逐次插值逼近法
插值与逼近
l2 ( x) ( x x0 )(x x1 ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
l1 ( x) ( x x0 )(x x2 ) ( x1 x0 )(x1 x2 )
插值的概念
插值是由离散数据来构造一个函数的近似函数 的重要方法, 插值要求近似函数与被近似函数 在一些点处取相同的函数值,甚至导数值. 已知函数y=f(x)在[a, b]中n+1个互异点x0, x1, …, xn上的函数值分别为f(x0), f(x1), …, f(xn) ，构造 一个简单的函数P(x)，满足条件 P(xi)=f(xi) (i=0,1,…n) (*) 称这类问题为插值问题，称P(x)为函数f(x)的插 值函数， f(x)为被插值函数，点x0, x1, …, xn为 插值节点，称(*)为插值条件.
由差均的定义 f(x)=f(x0)+f[x0,x](x-x0) f[x0,x]=f[x0,x1]+f[x0,x1,x](x-x1) f[x0,x1,x]=f[x0,x1,x2]+ f[x0,x1,x2, x](x-x2) …… f[x0,x1,…,xn-1, x]= f[x0,x1,…,xn]+ f[x0,x1,…,xn, x](x-xn) 反复将后一式代入前一式得 f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) +…+ f[x0,x1,…,xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn-1) + f[x0,x1,…,xn, x](x-x0)(x-x1)…(x-xn)
f ''( ) E ( x) f ( x) L1 ( x) ( x x0 )( x x1 ) 2! ( x1 x0 )2 E( x) f ( x) L1 ( x) max f ''( x) 8 a x b
第6讲(1)插值
8
其中 Ai 为待定系数，利用li ( xi ) = 1可解得：
Ai = ( xi − x0 )
1 ( xi − xi−1 )( xi − xi+1 )
(xi − xn )
从而
∏ li ( x) =
j≠i
x − xj xi − x j
基本插值函数 (插值基函数)
9
2-2 Lagrange 插值多项式
数类，插值函数 P( x) 满足 P( xi ) = yi (i = 0, , n) ， 即
a0ϕ0 ( xi ) + a1ϕ1 ( xi ) + + anϕn ( xi ) = yi , i = 0, , n
6
若插值基函数{ϕ
i
(
x
)}n i=
0
线性无关，则上述方程组
有唯一的解{ai
}n i=
0
(3)
P(xk ) = I1,
,n ( xk
)
xk x1
− xn+1 − xn+1
+
I2,
,n+1 ( xk
)
xk − x1 xn+1 − x1
=
f
( xk
)
xk x1
− −
xn +1 xn +1
+
f
( xk
)
xk − x1 xn+1 − x1
=
f (xk )
(2 ≤ k ≤ n)
23
注 由上述性质可知， P(x) 是 f (x) 的关于节点 x1, , xn+1的 n 次插值多项式. 它实质上是对两个 n −1次的插值多项式，再经过线性插值求出的.
51单片机adc0809模数转换器逐次逼近法的实现原理
51单片机adc0809模数转换器逐次逼近法的实现原
理
51单片机ADC0809模数转换器采用逐次逼近法实现模数转换。
逐次逼近法的原理是，从高位到低位逐位比较，根据比较结果不断调整待转换的数字量，直到找到一个数字量使其对应的模拟量与输入的模拟量相等或最大程度接近。
在ADC0809模数转换器中，逐次逼近法的实现过程如下：
1. 将最高位（MSB）设置为1，其余位为0，形成起始转换数字量。
2. 将该数字量输入比较器，与输入的模拟量进行比较。
3. 根据比较结果，调整数字量的最高位：如果模拟量大于数字量，则将最高位清0；否则保持为1。
4. 保持其余位不变，将调整后的数字量再次输入比较器进行比较。
5. 重复步骤3和4，直到比较器的输出为稳定状态（即最高位不再变化），此时得到的就是输入模拟量的近似值。
通过逐次逼近法，ADC0809模数转换器能够实现高精度的模数转换，并且具有较快的转换速度。
插值与逼近
插值与逼近一插值多项式有时候我们只知道函数f(x)在区间［a,b ］上的一系列点的函数值，即知道i i y x f =)(，而不知道它在区间［a,b ］上的具体的函数表达式。
所以，无法研究该函数在其它点上的函数值的变化；也有些时候在［a,b ］区间上的函数)(x f 的表达式十分复杂，不便于利用函数的表达式研究问题。
插值法就是构造插值函数)(x p y =去近似被插值函数)(x f y =，使之满足插值条件)(i i x p y =。
通常我们构造插值多项式。
插值多项式就是利用一些已知的函数值所做的既能反映原来函数的主要性质，又有简单形式的一种较好的替代函数。
求插值多项式的基本思想：设函数)(x f 在区间［a,b ］上连续。
已知它在],[b a 上1+n 个互不相同的点nx x x ,,,10Λ处的值n y y y ,,,10Λ。
如果多项式)(x p 在点i x 上满足),,1,0()(n i y x p ii Λ==则称)(x p 是函数)(x f 的插值多项式。
在本章中讨论拉格朗日插值多项式、牛顿插值多项式、埃尔米特插值多项式和分段插值多项式。
1. 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值法是最基本、最常用的插值方法，也是其他插值方法的基础。
我们讲授的拉格朗日插值多项式包括线性插值多项式、抛物线插值多项式和n 次插值多项式拉格朗日插值多项式的公式为：)())(()()()())(()()()()()()()()()(1101000110n i i i i i i i n ini i i ni i i n n o n x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x y x l y x l y x l y x l x L -⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-='-⋅⋅⋅--='-==+⋅⋅⋅++=+-==∑∑ωωωω其中基函数的公式为：),...,2,1()()()())...()()...()(())...()()...()(()(11101110n i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l i i n i i i i i i i n i i i ='-=----------=+-+-ωω余项公式为),()()!1()()()()(1)1(b a x n f x P x f x R n n n n ∈+=-=++ξωξ其中拉格朗日插值多项式计算步骤:⑴ 准确计算插值基函数。
第六章 逐次逼近法lz
x1 x 2 x3
( k 1)
0 0 1 2 x1 0.1 0 0 0.1 0 ( 1 0 2 x 2 0 0 0.2 1 1 0 x3
L+U
(k )
(k )
第六章 逐次逼近法
第一节
解线性方程组的迭代法
二、Jacobi迭代法
1.解线性方程组的迭代法：将联立方程组的求解归结为重
复计算一组彼此独立的线性表达式，从而简化问题。 考察一般形式的线性方程组： aij x j bi
j 1 n
(i=1~n)
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2 a 0 ii ... ... ... ... an1 x1 an 2 x2 ... ann xn bn
7.2 8.3 ) 4.2
据此可以建立迭代公式如下：
x1 x 2 x3
( k 1)
0 0.1 0.2 x1 0.72 0.1 0 0.2 x2 0.83 0.2 0.2 0 x3 0.42
解线性方程组的迭代法
二、Jacobi迭代法
(k=0~+∞)
(k 1) (k ) ( k ) 1 1 x D (L U ) x D b BJ x f J
(k ) (k ) * * 若x x ，即： x x lim
k
(k＋1) ( k ) 对x ＝BJ x f J 两边取极限：x*＝BJ x* f J
1 x [b a x ] a
第三章、逐次逼近法
第三章 逐次逼近法1.1内容提要1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。
2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。
4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --=Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()(超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。
5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。
7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
计算方法(三)逐次逼近法
由于
lim x ( k 1) B lim x ( k ) f
k
k
* x 所以收敛迭代法的极限向量 满足
x* Bx* f
即为方程组（3-2）的解，从而也是（3-1）的解。
3.1.1 简单迭代法
简单迭代法也称基本迭代法。设线性方程组形如
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
an1x1 an2 x2 ann xn bn
其中矩阵 A (aij ) nn 非奇异，且
aii 0 (i 1, 2, , n) 。
对上式移项和变形后可得等价的方程组：
1 b1 a12 x2 a1n xn a11 1 xi bi ai1 x1 aii1 xi 1 aii1 xi 1 ain xn aii 1 bn an1 x1 ann1 xn1 xn ann
迭代法（3-5）或（3-6）称为Jacobi迭代法。
例1
将线性方程组
8 x1 3 x2 2 x3 20 4 x1 11x2 x3 33 2 x x 4 x 12 3 1 2
解：写成Jacobi迭代格式（3-5）：
1 x1 3x2 2 x3 20 8 1 x2 4 x1 x3 33 11 1 x3 2 x1 x2 12 4
而 ε (0) x (0) x* 是一个非零的常向量，因此
k
lim B k 1 On n （零矩阵）
定理 3.1
lim ε ( k ) 0 ( 即 k
( xi( k ) xi* , i 1, 2, , n )
逐次插值逼近法
'(0 ) k
2
2 ( ( k ) (0 ) '(0 ) k )
k
将其作为新的
这是一个插值法与充分下降条件 组合起来的线性搜索方法.
,
这个方法开始时,令 1, 如果 x k (即后退),一直到
xk d k
d k 不可接受，则减少
可接受为止.
f ( xk ) k g k d k
T
f ( x k ) (1 ) k g k d k
T
0
b c a [b,c]称为可接受区间
Wolfe准则
用下面的条件代替
g k 1 d k g k d k , ( ,1)
T T
曲率条件
即
'( k 1 ) g ( xk k d k ) d k
停止迭代， 步3 若检验准则 ( k ) (0) (1 ) k '(0) 成立， 输出 ; 否则，令a k 1 : k , b k 1 b k .若 b k 1 m ax ,
k
转步4； 否则，令 步4
k 1 : t k , k : k 1, 转步2；
T
f ( xk k d k ) f ( xk ) (1 ) k g k d k
T
( k ) (0) k '(0)
( k ) (0) (1 ) k '(0)
Goldstein准则算法
步1 选取初始数据.给出初始搜索区间 [ a 0 , b0 ], 给出初始点
k , x k 1 : x k k d k
k
拉格朗日插值_逐次线性插值法 (2)
第二章 插值与拟合
例2.1 已知 100 10 , 121 11 , 利用线性插值求 y 115
解: 这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, 利用线 性插值
x 121 x 100 L1 ( x) 10 11 100 121 121 100
第二章 插值与拟合
例1：已知x0=100, x1=121, x2=144, 求 f ( x)
x
在x=115时的近似值。
x 121 x 100 L1 ( x ) 10 11 100 121 121 100
x 144 x 121 ~ L1 ( x ) 11 12 121 144 144 121
为克服这一缺点，通常可用逐次线性插值方法求得高次插 值。例如在例2.1-2.1*中：
115 121 115 100 11 10.714 100 121 121 100 115 144 115 121 ~ 115 L1 (115) 11 12 10.739 121 144 144 121 115 L1 (115) 10
x x0 x x1 x x2 x x3 x x4
第二章 插值与拟合
例：已知 sin 1 , sin 1 , sin 3 6 2 4 2 3 2 分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值和牛顿插 值计算 sin 50。
最优化方法第三章-孙文瑜
Fnk k ak (1 )(bk a k ) Fnk 1
Fn k 1 k a k (bk a k ), k 1,2,, n 1 Fn k 1 Fn k k ak (bk a k ), k 1,2,, n 1 Fn k 1
25
2018/12/11
3.2.2 Fibonacci法
另一种与0 .618 法相类似的分割方法叫Fibonacci 法. 它与0 .618 法的主要区别之一在于: 搜索区间长度的 缩短率不是采用0 .618 而是采用Fibonacci 数. Fibonacci 数列满足 F0 F1 1
Fk 1 Fk Fk 1 , k 1,2 Fibonacci 法中的计算公式为
N
1
2
1 2
Y
* (t * )
a t1 , t1 t 2 ,
1
最优化方法 3.3 逐次插值逼近法
( )
q( )
1
2 *
3
3.3 逐次插值逼近法
q( ) 如何求？
3.3 逐次插值逼近法
=
3.3 逐次插值逼近法
3.3 逐次-1
( ) q( )
1 2
*
3
3.3 逐次插值逼近法
2-2
q( ) ( )
1
* 2
3
3.3 逐次插值逼近法
3-1
( ) q( )
1
*
2
3
3.3 逐次插值逼近法
3-2
( )
q( )
1
2 *
3
3.3 逐次插值逼近法
t0=1.5,
3.3 逐次插值逼近法
• 两点二次插值法（I）
3.3 逐次插值逼近法
3.3 逐次插值逼近法
3.3 逐次插值逼近法
• 两点二次插值法（II）
3.3 逐次插值逼近法
• 三次插值法
小结
• 线性搜索（0.618法和Fibonacci方法） • 逐次插值逼近法（三点二次插值法，两
线性搜索与信赖域方法
3.3 逐次插值逼近法 3.4 精确线性搜索方法的收敛性
3.3 逐次插值逼近法
1.三点二次插值法 2.二点二次插值法
3.3 逐次插值逼近法
三点二次插值法
思想：在极小点附近，用二次函数q() 逼近( ) ，令q( )与 ( ) 在三点1 2 3 处有相同的 函数值，并假设 (1 ) (2 ),(3 ) (2 )
数值方法中的数值逼近和插值
截断误差：由于在近 似计算中省略高阶项 或无穷项而产生的误 差，取决于截断方式 和截断点。
传播误差：由于逼近过 程中误差的累积和传递 而产生的误差，取决于 逼近方法和逼近步骤。
数据拟合：通过 数值逼近方法， 对数据进行拟合， 以得到更精确的 模型。
函数近似：对于 一些难以解析表 达的函数，可以 使用数值逼近方 法进行近似计算。
数值逼近在金融、工程等领域有广 泛应用
添加标题
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插值适用于数据分析和预测
添加标题
添加标题
插值在统计学、机器学习等领域有 广泛应用
汇报人：XX
数值逼近在科学 计算、工程、金 融等领域有广泛 应用。
线性逼近：通过线性函数逼近 目标函数
多项式逼近：利用多项式逼近 目标函数
插值法：通过已知点插值得到 逼近函数
最小二乘法：通过最小化误差 平方和得到逼近函数
逼近误差：由于近 似计算而产生的误 差，取决于逼近方 法和逼近精度。
舍入误差：由于计算 机表示精度限制而产 生的误差，取决于数 值的表示精度。
数值逼近的误差来源：近似函数的选择、逼近方法的限制等 插值的误差来源：插值基函数的选择、数据点的数量和分布等 数值逼近与插值误差的比较：在某些情况下，数值逼近的误差可能比插值更小，反之亦然 应用场景：数值逼近适用于快速近似计算，插值适用于需要精确数据的场景
数值逼近适用于近似计算和数学建 模
数值积分：利用 数值逼近方法， 对积分进行近似 计算，以提高计 算精度。
微分方程求解： 在求解微分方程 时，可以使用数 值逼近方法来近 似求解。
插值是根据已知 的离散数据，通 过数学方法找到 一个连续函数， 使该函数在离散 点上与已知数据 一致。
插值方法广泛应 用于数值计算、 数据分析、图像 处理等领域。
第6章 逐次逼近法
赣南师范学院数学与计算机科学学院
• 迭代矩阵 记
A D L U
0 a11 D 0 ann
0 0 a21 0 L 0 a ann 1 0 n1
a1n 0 a12 0 U 0 an 1n 0 0
赣南师范学院数学与计算机科学学院
( k 1) x1 x ( k 1) 2 ( k 1) xn
格式很简单：
1 (k ) (k ) (a12 x2 a1n xn b1 ) a11 1 (k ) (k ) (k ) (a21 x1 a23 x3 a1n xn b2 ) a22 1 (k ) (k ) (an1 x1 an n 1 xn 1 bn ) ann
赣南师范学院数学与计算机科学学院
2 1 1 A 1 1 1 1 1 2
1、Jacobi迭代
0 1/ 2 1/ 2 B D 1 ( L U ) 1 0 1 1/ 2 1/ 2 0
特征值为
5 I B 0 4
Ps ( )
，则
Ps ( ) I G I ( D L) 1U ( D L) 1 ( D L) U
A D L U 为对角占优阵，则 1 时 ( D L) U (D L) U 0 即 Ps ( ) 0
证明：
G D1 ( L U ) aij G max 1 aij aii i j i aii j i aij G 1 max 1 i i j aii
② A为列对角占优阵，则AT为行对角占优阵，有
逼近法的相关分析
逼近法的相关分析一、二分逼近法二分逼近法是微积分学中的重要工具，适用于绝大部分的基本定理证明问题当中，是逼近法中最简单明了的一种形式。
二分逼近法在定理或者问题论证中的应用应当遵循一个思想：想要找到一个具有某性质p的实数，可以兴义个具有相应性质p*的闭区间出发，然后主次进行二等分，进而得到一个始终保持p*的闭区间列，将这个闭区间列的两个端点值进行分类，形成左右两个夹逼数列，这样就可以将具有性质p的实数“夹逼”出来，这个实数是否存在可以根据对实数连续性的判断进行分析，避免出现“逼”空的状况。
简单的来说，就是先取一区间【x，x】，若函数在此区间单调变化，可根据f（x），f（x）是否同号来判断方程在此区间是否有根。
若在此区间有根，可采取二分法蒋区间【x，x】一分为二重复上述过程判断哪一个小区间有根。
若没有，则可改变x1，x2的值，即区间范围。
如此下来，则不断接近方程的根。
二、逐次逼近法逐次逼近法也是逼近法中的一种重要论证方法，在各个学科领域中具有广泛的应用，它的数值计算是从一个较为粗糙的近似解开始的，利用某个固定的公式对近似解进行逐次加工，不断进行精化，进而得到一个安祖精度要求的近似解。
通常用于微分方程解存在的唯一想定理论证及二项分布的计算方法当中，除此之外，在破解技术难题当中也发挥着重要作用。
在微分方程的研究过程中，发现需要求得方程的精确解很难，只有少部分的微分方程可以求得，所以，求得微分方程的近似解对于微分方程的研究发展具有重要意义。
由于微分方程中含有一阶或者高阶、显性和隐性几种不同的方程组，在求解过程中所采用的具体求解方法会有所不同，但是，解的存在和唯一是求近似解的前提和理论基础，这一原则是不会改变的，在实际应用过程中，可以根据论证方法提供的求近似解途径进行求解。
三、一次同余式组的逐步逼近解法求解一次同余式组的传统方法是剩余定理求解法，这种方法随着技术的发展不断被淘汰，在求解过程中的兼容性较差，需要计算的计算量比较大，且当出现一次同余式组中增加了一个式子的状况，利用剩余定理求解需要对式子进行重新计算，原来的计算结构将作废，这样严重浪费时间和精力，兼容性太差。
逐次逼近法(4)
Dx(k +1) = (1 − ω )Dx(k ) + ω (Lx (k +1) + Ux(k ) + b) (D − ωL)x(k +1) = ((1 − ω )D + ωU )x(k) + ωb
x(k+1) = ( D − ωL)−1 ((1 − ω )D + ωU )x( k) + ω (D − ωL)−1 b ----(6
(3)对迭代格式进行Altken加速(11)式
x(1) k
=
xk3 + 1 3
x(2) k
=
( xk(1) )3 3
+
1
xk +1
=
xk(2 )
−
( xk(2 ) − xk(1) )2 xk(2 ) − 2 xk(1) + xk
迭代3次,得到满足精度的解
x = 0.347296
x0 = 0.5 x1 = 0.3451613 x2 = 0.3472961 x3 = 0.3472964
上式的迭代函数 ψ (x) = (1 − ω )x + ωϕ(x)
加入因子 ω k
xk与ϕ( xk ) 的加权平均
求导并令 ψ ′(x) = (1 − ω ) + ωϕ ′(x)= 0
得
ω
=
1 1 − ϕ ′( x)
因此有松弛迭代法:
1
ωk = 1 −ϕ ′( xk ) xk+1 = (1 − ωk )xk + ωkϕ(xk )
于是可以得到迭代格式:
x(1) k
=
ϕ ( xk
)
x(2) k
=
ϕ ( xk(1) )
§2.3 逐次线性插值法
© 2009, Henan Polytechnic University §3 逐次线性插值法
8 8
第二章 插值法
例2：已知f(x)=shx的值在下表左端，用Aitken插值求
sh0.23的近似值。
xi
f ( xi )
插值结果
0.00 0.20 0.30 0.50
0.000 0 0.20134 0.23154 0.30452 0.233465 0.52110 0.239706 0.60 0.63665 0.244049
I 0,1,,k ,l ( x ) I 0,1,,k ( x ) I 0,1,,k 1,l ( x ) I 0,1,,k ( x ) xl xk ( x xk ) (**)
上式是关于x的插值多项式，显然
I 0,1,,k ,l ( xi ) I 0,1,,k ( xi ) f ( xi )
第三节 逐次线性插值法
1
第二章 插值法
例1：已知x0=100, x1=121, x2=144, 求 f ( x)
x
在x=115时的近似值。
x 121 x 100 L1 ( x ) 10 11 100 121 121 100
x 144 x 121 ~ L1 ( x ) 11 12 121 144 144 121
I 0,1,,k ( xl )
f ( xl )
f ( xl ) I 0,1,,k ( xl ) xl xk
( xl xk )
从而证明了插值多项式(**)满足插值条件。我 们称(**)为Aitken（埃特金）逐次线性插值多 项式。
© 2009, Henan Polytechnic University §3 逐次线性插值法
逐次线性插值
+
f
(
xl
) − I 0,L,k xl − xk
(
xl
)
(xl
− xk ) =
f (xl ).
这就证明了（3.1）的插值多项式满足插值条件，我们称（3.1）式为埃特金（Aitken）逐次线性
插值公式。当 k = 0 为线性插值， k = 1 时插值节点为 x0 , x1, xl 插值多项式为
I 0,1,l
用抛物线插值计算：
sin
0.3367
≈
L2 (0.3367)
=
y0
(x ( x0
− −
x1)(x − x2 ) x1)(x0 − x2 )
+ y1
(x − x0 )(x − x2 ) (x1 − x0 )(x1 − x2 )
+ y2
(x − x0 )(x − x1) (x2 − x0 )(x2 − x1)
I 0,1,L,k ,l (x) = I 0,L,k ( x)
+
I 0,L,k −1,l ( x) − I 0,L,k xl − xk
(x)
(x
−
xk
).
这是关于节点 x0 ,L, xk , xl 的插值多项式。
（3.1）Leabharlann 下面要说明 I0,1,L,k,l (x) 满足插值条件： 首先： I0,1,L,k,l (x) 为 k +1 次插值多项式。 其次：对 i = 0,1,L, k −1，有
≈
L1 (0.3367)
=
y0
+
y1 x1
− −
y0 x0
(0.3367
−
x0 )
=
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x x1 x x3 f1 x2 x1 x2 x3
f3
f2
x x2 x x1 x3 x2 x3 x1
为求 x 的极小点， x 0 得： 令
x 1 x3 x2 f1 x1 x3 f 2 x2 x1 f 3
该方法也叫后退方法.
Armijo 准则算法
步0: 给出 (0, 2 ), 0 l 步1: 取 =1. 步2: 检验
f ( x k d k ) f ( x k ) g k d k
T
1
u 1.
是否满足 步3:如果上式不满足，取 : ,其中 l , u , 转步2 否则，取
step2： 计算
( ) 1 1 ',
1 2 (1
转step3；否则,由二次插值公式计算 :
令 2 : , : .转step2.
1 1
( 1 ) 1 '
)
step3： 计算 ' '( )
设在已知的三点
f xi f i ,
x1 x2 x3
处对应的函数值
y x ,
且满足
f1 f 2 , f 2 f 3 ,
过三点 x1 , f1 , x2 , f 2 , x3 , f3 作二次函数 即作一条抛物线， 则可推导出：
x x2 x x3 x x1 x2 x1 x3
的下 降”．
Goldstein准则
0
1 2
T f ( x k k d k ) f ( x k ) k g k d k 充分下降条件
f ( x k k d k ) f ( x k ) (1 ) k g k d k
T
k 不会取得太小
f
f ( xk )
值大于中间点的函数值的性质，利用新的点再 构造二次函数，继续进行迭代．
x1
x3 x2
x1
x2
x2
x3
x1
x x2
x3
x1
(1)
x1
(2)
x3
x3
x1
x
x3
x2
x1
x2
x1
x3
x
x2
x2 x
(3)
(4)
x3
x2
x1
x1 x 3 2
x1
x2
x3
x2
x3 x3
x1
x
x2 x3 x1 x2
x
(5)
2 2 2 2 2 2
2
x3 x2 f1 x1 x3 f 2 x2 x1
f3
若 x 充分接近 x2 , 即：x2 x 则把 x 作为近似极小点．
否则计算 f x
f,
找出
f2
和
f
之间的大者，
去掉 x1 或 x3 , 使新的三点仍具有两端点的函数
( x ) ax bx c
2
满足
( x1 ) f1 , ( x2 ) f 2 , '( x1 ) f '( x1 ).
为求 x 的极小点, 令 x 0 x 2 ) f '( x1 ) 2[ f '( x1 ) f1 f 2 x1 x 2 ]
不精确线搜索就是： 即在
xk
点确定了下降
方向 d k 后， 只计算少量的几次函数就可以得到 一个满足 f xk 1 f xk 的近似点
xk 1 .
不精确线搜索要求产生的点列具有某种收 敛性． 所以除了对下降方向 d k 有要求之外， 对步长 k 也有要求， 即要求目标函数要： “充分
f ( xk ) k g k d k
T
f ( x k ) (1 ) k g k d k
T
0
b c a [b,c]称为可接受区间
Wolfe准则
用下面的条件代替
g k 1 d k g k d k , ( ,1)
T T
曲率条件
即
'( k 1 ) g ( xk k d k ) d k
f ( xk d k )
f ( xk ) k g k d k
T
f ( x k ) (1 ) k g k d k
T
0
b c a [b,c]称为可接受区间
设 ( ) f ( x k d k ),
f ( xk k d k ) f ( xk ) k g k d k
k
mk
.
由于d k 是下降方向,当m充分大时,上述不等式总是成立的,因此
m k 总是存在的.
k 不会太小,从而保证了目标函数的充分下降.
( k ) (0) k '(0).
如果下述条件满足,则终止搜索;否则,可以缩小 k 或者在区间 [0, k ]上用二次插值公式求近似极小点
x k 1 x k
( x k x k 1 ) f k ' f k 1 '
fk '
§ 3.5 不精确线性搜索方法
前面介绍的几种线搜索方法，都是为了获得 一元函数 f x 的最优解，所以习惯上称为精确 线搜索． 在解非线性规划问题中， 线搜索一般很难得到 真正的精确值． 因此， 不精确的线搜索开始日益受到重视．
, k : k 1, 转步2.
k 1
a k 1 bk 1 2
Wolfe 准则
f ( x k k d k ) f ( x k ) (1 ) k g k d k
T
的一个缺点是可能把极小点排除在可接受区间之外.
f
f ( xk )
f ( xk d k )
T
gk dk
T
'(0) '(0),
其几何意义是在可接受点处切线斜率 '( ) k 不小于初始斜率的 倍.
Wolfe准则：
f ( xk k d k ) f ( xk ) (1 ) k g k d k
T
g ( xk k d k ) d k g k d k
停止迭代， 步3 若检验准则 ( k ) (0) (1 ) k '(0) 成立， 输出 ; 否则，令a k 1 : k , b k 1 b k .若 b k 1 m ax ,
k
转步4； 否则，令 步4
k 1 : t k , k : k 1, 转步2；
| f 2 | 2 | f 2 | 2
收敛准则满足
| f 2 f | 1 f 2 | f 2 f | 1
3 5
1 10 , 2 10 .
f f2 f f2
极小点估计为
极小点估计为
x2 x
x
x2
两点二次插值法I
给出两个不同的点 x1 , x 2 , 函数值 f 1 f ( x1 ), f 2 f ( x 2 ) 及导数值 f '( x1 ) 或者 f '( x 2 ), 构造二次插值多项式
Armijo准则
设 d k 是 f ( x ) 在 x 处的下降方向，给定 (0,1), (0, 1 ), 0 . k 2 设 m k 是使得下述不等式
f ( xk d k ) f ( xk ) g k d k
m m T
成立的最小非负整数, 令
0 [ a 0 , b0 ]. 计算 (0 ), '(0 ), 给出 (0, ), t 1, k : 0 .
2
1
步2
计算 ( k ). 若检验准则 ( k ) (0) k '(0) 成立，
转步3； 否则令a k 1 : a k , b k 1 k , 转步4.
取
[0, m ax ], (0, 1 2 ),
( ,1). 令 1 0, 2 m ax , 计算 1 f ( x k ), 1 ' g ( x k ) T d k ,
(0, 2 ).
( ) f ( x k d k ). 若
1
2 (1
则 输出 , 停止迭代;否则由二次插值公式计算 :
1 1
( 1 ) 1 ' )
g ( x k d k ) d k . 若 ' 1 ',
T
令 1 : , 1 : , 1 ' : ', : , 转step2.
§ 3.3 逐次插值逼近法
插值法是一类重要的线性搜索方法，其基本思想是在 搜索区间中不断用低次(一般不超过三次)插值多项式 来近似目标函数，并逐步用插值多项式的极小点来逼 近函数的极小点。 当函数具有比较好的解析性质时，插值方法比直接 方法(0.618法，Fibonacci法，二分法)效果更好。
三点二次插值法（抛物线法） 我们可以用 在求一元函数的极小点问题上， 若干点处的函数值来构造一个多项式，用这个 多项式的极小点作为原来函数极小点的近似值． 抛物线法就是一个用二次函数来逼近 f x 的方法， 这也是我们常说的二次插值法．
k , x k 1 : x k k d k
T
f ( xk k d k ) f ( xk ) (1 ) k g k d k
T
( k ) (0) k '(0)