勾股定理 第一课时 教学案
初中几何勾股定理1教案
初中几何勾股定理1教案1. 知识与技能目标：理解勾股定理的内容，能够运用勾股定理解决一些简单的实际问题。
2. 过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间观念和逻辑思维能力。
3. 情感、态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。
二、教学内容1. 教学内容：勾股定理的内容及其应用。
2. 教学重点：理解勾股定理的内容，掌握勾股定理的应用。
3. 教学难点：勾股定理的证明和应用。
三、教学过程1. 导入新课通过复习三角形的基本概念，引出勾股定理。
提问：直角三角形有哪些特殊的性质？让学生回顾直角三角形的定义和性质，为学习勾股定理做好铺垫。
2. 讲解新知（1）介绍勾股定理的定义：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。
（2）讲解勾股定理的证明：通过画图、操作，让学生直观地理解勾股定理的证明过程。
可以采用几何画板或者实物模型，让学生动手操作，加深对勾股定理的理解。
（3）举例说明勾股定理的应用：解决一些实际问题，如计算直角三角形的边长等。
3. 巩固练习布置一些有关勾股定理的练习题，让学生独立完成。
题目可以包括计算直角三角形边长、判断一个四边形是否为矩形等。
通过练习，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
4. 课堂小结在本节课结束时，总结勾股定理的内容和应用，强调勾股定理在几何学中的重要性。
同时，鼓励学生在日常生活中多观察、多思考，发现数学的美妙。
四、课后作业布置一些有关勾股定理的课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
可以布置一些计算题、证明题，让学生在课后独立完成。
同时，鼓励学生查找一些有关勾股定理的历史背景和文化故事，增加对数学的兴趣。
五、教学反思在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问。
针对学生的不同需求，可以适当调整教学进度和难度，让每个学生都能在课堂上得到充分的锻炼和发展。
同时，要注重培养学生的空间观念和逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
勾股定理第一课时教案
库车县伊西哈拉镇中学集体备课教案问题1：请同学们认真观察课本封面本章章前彩图说一说封面彩图中的图形表示什么意识？他们之间有联系吗？（1）观察图2-1正方形A中含有个小方格，即A的面积是个单位面积。
（2）正方形B的面积是个单位面积。
（3）正方形C的面积是个单位面积。
Sa +Sb=Sca2+b2 =c2可以发现以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方形的面积。
即等腰直角三角形的三个边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两①实际生活中直角三角形三条边之间的关系有关的例子较多比如说：学校国旗杆的高与地面上垂直国旗杆的一条线之间的角是直角从那么杆顶点到地面直线的端点形成的三角形与三条边之间有什么样的关系？还有②相传2500多年前，古希腊著名的数学家毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的莫种数量关系。
我们也来观察一下地面的图案，看看能从中发现什么数量关系。
个直角边的平方和。
探究：等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？上册图中每一个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A， B，C 的面积，看看能得出什么结论（提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于莫个正方形的面积减去4个直角三角形的面积。
）由上面的几个例子我们猜想可以得到下命题：命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2证明命题1的方法很多种，下面介绍我国古人赵爽的证明法。
赵爽利用弦图证明命题1的基本思路如下：如图把边长为a,b的两个正方形连在一起，他的面积是a2+b2;另一方面，这个图形可以分割成四个全等的直角三角形和一个正方形把图中左右两个三角形移到图中所示的位置就会形成一个以c以边长的正方形因为两个图都由四个。
第一课时勾股定理优秀教学案例
1.布置巩固性作业：让学生运用勾股定理解决实际问题，如计算房屋建筑中的长度、设计直角三角形图案等。检查学生对勾股定理的理解和应用能力。
2.布置拓展性作业：让学生探索其他数学定理或公式，如平方根、立方根等。培养学生的探索精神和创新能力。
3.鼓励学生进行自我评价，反思自己在学习过程中的优点和不足。指导学生制定改进措施，提高学习效果。
此外，我还注重课堂评价的多元化，充分关注学生的个体差异，给予他们积极的评价和鼓励，使他们在课堂上充满自信，更好地投入到学习过程中。整个教学过程既注重知识的传授，又重视学生的全面发展，体现了新课程改革的理念和要求。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握勾股定理的内容，理解直角三角形三边之间的关系，能够运用勾股定理解决实际问题。
（一）导入新课
1.故事导入：讲述毕达哥拉斯如何通过观察木匠修鞋匠的鞋子长度比例，发现了勾股定理。引导学生关注古代数学家的伟大发现，激发学生学习兴趣。
2.实物模型导入：展示古代的勾股定理证明雕塑，让学生直观地感受数学与艺术的完美结合。引发学生对勾股定理的好奇心，激发他们的探究欲望。
3.现实生活实例导入：分析房屋建筑、自行车轮胎等实例，让学生感受到勾股定理在实际应用中的重要性，引发学生思考。
2.鼓励学生提出问题，培养他们的问题意识和批判性思维。例如，在教学过程中，让学生大胆质疑，挑战古代数学家的证明方法。
3.创设循序渐进的问题序列，引导学生逐步深入探究勾股定理。例如，从简单的情形开始，让学生观察、实验、猜测，逐步引导学生得出勾股定理的结论。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，培养他们的团队协作能力和沟通能力。例如，在探究勾股定理的过程中，让学生分组讨论，相互启发，共同解决问题。
勾股定理教案第一课时
勾股定理教案第一课时
一、教学目标
1. 理解勾股定理的基本概念，知道勾股定理的定义。
2. 能够熟练地运用勾股定理解决实际问题。
3. 通过实例分析，提高学生的数学思维能力。
二、教学重点与难点
1. 教学重点：勾股定理的定义与运用。
2. 教学难点：勾股定理的运用与解释。
三、教学过程
1. 导入新课：通过提问的方式，引导学生思考勾股定理的实际应用，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲授：
a. 讲解勾股定理的定义，让学生理解什么是勾股定理。
b. 通过实例分析，让学生掌握勾股定理的运用方法。
c. 通过实际问题解决，让学生熟练掌握勾股定理的运用。
3. 课堂练习：通过课堂练习，让学生巩固勾股定理的运用方法。
4. 课堂总结：总结本节课的主要内容，强调勾股定理的重要性和运用方法。
四、教学评价
通过课堂表现、课堂练习等方式，对学生的学习情况进行评价。
五、教学反思
通过本节课的教学，学生是否能够理解勾股定理的定义，是否能够熟练运用勾股定理解决实际问题，是否有足够的课堂参与度等，都是需要进行教学反思的内容。
勾股定理教案-【通用,经典教学资料】
勾股定理（第一课时）教学目标1．知识与技能：（1）了解勾股定理的发现过程。
（2）掌握勾股定理的内容。
（3）会用面积法证明勾股定理。
（4）会应用勾股定理进行简单的计算。
2．过程与方法：（1）经历利用等腰直角三角形探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
（2）探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。
3．情感、态度与价值观：（1）介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
（2）培养在实际生活中发现问题、总结规律的意识和能力。
教学重难点勾股定理的内容及证明。
教学过程一、引入新课。
教师活动：目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前，更是非常了不起的成就。
二、进行新课。
1．勾股定理的内容及其证明。
教师活动：引导学生阅读课本相关的内容。
相传2500年前，毕达哥拉斯又一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。
我们也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？思考：你能发现下面图中的直角三角形有什么性质吗？可以发现，以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
即我们惊奇的发现，等腰三角形的三边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和。
探究：等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？上图中，每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A，B，C，'A，'B，'C 的面积，看看能得出什么结论。
（提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于以某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积。
勾股定理(第一课时)教学设计
§18.1勾股定理（第1课时）教学目标：知识与技能：探索直角三角形三边关系，了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
过程与方法：经历探索与发现直角三角形三边关系的过程，体会数形结合和从特殊到一般的思想方法。
情感态度与价值观：初步了解勾股定理的文化内涵.教学重点：探索并发现勾股定理的过程。
教学难点：勾股定理的面积法证明教学过程一、创设情境引入利用与外星文明交流的设想引入新课二、学习新知探究一：你能发现图1中正方形A、B、C的面积之间有什么数量关系吗？1、正方形A的面积是：；正方形B的面积是：；正方形C的面积是：。
结论：图1中三个正方形A，B，C的面积之间的数量关系是: S A+S B=S C探究二：S A+S B=S C在图2中还成立吗？正方形A的面积是个单位面积．正方形B的面积是个单位面积．正方形C的面积是个单位面积．你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流交流．结论：图1中三个正方形A，B，C的面积之间的数量关系是: S A+S B=S C至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即S A+S B=S C。
探究三:借助几何画板进一步探究S A +S B =S C三、猜想：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b,斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.四、证明(拼图证明)１、利用事先准备好的四块全等的直角三角形尝试拼成一个正方形学生们可能拼成的是以下两种情况：师生结合图形共同完成证明2.得出勾股定理：两直角边长分别为a 、b,斜边长为c ，那么 a 2 + b 2 = c 2 即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
3.勾股定理文化介绍六、感悟收获学了本节课后我们有哪些收获？七、课后作业1.必做题：（1）课本第57页，习题18.1 第1、2、3、4题；（2）同步练习：18.1（一）。
2.选做题：阅读课本“数学史话”栏目并上网查阅了解勾股定理的有关知识。
八年级数学下册(人教版)17.1.1勾股定理(第一课时)教学设计
5.总结反思，拓展提高：在教学结束时，引导学生对勾股定理进行总结，明确其应用范围和注意事项。同时，布置一些拓展提高的练习题，让学生在课后进行巩固。
本节课的教学设计以勾股定理为核心，紧密结合教材内容，注重培养学生的知识技能、过程方法和情感态度与价值观，旨在提高学生的数学素养和实际应用能力。
二、学情分析
八年级学生在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。在本节课之前，学生已经学习了平面几何、立体几何的基本概念，掌握了直角三角形的性质和判定方法，这些都为学习勾股定理奠定了基础。然而，由于勾股定理涉及斜边与直角边的平方关系，学生在理解上可能会存在一定难度。因此，在教学过程中，教师需关注以下几点：
2.自主探究，发现定理：引导学生观察教材中的直角三角形图形，鼓励他们大胆猜想勾股定理的表达形式。在学生自主探究的基础上，引导他们通过实际测量、计算，验证勾股定理的正确性。
3.精讲精练，突破难点：针对勾股定理的证明过程，教师进行详细讲解，并设计具有梯度的问题，让学生逐步掌握定理的证明方法。同时，通过典型例题的讲解和练习，帮助学生巩固定理的应用。
（四）课堂练习，500字
为了巩固学生对勾股定理的理解，我将设计一些课堂练习题。这些练习题分为基础题和提高题，以满足不同层次学生的学习需求。
1.基础题：主要针对勾股定理的基本应用，如已知直角三角形的两边，求解第三边。
2.提高题：涉及勾股定理在实际问题中的应用，如计算建筑物的高度、距离等。
我会让学生独立完成练习题，并在必要时给予指导。通过课堂练习，学生可以检验自己对勾股定理的掌握程度，并为课后作业打下基础。
人教版八年级勾股定理优秀教学案例第一课时
3.学生能够通过合作和交流，学会尊重他人，培养自己的团队精神和合作意识。
4.学生能够在解决实际问题的过程中，体验到成功的喜悦，培养自己的自主学习和解决问题的能力，形成良好的学习习惯和态度。
三、教学策略
（一）情景创设
1.结合生活实际，创设有趣的情境，如测量房屋的倾斜度、计算篮球架的高度等，激发学生的学习兴趣，引发学生的思考。
2.鼓励学生进行讨论和交流，分享自己的解题思路和方法，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
3.教师ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ回指导，给予学生必要的帮助和指导，引导学生正确运用勾股定理解决问题。
（四）总结归纳
1.引导学生总结本节课所学的内容，包括勾股定理的定义、证明过程以及实际应用。
2.强调勾股定理的重要性和作用，引导学生认识到勾股定理在数学和实际生活中的重要性。
2.利用信息技术，如多媒体演示和数学软件工具，直观地展示勾股定理的应用，帮助学生形象地理解勾股定理。
3.设计具有挑战性和探究性的问题，引导学生主动参与课堂，激发学生的求知欲和好奇心。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，如“直角三角形三边之间有什么关系？”、“勾股定理如何证明？”等，激发学生的思考和探究欲望。
2.组织学生进行讨论和交流，鼓励他们发表自己的观点和思考，培养学生的批判性思维和问题解决能力。
3.引导学生运用勾股定理解决实际问题，培养学生的应用能力和创新能力。
人教版八年级下册17.1《勾股定理》第一课时教学设计
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过展示一组图片，包括古代建筑、现代桥梁等，引导学生观察这些图形中的直角三角形，并提出问题：“这些图形有什么共同特点？它们在数学中有什么特殊性质？”
2.学生观察后，教师总结直角三角形的定义，并引导学生回顾已知的直角三角形相关知识，为新课的学习做好铺垫。
5.针对教学难点，采取以下措施：
a.对勾股定理的证明过程进行详细讲解，通过画图、举例等方式，让学生在直观感知的基础上，理解证明的严密性。
b.专门安排一节课，让学生列举并分析勾股数的特点，总结规律，以便更好地辨识和应用勾股数。
c.结合实际情境，开展数学建模活动，让学生在小组内共同探讨、解决问题，提高他们的数学建模能力。
5.掌握勾股数的特点，能够辨识和列举出一组勾股数。
（二）过程与方法
在教学过程中，学生将通过以下方式来达成目标：
1.通过观察直角三角形的特性，引导学生发现勾股定理，培养观察力和逻辑思维能力。
2.通过小组合作，探究勾股定理的证明方法，提高合作意识和解决问题的能力。
3.通过数学问题的解答，培养学生将理论知识应用于实际情境的能力。
4.利用数形结合的方法，让学生在直观的图形中理解抽象的数学公式，提高形象思维和抽象思维的能力。
5.通过分析勾股数的特点，让学生总结规律，增强数学归纳和总结的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发他们探究数学问题的热情。
2.使学生体会到数学知识与现实生活的紧密联系，增强学生的数学应用意识。
人教版八年级下册17.1《勾股定理》第一课时教学设计
一、教学目标
人教版八年级下册数学第1课时 勾股定理教案
第十七章勾股定理17．1勾股定理第1课时勾股定理教学设计课题二次根式的混合运算授课人素养目标1.了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用几何图形的截、割、补证明勾股定理．2.述勾股定理，并能应用它进行简单的计算．3.过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养学生的动手实践和创新能力.教学重点运用割补、拼图的方法证明勾股定理的正确性，并能进行简单计算．教学难点“数形结合”思想方法的理解和应用.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课设计意图介绍我国古代数学成就，激发学生的学习兴趣.【情境导入】国际数学家大会是全球性的数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”.2002年在北京召开过第24届国际数学家大会，如图是该届大会会徽的图案．你见过这个图案吗？它由哪些我们学过的基本图形组成？这个图案有什么特别的意义？【教学建议】简单介绍“赵爽弦图”的背景与组成图形.活动二：问题引入，自主探究设计意图引导学生探索、发现、证明勾股定理.探究点勾股定理的认识与证明1．特殊直角三角形中勾股定理的探究毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家．相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系，如图①所示．(1)你能说出图①中正方形A ，B ，C 的面积之间的关系吗？答：正方形A ，B 的面积之和等于正方形C 的面积．(S A ＋S B ＝S C )(2)正方形A ，B ，C 所围成的等腰直角三角形的三边之间有什么特殊关系？答：等腰直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．2．一般直角三角形中勾股定理的探究等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也满足“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？观察图②，其中每个小方格的面积均为1.(1)请你分别计算出图②中正方形A ，B ，C ，A′，B′，C′的面积．答：A 的面积＝4，B 的面积＝9，C 的面积＝13，A′的面积＝9，B′的【教学建议】(1)可提示学生通过数等腰直角三角形的个数得到图①中正方形A，B，C 的面积的数量关系，再引导学生由正方形的面积等于边长的平方得出等腰直角三角形的三边之间的关系；(2)可提示学生利用割补法计算图②中正方形C，C′的面积教学步骤师生活动面积＝25，C′的面积＝34.(2)正方形A，B，C的面积之间有什么关系？正方形A′，B′，C′的面积之间有什么关系？答：A的面积＋B的面积＝C的面积，A′的面积＋B′的面积＝C′的面积．(S A＋S B＝S C，S A′＋S B′＝S C′)(3)直角三角形三边之间的关系用命题形式怎么表述？答：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.3．勾股定理的证明阅读教材P23，24，了解赵爽是如何利用拼图的方法来证明上述命题的，我国把这个命题称为勾股定理，感兴趣的同学可以自己用拼图试一试．(等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积)，再引导学生得到命题；(3)可以让学生拿一张长方活动三：知识运用，典例讲练设计意图帮助学生巩固对勾股定理的认识.例1请你补全下列证明勾股定理的一种方法．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为a，b，c.求证：a2＋b2＝c2.证明：整个图形可以看作是边长为c的大正方形，它的面积为c2；也可以看作由四个全等的直角三角形和一个边长为b－a的小正方形组成，其面积为4×12ab＋(b－a)2.所以可以得到等式：4×12ab＋(b－a)2＝c2.化简，得a2＋b2＝c2.例2在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，∠C＝90°.(1)已知a＝3，b＝4，求c；(2)已知c＝17，b＝15，求a；(3)已知c＝14，a＝6，求b.解：(1)c＝a2＋b2＝32＋42＝25＝5.(2)a＝c2－b2＝172－152＝64＝8.(3)b＝c2－a2＝142－62＝160＝410.【对应训练】1～2.教材P24练习．3．如图是传说中毕达哥拉斯的证法，利用这两个图形证明勾股定理．提示：图①中拼成的正方形与图②中拼成的正方形面积相等．证明：从图上可以看到，这两个大正方形的边长都是a＋b，所以面积相等．所以a2＋b2＋4×12ab＝c2＋4×12ab，化简整理得a2＋b2＝c2.【教学建议】(1)告诉学生用拼图方法证明勾股定理通常有两种情况：①一个图形就利用它的两种不同面积表示方法列等式；②两个图形就利用它们的面积相等列等式．(2)提醒学生牢记直角所对的边是斜边，并要掌握勾股定理公式的其他变形(直角边为a，b，斜边为c时的情况)：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2，c＝a2＋b2，a＝c2－b2，b＝c2－a2.教学步骤师生活动活动四：随堂训练，课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么是勾股定理？你知道几种证明它的方法？1．勾股定理的证明方法例1以a ，b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积都等于12ab ，把这两个直角三角形拼成如图所示的形状，使A ，E ，B 三点在一条直线上．求证：a 2＋b 2＝c 2.证明：∵Rt △EAD ≌Rt △CBE ，∴∠ADE ＝∠BEC.∵∠AED ＋∠ADE ＝90°，∴∠AED ＋∠BEC ＝90°.∴∠DEC ＝180°－90°＝90°.∴△DEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于12c 2.又∠DAE ＋∠EBC ＝90°＋90°＝180°，∴AD ∥BC.∴四边形ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于12(a ＋b)2.∴12(a ＋b)2＝2×12ab ＋12c 2.∴a 2＋b 2＝c 2.【知识结构】【作业布置】1．教材P 28习题17.1第1，3，7，13，14题．2．相应课时训练．板书设计17.1勾股定理第1课时勾股定理1．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.2．勾股定理的证明：“赵爽弦图”“毕达哥拉斯拼图”等.教学反思本节课以“情境导入－从特殊到一般－假设猜想－拼图验证”为主线，使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程，达到更好的学习效果．勾股定理的证明是本节课的难点，可以设计一些拼图活动，让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究，从而突破这一难点.例2作三个边长分别为a ，b ，c 的正方形，把它们拼成如图所示的形状，使H ，C ，B 三点在一条直线上，连接BF ，CD.求证：a 2＋b 2＝c 2.证明：如图，过点C 作CL ⊥DE 于点L ，交AB 于点M.∵∠FAC ＝∠BAD ＝90°，∴∠FAC ＋∠CAB ＝∠BAD ＋∠CAB ，即∠FAB ＝∠CAD.又AF ＝AC ，AB ＝AD ，∴△FAB ≌△CAD(SAS )，∴S △FAB ＝S △CAD .∵△FAB 的面积等于12AF·AC ＝12a 2，△CAD 的面积等于12AD·DL(即长方形ADLM 面积的一半)，∴长方形ADLM 的面积＝a 2.如图，连接AK ，CE ，同理易证△ABK ≌△EBC ，∴易得长方形MLEB 的面积＝b 2.∵正方形ADEB 的面积＝长方形ADLM 的面积＋长方形MLEB 的面积，∴c 2＝a 2＋b 2，即a 2＋b 2＝c 2.2．利用勾股定理求边长应用勾股定理求直角三角形的边长时，经常利用a 2＋b 2＝c 2和其变式：a 2＝c 2－b 2，b 2＝c 2－a 2，c ＝a 2＋b 2，a ＝c 2－b 2，b ＝c 2－a 2.例3在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝210，BC 边上的高AD ＝6，则另一边BC 等于(C )A ．10B ．8C ．10或6D ．10或8分析：本题要分两种情况考虑，分别在两个图形中利用勾股定理求出BD 和CD ，从而可求出BC 的长．解析：如图①，由勾股定理，得BD ＝AB 2－AD 2＝102－62＝8，CD ＝AC 2－AD 2＝（210）2－62＝2，∴BC ＝BD ＋CD ＝8＋2＝10.如图②，由勾股定理，得BD ＝AB 2－AD 2＝102－62＝8，CD ＝AC 2－AD 2＝（210）2－62＝2，∴BC ＝BD －CD ＝8－2＝6.综上所述，BC 的长为10或6.故选C .例4已知直角三角形的两边长x ，y 满足|x 2－4|＋（y －2）2－1＝0，则第三边长为(D )A .3B .13C .5或13D .3，5或13解析：∵|x 2－4|＋（y －2）2－1＝0，∴x 2－4＝0，(y －2)2－1＝0.∴x ＝2或－2(舍去)，y ＝3或1.①当直角三角形的两边长为2和3时，若两直角边的长分别是2，3，则第三边的长为22＋32＝13；若3为斜边长，则第三边的长为32－22＝ 5.②当直角三角形的两边长为2和1时，若两直角边的长分别是2，1，则第三边的长为22＋12＝5；若2为斜边长，则第三边的长为22－12＝ 3.综上所述，第三边的长为3，5或13.故选D .注意：解题时注意分类讨论思想的应用，考虑问题不全面就会导致漏解．例1如图，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，E 为AC 上一点，连接BE ，DE ，延长DE 交AB 于点F ，已知DE ＝AB ，∠CAD ＝45°.(1)求证：DF ⊥AB ；(2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明．已知：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，求证：a 2＋b 2＝c 2.证明：(1)∵AC ⊥BD ，∠CAD ＝45°，∴AC ＝DC ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°.在Rt △ABC 和Rt △DEC 中，＝DE ，＝DC ，∴Rt △ABC ≌Rt △DEC(HL ),∴∠BAC ＝∠EDC.∵∠BAC ＋∠ABC ＝90°，∴∠EDC ＋∠ABC ＝90°.∴∠BFD ＝90°，∴DF ⊥AB.(2)由(1)知Rt △ABC ≌Rt △DEC ，DF ⊥AB ，∴EC ＝BC ＝a ，DC ＝AC ＝b ，DE ＝AB ＝c.由阴影部分面积，得S △BCE ＋S △ACD ＝S △AED ＋S △BED .又AC ⊥BD ，DF ⊥AB ，∴12a 2＋12b 2＝12c·AF ＋12c·BF ＝12c·(AF ＋BF)＝12c·AB ＝12c·c ＝12c 2，∴a 2＋b 2＝c 2.例2勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．勾股定理具体内容为：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.(1)关于勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图①②③中任选一种来证明该定理．(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)(2)解答下列各题：①如图④⑤⑥，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1＋S2＝S3的有3个．②在如图⑦所示的“勾股树”中，设大正方形M 的边长为m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ，则a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝m 2.(结果用含m 的代数式表示)(3)如图⑧，分别以直角三角形的三边a ，b ，c 为直径作半圆，设图中两个月牙形图案(图中阴影部分)的面积分别为S 1，S 2，直角三角形面积为S 3，请判断S 1，S 2，S 3的关系并证明．解：(1)在图①中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即c 2＝12ab·4＋(b －a)2，化简得a 2＋b 2＝c 2；在图②中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即(a ＋b)2＝c 2＋12ab·4，化简得a 2＋b 2＝c 2；在图③中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，即12(a ＋b)(a ＋b)＝12ab·2＋12c 2，化简得a 2＋b 2＝c 2.(2)①解析：在图④中，S 1＋S 2＝a 2＋b 2，S 3＝c 2，∵a 2＋b 2＝c 2，∴S 1＋S 2＝S 3；在图⑤中，S 1＋S 2＝12π·(12a)2＋12π·(12b)2＝18π(a 2＋b 2)，S 3＝12π·(12c)2＝18πc 2.∵a 2＋b 2＝c 2，∴S 1＋S 2＝S 3；在图⑥中，易得S 1＋S 2＝34(a 2＋b 2)，S 3＝34c 2.∵a 2＋b 2＝c 2，∴S 1＋S 2＝S 3.∴图④⑤⑥中面积关系满足S 1＋S 2＝S 3的有3个．故答案为3.(3)结论：S 1＋S 2＝S 3.证明如下：∵S 1＋S 2＝12π·(a 2)2＋12π·(b 2)2＋S 3－12π·(c2)2，∴S 1＋S 2＝18π(a 2＋b 2－c 2)＋S 3.∵a 2＋b 2＝c 2，∴S 1＋S 2＝S 3.。
《勾股定理第1课时》教学方案
勾股定理18.1 勾股定理第1课时一、教学目标1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容.2.会初步运用勾股定理进行简单的计算.3.在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法4. 感受数学文化，激发学生的学习热情，体验合作学习成功的喜悦，增强民族自豪感，感受数学对社会发展的推动作用.二、教学重难点重点：会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.难点：会用勾股定理进行简单的计算．三、教学用具多媒体等.四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情境创设情境，导入新课【思考】在小学，我们已经认识了三角形，现在请同学们来谈谈你对三角形的了解。
提出疑问：我们都知道直角三角形是一类特殊的三角形．它的三边在满足“任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边”以外，是否还具有特殊性呢？这就是这节课我们要研究的内容.回顾有关三角形的知识.通过问题引入，激发学生的探索兴趣和求知欲望.环节二探【探究】在行距、列距都是1的方格网中，任意作出几个以究新知格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形，如图.并以S1，S2与S3分别表示几个正方形的面积.【观察】观察图(1)，并填写：观察图(2)，并填写：S1=____个单位面积；S1=____个单位面积；S2=____个单位面积；S2=____个单位面积；S3=____个单位面积. S3=____个单位面积.答案：图(1)：9；9；18.图(2)：9；16；25.【猜想】图(1)，(2)中，三个正方形面积具有怎样的关系呢？用它们的边长表示是.分析：面积之间的关系：图(1)中，S1=9 S2=9S3=18 ，即9+9=18 →S1+S2=S3. 图(2)中，S1=9S2=16 S3=25 ，即9+16=25 →S1+S2=S3.用它们的边长表示：S1=a²S2=b²S3=c²→a²+b²=c²【操作】下面请同学们在你们的方格纸上再画出几个不同的直角三角形，看一下这个关系“a²+b²=c²”是否依然成立.得出结论：依然成立【思考】观察并进行填写.根据上表中的数据进行猜想，同桌之间进行交流.作图、计算并进行验证.通过猜想，让学生深入了解勾股定理的发现过程，加强对于勾股定理的理解.渗透从特殊到一般的数学思想，为方便计算，网格中的直角三角形边长通常设定为整问题：你能用自己的语言归纳出直角三角形三边长度存在的关系吗？直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方．问题：这个结论是由我们画的有限个直角三角形猜想推导出来的，是否正确呢？如何确定它的正确性呢？方法一：拼一拼以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼证明刚刚的猜想.方法二：面积计算已知：如图(1)，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b.求证：a²+b²=c².证明：取4个与Rt△ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图(2)所示的边长为a+b的正方形EFGH.从图中可见，A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=c.∵∠B1A1E+ ∠A1B1E=90°，而∠A1B1E=∠D1A1H，因此∠B1A1E+ ∠D1A1H=90°，∠D1A1B1=90°.同理∠A1B1C1=∠B1C1D1 =∠C1D1A1=90°所以四边形A1B1C1D1是一个边长为c的正方形. 认真思考，积极证明.数，进一步体会面积割补法，为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础，提供方法探索勾股定理证明的不同思路，并进行适当的比较和讨论，有利于开阔学生的视野，增强论证的趣味性，以激发学生对数学证明的兴趣和掌握数学证明方法的信心，提高思维水则【归纳】这样我们就证明了上述结论成立，即得定理.定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方．我国古代把直角三角形中较短的边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此，我们称上述定理为勾股定理，国外称为毕达哥拉斯定理.如果直角三角形的两直角边用a，b来表示，斜边用c来表示，那么勾股定理可表示为a²+ b²= c²强调：①成立条件：在直角三角形中；②公式变形：a²= c²-b²b²= c²-a²③作用：已知直角三角形任意两边长，求第三边长. 平.通过归纳让学生熟悉勾股定理，并了解勾股定理的相关背景知识.【典型例题】【例1】求出图中字母所代表的正方形的面积.解：(1) S A=225-144=81；(2) S A=80-24=56；S B=24+56=80.【例2】设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.(1) 已知a＝5，b＝12，求c；(2) 已知a＝6，c＝0，求b；(3) 已知c＝25，b＝15，求a.解：(1)2222=+=+=；51213c a b(2) 2222b c a=-=-=；1068(3) 2222=-=-=.251520a c b解：如图，由勾股定理得AB²=AC²+ BC²，∴BC=√AB²-AC²=√4²-2²=2√3(米)∴AC+BC=2+2√3≈5.5(米)答：地毯的长度至少需要5.5米.3.已知：Rt△ABC中，AB=4，AC=3，则BC= .解：5或7.以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.。
勾股定理 教案 第一课时
勾股定理教案第一课时【教学目标】a)了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程。
b)理解利用拼图和面积法验证勾股定理的方法。
c)会运用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三边的长。
【重点难点】重点：探索和体验勾股定理。
难点：用拼图和面积法验证勾股定理。
【授课时数】第一课时【导学过程】一、介绍“赵爽弦图”,引出数学问题：说明“赵爽弦图”的几何构成。
二、自主学习毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，相传2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某种特性。
是什么呢？我们来研究一下吧。
阅读教材内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题。
1．请同学们观察一下，教材图中的等腰直角三角形有什么特点？请用语言描述你发现的特点。
2.等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也满足这种特点？你能解决教材P23的探究吗？通过探究，猜一猜，直角三角形三边之间有什么关系？由此你得出什么结论？猜想：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．3.我们如何证明你得出的结论呢？你看懂我国古人赵爽的证法了吗？动手摆一摆，想一想，画一画，证一证吧。
三、合作探究1、学生合作探究，交流完成P23探究内容。
2、归纳总结勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．四、勾股定理的证明1、学生阅读教材P23----24，交流面积法证明勾股定理的方法。
2、师生交流，共同理解。
3、结合图形说明其几何意义：两直角边为边长的正方形的面积之和等于斜边为边长的正方形的面积。
五、勾股定理的运用（1）学生自主完成下图中a)求下图字母A，B所代表的正方形的面积。
2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，若a=4,c=8,则b= .3、书本P24练习1、2课堂展示：学生自主完成后全班交流展示。
六．课堂小结本节课你学到了什么知识？还存在什么困惑？与同伴交流一下。
18.1勾股定理（第1课时）教案
18.1勾股定理（第1课时）教案18.1勾股定理（第1课时）教学任务分析教学目标知识与技能了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程．过程与方法在学生经历“观察—归纳—猜想—验证”勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的数学思想. 情感与态度1．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情．2．通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维．3．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．重点探索和证明勾股定理．难点用拼图的方法证明勾股定理．教学流程设计教学流程图活动内容和目的活动1：创设情境，激发兴趣通过对勾股定理文化背景的了解，激发起学生对勾股定理的探索兴趣。
活动2：观察特例，发现新知观察、分析瓷砖图案，得出等腰直角三角形的性质：两直角边的平方和等于斜边的平方。
活动3：深入探究，交流归纳观察、分析方格图，得出直角三角形的性质：勾股定理，发展学生分析问题的能力。
活动4：拼图验证，加深理解通过割补图形的方法，剪拼赵爽弦图证明勾股定理，体会数形结合思想，激发探索精神．活动5：实践应用，拓展提高通过例题和练习，初步掌握勾股定理的运用。
活动6：回顾小结，整体感知回顾、反思、交流，总结。
活动7：布置作业，加深巩固布置课后作业，巩固、发展提高．教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动1：你相信有外星人的存在吗？近年来，随着不断出现的UFO事件，越来越多的人相信有外星人的存在。
很多人对于确定外星人存在的方法提出建议，我国著名的数学家华罗庚多年前也曾对此提出看法。
他建议，要探知其他星球上有没有“人”，我们可以向太空发射一种图形，因为这种图形在几千年前就已经被人类所认识，如果他们是“文明人”，也必定认识这种图形.你知道这个图案的作用吗？你听说过“勾股定理”吗？教师出示图片．教师结合图片说明这个图形是几千年前人类发现和探索勾股定理时用到的图形。
人教版八年级勾股定理教学设计第一课时
2.实践应用题：选择生活中一个直角三角形的实例，运用勾股定理计算其边长，并简述解题过程。
-设计意图：培养学生将数学知识应用于实际生活的能力，体会数学的实用价值。
3.思考提高题：结合勾股定理，探讨直角三角形其他相关性质，如相似三角形的判定、特殊角的三角函数值等。
3.布置课后作业：根据学生的学习情况，布置适量的课后作业，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
五、作业布置
为了巩固学生对勾股定理的理解和应用，确保学生对课堂所学知识的内化，特布置以下作业：
1.基础知识巩固题：完成教材第十五章第二节后的练习题，包括勾股定理的概念理解、定理的直接应用以及简单问题的解决。
针对以上学情，教师在教学过程中应关注学生的个体差异，因材施教，充分调动学生的学习兴趣，引导学生主动探究，提高学生的几何素养。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握勾股定理的表述及其证明方法。
2.能够运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的边长、判断直角三角形等。
3.理解勾股定理在实际生活中的应用，提高学生的几何素养。
4.学会使用勾股定理进行简单的几何作图，如构造直角三角形、等腰直角三角形等。
5.能够运用勾股定理推导出其他相关定理，如相似三角形的性质、正弦、余弦函数的定义等。
（二）过程与方法
在教学过程中，教师应采用以下方法引导学生学习勾股定理：
1.创设情境，导入新课：通过介绍勾股定理的历史背景，激发学生的学习兴趣。
3.解释勾股定理的应用：通过讲解典型例题，让学生了解勾股定理在实际问题中的应用，如计算直角三角形的边长、判断直角三角形等。
（三）学生小组讨论，500字
《勾股定理(第1课时)》教案 人教数学八年级下册
17.1 勾股定理第1课时一、教学目标【知识与技能】1.了解勾股定理的文化背景,了解利用拼图验证勾股定理的方法.2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算.【过程与方法】1.在勾股定理的探索过程中,经历观察——猜想——归纳——验证的数学发现过程.2.发展合情推理的能力,体会数形结合思想、由特殊到一般的数学思想、分类讨论思想.【情感态度与价值观】通过对勾股定理历史的了解和实例应用,体会勾股定理的文化价值;通过获得成功的经验和克服困难的经历,增强学习数学的信心,激发学生的民族自豪感和爱国情怀.二、课型新授课三、课时第1课时共3课时四、教学重难点【教学重点】探索和验证勾股定理,并能应用其进行简单的计算.【教学难点】用拼图的方法验证勾股定理.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺、方格纸、三角模型等.学生：三角尺、铅笔、练习本、方格纸、三角模型.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）引导学生观察勾股定理相关图片，引出本节要学知识（二）探索新知1.出示课件4-10，探究勾股定理的认识与证明相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯去朋友家做客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察一下图案，看看你能发现什么数量关系？学生1回答：直角三角形的两条直角边和斜边都是正方形的边长.学生2回答：斜边正方形的边长最大.教师问：三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？教师依次展示下列问题：看图完成下面的题目：（1） A中含有____个小方格，即A的面积是______个单位面积．（2）B的面积是_______个单位面积．（3）C的面积是________个单位面积．学生1回答：（1）A中含有9个小方格，即A的面积是9个单位面积．学生2回答：(2) B的面积是9个单位面积．学生3回答：(3) C的面积是18个单位面积．教师问：三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？学生回答：图1中三个正方形A，B，C的面积之间的数量关系是: S A+S B=S C教师问：S A+S B=S C在图2中还成立吗？学生讨论后回答：仍然成立.教师问：你是如何得到结果的呢？学生回答：A的面积是16个单位面积．B的面积是9个单位面积．C 的面积是25个单位面积．教师问：你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流交流．学生回答：如下图所示：教师问：至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即S A+S B=S C. 去掉网格结论会改变吗？学生回答：不会.教师问：式子S A+S B=S C能用直角三角形的三边a、b、c来表示吗?师生一起解答：如图所示：a2 + b2 = c2教师问：去掉正方形结论会改变吗？学生回答：不会.教师问：那么直角三角形三边a、b、c之间的关系式是什么呢？学生回答：a2 + b2 = c2教师：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c，那么a2+b2=c2.如何利用拼图证明呢？师生一起看数学家的证明：是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚.这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．下面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的．教师依次展示各种证明方法：（1）赵爽拼图证明法：以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子.你能做到吗？试试看.小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方形，拼成一个新的正方形.剪、拼过程展示：（出示课件11）教师问：如何进行证明呢？师生共同讨论后解答如下：证明：∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，ab+（b-a）2=a2+b2∴c2=4×12(2) 毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.(出示课件13)教师问：观看拼图过程演示后，你能证明吗？师生共同讨论后解答如下：证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2a b,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形a b+c2=4×12=c2+2a b，∴a2+b2+2a b=c2+2a b，∴a 2+b 2=c 2.（3）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a 2 + b 2 = c 2.教师问：你能证明上边的问题吗？ 学生讨论后回答： 证明：∵S 梯形=12（a +b ）（a +b ）,S 梯形=12a b+12a b+12c 2,∴a 2 + b 2 = c 2.教师总结归纳;(出示课件16) 勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，那么a 2 + b 2 = c 2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.表示为：Rt△ABC中，∠C=90°, 则a2 + b2 = c2.总结点拨：（出示课件17）公式变形勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方.出示课件18，学生口答，教师订正。
勾股定理教案（共五则范文）
勾股定理教案（共五则范文）第一篇：勾股定理教案勾股定理（课时一）教学目标知识与技能：通过观察猜想得出勾股定理的结论。
过程与方法：通过观察、归纳、猜想、探索的过程，发展学生的合情推理能力，体会数形结合的思想。
情感态度与价值观：通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学生的爱国热情。
教学重、难点重点：探索三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论，从而发现勾股定理。
难点：勾股定理的证明。
教学过程1、创设问题情境、引入新课问题1：我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做钩、长的直角边叫做股、斜边叫做弦。
根据我国古算书《周髀算经》记载，约在公元前1100年人们已经知道钩是三、股是四，那么弦就是五，你知道是为什么吗？（设计意图：问题设置具有一定的挑战性，为的是激发学生探究的欲望。
在学生感到困惑时教师指出：通过本章的学习可以解开困惑。
）2、探索交流、开展新科活动1 问题2：毕得格拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500年前，一次他去朋友家做客，发现朋友家的用砖铺成的地面反映了直角三角形三边的某种关系。
我们来观察一下图中的地面，看看能发现些什么？问题3：你能发现下图中等腰直角三角形A、B、C有什么性质吗？问题4：等腰三角形都有上述性质吗？观察下图，回答问题。
（1）观察图1 正方形A中含有个小方格，即A的面积是个单位面积。
正方形B中含有个小方格，即B的面积是个单位面积。
正方形C中含有个小方格，即C的面积是个单位面积。
（2）在图2、图3中，正方形A、B、C中个含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你如何得到上述结果的？与同伴交流。
（2）请将上述结果填入下表，你能发现正方形A、B、C的面积关系吗？（设计意图：通过学生观察计算，发现对于等腰直角三角形而言，满足两直角边的平方和等于斜边的平方。
通过探究、发现，体会数形结合思想。
）命题一如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2活动2 问题5：等腰三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗？如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中A、B、C、A‘、B‘、C’的面积，看看能得出什么结论？（问题6：给出一个边长为0.5、1.2、1.3，这种含小数的直角三角形，也满足上述结论吗？（设计意图：进一步让学生体会观察、猜想、归纳这一数学结论的发现过程，提高学生的分析问题、解决问题的能力。
人教版数学八年级下册17.1勾股定理(第一课时)优秀教学案例
4.总结归纳：教师组织学生进行总结，让学生分享自己在学习勾股定理过程中的收获和感悟。通过总结归纳，教师帮助学生巩固所学知识，构建知识体系，提高学生的知识运用能力。
2.教师设计具体情境，如测量未知边长的直角三角形，让学生面临实际问题，引出勾股定理的学习需求。
3.教师利用多媒体课件，展示勾股定理的动态演示，帮助学生直观理解勾股定理的含义和应用。
（二）讲授新知
1.教师引导学生从特殊到一般，思考直角三角形边长之间的关系，引导学生发现勾股定理的规律。
2.教师给出勾股定理的定义，解释勾股定理的表达式，并通过几何图形的演示，帮助学生理解勾股定理的含义。
（三）小组合作
1.教师将学生分为若干小组，鼓励学生相互讨论、交流，共同探究勾股定理的证明方法。
2.教师设计合作任务，如共同制作勾股定理的演示道具，让学生在实践中深化对勾股定理的理解。
3.教师组织小组竞赛，激发学生的竞争意识和团队合作精神，提高学生的学习积极性。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，如在学习勾股定理的过程中遇到了哪些困难，如何克服等。
2.学生通过教师引导，运用数学归纳法证明勾股定理，培养逻辑思维与推理能力。
3.学生通过解决实际问题，运用勾股定理，提高问题解决能力，培养创新实践能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生感受数学文化的魅力，了解勾股定理的历史背景，提高对数学学科的兴趣。
2.学生在探究过程中，培养克服困难、勇于探索的精神，增强自信心。
五、案例亮点
1.1探索勾股定理(第1课时)(教案)
（3）灵活运用勾股定理进行计算，特别是在涉及到无理数和近似值的情况下。
难点解析：学生在计算过程中可能对无理数的处理和近似值的取舍感到困惑，教师应教授相应的计算技巧，并强调计算准确性。
4.通过实际操作，探索勾股定理的证明方法，增强学生的空间想象力和逻辑思维能力。
5.了解勾股定理在实际生活中的应用，提高学生的应用意识。
本节课将结合教材内容，以实际问题引入勾股定理，引导学生通过观察、思考和讨论，探索并掌握勾股定理。
二、核心素养目标
《探索勾股定理》核心素养目标：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过观察、分析和推理，理解并掌握勾股定理及其证明过程。
举例：通过实际案例，如房屋建筑中直角三角形的边长计算，强调勾股定理在实际生活中的应用。
2.教学难点
（1）理解勾股定理的证明过程，尤其是通过几何图形推导出定理的表达式。
难点解析：学生可能难以理解如何从直角三角形的性质推导出勾股定理，需要教师通过直观的图形演示和详细的步骤讲解，帮助学生理解。
（2）在实际问题中，如何正确运用勾股定理建立数学模型，解决实际问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表达式和证明过程这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和步骤分解来帮助大家理解。
人教版八年级下册17.1《勾股定理》第一课时教学设计
2.培养学生严谨、细致的学习态度，养成科学的学习方法。
3.引导学生体会数学的简洁美、逻辑美，提高学生的审美情趣。
4.培养学生团队合作意识，学会倾听、尊重他人的意见，形成良好的沟通能力。
二、学情分析
八年级下册的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了直角三角形的基本概念和性质，能够进行简单的几何图形的推理和计算。在此基础上，他们对勾股定理这一章节的学习将更加深入地理解直角三角形的内在联系。然而，学生在解决实际问题时，可能仍存在以下困难：对勾股定理的理解不够深入，不能灵活运用；在计算过程中容易出现粗心大意的情况；对于定理的证明过程，可能感到困惑。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，提供充足的实践机会，引导学生通过自主探究、合作交流等方式，逐步提高解决问题的能力，增强数学思维能力。同时，注重激发学生的学习兴趣，培养他们面对困难的勇气和毅力，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学。
3.拓展提高题：针对学有余力的学生，设计一道涉及勾股定理与其他数学知识相结合的题目，鼓励学生进行思考和探究。
4.小组合作作业：布置一道小组合作完成的作业，要求学生相互讨论、分工合作，共同解决一个较为复杂的勾股定理问题。培养学生团队合作意识，提高交流沟通能力。
5.思考题：提出一个关于勾股定理的思考题，引导学生深入思考定理的本质和内涵，激发学生的求知欲。
2.创设情境：展示一个实际情境，如一块直角三角形的土地，要求学生计算斜边的长度。让学生意识到勾股定理在实际生活中的应用，为新课的学习奠定基础。
（二）讲授新知
1.勾股定理的概念：通过导入环节的实际问题，引导学生观察直角三角形的边长关系，发现勾股定理。用数学符号表示勾股定理，并解释定理的含义。
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教 教师活动内容、方式
学
内
容 学生活动方式
设计意图
一、情境创设 1、复习提问：直角三角形边、角有哪些性质？ 2 、用多媒体展示邮票，引导学生 一起观察分析这枚邮票的图案，见 教材 P44 的图 2-1， 你有哪些发现？ 二、勾股定理的探究 1 、教师活动：出示幻灯片给出教 科中“如图 2-1，小方格的面积看 作 1，以 BC 为一边的正方形的面积是 9，以 AC 为一边 的正方形的面积是 16，你能计算出以 AB 为一边的正方 阅读游戏规则，分 组动手做游戏，游 戏前找两位同学 演示实验。
即：
学生观察图形，思 考，并口算
a2 b2 c2
其中 a 、 b 是两直角边， c 是斜边
教师活动内容、方式
学生活动方式
设计意图
你知道为什么会有这样的结论呢？你能说明吗？ 引导学生观察 P44 的云图，教者在黑板上画图，引导学 学 生 在 老 师 的 引 生思考 导下，研究课本 实际上， 图中的四边形面积可表示 P44 的云图，画出 其中的图形，并讨 b a (a b) 2 a 2 b 2 2ab 为 c a 论
教师活动内容、方式
学生活动方式
设计意图
四、学生课堂练习： 1、教材 P.45 第 2 题 2、直角三角形的两直角边分别是 3、4，则以斜边为 直径的圆的面积是多少？ 3、已知正方形的面积为 16cm ，以这个正方形的边长为 边做一个等边三角形，则其一边上的高的平方等于多 少？ 课堂小结： 1、 请你说说勾股定理 2、 勾股定理揭示了“形”与“数的内在联系，你还能 举例说明这种联系吗？
通过教计 算促使学 形的面积吗？” 生积极的 思考，主 2、实验：引导学生认真看课本 P44 实验，并在课本 P45 学生动手操作 动地进行 的格线图上，完成画图过程 由邮票到 3、通过以上练习，你对直角三角形的三边之间的数量 图 2-1 的 思考、讨论并回答 联想 关系有什么联想？ 从中使学 （教者引导学生讨论，并归纳出结论） 生不断积 勾股定理： 累数学活 动的经验 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
苏科版初二数学课时设计活页纸
总 课 题 课 题 教学目标 教学重点 教学难点 教具准备 教学过程
第二章 勾股定理与平方根 §2.1 勾股定理（1）
总 了解利用拼图验证勾股定理的方法。 2、经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合思想 体验勾股定理的探索过程 勾股定理在生活实际中的应用
5 x 12
由学生解答
8 x 16
17
教学中要 让学生充 分地进行 交流
x 30
三、介绍勾股定理的历史和地位，体现勾股定理数学的 价值。 1、 “勾” “股” “弦”的含义 2、 《周髀算经》中周公与商高的对话。勾股定理又称 为商高定理的道理。 4、勾股定理是数学上有证明方法最多的定理——有 四百多种。
c b c a c b b
a
1 ab 4 c 2 还可以表示为 2 ， 而这
两者是相等的， 所以就可以得到式
a 2 b 2 2ab
子 化简可得
1 ab 4 c 2 2
a2 b2 c2
把图形进 行“割”和 “补” ，两 种方法体 现的是同 一种思想 ——化归 思想
第二个云图中的内容可以让学生自己思考 例题：课本 P45 练习 1 求下列直角三角形中未知边的长：