可化为整式方程的分式方程的解法

一、分式方程的一般解法步骤为：
(1)去分母; (2)解整式方程；(3)验根； (4)写出原分式方程的解．
二、对于字母系数的分式方程的解法，完全可以 类似于上述步骤，只是要注意系数化为1时对系
数的分类讨论．
三、要会灵活运用不同方法解分式方程，具体问
题具体分析，比如有时先通分会使计算简单．
方程两边同乘以 ( x 1)( x 7) ，得：
( x 3)( x 7) ( x 5)( x 1) ( x 1)( x 7) ( x 2 2)
7 解得： x ． 4 7 经检验： x 是原方程的解． 4 7 所以原方程的解是 x ． 4
[分析]：此为含有字母系数的分式方程，解法与解一般 的分式方程类似，只不过最后系数化为1时要注意讨论． 解：方程两边同乘以 ( x 1)( x 1) ，得：
4ax ( x a 2 )( x 1) ( x a 2 )( x 1) (2a 2 2)
整理得： (a 1) 2 x (a 1)(a 1) ， a 1 2 x (1)当 (a 1) 0 即 a 1时， ， a 1 代入最简公分母 ( x 1)( x 1) 中检验，得：
方程两边同乘以 ( y 2)( y 2)，得：
y 8 ． 6( y 2) ( y 2) 2 y 2 0 解得： y 8 是原方程的解． 经检验，
所以原方程的解是 y 8 ．
例3. 当m为何值时，关于x的方程：
m x x 1 ( x 1)( x 2) x 1 x 2
3x 4 A( x 3) B( x 2)
即： 3 x 4 ( A B) x 3 A 2 B
A B 3 A 2 则： ，解得： ． 3 A 2 B 4 B 1
答： A、B的值分别为2和1．
4ax x a 2 x a 2 2a 2 2 2 例5. 解关于x的方程 2 ． x 1 x 1 x 1 x 1
a 1 ． a 1
(2)当(a 1)2 0 即 a 1 时，
x可以取不等于1的任何数．
综上所述， 当 a 0 时，原方程无解， 当 a 1 且 a 0 时，原方程有唯一解 x
a 1 ． a 1
当 a 1 时，原方程的解为不等于1 的任何数．
注意：在分类讨论时，一定要做到不重不漏，逻辑
可化为整式方程的分 式方程的解法
初三数学
主讲教师：张华云
教学目的：让学生充分掌握可化为整式方程的分 式方程的解法，并会用此法来解含有字母系数的 分式方程．
分式方程的定义和解法：
定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程． 解法：解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式 方程，其一般步骤为： (1)去分母，在方程的两边同乘以各分母的最简公分母; (2)解整式方程，得出整式方程的解； (3)验根，把整式方程的解代入最简公分母中，若其结果 为零，它就是原分式方程的增根； (4)写出原分式方程的解．
7 4 6 例1. 解方程 x 2 x x 2 x x 2 1 ． 7 4 6 解： x( x 1) x( x 1) ( x 1)( x 1)
方程两边同乘以 x( x 1)( x 1)，得：
7( x 1) 4( x 1) 6 x 3 x ． 解得： 5 3 x 是原方程的解． 经检验， 5 3 所以原方程的解是 x ． 5
注意要会灵 活运用常规 方法和特殊 方法．
整理得： ( x 4)( x 7) ( x 3)( x 6) ， 解得： x 5 ． 经检验： x 5 是原方程的解．
所以原方程的解是 x 5 ．
3 x 5 x x2 2 练习2. 解方程： ． 1 2 1 x 7 x x 8x 7 x 3 x 5 x2 2 解： 1 x 1 x 7 ( x 1)( x 7)
a 1 a 1 2a 2 4a ( 1)( 1) a 1 a 1 a 1 a 1 (a 1) 2
当 a 0 时，上式为零即最简公分母为零，
a 1 因此当 a 0 时， x 1 是增根． a 1 所以当 a 0 时，原方程无解，
当 a 1 且 a 0 时，原方程有唯一解x
注意此处不需 要再要求
1 m 1 2
3x 4 A B 例4. 已知： ，求A、B的值． ( x 2)( x 3) x 2 x 3
[分析]：从已知我们知道，对于所有能使方程有意义的x 的值，方程都成立．这就告诉我们A、B的求法了．
解：方程两边同乘以 ( x 2)( x 3) ，得：
(1)有增根？
(2)它的解是正数？
不需要Байду номын сангаас 行化简！
解：(1)方程两边同乘以 ( x 1)( x 2) ，得： 注意此处
m x( x 2) ( x 1)( x 1)
因为增根只可能是 x 1 或 x 2 ．
分别把 x 1 、x 2 代入上面的整式方程 得：m 3 、 m 3 ． 所以 m 3 或 3 ．
(2)方程两边同乘以 ( x 1)( x 2) ，得：
m x( x 2) ( x 1)( x 1)
1 m ． 2 因为解为正数且增根只可能是x 1或 x 2 ． x 解得：
1 m 0 2 所以： ， 解得： m 1 且 m 3 ． 1 m 2 2
严密，并且在最后要对分类作一下总结．
练习1. 解方程：
1 1 1 1 ． x4 x7 x3 x6
[分析]：此题按常规方法解是比较麻烦的．观察一下 方程两边式子的特点，通分做会更简单一些． 解：方程两边分别通分得：
( x 7) ( x 4) ( x 6) ( x 3) ( x 4)( x 7) ( x 3)( x 6)
6 y 12 y2 4 y2 例2. 解方程 y 2 4 y 4 y 2 4 y 4 y 2 4 0 ． 6( y 2) ( y 2)( y 2) y2 0 解： 2 2 ( y 2) ( y 2) ( y 2)( y 2) 6 y2 y2 0 即： y 2 y 2 ( y 2)( y 2)