证券市场线推导
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证券市场线
一、证券市场线与证券风险的测定。 在资本定价模型P M
F
M F P r r E r r E σσ-+
=)()(中,组合期望收益率)(P r E 由纯利
率F r 和风险贴水p e r σ两部分组成,P σ越大,)(P r E 越高。我们关心的是单个证券对P σ的贡献有多大,进而对)(P r E 方有多大的贡献。由于有效组合的风险组合即为市场证券组合,所以:
N M
N M M M r x r x r x r +++= 3322
),(),(33222M N M N M M M M M r r x r x r x Cov r r Cov +++== σ
可见,证券对方差2M σ的贡献部分为),(M i r r Cov ,一般用贡献率来表示,有
)6.7()
,cov(2
M
M i i r r σ
β=
为了揭示单个证券i 对有效组合方差的贡献与其带来的收益率之间的关系,我们需讨论i 与市场组合M 的关系来解释这样的问题:证券i 的收益率与i β之间存在何种关系?记组合Z 为证券i 与市场组合M 的组合,则有
1
)
()()(.=++=+=M i M M i i Z M
M i i Z x x r E x r E x r E r x r x r (7.7)
证券i 与市场组合M 的组合Z 满足:
()9.7)
,cov()1(2)1()
8.7()()1()()(22
222M i i i M
i i
i
Z
M i i i Z r r x x x x r E x r E x r E -+-+=-+=σ
σσ
(7.8)和(7.9)构成了曲线m z i
,这条曲线含有i 与M 的所有可行组合,所以肯
定落在所市场证券组合的可行域中(由曲线L 围成)又因为m z i
经过M 点,且又不
能越过资本市场线FM ,所以m z i
在M 点处只能与FM 相切,故有相同的斜率
M
F
M e r r E r σ-=
)(
图7-4:SML 的推导
2
2
222
222)]()([)(0)12.7()2()]()([.)()()
11.7()()()
()
10.7()2(M
iM M
M i z
M Z
Z i M
iM iM M i i z M i z i
i Z z Z M i i Z M iM iM M
i i i Z c r E r E d r dE x M c c x r E r E d dx dx r dE d r dE r E r E dx r dE c c x dx d σσσσσσσσσσσσσσ--=
=-+-+-==∴
-=-+-+=
=点处,有在又
)
14.10(].)([)(.)()()()(])()[()]()([)
13.10()(.)()()
(2
2
22
2M 2
i
F M F i iM
M
F
M F i F
M F iM M iM i M F M M iM M i M F
M M M
iM M i e
Z
Z r r E r r E C r r E r r E r r C r E C r E r r E C r E r E r r E C r E r E r d r dE M βσ
σσσσσσσσ-+=-+
=+-=--=--=--=即
化简有:即
点处,而在
(7.14)表现的即为单个证券的证券市场线,M i r r = ,即证券i 为市场证券组合M 时,1=M β,故证券市场线经过(1,E(r M ))点,同时,0=i β,即F i r r =时,
F i r r E =)(,经过(0,r F ),因为0证券市场线适合无风险证券F 。
对于任一证券组合P ,同样可导出
)15.10(].)([)(P
F M F P r r E r r E β-+=
∑===∑=
∑==N
i M i
i M
M i i P i i M
M P P r x x r r x r x P r r 2
12P N 212
)
0),cov((.)
,cov(,r )x ,x ,(x ,)
,cov( βσβσβ故
有
的权数为若其中:
由于P 可以是有效组合,也可是非有效组合,而P 亦落在SML 上,可以认为SML 包含了单个证券或任意证券组合的风险与收益关系,这和资本市场线有一定区别,因资本市场线只会含有效组合,不含非有效组合。
二、证券市场线与等期望收益率
由于SML 包含有效或无效组合,而不同的证券组合可能有相同的β系数,则两个(多个)组合可能落在SML 的同一点上。如F 点,代表无风险证券,也代表零β-系数的组合。零-β系数的组合对市场组合的贡献为0,但总风险不一定
为0,也就是说可能存在系统风险为0,非系统风险不为0的无效组合,这个组合的期望收益率为r F ,但没有象无风险证券那样的恒定的收益率r F 。其它单个证券或证券组合也有同样境况,那么CML 和SML 之间有什么样的关系呢?下图
图7-5:CML 和SML 及等收益线
由于β系数作为风险测定值,与其对应的期望收益率有一一对应关系, 即∴---=
也确定,确定,则P P F
M F P F M P r E r r E r r E r r E ββ)(,)()()(1
所有期望收益
率相同的证券组合(有效或无效)都落在SML 的同一点上。考虑SML 的另一种形式:P F M F P r r E r r E β])([)(-+=
()()CML
SML r r r r r E r x r x r r r E r r r E r r r r r E r P
e F p P M
F
M M F p P
PM M
F
M F P
M PM M
F
M F M P M
F
M F ⇒+=⇒-+
=∴=∴+=-+=-+=-+
=由满足上的组合,有,均存在线性关系和上的点落在σσσρσρσσσρσ
σ
E .)(r )E(r :P CML 1M P CML ].)([
...)(),cov(.)(F P PM 2122
可以看出,有效组合是一类特定的证券组合,落在证券市场线上,故可由SML 推出CML ,即CML 包含在SML 中,是SML 的一个特例(前提1=ρ)