17.1勾股定理_(第3课时)勾股定理课件
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2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第3课时应用勾股定理解数学问题课件新版新人教版
网格(每个小正方形的边长均为1)画出相应的△ABC，并求
出它的面积；
【解】△ABC如图①，S△ABC＝ .
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为 a，2 a， a(a＞0)，请利
用图③中的正方形网格(每个小正方形的边长均为a)画出相
应的△ABC，并求出它的面积；
【解】△ABC如图②，可得
∵∠ABC＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°， ∵∠AOB＝90°，
∴OB＝ a，
∴OF＝OB＋BF＝ ，OA＝OC＝ .
∴AC＝CE＝ a.
易得∠PFO＝∠OEM＝90°.
∵点P的坐标为(－2 ，3)，
∴ ＝3，即a＝2.
∴OE＝OC＋CE＝
＝3
（ − ） + 的最小值.
【解】如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作
ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C.则AE的长
即为代数式 + ＋ （ − ） + 的最小值.
过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，得到长方形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，∴EF＝ED＋DF＝3＋2＝5.
∴AE＝ ＋ ＝13，即 +
＋ （ − ） + 的最小值为13.
利用勾股定理探求格点三角形面积
11.[新考法 构图求面积法]问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ， ，
，求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个
∴∠CAD＝45°＝∠ACD.
∴AD＝CD＝2 cm.
出它的面积；
【解】△ABC如图①，S△ABC＝ .
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为 a，2 a， a(a＞0)，请利
用图③中的正方形网格(每个小正方形的边长均为a)画出相
应的△ABC，并求出它的面积；
【解】△ABC如图②，可得
∵∠ABC＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°， ∵∠AOB＝90°，
∴OB＝ a，
∴OF＝OB＋BF＝ ，OA＝OC＝ .
∴AC＝CE＝ a.
易得∠PFO＝∠OEM＝90°.
∵点P的坐标为(－2 ，3)，
∴ ＝3，即a＝2.
∴OE＝OC＋CE＝
＝3
（ − ） + 的最小值.
【解】如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作
ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C.则AE的长
即为代数式 + ＋ （ − ） + 的最小值.
过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，得到长方形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，∴EF＝ED＋DF＝3＋2＝5.
∴AE＝ ＋ ＝13，即 +
＋ （ − ） + 的最小值为13.
利用勾股定理探求格点三角形面积
11.[新考法 构图求面积法]问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ， ，
，求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个
∴∠CAD＝45°＝∠ACD.
∴AD＝CD＝2 cm.
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
13 .由此，可以依照如下方法在
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
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3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
勾股定理(第3课时)课件最新版
x40.25 x 3.75 (尺)
答：湖水深3.75尺.
可用勾股定理建立方程.
0.5 2
x
x+0.5
探究3
执竿进屋 笨人持竿要进屋， 无奈门框栏住竹， 横多四尺竖多二，
没法急得放声哭。 2
有个邻居聪明者， 教他斜竿对两角， 笨人依言试一试， 不多不少刚抵足， 借问竿长多少数，
谁人算出我佩服。x-2
的毅力。所以我们既然选择了，就一定要走下去，不要在有限的时间里，蹉跎无限的光阴。只有如此，到暮年之时，细细回想起来，才不会有年华虚度、韶华易逝的感慨。
4
3C 4 15
你能在数轴上表示出 2 的点吗？ 2呢 ?
用 相 同 的 方 法 作 3 ,4 ,5 ,6 ,7 , . . . . 呢 ?
探究1:
你能在数轴 上画出表示 1 3 的点吗？
2 -1
21 0 1 1 2 25 3
34 67
13 ?
13
12 2 3
? 93
1
2√
13 ?
42
第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理(三）
历史因你而改变 学习因你而精彩
探究1:
你能在数轴上画出表示 1 3 的点吗？
13
2
步骤： 1、在数轴上找到点A,使OA=3;
3
2、作直线l⊥OA,在l上取一点B，使
3A,B以=原2;点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴交于C点，则点C即为表示 13 的点。
当堂达标
1．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高 为．
2 ．长为 的线段是直角边长为正整数 ，
26
.
的直角三角形的斜边
3 ．如图所示，在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则在网格上的三
答：湖水深3.75尺.
可用勾股定理建立方程.
0.5 2
x
x+0.5
探究3
执竿进屋 笨人持竿要进屋， 无奈门框栏住竹， 横多四尺竖多二，
没法急得放声哭。 2
有个邻居聪明者， 教他斜竿对两角， 笨人依言试一试， 不多不少刚抵足， 借问竿长多少数，
谁人算出我佩服。x-2
的毅力。所以我们既然选择了，就一定要走下去，不要在有限的时间里，蹉跎无限的光阴。只有如此，到暮年之时，细细回想起来，才不会有年华虚度、韶华易逝的感慨。
4
3C 4 15
你能在数轴上表示出 2 的点吗？ 2呢 ?
用 相 同 的 方 法 作 3 ,4 ,5 ,6 ,7 , . . . . 呢 ?
探究1:
你能在数轴 上画出表示 1 3 的点吗？
2 -1
21 0 1 1 2 25 3
34 67
13 ?
13
12 2 3
? 93
1
2√
13 ?
42
第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理(三）
历史因你而改变 学习因你而精彩
探究1:
你能在数轴上画出表示 1 3 的点吗？
13
2
步骤： 1、在数轴上找到点A,使OA=3;
3
2、作直线l⊥OA,在l上取一点B，使
3A,B以=原2;点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴交于C点，则点C即为表示 13 的点。
当堂达标
1．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高 为．
2 ．长为 的线段是直角边长为正整数 ，
26
.
的直角三角形的斜边
3 ．如图所示，在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则在网格上的三
《勾股定理》课件
《勾股定理》PPT课件
欢迎来到《勾股定理》PPT课件！跟随我一起探索这一古老而神奇的数学定理， 了解它的定义、历史、应用和证明方法。
什么是勾股定理
勾股定理是解决直角三角形边长关系的数学定理。它关联了三角形的三边， 为许多现实生活和科学领域提供了重要的应用基础。
勾股定理的历史发展
1
中国古代
古代中国数学家首次发现了勾股定理的特殊情形，应用于土地测量和农业。
于理解。
归纳法证明
利用归纳法和数学归纳原理，证明勾股定理 对于任意正整数的直角三角形都成立。
代数法证明
运用代数运算和平方差公式，将直角三角形 的边长代入公式，推导出勾股定理的等式。
勾股定理与形的关系
勾股定理与圆形密切相关，可推导出圆的周长、半径、直径等与直角三角形 边长之间的关系。
勾股定理的推广
勾股定理在直角三角形的应用
勾股定理可用于求解直角三角形的任一边长，或计算三角形的周长、面积和 角度，帮助解决实际问题，如建筑、航海和测绘。
勾股定理的证明方法
1
几何法证明
2
通过构图和几何推理，演示直角三角形中各 条边与角度之间的关系，从而证明勾股定理。
3
巧妙证明
4
介绍一些有趣的巧妙证明方法，如使用数学 图形和变换，让勾股定理变得更加直观和易
2
古希腊
古希腊数学家毕达哥拉斯将已知的勾股定理完善为通用公式，为后世的发展奠定 了基础。
3
现代
勾股定理在现代数学和科学领域扮演着重要角色，为三角学、几何学和物理学等 提供了关键工具。
勾股定理的定义
勾股定理表明在一个直角三角形中，三条边的长度满足a²+ b²= c²，其中c是斜边，a和b是两个直角边。
欢迎来到《勾股定理》PPT课件！跟随我一起探索这一古老而神奇的数学定理， 了解它的定义、历史、应用和证明方法。
什么是勾股定理
勾股定理是解决直角三角形边长关系的数学定理。它关联了三角形的三边， 为许多现实生活和科学领域提供了重要的应用基础。
勾股定理的历史发展
1
中国古代
古代中国数学家首次发现了勾股定理的特殊情形，应用于土地测量和农业。
于理解。
归纳法证明
利用归纳法和数学归纳原理，证明勾股定理 对于任意正整数的直角三角形都成立。
代数法证明
运用代数运算和平方差公式，将直角三角形 的边长代入公式，推导出勾股定理的等式。
勾股定理与形的关系
勾股定理与圆形密切相关，可推导出圆的周长、半径、直径等与直角三角形 边长之间的关系。
勾股定理的推广
勾股定理在直角三角形的应用
勾股定理可用于求解直角三角形的任一边长，或计算三角形的周长、面积和 角度，帮助解决实际问题，如建筑、航海和测绘。
勾股定理的证明方法
1
几何法证明
2
通过构图和几何推理，演示直角三角形中各 条边与角度之间的关系，从而证明勾股定理。
3
巧妙证明
4
介绍一些有趣的巧妙证明方法，如使用数学 图形和变换，让勾股定理变得更加直观和易
2
古希腊
古希腊数学家毕达哥拉斯将已知的勾股定理完善为通用公式，为后世的发展奠定 了基础。
3
现代
勾股定理在现代数学和科学领域扮演着重要角色，为三角学、几何学和物理学等 提供了关键工具。
勾股定理的定义
勾股定理表明在一个直角三角形中，三条边的长度满足a²+ b²= c²，其中c是斜边，a和b是两个直角边。
八年级下册《17.1 勾股定理的应用》课件
A
D
E
B
FC
RtΔABC中,AB比BC多2,AC=6,如图折 叠,使C落到AB上的E处,求CD的长度,
C D
B
A
E
例5（1）已知直角三角形的两边长分别是3和4,
则第三边长为 5 或. 7
（2）三角形ABC中,AB=10,AC=17，BC边上的 高线AD=8,求BC 21 或9
8
6
15
A
8
17
10
如果梯子的顶端A沿墙
C
下滑0.5m,那么梯子底
端B也外移0.5m吗?
从题目和图形中， 你能得到哪些信息？
O
B
D
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火， 了 解 到 每 层 楼 高 3.5m ， 消 防 队 员 取 来 7.3m 长的云梯，若梯子的底部离墙基的水平距离 是4m，请问消防队员能否进入三楼灭火？
6
DB
C
15
练习5（1）已知直角三角形两边的长分别
是3cm和6cm，则第三边的长是
.
（2）△ABC中，AB=AC=2，BD是AC边 上的高，且BD与AB的夹角为300，求CD 的长.
A
D
A
D
B
CB
C
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长,求第三边 时,应分类讨论。
2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
课前练习： （1）求出下列直角三角形中未知的边
ห้องสมุดไป่ตู้
10 6
8
4
8
2
2
30°
45°
23
2
在解决上述问题时,每个直角三角形需已知几个条件?
《勾股定理》PPT(第3课时利用勾股定理作图和计算)
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
- .
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
例 如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10. 求BC的长．
解：如图，过点A作AD⊥BC于D.
∵∠ADC＝90°，∠C＝60°，
1
∴ = 2 = 5
在Rt△ACD中， =
2 − 2 =
在Rt△ABD中， = 2 − 2 =
∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.
E
设EC=xcm，则EF=DE=(8－x)cm ，
在Rt△ECF中,根据勾股定理得
x2+ 42=(8－x)2，解得 x=3.
即EC的长为3cm.
B
F
C
随堂练
习
1. 如图，点C表示的数是( D )
A．1
B.
2
C．1.5
D. 3
随堂练
习
2.如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC中， 长为无理
数的边有( C )
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
13 .由此，可以依照如下方法在
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
- .
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
例 如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10. 求BC的长．
解：如图，过点A作AD⊥BC于D.
∵∠ADC＝90°，∠C＝60°，
1
∴ = 2 = 5
在Rt△ACD中， =
2 − 2 =
在Rt△ABD中， = 2 − 2 =
∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.
E
设EC=xcm，则EF=DE=(8－x)cm ，
在Rt△ECF中,根据勾股定理得
x2+ 42=(8－x)2，解得 x=3.
即EC的长为3cm.
B
F
C
随堂练
习
1. 如图，点C表示的数是( D )
A．1
B.
2
C．1.5
D. 3
随堂练
习
2.如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC中， 长为无理
数的边有( C )
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
13 .由此，可以依照如下方法在
第十七章 勾股定理 单元解读 课件(共13张PPT)2024-2025学年人教版八年级数学下册
勾股定理
单元教材解 读
课标解读
教学内容
课标要求
17.1 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理
探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决 一些简单的实际问题
学习目标
教学内容
学习目标
17.1 勾股定理
1.经历勾股定理的探索过程，了解关 于勾股定理的文化历史背景. 2.会运用勾股定理在数轴上确定无理 数对应的点. 3.能利用勾股定理解决一些简单问题.
直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质.本章所研究的勾股 定理，就是直角三角形非常重要的性质之一，有极其广泛的应用．不仅在平面 几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基 础，对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响．本章教学时间约需9个课 时，具体安排如下（仅供参考）：
互逆定理
一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的， 那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.
知识结构
内容
a2 b2 c（2 a , b, c为三角形的
三边长） 直角三角形
勾股定理 的逆定理
互逆定理
勾股定理
应用 勾股数
判断三角形是否为直角三角形
能够成为直角三角形三条边长 的三个正整数
课时安排
通过这一节内容的学习，可以培养 学生逻辑思维能力、分析问题和解 决问题的能力.
教材内容
勾股定理分为两节。第17.1节介绍勾股定理及其应用，第17.2节介绍勾 股定理的逆定理及其应用.
17.2 勾股定理的逆定出猜想，然后 通过全等三角形证明了勾股定理的逆定理.并在其中穿插介绍了逆命题、逆定理的概 念，通过举例说明原命题成立其逆命题不一定成立.
17.1 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理
单元教材解 读
课标解读
教学内容
课标要求
17.1 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理
探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决 一些简单的实际问题
学习目标
教学内容
学习目标
17.1 勾股定理
1.经历勾股定理的探索过程，了解关 于勾股定理的文化历史背景. 2.会运用勾股定理在数轴上确定无理 数对应的点. 3.能利用勾股定理解决一些简单问题.
直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质.本章所研究的勾股 定理，就是直角三角形非常重要的性质之一，有极其广泛的应用．不仅在平面 几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基 础，对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响．本章教学时间约需9个课 时，具体安排如下（仅供参考）：
互逆定理
一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的， 那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.
知识结构
内容
a2 b2 c（2 a , b, c为三角形的
三边长） 直角三角形
勾股定理 的逆定理
互逆定理
勾股定理
应用 勾股数
判断三角形是否为直角三角形
能够成为直角三角形三条边长 的三个正整数
课时安排
通过这一节内容的学习，可以培养 学生逻辑思维能力、分析问题和解 决问题的能力.
教材内容
勾股定理分为两节。第17.1节介绍勾股定理及其应用，第17.2节介绍勾 股定理的逆定理及其应用.
17.2 勾股定理的逆定出猜想，然后 通过全等三角形证明了勾股定理的逆定理.并在其中穿插介绍了逆命题、逆定理的概 念，通过举例说明原命题成立其逆命题不一定成立.
17.1 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理
勾股定理第三课时PPT课件(数学人教版八年级下册)
勾股定理（第三课时）
授课教师：XX 日期：XX年XX月XX日
数学初中
学习目标
1. 能运用勾股定理求线段长度，并解决一些简单的实际问题； 2.在利用勾股定理解决实际生活问题的过程中，能从实际问题 中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边 与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长．
数学初中
利用勾股定理解决实际问题的一般思路：
1 正确理解实际问题的题意； 2 建立对应的数学模型； 3 解决相应的数学问题； 4 将数学问题的结果“翻译”成实际问题
的答案．
B
C
A
数学初中
拓展提高
如图所示，测得长方体的木块长4 cm，宽3 cm，高4 cm．一 只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点 A 处，一只苍蝇在这个长方 体上和蜘蛛相对的顶点B处，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线 爬到B处，所走的路程会最短，并求最短路径．
1 正确理解实际问题的题意； 2 建立对应的数学模型； 3 解决相应的数学问题； 4 将数学问题的结果“翻译”成实际问题的答案．
数学初中
课堂小结
1 利用勾股定理解决实际问题有哪些基本步骤？ 2 本节课你学到了哪些数学思想方法？
数学初中
课后作业
完成课后作业中的题目.
H G
B
F
B
按下
A
C
数学初中
拓展提高
如图所示，测得长方体的木块长4 cm，宽3 cm，高4 cm．一 只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点 A 处，一只苍蝇在这个长方 体上和蜘蛛相对的顶点B处，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线 爬到B处，所走的路程会最短，并求最短路径．
答案: 65.
H G
B
F
B
A
C
授课教师：XX 日期：XX年XX月XX日
数学初中
学习目标
1. 能运用勾股定理求线段长度，并解决一些简单的实际问题； 2.在利用勾股定理解决实际生活问题的过程中，能从实际问题 中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边 与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长．
数学初中
利用勾股定理解决实际问题的一般思路：
1 正确理解实际问题的题意； 2 建立对应的数学模型； 3 解决相应的数学问题； 4 将数学问题的结果“翻译”成实际问题
的答案．
B
C
A
数学初中
拓展提高
如图所示，测得长方体的木块长4 cm，宽3 cm，高4 cm．一 只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点 A 处，一只苍蝇在这个长方 体上和蜘蛛相对的顶点B处，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线 爬到B处，所走的路程会最短，并求最短路径．
1 正确理解实际问题的题意； 2 建立对应的数学模型； 3 解决相应的数学问题； 4 将数学问题的结果“翻译”成实际问题的答案．
数学初中
课堂小结
1 利用勾股定理解决实际问题有哪些基本步骤？ 2 本节课你学到了哪些数学思想方法？
数学初中
课后作业
完成课后作业中的题目.
H G
B
F
B
按下
A
C
数学初中
拓展提高
如图所示，测得长方体的木块长4 cm，宽3 cm，高4 cm．一 只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点 A 处，一只苍蝇在这个长方 体上和蜘蛛相对的顶点B处，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线 爬到B处，所走的路程会最短，并求最短路径．
答案: 65.
H G
B
F
B
A
C
《勾股定理》数学教学PPT课件(10篇)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·
CD.
D
B
E
C
课堂小
结
利用勾股定理解
决实际问题
勾股定理
的应用
构造直角三角形
解决实际问题
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
AC2+BC2=AB2
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边
长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
课程讲授
1
勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c
证明：∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
b
a
b-a
例 如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻
度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
8
_____条．
=BD·
CD.
D
B
E
C
课堂小
结
利用勾股定理解
决实际问题
勾股定理
的应用
构造直角三角形
解决实际问题
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
AC2+BC2=AB2
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边
长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
课程讲授
1
勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c
证明：∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
b
a
b-a
例 如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻
度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
8
_____条．
人教版八年级数学下《勾股定理 第3课时：用勾股定理在数轴上表示无理数》精品教学课件
能画出长为 13的线段，就能在数轴上画出表示 13的点.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
探究
步骤：
1 在数轴上找到点A，使OA=3；
2 作直线l⊥OA，在l上取一点B，使AB=2；
3 以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
13 3
数轴交于C点，则点C即为表示 13的点.
l
正整数的角三角形的斜边； 2 以原点为圆心，以无理数斜边为半径画弧与数轴
存在交点，弧与数轴的交点即为表示无理数的点.
原点左边的点表示负无理数，原点右边的点表示 正无理数.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
拓展
利用勾股定理可以作出这样一幅美丽的“海螺型” 图案，它被选为第七届国际数学教育大会的会徽.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
复习回顾
勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别 b
c
为a，b，斜边长为c，那么a²b²c². a
变 求斜边：c a2 b2 形 求直角边：a c2 b2 ，b c2 a2
已知两边可求第三边
利用勾股定理还能解决哪些问题呢？
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习 2.如图，O为数轴原点，A、B两点分别对应3、3，作腰 长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，OC长为半
径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 7 .
3 2 1 O 1 2M3
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
3.如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形， 以Rt△BAC的斜边AC为直角边，画第二个等腰 Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边， 画第三个等腰Rt△ADE.依此类推，则第2018个
《17.1 勾股定理》课件(含习题)
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，
请你按照他们的解题思路完成解答过程.
A
作AD⊥BC于D, 设BD=x,用含x的 代数式表示CD
根据勾股定理， 利用AD作为“桥 梁”建立方程模 型求出x
B
DC
利用勾股定理求 出AD的长，再计 算三角形面积
解：如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13, 设BD=x,则CD=14-x,
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15
OD 3.15 1.77,
BD OD OB 1.77 1 0.77 .
A C
O
BD
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外 移0.5m，而是外移约0.77m.
归纳总结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
a
c
b
二 勾股定理的验证
拼一拼 请同学们准备四个完全相同的直角三 角形，跟着我国汉代数学家赵爽拼图.
赵爽
b
a
c
b
a
a2 + b2
这种用拼图的验
=证勾c股2 定理的方
法叫做弦图法
c
a
b
证一证
证明： S大正方形＝c2
c b
a
b-a
赵爽弦图
S小正方形＝（b-a）2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
当堂练习
1.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米
.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行
（ B ）A. 8米 B.10米
C.12米 D.14米
A
B
第1题图
人教版八下数学ppt课件17.1勾股定理第3课时
直角边对应相等的两个直角三角
知 识 点
形全等。
已知：如图，在Rt△ABC和
Rt△A＇B＇C＇中，
A
A'
一 ∠C=∠C＇=90°，
AB=A＇B＇，AC=A＇C＇. C B C' B'
求证：△ABC≌△A＇B＇C＇.
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
人教版 八年级 下册
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理 （第3课时）
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
强化训 2、如图，正方形网格中的练每个小
正方形边长都是1，每个小格的顶 点叫做格点，以格点为顶点，在图 中画一个三角形，使它的三边分别 为3，2 2， 5 .
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
弧，弧与数轴交于点C，则OC= 1 7. 如图，在数轴上，点C为表示 1 7 的 点。
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
归纳 小结
1、勾股定理的应用； 2、如何在数轴上作出表示无理数的
《勾股定理》PPT优质课件(第3课时)
A•
2 3 C4
也可以使OA=2， AB=3，同样可
以求出C点.
探究新知
方法点拨 利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正 数的直角三角形的斜边. （2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴 存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边 的点表示是正无理数.
解：S△ABC
33
1 1 2 2
1 23 2
1 13 2
7. 2
课堂检测
拓广探索题
若△ABC三边的长分别为 5a,2 2a, 17a (a＞0)，请利用图中的正
方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求
出它的面积．
A
解：如图, AB a2 2a2 5a,
B
BC 2a2 2a2 2 2a,
得x2+ 42=(8－x)2， 解得 x=3. 即EC的长为3cm.
D E FC
链接中考
如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3）， 以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C， 则点C坐标为__(-_1_，__0_)__．
课堂检测
基础巩固题
1.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴
巩固练习
如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边 长均为1，画出一个三角形的长分别为 2 、2、10 . 解：如图所示. A C
B
探究新知
知识点 4 利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度
如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折 叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3， 求AM的长.
巩固练习
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3.（2009·湖州中考） 如图，已知Rt△ABC中， ∠ACB=90°,AB=4,分别
以AC、BC为直径作半圆，
面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于________.
4.（2008·永州中考）一棵树因雪灾
于A处折断，如图所示，测得树梢触
地点B到树根C处的距离为4米， ∠ABC约为45°，树干AC垂直于地面，
6.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁
从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶 点B的最短距离是（ B ）. （ A） 3 （B )√ 5 （C）2 （D） 1 2 C
B
1
B
A
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）.
1.构造特殊的直角三角形 【例1】 如图,在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠B=∠D=9 0°,求四边形ABCD的面积.
探究思路：把握题意——找 关键字词——连接相关知 识——建立数学模型（建模）
0
1
2
3
4
数轴上的点有的表示有理数，有的表示 无理数，你能在数轴上画出表示 13 的 点吗？ L 解： B
2
A
0
1
2
C 3 4
13
试 一 试
1请你在作业纸上画图，在数轴上表示
13
的点
2请同学们归纳出如何在数轴上画出表示 的方法？ 3你能在数轴上表示
解:如图所示,延长AD,BC相交于点E, ∵∠A=60°,∠B=90°,
∴∠E=30°. 在Rt△CDE中,∠CDE=90°,CD=1, ∴CE=2.
DE= CE2 CD2 = 22 1 = 3 .
1 1 故S△CDE= CD· DE = ×1× 3 = 2 2
3 . 2
在Rt△ABE中,∠ABE=90°,∠E=30°, ∴AE=2AB=2×2=4,
18.1.2勾股定理
一 回顾交流，小测评估
1 已知直角三角形ABC的三边为a,b,c ， ∠C＝ 90° ，则 a,b,c 三者之间的关系 是 a2 b2 c2。
2 矩形的一边长是5，对角线是13，则它 的面积是 60 。
数轴上的点有的表示有理数，有的表示 无理数，你能在数轴上画出表示 13 的 点吗？
3. BE= AE2 AB2 = 42 22 =2
1 1 ∴S△ABE= 2 AB· BE= 2 ×2×2 =2 3 . 3
3 3 3 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=2 3 = . 2 2
点拨:求不规则图形的面积,关键是用割补法将其转化为规则图形,然 后再求其面积.
A
55cm
１０cm 6cm
A
B
解题思路：把握题意—— 找关键字词——连接相关 知识——建立数学模型 （建模）
48cm C 55cm
B
1.如图, 以数轴上的单位线段长为边作一个正方形 , 以原点为圆
心,以正方形的对角线长为半径,画弧交数轴于点A,则A点表示的
数是（ ）
2. 在 △ ABC 中 ， AB=15 ， AC=13 ， 高 AD=12 ， 则 △ ABC 的 周 长 为 （ ） （A）42 （C）42或32 （B）32 （D）30或35
2.如图,在△ABC中,∠A=150°,AB=20 cm,AC=30 cm,则△ABC的面积 等于( ).
A.450 cm2 C.330 cm2 B.300 cm2 D.150 cm2
解析:过点C作CD⊥AB,垂足为D, ∵∠BAC=150°, ∴∠DAC=30°. 在Rt△ACD中,∠DAC=30°,
1 1 ∴CD= 2 AC= ×30=15(cm). 2
1 1 ∴S△ABC= AB· CD= ×20×15=150(cm2),故选D. 2 2
答案:D
……
13 的点
17的点吗？试一试！
利用勾股定理作出长为 的线段.
2,
3 4
3,
5 ，…
5
用同样的方法，你能否 在数轴上画出表示 1 2
1 1
2
3
4
5
用同样的方法，你能 否在数轴上画出表示
1 0
4
1
5
，…
2
3
1 2 32 5 3
4ห้องสมุดไป่ตู้
5
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分 别等于55cm，１０cm和6cm，A和B是这个台阶的两个 相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的 食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面 爬到B点，最短线路是多少？
那么此树在未折断之前的高度约为_____米（答案可保留根号）.
5.如图所示，公路MN和公路PQ在点P
处交汇，且∠QPN=30°，点A处有 一所中学，AP=160米，假设一 拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶， 周围100米以内会受到噪声的影响， 那么学校是否会受到噪声的影响？说明理由，若受影响，已知 拖拉机的速度为18千米/时，则学校受到影响的时间有多长？