图形的相似(知识点)

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第四章图形的相似
一•成比例线段 1. 线段的比
探1.如果选用同一个长度单位量得两条线段 段的比AB:CD=m:n ,或写成 A = m
B n
探2.成比例线段及比例的性质：
（1）成比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即-,那
b d
么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成.比例线段…,简称比例线段.... ※注意点：
① a:b=k,说明a 是b 的k 倍； ②由于线段a 、b 的长度都是正数，所以k 是正数； ③比与所选线段的长度单位无关，求出时两条线段的长度单位要一致 .
c a c a b
,则 ad=bc ; 若 ad=bc, 则 或：一
d
a b
b m
注意：若没有“ b+d+…+n 丰0”这个条件，需分类讨论 二.平行线分线段
成比例
※平行线分线段成比例定理
：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例 定理推论：
① 平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例
② 平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三 边对应成比例. 三.黄金分割
AC BC
AC 和BC,如果AC = BC ,那么称线段AB 被点c 黄金分 AB AC
,AC 与AB 的比叫做黄金.比，…一条线段有两个黄金分割
AB, CD 的长度分别是 m n,那么就说这两条线
（2）比例的基本性质：若
b
※合比性质：如果旦=£，那么 d
c — - =* * -
d
b ※等比性质：如果- b BC
EF
如图，点C 把线段AB 分成两条线段 割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点
点.AC : AB
BC AB
0.618:1
四•相似多边形
一般地，形状相同的图形称为相似图形•
1. 概念：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形...... 相似多边形对应边的比
2. 性质：相似多边形的对应角相等、对应边成比例；周长等于相似比；面积比等于相似比的平方•
2. 相似三角形的判定定理的证明
3. 利用相似三角形测高（3种方法）
（1）利用太阳光线平行
运用方法1：可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高
运用方法2 :观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度
（3 ）利用反射
运用方法3:光线的入射角等于反射角
4.相似三角形的性质
(1)对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形……..相似三角形对应边的比叫做相似.…. 比.
(2)全等三角形是相似三角的特例，这时相似比等于1.注意：证两个相似三角形，与证两个全等三角形一样，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上
(3)性质：
①相似三角形对应角相等，对应边成比例；
②相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
③相似三角形周长的比等于相似比；
④相似三角形面积的比等于相似比的平方•
探5.图形的位似：
T位似图形的概念：
如果两个图形不仅相似，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一条直线上, 那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心•这时两个相似图形的相似比又叫
做它们的位似比•
T位似图形的性质：
(1)位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质；
(2)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比;
(3)位似图形中的对应线段平行(或在一条直线上) T位似图形的画法：
(1 )画出基本图形；(2)选取位似中心；
(3) 根据条件确定对应点，并描出对应点；
(4) 顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形
例题：如图，已知△ ABC和点O.以0为位似中心，求作△ ABC的位似图形，并把△ ABC的边长扩大到原来的两倍•
注意：给出基本图形和位似中心，可以做两个图形与原图形位似, 侧各有一个，在具体的题中需根据实际情况作图
T位似变换与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为点的坐标的比等于k或-k.
例如：点A(x,y)的对应点为A',则A'点的坐标可以这样确定分别在位似中心同侧和异k,那么位似图形对应
xA'=xA X k, yA'=yA X k 即A' ( kx，ky )或xA'=xA X (-k) , yA '=yA X (-k) 即A' (-kx，-ky ) 例题：在平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为
A(-6,6)，B(-8,2)，C(-4,0)，D(-2,4)，画出它的一个以原点0为位似中心，相似比为-的位似
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题：△ ABC三个顶点坐标分别为A（2,3）, B（2,1）, C（6,2）,以点0为位似中心，相似比为2,
将厶ABC放大，点A的对应点A'的坐标为______________
总结：至此，我们学过的图形变换有：平移，轴对称，旋转，位似•
（1）平移：
上下移：横坐标不变，纵坐标随之平移
（2）轴对称：
关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数
互为相反数
（3）旋转：
绕原点旋转180度（中心对称）：横坐标、纵坐标都互为相反数
（4）位似：
以原点为位似中心，相似比为k的位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
相4以三角形判定的基本模塑
⑴“平行线型”（有 7 型和“針型图）
<2）“斜交型"〔有'仮A共角型罠“反A共角共边型先①集型少
△ £公A
（3）澤垂直型打（有茫双垂直共角型叭用双边垂直共角共边型叭"三垂直型◎
左右移：纵坐标不变，横坐标随之平移
关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标。