2017年第八届高思杯(五年级)-数学部分-详细解答

【解析】方法一：设小高买了大可乐 x 瓶，根据题意列方程：
6x 2 20 2x 50
解得:
x5．
答：小高买了 5 瓶大可乐．
方法二：每买一瓶大可乐，赠一瓶矿泉水，价格是 6 元．而一瓶矿泉水的价格是 2 元，我们不妨设大可乐单独出售是 4 元，矿泉水的价格是 2 元．则 20 瓶大可乐
2
3
4
二、 填空题 I（本大题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分） 6. 【答案】 2m 3
【解析】 2m 3
7. 【答案】23
【解析】方法一：设鸡有 x 只，则兔子有 35 x 只，根据它们一共有 94 只脚， 可列方程 2x 4 35 x 94 ，解得 x 23 （只），即一共有鸡 23 只．
a 31 根据条件分析可得， a 52 a 105n 22 ，其中 n 为自然数．
a 71
当 n 10 时，10510 22 1072 （名）．
答：韩信点兵时一共有 1072 名士兵．
（2）空心方阵一共有：1072 700 372 人． 方阵相邻两层的人数差 8 人，设最外层一共有 x 人，根据题意列方程得：
x x 8 x 16 x 24 x 32 x 40 372 ，解得 x 82 （人）．
答：空心方阵为长方形方阵，空心方阵的最外层一共有 82 人．
4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 4 10 20
18. 【答案】37.5
【解析】 原式=1.25 10 7 13 1.25 30 37.5 ．
19. 【答案】3.14
【解析】 3，3.14 0.14 ，所以 原式 3 0.14 3.14 ．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ42 42 24 4 24 4 28 20 560 ．
四、 填空题 II（本大题共 11 小题，每题 4 分，共 44 分） 21. 【答案】640
【解析】一位数中有 4 个约数的数字是 6、8，有 3 个约数的数字是 4、9．一个 数能被 5 整除，则个位数字是 0 或 5．所以这个数最小是 640．
20. 【答案】560
【解析】方法一：
原式 2013 1993 20211993 20 20 20211993 20 20 20211993
20 28 560 ． 方法二：
原式 2017 4 2017 4 2017 24 2017 24 20172 42 20172 242
1

5 12

x

1

1 2



x

8
，解得
x

48（人）．所以现在班里一共有
48

8

56
人．
29. 【答案】433
【解析】1~50 中与 6 互质的数有 1、5、7、11、13、17、19、23、25、29、31、 35、37、41、43、47、49，从中不难发现是连续奇数中去掉 3、9、15、21、27、
和矿泉水共 50 元．所以大可乐的数量是： 50 2 20 4 2 5 （瓶）
答：小高买了 5 瓶大可乐．
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六、 文字材料题（本大题共 2 小题，每题 10 分，共 20 分） 33. 【答案】（1）9；12（2）V F E 2 （3）20
【解析】（1）如图所示．
多面体 顶点数(V)
面数(F)
棱数(E)
长方体
8
6
12
三棱柱
6
5
①9
四面体
4
4
6
正八面体
6
8
② 12
（2）观察图形即可填出表格，观察规律可得欧拉公式V F E 2 ．
（3）
V V

F F
32 ，解得V 8

20 ．
34. 【答案】（1）1072 名（2）82 人
【解析】（1）原来 1500 人，死伤四五百人后，还有 1000~1100 人，设此时人数 为 a 人．
三、 计算题 II（本大题共 5 小题，每题 4 分，共 20 分）
16. 【答案】 2016 2016
2017
【解析】 原式= 2016 2017+1 2016 2017 2016 1 2016 2016 ．
2017
2017
2017
2017
17. 【答案】 3
20 【解析】 原式 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ．
方法二：假设 35 只全是鸡，则有腿 2 35 70 （条）．现在有腿 94 条，所以兔子
有 94 70 4 2 12 （只），鸡有 35 12 23 （只）．
8. 【答案】 1
2 【解析】每次投掷硬币正反面朝上的机会都是匀等的，概率是 1 ．
2
9. 【答案】5
【解析】立体图形如图所示：
19 19 9
9 13 13
3 6 ， 1 6 ， 2 6 ，所以 1 2 3 ，即 10 15 22 ．
19 38 9 54 13 39
9 13 19
9 13 19
24. 【答案】3140
【解析】由图可知，圆柱的底面半径是 10 厘米，高是 40 厘米，所以这个油桶的 表面积是： 3.14102 2 2 3.1410 40 1000 3.14 3140 平方厘米．
22. 【答案】24
【解析】设小高、小思每分钟分别走 3 份、5 份路程，跑道周长为：(3+5)×3=24 份．小思第二次追上小高需要：24÷(5-3)×2=24 分．
23. 【答案】 10 15 22
9 13 19
【解析】 22 1 3 ， 10 1 1 ， 15 1 2 ．
“收=7 或 8”，则“0+成+1=收”，不可能有进位，所以“收=成+1”．又因为“上 +1=5”，所以“上=4”，“收=8”，“学=0”．如图（3）所示．
2 上学 5 +收1成6 1学5收1
图（1）
2上0 5 + 收获成 6 1 0 5收1
图（2）
2405 +8176 10581
图（3）
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31. 【答案】132
【解析】根据和同近积大，长方形的周长是 50，则长与宽的和是 25．当长=13， 宽=12 时，面积最大是1312 156 ；当宽=1，长=24 时，面积最小是1 24 24 ．所 以最大值与最小值的差是156 24 132 ．
五、 解答题（本大题共 1 小题，共 6 分） 32. 【答案】5 瓶
33、39、45，所以它们的和是 1 49 25 2 3 45 8 2 433 ．
30. 【答案】2000
【解析】除去最后一名，黄金数从小到大正好组成一个末项为 1000，公比为 2 的 等比数列．数列的和等于：2×末项-首项=2×1000-首项．因为最后两名分得的黄 金数相等，所以黄金总数为：2×1000-首项+首项=2000(两)
11. 【答案】1
【解析】三角形的内角和是 180 度，所以另一个角的度数是180 50 80 50 度，
所以它是一个等腰三角形．它有 1 条对称轴．
12. 【答案】80
【解析】从第一层到第四层共 3 层，用了 60 秒，所以该人爬一层需要 60 3 20 秒．从第四层到第八层共 4 层，所以需要时间 20 4 80 秒．
2017 年第八届高思杯（五年级）·数学部分 详细解答
常规知识能力检测部分
一、 计算题 I（本大题共 5 小题，每题 4 分，共 20 分） 1. 【答案】100000
【解析】 原式 25 48 125 25 4 8125 1001000 100000 ．
2. 【答案】0.56
a 1， b 0 ， c 5 时，这个数最小是 105．
27. 【答案】126
【解析】这样的上升数表示从 1~9 中选 5 个数的从小到大排列，共有
C95

98765 5 43 21
126
（个）．
28. 【答案】56
【解析】设原来班里共有 x 人，根据男生人数不变，可得方程：
25. 【答案】20
【解析】张老师原来的工作效率是
1 40
，变化后的效率是
1 40

1

1 2


3 80
．所以
完成剩下的工作还需要
1

1 40
10


3 80

20
（天）．
26. 【答案】105
【解析】设原来的三位数为 abc ，个位和百位调换位置后是 cba ，则
cba abc 100c 10b a 100a 10b c 99c a 396 ，所以 c a 4 ．当
15. 【答案】2405
【解析】最小的质数是 2，所以“爱=2”．其次确定“获=1”，因为千位两个数字 加和进位最多是 1．再根据“长—习=1”，且“长+习=11”，确定“长=6”，“习=5”．如 图（1）所示．
如果“收=9”，那么“学=1 或 2”，不成立（不同汉字表示不同的数字）．所以 “收=7 或 8”，“学=0”．如图（2）所示．
【解析】
5

9

5


0.5
，

0.5

0.56
．
9
3. 【答案】 1
4 【解析】 原式 3 3 1 1 1 1 1 ．
10 10 2 2 2 2 4
4. 【答案】 1
5 【解析】 原式 1 2 3 4 1 ．
2345 5
5. 【答案】14
【解析】 原式 24 1 24 1 24 1 12 8 6 14 ．
13. 【答案】2
【解析】一个数从 30 写成 50 多了 20，那么这 10 个数的总和多了 20，则它们的 平均数多 20 10 2 ．
14. 【答案】8
【解析】整个图形一共有 4 个小部分组成，其中一部分是三角形的有 3 个，两部 分构成三角形的有 4 个，四部分构成三角形有 1 个，共计 8 个．
10. 【答案】15
【解析】分两部分烙 5 张饼，先烙 2 张饼，然后再烙 3 张饼．
烙前 2 张饼需要的时间： 3 2 2 2 6 分．
烙后 3 张饼，编号为甲、乙、丙．先烙甲、乙的正面，再烙甲的反面和丙的正面， 最后烙乙的反面和丙的反面．共需要 9 分钟． 所以烙 5 张饼至少需要 6 9 15 分钟．