八年级数学比例线段8

比例线段(2)

【教学目标】

A（了解）1. 知道比例线段的概念，能说出比例关系式中比例的内项、外项、第四比例项和比例中项．

2. 通过与小学所学有关比例的知识的类比，学习比例线段的有关概念，进一

步体会类比的方法．

3. 通过等比性质的证明以初步渗透“参数”(设比值为“k”)的思想方法． B（理解）能熟记比例的基本性质；能熟记并会证明比例的合比性质与等比性质．

C（掌握）能够运用比例的性质进行简单的计算和证明.

【教学重点】

比例的基本性质及其证明.

【教学难点】

等比性质的证明.

【教学过程】

一、复习引入：

小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题：

（1）如果a与b的比值和c与d的比值相等，应记为：。

（2）已知2：3＝4：x，则：x= 。

（3）比例的基本性质是什么？

二、讲授新课：

上节课学习了两条线段的比，本节课就来学习比例线段。

1．引入概念：

（1）比例线段及其相关概念

问题1：在矩形ABCD和A’B’C’D’中，AB=50，BC=25，A’B’=20，B’C’=10。求线段AB:BC和A’B’:B’C’的值，它们有

什么关系？（学生计算并找出它们

的关系）

由以上例题引出“比例线段”

的概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

已知四条线段a 、b 、c 、d ,如果d

c b a =（或a :b =c :

d ），那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的项，线段a 、d 叫做比例外项，线段b 、c 叫做比例内项，线段d 叫做a 、b 、c 第四比例项。 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即

c b b a =（或a :b =b :c ），那么线段b 叫做线段a 和c 的比例中项。

（2）“比例线段”和“线段的比”的区别

问题2：“比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？（学生回答）

结论：线段的比是指两条线段之间的比的关系，比例线段是指四条线段之间的关系。

（3）注意：概念的有序性

线段的比有顺序性，a :b 和b :a 通常是不相等的。 比例线段也有顺序性，如

d c b a =叫做线段a 、b 、c 、d 成比例，而不能说成是b 、a 、c 、d 成比例。 第四比例项也有顺序性，如d

c b a =中，线段

d 叫做a 、b 、c 的第四比例项，而不能说成“线段d 叫做b 、a 、c 的第四比例项”。

2．比例的性质：

（1） 比例的基本性质

问题3：前面我们已经回答了，如果d

c b a =（或a :b =c :

d ），那么ad =bc ,即比例的两外项的积等于两内项的积，那么如何证明呢？（引导学生一起证明）

问题4：试说出这个性质的逆命题，它是真命题吗？如何证明？（由学生完成） 结论：ad =bc ⇔ a :b =c :d ．

问题5：如果a :b =c :d 中的两个比例内项相等，即当a :b =b :c 时，又可以得到什么结论呢？（学生口答）

结论：由比例的基本性质可得：a :b =b :c ⇔ac b =2．

（2） 合比性质

问题6：刚才我们用等式的性质证明了比例的基本性质，如果我们继续用等式的性质，能否得到比例的其它性质呢？比如：在比例式

d

c b a =的两边都加上1，会得到什么结果呢？（引导学生思考并推出合比性质） 结论：如果

d c b a =，那么d

d c b b a +=+． 问题7：请仿照上面的方法，证明“如果d c b a =，那么d d c b b a -=-”（P205．练习2）．

合比性质：如果

d c b a =，那么d d c b b a ±=±． （3）等比性质

问题8：购物中的比例 五角钱买两支铅笔，一元钱可以买四支铅笔，那么一元五角钱可以买多少铅笔？这里隐藏了比例的什么性质呢？ 分析：买铅笔所用的钱与铅笔数量的比（4

100250=＝25），其结果（25）就是铅笔的单价，一元五角钱是把两次买铅笔的钱数相加，六支铅笔是把两次买的铅笔数相加，其单价并没有变化（254210050=++），可见4100250=＝4

210050++． 问题9：试猜想n

m f e d c b a =⋅⋅⋅===（0≠+⋅⋅⋅+++n f d b ），与n

f d b m e c a +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++相等吗？能否证明你的猜想？（引导学生从上述实例中找出证明方法） 等比性质：如果n m d c b a =⋅⋅⋅==（0≠+⋅⋅⋅++n d b ），那么n d b m c a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++＝b a ． 问题10：等比性质中，为什么要0≠+⋅⋅⋅++n d b 这个条件？

3．例题（P205．练习1第（2）小题）

从ad =bc ，根据什么性质可以得到d :b =c :a ？从ad =bc ，还可以得到哪些比例？

解：从ad =bc ，根据等式的性质（两边同时除以ab ）可以得到

a

c b

d =（即d :b =c :a ）, 从ad =bc ，还可以得到下面7种比例： ∵ad =bc ，两边同时除以ac 得：

a

b c d =（即d :c =b :a ）； 两边同时除以bd 得：d

c b a =（即a :b =c :

d ）； 两边同时除以cd 得：d b c a =（即a :c =b :d ）； 另外，把上面的4个比例式中的左右两边对调，还可以得到4个比例式，即：

b d a

c =；c

d a b =；b a d c =；c

a d

b =． （这8个比例式不需要学生记忆，只要能正确地写出需要的那一个就可以了。）

三、 课堂练习：

1.若m 是2、3、8的第四比例项，则m ＝ ；

2．若x 是a 、b 的比例中项，且a ＝3，b ＝27，则x ＝ ；

若线段x 是线段a 、b 的比例中项，且a ＝3，b ＝27，则x ＝ ；

3．课本P205.练习3。

4．若a:b:c=2:3:7,且a ＋b ＋c =36,则a = ； b = ； c = 。

四、

本课小结：

1．概念

比例内项 比例中项

a :

b =

c :

d a :b =b :c

a 、

b 、

c 的第四比例项

比例外项

a 、

b 、b 的第四比例项

2．比例的性质：