不等式组方案设计【不等式组型方案设计题例析】

不等式组方案设计【不等式组型方案设计题例析】

方案设计题大多是联系实际生活的开放题，往往以立意活泼、设计新颖、富有创新意识的实际生活应用题为载体，通过设置一个实际问题情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用掌握的技能和方法，进行设计和操作，寻求恰当的解决.这就要求从多角度、多层次进行探索，展示思维的灵活性、发散性、创新性.它分为：1.设计图形题；2.设计测量方案题；3.设计最佳方案题.本文就举例对第3种：设计最佳方案题进行分析，此类题目往往要求回答出现的运费最少、利润最少、成本最低、效率最高等，解题时常常与函数、方程、一元一次不等式及不等式组等联系在一起，最主要是与不等式组联系在一起，是现在中考题的热点、难点.

解决方案设计这类问题时，首先要弄清题意，根据题意准确地写出表达各种量的代数式，建构恰当的不等式组模型，求出数的取值范围，利用数的整数解,结合实际问题确定方案设计的种数，从而得出方案.此类题目常常需要用到数形结合和分类讨论等数学思想方法.

例 1：（xx年湖南省怀化市）xx年我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造

型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆.

（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来.

（2）若搭配一个种造型的成本是800元，搭配一个种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？

解：（1）设搭配A种造型x个，则B种造型为（50-x）个，依题意，得：

80x+50（50-x）≤349040x+90（50-x）≤2950，解这个不等式组，得：

x≤33x≥31，∴31≤x≤33.

∵x是整数，∴x可取31，32，33.

∴可设计三种搭配方案：

①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个.

②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个.

③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个.

（2）方法一：由于B种造型的造价成本高于A种造型成本．所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为：

33×800+17×960=42720（元）.

方法二：方案①需成本：

31×800+19×960=43040（元）

方案②需成本： 32×800+18×960=42880（元）

方案③需成本：33×800+17×960=42720（元）

∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元.

评析：这是一道关于园艺造型搭配方案的设计问题，由甲、乙两种花卉的盆数一定，A、B两种造型需要的甲、乙两种花卉搭配的盆数一定，利用不等式知识，构建一元一次不等式组模型，进而根据不等式组的解集和造型的个数为正整数，确定具体的A、B两种造型方案种数.

例 2：（xx年河北省）一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A型手机x部，B型手机y部.三款手机的进价和预售价如下表：

（1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；

（2）求出y与x之间的函数关系式；

（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元.

①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；

（注：预估利润P＝预售总额-购机款-各种费用.）

②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部.

解：（1）c=60-x-y.

（2）由题意，得：

900x+1200y+1100（60-x-y）= 61000，

得 y=2x-50．

（3）①由题意，得：

P= 1200x+1600y+1300（60-x-y）- 61000-1500，

得P=500x+500．

②购进C型手机部数为：60-x-y =110-3x．根据题意列不等式组，得：

x≥82x-50≥8100-3x≥8，解得29≤x≤34．

∴ x范围为29≤x≤34，且x为整数．（注：不指出x为整数

不扣分.）

∵P是x的一次函数，k=500＞0，∴P随x的增大而增大．

∴当x取最大值34时，P有最大值，最大值为17500元．

此时购进A型手机34部，B型手机18部，C型手机8部.

评析：本例以函数知识为主体，解题中明显地渗透着函数及方

程思想，考查了学生构建函数及不等式组模型的能力.注意文字与表

格相结合，根据题意将建立的函数表达式转换成恰当的不等式组模式，求出数的取值范围；最后再结合实际问题确定方案设计的种数.这类

方案设计问题还有一个特点，那就是要在几种确定的方案中，选择最优的方案，其一般解法是根据函数的性质确定最优方案，如果是一次函数可根据它的增减性来确定.如果是二次函数可根据它的最值性质

来确定.本例中利润的最大值，都包含有一个合理、恰当地安排购进

三款手机发挥其最大效益的问题，真实的情景设计可激发学生探究新知的求知欲.

例 3：（xx年辽宁省十二市）某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按

9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元.小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）.

（1）分别写出两种优惠方法购买费用y（元）与所买水性笔支数x（支）之间的函数关系式；

（2）对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；

（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济.

解：（1）设按优惠方法①购买需用y1元，按优惠方法②购买需用y2元，根据题意得：

y1=（x-4)×5+20×4=5x+60，

y2=（5x+20×4）×0.9=4.5x+72．

（2）设y1＞y2，即5x+60＞4.5x+72，

∴x＞24．当x＞24整数时，选择优惠方法②．