第1讲 随机事件及其运算
随机事件及其运算
随机事件及其运算1. 随机现象概率论的研究对象是随机现象。
在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。
只有一个结果的现象叫做确定性现象。
随机现象随处可见。
有的随机现象可以在相同条件下重复，如抛硬币，掷骰子，测量一物体的质量。
也有很多随机现象是不能重复的，比如经济现象（如失业，经济增长速度等）大多不能重复. 在相同条件下重复的随机现象的观察、记录、实验称为随机试验.概率论主要研究能重复的随机现象，但也十分注意研究不能重复的随机现象。
2. 样本空间数学理论的建立总是需要首先给出一些原始的无定义的概念（例如，“点”和“直线”是欧氏几何的公理化处理中无定义的概念）。
在概率论中，第一个“无定义”的原始概念是“样本点”，随机现象的基本结果称为样本点，用?表示样本点；而随机现象的一切样本点组成的集合称为样本空间，记为??{?}.在具体的随机现象或试验中, 有的凭“实际经验”可确定样本点和样本空间,有的需要“数学的理想化”去确定样本点和样本空间,样本点和样本空间的确定也与试验观察或记录的是什么有关.例1 考虑试验:掷一骰子,观察出现的点数.根据“实际经验”,该试验的基本结果有6个:1,2,3,4,5,6,从而其样本空间为??{1,2,3,4,5,6}.例2 考虑试验:观察一天內进入某商场的人数. 一天內进入某商场的人数是非负整数,但由于不知道最多的人数和最少的人数,我们把该试验的样本空间“理想化”地定为??{0,1,2,3...}例3考虑试验:考察一个元件的寿命.为了数学上处理方便, 我们把该试验的样本空间“理想化”地定为??[0,??).例4 对于试验:将一硬币抛3次.若我们记录3次正反情况,则样本空间为??{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT};若我们记录正面出现的次数,则样本空间为??{0,1,2,3}.- 1 -若样本空间中的元素个数是有限个或可列个,我们称此样本空间为离散样本空间.3. 随机事件有了样本空间后,我们可给出随机事件的概念.直观上说, 随机事件是随机现象中可能发生也可能不发生的事件.例如,在掷骰子试验中,“出现偶数点”是可能发生也可能不发生的,因此它是随机事件,而且当试验出现的基本结果是2或4或6时该事件就发生了,否则该事件就不发生.一个事件是否发生了应当能由试验出现的基本结果判定,因此一个事件可以由能使其发生的那些基本结果组成.换言之, 随机事件可以由一个或多个样本点组成的集合来表示.因此有下面概念.样本空间的子集称为随机事件,简称为事件,常用大写字母A,B,C,?表示.事件A发生当且仅当试验出现的基本结果属于A.若一事件是由单个样本点组成,则称该事件为基本事件;由2个或2个以上样本点组成的事件称为复合事件.由全体样本点组成的事件称为必然事件,必然事件就是样本空间?本身.显然, 必然事件是必定发生的事件.空集?作为样本空间?的子集也是事件,称此事件为不可能事件,不可能在任一次试验中都不会发生.以后在理论上讨论概率论问题时，我们总是假定样本空间已经给定，而随机事件就是该样本空间的子集。
随机事件及其运算
Ω 1={正面，反面}
E2：投掷一枚硬币两次，观察其出现正面还是反面的试验.
Ω 2={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}
E3：测量一根粉笔长度的试验. Ω 3={x|0≤x≤a}, E4：观察一只羊在羊圈中的位臵的试验. Ω 4={(x,y)|0≤x≤a , 0≤y≤b}
第 一章 随机事件及其概率
基本事件: 只包含一个试验结果的事件,用ω 来表示.
随机事件与基本事件之间的关系：
例,掷一枚骰子试验 出现的点数ωi= “出现i点” (i=1,…,6) A＝“出现奇数点” 都是基本事件
是随机事件，但不是基本事件
由ω1, ω3, ω5组合成的，记A={ω1,ω3,ω5},当且仅当这三 个基本事件之一发生时事件A才发生.
A1 A2 A1 A3 A2 A3
考虑逆事件：A1 A2 A1 A3 A2 A3
第 一章 随机事件及其概率 例2 一名射手连续向某个目标射击三次，事件Ai表示该射手 第i次射击时击中目标.试用文字叙述下列事件 ： （1）A1 A2 A3 ;（2） A2 （4）A1 A2 A3 ；（3） A1 A2 A3 ；
（8）三次中至少两次击中.
第 一章 随机事件及其概率
小
一、概念 1.随机试验；
结
2.随机事件；
两个特殊事件：必然事件，不可能事件. 3.样本空间. 二、事件之间的关系及运算 注意互不相容事件与互逆事件、二者的关系
第 一章 随机事件及其概率
课后作业： 习题一 2 ；3.
P19
8.完备事件组
若事件 A1,…,An为两两互不相容事件， 且A1∪…∪An= Ω,则称A1,…,An 构成一个完备事件组（或称事件的划分）. 当n为2时，完备事件组为互逆事件. 例 设Ω={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={2,4},C={6},则 （1）A,B,C构成完备事件组. （2）AB=Φ，即A,B互不相容，但不是互逆. 因为A∪B={1,2,3,4,5}, 但A∪B≠Ω.
经典概率论与数理统计第1章随机事件与概率
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第二节
1、频率
概率的定义及其确定方法
定义1: 在相同条件下，进行了n次试验.若随机事件A在
这n次试验中发生了k次，则比值
实验中发生的频率，记为 频率具有下列性质： (1)对于任一事件A，有
称为事件A在n次
n n P Ai P Ai i 1 i 1
推论：
PA 1 P A
例1.2.7 一袋中装有N－1个黑球及1只白球，每次从 袋中摸出一球，并换入一只黑球，如此延续下去，问 第k次摸球摸到黑球的概率是多大？
解：令A={第k次摸球摸到黑球}。 则 A ={第k次摸到白球}。
确定性现象
不确定性现象
相同条件下大量重复试验中呈现规律性的现象称之为 随机现象或偶然现象，这种规律性称为统计规律性。 在一定条件下，对自然与社会现象进行的观察或实验 称为试验，在概率论中，把满足以下条件的试验称为 随机试验. （1）试验在相同条件下是可重复的； （2）试验的全部可能结果不止一个，且都是事先可 以知道的； （3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个 结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。
解：（1）记Ai={第i封信配对},i=1,2,…
S1 P ( Ai ) 1 n i 1 S 2 P ( Ai A j ) n(n 1) 1 2! 1 i j n 于是，由加法定理，得 n n P ( A) P ( Ai ) P ( Ai ) P ( Ai A j )
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1 A2 An ).
下赌注问题：17世纪未，法国的 Chevalies Demere在赌博中 感觉到，如果上抛一对骰子25次，则把赌注押到“ 至少出现一次 双六”比把赌注押到“完全不出现双六”更有利，但他本人找不 出原因，请计算该两事件的概率。 上抛一对骰子25次，
第1讲 随机事件及其运算 2016
大学数学(四)
—— 概率论与数理统计
脚本编写：孟益民
教案制作：孟益民
前
言
概率论与数理统计是从数量化的角度来研究现实世
界中一类不确定现象（随机现象）规律性的一门应用数
学学科，20世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民经
济及工程技术等各个领域.
研究对象： 在自然界和人类社会生活中普遍存在着两类现象， 一类是在一定条件下必然出现的现象，称为确定性现象. 另一类则是我们事先无法准确预知其结果的现象，称为 随机现象:
在试验中，如果出现事 件A中所包含的某一个基本 事件
，则称 A 发生.
如例2中,当A发生时 , B, C必定同时发生 ;当B 发生时 , C一定同时发生 , 而A不一定发生 .
本质上没有不确定性，但是为了方便起见，我们还是 把它们看作随机事件.
必然事件：每次试验都一定发生的事件，用 Ω 表示. 不可能事件:每次试验一定不发生的事件,记为 .
第一节 随机事件及其概率
一、随机试验 二、随机事件 三、事件的关系与运算
一、随机试验
我们把实现一次有条件，有意识地观察结果，称为一次试验. 如果试验具有下列特点： （1）在相同条件下可重复进行； （2）每次试验的可能结果不止一个，且所有可能结果在试 验前是已知的； （3）进行一次试验前不能确定哪一个结果会发生， 则称该试验为随机试验，记为E .
A {出现 2点} B {出现偶数点 } D {出现的点数为 2,4,6}
A B
则 A A D, B D
2. 事件的和(并) 由 A 与 B 的所有基本事件所组成的事件，称为事件 A 与 B 的和（或并），记为 A B 或 A B ，即
概率知识点总结-数学一
§1 随机事件及其运算1.1. “随机试验”是指试验的结果都具有同等发生的可能性吗?答：不是的.所谓“随机试验”, 是相对于“确定性试验”而言的,它是指一个试验可以在相同条件下重复进行, 而且每次试验的结果事先不能预言．出现上述错误看法的原因, 往往是把“随机”两字理解为“机会均等”．1.2. A、B、C为任意三事件, 是否可以推出(A+B)-C=A+(B-C)？答：不可以推出．如掷一颗骰子试验, 观察出现的点数, 记事件A={2}, B={点数小于4}, C={偶数},有，，故(A+B)-C≠A+(B-C)．产生这种错误的原因往往是想当然, 不假思索把数的运算律用到事件的运算中来.1.3. A、B为任意二事件, 是否有A+B-A=B？答：不是. 若AB≠Ф, 则A+B-A=(A+B)-A.1.4.事件的和、差运算是否可以“去括号”或交换运算次序, 如B+(A-B)=B+A-B=B-B+A=∅+A=A．答：不可以．设事件A、B关系如图, 显然应有B+(A-B)=A+B．1.5.事件的运算是否可以“移项”, 如由A+B=C⇒A=C-B, A-B=D ⇒A=B+D．答：不可以．但是增加一些条件便可以移项了．有下述结果:(1) 若AB=∅且A+B=C, 则A=C-B;(2) 若, 且A-B=D, 则A=B+D．1.6.若A=B, 则A、B为同一事件, 对吗?答：不对．举一反例说明：两个灯泡串联, 记A={A灯亮}, B={B灯亮},因为A不发生; 又B不发生必导致A不发生,因此A=B, 但A、B必导致B不发生，故并非同一事件.1.7.若A=B, 则A、B同时发生或A、B同时不发生, 对吗?答：对.1.8.“事件A、B都发生”与“A、B都不发生”是对立事件吗?答：不是的.1.9. A1, A2, …, A n构成完备事件组, 当且仅当同时满足(1)A1+A2+…+A n=Ω;(2)A1A2…A n=∅. 上述说法对吗?答：不对.因为A1A2…A n=Φ与A1, A2,…, A n互不相容不等价.1.10.“事件A、B、C两两互不相容”与“ ABC=∅”是不是一回事?并说明它们的联系.答：不是一回事.“两两互不相容”-----其中任意两个事件无公共部分,即AB=Φ, AC=∅ , BC=∅同时成立”;“ABC=∅”-----三事件A、B、C无公共部分.可能的联系是: “两两互不相容” ⇒“ ABC=∅”, 反之则未必成立.1.11.设A、B为两事件,(1) 若AB=A+B, 则A与B应满足什么关系;(2) 若,则A与B应满足什么关系.答：(1) 由知,又互不相容, 从而有:.故, 从而有;仿上述推导可得, 从而有;(2) 由有,.上述两式表明A与B是互为对立事件,即§2 概率的定义2.1.判断: P(A)=P(B)的充要条件是A=B.答：错误. 事实上, 由A=B可以推出P(A)=P(B),但P(A)=P(B) 不能推出A=B.例如在掷币试验中, 记A={正面朝上}, B={反面朝上}, 我们已知P(A)=P(B)=1/2, 但显然A≠B.2.2.若A、B互不相容, 则求A、B同时发生的概率是否可用公式:.答：不可以. 对任意两个事件, 第一个等号成立, 第二个等号也成立, 但第三个等号是不成立的.因为若A、B互不相容, 一般是不互斥的(除非A=∅, B=Ω; 或A=Ω, B=∅).故.总的说来, 当A、B互不相容时, 完全没有必要去建立什么求P(AB)的公式, 因为这时一定有P(AB)=P(Ф)=0.2.3.P(A)=0的充要条件是A=∅, 对吗?答：不对. 因为A=∅可以推出P(A)=0, 故A=∅是P(A)=0的充分条件, 但非必要条件(即由P(A)=0不能推出A=∅). 如连续型随机变量, 在某个点取值的概率为0, 但这个随机变量取这个值这个事件却不是不可能事件.2.4.P(B)=1的充要条件是B=Ω,对吗?答：不对.道理同第2.3.题.2.5.若P(ABC)=0, 是否可以推出: P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).答：不可以. 对任意事件A、B、C,恒有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).当且仅当A、B、C两两互不相容时才有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).现由题设P(ABC)=0, 并不能推出A、B、C两两互不相容, 因此原命题不成立.2.6.若A、B互不相容, 则是否有P(A-B)=P(A)-P(B).答：不成立. 我们可以证明, 对任意两个事件A、B,恒有P(A-B)=P(A)-P(AB)对上式, 若A、B互不相容, 并不能推出P(AB)=P(B), 从而知原命题不成立.2.7.对于任意两个事件A、B, 恒有P(AB)≤P(A)+P(B), 等号当且仅当A、B都不发生时成立, 上述结论是否正确?答：上述结论的前一半是正确的,但后一半是不正确的.事实上, 由概率的加法定理P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)≥0,则P(AB)≤P(A)+P(B).但是,显然, 等号当且仅当P(A+B)=0时成立. 因为,当A、B都不发生时, A、B至少一个发生是不可能的, 即A+B=∅, 故P(A+B)=0.反之, 当P(AB)=P(A)+P(B)时, 则P(A+B)=0, 由此并不能推出一定有A+B=∅(即A、B都不发生).综合上述, 知原命题不成立.2.8.设A、B、C为三个事件, 满足条件: P(AB)=P(A)P(B), . 证明: P(AC)≥P(A)P(C).知, 又,证明: 由可得A、B、C三事件之间的关系如图所示.从而有, 且AB与互不相容, 于是.2.9.对于古典概型，因为样本空间中的基本事件没有顺序，因此计算基本事件总数时，只能用组合而不能用排列, 上述说法正确吗?答：不正确. 首先要指出，问题本身的提法是含糊的. 以同时掷两枚硬币的试验为例，它的基本事件是：{e1}={正, 正}，{e2}={正, 反}，{e3}={反, 正}，{e4}={反, 反}. 所谓“基本事件没有顺序”是指{e1}、{e2}、{e3}、{e4}没有顺序，还是指“正”与“反”没有顺序？此其一.古典概型与排列组合有什么必然联系？此其二. 不少学生有一个错误的看法，似乎计算古典概型的概率必须用排列组合，不需排列组合计算的概率就一定不是古典概型。
概率论第一讲
A ∪ B = A ∪ ( B A) = A ∪ ( B AB )
A = AB ∪ AB
3 September 2007
陕西科技大学
第一章 随机事件与概率
第28页
样本空间的分割
若 A1，A2，……，An 有 1. Ai互不相容； 2. A1∪A2 ∪ ……∪An= Ω 则称 A1，A2，……，An 为Ω的一组分割.
3 September 2007
陕西科技大学
第一章 随机事件与概率
第13页
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示. 2. 基本事件 —— Ω的单点集. 3. 必然事件 (Ω) 4. 不可能事件 (φ) —— 空集.
3 September 2007
abababab交换律结合律分配律对偶律abccacabccbc记号a?babababa?ba概率论集合论空间空集元素a是b的子集a与b无相同元素a与b的并集a与b的交集a与b的差集a的余集样本空间必然事件不可能事件样本点a发生必然导致b发生a与b互不相容a与b至少有一发生a与b同时发生a发生且b不发生a不发生对立事件基本事件互不相容基本事件之并注意点注意点11aa?aaaaaaaaababab????注意点注意点22ababbaba??abaab??ababaabab??aabab若a1a2
当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称 事件A发生. 如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
样本空间为 : S = {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6} .
B发生当且仅当 B中的样本点1, 3,5中的某一个 事件 B={掷出奇数点} = {1,3,5}
3 September 2007
《概率论与数理统计》电子教案第一章随机事件与概率
《概率论与数理统计教程》教案第一章随机事件与概率教材：《概率论与数理统计教程》总安排学时：90本章学时：14第一讲：随机事件及其运算教学内容：引言、概率论的基本概念、事件之间的关系及运算、事件之间的运算规律。
教学目的：（1）了解概率论这门学科的研究对象，主要任务和应用领域；（2）深刻理解随机试验、基本事件、样本空间、随机事件的概念；掌握一个随机试验的样本空间、基本事件和有关事件的表示方法。
（3）深刻理解事件的包含关系、和事件、积事件、互斥事件、互逆事件和差事件的意义；掌握事件之间的各种运算，熟练掌握用已知事件的运算表示随机事件；（4）掌握事件之间的运算规律，理解对偶律的意义。
教学的过程和要求：（1）概率论的研究对象及主要任务（10分钟）举例说明概率论的研究对象和任务，与高等数学和其它数学学科的不同之处，简单介绍概率论发展的历史和应用；(i)概率论的研究对象：确定性现象或必然现象：在相同的条件下，每次观察（试验）得到的结果是完全相同的现象。
例：向空中抛掷一物体，此物体上升到一定高度后必然下落；例：在一个标准大气压下把水加热到100℃必然会沸腾等现象。
随机现象或偶然现象：在相同的条件下，每次观察(试验)可能出现不同结果的现象。
例：在相同的条件下抛一枚均匀的硬币，其结果可能是正面（分值面）向上，也可能是反面向上，重复投掷，每次的结果在出现之前都不能确定；例：从同一生产线上生产的灯泡的寿命等现象。
(ii)概率论的研究任务：概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科。
(iii)概率论发展的历史：概率论起源于赌博问题。
大约在17世纪中叶，法国数学家帕斯卡(B•Pascal)、费马（fermat）及荷兰数学家惠更斯(C•Hugeness)用排列组合的方法，研究了赌博中一些较复杂的问题。
随着18、19世纪科学的迅速发展，起源于赌博的概率论逐渐被应用于生物、物理等研究领域，同时也推动了概率理论研究的发展. 概率论作为一门数学分支日趋完善，形成了严格的数学体系。
1.1随机事件及其运算
在试验E中,人们除了关心所有的基本事件(样 本点)外,还可能关心满足某些特征的样本点是否 出现.比如“出现的点数是偶数”、“出现的点数 大于4”等事件是否会发生。
从集合的观点看， “出现的点数是偶数”这 一事件包含了样本空间中的三个样本点：2点、4 点、或6点；如果试验出现的结果是三个样本点中 的某一个，则该事件发生；反之如果该事件发生， 则试验的结果一定是这三个样本点中的某一个。
表示A与B同时发生所构成的事件.
类似地,事件A1，A2，…，An同时发生所构 成的事件表示为
A1∩A2∩…∩An 或 A1A2…An
例如若A=“出现偶数点”；B=“点数大于4”
则AUB ={2,4,5,6}； A∩B ={6}.
5.事件的差 记作 A-B
Ω
由包含在A中而又不包含在
B中的样本点构成的事件. 表示A发生而B不发
第一章 随机事件及其概率
自然界和社会生活中出现的现象大致上可 以分为两类：
确定性现象：在一定条件下一定会发生的 现象。如太阳从东方升起；苹果从树上掉落到 地上等。
随机现象：在相同条件下可能发生的结果 呈现出偶然性的现象。比如，随机掷一枚硬币， 结果可能出现正面朝上或反面朝上。
随机现象虽然在一次或少数几次试验中出 现的结果表现出偶然性，但在大量的重复试验 中又表现出一定的规律性——统计规律性。比 如通过进行大量的掷硬币试验，人们发现正面 朝上和反面朝上的频率接近相等。
随机事件:试验E的样本空间Ω的子集称为试验 E的随机事件,简称事件. 一般用大些字母A、B、 C等表示.
例如,记A表示“出现的点数是偶数”,则 A={2点,4点,6点}，
这里A是Ω的子集。
基本事件、复合事件、必然事件、不可能事件
第一节 随机事件的运算及关系
二、随机事件的关系及运算 它和集合的关系及运算是完全相互类比的， 摆在我们面前的问题是如何把集合论的语 言准确的换成概率论的语言。
下面我们用集合的关系与运算类比的讲述事件的
四种关系
和
三种运算
1、事件A包含于事件B:若事件A发生必有事件B发生，
集合A包含于集 合B：若对 A, 总有B， 则称集合A包含 于集合B，记成 AB。
4、称最大的子集（样本空间本身）为必然事件，
称最小的子集（空集）为不可能事件。
5、 事件可以用子集表示，也可以用准确无误的语言来表示。
也可以用数集来表示
定义：用来表示随机现象结果的变量称为随机变量， 用大写字母 X，Y，Z……表示
掷骰子
例 1 .6 任 投 一 枚 骰 子 ， 出 现 的 点 数 是 一 个 随 机 变 量 X。
事件A与B的差： 若事件C发生当且 仅当事件A发生且 事件B不发生,则 称事件C为事件A 与B的差,记成 A-B。
6、A与B互斥
事件A与B不能同时发生。
(或互不相容事件),
7、 A和 B对 立
A和 B当 且 仅 当 之 一 发 生 A B= AB=
AB=Ø
请同学思考互斥和对立
的区别与联系？
例 1 .2 一 战 士 连 续 向 以 目 标 射 击 ， 直 到 打 中 为 止 ， 令 i i= 射 击 次 数 ，
则
U 1 ，，， 2 3 ...........
例 1 .3 测 量 某 电 子 元 件 的 寿 命 ， U = x | 0 x <
例 1 .4 在 0 ， 上 任 取 一 数 ， 1
第一章
第一节
随机事件与概率
随机事件及其运算
D1-1 随机事件及其运算
例1: 考虑正反面出现的情况; E1: 将一枚硬币连抛两次,
Ω ={ (正,正),(正,反), (反,正),(反,反) } 1
E2: 掷一颗均匀骰子, 考虑可能出现的点数;
Ω2 ={ 1 2,3, 4, 5, 6} ,
E3: 记录某网站一分钟内受到的点击次数;
Ω ={0 1 2 L} ， ， ， 3
第一章 随机事件与概率
随机事件及其运算 随机事件的概率 条件概率和事件的相互独立性
第一章
第一节 随机事件及其运算
一、基本概念 二、事件之间的关系 三、事件之间的运算 四、事件的运算律
0、引言 、
1.确定性现象与不确定性现象(随机现象) 确定性现象 • 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾; 随机现象 • 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; 2.随机现象的统计规律性:随机现象的各种结果会表现 出一定的规律性，这种规律性称之为统计规律性. 出一定的规律性，这种规律性称之为统计规律性 统计规律性
E4: 任选一人, 记录他的身高(m)和体重(kg).
Ω4 ={ ( h, g) 0 < h<4, 0 < g <700}
E5: 任选一人, 以他的身高决定买火车票的类型.
Ω ={ 免,半,全 5
}
注: ①样本空间是一个集合; ②对于一个随机试验而言, 样本空间并不唯一. 例如: 掷两枚均匀的骰子一次, 若试验的目的是观察出现
A− B ={ ω
且 ω∉B} A−B
注: ① A − B = A − AB ② 若A,B互斥,则 A − B = A, B − A = B, ③ A − (B − C) ≠ A − B + C 4.逆(对立事件 逆 对立事件 对立事件):
第一讲 随机试验、随机事件、事件的关系与运算
S3 : { 0, 1, 2, 3 } E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。
S4 : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。
S5 : {0,1,2,3……} E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。 S6 : { t | t 0 } E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 S7 : { ( x , y ) | T0 x y T1} E7：记录某地一昼夜的最低温度和最高温度。
A与B必有一个发生,且 仅有一个发生
A
A
B
S S
B A
随机事件的运算规律 交换律:
结合律:
A B B A, A B B A
A B C A B C
A B C A B C
分配律:
A B C A B A C A B C A B A C
§1
随机试验
自然界和社会上的现象一般分为两类，一 类称为必然现象。如：水在一个大气压下加热 到摄氏100度必然沸腾，同性电荷必然相互排 斥等等。另一类称为随机现象，即带有随机性 、偶然性的现象。如：抛掷一枚均匀的硬币， 其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上， 事先无法肯定。又如，袋中装有红色和白色两 种球，从中任意取出一只，取出的球可能是红 色也可能是白色，事先无法肯定等等。
3 、 事 件 "事 件 A 发 生 且 事 件 B 发 生 ",称 为 事 件 A 与 事 件 B 的 积 事 件 ,记 为 A B 或 A B ; A B 发 生 意 味 着 A 与 B 都 发 生 .几 何 表 示 如 下 图
A AB B
S
例 如 ,抛 掷 一 枚 均 匀 的 骰 子 , A 表 示 " 出 现 偶 数 点 ", B 表 示 " 出 现 的 点 数 小 于 5", C 表 示 "出 现 小 于 5 的 偶 数 点 ",则 C=A B
随机事件及其运算
随机事件及其运算
例7
解
（1）A1 A2 A3 ：只击中第一枪 ； （2）A1 A2 A3 ：至少击中一枪 ； （3）A1A2 A3 ：三枪都击中； （4）A1A2 A1A3 A2 A3 ：至少击中两枪 .
随机事件及其运算
1.3 随机事件的概率
一个随机试验有许多可能的结果，我们常常希望知道得到某得结果的可能性有多大.例如，有 1000张彩票，其中有2张一等奖，现有1000人各取一张，则每个人得到一等奖的机会有多大？ 又如， 100件产品中有90件合格品，10件次品，从中任取2件，则恰好有1件次品的机会有多大？ 对于这类 随机事件，我们通常把刻画某事件发生的可能性的大小数值用概率来表示，记作P (A).
例1
随机事件及其运算
1.2 随机事件的关系与运算
1.事件的包含与相等
设事件A={点落在小圆内}，事件B={点落在大圆内}，如图9-1所示.显然， 若所投掷的点落在小圆内，则该点必落在大圆内，也就是说，若事件A 发生， 则事件B 一定发生.
定义1
如果事件 A 发生，必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A ，记作A B . 若 A B且B A ，则称事件 A 与事件 B 相等，记作 A B .
上两例“抓彩票”和“产品质量检测”试验有两个特征：(1)基本事件总数有限；(2)每个基本事件发 生的可能性相同.满足这两个特征的试验称为古典概型.
定义7
在古典概型中，若基本事件总数为n ，事件A包含的基本事件数为m ，则事件A
的概率P A m .概率的这种定义称为概率的古典概型 .
§1.1 随机事件及其运算
A1 A2 A3 ;
A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 ,
或
(4)
A1 A2 A2 A3 A3 A1 ;
或 A1 A2 A3 .
16
A1 A2 A3 ,
2017/5/23
补充说明
1.事件的运算类似与代数式的运算，因为有相同 的运算定律； 2.事件的运算的结果又不同于代数式的运算，因为 它们运算的意义不同。〔事件是用集合表示的〕 见下面的例子
次数是相当的.
2017/5/23 4
历史上抛硬币试验的若干结果
实验者 德莫根 蒲丰 费勒 皮尔逊 皮尔逊 抛硬币次数 2048 4040 10000 12000 24000 出现正面次数 1061 2048 4979 6019 12012 频率
0.5181 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
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X 3 表示 X 3 表示 X Y 5
表示
或 第一次 第二次
或 或 或
2017/5/23 21
第一章 随机事件与概率
第一节 随机事件及其运算
一、随机现象与事件
概率论与数理统计是研究随机现象规律性的一门学科.
观察下列现象，注意有什么不同特征. 1、早晨太阳从东方升起；
2、大海捞针； 3、抛一枚硬币，出现正面或反面； 4、一天内进入某商店的人数； 5、掷一颗骰子出现7点； 6、明天的股市将上升100点.
2017/5/23 7
例2
在掷一颗骰子的随机实验中，观察出现的点 数，写出下列事件.
A——恰掷出3点； B——掷出的点数大于2； C——掷出奇数点；D——掷出的点数小于5.
第一节 随机事件及其运算09-10(2)第一讲
10
例1 抛掷一枚硬币观察结果，写出样本空间
令1＝“正” 2＝“反”
{ 1 , 2 }
例2
{ 正, 反 }
抛掷一枚骰子，观察出现的点数，写出样本空间
令i＝“出现的点数为 i”
{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
令i＝“出现的点数为 { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } i”
11
例3 抛掷两枚硬币观察结果，写出样本空间
{ (正，正 (正，反 ) )
例4
(反，正 )
(反，反 } )
测量车床加工的零件的直径（mm），写出样本空间。
令x＝ “ 测 得零 件的 直 径为 mm”(a x b) x
{ x | a x b}
[a, b]
无限
练习：抛掷三枚硬币观察结果，写出样本空间 抛掷两颗骰子观察结果，写出样本空间
解： 设 A＝{甲命中目标}
（） A B C 1
（2 ） ABC ABC ABC （3 ） ABC ABC ABC
B＝{乙命中目标}
（4 ） （5 ） （6 ）
C＝{丙命中目标}
BC AC AB
ABC
A B C
29
例8、从一批产品中每次取出一个产品进行检验（每次取出的产品 不放回），试表示下列事件： （1）三次都取到了合格品； （2）三次中至少有一次取到合格品； （3）三次中恰有两次取到合格品； （4）三次中至多有一次取到合格品。 解： 设 Ai {第i次取到合格产品 i 1,2,3) }(
概率论与数理统计
Probability and Statistics 主讲：常双领
1-1节随机事件的概念
察出现的点数”.
“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”
实例4
“从一批含有正
其结果可能为:
品和次品的产品中任意抽
取一个产品”.
正品 、次品.
实例5 “一只灯泡的寿命” 可长可短.
随机现象的分类 个别随机现象现象：原则上不能在相同条件下重 复出现（例5） 大量性随机现象现象：在相同条件下可以重复出 现（例1-4） 随机现象的特征 条件不能完全决定结果
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性
联系 , 其数量关系无法用函数的形式加以描述.
2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的 出现具有一定的统计规律性 。 概率论就是研究 随机现象及其统计规律的一门数学学科.
如何来研究随机现象?
随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等
车人 数. 4. 考察某地区 10 月
份的平均气温. 5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
三、样本空间 样本点
定义1.1 对于随机试验E，它的每一个可 能结果称为样本点，由一个样本点组成的 单点集称为基本事件。所有样本点构成的 集合称为E 的样本空间或必然事件，用 或S表示
第 一 章
随 机 事 件 及 其 概 率
第一节 随机事件的概念及其运算
一、 随机现象
二、 随机试验 三、 样本空间 样本点
四、 随机事件的概念 五、 小结
一、随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
1.确定性现象
1.1 随机事件及其运算
解 (1)只有第一枪击中,则A1发生 A2，A3都未发生， 可表示为
（2）至少有一枪击中， 即A1，A2，A3至少有一个发生， 可表示为 A1 A2 A3
A1 A2 A3
(3)三枪都未击中可表示为：
A1 A2 A3
= A1 A2 A3
例 将一枚硬币掷两次， 则正面出现的次数为（ （A） 0
事。
本来，这位犯臣抽到“生”还是“死”
一个随机事件， 且抽到“生”和“死”的可能性各占一 也就是各有1/2概率.
但由于国王一伙“机关算尽”，
通过偷换试验条件，
想把这种概率只有1/2 的“抽到死签”的 随机事件， 变为概率为1的必然事件，
终于搬起石头砸了自己的脚，
反使犯臣得以死里逃生。
不可能事件 在一次试验中不可能发生事件 常用φ表示 例如
上面这些例子，尽管内容各异 但有共同的特点。
随机试验： (1)试验可以在相同条件下 重复进行； (2)试验所有发生的结果是 不止一个，且是已知的； (3)每次试验的结果事前是 不能确定的。
二 、样本空间 现代集合论为表述随机试验 提供了一个方便的工具 。 随机试验的每个基本结果 记作e 或ω. 称为样本点， 全体样本点的集合称为 样本空间。
样本空间用S或Ω表示。
.e 样本点e
例如, 掷硬币试验掷一 枚硬币，观察出正还是反.
H
T
H 样本点： , T S 样本空间： { H , T }
T
若试验是将一枚硬币抛掷两次
则样本空间由四个样本点组成：
第1次
(H,H): (H,T)： (T,H): (T,T)：
H H T T
第2次
H T H T
3、事件A与事件B同时发生， 这一事件称为事件A与事件B
概率统计第1章
条件： m n ,
7/28/2017
即 m = 0, 1, 2, ……, n.
常见模型(3) ——彩票问题幸运35选7:P21
购买：从01，……，35 中选7个号码. 开奖：7个基本号码，1个特殊号码.
并： A B 交： A B = AB 差： A B 对立： A A 与 B 至少有一发生 A 与 B 同时发生 A发生但 B不发生 A 不发生
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
注意：对立→互不相容，反之不然 应用举例：P7
事件运算的图示
AB
AB
AB
事件的运算性质
德莫根公式
A B A B;
1.2.1 概率的公理化定义
定义1.2.1：设Ω为一个样本空间，Ｆ为Ω的某些 子集组成的一个事件域，如果对任意一个事件A Ｆ，定义在Ｆ上的一个实质函数P(A)满足
非负性公理：若 AＦ，则P(A)0;
正则性公理： P(Ω)=1;
可列可加性公理：若A1, A2, ……, An ……
例1.1.1
口袋中有a 个白球、b 个黑球，从中一个一个不返 回地取球。A = “取到最后一个是白球”， B = “取到最后一段是白球”。问 A 与 B 的关系？ 解：1) 显然，B 发生必然导致A发生，所以 BA;.
2) 又因为A发生必然导致B发生，所以 AB， 由此得 A = B.
1.1.6 事件的运算
P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6， 求 P(AB).
解：因为 P(AB) = P(A)P(AB) ，所以先求 P(AB) 由加法公式得 P(AB) = P(A)+P(B)P(AB) = 0.4+0.30.6=0.1 所以 P(AB) = P(A)P(AB) = 0.3
§1[1].1 随机事件及其运算
![§1[1].1 随机事件及其运算](https://img.taocdn.com/s3/m/72e13b4be518964bcf847c0c.png)
注意：P ( AB ) = 0 ⇒ A、B互斥.
2012-5-17 皖西学院 数理系 17
6、对立事件 若事件A与事件 满足条件 若事件 与事件B满足条件 与事件
概 率 论 与 数 理 统 计
A
AB = Φ , 且A U B = Ω
则称事件A与事件 为对立事件 则称事件 与事件B为对立事件。 与事件 为对立事件。
A发生或B发生，即A, B至少有一个发生，
称为A, B的和事件（并）. Ω
记作：A + B 或 A U B .
3、积事件
B
A
A, B同时发生， 同 称为A, B的积事件（交）.
记作：A B 或 A I B .
2012-5-17
Ω
B
AB A
皖西学院 数理系
16
4、差事件
Ω
A发生，但B不发生，
概 率 论 与 数 理 统 计
2012-5-17 皖西学院 数理系 3
主要内容
• 概率论的基本概念〔随机事件、样本空间〕。 概率论的基本概念〔随机事件、样本空间〕
概 率 论 与 数 理 统 计
• 随机事件的关系及运算。 随机事件的关系及运算。 • 随机事件的概率及其性质、计算和应用。 随机事件的概率及其性质、计算和应用。 • 随机变量及多维随机变量的分布和性质。 随机变量及多维随机变量的分布和性质。 • 随机变量的数字特征。 随机变量的数字特征。 • 大数定律与中心极限定理等概率论基础知识。 大数定律与中心极限定理等概率论基础知识。 • 数理统计的基本概念〔样本及其抽样分布〕。 数理统计的基本概念〔样本及其抽样分布〕 • 参数估计和假设检验等数理统计基础知识。 参数估计和假设检验等数理统计基础知识。
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A
B
Ω
6, 若AB=Ω且AB=, 则称事件A与事件B互为逆事件, 又称事件A 与事件B互为对立事件, 这指的是对每次试验而言, 事件A,B中必有 一个发生, 且仅有一个发生. A的对立事件记为 A , A A.
A
Ω
A
在进行事件运算时, 经常要用到下述定律. 设A,B,C为事件, 则有
理解条件概率的概念，掌握概率的乘法定理，了解事 件的独立性概念。 掌握贝努利概型和二项概率的计算方法。
第一节 随机事件及其概率
一、随机试验
二、随机事件
三、事件的关系与运算
一、随机试验
在一定条件下必然发生的现象,称为确定性现象. 在个别试验中呈现出不确定性, 在大量重复试验中其结 果又具有统计规律性的现象, 称为随机现象. 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的 一门数学学科.
1 : {H,T}
E2:将一枚硬币掷三次, 观察正面H, 反面T出现的情况.
2 : {HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT};
E3:将一枚硬币抛掷三次,观察出现正面的次数.
3 : {0,1,2,3};
E4:抛一颗骰子, 观察出现的点数.
4 :{1,2,3,4,5,6};
(二) 随机事件 称试验E的样本空间Ω的子集为E的随机事件,
简称事件. 在每次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本
点出现时, 称这一事件发生.
特别, 由一个样本点组成的单点集, 称为基本事件. 例如,
掷一次硬币的实验E1有两个基本事件{H}和{T}; 掷一次骰子的
实验E4有6个基本事件{1},{2},{3},{4},{5},{6}.
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（四）
—— 概率论与数理统计
第一讲 随机事机及其概率
脚本编写：肖庆丰
教案制作：肖庆丰
第一章 随机事件及其概率
本章学习要求： 理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算。 理解事件频率的概念，理解概率的古典定义。
掌握概率的基本性质及概率加法定理。
解:
A1 A2 : 前两次至少有一次中 A2 : 第二次未中 A1 A2 A3 : 三次中至少一次中 A1 A2 A3 : 三次都中 A3 A2 A3 A2 : 第三次中但第二次未中 A1 A2 A1 A2 : 前两次均未中 A2 A3 A2 A3 : 后两次至少有一次未击 中 A1 A2 A1 A3 A2 A3 : 三次射击至少两次中
E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度.
二、随机事件
(一)样本空间 对于随机试验, 尽管在每次试验之前不能 预知试验的结果, 但试验的所有可能的结果组成的集合是 已知的, 将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的 样本空间, 记为Ω. 样本空间的元素, 即E的每个结果, 称为样本点.
例1
E1:抛一枚硬币, 观察正面H, 反面T出现的现象.
试验的例:
E1:抛一枚硬币, 观察正面H, 反面T出现的现象.
E2:将一枚硬币掷三次, 观察正面H, 反面T出现的情况.
E3:将一枚硬币抛掷三次,观察出现正面的次数.
E4:抛一颗骰子, 观察出现的点数.
E5:记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数.
E6:在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命射手连续向某个目标射击三次事件Ai表示该射手第i次 射击时击中目标(i=1,2,3). 试用文字叙述下列事件:
A1 A2 ; A2 ; A1 A2 A3 ; A1 A2 A3 ; A3 A2 ; A3 A2 ; A1 A2 ; A1 A2 ; A2 A3 ; A2 A3 ; A1 A2 A1 A3 A2 A3
k 1 n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,的和事件.
k 1
3,事件AB={x|xA且xB}称为事件A与事件B的积事件. 当且仅 当A, B同时发生时, 事件AB发生. AB也记作AB
A
B
Ω
类似地, 称 Ak 为n个事件A1 , A2 , , An的积事件;
k 1 n
1、若AB, 则称事件B包含事件A, 这是指的事件A发生必然导 致事件B发生.
若AB且BA, 即A=B, 则称事件A与事件B相等.
B A Ω
2、事件AB={x|xA或xB}称为事件A与事件B的和事件. 当
且仅当A, B中至少有一个发生时, 事件AB发生.
Ω
A
B
类似地, 称 Ak 为n个事件A1 , A2 , , An的和事件;
试验为掷三次硬币, 事件A1:"第一次出现的是H", 事
A1={HHH,HHT,HTH,HTT}, A2={HHH,TTT}, A1A2={HHH,HHT,HTH,HTT,TTT}, A1A2={HHH}, A2-A1={TTT},
A1 A2 {THT , TTH , THH }.
例3
交换律: AB=BA; AB=BA.
结合律: A(BC)=(AB)C;
A(BC)=(AB)C.
分配律: A(BC)=(AB)(AC);
A(BC)=(AB)(AC);
德•摩根律:
A B A B; A B A B .
例2 件A2:"三次出现同一面",
事件A2:"三次出现同一面", 即
A2={HHH, TTT}
在E6:测试任取的一只灯泡寿命中, 事件A3:"寿命小于1000小
时", 即
A3={t|0t<1000}
三、事件间的关系与事件的运算
事件是一个集合, 因而事件间的关系与事件的运算按照集 合论中集合间的关系和集合运算来处理. 下面给出这些关系 和运算在概率论中的提法. 并根据“事件发生”的含义, 给 出它们在概率论中的含义. 设试验E的样本空间为Ω, 而A,B,Ak(k=1,2,...)是Ω的子集. 通常喜欢用一个矩形来代表Ω, 其中的子区域代表一个事件.
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,的积事件.
k 1
4、事件A-B={x|xA且xB}称为事件A与事件B的差事件, 当且
仅当A发生, B不发生时事件A-B发生.
A
B
Ω
5. 若AB=, 则称事件A与事件B是互不相容的, 或互斥的, 这 指的是事件A与事件B不能同时发生, 基本事件是两两互不相容 的.
随机试验简称试验. 在概率论中,试验是一个含义广泛的术语, 并没有严格的纯数
学定义. 包括人做的试验, 甚至大自然做的试验, 机器人做
的试验, 人进行的观察, 等等.
试验的特点:
1、可在相同条件下重复地进行; 2、每次试验的可能结果不止一个, 并且能事先明确所有可能 的结果. 3、进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.
样本空间Ω包含所有的样本点, 它是Ω自身的子集, 在每次 试验中它总是发生的, 称为必然事件, 空集不包含任何样 本点, 它也作为样本空间的子集, 它在每次试验中都不发生, 称为不可能事件.
几个事件的例子:
例: 在E2:掷三次硬币观察正反面出现情况中事件A1:"第一次
出现的是H", 即
A1={HHH,HHT,HTH,HTT}.
如图所示的电路中, A表示"信号灯亮", B, C, D表示继
电器接点I,II,III闭合.
II I III
则BCA, BDA, BCBD=A, 而
BA , B C B C .
B
I III D A II C
例4 从一批产品中每次取出一个产品进行检验(每次取出的产品 不放回), 事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3). 试用事件 的运算符号表示下列事件:
三次都取到了合格品;
三次中至少有一次取到合格品; 三次中恰有两次取到合格品; 三次中最多有一次取到合格品.
解:
三次全取到合格品: A1A2A3
三次中至少有一次取到合格品: A1+A2+A3
三次中恰有两次取到合格品:
A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3
三次中至多有一次取到合格品: