第二章 量子力学基础知识
量子化学第二章 量子力学基础
都是能量算符的本征值为-3.4 eV 的本征函数，
则这些本征函数是简并的。
27
量子化学 第二章
5. 线性算符
若
(a, b为任意常数)，
则 为线性算符 。
例：
、
、乘实函数 、积分运算 等
,+c
注：若 和 为线性算符，
则
（c1和c2为常数）为线性算符。
28
例1：
量子化学 第二章
线性算符
量子化学 第二章
1900年，普朗克为 了解释黑体辐射现象，引 入一个“离经叛道”的假 设: 黑体吸收或发射辐射 的能量必须是不连续的. 这一重要事件后来被认为 是量子革命的开端.普朗克 为此获1918年诺贝尔物理 学奖.
4
量子化学 第二章
普朗克(Plank)最先提出了能量量子的概念, 指出
黑体是由谐振子构成, 能量为nh (n=1,2,…3, 为
1929年,德布罗意获 诺贝尔物理学奖.
9
量子化学 第二章
1924年，年轻的法国科学家德布罗意受爱因 斯坦“光子学说”的启发，大胆预言实物微粒也有
波动性, 即一个能量为E、动量为 p 的质点同时也
具有波的性质, 其波长 由动量 p 确定, 频率 则
由能量 E 确定 。 ＝ h h p m
＝ E h
不是本征方程 ，为本征方程
23
量子化学 第二章
例4：假设体系的状态波函数为 动能算符 试验证该函数是否为动能算符的本征函数？
证明：
结论：该函数是动能算符的本征函数。
24
量子化学 第二章
Notes: ①在状态下,对力学量Q,若存在本征方程 这表明状态下，力学量Q有确定值q。这就是本征方 程的量子力学意义。
量子力学第二章总结
第二章1.波函数/平面波：（1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。
（2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。
在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子.3.波函数的几率解释/波恩解释： （1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。
由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。
（2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。
4.几率密度: 在t 时刻r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t) ={dW(r,t)/d τ}= C|Ψ(r,t)|25.平方可积： 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C ∫∞|Ψ(r,t)|2d τ= 1 而得常数C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2d τ 若 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ→∞,则 C → 0, 这是没有意义的。
故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。
7.归一化： C ∫∞|Φ(x,y,z,t)|2d τ= 1 （波函数乘以一个常数以后，并不改变空间各点找到粒子的概率，不改变波函数的状态） C = 1/∫∞|Φ(x,y,z,t)|2d τ 现把上式所确定的C 开平方后乘以Φ，并以Ψ表示所得函数： Ψ(x,y,z,t)=C ½Φ(x,y,z,t) 在t 时刻 在（x,y,z ）点附近单位体积内找到粒子的概率密度是： ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|2故把（1）式改写成 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ=1 把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。
量子力学_第二章_线性谐振子
其中 2
2E
此式是变系数 二阶常微分方程
（2）求解
d 2 [ 2 ] ( x ) 0 2 d
1. 渐近解
为求解方程，我们先看一下它的渐 近解，即当 ξ→±∞ 时波函数 ψ的行为。在此情况下，λ<< ξ2， 于是方程变为：
d 2 0 2 d
为此考察相邻 两项之比：
2
bk 2 k 2 2k 1 2 (k 1)(k 2) bk k
k
2 2 k
exp[ 2 ] 1
1 !
4
2!
k 2
k
( )!
k 2
k 2
( 1)!
考察幂级数exp[ξ 2}的 展开式的收敛性
§2.7 线性谐振子
（一）引言
l
（1）何谓谐振子 （2）为什么研究线性谐振子
l
l
l
（二）线性谐振子
（1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式
l
l
l
（一）引言
（1）何谓谐振子
d2x 2 kx dt
其解为 x = 简谐振动，
在经典力学中，当质量为 的粒 子，受弹性力F = - kx作用，由牛 顿第二定律可以写出运动方程为：
2
欲验证解的正确性， 可将其代回方程，
2 d d 2 / 2 e / 2 e d d
其解为：ψ∞ =exp[±ξ2/2]
ξ2 >> ± 1
d d 2 d [ 2 1] 2 [ ] 2 d d d
量子力学第二章
ˆ F r r
ˆ 就称 r 为算符 F 相应本征值 的本征函数
2、本征方程的解 简并
（1）分离解：
ˆ F 本征值 本征函数
1 2
1
2
2、连续解
ˆ F
3、简并、非简并 非简并：一个本征值 m 对应一个本征函数
例题（1 p x是否是厄米算符？(x , 0, 0) ：）ˆ
(全微分
d ( * ) *
*
x
dx (
x
)* dx )
ˆ dx * ( i d ) dx Px dx i d ( * ) ( i ) ( i ( * ) (i x
z
2 2
2 ma
2
(1,2,1)
6 2 E111
121
8 a
3
sin
a
2 a
y sin
a
z
(2,1,1)
当能量次低时，发生3重简并
211
8 a
3
sin
2 a
x sin
a
y sin
a
z
例： 绕定轴转动的刚体称为平面转子，假设其转动惯量 用 I 表示，转角用 表示，则其哈密顿算符表示为 ，试求算符 的本征值和本征函数。
4、算符对易
BA ˆˆ ˆˆ AB ˆˆ BA ˆ ˆ A、 B对易 ˆ ˆ A、 B不对易
5、单位算符
ˆ I
例题: （ ） F d , 1 ˆ
量子力学_第二章_粒子流密度
(9)
2 0
sin n xdx
=
cos n xdx
( n 1)!! n!! 2
n为正偶数 n为正奇数
2 0
(10)
(n 1)!! n!! a0 2 sin ax 0 x dx a0 2
量子力学常用积分公式
(11)
0
e ax x n dx
(4)
x sin axdx
1 1 sin ax x cos ax a a2
2x 2 x sin ax ( 2 ) cos ax a a2 a
2
(5)
x
2
sin axdx
量子力学常用积分公式 (6)
x cos axdx
2
1 x cos ax sin ax a a2
同理可得量子力学 的电荷守恒定律：
量子力学的质量 J 0 守恒定律 t | ( r , t ) |2 i e Je 0 J J ( ) t 2
在空间闭区域τ 中将上式积分，则有：
2 i （ ）d [ ]d t 2 i （ ）d [ ]d t 2
t
闭区域τ 上找到粒 子的总几 率在单位 时间内的 增量 其微分形式与 流体力学中连 续性方程的形 式相同
表明电荷总量 不随时间改变 质量密度 和 质量流密度矢 量
e e e | (r , t ) | 2 i J e eJ e ( ) 2
电荷密度 和 电流密度矢量
（二）再论波函数的性质
量子力学基础
量子力学基础
量子力学是描述微观粒子行为的物理学理论。
它基于几个重要的基
本概念：
1. 粒子的波粒二象性：根据量子力学，微观粒子（如电子、光子等）既具有波动特性也具有粒子特性。
这意味着粒子的运动和行为可以通
过波动的方式来描述。
2. 不确定性原理：由于波粒二象性，确定粒子的位置和动量同时存
在的精确值是不可能的。
不确定性原理表明，我们无法同时准确测量
粒子的位置和动量，只能得到它们的概率分布。
3. 波函数：波函数是描述量子系统状态的数学函数。
它包含了粒子
的所有可能位置和动量的信息。
根据波函数，可以得出粒子的概率分布。
4. 算符和观测量：在量子力学中，物理量（如位置、动量、能量等）被表示为算符，而不是直接的数值。
物理系统的状态和性质可以通过
算符的作用来描述和测量。
5. 薛定谔方程：薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了量子系
统的时间演化。
它通过波函数的时间导数和能量算符之间的关系来表示。
量子力学的基础原理提供了一种独特而全面的方式来理解微观世界
的行为。
它已经在许多领域获得了成功应用，如原子物理、核物理、
量子化学和量子计算等。
量子力学第二章知识点
量子力学第二章知识点基本概念波粒二象性量子力学中的粒子既可以表现出粒子性，也可以表现出波动性。
这种既是粒子又是波动的性质被称为波粒二象性。
波函数波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数。
波函数的模的平方表示在某一位置发现粒子的概率密度。
叠加原理量子力学中，两个波函数的线性叠加仍然是一个有效的波函数。
这个原理被称为叠加原理。
量子态所有可能的状态（波函数）构成了量子力学中的量子态。
一个量子态可以通过线性叠加得到另一个量子态。
算符和测量算符算符是描述量子系统性质变化的数学操作。
在量子力学中，算符通常用来描述物理量的测量和演化。
算符的本征值和本征态对于一个算符，它的本征值是测量该物理量时可能得到的值；而本征态是对应于这些本征值的一组特定的波函数。
观测量和平均值观测量是指用来测量物理量的实际实验装置，而平均值则是对同一量子态进行多次测量得到的结果的平均值。
不确定性原理不确定性原理是量子力学的基本原理之一，它描述了在某些物理量的测量中，有些对应物理量无法同时精确确定的限制。
氢原子壳层和轨道氢原子中，电子围绕原子核运动的轨道被称为壳层。
氢原子的壳层用主量子数 n 来标记。
能级和能量氢原子中电子的能量是量子化的，称为能级。
能级由主量子数 n 决定，能级越高，能量越大。
轨道角动量氢原子中，电子的轨道运动导致了其具有轨道角动量。
轨道角动量用量子数 l 来标记。
磁量子数氢原子中，轨道角动量的分量在某一方向上的投影用磁量子数 m 来标记。
自旋和电子态自旋自旋是粒子固有的一种角动量，与粒子的旋转运动无关。
电子具有自旋角动量。
自旋量子数自旋量子数用 s 来标记，对于电子，其自旋量子数为 1/2。
自旋态自旋态是描述粒子自旋状态的波函数。
对于电子，自旋态可以是自旋向上的态，记作|↑⟩，也可以是自旋向下的态，记作|↓⟩。
自旋磁量子数自旋磁量子数用 m_s 来标记，对于电子，其自旋磁量子数可以是 1/2 或 -1/2。
总结本文介绍了量子力学第二章的知识点，包括波粒二象性、波函数、叠加原理、量子态、算符和测量、算符的本征值和本征态、观测量和平均值、不确定性原理、氢原子的壳层和轨道、能级和能量、轨道角动量、磁量子数、自旋和电子态等内容。
第二章 量子力学基础知识
第二讲 绪论课的主要目的是让同学们了解结构化学的大概情况，并在学习方法和重视程度上有所准备。
下面讲些预备知识。
第二章 量子力学基础知识 关于经典物理学，我们早有基础，为什么有了经典物理后还要有量子力学呢？2.1 量子力学的提出2.1.1 经典物理学的困难 经典物理学包括牛顿力学以及在电磁光热等方面建立起的电学、磁学、电磁学、电动力学、光学和热力学等一些学科，这些学科早在19世纪就比较成熟了，到了19世纪末就建立了完整的体系，对于当时所有的宏观物理现象，都可以进行解释，甚至连哈雷彗星多少年可以回归一次，都可以精确地计算出来，所以当时有很多科学家尤其是物理学家认为：物理学的大厦已经建成了，后辈物理学家只要作一些修修补补的工作就行了，如焦耳劝普朗克改行，开尔文在20世纪新年献词中讲到"在清朗洁净的的物理太空中，还只剩下两朵乌云，一朵是麦克尔逊的实验，一朵是黑体辐射，到了20世纪初又发现了光电效应和氢原子光谱等难以用经典物理学解释的现象。
2.1.2 氢原子光谱与波尔学说 光谱：光之谱线，类歌谱。
当用电弧、电火花灼热物质时，即发射谱线 特征谱线 进行元素分析。
H原子光谱是线状光谱，无法用经典物理学来解释。
按经典物理学，H原子核外电子的运动为带电体的圆周运动，应不断有辐射能放出，即为连续光谱，另外应不断放出能量。
最终电子运动不足以克服核的吸引能而掉于核上，这均与实验事实不符合。
1913年丹麦年仅28岁的波尔提出了学说解释，1922年获得诺贝尔奖。
波尔学说的基本要点：(1) 电子于核外只能在某些特许的轨道上运动，且不吸放E（不吸放能量，能量不会降低，则电子不会掉在核上）。
(2)只有在不同的轨道间跃迁时才吸放能量，且有（E不连续，υ不连续，λ不连续 线性光谱） 此假说对H光谱得到了满意的解释。
对别的有误差，说明这种圆形轨道理论没有普遍意义，后来又提出了索莫菲椭圆形轨道理论，结果还是没有普遍意义，这就说明要很好地解决微观世界的问题，必须完全摆脱经典物理的束缚，去建立新的学说，而随后发展起来的量子力学就是这样一种学说。
量子力学概论第2章 定态薛定谔方程
子的基态)，从而我们可以反复应用升阶算 符生成激发态,20 每升一步增加能量ћω ψn(x)=An(a+)nψ0(x)，和En=n+12ћω， (2.61)
例题2.4 求出谐振子的第一激发态。 解：利用式2.61
ψ1(x)=A1a+ψ0=A12ћmω-ћddx+mωxmωπћ1/4emω2ћx2=A1mωπћ1/42mωћxe-mω2ћx2.(2.62)
我们可以直接用“手算”对它进行归一化：
∫ψ12dx=A12mωπћ2mωћ∫+∞-∞x2e-mωћx2dx=A12, 恰好，A1=1。 我们不想用这种方法去计算ψ50(那需要应用升阶算符
(式２.５)称为定态(time-independent)薛定谔方程； 如果不指定V(x)我们将无法继续求它的解。
Ψ(x，t)=∑∞n=1cnψn(x)e-iEnt/ћ=∑∞n=1cnΨn(x， t).(2.17)
尽管分离解自身是定态解，
Ψn(x,t)=ψn(x)e-iEnt/ћ,(2.18)
即，概率和期望值都不依赖时间，但是需要强调的 是，一般解(式2.17)并不具备这个性质；因为不同 的定态具有不同的能量，在计算Ψ2的时候，含时指 数因子不能相互抵消
f(x)=∑∞n=1cnψn(x)=2a∑∞n=1cnsinnπax.(2.32)
例题2.2 在一维无限深方势阱中运动的粒子，其初始波函数 是Ψ(x,0)=Ax(a-x), (0≤x≤a),A是常数(如图2.3)。设在势阱外 Ψ=0。求Ψ(x,t)。
解：首先需要归一化波函数Ψ(x,0)求出A 1=∫a0Ψ(x,0)2dx=A2∫a0x2(a-x)2dx=A2a530， 所以A=30a5. 第n项的系数(式2.37)是 cn=2a∫a0sinnπax30a5x(a-x)dx
量子力学第二章
ν , λ 一定
Ψ(x, t) = Ψ e 0
i − ( Et− px ⋅x) ℏ
推广 ：三维自由粒子波函数
二、波函数的物理意义 波函数的物理意义
Ψ(r , t ) = Ψ0e
i − ( Et− p⋅r ) ℏ
如何理解波函数和粒子之间的关系？ 如何理解波函数和粒子之间的关系？ 1 物质波就是粒子的实际结构？即三维空间连续分 物质波就是粒子的实际结构？ 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。再 衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性， 者，衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性，抹煞 了粒子性。 了粒子性。 2 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。单 个电子就具有波动性。 个电子就具有波动性。 3 波函数的统计解释（Born 1926）:波函数在空间 波函数的统计解释（ ） 波函数在空间 某点的强度（振幅绝对值的二次方） 某点的强度（振幅绝对值的二次方）和该点找到粒子 的几（ 率成比例。即物质波是几率波。 的几（概）率成比例。即物质波是几率波。
2 2 x 2
2 2
i ( p⋅r − Et ) ℏ
2 px = − 2Ψ ℏ
pz2 ∂ 2Ψ = − 2Ψ 2 ∂z ℏ
2
p ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ 2 + 2 + 2 = ∇ ψ = − 2Ψ 2 ℏ ∂x ∂y ∂z
由
p2 E= 2µ
(2.3-3)
得
i i p2 i − ℏ2 2 ∂Ψ Ψ =− = − EΨ = − ∇Ψ ℏ ℏ 2µ ℏ 2µ ∂t
量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程
x px
t E J
二.量子力学中的测量过程 1.海森伯观察实验 2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响 不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上 它们就不可能同时具有确定的值
i p
p2 2
对自由粒子：
2 E p
2
∴
2 i 2 t 2
3.力场中运动粒子的波动方程 能量关系：
E p2 U (r , t ) 2
2 i 2 U (r , t ) t 2
4.三个算符
2 H 2 U 2
1。与宏观粒子运动不同。
2。电子位置不确定。
3。几率正比于强度，即 ( r , t )
2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的 强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒 子的几率成正比。
2 数学表达： (r , t ) | (r , t ) |
归一化：
2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
3 2 i ( pr Et )
e
(r ) p
1 (2)
3 2
e
i pr
(r , t )
( r ) dp dp dp x y z c( p, t ) p
其中：
而：
i Et c( p, t ) c( p) e
而在晶体表面反射后的晶电子状态
状态的迭加。
p
为各种值的
量子力学基础入门
形式二：
t E
2
若粒子在能量状态E 只能停留时间Δt ，那么这段时间内 粒子的能量状态不能完全确定，只有当粒子的停留时间为无 限长时(定态)，它的能量状态才是完全确定的(ΔE = 0)。
由于粒子的波动性，它在客观上不能同时具有确定的坐 标位置位置和相应的动量。
CHENLI
2012年的两位物理学奖获得者能够映射到当外 界环境参与时量子猫的状态。他们设计了创新 实验，详细说明观测这一行为实际上如何导致 量子状态的崩溃并失去其叠加特性的。阿罗什 和 维因兰德并没有用猫，而是将势阱中的离子
放入薛定谔假设的叠加态中。这些量子物体尽 管宏观上没有猫那样的形状，但相对于量子尺 度仍然足够大。
利用相似的方法，阿罗什和他的团队可以数空腔内的光子。光子不容易数，任何和外 界接触就会破坏。借助这个方法，阿罗什和他的团队设计后期方案一步一步实现单个量子 状态的测量。
CHENLI
CHENLI
量子力学悖论
量子力学描绘了一个肉眼无 法观测的微观世界，很多与我们 的期望和在经典物理中的经验相 反。
量子世界本身具有不确定性。 例如叠加态，一个量子可以有多 重形态。我们通常不会认为一块 大理石同时是“这样”也是“那 样”，除非是一块量子大理石。 叠加态的大理石只能确切地告诉 我们大理石是每一种形态的概率。
1929年,德布罗意获 诺贝尔物理学奖.
1924年11月，德布罗意在其博士论文里首次提出所有物 质粒子具有波粒二象性的假设。
质量为m 的粒子，以速度 v 匀速运动时，一方面可以用 能量E 和动量P 对它作粒子的描述，另一方面也可以用频 率ν，波长λ作波的描述，其关系为：
E h
p
h
/
h h
量子力学基础
量子力学基础量子力学是现代物理学的基石之一，它描述了微观世界中粒子的行为和性质。
本文将介绍量子力学的基础知识，包括波粒二象性、波函数、测量和不确定性原理等内容。
一、波粒二象性量子力学的核心观念之一是波粒二象性，即物质既可以表现出粒子的离散性质，又可以表现出波的波动性质。
这一观念由德布罗意提出，他认为任何物体都具有波函数。
二、波函数与波动方程波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。
它可以用来计算粒子的位置、动量和能量等物理量。
根据薛定谔方程，波函数满足定态和非定态的波动方程。
三、量子力学中的测量在量子力学中，测量是指对粒子某个物理量进行观测并得到相应的结果。
与经典物理学不同的是，量子物理学中的测量结果是随机的，只能得到概率分布。
四、不确定性原理不确定性原理是量子力学中的重要概念，由海森堡提出。
不确定性原理指出，在给定的时刻，不能同时准确测量一个粒子的位置和动量。
精确测量其中一个物理量，将会导致对另一个物理量的测量结果存在不确定性。
五、量子力学中的算符在量子力学中，算符是用来描述物理量的操作。
比如，位置算符、动量算符和能量算符等。
根据算符的性质，可以求得粒子的期望值和本征态等信息。
六、量子纠缠和超导量子纠缠是量子力学中的一个重要现象，它描述了两个或多个粒子之间的紧密联系。
超导是一种物质在低温条件下具有零电阻和完全抗磁的特性。
七、量子力学的应用量子力学在许多领域都有广泛的应用，尤其是在量子计算、量子通信和量子传感器等前沿科技领域。
量子力学的发展为人类带来了许多革命性的技术和突破。
八、总结量子力学作为现代物理学的重要理论基础，对我们理解微观世界具有重要意义。
本文介绍了量子力学的基础知识，包括波粒二象性、波函数、测量和不确定性原理等内容。
希望读者通过阅读本文，对量子力学有更深入的了解，并能进一步探索其在科学和技术中的应用前景。
量子力学-第二章-定态薛定谔方程详解
需要注意的是，尽管分离解自身是定态解，
n (x,t) n (x)eiEnt , 其几率和期望值都不依赖时间，但是一般解并不具备这个性质；
因为不同的定态具有不同的能量，在计算时含时指数因子不能相互抵消
2.2一维无限深势阱
0, V ( x)
| x | a | x | a
V(x)
I
II
III
l 求解 S — 方程 分四步： l （1）列出各势域的一维S—方程 l （2）解方程 l （3）使用波函数标准条件定解 l （4）定归一化系数
（三）求解定态问题的步骤
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ(r,t)和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：
（1）列出定态 Schrodinger方程
[
2
2
V ] (r )
E (r )
2
（2）根据波函数三个标准 本征值： 条件求解能量 E 的
E1, E2 , , En ,
本征值问题，得：
i
d dt
f (t) Ef (t)
[
2
2
V
]
(r )
E
(r )
2
f (t ) ~ eiEt /
于是：
(r ,
t
)
(r )e
i
Et
(r ,
t
)
(
r
)e
i
Et
此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写 的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这 种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。
（3）写出定态波函数即得 到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数
量子力学第2章-定态薛定谔方程
量子力学的基础知识
量子力学的基础知识
1.波粒二象性：物质既有粒子性又有波动性，既可以表现为粒子，又可以表现为波。
2.可观察量和算符：量子力学中的物理量称作可观察量，其对应的数学操作符称作算符。
3.薛定谔方程：描述量子系统演化的基本方程，它可以用来计算系统的波函数。
4.波函数：描述量子系统状态的函数，包含了系统所有的信息。
5.不确定原理：由于波粒二象性的存在，同一物理量的不同测量结果有一定的不确定性。
6.量子叠加态和纠缠态：量子系统可以处于多个状态的叠加态，同时这些状态之间可以相互影响并产生纠缠。
7.算符的本征值和本征态：算符作用于某个态时，可以得到一个数值和一个相应的本征态，它们是算符所描述的量子系统的重要特征。
8.量子力学的统计解释：许多量子现象都可以用统计方法来解释和描述。
量子力学第二章
i ( r , t ) A exp ( p r Et )
•不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问 题，以后再予以讨论。
（3）归一化波函数
Ψ(r,t )和CΨ(r,t)所描写状态的相对几率是 相同的，这里的C是常数。因为在 t 时刻，空 间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对几率之 2 2 比是： C ( r1 , t ) ( r1 , t )
波包形状随时间的改变：设(k)是一个很窄的波包,波 数集中在k0附近一个不大范围中.在k0附近对(k) 作泰 勒级数展开 1 d 2 d 2 k k0 k k0 2 k k0 dk k 2 dk k
电子衍射实验
1、戴维逊-革末实验 戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子 束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释， 从而验证了物质波的存在。1937年他们与G. P.汤姆孙一起获 得Nobel物理学奖。
实验装置：
入射电子注
θ
法拉第园 筒
镍单晶
实验现象：实验发现，单
( r , t )
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
• 3个问题？
(1) (2) 是怎样描述粒子的状态呢？ 如何体现波粒二象性的？
(3)
描写的是什么样的波呢？
经典概念中
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
粒子意味着
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
经典概念中 波意味着
我们再看一下电子的衍射实验
量子力学讲义 第二章(2)
•
在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后
， 进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的概 率将 怎样随时间变化。
设描写粒子状态的波函数是： (r , t ) 在时刻t 在r点周围单位体积内粒子出现的概率（概 2 率密度）： ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) | ( r , t ) | （1）
将（2）代入 （1）式中：
一、定态薛定谔方程
i [ 2 U r ] 2m t
（2）
2
2
（1）
i (r )
d f (t ) f (t )[ 2 U r ] 2 m dt 上式两边除以 ( r ) f (t )
（3）
2 i df 1 [ 2 U r ] f dt 2m
j k 其中 i x y z
（称为动量算符）
（向量算符）
问：p x
?
p x i
x
利用关系式(8)、(9)来建立在力场 中粒子波函数所满足的微分方程。 设粒子在力场中的势能为 U r ，则：
2、薛定谔方程：
三、薛定谔方程
2 p 两边乘以 p U r （10） E E U r 2m r , t 2m 2 E i t 代入上式得 i 2 U r 将 t 2m p i （11）
定态的特点 1）粒子的概率密度和概率流密度
与时间无关 因为
2 Et ( r , t ) ( r )e
t
i 2
一、定态薛定谔方程
2 (r )
显然， 0
2）能量具有确定的值 3）各力学量的平均值不随时间变化
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.4.1 波函数与几率
在经典物理学中描述一个客观物体的状态，得多个物理量，但关键是独立的物理量（广义坐标、广义动量），微观粒子在微观世界服从不确定关系，那么该在微观世界用什么来描述呢？引出第一个基本假设。
假设一：
微观体系的状态可用坐标波函数ψ（q，t）来描述，粒子在某一时刻于空间某点出现的几率与波函数绝对值的平方成正比。
2.1.1 经典物理学的困难
经典物理学包括牛顿力学以及在电磁光热等方面建立起的电学、磁学、电磁学、电动力学、光学和热力学等一些学科，这些学科早在19世纪就比较成熟了，到了19世纪末就建立了完整的体系，对于当时所有的宏观物理现象，都可以进行解释，甚至连哈雷彗星多少年可以回归一次，都可以精确地计算出来，所以当时有很多科学家尤其是物理学家认为：物理学的大厦已经建成了，后辈物理学家只要作一些修修补补的工作就行了，如焦耳劝普朗克改行，开尔文在20世纪新年献词中讲到"在清朗洁净的的物理太空中，还只剩下两朵乌云，一朵是麦克尔逊的实验，一朵是黑体辐射，到了20世纪初又发现了光电效应和氢原子光谱等难以用经典物理学解释的现象。
读书以过目成诵为能，最是不济事。——郑板桥
第二讲
绪论课的主要目的是让同学们了解结构化学的大概情况，并在学习方法和重视程度上有所准备。下面讲些预备知识。
第二章 量子力学基础知识
关于经典物理学，我们早有基础，为什么有了经典物理后还要有量子力学呢？
2.1 量子力学的提出
1.3.1 内容
△x、△y、△z--坐标的不确定量
△px、△py、△pz--动量的不确定量
因h/4π与h无量级差别，故不确定关系式可简化为......
此式告诉我们：位置确定，则动量确定
动量确定，则位置就确定
1.3.2 应用
(2) ψ反映了微粒子的全部信息（目前还做不到，以后可以做到）；
(3) ψ的平方表示几率密度。
（时间有余）
读书以过目成诵为能，最是不济事。——郑板桥
1.2.2 实物粒子的波粒二象性
实物粒子是指静止质量不为零的粒子。
粒子性：具有m、E、P运动有轨迹，且服从牛顿方程的性质。
波动性：具有λ、υ，能发生干涉、衍射，且服从波动方程的性质。
波粒二象性：同时具有波性和粒性，有时波性突出，有时粒性明显的性质。
好有一比：
受光的波粒二象性的启发，1924年法国年仅24岁的德布罗依提出了实物粒子具有波粒二象性的假说，这种波叫物质波，即德布罗依波。他认为任何运动着的物体，大至行星，小至电子都有波动性，对于质量为m，速度为v的物体，其动量与波长的关系式为 （） 左边粒性特征，右边波性特征，通过h联系起来。h为定值，λ是否突出，取决于m和v。
类比电磁波，电子波用这一新函数来描述。
(2) 其次，为电磁波之波强，则亦应为电子波之波强。实验知，衍射明显处波强度强，电子出现机会多，故与电子出现的几率成正比。
读书以过目成诵为能，最是不济事。——郑板桥
若对于一个粒子体系进行测量，dw表示t时刻在空间某点（x，y，z）附近（q→△q）小体积元dτ内几率，则有 表示单位体积中的几率--几率密度，如果令k=1（其实k是dτ变大变小）则表示时间t出现在空间一点（x，y，z）的几率或此点附近的几率密度。由此可见，只要给出ψ的具体形式，几率就定了。所谓粒子状态的确定，实质就是几率分布的确定。几率分布等于几率密度的变化
2.1.2 氢原子光谱与波尔学说
光谱：光之谱线，类歌谱。当用电弧、电火花灼热物质时，即发射谱线 特征谱线 进行元素分析。H原子光谱是线状光谱，无法用经典物理学来解释。按经典物理学，H原子核外电子的运动为带电体的圆周运动，应不断有辐射能放出，即为连续光谱，另外应不断放出能量。最终电子运动不足以克服核的吸引能而掉于核上，这均与实验事实不符合。1913年丹麦年仅28岁的波尔提出了学说解释，1922年获得诺贝尔奖。
上述解释是指同一状态下，对于一个电子的行为，每次到达底片上的位置是不能准确给定的，但毕竟是到达亮环处的机会多，到达暗环处的机会少。即波强大的地方电子出现机会多，波强小的地方电子出现机会少，可见电子的粒性不同于宏观物体的粒性，没有运动轨迹，确定的轨道，只有几率分布规律，即不可预测到底在底片上的数量，但可知大体在什么范围。 电子的波性不同与经典的波，不是振动的传播，而是波强与电子出现几率成正比的几率波。
此关系不仅说明二者的不确定性，更主要的是告诉我们，什么体系必须用量子力学来处理，什么体系则不必的判据，此种判断是必要的，因为微粒子不一定在任何情况下都能用量子力学来处理。
例1、 kg m/s m的子弹是否能用经典物理学来处理？
解：就是要看是否服从不确定关系
m/s＜＜
1927年戴维逊-革末的电子衍射实验证实了电子波性的存在。
电子衍射实验如下图所示：
e ）
关于电子的波性，历史上曾有过论争：
一种观点认为，波性是电子本身表现出来的，有一个电子就有一个波动，这样，当一个电子轰击Ni单晶时，在照片上就应该有一个衍射环，否！
q --坐标 t --时间
对于一个粒子： 用直角坐标 q用x、y、z表示
用球极坐标 q用γ、θ、φ表示
同学们可能要问，为什么会想到用波函数描述呢？为什么会把与几率联系在一起呢？此是类比的结果。
(1) 在经典物理学中，通常用一个函数来描述一种运动，如自由落体用，电子有波性，故用波函数来描述，实际有必要性和可能性。
2.2 微观粒子的波粒二象性
2.2.1 光的波粒二象性
光到底是什么，有两个学派：
粒子说（牛顿）认为是粒子--光子
波动说（惠更斯）认为是电磁波
因牛顿名气大，曾一度占上风，最终1905年是爱因斯坦进行了统一，认为光有波粒二象性： 通过普郎克常数联系波性与粒性，那么实物粒子有无波粒二象性呢？
波尔学说的基本要点：
(1) 电子于核外只能在某些特许的轨道上运动，且不吸放E（不吸放能量，能量不会降低，则电子不会掉在核上）。
(2)只有在不同的轨道间跃迁时才吸放能量，且有
（E不连续，υ不连续，λ不连续 线性光谱）
此假说对H光谱得到了满意的解释。对别的有误差，说明这种圆形轨道理论没有普遍意义，后来又提出了索莫菲椭圆形轨道理论，结果还是没有普遍意义，这就说明要很好地解决微观世界的问题，必须完全摆脱经典物理的束缚，去建立新的学说，而随后发展起来的量子力学就是这样一种学说。
，可了解几率密度的相对大小。
由此给出波函数的一个重要性质，ψ与cψ代表同一个状态，这与经典不同。
ψ*是ψ的共轭复数，因几率密度不能是复数。
到此总结两点：
(1)--几率密度
(2) ψ与cψ描述的是同一概念。
关于ψ的物理意义体现于以下三点：
(1) ψ可以描述微观粒子的运动状态；
电子的运动在微观世界可用量子力学来描述，量子力学是描述微观粒子运动规律的基础理论，这些理论是建设在一些基本的基础之上的，值得提出的是，虽这些假设未经严格推导证明，但是是通过大量实验总结出来的，类似热力学中的三定律，是公理，尤其是得到的结论和预言，与实验完全一致。既是如此，要描述微观粒子，就一定要用到这些假设。
为什么微观粒子具有波动性，是因为服从不确定关系。
1.3 不确定关系
在经典物理学中，运动物体在任何时候都有确定的位置和速率，因此宏观物体的状态，能够用坐标和速率准确地表达出来，又由于p=mv，故可用坐标和动量来描述宏观物体的状态。
微观粒子的运动有二象性，不同于宏观物体的运动，显然不可使用描述宏观物体运动状态的方法，如果硬要用坐标和动量来描述微观物体的话，将会发现这种描述会带来不准确性，关于这个问题，1927年海森泊提出了不确定关系式。
2.1.3 量子力学的产生
产生时间说法不一，有人说该从1900年普朗克提出量子论算起（1900年，普朗克45岁，量子化效应，提出能量不连续的观点）。但真正对后来量子力学起较大作用的是1927年布鲁塞尔科学会。（以下是板书）
1900年 普朗克 45岁 量子化效应 1918年获诺贝尔奖
可见，速率的不准确量很小，即可用经典物理学来处理。
例2、 分子中的电子kg m/s m 是否可用经典物理学来处理？
解： m/s
速率无准确值，故应用量子力学来处理。
例3、 真空管中的电子 kg m/s m是否可用经典物理学来处理？
解： m/s
此值本不小，但与v=106相比，应该是比较小的，故可用经典物理学来处理。
例1、 石头 kg m/s m
λ很小可以忽略，故石头的运动波性没有表现出来，粒性是主要的Hale Waihona Puke 例2、 电子 kg m/s
m
值与电子的尺寸相近，其波性自然能表现出来。
显然德布罗依的假设能说明一些问题，但德布罗依的假设遭到其导师的反对，后承蒙爱因斯坦关照才获得博士学位，但当时并没有被实验证实。
1927年 海林柏 26岁 矩阵力学 1932年获诺贝尔奖
薛定谔 40岁 波动力学 1933年获诺贝尔奖
1929年 狄拉克 27岁 相对论量子力学 1933年获诺贝尔奖
量子力学的产生与上述科学家的努力分不开，但更重要的是科学发展的需要和科学实验的基础，此实验基础就是
另一种观点认为，一群电子组成的衍射图是由组成波的电子相互作用的结果。
但实验的结果是多个电子，一个电子的多次行为，都可衍射，可见不是电子相互作用的结果，而是电子的属性。值得注意的是，从衍射实验我们可以看到，照片上有暗环和亮环，从粒性方面看，亮环--有较多的电子到达，暗环几乎没有电子到达；从波动的现象看，亮环处表明波的强度大，暗环处表明波的强度小。这就说明：波强大处电子出现的机会多，波强小处电子出现的机会少。
从不确定关系可得出一个结论和一个推论