三角函数的概念学案
5.2.1 三角函数的概念(教学设计)
5.2.1 三角函数的概念课程目标1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．3.掌握公式一并会应用．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；4.数学运算：诱导公式一的运用.重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本177-180页，思考并完成以下问题1．任意角三角函数的定义？2．任意角三角函数在各象限的符号？3．诱导公式一？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究 1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． 2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：图1-2-1 (2)结论①y 叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx (x ≠0)． (3)总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．思考：若已知α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，则其三角函数定义为？在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点O 的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)． 三角函数定义定义域 名称 sinα yr R 正弦 cosα x r R余弦tanαy x⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠k π＋π2，k ∈Z正切正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数. 3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数 定义域 sin α R cos αRtan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示：图1-2-2(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．四、典例分析、举一反三题型一 三角函数的定义及应用例1：求53π的正弦、余弦和正切值.例2 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值． 【解析】当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝－12＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P ′(1，－2)， 则r ＝12＋－22＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.基础练习题 1、求π4、3π2、7π6的三角函数值.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 本节课我们主要学习了哪些内容? 1.三角函数的定义.2.运用三角函数数学思想解决问题.六、板书设计七、作业课本179页练习及182页练习.本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，借助单位圆探究任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念，且借助单位圆与直角坐标系探究三角函数在各个象限符号，并会灵活运用.。
三角函数的定义及应用教学教案(优秀4篇)
三角函数的定义及应用教学教案（优秀4篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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教学设计2：5.2.1 三角函数的概念
5.2.1三角函数的概念【教学目标】1．能用三角函数的定义进行计算．2．熟记正弦、余弦、正切在各象限的符号，并能进行简单的应用．3．会利用诱导公式一进行有关计算．【要点梳理】1．任意角的三角函数的定义如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)温馨提示：(1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确α是一个任意角．(2)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P(x，y)所在终边上的位置无关，而由角α的终边位置决定．(3)要明确sin x是一个整体，不是sin与x的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．2．三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．诱导公式一即终边相同的角的同一三角函数值相等．【思考诊断】1．若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sinα与sinβ，cosα与cosβ，tanα与tanβ之间有什么关系？[答案]sinα＝sinβ，cosα＝cosβ，tanα＝tanβ2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α＝β＋720°，则cosα＝cosβ.()(2)若sinα＝sinβ，则α＝β.()(3)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.()(4)任意角α的正弦值sinα、余弦值cosα、正切值tanα都有意义．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×【课堂探究】题型一任意角的三角函数的定义及其应用【典例1】(1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.(2)已知角α的终边落在直线3x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．[思路导引]利用三角函数的定义求解．[解析] (1)∵x ＝5，y ＝－12，∴r ＝52＋(－12)2＝13，则sin α＝y r ＝－1213，cos α＝x r ＝513，tan α＝y x ＝－125. (2)直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r ＝(－1)2＋(3)2＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3；在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r ＝12＋(－3)2＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3. [答案] (1)－1213 513 －125(2)见解析 [名师提醒]求任意角的三角函数值的2种方法方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P 的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P (x ，y )，(P 与原点不重合)； 第二步，计算r ：r ＝|OP |＝x 2＋y 2；第三步，求值：由sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)求值． 在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用．[针对训练]1．已知角α的终边经过点P (1，－1)，则sin α的值为( )A.12B.32C.22 D ．－22[解析] ∵α的终边经过点P (1，－1)，∴sin α＝－112＋(－1)2＝－22. [答案] D2．已知角α的终边与单位圆的交点为⎝⎛⎭⎫－12，y (y <0)，则sin αtan α＝________. [解析] ∵α的终边与单位圆的交点为⎝⎛⎭⎫－12，y ， ∴⎝⎛⎭⎫－122＋y 2＝1，即y 2＝34，又∵y <0，∴y ＝－32. ∴sin α＝－32，tan α＝3，sin αtan α＝－32×3＝－32. [答案] －32题型二 三角函数在各象限的符号问题【典例2】 判断下列各式的符号：(1)sin105°·cos230°；(2)cos3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3. [思路导引] 利用三角函数在各象限的符号判断．[解] (1)因为105°，230°分别为第二、三象限角，所以sin105°>0，cos230°<0.于是sin105°·cos230°<0.(2)因为π2<3<π，所以3是第二象限角，所以cos3<0， 又因为－2π3是第三象限角，所以tan ⎝⎛⎭⎫－2π3>0，所以cos3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3<0. [名师提醒]判断三角函数值正负的2个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 注意：若sin α>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y 轴的非负半轴上．[针对训练]3．设θ是第三象限角，且满足⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，则角θ2为第________象限角． [解析] 因为θ是第三象限角，所以π＋2k π<θ<32π＋2k π，k ∈Z ， 所以π2＋k π<θ2<34π＋k π，k ∈Z ，所以角θ2为第二、四象限角． 又因为⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，所以sin θ2<0，所以θ2为第四象限角． [答案] 四题型三 诱导公式一的应用【典例3】 求下列各式的值：(1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.[思路导引] 利用诱导公式将角化到0°～360°范围内，再求解．[解] (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋12＝52. [名师提醒](1)公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．利用它可将大角转化为[0,2π)范围内的角，再借助特殊角的三角函数值达到化简求值的目的．(2)熟记一些特殊角的三角函数值．[针对训练]4．计算下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan4π. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12. 【课堂小结】1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数．2．角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．3．公式一的理解(1)公式一的实质：是说终边相同的角的三角函数值相等，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律．(2)公式一的作用利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0～2π间角的三角函数，亦可把大于2π的角的三角函数化为0～2π间角的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.【随堂巩固】1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45[解析] ∵x ＝－4，y ＝3，∴r ＝(－4)2＋32＝5，∴cos α＝x r ＝－45＝－45，故选D. [答案] D2．sin ⎝⎛⎭⎫－35π6的值等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫－35π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π＋π6＝sin π6＝12，∴选A. [答案] A3．若sin α<0且tan α>0，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 由于sin α<0，则α的终边在第三或第四象限或y 轴非正半轴上，又tan α>0，则α的终边在第一或第三象限，所以α的终边在第三象限．[答案] C4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝________. [解析] ∵cos α＝－45<0，∴α角应为第二或第三象限角， 又∵y ＝－6<0，∴α为第三象限角，∴m <0 又∵－45＝m m 2＋(－6)2，∴m ＝－8. [答案] －85．求值：tan405°－sin450°＋cos750°.[解] tan405°－sin450°＋cos750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋32＝32。
三角函数的定义教案
三角函数的定义教案使学生理解并掌握三角函数线的作法，能利用三角函数线解决一些简单问题. 2.培养学生分析、探索、归纳和类比的能力，以及形象思维能力。
下面是我给大家整理的三角函数的定义教案5篇，希望大家能有所收获!三角函数的定义教案1教学准备教学目标1、知识与技能(1)了解周期现象在现实中广泛存在;(2)感受周期现象对实际工作的意义;(3)理解周期函数的概念;(4)能熟练地判断简单的实际问题的周期;(5)能利用周期函数定义进行简单运用。
2、过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象;从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义;根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
教学重难点重点:感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点:周期函数概念的理解，以及简单的应用。
教学工具投影仪教学过程【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。
众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
(板书课题)【探究新知】1.我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片(投影图片)，注意波浪是怎样变化的?可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
(单摆运动、四季变化等)(板书：一、我们生活中的周期现象)2.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”?②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么?③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”?④对于周期函数的定义，你的理解是怎样?以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T;x 必须是定义域内的任意值;f(x+T)=f(x)。
三角函数教案
三角函数教案在教学工作者实际的教学活动中，就有可能用到教案，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。
快来参考教案是怎么写的吧！下面是店铺帮大家整理的三角函数教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。
三角函数教案篇1一、指导思想与理论依据数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科。
因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。
所以在学生为主体，教师为主导的原则下，要充分揭示获取知识和方法的思维过程。
因此本节课我以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解决方法”为主，主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的教学方法。
在教学手段上，则采用多媒体辅助教学，将抽象问题形象化，使教学目标体现的更加完美。
二、教材分析三角函数的诱导公式是普通高中课程标准实验教科书（人教a版）数学必修四，第一章第三节的内容，其主要内容是三角函数诱导公式中的公式（二）至公式（六）。
本节是第一课时，教学内容为公式（二）、（三）、（四）。
教材要求通过学生在已经掌握的任意角的三角函数的定义和诱导公式（一）的基础上，利用对称思想发现任意角与终边的对称关系，发现他们与单位圆的交点坐标之间关系，进而发现他们的三角函数值的关系，即发现、掌握、应用三角函数的诱导公式公式（二）、（三）、（四）。
同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法，为培养学生养成良好的学习习惯提出了要求。
为此本节内容在三角函数中占有非常重要的地位。
三、学情分析本节课的授课对象是本校高一（1）班全体同学，本班学生水平处于中等偏下，但本班学生具有善于动手的良好学习习惯，所以采用发现的教学方法应该能轻松的完成本节课的教学内容。
四、教学目标（1）、基础知识目标：理解诱导公式的发现过程，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式；（2）、能力训练目标：能正确运用诱导公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及进行简单的三角函数求值与化简；（3）、创新素质目标：通过对公式的推导和运用，提高三角恒等变形的能力和渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力；（4）、个性品质目标：通过诱导公式的学习和应用，感受事物之间的普通联系规律，运用化归等数学思想方法，揭示事物的本质属性，培养学生的唯物史观。
高中数学教案《三角函数的概念》
教学计划：《三角函数的概念》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够准确理解三角函数（正弦、余弦、正切）的基本定义，并能识别其在直角三角形中的表示。
o学生能够掌握三角函数值与角度之间的对应关系，理解三角函数是周期函数的特点。
o学生能够运用三角函数的基本性质进行简单的计算与推导。
2.过程与方法：o通过观察、比较和归纳，引导学生从实际情境中抽象出三角函数的概念。
o借助图像直观展示三角函数的周期性，培养学生的数形结合能力。
o通过小组讨论和合作学习，促进学生之间的交流与合作，共同探索三角函数的性质。
3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，感受数学与生活的紧密联系。
o培养学生的探究精神和创新思维，鼓励他们勇于提出问题并尝试解决。
o引导学生认识到数学在解决实际问题中的重要性，增强应用数学的意识。
二、教学重点和难点●重点：三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、图像及基本性质。
●难点：理解三角函数值与角度之间的对应关系，以及三角函数周期性的概念。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：通过展示如钟摆运动、海浪波动等自然界中的周期性现象，引导学生思考这些现象背后的数学规律，从而引出三角函数的概念。
●复习旧知：回顾直角三角形的相关知识，如勾股定理、锐角与钝角的定义，为学习三角函数做好铺垫。
●明确目标：简要介绍本节课的学习目标，即掌握三角函数的基本概念、图像及基本性质。
2. 讲授新知（15分钟）●定义讲解：详细讲解正弦、余弦、正切三种三角函数在直角三角形中的定义，强调它们与边长的比例关系。
●图像展示：利用多媒体设备展示三种三角函数的图像，引导学生观察图像特征，如正弦、余弦函数的周期性，正切函数的间断性等。
●性质归纳：结合图像，引导学生归纳出三角函数的基本性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性等。
3. 互动探究（10分钟）●小组讨论：将学生分成若干小组，每组分配一个探究任务，如“探究正弦函数在哪些区间内是增函数？”、“尝试用三角函数表示一个圆上某点的坐标”。
5.2.1三角函数的概念(1)学案(学生版)人教版高中数学必修一
5.2.1 三角函数的概念（第1课时）【学习目标】1.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．【教材知识梳理】一．利用单位圆定义任意角的三角函数在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以 为半径的圆为单位圆． 前提 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R ，它的终边与 交于点P (x ，y )，那么：定义 正弦把点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记作 ，即y ＝ 余弦把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记作 ，即x ＝ 正切单位圆上点P 的纵坐标与横坐标的比值y x为函数值的函数叫做α的正切函数，记作 ，即y x ＝ (x ≠0) 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数．正弦函数y ＝sin x ，定义域为 ；余弦函数y ＝cos x ，定义域为 ；正切函数y ＝tan x ，定义域为 .α的终边上任意一点的坐标定义三角函数推广到一般情况：设α为一个任意角，在α的终边上任取一点P (异于原点)，其坐标为(x ，y )，且OP ＝r ＝ x 2＋y 2 (r ＞0)，则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x ≠0). 注意：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P (x ，y )所在终边上的位置无关，而由角α的终边位置决定．二．三角函数值在各象限的符号三角函数值的符号变化规律可概括为“ ”，即第一象限各三角函数值均为正，第二象限只有正弦值为正，第三象限只有正切值为正，第四象限只有余弦值为正.概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若sinα＝sinβ，则α＝β.( )(2)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.( )(3)任意角α的正弦值sinα、余弦值cosα、正切值tanα都有意义．( )(4)若α是第二象限角，且(,)P x y 是其终边与单位圆的交点，则cos x α=-．（ ）(5)由三角函数的定义，可知1≤sinα≤1.（ ）【教材例题变式】【源于P179例2】例1 (1)若角α的终边经过点P (5，－12)，求sin α，cos α，tan α的值．(2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．【源于P178例1】例2 .利用三角函数的定义求下列各角的正弦、余弦和正切值． (1)2π； (2)4π-； (3)34π， (4)73π． 【源于P180例3】例3 .对于sin 0θ>，②sin 0θ<，③cos 0θ>，④cos 0θ<，⑤tan 0θ>与⑥tan 0θ<，选择恰当的关系式序号填空：（1）角θ为第一象限角的充要条件是_____；（2）角θ为第二象限角的充要条件是_____； （3）角θ为第三象限角的充要条件是_____；（4）角θ为第四象限角的充要条件是______.【源于P181例4】例4 .确定下列三角函数值的符号：①sin 156°；②cos 165π；③cos(－450°)；④tan )817(π-；⑤sin )34(π-；⑥tan 556°. 【教材拓展延伸】例5．（1）已知θ是第二象限角，试判断()()tan sin tan cos θθ的符号．（2）若()()sin cos cos sin 0θθ<，求θ的终边的位置．【课外作业】基础过关：1．已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（ ）A ．45B ．35C ．35D ．45- 2．若sin 0α<，且tan 0α>，则α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 3．点()cos2023,tan8A ︒在平面直角坐标系中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点P m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A ．BC ． D5．已知角θ的终边经过点1,2P ⎛- ⎝⎭，则角θ可以为（ ） A ．76π B ．23π C ．43π D ．53π 6．（多选）已知点()(),20P m m m -≠是角α终边上一点，则（ ）A ．tan 2αB ．cos αC ．sin cos 0αα<D ．sin cos 0αα> 7．若点(4,)P a -在角240°的终边上，则实数a 的值是__________.8．点P 从点()10A ，出发，沿单位圆221x y +=逆时针方向运动23π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标是___________.9．已知角α的终边落在直线3y x =-上，求2sin 3cos αα+的值.能力提升：10.设角θ是第一象限角，且满足cos=cos 22θθ-，则2θ的终边所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．（多选）函数y sin cos tan sin cos tan x x x x x x =++的值可能为（ ） A ．﹣3 B ．3 C ．1 D ．﹣112．（多选）给出下列各三角函数值，其中符号为负的是（ ）A ．sin(100°)B ．cos(220°)C ．tan(10)D ．cos013．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．14．已知角α的终边上一点P 与点()1,2A -关于y 轴对称，角β的终边上一点Q 与点A 关于原点O 中心对称，则sin sin αβ+=______．15．已知角α的终边上有一点)1Pa +，a ∈R ． (1)若60α=︒，求实数a 的值．(2)若cos 0α>且tan 0α<，求实数a 的取值范围．16．如图所示，滚珠P ，Q 同时从点(2,0)A 出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，滚珠Q 按顺时针方向每秒钟转6π弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．(1)求滚珠P ，Q 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；(2)求从出发到第二次相遇滚珠P ，Q 各自滚动的路程．。
三角函数教学教案
三角函数教学教案一、教学目标：1. 让学生理解三角函数的概念，掌握三角函数的基本性质和图像。
2. 培养学生运用三角函数解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的兴趣和积极性。
二、教学内容：1. 三角函数的概念和定义2. 三角函数的图像和性质3. 特殊角的三角函数值4. 三角函数的运算5. 三角函数在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 重点：三角函数的概念、图像和性质，特殊角的三角函数值，三角函数的运算。
2. 难点：三角函数图像的分析和运用，实际问题的解决。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索和发现三角函数的规律。
2. 利用多媒体课件，展示三角函数的图像和实际应用场景。
3. 开展小组讨论，培养学生的合作能力和口头表达能力。
4. 注重个体差异，给予学生个性化的指导和关爱。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示生活中常见的三角函数应用场景，激发学生的学习兴趣。
2. 知识讲解：讲解三角函数的概念、定义和图像，引导学生理解并掌握三角函数的基本性质。
3. 特殊角的三角函数值：让学生自主探究特殊角的三角函数值，培养学生的自主学习能力。
4. 三角函数的运算：通过例题讲解和练习，使学生掌握三角函数的运算方法。
5. 应用拓展：布置课后作业，让学生运用所学知识解决实际问题。
6. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
7. 课后反思：教师根据学生的反馈，调整教学方法，为下一节课做好准备。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况以及小组合作表现，了解学生的学习状态和兴趣。
2. 作业评价：通过学生提交的作业，检查学生对课堂所学知识的掌握程度和应用能力。
3. 测试评价：定期进行小型测试，评估学生对三角函数知识的系统掌握情况。
4. 学生自评与互评：鼓励学生进行自我评价和同伴评价，促进学生自我反思和相互学习。
七、教学资源：1. 教材：选用适合学生水平的三角函数教材，提供系统的学习材料。
教学设计1：5.2.1 三角函数的概念
5.2.1三角函数的概念【课标要求】课程标准：1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.理解终边相同的角的同一三角函数值相等．教学重点：三角函数的定义；三角函数在各象限内的符号．教学难点：任意角的三角函数的定义的建构过程.【知识导学】知识点一三角函数的概念(1)单位圆中三角函数的定义(2)三角函数的定义域知识点二三角函数值的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．知识点三诱导公式(一)【新知拓展】(1)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．(2)终边相同的角的同名三角函数值相等．【基础自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α＝β＋720°，则cosα＝cosβ.()(2)若sinα＝sinβ，则α＝β.()(3)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(1)若sinα<0，且tanα<0，则α在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.(3)tan405°－sin450°＋cos750°＝________.(4)sin2·cos3·tan4的值的符号为________．答案 (1)D (2)－1213 513 －125 (3)32(4)负 【题型探究】题型一 三角函数的定义例1 已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．[解] r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |，若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34； 若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34. [条件探究] 在本例中，若将题设条件改为：已知角α的终边在直线y ＝3x 上，问题不变，怎样求解？解 因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点．则r ＝ a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)．若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ，sin α＝3a 2a ＝32， cos α＝a 2a ＝12，tan α＝3a a＝ 3. 若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ，sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝a －2a＝－12，tan α＝3a a ＝ 3. 金版点睛利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．方法二：在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝y r ，cos α＝x r.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．(3)若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．[跟踪训练1] (1)设a <0，角α的终边与单位圆的交点为P (－3a,4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A.25 B ．－25 C.15 D ．－15(2)已知角α终边上的点P (4,3m )，且sin α＝22m ，求m 的值． 答案 (1)A (2)见解析解析 (1)∵点P 在单位圆上，则|OP |＝1.即(－3a )2＋(4a )2＝1，解得a ＝±15. ∵a <0，∴a ＝－15，∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－45， ∴sin α＝－45，cos α＝35， ∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25. (2)∵P (4,3m )，∴r ＝16＋9m 2，∴sin α＝y r ＝3m 16＋9m 2＝22m ， 两边平方，得9m 216＋9m 2＝12m 2. ∴m 2(9m 2－2)＝0，∴m ＝0或m ＝±23. 题型二 三角函数值的符号例2 (1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)判断下列各式的符号：①tan120°·sin269°；②cos4·tan ⎝⎛⎭⎫－23π4. [解析] (1)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二、三象限角．由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，从而α为第三、四象限角． 综上可知，α为第三象限角．(2)①∵120°是第二象限角，∴tan120°<0.∵269°是第三象限角，∴sin269°<0，∴tan120°·sin269°>0.②∵π<4<3π2，∴4弧度是第三象限角，∴cos4<0. ∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角， ∴tan ⎝⎛⎭⎫－23π4>0，∴cos4·tan ⎝⎛⎭⎫－23π4<0. [答案] (1)C (2)见解析金版点睛判断给定角的三角函数值正负的步骤(1)确定α的终边所在的象限；(2)利用三角函数值的符号规律，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断．[跟踪训练2] (1)若三角形的两内角A ，B 满足sin A ·cos B <0，则此三角形必为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都有可能(2)点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角．答案 (1)B (2)二解析 (1)三角形内角的取值范围是(0，π)，故sin A >0.因为sin A cos B <0，所以cos B <0，所以B 是钝角，故三角形是钝角三角形．(2)因为点P (tan α，cos α)在第三象限，所以tan α<0，cos α<0，则角α的终边在第二象限. 题型三 与三角函数有关的定义域问题例3 求下列函数的定义域：(1)y ＝sin x ＋cos x tan x； (2)y ＝－cos x ＋sin x .[解] (1)要使函数有意义，需tan x ≠0，∴x ≠k π＋π2，且x ≠k π，k ∈Z ，∴x ≠k π2，k ∈Z . 于是函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ∈R ，x ≠k π2，k ∈Z . (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧－cos x ≥0，sin x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k π＋π2≤x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，解得2k π＋π2≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )， ∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z . 金版点睛求解函数定义域的解题策略(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于与三角函数有关的函数定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．[跟踪训练3] 求下列函数的定义域：(1)y ＝sin x ＋tan x ；(2)y ＝sin x ＋tan x .解 (1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ∈R ，x ≠k π＋π2(k ∈Z )， ∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)当sin x ≥0且tan x 有意义时，函数才有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤(2k ＋1)π，x ≠k π＋π2(k ∈Z )． ∴函数的定义域为{ x | 2k π≤x <2k π＋π2或2k π＋π2<x ≤2k π＋π，k ∈Z }. 题型四 诱导公式(一)的应用例4 计算：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5tan4π； (2)sin1140°cos(－690°)＋tan1845°.[解] (1)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos 12π5tan0＝sin π6＋0＝12. (2)原式＝sin(3×360°＋60°)cos(－2×360°＋30°)＋tan(5×360°＋45°)＝sin60°cos30°＋tan45°＝32×32＋1＝74. 金版点睛利用诱导公式化简的步骤(1)将已知角化为k ·360°＋α(k 为整数，0°≤α<360°)或2k π＋β(k 为整数，0≤β<2π)的形式．(2)将原三角函数值化为角α的同名三角函数值．(3)借助特殊角的三角函数值或任意角的三角函数的定义达到化简求值的目的．[跟踪训练4] 求下列各式的值： (1)cos 25π3＋tan(－15π4))； (2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.解 (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋12＝52. 【随堂达标】1．如果角α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于( ) A.12B ．－12C ．－32D ．－33 答案 C解析 由题意得P (1，－3)，它与原点的距离r ＝12＋(－3)2＝2，所以sin α＝－32. 2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( ) A ．1B ．0C ．2D ．－2 答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 3．在△ABC 中，若sin A cos B tan C <0，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C．钝角三角形D．锐角或钝角三角形答案C解析因为sin A>0，所以cos B，tan C中一定有一个小于0，即B，C中有一个钝角．4．若750°角的终边上有一点(4，a)，则a＝________.答案43 3解析tan750°＝tan(360°×2＋30°)＝tan30°＝33＝a4，解得a＝433.5．计算sin810°＋tan765°＋tan1125°＋cos360°.解原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋0°)＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0°＝1＋1＋1＋1＝4.。
三角函数的概念教案(一)
三角函数的概念教案(一)三角函数的概念教学教案教学目标通过本次课程的学习，学生将会掌握以下知识：1.了解三角函数的概念和定义2.掌握三角函数的基本性质和特点3.能够在不同三角函数之间进行转化和变形4.能够应用三角函数解决简单的实际问题教学重点•理解三角函数的三角形定义•理解正弦、余弦、正切、余切的定义•了解三角函数的图像及其周期性教学难点•通过三角函数图像，探究其性质和特点•能够理解三角函数在不同象限的变化教学过程导入-启发式问题•教师提问：“环球旅行家徐霞客曾在他的游记中提到：’在线段AC上取B点，将∠CAB顶点落在直线PQ上，则BC/AB与PQ呈怎样的关系呢？”•学生思考，回答问题。
教师引导学生，让学生通过作图和讨论来推导出正弦函数的定义。
基本概念的介绍•介绍三角函数的定义和基本性质•介绍正弦、余弦、正切、余切的定义•介绍三角函数的图像及其周期性三角函数的图像及性质•将正弦、余弦、正切、余切的图像展示给学生•引导学生通过观察图像，得出三角函数的一些特点，如周期、最大值、最小值等•让学生通过绘制函数曲线，尝试构造更多的三角函数图像，并探究其性质和特点•让学生通过比较三角函数的图像，了解另外三个基本三角函数的定义三角函数的性质和变换•引导学生探究三角函数在不同象限的变化•教师讲解三角函数的一些常用变换，如平移、伸缩、反转等，让学生通过绘图来理解其作用和效果•给学生一些简单的练习题，让他们尝试将不同的函数变形成指定的函数三角函数的应用•通过练习，让学生熟悉如何使用三角函数解决实际问题，如测量远距离的高度、计算三角形的边角等•引导学生通过思考，定制问题，将三角函数的使用延伸至其他领域总结•教师对本节课中涉及的概念、知识点以及解题方法进行总结，巩固学生的学习成果•对本节课学生表现出色的同学进行表扬，激励其学习积极性•指出学生在学习中存在的问题，为下节课的教学提出相应的建议课后作业•请学生完成课后作业，巩固本节课所学知识，拓展思维，达到应用的目的。
三角函数的定义及应用教学教案【优秀4篇】
三角函数的定义及应用教学教案【优秀4篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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三角函数的定义及应用教学教案
三角函数的定义及应用教学教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解三角函数的定义及其在直角坐标系中的表示方法；（2）掌握三角函数的图像和性质；（3）学会运用三角函数解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察和实验，引导学生发现三角函数的规律；（2）利用信息技术工具，探究三角函数的图像和性质；（3）培养学生的合作交流能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对三角函数的兴趣，培养其对数学美的感知；（2）培养学生勇于探索、积极思考的科学精神；（3）引导学生感受数学在生活中的应用，提高其数学素养。
二、教学内容1. 三角函数的定义（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的定义；（2）角度与弧度的转换。
2. 三角函数的表示方法（1）解析式的表示；（2）图像的表示；（3）表格的表示。
3. 三角函数的图像与性质（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的图像；（2）三角函数的周期性；（3）三角函数的奇偶性；（4）三角函数的单调性。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）三角函数的定义；（2）三角函数的表示方法；（3）三角函数的图像与性质。
2. 教学难点：（1）三角函数图像的绘制；（2）三角函数性质的证明。
四、教学方法与手段1. 教学方法：（1）讲授法：讲解三角函数的定义、表示方法和图像性质；（2）实验法：引导学生观察和绘制三角函数图像；（3）讨论法：分组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。
2. 教学手段：（1）多媒体课件：展示三角函数的图像和性质；（2）信息技术工具：辅助绘制三角函数图像；（3）黑板：板书关键公式和推导过程。
五、教学过程1. 导入新课：（1）复习已知函数的性质和图像；（2）提问：什么是三角函数？为什么学习三角函数？2. 讲解三角函数的定义：（1）介绍正弦函数、余弦函数、正切函数的定义；（2）讲解角度与弧度的转换。
3. 学习三角函数的表示方法：（1）解析式的表示；（2）图像的表示；（3）表格的表示。
三角函数的概念教案
三角函数的概念教案教学目标：1. 掌握三角函数的基本概念和属性；2. 学会利用三角函数计算三角形的面积和周长；3. 建立数学思维，培养分析问题，解决问题的能力。
教学重点：1. 三角函数的定义和性质；2. 利用三角函数计算三角形的面积和周长。
教学难点：1. 理解和掌握三角函数的性质和使用；2. 理解三角函数的意义及其在实际中的应用。
教学内容：一、三角函数的定义1. 正弦函数正弦函数是指一个角的正弦值与其对边的比值，即sin\alpha=\frac{a}{c} ，其中\alpha 为该角的度数，a 为该角的对边长，c 为该角的斜边长。
2. 余弦函数余弦函数是指一个角的余弦值与其邻边的比值，即cos\alpha=\frac{b}{c} ，其中\alpha 为该角的度数，b 为该角的邻边长，c 为该角的斜边长。
3. 正切函数正切函数是指一个角的正切值与其对边与邻边的比值，即tan\alpha=\frac{a}{b} ，其中 \alpha 为该角的度数，a 为该角的对边长，b 为该角的邻边长。
二、三角函数的性质1. 三角函数的定义域和值域正弦函数和余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]；正切函数的定义域为除了所有余切函数的零点以外的所有实数，值域为(-∞,∞)。
2. 周期性正弦函数和余弦函数的周期为360°或2π;正切函数的周期为180°或π。
3. 奇偶性正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
4. 关系式\sin^2\alpha+cos^2\alpha=11+tan^2\alpha=sec^2\alpha1+cot^2\alpha=csc^2\alpha5. 单调性正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数在定义域内都有单调性。
三、三角函数的应用1. 三角函数可用于计算三角形的面积和周长（1）利用正弦定理计算三角形面积设已知一个三角形，其三条边长分别为a、b、c，则该三角形的面积可以用正弦定理计算：S=\frac{1}{2}ab\frac{sinC}{C}=\frac{1}{2}(a\cdot b\cdot sinC)其中C为夹角，可以用余弦定理求出。
导学案2：1.2.1 三角函数的定义
必修四第一章三角函数1.2.1三角函数的定义使用说明：“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评．“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评．“巩固练习”5分钟，组长负责，组内点评．“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题．“能力展示”5分钟，教师作出总结性点评．通过本节学习应达到如下目标：1．认识并理解认识并理解任意角三角函数的定义及其应用；2．发展运用数学语言的能力，感受集合语言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界．3．通过合作学习培养合作精神．学习重点：认识并理解任意角三角函数的定义学习难点：任意角三角函数的定义学习过程一.自主学习概念：如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y,那么:(1)y叫做α的正弦(sine),记做sinα,即sin yα=；（2）x叫做α的余弦(cossine),记做cosα,即cos xα=；（3）yx叫做α的正切(tangent),记做tanα,即tan(0)yxxα=≠.二.合作探讨如何准确理解任意角三角函数的定义三.巩固练习1、已知sinαtanα≥0，则α的取值集合为 ．2、角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13cos ≠=m m α，则sinα+cosα=______． 3、已知角θ的终边在直线y = 33 x 上，则sin θ= ；θtan = ． 4、设θ∈（0，2π），点P （sin θ,cos2θ）在第三象限，则角θ的范围是 ．四.个人收获与问题知识：方法：我的问题：五.拓展能力：(1)已知角α的终边经过点P(4,－3)，求2sin α+cos α的值；（2）已知角α的终边经过点P(4a,－3a)(a≠0)，求2sinα+cosα的值；（3）已知角α终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3∶4（且均不为零），求2sinα+cosα的值．答案：三.巩固练习1、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+-Z k k k ,2222|ππαππα； 2、12=m 时，1317cos sin =+αα；12-=m 时，137cos sin -=+αα． 3、21sin ±=θ；33tan =θ． 4、4745πθπ<<．五.拓展能力（1）∵3,4-==y x ，∴5=r ，于是：5254532cos sin 2-=+-⋅=+αα． （2）∵a y a x 3,4-==，∴a r 5=，于是： 当0>a 时，5254532cos sin 2-=+-⋅=+αα 当0<a 时，5254532cos sin 2=-+⋅=+αα （3）若角α终边过点()3,4P ，则254532cos sin 2=+⋅=+αα； 若角α终边过点()3,4-P ，则5254532cos sin 2=-+⋅=+αα； 若角α终边过点()3,4--P ，则254532cos sin 2-=-+-⋅=+αα； 若角α终边过点()3,4-P ，则5254532cos sin 2-=+-⋅=+αα．。
《三角函数的概念》教学设计
《三角函数的概念》教学设计一、教学目标：1.了解三角函数的定义和性质。
2.掌握常见角的三角函数值的计算方法。
3.能够运用三角函数解决实际问题。
二、教学内容：1.三角函数的定义和性质。
2.常见角的三角函数值的计算。
3.三角函数的应用。
三、教学过程：步骤一：导入新知识教师用一张高中三角函数的海报引入新知识，向学生介绍三角函数在数学中的重要性和广泛使用。
步骤二：三角函数的定义和性质1.教师通过幻灯片和简单的例子，介绍正弦、余弦和正切的定义，并解释它们在定义域和值域上的关系。
2.学生通过小组活动，自主研究并总结正弦、余弦和正切函数的周期、奇偶性和对称性等性质，并在黑板上呈现出来。
3.教师对学生的总结进行点评和补充。
步骤三：常见角的三角函数值的计算1.教师通过多个角度的三角函数值计算，引导学生寻找计算的规律，并总结下来。
2.学生通过小组活动，自主研究不同角度的三角函数值计算，并在黑板上呈现出来。
3.教师对学生的总结进行点评和补充。
步骤四：三角函数的应用1.教师通过实际问题的例子，引入三角函数的应用领域。
2.学生通过小组活动，分析和解决实际问题，并在黑板上呈现出来。
3.教师对学生的解决过程和答案进行点评和补充。
步骤五：课堂练习教师设计一系列练习题，让学生巩固和应用所学的三角函数知识。
步骤六：作业布置教师布置相应的作业，让学生回家进行练习和巩固所学的知识。
四、教学手段和学具1.幻灯片：展示三角函数的定义和性质。
2.海报：引导学生思考三角函数的应用领域。
3.黑板：学生总结和呈现所学的知识。
4.练习题：巩固和应用所学的知识。
五、教学评价：1.教师通过课堂观察、小组活动和学生的呈现，对学生的学习情况进行评价。
2.教师根据学生的学习情况，对下一堂课的教学进行调整和改进。
六、板书设计1.三角函数的定义和性质- 正弦：sin(A)=a/c- 余弦：cos(A)=b/c- 正切：tan(A)=a/b2.常见角的三角函数值的计算- 0度：sin0°=0, cos0°=1, tan0°=0- 30度：sin30°=1/2, cos30°=√3/2, tan30°=√3/3- 45度：sin45°=√2/2, cos45°=√2/2, tan45°=1- 60度：sin60°=√3/2, cos60°=1/2, tan60°=√3- 90度：sin90°=1, cos90°=0, tan90°=无穷3.三角函数的应用-三角函数在航海、建筑、力学等领域的应用。
三角函数的概念学案
（1）sin145°cos（－210°）；
（2）sin3·cos4·tan5．
解析：（1）∵145°角是第二象限角，∴sin145°>0．
∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°角是第二象限角，
∴cos（－210°）<0，∴sin145°cos（－210°）<0．
（2）∵π<3<π<4<3π<5<2π，∴sin3>0，cos4<0，
A．正弦线 PM，正切线 A′T′ B．正弦线 MP，正切线 A′T′ C．正弦线 MP，正切线 AT D．正弦线 PM，正切线 AT 解析：α为第三象限角，故正弦线为 MP，正切线为 AT，所以 C 正确． 答案：C 2．sin780°的值为（ ） A．－ 3
2 B． 3
2 C．－1
2
D．1 2
1．在直角坐标系中作角． 2．画出单位圆求交点． 3．利用三角函数的定义求值． 教材反思：
已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：
（1）先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角
函数值．
（2）在α的终边上任选一点 P（x，y），P 到原点的距离为 r（r>0）．则 sinα＝y，cosα＝x.已知
r
r
α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
（3）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪训练 1：（1）若角α的终边经过点 P（5，－12），则 sinα＝________，cosα＝________，tanα
＝________．
（2）已知角α的终边落在直线 3x＋y＝0 上，求 sinα，cosα，tanα的值．
三角函数的概念 导学案 高一数学人教A版2019必修第一册
第五章 三角函数 5.2.1 三角函数的概念【学习要求】1.掌握任意角三角函数的定义,并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义;2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号 【教学过程】 一、情境引入1.提问：锐角α的正弦.余弦.正切怎样表示？2.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数.你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P x y ,它与原点的距离220r x y =+>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为x ,线段MP 的长度为y .则 sin ___.MP OP α==cos ___OM OP α==;tan ____.MPOMα==.二、知识点整理1．任意角三角函数的定义(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，在α的终边上任取一点(,)P x y ,它与原点的距离220r x y =+>.那么：sin ___.α=cos ___α=;tan ____.α=.对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦.余弦.正切都是以角为自变量，以坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．(2) 根据任意角的三角函数定义，将正弦.余弦.正切函数在弧度制下的定义域填入下表三角函数 定 义 域sin α cos α tan α(3)特别地，当α的终边与单位圆（以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆）相交于点(,)P x y ，此时____.r =则sin _____;cos _____;tan _____.ααα===αr x yM O P (x,y)xy2．正弦.余弦.正切函数值在各象限的符号对三角函数定义的理解：三、典型例题选讲（一）利用定义求任意角的三角函数值：例1. 已知角α的终边上一点(2,3)P-，求α的各三角函数值．【变式】1．已知角α终边上一点P(－3，y)，且sinα＝34y，求cosα和tanα的值．2. 已知角α的终边上一点P(－15a,8a) (a∈R且a≠0)，求α的各三角函数值．【思考】已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．例2.求下列各角的三个三角函数值：5(1)0;(2);(3)6ππ角α0π6π4π3π223π34π56ππ32πsin αcos αtan α（二）、判断三角函数值的符号 例3. (1)cos 260;(2)sin();(3)tan 33π︒-例4．若sin α<0且tan α>0，则α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角四.小结提升：通过这节课的学习①你经历了什么样的过程？②你获得了什么样的知识、技能、方法？③你感受最深的是什么？ 五、课堂练习（一）选择题1.已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为 （ ） A ．－55 B ．－ 5 C ．552 D ．25 2.α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ） A ．sin α B ．cos α C ．tan α D ．tan 1α 3.α是第二象限角，P （x , 5 ） 为其终边上一点，且cos α=42x ，则sin α的值为 （ ） A ．410 B ．46 C ．42 D ．－4104.已知角α的终边过点P （4a ,－3a ）（a <0）,则2sin α＋cos α的值是 （ ） A ．25 B ．－25 C ．0 D ．与α的取值有关5.若cos θ>0且sin θ<0，则角θ的终边所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6.已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－338. 函数|tan |tan cos |cos ||sin |sin x xx x x x y ++=的值域是（ ）A ．{1}B ．{1，3}C ．{-1}D ．{-1，3}（二）填空题9．已知角α的终边过点(3,4)P --，则sin _____;cos _____;tan _____.ααα=== 10．代数式：sin2·cos3·tan4的符号是________．（填“正”、“负”） 11. 角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13cos ≠=m mα，则sin α+cos α=______． 12．设角α的终边经过点(－6t ，－8t ) (t ≠0)，则sin α－cos α的值是________．（三）解答题13. (1) 已知角α的终边经过点P(4,－3)，求2sin α+cos α的值；（2）已知角α的终边经过点P(4a,－3a)(a ≠0)，求2sin α+cos α的值；14．已知角θ的终边上一点P (x,3) (x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.15.确定下列三角函数值的符号:(1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π16．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，求m －n 的值.【思考】已知角θ的终边在直线y =33x 上，求sin θ与θtan 的值．。
【高中数学】2023-2024学年人教A版必修第一册 三角函数的概念(第一课时)教案
5.2.1三角函数的概念（第一课时）一、教学目标借助单位圆理解任意角三角函数的定义.二、教学重难点1. 重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义.2. 难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数.三、教学过程1.任意角三角函数概念的形成1.1创设问题情景，引发认知冲突【问题情境】通过复习锐角三角函数定义，明确了锐角的三角函数是在直角三角形中定义的。
但现在角已经扩充为了任意角，锐角三角函数的定义已无法定义任意角的三角函数.【设计意图】通过问题情景，引发学生的认知冲突，激起学生探寻任意角三角函数定义的兴趣.1.2创设问题串，引导学生类比出三角函数的概念研究任意角一般是在平面直角坐标系中研究。
当锐角α确定，α的终边也就确定了，进而α的终边与单位圆的交点P(x,y)也就确定了.问题1：锐角α的三角函数值可以用P点的坐标表示吗？【预设的答案】可以；sinα=y,cosα=x,tanα=yx【设计意图】通过这个问题，让学生建立起锐角三角函数与锐角终边与单位圆交点的坐标的联系，突破学生对锐角三角函数定义的局限，为类比出任意角三角函数定义做铺垫.问题2： 类比锐角α的三角函数值与P 点的坐标的关系，可以定义任意角的三角函数吗？【预设的答案】可以；任意角α的终边与单位圆的交点为P(x,y)，那么sinα=y,cosα=x,tanα=y x【设计意图】1.3 概念形成教师总结：设α是一个任意角，α∈R ，它的终边OP 与单位圆相交于点P(x,y).（1）把点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα（2）把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα（3）把点P 的纵坐标和横坐标的比值y x 叫做α的正切，记作tanα，即 y x =tanα 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.问题：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是什么？【预设的答案】R ；R ；{|,}2k k Z πααπ≠+∈【设计意图】加深学生对任意角三角函数的理解.练习：求53π的正弦、余弦和正切值. 【预设的答案】sin 5π3＝－32，cos 5π3＝12，tan 5π3＝－3【设计意图】巩固任意角三角函数的概念.1.4 概念深入任意角α的三角函数可以用α的终边与单位圆相交于点P(x,y)的坐标表示.但角α的终边不仅可以由P 点坐标唯一确定，也可以由终边上其他点的坐标唯一确定，所以角α的三角函数也可以用终边上其他点的坐标表示.问题：设α是一个任意角，α∈R ，00(,)Q x y 为它的终边上的任意一点，将α的三角函数用00(,)Q x y 的坐标表示.【活动预设】（1）学生可能没有头绪，引导学生建立00(,)Q x y 与P(x,y)的联系.（2）学生可能只将某个确定象限的角α的三角函数用00(,)Q x y 的坐标表示；从角α是任意角这个角度引导学生，应对角α分象限分别表示.【设计意图】先让学生独立思考后再小组讨论，最后通过教师的引导，让学生自己探寻出结果，这样可以突破将角α的三角函数用角终边上任意一点坐标表示这个难点.教师总结：设α是一个任意角，α∈R ，Q(x,y)为它终边上任意一点，那么sin ,cos ,tan y x y r r xααα===，其中r = 2. 初步应用，理解概念例1. （1）角α的终边经过点P (－3，－4)求角α的正弦、余弦和正切值．（2）若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝35，求tan α的值.【预设的答案】sin α＝－45；cos ＝－35；tan α＝43；tan α＝43【设计意图】熟悉将角α的三角函数用角终边上任意一点坐标表示. 例2. 已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．【预设的答案】(1)若α的终边在第一象限内，设点P (a ,2a )(a >0)是其终边上任意一点，因为r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝5a所以sin α＝y r ＝2a 5a ＝255，cos α＝x r ＝a 5a＝55. (2)若α的终边在第三象限内，设点P (a ,2a )(a <0)是其终边上任意一点，因为r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝－5a (a <0)，所以sin α＝y r ＝2a －5a ＝－255，cos α＝x r ＝a －5a＝－55. 练习：1. 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，且cos θ＝－35，若点M (x ,8)是角θ终边上一点，求x 的值. 2. 点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达点Q ，求点Q 的坐标.【预设的答案】 1. 由任意角的三角函数的定义可得，cos θ＝x r ＝x x 2＋64＝－35，解得x ＝－6. 2. 点P 运动的弧长所对圆心角的弧度数也为2π3，由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. 【设计意图】巩固任意角三角函数的定义3. 回顾小结直角三角形中定义锐角三角函数直角坐标系中利用锐角终边与单位圆的交点坐标表示锐角三角函数直角坐标系中利用任意角终边与单位圆的交点坐标定义任意角的三角函数直角坐标系中利用任意角终边上任意一点定义任意角三角函数【设计意图】梳理任意角三角函数定义的全过程.四、课后作业。
2《三角函数的概念》课时1 一等奖创新教学设计
2《三角函数的概念》课时1 一等奖创新教学设计《三角函数的概念》教学设计课时1三角函数的概念必备知识学科能力学科素养高考考向1.三角函数的概念学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新数学抽象【考查内容】任意角三角函数定义、三角函数值的符号,诱导公式(一)及同角三角函数的基本关系. 【考查题型】选择题、填空题2.三角函数值的符号逻辑推理数学运算3.诱导公式一逻辑推理数学运算4.同角三角函数的基本关系逻辑推理数学运算一、本节内容分析本节内容包含三角函数的定义、性质和同角三角函数的基本关系.通过本节的学习,使学生根据三角函数的有关知识求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:核心知识1.三角函数的概念2.三角函数值的符号3.诱导公式一4.同角三角函数的基本关系数学抽象数学运算逻辑推理核心素养二、学情整体分析学生熟悉的函数是实数到实数的对应,这里给出的函数首先是实数(弧度数)到点的坐标的对应,然后才是实数(弧度数)到实数(横坐标或纵坐标)的对应,学生在理解上可能会有一定的困难.学情补充:______ _________________ _________三、教学活动准备【任务专题设计】1.三角函数的概念2.三角函数值的性质3.同角三角函数的基本关系式【教学目标设计】1.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.利用相似关系,由角α终边上任意一点的坐标得出任意角的正弦、余弦和正切的三角函数的定义.3.根据定义理解正弦、余弦和正切函数在各个象限及坐标轴上的符号,求一些特殊角的三角函数值.4.理解并掌握诱导公式(一),并会用公式(一)进行三角函数式的化简或恒等式的证明.5.利用同角三角函数的两个基本关系;解决较简单的求值、化简、恒等式证明等有关问题.【教学策略设计】1.理解三角函数的定义,并利用勾股定理得出同角三角函数的基本关系是本节课教学的关键,教学时,利用多媒体工具,可以很容易地建立起角的终边和单位圆的交点坐标的联系,并在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来,引导学生考虑当角的终边与坐标轴重合时怎么处理；引导学生通过自已的思维活动得出教材中“探究”栏目里问题的结论.2.在处理教材上的例题时,建议先让学生独立完成,然后教师指出其中出现的问题,再进行点评、总结、提升,另外,整个教学过程要向学生渗透分类讨论的意识.【教学方法建议】探究教学法,演示教学法,还有______【教学重点难点】重点:1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.难点:1.借助单位圆理解任意角三角函数的定义.2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.【教学材料准备】1.常规材料:多媒体课件____________2.其他材料:______ ____四、教学活动设计教学导入师:上新课之前,我们先来回答一下:函数的概念、弧度制的概念.【学生回顾旧知识,回答问题,教师给予肯定】师:如图,单位圆⊙O上的点P以A为起点逆时针方向旋转,如何刻画点P的位置变化情况呢带着这个问题,进行我们今天的学习.【设计意图】回顾函数的概念、孤度制的概念,设置单位圆上动点情境,引入任意角三角函数.教学精讲师:根据研究函数的经验,我们利用直角坐标系来研究上述问题.【教师提示:以单位圆的圆心为原点,以射线为轴的非负半轴,建立直角坐标系,点的坐标是,点的坐标是,射线从轴的非负半轴开始,绕点按逆时针方向旋转角,终止位置为,学生操作】【情境设置】探究任意角三角函数的定义如图,当时,点的坐标是什么当或时,点的坐标又是什么它们是唯一确定的吗一般地,任意给定一个角,它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗【学生思考,交流后,回答问题】生:当时,点的坐标是;当或时,点的坐标分别是和.它们都是唯一确定的.【设情境,巧激趣】学生通过观察图形,探究直角坐标系中角α的终边与单位圆的交点的横纵坐标之间的对应关系,为总结任意角三角函数的定义做准备,增加学习兴趣.师:结合函数的定义,你能得到什么结论【学生讨论,回答问题】生:点的横坐标,纵坐标都是角的函数.所以任意给定一个角,它的终边与单位圆交点的坐标都是能唯一确定的.师:接下来我们总结一下三角函数的定义【要点知识】三角函数的定义设是任意角,,它的终边与单位回交于点.(1)把点的纵坐标叫做的正弦函数(sine function),记作,即(2)把点的横坐标叫做的余弦函数(cosine function),记作,即(3)把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即,也称为正切函数(tangent function).【教师强调:当时,的终边在轴上,这时点的横坐标等于0,所以无意义.除此之外,对于确定的的值也是唯一确定的.也是以角为自变量,以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数,称为正切函数】【概括理解能力】通过对单位圆上点的坐标探究,总结三角函数定义,培养学生的概括理解、归纳总结能力.师:知道了三角函数的定义之后,我们要想表示它,还需要记准三角函数的表示.【要点知识】三角函数正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数(trigonometric function).记为:正弦函数:;余弦函数:;正切函数:.师:接下来我们将三角函数的定义深化一下,深度理解.【情境设置】三角函数定义的深化在初中我们学了锐角三角函数,知道它们都是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.设,把按锐角三角函数定义求得的锐角的正弦记为,并把按本节三角函数定义求得的的正弦记为与相等吗对于余弦、正切也有相同的结论吗【教师提示:建立直角坐标系,将锐角放在直角坐标系中,为第一象限角,如图,取的终边与单位圆的交点为,则它与原点的距离为.过点作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为,学生思考,回答问题】生:当为第一象限角时,按锐角三角函数定义和按三角函数定义求得的正弦、余弦、正切都相等.【深度学习】通过与初中所学的锐角三角函数的对比、进一步体会三角函数定义和深度理解.【以学论教】教师通过提示学生已有的单位圆中点的表示,启发学生思考,深化三角函数的定义,提升数学抽象素养.师:本节三角函数的定义是初中锐角三角函数的定义的推广,现在我们研究的三角函数的载体由直角三角形变成了直角坐标系,请看下面的例题.【典型例题】三角函数定义的应用例1 求的正弦、余弦和正切值.例2 如图,设是一个任意角,它的终边上任意一点(不与原点重合)的坐标,点与原点的距离为,求证:.【学生思考,确定利用定义解题的思路,自主完成例1,教师巡视,给予指导,并点评】生:在直角坐标系中,作,如图,则的终边与单位圆的交点坐标为.【对于例2,教师提示:由,根据三角函数的定义证明】【学生讨论,确定将任意点转化到单位圆上的点进行证明,完成例2,教师巡视,并总结】生:如图,设角a的终边与单位圆交于点.分别过点P,作轴的垂线,垂足分别为,则,,于是,即.因为与同号,所以,即.同理可得.师:根据勾股定理,由例2可知,只要知道角终边上任意一点的坐标,就可以求得角的各个三角函数值,并且这些函数值不会随点位置的改变而改变.【简单问题解决能力】通过例1对具体角度三角函数值的计算求解,以及例2对任意角三角函数值的证明,加深学生对三角函数定义的理解,同时培养学生的简单问题解决能力.【说明论证能力】通过例2让学生体会利用单位圆定义解题的过程,明确只有知道角α终边上任意一点坐标就可以求出角α的各个三角函数值,培养学生的说明论证能力,提升逻辑推理素养.师:好的,同学们,我们当堂做一些练习巩固一下.【巩固练习】三角函数的概念1.利用三角函数定义,求的三个三角函数值.2.利用三角函数定义,求的三个三角函数值.3.已知角的终边过点.求角的三角函数值.4.已知点在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动,角速度为.求时点所在的位置.师:请4名同学到黑板上做题.【学生板演,师生共同评价】生没有意义;,没有意义.生.生.生4:以坐标原点为圆心所在直线为轴正方向建立平面直角坐标系.时点所在位置记为.因为点是在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动,角速度为,所以圆心角.所以时,点在该平面直角坐标系中的位置为.【分析计算能力】计算具体角度的三角函数值,加深学生对三角函数概念的理解,增强对函数的应用的能力,培养学生的分析计算能力.师:这节课就上到这里,你学到了什么【课堂小结】三角函数的概念正弦函数:把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即.余弦函数:把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即.正切函数:把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即.【设计意图】通过对任意角三角函数概念的学习,利用了设情境巧激趣、以学论教的教学策略和深度学习的学习策略,培养了学生说明论证能力、概括理解能力、分析计算能力、简单问题解决能力,提升了学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理核心素养.教学评价通过本节课的学习,学生理解三角函数的概念,能根据三角函数的定义确定三角函数的符号,同时也可以借助单位圆,利用定义推导出同角三角函数的基本关系式,知道同角三角函数的基本关系也反映了三角函数的基本性质,并会运用它们进行简单三角函数式的化简、证明和求值运算.应用所学知识,完成下题:已知:,且有意义.(1)试判断角所在的象限.(2)若角的终边上一点是,且(为坐标原点),求的值及的值.解析:(1)要判断角所在的象限,先确定角的三角函数值的符号.由,可知,由有定义,,所以,角在第四象限.(2)利用勾股定理可得关于的方程,进而解方程、利用定义计算即可.由得,解得.又角在第四象限,由正弦函数的定义可知.【设计意图】围绕本节知识点——三角函数的概念、三角函数的性质、同角三角函数的基本关系引导学生整理知识,体会知识的生成、发展、完善的过程,锻炼学生观察记忆、说明论证、概括理解、推测解释、分析计算,简单问题解决等学科能力,从而达到数学运算、数学抽象、逻辑推理的核心素养目标要求.教学反思本节内容分为3课时,主要是对三角函数这一部分知识的理解与认识,三角函数是一类最典型的周期函数,是解决实际问题的重要工具,同样也是学习数学、物理和天文等其他学科的重要基础.在本节的教学中,应注意强调以周期变化现象为背景,构建从抽象研究对象即定义三角函数概念到后续课程研究同角三角函数的基本关系再到实际应用的过程,借助单位圆,理解正弦、余弦、正切函数的概念,注重同角三角函数基本关系的推导,注重通过实例提升学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算核心素养,【以学定教】综合三角函数的概念、性质和同角三角函数的基本关系式分析问题、解决问题.【以学论教】根据学生实际学习情况和课堂效果,总结得出教学过程中应结合实例多角度引发学生的思考,引导学生利用单位圆理解三角函数的概念,结合具体问题理解同角三角函数之间的基本关系.1 / 3。
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三角函数的概念学案
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三角函数的概念、弧度制
一、课前准备：
【自主梳理】
．任意角
（1）角的概念的推广：
（2）终边相同的角：
2．弧度制：
，
弧度与角度的换算：
，
，
．
3．弧长公式：
，
扇形的面积公式：
．
4．任意角的三角函数
（1）任意角的三角函数定义
，
，
，
（2）三角函数在各象限内符号口诀是
．
5．三角函数线
【自我检测】
．
度．
2．是第
象限角．
3．在上与终边相同的角是
．
4．角的终边过点,则
．
5．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是
．
6．若且则角是第
象限角．
二、课堂活动：
【例1】填空题：
（1）若则为第
象限角．
（2）已知是第三象限角，则是第
象限角．
（3）角的终边与单位圆（圆心在原点，半径为的圆）交于第二象限的点，则
．
（4）函数的值域为_____
_________．
【例2】（1）已知角的终边经过点且，求的值；
（2）为第二象限角，为其终边上一点，且求的值．
【例3】已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是．
（1）若求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
（2）若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积．
课堂小结
三、课后作业
．角是第四象限角，则是第
象限角．
2．若，则角的终边在第
象限．
3．已知角的终边上一点，则
．
4．已知圆的周长为，是圆上两点，弧长为，则
弧度．
5．若角的终边上有一点则的值为
．
6．已知点落在角的终边上，且，则的值为
．
7．有下列各式：①②③④，其中为负值的序号为
．
8．在平面直角坐标系中，以轴为始边作锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，已知两点的横坐标分别为，则
．
9．若一扇形的周长为，则当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?最大值是多少?
的正弦、余弦和正切值．
四、纠错分析
错题卡
题号
错题原因分析
学案41
三角函数的概念、弧度制参考答案
一、课前准备：
【自主梳理】
．略
2．用弧度作为角的单位来度量角的单位制3．
4．（1）
（2）一全正，二正弦，三正切，四余弦【自我检测】
．75
2．一
3．
4．
5．1或4
6．三
二、课堂活动：
【例1】（1）一或三
（2）二或四
（3）
（4）
【例2】解：（1）由题意，且∴；
（2）由题意，且∴
∴．
【例3】解：（1）∵∴扇形的弧长，∴，∴．
（2）∵，∴，
∴，
∴
当即
时，扇形有最大面积．
三、课后作业
．三
2．一
3．
4．
5．
6．
7．②③④
8．
9．解：设扇形弧长为，所在圆的半径是由题意：∴，
∴，
∴
当即
时，扇形有最大面积
．
0．解：①若角终边在第一象限，则②若角终边在第三象限，则．。