第2章固体结构

(21 1 1),(1 101),(3212),[21 1 1],[1213]
六方晶系按两种晶轴系所得的晶面指数和晶向指数可相 互转换。
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4、晶带
晶带：所有平行或相 交于某一晶向直线的 晶面构成一个晶带， 此直线称为晶带轴。 晶带定律：晶带轴 [uvw] 与该晶带的晶面 (hkl) 之 间 存 在 以 下关 系 hu+kv+lw=0
即：n
a3 N A
Ar
3 7.19 （0.288410-7） 6.0231023 1.9977 2 52.0 一个晶胞内的原子数为 2，故为bcc结构。
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3、配位数（CN）和致密度（K） 配位数：指晶体结构中任一原子周围最近邻且等距离的原 子数。 致密度：指晶体结构中原子体积占总体积的百分数。
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作业1：求（121）与（100）晶面所决定的晶带轴和（001） 与（111）所决定的晶带轴所构成的晶面的晶面指数。 答：
由（ 121）和（ 100）所决定的晶带轴为：
uvw
121 v - 2w，所以晶带轴为 [012] 100 由（001）和（ 111）所决定的晶带轴为：
uvw
001 -u v，所以晶带轴为 [110] 111 则两晶带轴构成的晶面 为： hkl 110 -2u - 2v - w，所以该晶面指数为（ 221） 012

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1）已知两个不平行的晶面（h1k1l1）和（h2k2l2），求其晶 带轴的晶向指数[uvw]，可由下式求得：
u v w u k1l2 k2l1 h1k1l1 v l1h2 l2 h1 h2 k2l2 w h1k2 h2 k1
推论：在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必 定是相互垂直的。如[111]垂直于(111)。

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例：求金刚石结构中通过（ 0,0,0 ）和（ 3/4,3/4,1/4 ）两 点决定的晶向，并求与该晶向垂直的晶面。 答：两点坐标相减后，将其化为一组互质的整数，晶向指 数为 [331] 。因为立方系中同名晶面和晶向互相垂直。则 （331）与[331]垂直。
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•
选取晶胞的原则：
晶胞几何形状充分反映点阵对 称性；
•
• •
平行六面体内相等的棱和角数 目最多；
当棱间呈直角时，直角数目应 最多； 满足上述条件，晶胞体积应最 小。

描述晶胞的形状和大小用6个 点阵参数来表达，即三个棱 边的边长a、b、c和棱间夹角 、、。
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根据点阵参数的相互关系，可将晶体划分为 7 个晶 系。布拉维用数学分析法证明晶体的空间点阵只有 14种，称为布拉维点阵。 同一空间点阵可因选取晶胞的方式不同而得出不同 的晶胞。 虽然空间点阵只可能有14种，但晶体结构则是无限 多的。这是因为空间点阵的每个阵点上，都可放上 一个“结构单元”，这个结构单元可以由各种原子、 离子、分子或原子集团、分子集团所组成，由于这 些结构单元是任意的，故晶体结构有无限多。
（ 4 ）将这 3 个坐标值化为最小整数 u ， v ， w ，加上方括号， [uvw]即为待定的晶向指数。如有一数为负，则将负号 标注在数字上方。
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晶向指数表示着所有相互平行、方向一致的晶向。
若两组晶向互相平行，方向相反，则这两组晶向指数 的数字相同，但符号相反。

晶体中因对称关系而等价的各组晶向可归并为一个晶 向族，用<uvw>表示。代表原子排列相同，空间位向 不同的所有晶向。 思考题：标定晶向指数 [311],[211],[113],[123]
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晶面间距：具有相同米勒指数的相邻平行晶面之间的 距离。 立方晶系简单晶胞的晶面间距：
d hk l
a h k l
2 2 2
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低指数的面间距较大，高指数的面间距较小。 晶面间距越大，则该晶面上的原子排列越密集；晶面间 距越小，则排列越稀疏。
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三、晶体的对称性 对称性——晶体的基本性质 1、对称元素 回转对称轴 宏观对称性 对称面
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3、六方晶系指数
采用 a1 ， a2 ， a3 及 c 四个晶轴表示，其中 a1 ， a2 ， a3 之间的夹角均为 120°，晶面指数以（ hkil ）四个指数 来表示，晶向指数用 [uvtw] 来表示，要求 i=-(h+k) ， t=(u+v)。

{1010} 晶面族。
思考题：标定下列晶面指数和晶向指数
例：已知两个晶面（112）和（111），求其晶带轴的晶向 指数。
答：晶带轴的晶向指数为 [1 10] 。
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2）已知两晶向[u1v1w1]和[u2v2w2] ，求由此二晶向所决定的 晶面指数（hkl），可由下式求得：
h k l h v1w2 w1v2 u1v1w1 k w1u2 u1w2 u2v2 w2 l u1v2 v1u2
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二、晶体的原子堆垛方式
三种晶体结构的原子密排面和原子密排方向分别是：面心 立方结构的{111}<110>,体心立方结构的{110}<111>，密排 六方结构的{0001} 1 120 。 面心立方结构按 ABCABC∙∙∙∙∙∙ 顺序堆垛，密排六方结构按 ABAB∙∙∙∙∙∙顺序堆垛。
4 R 4 0.1243 a 0.3516(nm) 2 2 m 4 Ar 4 58.69 3 3 8 . 967 ( g / cm ) 7 3 23 V a N A (0.351610 ) 6.02310
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例：已知Cr是立方晶系结构，其晶格常数a=0.2884nm，密 度为=7.19g/cm3，确定此时Cr的晶体结构（面心立方 或体心立方）？（ Cr 的摩尔质量 Ar 为 52.0g/mol ，阿伏 伽德罗常数NA为6.023×1023） 解： m nAr V a3 N A
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三、晶体结构中的间隙
八面体间隙：位于6个原子所组成的八面体中间的间隙。 四面体间隙：位于4个原子所组成的四面体中间的间隙。
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思考：指出溶解在 -Fe 中的C 原子所处的位置，若此位置全部被 C 原子 占据，那么，在此情况下， -Fe 能溶解C的质量分数为多少？实 际上碳在铁中的最大溶解质量分数是2.11%，二者在数值上有差异 的原因是什么？ 答：（1）-Fe为fcc结构，八面体间隙的半径为0.414R，四面体间隙半 径为0.225R，所以C原子一般处于八面体间隙位置。由于fcc结构 中的的八面体间隙数为4，和原子数相等，若此类位置全部被 C原 子 占 据 ， 则 -Fe 中 C 的 原 子 数 分 数 为 50% ， 质 量 分 数 =12/(12+56)=17.6%。

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二、晶向指数和晶面指数 1、晶向指数 步骤：
ruvw OP ua vb wc

（1）以晶格中某阵点为原点 O，过原点O 的坐标轴为 x，y， z，取点阵常数为三坐标轴的单位长度。
（2）过原点O作一直线OP，使其平行于待定的晶向。
（3）在直线 OP上选取距原点 O最近的一个阵点 P，确定P 点的3个坐标值。
对称中Baidu Nhomakorabea 回转 - 反演轴
2、点群和空间群 点群：晶体中所有点对称元素的集合。根据晶体外形对 称性，共有32种点群。 空间群：晶体中原子组合所有可能方式。根据宏观、微 观对称元素在三维空间的组合，可能存在230种空间群 （分属于32种点群）。 36
滑动面 微观对称性 螺旋轴
解：

即：n
nA m 3 r V a NA
a3 N A
Ar
3 7.26 （0.632 10-7） 6.023 1023 20.091 20 54.94 每单位晶胞内的原子个 数为20。
4 3 4 20 R 20 0.1223 nv 3 3 K 0.466 3 3 V a 0.632
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2、点阵常数与原子半径（R） 点阵常数（或晶格常数）：由晶胞的棱边长度（ a ， b ， c）来表示。 面心立方结构： a 4R
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体心立方结构： a
4R 3
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例：已知 Ni 的晶体结构为面心立方结构 ，其原子半径为 R=0.1243nm，求Ni的晶格常数和密度。（Ni的摩尔质 量 Ar 为 58.69g/mol ，阿伏伽德罗常数 NA 为 6.023×1023 ） 解：

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2、晶面指数 步骤： （1）设定参考坐标系； （2）求待定晶面在三个坐标轴上的截距；
（3）取各截距的倒数；
（ 4 ）将三个倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，记为 （hkl），即表示该晶面的指数。如果截距为负数，在相应 的指数上方加一负号。 答：该晶面指数为（463） 思考题：在晶胞中画出以下晶面指数
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5、晶面间距 晶面指数不同的晶面之间的区别主要在于晶面的位向和 晶面间距不同。 晶面的位向可用晶面法线的位向来表示，即用它的方向 余弦表示。已知某晶面（hkl），则其位向可从以下关系 求得：
h : k : l cos : cos : cos 2 2 2 cos cos : cos 1
例：求两晶向 [11 1 ] 和 [201] 两晶向所决定的晶面。 答：两晶向所决定的晶面为（112）。
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3）已知三个晶轴[u1v1w1]、[u2v2w2]和[u3v3w3] ，若
u1v1w1 u 2 v2 w2 0 u3v3 w3
则三个晶轴同在一个晶面上。
[11 1 ] 和 [1 1 1] 例：判断[111]、 求出该晶面指数。
晶体与非晶体性能上的主要区别：（1）晶体具有一定的 熔点，非晶体没有。（2）晶体具有各向异性，非晶体是 各向同性。 一、空间点阵和晶胞
空间点阵：由阵点在三维空间规则排列的阵列，简称点阵。 晶胞：在点阵中取出一个具有代表性的基本单元，作为点 阵的组成单元，称为晶胞。 晶格：将阵点用一系列平行的直线连接起来，构成一空间 格架，叫晶格。
答：不在一个晶面上。
是否在同一晶面上？若是，
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4）已知三个晶面（h1k1l1）、（h2k2l2）和（h3k3l3），若
h1k1l1 h2 k 2l2 0 h3 k 3l3
则三个晶面同属于一个晶带。 例：判断(110),(112),(312) 三个晶面是否同属一个晶带？ 如是，求出晶带轴的晶向指数。 答：三个晶面同属一个晶带，晶带轴为[111]
例：已知某晶面在坐标轴上截距为 1/2,1/3,2/3 ，求该晶面指数。
(421),(130),(1 23),(211),(331)
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晶面指数代表一组相互平行的晶面。

晶面族：在晶体内，凡晶面间距和晶面上的原子的分 布完全相同，只是空间位向不同的晶面，可归为同一 晶面族。以{hkl}表示，代表由对称性相联系的若干组 等 效 晶 面 的 总 和 。 如 立 方 晶 系 中 的 晶 面 族 {110} ， {111}。
nv V K 致密度 n 晶胞中的原子数 v 一个原子的体积 V 晶胞体积 K
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例：已知 Mn 的同素异构体有一立方结构，其晶格常数 a=0.632nm ，密度为 =7.26g/cm3 ，原子半径 R=0.122nm ，确定该 Mn 晶胞中的原子数及其 致 密 度 。 （ Mn 的 摩 尔 质 量 Ar 为 54.94g/mol ， 阿 伏 伽 德 罗 常 数 NA 为 6.023×1023）
第2章
固体结构
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物质通常有三种聚集态：气态、液态、和固态 固态物质分为两大类：晶体和非晶体。 晶体中的原子在空间呈有规则的周期性重复排列； 而非晶体的原子则是无规则排列的。 晶态和非晶态是可以互相转化的。

晶体的性能是与其内部结构密切相关的。
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2.1 晶体学基础
原子排列分为三个等级：无序排列、短程有序和长程有序。
2.2 金属的晶体结构
一、三种典型的金属晶体结构 面心立方结构（ A1 或 fcc ），体心立方结构（ A2 或 bcc ）， 密排六方结构（A3或hcp）。
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1、晶胞中的原子数（n） 晶胞顶角处的原子被几个晶胞所共有，晶面上的原子 被两个晶胞共有，体内的原子单独被一个晶胞所有。