八年级数学比例线段8
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比例线段(2)
【教学目标】
A(了解)1. 知道比例线段的概念,能说出比例关系式中比例的内项、外项、第四比例项和比例中项.
2. 通过与小学所学有关比例的知识的类比,学习比例线段的有关概念,进一
步体会类比的方法.
3. 通过等比性质的证明以初步渗透“参数”(设比值为“k”)的思想方法. B(理解)能熟记比例的基本性质;能熟记并会证明比例的合比性质与等比性质.
C(掌握)能够运用比例的性质进行简单的计算和证明.
【教学重点】
比例的基本性质及其证明.
【教学难点】
等比性质的证明.
【教学过程】
一、复习引入:
小学里已经学过了比例的有关知识,下面请同学们口答下列问题:
(1)如果a与b的比值和c与d的比值相等,应记为:。
(2)已知2:3=4:x,则:x= 。
(3)比例的基本性质是什么?
二、讲授新课:
上节课学习了两条线段的比,本节课就来学习比例线段。
1.引入概念:
(1)比例线段及其相关概念
问题1:在矩形ABCD和A’B’C’D’中,AB=50,BC=25,A’B’=20,B’C’=10。求线段AB:BC和A’B’:B’C’的值,它们有
什么关系?(学生计算并找出它们
的关系)
由以上例题引出“比例线段”
的概念:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段。
已知四条线段a 、b 、c 、d ,如果d
c b a =(或a :b =c :
d ),那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的项,线段a 、d 叫做比例外项,线段b 、c 叫做比例内项,线段d 叫做a 、b 、c 第四比例项。 如果作为比例内项的是两条相同的线段,即
c b b a =(或a :b =b :c ),那么线段b 叫做线段a 和c 的比例中项。
(2)“比例线段”和“线段的比”的区别
问题2:“比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别?(学生回答)
结论:线段的比是指两条线段之间的比的关系,比例线段是指四条线段之间的关系。
(3)注意:概念的有序性
线段的比有顺序性,a :b 和b :a 通常是不相等的。 比例线段也有顺序性,如
d c b a =叫做线段a 、b 、c 、d 成比例,而不能说成是b 、a 、c 、d 成比例。 第四比例项也有顺序性,如d
c b a =中,线段
d 叫做a 、b 、c 的第四比例项,而不能说成“线段d 叫做b 、a 、c 的第四比例项”。
2.比例的性质:
(1) 比例的基本性质
问题3:前面我们已经回答了,如果d
c b a =(或a :b =c :
d ),那么ad =bc ,即比例的两外项的积等于两内项的积,那么如何证明呢?(引导学生一起证明)
问题4:试说出这个性质的逆命题,它是真命题吗?如何证明?(由学生完成) 结论:ad =bc ⇔ a :b =c :d .
问题5:如果a :b =c :d 中的两个比例内项相等,即当a :b =b :c 时,又可以得到什么结论呢?(学生口答)
结论:由比例的基本性质可得:a :b =b :c ⇔ac b =2.
(2) 合比性质
问题6:刚才我们用等式的性质证明了比例的基本性质,如果我们继续用等式的性质,能否得到比例的其它性质呢?比如:在比例式
d
c b a =的两边都加上1,会得到什么结果呢?(引导学生思考并推出合比性质) 结论:如果
d c b a =,那么d
d c b b a +=+. 问题7:请仿照上面的方法,证明“如果d c b a =,那么d d c b b a -=-”(P205.练习2).
合比性质:如果
d c b a =,那么d d c b b a ±=±. (3)等比性质
问题8:购物中的比例 五角钱买两支铅笔,一元钱可以买四支铅笔,那么一元五角钱可以买多少铅笔?这里隐藏了比例的什么性质呢? 分析:买铅笔所用的钱与铅笔数量的比(4
100250==25),其结果(25)就是铅笔的单价,一元五角钱是把两次买铅笔的钱数相加,六支铅笔是把两次买的铅笔数相加,其单价并没有变化(254210050=++),可见4100250==4
210050++. 问题9:试猜想n
m f e d c b a =⋅⋅⋅===(0≠+⋅⋅⋅+++n f d b ),与n
f d b m e c a +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++相等吗?能否证明你的猜想?(引导学生从上述实例中找出证明方法) 等比性质:如果n m d c b a =⋅⋅⋅==(0≠+⋅⋅⋅++n d b ),那么n d b m c a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=b a . 问题10:等比性质中,为什么要0≠+⋅⋅⋅++n d b 这个条件?
3.例题(P205.练习1第(2)小题)
从ad =bc ,根据什么性质可以得到d :b =c :a ?从ad =bc ,还可以得到哪些比例?
解:从ad =bc ,根据等式的性质(两边同时除以ab )可以得到
a
c b
d =(即d :b =c :a ), 从ad =bc ,还可以得到下面7种比例: ∵ad =bc ,两边同时除以ac 得:
a
b c d =(即d :c =b :a ); 两边同时除以bd 得:d
c b a =(即a :b =c :
d ); 两边同时除以cd 得:d b c a =(即a :c =b :d ); 另外,把上面的4个比例式中的左右两边对调,还可以得到4个比例式,即:
b d a
c =;c
d a b =;b a d c =;c
a d
b =. (这8个比例式不需要学生记忆,只要能正确地写出需要的那一个就可以了。)
三、 课堂练习:
1.若m 是2、3、8的第四比例项,则m = ;
2.若x 是a 、b 的比例中项,且a =3,b =27,则x = ;
若线段x 是线段a 、b 的比例中项,且a =3,b =27,则x = ;
3.课本P205.练习3。
4.若a:b:c=2:3:7,且a +b +c =36,则a = ; b = ; c = 。
四、
本课小结:
1.概念
比例内项 比例中项
a :
b =
c :
d a :b =b :c
a 、
b 、
c 的第四比例项
比例外项
a 、
b 、b 的第四比例项
2.比例的性质: