底部剪力法
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15
振型分析反应谱法——续
计算各振型对应的周期： 2 T1 0.358 s 1 17.54 2 T2 0.156 s 2 40.32 2. 确定地震参数 2 2
由设防烈度8度查出 max 0.16
由I类场地和一区查出 Tg 0.25
16
振型分析反应谱法解答——续
6. 底部剪力法的计算步骤
（1）计算结构基本周期
通常采用能量法公式：
n
T1
2
1
2
m u
i 1 n i 1
2 i i
g mi ui
2
2 G u ii
n
G u
i 1
i 1 n
i i
1
（2）确定地震参数
由设防烈度查表出水平地震影响系数 max
由场地类别和特征周期分区查表出特征周期 Tg
0.25 max 0.359 0.16 0.1158
0.9
（2）计算振型参与系数
1
m X
i 1 n i 1 i
n
1i
2 m X i 1i
60 0.488 50 1 1.23 2 2 60 0.488 50 1
j 1
50 9.8 8 106.2 (1 0.0986) 59.8 kN 60 98 4 50 9.8 8
12
底部剪力法解答——续
（6）层间地震剪力
F2 59.8 F1 35.9
Fn 10.5
V2 F2 Fn 70.3
V1 F1 F2 Fn 106.2
8
底部剪力法解答——续
最后计算基本频率和基本周期：
1
I u
i 1 n i 1
n
i i
2 m u ii
(1.299 0.6387 1.8945 1.2702)14 10 4 17.5433 rad / s 2 2 2 4 2 60 0.6387 50 1.2702 ) (1 10 )
n i 1
Baidu Nhomakorabea
FEk 1 Geq 0.1158 916 106.1 kN
（4）是否考虑顶部附加地震作用
因为T1 0.358s 1.4Tg 0.35s ，则查表3.4得：
n 0.08T1 0.07 0.08 0.358 0.07 0.0986
3. 对各个振型计算水平地震作用
第 1 振型
(1) 确定地震影响系数1
因为Tg T1 5Tg Tg 所以取反应谱的曲线下降段： 1 T 1 取阻尼系数 0.05，则 0.9 max
17
振型分析反应谱法解答——续
Tg 因此： 1 T 1
k1 5 104 kN m
k 2 3 104 kN m
6
底部剪力法解答——续
采用能量法公式计算：
2
T1
1
2
m u
i 1 n i 1
n
2 i i
g mi ui
60 0.02165 2 50 0.03789 2 2 0.355 s 9.8 (60 0.02165 50 0.03789)
（4）计算第1振型时的层间地震剪力
由式V1i F1k 得： V11 F11 F12 110.7 kN
k i
n
V12 F12 69.8 kN
19
振型分析反应谱法解答——续
第 2 振型
( 1 ) 确定地震影响系数 2
因为0.1s T2 0.156s Tg 0.25s 所以取反应谱的水平段： 2 max
5. 层间地震剪力图
m2 m1
V12 69.8 V22 18.3 V2 72.2
V11 110.7
V21 19.2
V1 112.4
第1振型的剪力
第2振型的剪力
组合后的剪力
23
Thank you for your attention !
（5）计算各质点上水平地震作用
Fi H i Gi
H G
j 1 j
n
FEk (1 - n )
j
( i 1, 2, , n )
3
（6）计算层间剪力
Vi Fk
k i n
( i 1, 2,, n )
绘制层间地震剪力图。
（7）顶部小屋的地震作用FD
FD 3Fn
这时顶部附加地震作用Fn应加在主体结构的顶部。
2 T1 0.358 s 1 17.5433
2
该计算结果与采用频率方程得到的结果相同。
9
底部剪力法解答——续
（2）确定地震参数
由设防烈度8度查出 max 0.16
由I类场地和一区查出 Tg 0.25
确定地震影响系数1 :
因为Tg T1 5Tg， 同时取阻尼系数 0.05，则 0.9 所以取反应谱的曲线下降段：
（4）计算第2振型时的层间地震剪力
由式V2i F2 k 得： V21 F21 F22 19.2 kN
k i
n
V22 F22 18.3 kN
21
振型分析反应谱法解答——续
4. 通过振型组合计算层间地震剪力
Vi
2 V ji （i 1, 2, , n） j 1 m
4
例题
图示框架结构。设防烈度为8度，I类建筑场地，特征周期 分区为一区。试用底部剪力法计算该框架的层间地震剪力。
m2 50t
k 2 3 104 kN m
m1 60 t
k1 5 104 kN m
5
底部剪力法解答
（1）计算结构基本周期
采用能量法计算结构的基本周期。
计算重力荷载Gi 水平作用时的层间位移：
Tg 因此： 1 T 1 0.25 max 0.359 0.16 0.1158
10
0.9
底部剪力法解答——续
（3）计算底部剪力
Geq 0.85 Gi 0.85 (60 50) 9.8 916 kN
18
振型分析反应谱法解答——续
（3）计算水平地震作用
F1i 1 1 X 1i Gi
( i 1, 2 )
F11 1 1 X11G1 0.1158 1.23 0.488 60 9.8 40.9 kN F12 1 1 X12G2 0.1158 1.23 1 50 9.8 69.8 kN
V1
2 2 2 2 2 V V V 110 . 7 19 . 2 112.4 kN j1 11 21 j 1
m
V2
2 2 2 2 2 V V V 69 . 8 ( 18 . 3 ) 72.2 kN j2 12 22 j 1
m
22
振型分析反应谱法解答——续
2 40.32 rad / s
由振型向量方程 ( [k ] 2 j [ m] ) X j 0 X 11 0.488 X 21 1.710 求得振型： 和 X X 1 . 000 1 . 000 22 12
由规范查出地震影响系数 1
（3）计算底部剪力
Geq 0.85 Gi
i 1 n
FEk 1 Geq
2
（4）是否考虑顶部附加地震作用
如果T1 1.4Tg ，则 n 0
如果T1 1.4Tg ，则 n 查表3.4。
顶部附加地震作用Fn为： Fn n FEk
该结果与采用频率方程得到的结果相比，有误差。 为了提高精度，作如下修正计算。
7
底部剪力法解答——续
修正计算：
先计算各质点的惯性力：
I1 12 m1 X 1 60 0.0216512 1.29912 I 2 12 m2 X 2 50 0.0378912 1.894512
顶部附加地震作用Fn为： Fn n FEk 0.0986 106.1 10.5 kN
11
底部剪力法解答——续
（5）计算各质点上水平地震作用
F1 G1 H1
G H
j 1 j
2
FEk (1 - n )
j
60 9.8 4 106.2 (1 0.0986) 35.9 kN 60 9.8 4 50 9.8 8 GH F2 2 2 2 FEk (1 - n ) GjH j
再计算惯性力作用下质点的位移：
I1 I 2 (1.299 1.8945)12 2 4 1 0 . 6387 10 1 k1 5 104 I 2 1.894512 2 4 2 0 . 6315 10 1 k2 3 104
X 1 1 0.638712 104 X 2 1 2 1.270212 104
1 G1 G2 (60 50) 9.8 0.02156 4 k1 5 10 G2 50 9.8 0.01633 4 k2 3 10
G2
X2
k2
G1
X1
k1
2
已知：m1 60t，m2 50t
X1 1 0.02156 X 2 1 2 0.02156 0.01633 0.03789
水平地震作用
层间地震剪力
13
例题
图示框架结构。设防烈度为8度，I类建筑场地，特征周期 分区为一区。试用振型分解反应谱法计算该框架的层间地 震剪力。
m2 50t
k 2 3 104 kN m
m1 60 t
k1 5 104 kN m
14
振型分解反应谱法
1. 求结构动力特性
由频率方程： [k ] 2 [m] 0 求得： 1 17.54 rad / s
（2）计算振型参与系数
20
振型分析反应谱法解答——续
（3）计算水平地震作用 F2i 2 2 X 2i Gi ( i 1, 2 )
F21 2 2 X 21G1 0.16 0.233 1.71 60 9.8 37.5 kN F22 2 2 X 22G2 0.16 0.233 (1) 50 9.8 18.3 kN
振型分析反应谱法——续
计算各振型对应的周期： 2 T1 0.358 s 1 17.54 2 T2 0.156 s 2 40.32 2. 确定地震参数 2 2
由设防烈度8度查出 max 0.16
由I类场地和一区查出 Tg 0.25
16
振型分析反应谱法解答——续
6. 底部剪力法的计算步骤
（1）计算结构基本周期
通常采用能量法公式：
n
T1
2
1
2
m u
i 1 n i 1
2 i i
g mi ui
2
2 G u ii
n
G u
i 1
i 1 n
i i
1
（2）确定地震参数
由设防烈度查表出水平地震影响系数 max
由场地类别和特征周期分区查表出特征周期 Tg
0.25 max 0.359 0.16 0.1158
0.9
（2）计算振型参与系数
1
m X
i 1 n i 1 i
n
1i
2 m X i 1i
60 0.488 50 1 1.23 2 2 60 0.488 50 1
j 1
50 9.8 8 106.2 (1 0.0986) 59.8 kN 60 98 4 50 9.8 8
12
底部剪力法解答——续
（6）层间地震剪力
F2 59.8 F1 35.9
Fn 10.5
V2 F2 Fn 70.3
V1 F1 F2 Fn 106.2
8
底部剪力法解答——续
最后计算基本频率和基本周期：
1
I u
i 1 n i 1
n
i i
2 m u ii
(1.299 0.6387 1.8945 1.2702)14 10 4 17.5433 rad / s 2 2 2 4 2 60 0.6387 50 1.2702 ) (1 10 )
n i 1
Baidu Nhomakorabea
FEk 1 Geq 0.1158 916 106.1 kN
（4）是否考虑顶部附加地震作用
因为T1 0.358s 1.4Tg 0.35s ，则查表3.4得：
n 0.08T1 0.07 0.08 0.358 0.07 0.0986
3. 对各个振型计算水平地震作用
第 1 振型
(1) 确定地震影响系数1
因为Tg T1 5Tg Tg 所以取反应谱的曲线下降段： 1 T 1 取阻尼系数 0.05，则 0.9 max
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振型分析反应谱法解答——续
Tg 因此： 1 T 1
k1 5 104 kN m
k 2 3 104 kN m
6
底部剪力法解答——续
采用能量法公式计算：
2
T1
1
2
m u
i 1 n i 1
n
2 i i
g mi ui
60 0.02165 2 50 0.03789 2 2 0.355 s 9.8 (60 0.02165 50 0.03789)
（4）计算第1振型时的层间地震剪力
由式V1i F1k 得： V11 F11 F12 110.7 kN
k i
n
V12 F12 69.8 kN
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振型分析反应谱法解答——续
第 2 振型
( 1 ) 确定地震影响系数 2
因为0.1s T2 0.156s Tg 0.25s 所以取反应谱的水平段： 2 max
5. 层间地震剪力图
m2 m1
V12 69.8 V22 18.3 V2 72.2
V11 110.7
V21 19.2
V1 112.4
第1振型的剪力
第2振型的剪力
组合后的剪力
23
Thank you for your attention !
（5）计算各质点上水平地震作用
Fi H i Gi
H G
j 1 j
n
FEk (1 - n )
j
( i 1, 2, , n )
3
（6）计算层间剪力
Vi Fk
k i n
( i 1, 2,, n )
绘制层间地震剪力图。
（7）顶部小屋的地震作用FD
FD 3Fn
这时顶部附加地震作用Fn应加在主体结构的顶部。
2 T1 0.358 s 1 17.5433
2
该计算结果与采用频率方程得到的结果相同。
9
底部剪力法解答——续
（2）确定地震参数
由设防烈度8度查出 max 0.16
由I类场地和一区查出 Tg 0.25
确定地震影响系数1 :
因为Tg T1 5Tg， 同时取阻尼系数 0.05，则 0.9 所以取反应谱的曲线下降段：
（4）计算第2振型时的层间地震剪力
由式V2i F2 k 得： V21 F21 F22 19.2 kN
k i
n
V22 F22 18.3 kN
21
振型分析反应谱法解答——续
4. 通过振型组合计算层间地震剪力
Vi
2 V ji （i 1, 2, , n） j 1 m
4
例题
图示框架结构。设防烈度为8度，I类建筑场地，特征周期 分区为一区。试用底部剪力法计算该框架的层间地震剪力。
m2 50t
k 2 3 104 kN m
m1 60 t
k1 5 104 kN m
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底部剪力法解答
（1）计算结构基本周期
采用能量法计算结构的基本周期。
计算重力荷载Gi 水平作用时的层间位移：
Tg 因此： 1 T 1 0.25 max 0.359 0.16 0.1158
10
0.9
底部剪力法解答——续
（3）计算底部剪力
Geq 0.85 Gi 0.85 (60 50) 9.8 916 kN
18
振型分析反应谱法解答——续
（3）计算水平地震作用
F1i 1 1 X 1i Gi
( i 1, 2 )
F11 1 1 X11G1 0.1158 1.23 0.488 60 9.8 40.9 kN F12 1 1 X12G2 0.1158 1.23 1 50 9.8 69.8 kN
V1
2 2 2 2 2 V V V 110 . 7 19 . 2 112.4 kN j1 11 21 j 1
m
V2
2 2 2 2 2 V V V 69 . 8 ( 18 . 3 ) 72.2 kN j2 12 22 j 1
m
22
振型分析反应谱法解答——续
2 40.32 rad / s
由振型向量方程 ( [k ] 2 j [ m] ) X j 0 X 11 0.488 X 21 1.710 求得振型： 和 X X 1 . 000 1 . 000 22 12
由规范查出地震影响系数 1
（3）计算底部剪力
Geq 0.85 Gi
i 1 n
FEk 1 Geq
2
（4）是否考虑顶部附加地震作用
如果T1 1.4Tg ，则 n 0
如果T1 1.4Tg ，则 n 查表3.4。
顶部附加地震作用Fn为： Fn n FEk
该结果与采用频率方程得到的结果相比，有误差。 为了提高精度，作如下修正计算。
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底部剪力法解答——续
修正计算：
先计算各质点的惯性力：
I1 12 m1 X 1 60 0.0216512 1.29912 I 2 12 m2 X 2 50 0.0378912 1.894512
顶部附加地震作用Fn为： Fn n FEk 0.0986 106.1 10.5 kN
11
底部剪力法解答——续
（5）计算各质点上水平地震作用
F1 G1 H1
G H
j 1 j
2
FEk (1 - n )
j
60 9.8 4 106.2 (1 0.0986) 35.9 kN 60 9.8 4 50 9.8 8 GH F2 2 2 2 FEk (1 - n ) GjH j
再计算惯性力作用下质点的位移：
I1 I 2 (1.299 1.8945)12 2 4 1 0 . 6387 10 1 k1 5 104 I 2 1.894512 2 4 2 0 . 6315 10 1 k2 3 104
X 1 1 0.638712 104 X 2 1 2 1.270212 104
1 G1 G2 (60 50) 9.8 0.02156 4 k1 5 10 G2 50 9.8 0.01633 4 k2 3 10
G2
X2
k2
G1
X1
k1
2
已知：m1 60t，m2 50t
X1 1 0.02156 X 2 1 2 0.02156 0.01633 0.03789
水平地震作用
层间地震剪力
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例题
图示框架结构。设防烈度为8度，I类建筑场地，特征周期 分区为一区。试用振型分解反应谱法计算该框架的层间地 震剪力。
m2 50t
k 2 3 104 kN m
m1 60 t
k1 5 104 kN m
14
振型分解反应谱法
1. 求结构动力特性
由频率方程： [k ] 2 [m] 0 求得： 1 17.54 rad / s
（2）计算振型参与系数
20
振型分析反应谱法解答——续
（3）计算水平地震作用 F2i 2 2 X 2i Gi ( i 1, 2 )
F21 2 2 X 21G1 0.16 0.233 1.71 60 9.8 37.5 kN F22 2 2 X 22G2 0.16 0.233 (1) 50 9.8 18.3 kN