翻折问题

翻折问题

一、知识梳理：

1． 根据线面位置关系，确定点的位置； 2． 折叠问题与展开问题：

①立体图形与平面图形的相互关系

②折展后图形中的元素的位置与数量关系是否发生变化 . ③翻折问题常用的添加辅助线的方法是作棱的垂线.

例2.在矩形ABCD 中，AB =a ，AD =2b ，a

A ．0

B ．22

b a

C ．22

b

a -

D ．b

a -

解析：由图可知 CE =BE =22b a + 当

90=∠CEB 时，CB =)(222b a +。 CFB ∠ 为所求平

面角，由余弦定理得cos 22

22222)(22b

a b b a b CFB -=+-=∠。 选（C ）。

例1．将两块三角板按图甲方式拼好，其中，，现将三角板ACD 沿AC 折起，使D 在平面ABC 上的射影O 恰好在AB 上，如图乙。

（1）求证：；

（2）求证：O 为线段AB 中点；

（3）求二面角D —AC —B 的大小的正弦值。

例3. 在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE ：EB=CF ：FA=CP ：PB=1：2，

将△AEF 沿EF 折起到△A 1EF 的位置，使二面角A 1-EF-B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P (1)求证：A 1E ⊥平面BEP ；

(2)求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小； (3)求二面角B-A 1P-F 的余弦值。

解法一：不妨设正三角形ABC 的边长

︒=∠︒=∠︒=∠=∠45,30,90ACB ACD D B 2=AC AD BC ⊥

A

B

C

P

C

E F A 1

为3

（1） 在图1中，取BE 中点D ，连结DF. AE ：EB=CF ：FA=1：2∴AF=AD=2而∠A=600

, ∴△ADF 是正三角形，

又AE=DE=1, ∴EF ⊥AD 在图2中，A 1E ⊥EF, BE ⊥EF, ∴∠A 1EB 为二面角A 1－EF －B 的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角，A 1E ⊥BE,又BE EF E =∴A 1E ⊥平面BEF,即 A 1E ⊥平面BEP （2） 在图2中，A 1E 不垂直A 1B, ∴A 1E 是平面A 1BP 的垂线，又A 1E ⊥平面BEP ，

∴A 1E ⊥BE.从而BP 垂直于A 1E 在平面A 1B P 内的射影（三垂线定理的逆定理）设A 1E 在平面A 1B P 内的射影为A 1Q,且A 1Q 交BP 于点Q,则∠E 1AQ 就是A 1E 与平面A 1B P 所成的角,且BP ⊥A 1Q.在△EBP 中, BE=EP=2而

∠EBP=600

, ∴△EBP 是等边三角形.又 A 1E ⊥平面BEP , ∴A 1B=A 1P, ∴Q 为BP 的中点,且EQ =,又

A 1E=1,在Rt △A 1EQ 中，1

1tan EQ

EAQ A E

∠==∴∠EA 1Q=60o , ∴直线A 1E 与平面A 1B P 所成的角为600 在图3中，过F 作FM ⊥ A 1P 与M ，连结QM,QF,∵CP=CF=1, ∠C=600

,

∴△FCP 是正三角形，∴PF=1.有1

12

PQ BP =

=∴PF=PQ ①,

∵A 1E ⊥平面BEP, EQ EF =∴A 1E=A 1Q, ∴△A 1FP ≌△A 1QP 从而∠A 1PF=∠A 1PQ ②, 由①②及MP 为公共边知△FMP ≌△QMP,

∴∠QMP=∠FMP=90o

,且MF=MQ,

从而∠FMQ 为二面角B －A 1P －F 的平面角.

在Rt △A 1QP 中,A 1Q=A 1F=2,PQ=1,又∴1A P =∵ MQ ⊥A 1P ∴11A Q PQ

A P

MQ ∙==

MF =在△

FCQ 中,FC=1,QC=2, ∠C=600

,由余弦定理得QF =

在△FMQ 中，222

7cos 28

MF MQ QF FMQ MF MQ +-∠==-∙

∴二面角B －A 1P －F 的大小为7

arccos

8

π- 7．(2012年高考浙江卷)已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )

A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直

B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直

C ．存在某个位置，使得直线A

D 与直线BC 垂直

D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 解析：找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量．

对于选项A ，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，过点C 作CF ⊥BD ，垂足为F ，在图(1)中，由边AB ，BC 不相等可知点E ，F 不重合．在图(2)中，连接CE ，若直线AC 与直线BD 垂直，又∵AC ∩AE ＝A ，∴BD ⊥面ACE ，∴BD ⊥CE ，与点E ，F 不重合相矛盾，故A 错误．

对于选项B ，若AB ⊥CD ，又∵AB ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ，∴AB ⊥面ADC ，∴AB ⊥AC ，由AB

∴BC ⊥面ADC ，∴BC ⊥AC .已知BC ＝2，AB ＝1，BC >AB ，∴不存在这样的直角三角形．∴C 错误．由上可知D 错误，故选B.答案：B

1．如图，四边形ABCD 中， BD CD ⊥.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '，使 （ ）

A. A B CD '⊥

B.

C. 二面角A BC D '--的平面角的正切值是

D. 异面直线A C '与BD 所成角的大小为

【答案】C

【解析】对于对于B 确；

对于C 来说，取BD 中点为O ，连A 'O ，易得： O BCD A ⊥'平面，过O 点引OE ⊥BC 于E 点，连接A E '，

则∠A EO '为所求角，tan 对于D 来说，过C 点引CF 易证△CF A '为等边三角形，

∴∠ 即异面直线A C '与BD 所成角的大小为

故选：C

点睛：本题以折叠形式，多角度考查了线面的位置关系及空间角的度量问题，处理折叠问题的关键是抓住折前，折后那些量变了，那些量没有变，尤其是那些量没有变，本题隐含了丰富的垂直不变关系，抓住了这些不变量本题迎刃而解.

9. 如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，

BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋P A 1的最小值是________．

解析：将△BCC 1沿BC 1线折到面A 1C 1B 上，如图．连结A 1C 即为CP ＋P A 1的最小值，