专题五 第2讲 统计案例

∑ ti－ t yi－ y
n i ＝1
n
相关系数r＝
∑ ti－ t 2∑ yi－ y 2
i ＝1 n
^ ^ ^ ，回归方程 y ＝ a ＋ b t中斜率与截距的最小
∑ ti－ t yi－ y ^ i＝1 ^ ^ 二乘估计公式分别为b＝ ，a＝ y －b t . n ∑ t i－ t 2
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专题五
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(2016· 全国卷Ⅲ)如图所示是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理 量(单位：亿吨)的折线图．
注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014. (变式2)
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(1) 明；
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25＋30＋38＋45＋52 190 【解答】 ① x ＝ ＝ 5 ＝38， 5 7.5＋7.1＋6.0＋5.6＋4.8 31 y＝ ＝ 5 ＝6.2， 5 10.0－6.2 所以 b＝ 38 ＝0.10.
②设每份保单的保费为 20＋x 元， 则销量为 y＝10－0.1x， 则保费收入为 f(x)＝(20 ＋x)(10－0.1x)＝200＋8x－0.1x2＝360－0.1(x－40)2，
9.32 【解答】 由 y ＝ 7 ≈1.331及(1)得
ti－ t yi－ y
^ b＝
i＝1 7
7
t i－ t 2
i＝1
2.89 ＝ 28 ≈0.103，
^ ^ a＝ y －b t ≈1.331－0.103×4≈0.92. ^ 所以y关于t的回归方程为y＝0.92＋0.10t. ^ 将2016年对应的t＝9代入回归方程得y＝0.92＋0.10×9＝1.82.
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目标 1 回归分析 两个具有相关关系的变量之间， 可以由散点图直观看出是否具有较好的线性相关 关系，定量的方法就是计算相关系数，相关系数的绝对值越接近 1，其线性相关关系 越强．
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第 2讲
统计案例
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(2018· 佛山二模 ) 某保险公司有一款保险产品的历史收益率 ( 收益率＝ 利润÷ 保费收入)的频率分布直方图如图所示．
(例 1)
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(1) 试估计平均收益率． 【解答】 区间中值依次为：0.05,0.15,0.25,0.35，0.45，0.55， 相应概率依次为 0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05.
【解答】 月份x 均价y 3 0.95
5
4 0.98
5 1.11
6 1.12
7 1.20
计算可得： x ＝5， y ＝1.072， (xi－ x )2＝10，
i ＝1
^ 0.64 ^ ^ 所以b＝ 10 ＝0.064，a＝ y －b x ＝1.072－0.064×5＝0.752，
^ 所以从3月份至7月份y关于x的回归方程为y＝0.064x＋0.752.
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2. (选修 1－2P19A 组第 2 题)假设美国 10 家工业公司提供了以下数据(单位：百 万美元)：
公司 通用汽车 福特 埃克森 IBM 通用电气 美孚 菲利普· 莫利斯 克莱斯勒 杜邦 德士古 55 264 3 939 50 976 1 809 39 069 2 946
( 第 2 题)
由于散点图中的样本点基本上在一个带形区域内分布， 猜想销售总额与利润之间 呈现线性相关关系．
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(2) 建立销售总额为解释变量，利润为预报变量的回归模型，并计算残差； 【解答】 由最小二乘法的计算公式，得 ^ ^ a≈1 334.5，b≈0.026， ^ 则线性回归方程为y＝0.026x＋1334.5. 其残差值计算结果见下表： 销售总额 126 974 96 933 86 656 63 438 55 264
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(2017· 全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产 量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频 率分布直方图如图所示．
(例2)
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由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说
附：参考数据：
7 i＝1 7 i＝1
∑yi＝9.32，∑tiyi＝40.17， ∑ yi－ y 2＝0.55， 7≈2.646.
i＝1 7
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参考公式：
i＝ 1 n
i＝1 i＝1 i＝1
2.89 r≈ ≈0.99. 0.55×2×2.646
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用 线性回归模型拟合y与t的关系．
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(2) 处理量．
建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化
i＝1 i＝1 i＝1
5
5
5
^ ^ ^ ^ 回归方程y＝bx＋a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝ ∑ xi－ x yi－ y i＝1 ^ ^ ， a ＝ y － b x. n ∑ x i－ x 2
i＝1 n
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1. (选修 1－2P19A 组第 3 题)调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关 系，得到下面的数据表．能否在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为婴儿的性别 与出生的时间有关系？ 出生时间 性别 男婴 女婴 合计 晚上 24 8 32 白天 31 26 57 合计 55 34 89
故平均收益率为 0.05×0.10 ＋ 0.15×0.20 ＋ 0.25×0.25 ＋ 0.35×0.3 ＋ 0.45×0.1 ＋ 0.55×0.05＝0.275.
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(2) 根据经验， 若每份保单的保费在 20 元的基础上每增加 x 元， 对应的销量 y(单 位：万份)与 x(单位：元)有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下 5 组 x 与 y 的对应数据： x(元) 25 30 38 45 52 销量 y(万份) 7.5 7.1 6.0 5.6 4.8 ^ ^ 据此计算出的回归方程为y＝10.0－bx. ^ ①求参数b的估计值； ^ ^ ②若把回归方程y＝10.0－bx 当作 y 与 x 的线性关系，用(1)中求出的平均收益率 估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益？并求 出该最大收益．
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【解答】 记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖 法的箱产量不低于50 kg”．
由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)．
旧养殖法的箱产量低于50 ＝0.62， kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5
i ＝1
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【解答】 由折线图中数据和参考数据得
7 i＝1
t ＝4，∑ (ti－ t ) ＝28，
7 7 7
2
2 y － y ＝0.55， i i＝1
7
∑ (ti－ t )(yi－ y )＝ tiyi－ t yi＝40.17－4×9.32＝2.89，
3 939 1 189.742 32 416 2 413 248.650
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(3) 计算 R2， 你认为这个模型能较好地刻画销售总额和利润之间的关系吗？请说 明理由．
【解答】
对于(2)中所建立的线性回归方程，R2≈0.457，说明在线性回归模型
中销售总额只能解释利润变化的 46%， 所以线性回归模型不能很好地刻画销售总额和 利润之间的关系．
利润 残差 销售总额 利润 残差
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4 224 －361.034 50 976 1 809 －830.486
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3 835 19.015 39 069 2 946 611.334
3 510 －42.894 36 156 359 －1 901.09
3 758 799.487 35 209 2 480 244.150
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(1) 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；
附： P(K2≥k0) k0 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828
2 n ad － bc K2＝ . a＋bc＋da＋cb＋d
i＝1
R2＝1－
x i－ x
i＝1
2
y i－ y 2
i＝1
n
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(1) 作销售总额和利润的散点图，根据该图猜想它们之间的关系应是什么形式；
【解答】将销售总额作为横轴，利润作为纵轴，根据表中数据绘制散点图如图所 示．
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(2) 政府若不调控，依据相关关系预测 12 月份该市新建住宅的销售均价．
^ 【解答】 将x＝12代入回归方程得y＝0.064×12＋0.752＝1.52，
所以预测12月份该市新建住宅的销售均价约为1.52万元/平方米．
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2 89 × 24 × 26 － 8 × 31 【解答】根据所给的数据可得 K2＝ ≈3.689>2.706， 32×57×55×34 故能在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为婴儿的性别与出生的时间有关系．
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2 n ad － bc k2 ＝ a＋bc＋da＋cb＋d
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．
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目标2 独立性检验 独立性检验类似于反证法，即在假设两个分类变量无关的情况下，得出假设成 立为小概率事件，从而否定该假设，得出两个分类变量有关，进而得出原结论成立 的概率．
n
销售总额 x1 126 974 96 933 86 656 63 438 利润 x2 4 224
n
36 156 359
35 209 32 146 2 480 2 413
3 835
3 510
3 758
xi－ x yi－ y
^ b＝
i＝ 1 n
^ 2 y － i y i ^ ^ a＝ y －b x
当 x＝40 元时，保费收入最大为 360 万元， 此时保险公司预计获利为 360×0.275＝99 万元．
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(2018· 武汉模拟)某市地产数据研究所的数据显示，2016年该市新建住 宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，政府从8月采取宏观调控措施， 10月份开始房价得到很好的抑制．
(变式1)
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概率与统计
(1) 地产数据研究所发现，3月至7月的各月均价y(万元/平方米)与月份x之间具有 较强的线性相关关系，试求y关于x的回归方程；
参考数据： xi＝25， yi＝5.36， (xi－ x )(yi－ y )＝0.64.