证券市场线推导

证券市场线

一、证券市场线与证券风险的测定。 在资本定价模型P M

F

M F P r r E r r E σσ-+

=)()(中，组合期望收益率)(P r E 由纯利

率F r 和风险贴水p e r σ两部分组成，P σ越大，)(P r E 越高。我们关心的是单个证券对P σ的贡献有多大，进而对)(P r E 方有多大的贡献。由于有效组合的风险组合即为市场证券组合，所以：

N M

N M M M r x r x r x r +++= 3322

),(),(33222M N M N M M M M M r r x r x r x Cov r r Cov +++== σ

可见，证券对方差2M σ的贡献部分为),(M i r r Cov ，一般用贡献率来表示，有

)6.7()

,cov(2

M

M i i r r σ

β=

为了揭示单个证券i 对有效组合方差的贡献与其带来的收益率之间的关系，我们需讨论i 与市场组合M 的关系来解释这样的问题：证券i 的收益率与i β之间存在何种关系？记组合Z 为证券i 与市场组合M 的组合，则有

1

)

()()(.=++=+=M i M M i i Z M

M i i Z x x r E x r E x r E r x r x r (7.7)

证券i 与市场组合M 的组合Z 满足：

()9.7)

,cov()1(2)1()

8.7()()1()()(22

222M i i i M

i i

i

Z

M i i i Z r r x x x x r E x r E x r E -+-+=-+=σ

σσ

(7.8)和(7.9)构成了曲线m z i

，这条曲线含有i 与M 的所有可行组合，所以肯

定落在所市场证券组合的可行域中(由曲线L 围成)又因为m z i

经过M 点，且又不

能越过资本市场线FM ，所以m z i

在M 点处只能与FM 相切，故有相同的斜率

M

F

M e r r E r σ-=

)(

图7-4：SML 的推导

2

2

222

222)]()([)(0)12.7()2()]()([.)()()

11.7()()()

()

10.7()2(M

iM M

M i z

M Z

Z i M

iM iM M i i z M i z i

i Z z Z M i i Z M iM iM M

i i i Z c r E r E d r dE x M c c x r E r E d dx dx r dE d r dE r E r E dx r dE c c x dx d σσσσσσσσσσσσσσ--=

=-+-+-==∴

-=-+-+=

=点处，有在又

)

14.10(].)([)(.)()()()(])()[()]()([)

13.10()(.)()()

(2

2

22

2M 2

i

F M F i iM

M

F

M F i F

M F iM M iM i M F M M iM M i M F

M M M

iM M i e

Z

Z r r E r r E C r r E r r E r r C r E C r E r r E C r E r E r r E C r E r E r d r dE M βσ

σσσσσσσσ-+=-+

=+-=--=--=--=即

化简有：即

点处，而在

(7.14)表现的即为单个证券的证券市场线，M i r r = ，即证券i 为市场证券组合M 时，1=M β，故证券市场线经过(1，E(r M ))点，同时，0=i β，即F i r r =时，

F i r r E =)(，经过(0，r F )，因为0证券市场线适合无风险证券F 。

对于任一证券组合P ，同样可导出

)15.10(].)([)(P

F M F P r r E r r E β-+=

∑===∑=

∑==N

i M i

i M

M i i P i i M

M P P r x x r r x r x P r r 2

12P N 212

)

0),cov((.)

,cov(,r )x ,x ,(x ,)

,cov( βσβσβ故

有

的权数为若其中：

由于P 可以是有效组合，也可是非有效组合，而P 亦落在SML 上，可以认为SML 包含了单个证券或任意证券组合的风险与收益关系，这和资本市场线有一定区别，因资本市场线只会含有效组合，不含非有效组合。

二、证券市场线与等期望收益率

由于SML 包含有效或无效组合，而不同的证券组合可能有相同的β系数，则两个(多个)组合可能落在SML 的同一点上。如F 点，代表无风险证券，也代表零β-系数的组合。零-β系数的组合对市场组合的贡献为0，但总风险不一定

为0，也就是说可能存在系统风险为0，非系统风险不为0的无效组合，这个组合的期望收益率为r F ，但没有象无风险证券那样的恒定的收益率r F 。其它单个证券或证券组合也有同样境况，那么CML 和SML 之间有什么样的关系呢？下图

图7-5：CML 和SML 及等收益线

由于β系数作为风险测定值，与其对应的期望收益率有一一对应关系， 即∴---=

也确定，确定，则P P F

M F P F M P r E r r E r r E r r E ββ)(,)()()(1

所有期望收益

率相同的证券组合(有效或无效)都落在SML 的同一点上。考虑SML 的另一种形式：P F M F P r r E r r E β])([)(-+=

()()CML

SML r r r r r E r x r x r r r E r r r E r r r r r E r P

e F p P M

F

M M F p P

PM M

F

M F P

M PM M

F

M F M P M

F

M F ⇒+=⇒-+

=∴=∴+=-+=-+=-+

=由满足上的组合，有，均存在线性关系和上的点落在σσσρσρσσσρσ

σ

E .)(r )E(r :P CML 1M P CML ].)([

...)(),cov(.)(F P PM 2122

可以看出，有效组合是一类特定的证券组合，落在证券市场线上，故可由SML 推出CML ，即CML 包含在SML 中，是SML 的一个特例(前提1=ρ)