证券市场线推导

证券市场线
一、证券市场线与证券风险的测定。

在资本定价模型P M
F
M F P r r E r r E σσ-+
=)()(中，组合期望收益率)(P r E 由纯利
率F r 和风险贴水p e r σ两部分组成，P σ越大，)(P r E 越高。

我们关心的是单个证券对P σ的贡献有多大，进而对)(P r E 方有多大的贡献。

由于有效组合的风险组合即为市场证券组合，所以：
N M
N M M M r x r x r x r +++= 3322
),(),(33222M N M N M M M M M r r x r x r x Cov r r Cov +++== σ
可见，证券对方差2M σ的贡献部分为),(M i r r Cov ，一般用贡献率来表示，有
)6.7()
,cov(2
M
M i i r r σ
β=
为了揭示单个证券i 对有效组合方差的贡献与其带来的收益率之间的关系，我们需讨论i 与市场组合M 的关系来解释这样的问题：证券i 的收益率与i β之间存在何种关系？记组合Z 为证券i 与市场组合M 的组合，则有
1
)
()()(.=++=+=M i M M i i Z M
M i i Z x x r E x r E x r E r x r x r (7.7)
证券i 与市场组合M 的组合Z 满足：
()9.7)
,cov()1(2)1()
8.7()()1()()(22
222M i i i M
i i
i
Z
M i i i Z r r x x x x r E x r E x r E -+-+=-+=σ
σσ
(7.8)和(7.9)构成了曲线m z i
，这条曲线含有i 与M 的所有可行组合，所以肯
定落在所市场证券组合的可行域中(由曲线L 围成)又因为m z i
经过M 点，且又不
能越过资本市场线FM ，所以m z i
在M 点处只能与FM 相切，故有相同的斜率
M
F
M e r r E r σ-=
)(
图7-4：SML 的推导
2
2
222
222)]()([)(0)12.7()2()]()([.)()()
11.7()()()
()
10.7()2(M
iM M
M i z
M Z
Z i M
iM iM M i i z M i z i
i Z z Z M i i Z M iM iM M
i i i Z c r E r E d r dE x M c c x r E r E d dx dx r dE d r dE r E r E dx r dE c c x dx d σσσσσσσσσσσσσσ--=
=-+-+-==∴
-=-+-+=
=点处，有在又
)
14.10(].)([)(.)()()()(])()[()]()([)
13.10()(.)()()
(2
2
22
2M 2
i
F M F i iM
M
F
M F i F
M F iM M iM i M F M M iM M i M F
M M M
iM M i e
Z
Z r r E r r E C r r E r r E r r C r E C r E r r E C r E r E r r E C r E r E r d r dE M βσ
σσσσσσσσ-+=-+
=+-=--=--=--=即
化简有：即
点处，而在
(7.14)表现的即为单个证券的证券市场线，M i r r = ，即证券i 为市场证券组合M 时，1=M β，故证券市场线经过(1，E(r M ))点，同时，0=i β，即F i r r =时，
F i r r E =)(，经过(0，r F )，因为0证券市场线适合无风险证券F 。

对于任一证券组合P ，同样可导出
)15.10(].)([)(P
F M F P r r E r r E β-+=
∑===∑=
∑==N
i M i
i M
M i i P i i M
M P P r x x r r x r x P r r 2
12P N 212
)
0),cov((.)
,cov(,r )x ,x ,(x ,)
,cov( βσβσβ故
有
的权数为若其中：
由于P 可以是有效组合，也可是非有效组合，而P 亦落在SML 上，可以认为SML 包含了单个证券或任意证券组合的风险与收益关系，这和资本市场线有一定区别，因资本市场线只会含有效组合，不含非有效组合。

二、证券市场线与等期望收益率
由于SML 包含有效或无效组合，而不同的证券组合可能有相同的β系数，则两个(多个)组合可能落在SML 的同一点上。

如F 点，代表无风险证券，也代表零β-系数的组合。

零-β系数的组合对市场组合的贡献为0，但总风险不一定
为0，也就是说可能存在系统风险为0，非系统风险不为0的无效组合，这个组合的期望收益率为r F ，但没有象无风险证券那样的恒定的收益率r F 。

其它单个证券或证券组合也有同样境况，那么CML 和SML 之间有什么样的关系呢？下图
图7-5：CML 和SML 及等收益线
由于β系数作为风险测定值，与其对应的期望收益率有一一对应关系， 即∴---=
也确定，确定，则P P F
M F P F M P r E r r E r r E r r E ββ)(,)()()(1
所有期望收益
率相同的证券组合(有效或无效)都落在SML 的同一点上。

考虑SML 的另一种形式：P F M F P r r E r r E β])([)(-+=
()()CML
SML r r r r r E r x r x r r r E r r r E r r r r r E r P
e F p P M
F
M M F p P
PM M
F
M F P
M PM M
F
M F M P M
F
M F ⇒+=⇒-+
=∴=∴+=-+=-+=-+
=由满足上的组合，有，均存在线性关系和上的点落在σσσρσρσσσρσ
σ
E .)(r )E(r :P CML 1M P CML ].)([
...)(),cov(.)(F P PM 2122
可以看出，有效组合是一类特定的证券组合，落在证券市场线上，故可由SML 推出CML ，即CML 包含在SML 中，是SML 的一个特例(前提1=ρ)。