分式复习讲义

分式复习

知识点复习

1. 分式的概念

（1）如果 A 、B 表示两个整式，且 B 中含有未知字母，那么式子

A

B

叫做分式。 （2）分式与整式的区别： 分式的分母中含有字母,整式的分母中不含有字母。 2. 分式有意义的条件：分式的分母不能为 0，即

A

B

中， B ≠ 0 时，分式有意义。 3. 分式的值为0的条件：分子为0,且分母不为0，对于

A B ，即00

A B =⎧⎨≠⎩时，A B = 0 . 4. 分式（数）的基本性质: 分式(数)的分子、分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式(数),分式(数)的值不变。

A A M

B B M ⋅=

⋅,A A M

B B M

÷=÷（ M 为 ≠ 0 的整式） 5. 分式通分

（1）通分的依据是分式的基本性质;(2)通分的关键是确定最简公分母;

（3）通分后的各分式的分母相同; （4）通分后的各分式分别与原来的分式相等. 6. 分式通分的步骤 （1）确定最简公分母

①取各分母系数的最小公倍数。

②凡出现的字母（或含字母的式子）因式都要取。

③相同字母（或含字母的式子）的幂因式取指数最大的。 ④当分母中有多项式时，要先将多项式分解因式。 （2）将各分式化成相同分母的分式。 7. 分式的约分

（1）约分的依据：分式的基本性质 （2）约分后不改变分式的值。 （3）约分的结果：使分子、分母中没有公因式，即化为最简分式。 8. 分子的变号规则

分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。 用式子表示为：

a a a

b b b -==--；a a a a b b b b

---=-==-- 9. 分式的乘除法则

乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 10. 分式的乘方：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即n

a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭

=

11. 分式的加减

（1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

（2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

a b c c ±=a c b d

±== bc

ad c d b a d c b a bd ac d c b a =

⋅=÷=⋅;

12. 分式的混合运算原则

（1）先乘方，再乘除，再算加减，有括号，先算括号内的。 （2）同级运算，按运算顺序进行。

（3）运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分配律。 （4）结果化为最简分式或整式。

13. 整数指数幂(m,n 为整数)

(1) m n

a a ⋅=（2）()

n

m a

=（3）()n

ab =，

（4）m

n

a a ÷=（a ）（5）n

a b ⎛⎫

⎪⎝⎭

=

(6)零指数幂的性质：0a = ( )，负指数幂的性质：n

a

- = ( )

引入负整数指数幂后，正整数指数幂的运算法则对负整数指数幂一样适用 14. 分式方程 ：分母中含有未知数的方程叫分式方程。 整式方程 ，如 3x +3 = 4 x -2分式方程 , 如12

123

x x =

+- 15．解分式方程的一般步骤：

（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程；

（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去. 16. 用换元法解分式方程的一般步骤：

① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； ② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； ③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答. 17．分式方程的应用：

分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验： （1）检验所求的解是否是所列；（2）检验所求的解是否. 18．易错知识辨析：

（1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.

（2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的

增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.

（3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程； ②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值

考点讲解

考点 1. 分式的概念和性质

例 1代数式中，分式的个数是（ B ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

例 2（1）已知分式

1

1

x x -+ 的值是零，那么 x 的值是______ （2）当 x________时，分式1

1

x - 没有意义．

例 3 下列各式从左到右的变形正确的是（D ）

A 、0.20.2a b a b ++=22a b a b ++

B 、11x x x y x y +--=--

C 、a b a b a b a b +-=

-+D 、1212

x y

x y -

+ =22x y x y -+ 例 4填写出未知的分子或分母：

（1）

. 例 5把分式

22x y

x y

+-中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值（ A ）

A ．不变

B ．扩大2倍

C ．扩大4倍

D ．缩小2倍 考点 2：分式的化简与计算 ：

例 1 计算24111a a

a a

++--的结果是________． 例 2已知 31=-x x ，则22

1x

x + ＝ .

例 3（08芜湖）已知，则代数式的值为.

21,,,13x x a

x x x π

+222

3()11

,(2)21()

x y x y x y y y +==+-++113x y -=21422x xy y x xy y

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