翻折专题训练
中考数学点对点-几何折叠翻折类问题(解析版)
专题33 中考几何折叠翻折类问题专题知识点概述1.轴对称（折痕）的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题（1）求角度大小；（2）求线段长度；（3）求面积；（4）其他综合问题。
3.解决折叠问题的思维方法（1）折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。
（2）折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。
（3）折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。
这对解决问题有很大帮助。
（4）折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。
（5）折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。
一般试题考查点圆最值问题。
（6）折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。
例题解析与对点练习【例题1】（2020•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B＝∠B＝50°，∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°。
2、2020重庆中考数学三角形翻折变换专题二
三角形翻折变换专题训练二1.如图．△ABC中．∠ABC＝90°，BC＝l．将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′．C′恰好落在AC边的中点处．连接AA′，取AA′的中点D，则C′D的长为( )A ．B ．374C ．52D．3542．（2019•大连二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，将△ADE沿直线DE翻折，点A的对称点A'落在BC上，在CD＝1，则A'B'的长是（）A．1 B．C．D．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在边BC上，且∠DAE＝60°．将△ADE沿AE翻折，点D的对应点是D'，连接CD'，若BD＝4，CE＝5，则DE的长为（）A．92B．21C．13D．234．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D 处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则△B′DE的面积为（）A．925B．1825C．1225D．24255、（2019•重庆一中三模）等腰Rt△ABC,AC=BC=4,点E,F分别在边AB、BC上,将三角形沿EF翻折,使得B 刚好落在AC的中点D处,则EF的长为( )A．556B．56C．253D．253B CE第6题6．已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝4，D 为斜边AB 上的中点，E 是直角边AC 上的一点，连接DE ，将△ADE 沿DE 折叠至△A ′DE ，A ′E 交BD 于点F ，若△DEF 的面积是△ADE 面积的一半，则DE 的长为（ ）．.2A .25B .22C .4D7．（2018•崇明县二模）如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 是BC 的中点，将△ABD ，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，联结CE ，那么线段CE 的长等于( ) A ．125B ．135C ．145D ．1658．（2018秋•坪山区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝，BC ＝，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处，再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别 交于点E 、F ，则线段B ′F 的长为( )． A ． 22-B ．32-C ．22D ．239．（2018•沙坪坝区模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是边AB 的中点，连结CD ，将△BCD 沿直线CD 翻折得到△ECD ，连结AE ．若AC ＝6，CD ＝5，则线段AE 的长为（ ）12.5A 13.5B 14.5C 11.5D10、（2018秋•扬中市期末）如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点E是AB中点，将△CAE 沿着直线CE翻折，得到△CDE，连接AD，则线段AD的长等于（）A．8 B．C．D．1011、（2018•西华县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为．13、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A．B．9 C．D．8111.37A 10111.37B 5111.37C 6111.37D三角形翻折变换专题训练二答案解析1.如图．△ABC中．∠ABC＝90°，BC＝l．将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'．C'恰好落在AC边的中点处．连接AA'，取AA'的中点D，则C'D的长为(A )A ．B ．374C．52D．3542．（2019•大连二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，将△ADE沿直线DE翻折，点A的对称点A'落在BC上，在CD＝1，则A'B'的长是（）A．1 B．C．D．解：∵AC＝4，CD＝1，∴AD＝AC﹣CD＝3．∵将△ADE沿直线DE翻折，点A的对称点A'落在BC上，∴A′D＝AD＝3．在Rt△A′CD中，∵∠C＝90°，∴A′C＝＝＝2，∴A′B＝BC﹣A′C＝4﹣2．故选：D．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在边BC上，且∠DAE＝60°．将△ADE沿AE翻折，点D的对应点是D'，连接CD'，若BD＝4，CE＝5，则DE的长为（B）A．92B．21C．13D．234．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D 处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则△B′DE的面积为（B）A．925B．1825C．1225D．2425第6题5、（2019•重庆一中三模）等腰Rt △ABC,AC=BC=4,点E,F 分别在边AB 、BC 上,将三角形沿EF 翻折,使得B 刚好落在AC 的中点D 处,则EF 的长为( A )A ．556B ．56C ．253D ．253解：作EG ⊥BC 于G ，作DH ⊥AB 于H ，如图所示：则∠BGE ＝∠EGF ＝∠AHD ＝90°， 由折叠的性质得：DF ＝BF ，△BEF ≌△DEF ，∵D 是AC 的中点，∴CD ＝AD ＝AC ＝2， ∵等腰Rt △ABC ，AC ＝BC ＝4，∴∠A ＝∠B ＝45°，AB ＝4，∴△ADH 是等腰直角三角形，∴DH ＝AH ＝AD ＝，设DF ＝BF ＝x ，在Rt △CDF 中，CF ＝BC ﹣BF ＝4﹣x ，由勾股定理得：x 2＝（4﹣x ）2+22，解得：x ＝，∴BF ＝，CF ＝， 设EG ＝y ，∵EG ⊥BC ，∴△BEG 是等腰直角三角形，∴BG ＝EG ＝y ，BE ＝y ，则AE ＝4﹣y ，∵四边形BFDE 的面积＝△ABC 的面积﹣△CDF 的面积﹣△ADE 的面积， ∴2××y ＝×4×4﹣××2﹣（4﹣y ）×，解得：y ＝，∴BG ＝EG ＝，∴FG ＝BF ＝BG ＝，在Rt △EFG 中，由勾股定理得：EF ＝＝；6．已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝4，D 为斜边AB 上的中点，E 是直角边AC 上的一点，连接DE ，将△ADE 沿DE 折叠至△A ′DE ，A ′E 交BD 于点F ，若△DEF 的面积是△ADE 面积的一半，则DE 的长为（ C ）．.2A .25B .22C .4DM解：如图连接BE第5题图BCE∵∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝4∴AB ＝4 ∵D 是AB 中点∴BD ＝AD ＝2∵折叠∴AD ＝A 'D ＝2，S △ADE ＝S △A 'DE ∵S △DEF ＝S △ADE ∴AD ＝2DF ，S △DEF ＝S △A 'DE∴DF ＝，A 'F ＝EF ∴BF ＝DF ＝，且A 'F ＝EF∴A 'D ＝BE ＝ ∴根据勾股定理得：CE ＝2 作DM AE 可得DE=227．（2018•崇明县二模）如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 是BC 的中点，将△ABD ，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，联结CE ，那么线段CE 的长等于( ) A ．125B ．135C ．145D ．165解：如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∵AC ＝8，AB ＝6， ∴BC ＝＝10，∵CD ＝DB ，∴AD ＝DC ＝DB ＝5，∵BC •AH ＝AB •AC ，∴AH ＝，∵AE ＝AB ，∴点A 在BE 的垂直平分线上．∵DE ＝DB ＝DC ，∴点D 在BE 使得垂直平分线上，△BCE 是直角三角形，∴AD 垂直平分线段BE ，∵AD •BO ＝BD •AH ，∴OB ＝， ∴BE ＝2OB ＝，在Rt △BCE 中，EC ＝＝＝，8．（2018秋•坪山区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝，BC ＝，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处，再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B ′F 的长为( )． A ． 22-B ．32-C ．22D ．23解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝，BC ＝，∴AB ＝＝3 ∵S △ABC ＝＝∴3×CE ＝×∴CE ＝∵BE ＝＝2 ∵折叠∴BF ＝B 'F ，∠ACE ＝∠DCE ，∠BCF ＝∠B 'CF ，∵∠ACE +∠DCE +∠BCF +∠B 'CF ＝90°∴∠DCE +∠FCB '＝45° ∴∠FCE ＝45°，且CE ⊥AB ∴∠ECF ＝∠EFC ＝45°∴EF ＝EC ＝∴BF ＝B 'F ＝BE ﹣EF ＝2﹣9．（2018•沙坪坝区模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是边AB 的中点，连结CD ，将△BCD 沿直线CD 翻折得到△ECD ，连结AE ．若AC ＝6，CD ＝5，则线段AE 的长为（ ）12.5A 13.5B 14.5C 11.5D解：如图，连接BE ，延长CD 交BE 与点H ，作CF ⊥AB ，垂足为F ．∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是边AB 的中点，CD ＝5，∴AD ＝DB ＝CD ＝5，AB ＝10． ∵AC ＝6，∴BC ＝＝8．∵S △ABC ＝AC •BC ＝AB •CF ，∴×6×8＝×10×CF ，解得CF ＝．∵将△BCD 沿直线CD 翻折得到△ECD ，∴BC ＝CE ，BD ＝DE ，∴CH ⊥BE ，BH ＝HE ．∵AD ＝DB ＝DE ，∴△ABE 为直角三角形，∠AEB ＝90°，∴S △ECD ＝S △ACD ，∴DC •HE ＝AD •CF ， ∵DC ＝AD ，∴HE ＝CF ＝．∴BE ＝2EH ＝．∵∠AEB ＝90°，∴AE ＝＝＝．10、（2018秋•扬中市期末）如图△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点E 是AB 中点，将△CAE 沿着直线CE 翻折，得到△CDE ，连接AD ，则线段AD 的长等于（ ）A．8 B．C．D．10解：如图，延长CE交AD于F，连接BD，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∵∠ACB＝90°，CE为中线，∴CE＝AE＝BE，∴∠ACF＝∠BAC，又∵∠AFC＝∠BCA＝90°，∴△ABC∽△CAF，∴＝，即＝，∴CF＝6.4，∴EF＝CF﹣CE＝1.4，由折叠可得，AC＝DC，AE＝DE，∴CE垂直平分AD，又∵E为AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴BD＝2EF＝2.8，∵AE＝BE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE，∠BDE＝∠DBE，又∵∠DAE+∠ADE+∠BDE+∠DBE＝180°，∴∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝90°，∴Rt△ABD中，AD＝＝＝，故选：C．11、（2018•西华县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为或．解：如图1所示；点E与点F重合时．在Rt△ABC中，BC＝＝＝4．由翻折的性质可知；AE＝AC＝3、DC＝DE．则EB＝2．设DC＝ED＝x，则BD＝4﹣x．在Rt△DBE中，DE2+BE2＝DB2，即x2+22＝（4﹣x）2．解得：x＝．∴DE＝．如图2所示：∠EDB＝90时．由翻折的性质可知：AC＝AE，∠C＝∠AED＝90°．∵∠C＝∠AED＝∠CDE＝90°，∴四边形ACDE为矩形．又∵AC＝AE，∴四边形ACE′为正方形．∴CD＝AC＝3．∴DB＝BC﹣DC＝4﹣3＝1．∵DF∥AC，∴△BDF∽△BCA．∴＝，即．解得：DF＝．点D在CB上运动，假设∠DBE＝90°，则点A到BE的距离为BC的长，而AE＝AC＜BC，故∠DBE不可能为直角．故答案为：或．答案A13、（2018•高新区模拟）如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝5，AC ＝12，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ ）A ．B ．9C ．D ．解：如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∵AC ＝12，AB ＝5，∴BC ＝＝13，∵CD ＝DB ，∴AD ＝DC ＝DB ＝6.5，∵BC •AH ＝AB •AC ，∴AH ＝，∵AE ＝AB ，∴点A 在BE 的垂直平分线上．∵DE ＝DB ＝DC ，∴点D 在BE 的垂直平分线上，△BCE 是直角三角形，∴AD 垂直平分线段BE ， ∵AD •BO ＝BD •AH ，∴OB ＝，∴BE ＝2OB ＝，在Rt △BCE 中，EC ＝＝＝，故选：D ．8111.37A 10111.37B 5111.37C 6111.37D 答案D答案B11答案B。
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)翻折问题专题训练(含答案)
人教版数学八年级下期第十八章平行四边形翻折问题训练一、选择题1.如图,在正方形ABCD 中,AB =4,E 是CD 的中点,将△BCE 沿BE 翻折,得到△BFE ,连接DF ,则DF 的长度是（ ）A.55 B. 255 C. 355 D. 4552.如图,▱ABCD 中,点E 在边BC 上,以AE 为折痕,将△ABE 向上翻折,点B 正好落在CD 上的点F 处,若△FCE 的周长为7,△FDA 的周长为21,则FD 的长为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 83.如图，在▱ABCD 中，AB =5，AD =6，将▱ABCD 沿AE 翻折后，点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为（ ）A. 3B. 12C. 15D. 44.如图所示,在矩形ABCD 中,E 为AD 边上一点,将矩形沿BE 翻折后,点A 的对应点为A ',延长EA '交BC 于点F ,若∠ABE =35∘,则∠BFE 的大小为( )A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 70∘5.如图所示，在矩形ABCD中，AC=13，AD=5，O是AC的中点，E为AB上任意一点，连接EO，将△AOE沿OE翻折至△A′OE，A的对应点为A′，连接A′C，当A′E⊥AB时，求A′C的长为（ ）A. 4B. 32C. 732D. 7226.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边B′处，若AE=3，DE=9，∠AEF=120°，则矩形ABCD的面积是（ ）A. 36B. 363C. 48D. 483二、填空题7.如图,E为▱ABCD的边AD上一点,将△ABE沿BE翻折,得到△FBE,点F在BD上,且EF=DF.若∠C=54∘,则∠ABE= °.8.如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B=80°，∠ACE=2∠ECD，FC=a，FD=b，则▱ABCD的周长为______ .9.如图，平行四边形ABCD中，点E在AD上，以BE为折痕，把△ABE向上翻折，点A正好落在CD边的点F处，若△FDE的周长为6，△FCB的周长为20，那么CF 的长为______．10.如图，四边形ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将∠A翻折，使得点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，则EG＝________cm．11.如图所示，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将ΔABE向上翻折，点A正好落在CD上的F处，若△FDE的周长为7，ΔFCB的周长为23，则FC的长为．12.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=45 ∘，AD=2，E，H分别为边AB，CD上一点．将平行四边形ABCD沿EH翻折，使得AD的对应线段FG经过点C，若FG⊥CD，C为FG的中点，则EF的长度为__________．三、解答题13.如图，在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM，将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，连接DM．当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．14.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于F．（1）求证：△FDC≌△FEA（2）若AB=4，BC=6，求图中阴影部分的面积．15.如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD．（1）求证：OP＝OF；（2）若设AP＝x，试求CF的长（用含x的代数式表示）；（3）求AP的长．16.已知长方形ABCD中，AD=10cm,AB=6cm,点M在边CD上，由C往D运动，速度为1cm/s，运动时间为t秒，将△ADM沿着AM翻折至△AD´M，点D对应点为D´，AD´所在直线与边BC交于点P.（1）如图1，当t=0时，求证：PA=PC；（2）如图2，当t为何值时，点D´恰好落在边BC上；（3）如图3，当t=3时，求CP的长.17.已知矩形ABCD，把△BCD沿BD翻折，得△BDG，BG，AD所在的直线交于点E，过点D作DF∥BE交BC所在直线于点F．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）若AB=8，AD=4，求四边形BEDF的面积．18.如图，矩形ABCD中，AB=16，BC=12，P为AD上一点，将▵ABP沿BP翻折至▵EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，BE与CD交于点G．（1）求证：AP=DG；（2）求线段AP的长．参考答案1.D2.C3.D4.D5.D6.B7.49.58.4a+2b9.710.43−611.8.12.2-213.证明：∵AB∥DM，∴∠BAM=∠AMD，∵△ADC是由△ABC翻折得到，∴∠CAB=∠CAD，AB=AD，BM=DM，∴∠DAM=∠AMD，∴DA=DM=AB=BM，∴四边形ABMD 是菱形．14.解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠B =∠D =90°，∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，∴∠E =∠B ，AB =AE ，∴AE =CD ，∠E =∠D ，在△AEF 与△CDF 中，∠E =∠D∠AFE =∠CFD AE =CD ，∴△AEF ≌△CDF （AAS ）；（2）∵AB =4，BC =6，∴CE =AD =6，AE =CD =AB =4，∵△AEF ≌△CDF ，∴AF =CF ，EF =DF ，∴DF 2+CD 2=CF 2，即DF 2+42=（6-DF ）2，∴DF =53，∴阴影部分的面积=S △ACD -S △CDF =12×4×6-12×4×53=263．15.解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =∠A =∠C =90°，由翻折的性质可知：∠E =∠A =90°，∴∠E =∠D ，在△ODP 和△OEF 中，∠D =∠EOD =OE ∠DOP =∠EOF，∴△ODP ≌△OEF （ASA ）．∴OP =OF ．（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =8，∵△ODP ≌△OEF （ASA ），∴OP =OF ，OD =OE ．∴DF =EP ．∵AP =PE =DF =x ，∴CF =8-x ．（3）∵AD =BC =6，PA =PE =DF =x ，∴PD =EF =6-x ，CF =8-x ，BF =BE -EF =8-（6-x ）=2+x ，在Rt △FCB 根据勾股定理得：BC 2+CF 2=BF 2，即62+（8-x ）2=（x +2）2，解得：x =4.8，∴AP =4.8．16.证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC∴∠DAC =∠ACB ，∵折叠∴∠DAC =∠D 'AC∴∠ACB =∠D 'AC∴AP =PC（2）∵折叠∴AD =AD '=10cm ，DM =D 'M ，在Rt △ABD '中，BD '=AD′2−AB 2=8cm ，∴CD '=BC -BD '=10-8=2cm ，在Rt △D 'MC 中，D 'C 2+CM 2=D 'M 2，∴4+CM 2=（6-CM ）2，∴CM =83cm∴t =831=83（3）如图，连接MP ，∵t=3，∴CM=3cm，∴DM=CD-CM=3cm，∵折叠∴AD=AD'=10cm，DM=D'M∴D'M=CM，且MP=MP∴Rt△CMP≌Rt△D'MP（HL）∴CP=D'P在Rt△ABP中，AB2+BP2=AP2，∴36+（10-CP）2=（10+CP）2，cm.∴CP=91017.解：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB=∠DBC，根据题意可知△BCD≌△BDG，∴∠DBG=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴DE=BE，∵AD∥BC，DF∥BE，∴四边形BEDF为平行四边形，又∵DE=BE，∴四边形BEDF为菱形；（2）设菱形BEDF的边长为x，则AE=DE-AD=x-4，在Rt△AEB中，BE2=AE2+AB2，即x2=（x-4）2+82，解得x=10，∴菱形BEDF的面积=DE•AB=10×8=80．18.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=12，CD=AB=16，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，在△ODP和△OEG中，∠D=∠EOD=OE∠DOP=∠EOG，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，∴AP=DG；（2）解：如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=12，CD=AB=16，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=16，在△ODP和△OEG中，∠D=∠EOD=OE∠DOP=∠EOG，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，设AP=EP=x，则PD=GE=12-x，DG=x，∴CG=16-x，BG=16-（12-x）=4+x，根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，即122+（16-x）2=（x+4）2，解得：x=9.6，∴AP=9.6，第11页，共11页。
2020重庆中考数学四边形翻折变换专题八(含答案解析)
四边形翻折变换专题训练八例1、（2019•河南一模）如图，已知正方形ABCD，边长为8，E是AB边上的一点，连接DE，将△DAE 沿DE所在直线折叠，使点A的对应点A1落在正方形的边CD或BC的垂直平分线上，则AE的长度是 ．练习：（2019•南陵县一模）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝9，点E在BC上，CE＝4，点F是AD上的一个动点，连接BF，若将四边形ABEF沿EF折叠，点A、B分别落在点A′、B'处，则当点B恰好落在矩形ABCD的一边上时，AF的长为 ．例2、（2019春•禹州市期末）如图，正方形ABCD的边长是18，点E是AB边上的一个动点，点F是CD 边上一点，CF＝8，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点A'，D'处，当点D'落在直线BC上时，线段AE的长为 ．练习：（2019•许昌一模）如图，正方形ABCD的边长是9，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，CF＝4，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点A′，D′处，当点D′落在直线BC上时，线段AE的长为 ．例3、（2019•商丘一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别为边AD，BC上的一个动点，连接EF，以EF为对称轴折叠四边形CDEF，得到四边形MNFE，点D，C的对应点分别为M，N，当点N恰好落在AB的三等分点时，CF的长为 ．练习：（2015•河南）如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为 ．例4、（2019春•柘城县期中）如图，在矩形ABCD中，点N为边BC上不与B、C重合的一个动点，过点N作MN⊥BC交AD于点M，交BD于点E，以MN为对称轴折叠矩形ABNM，点A、B的对应点分别是G、F，连接EF、DF，若AB＝6，BC＝8，当△DEF为直角三角形时，CN的长为 ．练习：如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在BC，CD边上，将△CEF沿EF翻折，点C 的对应点为M．若点F是CD的中点，点E在线段BC上运动，将△CEF沿EF折叠，连接BM，当△BME是直角三角形时，则CE的长为．例5、如图，正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1．把线段AE绕点A旋转，使点E落在．直线BC上的点F处，连接DF，则tan∠CDF的值是练习：（2019秋•巴彦县期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E在CD上，CE＝1，将线段AE绕点A．旋转，使点E落在直线BC上的点F处，连接DF，则DF的长为四边形翻折变换专题训练八参考答案例1、（2019•河南一模）如图，已知正方形ABCD，边长为8，E是AB边上的一点，连接DE，将△DAE 沿DE所在直线折叠，使点A的对应点A1落在正方形的边CD或BC的垂直平分线上，则AE的长度是 16﹣8或．解：分两种情况：①当点A的对应点A1落在正方形的边CD的垂直平分线MN上时，如图1所示：由折叠的性质得：∠DA1E＝∠A＝90°，A1D＝AD＝8，则MN⊥AB，MN⊥AB，DM＝CD＝4，A1D＝AD＝8，∴∠DA1M＝30°，A1M＝＝4，∴∠EA1N＝180°﹣30°﹣90°＝60°，A1N＝8﹣4，∴∠A1EN＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝A1E＝2A1N＝16﹣8；②当点A的对应点A1落在正方形的边BC的垂直平分线GH上时，作AP⊥AB于P，如图2所示：则DG＝A1P＝AD＝4，A1D＝AD＝8，∠DA1E＝90°，AE＝A1E，∴DG＝A1D，∴∠DA1G＝30°，∴∠P A1E＝30°，∴AE＝A1E＝＝＝；综上所述，AE的长为16﹣8或；练习：（2019•南陵县一模）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝9，点E在BC上，CE＝4，点F是AD上的一个动点，连接BF，若将四边形ABEF沿EF折叠，点A、B分别落在点A′、B'处，则当点B恰好落在矩形ABCD的一边上时，AF的长为 3或．解：如图1，当点B'落在AD边上时，由折叠知，△BEF≌△B'EF，∴∠BFE＝∠B'FE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FEB＝∠B'EF，∴∠FEB＝∠BFE，∴BF＝BE，∵BE＝BC﹣EC＝9﹣4＝5，∴BF＝5，在Rt△ABF中，AF＝＝＝3；如图2，当点B'落在CD边上时，由折叠知，△BEF≌△B'EF，△ABF≌△A'B'F，∴EB'＝EB＝5，A'B'＝AB＝CD＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°，在Rt△ECB'中，CB'＝＝＝3，∴DB'＝CD﹣CB'＝4﹣3＝1，设AF＝A'F＝x，在Rt△F A'B'中，FB'2＝F A'2+A'B'2＝x2+42，在Rt△FDB'中，FB'2＝FD2+DB'2＝（9﹣x）2+12，∴x2+42＝（9﹣x）2+12，解得，x＝，∴AF＝；故答案为：3或．例2、（2019春•禹州市期末）如图，正方形ABCD的边长是18，点E是AB边上的一个动点，点F是CD 边上一点，CF＝8，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点A'，D'处，当点D'落在直线BC上时，线段AE的长为 4或16．解：分两种情况：①当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，如图1所示：由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，∴DE＝D′E，∵正方形ABCD的边长是18，∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，∵CF＝8，∴DF＝D′F＝CD﹣CF＝10，∴CD′＝＝6，∴BD'＝BC﹣CD'＝12，设AE＝x，则BE＝18﹣x，在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2＝182+x2，D'E2＝BE2+BD'2＝（18﹣x）2+122，∴182+x2＝（18﹣x）2+122，解得：x＝4，即AE＝4；②当D′落在线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，如图2所示：由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，∴DE＝D′E，∵正方形ABCD的边长是18，∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，∵CF＝8，∴DF＝D′F＝CD﹣CF＝10，CD'＝＝6，∴BD'＝BC+CD'＝24，设AE＝x，则BE＝18﹣x，在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2＝182+x2，D'E2＝BE2+BD'2＝（18﹣x）2+242，∴182+x2＝（18﹣x）2+242，解得：x＝16，即AE＝16；综上所述，线段AE的长为4或16；故答案为：4或16．练习：（2019•许昌一模）如图，正方形ABCD的边长是9，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，CF＝4，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点A′，D′处，当点D′落在直线BC上时，线段AE的长为 2或8．解：分两种情况：①当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，如图1所示：由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，∴DE＝D′E，∵正方形ABCD的边长是9，∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，∵CF＝4，∴DF＝D′F＝CD﹣CF＝9﹣4＝5，∴CD′＝＝3，∴BD'＝BC﹣CD'＝6，设AE＝x，则BE＝9﹣x，在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2＝92+x2，D'E2＝BE2+BD'2＝（9﹣x）2+62，∴92+x2＝（9﹣x）2+62，解得：x＝2，即AE＝2；②当D′落在线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，如图2所示：由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，∴DE＝D′E，∵正方形ABCD的边长是9，∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，∵CF＝4，∴DF＝D′F＝CD﹣CF＝9﹣4＝5，CD ′＝＝3，∴BD'＝BC+CD'＝12，设AE＝x，则BE＝9﹣x，在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2＝92+x2，D'E2＝BE2+BD'2＝（9﹣x）2+122，∴92+x2＝（9﹣x）2+122，解得：x＝8，即AE＝8；综上所述，线段AE的长为2或8；例3、（2019•商丘一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别为边AD，BC上的一个动点，连接EF，以EF为对称轴折叠四边形CDEF，得到四边形MNFE，点D，C的对应点分别为M，N，当点N恰好落在AB的三等分点时，CF的长为 5或．解：由翻折知，CF＝NF，设CF＝NF＝x，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°，（1）当AN＝AB＝2时，在Rt△NBF中，NF＝x，BF＝BC﹣CF＝8﹣x，BN＝AB﹣AN＝4，∵NF2＝NB2+BF2，∴x2＝42+（8﹣x）2，解得，x＝5，∴CF＝5；（2）当AN＝AB＝4时，在Rt△NBF中，NF＝x，BF＝BC﹣CF＝8﹣x，BN＝AB﹣AN＝2，∵NF2＝NB2+BF2，∴x2＝22+（8﹣x）2，解得，x＝，∴CF＝；故答案为5或．练习：（2015•河南）如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为 16或4．解：（i）当B′D＝B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE＝90°，当B′C＝B′D时，AG＝DH＝DC＝8，由AE＝3，AB＝16，得BE＝13．由翻折的性质，得B′E＝BE＝13．∴EG＝AG﹣AE＝8﹣3＝5，∴B′G＝＝＝12，∴B′H＝GH﹣B′G＝16﹣12＝4，∴DB′＝＝＝4（ii）当DB′＝CD时，则DB′＝16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）．（iii）当CB′＝CD时，则CB＝CB′，由翻折的性质，得EB＝EB′，∴点E、C在BB′的垂直平分线上，∴EC垂直平分BB′，由折叠，得EF也是线段BB′的垂直平分线，∴点F与点C重合，这与已知“点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点”不符，故此种情况不存在，应舍去．综上所述，DB′的长为16或4．例4、（2019春•柘城县期中）如图，在矩形ABCD中，点N为边BC上不与B、C重合的一个动点，过点N作MN⊥BC交AD于点M，交BD于点E，以MN为对称轴折叠矩形ABNM，点A、B的对应点分别是G、F，连接EF、DF，若AB＝6，BC＝8，当△DEF为直角三角形时，CN的长为 或．解：矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，∴BD ＝＝10，由折叠得：BE ＝EF ，BN ＝NF ，∠EBF ＝∠EFB ，∠BEN ＝∠FEN ，当△DEF 为直角三角形时，（1）当∠DEF ＝90°，则∠BEN ＝∠FEN ＝45°，不合题意；（2）当∠EFD ＝90°时，如图1所示：∵∠EFN +∠DFC ＝90°，∠DFC +∠CDF ＝90°，∴∠EFN ＝∠CDF ＝∠EBN ，∵tan ∠DBC ＝＝＝tan ∠CDF＝设CN ＝x ，则BN ＝NF ＝8﹣x ，FC ＝x ﹣（8﹣x ）＝2x ﹣8，∴＝，解得：x ＝，即CN ＝． （3）当∠EDF ＝90°时，如图2所示：易证△BDC ∽△DFC ，∴CD 2＝BC •CF ，设CN ＝x ，则BN ＝NF ＝8﹣x ，FC ＝（8﹣x ）﹣x ＝8﹣2x ， ∴62＝8（8﹣2x ）解得：x＝，即CN＝，综上所述，CN的长为或．练习：如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝8，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，将△CEF 沿EF 翻折，点C 的对应点为M ．若点F 是CD 的中点，点E 在线段BC 上运动，将△CEF 沿EF 折叠，连接BM ，当△BME 是直角三角形时，则CE 的长为 ．解：（1）如图2，当∠BME ＝90°时，∵∠EMF ＝90°，∴∠BMF ＝180°，∴B 、M 、F 在同一直线上． ∵F 是BC 的中点，∴CF ＝DF ＝CD ＝2．∵△EFC 与△EFM 关于直线EF 对称，∴△EFC ≌△EFM ，∴MF ＝CF ＝2，EC ＝EM ．在Rt △BCF 中，由勾股定理得BF ＝2． ∴BM ＝2﹣2．设EC ＝EM ＝x ，则BE ＝8﹣x ，在Rt △BME 中，由勾股定理得 （8﹣x ）2﹣x 2＝（2 ﹣2）2，解得：x ＝．∴CE ＝；（2）如图3，当∠BEM ＝90°时，∴∠MEC ＝90°，∵△EFC 与△EFM 关于直线EF 对称，∴△EFC ≌△EFM ，∴∠EMF ＝∠C ＝90°，CF ＝FM ＝2，∴四边形ECFM 是正方形，∴MF ＝CE ＝2．∴CE ＝2或 ．例5、如图，正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1．把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，连接DF，则tan∠CDF的值是 或．解：当F点在BC上，如图1，∵DE＝2，EC＝1，∴CD＝3，即正方形的边长为3，∵线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，∴AE＝AF，在Rt△ABF和△ADE中，，∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），∴BF＝DE＝2，∴CF＝BC﹣BF＝3﹣2＝1，在Rt△CDF中，tan∠CDF＝＝；当F点在CB的延长线上，如图2，同理可得BF＝DE＝2，则CF＝BF+BC＝2+3＝5，在Rt△CDF中，tan∠CDF＝＝，综上所述，tan∠CDF的值为或．练习：（2019秋•巴彦县期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E在CD上，CE＝1，将线段AE绕点A 旋转，使点E落在直线BC上的点F处，连接DF，则DF的长为 或．解：（1）当点F落在边BC上时，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝4，∠ABF＝∠D＝90°，∵CE＝1，∴DE＝3，∵线段AE绕点A旋转后使点E落在直线BC上的点F处，∴AF＝AE，在Rt△ABF和Rt△ADE中∵，∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），∴BF＝DE＝CD﹣CE＝3，∴CF＝BC﹣BF＝4﹣3＝1，∴DF＝＝＝（2）当点F落在BC的延长线上的点F′时，如图，同样可证明Rt△ABF′≌Rt△ADE，∴BF′＝DE＝3，∴CF＝BC+BF′＝4+3＝7，∴DF＝＝＝，故答案为：或；。
人教版新高考数学二轮复习习题训练--专题突破练16 立体几何中的翻折问题及探索性问题
专题突破练16立体几何中的翻折问题及探索性问题1.(2021·山东聊城三模)如图,在平面四边形ABCD中,BC=CD,BC⊥CD,AD⊥BD,沿BD将△ABD折起,使点A到达点P的位置,且PC⊥BC.(1)求证:PD⊥CD;(2)若M为PB的中点,二面角P-BC-D的大小为60°,求直线PC与平面MCD所成角的正弦值.2.(2021·湖南师大附中二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=BC=1,△PDC是边长为2的等边三角形,平面PDC⊥平面ABCD,E为线段PC上一点.(1)设平面PAB∩平面PDC=l,求证:l∥平面ABCD.的值;若不存在,请说明理由.(2)是否存在点E,使平面ADE与平面ABCD的夹角为60°?若存在,求CECP3.(2021·山东泰安三模)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=2,BC=2√2,BB1=2,M为CC1的中点.(1)试确定线段AB1上一点N,使AC∥平面BMN;(2)在(1)的条件下,若平面ABC⊥平面BB1C1C,∠ABB1=60°,求平面BMN与平面BB1C1C的夹角的余弦值.4.(2021·福建泉州二模)如图①,在等腰直角三角形ABC中,CD是斜边AB上的高,沿CD将△ACD折起,使点A到达点P的位置,如图②,∠PBD=60°,E,F,H分别为PB,BC,PD的中点,G为CF的中点.图①图②(1)求证:GH∥平面DEF;(2)求直线GH与平面PBC所成角的正弦值.5.(2021·天津二模)如图,在四棱锥E-ABCD中,平面ABCD⊥平面ABE,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2BC=2CD=2,AE=BE=√3,M为BE的中点.(1)求证:CM∥平面ADE.(2)求二面角E-BD-C的正弦值.?若存在,求出AN的(3)在线段AD上是否存在一点N,使直线MD与平面BEN所成角的正弦值为4√621长;若不存在,说明理由.6.(2021·湖南长沙长郡中学一模)如图①,在等边三角形ABC中,D,E分别为边AB,AC上的动点,且满足DE∥BC,记DE=λ.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置,使得平面MDE⊥平面DECB,连接MB,MC,如BC图②所示,N为MC的中点.图①图②(1)当EN∥平面MBD时,求λ的值.(2)随着λ值的变化,二面角B-MD-E的大小是否改变?若是,请说明理由;若不是,请求出二面角B-MD-E的正弦值.专题突破练16 立体几何中的翻折问题及探索性问题1.(1)证明: 因为BC ⊥CD ,BC ⊥PC ,PC ∩CD=C ,所以BC ⊥平面PCD.又PD ⊂平面PCD ,所以BC ⊥PD.由翻折可知PD ⊥BD ,BD ∩BC=B ,所以PD ⊥平面BCD.又CD ⊂平面BCD ,所以PD ⊥CD.(2)解: 因为PC ⊥BC ,CD ⊥BC ,所以∠PCD 为二面角P-BC-D 的平面角,即∠PCD=60°. 在Rt △PCD 中,PD=CD tan 60°=√3CD.取BD 的中点O ,连接OM ,OC ,则OM ∥PD ,OM=12PD. 因为BC=CD ,所以OC ⊥BD.由(1)知PD ⊥平面BCD ,所以OM ⊥平面BCD ,所以OM ,OC ,OD 两两互相垂直.以O 为原点,OC ,OD ,OM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系如图所示.设OB=1,则P (0,1,√6),C (1,0,0),D (0,1,0),M (0,0,√62),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,√6),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,√62).设平面MCD 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{n ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x +y =0,-x +√62z =0, 令z=√2,则x=√3,y=√3,所以n =(√3,√3,√2)为平面MCD 的一个法向量.设直线PC 与平面MCD 所成的角为θ,则sin θ=|cos <CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n ||CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=√34,所以直线PC 与平面MCD 所成角的正弦值为√34.2.(1)证明: ∵AB ∥CD ,AB ⊄平面PDC ,DC ⊂平面PDC , ∴AB ∥平面PDC.又平面PAB ∩平面PDC=l ,AB ⊂平面PAB ,∴AB ∥l. 又l ⊄平面ABCD ,AB ⊂平面ABCD ,∴l ∥平面ABCD. (2)解: 设DC 的中点为O ,连接OP ,OA ,则PO ⊥DC.又平面PDC ⊥平面ABCD ,PO ⊂平面PDC ,平面PDC ∩平面ABCD=DC ,∴PO ⊥平面ABCD.∵AB ∥CD ,AB=OC=1,∴四边形ABCO 为平行四边形, ∴OA ∥BC.由题意可知BC ⊥CD ,∴OA ⊥CD. ∴OA ,OC ,OP 两两互相垂直.以O 为原点,OA ,OC ,OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系如图所示.则A (1,0,0),D (0,-1,0),C (0,1,0),P (0,0,√3).由PO ⊥平面ABCD ,可知m =(0,0,1)为平面ABCD 的一个法向量.假设存在点E ,使平面ADE 与平面ABCD 的夹角为60°,设CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1),则E (0,1-λ,√3λ),∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2-λ,√3λ).设平面ADE 的法向量为n =(x ,y ,z ),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),则{n ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x +y =0,(2-λ)y +√3λz =0,取x=1,则y=-1,z=√3λ,∴n =(1,-1,√3λ)为平面ADE的一个法向量.由题意可知|cos <m ,n >|=|m ·n ||m ||n |=2-λ√3λ√12+12+(2-λ√3λ)=12,整理得λ2+4λ-4=0,解得λ=2(√2-1),故存在点E ,使平面ADE 与平面ABCD 的夹角为60°,此时CECP =2(√2-1). 3.解: (1)当AN=13AB 1时,AC ∥平面BMN.证明:如图,设BM ∩B 1C=E ,连接EN ,则CEB 1E =CMBB 1=12.由AN=13AB 1,得ANB 1N =12,∴AC ∥NE.又AC ⊄平面BMN ,NE ⊂平面BMN ,∴AC ∥平面BMN.(2)取BC 的中点O ,连接AO ,B 1O.∵AC=AB=2,∴AO ⊥BC.又BC=2√2,∴AO=BO=√2.∵平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ,平面ABC ∩平面BB 1C 1C=BC ,AO ⊂平面ABC ,∴AO ⊥平面BB 1C 1C.∵AB=BB 1=2,∠ABB 1=60°,∴AB 1=2,O B 12=A B 12-AO 2=2,∴OB 1=√2,O B 12+OB 2=B B 12,∴OB 1⊥OB.以O 为原点,OB ,OB 1,OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系如图所示,则A (0,0,√2),B (√2,0,0),C (-√2,0,0),C 1(-2√2,√2,0),B 1(0,√2,0),M (-3√22,√22,0), ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,0,√2),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,-√2),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-5√22,√22,0),AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√23,-√23),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,√23,2√23). 设平面BMN 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{-√2x +√23y +2√23z =0,-5√22x +√22y =0,解得{y =5x ,z =-x ,令x=1,则y=5,z=-1,∴n =(1,5,-1)为平面BMN 的一个法向量. 由题意可知m =(0,0,1)为平面BB 1C 1C 的一个法向量.设平面BMN 与平面BB 1C 1C 的夹角为θ,则cos θ=|cos <m ,n >|=|m ·n ||m ||n |=√39, 故平面BMN 与平面BB 1C 1C 的夹角的余弦值为√39.4.(1)证明: 如图,连接BH ,交DE 于点M ,连接MF.因为△ABC 是等腰直角三角形,CD 是斜边AB 上的高,所以AD=DB ,即PD=DB. 因为∠PBD=60°,所以△PBD 是等边三角形.因为E ,H 分别为PB ,PD 的中点,所以M 是等边三角形PBD 的中心,所以BM=23BH.因为F 为BC 的中点,G 为CF 的中点,所以BF=23BG. 所以MF ∥GH.又MF ⊂平面DEF ,GH ⊄平面DEF ,所以GH ∥平面DEF. (2)解: 如图,建立空间直角坐标系,设PD=DB=DC=2,则C (0,2,0),B (2,0,0),P (1,0,√3),H (12,0,√32),G (12,32,0),所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,0),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,√3),HG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,-√32).设平面PBC 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-2x +2y =0,-x +√3z =0,令x=√3,则y=√3,z=1,所以n =(√3,√3,1)为平面PBC 的一个法向量. 设直线GH 与平面PBC 所成的角为θ, 则sin θ=|cos <n ,HG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·HG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n ||HG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3√3×√7=√77, 故直线GH 与平面PBC 所成角的正弦值为√77. 5.(1)证明: 取AE 的中点P ,连接MP ,PD (图略).∵P ,M 分别为AE ,BE 的中点,∴PM ∥AB ,PM=12AB. 又CD ∥AB ,CD=12AB ,∴PM ∥CD ,PM=CD ,∴四边形PMCD 为平行四边形,∴CM ∥PD.又CM ⊄平面ADE ,PD ⊂平面ADE ,∴CM ∥平面ADE. (2)解: 取AB 的中点O ,连接OD ,OE. 又CD ∥AB ,CD=12AB ,∴CD ∥OB ,CD=OB ,∴四边形BCDO 为平行四边形,∴OD ∥BC. 又AB ⊥BC ,∴OD ⊥AB.又平面ABCD ⊥平面ABE ,平面ABCD ∩平面ABE=AB ,OD ⊂平面ABCD ,∴OD ⊥平面ABE.∵AE=BE ,O 为AB 的中点,∴OE ⊥AB.以O 为坐标原点,OE ,OB ,OD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系如图所示,则E (√2,0,0),B (0,1,0),C (0,1,1),D (0,0,1).设平面BDE 的法向量为m =(x ,y ,z ),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,-1,0),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1), 由{m ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{√2x -y =0,-y +z =0,取y=√2,则x=1,z=√2,∴m =(1,√2,√2)为平面BDE 的一个法向量. 易知n =(1,0,0)为平面BCD 的一个法向量. 设二面角E-BD-C 的平面角为θ, 则|cos θ|=|cos <m ,n >|=|m ·n ||m ||n |=√55,∴sin θ=√1-cos 2θ=2√55. 故二面角E-BD-C 的正弦值为2√55.(3)解: 假设在线段AD 上存在一点N ,使得直线MD 与平面BEN 所成角的正弦值为4√621. 由(2)知M (√22,12,0),A (0,-1,0),D (0,0,1),BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,-1,0),则MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√22,-12,1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,0). 设AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,λ,λ),其中0≤λ≤1,∴BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,λ-2,λ). 设平面BEN 的法向量为u =(x 1,y 1,z 1), 由{u ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,u ·BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{√2x 1-y 1=0,(λ-2)y 1+λz 1=0,取y 1=√2λ,则x 1=λ,z 1=2√2−√2λ,∴u =(λ,√2λ,2√2−√2λ)为平面BEN 的一个法向量.由题意可知|cos <MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,u >|=|MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·u ||MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||u |=√2-√2λ√72×5λ2-8λ+8=4√621.整理得16λ2-34λ+13=0,解得λ=12或λ=138(舍去).∴AN=√22.11故在线段AD 上存在一点N ,使直线MD 与平面BEN 所成角的正弦值为4√621,此时AN=√22.6.(1)证明: 如图,取MB 的中点P ,连接DP ,PN ,又N 为MC 的中点,所以NP ∥BC ,NP=12BC. 又DE ∥BC ,所以NP ∥DE ,即N ,E ,D ,P 四点共面.又EN ∥平面MBD ,EN ⊂平面NEDP ,平面NEDP ∩平面MBD=DP ,所以EN ∥PD ,即四边形NEDP 为平行四边形,所以NP=DE ,即DE=12BC ,即λ=12.(2)解: 取DE 的中点O ,连接MO ,则MO ⊥DE.又平面MDE ⊥平面DECB ,平面MDE ∩平面DECB=DE ,MO ⊂平面MDE ,所以MO ⊥平面DECB.如图,建立空间直角坐标系,不妨设BC=2,则M (0,0,√3λ),D (λ,0,0),B (1,√3(1-λ),0),所以MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,0,-√3λ),DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,√3(1-λ),0). 设平面MBD 的法向量为m =(x ,y ,z ),则{MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =λx -√3λz =0,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =(1-λ)x +√3(1-λ)y =0,即{x =√3z ,x =-√3y ,令x=√3,则y=-1,z=1,所以m =(√3,-1,1)为平面MBD 的一个法向量. 由题意可知n =(0,1,0)为平面MDE 的一个法向量. 设二面角B-MD-E 的平面角为θ,则|cos θ|=|cos <m ,n >|=|m ·n ||m ||n |=√55,易知θ为钝角,所以二面角B-MD-E 的大小不变.sin θ=√1-cos 2θ=2√55,所以二面角B-MD-E 的正弦值为2√55.。
备考2021年中考数学复习专题：图形的变换_轴对称变换_翻折变换(折叠问题)
A . 25° B . 30° C . 45° D . 60°
6、
(2020兰州.中考真卷) (2019八下·海沧期中) 如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若
，
，则 为（）
A. B. C. D. 7、 (2020南岸.中考模拟) △ABC中，∠ACB=45°，D为AC上一点，AD=5 ，连接BD，将△ABD沿BD翻折至△EBD， 点A的对应点E点恰好落在边BC上.延长BC至点F，连接DF，若CF=2，tan∠ABD= ，则DF长为（ ）
14、 (2019河南.中考模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△A B′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为________．
15、 (2020淮阴.中考模拟) 如图，在△ABC中，AC＝BC，把△ABC沿AC翻折，点B落在点D处，连接BD，若∠CBD＝16° ，则∠BAC＝________°．
初中数学几何培优小专题：翻折之直角三角形存在性
中考数学翻折专题训练直角三角形存在性问题1.（2017•河南）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM 的长为．2.（2020•郑州二模）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD边上一动点，将△AEO沿直线EO折叠，点A落在点F处，线段EF，OD相交于点G．若△DEG是直角三角形，则线段DE的长为．3.（2020•恩施市校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC的中点，连接AE，P是边AD 上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD＝．4.（2020•洛阳一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，BD平分∠ABC，点E是边AB上一动点（不与A、B重合），沿DE所在的直线折叠∠A，点A的对应点为F，当△BFC是直角三角形且BC为直角边时，则AE的长为．5.（2020春•二七区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝3：4，点E是对角线BD上一动点（不与点B，D重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A，B的对应点G，F分别在直线AD与BC上，当△DEF为直角三角形时，CN：BN的值为．6.（2019•临颍县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E、F分别在边AC、BC上，连接EF，沿EF折叠该三角形，使点C的对应点D落在边AB上．若△BDF是直角三角形，则CF的长为．7.（2019•包河区一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AC＝8，点E是AB的中点，点F是对角线AC上一点，△GEF与△AEF关于直线EF对称，EG交AC于点H，当△CGH中有一个内角为90°时，则CG的长为．8.（2018秋•蜀山区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将△ABE沿BE翻折得到△A′BE，点A落在矩形ABCD的内部，且∠AA′G＝90°，若以点A′、G、C为顶点的三角形是直角三角形，则AE＝．9.（2019秋•川汇区期末）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，点E是BC边的中点，连接AE，△AB′E和△ABE关于AE所在直线对称，若△B′CD是直角三角形，则BC边的长为．10.（2019秋•建湖县期中）如图，长方形ABCD中，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，AB＝CD＝5，AD＝BC ＝13，点E为射线AD上的一个动点，若△ABE与△A'BE关于直线BE对称，当△A'BC为直角三角形时，AE 的长为．11.（2020•梁园区校级二模）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，对角线AC与BD交于点O，E 是AD边动点，作直线OE交BC于点G，将四边形DEGC沿直线EG折叠，点D落在点D′处，点C落在点C′处，ED′交AC于F，若△AEF是直角三角形，则AE＝．12.（2020•望城区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E为射线CB上一动点（不与点C重合），将△CDE沿DE所在直线折叠，点C落在点C′处，连接AC′，当△AC′D为直角三角形时，CE的长为．13.（2020•宜城市模拟）如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，E 为AB 边上一点，将△BEC 沿着CE 翻折，使点B 落在点F 处，连接AF ，当△AEF 为直角三角形时，BE ＝ ．14.（2020•沈阳）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 为边AD 上一动点，连接OP ，以OP 为折痕，将△AOP 折叠，点A 的对应点为点E ，线段PE 与OD 相交于点F ．若△PDF 为直角三角形，则DP 的长为 ．15.如图，在三角形ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D,E 分别是AB ，BC 上的动点，将BDE Δ沿着直线DE 翻折得到FDE Δ，使点F 落在射线AC 上，当BE 的长为 时，ADF Δ是直角三角形。
初中数学几何培优小专题：翻折之“落点”问题
中考数学翻折专题训练“落点”问题1.（2019•河南）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a．连接AE，将△ABE 沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为．2.（2016•河南）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为．3.（2020•宛城区一模）在矩形纸片ABCD中，AB＝9，BC＝15，沿着过该矩形顶点的一条直线将∠B折叠，当B的对应点恰好落在矩形的边AD上时，折痕的长为．4.（2019•新乡二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为．5.（2019•莘县三模）如图，在矩形ABCD中，BC＝4，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿直线BE折叠，点A对应点为点A'，延长BA'，交边DC于点F．若点F是DC的三等分点，则CD的长为．6.（2020•老城区校级二模）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝8，∠DAB＝60°，点E，F分别是边AD、AB上的动点，连接EF，将△AEF沿直线EF折叠，使点A的对应点A'落在边CD上，则BF的取值范围是．7.（2018秋•包河区期末）如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点E、F分别是边AB、CD上的动点，将该四边形沿折痕EF翻折，使点A落在边BC的三等分点处，则AE的长为．8.（2018•临颍县二模）如图，在矩形ABCD中，点G在AD上，且GD＝AB＝1，AG＝2，点E是线段BC上的一个动点（点E不与点B，C合），连接GB，GE，将△GBE关于直线GE对称的三角形记作△GFE，当点E运动到使点F落在矩形任意一边所在的直线上时，则所有满足条件的线段BE的长是．9.（2019春•嘉祥县期中）如图，在矩形ABCD中，点G在AD上，且GD＝AB＝1，AG＝3，点E是线段BC 上的一个动点（点E不与点B、C重合），连接GB、GE，△GBE与△GFE关于直线GE对称，当点F落在直线BC和直线DC上时，则所有满足条件的线段BE的长是．10.如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝a，E是AB边上一点，AE＝a，F是CD边上一点，且DF＝1，连接AF、EF，△A′EF与△AEF关于EF所在直线对称，若点A′落在△EFC的边所在线段上，则a的值为．11.（2016•商丘模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，点E 是斜边AC上的一点，且AE＝AB，沿△DEC的一个内角平分线折叠，使点C落在DE所在直线上，则折痕的长度为．12.（2020•浙江自主招生）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为．13.（2019•漯河一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝3，点P在边AB上，且BP＝1，点Q为边AC上的任意一点（不与点A，C重合），把△APQ沿PQ折叠，当点A的对应点A'落在△ABC的边上时，AQ 的长为．2（CG＞BG），点E 14.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠B=60°，点G为边BC上的一点，且BG=3为边AB上一动点（不与点B重合），将∠B沿直线GE折叠，当点B的对应点F落到平行四边形的边上时，线段BE的长为 .15．（2019秋•渝中区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，连接AE、ED，将△ABE 沿AE翻折，使点B落在B'处，线段EB'交AD于点F，将△ECD沿DE翻折，使点C的对应点C'落在线段EB'上，若点C'恰好为EB'的中点，则线段EF的长为16．（2018•平顶山二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6，E．F分别是线段AD，BC上的点，连接EF，使四边形ABFE为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE 的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为．17．（2019•邓州市二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，点M是AC边的中点，点N 是BC边上的任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为．18．（2020•温州一模）如图，等边△ABC中，D、E分别在边AC，BC上，AB＝6，CD＝CE，△CDE沿直线DE折叠，使点C落在AB边上的P处，则CE＝．19．（2020•二道区一模）如图，等边△ABC中，点E、F分别在边BC、AB上，把△BEF沿直线EF翻折，使点B的对应点D恰好落在边AC上．若∠AFD＝90°，CD＝1，则BC的长为．20．（2017•开封二模）如图，在等边△ABC中，边长为30，点M为线段AB上一动点，将等边△ABC沿过M 的直线折叠，折痕与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC＝1：4，设折痕为MN，则AN的值为．21．（2020•开封二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为．22．（2017秋•铜山区期中）如图，将直角三角形纸片ABC折叠，恰好使直角顶点C落在斜边AB的中点D 的位置，EF是折痕，已知DE＝3，DF＝4，则AB＝．23．（2017•日照一模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点F为BC边上的一个动点，把△ABF沿AF折叠．当点B的对应点B′落在矩形ABCD的对称轴上时，则BF的长为．。
1、2020重庆中考数学三角形翻折变换专题一
三角形翻折变换专题训练一1、 如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE2、 沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，连CF ，则CF 的长为（ ）．13.5A 14B.5 17C.5 18D.5 2．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝12，∠B ＝90°，以EF 为折痕折叠，使A 与BC上一点D 重合，若BD ：DC ＝2：1，则AE 的长是( ).8A25B.3 26C.3 D.9 3.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝12，点D 为BC 边上的中点，将△ACD 沿AD 对折，使点C 落在同一平面内的点C '处，连接BC ''，则BC ' 的长为（ ）．A ．325 B．5 CD ．3654.如图，在等腰三角形Rt ABC V 中，0=90ABC ∠，1AB AC ==，点D 是AC 上一点，0=30CBD ∠，将BCD V 沿BD 折叠至BC D 'V ，连接AC '，则AC D 'V 的面积为（ ）ACD 5、已知Rt △ACB 中，点D 为斜边AB 的中点，连接CD ，将△DCB 沿直线DC翻折，使点B 落在点E 的位置，连接DE 、CE 、AE ，DE 交AC 于点F ，若BC ＝6，AC ＝8，则AE 的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 6、如图，等边三角形ABC 边长为5、D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，将△ADE 沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若BF ＝2，则BD 的长是（ ）A ． B ． C ．3 D ．2第3题图第1题图第2题图第4题图第5题图第6题图7、如图的三角形纸片中，BC＝12cm，∠C＝30°，折叠这个三角形，使B落在边AC上，且DF＝DC，折痕为EF，那么BF的长为（）cm．A．2B．4﹣3 C．6﹣6 D．68、如图，ABCD中，AB＝6，∠B＝75°，将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，B′C交AD于E，∠B′AE＝45°，则点A到BC的距离为（）A．2B．3C．D．9、如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F，则EF 的长为（）A．B．C．D．10.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D在BC上，且CD＝2DB，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（）A．B．C．D．11.如图，一张等腰直角三角形纸片，其中∠C＝90°，斜边AB＝4，将纸片折叠，使点A恰好落在BC边的中点D处，折痕为EF，则AE的长度为（）．4.3A5.3B3.2C6.5D12. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，连接CD，将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD，连接AE，若AC＝5，CD＝6.5，则线段AE的长为（）A．B．9 C．D．13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接AE，BE，则线段BE的长等于（）A．B．C．D．214、如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE，若，AD＝2BD，则CF等于（）A．B．C．D．15.如图，已知△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，AB ＝，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折，使AB与AC重合，得△AED，则BD的长度为（）A ．B ．C ．D ．16、如图，已知△ABC中，∠BAC＝120°，A D为边BC上的中线，将△ACD沿AD翻折得到△AED，BF平行于AC交AE于F，若AC==15，AB=5,则BF的长为（）A.12B.6 C,9 D.8B C17、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为（）.3 A3.2B.23C或3.22D或三角形翻折变换专题训练一答案解析1、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，连CF ，则CF 的长为（ ）．13.5A 14B.5 17C.5 18D.5解：连接BF ，交AE 于H ，如图所示：∵BC ＝6，点E 为BC 的中点∴BE ＝3，又∵AB ＝4，∴AE ＝＝5，∴BH ＝＝，则BF ＝2BH ＝，∵FE ＝BE ＝EC ，∴∠BFC ＝90°，∴CF ＝＝． 2．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝12，∠B ＝90°，以EF 为折痕折叠，使A 与BC 上一点D 重合，若BD ：DC ＝2：1，则AE 的长是( C ).8A25B.3 26C.3 D.9 解：∵＝，AB ＝BC ＝12，∴BD ＝8，设ED ＝x ，则BE ＝12﹣x ，在Rt △BDF 中，x 2＝（12﹣x ）2+82，解得AE ＝x ＝．3.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝12，点D 为BC 边上的中点，将△ACD 沿AD 对折，使点C 落在同一平面内的点C '处，连接BC ''，则BC ' 的长为（ D ）．A ． 325 B．5 CD ．365解：如图，连接CC '，将ACD ∆沿AD 对折，使点C 落在同一平面内的点C '处AD CC '∴⊥，CN C N '=，点D 为BC 边上的中点162CD BC ∴==10AD ∴= 1122ACD S AC CD AD CN ∆=⨯⨯=⨯⨯ 4.8CN ∴=185DN ∴= CN C N '=，CD DB = 3625C B DN '∴== 4.如图，在等腰三角形Rt ABC V 中，0=90ABC ∠，1AB AC ==，点D 是AC 上一点，0=30CBD ∠，将BCD V 沿BD 折叠至BC D 'V ，连接AC '，则AC D 'V 的面积为（ A ）ACD5、已知Rt △ACB 中，点D 为斜边AB 的中点，连接CD ，将△DCB 沿直线DC 翻折，使点B 落在点E 的位置，连接DE 、CE 、AE ，DE 交AC 于点F ，若BC ＝6，AC ＝8，则AE 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．解：连接BE 交CD 于点G ，∵Rt △ACB 中，AB ＝＝10， ∵点D 为斜边AB 的中点，∴CD ＝AD ＝BD ＝AB ＝5，设DG x =，在△DBG 中，222BG BD DG =-，在△CBG 中，222BG BC CG =-∴22225=6(5)x x ---∴7=5x ，75DG =∴DM ＝＝4，由折叠得，CD 垂直平分BE ，∴BG EG =∵点D 为斜边AB 的中点，∴AE ＝2DG ＝，故选：B ． 6、（2019•福州二模）如图，等边三角形ABC 边长为5、D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，将△ADE 沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若BF ＝2，则BD 的长是（ ）A ．B ．C ．3D ．2解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝AC ＝5，∵沿DE 折叠A 落在BC 边上的点F 上，∴△ADE ≌△FDE ，∴∠DFE ＝∠A ＝60°，AD ＝DF ，AE ＝EF ，设BD ＝x ，AD ＝DF ＝5﹣x ，CE ＝y ，AE ＝5﹣y ，∵BF ＝2，BC ＝5，∴CF ＝3，∵∠C ＝60°，∠DFE ＝60°，∴∠EFC +∠FEC ＝120°，∠DFB +∠EFC ＝120°，∴∠DFB ＝∠FEC ，∵∠C ＝∠B ，∴△DBF ∽△FCE ， ∴，即，解得：x ＝，即BD ＝，故选：B7、（2018•九龙坡区校级模拟）如图的三角形纸片中，BC ＝12cm ，∠C ＝30°，折叠这个三角形，使B 落在边AC 上，且DF ＝DC ，折痕为EF ，那么BF 的长为（ ）cm ．A ．2B ．4﹣3C ．6﹣6D ．6解：过点D 作DH ⊥BC 于H ，∵折叠这个三角形，使B 落在边AC 上，∴DF ＝BF ，∵DF ＝DC ，DH ⊥BC ∴∠C ＝∠DFC ＝30°，FH ＝CH ，∴DH ＝DF ，FH ＝DH ＝DF ，∴CF＝DF，∴BC＝BF+CF＝BF+BF＝12cm，∴BF＝（6﹣6）cm故选：C．8、（2019•沙坪坝区校级月考）如图，ABCD中，AB＝6，∠B＝75°，将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，B′C交AD于E，∠B′AE＝45°，则点A到BC的距离为（C）A．2B．3C．D．解：过B′作B′H⊥AD于H，∵∠B′AE＝45°，∴△AB′H是等腰直角三角形，∴AH＝B′H＝AB′，∵将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，∴AB′＝AB＝6，∠AB′E＝∠B＝75°，∴∠AEB′＝60°，∴AH＝B′H＝×6＝3，∴HE＝B′H＝，B′E＝2，∵ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ACB′，∴∠EAC＝∠ACE，∴AE＝CE，∵∠AB′E＝∠B＝∠D，∠AEB′＝∠CED，∴△AB′E≌△CDE（AAS），∴DE＝B′E＝2，∴AD＝AE+DE＝3+3，∵∠AEB′＝∠EAC+∠ACE＝60°，∴∠ACE＝∠CAE＝30°∴∠BAC＝75°，∴AC＝AD＝BC，∠ACB＝30°，过A作AG⊥BC于G，∴AG＝AC＝．9、（2019秋•南岸区校级月考）如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F，则EF＝（C）A．B．C．D．解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，∴△AHB′是等腰直角三角形，∴AH＝B′H＝AB′，∵AB′＝AC＝，∴AH＝B′H＝1，∴BH＝3，∴BB′＝＝＝，∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，∴BF＝BB′＝，DE⊥BB′，∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，∵∠EBF＝∠B′BH，∴△BFE∽△BHB′，∴＝，∴＝，∴EF＝，10.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D在BC上，且CD＝2DB，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（）A．B．C．D．解：∵△DEF是△AEF翻折而成，∴△DEF≌△AEF，∠A＝∠EDF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠EDF＝45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°＝∠BED+45°，∴∠BED＝∠CDF，设CD＝2，CF＝x，则CA＝CB＝3，∴DF＝F A＝3﹣x，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+CD2＝DF2，即x2+4＝（3﹣x）2，解得：x＝，∴sin∠BED＝sin∠CDF＝＝＝．故选：A．11.如图，一张等腰直角三角形纸片，其中∠C＝90°，斜边AB＝4，将纸片折叠，使点A恰好落在BC边的中点D处，折痕为EF，则AE的长度为（B）4.3A5.3B3.2C6.5D解：作DH⊥AB于H，可得等腰Rt△DBH，由AB＝4，可知BC＝sin45°×AB＝×4＝2，于是BD＝，BH＝DH＝×＝1，设AE＝DE＝x，则EH＝4﹣1﹣AE＝3﹣x，在Rt△DEH中，（3﹣x）2+12＝x2，解得：x＝，故AE的长度为．12. （2018春•开州区期末）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，连接CD，将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD，连接AE，若AC＝5，CD＝6.5，则线段AE的长为（）．A．B．9 C．D．解：如图，延长CD交BE于点H，作CF⊥AB于F．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，CD＝6.5，∴AD＝DB＝CD＝6.5，AB＝13．∵AC＝5，∴BC＝＝12．∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CF，∴×5×12＝×13×CF，解得CF＝．∵将△BCD沿直线CD翻折得到△ECD，∴BC＝CE，BD＝DE，∴CH⊥BE，BH＝HE．∵AD＝DB＝DE，∴△ABE为直角三角形，∠AEB＝90°，由折叠可得S△ECD＝S△ACD，∴DC•HE＝AD•CF，∵DC＝AD，∴HE＝CF＝．∴BE＝2EH＝．∵∠AEB＝90°，∴AE＝＝＝．13．（2017秋•常熟市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接AE，BE，则线段BE的长等于（）A．B．C．D．2解：如图延长CD交AE于点H，作CF⊥AB，垂足为F．∵在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5．∵D为AB的中点，∴AD＝BD＝DC．∵AC•BC＝AB•CF，∴×3×4＝×5×CF，解得CF＝．由翻折的性质可知AC＝CE，AD＝DE，∴CH⊥AE，AH＝HE．∵DC＝DB，BD•CF＝DC•HE，∴HE＝CF＝．∴AE＝．∵AD＝DE＝DB，∴△ABE为直角三角形．∴BE＝＝＝．故选：A．14．（2019•历城区一模）如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 是AB 上的一个动点（不与点A ，B 重合），连接CD ，将CD 绕点C 顺时针旋转90°得到CE ，连接DE ，DE 与AC 相交于点F ，连接AE ，若，AD ＝2BD ，则CF 等于（ ）A ． B ． C ． D ．解：∵∠ACB ＝90°，由旋转知，CD ＝CE ，∠DCE ＝90°＝∠ACB ，∴∠BCD ＝∠ACE ，∴△BCD ≌△ACE ，∴∠CAE ＝∠CBD ＝45°＝∠CEF ，∵∠ECF ＝∠ACE ，∴△CEF ∽△CAE ， ∴＝，∴CE 2＝CF •AC ，如图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，∵AB ＝3，∴AC ＝BC ＝3， ∵AD ＝2BD ，∴BD ＝AB ＝，∴DG ＝BG ＝1，∴CG ＝BC ﹣BG ＝3﹣1＝2，在Rt △CDG 中，根据勾股定理得，CD ＝＝，∵△BCD ≌△ACE ， ∴CE ＝CD ＝，∵CE 2＝CF •AC ，∴CF ＝＝，故选：B ．15、（2018•柘城县三模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，点D 是BC 上一动点，连接AD ，将△ACD 沿AD 折叠，点C 落在点E 处，连接DE 交AB 于点F ，当△DEB 是直角三角形时，DF 的长为（ D ） .3A 3.2B .23C 或 3.22D 或解：①如图1中，当∠EDB ＝90°，四边形ACDE 是正方形，此时CD ＝AC ＝6，∵BC ＝＝8，∴BD ＝BC ﹣CD ＝8﹣6＝2，∵tan ∠ABC ＝＝，∴＝，∴DF ＝． ②如图2中，当∠DEB ＝90°时，AC ＝AE ＝6，则BE ＝4，设CD ＝DE ＝x ，在Rt △BDE 中，（8﹣x ）2＝x 2+42，∴x ＝3，综上所述，满足条件的DF 的值为3或．16、如图，已知△ABC 中，∠CAB ＝∠B ＝30°，AB ＝，点D 在BC 边上，把△ABC 沿AD 翻折，使AB 与AC 重合，得△AED ，则BD 的长度为（ ）A ．B ．C ．D ．解：作CF⊥AB于点F．∵∠CAB＝∠B∴AC＝BC，∴BF ＝AB ＝，在直角△BCF中，BC ＝＝2，在△CDE中，∠E＝∠B＝30°，∠ECD＝∠CAB+∠B＝60°，DE＝BD，∴∠CDE＝90°，设BD＝x，则CD＝DE＝2﹣x，在直角△CDE中，tan E ＝＝＝tan30°＝，解得：x＝3﹣．故选：B．11。
2021重庆中考数学复习翻折变换专题训练二
中考翻折变换专题训练二一、典型例题分析例1、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为（ ）16.5A 18.5B 24.5C 36.5D例2、如图，已知在△ABC 中，∠BAC>90°，13AB =，BC=10，点D 为BC 的中点，点E 在AC 上,将△CDE 沿着DE 翻折,使得点C 恰好落在BA 延长线上的点F 处，连接AD, 52EDFs =，则AD 的长度为（ ） 52A 、 2B 、2 73C 、 413D 、例3、如图，在长方形ABCD 中，AB ＝CD ＝10，AD ＝BC ＝12，点E 是CD 的中点，连结AE ，将△ADE 沿指向AE 折叠，是使点E 落在点F 处，则线段CF 的长度是（ ） A ．4B ．C ．D ．例4、如图，在平行四边形ABCD 中，∠B ＝30°，且BC ＝CA ，将△ABC 沿AC 翻折至△AB ′C ，AB ′交CD 于点E ，连接B ′D ．若AB ＝3，则B ′D 的长度为( ).5A .6B 13.2C 15.2D例5、如图，菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，将菱形沿EF 折叠，点B 恰好落在边AD 上的点G 处，若045,32,2,B AB BE AE ∠===则GF 的长为（ ）.274A - .272B - .272C + .274D +例6、如图，在菱形纸片ABCD 中，AB ＝8，∠A ＝60°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 、O 分别在边A ，AD 上，则EG 的长为（ ） A ．B ．C ．4D ．4例7、如图,正方形纸片ABCD的边长为4,B是边AD的中点,连接BE,折叠该纸片,点A落在A′处,连接A′C,则A′C的长为( )410 .A310.B210.C710.D例8、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠ADC＝120°，连接BD，把△ABD沿BD翻折，得到△A′BD，连接A′C，若AB＝3，∠ABD＝60°，则点D到直线A′C的距离为（）A．B．C．D．二、作业巩固练习1．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则BD的长为（）A．B．C． D．2、如图，在平行四边形纸片ABCD 中、AB ＝AD ＝4，∠A ＝60°，将该纸片翻折使点A 落在CD 边的中点E 处，折为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，则GE 的长为（ ） A ．2B ．2﹣1C ．2.8D ．2.2E ABCDB3、如图，正方形ABCD 的边长为2，点E为AD 的中点，连接BE ，将△ABE 沿BE 折叠，点A 的对应点为F ．连接CF ，则CF 的长为（ ） A ．B ．C ．D ．一、典型例题分析例1、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为（ ）16.5A 18.5B 24.5C 36.5D解：连接BF ，∵BC ＝12，点E 为BC 的中点，∴BE ＝6，又∵AB ＝8， ∴AE ＝＝＝10，由折叠知，BF ⊥AE （对应点的连线必垂直于对称轴）∴BH ＝＝，则BF ＝，∵FE ＝BE ＝EC ，∴∠BFC ＝90°， ∴CF ＝＝＝，故选：D ．例2、如图，已知在△ABC中，∠BAC>90°，13AB=，BC=10，点D为BC的中点，点E在AC上,将△CDE沿着DE翻折,使得点C恰好落在BA延长线上的点F处，连接AD,52EDFs=，则AD的长度为（）52A、2B、273C、413D、MN解：过点A作AM⊥CB于M,，连接CF，延长DE 交CF 于点N,如图所示，则有N为CF中点，∵D为CB中点，∴ND ∥AB，∴E为CA中点, ∵52EDFs=，∴5ACDs=，∴2AM=，∵13AB=，3,2,DB DM==∴2 2.AD=例3、如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝12，点E是CD的中点，连结AE，将△ADE 沿指向AE折叠，是使点E落在点F处，则线段CF的长度是（）A．4 B．C．D．解：过点E作EM⊥CF于点M，如图所示．在Rt△ADE中，AD＝12，DE＝AB＝5，∴AE＝＝13．根据折叠的性质可知：ED＝EF，∠AED＝∠AEF．∵点E是CD的中点，∴CE＝DE＝FE＝5，∴∠FEM＝∠CEM，CM＝FM．∵∠DEA+∠AEF+∠FEM+∠MEC＝180°，∴∠AEF+∠FEM＝×180°＝90°．又∵∠EAF+∠AEF＝90°，∴∠EAF＝∠FEM．∵∠AFE＝∠EMF＝90°，∴△AFE∽△EMF，∴＝，即＝，∴MF＝，CF＝2MF＝．故选：B．例4、如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，且BC＝CA，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，AB′交CD于点E，连接B′D．若AB＝3，则B′D的长度为( B).5A.6B13.2C15.2D解：作CM ⊥AB 于M ，由折叠的性质得：B 'C ＝BC ＝AC ，∠AB 'C ＝∠B ＝∠CAB '＝30°，AB '＝AB ＝CD ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AB ＝CD ，∠ADC ＝∠B ＝30°，∠BAD ＝∠BCD ＝180°﹣∠B ＝150°， ∴∠B 'AD ＝150°﹣30°﹣30°＝90°， ∵BC ＝AC ，∴AM ＝BM ＝AB ＝，∠BAC ＝∠B ＝30°，∴CM ＝，∴AD ＝BC ＝2CM ＝3，在Rt △AB 'D 中，由勾股定理得：B 'D ＝＝＝6；故答案为：6．例5、如图，菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，将菱形沿EF 折叠，点B 恰好落在边AD 上的点G 处，若045,32,2,B AB BE AE ∠===则GF 的长为（ ）.274A - .272B - .272C + .274D +例6、如图，在菱形纸片ABCD 中，AB ＝8，∠A ＝60°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 、O 分别在边A ，AD 上，则EG 的长为（ ） A ．B ．C ．4D ．4解：作EM⊥AD于M，如图所示,∵四边形ABCD是菱形，AB＝8，∴CD＝AD＝AB＝8，AB∥DC，∵AB∥CD，∴∠A＝∠MDC＝60°，∵E是CD中点，∴DE＝4，∵ME⊥AD，∠DMC＝60°，∴∠MED＝30°，且ME⊥AD，∴DM＝DE＝2，ME＝DM＝2，由折叠的性质得：AG＝EG，∠AFG＝∠EFG，在Rt△GME中，EG2＝GM2+ME2．∴EG2＝（8﹣EG+2）2+（2）2，解得：EG＝，故选：A．例7、如图,正方形纸片ABCD的边长为4,B是边AD的中点,连接BE,折叠该纸片,点A落在A′处,连接A′C,则A′C的长为( )410 .A310.B210.C710.D解：如图，过点A′作A′M⊥BC于M交AD于N．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AB＝AD＝BC＝4，AD∥BC，∵MN⊥BC，∴MN⊥AD，由翻折可知，AE＝EA′，∠A＝∠EA′B＝90°，AB＝BA′＝4，∵AE＝ED＝2，∴EA′＝AE＝2，∴∠BA′E＝∠ENA′＝∠A′MB＝90°，∴∠BA′M+∠EA′N＝90°，∠EA′N+∠A′EN＝90°，∴∠BA′M＝∠A′EN，∴△A′NE∽△BMA′，∴＝＝＝，设EN＝x，则A′M＝2x，A′N＝4﹣2x．BM＝8﹣4x，∵BM＝AN，∴8﹣4x＝2+x，∴x＝，∴BM＝，A′M＝，CM＝4﹣BM＝，在Rt△A′CM中，CA′＝＝＝，例8、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠ADC＝120°，连接BD，把△ABD沿BD翻折，得到△A′BD，连接A′C，若AB＝3，∠ABD＝60°，则点D到直线A′C的距离为（）A．B．C．D．解：过点D作DE⊥A′C于E，过A'作A'F⊥CD于F，如图所示：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠ADC+∠BCD＝180°，∠BCD＝180°﹣120°＝60°，∵∠ABD＝60°，∴∠ADB＝30°，∴BD＝2AB＝6，AD＝AB＝3，∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝120°﹣30°＝90°，∠DBC＝30°，∴CD＝tan∠DBC•BD＝tan30°×6＝×6＝2，由折叠的性质得：∠A'DB＝∠ADB＝30°，A'D＝AD＝3，∴∠A'DC＝120°﹣30°﹣30°＝60°，∵A'F⊥CD，∴∠DA'F＝30°，∴DF＝A'D＝，A'F＝DF＝，∴CF＝CD﹣DF＝2﹣＝，∴A'C＝＝＝，∵△A'CD的面积＝A'C×DE＝CD×A'F，∴DE＝＝＝，即D到直线A′C的距离为；故选：C．二、作业巩固练习1．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则BD 的长为（）A．B．C．D．解：∵把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，∴AB＝AE＝5，BD＝DE，AD⊥EF，∴EF＝＝＝3，∵DG＝EG，△AEG的面积为，∴S△ADE＝2×S△AEG＝9＝×EF×AD，∴AD＝6，∴DF＝2，∴BD＝DE＝＝＝，故选：A．2、如图，在平行四边形纸片ABCD中、AB＝AD＝4，∠A＝60°，将该纸片翻折使点A落在CD边的中点E处，折为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE的长为（）A．2B．2﹣1 C．2.8 D．2.2解：过点E作EH⊥AD于H，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝AB＝CD＝AB＝4，∴∠A＝∠HDE＝60°，∵E是CD中点，∴DE＝CD＝2，在Rt△DHE中，DE＝2，HE⊥DH，∠HDE＝60°，∴DH ＝DE＝1，HE ＝DH ＝，由折叠的性质得：AG＝GE，在Rt△HGE中，GH＝AD﹣AG+DH＝4﹣GE+1＝5﹣GE，由勾股定理得：GE2＝GH2+HE2∴GE2＝（5﹣GE）2+3，解得：GE＝2.8；故选：C．BE答案A4、如图，正方形ABCD的边长为2，点E为AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F．连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．解法一：如图，连接AF交BE于点O，过点F作MN⊥AB，∵AB∥CD，MN⊥AB ∴MN⊥CD，∵AB＝2＝AD，点E是AD中点∴AE＝1，∴EB＝＝∵S△ABE＝×AB×AE＝×BE×AO∴2×1＝AO∴AO＝∵将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F∴AO＝OH＝，AB＝BF＝2，∴AF＝∵AF2﹣AN2＝FN2，BF2﹣BN2＝FN2，∴AF2﹣AN2＝BF2﹣BN2，∴﹣（2﹣BN）2＝4﹣BN2，∴BN＝∴FN＝∵MN⊥AB，MN⊥CD，∠DCB＝90°∴四边形MNBC是矩形∴BN＝MC＝，BC＝MN＝2∴MF＝∴CF＝＝故选：D．解法二：M N。
勾股定理——翻折专题
《勾股定理——翻折》专题班级姓名即使行动导致错误，却也带来了学习与成长；不行动则是停滞与萎缩。
【翻折直角三角形】1.如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。
现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长。
AC2.如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。
将△ABC折叠,使点B于点A 重合，折痕为DE,求CE的长。
还可以求哪些线段的长？【翻折矩形】1. 已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，使AB与对角线AC重合,则可求哪些线段的长度？2. 已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将△ABC沿对角线AC折叠，点B落在E处，F,则可求哪些线段的长度？CE交AD于3. 一矩形纸片，AB=6，BC=10，如图在BA上取一点E,将△EBC沿EC折叠，使点B落在AD 边上的F处，则可求图中哪些线段的长度？①翻折的实质是全等，充分利用全等带来的等量关系。
②恰当的设某条线段为x，尽可能的利用x表示多条线段。
③寻求最佳的直角三角形，运用勾股定理列方程。
【提高训练】1. 如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。
若将△ABC折叠,使点A与点C重合，折痕为DE,可以求哪些线段的长？2. 如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。
若将△ABC折叠,使点B与点C重合，折痕为DE,可以求哪些线段的长？3.已知矩形ABCD,AB=8，BC=12，在BC边上取一点H，在AB边上取一点E，沿EH折叠使点B 落在AD边上的F处，AF=4,则可求图中哪些线段的长度？4.将矩形ABCD放在平面直角坐标系中，B点为坐标原点，C点在x轴上，AB=8，BC=12，在F处，AE相等吗？。
2019-2020学年浙江省中考数学(浙教版)专题复习八： 图形折叠问题训练(含答案)
∴∠DOF＝60°.
同理可得∠EOG＝60°，
∴∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG，
∴△DOF≌△GOF≌△GOE，
∴OD＝OG，OE＝OF，∠OGF＝∠ODF＝∠ODB，∠OFG＝∠OEG＝∠OEB，
∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，
∴AD＝CG，AF＝CE，∴△ADF≌△CGE，故选项 A 正确；
DC 边上的点 F 处，折痕为 DE，点 E 在 AB 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点 C 落在线 段 AE 上的点 H 处，折痕为 DG，点 G 在 BC 边上．若 AB＝AD＋2，EH＝1，则 AD＝________．
【分析】设 AD＝x，则 AB＝x＋2，利用折叠的性质得 DF＝AD，EA＝EF，∠DFE＝∠A＝90°，则可判断 四边形 AEFD 为正方形，所以 AE＝AD＝x，再根据折叠的性质得 DH＝DC＝x＋2，则 AH＝AE－HE＝x－ 1，然后根据勾股定理得到 x2＋(x－1)2＝(x＋2)2，再解方程求出 x 即可． 【自主解答】
计算出 CD＝5，接着证明△OBM≌△ODN 得到 DN＝BM，然后根据折叠的性质得 BM＝B′M＝1，从而有
DN＝1，于是计算 CD－DN 即可．
【自主解答】
折叠是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．对于菱形的折 叠，还要明确菱形的基本性质，在解题过程中要抓住菱形的性质进行分析． 2．(2018·贵州遵义中考)如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点 A 恰好落在对角线 BD 上的点 G 处(不与 B，D 重合)，折痕为 EF，若 DG＝2，BG＝6，则 BE 的长为__________．
∠MBO＝∠NDO， OB＝OD， ∠BOM＝∠DON，
2021年中考数学专题图形折叠类问题
图形折叠类问题【考点综述评价】折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果．折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用．折叠(或翻折)在三大图形变换中是比较重要的，考查得较多，无论是选择题、填空题，还是解答题都有以折叠为背景的试题．常常把矩形、正方形的纸片放置于直角坐标系中，与函数、直角三角形、相似形等知识结合，贯穿其他几何、代数知识来设题．根据轴对称的性质可以得到：折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴；互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平分；对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等；对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等. 在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题．【考点分类总结】考点1：折叠后图形判断【典型例题】（2017贵州省遵义市）把一张长方形纸片按如图①，图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（）A．B．C．D．【方法归纳】对折叠图形的判断，可以通过空间想象，找出相等的边与角，转化为角度的判断．【变式训练】（2017天门）如图，下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影．（1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形；（2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．考点2：折叠后度数判断【典型例题】（2017内蒙古赤峰市）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF=23，则∠A=（）A．120°B．100°C．60°D．30°【方法归纳】在折叠问题中，利用对称性可得到相等的角和边．【变式训练】（2017宁夏）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处．若∠1=∠2=50°，则∠A'为．考点3：折叠后线段长度判断【典型例题】（2017新疆乌鲁木齐市）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为43且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A．1B．3C．2D．23【方法归纳】在折叠问题中，利用对称性可得到相等的线段，通过三角形相似、勾股定理列出方程求解．折叠问题转化为轴对称问题，利用勾股定理和相似求出未知线段，最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理．【变式训练】（2017江苏省无锡市）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A．2B．54C．53D．75考点4：折叠后周长面积计算【典型例题】（2017重庆）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E 作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是．【方法归纳】在折叠问题中，利用对称性可得到相等的角、全等的图形和相等的面积．【变式训练】（2017山东省潍坊市）如图，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD边上，记为B′，折痕为CE，再将CD边斜向下对折，使点D落在B′C边上，记为D′，折痕为CG，B′D′=2，BE=13BC．则矩形纸片ABCD的面积为．考点5：折叠后结论探讨【典型例题】（2017南京）折纸的思考．【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC．（1）说明△PBC是等边三角形．【数学思考】（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC，他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．【问题解决】（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为cm．【方法归纳】解决折叠问题时，一是要对图形折叠有准确定位，抓住图形之间最本质的位置关系，从点、线、面三个方面入手，发现其中变化的和不变的量，发现图形中的数量关系；二是要把握折叠的变化规律，充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出来．【变式训练】（2017济宁）实验探究：（1）如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN．请你观察图1，猜想∠MBN 的度数是多少，并证明你的结论．（2）将图1中的三角形纸片BMN剪下，如图2，折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系，写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．【新题好题训练】1．如图，将矩形纸片ABCD 沿BD 折叠，得到△BC ′D ，C ′D 与AB 交于点E ．若∠1=35°，则∠2的度数为（ ）A ．20B ．30C ．35D ．552．如图，E ，F 分别是▱ABCD 的边AD 、BC 上的点，EF =6，∠DEF =60°，将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC ′D ′，ED ′交BC 于点G ，则△GEF 的周长为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．243．如图，平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别落在x 、y 轴上，点B 坐标为（6，4），反比例函数x y 6=的图象与AB 边交于点D ，与BC 边交于点E ，连结DE ，将△BDE 沿DE 翻折至△B 'DE 处，点B '恰好落在正比例函数y =kx 图象上，则k 的值是（ ）A ．52-B ．211-C ．51-D ．241-4．如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（0，33），∠ABO=30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为（）A．（32，332）B．（2，332）C．（332，32）D．（32，3﹣332）5．如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为6cm，则FG= cm．6．在矩形纸片ABCD中，AD=8，AB=6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为．7．如图，已知等边三角形OAB与反比例函数kyx（k＞0，x＞0）的图象交于A、B两点，将△OAB沿直线OB翻折，得到△OCB，点A的对应点为点C，线段CB交x轴于点D，则BDDC的值为．（已知sin1562）8．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．9．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．①写出BP，BD的长；②求证：四边形BCPD是平行四边形．（2）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x x =--交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），将该抛物线位于x 轴上方曲线记作M ，将该抛物线位于x 轴下方部分沿x 轴翻折，翻折后所得曲线记作N ，曲线N 交y 轴于点C ，连接AC 、BC ．（1）求曲线N 所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC 外接圆的半径；（3）点P 为曲线M 或曲线N 上的一动点，点Q 为x 轴上的一个动点，若以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标．。
专题4平行线中的翻折求角度问题及角度之间的关系(原卷版)
专题4 平行线中的翻折问题解题技巧（原卷版）第一部分专题典例分析+针对训练类型一翻折一次典例1（2022•大渡口区期末）如图，长方形纸片ABCD中，AB，DC边上分别有点E，F，将长方形纸片ABCD沿EF翻折至同一平面后，点A，D分别落在点G，H处．若∠GEB＝28°，则∠DFE的度数是（）A．75°B．76°C．77°D．78°针对训练1．（2022春•渝北区月考）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点B，C分别落在点M，N的位置，且∠AFM=12∠EFM，则∠NED的度数为（）A．72°B．35°C．43°D．36°典例2（北仑区期末）如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（）A．72°或48°B．72°或36°C．36°或54°D．72°或54°针对训练1．（2021•达州）如图，长方形ABCD将其沿EF翻折后，D点恰落在B处，∠BFE＝65°，则∠AEB＝．类型二翻折两次或多次典例3（2022春•潍坊期中）将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后，若边AD∥BC，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是（）A．∠1＝2∠2B．∠1+∠2＝90°C．∠1﹣∠2＝30°D．2∠1﹣3∠2＝30°典例4（2021•临海期末）如图1，将长方形纸片ABCD沿着MN翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置．如图2，在第一次翻折的基础上再次将纸片沿着MP翻折，使得点N恰好落在ME延长线上的点Q处．（1）若∠BMN＝70°，求∠AME的度数．（2）若∠PMQ＝α，试用含α的式子表示∠AMQ，并说明理由．针对训练1．（2022•南京模拟）如图1，△ABC中，D是AC边上的点，先将ABD沿看BD翻折，使点A落在点A'处，且A′D∥BC，A′B交AC于点E（如图2），又将△BCE沿着A′B翻折，使点C落在点C′处，若点C′恰好落在BD上（如图3），且∠C′EB＝75°，则∠C＝°2．（2022•市南区校级一模）如图，在△ABC 中，∠ABC +∠ACB ＝α，按图进行翻折，使MD ∥NG ∥BC ，ME ∥FG ，则∠NFE 的度数是 ．3．（2022春•九龙坡区校级期中）如图，将长方形ABCD 沿EF 翻折，再沿ED 翻折，若∠FEA ″＝105°，则∠CFE ＝ 度．4．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带第一次沿EF 折叠成图（2），再第二次沿BF 折叠成图（3），继续第三次沿EF 折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住EFB ∠，整个过程共折叠了11次，问图（1）中DEF ∠的度数是( )A ．20︒B ．19︒C ．18︒D ．15︒类型三 因翻折的不确定性引发的分类讨论典例5（2021春•奉化区校级期末）如图，长方形ABCD 中，AD ＞AB ．E ，F 分别是AD ，BC 上不在中点的任意两点，连接EF ，将长方形ABCD 沿EF 翻折，当不重叠（阴影）部分均为长方形时，所有满足条件的∠BFE 的度数为 度．图4图3图1CBB针对训练1．（2021春•奉化区校级期末）如图，长方形ABCD中，沿折痕EF翻折四边形CDEF得四边形C′D′EF，已知∠EFC′被FB分成的两个角相差15°，则图中∠1的度数为．第二部分专题提优训练1．（2022秋•咸安区期中）如图所示，△ABC中∠C＝60°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC 沿BD翻折得△A'BD，此时A'D∥BC，则∠ABC＝度．2．（2022春•满城区校级期末）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C，D分别落在点M，N 的位置．（1）若∠AEN＝20°，则∠AEF的度数为；（2）若∠BFM=12∠EFM，则∠DEF的度数为．3．（2022春•海州区期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠B的度数为°．4．（2021春•汝阳县期末）如图，△ABC中，DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在平面内的A′处，若∠B＝40°，则∠BDA′的度数是．5．（2018春•江岸区期中）如图，纸片ABCD，AD∥BC，点M、N分别在AD、BC上，沿MN折叠纸片，点C′、D′分别与点C、D对应．如果在翻折之后测量得∠C′NC＝140°，则∠AMN＝．6．（2018•东西湖区模拟）如图，矩形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点．G为AD上一点，将△ABG 沿BG翻折，使A点的对应点恰好落在EF上，则∠ABG＝．7．（2016春•黄陂区期中）如图，将长方形纸片ABCD沿AC翻折，点B落在点E处，连接BD，若∠ADB ＝∠ACB，AE∥BD，则∠EAC的度数为°．8．（2021春•高新区校级期中）已知，直线PQ∥MN，点C是直线PQ和MN之间的一点．（1）如图1，点D，E分别在PQ，MN上，∠1和∠2为锐角，求证：∠C＝∠1+∠2；（2）把一块三角板ABC（其中∠A＝30°，∠C＝90°）按图2放置，点D，E分别是三角板的两直角边分别与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDQ的度数；（3）如图3，将（2）中的三角板进行适当的转动，把射线EM沿直线AC翻折，交BC于点G，试判断∠BDQ和∠GEN有何数量关系？写出你的结论并说明理由．9．（2021春•溧阳市期中）折叠（折）问题是几何变换问题中的常见问题，它体现了平面几何图形变换中基本数量关系和几何关系，是考查几何知识的常见类型．（1）操作与探究：如图1，我们将一张上下平行的纸片，沿MN折叠得到如图所示图形．①如图2，若∠1＝90°，则∠2＝．②如图3，请你探案∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由；（2）拓展与延伸：若以点M为公共点，分别沿MN、MP翻折该纸片，翻折后如图4所示，当∠1＝90°时，请直接写出∠2与∠3的数量关系．。
初中数学专题：圆中的重要模型-圆中的翻折模型
圆中的重要模型-圆中的翻折模型知识储备：1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。
模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，则CD=CA特别的，若将弧BC折叠后过圆心，则CD=CA，∠CAB=60°九年级校联考阶段练习）如图，ABC是O的内接三角形，将劣弧，则O的半径长为（1224是O的直径，且是O上一点，将弧，则（1）AC）劣弧BC的长是是O的直径，是O的弦，15=︒，将CE CE翻折，交为O的两条弦，，则O的半径为（统考二模）如图，O的直径是O上一点，将，则图中阴影部分的面积为（4π4π2π将O沿弦AB）85422355是O上5个点，若，此时，图中阴影部分恰好形成一个“钻戒型的O折叠，弧已知ABC是⊙九年级专题练习）如图，在O中，AB为O的直径，弦OA上的点E处（点E不与点交O于点M，连结，若AM=为弦的O与AB相切于点是O的切线；）将O中BC以下部分沿直线，若翻折后的弧过AB，并交AC23，且翻折后的弧恰好过点A，则O的半径为17．（2023·江苏无锡·九年级校联考期中）如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为AB，P是半径OB上一动点，Q是AB上的一动点，连接PQ．（1）当∠POQ＝时，PQ有最大值，最大值为；（2）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求BQ的长；（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积．18．（2023·江西萍乡·校考模拟预测）如图（1）AB是O的直径，且2AB=，点C是半圆AB的中点，点P 是BC上一动点，将AP沿直线AP折叠交AB于点D，连接PD，PB．(1)求证：PD PB=；(2)当点D与点O重合时，如图（2），求BP的长．专题04 圆中的重要模型-圆中的翻折模型知识储备：1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。
初中数学几何培优小专题：翻折之等腰三角形存在性
中考数学翻折专题训练等腰三角形存在性问题1.（2020•洛阳模拟）菱形ABCD的边长是4，∠ABC＝120°，点M、N分别在边AD、AB上，且MN⊥AC，垂足为P，把△AMN沿MN折叠得到△AˊMN，若△AˊDC恰为等腰三角形，则AP的长为．2.（2020•汝南县一模）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，M为边AB的中点，N为边BC上一动点（不与点B重合），将△BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE、CE，当△CDE为等腰三角形时，BN的长为．3.（2019•驻马店一模）如图，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，点E是线段BC上一动点，连接AE，将△ABE沿直线AE折叠，点B落到F处，连接CF，BF，当△BFC为等腰三角形时，BE的长为．4.（2020•郑州二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝13，AB＝24，点E是边AB上的一个动点，将△CBE沿CE折叠，得到△CB′E连接AB′，DB′，若△ADB′为等腰三角形，则BE的长为．5.（2020•河南二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E是AB上一个动点，F是AD上一个动点（点F不与点D重合），连接EF，把△AEF沿EF折叠，使点A的对应点A′总落在DC边上．若△A′EC是以A′E为腰的等腰三角形，则A′D的长为．6.（2019春•洛龙区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE 折叠，使点D落在BC边上的点F处，点P是线段CB延长线上的动点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，则PB的长为．7.（2020秋•锦江区校级期中）如矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E是线段CD上的一点（不与端点重合），连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C落在C′处，连接C′C，C′D，当△C′CD是等腰三角形时，CE的长为．8.（2018•高新区校级三模）已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，点D从A出发以每秒个单位的速度向点B运动，同时点E从点B出发以每秒4个单位的速度向点C运动，在DE的右侧作∠DEF＝∠B，交直线AC于点F，设运动的时间为t秒，则当△ADF是一个以AD为腰的等腰三角形时，t的值为．9.（2019•新野县二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是边BC上一动点，把△DCE沿DE折叠得△DFE，射线DF交直线CB于点P，当△AFD为等腰三角形时，DP的长为．10．（2020春•郑州期中）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是AB的中点，点F是AD 边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，连接A'C，A'D，则当△A'DC是以A'D为腰的等腰三角形时，FD的长是．11．（2020•安阳县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E为AD边的中点，连接BE，CE，点F，G 分别是BE，BC边上的两个动点，连接FG，将△BFG沿FG折叠，使点B的对应点H恰好落在边EC上，若△CGH是以GH为腰的等腰三角形，则EH的长为．12．（2020•河南模拟）如图所示，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点P为BC上一动点（不与端点重合），连接AP，将△ABP沿着AP折叠．点B落到M处，连接BM、CM，若△BMC为等腰三角形，则BP的长度为．13．（2020•河南模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝6，点P为AB边上一点，且AP≤3，连接DP，将△ADP沿DP折叠，点A落在点M处，连接CM，BM，当△BCM为等腰三角形时，BP的长为．14．（2016•鄂城区一模）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径向正方形内作半圆，P为半圆上一动点（不与A、B重合），当PA＝时，△PAD为等腰三角形．15．如图，正方形OABC在直角坐标系中，点B（﹣2，2），点D为BC的中点，点E在线段OC上运动，射线ED交AB延长线于点F，设E（0，t），当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，点E的坐标是．。
专题18 平行四边形中的翻折问题训练(解析版)八年级数学下学期(人教版)
专题18 平行四边形中的翻折问题训练（时间：60分钟总分：120）班级姓名得分一、解答题1.如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=8，将长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处．(1)求EF的长；(2)求四边形ABCE的面积．【答案】解：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=6，AD=BC=8，∠B=∠D=90°，在Rt△ABC中，AC=√62+82=10，∵长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，∴CF=CD=6，ED=EF，∠EFC=∠D=90°，∴AF=10−6=4，设EF=x，则DE=x，AE=8−x，在Rt△AEF中，x2+42=(8−x)2，解得x=3，即EF的长为3；(2)四边形ABCE的面积=S△ABC+S△EAC=12×6×8+12×3×10=39．【知识点】翻折变换(折叠问题)、勾股定理【解析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．(1)依题意可得CD=AB=6，AD=BC=8，∠B=∠D=90°，再利用勾股定理计算出AC= 10，接着根据折叠的性质得CF=CD=6，ED=EF，∠EFC=∠D=90°，所以AF=4，设EF=x，则DE=x，AE=8−x，在Rt△AEF中利用勾股定理得x2+42=(8−x)2，然后解方程即可；(2)根据三角形面积公式，利用四边形ABCE的面积=S△ABC+S△EAC进行计算．2.如图1，四边形ABCD为矩形，AD=12，AB>AD，线段AB上有一动点E，连接DE，将△DEA沿DE折叠到△DEA．(1)若AB=16，当A′落在BD上时，求AE的长；(2)如图2，G、H、K分别是线段DA、DA、EA的中点，当点E在AB边上运动时，∠GHK的度数是否会发生变化？若不变，求出这个度数，若变化，请说明理由；(3)如图3，点M、N分别在线段DE、AD上，连接AM、MN，当∠ADE=30°时，求AM+MN的最小值．【答案】解：(1)设AE=a，∵四边形ABCD为矩形，AD=12，AB=16，∴BE=16−a，BD=√122+162=20，∵将△DEA沿DE折叠到△DEA，∴A′E=AE=a，A′D=AD=12，∴BA′=20−12=8，在Rt△A′EB中，∵A′E2+A′B2=EB2，即a2+82=(16−a)2，解得：a=6，∴AE=6；(2)当点E在AB边上运动时，∠GHK=90°；理由：连接DE，AA′，由题意知，∠DOA′=90°，∵G、H、K分别是线段DA、DA、EA的中点，∴GH//A′O，HK//DE，∴DO⊥HG，∠DPH=90°，∵HK//DE，∴∠KHP=90°，∴∠GHK=90°；(3)由题意知，∠ADM=∠EDA′=30°，∴∠ADA′=60°，连接AA′，∴△AA′D是等边三角形，∴A′D=AD=12，过A′作A′N⊥DA于N，交DE于M，则此时，AM+MN的值最小，AM+MN的最小值=A′N，∵AD=A′D=12，A′D=6，∴DN=12∴A′N=√122−62=6√3，∴AM+MN的最小值是6√3．【知识点】翻折变换(折叠问题)、轴对称-最短路线问题、四边形、等边三角形的判定与性质【解析】(1)设AE=a，由勾股定理得到BE=16−a，BD=√122+162=20，根据折叠的性质得到A′E=AE=a，A′D=AD=12，在Rt△A′EB中，根据勾股定理即可得到结论；(2)连接DE，AA′，根据三角形的中位线的性质得到GH//A′O，HK//DE，根据平行线的性质即可得到结论；(3)由三角形的内角和得到∠ADA′=60°，连接AA′，得到△AA′D是等边三角形，求得A′D= AD=12，过A′作A′N⊥DA于N，交DE于M，则此时，AM+MN的值最小，AM+MN的最小值=A′N，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，最短路线问题，三角形的中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．3.在▱ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，连接AG并延长，交CD于F．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若CF=5，△GCE的周长为20，求四边形ABCF的周长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE//FC，∵点E是AB边的中点，∴AE=BE，∵将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，∴BE=GE，∠CEB=∠CEG，∴AE=GE，∴∠FAE=∠AGE，∵∠CEB=∠CEG=1∠BEG，∠BEG=∠FAE+∠AGE，2∠BEG，∴∠FAE=12∴∠FAE=∠CEB，∴AF//EC，∴四边形AECF是平行四边形；(2)解：由折叠的性质得：GE=BE，GC=BC，∵△GCE的周长为20，∴GE+CE+GC=20，∴BE+CE+BC=20，∵四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE，AE=CF=5，∴四边形ABCF的周长=AB+BC+CF+AF=AE+BE+BC+CE+CF=5+20+5= 30．【知识点】平行四边形的判定与性质、翻折变换(折叠问题)、平行四边形的判定、折叠与对称【解析】(1)由平行四边形的性质得出AE//FC，再由三角形的外角的性质，以及折叠的性质，可以证明∠FAE=∠CEB，进而证明AF//EC，即可得出结论；(2)由折叠的性质得：GE=BE，GC=BC，由△GCE的周长得出GE+CE+GC=20，BE+ CE+BC=20，由平行四边形的性质得出AF=CE，AE=CF=5，即可得出结果．本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明四边形AECF是平行四边形是解题的关键．4.将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点A(2,0)，点B在第一象限，∠OAB=90°，∠B=30°，点P在边OB上(点P不与点O，B重合)．(Ⅰ)如图①，当OP=1时，求点P的坐标；(Ⅱ)折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OQ= OP，点O的对应点为O′，设OP=t．①如图②，若折叠后△O′PQ与△OAB重叠部分为四边形，O′P，O′Q分别与边AB相交于点C，D，试用含有t的式子表示O′D的长，并直接写出t的取值范围；②若折叠后△O′PQ与△OAB重叠部分的面积为S，当1≤1≤3时，求S的取值范围(直接写出结果即可)．【答案】解：(Ⅰ)如图①中，过点P作PH⊥OA于H．∵∠OAB=90°，∠B=30°，∴∠BOA=90°−30°=60°，∴∠OPH=90°−60°=30°，∵OP=1，∴OH=12OP=12，PH=OP⋅cos30°=√32，∴P(12,√3 2).(Ⅱ)①如图②中，由折叠可知，△O′PQ≌△OPQ，∴OP=O′P，OQ=O′Q，∵OP=OQ=t，∴OP=OQ=O′P=O′Q，∴四边形OPO′Q是菱形，∴QO′//OB，∴∠ADQ=∠B=30°，∵A(2,0)，∴OA=2，QA=2−t，在Rt△AQD中，DQ=2QA=4−2t，∵O′D=O′Q−QD=3t−4，∴43<t<2．②①当点O′落在AB上时，重叠部分是△PQO′，此时t=23，S=√34×(23)2=√39，当23<t ≤2时，重叠部分是四边形PQDC ，S =√34t 2−√38(3t −4)2=−7√38t 2+3√3t −2√3，当x =−3√32×(−7√38)=127时，S 有最大值，最大值=4√34， 当t =1时，S =√34，当t =3时，S =12×12×√32=√38， 综上所述，√38≤S ≤4√37． 【知识点】菱形的性质、翻折变换(折叠问题)、四边形综合【解析】(Ⅰ)如图①中，过点P 作PH ⊥OA 于H.解直角三角形求出OH ，PH 即可． (Ⅱ)①解直角三角形求出DQ ，DO′即可．②求出点O′落在AB 上时，S =√34×(23)2=√39.当23<t ≤2时，重叠部分是四边形PQDC ，S =√34t 2−√38(3t −4)2=−7√38t 2+3√3t −2√3，当x =−3√32×(−7√38)=127时，S 有最大值，最大值=4√34.再求出当t =1或3时，S 的值即可判断．本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，翻折变换，多边形的面积，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．5. (1)如图1，将矩形ABCD 折叠，使AB 落在对角线AC 上，折痕为AE ，点B 落在B 1处，若∠DAC =66°，则∠BAE =______°；(2)小丽手中有一张矩形纸片，AB =9，AD =4.她准备按如下两种方式进行折叠： ①如图2，点F 在这张矩形纸片的边CD 上，将纸片折叠，使点D 落在边AB 上的点D 1处，折痕为FG ，若DF =5，求AG 的长；②如图3，点H 在这张矩形纸片的边AB 上，将纸片折叠，使HA 落在射线HC 上，折痕为HK ，点A ，D 分别落在A 1，D 2处，若DK =73，求A 1C 的长．【答案】解：(1)12；(2)如图，过点F作FH⊥AB于H，∵∠D=∠A=90°，FH⊥AB∴四边形DFHA是矩形∴AD=FH=4，∵将纸片ABCD折叠∴DF=D1F=5，DG=D1G，∴D1H=√D1F2−FH2=√25−16=3∴AD1=2∵AG2+D1A2=D1G2，∴AG2+4=(4−AG)2，∴AG=32②∵DK=73，CD=9，∴CK=9−73=203，∵四边形ABCD是矩形，∴DC//AB，∴∠CKH=∠AHK，由翻折不变性可知，∠AHK=∠CHK，∴∠CKH=∠CHK，∴CK=CH=203，∵CB=AD=4，∠B=90°，∴在Rt△CDF中，BH=√CH2−BC2=√4009−16=163，∴AH=AB−BH=11，3由翻折不变性可知，AH=A1H=113∴A1C=HC−A1H=3．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理、四边形【解析】解：(1)∵∠DAC=66°，∴∠CAB=24°∵将矩形ABCD折叠，使AB落在对角线AC上，∴∠BAE=∠CAE=12°故答案为：12；(2)见答案．(1)由折叠的性质可得∠BAE=∠CAE=12°；(2)①过点F作FH⊥AB于H，可证四边形DFHA是矩形，可得AD=FH=4，由勾股定理可求D1H=3，由勾股定理可求AG的长；②首先证明CK=CH，理由勾股定理求出BH，可得AH，再利用翻折不变性，可知AH=A1H，由此即可解决问题；本题考查四边形综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题，属于中考压轴题．6.如图，已知点E是矩形一边AD上的一点，沿CE折叠矩形使点D落在对角线AC上的点F处，点G为BC上一点，且CG=DE，连FG．(1)求证：FG//EC；(2)若∠DAC=30°，CD=4，求四边形EFGC的面积．【答案】(1)证明：作FN//AD交EC于N，则FN//BC，∠DEC=∠ENF，由折叠的性质可知，∠DEC=∠FEN，FE=DE，∴∠FEN=∠FNE，∴FE=FN，又CG=DE，∴FN=CG，又FN//BC，∴四边形NFGC是平行四边形，∴FG//EC；(2)作FM⊥BC于M，∵∠DAC=30°，∴∠ACD=60°，∴∠DCE=∠FCE=30°，又CD=4，∴DE=4√33，∴△EFC的面积=△EDC的面积=12×4×4√33=8√33，∵∠ACB=90°−∠ACD=30°，∴FM=12FC=2，∴△FGC的面积=12×2×4√33=4√33，∴四边形EFGC的面积=△EFC的面积+△GFC的面积=4√3．【知识点】翻折变换(折叠问题)【解析】(1)作FN//AD交EC于N，根据翻折变换的性质证明四边形EFGC是平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可；(2)作FM⊥BC于M，根据直角三角形的性质和翻折变换的性质分别求出△EFC的面积和△GFC的面积即可．本题考查的是翻折变换和平行四边形的判定，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．7.如图1，四边形ABCD是矩形，点O位于对角线BD上，将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处．(1)求证：∠EDO=∠FBO；(2)求证：四边形DEBF是菱形：(3)如图2，若AD=2，点P是线段ED上的动点，求2AP+DP的最小值．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠ADB=∠CBD，∵将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处．∴△ADE≌△ODE，∴△CFB≌△OFB，∴∠ADE=∠ODE=12∠ADB，∠CBF=∠OBF=12∠CBD，∴∠EDO=∠FBO；(2)证明：∵∠EDO=∠FBO，∴DE//BF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，AD=BC，∠A=90°，∵DE//BF，AB//CD，∴四边形DEBF是平行四边形，又∵△ADE△≌△ODE，∴∠A=∠DOE=90°，∴EF⊥BD，∴四边形DEBF是菱形；(3)解：过点P作PH⊥AD于点H，∵四边形DEBF是菱形，△ADE≌△ODE，∴∠ADE=∠ODE=∠ODF=30°，∴在Rt△DPH中，2PH=PD，∴2AP+PD=2PA+2PH=2(AP+PH)，过点O作OM⊥AD，与DE的交点即是2AP+PD的值最小的点P的位置．而此时(2AP+PD)的最小值=2OM，∵△ADE≌△ODE，AD=2，∴AD=DO=2，在Rt△OMD中，∵∠ODA=2∠ADE=60°，∴∠DOM=30°，DO=1，∴DM=12∵DM2+OM2=DO2，∴12+OM2=22，∴OM=√3，∴(2PA+PD)的最小值为2OM=2√3．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、轴对称-最短路线问题、四边形综合∠ADB，【解析】(1)由折叠的性质得出△ADE≌△ODE，△CFB≌△OFB，则∠ADE=∠ODE=12∠CBD，则可得出结论；∠CBF=∠OBF=12(2)证得四边形DEBF是平行四边形，由全等三角形的性质得出∠A=∠DOE=90°，则可得出结论；(3)过点P作PH⊥AD于点H，得出∠ADE=∠ODE=∠ODF=30°，得出2AP+PD=2PA+ 2PH=2(AP+PH)，过点O作OM⊥AD，与DE的交点即是2AP+PD的值最小的点P的位置．而此时(2AP+PD)的最小值=2OM，求出OM的长，则可得出答案．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、翻折变换的性质是解题的关键．8.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，BC=8，点E在BC上，且EC−EB=2，将△DCE沿DE折叠，点C恰好与点A重合．(1)求线段AB的长；(2)求线段DC的长．【答案】解：(1)∵BC=8=EC+EB，EC−EB=2，∴EC=5，EB=3，由折叠的性质得：EA=EC=5，∵∠B=90°，∴AB=√EA2−EB2=√52−32=4；(2)作AF⊥CD于F，如图所示：则∠AFD=∠AFC=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形ABCF是矩形，∴FC=AB=4，AF=BC=8，由折叠的性质得：DC=DA，∠DAE=∠C=90°，设DC=DA=x，则DF=DC−FC=x−4，在Rt△ADF中，由勾股定理得：82+(x−4)2=x2，解得：x=10，∴DC=10．【知识点】翻折变换(折叠问题)、勾股定理、矩形的判定与性质【解析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键．(1)由BC=8=EC+EB，EC−EB=2，得出EC=5，EB=3，由折叠的性质得EA=EC=5，再由勾股定理即可求出AB的长；(2)作AF⊥CD于F，则四边形ABCF是矩形，得出FC=AB=4，AF=BC=8，由折叠的性质得DC=DA，∠DAE=∠C=90°，设DC=DA=x，则DF=DC−FC=x−4，在Rt△ADF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．9.如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的处，折痕为过点作交于，连接，求证：四边形为菱形；当在边上移动时，折痕的端点，也随着移动．当点与点重合时如图，求菱形的边长；如限定，分别在，上移动，求出点在边上移动的最大距离．【答案】(1)证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称，∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，又∵EF//AB，∴∠BPF=∠EFP，∴∠EPF=∠EFP，∴EP=EF，∴BP=BF=EF=EP，∴四边形BFEP为菱形;(2) ①∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90∘∵点B与点E关于PQ对称，∴CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，DE=√CE2−CD2=4cm，∴AE=AD−DE=5cm−4cm=1cm在Rt△APE中，AE=1，AP=3−PB=3−PE，∴EP2=12+(3−EP)2，cm，解得：EP=53cm;∴菱形BFEP的边长为53 ②当点Q与点C重合时，如图2:点E离点A最近，由 ①知，此时AE=1cm;当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、四边形综合、菱形的判定、正方形的性质【解析】(1)由折叠的性质得出PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF=∠EFP，证出∠EPF=∠EFP，得出EP=EF，因此BP=BF=EF=EP，即可得出结论;(2) ①由矩形的性质得出BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90∘，由对称的性质得出CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE=4cm，得出AE=AD−DE=cm即可;1cm;在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP=53 ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由 ①知，此时AE=1cm;当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，即可得出答案．本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识;本题综合性强，有一定难度．10.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG//CD交BE于点G，连接CG．(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积．【答案】(1)证明：由题意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC=∠BEF，FE=CE，∵FG//CE，∴∠FGE=∠CEB，∴∠FGE=∠FEG，∴FG=FE，∴FG=EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE=FE，∴四边形CEFG是菱形；(2)∵矩形ABCD中，AB=6，AD=10，BC=BF，∴∠BAF=90°，AD=BC=BF=10，∴AF=√BF2−AB2=8，∴DF=2，设EF=x，则CE=x，DE=6−x，∵∠FDE=90°，∴22+(6−x)2=x2，解得，x=103，∴CE=103，∴四边形CEFG的面积是：CE⋅DF=103×2=203．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理、菱形的判定与性质、全等三角形的性质【解析】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质．(1)根据题意和翻折的性质，可以得到△BCE≌△BFE，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；(2)根据题意和勾股定理，可以求得AF的长，进而求得EF和DF的值，从而可以得到四边形CEFG的面积．11.如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD．(1)求证：OP=OF；(2)若设AP=x，试求CF的长(用含x的代数式表示)；(3)求AP的长．【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，由翻折的性质可知：∠E=∠A=90°，∴∠E=∠D，在△ODP和△OEF中，{∠D=∠EOD=OE∠DOP=∠EOF，∴△ODP≌△OEF(ASA)．∴OP=OF．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=8，∵△ODP≌△OEF(ASA)，∴OP=OF，OD=OE．∴DF=EP．∵AP=PE=DF=x，∴CF=8−x．(3)∵AD=BC=6，PA=PE=DF=x，∴PD=EF=6−x，CF=8−x，BF=BE−EF=8−(6−x)=2+x，在Rt△FCB根据勾股定理得：BC2+CF2=BF2，即62+(8−x)2=(x+2)2，解得：x=4.8，∴AP=4.8．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质【解析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．(1)由折叠的性质得出∠E=∠A=90°，从而得到∠D=∠E=90°，然后可证明△ODP≌△OEF，从而得到OP=OF；(2)由△ODP≌△OEF，得出OP=OF，从而得到DF=PE=AP，由此即可解决问题．(3)由AP=EP=DF=x，则PD=EF=6−x，DF=x，求出CF、BF，根据在Rt△BCF中，利用勾股定理得出方程，解方程即可．12.如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A，C重合，若其长BC为8，宽AB为4．(1)求证：△AEF是等腰三角形；(2)EF=_________．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠AEF=∠EFC，由翻折不变性可知：∠AFE=∠EFC，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形．(2)2√5．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质【解析】(1)见答案；(2)解：设AF=AE=FC=x，在Rt△ABF中，∵AF2=AB2+BF2，∴x2=42+(8−x)2，∴x=5，作FH⊥AE于H．在Rt△AHF中，AH=√AF2−FH2=3，∴HE=AE−AH=2，在Rt △EFH 中，EF =√22+42=2√5，故答案为2√5．(1)根据平行线的性质以及翻折不变性证明∠AEF =∠AFE 即可；(2设AF =AE =FC =x ，在Rt △ABF 中利用勾股定理求出x ，作FH ⊥AE 于H.在Rt △EFH 中，利用勾股定理即可解决问题；本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．13. 如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处．(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)当∠BAE 为多少度时，四边形AECF 是菱形？请说明理由．【答案】解：(1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AB =CD ，∠B =∠D =90∘，AD//BC ．由折叠的性质，得AM =AB ，CN =CD ，∠AME =∠B =90∘，∠CNF =∠D =90∘． 所以∠ANF =∠CME =90∘，AM =CN ．所以AM −MN =CN −MN ，即AN =CM ．因为AD//BC ，所以∠FAN =∠ECM ．在△ANF 和△CME 中，{∠FAN =∠ECM,AN =CM,∠ANF =∠CME,所以△ANF ≌△CME(ASA).所以AF =CE ．又AF//CE ，所以四边形AECF 是平行四边形．(2)当∠BAE =30∘时，四边形AECF 是菱形．理由如下：由折叠的性质，得∠CAE =∠BAE =30∘．因为∠B=90∘，所以∠ACE=90∘−60∘=30∘，即∠CAE=∠ACE．所以EA=EC．由(1)，得四边形AECF是平行四边形，所以四边形AECF是菱形．【知识点】翻折变换(折叠问题)、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定．(1)首先证明△ABE≌△CDF，则DF=BE，然后可得到AF=EC，依据一组对边平行且相等四边形是平行四边形可证明AECF是平行四边形；(2)由折叠性质得到∠BAE=∠CAE=30°，求得∠ACE=90°−30°=60°，即∠CAE=∠ACE，得到EA=EC，于是得到结论．14.如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在y轴和x轴上，已知A(0,3)、C(−4,0)，把矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E．(1)判断四边形AECD是什么四边形？请说明理由；(2)求折痕DE的长；(3)若点P在x轴上，在平面内是否存在点Q，使以P、D、E、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请画出图形并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)四边形AECD是菱形，理由是：如图，连接EC，AD，∵矩形OABC，∴AB//OC，∴∠EAF=∠DCF，∵矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，∴AF=CF，EA=EC，在△AEF和△CDF中，{∠EAF=∠DCF AF=CF∠AFE=∠CFD,∴△AEF≌△CDF(ASA)，∴AE=CD，∴四边形AECD是平行四边形，又∵EA=EC，∴四边形AECD是菱形；(2)∵四边形AECD为菱形，∴AD=CD，设CD=x，则AD=x，OD=4−x，则在直角三角形AOD中，OA2+OD2=AD2，∴32+(4−x)2=x2，解得，x=258，∴CD=258，∵A(0,3)、点C(−4,0)，∴AC =√32+42=5， ∴S 菱形=12AC ·ED =CD ·OA ， ∴12×5×ED =258×3则DE =154；(3)存在，如图，由(2)可知，AE =CD =258， ∴E(−258,3)，D(−78,0)，①当DE 为菱形的边时，DP =DE =154，当Q 在第一、二象限时可得Q(−558,3)，Q 1(58,3)；当点Q 在第三象限，E 与Q 关于x 轴对称，Q′(−258,−3)．②当DE 为菱形的对角线时，P 与C 重合，Q 与A 重合，Q 2(0,3)，综上所述，满足条件的点Q 坐标为(−558,3)或(58,3)或(0,3) 或(−258,−3)．【知识点】翻折变换(折叠问题)、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、菱形的判定与性质、分类讨论思想、全等三角形的判定与性质【解析】本题考查四边形综合题、折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质、三角形全等的性质及判定、勾股定理等知识，综合性强；另外，还考查了分类讨论的思想，注重对学生知识和能力的考查，是一道好题．(1)根据折叠的性质通过证明△AEF≌△CDF 得到AE =CD 得出四边形AECD 是平行四边形，再由AE =EC 得出为菱形；(2)根据折叠的性质求出CD 的长，再根据勾股定理得出AC 的长，根据菱形的面积计算公式即可得出折痕DE 的长；(3)分两种情形分别讨论即可：①DE 为菱形的边．②DE 为菱形的对角线．15. 如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =6，点P 、点E 分别是边AB 、BC 上的动点，连接DP 、PE.将ΔADP 与ΔBPE 分别沿DP 与PE 折叠，点A 与点B 分别落在点A′，B′处． (1)当点P 运动到边AB 的中点处时，点A′与点B′重合于点F 处，过点C 作CK ⊥EF 于K ，求CK 的长；(2)当点P 运动到某一时刻，若P ，A′，B′三点恰好在同一直线上，且A′B′=4，试求此时AP 的长．【答案】解：(1)如图1，∵四边形ABCD 为矩形，将△ADP 与△BPE分别沿DP 与PE 折叠，∴∠PFD =∠PFE =90°，∴∠PFD +∠PFE =180°，即E ，F ，D 三点在同一直线上，设BE =EF =x ，则EC =6−x ，∵DC =AB =8，DF =AD =6，∴在Rt △DEC 中，DE =DF +FE =6+x ，EC =6−x ，DC =8，∴(6+x)2=(6−x)2+82，解得x =83， 即BE =EF =83，∴DE =263，EC =103， ∵S △DCE =12⋅DC ⋅CE =12⋅DE ⋅CK ，∴CK=40．13(2)分两种情况：①如图2中，设AP=x，则PB=8−x，由折叠可知：PA′=PA=x，PB′=PB=8−x，∵A′B′=4，∴8−x−x=4，∴x=2，即AP=2．②如图3中，∵A′B′=4，∴x−(8−x)=4，∴x=6，即AP=6．综上所述，PA的长为2或6．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理、三角形的面积、分类讨论思想【解析】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理，分类讨论，三角形的面积等知识，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．(1)设BE=EF=x，则EC=6−x，可得在Rt△DEC中，DE=DF+FE=6+x，EC=6−x，DC=8，根据勾股定理即可得出(6+x)2=(6−x)2+82，求得BE=EF=83，再根据S△DCE=1 2⋅DC⋅CE=12⋅DE⋅CK，即可得到CK的长；(2)分两种情况：设AP=x，则PB=8−x，由折叠可知：PA′=PA=x，PB′=PB=8−x，分别根据A′B′=4，即可得到x的值，进而得到PA的长为2或6．。
中考数学复习---矩形中的折叠变换专题训练(含答案)
中考数学复习---矩形中的折叠变换专题训练1.如图，将矩形ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕交BC、AD分别于点E、F．若AB=4，BC=8，则菱形AECF的面积为______，OE的长为_______。
2.如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则AEEB等于_______3.如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C′，再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合．若AB=3，BC=4，则折痕EF的长为________4.已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于O，连结AP、OP、OA．若△OCP与△PDA的面积比为1：4，则边AB的长为_____．5.如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．连接DE，交AF与O点，则线段EG、GF、AF之间的数量关系是__________。
6.如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合．若BE=3，则折痕的长为AE________．7.如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则cos∠ADF的值为______8.如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE 折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为________．9.如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为________．10.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C 的对应点为C′．（1）若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′=________；（2）若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则CE的长为_______；（3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，则CE的长为_______．11.如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2，对折矩形纸片ABCD，使AB与CD重合，折痕为MN，展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在MN上的点G处，折痕BE与MN相交于点H；再次展平，连接BG，EG，延长EG交BC于点F．有如下结论：①EG=FG；②∠ABG=60°；③AE=1；④△BEF是等边三角形。
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翻折专题训练
1．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在点A 1处，已知OA ＝，
AB ＝1，则点A 1的坐标是（ ）
A.（
2
3，
2
3） B.（
2
3，3） C.（
2
3，
2
3） D.（
2
1，
2
3）
2．如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）
A ．3cm
B ．4cm
C ．5cm
D ．6cm
3．如图，菱形纸片ABCD 中，60A ︒
∠=，
将纸片折叠，点A 、D 分别落在A’、D’处，且A’D’经过B ，EF 为折痕，当D’F ⊥CD 时，
C F F D
的值为（ ）
A. 12
B. 6
C.
16
D. 18
4．如图，矩形AOBC ，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点A 的坐标为（0，3），点B 的坐标为（5，0），点E 是BC
C 点恰好落在x 轴上点F 处．
（1）求点F 的坐标；
（2）求线段AF 所在直线的解析式．
5．如图，四边形ABCD 为一梯形纸片，AB ∥CD ，AD ＝BC ．翻折纸片ABCD ，使点A 与点C 重合，折痕为EF ．已知CE ⊥AB ． （1）求证：EF ∥BD ；
（2）若AB ＝7，CD ＝3，求线段EF 的长．
N E
D
C
F
E
D'
A'
D
C
B A
6．如图，矩形纸片A B C D 中，8A B =，将纸片折叠，使顶点B 落在边A D 的E 点上，折痕的一端G 点在边B C 上，10B G =．
（1）当折痕的另一端F 在A B 边上时，如图（1），求E F G △的面积； （2）当折痕的另一端F 在A D 边上时，如图（2），证明四边形B G E F 为菱形，并求出折痕G F 的长．
7．（1）观察与发现
小明将三角形纸片()ABC AB AC >沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为
AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸
片后得到A E F △（如图②）．小明认为A E F △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（2）实践与运用
将矩形纸片A B C D 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中α∠的大小．
A B F
E (B ) D C G 图（1） 图（2）
G C
D
F A B E (B ) H (A )
8．如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．
(1)如图②，若M为AD边的中点，
①△AEM的周长=_____cm；
②求证：EP=AE+DP；
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．
9．取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）所示；
第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点B′，得 Rt△AB′E，如图（2）所示；
第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图⑶所示；利用展开图（4）所示探究：
（l）△AEF是什么三角形？证明你的结论．
（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．
10．（09益阳）如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的
对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；
(2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.
11．（2009年清远）如图，已知一个三角形纸片ABC ，B C 边的长为8，B C 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为A B 一动点
（点M 与点A B 、不重合），过点M 作M N B C ∥，交A C 于点N ，在A M N △中，设M N 的长为x ，M N 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．
（2）将AMN △沿M N 折叠，使A M N △落在四边形B C N M 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A M N △与四边形B C N M 重叠部分的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式．
12.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）． （1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围； （2）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （3）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由．
C N
M A
A
P Q
B
C
C
A B
（备用图）。