角的概念及表示
角的概念解析
角的概念解析角是几何学中一个重要的概念，它是由两条射线共同确定的一个图形。
角常用来讨论线段之间的相对位置和旋转方向，并被广泛应用于各个领域的数学问题中。
本文将对角的概念、性质和角度单位进行详细解析。
一、概念解析角是由两条射线共同确定的一个图形，这两条射线称为角的边，相交的点称为角的顶点。
角可表示为∠ABC或∠CBA，其中A、B、C分别代表角的顶点和边。
根据角的大小，可以将其分为三类：锐角、直角和钝角。
- 锐角：角的大小小于90°；- 直角：角的大小等于90°；- 钝角：角的大小大于90°。
二、角的性质1. 角的度量角的度量是用角度来表示的，角度是角相对于一个圆的弧上所对应的弧度数。
一个完整的圆共有360°，每个角度可以等分为60分，每一分再等分为60秒。
2. 角的对立角在平面几何中，角的对立角是指与其顶点和边分别在同一直线上的两个角。
对立角互为补角，即其角度数之和为180°。
例如，∠ABC与∠CBD为对立角，则∠ABC + ∠CBD = 180°。
3. 角的互补角和余补角互补角是指角度数之和为90°的两个角，而余补角是指角度数之和为180°的两个角。
例如，∠ABC与∠CBD为互补角，则∠ABC +∠CBD = 90°；若∠ABC与∠CBD为余补角，则∠ABC + ∠CBD = 180°。
4. 角的平分线角的平分线是指将角分为两个相等的角的射线。
角的平分线通过角的顶点，并将角划分为两个度数相等的角，即∠ABC = ∠CBD。
5. 角的内部、外部与共线角角的内部是指位于角边所在直线两侧的点构成的集合；角的外部是指不在角内部的点构成的集合；共线角是指由一个点和两条相交的射线所确定的两个角，这两个角的顶点和边分别在同一直线上。
三、角度单位角度单位有两种常用的表示方法：度（°）和弧度。
度是在几何学中最常用的角度单位，将一个完整的圆等分为360等份。
角的度量与表示
角的度量与表示 1、角的概念：1）角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。
两条射线叫角的边，共同的端点叫角的顶点。
2）角还可以看成是一条射线绕着他的端点旋转所成的图形。
2、角的表示方法： 角用“∠”符号表示1）分别用两条边上的两个点和顶点来表示（顶点必须在中间） 2）在角的内部写上阿拉伯数字，然后用这个阿拉伯数字来表示角。
3）角的内部写上小写的希腊字母，然后用这个希腊字母来表示角。
4）直接用一个大写英文字母来表示。
3、角的度量：会用量角器来度量角的大小。
4角的单位：角的单位有度、分、秒，用°、′、″表示，角的单位是60进制与时间单位是类似的度分秒的换算1°=601′=60″。
5、锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小 1）平角：角的两边成一条直线时，这个角叫平角。
2）周角：角的一边旋转一周，与另一边重合时这个角叫周角。
6、画两个角的和，以及画两个角的差（1）用量角器量出要画的两个角的大小，再用量角器来画。
（2）三角板的每个角的度数，30°、60°、90°、45°。
7、角的平分线从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线。
若BD 是∠ABC 的平分线，则有：∠ABD=∠CBD=21∠ABC ；∠ABC=2∠ABD=2∠CBD 8、角的计算。
【典型例题】例1. 试用适当的方式分别表示图中的每一个角.例2.①已知,αβ都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算1()6αβ+的结果依次为28°，48°，88°，60°.其中只有一个结果正确，那么算得正确结果的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁②有四人在同一地点观察同一建筑物时所报出的方位角分别如下,其中表述正确的是( )A.西偏南︒20 B ．北偏西︒110C ．南偏西︒70D ．东偏南︒160例 3.（1）3.62°=（2）=)25.25('（3）34.8=(4) 2512'=例4.计算（1） 4859'+5738'（2）78 -4734'56″（3） 12 34'×5 （4） 25.5÷4例5．时钟在8点半时,它的时针和分针所成的锐角是______ 度例6.（1）如图，已知OM BOC AOB ,30,90︒=∠︒=∠平分ON AOC ,∠平分BOC ∠．求M O N∠的度数．（2）如果（1）中α=∠AOB，其它条件不变，求MON∠的度数．（3）如果（1）中β=∠B O C （β为锐角），其它条件不变，求MON∠的度数．（4）以（1）、（2）、（3）的结果中能得出什么结论？例7.如图，∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOB=α，若以OA ，OC ，OD ，OE 为始边的各角之和等于380°，求∠AOB.AOCN B MAOBDE C例8.以AOB∠的顶点O为端点引射线OC，使4:5:=∠∠B O C A O C .（1）若=∠A O B 15°，求AOC ∠与BOC ∠的度数；（2）若AO B ∠=m °，求AOC ∠与BOC∠的度数.* 例9.如图，是一个3×3方格，试求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8＋∠9的度数.【初试锋芒】 1、判断题：（1）由两条射线组成的图形叫角.2）角的大小与边的长短有关. 3）一个钝角减去一个直角，其差必为一个锐角. 4）一个钝角减去一个锐角，其差必为一个直角.2.下列4个图形中,能用∠1,∠AOB,∠O 三种方法表示同一角的图形是( )3．如图，以O 为顶点且小于180º的角有（ ） A ．7个 B ．8个 C ．9个 D ．10个4.如右图,在A 、B 两处观测到的C 处的方位角分别是( ) A.北偏东60°,北偏西40° B.北偏东60°,北偏西50° C.北偏东30°,北偏西40° D.北偏东30°,北偏西50°5.（2004湖北省）如右图,将一幅三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于O,则DOBAOC∠+∠的度数为_____________度.6．如右图所示，∠AOB=21°12′，∠B0C=31°42′，求∠C0D 是多少度？7.飞机在飞行时,飞行方向是用飞机路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的,如图,用AN(南北线), 与飞机路线之间顺时针方向的夹角作为飞行方向角,从A 到B 的飞行方向角为35°,从A 到C 的飞行方向角为60°,从A 到D 的飞行方向角为145°,试求AB 与AC 之间的夹角为多少度?AD 与AC 之间的夹角为多少度?并画出从A 飞出且方向角为105°的飞行路线.* 8. 如图，图中共有多少个角【大展身手】1. 0.25°= ′= ″； 2700″= ′=2. ∠α+∠β=90°,且∠α=2∠β,则∠α=___，∠β=____.3.下列关于角的说法正确的个数是( )①角是由两条射线组成的图形;②角的边越长,角越大; ③在角一边延长线上取一点D;④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，下列说法错误的是（ ） A ．∠B 也可以表示为∠ABC B ．∠BAC 也可以表示为∠A C ∠1也可以表示为∠CD 以C 为顶点且小于180º的角有3个ABCOD1 4 72 5 8369AB CDOA BCODAA1B O BA1B ODA 1BODCABOC 1 CA DBN西东1A2A3A4A 5A O (1)1A 2A2000A (5.(2001宁夏)学校、电影院、公园在平面图上的标点分别是A 、B 、C, 电影院在学校的正东方向,公园在学校的南偏西25°方向,那么平面图上的∠CAB 等于( )A.115°B.155°C.25°D.65°6.(哈尔滨市)如图,∠AOB=∠COD=90°,∠AOD=146°,则∠BOC=___.7. 如图,AB 、CD 相交于点O,OB 平分∠DOE,若∠DOE=60°, 则∠AOC 的度数是_ _. 8．计算下列各题. （1）把83.43°化成度、分、秒. （2）56°32′－30°55′55″’（3）45°27′7″+ 25°55′55（4）把53°12′40″化成度.9．如图所示，指出OA 是表示什么方向的一条线，并画出表示下列方向的射线：（1）南偏东60°；（2）北偏西70°； （3）西南方向（即南偏西45°）.10.怎样利用三角板画15°,135°的角,请与同伴交流,利用三角板你还能画出哪些角?11.如图,已知O 是直线AD 上的点,∠AOB,∠BOC,∠COD, 三个角从小到大依次相差25度,求这三个角的度数.12.两个相等的钝角有一公共顶点和一条公共边, 并且两个角的另一边所成的角为90°,画出该图形,并求出钝角的大小. 13.过直线MN 上一点引射线OA 和OB ，使OA 、OB 在MN 同侧，已知AOBMOA ∠=∠2，BON ∠比AOB ∠小12，求这三个角的度数.14．时钟在3点半时,它的时针和分针所成的锐角是多少度?再过多少分钟，分针和时针第一次重合？ 15.已知40=∠AOB ，向O点引射线OC，若A O C ∠:COB ∠=2:3，求:OC 与AOB ∠的平分线所成角的度数．一、填空题1、 如图2，∠AOC=∠COD=∠BOD ，则OD 平分____， OC 平分______，32∠AOB =______=______.2、 把一根小棒OA 一端钉在点O ，旋转小木棒，使它落在不同的位置上形成不同的角，其中∠AOC 为____， ∠AOD 为____，∠AOE 为____，木棒转到OB 时形成的角为__回答钝角、锐角、直角、平角)3、时间为三点半时，钟表时针和分针所成的角为__由2点到7点半，时针转过的角度为____4∠2，则∠1+∠3=______.5、 已知五角星的五个顶点在同一圆上，且均匀分布，五角星的中心是这个圆的圆心，则圆心与两个相邻顶点的连线，构成的角度为6、 如图5,AOB 为一直线，OC 、OD 、OE 是射线则图中大于0°小于180°的角有___个.7如果一个角的度数为n ，则它的补角为__，余角为______ 8、 ∠α的补角为125°，∠β的余角为37°，则α、β的大小关60° 东南西北AOCADBOC AD B第6OC AE DB 第7题图4系为α___β. 二、选择题9、一个角等于它的补角的5倍，那么这个角的补角的余角是（ ） A.30° B.60°C.45°D.150°10、两个锐角的和（ ）A.一定是锐角B.一定是钝C.一定是直角D.以上三种情况都有可能 11、互为补角的两个角度比是3∶2，这两个角是A.108 72B.95 85°C.108°80°D.110°70°12、下列各角中是钝角的为（ ）A.41周角B.65平角C.32直角D.31直角13、如图15，图形表示的是（ ） A.直线B.射线C.平角D.周角14、船的航向从正北按顺时针方向转到正南方向，它转了（ ） A.135° B.225° C.180° D.90°15、 有两个角，它们的比为7∶3，它们的差为72°，则这两个角的关系是（ ） A.互为余角 B.互为补角 C.相等D.以上答案都不对三、解答题16、四个角的和是180°，其中有三个角相等，且都是第四个角的32，求这四个角.17、如图19，已知∠AOC=∠BOD=75°，∠BOC=30°，求∠AOD.图19 图20 18、如图20，已知O 是直线AB 上的点，OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COB 的平分线，求∠DOE 的度数.19、已知一条射线OA,如果从点O 再引两条射线OB 和OC,使∠AOB=60°, ∠BOC=20°,求∠AOC 的度数.20、如图,如果∠1=65°15′,∠2=78°30′,求∠3是多少度?31221、如图,∠AOD=∠BOC=90°,∠COD=42°,求∠AOC 、∠AOB 的度数.。
角的认识认识角的基本概念和表示方法
角的认识认识角的基本概念和表示方法角的认识：认识角的基本概念和表示方法角是几何学中一个重要的概念，在学习几何学时我们经常会遇到和使用角的概念和表示方法。
在本文中，我们将深入探讨角的基本概念，介绍角的表示方法，并探讨角度的重要性及其应用。
一、角的基本概念角是由两条射线（也称为边）共享一个起点而形成的形状。
我们通常将起点称为角的顶点，两条射线则为角的边。
角的大小可以通过来自角的两条边的夹角来衡量。
根据角度的大小，角可以分为不同的类型。
当角的大小为90度时，我们将其称为直角。
小于90度的角称为锐角，而大于90度并且小于180度的角则称为钝角。
此外，角还可以被视为零度或360度的整数倍，我们将其称为相应的零角或圆角。
二、角的表示方法在几何学中，我们一般用特定的符号和记法来表示角。
以下是角的主要表示方法：1. 度数表示法：角的大小可以用度数表示，一个完整的圆可以分为360度。
例如，一个直角为90度，一个锐角为60度，一个钝角为120度。
2. 弧度表示法：角的大小也可以用弧度表示。
弧度是一个计量单位，用于衡量角的大小。
一个完整的圆对应的弧度为2π（或360度）。
常见角度的弧度表示如下：直角为π/2，锐角为π/3，钝角为2π/3。
3. 三角函数：三角函数是一种常用的角表示方法。
常见的三角函数包括正弦、余弦和正切。
我们可以通过这些函数计算角的数值。
三、角度在几何学中的重要性及应用角是几何学中的基本概念，它在理解和解决各种几何问题时起着重要的作用。
以下是角的一些重要应用：1. 平面几何：角的概念与平面几何密切相关。
通过了解角的性质，我们可以解决各种涉及线段、射线和平面的几何问题。
2. 三角学：角的概念是三角学的基础。
三角函数的定义和计算都涉及角的概念，例如正弦定理和余弦定理。
3. 物理学：角的概念在物理学中也具有重要意义。
例如，在力学中，我们常常使用角度来描述物体的旋转状态。
4. 工程学：角的概念在工程学中广泛应用。
角的概念和性质
角的概念和性质角是几何学中的一个重要概念，它是由两条射线共同端点所组成的图形。
在几何学中，角具有许多重要性质和应用，能够帮助我们理解空间的结构和解决实际问题。
本文将对角的概念和性质进行详细探讨。
一、角的概念角由两条射线共同端点所组成，可以理解为一个“开口”的图形。
我们通常用大写字母表示角，例如∠ABC或∠A，其中A为角的顶点，B、C为角的两个端点。
角可以根据其大小进行分类，从而便于我们进行研究和讨论。
根据角的大小，可以将其分为三类：锐角、直角和钝角。
锐角指的是小于90度的角，直角指的是等于90度的角，钝角指的是大于90度但小于180度的角。
通过对角的度数进行分析，我们可以更好地理解和描述不同类型的角。
二、角的性质1. 角的度量角的度量通常采用角度来表示，用度(°)作单位。
一个直角的度数为90度。
根据圆的性质，我们可以进一步将一个圆分为360度，即一周。
通过度的概念，我们可以准确地衡量和描述不同角的大小。
2. 角的对立角对立角是指由两个互为对立角的角所组成的一对角。
如果角A和角B的度数之和为180度，那么称它们互为对立角，可以表示为A + B = 180。
对立角有相等的性质，即如果两个角互为对立角，则它们的度数相等。
3. 角的补角和余角补角是指两个角的度数之和为90度，可以表示为A + B = 90。
余角则是指两个角的度数之和为180度，可以表示为A + B = 180。
补角和余角是角度度量中常用的概念，能够帮助我们解决许多几何问题。
4. 角的相等性质如果两个角的度数相等，那么它们互为相等角，可以表示为∠A = ∠B。
相等角具有许多重要的性质，可以帮助我们推导和解决各种几何问题。
5. 角的平分线角的平分线是指将一个角平分为两个度数相等的角的射线。
平分线具有相等的性质，即如果一个角的平分线与另一个角的平分线相交，那么形成的四个角对两两相等。
6. 角的内部和外部角的内部是指位于角两条射线之间的区域，角的外部则是角的旁边区域。
角的定义及相关概念
角的定义及相关概念角是数学中的一个重要概念，是两条射线共享一个起点而形成的图形。
角的定义不仅在数学应用中起着重要的作用，也在生活中有许多实际意义。
首先，我们来看一下角的定义。
角通常用大写字母表示，比如A，B，C等。
一个角由两条射线组成，其中一条射线叫做角的边，另一条射线叫做角的腿。
边是角的起点，腿是角的终点。
两条射线的交点叫做角的顶点。
我们可以用顶点和两个点来表示一个角，例如∠ABC。
值得注意的是，表示一个角时，通常点的位置是顺序排列的，也就是说我们是从边开始画，然后到顶点，最后画到另一条边。
角的大小是通过角的度数来确定的。
角的度数可以用角度或弧度来表示。
角度是平面内角的度量单位，用符号°表示。
一个完整的圆有360°。
当我们讨论角度时，经常会涉及到三种不同类型的角：锐角、直角和钝角。
锐角是指小于90°的角，直角是指等于90°的角，钝角是指大于90°小于180°的角。
锐角和钝角的大小在0°到180°之间，而直角的大小只能是90°。
角的概念在几何图形的测量中起着重要的作用。
比如我们常用角来描述一个多边形的内角和外角。
内角是指凸多边形内部两条边所形成的角，而外角是指凸多边形内部一条边和另一条边的延长线所形成的角。
内角和外角的关系是重要的几何定理之一，即内角和外角相加等于180°。
除了在几何图形的测量中，角的概念还广泛应用于物理学、天文学和建筑学等领域。
在物理学中，角度是测量两个物体或者物体的部分之间的相对旋转程度的一种方法。
在天文学中，角度用于度量天体的位置和运动。
而在建筑学中，角度被用来度量建筑物的朝向和结构。
总结起来，角是由两条射线共享一个起点而形成的图形，其大小通过度数来确定。
角在数学应用中起着重要的作用，不仅在几何图形的测量中被广泛使用，还在物理学、天文学和建筑学等领域发挥着重要的作用。
了解角的定义和相关概念，对我们理解和应用数学知识是具有指导意义的。
角
1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两 条射线是角的两条边．如图 1 所示，角的顶点是点 O，边是射线 OA、OB．
（2）定义二：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线 旋转时经过的平面部分是角的内部．如图 2 所示，射线 OA 绕它的端点 O 旋转到 OB 的位置时， 形成的图形叫做角，起始位置 OA 是角的始边，终止位置 OB 是角的终边．
变式 1：（2017 秋•沭阳县期末）钟表在 2 点 30 分时，它的时针和分针所成的钝角的度数是
_1_0__5_°__．
解：时针每分钟转0.5度，分针每分钟转6度， 6°×30=180°，0.5°×150=75°， 则在2点30分时，时针和分针所成的钝角的度数为：180°-75°=105°，
变式 2：在下午 3 点至 4 点之间，从下午 3 点开始，经过多少分钟，时针与分针成 60°角？
变式 1：（2017 秋•宜兴市期末）如图，已知 O 为直线 AB 上一点，OC 平分∠AOD，∠BOD=3
∠DOE，∠COE=α ，则∠BOE 的度数为（ A ）
A．360°-4α
B．180°-4α
C．α
D．2α -60°
变式 2：（2017 秋•砀山县期末）如图所示，∠AOB 是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM， ON 分别是∠AOC，∠BOD 的平分线，∠MON 等于________度．
重点剖析： 在表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，再注上相应数字或字母．
3.角的画法 （1）用三角板可以画出 30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
角的概念与表示(教案)
角的概念与表示(教案)章节一：角的概念教学目标：1. 让学生理解角的概念。
2. 让学生学会用图形表示角。
教学内容：1. 引入角的概念，解释角是由一点引出的两条射线所围成的图形。
2. 讲解角的特征，包括角的顶点、边的概念。
3. 通过示例，让学生学会用符号表示角，例如∠ABC表示角ABC。
教学活动：1. 利用实物或图形，引导学生观察和描述角的特点。
2. 让学生通过绘制图形，练习表示不同角度的角。
章节二：角的分类教学目标：1. 让学生了解不同类型的角。
2. 让学生学会分类角。
教学内容：1. 讲解角的分类，包括锐角、直角、钝角、平角和周角。
2. 给出角的分类标准，例如锐角是小于90度的角，直角是等于90度的角等。
教学活动：1. 通过示例，让学生观察和区分不同类型的角。
2. 让学生通过绘制图形，练习分类不同角度的角。
章节三：角的大小比较教学目标：1. 让学生学会比较角的大小。
2. 让学生学会用符号表示角的大小。
教学内容：1. 讲解比较角大小的方法，包括观察角的开口大小和比较角的两边长短。
2. 讲解表示角大小的符号，例如∠ABC > ∠DEF表示角ABC大于角DEF。
教学活动：1. 通过示例，让学生观察和比较不同角度的角。
2. 让学生通过绘制图形，练习比较不同角度的角，并用符号表示大小关系。
章节四：角的度量教学目标：1. 让学生学会用度量工具测量角的大小。
2. 让学生理解度量角的方法。
教学内容：1. 介绍度量工具，例如量角器，并讲解使用方法。
2. 讲解度量角的方法，包括将角的对边与量角器的刻度对齐，读取度数。
教学活动：1. 让学生通过观察和操作量角器，了解其结构和作用。
2. 让学生通过实际操作，练习测量不同角度的角，并记录度数。
章节五：角的计算与应用教学目标：1. 让学生学会计算角的和差。
2. 让学生学会应用角的知识解决实际问题。
教学内容：1. 讲解角的和差计算方法，包括同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍等。
角的概念与表示
基本内容 角知识精要概念定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.(2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.（3）两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这个角的度数的和（或差）. 表示方法 表示方法用三个大写字母来表示用一个大写字母来表示 用数字来 表示角 用希腊字母来 表示角 图示AOB ∠A ∠1∠α∠角平分线: 从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线. 互余：如果两个角的度数和是︒90，那么这两个角叫做互为余角，简称互余。
（其中一个角称为另一个角的余角。
)互补：如果两个角的度数的和是︒180，那么这两个角叫做互为补角，简称互补。
（其中一个角称为另一个角的补角。
）（注：同角（或等角）的余角和补角相等。
） 角的度量单位换算：061'=︒ 061''='热身练习一、判断题1、一条直线是一个平角；（ ⅹ ）2、小于钝角的角都是锐角；（ √ ）3、如果α和β两角互补，α和γ两角互余，那么γβα2-=；（ √ ）4、互补的两个角中一定有一个角是锐角。
（ ⅹ ）5、有公共端点的两条射线叫做角 。
（ ⅹ ）6、角的边的长短，决定了角的大小。
（ ⅹ ）7、互余且相等的两个角都是45°的角。
（ √ ）8、若两个角互补，则其中一定有一个角是钝角。
（ ⅹ ） 二、选择题1、钟表上的时间指示为两点半，这时时针和分针之间所形的成的（小于平角）角的度数（ B ）。
A.︒120B.︒105C.︒100D.︒90 2、一个锐角的余角加上︒90，就等于（ C ）A.这个锐角的两倍数B.这个锐角的余角C.这个锐角的补角D.这个锐角加上︒90 3、已知α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算51)(βα+的结果依次是30°、35°、60°、75°，其中恰有正确结果．这个正确结果是（ C ）A.30°B.35°C.60°D.75° 4、如图，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝30°．图中互补的角有（ B ）A.10对B.4对C.3对D.14对 5、下列说法中正确的是（ A ）A. 角是由一条射线旋转而成的B. 角的两边可以度量C. 一条直线就是一个平角D. 平角的两边可以看成一条直线6、下列四个图形中，能用∠α，∠O ，∠AOB 三种方式正确表示同一个角的图形是（ C ）A B C D7、下列说法中正确的是（ C ）A. 一个角的补角一定比这个角大B. 一个锐角的补角是锐角C. 一个直角的补角是直角D. 一个锐角和一个钝角一定互为补角三、填空题1、如图1,∠AOB___>___∠AOC,∠AOB___>____∠BOC(填>,=,<); 用量角器度量∠BOC=____°,∠AOC=______°,∠AOC___>___∠BOC.OC(1)AB O DC(2)AB2、如图2,∠AOC=__AOB ∠____+___BOC ∠___=___AOD ∠___-___DOC ∠___;∠BOC=__∠AOC____-___AOB ∠___= __BOD ∠___-___DOC ∠_____.3、OC 是∠AOB 内部的一条射线,若∠AOC=12___AOB ∠_____,则OC 平分∠AOB;若OC 是∠AOB 的角平分线,则____AOB ∠_____=2∠AOC. 4、填写适当的分数：︒45=__21__直角=__41__平角=__81__周角。
角的概念与表示(教案)
角的概念与表示一、教学目标1. 让学生理解角的概念，能够识别和描述各种类型的角。
2. 让学生学会使用量角器和直尺来测量和画角。
3. 让学生能够用符号表示角，并理解角的度量单位。
二、教学内容1. 角的概念：介绍角的定义，角是由两条射线的公共端点和非公共部分组成的图形。
2. 角的类型：讲解锐角、直角、钝角、平角和周角的定义和特点。
3. 测量角：教授使用量角器和直尺来测量角的大小。
4. 画角：讲解如何使用量角器和直尺来画角。
5. 表示角：介绍角的表示方法，使用符号“∠”来表示角，并在角的两条边上标注度数。
三、教学方法1. 采用直观演示法，通过实物模型和图示来讲解角的概念和类型。
2. 使用实践操作法，让学生亲自动手使用量角器和直尺来测量和画角。
3. 运用小组讨论法，让学生分组讨论角的表示方法，并互相交流心得。
四、教学准备1. 准备角的概念和类型的图示、模型等教具。
2. 准备量角器、直尺、纸张等学习用具。
3. 准备角的表示方法的示例教案。
五、教学步骤1. 引入新课：通过实物模型和图示，引导学生观察和描述角的特点，引发学生对角的好奇心。
2. 讲解角的概念和类型：讲解角的定义，引导学生理解和掌握角的概念，讲解各种类型的角的特点。
3. 演示测量角的方法：使用量角器和直尺进行演示，讲解测量角的步骤和注意事项。
4. 实践测量角：让学生分组进行实践操作，测量不同类型的角，并记录结果。
5. 演示画角的方法：使用量角器和直尺进行演示，讲解画角的步骤和注意事项。
6. 实践画角：让学生分组进行实践操作，画出不同类型的角，并标注度数。
7. 总结和复习：通过提问和讨论，检查学生对角的概念和表示方法的掌握情况，巩固所学知识。
六、教学评估1. 设计一份角的概念和类型的练习题，包括选择题、填空题和简答题，以评估学生对角的基本概念的理解。
2. 设计一份测量角的实践操作题，让学生独立或小组合作完成，以评估学生对测量角的技能掌握情况。
3. 设计一份画角的实践操作题，让学生独立或小组合作完成，以评估学生对画角的技能掌握情况。
角的知识点高中
角的知识点高中角是我们在几何学中经常遇到的概念之一。
在高中数学中，我们需要了解角的定义、角度的度量以及角的性质和运算法则。
本文将逐步介绍高中阶段学习中与角相关的知识点，帮助我们更好地理解和应用角的概念。
一、角的定义角是由两条射线或者线段所围成的图形部分。
我们可以把角看作是平面中的一个区域，通常用大写字母表示，如∠ABC。
其中，A和C是角的两个端点，B是角的顶点。
两条射线或者线段相交于顶点B，分别为角的两条边。
角的大小通常用度数来表示。
二、角的度量角的度量是指角的大小，通常用度数来表示。
一般情况下，我们使用角度单位制来度量角。
一个完整的圆周平分为360度，每度又可以进一步细分为60分，每分又可以进一步细分为60秒。
因此，角的度量可以是整数度数、分数度数或者以秒为单位的度数。
三、角的性质 1. 对顶角性质：如果两个角的两条边分别互为对方的延长线，那么这两个角互为对顶角。
对顶角的度数相等。
2. 邻补角性质：如果两个角的度数加起来等于90度，则这两个角互为邻补角。
3. 互补角性质：如果两个角的度数加起来等于180度，则这两个角互为互补角。
四、角的运算法则 1. 角的加法：如果两个角的两条边可以重合，并且顶点在一条直线上，那么这两个角可以进行加法运算。
角的加法遵循角的度数相加的原则。
2. 角的减法：如果一个角减去另一个角，那么这两个角可以进行减法运算。
角的减法遵循角的度数相减的原则。
五、角的常见类型 1. 锐角：度数小于90度的角称为锐角。
2. 直角：度数等于90度的角称为直角。
3. 钝角：度数大于90度但小于180度的角称为钝角。
4. 平角：度数等于180度的角称为平角。
六、角的应用角的应用十分广泛，特别在几何学和物理学中。
在几何学中，我们通过研究角的性质和运算法则，能够解决很多与角相关的问题，如角的相等关系、角的平分问题等。
在物理学中，角的概念也被广泛应用，如角速度、角加速度等。
总结：角是高中数学中重要的概念之一，我们需要了解角的定义、度量、性质和运算法则。
角的概念与表示
2、说说下图中有几个角，并把他们表示出来：
A
B
∠AOB ∠BOC ∠AOC
O
C
（2）如果顶点处只有一个角时，那么这个 角可以用表示顶点的字母表示：如下图 ∠AOB也可以记作∠O。
A O
B
注意：如果顶点处有多个角，那么其中的任 何一个角必须用三个大写英文字母表示。
（3）有时为了方便，在角的内部标上一 个小写的希腊字母，如α、β、γ…，或者
请同学们说说，生活中有哪些图形 看起来像“角”
1.什么叫做角？
定义1： 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
这个公共端点叫做角的顶点， 这两条射线叫做角的边。
A
边
. 顶点
边
O
B
观察：
定义2：角也可看成是由一条射线绕 着它的端点旋转到另一个位置所成的 图形。如图所示，处于初始位置的那 条射线叫角的始边，终止位置的那条 射线叫角的终边。
讲与练
如图，写出符合下列条件的角
（1）能用一个大写字母表示的角
∠B和∠C
（2）以A为顶点的角
A
∠BAD、∠DAC和∠BAC
B
D
C
4、方向角
如图、如果用点O表示人民广场，点A表 示真如镇，请同学们说说，真如镇在人 民广场的什么方向呢？ 方向：上北下南，左西右东 20°
规定：以南北竖直方向为标 准，向东西方向偏转。即：
内部
外部
例：请同学们说说下列点在角的哪个位置？
B
.
.
.
C
A
3.角的表示方法：
（1）一般用三个大写字母表示 : 如图所示 的角表示为：∠AOB或∠BOA，其中组成角的
顶点是：O，两条射线分别是：OA、OB 注意：①要有角的符号“∠”；
角的基本概念和性质
角的基本概念和性质角是几何学中重要的概念之一，它在我们的日常生活和数学中都有广泛的应用。
本文将介绍角的基本概念和性质，帮助读者深入了解角，并为进一步学习打下基础。
一、角的定义及表示方法在几何学中，角是由两条射线共享同一个起点形成的图形，起点称为角的顶点，而两条射线称为角的边。
通常用大写字母表示一个角，如∠ABC，其中A是角的顶点，B和C是角的边。
我们可以通过顶点和边的起点或终点来表示一个角。
二、角的分类根据角的大小，角可以分为三类：锐角、直角和钝角。
锐角是指小于90度的角，直角是指等于90度的角，而钝角是指大于90度但小于180度的角。
根据角的位置，角可以分为四类：零角、平角、半角和全角。
零角是指两条边重叠在一起的角，平角是指两条边成一条直线的角，半角是指两条边可构成一条直线的一半角度，而全角是指两条边可构成一条直线的整个角度。
三、角的性质1. 余角性质：角和它的余角的度数之和等于90度，即∠ABC +∠CBD = 90度。
2. 相邻角性质：相邻角是指有公共顶点和公共边的两个角。
相邻角的度数之和等于一直线的角度，即2个相邻角的和为180度。
3. 对顶角性质：对顶角是指两个相交直线产生的互补角。
对顶角的度数相等，即∠ABC = ∠DBE，∠ABD = ∠CBE。
4. 同位角性质：同位角是指两条平行线被一条截线所形成的对应角。
同位角有相等的度数，即∠ABC = ∠CDE。
5. 逆角性质：逆角是指在同一直线上的两个互补角。
逆角的度数之和等于180度，即∠ABC + ∠CBD = 180度。
四、角的应用角在几何学中有着广泛的应用，尤其在三角学中特别重要。
例如，在测量天体距离时，我们需要利用角度来计算。
此外，在建筑和工程设计中，角也扮演着重要的角色，例如确定建筑物的方向、绘制地图等。
总结：角是几何学中重要的基本概念，通过两条射线的共同起点构成。
根据角的大小和位置，可将角分为锐角、直角、钝角、零角、平角、半角和全角。
角的概念与表示
课堂小结
A (1) 用三个大写英文字母表示。
如∠AOB.
要在图中标出
O
B (2) 以点O为顶点是的哪角只个有角一个 .
用顶点的字母表示。如∠O.
D
C (3) 用一个希腊字母表示。
3γ β2
α1
O
∠α、 ∠ β 、∠ γ.
B
A
(4) 用一个数字表示。
∠1、 ∠ 2 、∠ 3.
B
O
1α
A
角的表示方法：
A (1) 用三个大写英文字母表示。
如∠AOB.
要在图中标出
O
B (2) 以点O为顶点是的哪角只个有角一个 .
用顶点的字母表示。如∠O.
D
C (3) 用一个希腊字母表示。
3γ β2
α1
O
∠α、 ∠ β 、∠ γ.
B
A
(4) 用一个数字表示。
∠1、 ∠ 2 、∠ 3.
练一练
边 顶点 边
角的概念1：
角是具有公共端点的两条 射线组成的图形.
角外终边角内 始边
角的概念2：
角是由一条射线绕着它的端 点旋转到另一个位置所成的图形.
角的表示方法：
1、角一般用三个大写英文字母表示。如∠AOB
A
表示顶点的字母“O”写在三个 字母的中间。
O
B 顶点：点O. 边：射线OA、OB.
角
∠ABC
用一个大写英文字母或一个希腊字母表示图中的角.
βα
D
B
A
∠A、 ∠C.
∠ α、 ∠ β.
C
练一练
请把图中所有的角分别表示出来.
E
∠F、∠H
3
角的概念和表示方法
角的概念和表示方法一、角的概念和表示方法1.角度的相关概念（1）角的概念① 由两条具有共同端点的光线组成的图形称为角度。
这个公共端点是角度的顶点，这两条光线是角度的两条边。
②角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，把起始位置的射线叫始边，终止位置的射线叫终边。
（2）平角，周长角平角和周角光线$OA$围绕点$o$旋转。
当结束位置$ob$和开始位置$OA$形成一条直线时，该角度称为平角。
当起始光线$OA$返回起始位置时，该角度称为周长。
其中，1平角=180°，1周角=360°，所以1周角=2平角=4直角。
2.角度的表示射线$oa$绕点$o$旋转，终止位置为$ob$。
（1）用三个大写字母表示：$∠ AOB$or$∠ 美国银行美元。
适用范围：任何情况都适用，表示顶点的字母必须写在中间。
（2）用大写字母表示：$∠ o$。
适用范围：以这一点为顶点的角只有一个。
（3）用数字或希腊字母表示：$∠ 1美元或$∠ α$。
适用范围：任何情况都适用，在靠近顶点处加上弧线，表示出角的范围，并注上数字或小写希腊字母。
要确定角的数量，可以先以光线作为起始边，按一定顺序（顺时针或逆时针）计算角的数量，然后依次以光线位于背面作为起始边计算角的数量。
从某一点来看，$n$射线可以形成$（n-1）+$$（n-2）+$$（n-3）+$\cdots++$$3+2$+1=$$\frac{n（n-1）}{2}$角点。
3、角的分类锐角：$0°<α<90°$直角：$α=90°$。
钝角：$90°<α<180°$平角：$α=180°$。
周长角：$a=360°$锐角<直角<钝角<平角<周角。
4.角度装置和角度系统（1）度量仪器：量角器。
（2）测量单位：度、分和秒。
把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作$1'$；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作$1″$。
角的概念和表示
B
2700″等于多少分? 等于多少度? 2700″等于多少分? 等于多少度? 等于多少分 解: ( (
1 60 1 60
) ″×2700=45′ × ) °× 45 =0.75° °
即2700″=45′=0.75°. °
C
( 1 ) °等于多少分? 等于多少秒? 等于多少分? 等于多少秒? 8 1 解: 60′× 8 =7.5′ × 60″×7.5 =450″ × 即( 1 ) °=7.5′=450″. 8
例1
计算: 计算: ⑴1.45°等于多少分? 等于多少秒? 1.45°等于多少分? 等于多少秒? ⑵1800″等于多少分? 等于多少度? 1800″等于多少分? 等于多少度? 等于多少分
练一练
A B
C
D
Next
A
0.25°等于多少分? 等于多少秒? 0.25°等于多少分? 等于多少秒? 解：60′× 0.25 = 15′ × 60″× 15 = 900″ × 即0.25°= 15′= 900″. °
角的概念与表示
你在小学学过“ 你在小学学过“角”吗？
你会画角吗？ 你会画角吗？
是由两条具有公共端点 射线组成的 公共端点的 组成的. 角是由两条具有公共端点的射线组成的.
角的顶点 角的边
边
顶点
·
边
钟表 back
A
.
. B
恐龙
.C
Next
学一学
角的表示方法: 角的表示方法:
A
1.用三个字母及符号“ 1.用三个字母及符号“∠”来表 用三个字母及符号 示. 中间的字母表示顶点, 中间的字母表示顶点,其它两个 字母分别表示角的两边上的点. 字母分别表示角的两边上的点. 2.用一个阿拉伯数字表示一个角. 2.用一个阿拉伯数字表示一个角. 用一个阿拉伯数字表示一个角 2.用一个希腊字母表示一个角. 2.用一个希腊字母表示一个角. 用一个希腊字母表示一个角
小学四级数学知识点：角的认识知识点
小学四年级数学知识点：角的认识知识点【角的认识知识点】
1、角的概念。
由一点引出两条射线所组成的图形叫做角。
角是由一个顶点和两条边组成的。
2、认识平角、周角。
平角：角的两边在同一直线上，(像一条直线)，平角等于180°，等于两个直角。
周角：角的两边重合，(像一条射线)，周角等于360°，等于两个平角，四个直角。
3、角的分类：小于90度的角叫做锐角;等于90度的角叫做直角;大于90度小于180度的角叫做钝角;等于180度的角叫做平角;大于180度小于270度叫做优角(此为补充内容);等于360度的角叫做周角。
4、动手画平角、周角。
【练习题--判断对错】
(1)直角都比钝角小，比锐角大
(2)一个角的两条边越长，角越大。
(3)一个角有三个顶点、两条边。
(4)在所有的角中，直角是最大的。
(5)一个直角也有一个顶点两条边。
(6)把一个角放在放大镜下面，这个角变大了。
(7)老师的大三角板上的直角比我的三角板上的直角大.
(8)长方形有4个直角。
(9)三角板上最多可以有3个直角。
(10)三角板上有3个角，其中最大的那个角是钝角。
精心整理，仅供学习参考。
角的概念与测量知识点总结
角的概念与测量知识点总结角是几何学中重要的概念之一，它指的是由两条射线或线段共享一个端点而形成的形状。
本文将对角的概念和测量知识点进行总结。
一、角的基本概念角由两条射线或线段共享一个端点而形成。
射线或线段称为角的边，共享端点称为角的顶点。
角的大小用弧度或度来表示，弧度常用于数学理论，度常用于日常测量中。
二、角的分类角可分为以下几种类型：1. 零角：两条重合的射线形成的角，其大小为0°或0弧度。
2. 直角：由两条相互垂直的射线形成的角，其大小为90°或π/2弧度。
3. 钝角：大于90°但小于180°的角，称为钝角。
4. 锐角：小于90°的角，称为锐角。
5. 平角：由两条相互平行的射线形成的角，其大小为180°或π弧度。
三、角的测量方法角的测量方法有两种：度数法和弧度法。
1. 度数法：度数法是一种常用的测量角的方法。
它以360°为一周，将一周等分为360份，每一份称为一度（°）。
在数学和日常生活中，通常使用度数法来表示角的大小。
例如，直角大小为90°，钝角大小为120°。
2. 弧度法：弧度法是一种用于解决复杂角度问题的工具，也是数学理论中常用的角度测量方法。
弧度以圆的半径为单位来测量角的大小。
一个圆的一周的弧长为2πr，其中r为圆的半径。
一个圆的一周约等于6.28倍的半径，因此定义了1弧度（rad）等于360°/2π≈57.3°。
例如，直角的弧度大小为π/2弧度，钝角的弧度大小为2π/3弧度。
四、角的性质角的性质是研究角的基本特点和关系的重要内容。
1. 对顶角：对顶角是指由两组对立的角，其中两个角的和为180°。
这种性质使得我们可以通过测量或计算一个角的补角来得到另一个角的度数。
2. 内角和外角：对于一个凸多边形（每个内角小于180°）而言，内角和等于360°。
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角也可以看作由一条射线绕它的
端点旋转而形成的图形．
角也可以看做一条射线绕端点旋转所 组成的图形。
B
C
O
·
A D
射线 OA绕点O 旋转，当终点位置OC和起始 位置 OA 成一直线时，所成的角叫做平角;继续旋转， 回到起始位置 OA 时，所成的角叫做周角。
选择题： 1、下列说法正确的是（ D ） A.平角是一条直线 B.一条射线是一个周角 C.两条射线组成的图形叫做角 D.两边成一直线的角是平角
什么是角呢? 生活中有许多与角有关的实例,观 察下图,你能指出图中的角吗?
你能说出角是由什么图形组成的吗
角的定义：
由两条具有公共端点的射线组成的图形。 （公共端点A叫做该角的顶点, 射线AB、AC叫做该角的两条边） B
（角的符号：∠ ）
A
C
练一练
1、下面的四个图形哪些是角?
（1） ×
(2) ×
2、判断题
（1）直线是一个平角 （×） （2）如图（1），点P不在∠AOB的内部 （
A
） ×
·
P B
D B
O
· ·
E
A
C
（3）如图（2）， ∠ABC与∠DBE是同一个角(√ ）
总结归纳
这节课你有什么收获
• 1、角的两种定义
• 定义一:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公 共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
定义二： 角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋 转到另一个位置所形成的图形。射线旋转时经过的 平面部分叫角的内部。
• 2、平角、周角的概念
• 3、角的四种表示方法
思考题： 画射线OA，OB；在∠AOB的内 部和外部分别画射线OC，OD。那 么所画的图中有哪几个角？请用适 当的方法表示这些角。
(3)
×
(4) √
• 2、判断题： × （1）两条射线组成的图形叫角。 （下列语句正确的是（ D ） A.两条直线相交，组成的图形叫做角 B.两条有公共端点的线段组成的图形叫角 C.两条有公共点的射线组成的图形叫角 D.从同一点引出的两条射线组成的图形叫角
角的表示方法
A O
O
α
B
O
1
记作：用三个字 母∠AOB或BOA 或用角的顶点 ∠O（当角的顶 点处只有一个角 时）
用希腊字母 记作∠α
用小写 的数字 记作∠1
1、图中<AOB能记作<O吗？ <COB呢？
A
B
O
C
2、 把图中的角表示成下列形式,哪些是正 确?哪些不正确?
(1) ∠ APO (3) ∠ OPC (2) ∠AOP (4) ∠OCP
C
A
P O
(5) ∠ O
(6) ∠P
3、请写出下图中的角
A
∠ AOC（或∠ COA ） ∠B0C （或∠ COB ） ∠ AOB（或∠BOA ）
C
O
B
4、将图中的角用不同的方法表示出来， 并填写下表
B
5
4
3
2
1
E
D
A
C
∠1
∠3
∠BAC
∠2
∠4
∠5
∠BCE
∠ACB ∠BAD ∠ABC
活动二：用运动的观点看角的形成：