第三讲运输与指派问题
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4运输与指派问题
14
P&T公司的配送问题求解
用Excel（单纯形法）寻求最优方案。
目标：运费最小 决策变量：3产地到4销地对应的12个运量 约束：运出量=可运量；收到量=需求量
总运费=$152535
参见Excel文件《 P&T公司的配送问题》。
15
运输问题的变形
1）供大于求的运输问题
2）供不应求的运输问题
6
合计
300
P&T公司的配送问题
尤基尼 125
贝林翰 75 654 690 416 513
赖皮特城 70 388 682
艾尔贝.李 100
352
464 791
盐湖城 65
867 995
685
奥尔巴古 85
7
萨克拉门托 80
罐头厂和分销仓库的位置、供需量及运费
P&T公司的配送问题
运量 萨克拉 盐湖城 赖皮特 奥尔巴 供应量 城 古 单位运费 门托 贝林翰 75 75
可以从3条河流引水，能够满足4个城市的需求。
不同河流向不同城市供水的费用是不同的。 问题：米德罗水管站需要从每条河流向每个城 市各引入多少水？
21
供大于求的运输问题
Cost per Acre Foot
Berdoo Los Devils San Go Hollyglass Available
X13+X23+X33 <= 70 X14+X24+X34 <= 85
27
供不应求的运输问题LP模型讨论
供不应求的运输问题需求部分可用“<=”约束 是否也适合供求平衡的问题？
供应部分能用“<=”约束吗？ 第4转运仓库只得到55，缺少30，而其它仓库都 满足了需求。
P&T公司的配送问题求解
用Excel（单纯形法）寻求最优方案。
目标：运费最小 决策变量：3产地到4销地对应的12个运量 约束：运出量=可运量；收到量=需求量
总运费=$152535
参见Excel文件《 P&T公司的配送问题》。
15
运输问题的变形
1）供大于求的运输问题
2）供不应求的运输问题
6
合计
300
P&T公司的配送问题
尤基尼 125
贝林翰 75 654 690 416 513
赖皮特城 70 388 682
艾尔贝.李 100
352
464 791
盐湖城 65
867 995
685
奥尔巴古 85
7
萨克拉门托 80
罐头厂和分销仓库的位置、供需量及运费
P&T公司的配送问题
运量 萨克拉 盐湖城 赖皮特 奥尔巴 供应量 城 古 单位运费 门托 贝林翰 75 75
可以从3条河流引水，能够满足4个城市的需求。
不同河流向不同城市供水的费用是不同的。 问题：米德罗水管站需要从每条河流向每个城 市各引入多少水？
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供大于求的运输问题
Cost per Acre Foot
Berdoo Los Devils San Go Hollyglass Available
X13+X23+X33 <= 70 X14+X24+X34 <= 85
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供不应求的运输问题LP模型讨论
供不应求的运输问题需求部分可用“<=”约束 是否也适合供求平衡的问题？
供应部分能用“<=”约束吗？ 第4转运仓库只得到55，缺少30，而其它仓库都 满足了需求。
运输问题和指派问题
求佳产品公司决定使用三个有生产余力的工厂进行四种 新产品的生产制造。每单位产品需要等量的工作，所以工厂 的有效生产能力以每天生产的任意种产品的数量来衡量。这 些数据在表6.6最右边一列给出。最后一行给出了要求的产品 生产率（每天生产 的产品数量），以满足计划的销售量。每 一家工厂都可以制造这些产品，除了工厂2不能生产产品3以 外。然而，每种产品在不同工厂中的单位成本是有差异的。 如表6.6所示。
除了从卡路里河引入的水不能供给豪利格拉斯之外， 从这三条河流之中引入的水都可以供给这四个城市。对于 每一个从水源到城市的可能的组合，每立方英尺的成本在 表6.9中给出。
如果以100万立方英尺为单位的话，这个表的最后一 行列出了在未来一年中每一个城市的用水需求量（总量为 12.5）。最后一行中列出了每一年从每一条河流中可能引 入的水量（总量为16）。
生产进度安排
北方飞机制造公司为全世界的航空公司生产各种商务飞 机。制造过程最后的一步是生产喷气发动机并把它们安装到 已经完成的飞机框架之中去（非常快的一个操作）。按照公 司的一些订单合同，不久公司要交付使用相当多数量的飞机。 所以有必要现在为未来4个月这些飞机喷气发动机的生产制 定计划。
为了保证按时交付，公司必须要按照表6.10第二列的数 量来供应需要安装的发动机。因此，在1~ 4月的月末需要完 成的发动机数量分别是10、25、50、70台。
可转化为运输问题，如表6.7所示。
表6.7 运输问题的变形：求佳产品公司问题的数据
目的地（产品）
单位成本（美元）
1
2
3
4
供应量
出发地（工厂）
1
41
27
28 24
75
2
40
29
— 23
除了从卡路里河引入的水不能供给豪利格拉斯之外， 从这三条河流之中引入的水都可以供给这四个城市。对于 每一个从水源到城市的可能的组合，每立方英尺的成本在 表6.9中给出。
如果以100万立方英尺为单位的话，这个表的最后一 行列出了在未来一年中每一个城市的用水需求量（总量为 12.5）。最后一行中列出了每一年从每一条河流中可能引 入的水量（总量为16）。
生产进度安排
北方飞机制造公司为全世界的航空公司生产各种商务飞 机。制造过程最后的一步是生产喷气发动机并把它们安装到 已经完成的飞机框架之中去（非常快的一个操作）。按照公 司的一些订单合同，不久公司要交付使用相当多数量的飞机。 所以有必要现在为未来4个月这些飞机喷气发动机的生产制 定计划。
为了保证按时交付，公司必须要按照表6.10第二列的数 量来供应需要安装的发动机。因此，在1~ 4月的月末需要完 成的发动机数量分别是10、25、50、70台。
可转化为运输问题，如表6.7所示。
表6.7 运输问题的变形：求佳产品公司问题的数据
目的地（产品）
单位成本（美元）
1
2
3
4
供应量
出发地（工厂）
1
41
27
28 24
75
2
40
29
— 23
管理运筹学讲义 第3章 运输问题
下面分两种情况来讨论：
（1） ai b j 。即运输问题的总产量等于其总
i 1 j 1 m n
销量，这样的运输问题称为产销平衡的运输问题。 m n （2） a b 。即运输问题的总产量不等于总 i j
i 1 j 1
销量，这样的运输问题称为产销不平衡的运输问题。
我们重点讨论产销平衡的运输问题及其求解方法。 然后在此基础上讨论产销不平衡的运输问题应该 如何转化为产销平衡的运输问题。
27
石家庄经济学院
管理科学与工程学院
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1 3 1 7 3
B2 11 9 4 6
B3 3 2 10 5
B4 10 8 5 6
产量 7 4 9 20 （产销平衡）
问应如何调运，可使得总运输费最小?
28
石家庄经济学院
管理科学与工程学院
产销平衡表
运价表
销 产 A1 A2 A3 需求
21
石家庄经济学院
管理科学与工程学院
§3.2.1 初始基本可行解的确定
与一般线性规划问题不同，产销平衡运输问题总是存在 可行解。不难验证
xij ai b j d
≥
0 (i 1,2,, m; j 1,2,, n; d ai b j )
i 1 j 1
m
n
就是模型（3-1）的可行解。又因，目标函数值有下界， 故产销平衡的运输问题必有最优解。
pij 0,,0,1,0,,0,1,0,0
T
17
石家庄经济学院
管理科学与工程学院
根据运输问题的数学模型求出的运输问题的解 X xij ，代表着一个运输方案，其中每一个 变量xij的值表示由Ai调运数量为xij的物品给Bj。前已 指出运输问题是一种线性规划问题，可设想用迭代法 进行求解，即先找出它的某一个基可行解，再进行解 的最优性检验，若它不是最优解，就进行迭代调整， 以得到一个新的更好的解 ，继续检验和调整改进，直 至得到最优解为止。
运筹与决策PPT：运输问题和指派问题
+ 690x23 + 791x24 + 995x31 + 682x32 + 388x33 + 685x34
s.t.
工厂 1: 工厂 2: 工厂 3: 仓库 1: 仓库 2: 仓库 3: 仓库 4:
x11 + x12 + x13 + x14
x21 + x22 + x23 + x24
= 75 供
= 125 x31 + x32 + x33 + x34 = 100
运输问题的Excel求解模型－ 案例1
B
C
3 Unit Cost
4
5 Source
Bellingham
6 (Cannery)
Eugene
7
Albert Lea
8
9
10 Shipment Quantity
11 (Truckloads)
12 Source
Bellingham
13 (Cannery)
Eugene
问题：如何改进运输策略以降低成本？
案例1：P&T公司的配送问题
CANNERY1 Bellingham
最偏远的厂
CANNERY2 Eugene
WAREHOUSE 3 Rapid City
WAREHOUSE 2 Salt Lake City
WAREHOUSE 1 Sacramento
WAREHOUSE 4 Albuquerque
4、运输问题和指派问题
引例
案例1：P&T公司的配送问题
▪ 家族经营的小公司，加工蔬菜罐头并分销到各地：
– 三个食品厂，四个分销仓库
运输问题和指派问题
3.3 各种运输问题变形的建模
▪例4.4 某公司决定使用三个有生产余力的工厂进行四种新产品的生产。 每单位产品需要等量的工作，所以工厂的有效生产能力以每天生产的任 意种产品的数量来衡量（见表4－7的最右列）。而每种产品每天有一定 的需求量（见表4－7的最后一行）。每家工厂都可以制造这些产品，除 了工厂2不能生产产品3以外。然而，每种产品在不同工厂中的单位成本 是有差异的（如表4－7所示）。 ▪ 现在需要决定的是在哪个工厂生产哪种产品，可使总成本最小。
3.2 运输问题数学模型和电子表格模型 ▪例4.2的电子表格模型
3.2 运输问题数学模型和电子表格模型
▪例4.3 某公司从两个产地A1、A2将物品运
往三个销地 B1、B2、B3，各产地的产量、
各销地的销量和各产地运往各销地每件物品
的运费如表4－6所示。问应如何调运，可使
得总运输费最B小1 ？ B2
）
▪ 把第i季度生产的柴油机数看作第i个生产厂商的产 量；把第j季度交货的柴油机数看作第j个销售点的销 量；生产成本加储存、维护等费用看作运费。将生产 与储存问题转化为运输问题，相关数据见表4－5。
3.2 运输问题数学模型和电子表格模型 ▪表4－5 柴油机生产的相关数据
1
2
3
4 生产能力
1
10.8 10.95 11.10 11.25
▪解：该问题要求满足不 同顾客的需求（采购量 ），解决办法： ▪实际供给量最小采购 量 ▪实际供给量最大采购 量 ▪ ▪ 目标是利润最大，而 不是成本最小。
▪其数学模型如下： ▪ 设xij为工厂i供应给顾 客j的产品数量
3.3 各种运输问题变形的建模
▪例4.5的电子表格模型
3.4 运输问题应用举例
管理运筹(运输问题和指派问题)
实验四 运输问题和指派问题求解习题4.6习题1某公司要将一批货从三个产地运到四个销地，有关数据如下表所示。
现要求制定调运计划，且依次满足： （1）B 3的供应量不低于需要量； （2）其余销地的供应量不低于85%； （3）A 3给B 3的供应量不低于200； （4）A 2尽可能少给B 1；（5）销地B 2、B 3的供应量尽可能保持平衡。
（6）使总运费最小。
试建立该问题的目标规划数学模型。
123412341234min z 7379265116425A A A A B B B B C C C C x x x x x x x x x x x x =+++++++++++123412341234333111222444312223331234123min z 7379265116425480272204323200s..0222560A A A A B B B B C C C C A B C A B C A B C A B C C B A B C A B C A A A A B B B B x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t x x x x x x xx x x x x x x x =+++++++++++++≥++≥++≥++≥≥=++=+++++≤+++()412344007500,,;1,2,3,4C C C C ij x x x x x i A B C J ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪≤⎪⎪+++≤⎪≥==⎪⎩案例4某市的菜篮子工程某市是一个人口不到15万人的小城市，根据该市的蔬菜种植情况，分别在A 、B 和C 设三个收购点，再由收购点分送到全市的8个菜市场。
按常年情况，A 、B 、C 三个收购点每天收购量分别为200、170和160（单位：100kg ），各菜市场的每天需求量及发生供应短缺时带来的损失见表 C －1。
从收购点至各菜市场的距离见表 C －2，设从收购点至各菜市场蔬菜调运费用为1元/(100kg.100m)。
运输问题+指派问题判断题
37-40 AAAA 41-45 BABAB
11-15 BAAAA 16-19 AABB
20、当迭代到运送问题旳最优解时，假如有某个非基变量旳检验数等 于零，则阐明该运送问题有无穷最优解。 21、产销平衡问题是说产地与销地旳个数相等。 22、求解运送问题时，表上作业法一般比单纯形法简朴以便。 23、表上作业法求解运送问题旳基本环节是拟定初始调运方案，最优 性检验，方案调整。 24、指派问题旳效率矩阵旳每一行（或每一列）旳各元素分别减去一 种该行（或该列）旳最小元素，得到一种新旳效率矩阵，则以该新矩 阵为效率矩阵旳指派问题与原问题有相同旳最优解。 25、按最小元素法给出旳初始基可行解，从每一空格出发可找到而且 仅能找到惟一旳闭回路。 26、运送问题用最小元素法能够直接求得最优解。 27、运送问题模型是一种特殊旳线性规划模型，所以运送问题也能够 用单纯形法求解。
1-5 BAAAA 6-10 BBAAB
11、运送问题旳基可行解中基变量旳个数一定是m＋n－1个。 12、运送问题有m+n-1个基变量。 13、运送问题旳解中非零变量旳个数不能不小于m+n-1个。 14、最小元素法旳基本思想是优先考虑单位运价最小旳运送业务。 15、沃格尔法旳基本思想是，假如罚数旳值很大时，不按最小运价组 织运送就会造成很大损失，故优先考虑罚数最大旳行或列中单位运价 最小旳元素。 16、运送问题旳解旳最优性检验可用闭回路法。 17、运送表中，每一种空格总能够和某些填有数字旳格用水平线或垂 直线连在一闭合回路上。 18、闭回路都是一种简朴旳矩形，不能够是由水平和垂直线构成旳其 他更复杂旳封闭多边形。 19、产量不小于销量时，可虚拟一产地。
1、运送问题旳基可行解中基变量旳个数一定是m＋n－1个。 2、运送问题是一种特殊形式旳 LP 问题，因而其求解成果也可能会 有唯一旳最优解或多种最优解。 3、应用表上作业法旳最小元素法拟定运送问题旳初始调运方案时， 遇有退化基本可行解时，一定注意补 0, 不然，初始调运方案旳数 字格数目不满足：数字格数目=m+n-1。 4、运送问题是一种特殊旳 LP 问题，总有可行解存在。 5、分支定界法旳分支约束为和。 6、整数线性规划旳目旳函数值一定优于其松弛问题旳目旳函数值。 7、运送问题不是线性规划问题。 8、运送问题一般用表上作业法求解。 9、运送问题不可能有无界解。 10、运送问题旳m+n个约束条件都是线性独立旳。
11-15 BAAAA 16-19 AABB
20、当迭代到运送问题旳最优解时，假如有某个非基变量旳检验数等 于零，则阐明该运送问题有无穷最优解。 21、产销平衡问题是说产地与销地旳个数相等。 22、求解运送问题时，表上作业法一般比单纯形法简朴以便。 23、表上作业法求解运送问题旳基本环节是拟定初始调运方案，最优 性检验，方案调整。 24、指派问题旳效率矩阵旳每一行（或每一列）旳各元素分别减去一 种该行（或该列）旳最小元素，得到一种新旳效率矩阵，则以该新矩 阵为效率矩阵旳指派问题与原问题有相同旳最优解。 25、按最小元素法给出旳初始基可行解，从每一空格出发可找到而且 仅能找到惟一旳闭回路。 26、运送问题用最小元素法能够直接求得最优解。 27、运送问题模型是一种特殊旳线性规划模型，所以运送问题也能够 用单纯形法求解。
1-5 BAAAA 6-10 BBAAB
11、运送问题旳基可行解中基变量旳个数一定是m＋n－1个。 12、运送问题有m+n-1个基变量。 13、运送问题旳解中非零变量旳个数不能不小于m+n-1个。 14、最小元素法旳基本思想是优先考虑单位运价最小旳运送业务。 15、沃格尔法旳基本思想是，假如罚数旳值很大时，不按最小运价组 织运送就会造成很大损失，故优先考虑罚数最大旳行或列中单位运价 最小旳元素。 16、运送问题旳解旳最优性检验可用闭回路法。 17、运送表中，每一种空格总能够和某些填有数字旳格用水平线或垂 直线连在一闭合回路上。 18、闭回路都是一种简朴旳矩形，不能够是由水平和垂直线构成旳其 他更复杂旳封闭多边形。 19、产量不小于销量时，可虚拟一产地。
1、运送问题旳基可行解中基变量旳个数一定是m＋n－1个。 2、运送问题是一种特殊形式旳 LP 问题，因而其求解成果也可能会 有唯一旳最优解或多种最优解。 3、应用表上作业法旳最小元素法拟定运送问题旳初始调运方案时， 遇有退化基本可行解时，一定注意补 0, 不然，初始调运方案旳数 字格数目不满足：数字格数目=m+n-1。 4、运送问题是一种特殊旳 LP 问题，总有可行解存在。 5、分支定界法旳分支约束为和。 6、整数线性规划旳目旳函数值一定优于其松弛问题旳目旳函数值。 7、运送问题不是线性规划问题。 8、运送问题一般用表上作业法求解。 9、运送问题不可能有无界解。 10、运送问题旳m+n个约束条件都是线性独立旳。
最短路径、指派、运输问题
第二步：进行试指派以寻求最优解。
（1）进行行检验：从只有一个0元素的行开始，给这 个0元素加（），记作（0）；再划去（0）所在列的其它 0元素，记作φ。若遇到有两个0元素以上的行，先放下。 （2）进行列检验：给只有一个0元素的列0元素加（） ，记作（0）；然后划去（0）所在行的0元素，记作φ。 （3）再对两个以上0元素的行和列标记，任意取一个 加（）。
B1 A1 A2 A3 4 7 6
B2 8 9 9
B3 7 17 12
B4 15 14 8
B5 12 10 7
A4
A5
6
6
7
9
14
12
6
10
10
6
三、其它指派问题
（1）目标函数求最大值的指派问 题 对于此问题可做一个新的 矩阵B=(bij)。找出原矩阵的最 大元素m，令B=(bij)=m-cij
∑
产 量 与 销 量 平 衡
解： 设产地Ai到销地Bi的运量为xij，由问题构造运量平衡表
可以知道：
（1）产销平衡 （2）Ai运出量等于产量 （3）Bj运入量等于销量
a b
i 1 i j1
m
n
j
x
j 1
n
ij
ai
x
i 1
m
ij
bj
运量平衡表
销地Bi 运价 产地Ai A1 A2 C11 C21 C12 C22 B1 B2
4 2 (cij ) 4 3 3 3 3 2 4 6 5 6 1 - 1 3 5 - 2 0 1 4 - 3 5 -2 1 2 1 0 0 3 0 - 1 3 4 3 - 2 0 1 2 1-3 4 3 -2 1 -2 2 1 0 0 1 2 0 2 0 3 (b ) ij 1 3
运输问题与指派问题
4 20 5
10
1.13 1.15
生产管理人员需要制定出一个每月生产多少发 动机的计划,使制造和存储的总成本达到最小。
例 产品分配计划
求佳产品公司决定使用三个有生产余力 的工厂进行四种新产品的生产制造。就 哪个工厂生产哪种产品做决策,使总成本 达到最小。
公司的产品数据
单位成本
能力 产品
工厂 1 2 3
4. 运输问题：在满足供应节点的供应量约束和 需求节点的需求量约束的条件下，为了使运输 成本最低，如何安排运输。
二、运输问题的分类
1、供需均衡的运输问题 所有供应点的供应量之和等于所有需求点 的 需求量之和的运输问题。
2、供需非均衡的运输问题 所有供应点的供应量之和不等于所有需求点 的需求量之和的运输问题。
例 ：设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥， 假定等量的化肥在这些地区使用效果相同。各化 肥厂年产量，各地区年需要量及从各化肥厂到各 地区运送单位化肥的运价如表所示，试求出总的 运费最节省的化肥调拨方案。
运价：万元/万吨
需求地区 地区1 地区2 地区3 地区4 产量
化肥厂
（万吨）
厂1
16 13 22 17
线性规划模型为：
Min 70A1+40 A2 +80 A3 60 A4 +70B1+100 B 2 +110 B 3 +50 B 4 + 80C 1+70 C 2 +130 C 3 +40 C4
s.t.
A1+ B1 + C1 =20
A2+ B2 + C2=15
A3+ B3 + C3 =23
A4+ B4 + C4 =32
运输问题与指派问题讲义(PPT 40页)
§3 Transportation Network 运输问题的网 络表示
销地
供应量
产地
B1
B2
B3
B3
ai
A1
6
7
5
3
25
A2
8
4
2
7
10
A2
5
9
10
16
15
需求量 bj
13
21
9
7
Transportation Network 运输问题的网络表示
sources
运价
Destinations 需求地
Warehouses
Destinations目的地
Output from a cannery
Supply from a source运出量
Allocation to a warehouse
Demand at a destination需求量
Shipping cost per truckload from a Cost per unit distributed from a
Eugene
125 truckloads
Salt Lake City
Albert Lea
100 truckloads
Rapid City
Total
300 truckloads
Albuquerque
Total
总产量=总的需求量=300车，产销平衡
分配量Allocation 80 truckloads 65 truckloads 70 truckloads 85 truckloads 300 truckloads
运输模型
例1、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的 产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，
运输问题模型与性质
量为该闭回路的顶点；其中 i1 , i2 ,, is 互不
相同, j1 , j2 ,, js 互不相同。
例3-1 设m=3，n=4，决策变量xij表示从产地 Ai到销地Bj的调运量，列表如下，给出闭回路
{x11, x13 , x33 , x34 , x24 , x21} 在表中的表示法——
用折线连接起来的顶点变量。
三、运输问题的求解方法
1、单纯形法（为什么？） 2、表上作业法
由于问题的特殊形式而采用 的更简洁、更方便的方法
ai bj
i1
j 1
产销平衡条件
二、运输问题的特点与性质
1．约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构
写出式（3-1）的系数矩阵A，形式如下：
x11, x12 ,, x1n ; x21, x22 ,x2n ,,,,, xm1 , xm2 ,xmn
1 1 1
111
m行
1
1
1
1
1
1
n行 1
A 的秩小于m+n； ？
由 A 的第二至m+n行和前n列及 x21, x31,, xm1
对应的列交叉处元素构成m+n-1阶方阵D 非奇 异； ？
因此 A 的秩恰好等于m+n-1，又D本身就含于 A中，故A的秩也等于m+n-1
x11, x12 ,, x1n ; x21, x22 ,x2n ,,,,, xm1, xm2 ,xmn
关系：
Pi1 j1 Pi1 j2 Pi2 j2 Pi2 j3 Pis js Pis j1 0
注意：列向量Pij =(0,…,0,1,0,…,0,1,0,…0)T中两 个元素1分别处于第i行和第m+j行，直接计算 即可得到结果。
相同, j1 , j2 ,, js 互不相同。
例3-1 设m=3，n=4，决策变量xij表示从产地 Ai到销地Bj的调运量，列表如下，给出闭回路
{x11, x13 , x33 , x34 , x24 , x21} 在表中的表示法——
用折线连接起来的顶点变量。
三、运输问题的求解方法
1、单纯形法（为什么？） 2、表上作业法
由于问题的特殊形式而采用 的更简洁、更方便的方法
ai bj
i1
j 1
产销平衡条件
二、运输问题的特点与性质
1．约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构
写出式（3-1）的系数矩阵A，形式如下：
x11, x12 ,, x1n ; x21, x22 ,x2n ,,,,, xm1 , xm2 ,xmn
1 1 1
111
m行
1
1
1
1
1
1
n行 1
A 的秩小于m+n； ？
由 A 的第二至m+n行和前n列及 x21, x31,, xm1
对应的列交叉处元素构成m+n-1阶方阵D 非奇 异； ？
因此 A 的秩恰好等于m+n-1，又D本身就含于 A中，故A的秩也等于m+n-1
x11, x12 ,, x1n ; x21, x22 ,x2n ,,,,, xm1, xm2 ,xmn
关系：
Pi1 j1 Pi1 j2 Pi2 j2 Pi2 j3 Pis js Pis j1 0
注意：列向量Pij =(0,…,0,1,0,…,0,1,0,…0)T中两 个元素1分别处于第i行和第m+j行，直接计算 即可得到结果。
特殊的运输问题指派问题
特殊的运输问题指派问题指派问题是运输问题中的一种特殊情况，"派合适的人去做合适的事"是对该问题的最贴切描述。
工人相当于产地，工作相当于销地，那么劳动就是产品，工资就是运费。
所以，运输问题所拥有的特点指派问题都有，而特殊之处就是在指派问题中，各个产地和销地的产量和需求量都是"1"。
这个全新的特点使得其解法在运输问题解法的基础上得到了简化。
本文意在介绍这种更加简洁的算法--匈牙利法，从而帮助读者从实际意义的角度理解它，摆脱矩阵计算的盲目性。
其实，指派问题也有单纯形法解释，只不过其中涉及到了对偶理论和松弛互补定理，所以暂且回避。
话说回来，匈牙利这个名字与具体解法无关，望初学者们不要被这个突如其来的名字所吓倒。
以下是解决指派问题的具体步骤：第一步：得到模型首先仍然是模型标准化，标准化对指派问题提出了两点要求，其实就是运输问题中的那两点要求，笔者不啰嗦了。
为了满足这两点要求，需要对原始模型进行转化。
1.平衡转化a.人数工作数添加适当数量的"虚拟工人"，使两个量相等。
当工人不足时，就意味着一定会有人做不只一项工作，所以这里的虚拟工人就是实际工人中的一个或几个，由于要求总费用最小，因此，假想工人的工资是完成各项工作的工资的最小值。
b.人数工作数添加适当数量的"虚拟工作"，使两个量相等。
由于虚拟工作并不需要投入劳动，所以，相应工资是"0"。
当某人因为某种原因，不能从事某工作时，使其工资为无限大正数，强迫公司不让他进行该工作。
2.目标函数的最小优化转化这步转化是标准运输问题中没有的，因为在运输问题中，目标函数的意义是"总运价"，而总运价必须最低。
但在指派问题中，由于指派标准的不同，目标函数的意义多变了些，例如代表工人的总工资，工人工作的总用时，这时目标函数需要最小化；当它代表工人的总产能，工人的工作总速度时，目标函数就需要最大化。
(运筹学)运输与指派问题
An Award-Winning Application 运输问题的一个获奖应用
P&G重新设计制造和配送体系 ：90’S 成百上千个供应商 50多个产品类别 超过60个的工厂 15个配送中心 超过1000个的顾客群体
An Award-Winning Application 运输问题的一个获奖应用
+ 15($388) + 85($685)
＝ $165,595
P&T公司的运输问题
贝林翰 尤基尼 艾尔贝李 需求
萨克拉门 托
$464 $352
$995
80
盐湖城
$513 $416 $682
65
赖皮特城 奥尔巴古
$654 $690 $388
70
$867 $791 $685
85
供应
75 125 100
运输问题是一种线性规划问题
令xij = 从第i个罐头加工厂运送到第j个仓库的车数 最小化 成本＝$464x11 + $513x12 + $654x13 + $867x14
+ $352x21 + $416x22+ $690x23 + $791x24 + $995x31 + $682x32 + $388x33 + $685x34
$37
$18
$32
$48
$29
$59
$51
$35
Shipment Plant 1 Plant 2 Plant 3
Total
Customer 1 Customer 2 Customer 3 Customer 4 Production
《指派问题》课件
的专业知识，让大家更好地 了解和应用指派问题的解决方法。
什么是指派问题
指派问题是一种在实际生活和工作中常见的问题，涉及到任务分配和资源调 度。考虑如何最优地分配任务或者资源，以达到特定的目标。
指派问题的应用场景
工作管理
有效分配工作任务，提高团队效率。
比较与总结
不同算法之间有各自的特点，选择合适的解决方法需要考虑问题的性质和目 标。解决指派问题时，我们需要根据具体情况选择最合适的算法。
总结
指派问题是一个具有挑战性的问题，并且有广泛的应用领域。算法在解决指 派问题的应用和发展中发挥着重要的作用。展望未来，我们期待能够进一步 提升算法在指派问题中的性能和效果。
暴力搜索是一种穷举所有可能解的方法，通过对比所有解决方案，选择最优 解。尽管时间复杂度较高，但可以保证找到最优解。
贪心算法
贪心算法是一种根据当前情况选择最优解的方法，不考虑未来可能出现的情 况。它的时间复杂度相对较低，但可能无法达到最优解。
分支界定算法
分支界定算法通过限制搜索空间来快速找到最优解。它可以大大减少搜索时间，但仍需权衡精确 度与效率。
运输调度
合理安排运输车辆和货物，降低成本，提高效率。
任务分配
根据工作需求分派任务给不同的人员，确保工作顺利完成。
指派问题的解决方法
暴力搜索
尝试所有可能的解决方案， 选择最优解。
贪心算法
根据当前情况，选择当前最 优解，不考虑未来可能出现 的情况。
分支界定算法
通过限制搜索空间，快速找 到最优解。
暴力搜索
什么是指派问题
指派问题是一种在实际生活和工作中常见的问题，涉及到任务分配和资源调 度。考虑如何最优地分配任务或者资源，以达到特定的目标。
指派问题的应用场景
工作管理
有效分配工作任务，提高团队效率。
比较与总结
不同算法之间有各自的特点，选择合适的解决方法需要考虑问题的性质和目 标。解决指派问题时，我们需要根据具体情况选择最合适的算法。
总结
指派问题是一个具有挑战性的问题，并且有广泛的应用领域。算法在解决指 派问题的应用和发展中发挥着重要的作用。展望未来，我们期待能够进一步 提升算法在指派问题中的性能和效果。
暴力搜索是一种穷举所有可能解的方法，通过对比所有解决方案，选择最优 解。尽管时间复杂度较高，但可以保证找到最优解。
贪心算法
贪心算法是一种根据当前情况选择最优解的方法，不考虑未来可能出现的情 况。它的时间复杂度相对较低，但可能无法达到最优解。
分支界定算法
分支界定算法通过限制搜索空间来快速找到最优解。它可以大大减少搜索时间，但仍需权衡精确 度与效率。
运输调度
合理安排运输车辆和货物，降低成本，提高效率。
任务分配
根据工作需求分派任务给不同的人员，确保工作顺利完成。
指派问题的解决方法
暴力搜索
尝试所有可能的解决方案， 选择最优解。
贪心算法
根据当前情况，选择当前最 优解，不考虑未来可能出现 的情况。
分支界定算法
通过限制搜索空间，快速找 到最优解。
暴力搜索
运输与指派问题
x11 x12 x13 x14 10
x21
x22
x23
x24
8
min Z 3x11 2x12 6x13 3x14 5x21 3x22 8x23 2x24 4x31 x32 2x33 9x34
x31
x32 x33 x34 x11 x21 x31 5
5
运输单纯形法 Transportation Simplex Method
求检验数 求出一组基可行解后，判断其是否最优，仍然是用检验数来判断， 记xij的检验数为λij ，由第一章知，求最小值的运输问题的最优判 别准则是： 所有非基变量的检验数都非负，则运输方案最优(即为最优解)。
求检验数的方法有两种，闭回路法和位势法。
设平衡运输问题的数学模型为：
mn
min z
cij xij
i1 j 1
n
xij ai
j 1
m
xij bj
i 1
xij
0,
i 1,
i 1, , m j 1, , n , m; j 1, , n
运输单纯形法基本思路： 基可行解
最优否
是停
否
运输单纯形法 Transportation Simplex Method
地区
产粮区
B1
表1
B2
B3
运价表(元/吨)
B4
产量
A1
3
2
6
3
10
A2
A3
4
1
2
9
5
需要量
5
7
8
3
23
运输模型 Model of Transportation Problems
【解】设xij(i=1,2,3；j=1,2,3,4)为i个产粮地运往第j个需求地的运 量，这样得到下列运输问题的数学模型：
运筹学运输与派送问题
运筹学运输与派送问题运筹学中的运输与派送问题是一类常见的优化问题，通常涉及将货物或资源从起始地点运输到目的地，并尽量优化运输成本或效率。
以下是一些常见的运输与派送问题的类型和解决方法：1. 车辆路径问题（Vehicle Routing Problem, VRP）：给定一组客户和车辆，目标是确定每辆车的行驶路径，使得所有客户的需求得到满足，且总的运输成本最小。
可以使用启发式算法、元启发式算法、精确算法等求解。
2. 车辆装载问题（Vehicle Loading Problem, VLP）：目标是最大限度地减少车辆的数量，或者在给定数量的车辆中装载更多的货物，使得总运输成本最小。
可以使用整数规划、分支定界法等求解。
3. 装箱问题（Bin Packing Problem, BPP）：给定一组物品，每个物品都有自己的重量和体积，目标是使用最少的箱子数将所有物品装入箱子中，每个箱子的容量有限制。
可以使用贪婪算法、元启发式算法等求解。
4. 派送问题（Delivery Problem）：给定一组客户和一组车辆，目标是确定每辆车的派送路线，使得所有客户的需求得到满足，且总的运输成本最小。
与VRP类似，可以使用启发式算法、元启发式算法、精确算法等求解。
5. 配载与调度问题（Scheduling and Routing Problem）：涉及多个任务或工作需要完成，目标是确定任务的完成顺序、使用哪些资源、何时开始和结束等，以最小化总成本或最大化总效益。
可以使用线性规划、整数规划、动态规划等求解。
在解决运输与派送问题时，通常需要考虑各种因素，如车辆数量、运输距离、运输时间、运输成本、客户需求等。
根据问题的具体情况，可以选择合适的算法或模型进行求解。
3运输与分配问题
… …
xmn
am
6
如何建立运输问题的LP模型
Xij:从Ai到Bj的运量. Z:总运输费用.
min Z
i1 j1
m
n
d
ij
x
ij
n x ij a i ...( i 1 , 2 ,..., m ) j1 m s .t : x ij b j ...( j 1 , 2 ,..., n ) i1 x 0 ...( i 1 , 2 ,..., m ; j 1 , 2 ,..., n ) ij
17
B1 A1 A2 4
56
B2 8 24
41
B3 8 16
41
产量 56 82
0 41 0 61
16
A3 销量
8
16
16
61
24
0 0
77 215
0
72
16 0
41
102
41
18
单纯型法的基本思路
确定初始基本可行解
检查是否为 最优解？
是
求最优解的目标函数值
否 确定改善方向
求新的基本可行解
19
用闭回路法计算 非基变量的检验数与调整
30
指派问题数学模型
min
i 1 m j1
n
m
c ij x ij
x ij 1; i 1, 2 ,..., m j1 n s . t . x ij 1; j 1, 2 ,..., n i 1 x 1或 0 ij
31
7.2 The Management Scientist Software （MS 6.0）
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0 10 10 15 5 10
表8中，基变量恰好是3+4－1=6个且不包含闭回路，
x12 , x13 , x14 , x23 , x31 , x32
是一组基变量，其余标有符号×的变量是非基变量
运输单纯形法 Transportation Simplex Method
表 2 零件 机床 A1 A2 A3 需要量 B1 5 6 7 70 B2 2 4 3 30 B3 3 1 4 50 生产任务 50 60 40 150
运输模型 Model of Transportation Problems
【解】 设 xi j (i=1,2,3；j=1,2,3,)为第i台机床加工第j种零件的数 量，则此问题的数学模型为
转90度与另一顶点连接。
(2) 有些变量组本身不构成回路，但其可能包含回路，例如： 表3中变量组 A x21 , x25 , x35 , x31 , x11 , x12 ; 不能组成一条 闭回路，但A中包含有 闭回路 x21 , x25 , x35 , x31; A1 表4中闭回路是 B1 x11 表4 B2 x12 B3
量，以及各产地到各销地的单位运价(或运输距离)，问应 如何组织调运才能使总运费(或总运输量)最省？
运输模型 Model of Transportation Problems
【例1】现有A1，A2，A3三个产粮区，可供应 粮食分别为10，8，
5(万吨)，现将粮食运往B1，B2，B3，B4四个地区，其需要量分
运输单纯形法 Transportation Simplex Method
初始基可行解的确定 最小元素法： 最小元素法的思想是就近优先运送，即最小运价cij 对应的变量 xij 优先赋值
xij min ai , b j
然后再在剩下的运价中取最小运价对应的变量赋值并满足约束， 依次下去，直到最后得到一个初始基可行解。 【例3】求表5所示的运输问题的初始基可行解。
【解】 设xij(i=1,2,3；j=1,2,3,4)为i个产粮地运往第j个需求地的运 量，这样得到下列运输问题的数学模型：
min Z 3x11 2 x12 6 x13 3x14 5 x21 3x22 8 x23 2 x24 4 x31 x32 2 x33 9 x34
再用正负号分别交替乘以运价有
C11, C13 , C33 , C31
直接求代数和得
11 C11 C13 C33 C31 9 8 9 2 8
14 C1 4 C 24 C 23 C13 4 1 5 8 0 21 C 21 C 23 C33 C31 7 5 9 2 9 x11 ,x x2233 x C6 , , ,C ,C C13 C 5C 13 8 3C 33 6 ,C31 13 31 22 23 12 11 32 C 32 C12 C13 CC 9 3 88 9 6 2 8 33 10 11 C C C 9 11 13 33 31 34 C34 C 24 C 23 C33 2 1 5 9 3
30
25
100
运输单纯形法 Transportation Simplex Method
【例4】求表7给出的运输问题的初始基本可行解． 表7 B1 A1 A2 A3 bj 4 7 1 5 B2 10 7 2 10 B3 4 3 10 25 B4 4 8 6 10 ai 20 15 15 50
运输单纯形法 Transportation Simplex Method
运筹学
Operations Research 第三讲 运输与指派问题
实际工作中常碰到很多线性规划问题，由于他们约束
条件变量的系数矩阵具有特殊的结构，很可能找到比单纯
形法更为简便的方法进行求解，从而可节约时间和费用, 运输问题就是其中之一。运输问题的一般提法是:某种物资
有若干个产地和销地，若已知各产地地产量、各销地的销
min z
i 1
c x
j 1
x
i 1
ij
xij 0,
运输模型 Model of Transportation Problems
模型特征:
设平衡运输问题
n
min z
i 1
m
c
i 1
n
ij
xij
的数学模型为：
x
j 1 m
ij
ai bj
i 1, , m j 1, , n i 1, , m; j 1, , n
运输单纯形法 Transportation Simplex Method
只求非基变量的检验数：
60 10 70 50 X 20 30 10 10 20 10 60 40 30
求λ11，先找出x11的闭回路
x11 , x13 , x33 , x31 ，对应的运价为 C11 , C13 , C33 , C31
Step1 ：求初始基可行解 ( 初始调运方案 ) 。常用的方法 有最小元素法、元素差额法(Vogel近似法)、左上角法等。 Step2 ：求检验数并判断是否得到最优解。常用于求检验 数的方法有闭回路法和位势法，当非基变量的检验数 λij 全都非 负时得到最优解，若存在检验数 λlk<0，说明还没有达到最优， 转第三步。 Step3：调整运量，即换基。选一个变量出基，对原运量 进行调整得到新的基可行解，转入第二步。 注: 表上作业法的条件是产销平衡和运价非负。
9 3 8 7 6 5 2 10 9 10 60 40
4 70 1 50 2 20 30
【解】用最小元素法得到下列一组基本可行解
60 10 70 50 X 20 30 10 10 20 10 60 40 30
求检验数 求出一组基可行解后，判断其是否最优，仍然是用检验数来判断，
记xij的检验数为λij
别准则是：
， 由第一章知，求最小值的运输问题的最优判
所有非基变量的检验数都非负，则运输方案最优(即为最优解)。
求检验数的方法有两种，闭回路法和位势法。 1．闭回路法 求某一非基变量的检验数的方法是：在基本可行解 矩阵中，以该非基变量为起点，以基变量为其它顶点，找一条闭
运输模型 Model of Transportation Problems
【例2】有三台机床加工三种零件，计划第i台的生产任务为a i
(i=1,2,3)个零件，第j种零件的需要量为bj (j=1,2,3)，第 i 台机床 加工第 j 种零件需要的时间为cij ，如表2所示。问如何安排生产
任务使总的加工时间最少？
min Z 5 x11 2 x12 3x13 6 x21 4 x22 x23 7 x31 3x32 4 x33 x11 x12 x13 50 x x x 60 21 22 23 x31 x32 x33 40 x11 x21 x31 70 x x x 30 12 22 32 x13 x23 x33 50 x 0, i 1,2,3；j 1,2,3 ij
运输模型 Model of Transportation Problems
运输问题的一般数学模型
设有m个产地生产某种物资, 记作A1, A2, A3 , … , Am，其产量分别
为a1, a2, … , am；有n个销地, 记作B1，B2，…，Bn，其需要量分
别为b1, b2 , …, bn；且产销平衡，即 ai b j 。从第 i个产地
, xis js , xis j1
i1 , i2 ,
, is；j1 , j2 ,
, js 互不相同
为一个闭回路 ，集合中的变量称为回路的顶点，相邻两个变量 的连线为闭回路的边。 表3 表3中闭回路的变量集合是 B1 A1 A2 A3 x31 x11 B2 x12 x23 x25 x35 B3 B4 B5
i 1 j 1 m n
到第 j 个销地的单位运价为cij ，在满足各地需要的前提下，求总 运输费用最小的调运方案。 设xij(i=1,2,…,m；j=1,2,…,n)为第 i 个产地到第 j个销地的运量，则数学模型为：
m n
x
j 1 m
ij ij
n
ij
ai bj
i 1, , m j 1, , n i 1, , m; j 1, , n
{x11, x12, x42, x 43, x 23,
x 25, x 35, x 31}共有8个顶点， 这8个顶点间用水平或垂直 线段连接起来，组成一条 封闭的回路。
A4
x42
x43
运输模型 Model of Transportation Problems
注： (1)一条回路中的顶点数一定是偶数，回路遇到顶点必须
回路，由起点开始，分别在顶点上交替标上代数符号+、-、+、、…，以这些符号分别乘以相应的运价，其代数和就是这个非基 变量的检验数。
运输单纯形法 Transportation Simplex Method
【例5】求下列运输问题的一个初始基本可行解及其检验数。
矩阵中的元素为运价 Cij ，矩阵右边的元素为产量 ai ，下方的 元素为销量bj 。
n xij ai j 1 m xij b j i 1 xij 0, i 1,
, m; j 1,
运输单纯形法基本思路： 基可行解
最优否 否
是
停
运输单纯形法 Transportation Simplex Method
运输单纯形法也称为表上作业法，是直接在运价表上求最 优解的一种方法，它的步骤是：