(江苏专用)2021新高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1节导数的概念及运算课件
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第1节 导数的概念及运算
考试要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了 解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的 内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能 根据导数定义求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝ x的导数；5.能利用 给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数； 能求简单的复合函数(限于形如 f(ax＋b))的导数；6.会使用导数公式表.
5.复合函数求导的运算法则 若y＝f(u)，u＝ax＋b，则yx′＝yu′·ux′，即yx′＝ yu′·a .
[常用结论与微点提醒] 1.f′(x0)代表函数 f(x)在 x＝x0 处的导数值；(f(x0))′是函数值 f(x0)的导数，且(f(x0))′
＝0. 2.f（1x）′＝－[ff（′（xx））]2(f(x)≠0). 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切
3.(多填题)(教材选修2－2P17T13改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高 度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________ m/s，加速度a ＝________ m/s2. 解析 v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8. 答案 －9.8t＋6.5 －9.8
2.(教材选修 2－2P20T3 改编)已知函数 f(x)＝x＋x 2，则函数在 x＝－1 处的切线方 程是( ) A.2x－y＋1＝0 B.x－2y＋2＝0 C.2x－y－1＝0 D.x＋2y－2＝0
解析 由 f(x)＝x＋x 2，得 f′(x)＝（x＋22）2，
又f(－1)＝－1，f′(－1)＝2. 因此函数在x＝－1处的切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0. 答案 A
知识梳理 1.导数的概念
设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且 x0∈(a，b)，若 Δx 无限趋近于 0 时，比 值ΔΔyx＝_f（__x_0_＋__Δ_x_Δ）_x_－__f（__x_0_）_无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在 x＝x0 处可导，并 称该常数 A 为函数 f(x)在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0).
斜率 ， 在 点 P
3.基本初等函数 的导数公式
基本初等函数 f(x)＝C(C 为常数)
f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)
f(x)＝ln x
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)
导函数
f′(x)＝_0__ f′(x)＝_α_x_α_－_1_ f′(x)＝__co__s _x_
若函数y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而 变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作 f′(x) .
2.导数的几何意义 导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
4.(2019·全国Ⅱ卷)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为( )
A.x－y－π－1＝0
B.2x－y－2π－1＝0
C.2x＋y－2π＋1＝0
D.x＋y－π＋1＝0
解析 设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，
∴曲线在点(π，－1)处的切线斜率k＝f′(π)＝－2，
f′(x)＝___s_i_n_x___
f′(x)＝__e_x_
f′(x)＝____a_x_ln__a____ 1
f′(x)＝___x__ 1
f′(x)＝_x_l_n__a_
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4.导数的运算法则 若 f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C 为常数)； (2)[f(x)±g(x)]′＝___f_′(_x_)±__g_′_(x_)____； (3)[f(x)·g(x)]′＝___f_′(_x_)g_(_x_)＋__f_(_x_)g_′_(x_)____； (4)gf（（xx））′＝___f′_（__x_）__g_（_[_xg）_（_－_x_）f_（_]_2x_）__g_′（__x_）(g(x)≠0).
故切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.
答案 C
5.(2019·济宁模拟)设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f′(0)＝________. 解析 f′(x)＝－3－22x－2sin 2x，所以 f′(0)＝－23. 答案 －23
6.(2019·全国Ⅰ卷)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________. 解析 y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3ex(x2＋3x＋1)， 所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k＝e0×3＝3，所以所求切线方程为y＝3x. 答案 y＝3x
解析 (1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，(2)错. (3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错. (4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为 切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程 组的思想求切线的方程，曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以 不止一条，(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
只有一个公共点. 4.函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化
的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越 “陡”.
诊断自测
1.判断下列结论的正误. (在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.( ) (2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cos x.( ) (3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).( ) (4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的.( )
考试要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了 解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的 内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能 根据导数定义求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝ x的导数；5.能利用 给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数； 能求简单的复合函数(限于形如 f(ax＋b))的导数；6.会使用导数公式表.
5.复合函数求导的运算法则 若y＝f(u)，u＝ax＋b，则yx′＝yu′·ux′，即yx′＝ yu′·a .
[常用结论与微点提醒] 1.f′(x0)代表函数 f(x)在 x＝x0 处的导数值；(f(x0))′是函数值 f(x0)的导数，且(f(x0))′
＝0. 2.f（1x）′＝－[ff（′（xx））]2(f(x)≠0). 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切
3.(多填题)(教材选修2－2P17T13改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高 度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________ m/s，加速度a ＝________ m/s2. 解析 v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8. 答案 －9.8t＋6.5 －9.8
2.(教材选修 2－2P20T3 改编)已知函数 f(x)＝x＋x 2，则函数在 x＝－1 处的切线方 程是( ) A.2x－y＋1＝0 B.x－2y＋2＝0 C.2x－y－1＝0 D.x＋2y－2＝0
解析 由 f(x)＝x＋x 2，得 f′(x)＝（x＋22）2，
又f(－1)＝－1，f′(－1)＝2. 因此函数在x＝－1处的切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0. 答案 A
知识梳理 1.导数的概念
设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且 x0∈(a，b)，若 Δx 无限趋近于 0 时，比 值ΔΔyx＝_f（__x_0_＋__Δ_x_Δ）_x_－__f（__x_0_）_无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在 x＝x0 处可导，并 称该常数 A 为函数 f(x)在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0).
斜率 ， 在 点 P
3.基本初等函数 的导数公式
基本初等函数 f(x)＝C(C 为常数)
f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)
f(x)＝ln x
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)
导函数
f′(x)＝_0__ f′(x)＝_α_x_α_－_1_ f′(x)＝__co__s _x_
若函数y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而 变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作 f′(x) .
2.导数的几何意义 导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
4.(2019·全国Ⅱ卷)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为( )
A.x－y－π－1＝0
B.2x－y－2π－1＝0
C.2x＋y－2π＋1＝0
D.x＋y－π＋1＝0
解析 设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，
∴曲线在点(π，－1)处的切线斜率k＝f′(π)＝－2，
f′(x)＝___s_i_n_x___
f′(x)＝__e_x_
f′(x)＝____a_x_ln__a____ 1
f′(x)＝___x__ 1
f′(x)＝_x_l_n__a_
Leabharlann Baidu
4.导数的运算法则 若 f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C 为常数)； (2)[f(x)±g(x)]′＝___f_′(_x_)±__g_′_(x_)____； (3)[f(x)·g(x)]′＝___f_′(_x_)g_(_x_)＋__f_(_x_)g_′_(x_)____； (4)gf（（xx））′＝___f′_（__x_）__g_（_[_xg）_（_－_x_）f_（_]_2x_）__g_′（__x_）(g(x)≠0).
故切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.
答案 C
5.(2019·济宁模拟)设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f′(0)＝________. 解析 f′(x)＝－3－22x－2sin 2x，所以 f′(0)＝－23. 答案 －23
6.(2019·全国Ⅰ卷)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________. 解析 y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3ex(x2＋3x＋1)， 所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k＝e0×3＝3，所以所求切线方程为y＝3x. 答案 y＝3x
解析 (1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，(2)错. (3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错. (4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为 切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程 组的思想求切线的方程，曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以 不止一条，(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
只有一个公共点. 4.函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化
的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越 “陡”.
诊断自测
1.判断下列结论的正误. (在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.( ) (2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cos x.( ) (3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).( ) (4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的.( )