人教高中数学中国古代数学家PPT课件

方一寸，积之为立方二寸，规之为圆囷，径二寸， 高二寸，又复横圆之，则其形有似牟合方盖矣.
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牟合方盖
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牟合方盖
问题1：正方体的内切球与它的两个内切圆柱是什么关系？ 两个圆柱都包含正方体的内切球，并与它相切.
祖暅之开立圆术的分解
先取牟合方盖的八分之一及它的外切正方体
观立方之内，合盖之外
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祖暅之开立圆术的分解
牟合方盖八分之一及它的外切正方体，再把这个正方体 又分出三个小立体，牟合方盖的八分之一部分称为“内 棋”，三个小立体称为“外棋”.
问题2：正方体的内切球与牟合方盖是什么关系？ 牟合方盖包含正方体的内切球，并与它相切.
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刘徽用截面法研究牟合方盖
问题3：用一个水平面去截牟合方盖和它的内切球， 它们的截面是什么形状？具有怎样的位置关系？
截面为正方形和它的内切圆.
刘徽（魏晋年间人） 他是继希腊泰勒斯后，世界论证 数学的杰出代表之一.
刘徽的“割圆术”
《九章算术》中关于圆面积的求法采用的是 古法的“周三径一”，这是不够精确的.
刘徽在方田章的“圆田术”中用割圆术计算圆 周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究 的新纪元.
《九章算术》“方田”章： 半周半径相乘得积步，周径 相乘，四而一
刘徽的“割圆术”：
以1尺为半径作圆，再作圆内接正六边 形，然后逐渐倍增边数，依次算出这些 正多边形的周长和面积.
割之弥细，所 失弥少，割之 又割，以至于 不可割，则与 圆合体而无所
失矣.
当圆内接正多边形的边数不能再加时，圆内接正多边形面积的极限就是圆面积.
刘徽的“割圆术”:以曲代直，无限逼近，内外夹逼 S2n S圆 S2n (S2n Sn )
若夫觚之细者与 圆合体，则表无 余径.表无余径, 则幂不外出矣.
动手试一试
设圆的半径为1，用圆内接正n边形的面积作为圆 面积的近似值，估算圆周率.
2.598075 3
3.105828 3.132624 3.139344 3.141024
建立微积分的先驱人物阿基米德和刘徽
西方:古希腊的穷竭法
古希腊的科学泰斗阿基米德发明的穷竭法与古代中国的割
了事半功倍的效果，刘徽割圆术的完备性与数学研究过程中所要求的严密性相符.
157 =3.14
50
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刘徽论体积
《九章算术》的《少广》章“开立圆术” ： 置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方
除之，即丸径.
刘徽曰: 然此意非也。何以验之?取立方棋八枚，皆令立
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祖暅之开立圆术的分解
牟合方盖八分之一及它的外切正方体，再把这个正方体 又分出三个小立体，牟合方盖的八分之一部分称为“内 棋”，三个小立体称为“外棋”.
内棋
外三棋
1 8 V牟
=V立
V外三棋
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-- 《隋书·律历志》
祖冲之(429--500) 中国南北朝时期杰出 的数学家、天文学家 和机械制造专家.
圆周率数值的上下限：
3.141592（ 6 肭数） 3.141592（ 7 盈数）
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欲陋形措意，惧失正理.敢不阙疑，以俟能言者
普通高中课程标准试验教科书 . 数学选修3-1
一场跨越一千多年的数学文化探索之旅 中国古代数学家
刘徽的重要贡献
刘徽，中国古代数学理论的奠基人，撰写 了世界数学经典名著《九章算术注》. 他的主要贡献有：创造了“割圆术”，运用朴 素的极限思想计算圆面积及圆周率；建立了重 差术；重视逻辑推理，同时又注意几何直观的 作用.
问题4：截面圆与其外切正方形的面积之比为多少？
S圆：S方 r 2 : 4r 2 : 4
问题5：牟合方盖的内切球与牟合方盖的体积之比为多少？ : 4
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刘徽论体积
V内切球 = 4 V牟合方盖
如何计算牟合方盖的体积呢
刘徽： 观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩，判合总结，方圆相缠，浓
纤诡互，不可等正。欲陋形措意，惧失正理. 敢不阙疑，以俟能言者.
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祖冲之的“祖率”是一项史无前例的创举Βιβλιοθήκη Baidu
祖冲之更开密法，以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺 四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五 厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一 百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。
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祖氏原理：幂势既同，则积不容异
面积
高
夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截， 如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
祖氏原理在西方称为“卡瓦列利原理”
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曾经困扰刘徽的球体积问题到祖冲之时代 获得了突破。
观立方之内，合盖之外
祖暅，祖冲之的儿子 杰出的数学家和天文 学家，修补、编辑了 祖冲之的《缀术》
这个正确结果记载在《九章算术》“开立圆术” 之李淳风注中，称为“祖暅之开立圆术”.
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圆术极相似.根据记载，阿基米德也曾研究过求解圆周率
的问题，他是通过圆内接正多边形和圆外切正多边形从正
六边形开始加倍的进行，双向逼近圆.
310 3 1 3.142857
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中国古代:刘徽的割圆术
刘徽的割圆术虽然比古希腊晚几百年，但他独辟蹊径，利用已有的结果来表示圆
面积的上限，巧妙避开了对圆外切正多边形的计算，在计算圆面积的过程中收到