1.3 电磁场的规范变换

1.3 电磁场的规范变换

根据Maxwell 方程组，用动态位A

和ϕ可以唯一地确定矢量场B 和E

⎪

⎩

⎪⎨⎧∇-∂∂-=⨯∇=ϕt A

E A B

但根据已知场量B 和E

却不能唯一地确定ϕ和

A

。如令：

ψ∇+='A A

t

∂∂-

='ψ

ϕϕ 其中ψ为任意标量函数。这样

()

B A A A A

=⨯∇=∇⨯∇+⨯∇=∇+⨯∇='⨯∇ψψ

()

()E

t

A t t A t A t t t A

=∂∂--∇=∇∂∂-∂∂-∇∂∂+-∇=∇+∂∂-

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

∂∂--∇=∂'∂-'∇-ϕψψϕψψϕϕ)(

可知A '、ϕ'仍能唯一地确定B 和E 。考虑ψ的任意性，唯一的B 和E

场量值却对应

无穷多组动态位A 和ϕ的值，要使A

、ϕ确定下来，必须加约束条件。

1.3.1规范变换和规范不变性

在矢量位A

加上任意标量函数ψ的梯度，同时在标量ϕ中减去该函数ψ对时间的微

商，能够保持B

和E 不变，即是说能描述同一个电磁场。

将上述作法称之为变换，位函数的这种变换称之为规范变换。规范变换中保持了场

矢量B

和E 的不变性，称之为规范不变性。所用的标量函数ψ称之为规范函数。

按照Helmholtz 定理，对A

的散度加以限制，称之为施加约束条件。如在恒定磁场

中，选择0=⋅∇A

，则

02=∇=∇⋅∇+⋅∇='⋅∇ψψA A

限定了ψ必须是调和函数，使A

的偏微分方程得以简化，并取得确定的解。

对A

⋅∇的选定，称之为选择规范或选择规范条件(或规范约束)。 1.3.2 选择规范

设在各向同性、线性、均匀媒质中，有自由电流J '

(即源电流)，传导电流E J γ=、

位移电流t

D

∂∂ 以及分布电荷ρ。由Maxwell 方程有

t

E

E J B ∂∂++'=⨯∇

μεμγμ

ε

ρ

=⋅∇E

将动态位 B A =⨯∇、E t

A

=∇-∂∂-

ϕ代入方程 ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂-∇-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∇-+'=⨯∇⨯∇t A t t A J A ϕμεϕμγμ

∵ ()

A A A 2

∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇

有

J t A t A t A A '-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+⋅∇∇-∂∂-∂∂-∇μμγϕϕμεμεμγ222

同理

ερϕ-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂⋅∇+∇t A

2

上式改写为

ερμγϕϕμεϕμεϕμγϕ-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∂∂+⋅∇∂∂+∂∂-∂∂-∇t A t t t 2

22

令

μγϕϕμε-∂∂-=⋅∇t

A

则

J t

A t A A '-=∂∂-∂∂-∇μμεμγ222

ερϕμεϕμγϕ-=∂∂-∂∂-∇2

22

t t

得到了两个完全相似的非齐次波动方程，在已知场源J '()t r , '和()t r ,

'ρ和定解条件情况

下，联立求解以上3个方程，就可以得到A

和ϕ的解答。选择的规范，通常称之为洛仑

兹规范。

若以A '和ϕ'为动态位，要求A

'和ϕ'也满足洛仑兹条件，那么，规范函数ψ也必然

受到一定限制 0 ='+∂'∂+'⋅∇ϕμγϕμε

t

A ⇒

0 2

22

=∂∂-∂∂-∇t t

ψμγψμεψ 可知ψ应满足一般化齐次波动方程。 以下分析两种情况：

1. 在自由空间(o μ、o ε)中，0=γ，0=ρ，0='J

洛仑兹条件为

t

A ∂∂-=⋅∇ϕμε

A

和ϕ满足齐次波动方程： 022

2

=∂∂-∇t

A A

με

0222

=∂∂-∇t

ϕ

μεϕ

若采用达朗贝尔算子：

□2=222

t

∂∂

-∇με

有 □20=A

□20=ϕ

相应的规范函数

□20=ψ

2. 在均匀导电媒质中

μ、ε，0≠γ，自由电荷0=ρ，且t

D

∂∂ 的影响很小而忽略，可得涡流方程：

J t

A A

'-=∂∂-∇μμγ2

02

=∂∂-∇t

ϕμγϕ 洛仑兹条件为

μγϕ-=⋅∇A

其规范函数

02

=∂∂-∇t

ψ

μγ

ψ 作规范变换ψ∇+'=A A ，t

∂∂-'=ψ

ϕϕ，代入上述方程，同时，取⎰=dt ϕψ（满足

规范函数方程）， ϕ的微分方程自然消去，得

J t

A A

'-=∂'∂-'∇μμγ2

独立存在的动态位方程。由A

'单独确定电磁场量 A B

'⨯∇=

t

A E ∂'∂-=

由此可以体会到选择规范及规范变换带来的好处。

应当注意的是：规范条件的选择是人为的，选择的目的是为化简原来的微分方程，