7.27.4共轴球面光学系统

点的位置有关。这个量在像差中有重要用途。
h
（2） n ' u ' nu (n ' n )
孔径变化式
r
表示近轴光经球面折射前后的孔径角 u 和 u ' 的关系 。
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7.3 单个折射球面近轴区成像
（3） n' n n'n “距度”（距离倒数）变化式或物像公式 l' l r
该式表示折射球面成像时，物像位置 l 和l ' 之间的关系。已
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7.2 单个折射球面的折射
➢ 单个折射球面的光路计算公式
如图，在ΔAEC中，应用正弦定律 ，得
sinAECsin(U)
Lr
r
又 sinIsin A E C
sin I (L r) sin U r
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7.2 单个折射球面的折射
➢ 单个折射球面的光路计算公式
在光线的入射点处应用折射定律
②当β>0，y’和y同号，成正像；l '和l 同号，物像位于球面的同
侧，实物成虚像，虚物成实像。 ③当∣β∣>1，为放大像；∣β∣<1，为缩小像。
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7.3 单个折射球面近轴区成像
➢ 轴向放大率
当物体在给定位置有一微量位移dl，其像也在像点位置处有一
微量位移dl′，定义dl′与dl 的比值为轴向放大率，用 表示.
➢ 高斯公式和牛顿公式
将r
/(n'
n)
乘以物象公式
n' l'
ห้องสมุดไป่ตู้
n l
(n
r '
n)，得
f' f 1
l' l
球面折射的高斯公式
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7.3 单个折射球面近轴区成像
➢ 光焦度
物像公式右端的 r /(n'n) 仅与介质的折射率及球面曲率半径
有关，因而对于一定的介质及一定形状的表面来说是一个不变
2
E
则
I Q
cosI'U' L'OE 2
LsinUcosI'U'
2
A
U
O
sinU'
sinU'cosIU
-L
φC
U'
r
L'
2
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7.2 单个折射球面的折射
➢单个折射球面的光路计算公式
见课本例题7-1，7-2
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7.2 单个折射球面的折射
➢ 近轴光的光路计算公式
如图，从A点发出的离光轴很近的光线称为近轴光，此时，U
点是轴上无限远物点的像点，称为球面的像方主焦点或第二主焦
点。从顶点O 到F ' 的距离称为第二主焦距，用 f ' 表示。由物象关
系式
f'
n' n n'n
l' l r
有 l' f ' n' r n'n
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（2.1）
F' O
n n'
7.3 单个折射球面近轴区成像
➢物像公式
同理，如图有球面的物方焦点 F 及物方焦距 f ，且
为拉格朗日－亥姆霍兹不变量，简称拉亥不变量。
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7.5 共轴球面系统
上面讨论了单个折射球面的光路计算及成像特性，它对构成 光学系统的每个球面都适用。因此，只要找到相邻两个球面之间 的光路关系，就可以解决整个光学系统的光路计算问题。
首先先介绍如何由一个面过渡到下一个面的转面计算问题。
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光线的单个折射球面的光路计算，是指在给定单 个折射球面的结构参量n、n’和r，由已知入射光线 坐标L和U，计算折射后出射光线的坐标L’和U’。
L和 L’分别为物方、像方截距；U和U’分别为物方 、像方孔径角。
单考虑折射球面的折射原因是：大多数光学系统由 折、反射球面或平面组成的共轴球面光学系统；平面 可以看成曲率半径取于无穷大；反射是n’=-n时的特 例.
sin I ' n sin I n'
由图知
U I U'I'
像方孔径角 U'U I I'
在ΔCEA′中再次应用正弦定律
sin I ' sinU ' 得像方截距 L' r(1 sinI ' )
L' r r
sinU'
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7.2 单个折射球面的折射
➢ 单个折射球面的光路计算公式
从而实现：光线的单个折 射球面的光路计算，是指在 给定单个折射球面的结构参 量n、n’和r，由已知入射光 线坐标L和U，计算折射后出 射光线的坐标L’和U’。
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7.2 单个折射球面的折射
➢完善成像条件
一个物点发出的同心光束与球面波相对应。如果该 球面波经光学系统后仍为一球面波，对应的光束仍为同 心光束，则称该同心光束的中心 A ' 为物点 A 经光学系统 所成的完善像点。
结论：物点和相应的像点之间各光线的光程相 等。因而，等光程是完善成像的物理条件。
7.3 单个折射球面近轴区成像
➢ 角放大率
如物体以某一孔径角u入射到折射球面上，经折射后以孔径角 u′成像，定义u与u′的比值为角放大率，用γ表示。
u'
u
利用关系式lu l 'u' 可得
l l'
与垂轴放大率 b y ' nl ' 比较 n 1
得
y n 'l
n' b
又知 n ' b 2 ，则 n' b2 n 1 b
E
lul'u'h A
-u
h
-l O D l′
u′
A′
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2-4
7.3 单个折射球面近轴区成像
将近轴成像公式作线性变换，还可以进一步推导出如下计算式
（1）
n'
1 (
1
)
n(
1
1 )
Q
r l'
rl
阿贝不变式
阿贝不变式表明，单个折射球面，物方和像方的一些参量具有
不变量形式，称为阿贝不变量，用字母Q表示，Q的大小只与共轭
量，它表征球面的光学特征，称之为该面的光焦度，以 表示：
(n ' n)
r
当r以米为单位时， 的单位称为折光度，以字母D表示。
根据光焦度及焦距公式，单个折射球面两焦距和光焦度之间
的关系为
n' n
f' f
则，焦距 f 和 f ' 也是折射面的特征量。
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7.3 单个折射球面近轴区成像
知物或像的位置l 或 l ' 和r , n , n ' 可方便求出其相共轭的像或物
的位置 l '和l 。通常， l 称为物距，l ' 称为像距，两者均以折射
面顶点为起点。
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7.3 单个折射球面近轴区成像
➢ 物像公式
若物点位于轴上左方无穷远，即物距 l ，此时入射光
线平行于光轴，经球面折射后交光轴与 F ' 点，如图，这个特殊
➢ 垂轴放大率
如图，设物体大小为y，像的大小为y′，则y′和y的比值定义
为垂轴放大率，用β表示
b y'
y
B y
像高即为 y ' b y
A
由 A B C ~ A 'B 'C ' 得
n
iE
n′
-u
O
i′ C u′ A′
r
-y′
-l
l′
B′
y ' l ' r y l r
1 1 11 n'( )n( )
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7.2 单个折射球面的折射
➢ 单个折射球面的光路计算公式
当物体位于物方轴上无限远时，这时可以认为轴上物点发出的 是平行于光轴的平行光束，即L=－∞，U=0， 如图所示。
此时，不能用 sin I (L r) sin U 计算入射角，而应按下式
计算，即
r
sin I h r
h 为光线的入射高度
IE
h r I′
U′
A′
OD
C
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7.2 单个折射球面的折射
➢单个折射球面的光路计算公式
为保证光路计算的准确性（光路计算数字位较多，一般取 ６位，而且计算复杂），下面导出光路计算的校对公式，避免 错误。
如图OQAE , 由直角三角形 OEQ和OAQ 得
E I Q
OE OQ cosQOE
r l' r l
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b y ' nl '2-6 y n 'l
7.3 单个折射球面近轴区成像
➢ 垂轴放大率
上面推导结果说明：垂轴放大率β由共轭面的位置决定，在同一 共轭面上，β为常数，所以像物相似。
① 当β<0，y’和y异号，成倒像；l ' 和l 异号，物像位于球面的两
侧，实物成实像，虚物成虚像。
7.5 共轴球面系统
➢ 转面（过渡）公式
设一个共轴光学系统由k个面组成，其成像特性由下列结构参数 确定： ①各球面的曲率半径r1,r2,…,rk。
②相邻球面顶点间的间隔d1,d2,…,dk-1,其中d1为第一面顶点到第 二面顶点间的沿轴距离，d2为第二面顶点到第三面顶点间的沿轴 距离，其余类推。