第六章61从实际问题到方程
从算式到方程教学教案分析
从算式到方程教学教案分析一、教学目标1. 让学生理解算式和方程的区别，并能正确区分它们。
2. 培养学生从实际问题中抽象出方程的能力。
3. 引导学生掌握解一元一次方程的方法，并能应用于实际问题。
二、教学内容1. 算式和方程的定义及区别。
2. 方程的解法及应用。
3. 实际问题转化为方程的过程。
三、教学重点与难点1. 教学重点：算式和方程的定义，方程的解法及应用。
2. 教学难点：实际问题转化为方程的过程，解一元一次方程的方法。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解算式和方程的概念及区别。
2. 采用案例分析法，引导学生从实际问题中抽象出方程。
3. 采用练习法，让学生通过解方程巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生认识算式和方程。
2. 新课讲解：讲解算式和方程的定义，举例说明它们的区别。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生从中抽象出方程。
4. 方程解法讲解：讲解解一元一次方程的方法，并通过例题演示。
5. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
6. 总结：回顾本节课所学内容，强调算式和方程的区别及解方程的方法。
7. 作业布置：布置课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
8. 课后反思：对课堂教学进行总结，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
六、教学评价1. 评价学生对算式和方程概念的理解程度。
2. 评价学生是否能从实际问题中抽象出方程。
3. 评价学生是否能正确解一元一次方程并应用于实际问题。
七、教学拓展1. 引导学生思考：方程在实际生活中的应用。
2. 介绍一元二次方程及其解法，为学生后续学习打下基础。
八、教学资源1. PPT课件：展示算式、方程的定义及解方程的过程。
2. 练习题：提供不同难度的练习题，巩固所学知识。
3. 实际问题案例：用于引导学生从实际问题中抽象出方程。
九、教学进度安排1. 第1-2课时：讲解算式和方程的定义及区别。
2. 第3-4课时：分析实际问题，引导学生抽象出方程。
从算式到方程—教学设计及点评
从算式到方程—教学设计及点评一、教学设计1.教学目标：(1)知识目标：了解算式和方程的概念，认识算式和方程之间的关系。
(2)能力目标：能够通过给定的算式写出相应的方程，并能够根据方程解决问题。
(3)情感目标：培养学生的数学思维能力和问题解决能力，增强他们对数学的兴趣和信心。
2.教学重点：(1)理解算式和方程的定义。
(2)掌握从算式到方程的转换方法。
(3)理解方程的意义和用途。
3.教学难点：(1)理解方程的意义和用途。
(2)掌握根据给定的算式写出方程的方法。
4.教学过程：步骤一：导入新课(1)引入问题：有一些运算式，例如："5+2=7"，你能发现其中的规律吗？(2)学生回答并解释规律：等号左边的算式和等号右边的值相等。
(3)教师引导学生总结：这种形式的式子叫做算式，其中有一个等号，左右两边相等。
步骤二：引入方程的概念(1)引导学生思考问题：如果我们把算式中的一些数用一个字母表示，如"5+x=7"，这种式子叫什么？(2)学生回答并解释：这种式子叫做方程，字母代表的是一个未知数。
(3)教师解释：方程和算式的结构非常相似，只不过其中有一个未知数，我们可以通过解方程来求出未知数的值。
步骤三：从算式到方程(1)教师出示一些算式，并要求学生根据算式写出相应的方程。
(2)学生通过思考和分析，用未知数表示算式中的一些数，并写出方程。
(3)学生互相交流并对答案进行讨论。
步骤四：解决问题(1)教师给出一些实际问题，并要求学生用方程去解决问题。
(2)学生根据问题提供的信息写出方程，然后解方程求出未知数的值。
(3)学生互相交流并对答案进行讨论。
步骤五：巩固练习(1)教师出示一些练习题，让学生自己用方程来解决。
(2)学生独立完成练习，并互相交换答案进行对比。
(3)教师进行讲评，梳理学生解题思路和方法。
步骤六：总结和拓展(1)教师引导学生总结今天学习的内容：什么是方程？怎样从算式到方程？(2)教师拓展讲解方程的更复杂形式，如多项式方程、二元一次方程等。
华师版七年级下册数学第6章 一元一次方程 从实际问题到方程
【点拨】已知上半年每月平均用电 x 千瓦时，则下半年每月平均 用电(x－2 000)千瓦时.由题意，得 6x＋6(x－2 000)＝150 000.故 选 A. 易错警示：在列方程时，要注意单位的统一，本题易因没 有统一单位而错选 C.
【答案】A
6．已知下列方程后面的大括号里有一个数是方程的解，请把它 找出来：
(1)4x－2x－3＝0 4，32；
解：把 x＝4 代入原方程的左边，得左边＝4×4－2×4－3＝5. 因为右边＝0，所以左边≠右边， 所以 x＝4 不是原方程的解. 把 x＝32代入原方程的左边，得左边＝4×32－2×32－3＝0. 因为右边＝0，所以左边＝右边. 所以 x＝32是原方程的解.
(2)4x－3＝2x＋3 {－2，3}． 解：把 x＝－2 代入原方程的左右两边，得左边＝4×(－2)－3＝ －11，右边＝2×(－2)＋3＝－1. 所以左边≠右边. 所以 x＝－2 不是原方程的解. 把 x＝3 代入原方程的左右两边，得左边＝4×3－3＝9，右边＝2×3 ＋3＝9.所以左边＝右边. 所以 x＝3 是原方程的解.
【答案】C
5．【易错题】某工厂采取节能措施后，去年下半年与上半年相比， 月平均用电量减少 2 000 千瓦时，全年用电 15 万千瓦时．若 设上半年每月平均用电 x 千瓦时，则所列方程正确的是( ) A．6x＋6(x－2 000)＝150 000 B．6x＋6(x＋2 000)＝150 000 C．6x＋6(x－2 000)＝15 D．6x＋6(x＋2 000)＝15
由题意可得 0＜x＜10 且 x 为整数，列表计算：
x
123456789
0.3x＋0.5·(10－x) 4.8 4.6 4.4 4.2 4 3.8 3.6 3.4 3.2
第六章_一元一次方程教案 导学案 (共11课时)
§6.1 从实际问题到方程科目：七年级数学备课人：王淑轶【教学目标】1.能判断一个数是不是某个方程的解，掌握用尝试检验方法求方程的解的思想方法；2.会列一元一次方程解决一些简单的应用题；3.初步认识方程与现实问题的联系，感受数学的应用价值，激发数学学习兴趣。
【教学重点】能判断一个数是不是某个方程的解，会列一元一次方程解决一些简单的应用题。
【教学难点】会列一元一次方程解决一些简单的应用题。
【教学过程】一、复习回顾，导入新课1.列方程解下面的应用题：一本笔记本1.2元。
小红有6元钱，那么她最多能买到多少本这样的笔记本呢？解：设小红能买到x本笔记本，根据题意得：1.2x＝6解得：x＝5答：小红能买到5本这样的笔记本。
2.结合上题的解答，说说列方程解应用题的一般步骤是什么？有哪些应当注意的问题？二、自主探索1.阅读课本1页“第6章导图”内容，试分别用算术法和方程法解答：一队师生共328人，乘车外出旅游，已有校车可乘64人，如果租用客车，每辆可乘44人，那么还要租多少辆客车？算术法：方程法：(328－64)÷44 解：设需要租用x辆客车，根据题意得：＝264÷44 44x+64＝328＝6(辆) 解得：x＝6答：还要租用6辆客车。
答：还要租用6辆客车。
2.阅读课本2页～3页“问题2”内容，完成下列问题：(1)小敏同学得出答案使用的是什么方法？他的答案正确吗？小敏同学是用“尝试、检验”的方法找出方程的解的。
他的答案是正确的。
(2)你能列方程解答张老师的这道题吗？试一试。
三、合作交流1.你用方程法得到的答案和小敏的答案一样吗？你有什么发现？2.讨论：如果未知数可能取到的数值较多，或者不一定是整数，该从何试起？如果试验根本无法入手又该怎么办呢？四、实践应用1.课本3页“习题6.1”第1～3题。
2.补充练习：(1)检验下列方程后面括号内所列各数是否为相应方程的解。
(a)x-3(x+2)=6+x (x=3,x=-4)(b)2y(y-1)=3 (y=-1,y=32) (c)5(x-1)(x-2)=0 (x=0,x=1,x=2)(2)根据题意，列出相应的方程，不必求解。
6.1 《从实际问题到方程》 课件 华师大版 (5)
（华师大版）
1．创设情境，引入新课
用
方
程
解
决
问 题
问题一： 回顾应用方程解决问题一般步骤？
(1)审：审题,分析题中的已知量、未知量,明确它们之 间的关系; (2)找：找出能表示问题中全部含义的一个等量关系; (3)设：设未知数(一般求什么就设什么)并写单位名称; (4)列：根据等量关系列出方程; (5)解：解所列出的方程，求出未知数的值; (6)答：检验所求解是否符合题意,写出答案.
1．创设情境，引入新课
用
方
程
解
决
问 题
问题一： 回顾应用方程解决问题一般步骤？
鸡兔同笼：今有鸡兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足，问鸡兔各几何？
2．合作质疑，探索新知
用
方
程
解
决
问 题
问题二：
等量关系式：鸡足数量+兔足数量=总的足数 设鸡有x只，则兔有（35-x）只
数量 鸡 兔 头 足
x (35-x)
生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配2
个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配 多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？
用 5．发展能力，拓展延伸
方
程
解
决
问 题
古代有这样一个寓言故事,驴子和骡子一同走,他们驮着
不同袋数的货物,每袋货物都是一样重的.驴子抱怨负担
太重,骡子说:你抱怨干嘛?如果你给我一袋,那么我所负
3．自主归纳，形成方法
用
方
程
解
决
问 题
学生自主归纳：如何利用列表方法分析实际问题？
巩固练习
用
方
程
华师大版七下数学6.1《从实际问题到方程》教学设计
华师大版七下数学6.1《从实际问题到方程》教学设计一. 教材分析华师大版七下数学6.1《从实际问题到方程》这一节主要介绍了方程的概念和实际问题与方程的联系。
通过本节课的学习，学生能够理解方程的定义，掌握一元一次方程的解法，并能够将实际问题转化为方程进行求解。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的运算和一元一次不等式的解法，但对于方程的概念和实际问题与方程的联系可能还不够清晰。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中发现方程，理解方程的定义，并掌握一元一次方程的解法。
三. 教学目标1.理解方程的概念，能够识别一元一次方程。
2.掌握一元一次方程的解法，能够将实际问题转化为方程进行求解。
3.培养学生的数学思维能力和问题解决能力。
四. 教学重难点1.重难点：一元一次方程的解法和实际问题与方程的联系。
2.难点：理解方程的概念，将实际问题转化为方程。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生从实际问题中发现方程。
2.案例教学法：通过分析典型案例，让学生理解实际问题与方程的联系，掌握一元一次方程的解法。
3.小组合作学习：引导学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队合作能力和问题解决能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示典型案例和实际问题。
2.教学案例：准备一些相关的实际问题，用于引导学生发现方程和练习解方程。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生对一元一次方程的解法的掌握。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，如购物时找零问题、速度和时间问题等，引导学生从实际问题中发现方程，并激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现方程的定义和一元一次方程的解法，让学生了解方程的基本概念和求解方法。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个实际问题，尝试将其转化为方程，并运用一元一次方程的解法进行求解。
教师巡回指导，给予学生必要的帮助和提示。
从实际问题到方程汇总
从实际问题到方程汇总引言在数学中，我们经常需要通过实际问题来建立数学方程，以解决问题。
建立数学方程需要对实际问题进行思考和分析，找到问题的关键点，从而将其转化为符合数学模型的形式。
本文将通过具体的实例，探讨如何将实际问题转化为数学方程的过程，并对常见的数学方程进行汇总。
实例分析例1假设一个人想要每周节省100元，他有两个选择：不吃肉或减少购物。
如果他选择后者，他需要知道节省多少钱才能达到目标。
如果他平时每周消费600元，并且他能节省30%的钱，那么他需要节省多少钱才能达到目标？对于这个问题，我们需要找到关键点：•原始每周消费600元•节省30%•目标每周节省100元假设他需要节省x元才能达到目标，那么根据题意，我们可以列出以下方程：600 * (1 - 0.3) - x = 500通过将原始消费减去节省的钱来计算每周实际花费，并将其与目标进行比较，可以得到上述方程。
通过解方程，可以得到x为280元，即他需要节省280元才能达到目标。
例2假设一辆汽车油箱的容积为50升，已经使用了40升的油，每升油能够行驶10公里。
同时，行驶40公里需要1个小时，那么这辆汽车还能行驶多少公里？对于这个问题，我们需要找到关键点：•油箱容积为50升•已经使用了40升的油•每升油能够行驶10公里•行驶40公里需要1个小时假设这辆汽车还能行驶x公里，那么根据题意，我们可以列出以下方程：(50 - 40) * 10 = x通过将剩余油量转化为能够行驶的公里数，并减去已经行驶的40公里，可以得到上述方程。
通过解方程，可以得到x为100公里，即这辆汽车还能行驶100公里。
常见数学方程一次方程一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b为常数。
解一次方程的步骤是将方程转化为x = -b/a的形式。
二次方程二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c为常数，且a不等于0。
解二次方程的步骤是使用公式x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/2a计算出解。
七年级上册数学教案《从算式到方程》
教学计划：《从算式到方程》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解方程的概念，掌握从具体问题的算式表达转化为方程表达的方法，初步学会解一元一次方程。
2.过程与方法：通过实例分析，引导学生经历从实际问题抽象出数学问题的过程，培养学生的数学建模能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，以及探索未知、追求真理的科学态度。
二、教学重点和难点●重点：方程的概念、从算式到方程的转化过程、一元一次方程的解法。
●难点：如何从实际问题中准确抽象出方程，以及如何设置恰当的未知数。
三、教学过程1. 引入新课（5分钟）●情境导入：通过一个贴近学生生活的实际问题（如购物找零、路程速度时间关系等），引出传统算式解法的局限性，激发学生思考更高效的解题方式。
●概念引入：介绍方程的概念，强调方程是描述相等关系的数学语言，是解决实际问题的一种有力工具。
●目标明确：阐述本节课的学习目标，让学生明确学习方向。
2. 新知讲授（15分钟）●方程构建：以实际问题为例，引导学生逐步将文字信息转化为数学符号，设置未知数，构建方程。
强调设置未知数的技巧和方法。
●方程解析：详细讲解方程的结构，包括未知数、系数、常数项等，以及方程与算式的主要区别。
●解方程示例：选取简单的一元一次方程作为示例，展示解方程的基本步骤和注意事项。
3. 互动探究（15分钟）●小组合作：将学生分组，每组分配一个实际问题，要求他们合作讨论，尝试将问题转化为方程，并初步求解。
●成果展示：各小组选派代表展示他们的方程构建过程和求解结果，其他同学和老师进行评价和反馈。
●问题解决：针对小组展示中出现的问题和疑惑，进行集体讨论，共同解决。
4. 巩固练习（10分钟）●分层练习：设计不同难度的练习题，包括直接给出条件求方程的题目、根据实际问题构建方程并求解的题目等，以满足不同层次学生的需求。
●即时反馈：学生完成练习后，教师巡视指导，及时发现并纠正学生的错误。
初中数学《从算式到方程》教案设计范文
初中数学《从算式到方程》教案设计范文一、教学目标1.知识与技能：a)理解方程的概念，掌握方程的书写方法。
b)学会从实际问题中抽象出方程，解决实际问题。
c)掌握方程的解法，包括一元一次方程和简单的一元二次方程。
2.过程与方法：a)通过观察、分析、归纳，培养学生的逻辑思维能力。
b)通过小组讨论，培养学生的合作能力。
3.情感态度与价值观：a)培养学生对数学的兴趣，增强学习的积极性。
b)培养学生独立解决问题的能力，提高自信心。
二、教学重点与难点1.教学重点：a)方程的概念及其书写方法。
b)方程的解法。
2.教学难点：a)从实际问题中抽象出方程。
b)方程的解法，尤其是二次方程。
三、教学过程1.导入a)引导学生回顾算式的概念，如加法、减法、乘法、除法等。
b)提问：算式与方程有什么区别？2.知识讲解a)介绍方程的定义：含有未知数的等式。
b)举例说明方程的书写方法，如2x+3=7。
c)讲解方程的解法，如一元一次方程、一元二次方程等。
3.实例分析a)分析教材中的实例，如“小明的年龄是妈妈的1/3，妈妈的年龄是多少？”b)引导学生从实际问题中抽象出方程，如设妈妈的年龄为x，则小明的年龄为1/3x。
c)指导学生用方程解决问题。
4.练习与讨论a)让学生独立完成教材中的练习题，如“已知一个数的平方减去这个数等于2，求这个数。
”b)组织学生进行小组讨论，交流解题过程和心得。
b)提问：方程在实际生活中有哪些应用？c)拓展：介绍二元一次方程、三元一次方程等。
6.作业布置a)布置教材中的课后习题，如一元一次方程、一元二次方程的练习题。
b)鼓励学生从生活中发现方程的应用，记录下来并与同学分享。
四、教学反思1.课堂效果：a)观察学生在课堂上的反应，了解他们对方程的理解程度。
b)反思教学过程中的不足，如讲解是否清晰、例题是否典型等。
2.学生反馈：a)收集学生的反馈意见，了解他们对课堂内容的掌握程度。
b)根据反馈调整教学方法，提高教学效果。
华师大版数学七年级下册全册教案
1、知识与技能：①了解方程、一元一次方程、二元一次方程组以及方程（组）的解等基本概念，了解方程的基本变形及其在解方程（组）中的作用。会解一元一次方程、二元一次方程组，并经历和体会解方程中转化的过程与思想，了解解方程（组）解法的一般步骤，并能灵活运用。②了解三角形的内角、外角及其主要线段（中线、高线、角平分线）等概念，会画出任意三角形的中线、高线和角平分线，了解三角形的稳定性，了解几种特殊三角形与多边形的特征，并能加以简单的识别，探索并掌握三角形的外角性质与外角和，理解并掌握三角形三边关系，探索、归纳多边形的内角和秘外角和公式。③通过具体实例认识轴对称探索线段、角和圆等图形的轴对称性，了解线段中垂线的性质和角平分线的性质，会画轴对称图形并探索轴对称的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质，能利用轴对称进行图案设计，了解等腰三角形的概念掌握其性质和其识别方法。④让学生知道普查和抽样调查的区别，感受抽样调查的必要性和现实性，体会选取有代表性的样本对正确估计总体是十分重要的，会求平均数、中位数、众数并了解它们各自适用范围，体验随机事件在每一次实验中是否发生是不可预言的，但在大数次反复实验后是有规律的。
本章难点：正确理解三角形的高、中线及角平分线的性质并能作图，及三角形内角和的证明与多边形内角和的探究。
第十章：轴对称图形是通过观察与操作，让学生感知确认最为简单的变换——轴对称中隐含着的数学不变量关系，同时辅以数学说理，给学生一定的理性训练与图形变换的思想。
本章重点：轴对称中隐含着的数学不变量关系，同时辅以数学说理
解：设小红能买到工本笔记本，那么根据题意，得
1.2x＝6
因为1.2×5＝6，所以小红能买到5本笔记本。
二、新授：
我们再来看下面一个例子：
问题1：某校初中一年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可以乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆?
华师大版七下数学6.1《从实际问题到方程》说课稿1
华师大版七下数学6.1《从实际问题到方程》说课稿1一. 教材分析华师大版七下数学6.1《从实际问题到方程》这一节内容，是在学生学习了初中数学基础知识之后进行的教学。
本节课的主要内容是引导学生从实际问题中抽象出方程，让学生通过观察、分析、归纳等方法，掌握方程的定义和基本性质，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于方程的概念和性质已经有了一定的了解。
但是，学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为方程，对于方程的运用还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出方程，并通过大量的练习，提高学生解方程的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握方程的定义和基本性质，能够从实际问题中抽象出方程，并求解方程。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生从实际问题中抽象出方程，并求解方程。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为方程，以及如何解决方程中的实际问题。
五. 说教学方法与手段本节课采用问题驱动的教学方法，通过引导学生观察、分析、归纳等方法，让学生自主探索，发现方程的定义和性质。
同时，利用多媒体教学手段，展示实际问题，使学生更直观地理解方程的应用。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一个实际问题，引导学生思考如何将实际问题转化为方程，从而引出本节课的主题。
2.自主探究：让学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索方程的定义和性质。
3.教师讲解：对于学生自主探究过程中遇到的问题，进行讲解和引导，帮助学生理解和掌握方程的知识。
4.课堂练习：让学生通过解决实际问题，运用方程的知识，提高解题能力。
5.总结提升：对本节课的内容进行总结，使学生形成知识体系。
七. 说板书设计板书设计如下：从实际问题到方程1.方程的定义：……2.方程的性质：……3.方程的解法：……八. 说教学评价本节课的教学评价主要通过以下几个方面进行：1.学生对方程知识的掌握程度。
实际问题与方程
实际问题与方程实际问题与方程方程是数学中的基础工具之一，它可以将实际问题用数学语言描述出来，进而解决这些问题。
在物理、化学、经济等领域中，方程本身就是实际问题的描述方式。
在这篇文章中，我们将探讨实际问题与方程之间的关系，以及方程的一些应用。
一、实际问题与方程实际问题是指现实生活中需要解决的问题，这些问题通常涉及到数量、时间、空间等方面。
例如，在生产中，我们需要计算生产成本和利润；在运输中，我们需要预测到达时间和油耗；在医学中，我们需要统计疾病发病率和治疗效果等等。
这些实际问题可以用方程来描述。
方程是数学中用符号表示一个等式的表达式，其中方程左边和右边的值相等。
例如，2x + 3 = 7x - 4就是一个方程，它表示了2x + 3和7x - 4这两个数相等。
二、方程的应用方程在实际问题中的应用十分广泛。
以下是一些应用举例：1.成本与收益问题在商业领域中，成本和收益是重要的考虑因素。
我们可以用方程来计算利润率和回报率，从而在财务决策中做出明智的选择。
2.生产与供应问题在生产和供应中，方程可以用来计算成本、销售量、生产效率等因素。
这可以帮助企业决定生产规模、销售价格等策略。
3.物理问题在物理中，方程用于描述物体的运动、速度、加速度、力等因素。
例如，牛顿运动定律F=ma就是一个方程，它描述了物体的加速度与作用力的关系。
4.经济学问题在经济学中，方程被广泛应用于预测、模拟和分析市场的行为和趋势。
例如，供需曲线可以用方程来描述，这有助于了解市场平衡和价格波动。
三、结论方程是数学中用来描述实际问题的工具之一。
通过方程的应用，我们可以更好地理解和分析实际问题。
在解决实际问题时，方程被广泛应用于财务、生产、物理、经济学等领域，它帮助我们更好地理解这些问题的本质，从而制定更好的解决方案。
第六章 勒让德多项式
第六章 勒让德多项式在这一章，我们将通过在球坐标系中对Laplace 方程进行分离变量，引出§2.6中曾指出过的勒让德方程，并讨论这个方程的解法及解的有关性质。
勒让德方程在区间[1,1]-上的有界解构成了另一类正交函数系－勒让德多项式。
§6.1 勒让德方程的引出现在对球坐标系中的Laplace 方程进行分离变量，在球坐标系中Laplace 方程为2222222111()(sin )0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂ （6.1） 令 (,,)()()()u r R r θϕθϕ=ΘΦ， 代入（6.1）得2222222111()(sin )0sin sin d dR d d d r R R r dr dr r d d r d θθθθθϕΘΦΘΦ+Φ+Θ= 以2r R ΦΘ乘上式各项得 2222111()(sin )0sin sin d dR d d d r R dr dr d d d θθθθθϕΘΦ++=ΘΦ 或2222111()(sin )sin sin d dR d d d r R dr dr d d d θθθθθϕΘΦ=--ΘΦ 上式左端只与r 有关，右端只与θ，ϕ有关，要它们相等只有当它们都是常数时才有可能。
为了以后的需要，我们把这个常数写成(1)n n +的形式（这是可以做到的，因为任何一个实数总可以写成这种形式，这里的n 可能为实数，也有可能为复数），则得21()(1)d dRr n n R dr dr=+ （6.2）22211(sin )(1)sin sin d d d n n d d d θθθθθϕΘΦ+=-+ΘΦ （6.3） 将方程（6.2）左端的导数计算出来，即有2222(1)0d R dRr r n n R dr dr+-+= 这是一个欧拉方程，它的通解为(1)12()n n R r A r A r -+=+其中12,A A 为任意常数。
从实际问题到方程试题精选附答案
6.1从实际问题到方程一．选择题（共22小题）1．下列各式中，是方程的是（）A．x﹣2=1；B．2x+5 C．x+y＞0 D．3y2．下列各式中是方程的是（）A．7+8=15 B．2x+1 C．x+2=5 D．|a|≥03．35+24=59；3x﹣18＞33；2x﹣5=0；，上列式子是方程的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．在①2x+1；②1+7=15﹣8+1；③；④x+2y=3中，方程共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知2+1=1+2，4﹣x=1，y2﹣1=3y+1，x+1，方程有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列各式中，是方程的个数为（）（1）﹣3﹣3=﹣7；（2）3x﹣5=2x+1；（3）2x+6（4）x﹣y=0；（5）a+b＞3；（6）a2+a﹣6=0 A．1个B．2个C．3个D．4个7．下列各式中：①x=0；②2x＞3；③x2+x﹣2=0；④+2=0；⑤3x﹣2；⑥x=x﹣1；⑦x﹣y=0；⑧xy=4，是方程的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．在下列各式中，方程的个数为（）①x=3；②3x﹣2＞0；③x+y=5；④x+3；⑤x2+x+1；⑥3x﹣3≠0；⑦3+4=7．A．1B．2C．3D．49．已知下列式子：①6x﹣3=8；②6﹣2=4；③x+y；④；⑤3x﹣4y；⑥；⑦x=3；⑧x+2＞3，其中方程的个数是（）A．5B．6C．7D．410．下列各式中，不属于方程的是（）A．2x+3﹣（x+2）B．3x+1﹣（4x﹣2）=0 C．3x﹣1=4x+2 D．x=711．已知x=﹣5是方程ax﹣3=x﹣a的解，则a的值是（）A．﹣2 B．2C．D．﹣12．下列方程中，解为x=1的是（）A．B．﹣0.7x=﹣0.7 C．﹣=D．3x=13．下列四个数中，是方程的解为（）A．2B．﹣2 C．4D．﹣414．下列方程中，解是x=2的是（）A．x+2=0 B．4﹣2x=0 C．D．3（x﹣2）=315．解为x=﹣3的方程是（）A．2x+3y=5 B．C．D．3（x﹣2）﹣2（x﹣3）=5x16．方程x（x+1）（x+2）=0的根是（）A．﹣1，1 B．1，﹣2 C．0，﹣1，﹣2 D．0，1，﹣217．如果x=﹣2是方程2x+m﹣4=0的解，那么m的值为（）A．﹣8 B．0C．2D．818．适合方程x y=y x（x≠y）的一组解只有（）D．0和1A．1和1 B．2和4 C．3和19．若关于x的方程2x﹣（2a﹣1）x+3=0的解是x=3，则a=（）A．1B．0C．2D．320．若x=2不是方程2x﹣b=3x+4的解，则b不等于（）B．C．6D．﹣6A．﹣21．如果方程ax+b=0（a≠0）的解是一个正数，那么下列结论中正确的是（）A．a、b一定都是正数B．a、b一定都是负数C．a、b互为相反数D．a、b一定是符号相反的数22．（1999•辽宁）已知方程的两根分别为a，，则方程=a+的根是（）A．a，B．，a﹣1 C．，a﹣1 D．a，二．填空题（共8小题）23．已知x=5是方程ax﹣8=20+a的解，则a=_________．24．在①2x﹣1；②2x+1=3x；③|π﹣3|=π﹣3；④t+1=3中，等式有_________，方程有_________．（填入式子的序号）25．语句“x的3倍比y的大7”用方程表示为：_________．26．一根细铁丝用去后还剩2m，若设铁丝的原长为xm，可列方程为_________．27．若单项式3ac x+2与﹣7ac2x﹣1是同类项，可以得到关于x的方程为_________．28．x的10%与y的差比y的2倍少3，列方程为_________．29．某校长方形的操场周长为210m，长与宽之差为15m，设宽为xm，列方程为_________．30．写出一个解为2的方程_________．6.1从实际问题到方程参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．下列各式中，是方程的是（）A．x﹣2=1；B．2x+5 C．x+y＞0 D．3y考点：方程的定义．分析：依据方程的定义：含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案．解答：解：A、是方程，选项正确；B、不是等式，就不是方程，选项错误；C、不是等式，就不是方程，选项错误；D、不是等式，就不是方程，选项错误．故选A．点评：本题主要考查的是方程的定义，解题关键是依据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．2．下列各式中是方程的是（）A．7+8=15 B．2x+1 C．x+2=5 D．|a|≥0考点：方程的定义．分析：含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案．解答：解：A、7+8=15不是方程，因为不含有未知数；故本选项错误；B、2x+1不是方程，因为它不是等式；故本选项错误；C、x+2=5符合方程的定义，所以它是方程；故本选项正确；D、|a|≥0不是方程，因为它是不等式而非等式；故本选项错误；故选C．点评：本题主要考查的是方程的定义，方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．3．35+24=59；3x﹣18＞33；2x﹣5=0；，上列式子是方程的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：方程的定义．专题：推理填空题．分析：含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案．解答：解：①35+24=59不是方程，因为不含有未知数；②3x﹣18＞33不是方程，因为它不是等式；③2x﹣5=0是方程，x是未知数，式子又是等式；④是方程，x是未知数，式子又是等式；综上所述，上列式子是方程的是③④，共有2个．故选B．点评：本题主要考查的是方程的定义：含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．4．在①2x+1；②1+7=15﹣8+1；③；④x+2y=3中，方程共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：方程的定义．专题：分类讨论．分析：方程是含有未知数的等式，是等式但不含未知数不是方程，含未知数不是等式也不是方程．解答：解：（1）2x+1，含未知数但不是等式，所以不是方程．（2）1+7=15﹣8+1，是等式但不含未知数，所以不是方程．（3），是含有未知数的等式，所以是方程．（4）x+2y=3，是含有未知数的等式，所以是方程．故有所有式子中有2个是方程．故选B．点评：本题主要考查方程的定义，解决关键在于掌握方程的两个要素：（1）含未知数．（2）要是等式．5．已知2+1=1+2，4﹣x=1，y2﹣1=3y+1，x+1，方程有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：方程的定义．分析：含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案．解答：解：2+1=1+2中不含有未知数，所以它不是方程；4﹣x=1中x是未知数，式子又是等式，所以它是方程；y2﹣1=3y+1中y是未知数，式子又是等式，所以它是方程；x+1是代数式，不是等式，所以它不是方程；综上所述，方程的个数是2个；故选B．点评：本题考查了方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．6．下列各式中，是方程的个数为（）（1）﹣3﹣3=﹣7；（2）3x﹣5=2x+1；（3）2x+6（4）x﹣y=0；（5）a+b＞3；（6）a2+a﹣6=0 A．1个B．2个C．3个D．4个考点：方程的定义．分析：本题主要考查的是方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案．解答：解：（1）不是方程，因为不含有未知数；（2）是方程，x是未知数，式子又是等式；（3）不是方程，因为它不是等式；（4）是方程，未知数是x、y；（5）不是方程，因为它是不等式而非等式；（6）是方程，未知数是a．因此，（2）、（4）、（6）是方程，个数为3．故选C．点评：解题关键是依据方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．7．下列各式中：①x=0；②2x＞3；③x2+x﹣2=0；④+2=0；⑤3x﹣2；⑥x=x﹣1；⑦x﹣y=0；⑧xy=4，是方程的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个考点：方程的定义．分析：方程就是含有未知数的等式，据次定义可得出正确答案．解答：解：（1）根据方程的定义可得①③④⑦⑧是方程；（2）②2x＞3是不等式，不是方程；（3）⑤3x﹣2不是等式，就不是方程．（4）⑥化简以后不含未知数，因而不是方程．故有5个式子是方程．故选C．点评：本题考查了方程的定义，判断一个式子是方程必须同时具备两点，一是等式，二是含有未知数．8．在下列各式中，方程的个数为（）①x=3；②3x﹣2＞0；③x+y=5；④x+3；⑤x2+x+1；⑥3x﹣3≠0；⑦3+4=7．A．1B．2C．3D．4考点：方程的定义．分析：依据方程的定义：含有未知数的等式，即可判断．解答：解：①是方程；②不是等式，故不是方程；③是方程；④不是等式，故不是方程；⑤不是等式，故不是方程；⑥不是等式，故不是方程；⑦不含未知数，故不是方程．故选B．点评：本题考查了方程的定义；含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．9．已知下列式子：①6x﹣3=8；②6﹣2=4；③x+y；④；⑤3x﹣4y；⑥；⑦x=3；⑧x+2＞3，其中方程的个数是（）A．5B．6C．7D．8考点：方程的定义．分析：根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可．解答：解：①6x﹣3=8符合方程的定义，故本小题正确；②6﹣2=4不含有未知数，故本小题错误；③x+y不是等式，故本小题错误；④符合方程的定义，故本小题正确；⑤3x﹣4y不是等式，故本小题错误；⑥符合方程的定义，故本小题正确；⑦x=3符合方程的定义，故本小题正确；⑧x+2＞3不是等式，故本小题错误．所以①④⑥⑦是方程．故选D．点评：本题考查的是方程的定义，熟知含有未知数的等式叫方程是解答此题的关键．10．下列各式中，不属于方程的是（）A．2x+3﹣（x+2）B．3x+1﹣（4x﹣2）=0 C．3x﹣1=4x+2 D．x=7考点：方程的定义．专题：常规题型．分析：本题主要考查的是方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案．解答：解：A、2x+3﹣（x+2）不是方程，因为它不是等式；B、3x+1﹣（4x﹣2）=0是方程，x是未知数，式子又是等式；C、3x﹣1=4x+2是方程，x是未知数，式子又是等式；D、x=7是方程，x是未知数，式子又是等式．故选A．点评：本题考查了方程的定义，解题关键是依据方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．11．已知x=﹣5是方程ax﹣3=x﹣a的解，则a的值是（）A．﹣2 B．2C．D．﹣考点：方程的解．专题：计算题．分析：已知x=﹣5是方程ax﹣3=x﹣a的解，即把x=﹣5代入方程即可得到一个关于a的方程，从而求得a的值．解答：解：根据题意得：﹣5a﹣3=﹣5﹣a解得：a=故选C．点评：解题的关键是根据方程的解的定义，使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．12．下列方程中，解为x=1的是（）A．B．﹣0.7x=﹣0.7 C．﹣=D．3x=考点：方程的解．专题：计算题．分析：把x=1代入各个选项，看是否能使方程的左右两边相等，如果左边=右边，那么这个数就是该方程的解．解答：解：A、把x=1代入方程，左边=≠右边，因而不是方程的解．B、把x=1代入方程，左边=﹣0.7=右边，是方程的解；C、把x=1代入方程，左边=﹣≠右边，不是方程的解；D、把x=1代入方程，左边=3≠右边，不是方程的解；故选B．点评：使方程左右两边相等的未知数的值是该方程的解．因此检验一个数是否为相应的方程的解，就是把这个数代替方程中的未知数，看左右两边的值是否相等，如果左边=右边，那么这个数就是该方程的解；反之，这个数就不是该方程的解．13．下列四个数中，是方程的解为（）A．2B．﹣2 C．4D．﹣4考点：方程的解．分析：根据方程解的定义，将四个选项中的数分别代入方程的左边，计算后等于方程的右边，即计算结果为0的即为方程的解．解答：解：A、将x=2代入方程的左边，得左边=4+3﹣1=6，而右边=0，∵左边≠右边，∴x=2不是方程的解．故本选项错误；B、将x=﹣2代入方程的左边，得左边=4﹣3﹣1=0，而右边=0，∵左边=右边，∴x=﹣2是方程的解．故本选项正确；C、将x=4代入方程的左边，得左边=16+6﹣1=21，而右边=0，∵左边≠右边，∴x=4不是方程的解．故本选项错误；D、将x=﹣4代入方程的左边，得左边=16﹣6﹣1=9，而右边=0，∵左边≠右边，∴x=﹣4不是方程的解．故本选项错误．故选B．点评：本题主要考查了方程解的定义：能够使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，对于判断某数是否为方程的解的问题，一般都采用代入计算的方法，本题还可以解方程进行判断．14．下列方程中，解是x=2的是（）A．x+2=0 B．4﹣2x=0 C．D．3（x﹣2）=3考点：方程的解．分析：方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等．解答：解：A、方程的解是x=﹣2，故选项错误；B、正确；C、当x=2时，左边=1≠右边，故选项错误；D、当x=2时，左边=0≠右边，故选项错误．故选B．点评：解决本题的关键是理解方程的解的定义．15．解为x=﹣3的方程是（）A．2x+3y=5 B．C．D．3（x﹣2）﹣2（x﹣3）=5x考点：方程的解．分析：将x=﹣3代入各方程，能满足左边=右边的，即是正确选项．解答：解：A、将x=﹣3代入，左边=3y﹣6，右边=5，左边≠右边，故本选项错误；B、将x=﹣3代入，左边=﹣6，右边=6，左边≠右边，故本选项错误；C、将x=﹣3代入，左边=﹣1，右边=﹣1，左边=右边，故本选项正确；D、将x=﹣3代入，左边=﹣3，右边=﹣15，左边≠右边，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了方程的解，注意掌握方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值．16．方程x（x+1）（x+2）=0的根是（）A．﹣1，1 B．1，﹣2 C．0，﹣1，﹣2 D． 0，1，﹣2考点：方程的解．专题：计算题．分析：使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．已知x，x+1，x+2三个式子的积是0，三个式子中至少有一个是0．因而求出分别使三个式子为0的未知数的值，都是原方程的解．解答：解：方程x（x+1）（x+2）=0，则x=0或x+1=0即x=﹣1或x+2=0即x=﹣2，∴方程x（x+1）（x+2）=0的根是：0，﹣1，﹣2故选C．点评：解题的关键是理解方程的解的定义，理解几个因式的积是0，则这一个因式中至少有一个是0．17．如果x=﹣2是方程2x+m﹣4=0的解，那么m的值为（）A．﹣8 B．0C．2D．8考点：方程的解．分析：方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．解答：解：把x=﹣2代入方程得到：﹣4+m﹣4=0，解得m=8．故选D．点评：本题主要考查了方程解的定义，已知x=﹣2是方程的解，实际就是得到了一个关于m的方程．18．适合方程x y=y x（x≠y）的一组解只有（）A．1和1 B．2和4 C．D．0和13和考点：方程的解．分析：方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等．解答：解：A、∵x≠y，∴x=1，y=1不是已知方程的解；故本选项错误；B、当x=2，y=4时，左边=24=16，右边=42=16，则左边=右边，即2和4是已知方程的一组解．故本选项正确；C、当x=3，y=时，左边=，右边=（）3=，则左边≠右边，即3和不是已知方程的一组解．故本选项错误；D、当x=0，y=1时，左边=01=0，右边=10=1，则左边≠右边，即0和1不是已知方程的一组解．故本选项错误；故选B．点评：本题考查了方程的解的定义．无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．19．若关于x的方程2x﹣（2a﹣1）x+3=0的解是x=3，则a=（）A．1B．0C．2D．3考点：方程的解．分析：方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．把x=3代入方程就可以得到了一个关于a的方程．解方程就可以求出a的值．解答：解：把x=3代入方程得到：6﹣3（2a﹣1）+3=0解得：a=2．故选C点评：本题主要考查了方程解的定义，已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解，可把它叫做“有解就代入”．20．若x=2不是方程2x﹣b=3x+4的解，则b不等于（）B．C．6D．﹣6A．﹣考点：方程的解．专题：计算题．分析：方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等，反之就不是方程的解，本题可先按x=2是方程的解求出b的值．解答：解：把x=2代入方程2x﹣b=3x+4，得：4﹣b=6+4解得：b=﹣6．所以当b=﹣6时，方程的解是x=2，若x=2不是方程2x﹣b=3x+4的解，则b不等于﹣6．故选D．点评：解题的关键是根据方程的解的定义．使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．21．如果方程ax+b=0（a≠0）的解是一个正数，那么下列结论中正确的是（）A．a、b一定都是正数B．a、b一定都是负数C．a、b互为相反数D．a、b一定是符号相反的数考点：方程的解．专题：计算题．分析：先解方程得到x=﹣，而x=﹣是一个正数，则利用有理数的除法可得到a与b异号．解答：解：解ax+b=0（a≠0）得x=﹣，∵x=﹣是一个正数，∴a与b异号．故选D．点评：本题考查了方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．22．（1999•辽宁）已知方程的两根分别为a，，则方程=a+的根是（）A．a，B．，a﹣1 C．，a﹣1 D．a，考点：方程的解．专题：压轴题．分析：首先观察已知方程的特点，然后把方程=a+变形成具有已知方程的特点的形式，从而得出所求方程的根．解答：解：方程=a+可以写成x﹣1+=a﹣1+的形式，∵方程的两根分别为a，，∴方程x﹣1+=a﹣1+的两根的关系式为x﹣1=a﹣1，x﹣1=，即方程的根为x=a或，∴方程=a+的根是a，．故选D．点评：观察出已知方程的特点是解答本题的前提，把方程=a+变形成具有已知方程的特点的形式是解答本题的关键．二．填空题（共8小题）23．已知x=5是方程ax﹣8=20+a的解，则a=7．考点：方程的解．专题：计算题．分析：使方程左右两边相等的未知数的值是该方程的解．将方程的解代入方程可得关于a的一元一次方程，从而可求出a的值．解答：解：把x=5代入方程ax﹣8=20+a得：5a﹣8=20+a，解得：a=7．故填7．点评：已知条件中涉及到方程的解，可以把方程的解代入原方程，转化为关于字母a的方程进行求解．24．在①2x﹣1；②2x+1=3x；③|π﹣3|=π﹣3；④t+1=3中，等式有②③④，方程有②④．（填入式子的序号）考点：方程的定义．分析：方程是含有未知数的等式，因而方程是等式，等式不一定是方程，只是含有未知数的等式是方程．解答：解：等式有②③④，方程有②④．点评：本题考查了方程的定义，方程与等式的关系，是一个考查概念的基本题目．25．语句“x的3倍比y的大7”用方程表示为：3x=y+7．考点：方程的定义．专题：应用题．分析：根据x的3倍=x的+7，直接列方程．解答：解：由题意，得3x=y+7．故答案为：3x=y+7．点评：本题考查了列方程．列方程的关键是正确找出题目的相等关系，找的方法是通过题目中的关键词如：大，小，倍等．26．一根细铁丝用去后还剩2m，若设铁丝的原长为xm，可列方程为x﹣x=2．考点：方程的定义．分析：设铁丝的原长为xm，用去全长的后还剩2m，根据题意可得出数量关系式：铁丝的全长﹣铁丝全长×=剩下铁丝的长度，据此可列出方程．解答：解：设铁丝的原长为xm，由题意，得：x﹣x=2．故答案为：x﹣x=2．点评：本题考查学生利用数量关系式列方程，培养学生的分析能力．27．若单项式3ac x+2与﹣7ac2x﹣1是同类项，可以得到关于x的方程为x+2=2x﹣1．考点：方程的定义；同类项．分析：所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，即可得到关于x的方程．解答：解：∵单项式3ac x+2与﹣7ac2x﹣1是同类项，∴x+2=2x﹣1．故答案为x+2=2x﹣1．点评：本题考查的是同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同，（2）相同字母的指数相同，是易混点，还要注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．同时考查了方程的定义：含有未知数的等式叫方程．28．x的10%与y的差比y的2倍少3，列方程为10%x﹣y=2y﹣3．考点：方程的定义．分析：根据数学语言列出数量关系等式即可．解答：解：x的10%与y的差比y的2倍少3，列方程为10%x﹣y=2y﹣3．故答案为：10%x﹣y=2y﹣3．点评：本题考查了列一元一次方程，主要是数学语言转化为等式的能力的训练，比较简单．29．某校长方形的操场周长为210m，长与宽之差为15m，设宽为xm，列方程为2（x+x+15）=210．考点：方程的定义．分析：先表示出长，再根据长方形的周长公式列出方程即可．解答：解：设宽为xm，则长为（x+15）m，根据题意得，2（x+x+15）=210．故答案为：2（x+x+15）=210．点评：本题考查了一元一次方程，主要利用了长方形的周长公式．30．写出一个解为2的方程x=2．考点：方程的解．专题：开放型．分析：方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等．解答：解：x=2就是解是2的方程．（答案不唯一）．故答案是：x=2．点评：解决本题的关键在于理解方程的解的定义，以及方程的定义．。
6.3.1从实际问题到方程0831jj
6.3.1从实际问题到方程一、本课重点，请你理一理列方程解应用题的一般步骤是：（1）“找”：看清题意，分析题中及其关系，找出用来列方程的____________；（2）“设”：用字母（例如x）表示问题的_______；（3）“列”：用字母的代数式表示相关的量，根据__________列出方程；（4）“解”：解方程；（5）“验”：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案；（6）“答”：答出题目中所问的问题。
三、综合题，请你试一试1. 在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是13岁.就问同学：“我今年45岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?”2. 小明的爸爸三年前为小明存了一份3000元的教育储蓄.今年到期时取出，得到的本息和为3243元,请你帮小明算一算这种储蓄的年利率. 3.小赵去商店买练习本，回来后问同学：“店主告诉我，如果多买一些就给我八折优惠．我就买了20本，结果便宜了1.60元．”你能列出方程吗？6.3.2 行程问题一、本课重点，请你理一理1.基本关系式：____________________ ;2.基本类型：相遇问题; 相距问题; ____________ ;3.基本分析方法：画示意图分析题意，分清速度及时间，找等量关系（路程分成几部分）.4.航行问题的数量关系：（1）顺流（风）航行的路程=逆流（风）航行的路程（2）顺水（风）速度=_________________________ 逆水（风）速度=_________________________三、综合题，请你试一试1.甲、乙两地路程为180千米，一人骑自行车从甲地出发每时走15千米，另一人骑摩托车从乙地出发，已知摩托车速度是自行车速度的3倍，若两人同时出发，相向而行，问经过多少时间两人相遇？2. 甲、乙两地路程为180千米，一人骑自行车从甲地出发每时走15千米，另一人骑摩托车从乙地出发，已知摩托车速度是自行车速度的3倍，若两人同向而行，骑自行车在先且先出发2小时， 问摩托车经过多少时间追上自行车？3．一架直升机在A ，B 两个城市之间飞行，顺风飞行需要4小时，逆风飞行需要5小时 .如果已知风速为30km/h ，求A ，B 两个城市之间的距离.1.有23人在甲处劳动，17人在乙处劳动，现调20人去支援，使在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？2. 为鼓励节约用水，某地按以下规定收取每月的水费：如果每月每户用水不超过20吨，那么每吨水按1.2元收费；如果每月每户用水超过20吨，那么超过的部分按每吨2元收费。
学习应用方程解决实际问题——从算式到方程教案设计
学习应用方程解决实际问题——从算式到方程教案设计从算式到方程教案设计一、教学目标通过本节课的学习，学生能够：1.掌握将实际问题转化为方程的方法；2.认识利用方程解决实际问题的重要性；3.掌握解方程的方法和技巧，熟练运用这些技巧和方法解决实际问题。
二、教学重点1.理解方程与实际问题的关系；2.掌握解方程的方法和技巧。
三、教学难点1.将实际问题转化为方程；2.解决复杂的实际问题。
四、教学方法讲授、练习与反思相结合。
五、教学内容1.方程与实际问题的关系在生活中，我们经常会遇到各种各样的实际问题，而实际问题不一定用算式就能解决。
因此，我们需要将实际问题转化为方程才能解决。
什么是方程呢？方程是用来表示未知数与已知数之间关系的数学语句。
通过将实际问题转化为方程，我们可以用数学方法解决问题。
例如：小明去买水果，买了苹果和香蕉两种水果，苹果6元一斤，香蕉8元一斤，共花费了24元。
苹果买了3斤，香蕉买了2斤。
问苹果和香蕉分别多少斤。
设苹果的重量为x，香蕉的重量为y，则有以下方程：6x + 8y = 24x + y = 5通过解方程可以得出：苹果3斤，香蕉2斤。
2.解方程的方法和技巧在解决实际问题过程中，我们需要掌握解方程的方法和技巧。
下面介绍一些常用的方法和技巧。
1）一元一次方程的解法一元一次方程指的是只有一个未知数，并且这个未知数的最高次数是一次的方程。
如：ax+b=0（a≠0）。
解一元一次方程的方法（1）两边加或减一个数（2）两边同时乘以或除以一个数（不允许除以0）（3）移项变号（4）利用等式的性质，如：2）二元一次方程的解法二元一次方程指的是有两个未知数，并且这两个未知数的最高次数都为一次。
如：ax+by=c，dx+ey=f。
解二元一次方程的方法（1）联立方程组（2）代入法（3）消元法（4）Cramer法则……六、教学实践1.通过教师讲授，学生笔记，展示练习等方式，让学生掌握将实际问题转化为方程的方法，认识利用方程解决实际问题的重要性，掌握解方程的方法和技巧。
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解 设x年后同学的年龄是老师年龄的三分之一，x年后同学的年龄是(13+x)岁，老师年龄是(45+x)岁.
根据题意，列出方程得
这个方程不太好解，大家可以用尝试、检验的方法找出它的解，即只要将x＝1，2，3，4，…代入方程的左右两边，看哪个数能使左右两边的值相等，这样得到方程的解为 x＝3 .
根据题意列方程得
x+(3x－16)=120
例2 检验下面方程后面括号内所列各数是否为这个方程的解：
2(x+2)-5(1-2x)=-13,{x=-1,1}
解 将x=-1代入方程的两边得
左边=2(-1+2)-5[1-2×(-1)]=-13
右边=-13
因为左边=右边，所以x=-1是方程的解.
将x=1代入方程的两边得
“学导练当堂清”课堂教学改革导学案
课题：6.1从实际问题到方程
七年级学科数学主备任Байду номын сангаас平副备总第10课时
【目标清】约1分钟
复习列方程解应用题的方法；学会用检验的方法判断一个数是否为方程的解.
『教师导学』
【学法清】约1-2分钟
自主学习合作探究
【学测清】不少于20分钟
一、创设情境
在现实生活中，有很多问题都跟数学有关，例如下面的问题：
根据题意列方程得
44x + 64 = 328
你会解这个方程吗？自己试试看.
问题 在课外活动中，张老师发现同学的年龄大多是13岁，就问同学：“我今年45岁，几年后你们的年龄是我年龄的三分之一？”
方法一：我们可以按年龄的增长依次去试.
1年后，老师的年龄是46岁，同学的年龄是14岁，不是老师年龄的三分之一；
左边=2(1+2)-5(1-2×1)=11
右边=-13
因为左边≠右边，所以x=1不是方程的解.
四、交流反思
这节课主要讲了下面两个问题：
1.复习了用列方程的方法来解应用题；
2.检验一个数是否为方程的解的方法.
五、检测反馈
1.检验下列方程后面括号内所列各数是否为相应方程的解：
(1) (2)2(y-2)-9(1-y)=3(4y-1) , {-10,10}
问题某校初一年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆？
这个问题用数学中的什么方法来解决呢？
解(328－64)÷44
= 264÷44
= 6 (辆)
答：还需租用44座的客车6辆.
二、探究归纳
方法是列方程解应用题的办法.
解设还需租用44座的客车x辆，则共可乘坐44x人.
2.根据班级内男、女同学的人数编一道应用题，和同学交流一下.
3.小赵去商店买练习本，回来后问同学：“店主告诉我，如果多买一些就给我八折优惠，我就买了20本，结果便宜了1.60元，你猜原来每本价格多少？”你能列出方程吗？
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要检验一个数是否为方程的解，只要把这个数代入方程的左右两边，看能否使左右两边的值相等.如果左右两边的值相等，那么这个数就是方程的解
2年后，老师的年龄是47岁，同学的年龄是15岁，也不是老师年龄的三分之一；
3年后，老师的年龄是48岁，同学的年龄是16岁，恰好是老师年龄的三分之一.
请大家回忆一下，在小学里还学过什么方法可以解决上面的问题？
评列方程解应用题的基本过程是：
观察题意，找出等量关系；设未知数，并列出方程；解所列的方程；写出答案.
评 使方程左右两边的值相等的未知数的值，就是方程的解.
三、实践应用
例1 甲、乙两车间共生产电视机120台，甲车间生产的台数是乙车间的3倍少16，求甲、乙两车间各生产电视机多少台(列出方程，不解方程)？
分析 等量关系是：
甲车间生产的台数 + 乙车间生产的台数＝电视机总台数
解 设乙车间生产的台数为x台，则甲车间生产的台数是(3x－16)
『课后反思』