【答案】B【解析】如解图，延长CO 交⊙O 于点A ′，连接A ′B .设∠BAC ＝α，则∠BOC ＝2∠BAC＝2α，∵∠BAC ＋∠BOC ＝180°，∴α＋2α＝180°，∴α＝60°.∴∠BA ′C ＝∠BAC ＝60°，∵CA ′为直径，∴∠A ′BC ＝90°，则在Rt △A ′BC 中，BC ＝A ′C ·sin ∠BA ′C＝2×4×32＝4 3.7. 【答案】A[解析] 连接BI ，如图．∵△ABC 的内心为I ， ∴∠1＝∠2，∠5＝∠6. ∵∠3＝∠1， ∴∠3＝∠2.∵∠4＝∠2＋∠6，∠DBI ＝∠3＋∠5， ∴∠4＝∠DBI ，∴DI ＝DB. 故选A.8. 【答案】C[解析] ∵点I 是△ABC 的内心，∴∠BAC ＝2∠IAC ，∠ACB ＝2∠ICA . ∵∠AIC ＝124°，∴∠B ＝180°－(∠BAC ＋∠ACB )＝180°－2(∠IAC ＋∠ICA )＝180°－2(180°－∠AIC )＝68°.又四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠CDE ＝∠B ＝68°.9. 【答案】D[解析] ∵∠BOC ＝110°，∴∠AOC ＝70°.∵AD ∥OC ，∴∠A ＝∠AOC ＝70°.∵OA ＝OD ，∴∠D ＝∠A ＝70°.在△OAD 中，∠AOD ＝180°－(∠A ＋∠D)＝40°.10. 【答案】D二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】1[解析] ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. ∵∠B ＝∠ACD ＝30°， ∴AD ＝12AB ＝12×2＝1.12. 【答案】3 [解析] 如图，连接OD ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝BH＝12AB ＝ 3.∵CD ⊥OC ，∴CD ＝OD 2－OC 2.∵OD 为⊙O 的半径，∴当OC 最小时，CD 最大．当点C 运动到点H 时，OC 最小，此时CD ＝BH ＝3，即CD 的最大值为 3.13. 【答案】60°[解析] ∵OA ⊥BC ，∴AB ︵＝AC ︵，∴∠AOB ＝2∠ADC.∵∠ADC＝30°，∴∠AOB ＝60°.14. 【答案】50[解析] 由三角形的内角和定理，得∠B ＋∠C ＝180°－∠A .再由OB ＝OD ＝OC ＝OE ，得到∠BDO ＝∠B ，∠CEO ＝∠C .在等腰三角形BOD 和等腰三角形COE 中，∠DOB ＋∠EOC ＝180°－2∠B ＋180°－2∠C ＝360°－2(∠B ＋∠C )＝360°－2(180°－∠A )＝2∠A ，所以∠DOE ＝180°－2∠A ＝50°.15. 【答案】52 2 [解析] ∵BD 为⊙O 的直径，∴∠DAB ＝∠DCB ＝90°. ∵AD ＝3，AB ＝4，∴BD ＝5.又∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC ＝45°， ∴∠DBC ＝∠DAC ＝45°，∠CDB ＝∠BAC ＝45°，从而CD ＝CB ，∴CD ＝52 2.16. 【答案】25[解析] 设量角器的中心为O ，由题意可得∠AOB ＝150°－100°＝50°，所以∠ACB ＝12∠AOB ＝25°.17. 【答案】70[解析] 如图，连接AC.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵C为弧BD 的中点，∴∠CAB ＝12∠DAB ＝20°， ∴∠ABC ＝70°.三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】解：(1)证明：如图，连接DE. ∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠DEB ＝90°，即DE ⊥AB. 又∵E 是AB 的中点， ∴AD ＝BD ，∴∠1＝∠B. 又∵∠B ＝∠F ，∴∠1＝∠F.(2)∵∠1＝∠F ，∴AE ＝EF ＝2 5， ∴AB ＝2AE ＝4 5.在Rt △ABC 中，∵AC ＝4，∠C ＝90°， ∴BC ＝AB2－AC2＝8. 设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝8－x. 在Rt △ACD 中，∵∠C ＝90°，∴AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x ＝3，即CD ＝3.19. 【答案】证明：连接AC.∵AB ＝BE ，F 是EC 的中点， ∴BF 是△EAC 的中位线， ∴BF ＝12AC. ∵AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵＋AB ︵＝BC ︵＋AB ︵，即BD ︵＝AC ︵， ∴BD ＝AC ，∴BF ＝12BD.20. 【答案】证明：如图，延长AD 交⊙O 于点E.∵OC ⊥AD ，∴AE ︵＝2AC ︵，AE ＝2AD. ∵AB ︵＝2AC ︵，∴AE ︵＝AB ︵，∴AB ＝AE ，∴AB ＝2AD.21. 【答案】证明：如图，延长AD 交⊙O 于点E ， ∵OC ⊥AD ，∴AE ︵＝2AC ︵，AE ＝2AD . ∵AB ︵＝2AC ︵，∴AE ︵＝AB ︵， ∴AB ＝AE ，∴AB ＝2AD .24.2 点和圆、直线和圆的位置关系一、选择题（本大题共10道小题）1. 下列直线中，一定是圆的切线的是()A ．与圆有公共点的直线B ．垂直于圆的半径的直线C ．到圆心的距离等于半径的直线D ．经过圆的直径一端的直线2. 下列说法中，正确的是()A ．垂直于半径的直线是圆的切线B ．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线C ．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线D ．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线3. 如图，P是⊙O 外一点，OP 交⊙O 于点A ，OA ＝AP .甲、乙两人想作一条经过点P 且与⊙O 相切的直线，其作法如下：甲：以点A 为圆心，AP 长为半径画弧，交⊙O 于点B ，则直线BP 即为所求．乙：过点A 作直线MN ⊥OP ，以点O 为圆心，OP 长为半径画弧，交射线AM 于点B ，连接OB ，交⊙O 于点C ，直线CP 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是( )A ．甲正确，乙错误B ．乙正确，甲错误C ．两人都正确D ．两人都错误4. 已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．无法确定5. 如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD.若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为()A．54°B．36°C．32°D．27°6. 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是()A．DE＝DO B．AB＝ACC．CD＝DB D．AC∥OD7.如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠A OD的度数为( )A. 70°B. 35°C．20°D. 40°8. 2020·黄石模拟如图，在平面直角坐标系中，A(－2，2)，B(8，2)，C(6，6)，点P为△ABC的外接圆的圆心，将△ABC绕点O逆时针旋转90°，点P的对应点P′的坐标为()A．(－2，3) B．(－3，2)C．(2，－3) D．(3，－2)9. 如图，数轴上有A，B，C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在⊙O外、⊙O内、⊙O上，则原点O的位置应该在()图A．点A与点B之间靠近点AB．点A与点B之间靠近点BC．点B与点C之间靠近点BD．点B与点C之间靠近点C10. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为()A．5 B．4 2 C．4.75 D．4.8二、填空题（本大题共7道小题）11. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________.12. 如图，∠APB ＝30°，⊙O 的半径为1 cm ，圆心O 在直线PB 上，OP ＝3 cm ，若⊙O 沿BP 方向移动，当⊙O 与直线PA 相切时，圆心O 移动的距离为__________．13. 如图，半圆的圆心O 与坐标原点重合，半圆的半径为1，直线l 的解析式为y ＝x ＋t .若直线l 与半圆只有一个公共点，则t 的取值范围是________．14. 如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 的对角线长为6，OA ＝4.若将⊙O 绕点A 按顺时针方向旋转360°，则在旋转的过程中，⊙O 与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现( )A ．3次B ．4次C ．5次D ．6次15. 如图所示，在半圆O 中，AB 是直径，D是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，CE ⊥AB 于点E ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE ，CB 于点P ，Q ，连接AC ，有下列结论：①∠BAD ＝∠ABC ；②GP ＝GD ；③点P 是△ACQ 的外心．其中正确的结论是________(只需填写序号)．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为________．17. 如图，⊙M的圆心为M(－2，2)，半径为2，直线AB过点A(0，－2)，B(2，0)，则⊙M关于y轴对称的⊙M′与直线AB的位置关系是________．三、解答题（本大题共4道小题）18. 如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与P A相切于点C.求证：直线PB与⊙O相切．19.如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，P是CD的延长线上一点，且AP＝AC.(1)求证：P A是⊙O的切线；(2)若PD＝5，求⊙O的直径．20. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5.(1)以点A为圆心，4为半径的⊙A与直线BC的位置关系是________；(2)以点B为圆心的⊙B与直线AC相交，求⊙B的半径r的取值范围；(3)以点C为圆心，R为半径的⊙C与直线AB相切，求R的值．21. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.求证：直线DM是⊙O的切线．人教版九年级数学24.2 点和圆、直线和圆的位置关系同步训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C2. 【答案】B3. 【答案】C[解析] 对于甲的作法：连接OB ，如图①.∵OA ＝AP ，∴OP 为⊙A 的直径， ∴∠OBP ＝90°，即OB ⊥PB ， ∴PB 为⊙O 的切线，∴甲的作法正确．对于乙的作法：如图②，∵MN ⊥OP ，∴∠OAB ＝90°.在△OAB 和△OCP 中，⎩⎨⎧OA ＝OC ，∠AOB ＝∠COP ，OB ＝OP ，∴△OAB ≌△OCP ，∴∠OAB ＝∠OCP ＝90°，即OC ⊥PC ， ∴PC 为⊙O 的切线， ∴乙的作法正确．4. 【答案】B5. 【答案】D[解析] ∵AB 为⊙O 的切线，∴∠OAB ＝90°.∵∠ABO ＝36°，∴∠AOB ＝90°－∠ABO ＝54°. ∴∠ADC ＝12∠AOB ＝27°.故选D.6. 【答案】A7.【答案】D 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A ，∴∠BAC ＝90°，∵∠C ＝70°，∴∠B＝20°，∴∠AOD＝∠B＋∠BDO＝2∠B＝2×20°＝40°.8. 【答案】A9. 【答案】C[解析] 如图．10. 【答案】D[解析] 如图，设PQ的中点为F，⊙F与AB 的切点为D，连接FD，FC，CD.∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴∠ACB＝90°，∴PQ为⊙F的直径．∵⊙F与AB相切，∴FD⊥AB，FC＋FD＝PQ，而FC＋FD≥CD，∴当CD为Rt△ABC的斜边AB上的高且点F在CD上时，PQ有最小值，为CD 的长，即CD为⊙F的直径．∵S△ABC ＝12BC·AC＝12CD·AB，∴CD＝4.8.故PQ的最小值为4.8.二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】3＜r＜5[解析] 连接BD.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3，则BD＝32＋42＝5.由题图可知3＜r＜5.12. 【答案】1 cm或5 cm[解析] 当⊙O与直线PA相切时，点O到直线PA的距离为1 cm.∵∠APB＝30°，∴PO＝2 cm，∴圆心O移动的距离为3－2＝1(cm)或3＋2＝5(cm)．13. 【答案】t＝2或－1≤t＜1[解析] 若直线与半圆只有一个公共点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束(不包括直线过点A)．直线y＝x＋t与x轴所形成的锐角是45°.当点O 到直线l 的距离OC ＝1时，直线l 与半圆O 相切，设直线l 与y 轴交于点D ，则OD ＝2，即t ＝ 2.当直线过点A 时，把A (－1，0)代入直线l 的解析式，得t ＝y －x ＝1. 当直线过点B 时，把B (1，0)代入直线l 的解析式，得t ＝y －x ＝－1. 即当t ＝2或－1≤t ＜1时，直线和半圆只有一个公共点．故答案为t ＝2或－1≤t ＜1.14. 【答案】B[解析] ∵正方形ABCD 的对角线长为6，∴它的边长为3 2.如图，⊙O 与正方形ABCD 的边AB ，AD 只有一个公共点的情况各有1次，与边BC ，CD 只有一个公共点的情况各有1次，∴在旋转的过程中，⊙O 与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现4次．15. 【答案】②③[解析] ∵在半圆O 中，AB 是直径，D 是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，∴AC ︵＝DC ︵，但不一定等于DB ︵，∴∠BAD 与∠ABC 不一定相等，故①错误．如图，连接OD ，则OD ⊥GD ，∠OAD ＝∠ODA .∵∠ODA ＋∠GDP ＝90°，∠OAD ＋∠GPD ＝∠OAD ＋∠APE ＝90°，∴∠GPD ＝∠GDP ，∴GP ＝GD ，故②正确．补全⊙O ，延长CE 交⊙O 于点F . ∵CE ⊥AB ，∴A 为FC ︵的中点，即AF ︵＝AC ︵. 又∵C 为AD ︵的中点，∴CD ︵＝AC ︵，∴AF ︵＝CD ︵， ∴∠CAP ＝∠ACP ，∴AP ＝CP . ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACQ ＝90°，∴∠ACP ＋∠PCQ ＝90°，∠CAP ＋∠PQC ＝90°， ∴∠PCQ ＝∠PQC ，∴PC ＝PQ ，∴AP ＝PQ ，即P 为Rt △ACQ 的斜边AQ 的中点，∴点P为Rt△ACQ的外心，故③正确．16. 【答案】3或4 3[解析] 如图①，当⊙P与CD边相切时，设PC＝PM＝x. 在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2＋BP2，∴x2＝42＋(8－x)2，∴x＝5，∴PC＝5，∴BP＝BC－PC＝8－5＝3.如图②，当⊙P与AD边相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形，∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝4，PM＝8，在Rt△PBM中，BP＝82－42＝4 3.综上所述，BP的长为3或4 3.17. 【答案】相交[解析] ∵⊙M的圆心为M(－2，2)，则⊙M关于y轴对称的⊙M′的圆心为M′(2，2)．因为M′B＝2>点M′到直线AB的距离，所以直线AB与⊙M′相交．三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】证明：如图，连接OC，过点O作OD⊥PB于点D.∵⊙O与P A相切于点C，∴OC⊥P A.∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥P A，OD⊥PB，∴OD＝OC，∴直线PB与⊙O相切．19. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OA.∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°.又∵AP＝AC，∴∠P＝∠OCA＝30°，∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°，∴OA⊥P A.又∵OA是⊙O的半径，∴P A是⊙O的切线．(2)在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴PO＝2OA＝OD＋PD.又∵OA＝OD，∴PD＝OD＝OA.∵PD＝5，∴2OA＝2PD＝2 5，∴⊙O的直径为2 5.20. 【答案】解：(1)∵AC ⊥BC ，而AC ＞4，∴以点A 为圆心，4为半径的⊙A 与直线BC 相离．故答案为相离．(2)BC ＝AB 2－AC 2＝12.∵BC ⊥AC ，∴当⊙B 的半径大于BC 的长时，以点B 为圆心的⊙B 与直线AC 相交，即r ＞12.(3)如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D .∵12CD ·AB ＝12AC ·BC ，∴CD ＝5×1213＝6013.即当R ＝6013时，以点C 为圆心，R 为半径的⊙C 与直线AB 相切．21. 【答案】证明：如图，作直径DG ，连接BG .∵点E 是△ABC 的内心，∴AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC.∵∠G ＝∠BAD ，∠BDM ＝∠DAC ，∴∠BDM ＝∠G .∵DG 为⊙O 的直径，∴∠GBD ＝90°，∴∠G ＋∠BDG ＝90°，∴∠BDM ＋∠BDG ＝90°，即∠MDG ＝90°.又∵OD 是⊙O 的半径，∴直线DM 是⊙O 的切线．24.3正多边形和圆一．选择题1．下面说法正确的个数有（）①若m＞n，则ma2＞nb2；②由三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；③有两个角互余的三角形一定是直角三角形；④各边都相等的多边形是正多边形；⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个2．下列说法，错误的是（）A．为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法B．一元二次方程3x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根C．一次函数y＝﹣3x+2的图象经过第一、二、四象限D．正六边形每个内角的度数是外角度数的2倍3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C 重合），则∠CPD＝（）A．45°B．36°C．35°D．30°4．如图，用若n个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为（）A．5 B．6 C．8 D．105．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（）A．60°B．36°C．76°D．72°6．如图，正方形ABCD和正三角形AEF内接于⊙O，DC、BC交EF于G、H，若正方形ABCD的边长是4，则GH的长度为（）A．2B．4﹣C．D．﹣7．如图，⊙O是正八边形ABCDEFGH的外接圆，则下列结论：①弧DF的度数为90°；②AE＝DF；③S正八边形ABCDEFGH＝AEDF．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③8．如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值为（）A．B．C．D．29．如图，正五边形ABCDE与正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，若连接BM，则∠MBC的度数是（）A．12°B．15°C．30°D．48°10．如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题11．正六边形的边长为2，则边心距为．12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是1，则正方形的边长是．13．中心角为36°的正多边形边数为．14．如图，正五边形ABCDE内接于圆O，P为弧DE上的一点（点P不与点D、E重合），则∠CPD的度数为．15．如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转60°，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转°，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为4，则所得正八边形的面积为．三．解答题16．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．17．如图，以△ABC的一边AC为直径的⊙O交AB边于点D，E是⊙O上一点，连接DE，∠E＝∠B．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠E＝45°，AC＝4，求⊙O的内接正四边形的边长．18．如图，实线部分是由正方形，正五边形和正六边形叠放在一起形成的，其中正方形和正六边形的边长相同，求图中∠MON的度数．19．中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D 两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：①若m＞n，则ma2＞nb2，当a＝0时错误；故不符合题意；②由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，故不符合题意；③有两个角互余的三角形一定是直角三角形，故符合题意；④各边都相等，各角也相等的多边形是正多边形，故不符合题意．⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形是钝角三角形或直角三角形，故不符合题意；故选：A．2．【解答】解：A、为了解一种灯泡的使用寿命，此调查具有破坏性，宜采用抽查的方法；故此选项符合题意；B、一元二次方程3x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根；故此选项不符合题意；C、一次函数y＝﹣3x+2的图象经过第一、二、四象限；故此选项不符合题意；D、正六边形每个内角的度数是外角度数的2倍；故此选项不符合题意；故选：A．3．【解答】解：如图，连接OC，OD，∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故选：B．4．【解答】解：∵正五边形的每个内角为：＝108°，∴组成的正多边形的每个内角为：360°﹣2×108°﹣24°＝120°，∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形，∴组成的正多边形为正n边形，则＝120°，解得：n＝6，故选：B．5．【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，故选：D．6．【解答】解：连接AC交EF于M，连接OF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴AC是⊙O的直径，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AC＝AD＝4，∴OA＝OC＝2，∵△AEF是等边三角形，∴AM⊥EF，∠OFM＝30°，∴OM＝OF＝，∴CM＝，∴∠ACD＝45°，∠CMG＝90°，∴∠CGM＝45°，∴△CGH是等腰直角三角形，∴GH＝2CM＝2．故选：A．7．【解答】解：设圆心为O ，连接OD ，OF ， ∵∠DOE ＝∠EOF ＝＝45°，∴∠DOF ＝90°，∴弧DF 的度数为90°，∴①正确；∵∠DOF ＝90°，OD ＝OF ，∴2OD 2＝DF 2，∴OD ＝， ∵AE ＝2OD ，∴AE ＝DF ，∴②正确；∵S 四边形ODEF ＝DFOE ，∴S 正八边形ABCDEFGH ＝4S 四边形ODEF ＝2DFOE ， ∵OE ＝AE ，∴S 正八边形ABCDEFGH ＝AEDF ，∴③正确；故选：D ．8．【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，设⊙O的半径是r，则OF＝r，∵AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF＝60°÷2＝30°，∵OA＝OF，∴∠OF A＝∠OAF＝30°，∴∠COF＝30°+30°＝60°，∴FI＝r sin60°＝r，∴EF＝r×2＝r，∵AO＝2OI，∴OI＝r，CI＝r﹣r＝r，∴＝＝，∴GH＝BD＝r，∴＝＝．故选：C．9．【解答】解：连接OA、OC．∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝＝72°，∴∠AOC＝72°×2＝144°，∵△AMN是正三角形，∴∠AOM＝＝120°，∴∠COM＝∠AOC﹣∠AOM＝144°﹣120°＝24°，∴∠MBC＝∠COM＝×24°＝12°．故选：A．10．【解答】解：AB的长等于六边形的边长+最长对角线的长，据此可以确定共有2个点C，位置如图，故选：B．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：如图所示：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，则∠OCA＝90°，AC＝BC＝AB＝1，∠AOB＝60°，∴∠AOC＝30°，∴OC＝AC＝；故答案为：．12．【解答】解：连接OB，OC，则OC＝OB＝1，∠BOC＝90°，在Rt△BOC中，BC＝＝．∴正方形的边长是，故答案为：．13．【解答】解：由题意可得：∵360°÷36°＝10，∴它的边数是10．故答案为10．14．【解答】解：如图，连接OC，OD．∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故答案为：36°．15．【解答】解：如图2所示：将一个正三角形绕其中心最少旋转60°，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；将一个正方形绕其中心最少旋转45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，由题意得：PM＝MN＝NQ，AM＝AP＝BN＝BQ，则MN＝PM＝AM，∵AM+MN+BN＝AB＝4，∴AM+AM+AM＝4，解得：AM＝4﹣2，则所得正八边形的面积为4×4﹣4××（4﹣2）2＝32﹣32；故答案为：（），32﹣32．三．解答题（共4小题）16．【解答】（1）证明：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∵OB＝2，∴OD＝1，∴等边△ABC的边心距为1．17．【解答】解：（1）证明：连接CD，∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∵∠E＝∠ACD，∠E＝∠B．∴∠ACD＝∠B，∴∠ACD+∠CAD＝∠B+∠CAD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）如图，连接OD、CE，若∠E＝45°，则∠AOD＝90°，∵AC＝4，∴OA＝OD＝2，∴AD＝2．∴⊙O的内接正四边形的边长为AD的长为2．18．【解答】解：由正方形、正五边形和正六边形的性质得，∠AOM＝108°，∠OBC＝120°，∠NBC＝90°，∴∠AOB＝×120°＝60°，∠MOB＝108°﹣60°＝48°，∴∠OBN＝360°﹣120°﹣90°＝150°，∴∠NOB＝×（180°﹣150°）＝15°，∴∠MON＝33°．19．【解答】（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝F A，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，在△ABP和△DEQ中，，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB，∴四边形PEQB为平行四边形．（2）解：连接BE、OA，则∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：则∠EAF＝∠AEF＝30°，∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：同法可知∠BFE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，∴AE＝＝6，∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6＝36；∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×矩形ABDE的面积＝6××36：24.4《弧长和扇形面积》一．选择题1．已知一个扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，则半径为（）A．9B．3C．D．2．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（）A．cm B．cm C．3cm D．cm3．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（）A．B．C．4D．2+4．如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为（）A．πB．πC．D．5．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形OAB沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点O'处，折痕交OB于点C，则弧O'B的长是（）A．πB．πC．2πD．3π6．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A．175πcm2B．350πcm2C．πcm2D．150πcm27．如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A．（30+5）πm2B．40πm2C．（30+5）πm2D．55πm28．如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（）A．3B．6C．3πD．6π9．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S1＜S3＜S2D．S3＜S2＜S1 10．已知一个圆心角为270°扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，半圆的直径为6m，则圆心O所经过的路线长是（）m．（结果用含π的式子表示）A．6πB．8πC．10πD．12π二．填空题11．一个扇形的弧长是11πcm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是度．12．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则的长为．13．如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）14．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为cm．15．如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA＝13cm，则扇形AOC中的长是cm（计算结果保留π）．16．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝2，则阴影部分的面积为．三．解答题17．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．（1）求证：BE＝CE；（2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求劣弧的长．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°得到△A'OB'，其中点A'与点A对应，点B'与点B对应．如果A（﹣4，0），B（﹣1，2）．请回答：（1）点B'的坐标为．（2）点A经过的路径的长度为π．（友情提示：已经有π）20．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．21．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝2，∠DP A＝45°．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．22．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，8）、B（﹣8，8）、C（﹣12，4），请在网格图中进行如下操作：（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径长为（保留根号）．∠ADC的度数为°；（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长．（结果保留根号）参考答案一．选择题1．解：设半径为r，∵扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，∴＝3π，∴r＝，故选：C．2．解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：2πr＝，r＝cm．3．解：如图：BC＝AB＝AC＝1，∠BCB′＝120°，∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′＝2×＝，故选：B．4．解：∵P A、PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝∠OAP＝90°，在四边形APBO中，∠P＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝2，∴的长l＝＝π，故选：C．5．解：连接OO′，∴OO′＝OA，∵将扇形OAB沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点O'处，∴OA＝O′A，∴△AOO′是等边三角形，∴∠AOO′＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOO′＝30°，∴的长＝＝π，故选：B．6．解：∵AB＝25，BD＝15，∴AD＝10，∴S贴纸＝2×（﹣）＝2×175π故选：B．7．解：设底面圆的半径为R，则πR2＝25π，解得R＝5，圆锥的母线长＝＝，所以圆锥的侧面积＝•2π•5•＝5π；圆柱的侧面积＝2π•5•3＝30π，所以需要毛毡的面积＝（30π+5π）m2．故选：A．8．解：∵圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，∴2πr＝×2π×10，解得r＝6．故选：B．9．解：作OD⊥BC交BC与点D，∵∠COA＝60°，∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°．∴S扇形AOC＝；S扇形BOC＝．在三角形OCD中，∠OCD＝30°，∴OD＝，CD＝，BC＝R，∴S△OBC＝，S弓形＝＝，＞＞，∴S2＜S1＜S3．故选：B．10．解：∠AOB＝360°﹣270°＝90°，则∠ABO＝45°，则∠OBC＝45°，O旋转的长度是：2×＝π，O移动的距离是：＝π，则圆心O所经过的路线长是：π+π＝6π．故选：A．二．填空题11．解：根据l＝＝＝11π，解得：n＝110，故答案为：110．12．解：∵ABCDEF为正六边形，∴∠AOB＝360°×＝60°，的长为＝．故答案为：．13．解：设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得：r＝＝6，∴2πr＝2π×6＝12π，故答案为：12π．14．解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm，设圆锥的母线长为R，则：＝4π，解得R＝6．故答案为：6．15．解：∵圆锥的高h为12cm，OA＝13cm，∴圆锥的底面半径为＝5cm，∴圆锥的底面周长为10πcm，∴扇形AOC中的长是10πcm，故答案为：10π．16．解：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE＝＝π，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）＝﹣﹣（π﹣×1×）＝π﹣π+＝+．故答案为：+．三．解答题17．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，∴AE＝ED；（2）∵OC⊥AD，∴，∴∠ABC＝∠CBD＝36°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，∴．18．（1）证明：如图，连接AE．∵AB是圆O的直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC．又∵AB＝AC，∴AE是边BC上的中线，∴BE＝CE；（2）解：∵AB＝6，∴OA＝3．又∵OA＝OD，∠BAC＝54°，∴∠AOD＝180°﹣2×54°＝72°，∴的长为：＝．19．解：如图所示：∵A（﹣4，0），B（﹣1，2）．∴A'的坐标为（0，4），B'的坐标为（2，1），∴OA＝OA'＝4，∴点A经过的路径的长度＝＝2π．20．（1）证明：连接OC．∵AC＝CD，∠ACD＝120°，∴∠A＝∠D＝30°．∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°．∴∠OCD＝180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2＝90°．即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵∠A＝30°，∴∠1＝2∠A＝60°．∴S扇形BOC＝．在Rt△OCD中，．∴．∴图中阴影部分的面积为：．21．解：（1）连接OF，∵直径AB⊥DE，∴CE＝DE＝1．∵DE平分AO，∴CO＝AO＝OE．设CO＝x，则OE＝2x．由勾股定理得：12+x2＝（2x）2．x＝．∴OE＝2x＝．即⊙O的半径为．（2）在Rt△DCP中，∵∠DPC＝45°，∴∠D＝90°﹣45°＝45°．∴∠EOF＝2∠D＝90°．∴S扇形OEF＝＝π．∵∠EOF＝2∠D＝90°，OE＝OF＝S Rt△OEF＝＝．∴S阴影＝S扇形OEF﹣S Rt△OEF＝π﹣．22．解：（1）点D的坐标为（﹣4，0）；（2）如图，AD＝＝4，即⊙D的半径长为4；∵AD＝CD＝4，AC＝＝4，∴AD2+DC2＝AC2，∴△ACD为直角三角形，∠ADC的度数为90°；故答案为（﹣4，0）；4；90；（3）设该圆锥的底面圆的半径长为r，根据题意得2πr＝，解得r＝，即该圆锥的底面圆的半径长为．。

九年级数学上学期 24.1 圆的有关性质同步练习卷含解析

24.1 圆的有关性质一．选择题（共12小题）1．⊙O中，直径AB＝a，弦CD＝b，则a与b大小为（）A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b2．已知⊙O的半径为6cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长（）A．等于6cm B．等于12cm C．小于6cm D．大于12cm3．下列说法错误的是（）A．圆有无数条直径B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦C．过圆心的线段是直径D．能够重合的圆叫做等圆4．如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（）A．猫先到达B地B．老鼠先到达B地C．猫和老鼠同时到达B地D．无法确定5．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（）A．32°B．60°C．68°D．64°6．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是（）A．AB＞2AMB．AB＝2AMC．AB＜2AMD．AB与2AM的大小不能确定7．在同圆中，若AB＝2CD，则与的大小关系是（）A．＞B．＜C．＝D．不能确定8．如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．4B．6 C．2D．39．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O 到水面的距离OC是（）A．4 B．5 C．6D．610．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（）A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝65°，分别连接AC，BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）13．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为．（只考虑小于90°的角度）14．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数是．15．如图所示，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是．16．如图，已知AB是⊙O的直径，PA＝PB，∠P＝60°，则弧CD所对的圆心角等于度．17．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是．18．“圆材埋壁”是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，则直径CD长为寸．19．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝54°，则∠BAD＝．20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为．三．解答题（共5小题）21．如图，在⊙O中，AD＝BC，求证：DC＝AB．22．已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点．求证：AD＝BC．23．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．24．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE ＝4米时，是否要采取紧急措施？25．已知：如图1，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，直线AD，BC相交于点E．（1）∠E的度数为；（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．⊙O中，直径AB＝a，弦CD＝b，则a与b大小为（）A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b【分析】根据直径是弦，且是最长的弦，即可求解．【解答】解：直径是圆中最长的弦，因而有a≥b．故选：B．2．已知⊙O的半径为6cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长（）A．等于6cm B．等于12cm C．小于6cm D．大于12cm【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．【解答】解：根据点和圆的位置关系，得OP＝6，再根据线段的中点的概念，得OA＝2OP ＝12．故选：B．3．下列说法错误的是（）A．圆有无数条直径B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦C．过圆心的线段是直径D．能够重合的圆叫做等圆【分析】根据直径、弧、弦的定义进行判断即可．【解答】解：A、圆有无数条直径，故本选项说法正确；B、连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确；C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误；D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确；故选：C．4．如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（）A．猫先到达B地B．老鼠先到达B地C．猫和老鼠同时到达B地D．无法确定【分析】利用半圆的弧长公式，即可分别求得两个路径的长，然后进行比较即可．【解答】解：以AB为直径的半圆的长是：π•AB；设四个小半圆的直径分别是a，b，c，d，则a+b+c+d＝AB．则老鼠行走的路径长是：a+πb+πc+πd＝π（a+b+c+d）＝π•AB．故猫和老鼠行走的路径长相同．故选：C．5．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（）A．32°B．60°C．68°D．64°【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由＝得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠COE＝64°．【解答】解：∵＝，∴∠BOD＝∠AOE＝32°，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠AOC＝32°∴∠COE＝32°+32°＝64°．故选：D．6．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是（）A．AB＞2AMB．AB＝2AMC．AB＜2AMD．AB与2AM的大小不能确定【分析】以及等弧所对的弦相等，以及三角形中两边之和大于第三边，即可判断．【解答】解：连接BM．∵M为的中点，∴AM＝BM，∵AM+BM＞AB，∴AB＜2AM．故选：C．7．在同圆中，若AB＝2CD，则与的大小关系是（）A．＞B．＜C．＝D．不能确定【分析】先根据题意画出图形，找出两相同的弦CD、DE，根据三角形的三边关系得到CE 与CD+DE的关系，再比较出AB与CE的长，利用圆心角、弧、弦的关系进行解答即可．【解答】解：如图所示，CD＝DE，AB＝2CD，在△CDE中，∵CD＝DE，∴CE＜CD+DE，即CE＜2CD＝AB，∴CE＜AB，∴＜．故选：A．8．如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．4B．6 C．2D．3【分析】过O作垂直于AB的半径OC，设交点为D，根据折叠的性质可求出OD的长；连接OA，根据勾股定理可求出AD的长，由垂径定理知AB＝2AD，即可求出AB的长度．【解答】解：过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA，Rt△OAD中，OD＝CD＝OC＝2，OA＝4，根据勾股定理，得：AD＝，由垂径定理得，AB＝2AD＝4，故选：A．9．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O 到水面的距离OC是（）A．4 B．5 C．6D．6【分析】根据垂径定理求出BC，根据勾股定理求出OC即可．【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，∴BC＝AC＝AB＝×16＝8，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝6，故选：D．10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（）A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM＝4﹣x，MF＝2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝4，设OF＝x，则ON＝OF，∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2即：（4﹣x）2+22＝x2解得：x＝2.5故选：B．11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝65°，分别连接AC，BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°【分析】先根据圆内接四边形的性质得出∠ADC＝∠EBC＝65°，再根据AC＝AD得出∠ACD ＝∠ADC＝65°，故可根据三角形内角和定理求出∠CAD＝50°，再由圆周角定理得出∠DBC＝∠CAD＝50°．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝∠EBC＝65°．∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝65°，∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝50°，∴∠DBC＝∠CAD＝50°，故选：A．12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（）A．B．C．D．【分析】设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，QA＝r﹣m．利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．【解答】解：如图，设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，QA＝r﹣m．在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC＝QP•QD．即（r﹣m）（r+m）＝m•QD，所以QD＝．连接DO，由勾股定理，得QD2＝DO2+QO2，即，解得所以，故选：D．二．填空题（共8小题）13．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为70°．（只考虑小于90°的角度）【分析】设大量角器的左端点为A，小量角器的圆心为B．利用三角形的内角和定理求出∠PBA的度数．然后根据圆的知识可求出小量角器上对应的度数．【解答】解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB＝90°，∠PAB＝20°，因而∠PBA＝90°﹣20°＝70°，在小量角器所求弧所对的圆心角为70°，因而P在小量角器上对应的度数为70°．故答案为：70°；14．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数是28°．【分析】根据等腰三角形的性质，可得∠A与∠AOB的关系，∠BEO与∠EBO的关系，根据三角形外角的性质，可得关于∠A的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：由AB＝OC，得AB＝OB，∠A＝∠AOB．由BO＝EO，得∠BEO＝∠EBO．由∠EBO是△ABO的外角，得∠EBO＝∠A+∠AOB＝2∠A，∠BEO＝∠EBO＝2∠A．由∠DOE是△AOE的外角，得∠A+∠AEO＝∠EOD，即∠A+2∠A＝84°，∠A＝28°．故答案为：28°．15．如图所示，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是15+5．【分析】因为P在半径为5的圆周上，若使四边形周长最大，只要AP最长即可（因为其余三边长为定值5）．【解答】解：由于AC和BC值固定，点P在弧AD上，而B是圆心，所以PB的长也是定值，因此，只要AP的长为最大值，∴当P的运动到D点时，AP最长，∵弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，∴∠DBA＝90°，∴由勾股定理得AD的长为5，∴周长为5×3+5＝15+5．故答案为：15+5．16．如图，已知AB是⊙O的直径，PA＝PB，∠P＝60°，则弧CD所对的圆心角等于60 度．【分析】先利用PA＝PB，∠P＝60°得出△PAB是等边三角形，再求出△COA，△DOB也是等边三角形，得出∠COA＝∠DOB＝60°，可求∠COD．【解答】解：连接OC，OD，∵PA＝PB，∠P＝60°，∴△PAB是等边三角形，有∠A＝∠B＝60°，∵OA＝OC＝OD＝OB，∴△COA，△DOB也是等边三角形，∴∠COA＝∠DOB＝60°，∴∠COD＝180°﹣∠COA﹣∠DOB＝60度．17．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是 4 ．【分析】方法一、延长CP交⊙O于K，连接DK，求出当DK为直径时符合，再求出PM即可；方法二、求出C，M，O，P，四点共圆，连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM＝CO＝4时PM最大．【解答】解：方法一、延长CP交⊙O于K，连接DK，则PM＝DK，当DK过O时，DK最大值为8，PM＝DK＝4，方法二、连接CO，MO，∵∠CPO＝∠CMO＝90°，∴C，M，O，P，四点共圆，且CO为直径（E为圆心），连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM＝CO＝4时PM最大．即PM max＝4，故答案为：4．18．“圆材埋壁”是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，则直径CD长为26 寸．【分析】连接OA，设OA＝r，则OE＝r﹣CE＝r﹣1，再根据垂径定理求出AE的长，在Rt △OAE中根据勾股定理求出r的值，进而得出结论．【解答】解：连接OA，设OA＝r，则OE＝r﹣CE＝r﹣1，∵AB⊥CD，AB＝1尺，∴AE＝AB＝5寸，在Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE2，即r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13（寸）．∴CD＝2r＝26寸．故答案为：26．19．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝54°，则∠BAD＝36°．【分析】连接BD，根据AB为直径，得出∠ADB＝90°，∠ABD＝∠ACD＝54°，继而可求得∠BAD．【解答】解：连接BD，如图所示：∵∠ACD＝54°，∴∠ABD＝54°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝36°，答案为：36°．20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为110°．【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）可得答案．【解答】解：∵∠B＝110°，∴∠ADE＝110°．故答案为：110°．三．解答题（共5小题）21．如图，在⊙O中，AD＝BC，求证：DC＝AB．【分析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，由AD＝BC得到＝，把两弧都加上弧AC 得到＝，于是得到DC＝AB．【解答】证明：∵AD＝BC，∴＝，∴+＝+，即＝，∴DC＝AB．22．已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点．求证：AD＝BC．【分析】利用SAS证明△AOD≌△BOC，根据全等三角形的对应边相等得到AD＝BC．【解答】证明：∵OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点，∴OA＝OB，OC＝OD．在△AOD与△BOC中，∵，∴△AOD≌△BOC（SAS）．∴AD＝BC．23．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．【分析】过O作OF垂直于CD，连接OD，利用垂径定理得到F为CD的中点，由AE+EB 求出直径AB的长，进而确定出半径OA与OD的长，由OA﹣AE求出OE的长，在直角三角形OEF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OF的长，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的长，由CD＝2DF即可求出CD的长．【解答】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF＝DF，∵AE＝2，EB＝6，∴AB＝AE+EB＝2+6＝8，∴OA＝4，∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2，在Rt△OEF中，∠DEB＝30°，∴OF＝OE＝1，在Rt△ODF中，OF＝1，OD＝4，根据勾股定理得：DF＝＝，则CD＝2DF＝2．24．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE ＝4米时，是否要采取紧急措施？【分析】（1）连结OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；（2）连结OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论．【解答】解：（1）连结OA，由题意得：AD＝AB＝30，OD＝（r﹣18）在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34；（2）连结OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，解得：A′E＝16．∴A′B′＝32．∵A′B′＝32＞30，∴不需要采取紧急措施．25．已知：如图1，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，直线AD，BC相交于点E．（1）∠E的度数为600；（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．【分析】（1）连结OD，OC，BD，根据已知得到△DOC为等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角，求出∠E的度数；（2）同理解答（2）（3）．【解答】解：（1）如图1，连结OD，OC，BD，∵OD＝OC＝CD＝2∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°∴∠DBC＝30°∴∠EBD＝30°∵AB为直径，∴∠ADB＝90°∴∠E＝90°﹣300＝600∠E的度数为600；（2）①如图2，直线AD，CB交于点E，连结OD，OC，AC．∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠DAC＝30°，∴∠EBD＝30°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠E＝90°﹣30°＝60°，（3）如图3，连结OD，OC，∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠CBD＝30°，∴∠ADB＝90°，∴∠BED＝60°，∴∠AEC＝60°．。

人教版九年级数学上册 24

人教版九年级数学上册 24.1 圆的有关性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝59°，则∠C 等于( )A ．29°B ．31°C ．59°D ．62°2. 如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P (0，－3)，那么经过点P 的所有弦中，最短的弦的长为( )A ．4B ．5C ．8D ．103. 2018·济宁如图，点B ，C ，D 在⊙O 上，若∠BCD ＝130°，则∠BOD 的度数是( )A ．50°B ．60°C ．80°D ．100°4. 如图，在⊙O 中，如果AB ︵＝2AC ︵，那么()A ．AB ＝AC B ．AB ＝2AC C ．AB ＜2ACD ．AB ＞2AC5. 如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为( )A. 5 B ．2 5 C ．3 D ．2 36. 2019·梧州如图，在半径为13的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是( )A ．2 6B ．2 10C ．2 11D ．4 37. 如图，⊙O 的半径为8 cm ，把劣弧AB 沿AB 折叠，使劣弧AB 经过圆心O ，再把劣弧CD 沿CD 折叠，使劣弧CD 经过AB 的中点E ，则折痕CD 的长为( )A ．8 cmB ．8 3 cmC ．27 cmD ．47 cm8. 2019·天水如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连接AC ，AE .若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°9. 如图，将半径为6的⊙O 沿AB 折叠，AB ︵与垂直于AB 的半径OC 交于点D ，且CD ＝2OD ，则折痕AB 的长为( )A ．4 2B ．8 2C ．6D ．6 310. 甲、乙、丙三个牧民用同样长为l 米的铁丝各围一块草地放牧，甲牧民围成面积为S 1的圆形草地，乙牧民围成面积为S 2的正方形草地，丙牧民围成面积为S 3的矩形(不是正方形)草地，则下列结论正确的是( ) A ．S 1＞S 3＞S 2 B ．S 2＞S 1＞S 3 C ．S 3＞S 1＞S 2D ．S 1＞S 2＞S 3二、填空题（本大题共6道小题） 11. 如图，点A ，B ，C 在☉O 上，BC=6，∠BAC=30°，则☉O 的半径为 .12. 2018·曲靖如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为BC 延长线上一点，若∠A ＝n °，则∠DCE ＝________°.13. 已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别是r 1，r 2，且r 1和r 2是方程x 2－ax ＋14＝0的两个根．若⊙O 1与⊙O 2是等圆，则a 2021的值为________．14. 将量角器按图所示的方式放置在三角形纸片上，使顶点C 在半圆上，点A ，B的读数分别为100°，150°，则∠ACB 的大小为________°.15. 如图，已知等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°且AC＝BC＝4，在平面内任作∠APB＝60°，则BP的最大值为________．16. 如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C，D与点A，B不重合)，M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P.若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，∠C＝90°，以AC为半径的⊙C与AB相交于点D.若AC＝3，BC＝4，求BD的长．18. 我们学习了“弧、弦、圆心角的关系”，事实上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等．[弦心距是指从圆心到弦的距离(如图①中的OC，OC′的长)]请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决下列问题：如图②，O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边所在的直线分别交于点A，B和C，D.(1)求证：AB＝CD.(2)若角的顶点P在圆上或圆内，(1)中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．19. 如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是优弧ABC的中点．(1)如图①，求证：OP∥BC；(2)如图②，PC交AB于点D，当△ODC是等腰三角形时，求∠P AO的度数．20. 如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，A是优弧BAD上的一个动点(不与点B，D重合)．(1)当圆心O在∠BAD的内部时，若∠BOD＝120°，则∠OBA＋∠ODA＝________°.(2)若四边形OBCD为平行四边形．①当圆心O在∠BAD的内部时，求∠OBA＋∠ODA的度数；②当圆心O在∠BAD的外部时，请画出图形并直接写出∠OBA与∠ODA的数量关系．人教版九年级数学上册24.1 圆的有关性质同步课时训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】B2. 【答案】C[解析] 过点P作弦AB⊥OP，连接OB，如图．则PB＝AP，∴AB＝2BP＝2 OB2－OP2.再过点P任作一条弦MN，过点O作OG⊥MN于点G，连接ON.则MN＝2GN＝2 ON2－OG2.∵OP＞OG，OB＝ON，∴MN＞AB，∴AB是⊙O中的过点P最短的弦．在Rt△OPB中，PO＝3，OB＝5，由勾股定理，得PB＝4，则AB＝2PB＝8.3. 【答案】D[解析] 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可知∠α＝2∠BCD＝260°.而∠α＋∠BOD＝360°，所以∠BOD＝100°.4. 【答案】C[解析] 取AB ︵的中点D ，则AD ︵＝BD ︵＝AC ︵，所以AD ＝BD ＝AC ，而AD ＋BD ＞AB ，所以2AC ＞AB .5. 【答案】D[解析] 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA .根据题意，得OD ＝12OA ＝1.再根据勾股定理，得AD ＝ 3.根据垂径定理，得AB ＝2 3.6. 【答案】C7. 【答案】D[解析] 如图，作CD 关于AB 对称的弦C ′D ′，连接OE 并延长，交CD 于点F ，交C ′D ′于点F ′.由题意可得OF ′⊥C ′D ′，且OF ′＝34×8＝6(cm)，所以C ′F ′＝OC ′2－OF ′2＝ 2 7 cm ，所以CD ＝C ′D ′＝2C ′F ′＝47cm.8. 【答案】C9. 【答案】B[解析] 如图，延长CO 交AB 于点E ，连接OB .∵CE ⊥AB ，∴AB＝2BE .∵OC ＝6，CD ＝2OD ，∴CD ＝4，OD ＝2，OB ＝6.由折叠的性质可得DE ＝12×(6×2－4)＝4，∴OE ＝DE －OD ＝4－2＝2.在Rt △OEB 中，BE ＝OB 2－OE 2＝62－22＝4 2， ∴AB ＝8 2.故选B.10. 【答案】D [解析] 本题中甲的草地：2πr ＝l ，r ＝l 2π，S 1＝π·r 2＝l 24π；乙的草地：S 2＝l 4×l 4＝l 216；丙的草地：设一边长为x ，则S 3＝x (l 2－x )＝－x 2＋l 2x .只有当x ＝l 4时，S 3取得最大值，此时S 3＝l 216，但此时矩形为正方形，不符合题意．所以S 1＞S 2＞S 3.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】6 [解析]连接OB ，OC.∵∠BOC=2∠BAC=60°，OB=OC ，∴△BOC 是等边三角形，∴OB=BC=6，故答案为6.12. 【答案】n13. 【答案】1[解析] ∵⊙O 1与⊙O 2是等圆，∴r 1＝r 2.∵r 1和r 2是方程x 2－ax ＋14＝0的两个根， ∴r 1r 2＝14，r 1＋r 2＝a ，∴r 1＝r 2＝12，从而a ＝1，∴a 2021＝12021＝1.14. 【答案】25[解析] 设量角器的中心为O ，由题意可得∠AOB ＝150°－100°＝50°，所以∠ACB ＝12∠AOB ＝25°.15. 【答案】8[解析] 由题意可得A ，P ，B ，C 在同一个圆上，所以当BP 为圆的直径时，BP 最大，此时∠P AB ＝90°.过点C 作CD ⊥AB 于点D ，可求得AB ＝4 3，进而可求得BP 的最大值为8.16. 【答案】34 [解析] 如图，当CD ∥AB 时，PM 的长最大，连接OM ，OC .∵CD ∥AB ，CP ⊥AB ， ∴CP ⊥CD .∵M 为CD 的中点，OM 过点O ， ∴OM ⊥CD ，∴∠OMC ＝∠PCD ＝∠CPO ＝90°， ∴四边形CPOM 是矩形， ∴PM ＝OC .∵⊙O 的直径AB ＝8， ∴半径OC ＝4，∴PM ＝4. 三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋42＝5.如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则AD ＝2AE . ∵CE ＝AC ·BC AB ＝125，∴在Rt △ACE 中，AE ＝AC 2－CE 2＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝95，∴AD ＝2AE ＝2×95＝185， ∴BD ＝AB －AD ＝5－185＝75.18. 【答案】解：(1)证明：如图①，过点O 作OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥CD 于点N . ∵PO 平分∠EPF ，∴OM ＝ON ， ∴AB ＝CD .(2)(1)中的结论还成立．证明：当点P 在⊙O 上时，如图②，同(1)知OM ＝ON ， ∴AB ＝CD ；当点P 在⊙O 内时，如图③，同(1)知OM ＝ON ， ∴AB ＝CD .19. 【答案】解：(1)证明：如图①，连接PC . ∵AP ︵＝PC ︵，∴∠AOP ＝∠COP .在△AOP 和△COP 中，⎩⎨⎧OP ＝OP ，∠AOP ＝∠COP ，OA ＝OC ，∴△AOP ≌△COP ，∴∠APO ＝∠CPO . ∵OA ＝OP ，∴∠APO ＝∠OAP . 又∵∠PCB ＝∠OAP ， ∴∠CPO ＝∠PCB ， ∴OP ∥BC .(2)如图②，连接OP ，AC .∵AP ︵＝PC ︵，∴P A ＝PC ，∴∠P AC ＝∠PCA . ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ， ∴∠P AO ＝∠PCO .当DO ＝DC 时，设∠DCO ＝x ，则∠DOC ＝x ，∠P AO ＝x ，∴∠OPC ＝∠OCP ＝x ，∠PDO ＝2x . ∵∠P AO ＝x ，∴∠POD ＝2∠P AO ＝2x .在△POD 中，x ＋2x ＋2x ＝180°，解得x ＝36°，即∠P AO ＝36°.当CO ＝CD 时，设∠DCO ＝x ，则∠OPC ＝x ，∠P AO ＝x ， ∴∠POD ＝2x ，∴∠ODC ＝∠POD ＋∠OPC ＝2x ＋x ＝3x . ∵CD ＝CO ，∴∠DOC ＝∠ODC ＝3x .在△POC 中，x ＋x ＋5x ＝180°，解得x ＝(1807)错误!，即∠P AO ＝(错误!)°,)．当OC ＝OD 时，B ，D 重合，不符合题意，舍去．综上所述，∠P AO 的度数为36°或(1807)°,)．20. 【答案】52解：(1)60 (2)①如图(a)．∵四边形OBCD 为平行四边形， ∴∠BOD ＝∠BCD ，∠OBC ＝∠ODC .又∵∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∠BAD ＝12∠BOD ，∴12∠BOD ＋∠BOD ＝180°，解得∠BOD ＝120°，∴∠BAD ＝12∠BOD ＝12×120°＝60°，∠OBC ＝∠ODC ＝180°－∠BOD ＝180°－120°＝60°. 又∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠OBA ＋∠ODA ＝∠ABC ＋∠ADC －(∠OBC ＋∠ODC )＝180°－(60°＋60°)＝60°.②如图(b)所示，连接AO.∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵∠OAB＝∠OAD＋∠BAD，∴∠OBA＝∠ODA＋∠BAD＝∠ODA＋60°.如图(c)，同理可得∠ODA＝∠OBA＋60°.人教版九年级数学上册24.2 点和圆、直线和圆的位置关系一、选择题（本大题共10道小题）1. 下列说法中，正确的是()A．垂直于半径的直线是圆的切线B．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线C．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线2. 如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB＝52°，则∠NOA的度数为()A．76°B．56°C．54°D．52°3. 2018·舟山用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是()A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆心上D．点在圆上或圆内4. 平面上⊙O与四条直线l1，l2，l3，l4的位置关系如图.若⊙O的半径为2 cm，且点O到其中一条直线的距离为2.2 cm，则这条直线是()A．l l B．l2C．l3D．l45. 如图，在正三角形网格中，△ABC的顶点都在格点上，点P，Q，M是AB与网格线的交点，则△ABC的外心是()A．点P B．点Q C．点M D．点N6. 如图，数轴上有A，B，C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在⊙O外、⊙O内、⊙O上，则原点O的位置应该在()图A．点A与点B之间靠近点AB．点A与点B之间靠近点BC．点B与点C之间靠近点BD．点B与点C之间靠近点C7. 如图，一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为()A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1.5 cm8. 如图，⊙C的半径为1，圆心的坐标为(3，4)，P(m，n)是⊙C内或⊙C上的一个动点，则m2＋n2的最小值是()A．9 B．16 C．25 D．369. 2020·武汉模拟在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为10，则P(－10，1)与⊙O的位置关系为()A．点P在⊙O上B．点P在⊙O外C．点P在⊙O内D．无法确定10. 如图，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位长度)选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为()图A．22＜r≤17 B.17＜r≤3 2C.17＜r≤5 D．5＜r≤29二、填空题（本大题共6道小题）11. 如图，在平面直角坐标系中，已知C(3，4)，以点C为圆心的圆与y轴相切．点A，B在x轴上，且OA＝OB.P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长的最大值为________．12. 如图1，已知△ABC 的外心为O ，BC ＝10，∠BAC ＝60°，分别以AB ，AC为腰向三角形外作等腰直角三角形ABD 与ACE ，连接BE ，CD 交于点P ，则OP 长的最小值是________．13. 如图，AB 为⊙O的直径，圆周角∠ABC ＝40°，当∠BCD ＝________°时，CD为⊙O 的切线．14. 如图，⊙M 的圆心在一次函数y ＝12x ＋2的图象上运动，半径为1.当⊙M 与y 轴相切时，点M 的坐标为__________．15. 如图所示，在半圆O 中，AB 是直径，D是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，CE ⊥AB 于点E ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE ，CB 于点P ，Q ，连接AC ，有下列结论：①∠BAD ＝∠ABC ；②GP ＝GD ；③点P 是△ACQ 的外心．其中正确的结论是________(只需填写序号)．16. 如图，半圆的圆心O与坐标原点重合，半圆的半径为1，直线l的解析式为y＝x＋t.若直线l与半圆只有一个公共点，则t的取值范围是________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 2018·邵阳如图所示，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为D，连接BC，BC平分∠ABD.求证：CD为⊙O的切线．18. 2019·天津如图，已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C 为⊙O上一点．(1)如图①，求∠ACB的大小；(2)如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D.若AB＝AD，求∠EAC的大小．19. 如图①，直线PA交⊙O于A，E两点，PA的垂线CD切⊙O于点C，交PA 于点D，过点A作⊙O的直径AB.(1)求证：AC平分∠DAB；(2)如图②，将直线CD向下平行移动，得到CD与⊙O相切于点C，AC还平分∠DAB吗？请说明理由．解题突破(20题)在动态情况下，探究结论是否发生变化，主要看使结论成立的主要条件是否改变．比如本题中虽然图形发生变化，但AD和OC平行，△AOC是等腰三角形这两个主要条件没有改变，因此结论不发生变化.20. 如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC＝5，PT为⊙O的切线，切点为T.(1)如图①，当点C运动到点O时，求PT的长；(2)如图②，当点C运动到点A时，连接PO，BT，求证：PO∥BT；(3)如图③，设PT2＝y，AC＝x，求y与x之间的函数解析式及y的最小值．人教版九年级数学上册24.2 点和圆、直线和圆的位置关系同步课时训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】B2. 【答案】A[解析] ∵MN是⊙O的切线，∴ON⊥NM，∴∠ONM＝90°，∴∠ONB＝90°－∠MNB＝90°－52°＝38°.∵ON＝OB，∴∠B＝∠ONB＝38°，∴∠NOA＝2∠B＝76°.3. 【答案】D4. 【答案】C[解析] 因为所求直线到圆心O的距离为2.2 cm＞半径2 cm，所以此直线与⊙O相离，所以这条直线为直线l3.5. 【答案】B[解析] 由题意可知∠BCN＝60°，∠ACN＝30°，∴∠ACB＝∠ACN＋∠BCN＝90°，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的外心是斜边AB的中点．∵Q是AB的中点，∴△ABC的外心是点Q.6. 【答案】C[解析] 如图．7. 【答案】B[解析] 如图，连接OC，并过点O作OF⊥CE于点F.∵△ABC为等边三角形，边长为4 cm，∴△ABC的高为2 3 cm，∴OC＝ 3 cm.又∵⊙O与BC相切于点C，∠ACB＝60°，∴∠OCF＝30°.在Rt△OFC中，可得FC＝32cm，∴CE＝2FC＝3 cm.8. 【答案】B[解析] 如图，连接OC交⊙C于点P′.∵圆心C的坐标为(3，4)，点P的坐标为(m，n)，∴OC＝5，OP＝m2＋n2，∴m2＋n2是点P到原点的距离的平方，∴当点P 运动到线段OC 上，即点P ′处时，点P 离原点最近，即m 2＋n 2取得最小值，此时OP ＝OC －PC ＝5－1＝4，即m 2＋n 2＝16.9. 【答案】B10. 【答案】B[解析] 如图，∵AD ＝2 2，AE ＝AF ＝17，AB ＝3 2， ∴AB ＞AE ＝AF ＞AD ，∴当17＜r ＜3 2时，以点A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内．二、填空题（本大题共6道小题） 11. 【答案】1612. 【答案】5－533 [解析] ∵∠BAD ＝∠CAE ＝90°，∴∠DAC ＝∠BAE .在△DAC 和△BAE 中，⎩⎨⎧AD ＝AB ，∠DAC ＝∠BAE ，AC ＝AE ，∴△DAC ≌△BAE (SAS)， ∴∠ADC ＝∠ABE ，从而∠PDB ＋∠PBD ＝90°，即∠DPB ＝90°，从而∠BPC ＝90°， ∴点P 在以BC 为直径的圆上．如图，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，连接OB ，OC . ∵△ABC 的外心为O ，∠BAC ＝60°， ∴∠BOC ＝120°.又∵BC ＝10，∴OH ＝53 3，∴OP 长的最小值是5－53 3.13. 【答案】50[解析] 连接OC .∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠ABC ＝40°. ∵∠BCD ＝50°，∴∠OCD ＝90°， ∴CD 为⊙O 的切线．14. 【答案】(1，52)或(－1，32) [解析] ∵⊙M 的圆心在一次函数y ＝12x ＋2的图象上运动，∴设当⊙M 与y 轴相切时圆心M 的坐标为(x ，12x ＋2)．∵⊙M 的半径为1，∴x ＝1或x ＝－1，当x ＝1时，y ＝52，当x ＝－1时，y ＝32.∴点M 的坐标为(1，52)或(－1，32)．15. 【答案】②③[解析] ∵在半圆O 中，AB 是直径，D 是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，∴AC ︵＝DC ︵，但不一定等于DB ︵，∴∠BAD 与∠ABC 不一定相等，故①错误．如图，连接OD ，则OD ⊥GD ，∠OAD ＝∠ODA .∵∠ODA ＋∠GDP ＝90°，∠OAD ＋∠GPD ＝∠OAD ＋∠APE ＝90°，∴∠GPD ＝∠GDP ，∴GP ＝GD ，故②正确．补全⊙O ，延长CE 交⊙O 于点F . ∵CE ⊥AB ，∴A 为FC ︵的中点，即AF ︵＝AC ︵. 又∵C 为AD ︵的中点，∴CD ︵＝AC ︵，∴AF ︵＝CD ︵， ∴∠CAP ＝∠ACP ，∴AP ＝CP . ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACQ ＝90°，∴∠ACP ＋∠PCQ ＝90°，∠CAP ＋∠PQC ＝90°， ∴∠PCQ ＝∠PQC ，∴PC ＝PQ ，∴AP＝PQ，即P为Rt△ACQ的斜边AQ的中点，∴点P为Rt△ACQ的外心，故③正确．16. 【答案】t＝2或－1≤t＜1[解析] 若直线与半圆只有一个公共点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束(不包括直线过点A)．直线y＝x＋t与x轴所形成的锐角是45°.当点O到直线l的距离OC＝1时，直线l与半圆O相切，设直线l与y轴交于点D，则OD＝2，即t＝ 2.当直线过点A时，把A(－1，0)代入直线l的解析式，得t＝y－x＝1.当直线过点B时，把B(1，0)代入直线l的解析式，得t＝y－x＝－1.即当t＝2或－1≤t＜1时，直线和半圆只有一个公共点．故答案为t＝2或－1≤t＜1.三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】证明：连接OC.∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠DBC，∴OC∥BD.∵BD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线．18. 【答案】解：(1)如图①，连接OA，OB，∵P A，PB是⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－80°＝100°.由圆周角定理，得∠ACB＝12∠AOB＝50°.(2)如图②，连接CE.∵AE为⊙O的直径，∴∠ACE＝90°.∵∠ACB＝50°，∴∠BCE＝90°－50°＝40°，∴∠BAE＝∠BCE＝40°.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝70°，∴∠EAC＝∠ADB－∠ACB＝20°.19. 【答案】解：(1)证明：连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵CD切⊙O于点C，∴CD⊥OC.又∵CD⊥P A，∴OC∥P A，∴∠P AC＝∠OCA，∴∠OAC＝∠P AC，即AC平分∠DAB.(2)AC还平分∠DAB.理由：连接OC.∵CD切⊙O于点C，∴CD⊥OC.又∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠DAC.又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，即AC平分∠DAB.20. 【答案】254解：(1)连接OT.∵PT为⊙O的切线，∴OT⊥PT，∴在Rt△PTO中，PT＝PO2－OT2＝3.(2)证明：连接AT，OT.∵PT为⊙O的切线，∴PT⊥OT，∴∠PTO＝90°＝∠P AO.在Rt△P AO和Rt△PTO中，∵PO＝PO，OA＝OT，∴Rt△P AO≌Rt△PTO，∴P A＝PT，∠APO＝∠TPO，∴PO⊥AT.∵AB是⊙O的直径，∴∠ATB是直角，即BT⊥AT，∴PO∥BT.(3)连接PO，OT.∵PT为⊙O的切线，∴PT⊥OT.∵AC＝x，∴CO＝OA－AC＝4－x.在Rt△PCO中，PO2＝PC2＋CO2＝52＋(4－x)2.在Rt△POT中，PO2＝PT2＋OT2＝PT2＋42，∴PT2＋42＝52＋(4－x)2，即y＋42＝52＋(4－x)2，∴y＝9＋(4－x)2＝x2－8x＋25＝(x－4)2＋9(0≤x≤4)，∴当x＝4时，y有最小值9.∴y与x之间的函数解析式为y＝x2－8x＋25(0≤x≤4)，y的最小值是9.。

部编数学九年级上册专题24.1圆的有关性质(基础)(解析版)含答案

专题24.1 圆的有关性质目录圆的认识 (1)圆的相关概念 (3)求相关角度 (4)求相关长度 (6)有关证明 (8)垂径定理的计算 (10)垂径定理的应用 (13)圆周角圆心角相关概念 (18)圆周角与圆心角求角度 (20)圆周角与圆心角求长度 (22)垂径定理的推论 (26)内接四边形 (28)证明综合....................................................................................................................................................31圆的认识【例1】下列结论正确的是（）A ．半径相等的两条弧是等弧B ．半圆是弧C ．半径是弦D ．弧是半圆【解答】解：A 、在等圆或同圆中，半径相等的两条弧是等弧，原结论不正确；B 、半圆是弧，原结论正确；C 、半径只有一个端点位于圆上，不是弦，原结论不正确；D、根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，原结论不正确；【变式训练1】数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是（）A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”【解答】解：A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“四边形的不稳定性”，故本选项错误，不合题意；B．车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”，故本选项错误，不合题意；C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”，故本选项正确，符合题意D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故本选项错误，不合题意．故选：C．【变式训练2】下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦B．半径相等的两个半圆是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半圆是圆中最长的弧【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，说法正确，不符合题意；B、半径相等的两个半圆是等弧，说法正确，不符合题意；C、面积相等的两个圆是等圆，说法正确，不符合题意；D、由于半圆小于优弧，所以半圆是圆中最长的弧说法错误，符合题意．【变式训练3】在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（）A．无数个B．3个C．2个D．1个【解答】解：在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为为：所有到定点P的距离等于1cm的点的集合，故选：A．圆的相关概念【例2】已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．3cm B．6cm C．1.5cm D【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6（cm）．故选：B．【变式训练1】已知⊙O中最长的弦为12厘米，则此圆半径为　6　厘米．【解答】解：∵直径是圆中最长的弦，⊙O中最长的弦为12厘米，∴⊙O的直径是12厘米．∴⊙O的半径是6厘米．故答案为：【例3】下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；②弦不一定是直径，错误，不符合题意；③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，正确的有3个，故选：C．【变式训练1】下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；（4）直径是圆中最长的弦，正确，正确的只有1个，故选：A．求相关角度【例4】如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（）A．38°B．52°C．76°D．104°【解答】解：∵OM＝ON，∴∠M＝∠N＝52°，∴∠MON＝180°﹣2×52°＝76°．故选：C．【变式训练1】如图，将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则∠ACO的度数为（）A．150°B．120°C．100°D．60°【解答】解：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B＝60°，∴∠ACO＝180°﹣60°＝120°．故选：B．【例5】如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．若∠A＝25°，求∠DCE的度数．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝25°，∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝65°，∵∠CDB＝∠DCE+∠A，∴∠DCE＝65°﹣25°＝40°．【变式训练1】如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O 于点B，且AB＝OC．（1）求∠AOB的度数．（2）求∠EOD的度数．【解答】解：（1）连OB，如图，∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝BO，∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；（2）∵∠2＝∠A+∠1，∴∠2＝2∠A，∵OB＝OE，∴∠2＝∠E ，∴∠E ＝2∠A ，∴∠DOE ＝∠A +∠E ＝3∠A ＝60°．求相关长度【例6】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝若以点C 为圆心，CA 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则⊙C 的半径为（）A ．B ．8C ．6D ．5【解答】解：如图，连结CD ，∵CD 是直角三角形斜边上的中线，∴CD =12AB =12×10＝5故选：D ．【变式训练1】如图，AB 是⊙O 的弦，点C 是优弧AB 上的动点（C 不与A 、B 重合），CH ⊥AB ，垂足为H ，点M 是BC 的中点．若⊙O 的半径是3，则MH 长的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH=12 BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．【变式训练2】如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若CD＝6，BC＝8，则AB的长为（）A．6B．5C．4D．2【解答】解：如图，连接OC．∵四边形OBCD是矩形，∴∠OBC＝90°，OB＝CD＝6，∴OC＝OA10，∴AB＝OA﹣OB＝4，故选：C ．【变式训练3】如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝3，BC ＝4，点P 是BC 边上一动点（点P 不与B ，C 重合），连接AP ，作点B 关于直线AP 的对称点M ，则线段MC 的最小值为（）A ．2B ．52C ．3D 【解答】解：连接AM ，∵点B 和M 关于AP 对称，∴AB ＝AM ＝3，∴M 在以A 圆心，3为半径的圆上，∴当A ，M ，C 三点共线时，CM 最短，∵AC =5，AM ＝AB ＝3，∴CM ＝5﹣3＝2，故选：A ．有关证明【例7】已知，如图，在⊙O 中，C 、D 分别是半径OA 、BO 的中点，求证：AD ＝BC ．【解答】解：∵OA 、OB 是⊙O 的两条半径，∴AO ＝BO ，∵C、D分别是半径OA、BO的中点，∴OC＝OD，在△OCB和△ODA中，AO=BO∠O=∠O，OD=OC∴△OCB≌△ODA（SAS），∴AD＝BC．【变式训练1】已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB 于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？【解答】解：AC与BD相等．理由如下：连接OC、OD，如图，∵OA＝OB，AE＝BF，∴OE＝OF，∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠OEC＝∠OFD＝90°，在Rt△OEC和Rt△OFD中，OE=OFOC=OD，∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），∴∠COE＝∠DOF，∴AC=BD，∴AC＝BD．垂径定理的计算【例8】如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ．若CD ＝AP ＝8，则⊙O 的半径为（）A ．10B ．8C ．5D ．3【解答】解：连接OC ，∵AB ⊥CD ，AB 过圆心O ，CD ＝8，∴CP ＝DP ＝4，设⊙O 的半径为R ，∵AP ＝8，∴OP ＝8﹣R ，在Rt △COP 中，由勾股定理得：CP 2+OP 2＝OC 2，即（8﹣R ）2+42＝R 2，解得：R ＝5，∴⊙O 的半径为5，故选：C．【变式训练1】如图，CD 是圆O 的弦，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB ＝12，BE ＝3，则四边形ACBD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图，连接OC ，∵AB ＝12，BE ＝3，∴OB ＝OC ＝6，OE ＝3，∵AB ⊥CD ，在Rt △COE 中，EC =∴CD ＝2CE ＝∴四边形ACBD 的面积=12AB ⋅CD =12×12×=故选：A ．【变式训练2】如图，正方形ABCD 和正方形BEFG 的顶点分别在半圆O 的直径和圆周上，若BG ＝4，则半圆O 的半径是（）A．4+B．9C．D．【解答】解：连接OC，OF，设OB＝x，∵四边形ABCD是正方形且顶点D和C在圆上，∴AB＝BC＝2x，∠OBC＝90°，∵BG＝4，四边形BEFG是正方形，∴OE＝x+4，EF＝BE＝BG＝4，∠FEB＝90°，在Rt△BCO中，OC=，在Rt△FEO中，OF=∵OF＝OC，∴5x2＝x2+8x+32，解得x＝4或x＝﹣2（舍去）当x＝4时，OC＝则半圆O的半径是故选：C．【变式训练3】已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A ．1个B ．3个C ．6个D ．7个【解答】解：∵CD 是直径，∴OC ＝OD =12CD =12×10＝5，∵AB ⊥CD ，∴∠AMC ＝∠AMD ＝90°，∵AM ＝4.8，∴OM ==1.4，∴CM ＝5+1.4＝6.4，MD ＝5﹣1.4＝3.6，∴AC =8，AD ==6，∵AM ＝4.8，∴A 点到线段MD 的最小距离为4.8，最大距离为6，则A 点到线段MD 的整数距离有5，6，A 点到线段MC 的最小距离为4.8，最大距离为8，则A 点到线段MC 的整数距离有5，6，7，8，直径CD 上的点（包含端点）与A 点的距离为整数的点有6个，故选：C ．垂径定理的应用【例9】往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB ＝48cm ，水的最大深度为16cm ，则圆柱形容器的截面直径为（）cm ．A ．10B ．14C ．26D ．52【解答】解：如图所示：由题意得，OC⊥AB于D，DC＝16cm，∵AB＝48cm，∴BD=12AB=12×48＝24（cm），设半径为rcm，则OD＝（r﹣16）cm，在Rt△OBD中，r2＝242+（r﹣16）2，解得r＝26，所以2r＝52，故选：D．【变式训练1】一装有某种液体的圆柱形容器，半径为6cm，高为18cm．小强不小心碰倒，容器水平静置时其截面如图所示，其中圆心O到液面AB的距离为3cm，若把该容器扶正竖直，则容器中液体的高度为（）A．12πcm B．2πcm C．πcm D．2cm【解答】解：连接OA，OB，如图，根据题意得：OA＝6cm，弦心距OC＝3cm，∴cos∠AOC=OCOA=36=12，∴∠AOC ＝60°，则∠AOB ＝120°，∴AC ＝，AB ＝2AC ＝，∴S 阴影＝S 扇形OAB ﹣S △OAB =120π×62360−12××3=cm 2）．设把该容器扶正竖直后容器中液体的高度为h （cm ），依题意得：62πℎ=，∴ℎ故选：B ．【变式训练2】往直径为78cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB ＝72cm ，则水的最大深度为（）A ．36cmB ．27cmC ．24cmD ．15cm【解答】解：连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点C 交⊙O 于D ．∵OC ⊥AB ，∴AC ＝CB ＝36（cm ），∵OA ＝OB ＝39cm ，∴OC ==15（cm ），∴CD ＝39﹣15＝24（cm ），故选：C ．【变式训练3】如图，某同学测试一个球体在水中的下落速度，他测得截面圆的半径为5cm ，假设球的横截面与水面交于A ，B 两点，AB ＝8cm ．若从目前所处位置到完全落入水中的时间为4s ，则球体下落的平均速度为（）A．0.5cm/s B．0.75cm/s C．1cm/s D．2cm/s 【解答】解：设圆心为O，连接OB，则OB＝5，过点O作OC⊥AB，交⊙O于点C，交AB于点D，则BD=12AB=4cm，在Rt△BOD中，OD=3cm，∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2cm，∴从目前所处位置到究全落入水中，球体下落的平均速度为2÷4＝0.5cm/s．故选：A．【例10】如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽度AB为7.2m，拱顶高出水面（CD）2.4m，现有一艘宽EF为3m且船舱顶部为长方形并高出水面1.5m的货船要经过这里，则货船能顺利通过这座拱桥吗？请作出判断并说明理由．【解答】解：货船能顺利通过这座拱桥，理由如下：如图，连接ON、OA．∵OC⊥AB，AB＝7.2m，∴AD=12AB＝3.6（m），设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝（r﹣2.4）m，在Rt△AOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣2.4）2+3.62，解得：r＝3.∵CD＝2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面1.5m，∴CH＝2.4﹣1.5＝0.9（m），∴OH＝3.9﹣0.9＝3（m），在Rt△OHN中，HN2＝ON2﹣OH2＝3.92﹣32＝6.21（m2），∴HN=m），∴MN＝2HN＝m）＞3m，∴货船能顺利通过这座拱桥．【变式训练1】诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．【解答】解：（1）如图，连接OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝16m，∴BD=12AB＝8（m），又∵CD＝4m，设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，解得r＝答：此圆弧形拱桥的半径为10m．（2）此货船不能顺利通过这座拱桥，理由如下：连接ON，∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，∴CE＝4﹣3＝1（m），∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m），在Rt△OEN中，由勾股定理得：EN=∴MN＝2EN＝＜12m．∴此货船B不能顺利通过这座拱桥．圆周角圆心角相关概念【例11】下列说法中，正确的个数为（）（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；（2）优弧一定比劣弧长；（3）弧相等则所对的圆心角相等；（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一定相等．（2）优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中；（3）弧相等则所对的圆心角相等．正确；（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．正确；故选：B．【变式训练1】下列说法正确的是（）A．同弧或等弧所对的圆心角相等B．所对圆心角相等的弧是等弧C．弧长相等的弧一定是等弧D．平分弦的直径必垂直于弦【解答】解：A、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，本选项符合题意；B、所对圆心角相等的弧是等弧，错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意；C、弧长相等的弧一定是等弧，错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意；D、平分弦的直径必垂直于弦，错误此弦不能是直径，本选项不符合题意．故选：A．【变式训练2】下列说法中，正确的是（）A．同心圆的周长相等B．面积相等的圆是等圆C．相等的圆心角所对的弧相等D．平分弧的弦一定经过圆心【解答】解：A、错误，同心圆的周长不相等，本选项不符合题意．B、正确，本选项符合题意．C、错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意．D、错误，平分弧的弦不一定经过圆心，本选项不符合题意．故选：B．【变式训练3】下列说法中，正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径也平分弦所对的弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本小题说法错误；②平分弦（不是直径）的直径也平分弦所对的弧，本小题说法错误；③能够重合的两条弧是等弧，本小题说法错误；④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧，本小题说法正确；故选：A．圆周角与圆心角求角度【例12】如图，AB是⊙O的直径，∠D＝32°，则∠AOC等于（）A．158°B．58°C．64°D．116°【解答】解：∵∠D＝32°，∴∠BOC＝2∠D＝64°，∴∠AOC＝180°﹣64°＝116°．故选：D．【变式训练1】如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，∴∠OBA＝∠OAB＝25°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，∵OA＝OC，∠OCA＝40°，∴∠OAC＝∠OCA＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，故选：A．【变式训练2】如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（）A．25°B．50°C．65°D．75°【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC+∠AOC＝75°，∴∠AOC=23×75°＝50°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA=12（180°﹣∠AOC）＝65°，故选：C．【变式训练3】如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°【解答】解：如图，过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，∴∠APO＝∠AQO＝90°，∵∠A＝50°，∴∠POQ＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∵DE＝FG＝MN，∴OP＝OK＝OQ，∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，∴∠BOC=12×(360°−130°)=115°．故选：C．圆周角与圆心角求长度【例13】如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则AC长为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：连接OF，如图：∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴DE＝EF，AD=AF，∵D为弧AC的中点，∴AD=DC，∴ADC=DAF，∴AC＝DF，∵⊙O的直径为10，∴OF＝OA＝5，∵AE＝2，∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3，在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF==4，∴DE＝EF＝4，∴AC＝DF＝DE+EF＝4+4＝8，故选：D．【变式训练1】如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝3，⊙O的直径为15，则AC长为（）A．10B．13C．12D．11【解答】解：连接OF，∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴DE＝EF，AD=AF，∵D为弧AC的中点，∴AD=DC，∴ADC=DAF，∴AC＝DF，∵⊙O的直径为15，∴OF＝OA=15 2，∵AE＝3，∴OE＝OA﹣AE=9 2，在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF==6，∴DE＝EF＝6，∴AC＝DF＝DE+EF＝6+6＝12，故选：C．【变式训练2】如图，在半径为⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为点P．若AB＝CD＝8，则OP的长为（）A．B．C．4D．2【解答】解：连接OA、OC，过O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，则∠OFP＝∠OEP＝∠CEO＝∠AFO＝90°，∵AB⊥CD，∴∠EPF＝90°，∴四边形OFPE是矩形，∴OE＝FP，EP＝OF，∵OF⊥AB，OF过O，AB＝8，∴AF＝BF＝4，由勾股定理得：OF==2，同理OE＝2，即FP＝OE＝2，在Rt△OFP中，由勾股定理得：OP==故选：B．【变式训练3】如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（）A．10B．13C．15D．16【解答】解：如图，连接OF．∵DE ⊥AB ，∴DE ＝EF ，AD =AF ，∵点D 是弧AC 的中点，∴AD =CD ，∴AC =DF ，∴AC ＝DF ＝12，∴EF =12DF ＝6，设OA ＝OF ＝x ，在Rt △OEF 中，则有x 2＝62+（x ﹣3）2，解得x =152，∴AB ＝2x ＝15，故选：C ．垂径定理的推论【例14】如图，DC 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于M ，则下列结论不一定成立的是（）A ．AM ＝BMB ．CM ＝DMC ．AC =BCD ．AD =BD【解答】解：∵弦AB ⊥CD ，CD 过圆心O ，∴AM ＝BM ，AC =BC ，AD =BD，即选项A、C、D都正确，当根据已知条件不能推出CM和DM一定相等，故选：B．【变式训练1】如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（）A．AE＝BE B．OE＝DE C．AC=BC D．AD=BD【解答】解：∵AB⊥CD，CD过圆心O，∴AE＝BE，AC=BC，AD=BD，不能推出OE＝DE，所以选项A、选项C、选项D都不符合题意，只有选项B符合题意；故选：B．【变式训练2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E．不能推出CE＝DE的条件是（）A．AB⊥CD B．AC=AD C．BC=BD D．OE＝ED【解答】解：当AB⊥CD时，CE＝DE．故A正确；当BC=BD或AC=AD时，CE＝DE，故BC都正确；故选：D．【变式训练3】如图，CD是⊙O的弦，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，下列结论：①AC=AD；②BC=BD；③EO＝EB；④EC＝ED．其中一定成立的是（）A ．①③B ．①④C ．①②④D ．①②③④【解答】解：∵AB 是直径，AB ⊥CD ，∴AC =AD ，BC =BD ，EC ＝DE ，故①②④正确．故选：C ．内接四边形【例15】如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接OA ，OC ．若∠ABC ＝108°，则∠AOC 的度数为（）A ．72°B ．108°C ．144°D ．150°【解答】解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠D +∠ABC ＝180°，∵∠ABC ＝108°，∴∠D ＝72°，∴∠BOC ＝2∠D ＝144°，故选：C ．【变式训练1】如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线BD 垂直平分半径OC ，若∠ABD ＝50°，则∠ADC的大小为（）A．130°B．120°C．110°D．100°【解答】解：设BD交OC于E，连接OD，OA，∵BD垂直平分OC，∴OE=12OC=12OD，∠OED＝90°，∴∠ODE＝30°，∴∠DOC＝90°﹣30°＝60°，∵OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∵∠ABD＝50°，∴∠AOD＝2∠ABD＝100°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠OAD=12（180°﹣∠AOD）＝40°，∴∠ADC＝∠ADO+∠ODC＝40°+60°＝100°，故选：D．【变式训练2】如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝15°，则∠BDC＝（）A．85°B．75°C．70°D．65°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝15°，∴∠CAB＝75°，∴∠BDC＝∠CAB＝75°，故选：B．【变式训练3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，P是AD上一点，则∠APD等于（）A．120°B．125°C．135°D．150°【解答】解：连接OC，AC．∵弦CD垂直平分OB，∴OE=12OB=12OC，∴∠OCD＝30°，∴∠COB＝60°，∵OA＝OC，∴∠BAC＝30°，∴∠ACD＝60°．∴∠APD＝180°﹣60°＝120°，故选：A．证明综合【例16】如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，连接AC，且AC∥DF．（1）求证：CG＝AG；（2）若AB＝12，求∠CAO和GD的长．【解答】（1）证明：∵AC∥DF，∴∠CDF＝∠ACD，∵CF=CF，∴∠CAF＝∠CDF，∴∠ACD＝∠CAF，∴AG＝CG；（2）解：如图，连接CO，∵AB⊥CD，∴AC=AD，CE＝DE，∵∠DCA＝∠CAF，∴AD=CF，∴AC=AD=CF，∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF，∵DF是直径，∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝6，∠CAO＝60°，∵CE⊥AO，∴AE＝EO＝3，∠ACD＝30°，∴CE＝DE，∵AG2＝GE2+AE2，∴AG2＝（AG）2+9，∴AG＝∴GE=∴DG＝【变式训练1】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AC=BC，点D是BC的中点，连结OC，AD，交于点E，连结BE，BD．（1）求∠EBA的度数．（2）求证：AE=．（3）若DE＝1，求⊙O的面积．【解答】解：（1）连接AC，∵AC=BC，∴∠AOC＝∠BOC＝90°∴∠CAB＝45°，∵点D是BC的中点，∴CD=BD，∴∠CAD＝∠EAB＝22.5°；（2）由（1）知，OC垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠DEB＝2∠EAB＝45°，∵AB是直径，∴∠D＝90°，∴BD＝sin45°BE，∴BE=，∴AE=；（3）∵DE＝1∴BD＝DE＝1，∴AE＝BE=∴AD=+1，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝（2OA）2，）2+1＝4OA2，∴OA2∴圆的面积为πOA2=一．选择题（共8小题）1．下列说法正确的是( )A ．直径是圆中最长的弦，有4条B ．长度相等的弧是等弧C ．如果A e 的周长是B e 周长的4倍，那么A e 的面积是B e 面积的8倍D ．已知O e 的半径为8，A 为平面内的一点，且8OA =，那么点A 在O e 上【解答】解：A 、直径是圆中最长的弦，有无数条，故该选项不符合题意；B 、在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，故该选项不符合题意；C 、如果A e 的周长是B e 周长的4倍，那么A e 的面积是B e 面积的16倍，故该选项不符合题意；D 、已知O e 的半径为8，A 为平面内的一点，且8OA =，那么点A 在O e 上，故该选项符合题意．故选：D ．2．小明在半径为5的圆中测量弦AB 的长度，下列测量结果中一定是错误的是( )A ．4B ．5C ．10D ．11【解答】解：Q 半径为5的圆，直径为10，\在半径为5的圆中测量弦AB 的长度，AB 的取值范围是：010AB <…，\弦AB 的长度可以是4，5，10，不可能为11．故选：D ．3．如图，O e 的直径BA 的延长线与弦DC 的延长线交于点E ，且CE OB =，已知72DOB Ð=°，则E Ð等于( )A ．36°B ．30°C ．18°D ．24°【解答】解：如图：CE OB CO ==，得1E Ð=Ð．由2Ð是EOC D 的外角，得212E E Ð=Ð+Ð=Ð．由OC OD =，得22D E Ð=Ð=Ð．由3Ð是三角形ODE D 的外角，得323E D E E E Ð=+Ð=Ð+Ð=Ð．由372Ð=°，得372E Ð=°．解得24E Ð=°．故选：D ．4．如图，O e 的直径12AB =，弦CD 垂直AB 于点P ．若2BP =，则CD 的长为()A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图，连接OC ，12AB =Q ，6OC OB \==，2PB =Q ，4OP \=，在Rt OPC D 中，CP ==，CD AB ^Q ，CP DP \=，2CD PC\==．故选：C．5．已知Oe的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则Oe上到弦AB所在直线的距离为2的点有( )A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：过O点作OC AB^，交Oe于P，如图，3OC\=，而5OA=，2PC\=，即点P到直线AB的距离为2；在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为8，而圆为对称图形，\在直线AB的这边，还有两个点M，N到直线AB的距离为2．故选：B．6．如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面2AB m=，拱高3CD m=，则该拱门的半径为( )A．53m B．2m C．83m D．3m【解答】解：如图，取圆心为O ，连接OA ，设O e 的半径为r m ，则OC OA r ==m ，Q 拱高3CD m =，(3)OD r m \=-，OD AB ^，2AB m =Q ，112AD BD AB m \===，222OA AD OD =+Q ，2221(3)r r \=+-，解得：53r =，\该拱门的半径为53m ，故选：A ．7．如图，在Rt ACB D 中60ACB Ð=°，以直角边AB 为直径的O e 交线段AC 于点E ，点M 是弧AE 的中点，OM 交AC 于点D ，O e 的半径是6，则MD 的长度为( )A B ．32C ．3D ．【解答】解：90ABC Ð=°Q ，60ACB Ð=°，30A \Ð=°，M Q 为弧AE 的中点，OM 过圆心O ，OM AD \^，90ADO \Ð=°，116322OD OA \==´=，633MD OM OD \=-=-=，故选：C ．8．如图，在O e 中，¶¶¶AB BCCD ==，连接AC ，CD ，则AC 与CD 的关系是( )A ．2AC CD =B ．2AC CD <C ．2AC CD >D ．无法比较【解答】解：如图，连接AB 、BC ，在O e 中，¶¶¶AB BCCD ==，AB BC CD \==，在ABC D 中，AB BC AC +>．2AC CD \<．故选：B ．二．填空题（共4小题）9．运动场上的环形跑道的跑道宽都是相同的，若一条跑道的两个边缘所在的环形周长的差等于125p 米，则跑道的宽度为 65　米．【解答】解：设运动场上的小环半径为r 米，大环半径半径为R 米，根据题意得：122()5R r p p -=，解得：65R r -=，即跑道的宽度为65米．故答案为：65．10．大圆的半径是R ，小圆的半径是大圆半径的一半，则大圆面积比小圆面积大 234R p ．【解答】解：由题意得，大圆面积为2R p ，小圆面积为21()24R R p p ×=，1344R R R p p p -=，\大圆面积比小圆面积大234R p ，故答案为：234R p ．11．我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等分线”，“等分线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“等分线段”（例如圆的直径就是圆的“等分线段” )．已知等边三角形的边长为4，则它的“等分线段”长度x 的取值范围是 x …【解答】解：如图，①等边三角形的高AD 是最长的“等分线段”，4AD ==；②当//EF BC 时，EF 为最短“等分线段”，此时，21()2EF BC =，即4EF =，解得EF =．所以，它的“等分线段”长x …故答案为：x …．12．如图，在平面直角坐标系中，放置半径为1的圆，圆心到两坐标轴的距离都等于半径，若该圆向x 轴正方向滚动2022圈（滚动时在x 轴上不滑动），此时该圆圆心的坐标为 (40441,1)p +　．【解答】解：如图，点(1,1)P ，点(1,0)A ，该圆向x 轴正方向滚动2022圈，点A 移动过的距离为2120224044p p ´´=，这点到原点O 的距离为40441p +，因此点P 的对应点的坐标为(40441,1)p +，故答案为：(40441,1)p +．三．解答题（共3小题）13．在平面内，给定不在同一直线上的点A ，B ，C ，如图所示．点O 到点A ，B ，C 的距离均等于(r r 为常数），到点O 的距离等于r 的所有点组成图形G ，ABC Ð的平分线交图形G 于点D ，连接AD ，CD ．求证：AD CD =．【解答】证明：根据题意作图如下：BD Q 是圆周角ABC 的角平分线，ABD CBD \Ð=Ð，\¶¶AD CD =，AD CD \=．14．如图，O e 的半径OC AB ^，D 为¶BC上一点，DE OC ^，DF AB ^，垂足分别为E 、F ，3EF =，求直径AB 的长．【解答】解：OC AB ^Q ，DE OC ^，DF AB ^，\四边形OFDE 是矩形，3OD EF \==，6AB \=．15．已知：如图，BD 、CE 是ABC D 的高，M 为BC 的中点．试说明点B 、C 、D 、E 在以点M 为圆心的同一个圆上．【解答】证明：连接ME 、MD ，BD Q 、CE 分别是ABC D 的高，M 为BC 的中点，12ME MD MC MB BC \====，\点B 、C 、D 、E 在以点M 为圆心的同一圆上．。

人教版九年级数学上册--24.1圆的有关性质-同步训练【含答案】

人教版九年级数学上册24.1圆的有关性质同步训练一、选择题1．（2020•镇江）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，106∠等于ADC∠=︒，则CAB ()A．10︒B．14︒C．16︒D．26︒2．（2018•苏州）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是AC上的点，若∠的度数为()∠=︒，则DBOC40A．100︒B．110︒C．120︒D．130︒3．（2018•盐城）如图，AB为O的直径，CD是O的弦，35∠=︒，则CAB∠的度数为(ADC)A．35︒B．45︒C．55︒D．65︒4．（2019•梧州）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE ＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．45．（2019•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（）A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D6．（2019•贵港）如图，AD是⊙O的直径，，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°7．（2018•河池）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC的大小为（）A．20°B．25°C．50°D．100°8．（2018•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C的度数为（）A．84°B．60°C．36°D．24°9．（2018•贵港）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝66°，则∠OCB的度数是（）A．24°B．28°C．33°D．48°10．（2020•十堰）如图，点A，B，C，D在O上，OA BCAE=，∠=︒，1⊥，垂足为E．若30ADC BC=)则(A．2 B．4 C．3D．2311．（2020•黄石）如图，点A、B、C在O上，CD OA⊥，CE OB⊥，垂足分别为D、E，若∠的度数为()∠=︒，则ACBDCE40A．140︒B．70︒C．110︒D．80︒12.（2020•宜昌）如图，E，F，G为圆上的三点，50∠=︒，P点可能是圆心的是()FEGA．B．C．D．13．（2020•荆门）如图，O 中，OC AB ⊥，28APC ∠=︒，则BOC ∠的度数为( )A ．14︒B ．28︒C ．42︒D ．56︒ 14．（2020•武汉）如图，在半径为3的O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是AC 的中点，AC 与BD 交于点E ．若E 是BD 的中点，则AC 的长是( )A ．532B ．33C ．32D ．42 15．（2019•十堰）如图，四边形ABCD 内接于O ，AE CB ⊥交CB 的延长线于点E ，若BA 平分DBE ∠，5AD =，13CE =，则(AE = )A ．3B ．32C ．43D ．23二、填空题16．（2020•河池）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D ，E 都在⊙O 上，∠1＝55°，则∠2＝ °．17．（2018•梧州）如图，已知在⊙O 中，半径OA，弦AB ＝2，∠BAD ＝18°，OD 与AB 交于点C ，则∠ACO ＝度．18．（2019•辽阳）如图，A ，B ，C ，D 是O 上的四点，且点B 是AC 的中点，BD 交OC 于点E ，100AOC ∠=︒，35OCD ∠=︒，那么OED ∠= ．19．（2020•攀枝花）如图，已知锐角三角形ABC 内接于半径为2的O ，OD BC ⊥于点D ，60BAC ∠=︒，则OD = ．20．（2020•甘孜州）如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点H ，若10AB =，8CD =，则OH 的长度为．21．（2019•阿坝州）如图，在半径为5的O 中，M 为弦AB 的中点，若4OM =，则AB 的长为．22．（2019•盘锦）如图，ABC ∆内接于O ，BC 是O 的直径，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，半径OE BC ⊥，连接EA ，EA BD ⊥于点F ．若2OD =，则BC = ．答案：一、选择题1．（2020•镇江）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，106∠等于ADC∠=︒，则CAB ()A．10︒B．14︒C．16︒D．26︒解：连接BD，如图，AB是半圆的直径，ADB∴∠=︒，90∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，BDC ADC ADB1069016∴∠=∠=︒．16CAB BDC故选：C．2．（2018•苏州）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是AC上的点，若∠的度数为()BOC40∠=︒，则DA．100︒B．110︒C．120︒D．130︒解：40BOC∠=︒，∴∠=︒-︒=︒，18040140AOC1(360140)1102D ∴∠=⨯︒-︒=︒，故选：B ．3．（2018•盐城）如图，AB 为O 的直径，CD 是O 的弦，35ADC ∠=︒，则CAB ∠的度数为()A ．35︒B ．45︒C ．55︒D ．65︒ 解：由圆周角定理得，35ABC ADC ∠=∠=︒，AB 为O 的直径，90ACB ∴∠=︒， 9055CAB ABC ∴∠=︒-∠=︒，故选：C ．4．（2019•梧州）如图，在半径为的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE＝1，则CD 的长是（）A ．2B ．2C ．2D ．4解：过点O 作OF ⊥CD 于点F ，OG ⊥AB 于G ，连接OB 、OD 、OE ，如图所示：则DF ＝CF ，AG ＝BGAB ＝3，∴EG ＝AG ﹣AE ＝2，在Rt △BOG 中，OG 2， ∴EG ＝OG ，∴△EOG 是等腰直角三角形，∴∠OEG ＝45°，OEOG ＝2，∵∠DEB ＝75°，∴∠OEF ＝30°，∴OF OE ，在Rt △ODF 中，DF ，∴CD ＝2DF ＝2；故选：C ．5．（2019•柳州）如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，则图中与∠A 相等的角是（）A ．∠B B ．∠C C ．∠DEBD ．∠D解：∵∠A 与∠D 都是所对的圆周角，∴∠D＝∠A．故选：D．6．（2019•贵港）如图，AD是⊙O的直径，，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°解：∵，∠AOB＝40°，∴∠COD＝∠AOB＝40°，∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°，∴∠BOC＝100°，∴∠BPC∠BOC＝50°，故选：B．7．（2018•河池）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC的大小为（）A．20°B．25°C．50°D．100°解：如图，连接OC，∵OA⊥BC，∴，∴∠AOC＝∠AOB＝50°，∴∠ADC∠AOC＝25°，故选：B．8．（2018•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C的度数为（）A．84°B．60°C．36°D．24°解：∵∠B 与∠C 所对的弧都是，∴∠C ＝∠B ＝24°，故选：D ．9．（2018•贵港）如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠A ＝66°，则∠OCB 的度数是（）A ．24°B ．28°C ．33°D ．48°解：∵∠A ＝66°，∴∠COB ＝132°，∵CO ＝BO ， ∴∠OCB ＝∠OBC （180°﹣132°）＝24°，故选：A ．10．（2020•十堰）如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，OA BC ⊥，垂足为E ．若30ADC ∠=︒，1AE =，则(BC = )A ．2B ．4C ．3D ．23解：连接OC ，如图，30ADC ∠=︒，60AOC ∴∠=︒，OA BC ⊥，CE BE ∴=，在Rt COE ∆中，12OE OC =，3CE OE =， 1OE OA AE OC =-=-，112OC OC ∴-=， 2OC ∴=，1OE ∴=， 3CE ∴=，223BC CE ∴==．故选：D ．11．（2020•黄石）如图，点A 、B 、C 在O 上，CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ，若40DCE ∠=︒，则ACB ∠的度数为( )A ．140︒B ．70︒C ．110︒D ．80︒ 解：如图，在优弧AB 上取一点P ，连接AP ，BP ，CD OA ⊥，CE OB ⊥，90ODC OEC ∴∠=∠=︒，40DCE ∠=︒，360909040140AOB ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，1702P AOB ∴∠=∠=︒，A 、C 、B 、P 四点共圆，180P ACB ∴∠+∠=︒，18070110ACB ∴∠=︒-︒=︒，故选：C ．12.（2020•宜昌）如图，E ，F ，G 为圆上的三点，50FEG ∠=︒，P 点可能是圆心的是() A ． B ．C ．D ．解：50FEG ∠=︒，若P 点圆心，2100FPG FEG ∴∠=∠=︒．故选：C ．13．（2020•荆门）如图，O 中，OC AB ⊥，28APC ∠=︒，则BOC ∠的度数为( )A ．14︒B ．28︒C ．42︒D ．56︒解：在O中，OC AB⊥，∴AC BC=，28APC∠=︒，256BOC APC∴∠=∠=︒，故选：D．14．（2020•武汉）如图，在半径为3的O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD 交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是()A．532B．33C．32D．42解：连接OD，交AC于F，D是AC的中点，OD AC∴⊥，AF CF=，90DFE∴∠=︒，OA OB=，AF CF=，12OF BC∴=，AB是直径，90ACB∴∠=︒，在EFD∆和ECB∆中90DFE BCEDEF BECDE BE∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()EFD ECB AAS∴∆≅∆，DF BC∴=，12OF DF∴=，3OD=，1OF∴=，2BC∴=，在Rt ABC∆中，222AC AB BC=-，22226242AC AB BC∴=-=-=，故选：D．15．（2019•十堰）如图，四边形ABCD内接于O，AE CB⊥交CB的延长线于点E，若BA平分DBE∠，5AD=，13CE(AE=)A．3 B．32C．43D．23解：连接AC，如图，∠，BA平分DBE12∴∠=∠，∠=∠，∠=∠，231CDA∴∠=∠，3CDA∴==，AC AD5⊥，AE CBAEC∴∠=︒，902222AE AC CE∴=-=-=．5(13)23故选：D．二、填空题16．（2020•河池）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝35°．解：如图，连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠1＝∠ADE，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝55°，∴∠2＝35°，故答案为35．17．（2018•梧州）如图，已知在⊙O中，半径OA，弦AB＝2，∠BAD＝18°，OD与AB交于点C，则∠ACO＝81度．解：∵OA ，OB ，AB ＝2，∴OA 2+OB 2＝AB 2，OA ＝OB ，∴△AOB 是等腰直角三角形，∠AOB ＝90°，∴∠OBA ＝45°，∵∠BAD ＝18°，∴∠BOD ＝36°，∴∠ACO ＝∠OBA +∠BOD ＝45°+36°＝81°，故答案为：81．18．（2019•辽阳）如图，A ，B ，C ，D 是O 上的四点，且点B 是AC 的中点，BD 交OC 于点E ，100AOC ∠=︒，35OCD ∠=︒，那么OED ∠= 60︒ ．解：连接OB ．AB BC =，50AOB BOC ∴∠=∠=︒，1252BDC BOC ∴∠=∠=︒， OED ECD CDB ∠=∠+∠，35ECD ∠=︒，60OED ∴∠=︒，故答案为60︒．19．（2020•攀枝花）如图，已知锐角三角形ABC 内接于半径为2的O ，OD BC ⊥于点D ，60BAC ∠=︒，则OD = 1 ．解：连接OB 和OC ，ABC ∆内接于半径为2的O ，60BAC ∠=︒，120BOC ∴∠=︒，2OB OC ==，OD BC ⊥，OB OC =，60BOD COD ∴∠=∠=︒，30OBD ∴∠=︒，112OD OB ∴==，故答案为：1．20．（2020•甘孜州）如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点H ，若10AB =，8CD =，则OH 的长度为 3 ．解：连接OC ，CD AB ⊥，118422CH DH CD ∴===⨯=，直径10AB =，5OC ∴=，在Rt OCH ∆中，223OH OC CH =-=，故答案为：3．21．（2019•阿坝州）如图，在半径为5的O 中，M 为弦AB 的中点，若4OM =，则AB 的长为 6 ．解：连接OA ，M 为弦AB 的中点，OM AB ∴⊥， 2222543AM OA OM ∴=-=-，26AB AM ∴==，故答案为：6．22．（2019•盘锦）如图，ABC ∆内接于O ，BC 是O 的直径，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，半径OE BC ⊥，连接EA ，EA BD ⊥于点F ．若2OD =，则BC = 45 ．解：OD AC ⊥， AD DC ∴=，BO CO =，2224AB OD ∴==⨯=，BC 是O 的直径，90BAC ∴∠=︒，OE BC ⊥，90BOE COE ∴∠=∠=︒， ∴BE EC =，11904522BAE CAE BAC ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒，EA BD ⊥， 45ABD ADB ∴∠=∠=︒，4AD AB ∴==，4DC AD ∴==，8AC ∴=，22224845BC AB AC ∴=+=+=故答案为：45。

初中数学人教版九年级上册第二十四章能力测试题含答案

初初初初初初初初初初初初初初初初初初初初初初初初初24.1圆的有关性质一、选择题1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD=5，CE=√13，则AE=()A. 3B. 3√2C. 4√3D. 2√32.如图，在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm，则⊙O的半径是()A. 6cmB. 10cmC. 8cmD. 20cm3.如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC=40°，则∠ADC的度数是()A. 130°B. 140°C. 150°D. 160°4.如图，A、B是⊙O上两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为()A. √2rB. √3rC. rD. 2r5.下列说法正确的是()A. 垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B. 平分弦的直径垂直于弦C. 垂直于直径平分这条直径D. 弦的垂直平分线经过圆心6.下列说法正确的是()A. 相等的圆心角所对的弧相等B. 在同圆中，等弧所对的圆心角相等C. 在同圆中，相等的弦所对的弧相等D. 相等的弦所对的弧相等7.如图，在⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB=8，CD=2，则EC的长度为()A. 2√15B. 8C. 2√10D. 2√138.如图所示，图中弦的条数为()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条9.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为AB⌢的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为()A. 12B. 5 C. 5√32D. 5√310.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为()A. 6B. 8C. 5√2D. 5√3二、填空题11.如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB=8cm，AC=6cm，那么⊙O的半径OA长为______．12.如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为______．13.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD=130°，AC//OD交⊙O于C，连接BC，则∠B=________．14.如图，CD是⊙O的直径，CD=4，∠ACD=20°，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上的一个动点，则PA+PB的最小值为______．三、计算题15.⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，且∠DEB=60°，求CD的长．四、解答题16.如图，AB是⊙O的直径，点C为BD⌢的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．(1)求证：△BFG≌△CDG；(2)若AD=BE=2，求BF的长．17.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC．18.如图所示，已知⊙O′与平面直角坐标系交于A，O，B三点，点C在⊙O′上，点A的坐标为(0,2)，∠COB=45°，∠OBC= 75°，求⊙O′的直径．答案和解析1.【答案】D【解析】解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠1=∠2，∵∠1=∠CDA，∠2=∠3，∴∠3=∠CDA，∴AC=AD=5，∵AE⊥CB，∴∠AEC=90°，∴AE=√AC2−CE2=√52−(√13)2=2√3．故选：D．连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1=∠CDA，∠2=∠3，从而得到∠3=∠CDA，所以AC=AD=5，然后利用勾股定理计算AE的长．本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).也考查了勾股定理．2.【答案】B【解析】解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OC，∵弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cmAB=8cm，∴OE=6cm，AE=12在Rt△AOE中，根据勾股定理得，OA=√OE2+AE2=10cm故选：B．过点O作OE⊥AB于点E.根据垂径定理和勾股定理求解．本题考查了垂径定理和勾股定理的综合应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．【解析】解：由题意得到OA=OB=OC=OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=40°，∴∠ADC=140°，故选：B．根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．4.【答案】B【解析】解：连接AB，与OC交于点D，如图所示：∵四边形ACBO为菱形，∴OA=OB=AC=BC，OC⊥AB，又OA=OC=OB，∴△AOC和△BOC都为等边三角形，AD=BD，在Rt△AOD中，OA=r，∠AOD=60°，r，∴AD=OAsin60°=√32则AB=2AD=√3r.故选：B．连接AB，与OC交于点D，由ACBO为菱形，根据菱形的性质得到对角线互相垂直，且四条边相等，再由半径相等得到三角形AOC与三角形BOC都为等边三角形，同时得到AD=BD，在直角三角形AOD中，由OA=r，∠AOD为60°，利用余弦函数定义及特殊角的三角函数值求出AD的长，即可求出AB的长．此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，垂径定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．【解析】解：A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误；B、平分弦(非直径)的直径垂直于弦，所以B选项错误；C、垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误；D、弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确．故选：D．根据垂径定理对A、C进行判断；根据垂径定理的推论对B、D进行判断．本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．6.【答案】B【解析】解：A、错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本选项不符合题意．B、正确．C、错误．弦所对的弧有两个，不一定相等，本选项不符合题意．D、错误．相等的弦所对的弧不一定相等．故选：B．根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．本题考查圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【答案】D【解析】【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角形中位线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．首先连接BE，由⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，CD=2，根据垂径定理可求得AC=BC=4，然后设OA=R，利用勾股定理可得方程：42+(R−2)2=R2，则可求得半径的长，继而利用三角形中位线的性质，求得BE的长，又由AE是直径，可得∠B=90°，继而求得答案．【解答】解：如图，连接BE，设⊙O的半径为R，∵OD⊥AB，∴AC=BC=12AB=12×8=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R−CD=R−2，由勾股定理，得OC2+AC2=OA2，∴(R−2)2+42=R2，解得R=5，∴OC=5−2=3，∵O是AE的中点，C是AB的中点，∴OC是三角形ABE的中位线，∴BE=2OC=6，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90∘，在Rt△BCE中，CE=√BC2+BE2=2√13．故选D．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了圆的有关概念，熟记连接圆上任意两点的线段叫弦是解题的关键．弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答．【解答】解：由图可知，点A、B、D、C是⊙O上的点，图中的弦有AB 、DC 一共2条．故选B ．9.【答案】D【解析】【分析】此题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，含30°直角三角形有关知识，连接OC 、OA ，利用圆周角定理得出∠AOC =60°，再利用垂径定理得出AB 即可．【解答】解：连接OC 、OA ，∵∠ABC =30°，∴∠AOC =60°，∵AB 为弦，点C 为AB⏜的中点， ∴OC ⊥AB ，∴∠OAB =30°，在Rt △OAE 中，∵AO =5，∴OE =2.5，∴AE =√AO 2−OE 2=√52−(52)2=5√32， ∴AB =5√3，故选D ．10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查圆心角定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理．延长AO 交⊙O 于点E ，连接BE ，由∠AOB +∠BOE =∠AOB +∠COD 知∠BOE =∠COD ，据此可得BE=CD=6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．【解答】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE=180°，又∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠BOE=∠COD，∴BE=CD=6，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴AB=√AE2−BE2=√102−62=8，故选B．11.【答案】5cm【解析】解：连接OA，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AE=12AC=12×6=3(cm)，AD=12AB=12×8=4(cm)，∠OEA=∠ODA=90°，∵AB、AC是互相垂直的两条弦，∴∠A=90°，∴四边形OEAD是矩形，∴OD=AE=3cm，在Rt△OAD中，OA=√AD2+OD2=5cm．故答案为：5cm．首先由AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，易证得四边形OEAD是矩AE AD OA此题考查了垂径定理，矩形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意特殊图形的性质的应用．12.【答案】30°【解析】解：如图，连接OC．∵AB是直径，AC⏜=CD⏜=BD⏜，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A=60°，∵CE⊥OA，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=90°−60°=30°．故答案为30°想办法证明△AOC是等边三角形即可解决问题．本题考查圆周角定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13.【答案】40°【解析】【分析】本题主要考查圆周角定理及推论，平行线的性质，先求出∠AOD，利用平行线的性质得出∠A，再由圆周角定理求出∠B的度数即可．【解答】解：∵∠BOD=130°，又∵AC//OD，∴∠A=∠AOD=50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∴∠B=90°−50°=40°．故答案为40°．14.【答案】2【解析】【分析】本题考查的是轴对称−最短路线问题，解答此题的关键是找到点A的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．首先作A关于CD的对称点Q，连接BQ，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和等边三角形的判定和性质解答．【解答】解：作A关于CD的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，此时AP+PB=QP+PB= QB，根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，连接OQ，OB，∵点B为弧AD的中点，∴∠BOD=∠ACD=20°，∴∠QOD=2∠QCD=2×20°=40°，∴∠BOQ=20°+40°=60°．∵OB=OQ，∴△BOQ是等边三角形，BQ=OB=1CD=2，即PA+PB的最小值为2．2故答案为2．15.【答案】解：作OP⊥CD于P，连接OD，∴CP=PD，∵AE=1，EB=5，∴AB=6，∴OE=2，在Rt△OPE中，OP=OE⋅sin∠DEB=√3，∴PD=√OD2−OP2=√6，∴CD=2PD=2√6(cm)．【解析】作OP⊥CD于P，连接OD，根据正弦的定义求出OP，根据勾股定理求出PD，根据垂径定理计算．本题考查的是垂径定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是16.【答案】证明：(1)∵C是BC⏜的中点，∴CD⏜=BC⏜，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴BC⏜=BF⏜，∴CD⏜=BF⏜，∴CD=BF，在△BFG和△CDG中，∵{∠F=∠CDG∠FGB=∠DGC BF=CD，∴△BFG≌△CDG(AAS)；(2)如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，∵CD⏜=BC⏜，∴∠HAC=∠BAC，∵CE⊥AB，∴CH=CE，∵AC=AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC(HL)，∴AE=AH，∵CH=CE，CD=CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE(HL)，∴DH=BE=2，∴AE=AH=2+2=4，∴AB=4+2=6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠BEC=90°，∴△BEC∽△BCA，∴BCAB =BEBC，∴BC2=AB⋅BE=6×2=12，∴BF=BC=2√3．【解析】(1)根据AAS证明：△BFG≌△CDG；(2)如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明Rt△AHC≌Rt△AEC(HL)，得AE=AH，再证明Rt△CDH≌Rt△CBE(HL)，得DH=BE=2，计算AE和AB的长，证明△BEC∽△BCA，列比例式可得BC的长，就是BF的长．此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．17.【答案】证明：∵AB=BC，∴AB⏜=BC⏜，∴∠BDC=∠ADB，∴DB平分∠ADC．【解析】本题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系.熟练掌握圆周角定理，证出AB⏜=BC⏜是解决问题的关键.由圆心角、弧、弦的关系得出AB⏜=BC⏜，由圆周角定理得出∠BDC=∠ADB，即可得出结论．18.【答案】解：如图，连接AB．∵∠AOB=90°，∴AB是直径，∵∠C=180°−∠COB−∠OBC=180°−45°−75°=60°，∴∠OAB=∠OCB=60°，∵A(0,2)，∴OA=2，∴AB=2OA=4，∴⊙O′的直径为4．【解析】本题考查圆周角定理，坐标由图形的性质，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．如图，连接AB.首先证明AB是直径，解直角三角形求出AB即可．24.2点和圆、直线和圆的位置关系1、在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，以A为圆心作圆，如果B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则圆A的半径r的取值范围是？2、试述点和圆的位置关系？3、直线和圆的公共点的数目不能超过，这是因为。

人教版数学九年级上册第24章 24.1---24.4随堂检测含答案

人教版数学九年级上册第24章24.1---24.4随堂检测含答案24.1圆的有关性质一．选择题1．如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，连接DO，则DE的长为（）A．3B．4C．6D．82．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD ＝8cm，AE＝2cm，则△OFC的面积是（）A．40cm2B．20cm2C．10cm2D．5cm23．如图，在⊙O中，点B是的中点，点D在上，连接OA、OB、BD、CD．若∠AOB ＝50°，则∠BDC的大小为（）A．50°B．35°C．25°D．15°4．如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（）A．50m B．45m C．40m D．60m5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝6，CD＝4，则AE的长为（）A．B．C．D．6．如图，E在⊙O上，B、C分别是弧AD的三等分点，∠AOB＝40°，则∠AED度数是（）A．80°B．60°C．50°D．40°7．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB＝4，CD ＝1，则⊙O的半径为（）A．5B．C．3D．8．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（）A．4B．5C．6D．69．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝16cm，则球的半径为（）A．10cm B．10cm C．10cm D．8cm10．如图，AB是圆O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠C+∠D等于（）A．60°B．75°C．80°D．90°二．填空题11．如图，在⊙O中，弦AB的长为6，圆心O到AB的距离为4，则⊙O的半径长．12．如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝2，BC＝4，点D在⊙O上且平分，则∠ACD的度数为．13．如图，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E在⊙O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为．14．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于．15．如图，在⊙O中，AB为直径，弦CD⊥AB，垂足为E，CD＝8，BE＝2，则⊙O的半径为．三．解答题16．已知，如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．（1）求∠A、∠B的度数；（2）若D为的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积．17．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．（1）求弦AB的长；（2）当∠D＝20°时，求∠BOD的度数．18．已知：⊙O的半径为25cm，弦AB＝40cm，弦CD＝48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．19．如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，）为圆心，以长为半径作⊙M交x 轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E．（1）求点C、P的坐标；（2）求证：BE＝2OE．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：∵AB＝10，OC：OB＝3：5，∴OC＝3，在Rt△OCD中，CD＝＝＝4，∵DE⊥AB，∴DE＝2CD＝8，故选：D．2．【解答】解：连接OB，如图所示：设⊙O的半径为rcm，则OE＝（r﹣2）cm，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，∴BE＝DE＝4（cm），在Rt△OBE中，∵OE2+BE2＝OB2 ，∴（r﹣2）2+42＝r2解得：r＝5，∴AC＝10（cm），EC＝AC﹣AE＝8（cm），∴BC＝＝＝4（cm），∵OF⊥BC，∴CF＝BF＝BC＝2（cm），∴OF＝＝＝（cm），∴△OFC的面积＝CF×OF＝×2×＝5（cm2），故选：D．3．【解答】解：连接OC，如图，∵点B是的中点，∴＝，∴∠AOB＝∠BOC＝50°，∵∠BDC＝∠BOC＝25°．故选：C．4．【解答】解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，如图所示：则OA＝OD＝250，AC＝BC＝AB＝150，∴OC＝＝＝200，∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m），即这些钢索中最长的一根为50m，故选：A．5．【解答】解：连接OC，如图，∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝2，在Rt△OCE中，∵OC＝3，CE＝2，∴OE＝＝，∴AE＝OA+OE＝3+．故选：B．6．【解答】解：∵B、C分别是弧AD的三等分点，∴＝＝，∴∠COD＝∠BOC＝∠AOB＝40°，∴∠AOD＝3×40°＝120°，∴∠AED＝∠AOD＝60°，故选：B．7．【解答】解：设⊙O的半径为r，则OA＝r，OC＝r﹣1，∵OD⊥AB，AB＝4，∴AC＝AB＝2，在Rt△ACO中，OA2＝AC2+OC2，∴r2＝22+（r﹣1）2，r＝，故选：D．8．【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，∴BC＝AC＝AB＝×16＝8，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝6，故选：D．9．【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM＝16﹣x，MF＝8，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2，即：（16﹣x）2+82＝x2，解得：x＝10．故选：B．10．【解答】解：连接OE，根据圆周角定理可知：∠C＝∠AOE，∠D＝∠BOE，则∠C+∠D＝（∠AOE+∠BOE）＝90°，故选：D．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：连接OA，如图所示：由题意得：OC⊥AB，OC＝4，∴AC＝BC＝AB＝3，在Rt△OAC中，∵OC＝4，AC＝3，∴OA＝＝＝5，即⊙O的半径为5．故答案为：5．12．【解答】解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠D＝90°，∵AC＝2，AB＝4，∴cos∠ACB＝＝，∴∠ACB＝60°，又∵点D在⊙O上且平分，∴，∴BD＝CD，∴△BCD是等腰直角三角形，∴∠DCB＝∠DBC＝45°，∴∠ACD＝∠ACB+∠DCB＝105°，故答案为：105°．13．【解答】解：过G作GM⊥AC于M，连接AG，如图所示：∵GO⊥AB，∴OA＝OB，∵G（0，2），∴OG＝2，在Rt△AGO中，∵AG＝4，OG＝2，∴AG＝2OG，OA＝＝2，∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝4，∴∠AGO＝60°，∵GC＝GA＝4，∴∠GCA＝∠GAC，∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，∴∠GCA＝∠GAC＝30°，∴AC＝2OA＝4，MG＝CG＝2，∵∠AFC＝90°，∴点F在以AC为直径的⊙M上，当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣MG＝2﹣2，故答案为：2﹣2．14．【解答】解：连接BD，如图，所示：∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，∴∠CAB＝∠BDC＝16°．故答案为：16°．15．【解答】解：连接OC，如图所示：∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝4，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，OC＝r，在Rt△OCE中，由勾股定理得：42+（r﹣2）2＝r2，解得：r＝5，即⊙O的半径为5．故答案为：5．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：（1）设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、4x，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，即2x+4x＝180°，解得，x＝30°，∴∠A、∠B分别为60°、90°；（2）连接AC，∵∠B＝90°，∴AC为圆的直径，AC＝＝5，△ABC的面积＝×3×4＝6，∠D＝90°，∵点D为的中点，∴AD＝CD＝AC＝，∴△ADC的面积＝××＝，∴四边形ABCD的面积＝6+＝．17．【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于E，如图：则AE＝BE＝AB，∠OEB＝90°，∵OB＝2，∠B＝30°，∴OE＝OB＝1，BE＝OE＝，∴AB＝2BE＝2；（2）连接OA，如图：∵OA＝OB，OA＝OD，∴∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D，∴∠DAB＝∠BAO+∠DAO＝∠B+∠D，又∵∠B＝30°，∠D＝20°，∴∠DAB＝50°，∴∠BOD＝2∠DAB＝100°．18．【解答】解：（1）如图1，连接OB，OD，做OM⊥AB交CD于点N，∵AB∥CD，∴ON⊥CD，∵AB＝40cm，CD＝48cm，∴BM＝20cm，DN＝24cm，∵⊙O的半径为25cm，∴OB＝OD＝25cm，∴OM＝15cm，ON＝7cm，∵MN＝OM﹣ON，∴MN＝8cm，（2）如图2，连接OB，OD，做直线OM⊥AB交CD于点N，∵AB∥CD，∴ON⊥CD，∵AB＝40cm，CD＝48cm，∴BM＝20cm，DN＝24cm，∵⊙O的半径为25cm，∴OB＝OD＝25cm，∴OM＝15cm，ON＝7cm，∵MN＝OM+ON，∴MN＝22cm．∴平行弦AB，CD之间的距离为8cm或22cm．24.2点和圆、直线和圆的位置关系一．选择题1．已知⊙O的半径r，圆心O到直线的距离为d，当d＜r时，直线与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．以上都不对2．关于下列四种说法中，你认为正确的有（）①垂直于弦的直线一定经过圆心；②经过直径外端的直线是圆的切线；③对角互补的四边形四个顶点共圆；④圆外一点引圆的两条切线，两切点的连线被该点与圆心连线垂直平分．A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，BM为⊙O的切线，点B为切点，点A、C在⊙O上，连接AB、AC、BC，若∠MBA＝130°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°4．已知⊙O的半径为3cm，且点P在⊙O外，则线段PO的长度为（）A．等于6cm B．大于3cm C．小于3cm D．等于3cm5．若直线l与半径为10的⊙O相交，则圆心O与直线l的距离d为（）A．d＜10B．d＞10C．d＝10D．d≤106．已知⊙O的半径OA长为1，OB＝，则正确图形可能是（）A．B．C．D．7．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．C．D．28．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，0），则以A、B、C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（）A．C．9．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（）A．4+4B．4C．4+8D．610．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上．若∠BCD＝36°，则∠ACD的度数为（）A．36°B．44°C．54°D．64°二．填空题11．边长为3cm的等边三角形的外接圆半径是．12．Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，点G是△ABC的外心，则CG的长为．13．如图，P A，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，AB．若OA ＝1，∠APB＝60°，则△P AB的周长为．14．《九章算术》是我国数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“直角三角形短直角边长为8步，长直角边长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”如图，请写出内切圆直径是步．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为．三．解答题16．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD＝BD，AE为⊙O直径，⊙O的半径为2，连接BE．（1）求AC的长；（2）求证：BE＝DC．17．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝﹣2x+与⊙O的位置关系怎样？18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，点M从C点开始以1cm/s的速度沿CB向B点运动，点N从A点开始以2cm/s的速度沿AC向C点运动，点M、N 同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．（1）2秒时，△MCN的面积是；（2）求经过几秒，△MCN的面积是3cm2；（3）试说明△MCN外接圆的半径能否是cm．19．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为；（2）这个圆的半径为；（3）直接判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．点D（5，﹣2）在⊙M（填内、外、上）．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：已知⊙O的半径r，圆心O到直线的距离为d，当d＜r时，直线与⊙O的位置关系是相交，故选：A．2．【解答】解：①垂直平分弦的直线经过圆心，故①不符合题意；②经过直径外端切垂直于这条直径的直线是圆的切线，故②不符合题意；③对角互补的四边形四个顶点共圆；故③符合题意；④圆外一点引圆的两条切线，两切点的连线被该点与圆心连线垂直平分，故④符合题意；故选：B．3．【解答】解：如图，连接OA，OB，∵BM为⊙O的切线，∴∠OBM＝90°，∵∠MBA＝130°，∴∠ABO＝40°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝40°，∴∠AOB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠ACB＝∠AOB＝50°，故选：B．4．【解答】解：点P在⊙O外且⊙O的半径为3cm，可知点P到圆心的距离大于r，即PO大于3，故选：B．5．【解答】解：∵⊙O的半径为10，直线l与⊙O相交，∴圆心到直线的距离小于圆的半径，即d＜10．故选：A．6．【解答】解：∵⊙O的半径OA长为1，若OB＝，∴OA＜OB，∴点B在圆外，故选：B．7．【解答】解：连接OB，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∵四边形OABC为菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ODB＝30°，∴OD＝2OB＝2，由勾股定理得，BD＝＝，故选：C．8．【解答】解：根据垂径定理的推论，如图，作弦AB、AC的垂直平分线，交点O′即为三角形外接圆的圆心，且O′坐标是（3，2）．故选：A．9．【解答】解：以BC为边作等边△BCM，连接DM．∵∠DCA＝∠MCB＝60°，∴∠DCM＝∠ACB，∵DC＝AC，MC＝BC∴△DCM≌△CAB（SAS），∴DM＝AB＝2为定值，即点D在以M为圆心，半径为2的圆上运动，当点D运动至BC的中垂线与圆的交点时，CB边上的高取最大值为2+2，此时面积为4+4．故选：A．10．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BCD＝36°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝54°．故选：C．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：如图，∵等边三角形的边长为3cm，∴AD＝（cm），∵∠DAO＝∠BAC＝60°×＝30°，∴AO＝＝（cm）．故答案为：cm．12．【解答】解：因为Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，点G是△ABC的外心，所以CG是直角三角形ABC斜边的中线，则CG的长为．故答案为：．13．【解答】解：∵P A，PB是⊙O的两条切线，∴P A＝PB，OA⊥P A，OP平分∠APB，∵∠APB＝60°，∴∠APO＝∠APB＝30°，△P AB为等边三角形，在Rt△OAP中，∵∠APO＝30°，∴P A＝OA＝，∴△P AB的周长＝3P A＝3．故答案为3．14．【解答】解：根据题意，直角三角形的斜边为＝17，所以直角三角形的内切圆的半径＝＝3，所以直角三角形的内切圆的直径为6．故答案为6．15．【解答】解：如图，P点为△ABC的外接圆的圆心，其坐标为（5，5）．故答案为（5，5）．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：（1）如图，连接EC，∵AD⊥BC于点D，AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴∠AEC＝∠ABD＝45°，∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，∵AE＝4，∴AC＝AE sin45°＝4×＝2；（2）证明：∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ABE＝∠ADC，∵∠AEB＝∠ACB，∴△ABE∽△ADC，∴BE：DC＝AE：AC＝4：2＝，∴BE＝DC．17．【解答】解：如图所示，过O作OC⊥直线AB，垂足为C，在直线y＝﹣2x+中，令x＝0，解得：y＝；令y＝0，解得：x＝，∴A（，0），B（0，），即OA＝，OB＝，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB＝＝＝，＝ABOC＝OAOB，又S△AOB∴OC＝＝＝1，又圆O的半径为1，则直线y＝﹣2x+与圆O的位置关系是相切．18．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝＝8，根据题意得，AN＝4，CM＝2，∴CN＝4，＝×4×2＝4（cm2）；∴S△CMN故答案为4cm2；（2）设经过x秒，根据题意得，（8﹣2x）x＝3，解得x1＝1，x2＝3；即经过1秒或3秒，△MCN的面积是3cm2；（3）∵△MNC为直角三角形，∠C＝90°，∴MN为△MCN外接圆的直径，假设△MCN外接圆的半径为cm，则MN＝2cm，设M点运动的时间为t秒，则NC＝8﹣2t，CM＝t，根据题意得，（8﹣2t）2+t2＝（2）2，整理得5t2﹣32t+52＝0，∵△＝（﹣32）2﹣4×5×52＝﹣16＜0，∴原方程没有实数解，∴△MCN外接圆的半径不能是cm．19．【解答】解：（1）如图，圆心M的坐标为（2，0）；（2）∵A（0，4），M（2，0），∴MA＝＝2，即⊙M的半径为2；（3）∵D（5，﹣2），M（2，0），∴DM＝＝19．【解答】（1）解：连接PB，∵P A是圆M的直径，∴∠PBA＝90°∴AO＝OB＝3又∵MO⊥AB，∴PB∥MO．∴PB＝2OM＝∴P点坐标为（3，）（2分）在直角三角形ABP中，AB＝6，PB＝2，根据勾股定理得：AP＝4，所以圆的半径MC＝2，又OM＝，所以OC＝MC﹣OM＝，则C（0，）（1分）（2）证明：连接AC．∵AM＝MC＝2，AO＝3，OC＝，∴AM＝MC＝AC＝2，∴△AMC为等边三角形（2分）又∵AP为圆M的直径得∠ACP＝9024.3 正多边形和圆一．选择题1．边长为2的正六边形的面积为（）A．6B．6C．6D．2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是上不同于点C的任意一点，则∠BPC的大小是（）A．22.5°B．45°C．30°D．50°3．如图，△ABD是⊙O的内接正三角形，四边形ACEF是⊙O的内接正四边形，若线段BC 恰是⊙O的一个内接正n边形的一条边，则n＝（）A．16B．12C．10D．84．如图，把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形ABGHI的AB边重合叠放在一起，连接EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为（）A．90°B．85°C．84°D．80°5．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）A．2：B．：C．：D．：26．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（）A．18°B．36°C．54°D．72°7．已知圆内接正六边形的边长是1，则该圆的内接正三角形的面积为（）A．B．2C．D．8．如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n等于（）A．8B．10C．12D．169．如图，P，Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝（）A．75°B．54°C．72°D．60°10．如图，AB，AC分别为⊙O的内接正三角形和内接正四边形的一边，若BC恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．8B．10C．12D．15二．填空题11．正方形的边长为6，则该正方形的边心距是．12．如图，在正六边形ABCDEF中，连接BD、BE、DF，则的值为．13．已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是．14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O且半径为3，则AB的长为．15．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则△ADE的周长是．16．如图，AB是⊙O的内接正方形一边，点C在弧AB上，且AC是⊙O的内接正六边形的一边，若将BC看作是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值是．17．如图，⊙O半径为，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上运动，连接BE，作AF ⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为．18．已知：圆内接正方形ABCD，∠DAC的平分线交圆于E，交CD于P，若EP＝1，AP ＝3，则圆的半径r＝．三．解答题19．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接AM，BM．（1）求证：；（2）求的度数．20．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，连接DE，AE．（1）∠CPD＝°；（2）若DC＝4，CP＝，求DP的长．21．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．22．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：P A＝PB+PC；（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：P A＝PC+PB．23．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的长度．24．如图1，△ABC为等边三角形，图2为正方形，图3为正五边形，图4为正多边形．（1）如图1当BP＝CQ时，请求出∠AOQ的度数，并说明理由（2）如图2，在正方形中，当BP＝CQ时∠AOQ＝；如图3，在正五边形中，当BP＝CQ时，∠AOQ＝；（3）如图4，在正n边形中，当BP＝CQ时，∠AOQ是否有什么规律？如果有请用含有n的式子直接表示；如果没有规律，请说明理由．参考答案一．选择题1．A．2．B．3．B．4．C．5．B．6．C．7．C．8．C．9．C．10．C．二．填空题11．3．12．．13．72°．14．3．15．6+2．16．12；17．﹣1．18．．三．解答题19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∴＝，∵M为的中点，∴＝，∴+＝+，∴；（2）解：连接OM，OA，OB，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BOM＝（360°﹣90°）＝135°，∴的度数时135°．20．（1）如图，连接BD，∵正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，∴∠DBC＝45°，∵∠CPD＝∠DBC，∴∠CPD＝45°．故答案为：45；（2）如图，作CH⊥DP于H，∵CP＝2，∠CPD＝45°，∴CH＝PH＝2，∵DC＝4，∴DH＝＝＝2，∴DP＝PH+DH＝2+2．21．（1）证明：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∵OB＝2，∴OD＝1，∴等边△ABC的边心距为1．22．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，如图1，∵A、B、P、C四点共圆，∴∠BAC+∠BPC＝180°，∵∠BPC+∠EPC＝180°，∴∠BAC＝∠CPE＝60°，∵PE＝PC，∴△PCE是等边三角形，∴CE＝PC，∠E＝60°；又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，∴∠BCE＝∠ACP，∵△ABC、△ECP为等边三角形，∴CE＝PC，AC＝BC，在△BEC和△APC中，，∴△BEC≌△APC（SAS），∴P A＝BE＝PB+PC；（2）过点B作BE⊥PB交P A于E，连接OA，OB．如图2，∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°∴∠1＝∠3，∵∠APB＝∠AOB＝45°，∴BP＝BE，∴PE＝PB，在△ABE和△CBP中，，∴△ABE≌△CBP（SAS），∴PC＝AE，∴P A＝AE+PE＝PC+PB；23．（1）如图1中，连接OA、OD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD＝90°，∴∠AED＝∠AOD＝45°．（2）如图2中，连接CF，CE，CA，BD，作DH⊥AE于H．∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠BDE＝∠DBF，∠BDC＝∠ABD，∴∠ABF＝∠CDE，∵∠CF A＝∠AEC＝90°，∴∠DEC＝∠AFB＝135°，∵CD＝AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF＝CE＝1，∴AC＝＝，∴AD＝AC＝，∵∠DHE＝90°，∴∠HDE＝∠HED＝45°，∴DH＝HE，设DH＝EH＝x，在Rt△ADH中，∵AD2＝AH2+DH2，∴＝（4﹣x）2+x2，解得x＝或（舍弃），∴DE＝DH＝24．（1）∠AOQ＝60°．在△ABP和△BCQ中，．∴△ABP≌△BCQ（SAS）．∴∠BAP＝∠CBQ．∴∠AOQ＝∠ABO+∠BAP＝∠ABO+∠CBQ＝∠ABC＝60°；（2）理由同（1）：正方形∠AOQ＝90°，正五边形∠AOQ＝108°，（3）正n边形∠AOQ＝．故答案为：90°，108°．24.4 弧长和扇形面积一、选择题（本大题共8道小题）1. 如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，O1，O2，O3，O4分别是OA，OB，OC，OD的中点．若⊙O的半径是2，则阴影部分的面积为()A．8 B．4C．4π＋4 D．4π－42. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是() A．120° B．180° C．240° D．300°3. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为()A ．4π－8B ．2πC ．4πD ．8π－84. （2020·乐山）在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1．如图所示，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB ′C ′，则图中阴影部分面积为（）A ．π4B ．π－32C ．π－34D ．32π 5. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°.曲线CDEF…叫做“等腰直角三角形的渐开线”，其中CD ︵，DE ︵，EF ︵，…的圆心依次按A ，B ，C ，…循环．如果AC ＝1，那么曲线CDEF 和线段CF 围成图的面积为( )图A .（12＋72）4πB .（9＋52）4π C .（12＋72）π＋24 D .（9＋52）π＋24 6. 2019·宁波如图所示，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝6 cm ，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形BAF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为( )A ．3.5 cmB ．4 cmC ．4.5 cmD ．5 cm7. 如图所示，矩形纸片ABCD 中，AD ＝6 cm ，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形BAF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为( )A ．3.5 cmB ．4 cmC ．4.5 cmD ．5 cm8. 2017·衢州运用图变化的方法研究下列问题：如图AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝6，EF＝8，则图阴影部分的面积是( )图A.252πB．10π C．24＋4π D．24＋5π二、填空题（本大题共8道小题）9. (2020·湘潭)如图，在半径为6的⊙O 中，圆心角60AOB ︒∠=，则阴影部分面积为________．10.如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是________．11. （2020·吉林）如图，在四边形ABCD 中，AB CB =，AD CD =，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．以点B 为圆心，BO 长为半径画弧，分别交AB ，BC 于点E ，F ，若30ABD ACD ∠=∠=︒，1AD =，则EF 的长为_______（结果保留π）．12. 如图，已知扇形OAB 的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为________．13. （2020·新疆）如图，⊙O 的半径是2，扇形BAC 的圆心角为60°，若将扇形BAC 剪下转成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为____________．14. 一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为________．15. 如图所示，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2 2.若把Rt△ABC 绕边AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为________．(结果保留π)16. (2020·潍坊)如图，四边形ABCD 是正方形，曲线11112DA B C D A 是由一段段90度的弧组成的．其中：1DA 的圆心为点A ，半径为AD ；11A B 的圆心为点B ，半径为1BA ；11B C 的圆心为点C ，半径为1CB ；11C D 的圆心为点D ，半径为1DC ；…1111111,,,,DA A B B C C D 的圆心依次按点A ，B ，C ，D 循环．若正方形ABCD 的边长为1，则20202020A B 的长是_________．A 2D C 2B 2A 1B 1C 1D 1C B A 三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，AB 是半圆O的直径，C 是半圆O 上的一点，AC 平分∠DAB ，AD ⊥CD ，垂足为D ，AD 交半圆O 于点E ，连接CE.(1)判断CD 与半圆O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若E 是AC ︵的中点，半圆O 的半径为1，求图中阴影部分的面积．18. 如图，蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，现想用毛毡搭建底面积为9π m2，高为6 m，外围高为2 m的蒙古包，求至少需要多少平方米的毛毡．(结果保留π)19. 如图，△ABC是正三角形，曲线CDEFG…叫做“正三角形的渐开线”，曲线的各部分为圆弧．(1)图已经有4段圆弧，请接着画出第5段圆弧GH.(2)设△ABC的边长为a，则第1段弧的长是________，第5段弧的长是________，前5段弧长的和(即曲线CDEFGH的长)是________．(3)类似地，有“正方形的渐开线”“正五边形的渐开线”……边长为a的正方形的渐开线的前5段弧长的和是________．(4)猜想：①边长为a的正n边形的前5段弧长的和是________；②边长为a的正n边形的前m段弧长的和是________．20. 如图，PB切⊙O于点B，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为D，交⊙O于点A，连接AO并延长交⊙O于点C，连接BC，AF，BF.(1)若∠AOF＝120°，⊙O的半径为3，求：①∠CBF的度数；②AB ︵的长；③阴影部分的面积．(2)若AB ＝8，DE ＝2，求⊙O 的半径．(3)求证：直线PA 为⊙O 的切线．(4)若BC ＝6，AD ∶FD ＝1∶2，求⊙O 的半径．人教版九年级数学 24.4 弧长和扇形面积培优训练-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】A2. 【答案】B [解析] 设母线长为R ，底面圆的半径为r ，则底面圆的周长＝2πr ，底面积＝πr2，侧面积＝πrR.∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr2＝πrR ，∴R ＝2r.设该圆锥侧面展开图的圆心角为n°，则nπR 180＝2πr ，∴nπR 180＝πR ，∴n ＝180.故选B.3. 【答案】A [解析] 由题意可知∠BOC ＝2∠A ＝45°×2＝90°.∵S 阴影＝S 扇形OBC －S △OBC ，S 扇形OBC ＝14S 圆＝14π×42＝4π，S △OBC ＝12×42＝8，所以阴影部分的面积为4π－8.故选A.4. 【答案】B【解析】先求出AC 、AB ，再根据S 阴影＝S 扇形CAC ′－S △AB ′C ′－ S 扇形DAB ′求解即可．在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝30°，∴AC ＝2BC ＝2，∴AB ＝AC 2－BC 2＝3；由旋转得，∴AB ＝A ′B ′＝3，BC ＝B ′C ′＝1，∠CAC ′＝90°，∴∠CAB ′＝60°，∴S 阴影＝S 扇形CAC ′－S △AB ′C ′－ S 扇形DAB ′＝90⋅π⋅22360－12×3×1－90⋅π⋅(3)2360＝π－32．5. 【答案】C [解析] 曲线CDEF 和线段CF 围成的图是由三个圆心不同，半径不同的扇形以及△ABC 组成的，所以根据面积公式可得135π×1＋135π×（2＋1）2＋90π×（2＋2）2360＋12×1×1＝（12＋7 2）π＋24.6. 【答案】B7. 【答案】B [解析] AF ︵的长＝14·2π·AB ，右侧圆的周长为π·DE. ∵裁出的扇形和圆恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，∴14·2π·AB ＝π·DE ，∴AB ＝2DE ，即AE ＝2DE.∵AE ＋DE ＝AD ＝6，∴AB ＝4.故选B.8. 【答案】A [解析] 如图作直径CG ，连接OD ，OE ，OF ，DG .∵CG 是⊙O 的直径，∴∠CDG ＝90°，则DG ＝CG 2－CD 2＝8.又∵EF ＝8，∴DG ＝EF ，∴DG ︵＝EF ︵，∴S 扇形ODG ＝S 扇形OEF .∵AB ∥CD ∥EF ，∴S △OCD ＝S △ACD ，S △OEF ＝S △AEF ，∴S 阴影＝S 扇形OCD ＋S 扇形OEF ＝S 扇形OCD ＋S 扇形ODG ＝S 半圆＝12π×52＝252π.二、填空题（本大题共8道小题）9. 【答案】6π【解析】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟记扇形面积的计算公式．阴影部分面积为26066360ππ⨯=，故答案为：6π．10. 【答案】3π【解析】∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝2∠C＝2×60°＝120° ，∵⊙O的半径为3，∴阴影部分的面积S 扇形OAB ＝120×π×32360＝3π.11. 【答案】2π【解析】由题意知：AB CB =，AD CD =， ∴ABC 和ADC 是等腰三角形，AC ⊥BD ．∵30ABD ACD ∠=∠=︒，1AD =∴OD=12，OA=2∴OB=32．∵∠ABD=30，32r =∴∠EBF=60︒，EF =602360r 13322．故答案为2π．12. 【答案】2π [解析] 设扇形的半径是R ，则60·π·R2360＝6π，解得R ＝6(负值已舍去)．设扇形的弧长是l ，则12lR ＝6π，即3l ＝6π，解得l ＝2π.故答案为2π.13. 【答案】3【解析】本题考查了垂径定理，弧长公式，圆锥的侧面展开图．连接OA ，OB ，OC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D ．∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，OA ＝OA ，所以△OAB ≌△OAC ，所以∠OAB＝∠OAC ＝12∠BAC ＝12×60°＝30°．在Rt △OAD 中，因为∠OAC ＝30°，OA ＝2，所以OD ＝1，AD 3因为OD ⊥AC ，所以AC ＝2AD ＝3．所以BC l ＝60180×π×2323设此圆锥的底面圆的半径为r ，则23r 33．14. 【答案】12π15. 【答案】8 2π [解析] 过点C 作CD ⊥AB 于点D .在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22， ∴AB ＝2AC ＝4，∴CD ＝2.以CD 为半径的圆的周长是4π.故Rt△ABC 绕直线AB 旋转一周所得几何体的表面积是2×12×4π×2 2＝8 2π.16. 【答案】4039π【解析】本题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：180n r l π=，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．由图可知，曲线11112DA B C D A 是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1， 11AD AA ==，112BA BB ==，……，()1411n n AD AA n -==-+，()412n n BA BB n =-+=，故20202020A B 的半径为()2020202042020128078BA BB =-+==，20202020A B 的弧长=9080784039180ππ⨯=．三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：(1)CD 与半圆O 相切．证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC.∵OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠OCA ，∴∠DAC ＝∠OCA ，∴OC ∥AD.∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD.又∵OC 为半圆O 的半径，∴CD 与半圆O 相切．(2)连接OE.∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC ，∴EC ︵＝BC ︵.又∵E 是AC ︵的中点，∴AE ︵＝EC ︵＝BC ︵，S 弓形AE ＝S 弓形CE ，∴∠BOC ＝∠EOC ＝60°.又∵OE ＝OC ，∴△OEC 是等边三角形，∴∠ECO ＝60°，CE ＝OC ＝1.由(1)得OC ⊥CD ，∴∠OCD ＝90°，∴∠DCE ＝30°，∴DE ＝12，DC ＝32，∴S 阴影＝S △DEC ＝12×12×32＝38.18. 【答案】解：∵蒙古包的底面积为9π m 2，高为6 m ，外围(圆柱)高为2 m ，∴底面圆的半径为3 m ，圆锥的高为6－2＝4(m)，∴圆锥的母线长为5 m ，∴圆锥的侧面积为π×3×5＝15π(m 2)，圆锥的底面周长为2π×3＝6π(m)，圆柱的侧面积为6π×2＝12π(m 2)．故至少需要毛毡15π＋12π＝27π(m 2)．19. 【答案】 13π4解：(1)如图(2)23πa 103πa 10πa (3)15πa 2(4)①30n πa ②m （m ＋1）nπa 20. 【答案】解：(1)①∵∠AOF ＝120°，∴∠ABF ＝60°.∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∴∠CBF ＝30°.②连接OB .∵∠AOF ＝120°，∴∠AOE ＝60°.∵EF ⊥AB 于点D ，∴AE ︵＝BE ︵，∴∠AOE ＝∠BOE ＝60°，∴∠AOB ＝120°，∴AB ︵＝120π×3180＝2π. ③∵∠AOE ＝60°，EF ⊥AB 于点D ，∴∠OAB ＝30°.∵AC ＝6，∴BC ＝3，∴AB ＝33.∵OA ＝3，∴OD ＝32， ∴S △AOB ＝12AB ·OD ＝12×3 3×32＝94 3. ∵S 扇形OAB ＝120360π×32＝3π， ∴阴影部分的面积＝S 扇形OAB －S △AOB ＝3π－94 3.(2)∵EF ⊥AB 于点D ，∴AD ＝BD ＝4.设OA ＝x ，则OD ＝OE －DE ＝x －2.在Rt△OAD 中，由勾股定理，得OA 2＝OD 2＋AD 2，即x 2＝(x －2)2＋42，解得x ＝5， ∴⊙O 的半径为5.(3)证明：连接OB .∵PB 是⊙O 的切线，∴∠PBO ＝90°.∵EF ⊥AB 于点D ，∴AE ︵＝BE ︵，∴∠AOP ＝∠BOP .又∵OA ＝OB ，PO ＝PO ，∴△PAO ≌△PBO ，∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°，∴直线PA 为⊙O 的切线．(4)∵OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴OD ＝12BC ＝3. 设AD ＝y .∵AD ∶FD ＝1∶2，∴FD ＝2y ，∴OA ＝OF ＝FD －OD ＝2y －3.在Rt△AOD 中，由勾股定理，得OA 2＝AD 2＋OD 2，即(2y －3)2＝y 2＋32.解得y 1＝4，y 2＝0(不合题意，舍去)．∴OA ＝2y －3＝5，即⊙O 的半径为5.。

人教版九年级数学第24章圆 24.1 ---24.4章节复习题(含答案)

人教版九年级数学第24章24.1 ---24.4复习题（含答案） 24.1 圆的有关性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知直径MN ⊥弦AB ，垂足为C ，有下列结论：①AC ＝BC ；②AN ︵＝BN ︵；③AM ︵＝BM ︵；④AM ＝BM .其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42. 小红不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A ，B ，C ，给出三角形ABC ，则这块玻璃镜的圆心是 ( )A .AB ，AC 边上的中线的交点 B .AB ，AC 边上的垂直平分线的交点 C .AB ，AC 边上的高所在直线的交点D .∠BAC 与∠ABC 的角平分线的交点3.如图，点B ，C ，D 在⊙O 上，若∠BCD ＝130°，则∠BOD 的度数是( )A ．50°B ．60°C ．80°D ．100°4. 如图，AB ，AC分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A．5B．4C．13D．4.85.如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF.若∠AOF＝40°，则∠F的度数是( )A．20°B．35°C．40°D．55°6. 如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为P，则OP的长为() A．3 B．2.5 C．4 D．3.57. 如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点．若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为()A．60°B．50°C．40°D．20°8. 如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC ，AE .若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°9. 如图，在半径为5的⊙O 中，AB ，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB ＝CD ＝8，则OP 的长为( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 210. 如图，⊙P与x 轴交于点A(—5，0)，B(1，0)，与y 轴的正半轴交于点C.若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为( )A.13＋ 3B ．2 2＋ 3C ．4 2D ．2 2＋2二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图所示，AB 为☉O 的直径，点C 在☉O 上，且OC ⊥AB ，过点C 的弦CD 与线段OB 相交于点E ，满足∠AEC=65°，连接AD ，则∠BAD= 度.12. (2019•娄底)如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD __________．13. 如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE.若∠A＝65°，则∠DOE＝________°.14. 如图，在⊙O中，BD为⊙O的直径，弦AD的长为3，AB的长为4，AC平分∠DAB，则弦CD的长为________．15. 如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上，且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为________．16. 如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E 在边BC上，连接AE.若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为________．17. 当宽为3 cm 的刻度尺的一边与⊙O 相切于点A 时，另一边与⊙O 的两个交点B ，C 处的读数如图所示(单位： cm)，那么该圆的半径为________cm.18. 如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝32°，则∠C ＝________°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，在⊙O 中，M ，N 分别是半径OA ，OB 的中点，且CM ⊥OA 交⊙O 于点C ，DN ⊥OB 交⊙O 于点D .求证：AC ︵＝BD ︵.20. 如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上．(1)尺规作图：作BAC 的平分线，与O 交于点D ；连接OD ，交BC 于点E (不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑)； (2)探究OE 与AC 的位置及数量关系，并证明你的结论．21. 如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于点A，B，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，P是直线AB上的一个动点(与点O不重合)，直线PC与⊙O相交于点Q.在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有几个？请相应地求出∠OCP的度数．22. 如图，点E是△ABC的内心，线段AE的延长线交BC于点F(∠AFC≠90°)，交△ABC的外接圆于点D.(1)求点F与△ABC的内切圆⊙E的位置关系；(2)求证：ED＝BD；(3)若∠BAC＝90°，△ABC的外接圆的直径是6，求BD的长；(4)B，C，E三点可以确定一个圆吗？若可以，则它们确定的圆的圆心和半径分别是什么？若不可以，请说明理由．人教版九年级数学 24.1 圆的有关性质课后训练-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】D2. 【答案】B[解析]本题实质上是要确定三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，故选B .3. 【答案】D[解析] 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可知∠α＝2∠BCD ＝260°. 而∠α＋∠BOD ＝360°，所以∠BOD ＝100°.4. 【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴6BC ===， ∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===，在Rt CBD △中，BD ==C ．5. 【答案】B6. 【答案】C7. 【答案】B[解析] 如图，连接AD.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵∠A 和∠BCD 都是BD ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠BCD ＝40°，∴∠ABD ＝90°－40°＝50°.故选B.8. 【答案】C9. 【答案】C[解析] 如图，过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连接AO.∵OE ⊥AB ，∴AE ＝12AB ＝4.在Rt △OAE 中，OA ＝5，由勾股定理可得OE ＝3，同理得OF ＝3.又∵AB ⊥CD ，∴四边形OEPF 是正方形，∴PE ＝OE ＝ 3.在Rt △OPE 中，由勾股定理可得OP ＝3 2.10. 【答案】B[解析] 如图，连接PA ，PB ，PC ，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，PE⊥OC 于点E.∵∠ACB ＝60°，∴∠APB ＝120°. ∵PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA ＝30°. ∵A(－5，0)，B(1，0)， ∴AB ＝6， ∴AD ＝BD ＝3，∴PD ＝3，PA ＝PB ＝PC ＝2 3. ∵PD ⊥AB ，PE ⊥OC ，∠AOC ＝90°，∴四边形PEOD 是矩形，∴OE ＝PD ＝3，PE ＝OD ＝3－1＝2， ∴CE ＝PC2－PE2＝12－4＝2 2， ∴OC ＝CE ＋OE ＝2 2＋3， ∴点C 的纵坐标为2 2＋ 3. 故选B.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】20 [解析]如图，连接DO ，∵CO ⊥AB ， ∴∠COB=90°，∵∠AEC=65°，∴∠C=25°，∵OD=OC ，∴∠ODC=∠C=25°，∴∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∵2∠BAD=∠DOB ， ∴∠BAD=20°.12. 【答案】1【解析】∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∵30B ACD ∠=∠=︒，∴112122AD AB ==⨯=．故答案为：1．13. 【答案】50[解析] 由三角形的内角和定理，得∠B ＋∠C ＝180°－∠A .再由OB ＝OD ＝OC ＝OE ，得到∠BDO ＝∠B ，∠CEO ＝∠C .在等腰三角形BOD 和等腰三角形COE 中，∠DOB ＋∠EOC ＝180°－2∠B ＋180°－2∠C ＝360°－2(∠B ＋∠C )＝360°－2(180°－∠A )＝2∠A ，所以∠DOE ＝180°－2∠A ＝50°.14. 【答案】52 2 [解析] ∵BD 为⊙O 的直径，∴∠DAB ＝∠DCB ＝90°. ∵AD ＝3，AB ＝4，∴BD ＝5.又∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC ＝45°， ∴∠DBC ＝∠DAC ＝45°，∠CDB ＝∠BAC ＝45°，从而CD ＝CB ，∴CD ＝52 2.15. 【答案】60°[解析] ∵OA ⊥BC ，∴AB ︵＝AC ︵，∴∠AOB ＝2∠ADC.∵∠ADC＝30°，∴∠AOB ＝60°.16. 【答案】52°[解析] ∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠B ＋∠D ＝180°.∵∠B ＝64°，∴∠D ＝116°.又∵点D 关于AC 的对称点是点E ， ∴∠AEC ＝∠D ＝116°.又∵∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ，∴∠BAE ＝52°.17. 【答案】25618. 【答案】58[解析] 方法一：如图①，连接OB.∵在△OAB 中，OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA.又∵∠OAB ＝32°，∴∠OBA ＝32°，∴∠AOB ＝180°－2×32°＝116°.又∵∠C ＝12∠AOB(一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半)， ∴∠C ＝58°.方法二：如图②，过点A 作直径AD ，连接BD ，则∠ABD ＝90°，∴∠C ＝∠D ＝90°－32°＝58°(同弧所对的圆周角相等)．三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】证明：如图，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵M ，N 分别是半径OA ，OB 的中点， ∴OM ＝ON .∵CM ⊥OA ，DN ⊥OB ，∴∠OMC ＝∠OND ＝90°. 在Rt △OMC 和Rt △OND 中，⎩⎨⎧OC ＝OD ，OM ＝ON ，∴Rt △OMC ≌Rt △OND (HL)， ∴∠MOC ＝∠NOD ，∴AC ︵＝BD ︵.20. 【答案】(1)如图所示：(2)OE AC ∥，12OE AC =．理由如下：∵AD 平分BAC ∠， ∴12BAD BAC ∠=∠， ∵12BAD BOD ∠=∠，∴BOD BAC ∠=∠， ∴OE AC ∥，∵OA OB =，∴OE 为ABC △的中位线， ∴OE AC ∥，12OE AC =．21. 【答案】解：在直线AB 上使QP ＝QO 成立的点P 共有3个． (1)如图①.在△QOC 中，OC ＝OQ ，∴∠OQC ＝∠OCQ . 在△OPQ 中，QP ＝QO ，∴∠QOP ＝∠QPO .又∵∠QPO ＝∠OCQ ＋∠AOC ，且∠AOC ＝30°，∠QOP ＋∠QPO ＋∠OQC ＝180°，∴3∠OCQ ＝120°， ∴∠OCQ ＝40°. 即∠OCP ＝40°.(2)如图②. ∵QO ＝QP ， ∴∠QPO ＝∠QOP .设∠QPO ＝x ，则∠OQC ＝∠QPO ＋∠QOP ＝2x .又∵OC ＝OQ ， ∴∠OCQ ＝∠OQC ＝2x ，∴∠AOC ＝∠OPC ＋∠OCP ＝x ＋2x ＝3x . ∵∠AOC ＝30°，∴3x ＝30°，解得x ＝10°， ∴∠OCP ＝2x ＝20°. (3)如图③.∵QO ＝QP ，∴∠QOP ＝∠QPO . ∵OC ＝OQ ，∴∠OQC ＝∠OCQ .设∠QPO ＝y ，则∠OQC ＝∠OCQ ＝∠QPO ＋∠AOC ＝y ＋30°，∴在△OPQ中，有y＋y＋y＋30°＝180°，解得y＝50°，∴∠OCP＝180°－50°－30°＝100°.综上所述，在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有3个，∠OCP的度数分别为40°，20°，100°.22. 【答案】解：(1)设⊙E切BC于点M，连接EM，则EM⊥BC.又线段AE的延长线交BC 于点F，∠AFC≠90°，∴EF>EM，∴点F在△ABC的内切圆⊙E外．(2)证明：∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∴∠BED＝∠EBD，∴ED＝BD.(3)如图①，连接CD.设△ABC的外接圆为⊙O.∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.∵⊙O的直径是6，∴BC＝6.∵E为△ABC的内切圆的圆心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.又∵BD2＋CD2＝BC2，∴BD＝CD＝3 2.(4)B，C，E三点可以确定一个圆．如图②，连接CD.∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.又由(2)可知ED＝BD，∴BD＝CD＝ED，∴B，C，E三点确定的圆的圆心为点D，半径为BD(或ED，CD)的长度．24.2 点和圆、直线和圆的位置关系一、选择题（本大题共8道小题）1. 已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．无法确定2. 2019·武汉江岸区期中点P到直线l的距离为3，以点P为圆心，以下列长度为半径画圆，能使直线l与⊙P相交的是()A．1 B．2 C．3 D．43. 2020·武汉模拟在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以点A为圆心，4.8为半径的圆与直线BC的公共点的个数为()A．0 B．1 C．2 D．不能确定4. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与图中7×4方格中的格点相连，连线能够与该圆弧相切的格点有()A．1个B．2个C．3个D．4个5.如图，AP为⊙O的切线，P为切点，若∠A＝20°，C、D为圆周上两点，且∠PD C＝60°，则∠OBC等于( )A. 55°B. 65°C. 70°D. 75°6. 如图，在△MBC中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，MB＝2 3，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为()A. 2B. 3 C．2 D．37. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为()A．5 B．4 2 C．4.75 D．4.88. 一把直尺、含60°角的三角尺和光盘如图所示摆放，A为60°角与直尺的交点，AB＝3，则光盘的直径是()A．3 B．3 3 C．6 D．6 3二、填空题（本大题共8道小题）9. 直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为.10. 如图，P A，PB是☉O的切线，A，B为切点，点C，D在☉O上.若∠P=102°，则∠A+∠C=.11. 设⊙O 的半径为3，点O 到直线l 的距离为d ，若直线l 与⊙O 至少有一个公共点，则d 的取值范围是________．12. 如图，AB是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为E ，要使DE是⊙O 的切线，则图中的线段应满足的条件是____________．13. 如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝5 cm.能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是________cm.14. 已知l 1∥l 2，l 1，l 2之间的距离是3 cm ，圆心O 到直线l 1的距离是1 cm ，如果圆O 与直线l 1，l 2有三个公共点，那么圆O 的半径为________cm.15. 如图，AB 是⊙O的直径，OA ＝1，AC 是⊙O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长线于点D.若BD ＝2－1，则∠ACD ＝________°.16. 如图所示，在半圆O 中，AB 是直径，D是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，CB于点P，Q，连接AC，有下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心．其中正确的结论是________(只需填写序号)．三、解答题（本大题共4道小题）17. 在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC 的位置关系，并说明理由．18. 如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°.(1)求∠BAC的度数；(2)若PA＝1，求点O到弦AB的距离．19. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.(1)如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；(2)如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠BAF＝∠DAE.20. 如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF，DC.已知OA＝OB，CA＝CB.(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)求证：∠CDF＝∠EDC；(3)若DE＝10，DF＝8，求CD的长．人教版九年级数学24.2 点和圆、直线和圆的位置关系培优训练-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】B2. 【答案】D3. 【答案】B4. 【答案】C[解析] 如图，连接AB，BC，作AB，BC的垂直平分线，可得点A，B，C所在的圆的圆心为O′(2，0)．只有当∠O′BF＝∠O′BD＋∠DBF＝90°时，BF与圆相切，此时△BO′D≌△FBE，EF＝DB＝2，此时点F的坐标为(5，1)．作过点B，F的直线，直线BF经过格点(1，3)，(7，0)，此两点亦符合要求．即与点B的连线，能够与该圆弧相切的格点是(5，1)或(1，3)或(7，0)，共3个．5. 【答案】B【解析】连接OP ，如解图，则OP ⊥AP .∵∠D ＝60°，∴∠COP ＝120°，∵∠A ＝20°，∠APO ＝90°，∴∠AOP ＝70°，∴∠AOC ＝50°，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝180°－50°2＝65°.解图6. 【答案】C[解析] 在Rt △BCM 中，∠MBC ＝90°，∠C ＝60°，∴∠BMC ＝30°，∴BC ＝12MC ，即MC ＝2BC.由勾股定理，得MC2＝BC2＋MB2.∵MB ＝2 3， ∴(2BC)2＝BC2＋12，∴BC ＝2.∵AB 为⊙O 的直径，且AB ⊥BC ，∴BC 为⊙O 的切线．又∵CD 也为⊙O 的切线，∴CD ＝BC ＝2.7. 【答案】D[解析] 如图，设PQ 的中点为F ，⊙F 与AB 的切点为D ，连接FD ，FC ，CD .∵AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6， ∴∠ACB ＝90°， ∴PQ 为⊙F 的直径．∵⊙F 与AB 相切，∴FD ⊥AB ，FC ＋FD ＝PQ ，而FC ＋FD ≥CD ，∴当CD 为Rt △ABC 的斜边AB 上的高且点F 在CD 上时，PQ 有最小值，为CD 的长，即CD 为⊙F 的直径．∵S △ABC ＝12BC ·AC ＝12CD ·AB ，∴CD ＝4.8.故PQ 的最小值为4.8.8. 【答案】D[解析] 设光盘的圆心为O ，连接OA ，OB ，则OB⊥AB ，∠OAB ＝12×(180°－60°)＝60°. ∵AB ＝3，∴OA ＝6，OB ＝3 3， ∴光盘的直径是6 3.故选 D.二、填空题（本大题共8道小题）9. 【答案】2 [解析]直角三角形的斜边==13，所以它的内切圆半径==2.10. 【答案】219°[解析]连接AB ，∵P A ，PB 是☉O 的切线， ∴P A=PB. ∵∠P=102°，∴∠P AB=∠PBA=(180°-102°)=39°. ∵∠DAB +∠C=180°，∴∠P AD +∠C=∠P AB +∠DAB +∠C=180°+39°=219°.11. 【答案】0≤d≤312. 【答案】BD ＝CD或AB ＝AC (答案不唯一)[解析] (1)连接OD .要使DE 是⊙O 的切线，结合DE ⊥AC ，只需OD ∥AC ，根据O 是AB 的中点，只需BD ＝CD 即可；(2)根据(1)中探求的条件，要使BD ＝CD ，则连接AD ，由于∠ADB ＝90°，只需AB ＝AC ，根据等腰三角形的三线合一即可．13. 【答案】10 33 如图，能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片是△ABC 的外接圆⊙O.连接OB ，OC ，则∠BOC ＝2∠A ＝120°.过点O 作OD ⊥BC 于点D ，则∠BOD ＝12∠BOC ＝60°.∴∠OBD ＝30°，∴OB ＝2OD.由垂径定理，得BD ＝12BC ＝52 cm ，在Rt △BOD 中，由勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2，即(2OD)2＝OD2＋(52)2，解得OD ＝56 3 cm.∴OB ＝5 33cm ，∴能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是10 33 cm.14. 【答案】2或4 [解析] 设圆O 的半径为r cm 如图①所示，r －1＝3，得r ＝4；如图②所示，r ＋1＝3，得r ＝2.15. 【答案】112.5 [解析] 如图，连接OC.∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD.∵BD ＝2－1，OA ＝OB ＝OC ＝1，∴OD ＝2，∴CD ＝OD2－OC2＝（2）2－12＝1，∴OC ＝CD ，∴∠DOC ＝45°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OCA ＝12∠DOC ＝22.5°，∴∠ACD ＝∠OCA ＋∠OCD ＝22.5°＋90°＝112.5°.16. 【答案】②③ [解析] ∵在半圆O 中，AB 是直径，D 是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，∴AC ︵＝DC ︵，但不一定等于DB ︵，∴∠BAD 与∠ABC 不一定相等，故①错误．如图，连接OD ，则OD ⊥GD ，∠OAD ＝∠ODA .∵∠ODA ＋∠GDP ＝90°，∠OAD ＋∠GPD ＝∠OAD ＋∠APE ＝90°， ∴∠GPD ＝∠GDP ，∴GP ＝GD ，故②正确．补全⊙O ，延长CE 交⊙O 于点F .∵CE ⊥AB ，∴A 为FC ︵的中点，即AF ︵＝AC ︵.又∵C 为AD ︵的中点，∴CD ︵＝AC ︵，∴AF ︵＝CD ︵，∴∠CAP ＝∠ACP ，∴AP ＝CP .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACQ ＝90°，∴∠ACP ＋∠PCQ ＝90°，∠CAP ＋∠PQC ＝90°，∴∠PCQ ＝∠PQC ，∴PC ＝PQ ，∴AP ＝PQ ，即P 为Rt △ACQ 的斜边AQ 的中点，∴点P 为Rt △ACQ 的外心，故③正确．三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：⊙A 与直线BC 相交．理由：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则BD ＝CD ＝8.∵AB ＝AC ＝10，∴AD ＝6.∵6＜7，∴⊙A 与直线BC 相交．18. 【答案】解：(1)∵PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，∴PA ＝PB ，∠PAC ＝90°.∵∠APB ＝60°，∴△APB 是等边三角形，∴∠BAP ＝60°，∴∠BAC ＝90°－∠BAP ＝30°.(2)过点O 作OD ⊥AB 于点D ，如图所示，则AD ＝BD ＝12AB.由(1)得△APB是等边三角形，∴AB＝PA＝1，∴AD＝1 2.在Rt△AOD中，∵∠BAC＝30°，∴OD＝12OA.由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，即(2OD)2＝OD2＋(1 2)2，∴OD＝36，即点O到弦AB的距离为36.19. 【答案】证明：(1)如图①，连接OC.∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l.又∵AD⊥l，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB.(2)如图②，连接BF.∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝90°－∠B.∵∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋∠DAE，又由圆内接四边形的性质，得∠AEF＋∠B＝180°，∴90°＋∠DAE＋∠B＝180°，∴∠DAE＝90°－∠B，∴∠BAF＝∠DAE.20. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OC.∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB.又∵点C在⊙O上，∴直线AB是⊙O的切线．(2)证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC.∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD.∵∠AOB＝∠ODF＋∠OFD＝∠AOC＋∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠CDF＝∠EDC.(3)如图，过点O作ON⊥DF于点N，延长DF交AB于点M. ∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝4.在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝4，∴ON＝OD2－DN2＝3.由(2)知OC∥DF，∴∠OCM＋∠CMN＝180°.由(1)知∠OCM＝90°，∴∠CMN＝90°＝∠OCM＝∠MNO，∴四边形OCMN是矩形，∴CM＝ON＝3，MN＝OC＝5.在Rt△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝3，DM＝DN＋MN＝9，∴CD＝DM2＋CM2＝92＋32＝310.24.3正多边形和圆一、选择题1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB为⊙0直径，点C为劣弧BD 的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC=（）．A．140°B．40°C．70°D．50°2．如图，圆O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，∠OAC＝20°，则∠ABC的度数为（）A．140°B．110°C．70°D．40°3．如图，已知△ABC为⊙O的内接三角形，AB＞AC．E为BAC的中点，过E 作EF⊥AB于F．若AF＝1，AC＝4，∠C＝60°，则⊙O的面积是（）A．8πB．10πC．12πD．18π4．如图，四边形ABCD 内接于O ，9AB =，15AD =，120BCD ∠=︒，弦AC 平分BAD ∠，则AC 的长是（）A ．73B ．83C ．12D ．135．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为圆上一点，∠BAC ＝20°，将劣弧AC 沿弦AC 所在的直线翻折，交AB 于点D ，则弧AD 的度数等于（）A ．40°B ．50C ．80°D ．1006．如图，等边△ABD 与等边△ACE ，连接BE 、CD ，BE 的延长线与CD 交于点F ，下列结论：（1）BE=CD ；（2）AF 平分∠EAC ；（3）∠BFD=60°；（4）AF+FD=BF 其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，Q 为CD 上任意一点，AQ 交BD 于M ，过M作MN ⊥AM 交BC 于N ，连AN 、QN ．下列结论：①MA=MN ；②∠AQD=∠AQN ； ③S △AQN =12S 五边形ABNQD ；④QN 是以A 为圆心，以AB 为半径的圆的切线．其中正确的结论有（）A ．①②③④B ．只有①③④C ．只有②③④D ．只有①② 8．如图，在菱形ABCD 中，点P 是BC 边上一动点，连结AP ，AP 的垂直平分线交BD 于点G ，交 AP 于点E ，在P 点由B 点到C 点的运动过程中，∠APG 的大小变化情况是( )A ．变大B ．先变大后变小C ．先变小后变大D ．不变9．如图，矩形ABCD 为⊙O 的内接四边形，AB ＝2，BC ＝3，点E 为BC 上一点，且BE ＝1，延长AE 交⊙O 于点F ，则线段AF 的长为（）A ．755B ．5C ．5+1D ．35210．在四边形ABCD 中，M 、N 分别是CD 、BC 的中点，且AM ⊥CD ，AN ⊥BC ，已知∠MAN=74°，∠DBC=41°，则∠ADB 度数为（）．A ．15°B ．17°C ．16°D ．32°二、填空题11．如图，C 为半圆O 上一点，AB 为直径，且AB 2a =，COA 60∠=．延长AB 到P ，使1BP AB 2=，连CP 交半圆于D ，过P 作AP 的垂线交AD 的延长线于H ，则PH 的长度为________．12．如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是弧AB上的一动点（不与点A、B重合），点F是弧BC上的一点，连接OE，OF，分别与交AB，BC于点G，H，且∠EOF=90°，连接GH，有下列结论：①弧AE=弧BF；②△OGH是等腰直角三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为4+22．其中正确的是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE∽△ABC，点N是AC的中点，连接NE，当线段NE最短时，线段CD的长为_____．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1+∠2=64°，∠3+∠4=__________°.15．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP＝12BD；③BN＋DQ＝NQ；④AB BNBM2是_____．三、解答题16．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，42BC =，45BAC ∠=，75ABC ∠=，求AB 的长．17．如图，已知∠MON=120°，点A ，B 分别在OM ，ON 上，且OA =OB =a ，将射线OM 绕点O 逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0120α≤<︒︒且60α≠︒），作点A 关于直线OM′的对称点C ，画直线BC 交于OM′与点D ，连接AC ，AD ．有下列结论：有下列结论：①∠BDO + ∠ACD = 90°；②∠ACB 的大小不会随着a 的变化而变化；③当 30︒=α时，四边形OADC 为正方形；④ACD ∆23a ．其中正确的是________________．(把你认为正确结论的序号都填上） 18．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形（1）概念理解①根据上述定义举一个等补四边形的例子：②如图1，四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠A +∠C ＝180°，求证：四边形ABCD是等补四边形（2）性质探究：③小明在探究时发现，由于等补四边形有一组对角互补，可得等补四边形的四个顶点共圆，如图2，等补四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，则∠ACD∠ACB（填“＞”“＜”或“＝“）；④若将两条相等的邻边叫做等补四边形的“等边”，等边所夹的角叫做“等边角”，它所对的角叫做“等边补角”连接它们顶点的对角线叫做“等补对角线”，请用语言表述③中结论：（3）问题解决在等补四边形ABCD中，AB＝BC＝2，等边角∠ABC＝120°，等补对角线BD 与等边垂直，求CD的长．19．定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”（1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是______．（2）如图1，在△ABC中，AB=2，BC=52，AC=3，D为平面内一点，以A、B、C、D四点为顶点构成的四边形为“完美四边形”，若DA，DC的长是关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+14(5m2-2m+13)=0(其中m为常数)的两个根，求线段BD的长度．（3）如图2，在“完美四边形”EFGH中，∠F=90°，EF=6，FG=8，求“完美四边形”EFGH面积的最大值．20．如图，O 是ABC 的外接圆，ABC 的外角DAC ∠的平分线交O 于点E ，连接CE 、BE .（1）求证：BE CE =；（2）若60CAB ∠=︒，23BC =，求劣弧BC 的长度.21．（1）已知：如图1，AB 是O 的直径，点P 为O 上一点（且点P 不与A 、B 重合）连接PA ，PB ，APB ∠的角平分线PC 交O 于点C ． ①若86PA PB ==，，求AB 的长 ②求证：2PA PB PC +=（2）如图2，在正方形ABCD 中，52AB 2=，若点P 满足3PC =，且90APC ∠=︒，请直接写出点B 到AP 的距离.22．如图(1) ，折叠平行四边形ABCD ，使得,B D 分别落在,BC CD 边上的,B D ''点，,AE AF 为折痕(1)若AE AF =，证明:平行四边形ABCD 是菱形; (2)若110BCD ︒∠= ，求B AD ''∠的大小;(3)如图(2) ，以,AE AF 为邻边作平行四边形AEGF ，若AE EC =，求CGE ∠的大小23．在平面直角坐标系xOy 中，已知(0,2)A ，动点P 在3y x =的图像上运动（不与O 重合），连接AP ，过点P 作PQ AP ⊥，交x 轴于点Q ，连接AQ ．（1）求线段AP 长度的取值范围；（2）试问：点P 运动过程中，QAP ∠是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当OPQ ∆为等腰三角形时，求点Q 的坐标．【参考答案】1．C 2．B 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．D 9．A 10．C 113 12．①②④ 13．411014．64 15．①②③④ 16．317．①②④18．（1）①正方形；②略；（2）③＝；④等补四边形的“等补对角线”平分“等边补角”；（3）CD 的值为2或4． 19．（1）正方形、矩形；（2）3；（3）49． 20．（1）略；（2）43π21．（1）①10AB =，②略；（2）72或12 22．（1）略；（2）30°；（3）45°.23．（1）3AP ≥；（2）QAP ∠为定值，QAP ∠=30°；（3）1(234,0)Q +，2(234,0)Q -，3(23,0)Q -，423(,0)3Q24.4 弧长和扇形面积一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，） 1. 如图是一圆锥的侧面展开图，其弧长为，则该圆锥的全面积为A.B.C.D.2. 一扇形面积是，半径为，则该扇形圆心角度数是（） A.B.C.D.3. 圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为（） A.B.C.D.4. 如图，在边长为的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则图中阴影部分的面积是（）A. B. C. D.5. 如果圆柱的底面直径为，母线长为，那么圆柱的侧面展开图的面积等于（）A. B. C. D.6. 一个扇形占其所在圆的面积的，则该扇形圆心角是（）A. B. C. D.无法计算7. 如图，圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A. B. C. D.8. 一个圆锥的底面圆的周长是，母线长是，它的侧面展开图的圆心角的度数是（）A. B. C. D.9. 已知一个圆锥的侧面积是，它的侧面展开图圆心角为，则这个圆锥的底面半径为A. B. C. D.10. 如图，边长为米的正方形池塘的周围是草地，池塘边、、、处各有一棵树，且米．现用长米的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（）A.处B.处C.处D.处二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 如果圆柱的母线长为，底面半径为，那么这个圆柱的侧面积是________．12. 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，面积为的扇形，则这个圆锥的高是________．13. 一个圆柱体底面积直径是高的倍，如果底面积半径是分米，则它的表面积是________平方分米．14. 一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的弧长为________．15. 用一个圆心角为的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于，则这个圆锥的母线长为________．16. 已知圆锥的底面周长为，母线长为，那么这个圆锥的侧面积是________（结果保留）．17. 如图，已知的半径，弦，且，点在上，则图中的阴影部分的面积是________．18. 如图，为的弦，点为的中点，，当点、在上运动一周时，点所走过的路径与围成的图形面积是________．19. 如图所示，已知的半径，，则所对的弧的长为________．20. 现有圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 如图，扇形的圆心角，半径，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面面积的半径．22. 如图，圆锥的底面半径为，高为，求这个圆锥的侧面积和表面积．23. 如图，圆锥的底面半径，高．求这个圆锥的表面积．取24. 如图，在中，，，以腰为直径作半圆，分别交，于点，．求，的长．25. 有一直径为圆形纸片，从中剪出一个圆心角是的最大扇形（如图所示）．（1）求阴影部分的面积（2）用所剪的扇形纸片围城一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？26. 如图，一个圆锥的高为，侧面展开图是半圆．求圆锥的母线长与底面半径之比；求的度数；求圆锥的侧面积（结果保留）．参考答案与试题解析一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为，扇形的半径为，根据题意得，解得，，解得，所以该圆锥的全面积．故选．2.【答案】A【解答】解：设扇形圆心角的度数为，∴，∴．即扇形圆心角度数为．故选．3.【答案】C【解答】圆锥的侧面展开图为扇形，由扇形面积公式可以得出此圆锥侧面积为：＝．4.【答案】D【解答】解：如图所示，．故选．5.【答案】A【解答】解：圆柱的侧面积，故选．6.【答案】B【解答】解：∵一个扇形占其所在圆的面积的，∴该扇形的圆心角占它所在圆的圆心角的，即．故选．7.【答案】C【解答】解：圆锥的母线长，设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为，根据题意得，解得，即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为．故选．8.【答案】C【解答】解：圆锥侧面展开图的扇形面积半径为，弧长为，代入扇形弧长公式，即，解得，即扇形圆心角为度．故选．9.【答案】【解答】此题暂无解答10.【答案】B【解答】解：①；②；③；④，故选二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】【解答】解：这个圆柱的侧面积．故答案为：．12.【答案】【解答】解：设母线长为，底面圆的半径为，，解得：，底面圆的周长为：，解得：，∴这个圆锥的高是：．故答案为：．13.【答案】【解答】解：∵一个圆柱体底面直径是高的倍，如果底面半径是分米，∴高为分米，底面周长为：（分米），则其侧面积为：（平方分米），上下两底面积为：（平方分米）．故它的表面积是：平方分米．14.【答案】【解答】解：设这个扇形的半径是．根据扇形面积公式，得，解得（负值舍去）．故半径为．弧长是：．故答案为．15.【答案】【解答】解：设圆锥的母线长为，根据题意得：，解得：.故答案为：.16.【答案】【解答】解：圆锥的侧面积．17.【答案】【解答】解：连接，，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，，∴，故答案为：．18.【答案】【解答】解：如图，连接、，点所走过的路径为小圆，∵点为的中点，，∴，且，∴点所走过的路径与围成的图形面积是，故答案为：．19.【答案】【解答】解：所对的弧的长，故答案为：．20.【答案】【解答】解：解得：，∵扇形彩纸片是圆周，因而圆心角是∴剪去的扇形纸片的圆心角为．剪去的扇形纸片的圆心角为．故答案为．三、解答题（本题共计 6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】圆锥的底面圆的半径为．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为，根据题意得，解得．22.【答案】解：∵圆锥的底面半径为，高为，∴圆锥的母线长为，∴.∵圆锥的底面积，∴．【解答】解：∵圆锥的底面半径为，高为，∴圆锥的母线长为，∴.∵圆锥的底面积，∴．23.【答案】解：在中，，，由勾股定理知，侧面积，底面积，∴圆锥的表面积．【解答】解：在中，，，由勾股定理知，侧面积，底面积，∴圆锥的表面积．24.【答案】解：连接，∵，，∴，∴的长，连接、，∵为圆的直径，∴，又，∴，∴，∴的长．【解答】解：连接，∵，，∴，∴的长，连接、，∵为圆的直径，∴，又，∴，∴，∴的长．25.【答案】解：（1）连接，，∵，，∴是圆的直径，，∵圆的直径为，则，故．∴阴影；（2）的长，则，解得：．故该圆锥的底面圆的半径是．【解答】解：（1）连接，，∵，，∴是圆的直径，，∵圆的直径为，则，故．∴阴影；（2）的长，则，解得：．故该圆锥的底面圆的半径是．26.【答案】解：设此圆锥的高为，底面半径为，母线长，∵，∴；由中图所示，∵，，∴，，∴，同理,则；由中图可知，，∴，即，解得，∴，∴圆锥的侧面积为．【解答】解：设此圆锥的高为，底面半径为，母线长，∵，∴；由中图所示，∵，，∴，，∴，同理,则；由中图可知，，∴，即，解得，∴，∴圆锥的侧面积为．。

人教版九年级数学上册24.1圆的有关性质训练题(含知识点)

24.1 圆的有关性质姓名1.如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（）． A ．CE=DE B ．BC BD = C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD2．如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（）A ．4B ．6C ．7D ．83．如图，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不正确的是（）A ．AB ⊥CD B ．∠AOB=4∠ACDC ．AD BD = D ．PO=PD 4.下列命题中，真命题的个数为（）①顶点在圆周上的角是圆周角;②圆周角的度数等于圆心角度数的一半;③900的圆周角所对的弦是直径；④直径所对的角是直角；⑤圆周角相等，则它们所对的弧也相等；⑥同弧或等弧所对的圆周角相等．A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 5.如果两个圆心角相等，那么（）A ．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对 6.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 关系是（） A.AB =2CD B.AB >CD C.AB <2CD D.不能确定7.如图，⊙O 中，如果AB =2AC ，那么（）A ．AB=ACB ．AB=AC C ．AB<2ACD ．AB>2AC8.如图，A, B, C, D 是同一个圆上的顺次四点，则图中相等的圆周角共有（） A.2对 B.4 对 C.8 对 D.16对9.如图，MN 是半圆O 的直径，K 是MN 延长线上一点，直线KP 交半圆于点Q ，P ．若∠K=200，∠PMQ =400，则∠MQP 等于（）A. 300B. 350C. 400D . 50010.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且AB ≠AC ，∠ABC 和∠ACB 的平分线分别交⊙O 于点D, E ，且BD=CE ，则∠A 是（ )A.300B.450C.600D.90011.如图,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个12.如图，AB 为⊙O 直径，E 是BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____．13.P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______． 14.如图,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,那么OP 长的取值范围是_____.15.如图，A, B, C, D 是⊙O 上的点，已知∠1=∠2，则与AD 相等的弧是，与BCD 相等的弧是，于是AD= , BD= . 16.如图，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC 、AD 于E 、F ，若∠D=50°，求BE 的度数和EF 的度数．7题 8题1题 2题 3题9题 10题 11题 12题14题 15题 16题17.如图， AB是⊙O的直径，C, D是AB上的点，且AC=BD; P，Q是⊙O上在AB同侧的两点，且AP BQ=,延长PC, QD分别交⊙O于点M, N．求证：AM BN=.18.如图，Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB、AD的长。

人教版九年级数学上册 24.1 圆的概念和性质专项练习(包含答案)

圆的概念和性质专项练习【例1】判断题：（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆 ( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等 ( ) （7）两个劣弧之和等于半圆 ( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧 ( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R ( )【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×；（6）√；（7）×；（8）√；（9）×；（10）√．【举一反三】如图，在两半径不同的同心圆中，''60AOB A OB ∠=∠=︒，则（）A ．''AB A B = B ．''AB A B >C ．AB 的度数=''A B 的度数D ．AB 的长度=''A B 的长度【解析】因为在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，而''60AOB A OB ∠=∠=︒，所以AB 的度数＝''A B 的度数．所以答案是C ．【答案】C【例2】如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>【解析】连结OM OD OA 、、由矩形对角线相等可知OM NH c OD EF b OA BC a ======，，，又OM OD OA ==，ON MHG FE DC B A∴a b c ==．选B ．【答案】B【举一反三】如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．【解析】如图，连两条半径由已知小正方形半径为4cm ，设大正方形半径为2x则()222544x x =++，整理得2280x x --=解得1242x x ==-，(舍去) ∴大正方形半径为8cm则半圆的半径为．【答案】【例3】如图①，，，，为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图②，，，，，为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是．【解析】略【答案】（1），，如图①(提示：答案不惟一，过与交点O 的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分)；1O 2O 3O 4O 1O 2O 3O 4O 5O 图1图1图2图21O 3O 31O O 42O O（2），，如图②（提示：答案不惟一，如，，，等均可）．二、圆的性质定理1. 圆周角定理【例4】如图，80AOB ∠=︒，则弧AB 所对圆周角ACB ∠的度数是（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．80︒【解析】略【答案】A ．【举一反三】如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知50ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为__________．【解析】略【答案】40︒．【例5】如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A B O 、、是小正方形顶点，O ⊙的半径为1，P 是O ⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于__________．【解析】略【答案】45︒【例6】如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．5O O 4AO 3DO 2EO 1CO PO BA【解析】()117040152∠=︒-︒=︒【答案】略【举一反三】如图，量角器外缘边上有A P Q，，三点，它们所表示的读数分别是180︒，70︒，30︒，则PAQ∠的大小为（）A．10︒B．20︒C．30︒D．40︒【解析】考察同弧所对圆心角是圆周角的2倍．答案选B．【答案】B【例7】如图，O⊙是ABC∆的外接圆，已知60B∠=︒，则CAO∠的度数是（）A．15︒B．30︒C．45︒D．60︒【解析】略【答案】B【举一反三】如图，AB是O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC AD，，若35CAB∠=︒，则ADC∠的度数为．【解析】直径所对圆周角是90︒且同弧所对圆周角相等．所以得55︒．【答案】55︒【例8】如图所示的半圆中，AD是直径，且32AD AC==，，则sin B的值是________．【解析】略．DCAB【举一反三】如图，AB 是O ⊙的直径，CD AB ⊥，设COD α∠=，则2sin 2AB AD α⋅=_____________．【解析】略【答案】1【例9】如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线交于点E ，若218AB DE E =∠=︒，，求AOC ∠的度数．【解析】连结OD∵AB 是直径，2AB DE =，∴12DE AB OD ==∴18DOE E ∠=∠=︒，∴36ODC DOE E ∠=∠+∠=︒∵OC OD =，∴36OCD ODC ∠=∠=︒， ∴54AOC OCD E ∠=∠+∠=︒．【答案】54︒．【举一反三】如图所示CD 是O ⊙的直径，87EOD ∠=︒，AE 交O ⊙于B ，且A B O C =，求A ∠的度数．【解析】连结OB∵AB OC =，OBOC =，∴OB AB = 设A x ∠=，则BOA x ∠=． ∴2OBE BOA A x ∠=∠+∠=． ∵OE OB =，EEDD∴2OEA OBE x ∠=∠=．∴387EOD E A x ∠=∠+∠==︒ ∴29x =︒，即29A ∠=︒．【答案】29︒．【例10】如图，在O ⊙中，AOB ∠的度数为m ，C 是ACB 上一点，D E 、是AB 上不同的两点(不与A B 、两点重合)，则D E ∠+∠的度数为____________．【解析】()136018022mD E m ∠+∠=︒-=︒- 【答案】1802m ︒-【举一反三】如图，AB 是O ⊙的直径，弦PC 交OA 于点D ，弦PE 交OB 于点F ，且OC DC OF EF ==，．若C E ∠=∠，则CPE ∠=___________．【答案】40︒【例11】如图所示，在ABC ∆中，45C ∠=︒，4AB =，则O ⊙的半径为（）B.4C. D.5【解析】如右图所示连接OA 、OB ，因为45C ∠=︒，290AOB C ∠=∠=︒4AB =，所以半径为OA OB ==【答案】【举一反三】如图，ABC △的三个顶点都在O ⊙上，302cm C AB ∠=︒=，，则O ⊙的半径O PFEDCBA BABA为______cm ．【解析】连接OA ，OB∵30C ∠=︒，∴260O C ∠=∠=︒，又∵OA OB =，∴OAB ∆为等边三角形， ∴2OA AB ==，即O 的半径为2．【答案】2【举一反三】如图AB 是半圆O 的直径，点C D 、在弧AB 上，且AD 平分CAB ∠，已知106AB AC ==，，求AD 的长．【解析】延长AC 交BD 的延长线于E ，∵AB 是半圆的直径，AD 平分CAB ∠，则可得10AE AB ==，BD ED =， ∴4CE AE AC =-=，∵90ACB ∠=︒，∴8BC =，在Rt BCE ∆中，BE =，∴BD DE ==，∴AD =．【答案】【例12】如图，ABC △是O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点(点C 不与A B ，重合)，设OAB α∠=，C β∠=．（1）当35α=︒时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．【答案】（1）解：连接OB ，则OA OB =，∴35OBA OAB ∠=∠=︒．∴180110AOB OAB OBA ∠=︒-∠-∠=︒．∴1552C AOB β=∠=∠=︒．（2）答：α与β之间的关系是90αβ+=︒．证一：连接OB ，则OA OB =．OBA OAB α∴∠=∠=． ∴1802AOB α∠=︒-．∴11(1802)9022C AOB βαα=∠=∠=︒-=︒-．∴90αβ+=︒．证二：连接OB ，则OA OB =． ∴22AOB C β∠=∠=．过O 作OD AB ⊥于点D ，则OD 平分AOB ∠．∴12AOD AOB β∠=∠=．在Rt AOD △中，90OAD AOD ∠+∠=︒， ∴90αβ+=︒证三：延长AO 交O 于E ，连接BE ，则E C β∠=∠=．∵AE 是O 的直径，∴90ABE ∠=︒． ∴90BAE E ∠+∠=︒，∴90αβ+=︒．【举一反三】如图，O ⊙与P ⊙相交于B 、C 两点，BC 是P ⊙的直径，且把O ⊙分成度数比为12∶的两条弧，A 是BmC 上的动点(不是B 、C 重合)，连结AB 、AC 分别交P ⊙于D 、E 两点．（1）当ABC ∆是钝角三角形时，判断PDE ∆的形状．（2）当ABC ∆是直角三角形时，判断PDE ∆的形状．（3）当ABC ∆是锐角三角形时，判断PDE ∆的形状．这种情况加以证明．【解析】三种情况下，PDE ∆的形状都是等边三角形．如图，连结CD ，显然30ACD ∠=︒，所以PDE ∆是等边三角形．【答案】PDE ∆是等边三角形【例13】圆1S 及2S 相交于点A 及B ．圆1S 的圆心O 落在2S 的圆周上，圆1S 的弦AC 交2S 于点D （如图），证明：线段OD 与BC 是互相垂直的．【答案】作线段AB 、OB 及OC ．这时有BAD BOD ∠=∠，另一方面有12BAD BOC ∠=∠，ABC D OS 1S 2S 2S 1OD C B A所以12BOD BOC ∠=∠，即BOD DOC ∠=∠，而BO CO =，故OD BC ⊥．【举一反三】两圆相交于A 、B ，P 是大圆O 上一点，过A 、P 和B 、P 分别作直线交小圆于C 、D ，过O 、P 作直径PE ．求证：PE CD ⊥【答案】证法一：设直线CD 交大圆于F ，连接BA 并延长，则CAB CDB PDF ∠=∠=∠，∴12m DPO BE ∠，()12m PDF CAB AP AB ∠=∠=+．∴()119022m m DPO PDF BE AP AB PABE ∠+∠=++==︒，∴CD PE ⊥．证法二：如图，设CD 交圆O 于G 、F ，连接AB 、PG 、BG ，则ACD ABD ∠=∠．APG ABG ∠=∠．∴ACD APG ABD ABGJ GBP ∠+∠=∠+∠=∠．而PGF ACD APG ∠=∠+∠， ∴PGF GBP ∠=∠．∴PF PG =，∴PE CD ⊥．证法三：如图，设CD 交圆O 于G 、F ，连接BA 并延长．∵CDB CAB ∠=∠，又()12m CDB BG PF ∠=+．()()1122m CAB PA AG BG PG BG ∠++=+，∴PF PG =．∴PE CD ⊥．【例14】如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 是O ⊙上一点，连结BC AC 、，过点C 作直线CD AB ⊥于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交O ⊙于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：2BC BG BF =⋅．PG FEDCBAE FCOD G BAPEPABG D OCF【答案】解法一：连结AF∵AB 是直径，∴90ACB AFB ∠=∠=︒，∵CD AB ⊥，∴2BC BD AB =⋅，90BDG ∠=︒∴BDG BFA ∆∆∽，∴BD BGBF BA=， ∴BG BF BD BA ⋅=⋅， ∴2BC BG BF =⋅．解法二：延长AG 交O ⊙于H ，∵AG BD ⊥，且BD 是直径，∴AB BH =， ∴BAG C ∠=∠，∵ABG CBA ∠=∠，∴ABG CBA ∆∆∽， ∴AB BG CB BA=，即2AB BG BC =⋅．【举一反三】如图，已知：在O ⊙中，直径4AB =，点E 是OA 上任意一点，过E 作弦CD AB ⊥，点F 是BC 上一点，连接AF 交CE 于H ，连接AC CF BD OD 、、、． ⑴ 求证：ACH AFC ∆∆∽；⑵ 猜想：AH AF ⋅与AE AB ⋅的数量关系，并说明你的猜想； ⑶ 探究：当点E 位于何处时，:1:4AEC BOD S S ∆∆=？并加以说明．【解析】⑴ ∵AB 是直径，且AB CD ⊥，∴AC AD =，∴AFC ACD ∠=∠，∵CAH FAC ∠=∠，∴ACH AFC ∆∆∽． ⑵ AH AF AE AB ⋅=⋅解法一：由⑴ACH AFC ∆∆∽可得：2AC AH AF =⋅，连结BC ，∵C 在O ⊙上，∴90ACB ∠=︒，又CD AB ⊥，∴2AC AE AB =⋅， ∴AH AF AE AB ⋅=⋅．解法二：连结FB∵F 在O ⊙上，∴90AFB ∠=︒，又EAH FAB ∠=∠，∴AEH AFB ∆∆∽，∴AE AHAF AB=，即AH AF AE AB ⋅=⋅． ⑶ 12AEC S AE CE ∆=⋅，12BOD S BO DE ∆=⋅，∵:1:4AEC BOD S S ∆∆=，∴112142AEC BOD AE CE S AE S BO BO DE ∆∆⋅===⋅，∵4AB =，∴122OB AB ==， ∴1142AE OB ==，∴当12AE =时，:1:4AEC BOD S S ∆∆=．【答案】见解析【例15】如图，AB ，AC ，AD 是圆中的三条弦，点E 在AD 上，且AB AC AE ==．请你说明以下各式成立的理由：（1）2CAD DBE ∠=∠；（2）22AD AB BD DC -=⋅．【解析】（1）如图，连接BC ，∵AB AC AE ==， ∴52∠=∠，236∠+∠=∠．又45623∠+∠=∠=∠+∠， ∴43∠=∠．而143∠=∠+∠，∴124∠=∠．即2CAD DBE ∠=∠．（2）设BC 与AD 的交点为G ， ∵25∠=∠，BAG DAB ∠=∠，∴BAG DAB ∆∆∽，∴2AB AG AD =⋅． ∴222AD AB AD AG AD -=-⋅ ()AD AD AG =-AD DG =⋅．又∵5ADC ∠=∠，1DBG ∠=∠， ∴BDG ADC ∆∆∽． ∴DB DG AD DC=，AD DG BD DC ⋅=⋅． ∴22AD AB BD DC -=⋅．【举一反三】在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，点O 、H 分别是ABC ∆的外心、垂心．点D 、E分别在边BC 、AB 上，使得BD BH =，BE BO =，已知1BO =．求B D E ∆的面积．【解析】如图，作ABC ∆外接圆的直径AF ，联结CF 、BF 、CH ．因为BH AC ⊥，FC AC ⊥，所以，BH FC ∥．同理，CH FB ∥．E DC BAG654321A BCDE 图 12HOFE DCBA故四边形BHCF 是平行四边形．又因FO CO =，60AFC ABC ∠=∠=︒ 所以，FOC ∆是正三角形．于是，BD BH CF CO BO BE =====．故BDE ∆也是正三角形．由已知1BO =，知BDE S ∆=。

人教版九年级数学上册24.1圆的有关性质—垂径定理(复习)

典型例题
二、填空题
5、如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，
连接OP，若OP=4，∠P=30°，则弦AB的长为_______。
H
6、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3。将其绕点
B顺时针旋转一周，则分别以BA、BC为半径的圆形成
一个圆环。该圆环的面积为_______。
7、如图，⊙M 与x轴交于A，B 两点，与y轴交于C，D 两点，
h+d=r 或h-d=r
r2
d2
a 2
2
O
特别提示:若已知h或d、a、r中两个量，利
用垂径定理和勾股定理，设适当的未知数，
用方程（组）的数学思想列方程（组）求解
B B
典型例题一、概念辨析 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦。 ②平分弦的直线必垂直弦。平分弦的直线有无数条。 ③垂直于弦的直径平分这条弦。 ④平分弦的直径垂直于这条弦。如果弦是直径会怎样 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径。？垂直平分线是直线
二、图形语言：（如右图）
C
三、几何推理语言：
∵ CD是直径，AE=BE,
∴CD⊥AB，
A⌒C=B⌒C,
A⌒D =B⌒D.
·O
AE D
知二推三
一、文字语言：对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个。简记：“知二推三”
①经过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）；
(2)如图，连接 AC，过点 G 作 GM⊥AC 于点 M.∵AG＝2，OG＝1，∴∠GAO＝ 30°，∴∠AGO＝60°.∵GC＝GA，∴∠GCA＝∠GAC＝12∠AGO＝30°，∴MG＝12AG ＝1.在 Rt△AMG 中，AM＝ AG2－MG2＝ 3 .∵CF⊥AE，GM⊥AC，∴AM＝CM ＝MF，∴点 A、F、C 在以点 M 为圆心的⊙M 上，∴当点 F 在 MG 的延长线上时， FG 的长最小，最小值＝FM－GM＝ 3－1.即 FG 的最小值为 3－1.

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人教版九年级数学 24.1 圆的有关性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图所示的圆规，点A 是铁尖的端点，点B 是铅笔芯尖的端点，已知点A 与点B 的距离是2 cm ，若铁尖的端点A 固定，将铅笔芯尖的端点B 绕点A 旋转一周，则作出的圆的直径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．4 cmD ．π cm2. 如图，AB是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则下列结论正确的是( )A ．OE ＝BEB.BC ︵＝BD ︵ C ．△BOC 是等边三角形D ．四边形ODBC 是菱形3. 如图，AB是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( )A ．51°B ．56°C ．68°D ．78°4. 如图，OA是⊙O 的半径，B 为OA 上一点(不与点O ，A 重合)，过点B 作OA的垂线交⊙O 于点C .以OB ，BC 为边作矩形OBCD ，连接BD .若BD ＝10，BC ＝8，则AB 的长为( )A ．8B ．6C ．4D ．25. 在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝3∠COD (∠COD <60°)，则劣弧AB ，劣弧CD 的大小关系是( ) A.AB ︵＝3CD ︵B.AB ︵>3CD ︵C.AB ︵<3CD ︵D ．3AB ︵<CD ︵6. 如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为( )A. 5 B ．2 5 C ．3 D ．2 37. 如图，AB 是⊙O的直径，弦CD ⊥AB 于点E.若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的长是( )A.7 B ．27 C ．6 D ．88. 如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于点B ，C ，连接AC ，BC.若∠ABC ＝54°，则∠1等于( )A ．36°B ．54°C ．72°D ．73°9. 如图，在⊙O 中，AB ︵所对的圆周角∠ACB ＝50°，若P 为AB︵上一点，∠AOP ＝55°，则∠POB 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°10. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C ＝30°，⊙O 的半径为5.若P 是⊙O上的一点，在△ABP 中，PB ＝AB ，则PA 的长为( )A ．5 B.5 32C ．5 2D ．5 3二、填空题（本大题共8道小题） 11. 2018·孝感已知⊙O 的半径为10 cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是________cm.12. 2018·毕节如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为半圆的三等分点，CE ⊥AB 于点E ，则∠ACE 的度数为________．13. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(3，0)，⊙M 的半径为2，过点M 的直线与⊙M 的交点分别为A ，B ，则△AOB 的面积的最大值为________，此时A ，B 两点所在直线与x 轴的夹角等于________°.14. 如图所示，OB ，OC是⊙O 的半径，A 是⊙O 上一点．若∠B ＝20°，∠C ＝30°，则∠A ＝________°.15. 如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ，若∠C ＝25°，则∠D ＝________°.16. 如图所示，动点C 在⊙O 的弦AB 上运动，AB ＝23，连接OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为________．17. 如图，圆内接四边形ABCD 中两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝________°.18. 如图所示，在半圆O 中，AB为直径，P 为AB ︵的中点，分别在AP ︵和PB ︵上取其中点A 1和B 1，再在P A ︵1和PB ︵1上分别取其中点A 2和B 2.若一直这样取下去，则∠A n OB n ＝________°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，以BD 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连接EF. (1)求证：∠1＝∠F ；(2)若AC ＝4，EF ＝2 5，求CD 的长．20.如图，△ABC 和△ABD 都是直角三角形，且∠C ＝∠D ＝90°.求证：A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上.21. (2019•包头)如图，在⊙O 中，B 是⊙O 上的一点，120ABC ∠=︒，弦AC =弦BM 平分ABC ∠交AC 于点D ，连接MA MC ，． (1)求⊙O 半径的长； (2)求证：AB BC BM +=．22. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为半圆ACB ︵上的动点(不与点A ，B 重合)，过点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，则点P 的位置有何规律？请证明你的结论．人教版九年级数学 24.1 圆的有关性质-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】C2. 【答案】B[解析] AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，由垂径定理可以得到CE ＝DE ，BC ︵＝BD ︵，AC ︵＝AD ︵.但并不一定能得到OE ＝BE ，OC ＝BC ，从而A ，C ，D 选项都是错误的．故选B.3. 【答案】A[解析] ∵BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠EOD ＝34°，∴∠AOE ＝180°－∠EOD －∠COD －∠BOC ＝78°. 又∵OA ＝OE ，∴∠AEO ＝∠OAE ，∴∠AEO ＝12×(180°－78°)＝51°.4. 【答案】C5. 【答案】A[解析] 把∠AOB 三等分，得到的每一份角所对的弧都等于CD ︵，因此有AB ︵＝3CD ︵.6. 【答案】D[解析] 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA .根据题意，得OD ＝12OA ＝1.再根据勾股定理，得AD ＝ 3.根据垂径定理，得AB ＝2 3.7. 【答案】B[解析] 连接OC ，则OC ＝4，OE ＝3.在Rt △OCE 中，CE ＝OC2－OE2＝42－32＝7.因为AB ⊥CD ，所以CD ＝2CE ＝2 7.8. 【答案】C9. 【答案】B10. 【答案】D[解析] 如图，连接OB ，OA ，OP ，设OB 与AP 交于点D.由PB＝AB 可知PB ︵＝AB ︵，从而可知OB ⊥AP.运用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”及“同圆的半径相等”可知△OAB 为等边三角形，在Rt △OAD 中，运用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理列方程可求得AD 的长，从而可求出AP 的长为5 3.故选D.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】2或14 [解析] ①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥CD 于点F ，交AB 于点E ，如图①， ∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AE ＝8 cm ，CF ＝6 cm. ∵OA ＝OC ＝10 cm ， ∴EO ＝6 cm ，OF ＝8 cm ， ∴EF ＝OF －OE ＝2 cm ；②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥CD 于点E 并反向延长交AB 于点F ，如图②，∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AF ＝8 cm ，CE ＝6 cm. ∵OA ＝OC ＝10 cm ， ∴OF ＝6 cm ，OE ＝8 cm ， ∴EF ＝OF ＋OE ＝14 cm.∴AB 与CD 之间的距离为2 cm 或14 cm.12. 【答案】30°[解析] 如图，连接OC .∵AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝60°.∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形， ∴∠A ＝60°.∵CE ⊥OA ，∴∠AEC ＝90°， ∴∠ACE ＝90°－60°＝30°.13. 【答案】6 90 [解析] ∵AB 为⊙M 的直径，∴AB ＝4.当点O 到AB 的距离最大时，△AOB 的面积最大，此时AB ⊥x 轴于点M ， ∴△AOB 的面积的最大值为12×4×3＝6，∠AMO ＝90°. 即此时A ，B 两点所在直线与x 轴的夹角等于90°.14. 【答案】50[解析] 连接OA ，则OA ＝OB ，OA ＝OC ，∴∠OAB ＝∠B ，∠OAC ＝∠C ，∴∠BAC ＝∠OAB ＋∠OAC ＝∠B ＋∠C ＝20°＋30°＝50°.15. 【答案】65[解析] ∵∠C ＝25°，∴∠A ＝∠C ＝25°.∵⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ， ∴AB ⊥CD ，∴∠AED ＝90°， ∴∠D ＝90°－25°＝65°.16. 【答案】3 [解析] 如图，连接OD ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝BH＝12AB ＝ 3.∵CD ⊥OC ，∴CD ＝OD 2－OC 2.∵OD 为⊙O 的半径，∴当OC 最小时，CD 最大．当点C 运动到点H 时，OC 最小，此时CD ＝BH ＝3，即CD 的最大值为 3.17. 【答案】40[解析] ∵∠BCD ＝180°－∠A ＝125°，∠CBF ＝∠A ＋∠E ＝85°，∴∠F ＝∠BCD －∠CBF ＝125°－85°＝40°.18. 【答案】(902n －1)[解析] 当n ＝1时，∠A 1OB 1＝90°；当n ＝2时，∠A 2OB 2＝90°2＝45……所以∠A n OB n ＝(902n －1)°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：(1)证明：如图，连接DE. ∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠DEB ＝90°，即DE ⊥AB. 又∵E 是AB 的中点， ∴AD ＝BD ，∴∠1＝∠B. 又∵∠B ＝∠F ，∴∠1＝∠F.(2)∵∠1＝∠F ，∴AE ＝EF ＝2 5， ∴AB ＝2AE ＝4 5.在Rt △ABC 中，∵AC ＝4，∠C ＝90°， ∴BC ＝AB2－AC2＝8. 设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝8－x. 在Rt △ACD 中，∵∠C ＝90°，∴AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x ＝3，即CD ＝3.20. 【答案】证明：如图，取AB 的中点O ，连接OC ，OD.∵△ABC 和△ABD 都是直角三角形，且∠ACB ＝∠ADB ＝90°，∴OC ，OD 分别为Rt △ABC 和Rt △ABD 斜边上的中线， ∴OC ＝OA ＝OB ，OD ＝OA ＝OB ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．21. 【答案】(1)连接OA OC 、，过O 作OH AC ⊥于点H ，如图1，∵120ABC ∠=︒，∴18060AMC ABC ∠=-∠=︒︒，∴2120AOC AMC ∠=∠=︒， ∴1602AOH AOC ∠=∠=︒， ∵132AH AC ==， ∴2sin60AH OA ==︒，故⊙O 的半径为2．(2)在BM 上截取BE BC =，连接CE ，如图2，∵120ABC ∠=︒，BM 平分ABC ∠，∴60ABM CBM ∠=∠=︒，∵60MBC BE BC ︒∠==，，∴EBC △是等边三角形，∴60CE CB BE BCE ==∠=︒，， ∴60BCD DCE ∠+∠=︒，∵60ACM ∠=︒，∴60ECM DCE ∠+∠=︒，∴ECM BCD ∠=∠，∴6060CAM CBM ACM ABM ∠︒=∠︒=∠=∠=，， ∴ACM △是等边三角形，∴AC CM =，∴ACB MCE △≌△，∴AB ME =，∵ME EB BM +=，∴AB BC BM +=．22. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫360n m 解：P 为半圆ADB ︵的中点．证明：如图，连接OP .∵∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，∴∠PCD ＝∠PCO . ∵OC ＝OP ，∴∠PCO ＝∠OPC ，∴∠PCD ＝∠OPC ，∴OP ∥CD .∵CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ，∴AP ︵＝BP ︵，即P 为半圆ADB ︵的中点．。

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