柱坐标系与球坐标系的简介

四、柱坐标系与球坐标系简介

一、导学目标：

知识与技能:借助具体实例了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法;

过程与方法: 与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别。

情感态度与价值观:：类比法的建立方法，蕴藏了对立统一的辩证唯物主义思想。

导学重点：柱坐标系、球坐标系概念的理解与应用

导学难点：用柱坐标、球坐标表示空间的点

二、导学策略：

教学方法：探究法、讲授法

教学手段：多媒体辅助教学

三、教学过程：

（一）、课程导入：

建立平面（或空间）直角坐标系后，平面上（或空间）的点可以用直角坐标表示；建立极坐标系后，平面上的点可以用极坐标表示。类似地，是否建立空间极坐标系，用极坐标表示空间的点呢？

（二）、新知探究：

1

2

1、阅读本节知识，回答以下问题：

1）柱坐标系的定义？如何用柱坐标系描述空间的点？ 2）球坐标系的定义？如何用球坐标系描述空间的点？

2、探究结果：

1）、设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，

用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在平面oxy 上的 极坐标。点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示。

把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系。 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, -∞＜Z ＜+∞

柱坐标系又称半极坐标系,它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部 分建立起来的.

空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：

cos sin x y z z ρθρθ=⎧⎪

=⎨⎪=⎩

2）、设P 是空间任意一点，在oxy

3

平面的射影

为Q 。连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所 夹的角为φ，P 在oxy 平面的射影为Q 。

Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为 θ，点P 的位置可以用有序数组(r,φ,θ)表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)。有序数组(r,φ,θ)叫做点P 的球坐标，其中，

0,0,02r ϕπθπ≥≤≤≤< 。

空间点P 的直角坐标(x, y, z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为：

sin cos sin sin cos x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪

=⎨⎪=⎩

简单应用：

1、 设点M 的空间的直角坐标方程为（1，1，3），求它的柱坐标

解：∵cos sin x y z z ρθρθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩

，ρ

2

=x 2+y 2

=2, ρ

tan 1,4

y x πθθ=

==(注意

到M 在第1象限) ∴点M

4

π

，3）