刚体转动惯量ppt课件
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最全的转动惯量的计算ppt课件
有
l
J0
r 2dm l 2 x2dx l3
l 2
12
将 l m 代入上式，得：
J0
1 12
ml 2
2
（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时
A
xO
dx l
J0
r2dm l x2dx 1 ml 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
3
3
例题2）半径为R的质量均匀分布的细圆环，质 量均为m，试分别求出对通过质心并与环面垂 直的转轴的转动惯量。
x
9
常见刚体的转动惯量
J mr 2 J mr2 / 2 J mr2 / 2 J m(r12 r22) / 2
J ml 2 /12
J mr2 / 2
J 2mr 2 / 5 J 2mr 2 / 3
10
例题1 一长为l,质量为m的匀质细杆竖直放置, 其下端与一固定铰链o相连,并可绕其转动.当其 受到微小扰动时,细杆将在重力的作用下由静止
开始绕铰链o转动.试计算细杆转到与铅直线呈
角时的角加速度和角速度.
解:受力分析
取任一状态,由转动定律
M外
1 2
mgl sin
J
P o
J 1 ml2 3
3g sin
2l
11
d d d 3g sin d t d d t 2l
d 3g sind
16
例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的 作用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的 角速度成正比,即| M1 |= a(Nm),(a为常数)。又
已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度
刚体转动惯量的测定(共10张PPT)
3、学习用曲线改直的数据处理方法处理数据。 3、学习用曲线改直的数据处理方法处理数据。
00g,h= cm 保持h、r、x不变改变m（分别取m=10g,15g,20g,25g,30g)重复上述操作，分别测出相同半径下，不同质量的重物下落相同高度所需的时间t，每一 条件下，重复测量三次，将测量数据记入表一。 3、学习用曲线改直的数据处理方法处理数据。 保持h、r、x不变改变m（分别取m=10g,15g,20g,25g,30g)重复上述操作，分别测出相同半径下，不同质量的重物下落相同高度所需的时间t，每一 条件下，重复测量三次，将测量数据记入表一。 2、掌握转动惯量的测定方法； 3、学习用曲线改直的数据处理方法处理数据。 1、了解转动惯量的物理意义；
00g,h= cm 2、掌握转动惯量的测定方法； 1、了解转动惯量的物理意义； 3、学习用曲线改直的数据处理方法处理数据。
实验内容及操作
• 保持h、r、x不变改变m（分别取 m=10g,15g,20g,25g,30g)重复上述操作，分 别测出相同半径下，不同质量的重物下 落相同高度所需的时间t，每一条件下， 重复测量三次，将测量数据记入表一。
刚体转动惯量的测定
• 实验目的 • 实验仪器 • 实验原理 • 实验内容及操作 • 数据记录与处理
实验目的
1、了解转动惯量的物理意义； 2、掌握转动惯量的测定方法； 3、学习用曲线改直的数据处理方法处理数
据。
实验原理
设由塔轮、游码、横杆等组成的转动系统的转动惯量为J，系统受拉
3、学习用曲线改力直的作数据用处理力方矩法处为理数M据T。,阻力矩为Mμ，则有
2、掌握转动惯量的测定方法； 3、学习用曲线改直的数据处理方法处理数据。
1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 t(s) r(cm) 3、学习用曲线改直的数据处理方法处理数据。
高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体、转动动能、转动惯量(共23张PPT)
I r2dm －质量连续分布
d l －线分布λ ＝m/L
dm
d
s
－面分布σ ＝m/S
d V －体分布ρ ＝m/V
15二–、8决定多转普动勒惯效量应的三因素
1、刚体的总质量； 2、刚体的质量分布； （如圆环与圆盘的不同）；
3、刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
故刚体的动能：
E ki n11 2 m iri2 21 2(i n1 m iri2) 2
1质5量–不8连续多分普布勒（离效散应）
Ek
1( n 2 i1
miri2)2
质量连续分布 mi 0
第十五章 机械波
v
ri
i
m
i
M
Ek
lim mi 0 n
或：
IB
Ic
m( L)2 2
IA Ic mh2
15平–行8轴定多理普：勒刚体效对应任一轴A的转动惯第量十IA五和章通机过械质波
心并与A轴平行的转
动惯量Ic有如下关系：
IA ICmd2
m 为刚体的质量、
d
A
C
M
d 为轴A与轴C之间的垂直距离
正交轴定理：（仅适用于薄板状刚体）
Iz Ix Iy
vc为质心的速度
O
X
1一5、–转8动多动普能 勒效应
第十五章 机械波
刚体绕定轴以角速度旋转
刚体的动能应为各质元动能之和，
为此将刚体分割成很多很小的质
v
ri
i
m
i
M
元
m 1, m 2 m i m n
任取一质元 m i 距转轴 r i ，则该质元动能：
d l －线分布λ ＝m/L
dm
d
s
－面分布σ ＝m/S
d V －体分布ρ ＝m/V
15二–、8决定多转普动勒惯效量应的三因素
1、刚体的总质量； 2、刚体的质量分布； （如圆环与圆盘的不同）；
3、刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
故刚体的动能：
E ki n11 2 m iri2 21 2(i n1 m iri2) 2
1质5量–不8连续多分普布勒（离效散应）
Ek
1( n 2 i1
miri2)2
质量连续分布 mi 0
第十五章 机械波
v
ri
i
m
i
M
Ek
lim mi 0 n
或：
IB
Ic
m( L)2 2
IA Ic mh2
15平–行8轴定多理普：勒刚体效对应任一轴A的转动惯第量十IA五和章通机过械质波
心并与A轴平行的转
动惯量Ic有如下关系：
IA ICmd2
m 为刚体的质量、
d
A
C
M
d 为轴A与轴C之间的垂直距离
正交轴定理：（仅适用于薄板状刚体）
Iz Ix Iy
vc为质心的速度
O
X
1一5、–转8动多动普能 勒效应
第十五章 机械波
刚体绕定轴以角速度旋转
刚体的动能应为各质元动能之和，
为此将刚体分割成很多很小的质
v
ri
i
m
i
M
元
m 1, m 2 m i m n
任取一质元 m i 距转轴 r i ，则该质元动能：
《刚体动力学 》课件
牛顿第二定律
物体的加速度与作用在物 体上的力成正比，与物体 的质量成反比。
牛顿第三定律
对于任何两个相互作用的 物体，作用力和反作用力 总是大小相等，方向相反 ，作用在同一条直线上。
刚体的平动
刚体的平动是指刚体在空间中 的位置随时间的变化而变化， 而刚体的形状和大小保持不变
的运动。
刚体的平动具有三个自由度 ，即三个方向的平动。
05
刚体的动力学方程
刚体的动力学方程
牛顿第二定律
刚体的加速度与作用力成正比，与刚体质量 成反比。
刚体的转动定律
刚体的角加速度与作用力矩成正比，与刚体 对转动轴的转动惯量成反比。
刚体的动量方程
刚体的动量变化率等于作用力对时间的积分 。
刚体的自由度与约束
自由度
描述刚体运动的独立变量，如平动自由度和转动 自由度。
约束
限制刚体运动的条件，如固定约束、滑动约束等 。
约束方程
描述刚体运动受约束的数学表达式。
刚体的动力学方程的求解方法
解析法
通过代数运算求解动力学方程，适用于简单问 题。
数值法
通过迭代逼近求解动力学方程，适用于复杂问 题。
近似法
通过近似模型求解动力学方程，适用于实际问题。
06
刚体动力学中的问题与实例 分析
人工智能和机器学习的发展将为刚体 动力学的研究提供新的思路和方法， 有助于解决复杂动力学问题。
感谢您的观看
THANKS
船舶工程
在船舶工程中，刚体动力学 用于研究船舶的航行稳定性 、推进效率以及船舶结构的 安全性等。
兵器科学与技术
在兵器科学与技术领域，刚 体动力学用于研究弹药的发 射动力学、火炮的射击精度 和稳定性等。
刚体的转动惯量(大学物理--刚体部分)解析ppt课件
第二节 转动惯量
1
一、转动惯量 刚体的动能等于各 质点动能之和。
2
刚体的动能 与平动动能比较
相当于描写转动惯性的物理量 转动惯量的定义： 单位： 千克 ·米2
3
§4.刚体的转动惯量/ 一、转动惯量
转动惯量
4
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
刚体的转动惯量与哪些物理量有关？ ①.与刚体质量有关。 ②.与质量对轴的分布有关。 ③.与轴的位置有关。
细棒转轴通过中 心与棒垂直
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
14
§4.刚体的转动惯量\ 三、典型刚体的转动惯量
2r
2r
球体转轴沿直径
球壳转轴沿直径
15
§4.刚体的转动惯量/ 三、典型刚体的转动惯量
四、平行轴定理 定理表述： 刚体绕平行于质心轴的转动惯 量 J，等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚 体质量与两轴间的距离平方的乘积。
二.质量连续分布刚体的转动惯量计算
1.计算公式
5
§轻杆的 b 处 3b 处各系质量 为 2m和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求： 质点系的转动惯量J。 解： 由转动惯量的定义
6
§4.刚体的转动惯量\ 二、转动惯量的计算
例2：长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与 杆垂直的质心轴转动，求转动惯量 J。
建立坐标系，坐标原点选在边缘处。分 割质量元 dm ,长度为 dx ,
9
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
10
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
例4：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直 于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。 解： 分割质量元 dm 圆环上各质量元到 轴的距离相等，
1
一、转动惯量 刚体的动能等于各 质点动能之和。
2
刚体的动能 与平动动能比较
相当于描写转动惯性的物理量 转动惯量的定义： 单位： 千克 ·米2
3
§4.刚体的转动惯量/ 一、转动惯量
转动惯量
4
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
刚体的转动惯量与哪些物理量有关？ ①.与刚体质量有关。 ②.与质量对轴的分布有关。 ③.与轴的位置有关。
细棒转轴通过中 心与棒垂直
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
14
§4.刚体的转动惯量\ 三、典型刚体的转动惯量
2r
2r
球体转轴沿直径
球壳转轴沿直径
15
§4.刚体的转动惯量/ 三、典型刚体的转动惯量
四、平行轴定理 定理表述： 刚体绕平行于质心轴的转动惯 量 J，等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚 体质量与两轴间的距离平方的乘积。
二.质量连续分布刚体的转动惯量计算
1.计算公式
5
§轻杆的 b 处 3b 处各系质量 为 2m和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求： 质点系的转动惯量J。 解： 由转动惯量的定义
6
§4.刚体的转动惯量\ 二、转动惯量的计算
例2：长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与 杆垂直的质心轴转动，求转动惯量 J。
建立坐标系，坐标原点选在边缘处。分 割质量元 dm ,长度为 dx ,
9
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
10
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
例4：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直 于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。 解： 分割质量元 dm 圆环上各质量元到 轴的距离相等，
13-4 刚体的转动惯量
2
d
2
M
=
∴ J z* = J z + d M
转 动 惯 量 的 平 行 轴 定 理
刚体对于任何轴的转动惯量， 等于刚体对通过其质心并与该轴平 行的轴的转动惯量加上刚体质量与 这两轴间距离平方的乘积。
J
z *
=
J
z
+
d
2
M
J
Y*
C
r*i
Y*i X
在Z坐标系中距
r Z*轴为 ri*,
Mi
X*
ri x* Mi
Y
Z轴为 i, 在Z*坐标系中距
xi* = xi , yi* = yi + d
2 2 2
Yi
∴ J z* = ∫ r * dm = ∫ ( xi * + yi * )dm
M M
取Y轴与Y*重合
把
xi* = xi , yi* = yi + d
M M
代入
∴ J z* = ∫ r * 2 dm = ∫ ( x * 2 + y * 2 )dm
=
M
∫[
M
x
2
+
2
(y
+ d
2
)
2
]
dm =
M
∫ [( x
2
+ y 2 ) + 2 yd + d
2
2
]d m
=
∫ (x
=
+ y
2
)d m
z
+
∫
M
d
dm
+ d
∫
M
ydm
∫
M
r dm = J
d
2
M
=
∴ J z* = J z + d M
转 动 惯 量 的 平 行 轴 定 理
刚体对于任何轴的转动惯量， 等于刚体对通过其质心并与该轴平 行的轴的转动惯量加上刚体质量与 这两轴间距离平方的乘积。
J
z *
=
J
z
+
d
2
M
J
Y*
C
r*i
Y*i X
在Z坐标系中距
r Z*轴为 ri*,
Mi
X*
ri x* Mi
Y
Z轴为 i, 在Z*坐标系中距
xi* = xi , yi* = yi + d
2 2 2
Yi
∴ J z* = ∫ r * dm = ∫ ( xi * + yi * )dm
M M
取Y轴与Y*重合
把
xi* = xi , yi* = yi + d
M M
代入
∴ J z* = ∫ r * 2 dm = ∫ ( x * 2 + y * 2 )dm
=
M
∫[
M
x
2
+
2
(y
+ d
2
)
2
]
dm =
M
∫ [( x
2
+ y 2 ) + 2 yd + d
2
2
]d m
=
∫ (x
=
+ y
2
)d m
z
+
∫
M
d
dm
+ d
∫
M
ydm
∫
M
r dm = J
高二物理竞赛第3章第3讲定轴转动刚体的角动量转动惯量PPT(课件)
i
i
转动惯量
IZ mi Ri2 i
LZ ( mi Ri2 ) IZ i
转动惯量的计算： I mi Ri2 m R2dm i
平行轴定理
Iz Izc md 2
正交轴定理
Iz Ix Iy
l
1 12
ml
2
细圆棒 轴通过中心
l
1 3
ml
2
细圆棒 轴通过一端
I 1 mR2 2
圆盘 轴垂直盘面通过中心
2 23
故细棒摆下角时的角速度为： 3g sin
重力的功 : A E mg l sin
l
p
பைடு நூலகம்
2
法二: 细棒摆动（即转
动）时，重力对0轴的
o
力矩为: 求:物体的加速度和定滑轮的角加速度，以及两边绳子中的张力。
一质量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。 刚体对定轴的角动量定理
l 若它与桌面间的滑动摩擦系数为μ，在t=0时，使圆柱体获得一个绕轴旋转的角速度ω。
一、刚体定轴转动的角动量定理
能包括所有的动能和势能.
对质点系而言角动量定理为： 由系统角动量守恒(设向外为正方向)
注意：该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。 处理刚体定轴转动问题与圆周运动角量描述类似 例 计算钟摆的转动惯量。 （1）分别隔离 和
dL dt
M外
2 质点系角动量守恒定律
角加速度：
lim
t 0
t
d
dt
处理刚体定轴转动问题与圆周运动角量描述类似
角量相同（角位移、角速度、角加速度）
线量不同
vi Ri ri
vi Ri
ai ai ainn
3-1 定轴转动刚体的转动惯量
ω
z
质量离散分布刚体的转 动惯量
I = ∑mj R = m R + m2 R + L
2 j 2 1 1 2 2 j
O
R
dm
质量连续分布刚体的转 动惯量
I = ∑mj R = ∫ R dm
2 j 2 j
dm
：质量元
3 . 1 定轴转动刚体的转动惯量
第3章 刚体动力学
质量连续分布刚体的转动惯量
I = ∫ R dm
3 . 1 定轴转动刚体的转动惯量
第3章 刚体动力学
刚体在平动时， 刚体在平动时，在任意一段 时间内， 时间内，刚体中所有质点的 位移都是相同的。 位移都是相同的。而且在任 何时刻， 何时刻，各个质点的速度和 加速度也都是相同的。 加速度也都是相同的。所以 刚体内任何一个质点的运动， 刚体内任何一个质点的运动， 都可代表整个刚体的运动。 都可代表整个刚体的运动。
v v v v 均相同， 不同； 2） 任一质点运动 ∆ θ , ω , α 均相同，但 v, a 不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 。
3 . 1 定轴转动刚体的转动惯量
第3章 刚体动力学
角量与线量的关系
α=
dθ ω= dt 2 dω d θ
dt = dt
2
ω
v
v a
v v an r
v v v = rω et
在 300 s 内转子转过的转数
π 3 4 N= = (300) = 3 ×10 2π 2π × 450
θ
3 . 1 定轴转动刚体的转动惯量
第3章 刚体动力学
3
刚体定轴转动的角动量
v L
v v v v v L = r × p = r × mv 大小 L = rm v sin θ
转动惯量课件 PPT
i
a (b c) b(a c) c(a b)
mi[ωri2 ri (ω ri )]
i
ri xiex yiey ziez
(1)
静止系或活
(2)
动系都可以
ω xex yey zez
(3)
(2)(3)代入(1)可得 J J xex J yey J zez
3、5、1 刚体得动量矩
做定点转动的刚体
则点集{Q1,Q2,…,Qn,…}在空间密布成一个椭球 面,此椭球称为此刚体得惯量椭球。
3、5、4 惯量张量与惯量椭球
惯量椭球得概念
求证：定点转动刚体上满足 OQ 1 所有点Q
构成一个椭球面。
I
证明: 在刚体上建立活动系O-xyz, 并设瞬轴l的方
向余弦为 , , 。
令 OQ 1 R
y
ω l 解:如图建立主轴坐
标系。
b
O
a
薄板对对角线l的转 x 动惯量，在主轴坐标
系下的计算式为
Il I1 2 I2 2 I3 2 (1)
其中I1,I2,I3分别是薄板对三个坐标轴的转动惯量， 是对角,线, l的三个方向余弦。
3、5 转动惯量
例题
对角线l得三个方向余弦分别为
y
ωl
cos a
(
I
xx
2 x
I
yy
2 y
I
zz
2 z
2I xyx y
2I yz yz
2I zxzx )
3、5、3 转动惯量得概念
由转动动能引入转动惯量
T 1
2
i
mivi vi
1 2
i
mi (ω ri ) (ω ri )
ez ω
刚体转动惯量测量课件
改进建议
根据实验结果和讨论，提出了对 实验的改进建议，如优化实验装 置、改进数据处理方法等，以提 高实验的准确性和可靠性。
THANK YOU
感谢观看
数据。
数据处理方法
采用了适当的数学方法对实验数据 进行处理，如求平均值、计算标准 差等，以确保数据的准确性和可靠 性。
结果分析
根据处理后的数据，对刚体的转动 惯量进行了计算和分析，得出了转 动惯量与质量、半径等因素的关系 。
结果误差分析
误差来源
误差处理
对实验中可能产生的误差来源进行了 分析，如测量仪器的精度、实验操作 中的误差等。
针对误差来源和传递情况，提出了相 应的误差处理方法，如提高测量仪器 的精度、规范实验操作等。
误差传递
根据误差传播定律，对实验中各环节 的误差进行了传递和合成，得出了最 终结果的误差范围。
结果讨论与改进建议
结果讨论
对实验结果进行了深入的讨论， 包括转动惯量与质量、半径等因 素的关系，以及实验结果与其他 文献结果的比较等。
落体法是通过测量刚体在自由 落体运动中的加速度和时间， 计算出刚体的转动惯量。
落体法适用于测量大型刚体的 转动惯量，具有操作简便、精 度高等优点。
在落体法中，需要使用高精度 的测量仪器，如加速度计、时 间计数器等，以确保测量结果 的准确性。
复摆法测量刚体转动惯量
复摆法是通过测量复摆的周期和 振幅，计算出刚体的转动惯量。
实验准备
检查实验装置是否 完好，确保测量工 具准确可靠。
初始测量
测量刚体的质量和 质心位置。
数据整理
整理实验数据，计 算转动惯量。
数据处理方法
质量测量
质心位置测量
转动周期测量
转动惯量计算
根据实验结果和讨论，提出了对 实验的改进建议，如优化实验装 置、改进数据处理方法等，以提 高实验的准确性和可靠性。
THANK YOU
感谢观看
数据。
数据处理方法
采用了适当的数学方法对实验数据 进行处理，如求平均值、计算标准 差等，以确保数据的准确性和可靠 性。
结果分析
根据处理后的数据，对刚体的转动 惯量进行了计算和分析，得出了转 动惯量与质量、半径等因素的关系 。
结果误差分析
误差来源
误差处理
对实验中可能产生的误差来源进行了 分析，如测量仪器的精度、实验操作 中的误差等。
针对误差来源和传递情况，提出了相 应的误差处理方法，如提高测量仪器 的精度、规范实验操作等。
误差传递
根据误差传播定律，对实验中各环节 的误差进行了传递和合成，得出了最 终结果的误差范围。
结果讨论与改进建议
结果讨论
对实验结果进行了深入的讨论， 包括转动惯量与质量、半径等因 素的关系，以及实验结果与其他 文献结果的比较等。
落体法是通过测量刚体在自由 落体运动中的加速度和时间， 计算出刚体的转动惯量。
落体法适用于测量大型刚体的 转动惯量，具有操作简便、精 度高等优点。
在落体法中，需要使用高精度 的测量仪器，如加速度计、时 间计数器等，以确保测量结果 的准确性。
复摆法测量刚体转动惯量
复摆法是通过测量复摆的周期和 振幅，计算出刚体的转动惯量。
实验准备
检查实验装置是否 完好，确保测量工 具准确可靠。
初始测量
测量刚体的质量和 质心位置。
数据整理
整理实验数据，计 算转动惯量。
数据处理方法
质量测量
质心位置测量
转动周期测量
转动惯量计算
力矩转动定律转动惯量ppt
物理学教程 （第二版）
* 例4 如图一斜面长 l = 1.5m, 与水平面的夹角 = 5o.
有两个物体分别静止地位于斜面的顶端, 然后由顶端沿
斜面向下滚动, 一个物体是质量 m1 = 0.65kg、半径为R1 的实心圆柱体, 另一物体是质量为 m2 = 0.13 kg 、半径 R2 = R1 = R 的薄壁圆柱筒. 它们分别由斜面顶端滚到斜 面底部各经历多长时间?
直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰
动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动.
试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角
速度.
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用，由转动定律得
1 mgl sin J
2
m FN
l2
l oP
第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
圆盘绕圆心转动
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
物理学教程 （第二版）
一 力矩
刚体绕 O z 轴旋 转 , 力 F 作用在刚体上点 P ,
且在转动平面内,
矢.
r
为由点O 到力的作用点 P 的径 M
F
对转轴Z
的力矩
M rF
M Frsin Fd
例2 有一半径为R质量为 m 匀质圆盘, 以角速度ω0绕
通过圆心垂直圆盘平面的轴转动.若有一个与圆盘大小相
同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆盘,故而有正压
力N 均匀地作用在盘面上, 从而使其转速逐渐变慢.设正
压力N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出.试
问经过多长时间圆盘才停止转动?
4-2刚体的角动量 转动动能 转动惯量
∆Li = ∆m Rivi i
方向如图所示。 方向如图所示。
ω ∆L
r i
O
i
∆Liz
θ i Ri ∆m
刚体的角动量
点的角动量， 刚体对 o 点的角动量，等于各个质点角动量的矢量 和。 对于定轴转动， 对于定轴转动，我们感兴趣的只是 L 对沿 Oz 轴 刚体绕定轴转动的角动量。 叫做刚体绕定轴转动的角动量 的分量 L ，叫做刚体绕定轴转动的角动量。
对质量面分布的刚体： 对质量面分布的刚体： dm
σ ：质量面密度
ρ
：质量体密度
= σ dS
= ρdV
对质量体分布的刚体： 对质量体分布的刚体：dm
例题4 求质量为m 例题4-3 求质量为m、长为 l 的均匀细棒对下面 三种转轴的转动惯量： 三种转轴的转动惯量： 转轴通过棒的中心并和棒垂直； （1）转轴通过棒的中心并和棒垂直； 转轴通过棒的一端并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端并和棒垂直； 转轴通过棒上距中心为h （3）转轴通过棒上距中心为h的一点 并和棒垂直。 并和棒垂直。
2 2 I = mr 3
10、球体（转轴沿直径） 、球体（转轴沿直径）
2 2 I = mr 5
竿 子 长 些 还 是 短 些 较
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？ 大都分布于外轮缘？
全 ？
安
1 2 如： J C = mR 2
J
2
JC
J = J C + mR
m
1 2 2 = mR + mR 2
R
刚体绕质心轴的转动惯量最小
垂直轴定理
定理表述：质量平面分布的刚体， 定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于 平面分布的刚体 平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转 动惯量之和： 动惯量之和：J z = J x + J y 证明： 证明：
(基础)用三线摆测量刚体的转动惯量(大学物理实验讲课比赛课件)
平动
图三29-线1 摆三原线摆理示图意图
动能
动能
用三线摆测量刚体的转动惯量
7/16
二、用三线摆测振动周期求出其转动惯量的原理
如果忽略摩擦力的影响，则机械能守恒
1 2
I0
d
dt
2
1 2
m0
dh 2
dt
m0
gh
恒量
下圆盘回到平衡位置时最大角速度为ω0，在平衡位置具有的
动能为
EK
1 2
I
002
d
C mO
用三线摆测量刚体的转动惯量
6/16
二、用三线摆测振动周期求出其转动惯量的原理
角位移为θ（也称扭转角）
上升的高度为h
A
O
下圆盘m0势能的增量为
r
EP m0gh
L
设下圆盘对OO'轴的转动惯量
R
H
为I0 ,则下圆盘动能为
C
O
B
EK
1 2
I0
d
dt
2
1 2
m0
dh dt
2
B
C
O
h
转动
用三线摆测量刚体的转动惯量
1
一、转动惯量
转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，是表征刚体特性的物 理量，其量值取决于物体的形状、质量、质量分布及转轴的位置。 转动惯量具有重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、 电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要的参量。
二、转动惯量大小的确定
刚体形状简单、 质量分布均匀
4 2H
T22
I0
理论值：
Id
1 2
m2r22
m2d 2
用三线摆测量刚体的转动惯量
转动惯量 ppt课件
可见，转动惯量与厚度 l 无关。所以，实心圆柱对
其轴的转动惯量与圆盘的相同。
（3） 球体绕其直径的转动
将均质球体分割成一系
列彼此平行且都与对称轴垂
直得圆盘，则有
J O
1 dm r2 2
1 2
r 2 d z r 2
R 1 ( R 2 z 2 ) 2 d z
R 2
8 R 2 2 m R 2
节始终保持不动，整个刚体绕着这根直线转动，该直
线称作转轴。 Z
只有一个转动自由度。
各质元的线速度、加速
度一般不同，但角量（角 位移、角速度、角加速度） 都相同。
P X
Q
X
描述刚体整体的运动用角量最方便。
2、定轴转动的角量描述
z
角坐标 ：确定刚体的位置
运动学方程： t
角速度 ：描述转动的快慢
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
5 . 刚体运动概述：
0 • 刚体——一种特殊质点系 节
质点
刚体
质点系
刚体：在任何情况下形状和大小都不变的物体。即任 意两质点之间的距离保持不变的质点系（理想模型）。
• 刚体 —— ?个自由度
本章将介绍一种特殊的质点 系—刚体—所遵从的力学规律。 它实际上就是质点系的基本原 理在刚体上的应用。重点是定 轴转动，重要的概念是转动惯 量。
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
正交轴Ox和Oy的转动惯量之和。
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律课件
转动惯量的特性
只与刚体的质量和各质点到转动轴 的距离有关，与转动角速度的大小 无关。
02
角动量定理
角动量的定义与性质
角动量的定义
角动量是描述刚体转动状态的物理量 ，等于刚体的转动惯量乘以角速度。
角动量的性质
角动量是矢量，具有方向和大小；对 于定轴转动，角动量位于转轴上；角 动量是相对量，与参考系的选择有关 。
理解角动量守恒定律的证明方法是深入理解该定律的重要途径。
详细描述
证明角动量守恒定律的方法主要有两种，一种是基于牛顿第二定律和转动定理推导，另一种是通过分析系统的能 量变化来证明。通过这些证明方法，可以更深入地理解角动量守恒定律的物理意义和适用条件。
04
刚体定轴转动的实例 分析
刚体定轴转动的实例介绍
角动量守恒定律的内容及应用
总结词
掌握角动量守恒定律的内容及应用是解决实际问题的关键。
详细描述
角动量守恒定律表明，对于不受外力矩或所受外力矩的矢量和为零的系统，其总角动量保持不变。这 一原理在日常生活、工程技术和科学研究中有广泛的应用，如行星运动、陀螺仪、火箭飞行等。
角动量守恒定律的证明方法
总结词
陀螺仪
风扇
陀螺仪是一个典型的刚体定轴转动实 例，其工作原理就是角动量守恒定律 。
当风扇的扇叶旋转时，可以将其视为 刚体定轴转动，这个过程涉及到角动 量定理的应用。
自行车轮
自行车轮在转动时，也是一个刚体定 轴转动的例子，其转动惯量对于理解 角动量定理和角动量守恒定律非常有 帮助。
刚体定轴转动的角动量定理应用实例
舞蹈演员在进行旋转动作时，可以通过改变身体的姿势来改变转动惯量，从而控制旋转的 速度。
刚体定轴转动的角动量守恒定律应用实例
只与刚体的质量和各质点到转动轴 的距离有关，与转动角速度的大小 无关。
02
角动量定理
角动量的定义与性质
角动量的定义
角动量是描述刚体转动状态的物理量 ，等于刚体的转动惯量乘以角速度。
角动量的性质
角动量是矢量，具有方向和大小；对 于定轴转动，角动量位于转轴上；角 动量是相对量，与参考系的选择有关 。
理解角动量守恒定律的证明方法是深入理解该定律的重要途径。
详细描述
证明角动量守恒定律的方法主要有两种，一种是基于牛顿第二定律和转动定理推导，另一种是通过分析系统的能 量变化来证明。通过这些证明方法，可以更深入地理解角动量守恒定律的物理意义和适用条件。
04
刚体定轴转动的实例 分析
刚体定轴转动的实例介绍
角动量守恒定律的内容及应用
总结词
掌握角动量守恒定律的内容及应用是解决实际问题的关键。
详细描述
角动量守恒定律表明，对于不受外力矩或所受外力矩的矢量和为零的系统，其总角动量保持不变。这 一原理在日常生活、工程技术和科学研究中有广泛的应用，如行星运动、陀螺仪、火箭飞行等。
角动量守恒定律的证明方法
总结词
陀螺仪
风扇
陀螺仪是一个典型的刚体定轴转动实 例，其工作原理就是角动量守恒定律 。
当风扇的扇叶旋转时，可以将其视为 刚体定轴转动，这个过程涉及到角动 量定理的应用。
自行车轮
自行车轮在转动时，也是一个刚体定 轴转动的例子，其转动惯量对于理解 角动量定理和角动量守恒定律非常有 帮助。
刚体定轴转动的角动量定理应用实例
舞蹈演员在进行旋转动作时，可以通过改变身体的姿势来改变转动惯量，从而控制旋转的 速度。
刚体定轴转动的角动量守恒定律应用实例
刚体的角动量PPT课件
m2 gh
1 2
(m1
m2 )v 2
1 2
J 2
（5）
12
第12页/共59页
m2 gh
1 2
(m1
m2 )v 2
1 2
J 2
式中v是当m2下落了高度 h 时两个物体的运动速率,
是此时滑轮的角速度。
因为
J 1 Mr 2 2
,
v r
, 所以得
m2 gh
1 2 (m1
m2
1 2
M )v 2
由此解得
dAi Firi sini d Mzid
式中Mzi 是外力Fi 对转轴Oz的力矩。
在整个刚体转过d角的过程中，n个外力所作的
总功为
n
式中 Mzi 是作用于刚体的所有外力对Oz轴的力
i 1
矩的代数和, 也就是作用于刚体的外力对转轴的合外 力矩Mz 。
1
第1页/共59页
如果刚体在力矩Mz 的作用下绕固定轴从位置1转 到2 , 在此过程中力矩所作的功为
(2) 闸瓦对飞轮施加的 摩擦力矩所作的功。
d
闸瓦
解：为了求得飞轮从制 飞轮
动到停止所转过的角度
和摩擦力矩所作的功A, 必须先求得摩擦力、摩擦力矩
和飞轮的角加速度。
6
第6页/共59页
闸瓦对飞轮施加的摩擦力的
大小等于摩擦系数与正压力的乘
积
d
闸瓦
方向如图所示。摩擦力相对z 轴的力矩就是摩擦力矩, 所以 飞轮
支
架
则转轴将保持该方向不变
而不会受基座改向的影响
33
第33页/共59页
例1: 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，一端
有
实验三 刚体转动惯量
实验三
刚体转动惯性的测定
转动惯量是刚体转动惯性的量度，它与刚体 的质量分布和转轴的位置有关。对于形状简单的 均匀刚体，测出其外形尺寸和质量，就可以计算 其转动惯量。对于形状复杂，质量分布不均匀的 刚体，通常利用转动实验来测出其转动惯量。三 线摆法是其中的一种办法。为了便于和理论计算 值比较，实验中的被测刚体均采用形状规则的刚 体。
实验原理 三线摆实验装置: 右图是三线摆实验装置的示意 图。上、下圆盘均处于水平，悬挂 在横梁上。三个对称分布的等长悬 线将两圆盘相连。上圆盘固定，下 圆盘可绕中心轴作扭摆运动。当下 盘转动角度很小，且略去空气阻力 时，扭摆的运动可近似看作简谐运 动。根据能量守恒定律和刚体转动 定律均可以导出物体绕中心轴的转 动惯量.
实验内容见p43
设下圆盘质量为M, r和R分别为上下圆盘悬点 到中心轴的距离，H为两圆盘间的距离，T0为下圆 盘的摆动周期，则下圆盘绕中心轴 OO’的转动惯量 IO可用下式计算：
M为m的物体绕特定轴的转动惯 量I，可将该物体放在下圆盘上，使其转轴与中心 轴重合，测量圆盘与待测物共同转动的周期T，则 由
（M m）gRr 2 I总 T I0 I 2 4 H
根据转动惯量的叠加原理，从总的转动惯量I中减 去圆盘的转动惯量I0,就可得该物体绕定轴的转动惯量
I I总 - I 0
在理论上，对于质量为m ，内、外直径分别为 d1 、d2 的均匀圆环，其绕中心轴的转动惯量的理论公 式为
1 2 2 I 环 m(d1 d 2 ) 8
刚体转动惯性的测定
转动惯量是刚体转动惯性的量度，它与刚体 的质量分布和转轴的位置有关。对于形状简单的 均匀刚体，测出其外形尺寸和质量，就可以计算 其转动惯量。对于形状复杂，质量分布不均匀的 刚体，通常利用转动实验来测出其转动惯量。三 线摆法是其中的一种办法。为了便于和理论计算 值比较，实验中的被测刚体均采用形状规则的刚 体。
实验原理 三线摆实验装置: 右图是三线摆实验装置的示意 图。上、下圆盘均处于水平，悬挂 在横梁上。三个对称分布的等长悬 线将两圆盘相连。上圆盘固定，下 圆盘可绕中心轴作扭摆运动。当下 盘转动角度很小，且略去空气阻力 时，扭摆的运动可近似看作简谐运 动。根据能量守恒定律和刚体转动 定律均可以导出物体绕中心轴的转 动惯量.
实验内容见p43
设下圆盘质量为M, r和R分别为上下圆盘悬点 到中心轴的距离，H为两圆盘间的距离，T0为下圆 盘的摆动周期，则下圆盘绕中心轴 OO’的转动惯量 IO可用下式计算：
M为m的物体绕特定轴的转动惯 量I，可将该物体放在下圆盘上，使其转轴与中心 轴重合，测量圆盘与待测物共同转动的周期T，则 由
（M m）gRr 2 I总 T I0 I 2 4 H
根据转动惯量的叠加原理，从总的转动惯量I中减 去圆盘的转动惯量I0,就可得该物体绕定轴的转动惯量
I I总 - I 0
在理论上，对于质量为m ，内、外直径分别为 d1 、d2 的均匀圆环，其绕中心轴的转动惯量的理论公 式为
1 2 2 I 环 m(d1 d 2 ) 8
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舞者总是先张开双臂，然后在起跳旋转的瞬间收缩双臂 就可以做到快速旋转。这就是运用了角动量守衡这一原理，由 于运动员迅速收缩双臂后，其转动惯量立即减小，角速度就立 即增加，因此就能达到快速转动的效果，所以在运动员做在空
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如果感觉身体向右倾，就加大左手对细杆的力，就会对细杆产 生一个力矩，细杆对人也有一个力矩的作用，人所受合外力矩 为零，从而使人能保持平衡。并且杆的转动惯量越大，平衡的 调节效果越好。 由于人需要一个反应时间，在这个反应时间内不能使人的转动 速度太大，否则人就已经坠落，就要使转动角加速度较小，由 刚体的定轴转动定律，在重力的力矩一定时，就要使系统的转 动惯量较大，这样的话在反应时间内人不会转动太大角度，继 而有时间去调节平衡。杆的转动惯量越大，留给我们调节平衡 的时间也就越长。 大家可以通过实验的方式体验一下，用手指支撑一支圆珠笔使 其不坠落要比支撑一根长竹竿使其不坠落难得多。道理和走钢 丝是一样的。
中旋转的动作时，手臂会立即收缩回来。
2、刚体转动惯量在走钢丝中的应用
走钢丝就是在悬挂于空中的钢丝上行走，并完成一些表演 动作，表演者会始终将手臂伸直或横握一根细长的直杆来使系 统（人和杆）的重心始终在钢丝上以保持身体的平衡。在表演 时必然会因为风力或表演者肢体所做的动作而使身体发生晃动， 就会造成重心的位置发生偏移，重力就会产生相对钢丝轴的力 矩M，力矩作用在人上会使人绕钢丝轴转动，这会使表演者坠 落。为了避免这种情况，表演者必须及时调整重心的位置。
自己的见解：将三维刚体转化为二维刚体时，投影方向应与
转动轴方向平行；将二维刚体转化为一维刚体时，应首先保
证转动轴在二维刚体平面上或与之平行，而且投影方向应与
转动轴平行，当然如果转动轴与二维刚体平面垂直，可以利
用正交轴定理化为对两个相互垂直的平行于刚体平面的转动
轴的转动惯量的和。
证明
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3
应用质量投影法的步骤
那么后面旋翼的转动会产生一个水平面上的推力，使系统受到一个 推力矩，这样就不会引起机身的反向转动，而使直升机做直线运动。
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12
谢谢观看
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13
转动惯量的质量投影法证明
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4均质圆台体绕中心轴的转动惯量计算
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