五年级下册奥数教程

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人教版五年级下册奥数专讲：最大公因数(教案)

3.问题解决：学生将在教师的引导下，通过自主探究和合作交流，学会运用最大公因数解决实际问题，提高学生的问题解决能力。
4.创新思维：在探索最大公因数的过程中，学生将被鼓励提出新的思路和方法，培养学生的创新思维能力。
学情分析
五年级的学生已经具备了一定的数学基础，对因数和倍数的概念有了初步的了解。他们在四年级学习了简单的乘法和除法，对人教版教材中的奥数题目也已经有所接触。因此，他们在知识层次上具备了一定的数学素养，能够理解并运用基本的数学概念和运算规则。
（1）题目：求出下列各组数的最大公因数：
a. 60和80
b. 90和120
（2）答案：a.最大公因数是10。
b.最大公因数是30。
5.最大公因数与最小公倍数的联系
（1）题目：求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数：
a. 12和18
b. 24和36
（2）答案：a.最大公因数是6，最小公倍数是36。
b.最大公因数是12，最小公倍数是72。
（3）案例分析法：教师通过呈现具体的案例，让学生分析和思考，引导学生运用最大公因数的概念和求解方法解决问题。例如，教师可以给出一些实际问题，让学生运用最大公因数的方法进行解答，从而加深学生对知识的理解和应用。
2.教学手段
（1）多媒体设备：教师可以利用多媒体设备，如PPT、视频等，进行教学展示，生动形象地呈现最大公因数的概念和实例，吸引学生的注意力，提高学生的学习兴趣。
此外，我也发现部分学生在小组讨论中表现得不够积极，他们的观点和想法没有得到充分的表达。为了提高学生的参与度，我可以在未来的教学中尝试采用更多的互动式教学方法，如让学生进行角色扮演、进行小组竞赛等，激发他们的学习兴趣和主动性。
重点题型整理
1.最大公因数的求解

小学五年级奥数基础教程目30讲全

小学奥数基础教程(五年级)第1讲数字迷（一）第2讲数字谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性（一）第8讲奇偶性（二）第9讲奇偶性（三）第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24第17讲位置原则第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题（一）第25讲行程问题（二）第26讲行程问题（三）第27讲逻辑问题（一）第28讲逻辑问题（二）第29讲抽屉原理(一)第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。

例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。

数字谜涉与的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。

这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法与小数的除法竖式问题。

例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。

分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。

当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。

（5÷13-7）×（17+9）。

当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。

当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。

例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。

五年级下册奥数

五年级下册奥数第一讲乘法原理和加法原理1、马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。

问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？2、用数字1、2、3、4可以组成多少个不同的三位数？（数字允许重复）3、用数字0、1、3、5、7可以组成多少个没有重复的数字的四位数？4、如图，A、B、C、D、E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相信的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？5、在4×4的正方形网格内，放入一黑一白两枚棋子，要求这两枚棋子不在同一行和同一列，问有多少种不同的放法？7、由35个单位的小正方形组成的长方形中，如图所示有两个★。

问：包含两个★在内的，由小正方形组成的长方形（含正方形）共有多少个？8、某条铁路上共有八个车站。

（1）问这些车站间共有多少种普通客票？（2）假如任两站间的票价互不相同，问这八站之间有多少种票价？9、从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。

一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。

问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？10、旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？11、小明要登上10级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上10级台阶共有多少种不同的登法？12、在右图中，从A点沿实线走最短路径到B点，共有多少条不同路线？13、两次掷一枚骰子（上面有1至6这6个数字），两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？14、用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。

问：共有多少种不同的染色方法？15、用1、2、3、4这四个数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是1的五位数有多少个？第三讲分解质因数1、两个质数的和是39，这两个质数的积是多少？2、P为质数，若2P+1也是质数，那么P52002P 是多少？3、有两个质数，它们之和既是一个小于100的奇数，又是17的倍数，这两个质数的积是多少？4、用一个两位数除1170，余数是78，求这个两位数。

小学数学奥数基础教程(五年级)目30讲全

小学奥数基础教程(五年级)第1讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同窗们已经把握了很多方式。

例如用猜想、拼凑、排除、列举等方式解题。

数字谜涉及的知识多，试探性强，因此很能锻炼咱们的思维。

这两讲除温习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。

例1 把+，-，×，÷四个运算符号，别离填入下面等式的○内，使等式成立（每一个运算符号只准利用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。

分析与解：因为运算结果是整数，在四那么运算中只有除法运算可能显现分数，因此应第一确信“÷”的位置。

当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想取得整数，只有第二个括号内是13的倍数，现在只有下面一种填法，不合题意。

（5÷13-7）×（17+9）。

当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。

当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。

例2 将1～9这九个数字别离填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。

解：将5568质因数分解为5568=26×3×29。

由此容易明白，将 5568分解为两个两位数的乘积有两种：58×96和64×87，分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种：12×464， 16×348， 24×232，29×192， 32×174， 48×116。

显然，符合题意的只有下面一种填法：174×32=58×96=5568。

例3 在443后面添上一个三位数，使取得的六位数能被573整除。

分析与解：先用443000除以573，通过所得的余数，能够求出应添的三位数。

由443000÷573=773 (71)推知， 443000+（573-71）=443502必然能被573整除，因此应添502。

人教版五年级下册奥数专讲：巧用质因数教案

3. 应用题：
题目：一个数的最小公倍数是60，它的最大公因数是12，求这个数。
答案：这个数是45。因为45和60的最小公倍数是45 × 60 / 最大公因数 = 45 × 60 / 12 = 45 × 5 = 225，所以这个数是225。
4. 质数与合数题：
题目：判断71是不是质数。
答案：是，因为71除了1和它本身以外没有其他因数。
6. 教学课件：制作精美的教学课件，包括课程引入、知识点讲解、实例分析、练习题等内容，以吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣。
7. 教学反馈表：准备一份教学反馈表，让学生在课程结束后能够对自己的学习情况进行评估和反思，同时也方便教师了解学生的学习情况和反馈，为后续的教学提供参考。
8. 教学辅导资料：准备一份教学辅导资料，包括课程概述、教学目标、教学方法、教学步骤等内容，以便教师能够清晰地了解本节课的教学内容和教学目标，有效地进行教学设计和教学指导。
情感升华：
结合“巧用质因数”内容，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。
鼓励学生分享学习“巧用质因数”的心得和体会，增进师生之间的情感交流。
（六）课堂小结（预计用时：2分钟）
简要回顾本节课学习的“巧用质因数”内容，强调“巧用质因数”重点和难点。
肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几个方面：
1. 逻辑推理：通过学习质因数的概念和分解方法，培养学生运用逻辑推理能力，理解和掌握合数表示为几个质数相乘的形式。
2. 数学建模：引导学生运用所学的质因数知识，解决实际问题，培养学生的数学建模能力。
3. 问题解决：通过实例讲解和练习题，培养学生运用质因数知识解决问题的能力，提高学生的问题解决能力。

人教版五年级下册奥数专讲：速算与巧算教案

-学生可以参加数学竞赛或速算比赛，通过竞赛锻炼自己的计算能力和思维能力，提高自己的速算与巧算水平。
-学生可以尝试解决一些实际生活中的数学问题，如购物时的优惠计算、旅行路线的优化等，运用所学的速算与巧算知识和技巧，提高自己的生活智慧。
-学生可以阅读一些数学相关的书籍，如《数学的力量》、《数学的故事》等，深入了解数学的发展历程和应用领域，培养自己的数学素养和思维方式。
3.实践法：让学生通过实际的计算题目，运用所学的知识和技巧，提高学生的实际操作能力和应用能力。
教学手段：
1.多媒体设备：利用多媒体课件和视频，生动形象的展示速算与巧算的过程和方法，吸引学生的注意力，提高学习兴趣。
2.教学软件：运用教学软件，进行互动式的教学，让学生在软件上进行实际操作，及时反馈和纠正学生的错误，提高教学效果。
-数学故事：分享一些与速算与巧算相关的数学故事，让学生了解速算与巧算在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
-数学电影：推荐一些与数学相关的电影，如《数学家的故事》、《美丽心灵》等，让学生了解数学家的成就和思维方式，激发学生对数学的热爱。
2.拓展建议
-学生可以利用网络资源，如数学教育网站、数学论坛等，查找更多的速算与巧算资源和技巧，与他人分享和交流学习心得和方法。
-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。
学生活动：
-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。
-参与课堂活动：积极参与小组讨论、角色扮演、实验等活动，体验速算与巧算知识的应用。
-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。
教学方法/手段/资源：
-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解速算与巧算知识点。
（3）在实际计算中，学生容易出现的错误，如漏算、误算等问题，如何避免这些问题，提高计算的准确性。

五年级下册奥数最权威教案

家长天地
孩子作业完成：优秀□ 良好□ 差□ 给老师的建议：
本讲积分
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小学奥数-讲5 - 义（五年级下册）
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小学奥数-讲7 - 义（五年级下册）
3．求下左图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
4．上右图中，长方形的周长是多少厘米？（单位：厘米）
方厘米。求 6 号长方形的面积。
1
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五
24
年
级
版
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三．右图中三角形 ABC 为等边三角形，D 为 AB 边上的中点。已知三角形 BDE 的面积为 5 平方厘米。求等边三角形 ABC 的面积。
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小学奥数-讲8 - 义（五年级下册）
学生乐园
随堂笔记：
8．如图，在梯形 ABCD 中，BO 的长度等于 DO 长度的 2 倍，阴影部分的面积是 4 平方分米。求梯形 ABCD 的面积。
9.在等腰三角形 ABC 中，AB 的长度是 AC 的 2 倍，如果这个等腰三角形中的周长是 200 厘米，那么，BC 长多少厘米？

五年级奥数教材

目录第一讲精彩回顾一（小数乘除法）第二讲精彩回顾二（简易方程解决问题）第三讲提前预知一（因数与倍数）第四讲提前预知二（长方体和正方体）第五讲提前预知三（分数的意义及性质）第六讲提前预知四（分数的加法和减法）第七讲奥数特训一（分解质因数）第八讲奥数特训二（长方体与正方体）第九讲奥数特训三（最大公约数）第十讲奥数特训四（最小公倍数）第十一讲奥数特训五（组合图形面积）第一讲精彩回顾一（小数乘除法）金牌例题1简便运算：4.2×6.7+6.7×1.2+3.3×5.4【思路点拨】仔细观察这个算式，我们可以发现前面的两个积可以运用乘法分配律进行简便运算，接着与第三个积也可以运用乘法分配律简便运算。

所以原式=（4.2+1.2）×6.7+3.3×5.4=5.4×6.7+3.3×5.4=5.4×（6.7+3.3）=54趁热打铁1.简便运算：3.1×0.75+0.75×6.2+9.3×0.252.简便运算：8.63×2.3+7.7×5.21+3.42×7.73.简便运算：1.25×67.875+125×6.7875+1250×0.053375金牌例题2简便运算3.6×5.4+7.2×2.3【思路点拨】粗看，题目中的四个数看起来没有什么联系，似乎不能简便计算，仔细观察后我们发现：7.2是3.6的2倍，2.3的2倍又可以和5.4组成10。

因此，可以考虑这样计算：原式=3.6×5.4+(2×3.6)×2.3=3.6×5.4+3.6×2×2.3=3.6×5.4+3.6×4.6=3.6×(5.4+4.6)=36趁热打铁1.简便计算：3.75×48+62.5×4.82.简便计算：2.01×67+1×0.673.简便计算：324×31+620×8.8金牌例题3简便计算2.3+2.7+3.1+…+12.7+13.1【思路点拨】大家仔细观察算式中的数据，不难发现，这不就是以前学过的等差数列吗？只不过以前的公差是整数，现在的公差是小数0.4，还是可以运用等差数列的求和公式：和=(首项+尾项)×项数÷2接下来我们首先要知道的是题目中的小数有多少个，也就是求和公式中的项数。

人教版小学数学五年级下册奥数培训教材

人教版小学数学五年级下册奥数培训教材第一讲分解质因数（2课时）【学习导航】一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。

把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例如：24=2×2×2×3，75=3×5×5。

分解质因数，是为数学课本上介绍的求最大公约数和最小公倍数服务的。

其实，把一个自然数分解成几个质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而有助于我们顺利解题。

一个质数的因数只有两个：1和它本身。

1既不是质数，也不是合数。

2是最小的质数，同时也是一个偶数。

注意：在所有的质数中，只有一个偶数，那就是2，正因为如此，两个质数之和不一定是偶数，两个质数之积不一定是奇数，这个特性经常成为解题的突破口。

例1有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。

共有多少种分法？【思路导航】先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以，从这5个质因数中任选1个，不符合要求；从这5个质因数中任选2个：每份有2×7=14颗，3×7=21颗；从这5个质因数中任选3个，每份有2×2×3=12颗，2×2×7=28颗，2×3×7=42颗；从这5个质因数中任选4个，每份有2×2×2×3=24颗；从这5个质因数中任选5个，不符合要求；故共有6种分法。

试一试把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，每小组人数在10至25人之间，求每组的人数及分成的组数。

例2将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。

2、5、14、24、27、55、56、99【思路导航】14=2×7 55=5×1124=2×2×2×3 56=2×2×2×727=3×3×3 99=3×3×11可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和二个11。

小学奥数精讲课程(五年级下册)(全校促销)

江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷（江西师大附中使用）高三理科数学分析一、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。

试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。

1．回归教材，注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。

2．适当设置题目难度与区分度选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。

3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。

包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。

这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。

二、亮点试题分析1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC →→=，则AB AC →→⋅的最小值为（）A ．14-B ．12-C ．34-D ．1-【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。

解法较多，属于较难题，得分率较低。

【易错点】1．不能正确用OA ，OB ，OC 表示其它向量。

2．找不出OB 与OA 的夹角和OB 与OC 的夹角的倍数关系。

【教材同步】春季学期五年级奥数教程下册【讲义】

春季学期北师大版数学五年级奥数讲义2020年3月制目录第一讲多边形的面积1.1面积计算1.2等积变形1.3列方程求面积第二讲二元一次方程组第三讲牛吃草问题第四讲分数的简算（加减法）第五讲分数的简算（乘法）第六讲分数除法应用题第七讲较复杂分数应用题第八讲浓度问题（百分数）第九讲长方体和正方体的表面积第十讲长方体和正方体的体积第十一讲应用题综合练习（一）第十二讲应用题综合练习（二）第一讲多边形的面积面积的计算[同步巩固演练]1、求下图中每个小图形的阴影部分的面积（单位：厘米）[能力拓展平台]1、已知三角形ABC的周长是20厘米，三角形内一点到三角形三条边的距离都是3厘米，求三角形的面积。

第1题2、如图，ABCG是4×7的长方形，DEFG是2×10的长方形，那么三角形BCM的面积与三角形DEM的面积之差是多少？（单位：厘米）第2题3、求阴影部分的面积（单位：厘米）4、长方形ABCD 的边上有二点E 、F 、AF 、BE 、BE 把长方形分成若干块，其中三个小块的面积标注在图上，求阴影部分面积。

第4题5、（第五届华杯赛试题）涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问大正六角星的面积是多少平方厘米第5题等积变形[同步巩固演练]1、如图所示，已知矩形ABCD 中，BE=21EC ，则△ABE 和△ABC 的面积之比是多少？第1题2、如图所示，梯形ABCD 中共有8个三角形，其中，面积相等的三角形有多少对？第2题3、如图，三角形ABC 的面积是18平方厘米，BD=2DC ，AE=EC ，则三角形BDE 的面积是多少平方厘米？第3题4、如图已知BC=6BD ，AB=5BE ，三角形BDE 的面积是1，则三角形ABC 的面积是多少？第4题5、如图ABCD 是平行四边形，AE=32AB ，则梯形EBCD 的面积是三角形AED 的面积是多少倍？6、如图所示，三角形ABC 中，BD=DC ，ED=2AE ，BF=FD ，三角形ABC 的面积是1，三角形DFE 的面积是多少？第6题[能力拓展平台]1、如图E 、F 分别为平行四边形ABCD 两条邻边的中点，若平行四边行的面积是1，则图中面积为41的三角形有多少个。

人教版五年级下册数学奥数专讲：图形的剪拼(教案)

技能训练：
设计实践活动或实验，让学生在实践中体验图形剪拼知识的应用，提高实践能力。
在呈现新课后，对图形的剪拼方法和对称轴性质进行梳理和总结。
强调重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。
（四）巩固练习（预计用时：5分钟）
随堂练习：
随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对图形剪拼知识的掌握情况。
鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决剪拼问题。
重点题型正方形，将其剪成若干个小三角形，使得每个小三角形都可以拼成一个更大的正方形。求剪拼的方法和步骤。
答案：首先，将正方形对折成两个相同的小正方形，然后沿对折线剪开，得到两个相同的小正方形。接着，将每个小正方形再对折成两个相同的小三角形，沿对折线剪开，得到四个相同的小三角形。最后，将这四个小三角形按照一定的顺序拼成一个更大的正方形。
最后，虽然本节课的教学内容与学生的日常生活联系较为紧密，但仍有部分学生对于数学的实际应用价值认识不足。因此，我计划在今后的教学中，更多地引入生活中的实际问题，让学生能够切实感受到数学的魅力和实际应用价值，提高他们的数学素养。
教学评价与反馈
1. 课堂表现：学生在课堂上的表现整体积极，对于图形的剪拼方法和轴对称图形的性质表现出较高的兴趣。他们在教师的引导下，能够积极参与课堂讨论和实践活动，与同伴进行有效的合作和交流。
4. 数学故事：讲述一些与数学相关的有趣故事，如数学家的生平、数学难题的解决等，激发学生学习数学的兴趣，丰富学生的数学知识。
（二）拓展建议：
1. 学生可以利用网络资源，进一步了解剪纸艺术的发展和应用，尝试自己设计和创作剪纸作品，提高审美情趣和文化素养。
2. 学生可以尝试制作一些简单的几何拼图，通过实际操作掌握几何拼图的原理和方法，培养空间想象能力和创新能力。

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五年级下册奥数教程第一讲分数乘法（乘法中的简算） (2)练习卷 (5)第二讲长方体和正方体（巧算表面积） (6)练习卷 (10)第三讲分数除法应用题 (11)练习卷 (15)第四讲长方体和正方体（巧算体积） (16)练习卷 (20)第五讲较复杂的分数应用题（寻找不变量） (21)练习卷 (24)第六讲百分数（浓度问题） (25)练习卷 (28)综合演习（1）.................................................................. 29 综合演习（2） (31)第一讲分数乘法例题讲学例1 （1）×19 （2） 27×15142611【思路点拨】观察这两道题中数的特点.第（1）题中的比1少.可以把看作1-.然后和19相乘.利用乘法分配律使计算简便；同样.第（2）题中27与中的分母26相差1.可以把27看作（26+1）.然后和相乘.再运用乘法分配律使计算简便·.或拆成与1有关的两数之差或和；或者把一.最后用乘法分配律使计算简便·同步精练1. ×352. ×10361323223. 8×4. ×12615142535. 17×6. 1211262524⨯例2 120001999199820001999-⨯⨯+【思路点拨】仔细观察分子.分母中各数的特点.我们就会发现.分子1999+2000×1998=1999+2000×（1999-1）=1999+2000×1999-2000=2000×1999-1.这样就把分子转化成与分母完全相同的式子.结果自然就好计算了.试试吧！.不要慌张.要仔细观察数的特点.根据数的特点.分母能约分的情况.然后使计算简便·同步精练1. 186548362361548362-⨯⨯+2. 120112010200920112010-⨯⨯+例3 651541431321211⨯+⨯+⨯+⨯+⨯【思路点拨】在这道题中.每个分数的分子都是1.分母是两个连续的自然数的乘积·看下面规律：211⨯=1-. =-. =-. …… 21321⨯2131431⨯3141111)1(1+-=+⨯n n n n 把每个分数都拆写成两个分数的差.使部分分数前后互相抵消.使计算简便·.并把拆分的结果统一前同步精练1. ……++⨯+⨯+⨯431321211100991⨯2. ++++21611212013013. 20120182181621614214122+⨯+⨯+⨯+⨯练习卷1. 27×2. 2617384544⨯3. 4. 611511⨯1009914⨯5. 199619941995119961995⨯+-⨯6. 769999997599999749999739997299719+++++7． 19991199919981199819971199719961+⨯+⨯+⨯第二讲长方体和正方体（巧算表面积）例题讲学例1 两个棱长是2厘米的小正方体可以拼成一个长方体.这个长方体的表面积是多少？【思路点拨】先根据题意画图：从图上可以清楚地看出：两个正方体原先各有6个正方形的面.当把它们拼起来时就少了2个正方形的面·这时.求长方体的表面积只相当于求（12-2=）10个正方形的面积；还可以这样想：当两个正方体拼成一个长方体时.求长方体的表面积.我们可以先分别求出这个长方体的长.宽.高.再求出它的表面积·当物体拼合时表面积之和少了.可以根据用原来的面去掉减少了从而求出拼合后物体的面积数量.然后求出表面积·2.还可以求出拼成后大物体的长.宽.高.再根据物体形状直接求表面积·同步精练1. 把两个棱长是3厘米的小正方体拼成一个长方体.这个长方体的表面积是多少？2．把底面积是36平方厘米的两个正方体木块拼成一个长方体.长方体的表面积是多少？3．把三个完全相同的正方体拼成一个长方体.这个长方体的表面积是350平方厘米·每个正方体的表面积是多少平方厘米？例2 把一个长.宽.高分别是7厘米.6厘米.5厘米的长方体截成两个长方体.使这两个长方体表面积之和最大.这时表面积之和是多少平方厘米？【思路点拨】把长方体截成两个长方体后.两个长方体表面积之和等于原长方体表面积再加上两个截面的面积·这个长方体几个面中.上.下面的面积最大.所以要看哪个面的面积最大.于是本题就按平行于上.下面的方式去截.才使表面积之和最大·.如图：每一种截法都会产生不同的面.所以判断怎么样截是解决问题的关键·同步精练1.把一个长10厘米.宽8厘米.高6厘米的长方体木料截成两个完全一样的长方体.怎样截才能使截成之后.得到两个长方体的表面积之和最大？最大是多少？48 104 42.把两个长3厘米.宽2厘米.高1厘米的长方体拼成一个表面积最大的长方体.这个长方体的表面积是多少平方厘米？3．把两个长6厘米.宽4厘米.高3厘米的长方体拼成一个大长方体.这个大长方体的表面积的最大值与最小值相差多少？例3 求出下面立体图形的表面积·（单位：厘米）【思路点拨】从图上看出.这个图形是由一个长方体和一个正方体组成的.求它的表面积时.可以把正方体的右侧面平移到长方体上.这个立体图形的表面积就可以用一个完整的长方体表面积加上一个正方体的上.下.前.后四个面的面积·同步精练1. 在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（如图）.求这个立体图形的表面积·2.求下列组合图形的表面积·（三个正方体的棱长从上往下依次是1厘米.2厘米.4厘米）3. 18个棱长为2厘米的小正方体堆成如下图的形状.求它的表面积·例4 如图.从右面这个图形的顶点处挖去一个小正方体.那么所得物体的表面积现在是多少平方厘米？（每个小正方体的棱长为1厘米）【思路点拨】从顶点处挖掉一个小正方体后.原来的小正方体露在外面的3个面就少了.但这时又有3个同样大小的面露了出来.所以表面积是没有大小变化的·同步精练1.如上图.如果从小正方体的上面的中间挖去一个小正方体.那么此时正方体的表面积是多少了呢？2.如下图.在一个棱长为6厘米的大正方体的6个面上分别挖去一个小正方体.现在剩下图形的表面积是多少？2.从一个长方体的上面往下挖通.求现在物体的表面积是多少·（原长方体的长.宽.高分别是10厘米.8厘米.12厘米.挖去的图形为长.宽都是4厘米的小长方体·）练习卷1.长方体的底面积是12平方厘米.宽2厘米.高和宽相等.表面积是（）平方厘米.底面周长是（）厘米·2.一个正方体的底面积是25平方分米.它的表面积是（）平方分米·3.一个长方体的长.宽.高分别是a米.b米.h米.如果高增加4米后.新的长方体表面积比原来增加了（）平方米·4.把一根长2.4米.宽0.8米.高0.4米的木料锯成大小相等的2段.它的表面积最少增加多少平方米？5.将两本长25厘米.宽20厘米.厚5厘米的书包成一包.怎样才能节约包装纸？请画图表示.并求出需要多少包装纸？6.求下面立体图形的表面积·（单位：厘米）7.把一个棱长为3厘米的正方体外面全部涂上红色.再把它切成棱长为1厘米的小正方体.共切成多少块？在这些小正方体中：①三面涂红的有多少块？②两面涂红的有多少块？ ③一涂红的有多少块？ ④任何一面都没有涂红的有多少块？第三讲分数除法应用题例题讲学例1 加工一批零件.第一天加工210个.第二天加工240个.这两天共加工了这批零件的·这批零件共有多少个？【思路点拨】根据题意.210+240=450（个）.450求单位“1”时.用除法.可以用“具体的量÷它所对应的分率”· 同步精练1.超市运进水果.第一批运进320千克.第二批运进400千克.这两批运进的水果重量占超市现在所有水果的.超市现在一共有水果多少千克？322.一条铁路.修完900千米后.剩余部分比全长的少300千米.这条铁路全长多少千米？433.修路队修一条路.第一天修了全长的.第二天修了1000米·这时已修的米数占全长的·这条路全长多少千米？3cm3cm3cm？页例2 李添三天看完一本书.第一天看了这本书的.第二天看了24页.还剩下全书的未看·这本书共有多少页？【思路点拨】根据题意画线段图.帮助理解题意.分析数量关系·这道题中有一个具体数量“第二天看了24页”.所以这是解决问题的突破口.要找出24页所对应的分率.即总页数-第一天看的-剩下的=1--=.用24除以它所对应的分率.即可求出全书页数·从具体数量出发.找出具体数量的对应分率.是解决问题的关键之所在·同步精练1.电脑公司要修一批电脑.已经修了这批电脑的.再修24台就正好修了这批电脑的一半·这批电脑有多少台？2.一筐萝卜卖掉以后.又卖出6千克.这时卖出的正好是剩下的·这筐萝卜原有多少千克？3.筑路队三天修好一条马路.第一天修了全长的.第二天修了全长的.第一天比第二天少修90米.这条马路全长多少米？4152例3 一捆电线.第一次用去全长的.第二次用去余下的.这时还剩下108米·这捆电线共长多少米？【思路点拨】这道题中已知的具体数量是“还剩下108米.”所以要找出它所对应的分率——还剩下几分之几·第一次用去全长的.第二次用去余下的.而余下的即是（1-）的=.108米对应的分率是（1--）=.所以用108除以求出这捆电线的总长度·1”同步精练1.工厂进了一批原料.第一个星期用去总数的.第二个星期用去总数的.这时用去的比剩下的多31吨.这批原料共有多少吨？529424页2.牛师傅计划做一批零件.第一天做了计划的.第二天又做了余下的.这时还剩42个零件没做·牛师傅计划做多少个零件？3.一批木料.先用去总数的.又用去剩下的.这时用去的比剩下的多10立方米.这批木料共有多少立方米？7252例4 有一堆苹果.吃了后又买来324个.这时这堆苹果的个数比原来多了·原来这堆苹果有多少个？【思路点拨】① 这道题中仅有一个具体数量“又买来324个”所以解决问题的关键即是找准324的对应分率.也就是找出“又买来的324个苹果占几分之几”根据已知条件吃了.还剩下.而买来324个之后.比原来多了.也就是占原来的.所以买来的324个苹果就占（-=）.所以用324除以对应的分率就可以求出单位“1”.即原来的苹果总数了·【思路点拨】② 吃了后总数少了.而当买来324个苹果之后.却比原来的总数还多了.这说明这324个苹果不但把吃了的补上了.而且还多出来了.所以324个苹果就占（+=）.故而用324÷即可以求出单位“1”了·同步精练1.食堂原有一批大米.吃了后.有运进170千克.这时大米的总重量比原来还多了.原来食堂有大米多少千克？52612.玩具店开业当天卖出玩具.第二天又新进150件新玩具.这时玩具总数比原来却少了·玩具店原来有玩具多少件？练习卷1.某家具店要生产一批沙发.第一周生产了64套.第二周生产了86套.两周共生产了这批沙发总数的·家具厂还要生产多少套沙发？2.服装厂第一车间有工人150人.第二车间的工人数是第一车间的.两个车间的人数正好是全厂工人总数的.全厂有工人多少人？52653.一根钢筋截去8米后.所剩部分比原长的还多2米·这根钢筋原长多少米？4.学校植树.第一天完成了计划的.第二天完成了计划的.第三天植树55棵.结果超过计划的.学校计划植树多少棵？83125415.欣欣原有一些糖果.吃了后.妈妈又给她买来14颗.这时的糖果总数是原来的·欣欣原来有糖果多少颗？第四讲长方体和正方体（巧算体积）例题讲学例1 把一块棱长为6分米的正方体钢坯.熔铸成横截面是9平方分米的长方体钢材·铸成的钢材有多长？【思路点拨】把正方体钢坯熔铸成长方体后.虽说形状变了.可体积没有变.正方体钢坯的体积就是长方体钢材的体积·所以先求出正方体的体积.也就是长方体的体积·用体积除以长方体钢材的横截面面积.就可以求出长方体钢材的长度了·抓住体积不变这个隐藏的量.熔铸前体积等于熔铸后的体积.再根据“体积÷横截面积=长”这个公式.从而轻松解决问题·同步精练1.把一块棱长为0.8米的正方体钢坯.锻造成底面积是0.16平方米的长方体钢材.锻造成的钢材有多高？2.把一个棱长10厘米的正方体橡皮泥.重新捏成一个高和宽都是2厘米的长方体.这个长方体的长是多少分米？3.棱长为6分米的正方体容器内有4分米高的水.把这些水全部倒入一个长4分米.宽3分米.高15分米的长方体水箱内.这时水深多少？要注满水箱还需要再倒入多少升水？例2 一只长15分米.宽12分米的长方体玻璃钢中.有10分米深的水·放入一块棱长为3分米的正方体铁块.铁块全部浸没在水中并且水未溢出.这时.水面升高了几厘米？【思路点拨】将物体放入容器中.水面的高度肯定上升.上升的水的体积其实就是物体的体积·本题可以先求出正方体铁块的体积.也就是增加的水的体积.再用这个体积除以容器的底面积从而求出水面上升的高度了·要明白一点：当物体完全沉没在水中时.物体的体积=上升的水的体积·同步精练1.一个长方体容器.底面积是200平方厘米.高10厘米.里面盛有5厘米深的水·现将一块石头放入水中.水面升高到8厘米处.这块石头的体积是多少立方厘米？2.一个长60厘米.宽20厘米的盛水容器.把5块体积相等的铁块投入水中后.容器中的水面刚好上升了4厘米.求每块铁块的体积·3.在一只长120厘米.宽60厘米.深70厘米的浴缸中放入水.李明进入浴缸后.水刚好没到李明颈部·已知水上升了20厘米.求出李明颈部以下的体积是多少立方分米？例3 如图.一个长方体.高截去2cm.表面积就减少了48平方厘米.剩下部分成为一个正方体.求原长方体的体积·【思路点拨】当高少了2cm后.首先明白表面积少了哪些面？应该是前后左右四个小面.因为上面虽然也少了.但又多出来一个上面.所以少了4个小面.因为剩下的部分是一个正方体.所以这四个小面是完全相等的.故用48除以4从而得出一个小面的面积.再用一个小面的面积除以2.从而能求出正方体的棱长.也是原长方体的长和宽.接着求出原长方体的高.最后求出体积·关键是看截去一个小长方体后.表面积是少了哪些面.一般会认为少其实上面并没有少.只少了4个.而少的这4个面本题是有关系的.因为剩下的为一个正方体.所以先求出一个面积.从而打开解决问题的入口·同步精练1.把一个长方体的高截去3厘米后.剩下的部分正好是一个正方体.而表面积却减少了36平方厘米.求原长方体的表面积·2.从一个长是12厘米.高9厘米的长方体上.平行于底截掉一个4厘米高的小长方体.表面积减少了80平方厘米.求截掉的小长方体的体积是多少立方厘米？例4 一个长方体.前面和上面的面积之和是209平方厘米.这个长方体的长.宽.高以厘米为单位的数都是质数·这个长方体的体积是多少？【思路点拨】要求长方体的体积.就要求出长方体的长.宽.高·因为这个长方体的前面和上面的面积之和是209平方厘米.也就是长×宽+长×高=长×（宽+高）=209·根据“长.宽.高以厘米为单位的数都是质数”这个条件可知：209=11×19·而11和19哪个数能写成两个质数的和呢.只有19=2+17.所以长.宽.高就分别是11.2.17.从而能求出长方体的体积了·解决此类题目的关键是在把面积之和如何分成两个数的积.并且这两个数中首先必须有一个是质数.再把另一个数分成两个质数的和·同步精练1.一个长方体的前面和右面的面积之和是54平方厘米.且长方体的长.宽.高都是整数.求这个长方体的体积是多少？2.一个长方体的上面和右面的面积之和是36平方厘米.且长方体的长.宽.高都是整数.求这个长方体的体积和表面积分别是多少？练习卷1.一个正方体玻璃缸棱长2分米.向容器中倒入5升水.再放入一块不规则的石头.这时量得容器内的水深15厘米·石头的体积是多少立方厘米？2.一个封闭的长方体容器的高是25厘米.长和宽都是10厘米.容器内装着一些水·如果把该容器长.宽都是10厘米的面做底面放在桌面上.这时水的高度是15厘米·如果把容器长25厘米.宽10厘米的面做底面放在桌子上.这时水的高度是多少厘米？3.一只底面是正方形的长方体铁箱.如果把它的侧面展开.正好得到一个边长是40厘米的正方形·求这只长方体铁箱的容积是多少升？4. 一个长方体.如果高截去2厘米.表面积就减少了32平方厘米.剩下的正好是一个正方体·原来长方体的体积是多立方厘米？第五讲较复杂的分数应用题（寻找不变量）例题讲学例1 乙队原有的人数是甲队人数的·现在甲队派30人到乙队.则乙队人数现在是甲队的·原来两队一共有多少人？【思路点拨】当“现在甲队派30人到乙队”后.甲.乙两队的人数都发生了改变.所以单位“1”不好确定.但有一个未变的量.那就是两队的总人数.因此我们可以把两队的总人数看作单位“1”·从“乙队原有的人数是甲队人数的”可以把乙队人数看作3份.甲队人数看作7份.总人数为10份.则乙队人数占总人数的=.后来甲队派30到乙队后.乙队占总人数的=.那么乙队多了（-）而正是多了30人所致·求出30人所对应的分率.再求出原来的总人数·.所以单位“1”不能确定.一定要找1”.然后再看其中的一个量前后分别是单位.最后再利用具体数量和分率从而求出单位“1”·同步精练1.甲.乙两个粮库.甲粮库存粮的吨数是乙粮库的·现在从乙粮库调6吨粮食到甲粮库.则甲粮库存粮的吨数是乙粮库的·原来两个粮库各存粮多少吨？2.五（3）班在一次聚会中.请假人数是出席人数的.中途又有一人离开.这样请假人数是出席人数的·五（3）班共有多少人？例2 甲.乙.丙.丁四人向希望工程捐款.结果甲捐了另外三人的一半.乙捐了另外三人的.丙捐了另外三人的.丁捐了91元·甲.乙.丙.丁四人共捐了多少元？【思路点拨】根据题意可知.单位“1”是另外三人的总和.但另外三人的总和是无论如何也不知道.且是变化的.所以行不通·但甲乙丙丁四人的总和是固定不变的.所以可以把四人的钱数总和看作单位“1”·“甲捐了另外三人的一半”.可以看作甲捐的钱是1份.另外三人是2份.共3份.甲捐的是四人总数的.同理.乙捐的是四人总数的.丙捐的是四人总数的·那么我们就可以求出剩下的丁捐的钱数占四人总数的几分之几了.再用具体数量91除以对应分率.从而求出总数·此类题目的难点就在于虽然单位“1”名字上统一.但却不是固定1”.然后求出每个量占单位.最后用对应的具体数量除以对应分率.从而求出单位“1”·同步精练1.三个小朋友合买一枚价值24元的2008年奥运会纪念章.第一个小朋友付的钱是其他孩子付的钱的一半.第二个孩子付的钱是其他孩子付的钱的·问：第三个孩子付了多少元钱？2.甲乙丙丁四个数.甲数是其它三个数之和的.乙数是其它三个数之和的.丙数是其它三个数之和的·已知丁数是260.求四个数的和是多少？甲数是多少？例3 一堆糖果.其中奶糖占.再放入16块水果糖后.奶糖就只占·这一堆糖果原来一共有多少块？【思路点拨】解答这道题时.应抓住奶糖不变这个条件·因为在总数发生了变化.水果糖也发生了变化的时候.奶糖却是不变的.所以把变化的量——水果糖.求出变化前后分别是奶糖的几分之几.再看变化前后的具体数量.然后求出单位“1”——奶糖.最后再求出总数来·具体解法：变化前.奶糖占总数的.水果糖就占（1-）=.水果糖占奶糖的（÷）=；加入16块水果糖后.奶糖占总数的.水果糖就占（1-）=.水果糖占奶糖的÷=3.水果糖变化前后共增加了（3-）=.正是由于增加16块所致.所以用16÷=9块……奶糖——单位“1”.那么原来的水果糖就有9×=11块.总数为9+11=20（块）·同步精练1.袋里有若干个球.其中红球占.后来又往袋里放了6个红球.这时红球占总数的·原来袋里共有多少个球？2.某科技发明兴趣小组中女生占.后来又转来了15名女生.这样女生占总人数的·这个兴趣小组的男生有多少人？练习卷1.某公司男职工比全公司总人数的多60人.女职工人数是男职工的.这个公司共有多少人？53312.某工厂有三个车间.第一车间的人数是另外两个车间人数的.第三车间的人数是另外两个车间人数的.已知第二车间有30人·另两个车间各有多少人？3.纺织厂女工占工人总数的.后来又调来30名女工.这时女工人数是男工人数的2倍·问：现在厂里共有多少人？4.甲.乙两人共有邮票若干张.其中甲占.若乙给甲12张.则乙余下的张数占总数的·两人共有邮票多少张？5.科技活动小组中.男生人数占.后来又转来4名男生参加.这时.男生人数占小组人数的·求这个科技活动小组女生有多少人？现在共有多少人？第六讲百分数（浓度问题）【知识概述】把盐溶于水就得到盐水.其中盐叫做溶质.水叫溶剂.盐与水的混合液叫做溶液·我们把盐占盐水的百分比叫做盐水的浓度.通常浓度用百分数表示.又叫做百分比浓度.这一类问题叫做浓度问题·【盐水的浓度也就是含盐率.糖水的浓度也叫做含糖率…】例题讲学例1 现有浓度为25%的盐水80克.加入多少克水就能得到浓度为10%的盐水？【思路点拨】将浓度为25%的盐水变为浓度为10%的盐水.盐水中的水的重量增加了.但是盐的重量却没有任何变化·可以根据已知条件先求出不变的量——盐的重量.再求出现在盐水的重量.最后再用现在盐水的重量减去原来盐水的重量.就是增加的水的重量·解：80×25%=20（克）.20÷10%=200（克）.200-80=120（克）答：加入120克水就能得到浓度为10%的盐水·同步精练1.把碘溶在酒精里.配成碘酒.现在有含碘15%的碘酒50千克.要把它变成含碘3%的碘酒.需要加入多少千克酒精？2.现有浓度为20%的盐水80克.加入多少克水就能得到浓度为16%的盐水？例2 现有浓度为25%的盐水80克.要使盐水的浓度提高到40%.需要加多少克盐？【思路点拨】将浓度为25%的盐水变为浓度为40%的盐水.在盐水的变化过程中.盐的重量增加了.但是水的重量并没有发生变化.也就是原来盐水中的水的重量等于现在盐水中水的重量·解：80×（1-25%）=60（克）.60÷（1-40%）=100（克）.100-80=20（克）·答：需要加20克盐·同步精练1.现有浓度为15%的盐水20千克.要使盐水浓度提高到20%.需要加多少千克盐？2.浓度为10%的糖水300克.要把它变成浓度为25%的糖水.需要加糖多少克？3.往40千克含盐16%的盐水中加入10千克盐·求这时盐水的浓度·例3 有浓度为2.5%的盐水700克.为了制成浓度为10%的盐水.从中要蒸发掉多少克水？【思路点拨】要使溶液的浓度变大.可以采取增加溶质（糖.盐.纯酒精等）的方法.也可以用蒸发水的办法·把盐水加热.一部分水变成水蒸气蒸发掉了.于是盐水中的水的重量减少了.而在变化过程中盐的重量却没有变化·先根据条件求出原来盐水中盐的重量.由于在变化过程中盐的重量没有变化.所以原来盐水中盐的重量也是现在盐水中盐的重量.再求出现在盐水的重量.最后用原来盐水的重量减去现在盐水的重量.就是要蒸发掉水的重量·解：700×2.5%=17.5（克）.17.5÷10%=175（克）.700-175=525（克）答：从中要蒸发掉525克水·同步精练1.现有浓度为12.5%的盐水40千克.将它变成浓度为20%的盐水.要蒸发掉多少千克水？2.有浓度为2.5%的盐水700克.为了制成浓度为20%的盐水.从中要蒸发掉多少克水？练习卷1.一瓶盐水共重200克.其中盐有20克.这瓶盐水的浓度是（）%·2.配制一种盐水.在450克水中加了50克盐.这种盐水的浓度是（）%·3.一种糖水的浓度是15%.200克糖水中.含糖（）克·4.一种糖水的浓度为10%.15克糖需加水（）克·5.现有浓度为20%的盐水80克.加入20克水.这时盐水的浓度是多少？。