(江苏专用)2021新高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1节导数的概念及运算课件
(江苏专版)高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节导数的概念及导数的运算实用课件文
2．函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若 Δx_无__限__趋__近__于___0_时，比值ΔΔxy＝_f_x_0_＋__ΔΔ_x_x_－__f_x_0_ 无限趋近于一 个_常__数___A_，则称 f(x)在 x＝x0 处 可导 ，并称常数 A 为函数 f(x) 在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0) ． 3．函数 f(x)的导函数 若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都 可导 ，则 f(x) 在各点的导数也随着自变量 x 的变化而变化，因而也是自变 量 x 的 函数 ，该函数称为 f(x)的 导函数 ，记作 f′(x) ．
(3)[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C 为常数)； f′xgx－fxg′x
(4)gfxx′＝_________[g__x__]2_______ (g(x)≠0)．
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考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
已知函数的解析式求导数 [例 1] 求下列函数的导数： (1)y＝(1－ x)1＋ 1x； (2)y＝lnxx； (3)y＝tan x； (4)y＝3xex－2x＋e.
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考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求切线方程 [例 1] 已知函数 f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲线 f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点 A(2，－2)的曲线 f(x)的切线方程． [解] (1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5， ∴f′(2)＝1，又 f(2)＝－2， ∴曲线 f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 y－(－2)＝x－2， 即 x－y－4＝0.
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求切点坐标 [例 2] (1)设曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y＝1x(x＞0) 上点 P 处的切线垂直，则点 P 的坐标为________． (2)(2018·广州模拟)设函数 f(x)＝x3＋ax2，若曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 x＋y＝0，则点 P 的坐标为________． [解析] (1)y＝ex 的导数为 y′＝ex，则曲线 y＝ex 在点(0,1) 处的切线斜率 k1＝e0＝1.y＝1x(x＞0)的导数为 y′＝－x12(x＞0)， 设 P(m，n)，则曲线 y＝1x(x＞0)在点 P 处的切线斜率 k2＝－m12(m ＞0)．因为两切线垂直，所以 k1k2＝－1，所以 m＝1，n＝1，则 点 P 的坐标为(1,1)．
高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念3.1.2瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1(2021
（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.1。
2 瞬时变化率—导数学习目标：1。
理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)[自主预习·探新知］1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。
当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x处的导数,记作f′（x0）．5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．[基础自测］1．判断正误：(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算课时作业 文(2021年最新整理)
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第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算基础巩固题组（建议用时：40分钟)一、填空题1．设y＝x2e x，则y′＝________.解析y′＝2x e x＋x2e x＝（2x＋x2)e x.答案(2x＋x2）e x2．已知函数f（x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′（1)＝________。
解析由f（x）＝2xf′（1）＋ln x，得f′(x)＝2f′（1）＋错误!，∴f′（1)＝2f′（1)＋1，则f′(1）＝－1。
答案－13．曲线y＝sin x＋e x在点（0，1)处的切线方程是________．解析y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0。
答案2x－y＋1＝04．(2017·苏州调研）已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为________．解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞），且y′＝错误!,设切点为（x0，ln x0），则y′|x＝x0＝错误!，切线方程为y－ln x0＝错误!(x－x0），因为切线过点（0,0），所以－ln x0＝－1,解得x0＝e，故此切线的斜率为1 e .答案1 e5．若曲线y＝ax2－ln x在点（1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.解析因为y′＝2ax－错误!,所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点（1,a)处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝错误!。
【步步高】(江苏专用)版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算课件 理
§3.1 导数的概念及运算
内容 索引
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析 易错警示系列
思想方法 感悟提高 练出高分
基础知识 自主学习
1
知识梳理
1.导数与导函数的概念 (1)设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若 Δx 无限趋近于 0 Δy fx0＋Δx－fx0 时，比值Δx＝ 无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在 x＝x0 处 Δx f′(x0) . 可导，并称该常数 A 为函数 f(x)在 x＝x0 处的导数(derivative)，记作______
1 xln a f′(x)＝______
答案
4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 f′(x)±g′(x) ； (1)[f(x)±g(x)]′＝______________ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ； (2)[f(x)·g(x)]′＝___________________
f(x)＝sin x
f′(x)＝_____ cos x
答案
f(x)＝cos x f(x)＝ex f(x)＝a (a>0，a≠1)
x
－sin x f′(x)＝______
f′(x)＝__ ex
axln a f′(x)＝______
1 x f′(x)＝__
f(x)＝ln x
f(x)＝logax(a>0，a≠1)
答案
2
考点自测
1 3 1.(教材改编)f′(x)是函数 f(x)＝3x ＋2x＋1 的导函数， 则 f′(－1)的值为__. 3 1 3 解析 ∵f(x)＝3x ＋2x＋1， ∴f′(x)＝x2＋2.
∴f′(－1)＝3.
【2021】高考数学苏教版一轮核心考点精准研析：3.1 导数的概念及计算
核心考点·精准研析考点一 导数的计算1.下列求导运算正确的是 ( ) A.(sin a)′=cos a(a 为常数) B.(sin 2x)′=2cos 2x C.(cos x)′=sin x D.(x -5)′=- 15x -62.函数f(x)=x 2+ln x+sin x+1的导函数f ′(x)= ( ) +1x +cos x+11x+cos x+1x -cos x +1x+cos x 3.函数f(x)=cosx sinx的导函数f ′(x)= ( )x1tanx1cos 2x1sin 2x4.函数f(x)=√2x +1的导函数f ′(x)= ( )√2x +1 B.√2x+1C.2√2x+1D.√2x+15.设f ′(x)是函数f(x)=cosx e x+x 的导函数,则f ′(0)的值为________.【解析】1.选B.(sin a)′=0(a 为常数),(sin 2x)′=2cos 2x, (cos x)′=-sin x,(x -5)′=-5x -6.2.选D.由f(x)=x 2+ln x+sin x+1得f ′(x)=2x+1x +cos x.3.选′(x)=-sin 2x -cos 2xsin 2x=-1sin 2x.4.选′(x)=(√2x +1)′=[(2x +1)12]′ =12(2x +1)-12(2x +1)′=1√2x+1.5.因为f(x)=cosxe x+x,所以f ′(x)=-sinxe x -cosxe x(e x )2+1=-sinx -cosxe x+1,所以f ′(0)=-1e0+1=0. 答案:0题2中,若将“f(x)=x 2+ln x+sin x+1”改为“f(x)=1-√x +1+√x”,则f ′(x)=________. 【解析】因为f(x)=1-√x +1+√x =21-x,所以f ′(x)=(21-x)′=2'(1-x )-2(1-x )'(1-x )2=2(1-x )2.答案:2(1-x )2考点二 导数的简单应用【典例】1.若函数f(x)=e ax +ln(x+1),f ′(0)=4,则a=________. 2.已知函数f(x)的导函数为f ′(x),且f(x)=2xf ′(e)-ln x,则f ′(e)=_____.3.(2021·苏州模拟)二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,若其导函数为f ′(x)=3x-12,则f(x)=______.【解题导思】序号 联想解题1 由f ′(0)=4,想到求f ′(x),列方程2 由f ′(e)想到求f ′(x)并代入x=e3由二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,想到设函数的解析式为f(x)=ax 2+bx【解析】1.由f(x)=e ax +ln(x+1), 得f ′(x)=ae ax +1x+1,因为f ′(0)=4,所以f ′(0)=a+1=4, 所以a=3. 答案:32.因为f(x)=2xf ′(e)-ln x, 所以f ′(x)=2f ′(e)-1x ,令x=e 得:f ′(e)=2f ′(e)-1e,即f ′(e)=1e.答案:1e3.根据题意,二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,设其解析式为f(x)=ax 2+bx, 则有f ′(x)=2ax+b,又由f ′(x)=3x-12,得2ax+b=3x-12,则a=32,b=-12,故f(x)=32x 2-12x.答案:32x 2-12x含参数的函数的导数要注意的两点(1)含有字母参数的函数求导时,要分清哪是变量哪是参数,参数是常量,其导数为零.(2)注意利用题目条件构建方程,求出参数的值.此时要注意区别函数f(x)及其导数f ′(x).1.已知f(x)的导函数为f ′(x),且满足f(x)=x 3+f ′(23)x 2-x,则f(1)=( )B.2 【解析】选C.由f(x)=x 3+f ′(23)x 2-x,得f ′(x)=3x 2+2f ′(23)x-1,所以f ′(23)=43+ 43f ′(23)-1,所以f ′(23)=-1,f(x)=x 3-x 2-x, 所以f(1)=13-12-1=-1.2.函数f(x)=ln x+a 的导函数为f ′(x),若方程f ′(x)=f(x)的根x 0小于1,则实数a 的取值范围为 ( )A.(1,+∞)B.(0,1)C.(1,√2)D.(1,√3)【解析】选A.由函数f(x)=ln x+a可得f′(x)=1x,由于使得f′(x0)=f(x0)成立的0<x0<1,则1x0=ln x0+a(0<x0<1).由于1x0>1,ln x0<0,所以a=1x0-ln x0>1,故有a>1.考点三导数几何意义的运用命题精解读考什么:(1)求切线方程、求切点坐标、与切线有关求参数的值或取值范围.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养怎么考:与直线的方程、不等式等结合考查直线的斜率、直线的点斜式方程、导数的几何意义等问题新趋势:以三角函数、指数函数、对数函数为载体,与求导数和导数的几何意义交汇考查.学霸好方法1.注意两类切线问题的区别(1)“过”与“在”:曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别:前者P(x0,y0)为切点,而后者P(x0,y0)不一定为切点.(2)“切点”与“公共点”:某曲线的切线与此曲线的公共点有可能有多个(即除了切点之外可能还有其他公共点).2.利用导数求曲线的切线方程若已知曲线y=f(x)过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线方程,则需分点P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解.(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f ′(x0)(x-x0).(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步:第一步:设出切点坐标P′(x1, f(x1));第二步:写出曲线在点P′(x1, f(x1))处的切线方程y-f(x1)=f ′(x1)(x-x1);第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切线方程.已知切点求切线的方程问题【典例】(2021·全国卷Ⅰ)曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为____________.【解析】y′=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3(x2+3x+1)e x,所以k=y′|x=0=3,所以曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-y=0. 答案:3x-y=0用导数的几何意义求曲线的切线方程的关键是什么提示:关键是确定切点坐标.未知切点求切线的方程问题【典例】已知函数f(x)=x3+x-16,若直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,则直线l的方程为________.【解析】设切点坐标为(x0,y0),则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1,所以直线l的方程为y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16,因为直线l过原点,所以0=(3x02+1)(0-x0)+x03+x0-16,整理得,x03=-8,所以x0=-2,所以y0= (-2)3+(-2)-16=-26,f′(x0)=3×(-2)2+1=13.所以直线l的方程为y=13x.答案:y=13x如何从题目条件判断是否知道切点提示:从题目条件的叙述方式判断,一般来说,“过××点”的切线,都是不知道切点.知道切点的叙述方式为“在××点处的切线”.求参数的值【典例】(2021·全国卷Ⅲ)已知曲线y=ae x+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则( )=e,b=-1 =e,b=1=e-1,b=1 =e-1,b=-1【解析】选D.令f(x)=ae x+xln x,=e-1.则f′(x)=ae x+ln x+1,f′(1)=ae+1=2,得a=1ef(1)=ae=2+b,可得b=-1.切线问题中可以用来列出等量关系的依据有哪些提示:(1)切点处的导数为切线斜率;(2)切点在切线上;(3)切点在曲线上.1.已知定义在R上的奇函数f(x),当x≤0时,f(x)=x3-2x-m,则曲线在点P(2,f(2))处的切线斜率为( )D.与m的取值有关【解析】选A.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=-m =0,所以m =0,即当x≤0时,f(x)=x3-2x,当x>0时,f(x)=-f(-x)= x3-2x,所以当x>0时,f′(x)=3x2-2,f′(2)=3×22-2=10.2.(2021·吉安模拟)已知过点P(1,1)且与曲线y=x3相切的直线的条数有( )B.1【解析】选C.若直线与曲线相切于点(x 0,y 0)(x 0≠0), 则k=y 0-1x 0-1=x 03-1x 0-1=x 02+x 0+1, 因为y ′=3x 2,所以y '|x=x 0=3x 02, 所以3x 02=x 02+x 0+1,所以2x 02-x 0-1=0,所以x 0=1或x 0=-12,所以过点P(1,1)与曲线y=x 3相切的直线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0,所以共有2条.3.(2021·十堰模拟)若直线y=12x+m 与曲线y=x 3-2相切,则m=________.【解析】y=x 3-2的导数为y ′=3x 2,直线y=12x+m 与曲线y=x 3-2相切,设切点为(s,t),可得3s 2=12,12s+m=s 3-2,即有s=2,m=-18;s=-2,m=14. 答案:14或-181.设点P 是曲线y=x 3-√3x+23上的任意一点,则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为 ( ) A.[0,π2]∪[5π6,π) B.[2π3,π)C.[0,π2)∪[2π3,π) D.(π2,5π6]【解析】选C.因为y ′=3x 2-√3≥-√3,故切线的斜率k ≥-√3,所以切线的倾斜角α的取值范围为[0,π2)∪[2π3,π).2.如图,y=f(x)是可导函数,直线l :y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),则曲线g(x)在x=3处的切线方程为________.【解析】由题图可知曲线y=f(x)在x=3处的切线斜率等于-13,即f ′(3)=-13.又g(x)=xf(x),所以g ′(x)=f(x)+xf ′(x),g ′(3)=f(3)+3f ′(3),由题图可知f(3)=1,所以g(3)=3f(3)=3,g ′(3)=1+3×(-13)=0,则曲线g(x)在x=3处的切线方程为y-3=0. 答案:y-3=03.阅读材料:求函数y=e x 的导函数. 解:因为y=e x ,所以x=ln y,所以x′=(lny )′,所以1=1y ·y′,所以y′=y=e x .借助上述思路,曲线y=(2x -1)x+1,x ∈(12,+∞)在点(1,1)处的切线方程为________.【解析】因为y=(2x -1)x+1, 所以ln y=(x +1)ln (2x -1), 所以1y ·y ′=ln (2x -1)+2(x+1)2x -1,所以y ′=[ln (2x -1)+2(x+1)2x -1](2x -1)x+1,当x=1时,y ′=4,所以曲线y=(2x-1)x+1,x∈(1,+∞)在点(1,1)处的切线方程为2y-1=4(x-1),即y=4x-3.答案:y=4x-3。
江苏专版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节导数的概念及导数的运算教案文含解析苏教版
江苏专版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节导数的概念及导数的运算教案文含解析苏教版第一节 导数的概念及导数的运算1．导数的概念 (1)平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 ①定义：设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，此值ΔyΔx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝x α f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[Cf (x )]′＝Cf ′(x )(C 为常数)；(3)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x g 2x (g (x )≠0)．[小题体验]1．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________． 解析：由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 答案：e2．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 答案：2x －y ＋1＝03．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝_____.解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，所以f ′(3)＝－13，因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.答案：01．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x α)′＝αx α－1与指数函数的求导公式(a x)′＝a xln a 混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．[小题纠偏]1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .答案：－x sin x2．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a·e x图象的切线，则实数a ＝________.解析：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a·e 0x＝－1，所以ex ＝a ，又－1a·e 0x＝－x 0＋1，所以x 0＝2，a ＝e 2.答案：e 23．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a ＝________.解析：因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.答案：－1或－2564考点一 导数的运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]求下列函数的导数． (1)f (x )＝x 3＋x ； (2)f (x )＝sin x ＋x ； (3)f (x )＝e x cos x ； (4)f (x )＝x －1x－ln x . 解：(1)f ′(x )＝(x 3＋x )′＝(x 3)′＋(x )′＝3x 2＋1. (2)f ′(x )＝cos x ＋1.(3)f ′(x )＝e xcos x －e xsin x ＝e x(cos x －sin x )． (4)f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－xx2.[谨记通法]求函数导数的3种原则考点二 导数的几何意义题点多变型考点——多角探明[锁定考向]导数的几何意义是把函数的导数与曲线的切线联系在一起，一般不单独考查，在填空题中会出现，有时也体现在解答题中，难度偏小．常见的命题角度有： (1)求切线方程； (2)求切点坐标；(3)求参数的值(范围)．[题点全练]角度一：求切线方程1．(2019·泰州检测)若函数f (x )＝2x 在点(a ，f (a ))处的切线与直线2x ＋y －4＝0垂直，则该切线方程为________．解析：∵切线与直线2x ＋y －4＝0垂直， ∴切线的斜率是12.∵f (x )＝2x ，∴f ′(x )＝x12-，∴f ′(a )＝a12-＝12. 解得a ＝4，则f (4)＝4，故函数f (x )在点(4,4)处的切线方程为x －2y ＋4＝0. 答案：x －2y ＋4＝02．已知曲线y ＝x 与y ＝8x的交点为C ，两曲线在点C 处的切线分别为l 1，l 2，则切线l 1，l 2与y 轴所围成的三角形的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝8x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，即C (4,2)，由y ＝x ，得y ′＝(x )′＝12x ，则直线l 1的斜率k 1＝14，∴l 1：y ＝14x ＋1.同理可得l 2：y ＝－12x ＋4，如图，易知S △ABC ＝12×3×4＝6，即所求的面积为6.答案：6角度二：求切点坐标3．(2019·扬州模拟)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为________．解析：f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，符合题意．答案：(1,3)和(－1,3) 角度三：求参数的值(范围)4．(2018·常州高三期末)已知函数f (x )＝bx ＋ln x ，其中b ∈R.若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________．解析：设切点为(x 0，bx 0＋ln x 0)，f ′(x )＝b ＋1x ，则k ＝b ＋1x 0，故切线方程为y －(bx 0＋ln x 0)＝⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1x(x －x 0)，将(0,0)代入，可得x 0＝e ，则k ＝b ＋1e ，∴k －b ＝1e .答案：1e[通法在握]与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A (x 0，y 0)求斜率k ，即求该点处的导数值，k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)求过某点M (x 1，y 1)的切线方程时，需设出切点A (x 0，f (x 0))，则切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再把点M (x 1，y 1)代入切线方程，求x 0.[演练冲关]1．曲线f (x )＝2x －e x与y 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为________． 解析：曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为(0，－1)． 且f ′(x )＝2－e x，所以f ′(0)＝1. 所以所求切线方程为y ＋1＝x ，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝02．(2018·南京、盐城高三二模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝mx ＋1(m ＞0)在x＝1处的切线为l ，则点(2，－1)到直线l 的距离的最大值为________．解析：把x ＝1代入y ＝m x ＋1，得y ＝m2， 则切线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，m 2.∵y ′＝－m x ＋12，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝－m4.∴切线l 的方程为y －m 2＝－m4(x －1)，即mx ＋4y －3m ＝0.∴点(2，－1)到直线l 的距离d ＝|2m －4－3m |m 2＋42＝|－4－m |m 2＋16＝m ＋4m 2＋16＝m ＋42m 2＋16＝m 2＋8m ＋16m 2＋16＝1＋8mm 2＋16＝ 1＋8m ＋16m≤ 1＋82m ·16m＝2，当且仅当m ＝16m，即m ＝4时取“＝”，故所求最大值为 2. 答案： 23．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R)．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝b ＝0，f ′0＝－aa ＋2＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0，所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·常州调研)函数f (x )＝e x ＋x 2＋sin x 的导函数f ′(x )＝________. 答案：e x＋2x ＋cos x2．(2018·镇江调研)函数f (x )＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于________． 解析：由f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，得f ′(x )＝3x 2＋2x －1， 所以f ′(1)＝3＋2－1＝4. 答案：43．(2018·苏州暑假测试)曲线y ＝e x在x ＝0处的切线方程为____________． 解析：因为y ′＝e x，所以y ＝e x在x ＝0处的切线斜率k ＝e 0＝1， 因此切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝04．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.解析：因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x(－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 答案：－3π5．(2019·苏州调研)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R)图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a23，当x ＝a 3时，f ′(x )取到最大值a 23.∴a 23＜1，解得－3＜a ＜ 3. 答案：(－3，3)6．(2018·苏北四市调研)已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：因为f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，所以f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，所以f ′(－1)＝8， 故切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0， 令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，所以所求面积S ＝12×54×10＝254.答案：254二保高考，全练题型做到高考达标1．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(2)＝________. 解析：因为f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，所以f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－2，则f ′(x )＝2x －4，所以f ′(2)＝2×2－4＝0.答案：02．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝________. 解析：因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7. 所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8. 答案：83．(2019·淮安调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________． 解析：因为y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2， 所以y ′＝x ＋2－x x ＋22＝2x ＋22，y ′| x ＝－1＝2，所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， 所以所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案：y ＝2x ＋14．(2018·无锡期末)在曲线y ＝x －1x(x ＞0)上一点P (x 0，y 0)处的切线分别与x 轴，y轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，则x 0＝________.解析：因为y ′＝1＋1x2，切点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0－1x 0，x 0＞0，所以切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝1＋1x 20，所以切线方程是y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 20(x －x 0)．令y ＝0，得x ＝2x 0x 20＋1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0x 20＋1，0； 令x ＝0，得y ＝－2x 0，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2x 0.所以S △OAB ＝12·2x 0x 20＋1·2x 0＝2x 20＋1＝13，解得x 0＝ 5.答案： 55．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝________.解析：因为f ′(x )＝1x，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，解得m ＝－2. 答案：－26．(2018·淮安高三期中)已知函数f (x )＝x 3.设曲线y ＝f (x )在点P (x 1，f (x 1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x 2，f (x 2))，记f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′x 1f ′x 2的值为________．解析：由f ′(x )＝3x 2，得f ′(x 1)＝3x 21，所以曲线y ＝f (x )在点P (x 1，x 31)处的切线方程为y ＝3x 21x －2x 31，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 21x －2x 31，y ＝x 3，解得Q(－2x 1，－8x 31)，所以x 2＝－2x 1，所以f ′x 1f ′x 2＝3x 213x 22＝14.答案：147．(2019·南通一调)已知两曲线f (x )＝2sin x ，g (x )＝a cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2相交于点P .若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为________．解析：f ′(x )＝2cos x ，g ′(x )＝－a sin x ．设点P 的横坐标为x 0，则f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)·g ′(x 0)＝－1，即2sin x 0＝a cos x 0，(2cos x 0)·(－a sin x 0)＝－1，所以4sin 2x 0＝1.即 sin x 0＝±12，因为x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin x 0＝12，cos x 0＝32，所以a ＝233.答案：2338．曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1(x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为________．解析：设P (x 0，x 20＋1)，x 0∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 2＋1)＝2x 0(x －x 0)，所以y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，设g (x )＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，则g (1)＋g (2)＝－2x 20＋6x 0＋2，所以S 普通梯形＝g 1＋g 22×1＝－x 20＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋134，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134时，S 普通梯形最大．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1349．(2019·盐城中学月考)求下列函数的导数： (1)y ＝x 2(ln x ＋sin x )； (2)y ＝cos x －x x2； (3)y ＝x ln x .解：(1)y ′＝2x (ln x ＋sin x )＋x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋cos x ＝2x ln x ＋2x sin x ＋x ＋x 2cos x .(2)y ′＝－sin x －1x 2－cos x －x ·2xx 4＝x －2cos x －x sin xx 3.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x ln x ＋x ·1x ＝2＋ln x 2x .10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：(1)因为f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，所以f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，所以曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，因为f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，所以切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，所以x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，所以经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋14得， f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(0)＝a ，f (0)＝14，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax . 设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)， g ′(x )＝－1x， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ －ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x 0. ②将②代入①得ln x 0＝34， 所以x 0＝e 34，所以a ＝－1e34＝－e 34-. 答案：－e34-2．(2018·启东中学高三测试)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线l：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线l既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，解得a＝－2.(2)存在，理由如下：由已知得，直线l恒过定点(0,9)，若直线l是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)．因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f′(x)＝－6x2＋6x＋12，①由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10.所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
导数的概念及其意义 、导数的运算(高三一轮复习)
；
gfxx′＝f′xgx[g－xf]2xg′x(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝ 16 cf′(x)
．
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数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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5．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝ 17 f(g(x)) ．
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数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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命题点2 导数的几何意义
考向1 求切线方程
例2
(1)(2022·湖南衡阳二模)函数f(x)＝xln(－2x)，则曲线y＝f(x)在x＝－
e 2
处的
切线方程为 4x－2y＋e＝0
.
(2)(2y0＝22－·新1e高x 考Ⅱ卷.)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为
(2)f1x′＝－f[′fxx]2(f(x)≠0)． (3)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次函数的图 象相切只有一个公共点． (4)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变 化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越 “陡”．
f(x)＝xα(α∈Q且α≠0) f′(x)＝ 7αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝ 8 cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝ 9 －sin x
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数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝ 10 axln a
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算课件
( A )
A.x-y+1=0
B.3x-y-1=0
C.x-y-1=0
D.3x-y+1=0
(2)若曲线 y=ex 在点 P(x0,y0)处的切线在 y 轴上的截距小于 0,则
x0 的取值范围是( C )
A.(0,+∞)
C.(1,+∞)
1
B. e , + ∞
D.(2,+∞)
(3)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线
.
4
知识梳理
双基自测
3.函数f(x)的导函数
一般地,如果函数y=f(x)在区间(a,b)内的每一点处都有导数,导数
值记为 f'(x),且
为f(x)的
12/11/2021
f(x+x)-f(x)
f'(x)= lim
,则
x
Δ→0
导函数
f'(x)是关于 x 的函数,称 f'(x)
,通常也简称为导数.
解析
13 32
∵s=3t -2t +2t,∴v=s'=t2-3t+2.
令 v=0,则 t2-3t+2=0,解得 t1=1,t2=2.故选 D.
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9
知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
3.已知函数f(x)=axln x,其中a>0,且a≠1,f'(x)为f(x)的导函数.若
3
f'(1)=3,则a的值为
,
2
解析 ∵f'(x)=
-π 1
∴f'(π)=π2 =-π.
∴切线方程为
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2025版高考数学全程一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第一节导数的概念及其几何意义导数的运算课件
答案：D
解析：由题意得f′(x)＝3x2－2，故f′(2)＝3×4－2＝10，则f(x)＝x3－2x＋20，故 f(2)＝8－4＋20＝24.故选D.
题后师说
巩固训练1
(1)(多选)[2024·吉林长春模拟]已知下列四个命题，其中不正确的是
()
A．(e2x)′＝2e2x
导函数 f′(x)＝____0____ f′(x)＝__n_x_n_－_1__ f′(x)＝___co_s_x___ f′(x)＝__－__si_n_x__
f(x)＝ax(a>0且a≠1) f(x)＝ex
f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f(x)＝ln x(x>0)
f′(x)＝___a_x _ln_a__
关键能力·题型剖析
题型一导数的运算
例1 (1)(多选)[2024·河南南阳模拟]下列求导数的运算正确的是( )
A．(x3－1x)′＝3x2＋x12
B．(ln 2)′＝12
C．(xex)′＝(x＋1)ex
D．(sin
3x)′＝cos
x 3
答案： AC
(2)[2024·广东深圳模拟]已知函数f(x)＝x3－2x＋2f′(2)，其中f′(x)是f(x) 的导函数，则f(2)＝( )
【常用结论】 1．曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个，而直线与二次曲线 相切时只有一个公共点． 2．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导 数还是周期函数．
夯实基础 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．( × ) (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )
2021高考数学(新高考版)一轮复习考点：第三章 第一讲 导数的概念及运算
第三章 一元函数导数及其应用第一讲 导数的概念及运算1.[2020成都市高三摸底测试]设函数f (x )的导函数为f ' (x ),若f (x )=e x ln x +1x - 1,则f ' (1)= ( ) A.e-3 B.e-2 C.e-1 D.e2.[易错题]已知函数f (x )=f ' (1)x 2+2x +2f (1),则f ' (2)的值为 ( ) A. - 2 B.0 C. - 4 D. - 63.[2020陕西省百校第一次联考]若f (x )=x 3+a 是定义在R 上的奇函数,则曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程是 ( ) A.y =3x - 3 B .y =3x - 2C.y = - 3x - 3D.y = - 3x - 24.[2020广东七校联考]已知函数f (x )=x ln x +a 的图象在点(1,f (1))处的切线经过原点,则实数a = ( ) A .1 B .0 C .1e D. - 15.[2020洛阳市第一次联考]已知f (x )为偶函数,当x >0时,f (x )=ln x - 3x ,则曲线y =f (x )在点( - 1, - 3)处的切线与两坐标轴围成的图形的面积等于 ( ) A.1 B.34C.14D.126.[2020洛阳市第一次联考]已知f (x )=ln x ,g (x )=12x 2+mx +72(m <0),直线l 与函数f (x ),g (x )的图象都相切,且与f (x )图象的切点为(1, f (1)),则m 的值为 ( ) A.-1 B.-3 C.-4 D.-27.[2020江西五校联考]已知曲线C :y =x e x 过点A (a ,0)的切线有且仅有两条,则实数a 的取值范围是 ( ) A .( - ∞, - 4)∪(0,+∞) B .(0,+∞) C .( - ∞, - 1)∪(1,+∞) D .( - ∞, - 1)8.[2019安徽示范高中高三测试]设f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,f ' (x ),g' (x )为其导函数,当x <0时,f ' (x )g (x )+f (x )g' (x )>0且g ( - 3)=0,则不等式f (x )g (x )<0的解集是 ( ) A.( - 3,0)∪(3,+∞) B.( - 3,0)∪(0,3) C.( - ∞, - 3)∪(3,+∞) D.( - ∞, - 3)∪(0,3)9.[2019福建五校第二次联考]已知函数f (x )={ln(-x +1),x <0,x 2+3x,x ≥0,若f (x ) - (m +2)x ≥0,则实数m的取值范围是 ( )A.(-∞,1]B.[-2,1]C.[0,3]D.[3,+∞) 10.[2020四川五校联考]已知函数f (x )=e x +ax.(1)若曲线y =f (x )在x =1处的切线与直线x +(e - 1)y - 1=0垂直,求实数a 的值; (2)若对于任意实数x ≥0,f (x )>0恒成立,求实数a 的取值范围.11.[2020洛阳市第一次联考]已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,设函数f (x )的导函数为f ' (x ),若对任意x >0都有2f (x )+ xf ' (x )>0成立,则 ( ) A.4f ( - 2)<9f (3) B.4f ( - 2)>9f (3) C.2f (3)>3f ( - 2) D.3f ( - 3)<2f ( - 2)12.[2019开封市高三模拟]已知函数f (x )=(k +4k )ln x +4-x 2x,k ∈[4,+∞),曲线y =f (x )上总存在两点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),使曲线y =f (x )在M ,N 两点处的切线互相平行,则x 1+x 2的取值范围为 ( ) A.(85,+∞)B.(165,+∞) C.[85,+∞) D.[165,+∞)13.[2019辽宁五校联考]设函数f (x )=e 2x - t 的图象与g (x )=a e x +a 2x (a >0)的图象有公共点,且在公共点处的切线相同,则实数t 的最大值是 ( ) A.e -12 B .e 12C.12eD.2e14.[2020武汉市部分学校质量监测]若直线y =kx +b 是曲线y =ln x 的切线,也是曲线y =e x - 2的切线,则k = .15.[2020唐山市摸底考试]已知函数f (x )=ax sin x +b cos x ,且曲线y =f (x )与直线y =π2相切于点(π2,π2).(1)求f (x );(2)若f (x )≤mx 2+1,求实数m 的取值范围.16.[2019江西红色七校第一次联考]已知函数f (x )=e x (x 2 - 2x +a )(其中a ∈R ,a 为常数,e 为自然对数的底数).(1)讨论函数f (x )的单调性;(2)设曲线y =f (x )在(a ,f (a ))处的切线为l ,当a ∈[1,3]时,求直线l 在y 轴上的截距的取值范围.17.[2020陕西省百校第一次联考][新角度题]已知函数f (x )=ln x ,g (x )=2 - 3x (x >0).(1)试判断f (x)与g(x)的大小关系.(2)试判断曲线y=f (x)和y=g(x)是否存在公切线,若存在,求出公切线的方程;若不存在,说明理由.第一讲导数的概念及运算1.C由题意,得f ' (x)=(e x ln x)' - 1x2=e x ln x+e xx− 1x2,所以f ' (1)=0+e - 1=e - 1,故选C.2.D由题意得f (1)=f ' (1)+2+2f (1),化简得f (1)= - f ' (1) - 2,而f ' (x)=2f ' (1)x+2,所以f ' (1)=2f ' (1)+2,解得f ' (1)= - 2,故f (1)=0,所以f (x)= - 2x2+2x,所以f ' (x)= - 4x+2,所以f ' (2)= - 6,故选D.3.B依题意得f (0)=0,即0+a=0,a=0,所以f (x)=x3,则f ' (x)=3x2,所以f ' (1)=3,又f (1)=1,因此曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线方程是y=3x - 2,故选B.4.A∵f ' (x)=ln x+1,∴f ' (1)=1,又f (1)=a,∴f (x)的图象在点(1,f (1))处的切线方程为y=x - 1+a,又该切线过原点,故0=0 - 1+a,解得a=1,故选A.5.C当x>0时,f ' (x)=1x- 3,因为f (x)是偶函数,所以f ' (x)是奇函数,故曲线y=f (x)在点( - 1, - 3)处的切线的斜率k=f ' ( - 1)= - f ' (1)=2,所以切线方程为y+3=2(x+1),该切线与x轴,y轴的交点分别为(12,0),(0,- 1),所以该切线与两坐标轴围成的图形的面积等于12×1 2×1=14,故选C.6.D解法一∵f ' (x)=1x,∴直线l的斜率k=f ' (1)=1,又f (1)=0,∴切线l的方程为y=x -1.g' (x )=x +m ,设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0,y 0),则有{x 0+m =1,y 0=x 0-1,y 0=12x 02+mx 0+72,m <0,解得m = - 2.故选D.解法二 ∵f ' (x )=1x ,∴直线l 的斜率k =f ' (1)=1,又f (1)=0,∴切线l 的方程为y =x - 1.又直线l 与g (x )的图象相切,则方程组{y =x -1,y =12x 2+mx +72只有一组解,即关于x 的方程12x 2+(m -1)x +92=0只有一个解,则Δ=(m - 1)2 - 4×12×92=0,结合m <0,解得m = - 2.故选D.7.A 对函数y =x e x 求导得y' =e x +x ·e x =(1+x )e x .设切点坐标为(x 0,x 0e x 0),则曲线y =x e x 过点A (a ,0)的切线的斜率k =(1+x 0)ex 0=x 0e x 0x 0-a,化简得x 02- ax 0 - a =0.依题意知,上述关于x 0的二次方程有两个不相等的实数根,所以Δ=( - a )2 - 4×1×( - a )>0,解得a < - 4或a >0.故选A .8.D 令h (x )=f (x )g (x ),当x <0时,h' (x )=f ' (x )g (x )+f (x )g' (x )>0,则h (x )在( - ∞,0)上单调递增,又f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,所以h (x )为奇函数,所以h (x )在(0,+∞)上单调递增.由g ( - 3)=0,可得h ( - 3)= - h (3)=0, 所以当x < - 3或0<x <3时,h (x )<0,故选D .9.B 令g (x )=x +3x (x ≥0),则g' (x )=2x +3,所以g' (0)=3,所以函数g (x )的图象在原点处的切线方程为y =3x ,故函数f (x )的图象在原点处的切线方程为y =3x.如图D 3 - 1 - 1,画出函数f (x )的图象,切线y =3x ,以及直线y =(m +2)x ,分析可知,为满足f (x ) - (m +2)x ≥0,即f (x )≥(m +2)x ,则0≤m +2≤3,解得 - 2≤m ≤1.故选B .图D 3 - 1 - 110.(1)因为f ' (x )=e +a ,所以曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率为f ' (1)=e+a , 因为直线x +(e - 1)y - 1=0的斜率为11-e , 所以(e+a )×11-e = - 1,解得a = - 1.(2)若x =0,则a 为任意实数时,f (x )=e x +ax >0恒成立. 若x >0,f (x )=e x +ax >0恒成立,即当x >0时,a > - e xx 恒成立,设H (x )= - e xx (x >0),则H' (x )= -e x x -e x x 2=(1-x)e x x 2,当x ∈(0,1)时,H' (x )>0,则H (x )在(0,1)上单调递增, 当x ∈(1,+∞)时,H' (x )<0,则H (x )在(1,+∞)上单调递减, 所以当x =1时,H (x )取得最大值. H (x )max =H (1)= - e ,所以a > - e .所以要使当x ≥0时,f (x )>0恒成立,a 的取值范围为( - e ,+∞).11.A 令g (x )=x 2f (x ),则g' (x )=2xf (x )+x 2f' (x ).因为对任意x >0都有2f (x )+xf ' (x )>0成立,则当x >0时,g ' (x )=x [2f (x )+xf ' (x )]>0成立,即函数g (x )=x 2f (x )在x >0时单调递增,由函数f (x )是定义在R 上的偶函数,得f ( - x )=f (x ),所以g ( - x )=( - x )2f ( - x )=x 2f (x )=g (x ),即g (x )=x 2f (x )为偶函数,则有g ( - 2)=g (2),且g (2)<g (3),所以g ( - 2)<g (3),即4f ( - 2)<9f (3),故选A.12.B f ' (x )=k+4kx− 4x 2 - 1(x >0,k ≥4),由题意知,f ' (x 1)=f ' (x 2)(x 1,x 2>0且x 1≠x 2),即k+4kx 1−4x 12 - 1=k+4kx 2− 4x 22 - 1,化简得4(x 1+x 2)=(k +4k)x 1x 2,而x 1x 2<(x 1+x 22)2,所以4(x 1+x 2)<(k +4k)(x 1+x 22)2,即x 1+x 2>16k+4k对k ∈[4,+∞)恒成立,令g (k )=k +4k ,则g' (k )=1 - 4k 2=(k+2)(k -2)k 2>0对k ∈[4,+∞)恒成立,故g (k )在[4,+∞)上单调递增,所以g (k )≥g (4)=5,所以16k+4k≤165,所以x 1+x 2>165.故x 1+x 2的取值范围为(165,+∞).故选B.13.C 设函数f (x )=e 2x - t 的图象与g (x )=a e x +a 2x (a >0)的图象的公共点为(x 0,y 0),因为f ' (x )=2e 2x ,g' (x )=a e x +a 2,所以2e 2x 0=a e x 0+a 2,所以(e x 0 - a )(2e x 0+a )=0,因为2e x 0+a >0,所以e x 0=a ,所以x 0=ln a.又a e x 0+a 2x 0=e 2x 0 - t ,所以a e ln a +a 2ln a =e 2ln a - t ,化简得t = - a 2ln a ,则t' = - 2a ln a - a 2×1a = - a (1+2ln a ).令t' >0得0<a <e -12,令t' <0得a >e -12,所以t = - a 2ln a 在(0,e -12)上单调递增,在(e -12,+∞)上单调递减,所以当a =e -12时,t = - a 2ln a 取得最大值,最大值为-(e -12)2ln e -12=12e .故选C .14.1或1e 解法一 设直线y =kx +b 与曲线y =ln x 相切于点(x 1,ln x 1),则曲线y =ln x 在点(x 1,ln x 1)处的切线方程为y - ln x 1=1x 1(x - x 1),即y =1x 1x - 1+ln x 1 ①.设直线y =kx +b 与曲线y =e x - 2相切于点(x 2,e x 2-2),则曲线y =e x - 2在点(x 2,e x 2-2)处的切线方程为y - e x 2-2=e x 2-2(x - x 2),即y =e x 2-2x +(1 - x 2)e x 2-2 ②.由题意知①②表示同一直线,所以1x 1=e x 2-2,且 - 1+ln x 1=(1 - x 2)e x 2-2.所以 - 1+ln x 1=1-x2x 1=1-(2-ln x 1)x 1=-1+ln x 1x 1,解得x 1=1或x 1=e .所以k =1或1e .解法二直线y=kx+b与曲线y=ln x相切,则存在x1,使得k=1x1,且ln x1=kx1+b,消去x1,得- ln k=1+b①.直线y=kx+b与曲线y=e x - 2相切,则存在x2,使得k=e x2-2,且e x2-2=kx2+b,消去x2,得k=k(ln k+2)+b②.由①②得k=k ln k+2k - ln k - 1,即(k - 1)(ln k+1)=0,解得k=1或1e.15.(1)由f (π2)=aπ2=π2得a=1.则f ' (x)=x cos x+(1 - b)sin x,由f ' (π2)=1 - b=0得b=1.所以f (x)=x sin x+cos x.(2)令g(x)=mx2+1 - f (x)=mx2 - x sin x - cos x+1,由g(x)≥0得g(2π)=4π2m≥0,所以m≥0.易知g(x)为偶函数,所以只需满足当x≥0时,g(x)≥0即可. g' (x)=2mx - x cos x=x(2m - cos x),下面只讨论x≥0时的情形.当m≥12时,g' (x)≥0,即g(x)在[0,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,从而当m≥12时,f (x)≤mx2+1恒成立.当0≤m<12时,因为y=2m - cos x在[0,π2]上单调递增,且当x=0时,y=2m - 1<0,当x=π2时,y=2m≥0,所以存在x0∈(0,π2],使得2m - cos x0=0,因此当x∈(0,x0)时,2m - cos x<0,g' (x)<0,即g(x)在(0,x0)上单调递减,所以当x∈(0,x0)时,g(x)<g(0)=0,与g(x)≥0矛盾.因此当0≤m<12时,f (x)≤mx2+1不恒成立.综上,满足题意的m的取值范围是[12,+∞).16.(1)f ' (x)=e x(x2 - 2x+a)+e x(2x - 2)=e x(x2+a - 2),当a≥2时,f ' (x)≥0恒成立,函数f (x)在区间( - ∞,+∞)上单调递增;当a<2时,令f ' (x)≥0,解得x≤ - √2-a或x≥√2-a,令f ' (x)<0,解得- √2-a<x<√2-a,所以函数f (x)在区间( - ∞, - √2-a],[√2-a,+∞)上单调递增,在区间( - √2-a,√2-a)上单调递减.(2)因为f (a)=e a(a2 - a),f ' (a)=e a(a2+a - 2),所以直线l的方程为y - e a(a2 - a)=e a(a2+a - 2)(x - a).令x=0,得直线l在y轴上的截距为e a( - a3+a),记g(a)=e a( - a3+a)(1≤a≤3),则g' (a)=e a( - a3 - 3a2+a+1),记h(a)= - a3 - 3a2+a+1(1≤a≤3),则h' (a)= - 3a2 - 6a+1<0(1≤a≤3),所以h(a)在[1,3]上单调递减,所以h(a)≤h(1)= - 2<0,所以g' (a)<0,即g(a)在区间[1,3]上单调递减,所以g(3)≤g(a)≤g(1),即直线l在y轴上的截距的取值范围是[ - 24e3,0].17.(1)设F(x)=f (x) - g(x),则F' (x)=1x − 3x2(x>0).由F' (x)=0,得x=3,当0<x<3时,F' (x)<0,当x>3时,F' (x)>0,故F(x)在区间(0,3)上单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增,所以F(x)的最小值为F(3)=ln 3 - 1,且F(3)>0,所以F(x)>0,即f (x)>g(x).(2)曲线y=f (x)和y=g(x)不存在公切线,理由如下.假设曲线y=f (x)与y=g(x)有公切线,切点分别为P(x0,ln x0)和Q(x1,2 - 3x1).因为f ' (x)=1x ,g' (x)=3x2,所以分别以P(x0,ln x0)和Q(x1,2 - 3x1)为切点的切线方程为y=xx0+ln x0- 1,y=3x12x+2 - 6x1.由{1x0=3x12,ln x0-1=2-6x1,得2ln x1+6x1- (3+ln 3)=0.令h(x)=2ln x+6x - (3+ln 3),则h' (x)=2x− 6x2(x>0),令h' (x)=0,得x=3.显然,当0<x<3时,h'(x)<0,当x>3时,h' (x)>0,所以h(x)在区间(0,3)上单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增,所以h(x)的最小值为h(3)=2ln 3+2 - 3 - ln 3=ln 3 - 1,且h(3)>0,所以h(x)>0,所以方程2ln x1+6x1- (3+ln 3)=0无解,所以曲线y=f (x)与曲线y=g(x)不存在公切线.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件
1．(2021·江苏沭阳高级中学模拟)2020 年 12 月 1 日 22 时 57 分，嫦娥 五号探测器从距离月球表面 1500 m 处开始实施动力下降，7500 牛变推力发 动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约 1500 m/s 降为零.12 分钟后， 探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为 v，相对 月球纵向速度的平均变化率为 a，则( )
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系
为
□18 y′x＝y′u·u′x
，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对
x 的导数的乘积．
1．f′(x0)与 x0 的值有关，不同的 x0，其导数值一般也不同. 2．f′(x0)不一定为 0，但[f(x0)]′一定为 0. 3．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周 期函数的导数还是周期函数． 4．函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反 映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这 点处的切线越“陡”.
(c 为常数).
(3)gf（（xx））′＝ □16 f′（x）g（[xg）（－x）f（]2x）g′（x）
(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示
成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记 作 □17 y＝f(g(x)) ．
A．v＝2152 m/s，a＝2152 m/s2 B．v＝－2152 m/s，a＝－2152 m/s2 C．v＝－2152 m/s，a＝2152 m/s2 D．v＝2152 m/s，a＝－2152 m/s2
2023版高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第一讲导数的概念及运算课件理
先化为和、差的形式,再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式,再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导
复合形式
先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元
P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k= f ＇(x0) .相应地,切线方程为y-f(x0)=
f ＇(x0)(x-x0).
说明 函数y=f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率和
倾斜角,这三者是可以相互转化的.
考点2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
导数的运算
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)=C(C为常数)
y=3x-1,则f(1)+f ＇(1)=
5
.
考向扫描
考向1
导数的运算
1.典例 求下列函数的导数:
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);
2
(2)y=sin (1-2cos );
2
4
2−1
1
(3)y=ln
(x> ).
2+1
2
考向1
解析
导数的运算
(1)因为y=(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,
f ＇(x)=
a
考点2
导数的运算
2.导数的四则运算法则
若f ＇(x),g＇(x)存在,则
(1)[f(x)±g(x)] ＇ =f ＇(x)±g＇(x) ;
(2)[f(x)·g(x)]＇= f ＇(x)g(x)+f(x)g＇(x) ;
2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第3章 第1节 导数的概念及运算 Word版含答案
全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章内容在高考中一般是“一大一小”.2.考查内容（1）导数的几何意义一般在选择题或填空题中考查，有时与函数的性质相结合出现在压轴小题中.（2）解答题一般都是两问的题目，第一问考查曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的极值点等，属于基础问题.第二问利用导数证明不等式，已知单调区间或极值求参数的取值范围，函数的零点等问题.3.备考策略（1）熟练掌握导数的运算公式，重点研究导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与极（最）值、导数与不等式、导数与函数的零点等问题.（2）加强数形结合、分类讨论等数学思想的应用.第一节导数的概念及运算［最新考纲］ 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.2.能根据导数定义求函数y＝C（C为常数），y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax＋b）的复合函数）的导数.1.导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x））处的切线斜率.相应地，切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）.2.基本初等函数的导数公式原函数导函数f（x）＝x n（n∈Q*）f′（x）＝nx n－1f（x）＝sin x f′（x）＝cos xf（x）＝cos x f′（x）＝－sin xf（x）＝a x f′（x）＝a x ln a（a＞0）f（x）＝e x f′（x）＝e xf（x）＝loga x f′（x）＝1x ln af（x）＝ln x f′（x）＝1 x（1）［f（x）±g（x）］′＝f′（x）±g′（x）；（2）［f（x）·g（x）］′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；4.复合函数的导数复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.［常用结论］1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.2.［af（x）±bg（x）］′＝af′（x）±bg′（x）.3.函数y＝f（x）的导数f′（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′（x）|反映了变化的快慢，|f′（x）|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）f′（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率.（）（2）f′（x0）与［f（x0）］′表示的意义相同. （）（3）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.（）（4）函数f（x）＝sin（－x）的导数是f′（x）＝cos x.（）［答案］（1）×（2）×（3）×（4）×二、教材改编1.函数y＝x cos x－sin x的导数为（）A.x sin xB.－x sin xC.x cos xD.－x cos xB［y′＝x′cos x＋x（cos x）′－（sin x）′＝cos x－x sin x－cos x＝－x sin x.］2.曲线y＝x3＋11在点P（1,12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（）A.－9B.－3C.9D.15C［因为y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3＋11在点P（1,12）处的切线方程为y－12＝3（x－1）.令x＝0，得y＝9.故选C.］3.函数y＝f（x）的图象如图，则导函数f′（x）的大致图象为（）A B C DB ［由导数的几何意义可知，f ′（x ）为常数，且f ′（x ）＜0.］ 4.在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度（单位：m ）是h （t ）＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝ m/s ，加速度a ＝ m/s 2.－9.8t ＋6.5 －9.8 ［v ＝h ′（t ）＝－9.8t ＋6.5，a ＝v ′（t ）＝－9.8.］考点1 导数的计算（1）求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.（2）在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，避免运算错误.已知函数解析式求函数的导数 求下列各函数的导数： （1）y ＝x 2x ；（2）y ＝tan x ； （3）y ＝2sin 2x2－1.［解］ （1）先变形：y ＝2x 32，再求导：y ′＝（2x 32）′＝322x 12.（2）先变形：y ＝sin xcos x，再求导： y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝（sin x ）′·cos x －sin x ·（cos x ）′cos 2x ＝1cos 2x .（3）先变形：y ＝－cos x ，再求导：y ′＝－（cos x ）′＝－（－sin x ）＝sin x .［逆向问题］ 已知f （x ）＝x （2 017＋ln x ），若f ′（x 0）＝2 018，则x 0＝ .1 ［因为f （x ）＝x （2 017＋ln x ），所以f ′（x ）＝2 017＋ln x ＋1＝2 018＋ln x ， 又f ′（x 0）＝2 018，所以2 018＋ln x 0＝2 018，所以x 0＝1.］求导之前先对函数进行化简减少运算量.如本例（1）（3）. 抽象函数求导已知f （x ）＝x 2＋2xf ′（1），则f ′（0）＝ . －4 ［∵f ′（x ）＝2x ＋2f ′（1）， ∴f ′（1）＝2＋2f ′（1）， ∴f ′（1）＝－2，∴f ′（0）＝2f ′（1）＝2×（－2）＝－4.］赋值法是求解此类问题的关键，求解时先视f ′（1）为常数，然后借助导数运算法则计算f ′（x ），最后分别令x ＝1，x ＝0代入f ′（x ）求解即可.1.已知函数f （x ）＝e x ln x ，f ′（x ）为f （x ）的导函数，则f ′（1）的值为 .e ［由题意得f ′（x ）＝e x ln x ＋e x ·1x，则f ′（1）＝e.］2.已知函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足关系式f （x ）＝x 2＋3xf ′（2）＋ln x ，则f ′（2）＝ .－94 ［因为f （x ）＝x 2＋3xf ′（2）＋ln x ，所以f ′（x ）＝2x ＋3f ′（2）＋1x ，所以f ′（2）＝4＋3f ′（2）＋12＝3f ′（2）＋92，所以f ′（2）＝－94.］ 3.求下列函数的导数 （1）y ＝3x e x －2x ＋e ； （2）y ＝ln xx 2＋1；（3）y ＝ln2x －12x ＋1. ［解］ （1）y ′＝（3x e x ）′－（2x ）′＋e ′＝（3x ）′e x ＋3x （e x ）′－（2x ）′＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2＝（ln 3＋1）·（3e ）x －2x ln 2.（2）y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x（x 2＋1）－2x ln x（x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2.（3）y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2x －12x ＋1′＝［ln （2x －1）－ln （2x ＋1）］′ ＝［ln （2x －1）］′－［ln （2x ＋1）］′ ＝12x －1·（2x －1）′－12x ＋1·（2x ＋1）′ ＝22x －1－22x ＋1＝44x 2－1. 考点2 导数的几何意义导数几何意义的应用类型及求解思路（1）已知切点A （x 0，f （x 0））求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′（x 0）. （2）若求过点P （x 0，y 0）的切线方程，可设切点为（x 1，y 1），由⎩⎨⎧y 1＝f （x 1），y 0－y 1＝f ′（x 1）（x 0－x 1）求解即可.（3）处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.求切线方程（1）（2019·全国卷Ⅰ）曲线y ＝3（x 2＋x ）e x 在点（0,0）处的切线方程为 .（2）已知函数f （x ）＝x ln x ，若直线l 过点（0，－1），并且与曲线y ＝f （x ）相切，则直线l 的方程为 .（1）3x －y ＝0 （2）x －y －1＝0 ［（1）∵y ′＝3（x 2＋3x ＋1）e x ，∴曲线在点（0,0）处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝3，∴曲线在点（0,0）处的切线方程为y ＝3x .（2）∵点（0，－1）不在曲线f （x ）＝x ln x 上， ∴设切点为（x 0，y 0）.又∵f ′（x ）＝1＋ln x ， ∴直线l 的方程为y ＋1＝（1＋ln x 0）x . ∴由⎩⎨⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.］（1）求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标，在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围；（2）注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别.如本例（1）是“在点（0,0）”，本例（2）是“过点（0，－1）”，要注意二者的区别.求切点坐标（2019·江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x上，且该曲线在点A 处的切线经过点（－e ，－1）（e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是（e,1） ［设A （x 0，y 0），由y ′＝1x ，得k ＝1x 0，所以在点A 处的切线方程为y －ln x 0＝1x 0（x －x 0）.因为切线经过点（－e ，－1），所以－1－ln x 0＝1x 0（－e －x 0）.所以ln x 0＝ex 0，令g （x ）＝ln x －ex（x ＞0），则g ′（x ）＝1x ＋ex2，则g ′（x ）＞0，∴g （x ）在（0，＋∞）上为增函数. 又g （e ）＝0，∴ln x ＝ex有唯一解x ＝e.∴x 0＝e.∴点A 的坐标为（e,1）.］f ′（x ）＝k （k 为切线斜率）的解即为切点的横坐标，抓住切点既在曲线上也在切线上，是求解此类问题的关键.求参数的值（1）（2019·全国卷Ⅲ）已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点（1，a e ）处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则（ ）A.a ＝e ，b ＝－1B.a ＝e ，b ＝1C.a ＝e －1，b ＝1D.a ＝e －1，b ＝－1（2）已知f （x ）＝ln x ，g （x ）＝12x 2＋mx ＋72（m ＜0），直线l 与函数f （x ），g （x ）的图象都相切，与f （x ）图象的切点为（1，f （1）），则m ＝ .（1）D （2）－2 ［（1）∵y ′＝a e x ＋ln x ＋1，∴y ′|x ＝1＝a e ＋1， ∴2＝a e ＋1，∴a ＝e －1.∴切点为（1,1）， 将（1,1）代入y ＝2x ＋b ，得1＝2＋b ， ∴b ＝－1，故选D.（2）∵f ′（x ）＝1x，∴直线l 的斜率k ＝f ′（1）＝1.又f （1）＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′（x ）＝x ＋m ，设直线l 与g （x ）的图象的切点为（x 0，y 0）， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0， ∴m ＝－2.］已知切线方程（或斜率）求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程，同时注意曲线上点的横坐标的取值范围.导数与函数图象（1）已知函数y ＝f （x ）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′（x ）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）A BC D（2）已知y ＝f （x ）是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f （x ）在x ＝3处的切线，令g （x ）＝xf （x ），g ′（x ）是g （x ）的导函数，则g ′（3）＝ .（1）B （2）0 ［（1）由y ＝f ′（x ）的图象是先上升后下降可知，函数y ＝f （x ）图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.（2）由题图可知曲线y ＝f （x ）在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′（3）＝－13.∵g （x ）＝xf （x ），∴g ′（x ）＝f （x ）＋xf ′（x ）， ∴g ′（3）＝f （3）＋3f ′（3）， 又由题图可知f （3）＝1， ∴g ′（3）＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.］函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出图象升降的快慢.1.曲线f （x ）＝e xx －1在x ＝0处的切线方程为 . 2x ＋y ＋1＝0 ［根据题意可知切点坐标为（0，－1）， f ′（x ）＝（x －1）（e x ）′－e x （x －1）′（x －1）2＝（x －2）e x （x －1）2，故切线的斜率k ＝f ′（0）＝（0－2）e 0（0－1）2＝－2，则直线的方程为y －（－1）＝－2（x －0）， 即2x ＋y ＋1＝0.］2.（2019·大同模拟）已知f （x ）＝x 2，则曲线y ＝f （x ）过点P （－1,0）的切线方程是 .y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 ［设切点坐标为（x 0，x 20）， ∵f ′（x ）＝2x ，∴切线方程为y －0＝2x 0（x ＋1）， ∴x 20＝2x 0（x 0＋1）， 解得x 0＝0或x 0＝－2，∴所求切线方程为y ＝0或y ＝－4（x ＋1）， 即y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.］3.直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A （1,3），则2a ＋b ＝ .1 ［由题意知，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎨⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1.］。
2021高考数学课标版理数一轮复习讲义 ：第一节 导数的概念及运算
第三章导数及其应用第一节导数的概念及运算1.导数的概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景.(2)理解导数的几何意义.2.导数的运算(1)能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=x2,y=1x,y=√x的导数.(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为①f(x2)-f(x1)x2-x1,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为②ΔyΔx.2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(1)定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'|x=x0,即f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx.(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点③(x0,f(x0))处的④切线的斜率.相应地,切线方程为⑤y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).▶提醒 (1)曲线y=f(x)在点P(x 0,y 0)处的切线是指P 为切点,斜率为k=f '(x 0)的切线,是唯一的一条切线.(2)曲线y=f(x)过点P(x 0,y 0)的切线,是指切线经过P,点P 可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.(3)函数y=f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率和倾斜角,这三者是可以相互转化的.3.函数f(x)的导函数 称函数f '(x)=limΔx →0f(x+Δx)-f(x)Δx为f(x)的导函数,导函数有时也记作y'.4.基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f(x)=C(C 为常数) f '(x)=⑥ 0 f(x)=x α(α∈N *) f '(x)=⑦ αx α-1 f(x)=sin x f '(x)=⑧ cos x f(x)=cos x f '(x)=⑨ -sin x f(x)=a x (a>0,且a ≠1)f '(x)=⑩ a x ln a f(x)=e x f '(x)= e x f(x)=log a x (a>0,且a ≠1) f '(x)= 1xlna f(x)=ln xf '(x)= 1x5.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'= f '(x)±g'(x) ; (2)[f(x)·g(x)]'= f '(x)g(x)+f(x)g'(x) ; (3)[f(x)g(x)]'=f '(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.2.[af(x)+bg(x)]'=af '(x)+bg'(x).3.函数y=f(x)的导数f '(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化方向,其大小|f '(x)|反映了变化快慢,|f '(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)f '(x 0)与[f(x 0)]'表示的意义相同.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) (4)若f(x)=f '(a)x 2+ln x(a>0),则f '(x)=2xf '(a)+1x .( )(5)f '(x 0)表示曲线y=f(x)在点A(x 0, f(x 0))处切线的斜率,也可表示函数y=f(x)在点A(x 0, f(x 0))处的瞬时变化率.( )答案 (1)✕ (2)✕ (3)√ (4)√ (5)√ 2.下列求导运算正确的是( ) A.(x +1x )'=1+1x 2 B.(log 2x)'=1xln2 C.(3x )'=3x log 3e D.(x 2cos x)'=-2sin x 答案 B3.有一机器人的运动方程为s(t)=t 2+3t (t 是时间,s 是位移),则该机器人在时刻t=2时的瞬时速度为( ) A.194B.174 C .154 D .134答案 D4.曲线y=cos x-x2在点(0,1)处的切线方程为 . 答案 x+2y-2=05.求过点(0,0)与曲线y=e x 相切的直线方程. 解析 设切点坐标为(a,e a ), 又切线过(0,0),则切线的斜率k=e aa , f '(x)=e x ,把x=a 代入得斜率k=f '(a)=e a , 则e a =eaa ,由于e a >0,故a=1,即切点坐标为(1,e), 所以切线方程为y=ex.导数的计算典例1 求下列函数的导数. (1)y=x 2sin x; (2)y=ln x+1x +log 2x; (3)y=cosx e x;(4)y=3x e x -2x +e; (5)y=tan x; (6)y=√x .解析 (1)y'=(x 2)'sin x+x 2(sin x)'=2xsin x+x 2cos x. (2)y'=(lnx +1x )'+(log 2x)'=(ln x)'+(1x )'+1xln2=1x -1x 2+1xln2. (3)y'=(cosx e )'=(cosx)'e x -cosx(e x )'(e )=-sinx+cosxe .(4)y'=(3x e x )'-(2x )'+e'=(3x )'e x +3x (e x )'-(2x )'=3x ln 3·e x +3x e x -2x ln 2=(ln 3+1)·(3e)x -2x ln 2. (5)y'=(sinx cosx )'=(sinx)'cosx -sinx(cosx)'cos 2x=cosxcosx -sinx(-sinx)cos x=1cos x .(6)y'=(x 12)'=12x -12=2√x .方法技巧1.求导数的总原则:先化简函数的解析式,再求导.2.具体方法:(1)遇到连乘的形式,先展开化为多项式形式,再求导;(2)遇到根式形式,先化为分数指数幂,再求导;(3)遇到复杂的分式,先将分式化简,再求导;(4)遇到三角函数形式,先利用三角恒等变换对函数变形,再求导;(5)遇到复合函数,先确定复合关系,再由外向内逐层求导,必要时可换元.▶提醒对解析式中含有导数值的函数,即解析式类似于f(x)=f'(x0)g(x)+h(x)(x0为常数)的函数,解决这类问题的关键是明确f'(x0)是常数,其导数值为0.因此先求导数f'(x),再令x=x0,即可得到f'(x0)的值,进而得到函数的解析式,求得所求导数值.1-1f(x)=x(2018+ln x),若f'(x0)=2019,则x0等于()A.e2B.1C.ln2D.e答案B1-2已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数,若f'(1)=3,则a=.答案31-3已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+ln x,则f'(1)=.答案-1解析∵f(x)=2xf'(1)+ln x,,∴f'(x)=2f'(1)+1x∴f'(1)=2f'(1)+1,即f'(1)=-1.导数的几何意义命题方向一求曲线的切线方程典例2曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为.答案3x-y=0解析y'=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3(x2+3x+1)e x,所以切线的斜率k=y'|x=0=3,则曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-y=0.命题方向二求参数的值(取值范围)典例3已知曲线y=ae x+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1答案D解析 ∵y'=ae x +ln x+1,∴切线的斜率k=y'|x=1=ae+1=2,∴a=e -1,将(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,b=-1.故选D.典例4 直线 y=kx+b 是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,求b 的值.解析 设直线y=kx+b 与曲线y=ln x+2的切点的横坐标为x 1,与曲线y=ln(x+1)的切点的横坐标为x 2,所以曲线y=ln x+2在相应切点处的切线为y=1x 1·x+ln x 1+1,曲线y=ln(x+1)在相应切点处的切线为y=1x2+1·x+ln(x 2+1)-x 2x 2+1,所以{k =1x 1=1x 2+1,b =ln x 1+1=ln(x 2+1)-x 2x 2+1,解得{x 1=12,x 2=-12,于是b=ln x 1+1=1-ln 2.规律总结导数的几何意义的应用及求解思路(1)求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x 0, f(x 0))处的切线方程是y-f(x 0)=f '(x 0)(x-x 0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.(2)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,然后让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.(3)已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程. (4)函数图象在某一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降得快慢.(5)求两条曲线的公切线的方法:①利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解. ②利用公切线得出关系式.设公切线l 在曲线y=f(x)上的切点P 1(x 1,y 1),在曲线y=g(x)上的切点P 2(x 2,y 2),则f '(x 1)=g'(x 2)=f(x 1)-g(x 2)x 1-x 2.2-1 已知直线y=-x+1是函数f(x)=-1a ·e x 图象的切线,则实数a= .答案 e 2解析 设切点为(x 0,y 0), 则f '(x 0)=-1a ·e x 0=-1, ∴e x 0=a,又-1a ·e x 0=-x 0+1, ∴x 0=2,∴a=e 2.2-2 已知曲线f(x)=x 3+ax+14在x=0处的切线与曲线g(x)=-ln x 相切,求a 的值. 解析 由f(x)=x 3+ax+14得, f(0)=14, f '(x)=3x 2+a,则f '(0)=a,∴曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y-14=ax.设直线y-14=ax 与曲线g(x)=-ln x 相切于点(x 0,-ln x 0),又g'(x)=-1x , ∴{-ln x 0-14=ax 0,①a =-1x 0,②将②代入①得ln x 0=34, ∴x 0=e 34, ∴a=-1e 34=-e -34.A 组 基础题组1.已知函数f(x)=log a x(a>0且a ≠1),若f '(1)=-1,则a=( ) A.e B.1e C.1e 2 D .12答案 B2.已知曲线y=x 24-3ln x 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( ) A.3 B.2 C.1 D.12 答案 A3.已知曲线y=ln x 的某条切线过原点,则此切线的斜率为( ) A.e B.-e C.1e D.-1e答案 C y=ln x 的定义域为(0,+∞),设切点为(x 0,y 0),则k=y'|x=x 0=1x 0,所以切线方程为y-y 0=1x 0(x-x 0),又切线过点(0,0),代入切线方程得y 0=1,则x 0=e,所以k=y'|x=x 0=1x 0=1e .4.已知函数f(x)=e x ln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为 . 答案 e解析 由函数的解析式可得f '(x)=e x ×ln x+e x ×1x =e x (lnx +1x),则f '(1)=e 1×(ln1+11)=e,即f '(1)的值为e.5.(2019湖北宜昌联考)已知f '(x)是函数f(x)的导数, f(x)=f '(1)·2x +x 2,则f '(2)= . 答案41-2ln2解析 易知f '(x)=f '(1)·2x ln 2+2x,所以f '(1)=f '(1)·2ln 2+2,解得f '(1)=21-2ln2,所以f '(x)=21-2ln2·2x ln 2+2x,所以f '(2)=21-2ln2×22×ln 2+2×2=41-2ln2. 6.曲线y=2ln x 在点(1,0)处的切线方程为 . 答案 y=2x-27.已知a ∈R,设函数f(x)=ax-ln x 的图象在点(1, f(1))处的切线为l,则l 在y 轴上的截距为 . 答案 1解析 由题意可得f(1)=a,则切点为(1,a),因为f '(x)=a-1x ,所以切线l 的斜率k=f '(1)=a-1,则切线l 的方程为y-a=(a-1)(x-1),令x=0,可得y=1,故l 在y 轴上的截距为1.8.(2018课标全国Ⅲ,14,5分)曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=. 答案-3解析设f(x)=(ax+1)e x,则f'(x)=(ax+a+1)e x,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f'(0)=a+1=-2,解得a=-3.9.若曲线f(x)=xsin x+1在x=π2处的切线与直线ax+2y+1=0垂直,则实数a=.答案2解析因为f'(x)=sin x+xcos x,所以f'(π2)=sinπ2+π2·cosπ2=1.又直线ax+2y+1=0的斜率为-a2,所以1×(-a2)=-1,解得a=2.10.已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.答案8解析令f(x)=x+ln x,于是有f'(x)=1+1x,由于f'(1)=2,所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线的斜率k=2,则曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,故将y=ax2+(a+2)x+1与y=2x-1联立,得ax2+ax+2=0,因为a≠0,两线相切于一点,所以Δ=a2-8a=0,解得a=8.11.在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.答案4解析由y=x+4x (x>0),得y'=1-4x2(x>0),设斜率为-1的直线与曲线y=x+4x(x>0)相切于点(x0,x0+4x0),由1-4x02=-1得x0=√2(x0=-√2舍去),∴曲线y=x+4x(x>0)上的点P(√2,3√2)到直线x+y=0的距离最小,最小值为√2+3√2|√12+12=4.12.函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x的图象在点(0,f(0))处的切线方程是y=4x+4,求a,b.解析f'(x)=e x(ax+a+b)-2x-4,由已知得f(0)=4,f'(0)=4,故b=4,a+b=8,∴a=4.综上,a=4,b=4.13.(2019湖南长沙模拟)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-14x+3垂直,求切点坐标与切线方程.解析(1)易知点(2,-6)在曲线y=f(x)上,所以点(2,-6)为切点.因为f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为f'(2),f'(2)=13,所以切线的方程为y+6=13(x-2),即y=13x-32.(2)设切点坐标为(x0,y0),则直线l的斜率为f'(x0),f'(x0)=3x02+1,所以直线l的方程为y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16,因为直线l过原点,所以0=(3x02+1)(0-x0)+x03+x0-16,整理得,x03=-8,所以x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,f'(x0)=3×(-2)2+1=13.所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3)因为切线与直线y=-14x+3垂直,所以切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f'(x0)=3x02+1=4,所以x0=±1.所以{x0=1,y0=-14或{x0=-1,y0=-18,即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18,即y=4x-18或y=4x-14.B组提升题组1.已知f(x)=acos x,g(x)=x 2+bx+1,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在交点(0,m)处有公切线,则a+b=( )A.-1B.0C.1D.2答案 C 依题意得, f '(x)=-asin x,g'(x)=2x+b, f '(0)=g'(0),∴-asin 0=2×0+b,故b=0,∵m=f(0)=g(0),∴m=a=1,因此a+b=1,故选C.2.若曲线f(x)=ax 2(a>0)与g(x)=ln x 有两条公切线,则a 的取值范围是( )A.(0,1e )B.(0,12e )C.(1e ,+∞)D.(12e ,+∞) 答案 D 假设两曲线相切,设其切点为P(m,n),∴f '(m)=2am=g'(m)=1m ,∴2am 2=1,∵点P 在曲线上, ∴n=am 2=ln m,∴12=ln m, ∴m=e 12,∴a=12e ,当a>12e 时,两曲线相离,∴必然存在两条公切线,∴a ∈(12e ,+∞).3.已知函数f(x)={-x 2+2x,x ≤0,ln(x +1),x >0,若|f(x)|≥ax,则实数a 的取值范围是 . 答案 [-2,0]解析 作出函数y=|f(x)|的图象与直线y=ax,如图所示,当直线在第四象限的部分介于直线l 与x 轴之间时符合题意,直线l 为曲线f(x)的切线,且此时函数y=|f(x)|在第二象限的解析式为y=x 2-2x,则y'=2x-2,因为x ≤0,故y'≤-2,故直线l 的斜率为-2,故只需直线y=ax 的斜率a 介于-2与0之间即可,即a ∈[-2,0].4.已知点M 是曲线y=13x 3-2x 2+3x+1上任意一点,曲线在M 处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l 的倾斜角α的取值范围. 解析 (1)∵y'=x 2-4x+3=(x-2)2-1, ∴当x=2时,y'min =-1,此时y=53,∴斜率最小时的切点为(2,53),斜率k=-1,∴切线方程为3x+3y-11=0.(2)由(1)得切线的斜率k ≥-1, ∴tan α≥-1,∵α∈[0,π),∴α∈[0,π2)∪[3π4,π). 故α的取值范围是[0,π2)∪[3π4,π).快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 1 第1讲 变化率与导数、导数的计算教学案
第三章导数及其应用知识点最新考纲变化率与导数、导数的计算了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义．会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax＋b)的导数).导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间．理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大(小)值，会求闭区间上函数的最大(小)值.1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0f(x)＝x n(n∈Q*)f′(x)＝nx n－1(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× [教材衍化]1．(选修2－2P65A 组T2(1)改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos x解析：选B.y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sinx .2．(选修2－2P18A 组T6改编)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2（x ＋2）2，所以y ′|x ＝－1＝2.故所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝03．(选修2－2P7例2改编)有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：因为s ＝t 2＋3t ，所以s ′＝2t －3t2，所以s ′|t ＝2＝4－34＝134.答案：134[易错纠偏](1)求导时不能掌握复合函数的求导法则致误； (2)不会用方程法解导数求值．1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则f ′(x )＝________． 解析：f ′(x )＝[sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3]′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 答案：2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π32．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．解析：因为f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ，f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 答案：－ 2导数的计算求下列函数的导数：(1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)；(2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x －2x＋e ；(4)y ＝ln(2x －5)．【解】 (1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ，所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x)′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2xln 2. (4)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5.[提醒] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．1．已知f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0＝( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B.因为f (x )＝x (2 017＋ln x )， 所以f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1＝2 018＋ln x ， 又f ′(x 0)＝2 018， 所以2 018＋ln x 0＝2 018， 所以x 0＝1.2．求下列函数的导数： (1)y ＝x n e x；(2)y ＝cos x sin x ；(3)y ＝e xln x ；(4)y ＝(1＋sin x )2. 解：(1)y ′＝nxn －1e x＋x n e x ＝xn －1e x(n ＋x )．(2)y ′＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x .(3)y ′＝e x ln x ＋e x·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋ln x .(4)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′ ＝2(1＋sin x )·cos x .导数的几何意义(高频考点)导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，属中低档题．主要命题角度有：(1)求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程(或斜率)求参数值． 角度一 求切线方程(1)曲线y ＝x 2＋1x在点(1，2)处的切线方程为____________________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________．【解析】 (1)因为y ′＝2x －1x2，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1， 所以切线方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1. (2)因为点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， 所以设切点为(x 0，y 0)． 又因为f ′(x )＝1＋ln x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.所以切点为(1，0)，所以f ′(1)＝1＋ln 1＝1. 所以直线l 的方程为y ＝x －1. 【答案】 (1)y ＝x ＋1 (2)y ＝x －1 角度二 已知切线方程(或斜率)求切点坐标若曲线y ＝e－x上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】 设P (x 0，y 0)，因为y ＝e －x， 所以y ′＝－e －x，所以点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， 所以－x 0＝ln 2，所以x 0＝－ln 2， 所以y 0＝eln 2＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)． 【答案】 (－ln 2，2)角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值(1)(2020·宁波调研)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b 的值等于( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2(2)(2020·绍兴调研)若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝________．【解析】 (1)依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.(2)依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，a ＝2x 0＝2e －12.【答案】 (1)C (2)2e －12(1)求曲线切线方程的步骤①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)求曲线的切线方程需注意两点①当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．1．(2020·杭州七校联考)曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2解析：选D.因为y ′＝12e 12x ，所以k ＝12e 12×4＝12e 2，所以切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，所以所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.2．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x(其中e 是自然对数的底数，a ∈R )，若f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，则a ＝________．解析：f ′(x )＝(x 2＋ax －1)′e x ＋(x 2＋ax －1)(e x )′＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x ＝[x 2＋(a ＋2)x ＋(a －1)]e x，故f ′(0)＝[02＋(a ＋2)×0＋(a －1)]e 0＝a －1.因为f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，故f ′(0)＝1，即a －1＝1，解得a ＝2.答案：23．(2020·台州高三月考)已知曲线f (x )＝xn ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 018x 1＋log 2 018x 2＋…＋log 2 018x 2 017的值为________．解析：f ′(x )＝(n ＋1)x n，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1. 所以x 1·x 2·…·x 2 017＝12×23×34×…×2 0162 017×2 0172 018＝12 018.则log 2 018x 1＋log 2 018x 2＋…＋log 2 018x 2 017＝log 2 018(x 1·x 2·…·x 2 017)＝log 2 01812 018＝－1.答案：－1两条曲线的公切线若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．【解析】 设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)， 依题意⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝－x2x 2＋1＋ln （x 2＋1），解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.【答案】 1－ln 2求两条曲线的公切线的方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解． (2)利用公切线得出关系式．设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，y 1)，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，y 2)，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f （x 1）－g （x 2）x 1－x 2.1．已知函数f (x )＝x 2－4x ＋4，g (x )＝x －1，则f (x )和g (x )的公切线的条数为( ) A ．三条 B ．二条 C ．一条D ．0条解析：选A.设公切线与f (x )和g (x )分别相切于点(m ，f (m ))，(n ，g (n ))，f ′(x )＝2x－4，g ′(x )＝－x －2，g ′(n )＝f ′(m )＝g （n ）－f （m ）n －m ，解得m ＝－n －22＋2，代入化简得8n 3－8n 2＋1＝0，构造函数f (x )＝8x 3－8x 2＋1，f ′(x )＝8x (3x －2)，原函数在(－∞，0)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上单调递增，极大值f (0)＞0，极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜0，故函数和x 轴有3个交点，方程8n 3－8n 2＋1＝0有三个解，故切线有3条．故选A.2．曲线f (x )＝e x 在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝ax 2－a (a ≠0)相切，则过切点且与该切线垂直的直线方程为__________．解析：曲线f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1. 设其与曲线g (x )＝ax 2－a 相切于点(x 0，ax 20－a )． 则g ′(x 0)＝2ax 0＝1，且ax 20－a ＝x 0＋1. 解得x 0＝－1，a ＝－12，切点坐标为(－1，0)．所以过切点且与该切线垂直的直线方程为y ＝－1·(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0.答案：x ＋y ＋1＝0[基础题组练]1．函数y ＝x 2cos x 在x ＝1处的导数是( ) A ．0 B ．2cos 1－sin 1 C ．cos 1－sin 1D ．1解析：选B.因为y ′＝(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2·(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，所以y ′|x ＝1＝2cos 1－sin 1.2．(2020·衢州高三月考)已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( )A ．0B ．－1 C.12D ．2解析：选C.依题意得，f ′(x )＝2x (x －t )＋(x 2－4)＝3x 2－2tx －4，所以f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，即t ＝12.3．(2020·温州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x 的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2＜0)处的切线互相垂直，则x 2－x 1的最小值为( )A.12 B ．1C.32D ．2解析：选B.因为x 1＜x 2＜0，f (x )＝x 2＋2x ， 所以f ′(x )＝2x ＋2，所以函数f (x )在点A ，B 处的切线的斜率分别为f ′(x 1)，f ′(x 2)， 因为函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直， 所以f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1. 所以(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1， 所以2x 1＋2＜0，2x 2＋2＞0，所以x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋(2x 2＋2)]≥－（2x 1＋2）（2x 2＋2）＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32，x 2＝－12时等号成立．所以x 2－x 1的最小值为1.故选B.4．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7. 所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.5.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B.由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.6．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B.因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2.7．已知f (x )＝ln x x 2＋1，g (x )＝(1＋sin x )2，若F (x )＝f (x )＋g (x )，则F (x )的导函数为________．解析：因为f ′(x )＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2， g ′(x )＝2(1＋sin x )(1＋sin x )′＝2cos x ＋sin 2x ，所以F ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x .答案：x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x8．(2020·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为________．解析：设切点为(m ，n )(m ＞0)，y ＝14x 2－3ln x 的导数为y ′＝12x －3x ，可得切线的斜率为12m －3m ＝－12，解方程可得，m ＝2. 答案：29．(2020·金华十校高考模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－2)＝2 018，若对任意的x ∈R ，都有f ′(x )＜2x 成立，则不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为________．解析：构造函数g (x )＝f (x )－x 2－2 014，则g ′(x )＝f ′(x )－2x ＜0，所以函数g (x )在定义域上为减函数，且g (－2)＝f (－2)－22－2 014＝2 018－4－2 014＝0，由f (x )＜x2＋2 014有f (x )－x 2－2 014＜0，即g (x )＜0＝g (－2)，所以x ＞－2，不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为(－2，＋∞)．答案：(－2，＋∞)10．如图，已知y ＝f (x )是可导函数，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，令g (x )＝f （x ）x，则g ′(4)＝________． 解析：g ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2.由题图可知，直线l 经过点P (0，3)和Q (4，5)， 故k 1＝5－34－0＝12.由导数的几何意义可得f ′(4)＝12，因为Q (4，5)在曲线y ＝f (x )上，故f (4)＝5. 故g ′(4)＝4×f ′（4）－f （4）42＝4×12－542＝－316. 答案：－31611．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18， 即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.12．已知函数f (x )＝ax ＋bx(x ≠0)在x ＝2处的切线方程为3x －4y ＋4＝0. (1)求a ，b 的值；(2)求证：曲线上任一点P 处的切线l 与直线l 1：y ＝x ，直线l 2：x ＝0围成的三角形的面积为定值．解：(1)由f (x )＝ax ＋b x ，得f ′(x )＝a －b x2(x ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝34，3×2－4f （2）＋4＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a －b 4＝34，5－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 2＝0.解得a ＝1，b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝x ＋1x，设曲线的切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0，f ′(x 0)＝1－1x 20，曲线在P 处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20(x －x 0)．即y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1x20x ＋2x 0.当x ＝0时，y ＝2x 0.即切线l 与l 2：x ＝0的交点坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫0，2x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20x ＋2x 0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0，即l 与l 1：y ＝x 的交点坐标为B (2x 0，2x 0)．又l 1与l 2的交点为O (0，0)，则所求的三角形的面积为S ＝12·|2x 0|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＝2.即切线l 与l 1，l 2围成的三角形的面积为定值．[综合题组练]1．若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x(x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.2．(2020·金华十校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0＜x 0＜12B.12＜x 0＜1 C.22＜x 0＜ 2 D.2＜x 0＜ 3解析：选D.令f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ，f (x 0)＝x 20，所以直线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x (x ∈(0，1))的图象相切，令切点坐标为(x 1，ln x 1)，y ′＝1x ，所以l 的方程为y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，这样有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，所以1＋ln(2x 0)＝x 20，x 0∈(1，＋∞)，令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x 0，又因为g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln 22＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，从而2＜x 0＜3，选D.3．(2020·宁波四中高三月考)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．①f (x )＝sin x ＋cos x ； ②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x.解析：①中，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＜0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；②中，f ′(x )＝1x －2(x ＞0)，f ″(x )＝－1x 2＜0在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；③中，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒小于0.④中，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝2e x ＋x e x ＝e x(x ＋2)＞0在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，故④中函数不是凸函数．故①②③为凸函数．答案：①②③4．(2020·浙江省十校联合体期末检测)已知函数f (x )＝a e x＋x 2，g (x )＝cos (πx )＋bx ，直线l 与曲线y ＝f (x )切于点(0，f (0))，且与曲线y ＝g (x )切于点(1，g (1))，则a ＋b＝________，直线l 的方程为________．解析：f ′(x )＝a e x＋2x ，g ′(x )＝－πsin (πx )＋b ，f (0)＝a ，g (1)＝cos π＋b ＝b －1， f ′(0)＝a ，g ′(1)＝b ，由题意可得f ′(0)＝g ′(1)，则a ＝b ， 又f ′(0)＝b －1－a1－0＝a ，即a ＝b ＝－1，则a ＋b ＝－2； 所以直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：－2 x ＋y ＋1＝05．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，②－2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)．所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.④将④代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4. 6．(2020·绍兴一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， 因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11， ①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9， 所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9. ②由f ′(x )＝12得－6x 2＋6x ＋12＝12， 解得x ＝0或x ＝1.在x ＝0处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11； 在x ＝1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
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知识梳理 1.导数的概念
设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且 x0∈(a，b)，若 Δx 无限趋近于 0 时，比 值ΔΔyx＝_f（__x_0_＋__Δ_x_Δ）_x_－__f（__x_0_）_无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在 x＝x0 处可导，并 称该常数 A 为函数 f(x)在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0).
3.(多填题)(教材选修2－2P17T13改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高 度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________ m/s，加速度a ＝________ m/s2. 解析 v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8. 答案 －9.8t＋6.5 －9.8
第1节 导数的概念及运算
考试要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了 解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的 内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能 根据导数定义求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝ x的导数；5.能利用 给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数； 能求简单的复合函数(限于形如 f(ax＋b))的导数；6.会使用导数公式表.
斜率 ， 在 点 P
3.基本初等函数 的导数公式
基本初等函数 f(x)＝Cx)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)
f(x)＝ln x
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)
导函数
f′(x)＝_0__ f′(x)＝_α_x_α_－_1_ f′(x)＝__co__s _x_
故切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.
答案 C
5.(2019·济宁模拟)设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f′(0)＝________. 解析 f′(x)＝－3－22x－2sin 2x，所以 f′(0)＝－23. 答案 －23
6.(2019·全国Ⅰ卷)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________. 解析 y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3ex(x2＋3x＋1)， 所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k＝e0×3＝3，所以所求切线方程为y＝3x. 答案 y＝3x
2.(教材选修 2－2P20T3 改编)已知函数 f(x)＝x＋x 2，则函数在 x＝－1 处的切线方 程是( ) A.2x－y＋1＝0 B.x－2y＋2＝0 C.2x－y－1＝0 D.x＋2y－2＝0
解析 由 f(x)＝x＋x 2，得 f′(x)＝（x＋22）2，
又f(－1)＝－1，f′(－1)＝2. 因此函数在x＝－1处的切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0. 答案 A
只有一个公共点. 4.函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化
的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越 “陡”.
诊断自测
1.判断下列结论的正误. (在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.( ) (2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cos x.( ) (3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).( ) (4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的.( )
若函数y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而 变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作 f′(x) .
2.导数的几何意义 导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
f′(x)＝___s_i_n_x___
f′(x)＝__e_x_
f′(x)＝____a_x_ln__a____ 1
f′(x)＝___x__ 1
f′(x)＝_x_l_n__a_
4.导数的运算法则 若 f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C 为常数)； (2)[f(x)±g(x)]′＝___f_′(_x_)±__g_′_(x_)____； (3)[f(x)·g(x)]′＝___f_′(_x_)g_(_x_)＋__f_(_x_)g_′_(x_)____； (4)gf（（xx））′＝___f′_（__x_）__g_（_[_xg）_（_－_x_）f_（_]_2x_）__g_′（__x_）(g(x)≠0).
5.复合函数求导的运算法则 若y＝f(u)，u＝ax＋b，则yx′＝yu′·ux′，即yx′＝ yu′·a .
[常用结论与微点提醒] 1.f′(x0)代表函数 f(x)在 x＝x0 处的导数值；(f(x0))′是函数值 f(x0)的导数，且(f(x0))′
＝0. 2.f（1x）′＝－[ff（′（xx））]2(f(x)≠0). 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切
解析 (1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，(2)错. (3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错. (4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为 切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程 组的思想求切线的方程，曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以 不止一条，(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
4.(2019·全国Ⅱ卷)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为( )
A.x－y－π－1＝0
B.2x－y－2π－1＝0
C.2x＋y－2π＋1＝0
D.x＋y－π＋1＝0
解析 设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，
∴曲线在点(π，－1)处的切线斜率k＝f′(π)＝－2，