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成都市高二上期末调研考试数学试卷及答案

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四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末复习数学试题(三)含解析

四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末复习数学试题(三)含解析

成都高2025届高二期末考试数学复习试题（三）（答案在最后）一、单选题（共8个小题，每个小题5分，共40分）1.设直线l sin 20y θ++=，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A.[)0,πB.πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C.π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U 【答案】D 【解析】【分析】根据直线斜率的范围求倾斜角的取值范围.sin 20y θ++=的倾斜角为[)0πa a Î，，，则由直线可得tan a q =Î，所以π2π0,,π33a 轾轹÷Î犏÷犏臌滕，故选：D2.能够使得圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0上恰有两个点到直线2x ＋y ＋c ＝0距离等于1的c 的一个值为()A.2B.C.3D.【答案】C 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离大于1且小于3，列不等式求解即可.【详解】由圆的标准方程()()22124x y -++=，可得圆心为()1,2-，半径为2，根据圆的性质可知，当圆心到直线的距离大于1且小于3时，圆上有两点到直线20x y c ++=的距离为1，由()1,3d =可得(c ∈-⋃，经验证，3c =∈，符合题意，故选C.【点睛】本题主要考查圆的标准方程，点到直线距离公式的距离公式以及圆的几何性质，意在考查数形结合思想的应用，属于中档题.3.若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的）A.221129x y +=B.221129x y +=或221912x y +=C.2213612x y += D.以上都不对【答案】B 【解析】【分析】由短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形可得b =，由焦点到椭圆上点的最短距离为a c -，结合222a b c =+可得.【详解】由题意，当椭圆焦点在x 轴上，设椭圆方程为：22221x ya b+=，由题意b =，a c -=所以2a c ===，c =a =，3b =，所以椭圆方程为：221129x y +=，当椭圆焦点在y 轴上时，同理可得：221912x y+=，故选：B4.某市经济开发区的经济发展取得阶段性成效，为深入了解该区的发展情况，现对该区两企业进行连续11个月的调研，得到两企业这11个月利润增长指数折线图（如下图所示），下列说法正确的是（）A.这11个月甲企业月利润增长指数的平均数没超过82%B.这11个月的乙企业月利润增长指数的第70百分位数小于82%C.这11个月的甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定D.在这11个月中任选2个月，则这2个月乙企业月利润增长指数都小于82%的概率为411【答案】C 【解析】【分析】根据折线图估算AC ，对于B 项把月利润增长指数从小到大排列，计算1170⨯%=7.7可求,对于D 项用古典概型的概率解决.【详解】显然甲企业大部分月份位于82%以上，故利润增长均数大于82%，A 不正确；乙企业润增长指数按从小到大排列分别是第2，1，3，4，8，5，6，7，9，11，10又因为1170⨯%=7.7,所以从小到大排列的第8个月份，即7月份是第70百分位，从折线图可知，7月份利润增长均数大于82%，故B 错误；观察折现图发现甲企业的数据更集中，所以甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定，故C 正确；P （2个月乙企业月利润增长指数都小于82%）26211C 3C 11==，故D 错误.故选：C.5.已知空间三点(4,1,9),(10,1,6),(2,4,3)A B C -，则下列结论不正确的是（）A.||||AB AC =B.点(8,2,0)P 在平面ABC 内C.AB AC ⊥D.若2AB CD =，则D 的坐标为31,5,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据空间两点距离公式判断A ，根据数量积的坐标运算判断B ，根据共面向量基本定理判断C ，根据向量的坐标运算判断D.【详解】因为||7AB ==，||7AC ==，故A 正确；因为(6,2,3)(2,3,6)126180AB AC →→⋅=--⋅--=--+=，所以AB AC ⊥，故C 正确;因为(6,2,3),(2,3,6)AB AC →→=--=--，(4,1,9)AP →=-，所以(4,1,9)AP AB AC →→→=+=-，所以点(8,2,0)P 在平面ABC 内，故B 正确；因为92(1,9,))(62(22,31,8,,),92AB CD ==------=-- ，显然不成立，故D 错误.故选：D6.已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误得数据进行更正后，重新求得样本的平均数为X ，方差为2s ，则（）A.270,75X sB.270,75X s ><C.270,75X s =>D.270,75X s =<【答案】D 【解析】【分析】根据平均数与方差的定义判断．【详解】因为80706090+=+，因此平均数不变，即70X =，设其他48个数据依次为1248,,,a a a ，因此()()()()()222221248707070607090705075a a a -+-++-+-+-=⨯ ，()()()()()22222212487070708070707050a a a s -+-++-+-+-=⨯ ，()250751004001004000s -=--=-<，∴275s <，故选：D ．7.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，ACBC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（）A.4B.4C.5D.5【答案】C 【解析】【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =，然后以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值.【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥，所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得2PA =.如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ，则()3,0,0CB = ，()0,4,2CP = ，()13,0,3BC =-.设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =，则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得2z =-，所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量.设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ，则11110sin cos ,5n BC n BC n BC θ⋅=<>==⋅.故选：C.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅ （其中AB 为平面α的斜线，n为平面α的法向量，θ为斜线AB 与平面α所成的角）.8.已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221412x y -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过F 2的直线与双曲线C的右支交于A ，B 两点（其中点A 在第一象限），设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则ME NE -的取值范围是（）A.44,33⎛⎫-⎪⎝⎭B.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.3333,55⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭ D.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】利用平面几何和内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，根据θ∈(60∘,90∘]，将ME NE -表示为θ的三角函数可求得范围.【详解】解：设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ，则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ，∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a.设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=，得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合.同理可得12BF F △的内心在直线JM 上，设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan 22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ，当2πθ=时，||||0ME NE -=；当2πθ≠时，由题知，2,4,===b a c a，因为A ，B 两点在双曲线的右支上，∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan θ<tan θ>，∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠，∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ.故选：B.二、多选题（共4个小题，每个小题5分，共20分）9.已知甲罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙罐中有四个相同的小球，标号为1，4，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于6”，事件B =“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（）A.事件A 与事件B 是互斥事件B.事件A 与事件B 不是对立事件C.事件A B ⋃发生的概率为1920D.事件A 与事件B 是相互独立事件【答案】ABC 【解析】【分析】由两球编号写出事件,A B 所含有的基本事件，同时得出所有的基本事件，然后根据互斥事件、对立事件的定义判断AB ，求出A B ⋃的概率判断C ，由公式()()()P AB P A P B =判断D ．【详解】甲罐中小球编号在前，乙罐中小球编号在后，表示一个基本事件，事件A 含有的基本事件有：16,25,26,34,35,36,44,45,46,54,55,56，共12个，事件B 含有的基本事件有：11,14,15,21,31,41,51，共7个，两者不可能同时发生，它们互斥，A 正确；基本事件15发生时，事件,A B 均不发生，不对立，B 正确；事件A B ⋃中含有19个基本事件，由以上分析知共有基本事件20个，因此19()20P A B =，C 正确；123()205P A ==，7()20P B =，()0P AB =()()P A P B ≠，,A B 不相互独立，D 错．故选：ABC ．10.在如图所示试验装置中，两个长方形框架ABCD 与ABEF 全等，1AB =，2BC BE ==，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子,M N 分别在长方形对角线AC 与BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<，则下列说法正确的是（）A.AB MN⊥ B.MN 2C.当MN 的长最小时，平面MNA 与平面MNB 所成夹角的余弦值为13D .()25215M ABN a V-=【答案】ABC 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用空间向量数量积的运算即可判断选项A ；利用空间两点间距离公式即可判断选项B ；根据二面角的余弦值推导即可判断选项C ；根据棱锥的体积计算公式即可判断选项D .【详解】由题意可知：,,BA BC BE 两两互相垂直，以点B 为坐标原点，,,BA BE BC为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系，建系可得525525,0,2,,,05555a a a a M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()25250,,2,1,0,055a a MN BA ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭，0,AB MN AB MN ∴⋅=∴⊥，故选项A 正确；又MN===∴当2a=时，min||MN=，故选项B正确；当MN最小时，,,2a M N=分别是,AC BF的中点，取MN中点K，连接AK和BK，,AM AN BM BN==，,AK MN BK MN∴⊥⊥，AKB∠∴是二面角A MN B--的平面角.BMN中，,2BM BN MN===，可得2BK==，同理可得2AK=，由余弦定理可得331144cos322AKB∠+-==，故选项C 正确；2125252522365515M ABN ABNa aV S h-⎛⎫-=⨯⨯=⨯-=⎪⎪⎝⎭，故选项D错误.故选：ABC.11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:,C y x O=为坐标原点，一束平行于x轴的光线1l从点41,116P⎛⎫⎪⎝⎭射入，经过C上的点()11,A x y反射后，再经C上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（）A.PB 平分ABQ ∠B.121y y =-C.延长AO 交直线14x =-于点D ，则,,D B Q 三点共线D.2516AB =【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，根据题意求得()1,1A ，11,164B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而证得PA AB =，结合平面几何的知识易得PB 平分ABQ ∠；对于B ，直接代入12,y y 即可得到1214y y =-；对于C ，结合题意求得11,44D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由,,D B Q 的纵坐标相同得,,D B Q 三点共线；对于D ，由选项A 可知2516AB =.【详解】根据题意，由2:C y x =得1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，又由//PA x 轴，得()1,1A x ，代入2:C y x =得11x =（负值舍去），则()1,1A ，所以141314AF k ==-，故直线AF 为4134y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即4310x y --=，依题意知AB 经过抛物线焦点F ，故联立24310x y y x --=⎧⎨=⎩，解得11614x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即11,164B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，对于A ，412511616PA =-=，2516AB =，故PA AB =，所以APB ABP ∠=∠，又因为//PA x 轴，//BQ x 轴，所以//PA BQ ，故APB PBQ =∠∠，所以ABP PBQ ∠=∠，则PB 平分ABQ ∠，故A 正确；对于B ，因为12141,y y =-=，故1214y y =-，故B 错误；对于C ，易得AO 的方程为y x =，联立14y x x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故11,44D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又//BQ x 轴，所以,,D B Q 三点的纵坐标都相同，则,,D B Q 三点共线，故C 正确；对于D ，由选项A 知2516AB =，故D 正确.故选：ACD..12.己知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<的左，右焦点分别为1F ，2F ，圆22:(2)1M x y +-=，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆M 上，则下列说法正确的有（）A.若椭圆C 和圆M 没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是2,1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.若1b =，则||PQ 的最大值为4C.若存在点P 使得213PF PF =，则0b <≤D.若存在点Q使得12QF =，则1b =【答案】ACD 【解析】【分析】A 根据已知，数形结合得01b <<时椭圆C 和圆M 没有交点，进而求离心率范围；B 令(,)P x y ，求得||MP =，结合椭圆有界性得max ||MP =即可判断；C 由题设123,1PF PF ==，令(,)P x y，进而得到((222291x y x y⎧++=⎪⎨⎪-+=⎩，结合点在椭圆上得到公共解(0,2]x =求范围；D将问题化为圆心为的圆与圆22:(2)1M x y +-=有交点.【详解】由椭圆C 中2a =，圆M 中圆心(0,2)M ，半径为1，如下图示，A ：由于02b <<，由图知：当01b <<时椭圆C 和圆M 没有交点，此时离心率,12e ⎛⎫⎪ ⎪⎝==⎭，对；B ：当1b =时，令(,)P x y，则||MP =，而224(1)x y =-，所以||MP =，又11y -≤≤，故max ||MP =所以||PQ1+，错；C ：由1224PF PF a +==，若213PF PF =，则123,1PF PF ==，由12(F F ，令(,)P x y ，且2221)(4x y b =-，则((222291x y x y⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，即2222(4)200(4)120b x b x ⎧-+-=⎪⎨--+=⎪⎩，所以(0,2]x =，则23b ≤，且02b <<，故0b <≤D ：令(,)Q x y，若12QF =，所以2222(3[(]x y x y +=-+，则222(4)0x b y -+-+=，所以222(3(4)x y b -+=-，Q轨迹是圆心为的圆，而(0,2)M与的距离为，要使点Q 存在，则1|1-≤≤，可得22(1)0b -≤，且02b <<，即1b =，对；故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于C ，根据已知得到123,1PF PF ==，设(,)P x y ，利用两点距离公式得到方程组，求出公共解(0,2]x =为关键；对于D ，问题化为圆心为的圆与圆22:(2)1M x y +-=有交点为关键.三、填空题（共4个小题，每个小题5分，共20分）13.若直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=平行，则这两条平行线之间的距离是__．【答案】322【解析】【分析】由题意结合直线平行的性质可得2m =-，再由平行线间的距离公式即可得解.【详解】 直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=平行，∴2(1)4111m m +-=≠-，解得2m =-，故直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=即为直线10x y +-=与直线20x y ++=，2=，故答案为：2．【点睛】本题考查了直线平行性质的应用，考查了平行线间距离公式的应用，属于基础题.14.曲线1y =+与直线l ：y ＝k （x －2）＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是________．【答案】53124，纟çúçú棼【解析】【分析】首先画出曲线表示的半圆，再判断直线l 是过定点()24，的直线，利用数形结合判断k 的取值范围.【详解】直线l 过点A （2，4），又曲线1y =+0，1）为圆心，2为半径的半圆，如图，当直线l 与半圆相切，C 为切点时，圆心到直线l 的距离d ＝r，2=，解得512k =.当直线l 过点B （－2，1）时，直线l 的斜率为()413224-=--，则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的取值范围为53124，纟çúçú棼.故答案为：53124，纟çúçú棼15.数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学的部分统计结果如下：甲同学：中位数为3，方差为2.8；乙同学：平均数为3.4，方差为1.04；丙同学：中位数为3，众数为3；丁同学：平均数为3，中位数为2.根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是______同学.【答案】乙【解析】【分析】假设出现6点，利用特例法，结合平均数和方差的计算公式，即可求解.【详解】对于甲同学，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：()11233635x =++++＝，方差为()()()()()22222211323333363 2.85S ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦＝＝，可以出现点数6；对于乙同学，若平均数为3.4，且出现点数6，则方差221(6 3.4) 1.352 1.045S >-=>，所以当平均数为3.4，方差为1.04时，一定不会出现点数6；对于丙同学，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，众数为3，可以出现点数6；对于丁同学，当投掷骰子出现的结果为2,2,2,3,6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6.综上，根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是乙同学.故答案为：乙16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为e ，点P 在椭圆上，连接1PF 并延长交C 于点Q ，连接2QF ，若存在点P 使2PQ QF =成立，则2e 的取值范围为___________.【答案】)11,1⎡-⎣【解析】【分析】设11,QF m PF n ==，所以存在点P 使2PQ QF =等价于()2min0,PQ QF -≤由2112am n b +=可求222PQ QF m n a -=+-的最小值，求得22b a的范围，从而得到2e 的取值范围.【详解】设11,QF m PF n ==，则22QF a m =-.显然当P 靠近右顶点时，2PQ QF >，所以存在点P 使2PQ QF =等价于()22min0,22PQ QF PQ QF m n a -≤-=+-，在12PF F △中由余弦定理得22221121122cos PF PF F F PF F F θ=+-⋅⋅，即()2222422cos a n n c n c θ-=+-⋅⋅，解得2cos b n a c θ=-，同理可得2cos b m a c θ=+，所以2112a m n b +=，所以()(2223112223222b b b n m m n m n a m n a m n a +⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以22min1)(22)22b m n a a a++-=-，当且仅当n =时等号成立.由221)202b a a+-≤得2212b a ≤-，所以2111e -≤<.故答案为：)11,1⎡-⎣【点睛】关键点点睛：求离心率范围关键是建立,,a b c 的不等式，此时将问题转化为()2min0PQ QF -≤，从而只需求222PQ QF m n a -=+-的最小值，求最小值的方法是结合焦半径性质211112aPF QF b+=使用基本不等式求解.四、解答题（共7个题，17题10分，18题—22题每题12分，共70分）17.在平面直角坐标系xOy 中，存在四点()0,1A ，()7,0B ，()4,9C ，()1,3D .（1）求过A ，B ，C 三点的圆M 的方程，并判断D 点与圆M 的位置关系；（2）若过D 点的直线l 被圆M 截得的弦长为8，求直线l 的方程.【答案】（1）228870x y x y +--+=，D 在圆M 内；（2）43130x y +-=或1x =.【解析】【分析】（1）设出圆的一般方程,利用待定系数法计算可得圆的方程，把D 坐标代入圆的方程判定位置关系即可；（2）对直线分类讨论，设出直线方程，利用直线与圆相交，已知弦长求直线方程.【小问1详解】设圆M 方程为220x y Dx Ey F ++++=，把A ，B ，C 三点坐标代入可得：10,4970,1681490,E F D F D E F ++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩解得8D =-，8E =-，7F =，所以圆M 方程是228870x y x y +--+=,把D 点坐标代入可得：1982470+--+<，故D 在圆M 内；【小问2详解】由（1）可知圆M ：()()224425x y -+-=，则圆心()4,4M ，半径=5r ，由题意可知圆心到直线l 的距离是3，当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为：()1330y k x kx y k =-+⇒-+-=，3=，解得43k =-，故直线l 的方程为43130x y +-=；当直线l 斜率不存在时，则直线l 方程为：1x =，此时圆心到直线l 的距离是3，符合题意.综上所述，直线l 的方程为43130x y +-=或1x =.18.我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛．为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表组别分组频数频率第1组[50，60）80.16第2组[60，70）a ▓第3组[70，80）200.40第4组[80，90）▓0.08第5组[90，100]2b 合计▓▓（1）求出a ，b ，x ，y 的值；（2）在选取的样本中，从成绩是80分以上的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）．【答案】（1）a ＝16，b ＝0.04，x ＝0.032，y ＝0.004（2）35（3）中位数为70.5，平均数为70.2，方差为96.96【解析】【分析】（1）利用频率＝100%⨯频数样本容量，及频率组距表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a ，b ，x ，y ；（2）由（2）可知第四组的人数，已知第五组的人数是2，利用组合的计算公式即可求出从这6人中任选2人的种数，再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况，利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出．（3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差．【小问1详解】由题意可知，样本容量n ＝8500.16=，∴b ＝250＝0.04，第四组的频数＝50×0.08＝4，∴508202416a ＝----＝.y ＝0.0410＝0.004，x ＝1650×110＝0.032．∴a ＝16，b ＝0.04，x ＝0.032，y ＝0.004．【小问2详解】由题意可知，第4组共有4人，记为A ，B ，C ，D ，第5组共有2人，记为X ，Y ．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学，有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY ，共15种情况．设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ，有AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY 共9种情况．所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P （E ）＝93155=．∴随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率35．【小问3详解】∵[50，70）的频率为：0.160.320.48+＝，[70，80）的频率为0.4，∴中位数为：0.50.48701070.50.4-+⨯=，平均数为：550.16650.32750.4850.08950.0470.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝．方差为：()()()()()222225570.20.166570.20.327570.20.48570.20.089570.20.0496.96⨯+⨯+⨯+⨯+⨯﹣﹣﹣﹣﹣＝．19.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点0(,4)M x 在C 上，且52pMF =．（1）求点M 的坐标及C 的方程；（2）设动直线l 与C 相交于,A B 两点，且直线MA 与MB 的斜率互为倒数，试问直线l 是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．【答案】（1）M 的坐标为()4,4，C 的方程为24y x =；（2）直线l 过定点()0,4-.【解析】【分析】(1)利用抛物线定义求出0x ，进而求出p 值即可得解.(2)设出直线l 的方程x my n =+，再联立直线l 与抛物线C 的方程，借助韦达定理探求出m 与n 的关系即可作答.【小问1详解】抛物线2:2C y px =的准线：2px =-，于是得0522p p MF x =+=，解得02x p =，而点M 在C 上，即2164p =，解得2p =±，又0p >，则2p =，所以M 的坐标为()4,4，C 的方程为24y x =.【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为x my n =+，由24x my n y x =+⎧⎨=⎩消去x 并整理得：2440y my n --=，则()2160m n ∆=+>，124y y m +=，124y y n =-，因此，121222121212444444144444444MA MB y y y y k k y y x x y y ----⋅=⋅==⋅=--++--，化简得()121240y y y y ++=，即4n m =，代入l 方程得4x my m =+，即()40x m y -+=，则直线l 过定点()0,4-，所以直线l 过定点()0,4-.【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线相交，直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB DC ，PA ⊥底面ABCD ，点E 为棱PC 的中点.22AD DC AP AB ====.()1证明：//BE 平面PAD .()2若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AD C --的余弦值.【答案】()1证明见解析；()210.【解析】【分析】()1在PD 上找中点G ，连接AG ,EG ，利用三角形中位线性质得出12EG CD =，因为底面ABCD 是直角梯形，2CD AB =,所以能得出EG 平行且等于AB ，得出四边形ABEG 为平行四边形，再利用线面平行的判定，即可证出//BE 平面PAD ；()2根据BF AC ⊥,求出向量BF的坐标，进而求出平面FAD 和平面ADC 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F AD C --的余弦值.【详解】解：()1证明：在PD 上找中点G ，连接AG ,EG ，图象如下：G 和E 分别为PD 和PC 的中点，∴EG //CD ，且12EG CD =,又 底面ABCD 是直角梯形，2CD AB =∴AB //CD ，且12AB CD =，∴AB GE //且AB GE =.即四边形ABEG 为平行四边形.∴AG E //B .AG ⊂平面PAD ，BE ⊄平面PAD ，∴//BE 平面PAD.()2以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得()1,0,0B ，()2,2,0C ,()0,2,0D ，()002P ,,，()1,1,1E ，()1,2,0BC = ,()2,2,2CP =-- ，()2,2,0AC = .由F 为棱PC 上一点，设()2,2,2CF CP λλλλ==-- ()01λ≤≤,所以()12,22,2BF BC CF λλλ=+=-- ()01λ≤≤,由BF AC ⊥，得()()2122220BF AC λλ⋅=-+-= ,解得34λ=，即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()1131131,0,0,,,,222222AF AB BF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设平面FAD 的法向量为(),,n a b c = ，由00n AF n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 可得113022220a b c b ⎧++=⎪⎨⎪=⎩所以030b a c =⎧⎨+=⎩，令1c =，则3a =-，则()3,0,1n =- ，取平面ADC 的法向量为()0,0,1m = ，则二面角F AD C --的平面角α满足：cos 10m n m nα⋅===⋅ ,故二面角F AD C --的余弦值为10.【点睛】本题考查线面平行的判定，空间二面角的平面角，建立空间直角坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，属于难题.21.已知O 为坐标原点，()120F -，，()220F ，，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为曲线.E （1）求曲线E 的方程；（2）过点()220F ，的直线l 与曲线E 交于A B ，两点，求+ OA OB 的取值范围．【答案】（1）()2211.3y x x -=≥（2）[)4∞+，【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义，易判断点P 的轨迹是双曲线的右支，求出,a b 的值，即得；（2）设出直线方程与双曲线方程联立消元得到一元二次方程，推出韦达定理，依题得出参数m 的范围，将所求式等价转化为关于m 的函数式，通过整体换元即可求出其取值范围.【小问1详解】因()120F -，，()220F ，，且动点P 满足12122PF PF F F -=<，由双曲线的定义知：曲线E 是以12F F ，为焦点的双曲线的右支，且2c =，1a =，则2223b c a =-=，故曲线E 的方程为()2211.3y x x -=≥【小问2详解】当直线l 的斜率为0时，直线l 与双曲线的右支只有一个交点，故不符题意.如图，不妨设直线l 方程为：2x my =+，设()11A x y ，，()22B x y ，，联立22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22311290m y my -++=，由韦达定理得1221221231931m y y m y y m -⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩，2121222124()443131m x x m y y m m -+=++=+=---，2212121212234(2)(2)2()431m x x my my m y y m y y m +⋅=++=+++=--.由题意：()()22212221223101243190403134031m m m x x m m x x m ⎧-≠⎪-⨯-⨯>⎪⎪⎪⎨+=->⎪-⎪+⎪⋅=->⎪-⎩，解得：210.3m ≤<OA OB +=====，令2131t m =-，因210,3m ≤<故1t ≤-，而OA OB +== ，在(],1t ∞∈--为减函数，故4OA OB +≥ ，即OA OB + 的取值范围为[)4∞+，.22.如图，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与等轴双曲线2C 共顶点(±，过椭圆1C 上一点P （2，－1）作两直线与椭圆1C 相交于相异的两点A ，B ，直线PA 、PB 的倾斜角互补，直线AB 与x ，y 轴正半轴相交，分别记交点为M ，N .（1）求直线AB 的斜率；（2）若直线AB 与双曲线2C 的左，右两支分别交于Q ，R ，求NQ NR 的取值范围.【答案】（1）12-（2）11(1,9+【解析】【分析】(1)先求出椭圆方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求解A ，B 坐标，直接计算直线AB 斜率即可.(2)联立直线与双曲线的方程，利用求根公式表示出Q ，R 的坐标，化简NQ NR 的表达式，整理求出NQ NR的取值范围即可得出结果.【小问1详解】由题椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，顶点(±，可得a =(2,1)P -在椭圆1C 上，即24118b +=，得22b =，所以椭圆方程为22182x y +=，设等轴双曲线2C ：222x y m -=，0m >，由题意等轴双曲线2C 的顶点为(±，可得2=8m ，所以双曲线2C 的方程为：228x y -=，因为直线PA 、PB 的倾斜角互补，且A ，B 是不同的点，所以直线PA 、PB 都必须有斜率，设直线PA 方程为(2)1y k x =--，联立22(2)1182y k x x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(14)(168)161640k x k k x k k +-+++-=，A 和P 点横坐标即为方程两个根，可得221681+4A P k k x x k ++=，因为=2P x ，所以22882=14A k k x k +-+，代入直线PA 可得2244114A k k y k--=+，即2222882441(,)1414k k k k A k k+---++，又因为直线PA 、PB 的倾斜角互补，将k 换成k -，可得2222882441(,)1414k k k k B k k --+-++，两点求斜率可得出12AB k =-所以直线AB 的斜率为12-【小问2详解】由(1)可设直线AB 的方程：12y x n =-+，又因为直线AB 与x ，y 轴正半轴相交，则0n >，联立方程组2212182y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得2224480x nx n -+-=，22Δ168(48)0n n =-->，解得02n <<.联立直线AB 和双曲线方程221(02)28y x n n x y ⎧=-+<<⎪⎨⎪-=⎩，消去y 得22344320x nx n +--=，利用求根公式可得23n x -±=，所以1Q R x NQ NR x ====，又因为204n <<，所以2632n >，则11>，即29<，所以1121019NQNR+<<，所以NQNR 的取值范围为11210(1,9+【点睛】方法点睛：（1）解答直线与圆锥曲线题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去一个未知数建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率不存在的特殊情况.。

2021-2022学年四川省成都市高二(上)期末数学试卷(理科)(附详解)

2021-2022学年四川省成都市高二(上)期末数学试卷(理科)(附详解)

2021-2022学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∀x∈N，e x>sinx”的否定是()A. ∀x∈N，e x≤sinxB. ∀x∈N，e x<sinxC. ∃x0∈N，e x0>sinx0D. ∃x0∈N，e x0≤sinx02.抛物线y2=4x的准线方程是()A. y=116B. y=−116C. x=−1D. x=13.在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,−1,1)关于x轴对称的点的坐标为()A. (1,1,1)B. (1,1,−1)C. (−1,−1,−1)D. (1,−1,−1)4.设直线l1：ax+(a−2)y+1=0，l2：x+ay−3=0.若l1⊥l2，则a的值为()A. 0或1B. 0或−1C. 1D. −15.下列有关命题的表述中，正确的是()A. 命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题是假命题B. 命题“若a为正无理数，则√a也是无理数”的逆命题是真命题C. 命题“若x=2，则x2+x−6=0”的逆否命题为“若x2+x−6≠0，则x≠2”D. 若命题“p∧q”，“p∨(￢q)”均为假命题，则p，q均为假命题6.执行如图所示的算法框图，则输出的结果是()A. 99100B. 100101C. 101100D. 991017.方程x2m+3+y21−m=1表示椭圆的充分不必要条件可以是()A. m∈(−3,1)B. m∈(−3,−1)∪(−1,1)C. m∈(−3,0)D. m∈(−3,−1)8.如图，是对某位同学一学期8次体育测试成绩(单位，分)进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是()A. 该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差超过15分B. 该同学8次测试成绩的众数是48分C. 该同学8次测试成绩的中位数是49分D. 该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关9.若椭圆x23+y24=1的弦AB恰好被点M(1,1)平分，则AB所在的直线方程为()A. 3x−4y+1=0B. 3x+4y−7=0C. 4x−3y−1=0D. 4x+3y−7=010.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔社”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为()A. 916B. 716C. 1332D. 113211.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.若双曲线右支上存在点P，使得PF1与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点Q，且|PF1|=4|F1Q|，则双曲线的浙近线方程为()A. y=±xB. y=±43x C. y=±34x D. y=±√2x12. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C ：x 2+y 2=|x|+|y|流是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C 围成的图形的面积是2+π； ②曲线C 上的任意两点间的臥离不超过2；③若P(m,n)是曲线C 上任意一点，则|3m +4n −12|的最小值是17−5√22． 其中正确结论的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 椭圆x 2+2y 2=4的长轴长为______．14. 某班有40位同学，将他们从01至40编号，现用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是05，那么第四位的编号是______．15. 根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额x(单位：千亿元)和出口总额y(单位：千亿元)之间的一组数据如下：若每年的进出口总额x ，y 满足线性相关关系y ̂=b ̂x −0.84，则b ̂=______；若计划2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为______千亿元．16. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点F 1和F 2，设椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，P 为两曲线的一个公共点，且|PF⃗⃗⃗⃗⃗ 1−PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2|=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |(O 为坐标原点).若e 1∈(√22,√32]，则e 2的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知△ABC 的三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)．(Ⅰ)求AC 边所在的直线方程；(Ⅱ)求经过AB 边的中点，且与AC 边平行的直线l 的方程．18.某班主任对全班50名学生进行了作业量多少与手机网游的调查，数据如下表：(Ⅰ)若随机抽问这个班的一名学生，分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率；(Ⅱ)若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生．现要从这5名学生中任取2名学生了解情况，求其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．19.已知圆C的圆心为C(1,2)，且圆C经过点P(5,5)．(Ⅰ)求圆C的一般方程；(Ⅱ)若圆O：x2+y2=m2(m>0)与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围．20.为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了50名学生的得分(得分均为整数，满分为100分)进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60,70)，第二组[70,80)，第三组[80,90)，第四组[90,100](单位：分)，得到如下的频率分布直方图．(Ⅰ)求图中m的值，估计此次活动学生得分的中位数；(Ⅱ)根据频率分布直方图，估计此竞赛活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．21.已知抛物线E：x2=2py(p>0)的焦点为F，直线y=3与抛物线E在第一象限的交点为A，且|AF|=4．(Ⅰ)求抛物线E的方程；(Ⅱ)经过焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线E相交于P，Q两点，l2与抛物线E相交于M，N两点．若C，D分别是线段PQ，MN的中点，求|FC|⋅|FD|的最小值．22. 已知点P 是圆C ：(x +√3)2+y 2=16上任意一点，A(√3,0)是圆C 内一点，线段AP的垂直平分线与半径CP 相交于点Q ．(1)当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹E 的方程；(2)设不经过坐标原点O ，且斜率为12的直线l 与曲线E 相交于M ，N 两点，记OM ，ON 的斜率分别是k 1，k 2，以OM ，ON 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2.当k 1，k 2都存在且不为0时，试探究S 1+S 2k1k 2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x0∈N，e x0≤sinx0，故选：D．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2.【答案】C【解析】解：由已知抛物线方程可得：2p=4，所以p=2，=−1，即x=−1，所以准线方程为x=−p2故选：C．由已知抛物线方程以及求出p的值，进而可以求解．本题考查了抛物线的性质以及准线方程，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：∵点A(1,−1,1)，一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，∴点A(1,−1,1)关于x轴对称的点的坐标为(1,1,−1)故选：B．根据所给的点的坐标，知一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，写出点的坐标．本题考查空间中点的对称，是一个基础题，注意点在空间中关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标，这种题目通常单独作为一个知识点出现．4.【答案】A【解析】解：∵直线l1：ax+(a−2)y+1=0，l2：x+ay−3=0，l1⊥l2，∴a×1+(a−2)×a=0，解得a=0或a=1．故选：A．利用直线与直线垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】C【解析】解：对于A：命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的逆命题是：“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”，该命题为真命题，由于逆命题和否命题等价，故否命题为真命题，故A错误；对于B：命题“若a为正无理数，则√a也是无理数”的逆命题是：若√a是无理数，则a也为无理数”是假命题，故B错误；对于C：命题“若x=2，则x2+x−6=0”的逆否命题为“若x2+x−6≠0，则x≠2”，故C正确；对于D：若命题“p∧q”，“p∨(￢q)”均为假命题，则p为假命题，q为真命题，故D 错误．故选：C．直接利用四种命题的转换和命题真假的判定的应用求出结果．本题考查的知识要点：命题真假的判定，四种命题的转换，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=1 1×2+12×3+...+1100×101的值，S=11×2+12×3+...+1100×101=(1−12)+(12−13)+...+(1100−1101)=1−1101=100101．故选：B．模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=11×2+12×3+...+1100×101的值，进而根据裂项法即可求解． 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.【答案】D【解析】解：若方程x 2m+3+y 21−m=1表示椭圆，则{m +3>01−m >0m +3≠1−m ，解得：−3<m <1且m ≠−1， 则方程x 2m+3+y 21−m =1表示椭圆的充要条件是{m|：−3<m <1且m ≠−1}，则：方程x 2m+3+y 21−m =1表示椭圆的充分不必要条件所对应的集合必须是{m|：−3<m <1且m ≠−1}的真子集，选项D ，m ∈(−3,−1)符合条件． 故选：D ． 求得方程x 2m+3+y 21−m =1表示椭圆的条件，根据利用充分条件和必要条件的定义判断． 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及椭圆的方程，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由散点图得：对于A ，该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差为：56−38=18，超过15分，故A 正确；对于B ，该同学8次测试成绩的众数是48分，故B 正确； 对于C ，该同学8次测试成绩的中位数是：48+482=48分，故C 错误；对于D ，该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关，故D 正确． 故选：C ．利用散点图、极差、众数、中位数、相关性直接求解．本题考查命题真假的判断，考查散点图、极差、众数、中位数、相关性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】D【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x123+y124=1，x223+y224=1，两式相减得：x12−x223+y12−y224=0，因为弦AB恰好被点M(1,1)平分，所以有x1+x2=2，y1+y2=2．所以直线AB的斜率k=y2−y1x2−x1=−43⋅x1+x2y2+y1=−43，因此直线AB的方程为y−1=−43(x−1)，即4x+3y−1=0，故选：D．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用平方差法求出直线的斜率，然后求解直线方程．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，平方差法的应用，考查计算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：如图，设大正方形的边长为2，则最大的三角形是腰长为√2的等腰直角三角形，角上的三角形是腰长为1的等腰直角三角形，最小的三角形是腰长为√22的等腰直角三角形，∴白色部分的面积为：S 白=22−12×√2×√2−12×√22×√22−12×1×1=94，∴在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率为：P=S白S正方形=944=916．故选：A．设大正方形的边长为2，求出白色部分的面积，利用几何概型能求出在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率．本题考查概率的运算，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】B【解析】解：设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为： F 1(−c,0)，F 2(c,0)，一条渐近线方程为bx −ay =0，可得F 2到渐近线的距离为|F 2Q|=|bc|√a 2+b 2=b ， 则|PF 2|=4b ，|PF 1|=4b −2a ，在直角三角形OF 2Q 中，cos∠QF 2O =|QF 2||OF 2|=bc ，在△PF 2F 1中，可得cos∠PF 2F 1=|F 1F 2|2+|PF 2|2−|PF 1|22|F 1F 2||PF 2|=4c 2+16b 2−(4b−2a)22×2c×4b=bc，化为3b =4a ，所以双曲线的渐近线方程为：y =±43x. 故选：B ．设出双曲线的焦点和一条渐近线方程，求得F 2到渐近线的距离，可得|PF 2|=4b ，|PF 1|=4b −2a ，由直角三角形的锐角三角函数和三角形的余弦定理，化简可得3b =4a ，可得渐近线方程．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查三角形的余弦定理和锐角三角函数的定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：曲线C ：x 2+y 2=|x|+|y|可知曲线关于原点，x ，y 轴对称， 当x ≥0，y ≥0时，可得x 2+y 2−x −y =0，可得(x −12)2+(y −12)2=12，所以可得是以C(12,12)为圆心，r =√22为半径的半圆，由此可作出曲线C 的图象，如图所示，所以曲线C 围成的图形的面积是√2×√2+2×π×(√22)2=2+π，故命题①正确；曲线上任意两点间距离的最大值为4×√22=2√2，故命题②错误；设圆心C 到直线3x +4y −12=0的距离为d =∣3×12+4×12−12∣22=1710，故曲线上任意一点P(m,n)到直线l 的距离的最小值为3m+4n−12√32+42最小值为1710−√22， 故|3m +4n −12|的最小值是17−5√22，故命题③正确． 故选：C ．由曲线方程知曲线关于原点，x ，y 轴对称，当x ≥0，y ≥0时，可得x 2+y 2−x −y =0，可得(x −12)2+(y −12)2=12，所以可得是以C(12,12)为圆心，r =√22为半径的半圆，由此可作出曲线C 的图象，从而通过运算可判断命题①②③的真假．本题考查命题真假的判断，以及考查由曲线方程研究曲线的相关性质，属中档题．13.【答案】4【解析】解：椭圆x 2+2y 2=4，可得x 24+y 22=1，可得a =2，所以椭圆长轴长为：4． 故答案为：4．化简椭圆方程为标准方程，然后求解长轴长即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．14.【答案】29【解析】解：系统抽样间隔为40÷5=8，且抽取的第一位编号是05， 所以第四位的编号是5+8×3=29． 故答案为：29．求出系统抽样间隔，根据抽取的第一位编号即可写出第四位的编号． 本题考查了系统抽样应用问题，是基础题．15.【答案】1.6 3.65【解析】解：由题意可得：x −=1.8+2.2+2.6+3.04=2.4．y −=2.0+2.8+3.2+4.04=3．因为样本中心满足回归直线方程，可得3=2.4 b ⏜−0.84， 解得 b⏜=1.6． y ̂=1.6x −0.84，2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为x ， 则5=1.6x −0.84，解得x =3.65． 故答案为：1.6；3.65．求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解b ^，然后代入计划2022年出口总额达到5千亿元，求解即可．本题考查回归直线方程的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．16.【答案】[√62,+∞)【解析】解：设椭圆C 1：x 2a 12+y 2b 12=1(a 1>b 1>0)，双曲线C 2：x 2a 22−y 2b 22=1(a 2>0,b 2>0)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)为C 1与C 2的共同焦点，则c 2=a 12−b 12，c 2=a 22+b 22， 由|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |，得|F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以2c =2|PO|，所以|PO|=c ， 所以|OF 1|=|OP|=|OF 2|=c ，所以∠F 1PF 2=90°(P 为C 1与C 2的一个公共点)， 设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，则m 2+n 2=4c 2，① m +n =2a 1，②， |m −n|=2a 2，③②2+③2，得2m 2+2n 2=4(a 12+a 22)， 代入①，得2×4c 2=4(a 12+a 22)， 所以2c 2=a 12+a 22，所以a 12c 2+a 22c 2=2，④ 又e 1=ca 1，e 2=ca 2，所以1e 1=a 1c，1e 2=a 2c，所以④化为1e 12+1e 22=2，即1e 22=2−1e 12，因为e 1∈(√22,√32]，所以12<e 12≤34，所以43≤1e 12<2，所以−2<−1e 12≤−43，所以0<2−1e 12≤2−43=23，即0<1e 22≤23，则e 22≥32，又e 2>1，所以e 2≥√62， 所以e 2的取值范围为[√62,+∞)，故答案为：[√62,+∞)．设椭圆C 1：x 2a 12+y 2b 12=1(a 1>b 1>0)，双曲线C 2：x 2a 22−y 2b 22=1(a 2>0,b 2>0)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)为C 1与C 2的共同焦点，则c 2=a 12−b 12，c 2=a 22+b 22，由|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |，得|PO|=c ，则∠F 1PF 2=90°(P 为C 1与C 2的一个公共点)，设|PF 1|=m ，|PF 2=n ，可得m 2+n 2=4c 2①，m +n =2a 1②，|m −n|=2a 2③，进一步求出e 2的取值范围． 本题考查椭圆与双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由题意知AC 斜率为k =3−00−4=−34，所以AC 边所在直线方程为y −0=−34(x −4)，即3x +4y −12=0．(Ⅱ)由(Ⅰ)知l 可设为3x +4y +m =0，又AB 边中点为(5,72)，将点(5,72)代入直线l 的方程得3×5+4×72+m =0，解得m =−29，所以l 方程为3x +4y −29=0．【解析】(Ⅰ)由A 、C 两点坐标可以写出直线AC 斜率，再代入A 、C 中的一个点就可以求出AC 方程．(Ⅱ)求出AB 中点，l 与AC 平行，从而斜率相等，即可设出l ，代入A 、C 中点求得l ．本题考查了直线方程的求解和两直线平行的关系，属于简单题．18.【答案】解：：(Ⅰ)用A 表示“认为作业不多”，用B 表示“喜欢手机网游且认为作业多”，则P(A)=2550=12，P(B)=2050=25．(Ⅱ)若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生， “不喜欢手机网游”与“喜欢手机网游”的人数的比值为520=14， ∴采用分层抽样方法抽取5人，其中“不喜欢手机网游”的有1人， “喜欢手机网游”有4人，记“不喜欢手机网游”的1名学生为B，“喜欢手机网游”的4名学生分别为B1，B2，B3，B4，从5名学生中抽取2名学生的所有可能情况有n=C52=10，恰有1名“不喜欢手机网游”学生的情况有：{B,B1}，{B,B2}，{B,B3}，{B,B4}，共4种，∴其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率P=410=25．【解析】(Ⅰ)利用古典概型直接求解．(Ⅱ)采用分层抽样方法抽取5人，其中“不喜欢手机网游”的有1人，“喜欢手机网游”有4人，记“不喜欢手机网游”的1名学生为B，“喜欢手机网游”的4名学生分别为B1，B2，B3，B4，从5名学生中抽取2名学生的所有可能情况有n=C52=10，利用列举法求出恰有1名“不喜欢手机网游”学生的情况有4种，由此能求出其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(I)设圆C的方程为(x−1)2+(y−2)2=r2(r为圆C的半径)，∵圆C经过点P(5,5)，∴(5−1)2+(5−2)2=r2，即r2=25，∴圆C的标准方程为(x−1)2+(y−2)2=25．(II)由(I)知圆C的圆心为C(1,2)，半径为5，∵圆O：x2+y2=m2(m>0)与圆C恰有两条公切线，∴圆O与圆C相交，∴|5−m|<|OC|<5+m，∵|OC|=√(1−0)2+(2−0)2=√5，∴5−√5<m<5+√5，故m的取值范围是(5−√5,5+√5)．【解析】(I)设圆C的方程为(x−1)2+(y−2)2=r2(r为圆C的半径)，再将点P(5,5)代入圆C方程，即可求解．(II)将已知条件转化为两圆相交，再结合圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．本题主要考查两圆之间的位置关系，属于基础题．20.【答案】(Ⅰ)由图知第三组频率为1−(0.01+0.04+0.02)×10=0.30，所以第三组矩形的高为m =0.3010=0.03．因为前两组的频率为(0.01+0.03)×10=0.4<0.5，前三组的频率为(0.01+0.03+0.04)×10=0.8>0.5，所以得分的中位数在第三组内，设中位数为x ，(0.01+0.03)×10+(x −80)×0.04=0.5，解得x =82.5，所以估计此次得分的中位数是 82.5分．(Ⅱ)由频率分布直方图知，学生得分的平均值为x −=65×10×0.01+75×10×0.03+85×10×0.04+95×10×0.02=82．参赛的500名学生中得分不低于82分的人数为500×[0.02×10+(90−82)×0.04]=260，所以估计此次参加比赛活动学生得分的平均值为82分，参赛的500名学生中有260名学生获奖．【解析】(Ⅰ)所有组频率之和为1，每个小长方形面积为该组对应的频率，这样让1减去其它组频率即为所求组频率，所求组频率即为对应长方形面积，面积除以宽得到高就是m 值．频率分布直方图中的中位数是频率0.5位置为应的x 的值．(Ⅱ)平均值是各组中点值乘以对应的频率之和，不低于平均值的学生人数为总数500乘以不低于平均值的频率．本题考查了频率直方图中的频率、中位数、平均数，频数的求解，考查较基础难度不大．21.【答案】解：(Ⅰ)由题意，|AF|=3+p2=4，得p =2．∴抛物线E 的方程为x 2=4y ； (Ⅱ)由(Ⅰ)知焦点为F(0,1)．由已知可得两直线PQ 、MN 的斜率都存在且均不为0． 设直线PQ 的斜率为k ，则直线MN 的斜率为−1k ， 故直线PQ 的方程为y =kx +1，联立方程组{y =kx +1x 2=4y ，消去y ，整理得x 2−4kx −4=0，设点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则x 1+x 2=4k ，∵C(x C ,y C )为弦PQ 的中点，∴x C =12(x 1+x 2)=2k ． 由y C =kx C +1=2k 2+1，故点C(2k,2k 2+1)，同理，可得D(−2k ,2k 2+1)，故|FC|=√4k 2+4k 4=2√k 4+k 2，|FD|=√4k 2+4k 4=2√1k 4+1k 2．∴|FC|⋅|FD|=4√(k 4+k 2)(1k+1k)=4√(2+k 2+1k)≥4√2+2√k 2⋅1k =8．当且仅当k 2=1k 2，即k =±1时，等号成立． ∴|CF|⋅|FD|的最小值为8．【解析】(Ⅰ)由题意可得|AF|=3+p2=4，求得p ，则抛物线E 的方程可求； (Ⅱ)由(Ⅰ)知焦点为F(0,1).由已知可得两直线PQ 、MN 的斜率都存在且均不为0.设直线PQ 的斜率为k ，则直线MN 的斜率为−1k ，可得直线PQ 与MN 的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得C 与D 的坐标，再求出|FC|与|FD|的值，作积后整理，再由基本不等式求最值．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系的应用，考查化简运算能力和推理能力，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题．22.【答案】解：(1)由题意知|PQ|=|AQ|，又|PQ|+|CQ|=|CP|=4，且|AC|=2√3， ∴|AQ|+|CQ|=4>|AC|，由椭圆定义知Q 点的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 则a =2,c =√3． ∴b 2=1． ∴曲线E 的方程为x 24+y 2=1．(2)由题意知直线l 的方程为y =12x +m(m ≠±1)， 设直线l 与椭圆的交点为M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由{y =12x +mx 24+y 2=1，消去y ，化简得x 2+2mx +2m 2−2=0，∴Δ=4m 2−4(2m 2−2)=8−4m 2>0， 即m 2<2，∴x 1+x 2=−2m,x 1x 2=2m 2−2， ∴k 1k 2=y 1x 1⋅y 2x 2=12x 1+m x 1⋅12x 2+m x 2=14+m 2x 1x 2+m(x 1+x 2)2x 1x 2=14+m 22m 2−2+m⋅(−2m)4m 2−4=14， S 1+S 2=π4(|OM|2+|ON|2)=π4(x 12+y 12+x 22+y 22)=π4(x 12+x 22+y 12+y 22)， ∵x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=4m 2−2(2m 2−2)=4，∴y 12+y 22=(1−x 124)+(1−x 224)=2−x 12+x 224=1，∴S 1+S 2=π4(x 12+x 22+y 12+y 22)=5π4，∴S 1+S 2k 1k 2=5π414=5π，∴S 1+S 2k 1k 2是定值，为5π．【解析】(1)由条件可得Q 点轨迹满足椭圆定义，设出椭圆方程，由a ，c 的值可得b 的值，从而求得轨迹方程；(2)设出直线l 的方程，结合韦达定理，分别求得k 1k 2为定值，S 1+S 2也为定值，从而可得S 1+S 2k1k 2是定值．本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，属于难题．。

四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末能力测评数学试题含答案

四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末能力测评数学试题含答案

高二2023-2024学年度上期期末能力测评数学（答案在最后）满分150分考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置；2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上相应题目答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净；3.回答非选择题时，在答题卡上作答.写在本试卷上无效；4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.直线:l 2310x y +-=的一个方向向量为（）A.()2,3- B.()3,2- C.()2,3 D.()3,2【答案】B 【解析】【分析】利用直线方向向量的定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可.【详解】由2310x y +-=得，2133y x -+，所以直线的一个方向向量为2(1,)3-，而2(3,2)3(1,)3-=--，所以(3,2)-也是直线的一个方向向量.故选：B.2.对于变量x ，条件:p Q x ∈，条件:q R ，则p 是q 的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据充分必要条件的要求，分别判断p 能否推出q ，以及q 能否推出p 即得.【详解】由Q x ∈，若取=1x -R ，即p 不是q 的充分条件；R ，若取πx =，显然不满足Q x ∈，即p 不是q 的必要条件.3.对某社团进行系统抽样，编号为001，002，⋯，120，则抽取的序号不可能是（）A.001，004，⋯，117B.008，020，⋯，116C.005，015，⋯，115D.014，034，⋯，114【答案】A 【解析】【分析】根据系统抽样的要求抽取的序号的间隔相同，序号构成等差数列，逐项验证.【详解】根据系统抽样的要求抽取的序号的间隔相同,序号构成等差数列，对A ：121,4,3,32n a a d a n ====-，令32117n -=此方程没有正整数解，故A 不可能；对B ：128,20,12,124n a a d a n ====-，令124116n -=得10n =满足要求，故B 可能；对C ：125,15,10,105n a a d a n ====-，令105115n -=得12n =满足要求，故C 可能；对D ：1214,34,20,206n a a d a n ====-，令206114n -=得6n =满足要求，故D 可能；故选：A4.若直线:l 260x y m -+-=平分圆:C 22240x mx y +++=，则实数m 的值为（）A .2- B.2 C.3 D.2-或3【答案】C 【解析】【分析】列出22240x mx y +++=所满足的条件，由直线l 过圆心求得m 的值.【详解】22240x mx y +++=可化为()2224x m y m ++=-，则240m ->，直线260x y m -+-=始终平分圆22240x mx y +++=的周长,则直线l 经过圆心(,0)m -.代入直线得260m m --=，解得3m =或2m =-.因为2m =-不满足240m ->，故3m =故选：C.5.若数列{}n a 满足12a =，1123n nn S S n a +++=+，则88S a +的值为（）A.9B.10C.11D.12【解析】【分析】由n S 与n a 的关系求得()()112n n S n S n +=++，从而1n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，得到1n S n =+，即可求88S a +的值.【详解】由11n n n S S a ++-=及1123n nn S S n a +++=+得()()1123n n n n S S n S S +++=+-，即()()112323n n n n S S n S n S ++-+=++，即()()112n n S n S n +=++，所以112n n S S n n +=++，即1n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，又11221S a ==，所以11n Sn =+，即1n S n =+，所以878879,81,S S a S S ===-=，所以8810S a +=.故选：B6.已知实数,x y28x y =+-，则点(),P x y 的轨迹为（）A.抛物线B.双曲线C.一条直线D.两条直线【答案】D 【解析】【分析】将已知方程等价变形为()()334170x x y -⋅+-=，即可判断点(),P x y 的轨迹.28x y =+-，所以两边平方得()()22223246443216x y x y xy x y -+-=+++--，化简整理得2351426120x xy x y ++--=，所以()()334170x x y -⋅+-=，所以30x -=或34170x y +-=，即点(),P x y 的轨迹方程为30x -=或34170x y +-=，所以点(),P x y 的轨迹为两条相交直线.故选：D7.若复数z 满足()24z z z ⋅+=，则23z z +的最小值为（）A .16B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】设i z x y =+，利用复数的乘法运算及模的公式得422491016x x y y ++=，所求式子为()2244x y +，令224t x y =+，则利用422152160x tx t --+=有解求得t ≥，即可得解.【详解】设i z x y =+，则()()()()222i 3i 34i 4z z z x y x y x yxy ⋅+=+⋅+=-+=，所以()()22223416x y xy -+=，即422491016x x y y ++=，而()()()2222222333i i 42i 16444z zx y x y x y x y x y +=++-=+=+=+，令224t x y =+，则224y t x =-，所以()()242229104416x x t x t x +-+-=，即422152160x tx t --+=，记20m x =≥，则22152160m tm t --+=，由题意，该方程存在非负根，且二次函数对称轴015tm =>，所以()()22Δ2415160t t =-⨯⨯-+≥，所以215t ≥，又0t >，所以t ≥，所以234z z t +=≥，即23z +的最小值为.故选：C8.计算：cos 20cos 40cos 40cos80cos80cos 20-+= （）A.12B.23C.34D.2【答案】C 【解析】【分析】根据和差角公式以及积化和差公式即可求解.【详解】()()()()11cos 20cos 40cos 40cos80cos80cos 20cos 4020cos 4020cos 8040cos 804022⎡⎤⎡⎤-+=++--++-⎣⎦⎣⎦()()1cos 8020cos 80202⎡⎤+++-⎣⎦111131cos 20cos 40cos100cos 202cos 40cos100222242112⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+++=+⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣-⎦+()()3131cos 20cos 40cos100cos 3010cos 3010sin104242⎡⎤⎡⎤=+=+--+-⎣⎦-+⎦⎣3132sin 30sin10sin10424⎡⎤=+-=⎣⎦，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.设集合A ={|αα为两个非零向量可能的夹角}，集合B ={|ββ为两条异面直线可能的夹角}，则下列说法错误的是（）A.4π3A ∉ B.2π3B ∈C.ππ2A B θθ⎧⎫⊆≤≤⎨⎬⎩⎭ð D.ππ2A B θθ⎧⎫⊇≤≤⎨⎬⎩⎭ð【答案】BCD 【解析】【分析】由向量夹角定义和异面直线所成角取值范围求出集合A ，B ，再结合集合相关概念即可求解.【详解】由题集合[]0,πA =，π0,2B ⎛⎤= ⎥⎝⎦，所以4π3A ∉，2π3B ∈，故A 对，B 错；由上{}π0,π2A B ⎛⎤=⋃ ⎥⎝⎦ð，故C 、D 错.故选：BCD.10.已知曲线:Γ1x x y y +=-，将曲线Γ用函数()f x 表示，则下列说法正确的是（）A.()f x 在R 上单调递减；B.()y f x =的图象关于34y x =对称；C.()22fx x +的最小值为9；D.若直线:l y kx b =+()0b <与()y f x =的图象没有交点，则实数k 为定值.【答案】ACD 【解析】【分析】分段讨论确定Γ所表示的曲线方程作出图象，由图象判断A ，B ，D 选项；求出()22f x x +的表达式求其最小值判断C 选项；【详解】当0,0x y >≥时，221916x y+=-不存在，故在第一象限内无图象；当0,0x y <≥时，221916x y-+=-，在第二象限内为双曲线的一部分，其渐近线为43y x =-，此时2216169x y =-，即()()221616,39x f x x =-≤-，所以()222251699x f x x +=-≥；当0,0x y ≤<时，221916x y +=，在第三象限内为椭圆的一部分；此时2216169x y =-，即()()221616,309x f x x =--<≤，所以()22271699x f x x +=->当0,0x y ><时，22916x y -=-，在第四象限内为双曲线的一部分，其渐近线为43y x =-；此时2216169x y =+，即()()221616,09x f x x =+>，所以()2222516169x f x x +=+>；综上：()22fx x +的最小值为9，故C 正确；()y f x =图象如图所示：对于A ：由图象可得()f x 在R 上单调递减，故A 正确；对于B ，由图象可得()f x 图象不关于直线34y x =成轴对称图形，也可以求得()3,0-关于直线34y x =对称的点2172,2525⎛⎫-- ⎪⎝⎭不在()f x 图象上，故B 错误；对D ：若直线:l y kx b =+()0b <与()y f x =的图象没有交点，则直线l 与渐近线平行，即43k =-为定值，否则直线l 与渐近线相交，则一定会与()y f x =的图象相交，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据,x y 的正负去掉绝对值符号得到曲线方程，作出图象，数形结合分析.11.已知独立的事件A 、B 满足()()0P A P B <<，则下列说法错误的是（）A.()()P A P AB +一定小于()2P B ；B.()()P A B P AB +可能等于()2PB ；C.事件AB 和事件AB 不可能相互独立；D.事件AB 和事件A B +可以相互独立.【答案】BC 【解析】【分析】利用独立事件的定义和性质可判断A 正确，B 错误；根据事件A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 都相互独立，利用相互独立事件概率公式计算即可.【详解】()()P A P B <且,A B 相互独立，则()()P AB P B <，()()2()P A P AB P B +<,A 正确.∵A B +表示事件,A B 至少发生一个，AB 表示事件,A B 同时发生，∴()(),()()()()P A B P B P AB P A P B P B +>=<，∴()()P A B P AB +不能等于()2P B ，B 错误.若1()2P B =，则1()2P B =，此时()()P AB P AB =，∵AB AB A = .∴()(()(()()()P A P AB AB P AB P AB P A P B P AB ==+=+ .∴移项得(()()()()()()(1())()()P AB P A P AB P A P A P B P A P B P A P B =-=-=-=.∴事件A 与B 相互独立，同理可知事件A 与B ，A 与B 也都相互独立.∴事件AB 和AB 可能相互独立，事件AB 和A B +可能相互独立，C 错误，D 正确.故选：BC【点睛】关键点点睛：解题的关键是已知独立事件A 、B ，可推出事件A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 都相互独立.12.如图，在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -上，点M 为体对角线1BD 靠近1D 点的三等分点，点E F 、为棱AB 、1CC 的中点，点P 在平面MEF 上，且在该平面与正方体表面的交线所组成的封闭图形中（含边界），则下列说法正确的是（）A.平面MEF 与底面ABCD 的夹角余弦值为77；B.点D 到平面MEF 的距离为11； C.点D 到点P 的距离最大值为6345；D.设平面MEF 与正方体棱的交点为1T 、…、n T ，则n 边形1n T T ⋯最长的对角线的长度大于172.【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，即可利用法向量的夹角求解A ，根据点面距离的向量法即可求解B ，根据面面平行的性质可得截面为六边形EQFNKT ，即可根据点点距离公式求解CD.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()2,2,4,6,3,0,0,6,3M E F ,()()4,1,4,2,4,1ME MF =-=--,设平面MEF 法向量为(),,m x y z =，440240ME m x y z MF m x y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取4y =，则()5,4,6m = ，而平面ABCD 的一个法向量为()10,0,6AA =，所以平面MEF 与底面ABCD的夹角余弦值为1677cos ,77m AA ==.故A 错误，()2,2,4,DM = 所以点D 到平面MEF的距离为11DM m m ⋅==，故B正确，延长EM 交11D C 于点N ,连接NF 交DC 延长线于点H ,连接EH 交BC 于Q ，由于点M 为体对角线1BD 靠近1D 点的三等分点，所以1111322D M D N D N MB EB ==⇒=,11912C N C F CH CH CF ==⇒=,9612235CH CQ BQ BQ EB BQ BQ -=⇒=⇒=,在棱11A D 上取K ，使得165D K =,由于11116124455,35352D K D KBQ BQ D N EB EB D N==⇒=⇒=,故//KN EQ ，连接,,TE TK FQ ,故六边形EQFNKT 即为平面MEF 上与正方体所截得的截面，由于1121863,6,555FC AE CQ D K ===-==113//,2932C F AT ATNF TE AT NC AE ∴=⇒=⇒= ,由于CQ 最大，故DQ为最大值5DQ =，故当P 在Q 处时，DP最大为5,C正确，由于()()()1863,6,0,6,3,0,0,6,3,6,0,2,,0,6,0,,6,552Q E F T K N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭172NE ==>,因此六边形EQFNKT 的最长对角线的长度不小于NE 的长度，因此六边形EQFNKT 的最长对角线的长度大于172，故D 正确，故选：BCD【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()f x =的定义域为______.【答案】()11,2∞⎧⎫+⋃⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】根据根式函数和对数函数及分式函数定义域法则列不等式求解即可.【详解】由题意2100ln 0x x x -≥⎧⎪>⎨⎪>⎩或2100ln 0x x x -=⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解得1x >或12x =，所以函数()f x =的定义域为()11,2∞⎧⎫+⋃⎨⎬⎩⎭.故答案为：()11,2∞⎧⎫+⋃⎨⎬⎩⎭14.已知某平面内三角形ABC 为等腰三角形，AB AC =，点D 为AC 中点，且3BD =，则ABC 面积的最大值为____________.【答案】6【解析】【分析】根据向量的模长公式可得259cos 4A x=-，即可利用面积公式得()()2229203664ABC S x =--+ ，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设AB AC x==由于12BD AC AB =- ,所以2222215cos 44BD AC AB AC AB x x A =+-⋅=- ,故259cos 4A x=-,()()222424211159sin 1cos 12444ABC S AB AC A x A x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()24229458192036648464x x x =-+-=--+故当220x =时，此时()2ABC S 取最大值36，故面积的最大值为6，故答案为：615.已知锐角α，β满足2tan cos αβ=，2tan tan2αβ=，则sin sin βα的值为______.【答案】56【解析】【分析】根据已知结合同角关系消去β得1tan tan2tan ααα-=，再根据二倍角公式化弦为切得1sin 2cos αα+=，然后利用同角三角函数关系求得33sin ,tan 54αα==，然后代入sin sin βα==计算可得.【详解】因为2tan cos αβ=，2tan tan 2αβ=，所以22sin 1tan tan 2cos tan αβαβα-==，又2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222αααααααα-===，所以1cos 1tan cos sin sin tan sin ααααααα---==，所以1cos cos sin ααα-=-，即1sin 2cos αα+=，又22sin cos 1αα+=，所以25sin 2sin 30αα+-=，又α为锐角，解得3sin 5α=，或sin 1α=-（舍去），所以43cos ,tan 54αα==，所以sin 5sin 6βα==.故答案为：5616.假设视网膜为一个平面，光在空气中不折射，眼球的成像原理为小孔成像.思考如下成像原理:如图，地面内有圆1O ，其圆心在线段MB 上，且与线段MB 交于不与,M B 重合的点A ，PM ⊥地面，且24BM PM ==，P 点为人眼所在处，视网膜平面与直线BM 垂直.过A 点作平面α平行于视网膜平面.科学家已经证明，这种情况下圆1O 上任意一点到P 点的直线与平面α交点的轨迹（令为曲线C ）为椭圆或圆，且由于小孔成像，曲线C 与圆1O 在视网膜平面上的影像是相似的，则当视网膜平面上的圆1O 的影像为圆时，圆1O 的半径r 为____________.当圆1O 的半径r 满足112r ≤≤时，视网膜平面上的圆1O 的影像的离心率的取值范围为____________.【答案】①.32②.26,23⎣⎦【解析】【分析】使用空间向量方法可以验证曲线C 的两条半轴（半长轴和半短轴，但顺序可能不对应）的长分别为2r和，然后根据题设求解.【详解】由于视网膜平面与直线BM 垂直，平面α平行于视网膜平面，故平面α与直线BM 垂直.设地面平面为β，则据已知条件有PM β⊥.从而在β内可过M 作MA 的垂线MD ，使得,,MA MD MP 可分别作为以M为原点的一个右手坐标系的,, x y z轴正方向.由已知有4BM=，2PM=，故()0,0,0M，()4,0,0B，()0,0,2P.而42MA MB AB r=-=-，故()42,0,0A r-.再由1O A r=，知()14,0,0O r-.由于平面α与直线BM垂直，即平面α与x轴垂直，从而平面α上每一点的坐标的x轴分量都是定值42r-.再根据点A在线段MB内部及4BM=，又有0424r<-<，得02r<<.此时，地面平面即平面xOy，故圆1O的方程为()2224x r y rz⎧+-+=⎪⎨=⎪⎩.据此可设圆1O上的一点Q的坐标为()4cos,sin,0r r t r t-+，故()4cos,sin,2PQ r r t r t=-+-.设直线PQ和平面的交点为R，则,,P Q R三点共线，且R的坐标的x轴分量是42r-.故()22sin424842,,4cos4cos4cosr r tr rPR PQ rr r t r r t r r t⎛⎫---==-⎪-+-+-+⎝⎭，这得到R的坐标为()()22sin21cos42,,4cos4cosr r t r trr r t r r t⎛⎫-+-⎪-+-+⎝⎭.设()22sin4cosr r tyr r t-=-+，()21cos4cosr tzr r t+=-+，则()222221682242r ry zrr r-⎛⎫⎛⎫⋅+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-()()22222242142r ry zrr r--⎛⎫=⋅+-⎪⎝⎭-()()()222168sin41cos14cos4cosr t tr r tr r t⎛⎫-+=+-⎪-+-+⎝⎭()()()()()()22221681cos4cos4cos4cosr t r t rr r t r r t---+=+-+-+()()()()()2221681cos 4cos 4cos r t r t r r r t --+-+=-+()()()()()22222168168cos 168cos 24cos 4cos r r t r r t r r t r r r t ---+-++-+=-+()()()222216824cos cos 4cos r r r r t r tr r t -++-+=-+()()224cos 4cos r r t r r t -+=-+1=.所以我们得到点R 的轨迹为()222224216821242x r r r y z r r r =-⎧⎪-⎛⎫⎛⎫⎨⋅+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-⎩.由此可知，曲线C 是位于平面α内，以42,0,2r r ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中心，半长轴和半短轴分别（顺序可能不对应）为2r22-=的椭圆（或者是圆，因为在二者相等时是圆）.而曲线C 和视网膜平面上的圆1O 的影像相似，故其中一个是圆当且仅当另一个是圆，且二者离心率相等.当曲线C 是圆时，有2r=12=，两边平方可得32r =.当112r ≤≤时，2r>=>，故和2r分别（顺序对应）是半长轴和半短轴的长，从而离心率e =再由112r≤≤,23⎣⎦.故答案为：32，26,23⎣⎦.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，利用已知的坐标，采取适当的配凑得到类似椭圆的方程，从而得到相应曲线的性质.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知抛物线C 的顶点是坐标原点O ，焦点是双曲线2241x y -=的右顶点.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线:l 2x y +=与抛物线相交于A 、B 两点，解决下列问题：（i ）求弦长AB ；（ii ）求证：OA OB ⊥.【答案】（1）22y x =；（2）（i）；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出双曲线右顶点，再求出抛物线的方程即得.（2）把直线l 的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合弦长公式及数量积的坐标表示求解即得.【小问1详解】双曲线2241x y -=，即22114x y -=，其右顶点为1(,0)2，则抛物线C 的焦点为1(,0)2，而抛物线C 的顶点是坐标原点O ，所以抛物线C 的方程：22y x =.【小问2详解】（i ）设211)1(,2A y y ，222)1(,2B y y ，由222y xx y ⎧=⎨=-+⎩消去x 得：2240y y +-=，则122y y +=-，124y y =-，于是12y y -==所以12AB y y =-==.（ii ）显然211)1(,2OA y y = ，222)1(,2OB y y = ，则221212121211(1)044OA OB y y y y y y y y ⋅=+=+= ，显然0,0OA OB ≠≠ ，即OA OB ⊥ ，所以OA OB ⊥.18.已知递增数列{}n a 和{}n b 分别为等差数列和等比数列，且113=a b ，422a b =，73a b =，126a b +=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若ln ln n nb n a ac b =，证明：1211nc c c n 迹+.【答案】（1）2n a n =+，13n n b -=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由等差和等比数列的性质结合题意列方程组，解出11,,,a d q b ，再由基本量法求出通项即可；（2）由对数的运算性质化简再简单放缩可得()11133log 32log 31n n n n n nc n ++-=+≤=+，最后利用累乘法可证明.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由题意可得：11112111133266a b a d b q a d b q a b q =⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，前两式化简后有1111131322a b a d b q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，由上述式子可得：()21111136322a a d a d ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，化简得：()()11930a d a d +-=，则19a d =-或13a d =，若19a d =-，可得1233b b b d ===-，数列{}n b 为常数列，故舍去；若13a d =，带入得3q =，又由116a b q +=，解得1d =，13a =，11b =，于是得到数列{}n a 的通项公式为2n a n =+，数列{}n b 的通项公式为13n n b -=.【小问2详解】由题可得()113ln log log 32ln n n a n nnb n n b b a ac a b +-===+，由于N n *∈时，()()113322310nn n ---+=-≥，则1332n n -³+（当且仅当1n =时取等号），所以()11133log 32log 31n n n n n nc n ++-=+≤=+，则121212311nn c c c n n 迹创即=++（当且仅当1n =时取等号）.所以1211n c c c n 迹+.19.如图，1111ABCD A B C D -为一个平行六面体，且12AB AD AA ===，1BAA ∠=23πBAD ∠=，13DAA π∠=.（1）证明：直线AB 与直线1AC 垂直；（2）求点1B 到平面ABCD 的距离；（3）求直线1AC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3（3）3【解析】【分析】（1）利用垂直关系的向量表示求1AB AC即可证明.（2）由已知条件得三棱锥1B ABC -为正四面体，再利用正四面体结构特征即可求解得到点1B 到平面ABCD 的距离.（3）由（1）可得1AC，再由（2）得点1C 到平面ABCD 的距离，进而可求出线面角的正弦值，再结合同角三角函数平方和为1求解余弦值即可.【小问1详解】由题可得111AC AC CC AB AD AA =+=++，所以()2111····AB AC AB AB AD AA AB AB AD AB AA =++=++ 2π2π422cos 22cos 033=+⨯+⨯=，则1AB AC ⊥，于是得证：1AB AC ⊥.【小问2详解】连接11,,AB CB AC ，则由题意可知1113DAA CBB ABC ABB π∠=∠=∠=∠=，且1AB BB BC ==，所以三棱锥1B ABC -为正四面体，所以由正四面体结构性质1B 在底面ABC 的投影O 在BG （G 为AC 中点）上，且1112333GO BO BG ====，所以1B O ⊥平面ABC ，且1263B O ==，即点1B 到平面ABCD 的距离为3.【小问3详解】设直线1AC 与平面ABCD 的夹角为θ，由于1111ABCD A B C D -为一个平行六面体，则点1C 到平面ABCD 的距离等于点1B 到平面ABCD 的距离为3d =，由（1）中11AC AB AD AA =++，得到：1AC === ，则1sin 3d AC θ== ，显然π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 3θ==.20.已知圆1:O 224x y +=，圆2:O ()221x y m +-=()01m ≤<，点P 为圆2O 上的一点.（1）若过P 点作圆2O 的切线l 交圆1O 于A 、B 两点，且弦AB长度最大值与最小值之积为m 的值；（2）当0m =时，圆1O 上有C 、D 两点满足PC PD ⊥，求线段CD 长度的最大值.【答案】（1）12（21【解析】【分析】（1）画出图形，得出AB =，进一步由三角形三边关系得出1O Q 的最值，由此即可顺利得解.（2）由三角形三边关系、直角三角形性质可得关于CD 的不等式，解不等式即可得解.【小问1详解】设AB 中点为Q 点，连接12O O 、1O Q 、2O Q 、2O P ，由01m ≤<，得12211O O <-=，则圆1O 内含圆2O ，由垂径定理得：AB =，1AB O Q ⊥，由切线l 可得2AB O P ⊥，可得112121O Q O P O P O O m ≤≤+=+（当且仅当直线AB 为1y m =+时都取等），12121121O Q O P O O O P O O m ≥-≥-=-（当且仅当直线AB 为1y m =-+时都取等），所以111m O Q m -≤≤+，于是=，解得12m =.【小问2详解】取CD 中点T ，连接1O T 、TP 、1O P .当0m =时，1O 和2O 重合，由于PC PD ⊥，则12PT CD =，而11112O T PT O P CD ≥-=-，221144O T CD +=，则22114142CD CD ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，解得：1CD ≤，当且仅当1O 在线段TP 上时取等，所以CD 1.21.请解决以下两道关于圆锥曲线的题目.（1）已知圆:M ()22224x y a ++=()02a <<，圆P 过点()2,0N 且与圆M 外切.设P 点的轨迹为曲线E .①已知曲线Γ:x yλ=()R λ∈与曲线E 无交点，求λ的最大值（用a 表示）；②若记（2）中题①的λ最大值为0λ，圆:Q ()2211x y -+=和曲线00Γ:x y λ=相交于A 、B 两点，曲线E 与x 轴交于K 点，求四边形OAKB 的面积的最大值，并求出此时a 的值.（参考公式：322223a b c abc ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，其中,,0a b c >，当且仅当a b c ==时取等号）（2）如图，椭圆:C 22221x y a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F 、2F ，其上动点M 到1F 的距离最大值和最小值之积为1，且椭圆C 的离心率为2.①求椭圆C 的标准方程；②已知椭圆C 外有一点P ，过P 点作椭圆C 的两条切线，且两切线斜率之积为12-.是否存在合适的P 点，使得123F PF π∠=？若存在，请写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1；②四边形OAKB 的面积的最大值为839，实数a的值为3（2）①2214x y +=；②不存在P 点使得123F PF π∠=，理由见解析【解析】【分析】（1）①根据已知条件求出点P 的轨迹方程E ，再将两个曲线无交点转化为对应的方程组无解即可.②根据已知条件求出,A B 两点坐标，表示出所求四边形的面积结合参考的不等式求解即可.（2）①根据焦点弦的范围和离心率列方程组求解即可.②由点P 和椭圆关系可以求出点P 的轨迹方程；再根据123F PF π∠=也以确定点所在圆弧的轨迹方程；根据联立两个方程有没有解来判断是否存在这样的点P 即可.【小问1详解】由圆P 过点()2,0N 且与圆M 外切可得：2P P M P ON R OM R R R a ⎧=⎪⎨=+=+⎪⎩，所以有24OM ON a MN -=<=，则点P 的轨迹为以M 、N 为左右焦点，实轴长为2a 的双曲线右支，所以曲线:E 222214x y a a-=-()0x >.①显然，当0λ≤时，曲线Γ与曲线E 无交点，当0λ>时，()222Γ:Γ:0x y x y x λλ=⇔=≥，于是令2222222014x x y a a x y λ>⎧⎪⎪-=⎨-⎪=⎪⎩，得222241a a x λ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，若该方程在()0,∞+上无实数解，则22240a a λ--≤，解得λ≤所以λ.②将0λ=曲线00Γ:x y λ=得：曲线0Γ:x =22224a x y a ⇔=-()0x ≥，不妨令()222222411a x y a x y ⎧=⎪-⎨⎪-+=⎩，得0x =或212a ，于是212A B x x a ==，则四边形OAKB的面积12OAKB S a ==根据参考公式将该式化为32222228283269OAKB a a a S a ⎛⎫⎛⎫++-=≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2a =取等号，解得263a =或3-，负值舍去）所以四边形OAKB 的面积的最大值为839，此时实数a 的值为263.【小问2详解】①由焦点弦取值范围1a c MF a c -≤≤+，离心率c e a =得：()()21c a a c a c ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得：21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.②设00(,)P x y ，过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，由对称性不妨令00≥y ，()220014x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消元得()()()2220000418440k x k y kx x y kx ++-+--=，令Δ0=，化简得：()()22200004210x k x y k y --+-=，由于两切线斜率之积为12-，则202020401142x y x ⎧-≠⎪-⎨=-⎪-⎩，化简得：2200163x y +=()02x ≠±，由于123F PF π∠=，则点P 在以12F F 为弦所对圆心角为23π的圆的优弧 12F F 上，当00≥y 时，易得该圆的方程为()2214x y +-=，不妨令()22221631420x y x y x y ⎧+=⎪⎪⎪+-=⎨⎪≠±⎪⎪≥⎩，解得该方程组无实数解，则当00≥y 时，不存在P 点使得123F PF π∠=，由对称性可知，当00≤y 时也不存在P 点使得123F PF π∠=，综上，不存在P 点使得123F PF π∠=.。

四川省成都市2017-2018学年高二上学期期末调研考试数学(理)试题含解析

四川省成都市2017-2018学年高二上学期期末调研考试数学(理)试题含解析

四川省成都市2017-2018学年高二上学期期末调研考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】抛物线,满足，所以，则.所以准线方程是.故选A.2. 从某中学甲班随机抽取9名男同学测量他们的体重（单位：kg），获得体重数据如茎叶图所示，对这些数据，以下说法正确的是（）A. 中位数为62B. 中位数为65C. 众数为62D. 众数为64【答案】C【解析】∵由茎叶图得到所有数据从小到大排为∴中位数为，众数为故选C3. 命题“”的否定是（）A. 不存在B.C. D.【答案】D【解析】命题的否定是故选D4. 容量为100的样本，其数据分布在，将样本数据分为4组：，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是（）A. 样本数据分布在的频率为0.32B. 样本数据分布在的频数为40C. 样本数据分布在的频数为40D. 估计总体数据大约有10%分布在【答案】D【解析】总体数据分布在的概率为故选D5. “”是“为椭圆方程”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若表示椭圆，则，且∴或者故是为椭圆方程的必要不充分条件故选B6. 已知函数，若在上随机取一个实数，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令得，即，由几何概型性质可知概率故选D7. 在平面内，已知两定点间的距离为2，动点满足.若，则的面积为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知点的轨迹为椭圆，且∵∴为等边三角形，边长为∴的面积为故选B8. 在2017年3月15日，某物价部门对本市5家商场某商品一天的销售额及其价格进行调查，5家商场的价格与销售额之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售额与价格之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是，则（ ）A.B. 35.6C. 40D. 40.5【答案】C【解析】由题可知∵∴故选C点睛：本题看出回归分析的应用，本题解题的关键是求出样本中心点，根据样本中心点代入求出的值，本题是一个基础题；求回归直线方程的一般步骤：①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系；②求回归系数；③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明.9. 已知双曲线：的左焦点为，右顶点为，过点且垂直于轴的直线与双曲线相交于不同的两点.若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】双曲线右顶点为，左焦点为，，过点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，则∵若为锐角三角形，只要为锐角，即∴，即即∴故选A点睛：解决双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10. 阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】执行程序：；；；；，共执行了5次循环体，结束循环，所以.故选D.11. 已知椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，若点满足且，则的最小值为（）A. 3B.C.D. 1【答案】C【解析】根据题意得：,又因为.所以.故选C.12. 设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于不同的两点，与抛物线的准线相交于点，且.记与的面积分别为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】抛物线的焦点为F(,0),准线方程为x=−,分别过A. B作准线的垂线，垂足分别为D.E，连结AD、BE、AF.genju设,直线AB的方程为,与联立消去y，得,所以，∵|BF|=2,∴根据抛物线的定义,得|BF|=|BE|=+=3,解得=.由此可得,所以|AD|=+=，∵△CAD中,BE∥AD,∴.故选：A.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出,本题就是由韦达定理得到；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若直线为双曲线的一条渐近线，则______.【答案】1【解析】∵双曲线∴∴渐近线方程为∵直线为双曲线的一条渐近线∴故答案为114. 某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数为_______.【答案】150【解析】试题分析：该校教师人数为2400×(人)．考点：分层抽样方法.15. 如图所示的程序框图的算法思路源于宋元时期数学名著《算法启蒙》中的“松竹并生”问题.若输入的的值分别为7，3，则输出的的值为_______.【答案】3【解析】输入进入循环，，不满足执行循环，，不满足执行循环，，满足，输出故答案为316. 若经过坐标原点的直线与圆相交于不同的两点，则弦的中点的轨迹方程为_______.【答案】【解析】设当直线l的方程为，与圆联立方程组,消去y可得：，由,可得.由韦达定理,可得，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为,其中，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：,其中.故答案为：.点睛：求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 甲袋中有1只黑球，3只红球；乙袋中有2只黑球，1只红球.（1）从甲袋中任取两球，求取出的两球颜色不相同的概率；（2）从甲、乙两袋中各取一球，求取出的两球颜色相同的概率.【答案】（1）（2）.【解析】试题分析：（1）先求出取出两球的种数，再根据分类和分步计数原理求出一只黑球一只红球的种数，根据概率公式计算即可；（2）分为同是黑色，红色，根据分类和分步计数原理即可求出取得两球颜色相同的种数，根据概率公式计算即可．试题解析：（1）将甲袋中的1只黑球，3只红球分别记为.从甲袋中任取两球，所有可能的结果有共6种.其中两球颜色不相同的结果有共3种.记“从甲袋中任取两球，取出的两球的颜色不相同”为事件，则∴从甲袋中任取两球，取出的两球的颜色不相同的概率为.（2）将甲袋中的1只黑球，3只红球分别记为，将乙袋中的2只黑球，1只红球分别记为从甲、乙两袋中各取一球的所有可能结果有共12种.其中两球颜色相同的结果有共5种记“从甲、乙两袋中各取一球，取出的两球的颜色相同”为事件，则∴从甲、乙两袋中各取一球，取出的两球的颜色相同的概率为.18. 已知命题：若关于的方程无实数根，则；命题：若关于的方程有两个不相等的正实根，则.（1）写出命题的否命题，并判断命题的真假；（2）判断命题“且”的真假，并说明理由.【答案】（1）命题为真命题（2）命题“且”为真命题... .............试题解析：（1）解：命题的否命题：若关于的方程有实数根，则或.∵关于的方程有实根∴∵，化简，得，解得或.∴命题为真命题.（2）对于命题：若关于的方程无实数根，则化简，得，解得.∴命题为真命题.对于命题：关于的方程有两个不相等的正实根，有，解得∴命题为真命题∴命题“且”为真命题.19. 阅读如图所示的程序框图，解答下列问题：（1）求输入的的值分别为时，输出的的值；（2）根据程序框图，写出函数（）的解析式；并求当关于的方程有三个互不相等的实数解时，实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）.【解析】试题分析：（1）根据输入的的值为时，输出结果；当输入的的值为2时，输出结果；（2）根据程序框图，可得，结合函数图象及有三个互不相等的实数解即可求出实数的取值范围.试题解析：（1）当输入的的值为时，输出的；当输入的的值为2时，输出的（2）根据程序框图，可得当时，，此时单调递增，且；当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，且.结合图象，知当关于的方程有三个互不相等的实数解时，实数的取值范围为.20. 已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线：相交于不同的两点，与抛物线的准线相交于不同的两点，且.（1）求抛物线的方程；（2）若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点，且满足.证明直线过轴上一定点，并求出点的坐标.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）由，得两点所在的直线方程为，进而根据长度求得；（2）设直线的方程为，与抛物线联立得，由得，进而利用韦达定理求解即可.试题解析：（1）由已知，，则两点所在的直线方程为则，故∴抛物线的方程为.（2）由题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，.联立消去，得.∴，，，∵，∴又，∴∴解得或而，∴（此时）∴直线的方程为，故直线过轴上一定点.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 一网站营销部为统计某市网友2017年12月12日在某网店的网购情况，随机抽查了该市60名网友在该网店的网购金额情况，如下表：若将当日网购金额不小于2千元的网友称为“网购达人”，网购金额小于2千元的网友称为“网购探者”.已知“网购达人”与“网购探者”人数的比例为2：3.（1）确定的值，并补全频率分布直方图；（2）试根据频率分布直方图估算这60名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位数；若平均数和中位数至少有一个不低于2千元，则该网店当日被评为“皇冠店”，试判断该网店当日能否被评为“皇冠店”.【答案】(1)见解析（2）见解析【解析】试题分析：(1)由频数之和为，“网购达人”与“网购探者”人数的比例为2：3，列出关于的方程组，由此能求出的值，并补全频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图分别计算平均数和中位数，再与题设条件做比较，即可判断.试题解析：(1)由题意，得化简，得，解得∴补全的频率分布直方图如图所示：（2）设这60名网友的网购金额的平均数为，则（千元）又∵，，∴这60名网友的网购金额的中位数为1.5+0.3=1.8（千元）∵平均数，中位数，∴根据估算判断，该网店当日不能被评为“皇冠店”.22. 已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比值为常数，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若直线：与曲线相交于不同的两点，直线：（）与曲线相交于不同的两点，且.求以为顶点的凸四边形的面积的最大值.【答案】（1）（2）4.【解析】试题分析：（1）设，根据题意，动点的轨迹为集合，得，化简求解即可；（2）联立消去，得，利用两点距离公式及韦达定理求得，同理可得，由得，设两平行线间的距离为，代入求解即可.试题解析：（1）设，动点到直线：的距离为，根据题意，动点的轨迹为集合由此，得化简，得∴曲线的方程为.（2）设联立消去，得.∴，∴，同理可得∵，∴又，∴由题意，以为顶点的凸四边形为平行四边形设两平行线间的距离为，则∵，∴则∵（当且仅当时取等号，此时满足），∴四边形的面积的最大值为4.。

四川省成都市2020学年高二数学上学期期末调考模拟试题试卷(3)

四川省成都市2020学年高二数学上学期期末调考模拟试题试卷(3)

成都市2020高二（上期）调考模拟题(三)(内容：必修2 第一章 第二章 第四章4.3 选修2-1 第二章、第三章 必修3第一章)班级 姓名 学号 一、选择题1. 四进制数201(4)表示的十进制数的是 ( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．34 2. [2020·北京文5] 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )A ．32B ．16＋16 2C ．48D ．16＋32 2 3. 若{a 、b 、c }为空间的一组基底， 则下列各项中，能构成基底的 一组向量是 ( )A ．a ，a ＋b ，a －bB ．b ，a ＋b ，a －bC ．c ，a ＋b ，a －bD ．a ＋b ，a －b ，a ＋2b 4. （2020浙江理（4））下列命题中错误的是（ ）（A ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β（C ）如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面 （D ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5. 双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切， 则r=（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）3 （D ）66. (2020·福建理6)如图，若Ω是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是 ( ) A ．EH ∥FG B ．四边形EFGH 是矩形 C ．Ω是棱柱 D ．Ω是棱台7. 已知E 、F 分别为正四面体ABCD 棱AD 、BC 的中点，则异面直线AC 与EF 所成的角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°8. [2020·北京卷6.] 执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9. 设22,,26,x y x y x y ∈+=+R 则的最小值是 （ ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-10. （06年全国I ）抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 A ．43 B ．75 C ．85D ．3 11. 已知PA ，PB ，PC 是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60º，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为（ ）A ．123 6 312. （08全国二11）设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=o，则以A B ，为焦点且过点C的双曲线的离心率为（ ） A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+二、填空题13. 已知向量(1,1,0),(1,0,2)a b ==r r，a r 在b r 方向上的投影是____________.14. 右边程序执行后输出的结果是________．i ＝11s ＝1DOs ＝s*ii ＝i －1LOOP UNTIL i ＜9PRINT s END15. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．16. 过椭圆14922=+y x 内一点M (2,0)引椭圆的动弦AB , 则弦AB 的中点N 的轨迹方程是 . 三、解答题17. (2020·全国课标)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高． (1)证明：平面PAC ⊥平面PBD ；(2)若AB ＝6，∠APB ＝∠ADB ＝60°，求四棱锥P －ABCD 的体积．18.(07安徽文18）设F是抛物线G:x2=4y的焦点.（Ⅰ）过点P（0，- 4）作抛物线G的切线，求切线方程：（Ⅱ）设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足0· ,延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值.19. 如图4，在直角梯形ABCD 中，AD=DC,90ABC DAB ∠=∠=°．30CAB ∠=°，1BC =，把DAC ∆沿对角线AC 折起后如图5所示 (点D 记为点P )．点P 在平面ABC 上的正投影E 落在线段AB 上，连接PB ． (1) 求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小；(2) 求二面角P AC B --的大小的余弦值．20. 直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B.（I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.高2020级高二期末综合复习(三)(内容：必修2 第一章 第二章 第四章4.3 选修2-1 第二章、第三章 必修3第一章)班级 姓名 学号 一、选择题（12×5=60）1. 四进制数201(4)表示的十进制数的是( C ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．34 2. [2020·北京文5] 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( B )A ．32B ．16＋16 2C ．48D ．16＋32 2 3. 若{a 、b 、c }为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是 ( ) A ．a ，a ＋b ，a －b B ．b ，a ＋b ，a －b C ．c ，a ＋b ，a －b D ．a ＋b ，a －b ，a ＋2b解析：若c 、a ＋b 、a －b 共面，则c ＝λ(a ＋b )＋m (a －b )＝(λ＋m )a ＋(λ－m )b ，则a 、b 、c为共面向量，此与{a 、b 、c }为空间向量的一组基底矛盾，故c ，a ＋b ，a －b 可构成空间 向量的一组基底． 答案：C4. （2020浙江理（4））下列命题中错误的是（ D ）（A ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β（C ）如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面 （D ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5. （2020全国卷Ⅱ文）双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r=（ A ） （A ）3 （B ）2 （C ）3 （D ）66. (2020·福建理6)如图，若Ω是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是 ( D ) A ．EH ∥FG B ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台 7. 已知E 、F 分别为正四面体ABCD 棱AD 、BC 的中点，则异面直线AC 与EF 所成的角为 ( B ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 8. [2020·北京卷6.] 执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】C 第一步，P ＝1＋1＝2，S ＝1＋12＝32；第二步，P ＝2＋1＝3，S ＝32＋13＝116； 第三步，P ＝3＋1＝4，S ＝116＋14＝2512>2，输出P ＝4，故选C. 9. 设22,,26,x y x y x y ∈+=+R 则的最小值是（ C ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-10. （06年全国I ）抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是A ．43 B ．75 C ．85D ．3 抛物线上任意一点（t ，2t -）到直线的距离22|438||348|55t t t t d ---+==。

四川省成都市2019-2020学年高二上学期期末调研考试数学(理)试题及答案

四川省成都市2019-2020学年高二上学期期末调研考试数学(理)试题及答案

成都市2019~2020学年度上期期末高二年级调研考试数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分：第Ⅰ卷（选择题）1至3页，第Ⅱ卷（非选择）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某同学在7天内每天阅读课外书籍的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图所示，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数。

则该同学这7天每天阅读课外书籍的时间（单位：分钟）的中位数为（ ） A.72 B.74 C.75 D.762.命题“x ∀∈R ，220x x ++>”的否定是（ ）A. 0x ∃∈R ，20020x x ++B. 0x ∃∈R ，20020x x ++<C. 0x ∃∈R ，20020x x ++>D. x ∀∈R ，220x x ++≤3.双曲线2219y x −=的渐近线方程为（ ） A. 19y x =± B. 13y x =± C. 3y x =± D. 9y x =±4.在空间直角坐标系Oxyz 中，y 轴上一点M 到点P （1，0，2）和点Q （1，-3，1）的距离相等，则点M 的坐标为(A.（0，-2，0）B.（0，-1，0）C.（0，1，0）D.（0，2，0）5.圆22(3)(4)16x y +++=与圆224x y +=的位置关系为（ ） A.相离 B.内切 C.外切 D.相交6.如图是统计某样本数据得到的频率分布直方图.已知该样本容量为300，根据此样本的频率分布直方图，估计样本数据落在[10，18）内的频数为（ ）A.36B.48C.120D.1447.若m 为实数，则“12m <<”是“曲线C ：2212x y m m +=−表示双曲线”的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件8.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待时间不多于15分钟的概率为（ ） A.14 B. 13 C. 23 D. 349.某校学生会为了解高二年级600名学生课余时间参加中华传统文化活动的情况（每名学生最多参加7场）.随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：则以下四个结论中正确的是（ ） A.表中m 的数值为10B.估计该年级参加中华传统文化活动场数不高于2场的学生约为108人C.估计该年级参加中华传统文化活动场数不低于4场的学生约为216人D.若采用系统抽样方法进行调查，从该校高二600名学生中抽取容量为30的样本，则分段间隔为1510.设点A （4，5），抛物线28x y =的焦点为F ，P 为抛物线上与直线AF 不共线的一点，则△PAF 周长的最小值为（ ）A.18B.13C.12D.711.某中学在每年的春节后都会组织高一学生参加植树活动.为保证树苗的质量，在植树前都会对树苗进行检测.现从某种树苗中随机抽测了10株树苗，测量出的高度i x （i=1，2，3，…，10）（单位：厘米）分别为37，21，31，20，29，19，32，23，25，33.计算出抽测的这10株树苗高度的平均值27x =，将这10株树苗的高度i x 依次输入程序框图进行运算，则输出的S 的值为（ ）A.25B.27C.35D.3712.设椭圆C ：222149x y b +=（0<b<7）的左，右焦点分别为1F ，2F ，经过点1F 的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点若212MF F F =，且174||MF MN =，则椭圆C 的短轴长为（ ）A.5B.C.10D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.一支田径队共有运动员112人，其中有男运动员64人，女运动员48人.采用分层抽样的方法从这支田径队中抽出一个容量为28的样本，则抽出的样本中女运动员的人数为________.14.同时投掷两枚质地均匀的骰子，则这两枚骰子向上点数之和为5的概率是________.15.某射击运动员在一次训练中连续射击了两次。

四川省成都市2020-2021学年高二上学期期末调研考试数学(理)试题

四川省成都市2020-2021学年高二上学期期末调研考试数学(理)试题

四川省成都市2020-2021学年高二上学期期末调研考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．抛物线28y x =的准线方程是（ ）A ．2x =-B ．4x =-C ．2y =-D ．4y =-2．从某中学甲班随机抽取9名男同学测量他们的体重(单位：kg)，获得体重数据如茎叶图所示，对这些数据，以下说法正确的是A ．中位数为62B ．中位数为65C ．众数为62D ．众数为643．命题“0200,2x x R x ∃∈≤”的否定是 A ．不存在0200,2x x R x ∈>B ．0200,2x x R x ∃∈>C ．2(100)(80)7644x x x --+=D ．2,2x x R x ∀∈>4．容量为100的样本，其数据分布在[2]18,，将样本数据分为4组：[2,6),[6,10),[10,14),[14,18]，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是（ ）A ．样本数据分布在[6,10)的频率为0.32B ．样本数据分布在[10,14)的频数为40C ．样本数据分布在[2,10)的频数为40D ．估计总体数据大约有10%分布在[10,14)5．“46k <<”是“22164x y k k +=--为椭圆方程”是( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数2()log (3)f x x =+，若在[2,5]-上随机取一个实数0x ，则0()1f x ≥的概率为（ ） A ．37B ．47C ．57D ．677．在平面内，已知两定点,A B 间的距离为2，动点P 满足||||4PA PB +=.若060APB ∠=，则APB ∆的面积为A ．2B C ．D ．8．在2021年3月15日，某物价部门对本市5家商场某商品一天的销售额及其价格进行调查，5家商场的价格x 与销售额y 之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售额y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是3.2ˆˆy x a =-+，则ˆa =（ ）A ．24-B ．35.6C ．40D ．40.59．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，右顶点为E ，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线C 相交于不同的两点,A B ，若ABE ∆为锐角三角形，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(2,3]D ．[2,3)10．阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中a 的取值范围是( )A ．56a ≤≤B ．56a <<C ．56a <≤D ．56a ≤<11．已知椭圆22:11612x y C +=的右焦点为F ，点(),P x y 在椭圆C 上.若点Q 满足1QF =且0QP QF ⋅=，则PQ 的最小值为( )A ．3B ．125CD ．112．设抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过点()2,0M 的直线与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，与抛物线C 的准线相交于N 点，且3BF =，记ANF 与BNF 的面积分别为1S ，2S ，则12S S =( ) A ．710B ．45C ．47D ．23二、填空题13．若直线()0y kx k =>为双曲线221x y -=的一条渐近线，则k =____________. 14．我校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 . 15．如图所示的程序框图的算法思路源于宋元时期数学名著《算法启蒙》中的“松竹并生”问题.若输入的a ，b 的值分别为7，3，则输出的n 的值为____________.16．若经过坐标原点O 的直线l 与圆22430x y y +-+=相交于不同的两点A ，B ，则弦AB 的中点M 的轨迹方程为____________.三、解答题17．甲袋中有1只黑球，3只红球；乙袋中有2只黑球，1只红球. (1)从甲袋中任取两球，求取出的两球颜色不相同的概率； (2)从甲，乙两袋中各取一球，求取出的两球颜色相同的概率.18．已知命题p ：若关于x 的方程x 2＋2mx －4m －3＝0无实数根，则－3＜m ＜－1；命题q ：若关于x 的方程x 2＋tx ＋1＝0有两个不相等的正实数根，则t ＜－2. (1)写出命题p 的否命题r ，并判断命题r 的真假； (2)判断命题“p 且q”的真假，并说明理由． 19．阅读如图所示的程序框图，解答下列问题：(Ⅰ)求输入的x 的值分别为1-，2时，输出的()f x 的值．(Ⅱ)根据程序框图，写出函数()()f x x R ∈的解析式，并求当关于x 的方程()0f x k -=有三个互不相等的实数解时，实数k 的取值范围．20．已知以坐标原点O 为圆心的圆与抛物线C ：22(0)y px p =>相交于不同的两点,A B ，与抛物线C 的准线相交于不同的两点,D E ，且4AB DE ==.（1）求抛物线C 的方程；（2）若不经过坐标原点O 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点,M N ，且满足OM ON ⊥.证明直线l 过x 轴上一定点Q ，并求出点Q 的坐标.21．一网站营销部为统计某市网友2021年12月12日在某网店的网购情况，随机抽查了该市60名网友在该网店的网购金额情况，如下表：若将当日网购金额不小于2千元的网友称为“网购达人”，网购金额小于2千元的网友称为“网购探者”.已知“网购达人”与“网购探者”人数的比例为2：3.（1）确定,,,x y p q 的值，并补全频率分布直方图；（2）试根据频率分布直方图估算这60名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位数；若平均数和中位数至少有一个不低于2千元，则该网店当日被评为“皇冠店”，试判断该网店当日能否被评为“皇冠店”.22．已知动点M 到定点()F 的距离和它到直线:3m x =-M 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)若直线11:l y kx t =+与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，直线()2212:l y kx t t t =+≠与曲线C 相交于不同的两点D ，E ，且AB DE =，求以A ，B ，D ，E 为顶点的凸四边形的面积S 的最大值.参考答案1．A【解析】抛物线28y x =,满足22y px =，所以4p =，则22p=. 所以准线方程是22px =-=-. 故选A. 2．C 【解析】∵由茎叶图得到所有数据从小到大排为53,55,62,62,64,65,71,72,73 ∴中位数为64，众数为62 故选C 3．D 【解析】 命题0200,2x x R x ∃∈≤的否定是2,2x x R x ∀∈>故选D 4．D 【分析】根据频率分布直方图对给出的四个选项逐一分析、判断后可得结果． 【详解】对于A ，由图可得样本数据分布在[)6,10的频率为0.0840.32⨯=，所以A 正确． 对于B ，由图可得样本数据分布在[)10,14的频数为()1000.1440⨯⨯=，所以B 正确． 对于C ，由图可得样本数据分布在[)2,10的频数为()1000.020.08440⨯+⨯=，所以C 正确.对于D ，由图可估计总体数据分布在[)10,14的比例为0.140.440%⨯==，故D 不正确． 故选D ． 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查识图和用图解题的能力，解题时容易出现的错误是误认为图中小长方形的高为频率，求解时要注意这一点．5．B 【解析】若22164x y k k +=--表示椭圆，则60,40k k ->->，且64k k -≠- ∴45k <<或者56k故46k <<是22164x y k k +=--为椭圆方程的必要不充分条件故选B 6．D 【解析】令()1f x ≥得32x +≥，即1x ≥-，由几何概型性质可知概率()()516527P --==-- 故选D 7．B 【解析】在平面内，已知两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足4PA PB +=， 所以动点P 在以A,B 为焦点的椭圆上，其中24,22,2,1a c a c ==∴== 由余弦定理可得：22222()3AB PA PB PAPB cos APB PA PB PAPB =+-∠=+-，整理得:4163PA PB =-，解得：4PAPB =.则APB 的面积为11422PAPBsin APB ∠=⨯=故选B. 8．C 【解析】 由题可知89.51010.512105x ++++==121086485y ++++==∵ 3.2ˆy x a=-+ ∴ 3.2 3.2ˆ10840ax y =+=⨯+= 故选C点睛：本题看出回归分析的应用，本题解题的关键是求出样本中心点，根据样本中心点代入求出ˆa的值，本题是一个基础题；求回归直线方程的一般步骤：①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系；②求回归系数；③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明. 9．A 【解析】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右顶点为E ，左焦点为F ，EF a c =+，过点F 作垂直于x 轴的直线与双曲线相交于,A B 两点，则212b AB a= ∵若EAB ∆为锐角三角形，只要FEA ∠为锐角，即12AB EF < ∴2b a c a<+，即222c a a ac -<+即220e e --< ∴()1,2e ∈ 故选A点睛：解决双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 10．D 【解析】 执行程序：0,1,01,2,2S i S i a ===+=≤； 3,3,3S i a ==≤； 6,44S i a ==≤，；10,5,5S i a ==≤； 15,6,6S i a ==>，共执行了5次循环体，结束循环，所以56a ≤<. 故选D. 11．C 【解析】根据题意得：()2,0F ,由0QP QF ⋅=，得QP QF ⊥，所以PQ PF ==又因为422PF ≥-=.所以4PQ ≥-=故选C. 12．A 【解析】抛物线22y x =的焦点为F (12,0),准线方程为x =−12, 分别过A . B 作准线的垂线，垂足分别为D .E ，连结AD 、BE 、AF .genju设()()1122,,A x y B x y 、、,直线AB 的方程为()2y k x =-,与22y x =联立消去y ，得()22224240k x k x k -++=,所以212122424k x x x x k++==，，∵|BF |=2,∴根据抛物线的定义,得|BF |=|BE |=2x +12=3,解得2x =52. 由此可得12485x x ==,所以|AD |=1x +12=2110， ∵△CAD 中,BE ∥AD ,∴1221710310S AN AD S BN BE ====.故选A.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若()00,P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02pPF x =+；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出,本题212y y p =-就是由韦达定理得到；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 13．1 【解析】∵双曲线221x y -= ∴1,1a b == ∴渐近线方程为by x x a=±=± ∵直线(0)y kx k =>为双曲线221x y -=的一条渐近线∴1k = 故答案为1 14．150 【解析】试题分析：该校教师人数为2400×160150160-＝150(人)．考点：分层抽样方法. 15．3 【解析】输入7,3,1a b n ===进入循环，21,2622a a ab b =+===，不满足a b ≤ 执行循环，6312,,21224a n n a ab b =+==+===，不满足a b ≤ 执行循环，18913,,22428a n n a ab b =+==+===，满足a b ≤，输出3n = 故答案为316．()2231122x y y ⎛⎫+-=<≤⎪⎝⎭【解析】设当直线l 的方程为()()1122,,y kx A x y B x y =、、， 与圆联立方程组,消去y 可得：()221430k xkx +-+=，由()22164130k k=-+⨯>,可得23k>.由韦达定理,可得12241kx x k +=+， ∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的参数方程为2222121k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,其中23k >， ∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为：()2211x y +-=,其中322y <≤. 故答案为()22311(2)2x y y +-=<≤. 点睛：求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0． （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．（4）代入(相关点)法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而运动，常利用代入法求动点P (x ，y )的轨迹方程．17．(1) 从甲袋中任取两球，取出的两球颜色不相同的概率为12;(2) 从甲，乙两袋中各取一球，取出的两球颜色相同的概率为512. 【解析】试题分析：（1）先求出取出两球的种数，再根据分类和分步计数原理求出一只黑球一只红球的种数，根据概率公式计算即可；（2）分为同是黑色，红色，根据分类和分步计数原理即可求出取得两球颜色相同的种数，根据概率公式计算即可．试题解析：（1）将甲袋中的1只黑球，3只红球分别记为123,,,a b b b .从甲袋中任取两球，所有可能的结果有{}{}{}{}{}{}123121323,,,,,,,,,,,a b a b a b b b b b b b 共6种.其中两球颜色不相同的结果有{}{}{}123,,,,,a b a b a b 共3种.记“从甲袋中任取两球，取出的两球的颜色不相同”为事件A ，则()3162P A == ∴从甲袋中任取两球，取出的两球的颜色不相同的概率为12. （2）将甲袋中的1只黑球，3只红球分别记为123,,,a b b b ，将乙袋中的2只黑球，1只红球分别记为121,,A A B 从甲、乙两袋中各取一球的所有可能结果有{}{}{}{}{}{}121111211,,,,,;,,,,,;a A a A a B b A b A b B{}{}{}212221,,,,,;b A b A b B {}{}{}313231,,,,,b A b A b B 共12种.其中两球颜色相同的结果有{}{}{}{}{}12112131,,,,,,,,,a A a A b B b B b B 共5种 记“从甲、乙两袋中各取一球，取出的两球的颜色相同”为事件B ，则()512P B = ∴从甲、乙两袋中各取一球，取出的两球的颜色相同的概率为512. 18．（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）若命题p 为真命题，解得实数m 的取值范围，对其求补集.（2）命题“p 且q”为真，需要p ，q 都是真命题，当p ，q 一真一假或都假时，则“p 且q”为假．【详解】(1)命题p 的否命题r ：若关于x 的方程x 2＋2mx －4m －3＝0有实数根，则m≤－3或m≥－1.∵关于x 的方程x 2＋2mx －4m －3＝0有实数根，∴Δ≥0.∵Δ＝(2m)2－4×(－4m －3)＝4m 2＋16m ＋12≥0，化简，得m 2＋4m ＋3≥0. 解得m≤－3或m≥－1. ∴命题r 为真命题．(2)对于命题p ：若关于x 的方程x 2＋2mx －4m －3＝0无实数根， 则Δ＝(2m)2－4×(－4m －3)＝4m 2＋16m ＋12＜0. 化简，得m 2＋4m ＋3＜0.解得－3＜m ＜－1. ∴命题p 为真命题．对于命题q ：关于x 的方程x 2＋tx ＋1＝0有两个不相等的正实数根，有240t t ⎧->⎨->⎩，解得t＜－2.∴命题q 为真命题． ∴命题“p 且q”为真命题． 【点睛】本题考查四种命题关系及复合命题真假的判断，属于基础题. 19．（1）见解析（2）(0,1). 【解析】试题分析：（1）根据框图中条件语句，判断变量执行哪个函数，计算求解即可；（2）由框图可知()22,02,021,0x x f x x x x x ⎧<⎪==⎨⎪-+>⎩，分析分段函数的单调性，进而可得解. 试题解析：(1)当输入的x 的值为1-时，输出的()1122f x -==. 当输入的x 的值为2时，输出的()222211f x =-⨯+=.(2)根据程序框图，可得()22,02,021,0x x f x x x x x ⎧<⎪==⎨⎪-+>⎩， 当0x <时，()2xf x =，此时()f x 单调递增，且()01f x <<；当0x =时，()2f x =；当0x >时，()()22211f x x x x =-+=-在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，且()0f x ≥.结合图象，知当关于x 的方程()0f x k -=有三个不同的实数解时，实数k 的取值范围为()0,1.20．（1）24y x =；（5.2) 直线l 过定点()4,0Q .【解析】试题分析：（1）由AB DE =，得,A B 两点所在的直线方程为2px =，进而根据长度求得p ；（2）设直线l 的方程为()0x my n n =+≠，()()1122,,,M x y N x y ，与抛物线联立得2440y my n --=，由OM ON ⊥得12120x x y y +=，进而利用韦达定理求解即可.试题解析：（1）由已知，4AB DE ==，则,A B 两点所在的直线方程为2p x = 则24AB p ==，故2p = ∴抛物线C 的方程为24y x =.（2）由题意，直线l 不与y 轴垂直，设直线l 的方程为()0x my n n =+≠，()()1122,,,M x y N x y .联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩消去x ，得2440y my n --=.∴216160m n ∆=+>，124y y m +=，124y y n =-，∵OM ON ⊥，∴12120x x y y +=又2211224,4y x y x ==，∴22121216y y x x =∴222121212124016y y x x y y y y n n +=+=-=解得0n =或4n =而0n ≠，∴4n =（此时216160m n ∆=+>） ∴直线l 的方程为4x my =+， 故直线l 过x 轴上一定点()4,0Q .点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 21．(1)见解析（2）见解析 【解析】试题分析：(1)由频数之和为60，“网购达人”与“网购探者”人数的比例为2：3，列出关于,x y 的方程组，由此能求出,,,x y p q 的值，并补全频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图分别计算平均数和中位数，再与题设条件做比较，即可判断.试题解析：(1)由题意，得3915186018239153x y y x +++++=⎧⎪+⎨=⎪+++⎩化简，得1523x y x y+=⎧⎨=⎩，解得9,6x y == ∴0.15,0.1p q ==补全的频率分布直方图如图所示：（2）设这60名网友的网购金额的平均数为x ，则0.250.050.750.15 1.250.15 1.750.25 2.250.3 2.750.1 1.7x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（千元）又∵0.050.150.150.35++=，0.150.30.5=， ∴这60名网友的网购金额的中位数为1.5+0.3=1.8（千元） ∵平均数1.72<，中位数1.82<，∴根据估算判断，该网店当日不能被评为“皇冠店”.22．（1）曲线C 的方程为2214x y +=；（2）四边形ABDE 的面积S 的最大值为4. 【解析】试题分析：（1）设(),M x y ，根据题意，动点M的轨迹为集合{|MF P M d==，=，化简求解即可；（2）联立122440y kx t x y =+⎧⎨+-=⎩消去y ，得()22211148440k x kt x t +++-=，利用两点距离公式及韦达定理求得AB=，同理可得DE =，由AB DE =得120t t +=，设两平行线,AB DE 间的距离为r =S AB r =⋅代入求解即可.试题解析：（1）设(),M x y ，动点到直线m：3x =-的距离为d ， 根据题意，动点M的轨迹为集合{|MF P M d==2=化简，得2214x y +=∴曲线C 的方程为2214x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y 联立122440y kx t x y =+⎧⎨+-=⎩消去y ，得()22211148440kxkt x t +++-=.∴()221112221122164108144414k t kt x x k t x x k ⎧∆=-+>⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=-⎪+⎩， ∴AB ==同理可得DE =∵AB DE =，∴2212t t =又12t t ≠，∴120t t +=由题意，以,,,A B D E 为顶点的凸四边形为平行四边形 设两平行线,AB DE 间的距离为r ，则 ∵120t t +=，∴r =则S AB r =⋅==∵()2221124128414kt t S k -+=≤=+（当且仅当221142k t +=时取等号，此时满足21160t ∆=>），∴四边形ABDE 的面积S 的最大值为4.。

四川省成都市树德中学2022-2023学年高二上学期期末检测数学(文)试题(含答案)

四川省成都市树德中学2022-2023学年高二上学期期末检测数学(文)试题(含答案)

成都树德中学高2021级高二上期期末检测数学（文科）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高三年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是A.①用随机抽样法，②用系统抽样法 B.①用系统抽样法，②用分层抽样法C.①用分层抽样法，②用随机抽样法 D.①用分层抽样法，②用系统抽样法2.下面命题正确的是A ．“若0ab ≠，则0a ≠”的否命题为真命题；B ．命题“若1x <，则21x <”的否定是“存在1≥x ，则21x ≥”；C ．设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件；D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件.3.直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为2，则直线的倾斜角为A.3π B.3π-或3πC.3π或23π D.6π或56π4.执行下面的程序框图，如果输入的3N =，那么输出的S =A.1B.32C.53D.525.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为A.y =B.3y x =±C.12y x =±D.2y x=±6.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个白球与都是红球B.恰好有一个白球与都是红球C.至少有一个白球与都是白球D.至少有一个白球与至少一个红球7.已知点()M ,x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则1y z x =+的取值范围是A ．[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ B ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8.变量x 与y 的数据如表所示，其中缺少了一个数值，已知y 关于x 的线性回归方程为 1.2 3.8y x =-，则缺少的数值为A ．24B ．25C ．25.5D ．26取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为A ．0.852B ．0.8192C ．0.8D ．0.7511.已知O 为坐标原点，双曲线)0(14:222>=-b b y x C 的右焦点为F ,以OF 为直径的圆与C 的两条渐近线分别交于与原点不重合的点,,B A 若||332||||AB OB OA =+，则ABF ∆的周长为A.6B.36C.324+D.344+12.已知12F F 、分别是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 过(2,0)A -和(0,1)B 两点，点P在线段AB 上，则12PF PF ⋅的取值范围为（）A ．11,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．371,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2,1]-D ．11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为________.14.已知“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是假命题，则实数m 的取值范围为.15.在区间[0,1]上随机取两个数x、y ，则满足13x y -≥的概率为___________.16.已知直线y kx =与椭圆C ：222212x yb b+=交于,A B 两点，弦BC 平行y 轴，交x 轴于D ，AD 的延长线交椭圆于E ，下列说法中正确的命题有__________.①椭圆C 的离心率为2；②12AE k k =；③12AE BE k k ⋅=-；④以AE 为直径的圆过点B .x2223242526y2324▲2628三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知圆C 上有两个点()()2,3,4,9A B ，且AB 为直径.(1)求圆C的方程；(2)已知()0,5P ，求过点P 且与圆C 相切的直线方程.18.（本小题满分12分）某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率布直方图，其统计数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100].（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求这50名问卷评分数据的中位数；（3）从评分在[40，60）的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60）的概率.19.（本小题满分12分）已知双曲线C 的焦点在x 轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为y =．(1)求C 的标准方程；(2)若直线1:12l y x =-与双曲线C 交于A ，B 两点，求||AB ．20.(本题满分12分）某书店销售刚刚上市的高二数学单元测试卷，按事先拟定的价格进行5天试销，每种单价试销1天，得到如下数据：单价/元1819202122销量/册6156504845由数据知，销量y 与单价x 之间呈线性相关关系．（1）求y 关于x 的回归直线方程；附：=J1 (−p(−p(−p2，=−．（2）预计以后的销售中，销量与单价服从（1）中的回归直线方程，已知每册单元测试卷的成本是10元，为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为多少元？22.(本小题满分12分)如图，已知点(1,0)F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ．（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．公众号高中僧试题下载高2021级期末考试数学（文）试题参考答案一、1-5CDCCA6-10BCABD11-12BD二、13、11614、2m≤15、9216、②③④18、(1)由频率分布直方图可得：()0.028 2 0.0232 0.0156 0.004101a+⨯+++⨯=，解得a=0.006；(2)由频率分布的直方图可得设中位数为m，故可得()()0.004 0.006 0.023210700.0280.5m++⨯+-⨯=，解得m=76，所以这50名问卷评分数据的中位数为76.(3)由频率分布直方图可知评分在[40，60)内的人数为0.004 50100.00610505⨯⨯+⨯⨯=(人)，评分在[50，60)内的人数为0.00650103⨯⨯=(人)，设分数在[40，50)内的2人为12,a a，分数在[50，60)内的3人为123,,b b b，则在这5人中抽取2人的情况有：()12,a a，()11,a b，()12,a b，()13,a b，()21,a b，()22,a b，()23,a b，()12,b b，()13,b b，()23,b b，共有10种情况，其中分数在在[50，60)内的2人有()12,b b，()13,b b，()23,b b，有3种情况，所以概率为P=310.…………………………………12分19、（1）因为焦点在x轴上，设双曲线C的标准方程为22221(0,0)x y a ba b-=>>，由题意得24c=，所以2c=，①又双曲线C的一条渐近线为y x=，所以3ba=，②又222+=a b c，③联立上述式子解得a=1b=，故所求方程为2213x y-=；（2）设11(,)A x y，22(,)B x y，联立2211213y xx y⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，整理得213604x x+-=，由2134((6)1504∆=-⨯⨯-=>，所以1212x x+=-，1224x x=-，即AB===20、（1）由表格数据得=18+19+20+21+225=20，=61+56+50+48+455=52．则J15 （i−）（y i−）＝﹣40，J15 （i−）2＝10，则=−4010=−4，=−=52﹣（﹣4）×20＝132，则y关于的回归直线方程为=−4x+132；（2）获得的利润z＝（x﹣10）（﹣4x+132）＝﹣4x2+172x﹣1320，对应抛物线开口向下，则当x=−1722×(−4)=21.5时，z取得最大值，即为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为21.5元．22、（1）由题意得12p=，即2p=，所以抛物线的准线方程为1x=-．（2）设(,),(,),(),A AB B c cA x yB x yC x y，重心(,)G GG x y．令2,0Ay t t=≠，则2Ax t=．由于直线AB过F，故直线AB方程为2112tx yt-=+，代入24y x=，得222(1)40ty yt---=，故24Bty=-，即2Byt=-，所以212(,Bt t-．又由于11(),(3)3G A B c G A B cx x x x y y y y=++=++及重心G在x轴上，故220ct yt-+=，得422211222((),2()),(3t tC t t Gt t t-+--．所以直线AC方程为222()y t t x t-=-，得2(1,0)Q t-．由于Q在焦点F的右侧，故22t>．从而424222124422242221|1||2|||223221222211||||1||||2||23Act t tFG yS t t ttt tS t tQG y t tt t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-．令22m t=-，则0m>，1221223434S mS m m mm=-=-++++3212≥-=+．当m=12SS取得最小值12+，此时(2,0)G．。

2021-2022学年四川省成都市高二(上)期末数学试卷(理科)(附详解)

2021-2022学年四川省成都市高二(上)期末数学试卷(理科)(附详解)

2021-2022学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∀x∈N，e x>sinx”的否定是()A. ∀x∈N，e x≤sinxB. ∀x∈N，e x<sinxC. ∃x0∈N，e x0>sinx0D. ∃x0∈N，e x0≤sinx02.抛物线y2=4x的准线方程是()A. y=116B. y=−116C. x=−1D. x=13.在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,−1,1)关于x轴对称的点的坐标为()A. (1,1,1)B. (1,1,−1)C. (−1,−1,−1)D. (1,−1,−1)4.设直线l1：ax+(a−2)y+1=0，l2：x+ay−3=0.若l1⊥l2，则a的值为()A. 0或1B. 0或−1C. 1D. −15.下列有关命题的表述中，正确的是()A. 命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题是假命题B. 命题“若a为正无理数，则√a也是无理数”的逆命题是真命题C. 命题“若x=2，则x2+x−6=0”的逆否命题为“若x2+x−6≠0，则x≠2”D. 若命题“p∧q”，“p∨(￢q)”均为假命题，则p，q均为假命题6.执行如图所示的算法框图，则输出的结果是()A. 99100B. 100101C. 101100D. 991017.方程x2m+3+y21−m=1表示椭圆的充分不必要条件可以是()A. m∈(−3,1)B. m∈(−3,−1)∪(−1,1)C. m∈(−3,0)D. m∈(−3,−1)8.如图，是对某位同学一学期8次体育测试成绩(单位，分)进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是()A. 该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差超过15分B. 该同学8次测试成绩的众数是48分C. 该同学8次测试成绩的中位数是49分D. 该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关9.若椭圆x23+y24=1的弦AB恰好被点M(1,1)平分，则AB所在的直线方程为()A. 3x−4y+1=0B. 3x+4y−7=0C. 4x−3y−1=0D. 4x+3y−7=010.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔社”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为()A. 916B. 716C. 1332D. 113211.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.若双曲线右支上存在点P，使得PF1与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点Q，且|PF1|=4|F1Q|，则双曲线的浙近线方程为()A. y=±xB. y=±43x C. y=±34x D. y=±√2x12. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C ：x 2+y 2=|x|+|y|流是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C 围成的图形的面积是2+π； ②曲线C 上的任意两点间的臥离不超过2；③若P(m,n)是曲线C 上任意一点，则|3m +4n −12|的最小值是17−5√22． 其中正确结论的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 椭圆x 2+2y 2=4的长轴长为______．14. 某班有40位同学，将他们从01至40编号，现用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是05，那么第四位的编号是______．15. 根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额x(单位：千亿元)和出口总额y(单位：千亿元)之间的一组数据如下：若每年的进出口总额x ，y 满足线性相关关系y ̂=b ̂x −0.84，则b ̂=______；若计划2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为______千亿元．16. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点F 1和F 2，设椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，P 为两曲线的一个公共点，且|PF⃗⃗⃗⃗⃗ 1−PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2|=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |(O 为坐标原点).若e 1∈(√22,√32]，则e 2的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知△ABC 的三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)．(Ⅰ)求AC 边所在的直线方程；(Ⅱ)求经过AB 边的中点，且与AC 边平行的直线l 的方程．18.某班主任对全班50名学生进行了作业量多少与手机网游的调查，数据如下表：(Ⅰ)若随机抽问这个班的一名学生，分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率；(Ⅱ)若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生．现要从这5名学生中任取2名学生了解情况，求其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．19.已知圆C的圆心为C(1,2)，且圆C经过点P(5,5)．(Ⅰ)求圆C的一般方程；(Ⅱ)若圆O：x2+y2=m2(m>0)与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围．20.为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了50名学生的得分(得分均为整数，满分为100分)进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60,70)，第二组[70,80)，第三组[80,90)，第四组[90,100](单位：分)，得到如下的频率分布直方图．(Ⅰ)求图中m的值，估计此次活动学生得分的中位数；(Ⅱ)根据频率分布直方图，估计此竞赛活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．21.已知抛物线E：x2=2py(p>0)的焦点为F，直线y=3与抛物线E在第一象限的交点为A，且|AF|=4．(Ⅰ)求抛物线E的方程；(Ⅱ)经过焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线E相交于P，Q两点，l2与抛物线E相交于M，N两点．若C，D分别是线段PQ，MN的中点，求|FC|⋅|FD|的最小值．22. 已知点P 是圆C ：(x +√3)2+y 2=16上任意一点，A(√3,0)是圆C 内一点，线段AP的垂直平分线与半径CP 相交于点Q ．(1)当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹E 的方程；(2)设不经过坐标原点O ，且斜率为12的直线l 与曲线E 相交于M ，N 两点，记OM ，ON 的斜率分别是k 1，k 2，以OM ，ON 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2.当k 1，k 2都存在且不为0时，试探究S 1+S 2k1k 2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x0∈N，e x0≤sinx0，故选：D．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2.【答案】C【解析】解：由已知抛物线方程可得：2p=4，所以p=2，=−1，即x=−1，所以准线方程为x=−p2故选：C．由已知抛物线方程以及求出p的值，进而可以求解．本题考查了抛物线的性质以及准线方程，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：∵点A(1,−1,1)，一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，∴点A(1,−1,1)关于x轴对称的点的坐标为(1,1,−1)故选：B．根据所给的点的坐标，知一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，写出点的坐标．本题考查空间中点的对称，是一个基础题，注意点在空间中关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标，这种题目通常单独作为一个知识点出现．4.【答案】A【解析】解：∵直线l1：ax+(a−2)y+1=0，l2：x+ay−3=0，l1⊥l2，∴a×1+(a−2)×a=0，解得a=0或a=1．故选：A．利用直线与直线垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】C【解析】解：对于A：命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的逆命题是：“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”，该命题为真命题，由于逆命题和否命题等价，故否命题为真命题，故A错误；对于B：命题“若a为正无理数，则√a也是无理数”的逆命题是：若√a是无理数，则a也为无理数”是假命题，故B错误；对于C：命题“若x=2，则x2+x−6=0”的逆否命题为“若x2+x−6≠0，则x≠2”，故C正确；对于D：若命题“p∧q”，“p∨(￢q)”均为假命题，则p为假命题，q为真命题，故D 错误．故选：C．直接利用四种命题的转换和命题真假的判定的应用求出结果．本题考查的知识要点：命题真假的判定，四种命题的转换，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=1 1×2+12×3+...+1100×101的值，S=11×2+12×3+...+1100×101=(1−12)+(12−13)+...+(1100−1101)=1−1101=100101．故选：B．模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=11×2+12×3+...+1100×101的值，进而根据裂项法即可求解． 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.【答案】D【解析】解：若方程x 2m+3+y 21−m=1表示椭圆，则{m +3>01−m >0m +3≠1−m ，解得：−3<m <1且m ≠−1， 则方程x 2m+3+y 21−m =1表示椭圆的充要条件是{m|：−3<m <1且m ≠−1}，则：方程x 2m+3+y 21−m =1表示椭圆的充分不必要条件所对应的集合必须是{m|：−3<m <1且m ≠−1}的真子集，选项D ，m ∈(−3,−1)符合条件． 故选：D ． 求得方程x 2m+3+y 21−m =1表示椭圆的条件，根据利用充分条件和必要条件的定义判断． 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及椭圆的方程，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由散点图得：对于A ，该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差为：56−38=18，超过15分，故A 正确；对于B ，该同学8次测试成绩的众数是48分，故B 正确； 对于C ，该同学8次测试成绩的中位数是：48+482=48分，故C 错误；对于D ，该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关，故D 正确． 故选：C ．利用散点图、极差、众数、中位数、相关性直接求解．本题考查命题真假的判断，考查散点图、极差、众数、中位数、相关性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】D【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x123+y124=1，x223+y224=1，两式相减得：x12−x223+y12−y224=0，因为弦AB恰好被点M(1,1)平分，所以有x1+x2=2，y1+y2=2．所以直线AB的斜率k=y2−y1x2−x1=−43⋅x1+x2y2+y1=−43，因此直线AB的方程为y−1=−43(x−1)，即4x+3y−1=0，故选：D．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用平方差法求出直线的斜率，然后求解直线方程．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，平方差法的应用，考查计算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：如图，设大正方形的边长为2，则最大的三角形是腰长为√2的等腰直角三角形，角上的三角形是腰长为1的等腰直角三角形，最小的三角形是腰长为√22的等腰直角三角形，∴白色部分的面积为：S 白=22−12×√2×√2−12×√22×√22−12×1×1=94，∴在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率为：P=S白S正方形=944=916．故选：A．设大正方形的边长为2，求出白色部分的面积，利用几何概型能求出在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率．本题考查概率的运算，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】B【解析】解：设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为： F 1(−c,0)，F 2(c,0)，一条渐近线方程为bx −ay =0，可得F 2到渐近线的距离为|F 2Q|=|bc|√a 2+b 2=b ， 则|PF 2|=4b ，|PF 1|=4b −2a ，在直角三角形OF 2Q 中，cos∠QF 2O =|QF 2||OF 2|=bc ，在△PF 2F 1中，可得cos∠PF 2F 1=|F 1F 2|2+|PF 2|2−|PF 1|22|F 1F 2||PF 2|=4c 2+16b 2−(4b−2a)22×2c×4b=bc，化为3b =4a ，所以双曲线的渐近线方程为：y =±43x. 故选：B ．设出双曲线的焦点和一条渐近线方程，求得F 2到渐近线的距离，可得|PF 2|=4b ，|PF 1|=4b −2a ，由直角三角形的锐角三角函数和三角形的余弦定理，化简可得3b =4a ，可得渐近线方程．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查三角形的余弦定理和锐角三角函数的定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：曲线C ：x 2+y 2=|x|+|y|可知曲线关于原点，x ，y 轴对称， 当x ≥0，y ≥0时，可得x 2+y 2−x −y =0，可得(x −12)2+(y −12)2=12，所以可得是以C(12,12)为圆心，r =√22为半径的半圆，由此可作出曲线C 的图象，如图所示，所以曲线C 围成的图形的面积是√2×√2+2×π×(√22)2=2+π，故命题①正确；曲线上任意两点间距离的最大值为4×√22=2√2，故命题②错误；设圆心C 到直线3x +4y −12=0的距离为d =∣3×12+4×12−12∣22=1710，故曲线上任意一点P(m,n)到直线l 的距离的最小值为3m+4n−12√32+42最小值为1710−√22， 故|3m +4n −12|的最小值是17−5√22，故命题③正确． 故选：C ．由曲线方程知曲线关于原点，x ，y 轴对称，当x ≥0，y ≥0时，可得x 2+y 2−x −y =0，可得(x −12)2+(y −12)2=12，所以可得是以C(12,12)为圆心，r =√22为半径的半圆，由此可作出曲线C 的图象，从而通过运算可判断命题①②③的真假．本题考查命题真假的判断，以及考查由曲线方程研究曲线的相关性质，属中档题．13.【答案】4【解析】解：椭圆x 2+2y 2=4，可得x 24+y 22=1，可得a =2，所以椭圆长轴长为：4． 故答案为：4．化简椭圆方程为标准方程，然后求解长轴长即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．14.【答案】29【解析】解：系统抽样间隔为40÷5=8，且抽取的第一位编号是05， 所以第四位的编号是5+8×3=29． 故答案为：29．求出系统抽样间隔，根据抽取的第一位编号即可写出第四位的编号． 本题考查了系统抽样应用问题，是基础题．15.【答案】1.6 3.65【解析】解：由题意可得：x −=1.8+2.2+2.6+3.04=2.4．y −=2.0+2.8+3.2+4.04=3．因为样本中心满足回归直线方程，可得3=2.4 b ⏜−0.84， 解得 b⏜=1.6． y ̂=1.6x −0.84，2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为x ， 则5=1.6x −0.84，解得x =3.65． 故答案为：1.6；3.65．求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解b ^，然后代入计划2022年出口总额达到5千亿元，求解即可．本题考查回归直线方程的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．16.【答案】[√62,+∞)【解析】解：设椭圆C 1：x 2a 12+y 2b 12=1(a 1>b 1>0)，双曲线C 2：x 2a 22−y 2b 22=1(a 2>0,b 2>0)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)为C 1与C 2的共同焦点，则c 2=a 12−b 12，c 2=a 22+b 22， 由|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |，得|F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以2c =2|PO|，所以|PO|=c ， 所以|OF 1|=|OP|=|OF 2|=c ，所以∠F 1PF 2=90°(P 为C 1与C 2的一个公共点)， 设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，则m 2+n 2=4c 2，① m +n =2a 1，②， |m −n|=2a 2，③②2+③2，得2m 2+2n 2=4(a 12+a 22)， 代入①，得2×4c 2=4(a 12+a 22)， 所以2c 2=a 12+a 22，所以a 12c 2+a 22c 2=2，④ 又e 1=ca 1，e 2=ca 2，所以1e 1=a 1c，1e 2=a 2c，所以④化为1e 12+1e 22=2，即1e 22=2−1e 12，因为e 1∈(√22,√32]，所以12<e 12≤34，所以43≤1e 12<2，所以−2<−1e 12≤−43，所以0<2−1e 12≤2−43=23，即0<1e 22≤23，则e 22≥32，又e 2>1，所以e 2≥√62， 所以e 2的取值范围为[√62,+∞)，故答案为：[√62,+∞)．设椭圆C 1：x 2a 12+y 2b 12=1(a 1>b 1>0)，双曲线C 2：x 2a 22−y 2b 22=1(a 2>0,b 2>0)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)为C 1与C 2的共同焦点，则c 2=a 12−b 12，c 2=a 22+b 22，由|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |，得|PO|=c ，则∠F 1PF 2=90°(P 为C 1与C 2的一个公共点)，设|PF 1|=m ，|PF 2=n ，可得m 2+n 2=4c 2①，m +n =2a 1②，|m −n|=2a 2③，进一步求出e 2的取值范围． 本题考查椭圆与双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由题意知AC 斜率为k =3−00−4=−34，所以AC 边所在直线方程为y −0=−34(x −4)，即3x +4y −12=0．(Ⅱ)由(Ⅰ)知l 可设为3x +4y +m =0，又AB 边中点为(5,72)，将点(5,72)代入直线l 的方程得3×5+4×72+m =0，解得m =−29，所以l 方程为3x +4y −29=0．【解析】(Ⅰ)由A 、C 两点坐标可以写出直线AC 斜率，再代入A 、C 中的一个点就可以求出AC 方程．(Ⅱ)求出AB 中点，l 与AC 平行，从而斜率相等，即可设出l ，代入A 、C 中点求得l ．本题考查了直线方程的求解和两直线平行的关系，属于简单题．18.【答案】解：：(Ⅰ)用A 表示“认为作业不多”，用B 表示“喜欢手机网游且认为作业多”，则P(A)=2550=12，P(B)=2050=25．(Ⅱ)若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生， “不喜欢手机网游”与“喜欢手机网游”的人数的比值为520=14， ∴采用分层抽样方法抽取5人，其中“不喜欢手机网游”的有1人， “喜欢手机网游”有4人，记“不喜欢手机网游”的1名学生为B，“喜欢手机网游”的4名学生分别为B1，B2，B3，B4，从5名学生中抽取2名学生的所有可能情况有n=C52=10，恰有1名“不喜欢手机网游”学生的情况有：{B,B1}，{B,B2}，{B,B3}，{B,B4}，共4种，∴其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率P=410=25．【解析】(Ⅰ)利用古典概型直接求解．(Ⅱ)采用分层抽样方法抽取5人，其中“不喜欢手机网游”的有1人，“喜欢手机网游”有4人，记“不喜欢手机网游”的1名学生为B，“喜欢手机网游”的4名学生分别为B1，B2，B3，B4，从5名学生中抽取2名学生的所有可能情况有n=C52=10，利用列举法求出恰有1名“不喜欢手机网游”学生的情况有4种，由此能求出其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(I)设圆C的方程为(x−1)2+(y−2)2=r2(r为圆C的半径)，∵圆C经过点P(5,5)，∴(5−1)2+(5−2)2=r2，即r2=25，∴圆C的标准方程为(x−1)2+(y−2)2=25．(II)由(I)知圆C的圆心为C(1,2)，半径为5，∵圆O：x2+y2=m2(m>0)与圆C恰有两条公切线，∴圆O与圆C相交，∴|5−m|<|OC|<5+m，∵|OC|=√(1−0)2+(2−0)2=√5，∴5−√5<m<5+√5，故m的取值范围是(5−√5,5+√5)．【解析】(I)设圆C的方程为(x−1)2+(y−2)2=r2(r为圆C的半径)，再将点P(5,5)代入圆C方程，即可求解．(II)将已知条件转化为两圆相交，再结合圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．本题主要考查两圆之间的位置关系，属于基础题．20.【答案】(Ⅰ)由图知第三组频率为1−(0.01+0.04+0.02)×10=0.30，所以第三组矩形的高为m =0.3010=0.03．因为前两组的频率为(0.01+0.03)×10=0.4<0.5，前三组的频率为(0.01+0.03+0.04)×10=0.8>0.5，所以得分的中位数在第三组内，设中位数为x ，(0.01+0.03)×10+(x −80)×0.04=0.5，解得x =82.5，所以估计此次得分的中位数是 82.5分．(Ⅱ)由频率分布直方图知，学生得分的平均值为x −=65×10×0.01+75×10×0.03+85×10×0.04+95×10×0.02=82．参赛的500名学生中得分不低于82分的人数为500×[0.02×10+(90−82)×0.04]=260，所以估计此次参加比赛活动学生得分的平均值为82分，参赛的500名学生中有260名学生获奖．【解析】(Ⅰ)所有组频率之和为1，每个小长方形面积为该组对应的频率，这样让1减去其它组频率即为所求组频率，所求组频率即为对应长方形面积，面积除以宽得到高就是m 值．频率分布直方图中的中位数是频率0.5位置为应的x 的值．(Ⅱ)平均值是各组中点值乘以对应的频率之和，不低于平均值的学生人数为总数500乘以不低于平均值的频率．本题考查了频率直方图中的频率、中位数、平均数，频数的求解，考查较基础难度不大．21.【答案】解：(Ⅰ)由题意，|AF|=3+p2=4，得p =2．∴抛物线E 的方程为x 2=4y ； (Ⅱ)由(Ⅰ)知焦点为F(0,1)．由已知可得两直线PQ 、MN 的斜率都存在且均不为0． 设直线PQ 的斜率为k ，则直线MN 的斜率为−1k ， 故直线PQ 的方程为y =kx +1，联立方程组{y =kx +1x 2=4y ，消去y ，整理得x 2−4kx −4=0，设点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则x 1+x 2=4k ，∵C(x C ,y C )为弦PQ 的中点，∴x C =12(x 1+x 2)=2k ． 由y C =kx C +1=2k 2+1，故点C(2k,2k 2+1)，同理，可得D(−2k ,2k 2+1)，故|FC|=√4k 2+4k 4=2√k 4+k 2，|FD|=√4k 2+4k 4=2√1k 4+1k 2．∴|FC|⋅|FD|=4√(k 4+k 2)(1k+1k)=4√(2+k 2+1k)≥4√2+2√k 2⋅1k =8．当且仅当k 2=1k 2，即k =±1时，等号成立． ∴|CF|⋅|FD|的最小值为8．【解析】(Ⅰ)由题意可得|AF|=3+p2=4，求得p ，则抛物线E 的方程可求； (Ⅱ)由(Ⅰ)知焦点为F(0,1).由已知可得两直线PQ 、MN 的斜率都存在且均不为0.设直线PQ 的斜率为k ，则直线MN 的斜率为−1k ，可得直线PQ 与MN 的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得C 与D 的坐标，再求出|FC|与|FD|的值，作积后整理，再由基本不等式求最值．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系的应用，考查化简运算能力和推理能力，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题．22.【答案】解：(1)由题意知|PQ|=|AQ|，又|PQ|+|CQ|=|CP|=4，且|AC|=2√3， ∴|AQ|+|CQ|=4>|AC|，由椭圆定义知Q 点的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 则a =2,c =√3． ∴b 2=1． ∴曲线E 的方程为x 24+y 2=1．(2)由题意知直线l 的方程为y =12x +m(m ≠±1)， 设直线l 与椭圆的交点为M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由{y =12x +mx 24+y 2=1，消去y ，化简得x 2+2mx +2m 2−2=0，∴Δ=4m 2−4(2m 2−2)=8−4m 2>0， 即m 2<2，∴x 1+x 2=−2m,x 1x 2=2m 2−2， ∴k 1k 2=y 1x 1⋅y 2x 2=12x 1+m x 1⋅12x 2+m x 2=14+m 2x 1x 2+m(x 1+x 2)2x 1x 2=14+m 22m 2−2+m⋅(−2m)4m 2−4=14， S 1+S 2=π4(|OM|2+|ON|2)=π4(x 12+y 12+x 22+y 22)=π4(x 12+x 22+y 12+y 22)， ∵x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=4m 2−2(2m 2−2)=4，∴y 12+y 22=(1−x 124)+(1−x 224)=2−x 12+x 224=1，∴S 1+S 2=π4(x 12+x 22+y 12+y 22)=5π4，∴S 1+S 2k 1k 2=5π414=5π，∴S 1+S 2k 1k 2是定值，为5π．【解析】(1)由条件可得Q 点轨迹满足椭圆定义，设出椭圆方程，由a ，c 的值可得b 的值，从而求得轨迹方程；(2)设出直线l 的方程，结合韦达定理，分别求得k 1k 2为定值，S 1+S 2也为定值，从而可得S 1+S 2k1k 2是定值．本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，属于难题．。

2023-2024学年四川省成都市高二上学期期末调研考试数学(理)试题(含解析)

2023-2024学年四川省成都市高二上学期期末调研考试数学(理)试题(含解析)

2023-2024学年四川省成都市高二上学期期末调研考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线2214y x -=的渐近线方程为（）A.12y x =±B.14y x =±C.2y x=± D.4y x=±【正确答案】C【分析】根据给定双曲线方程直接求出其渐近线方程即可.【详解】双曲线2214y x -=的渐近线方程为.2y x=±故选：C2.在空间直角坐标系Oxyz 中，点(4,1,9)P 到点(2,4,3)Q 的距离为（）A.5B.6C.7D.8【正确答案】C【分析】根据空间两点的距离坐标公式即可.【详解】根据空间两点的距离坐标公式可得.7PQ ==故选：C3.在一次游戏中，获奖者可以获得5件不同的奖品，这些奖品要从编号为1-50号的50种不同奖品中随机抽取确定，用系统抽样的方法为获奖者抽取奖品编号，则5件奖品的编号可以是（）A.3，13，23，33，43B.11，21，31，41，50C.3，6，12，24，48D.3，19，21，27，50【正确答案】A【分析】根据系统抽样的知识求得正确答案.【详解】依题意，组距为50105=，所以A 选项符合，BCD 选项不符合.故选：A4.命题“0m ∀∈≤N ”的否定是（）A.00m ∃∉≥NB.00m ∃∈>NC.00m ∃∈≤ND.0m ∀∈>N 【正确答案】B【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】解：因为命题0m ∀∈≤N 是全程量词命题，所以其否定是存在量词命题，即00m ∃∈>N ，故选：B5.若,,a b c ∈R ，则“a b >”是“a c b c +>+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据充要条件的定义即可判断.【详解】根据不等式的性质可得a b a c b c >⇔+>+，∴“a b >”是“a c b c +>+”的充要条件.故选：C6.已知直线:0l Ax By C ++=（A ，B 不同时为0），则下列说法中错误的是（）A.当0B =时，直线l 总与x 轴相交B.当0C =时，直线l 经过坐标原点OC.当0A C ==时，直线l 是x 轴所在直线D.当0AB ≠时，直线l 不可能与两坐标轴同时相交【正确答案】D【分析】根据直线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，直线:0l Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）.A 选项，当0B =时，0A ≠，直线方程可化为C x A=-，此时直线l 总与x 轴有交点，A 选项正确.B 选项，当0C =时，直线方程为0Ax By +=，此时直线l 经过原点O ，B 选项正确.C 选项，当0A C ==时，0B ≠，直线方程可化为0y =，此时直线l 是x 轴所在直线，C 选项正确.D 选项，当0AB ≠时，如10x y -+=，直线l 过点()()1,0,0,1-，即直线l 与两坐标轴同时相交，D 选项错误.故选：D.7.执行如图所示的程序语句，若输入5x =，则输出y 的值为（）INPUTx IF x<0THEN y=-x+1ELSE y=-x^2+3END IF PRINTy ENDA.4B.7C.22-D.28-【正确答案】C【分析】分析程序框图的运行过程知，本题的功能为计算并输出分段函数21,03,0x x y x x -+<⎧=⎨-+≥⎩的值，因为输入5x =，所以执行的是23y x =-+，进而可得解.【详解】由算法语句知，该程序的功能是计算并输出分段函数21,03,0x x y x x -+<⎧=⎨-+≥⎩的值，当5x =时，满足0x ≥，∴执行23y x =-+，∴输出的y 值为22-．故选：C8.已知F 是抛物线24y x =的焦点，M 是抛物线上一点，且满足120OFM ∠=︒（O 为坐标原点），则FM 的值为（）A.4B.3C. D.2【正确答案】A【分析】设FM t =，求得M 点坐标并代入抛物线方程，从而求得t ，也即求得FM .【详解】依题意，()1,0F ，设FM t =，由于120OFM ∠=︒，不妨设M 在第一象限，则()1cos60,sin 60M t t +︒︒，即11,22M t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，将M 点坐标代入24y x =得2314142t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()()238160,4340t t t t --=-+=，由于0t >，所以4t =，即4FM =.故选：A9.已知圆221:(2)(1)9O x y -+-=和直线:10l x y -+=.若圆2O 与圆1O 关于直线l 对称，则圆2O 的方程为（）A.22(3)9x y -+=B.22(3)9x y +-=C.22(2)(3)9x y -+-=D.22(3)(2)9x y -+-=【正确答案】B【分析】求出圆1O 的圆心关于直线l 的对称点，即为圆2O 的圆心坐标，进而可得圆2O 的方程．【详解】圆2O 与圆1O 关于直线l 对称，则圆心()12,1O 与圆()2,O a b 关于:10l x y -+=对称可得211022112a bb a ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，化简得3030a b a b -+=⎧⎨+-=⎩，解得0,3a b ==又两圆半径相等，故圆2O 的方程为22(3)9x y +-=故选：B10.已知13,22m ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，命题2:2320p m m --≤，命题22:1623x y q m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆.则下列命题中为真命题的是（）A.p q ∧B.p q∨ C.p q⌝∨ D.p q⌝∧【正确答案】B【分析】首先判断命题p 、q 的真假，再根据复合命题的真假性判断即可.【详解】解：由22320m m --≤，即()()2120m m +-≤，解得122m -≤≤，因为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以命题p 为真命题，则p ⌝为假命题，若方程221623x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则60230623m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得332m <<，又13,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以命题q 为假命题，则q ⌝为真命题，所以p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，p q ⌝∨为假命题，p q ⌝∧为假命题.故选：B11.在平面直角坐标系xOy 内，对任意两点()11,A x y ，()22,B x y ，定义A ，B 之间的“曼哈顿距离”为1212AB x x y y =-+-，记到点O 的曼哈顿距离小于或等于1的所有点(,)x y 形成的平面区域为Ω.现向221x y +=的圆内随机扔入N 粒豆子，每粒豆子落在圆内任何一点是等可能的，若落在Ω内的豆子为M 粒，则下面各式的值最接近圆周率的是（）A.N MB.2N MC.3N MD.4N M【正确答案】B【分析】设(),P x y ，根据1OP ≤得1x y +≤，作出平面区域Ω，根据几何概型计算求解即可.【详解】设(),P x y ，则|1|P y O x =+≤，当0,0x y ≤≥时，1x y +≤；当0,0x y ≥<时，1x y -≤；当0,0x y <≥时，1x y -+≤；当0,0x y <<时，1x y --≤.则平面区域Ω为下图中的四边形ABCD 及其内部，其面积为2S ==，根据几何概型公式可得：2πM N =，2πN M∴=.故选：B12.已知有相同焦点1F ，2F 的椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n-=>>在第一象限的交点为A ，若2AOF △（O 为坐标原点）是等边三角形，则abmn的值为（）A.2+B.2C.22D.22+【正确答案】A【分析】根据已知图形特征结合椭圆，双曲线中,a b c ，关系及公交点求解即可.【详解】2AOF △（O 为坐标原点）是等边三角形，260°AOF ∠=且21OA OF OF ==，则2190°F AF ∠=，且122F F c =，则21,AF c AF ==，))121221,21,a AF AF c m AF AF c =+==-=-)22222212c b a c c ⎛⎫+⎪=-=-= ⎪⎝⎭，)22222212c n c m c ⎛⎫-⎪=-=-= ⎪⎝⎭所以22b n =，即得b n =，所以112423222cab a a mn m m++=====+故选：A第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.椭圆22110036x y +=上一点P 与它的一个焦点的距离等于6，那么点P 与另一个焦点的距离等于______.【正确答案】14【分析】设左、右焦点为12,F F ,利用椭圆的定义即得解.【详解】设左、右焦点为12,F F ,设1||6PF =，由题得10,a =因为12||||2210=20PF PF a +==⨯，所以2||14PF =.所以点P 与另一个焦点的距离等于14.故1414.为了解某校高三学生的数学成绩，随机地抽查了该校100名高三学生的期中考试数学成绩，得到频率分布直方图如图所示.请根据以上信息，估计该校高三学生数学成绩的中位数为______.（结果保留到小数点后两位）【正确答案】71.67【分析】依据频率分布直方图，计算0.5p =时对应的数值，即为中位数.【详解】解：()0.0050.04100.450.5+⨯=< ，()0.0050.040.03100.750.5++⨯=> ，所以中位数在[)70,80之间，设中位数为m ，则有700.03100.50.4510m -⨯⨯=-，所以57071.673m =+≈故答案为.71.6715.甲，乙两人下棋，若两人下成和棋的概率是13，甲获胜的概率是14，则乙获胜的概率是______.【正确答案】512【分析】利用互斥事件概率加法公式直接求解．【详解】解：甲，乙两人下棋，两人下成和棋的概率是13，甲获胜的概率是14，∴乙获胜的概率11134512P =--=．故512．16.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点为1F ，2F ，经过1F 斜率为22的直线l 与双曲线的左支相交于P ，Q 两点.记12PF F △的内切圆的半径为a ，则双曲线的离心率为______.21或212+【分析】分两种情况求解离心率，设内切圆圆心为T ，分别与三边相切于,,M N H ，连接1TF ，计算得到212HF HF c +=，1HF c a =-，得到1tan a TF H c a ∠=-，根据二倍角公式得到212e e e-=-解得答案.【详解】当P 点在第二象限时，设内切圆圆心为T ，分别与三边相切于,,M N H ，连接1TF，2121212PF PF NF MF HF HF a -=-=-=，又212HF HF c +=，1HF c a =-，则1tan aTF H c a∠=-，直线1PF的斜率为221ac a a c a -=⎛⎫- ⎪-⎝⎭，整理得到：212e e e -=-1e =+或212e =-（舍去）.当P 点在第三象限时，同理设内切圆圆心为T ，分别与三边相切于,,M N H ，连接1TF，2121212PF PF NF MF HF HF a -=-=-=，又212HF HF c +=，1HF c a =-，则1tan aTF H c a∠=-，直线1PF的斜率为221a c a a c a --=⎛⎫- ⎪-⎝⎭，整理得到：212e e e -=-12e =+或1e =.1+或212+三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点(4,2)P -，直线:3450l x y --=.（1）求经过点P 且与直线l 平行的直线的方程；（2）求经过点P 且与直线l 垂直的直线的方程.【正确答案】（1）34200x y -+=（2）43100x y ++=【分析】（1）设出所求平行直线的方程，利用P 点坐标求得正确答案.（2）利用点斜式求得所求直线的方程.【小问1详解】设经过点P 且与直线l 平行的直线的方程为340x y C -+=，将()4,2P -代入得1280,20C C --+==，所以所求直线方程为34200x y -+=【小问2详解】直线:3450l x y --=的斜率为34，与直线l 垂直的直线的斜率为43-，所以经过点P 且与直线l 垂直的直线的方程为()4243y x -=-+，即43100x y ++=.18.甲，乙两台机床同时生产一种零件，统计5天中两台机床每天所出的次品件数，数据如下图：（1）判断哪台机床的性能更稳定，请说明理由；（2）从甲机床这五天的数据中任意抽取两天的数据，求至多有一天的次品数超过1件的概率.【正确答案】（1）乙机床更稳定，理由见解析；（2）910【分析】（1）计算甲、乙两种机床的生产次品的平均数和方差，说明稳定性；（2）分别计算从五天中任意抽取两天的方法种数和这两天中至多有一天次品数超过1的方法种数，利用古典概型公式计算概率即可.【小问1详解】甲机床的次品数为0,1,0,2,2，平均数为1，方差为()()()()()22222101110121210.85⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦；乙机床的次品数为.1，平均数为1，方差为()()()()()22222111011121110.45⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦；∴甲、乙两个机床生产的次品的平均数相等，甲机床次品数的方差大于乙机床次品数的方差，所以乙机床性能更稳定.【小问2详解】设从五天的数据中抽取两天，至多有一天的次品数超过1件为事件A ，则从甲机床这五天的数据中任意抽取两天的数据，抽取的方法有25C 10n ==种，至多有一天的次品数超过1件()211332C C C 9n A =+=，则()910P A =.19.已知圆22:60A x y x +-=与直线32x =相交于M ，N 两点.（1）求||MN 的长；（2）设圆C 经过点M ，N 及(2,2)B .若点P 在圆C 上，点Q 在圆A 上，求||PQ 的最大值.【正确答案】（1）（2）7+【分析】（1）根据圆的方程确定圆心与半径，求圆心到直线的距离，结合直线与圆相交弦长公式求解即可得||MN 的长；（2）根据圆C 经过点M ，N ，可得圆心在圆心C 在x 轴上，设(),0C a ，半径为1r ，即可求得圆C 的方程，再根据两圆上动点距离最值即可得||PQ 的最大值.【小问1详解】圆22:60A x y x +-=化成标准方程为()2239x y -+=，则圆心为()3,0A ，半径3r =，圆A 与直线32x =相交于M ，N 两点，则圆心A 到直线32x =的距离为33322d =-=，所以MN ===【小问2详解】由于圆A 与直线32x =相交于M ，N 两点，所以333333,2222M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，或333333,2222N M ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，又圆C 经过点M ，N ，则圆心C 在x 轴上，设(),0C a ，半径为1r ，则1CM CB r==，1r ==，解得11,a r =-=则圆()22:113C x y ++=，若点P 在圆C 上，点Q 在圆A 上，所以max 1||437PQ AC r r =++=++=+.20.某工厂统计2022年销售网点数量与售卖出的产品件数的数据如下表：销售网点数x （单位：个）1719202123售卖出的产品件数y （单位：万件）2122252730假定该工厂销售网点的个数与售卖出的产品件数呈线性相关关系，（1）求2022年售卖出的产品件数y （单位：万件）关于销售网点数x （单位：个）的线性回归方程；（2）根据（1）中求出的线性回归方程，预测2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数.参考公式：()()()112211ˆn ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nxyb x x x nx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-.【正确答案】（1）167.ˆyx =-；（2）约57万件.【分析】（1）由参考公式可算出销售网点数x （单位：个）的线性回归方程；（2）将40x =代入由（1）算得的回归方程可得答案.【小问1详解】由题，可得1719202123205x ++++==，2122252730255y ++++==，51172119222025212723302532i i i x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，5222222117192021232020i i x==++++=∑.则22532520253216202020520ˆ.b-⨯⨯===-⨯，2520167.ˆa =-⨯=-.故回归方程为.167.ˆyx =-【小问2详解】将40x =代入回归方程，则64757ˆy=-=.故2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数约57万件.21.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点12⎫⎪⎭，离心率为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）设经过右焦点2F 的两条互相垂直的直线分别与椭圆E 相交于A ，B 两点和C ，D 两点.求四边形ACBD 的面积的最小值.【正确答案】（1）2214x y +=（2）3225【分析】（1）依题意得到关于a 、b 、c 的方程组，解得即可；（2）首先求出右焦点坐标，当直线AB 的斜率不存在或为0时直接求出四边形的面积，当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线(:AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出AB ，同理得到CD ，最后由面积公式及基本不等式计算可得.【小问1详解】依题意可得22222311432a b c e a c a b ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为2214x y +=.【小问2详解】由（1）可知)2F ，当直线AB 的斜率不存在或为0时，1141222ACBDS AB CD =⋅=⨯⨯=，其中通径为221b a =，当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线(:AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则直线(1:CD y x k =-，由(2214y k x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去y 得()2222141240k x x k +-+-=，()()()()222224141241610k k k ∆=--+⨯-=+>，所以212214x x k+=+，212212414k x x k -=+，所以AB =()224114k k +==+，同理可得()2222141414114k k CD k k ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭==+⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭，所以()()222281121414ACBD S k k k kAB CD =⋅+⨯⨯++=+，因为()()()()()222222214425114424k k k k k ⎡⎤++++⎢⎥++≤=⎢⎥⎣⎦，所以()()22221322525148ACBD S k k +≥=⨯+，当且仅当1k =±时等号成立，综上可得四边形ACBD 的面积的最小值为3225.22.已知点(1,0)F ，经过y 轴右侧一动点A 作y 轴的垂线，垂足为M ，且||||1AF AM -=.记动点A 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设经过点(1,0)B -的直线与曲线C 相交于P ，Q 两点，经过点(1,)((0,2)D t t ∈，且t 为常数）的直线PD 与曲线C 的另一个交点为N ，求证：直线QN 恒过定点.【正确答案】（1）()240y x x =>（2）证明见解析【分析】（1）设()(),0A x y x >，根据距离公式得到方程，整理即可；（2）设()11,P x y 、()22,Q x y 、()33,N x y ，表示出直线PQ 的方程，由点()1,0B -在直线PQ 上，代入可得124y y =，同理可得()13231y y ty y y ++=，再表示出直线QN ，代入可得()()()131441y y ty y x +-=-，即可得到直线QN 过定点坐标.【小问1详解】解：设()(),0A x y x >，则()0,M y ，因为||||1AF AM -=1x -=，又0x >1x =+，整理得()240y x x =>.【小问2详解】证明：设()11,P x y 、()22,Q x y 、()33,N x y ，所以121222*********PQ y y y y k y y x x y y --===-+-，所以直线PQ 的方程为()11124y y x x y y -=-+，因为点()1,0B -在直线PQ 上，所以()111241y x y y -=--+，即21112414y y y y ⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭，解得124y y =①，同理可得直线PN 的方程为()11134y y x x y y -=-+，又()1,D t 在直线PN 上，所以()111341t y x y y -=-+，易得1y t ≠，解得()13231y y ty y y ++=②，所以直线QN 的方程为()22234y y x x y y -=-+，即()23234y y y x y y +=+③，将②式代入③式化简得()1311234y y ty y x y y y +=+，又124y y =，即()131344y y ty y x y +=+，即()()()131441y y ty y x +-=-，所以直线QN 恒过定点41,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

四川省成都市2017-2018学年高二上学期期末调研考试数学(文理科共两套)试题含答案

四川省成都市2017-2018学年高二上学期期末调研考试数学(文理科共两套)试题含答案

四川省成都市2017-2018学年高二上学期期末调研考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】抛物线,满足，所以，则.所以准线方程是.故选A.2. 从某中学甲班随机抽取9名男同学测量他们的体重（单位：kg），获得体重数据如茎叶图所示，对这些数据，以下说法正确的是（）A. 中位数为62B. 中位数为65C. 众数为62D. 众数为64【答案】C【解析】∵由茎叶图得到所有数据从小到大排为∴中位数为，众数为故选C3. 命题“”的否定是（）A. 不存在B.C. D.【答案】D【解析】命题的否定是故选D4. 容量为100的样本，其数据分布在，将样本数据分为4组：，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是（）A. 样本数据分布在的频率为0.32B. 样本数据分布在的频数为40C. 样本数据分布在的频数为40D. 估计总体数据大约有10%分布在【答案】D【解析】总体数据分布在的概率为故选D5. “”是“为椭圆方程”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若表示椭圆，则，且∴或者故是为椭圆方程的必要不充分条件故选B6. 已知函数，若在上随机取一个实数，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令得，即，由几何概型性质可知概率故选D7. 在平面内，已知两定点间的距离为2，动点满足.若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知点的轨迹为椭圆，且∵∴为等边三角形，边长为∴的面积为故选B8. 在2017年3月15日，某物价部门对本市5家商场某商品一天的销售额及其价格进行调查，5家商场的价格与销售额之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售额与价格之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是，则（）A. B. 35.6 C. 40 D. 40.5【答案】C【解析】由题可知∵∴故选C点睛：本题看出回归分析的应用，本题解题的关键是求出样本中心点，根据样本中心点代入求出的值，本题是一个基础题；求回归直线方程的一般步骤：①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系；②求回归系数；③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明.9. 已知双曲线：的左焦点为，右顶点为，过点且垂直于轴的直线与双曲线相交于不同的两点.若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】双曲线右顶点为，左焦点为，，过点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，则∵若为锐角三角形，只要为锐角，即∴，即即∴故选A点睛：解决双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10. 阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】执行程序：；；；；，共执行了5次循环体，结束循环，所以.故选D.11. 已知椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，若点满足且，则的最小值为（）A. 3B.C.D. 1【答案】C【解析】根据题意得：,又因为.所以.故选C.12. 设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于不同的两点，与抛物线的准线相交于点，且.记与的面积分别为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】抛物线的焦点为F(,0),准线方程为x=−,分别过A. B作准线的垂线，垂足分别为D.E，连结AD、BE、AF.genju设,直线AB的方程为,与联立消去y，得,所以，∵|BF|=2,∴根据抛物线的定义,得|BF|=|BE|=+=3,解得=.由此可得,所以|AD|=+=，∵△CAD中,BE∥AD,∴.故选：A.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出,本题就是由韦达定理得到；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若直线为双曲线的一条渐近线，则______.【答案】1【解析】∵双曲线∴∴渐近线方程为∵直线为双曲线的一条渐近线∴故答案为114. 某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数为_______.【答案】150【解析】试题分析：该校教师人数为2400×(人)．考点：分层抽样方法.15. 如图所示的程序框图的算法思路源于宋元时期数学名著《算法启蒙》中的“松竹并生”问题.若输入的的值分别为7，3，则输出的的值为_______.【答案】3【解析】输入进入循环，，不满足执行循环，，不满足执行循环，，满足，输出故答案为316. 若经过坐标原点的直线与圆相交于不同的两点，则弦的中点的轨迹方程为_______.【答案】【解析】设当直线l的方程为，与圆联立方程组,消去y可得：，由,可得.由韦达定理,可得，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为,其中，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：,其中.故答案为：.点睛：求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 甲袋中有1只黑球，3只红球；乙袋中有2只黑球，1只红球.（1）从甲袋中任取两球，求取出的两球颜色不相同的概率；（2）从甲、乙两袋中各取一球，求取出的两球颜色相同的概率.【答案】（1）（2）.【解析】试题分析：（1）先求出取出两球的种数，再根据分类和分步计数原理求出一只黑球一只红球的种数，根据概率公式计算即可；（2）分为同是黑色，红色，根据分类和分步计数原理即可求出取得两球颜色相同的种数，根据概率公式计算即可．试题解析：（1）将甲袋中的1只黑球，3只红球分别记为.从甲袋中任取两球，所有可能的结果有共6种.其中两球颜色不相同的结果有共3种.记“从甲袋中任取两球，取出的两球的颜色不相同”为事件，则∴从甲袋中任取两球，取出的两球的颜色不相同的概率为.（2）将甲袋中的1只黑球，3只红球分别记为，将乙袋中的2只黑球，1只红球分别记为从甲、乙两袋中各取一球的所有可能结果有共12种.其中两球颜色相同的结果有共5种记“从甲、乙两袋中各取一球，取出的两球的颜色相同”为事件，则∴从甲、乙两袋中各取一球，取出的两球的颜色相同的概率为.18. 已知命题：若关于的方程无实数根，则；命题：若关于的方程有两个不相等的正实根，则.（1）写出命题的否命题，并判断命题的真假；（2）判断命题“且”的真假，并说明理由.【答案】（1）命题为真命题（2）命题“且”为真命题................试题解析：（1）解：命题的否命题：若关于的方程有实数根，则或.∵关于的方程有实根∴∵，化简，得，解得或.∴命题为真命题.（2）对于命题：若关于的方程无实数根，则化简，得，解得.∴命题为真命题.对于命题：关于的方程有两个不相等的正实根，有，解得∴命题为真命题∴命题“且”为真命题.19. 阅读如图所示的程序框图，解答下列问题：（1）求输入的的值分别为时，输出的的值；（2）根据程序框图，写出函数（）的解析式；并求当关于的方程有三个互不相等的实数解时，实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）.【解析】试题分析：（1）根据输入的的值为时，输出结果；当输入的的值为2时，输出结果；（2）根据程序框图，可得，结合函数图象及有三个互不相等的实数解即可求出实数的取值范围.试题解析：（1）当输入的的值为时，输出的；当输入的的值为2时，输出的（2）根据程序框图，可得当时，，此时单调递增，且；当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，且. 结合图象，知当关于的方程有三个互不相等的实数解时，实数的取值范围为.20. 已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线：相交于不同的两点，与抛物线的准线相交于不同的两点，且.（1）求抛物线的方程；（2）若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点，且满足.证明直线过轴上一定点，并求出点的坐标.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）由，得两点所在的直线方程为，进而根据长度求得；（2）设直线的方程为，与抛物线联立得，由得，进而利用韦达定理求解即可.试题解析：（1）由已知，，则两点所在的直线方程为则，故∴抛物线的方程为.（2）由题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，.联立消去，得.∴，，，∵，∴又，∴∴解得或而，∴（此时）∴直线的方程为，故直线过轴上一定点.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 一网站营销部为统计某市网友2017年12月12日在某网店的网购情况，随机抽查了该市60名网友在该网店的网购金额情况，如下表：若将当日网购金额不小于2千元的网友称为“网购达人”，网购金额小于2千元的网友称为“网购探者”.已知“网购达人”与“网购探者”人数的比例为2：3.（1）确定的值，并补全频率分布直方图；（2）试根据频率分布直方图估算这60名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位数；若平均数和中位数至少有一个不低于2千元，则该网店当日被评为“皇冠店”，试判断该网店当日能否被评为“皇冠店”.【答案】(1)见解析（2）见解析【解析】试题分析：(1)由频数之和为，“网购达人”与“网购探者”人数的比例为2：3，列出关于的方程组，由此能求出的值，并补全频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图分别计算平均数和中位数，再与题设条件做比较，即可判断.试题解析：(1)由题意，得化简，得，解得∴补全的频率分布直方图如图所示：（2）设这60名网友的网购金额的平均数为，则（千元）又∵，，∴这60名网友的网购金额的中位数为1.5+0.3=1.8（千元）∵平均数，中位数，∴根据估算判断，该网店当日不能被评为“皇冠店”.22. 已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比值为常数，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若直线：与曲线相交于不同的两点，直线：（）与曲线相交于不同的两点，且.求以为顶点的凸四边形的面积的最大值. 【答案】（1）（2）4.【解析】试题分析：（1）设，根据题意，动点的轨迹为集合，得，化简求解即可；（2）联立消去，得，利用两点距离公式及韦达定理求得，同理可得，由得，设两平行线间的距离为，代入求解即可.试题解析：（1）设，动点到直线：的距离为，根据题意，动点的轨迹为集合由此，得化简，得∴曲线的方程为.（2）设联立消去，得.∴，。

四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末校级调研联考数学试题

四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末校级调研联考数学试题

四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末校级调研联考
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
3
三、填空题
四、解答题
(1)求证：AM ⊥平面BDM
(2)求直线AM 与平面MBC 所成角的余弦值.
21．已知圆的方程2216x y +=,(2,0)A -,(2,0)B ，抛物线过,A B 两点，且以圆的切线为准线.
(1)求抛物线焦点的轨迹C 的方程；
(2)已知(4,0)P ， 设x 轴上一定点(,0)(44)T t t -<<， 过T 的直线交轨迹C 于 ,M N 两点（直线MN 与x 轴不重合），求证：MP NP k k ⋅为定值.
22．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ， 过F 的直线l 交于,A B 两点， 过F 与l 垂直的直线交于,D E 两点，其中,B D 在y 轴左侧，
,M N 分别为,AB DE 的中点，且直线
M N 过定点(0,3). (1)求抛物线2:2(0)C x py p =>的方程； (2)设G 为直线 AE 与直线BD 的交点; （i ）证明G 在定直线上； （ii ）求MGN V 面积的最小值.。

成都市2021~2022学年度上学期期末高二年级调研考试理科数学试题及参考答案

成都市2021~2022学年度上学期期末高二年级调研考试理科数学试题及参考答案

成都市2021～2022学年度上期期末高二年级调研考试数学本试卷分选择题和非选择题两部分。

第Ⅰ卷(选择题)1至2页，第Ⅱ卷(非选择题)3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，只将答题卡交回。

第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(2022 成都高二上期末考试 1)命题“,sin xx N e x ∀∈>”的否定是( )A .,sin x x N e x ∀∈≤B .,sin xx N e x ∀∈<C .000,sin x x N ex ∃∈> D .000,sin x x N e x ∃∈≤【答案】D(2022 成都高二上期末考试 2)抛物线24y x =的准线方程为( )A .116y =B .116y =- C .1x =- D .1x =【答案】C(2022 成都高二上期末考试 3)在空间直角坐标系Oxyz 中，点()1,1,1A -关于x 轴对称的点的坐标为( ) A .()1,1,1 B .()1,1,1- C .()1,1,1--- D .()1,1,1--【答案】B(2022 成都高二上期末考试 4)设直线()12:210,:30l ax a y l x ay +-+=+-=. 若12l l ⊥，则a 的值为( ) A .0或1 B .0或1- C .1 D .1- 【答案】A(2022 成都高二上期末考试 5)下列有关命题的表述中，正确的是( ) A .命题“若a b +是偶数，则,a b 都是偶数”的否命题是假命题B .命题“若a 为正无理数，则a 也是无理数”的逆命题是真命题C .命题“若2x =，则260x x +-=”的逆否命题为“若260x x +-≠，则2x ≠”D .若命题“p q ∧”，“()p q ∨⌝”均为假命题，则,p q 均为假命题【答案】C(2022 成都高二上期末考试 6)执行如图所示的算法框图，则输出的结果是( ) A .99100B .100101C .101100D .99101【答案】B(2022 成都高二上期末考试 7)方程22131x y m m+=+-表示椭圆的充分不必要条件可以是( )A .()3,1m ∈-B .()()3,11,1m ∈---C .()3,0m ∈-D .()3,1m ∈--【答案】D(2022 成都高二上期末考试 8)如图，是对某位同学一学期8次体育测试成绩(单位：分)进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是( )A .该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差超过15分B .该同学8次测试成绩的众数是48分C .该同学8次测试成绩的中位数是49分D .该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关 【答案】C(2022 成都高二上期末考试 9)若椭圆22134x y +=的弦AB 恰好被点()1,1M 平分，则AB 所在的直线方程为( )A .3410x y -+=B .3470x y +-=C .4310x y --=D .4370x y +-=【答案】D(2022 成都高二上期末考试 10)七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的. 如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机的取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为( ) A .916 B .716 C .1332 D .1132【答案】A(2022 成都高二上期末考试 11)已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F . 若双曲线右支上存在点P ，使得1PF 与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点Q ，且114PF F Q =，则双曲线的渐近线方程为( )A .y x =±B .43y x =±C .34y x =± D .y = 【答案】B【考点】交点到渐近线距离，余弦定理解三角形(2022 成都高二上期末考试 12)数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美. 平面直角坐标系中，曲线22:C x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论： ①曲线C 围成的图形的面积是2π+； ②曲线C 上任意两点间的距离不超过2；③若(),P m n 是曲线C 上任意一点，则3412m n +-. 其中正确结论的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 【答案】C【解析】①对②错③对【考点】去绝对值，具备几何意义的代数式(点到直线距离)第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上. (2022 成都高二上期末考试 13)椭圆2224x y +=的长轴长为______.【答案】4(2022 成都高二上期末考试 14)某班有40位同学，将他们从01至40编号，现用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是05，那么第四位的编号是______. 【答案】29(2022 成都高二上期末考试 15)根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2022年每年进口总额x (单位：千亿元)和出口总额y (单位：千亿元)之间的一组数据如下：若每年的进出口总额,x y 满足线性相关关系ˆˆ0.84y bx =-，则ˆb =________；若计划2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为______千亿元. 【答案】1.6；3.65(2022 成都高二上期末考试 16)已知椭圆和双曲线有相同的焦点12,F F ，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，P 为两曲线的一个公共点，且122PF PF PO -=. 若1e ∈⎝⎦，则2e 的取值范围是______.【答案】⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】12122PF PF F F PO -==，即PO c =，故1290F PF ∠=，根据椭圆双曲线共焦点的二级结论222212sin cos 221e e θθ+=，可知2212112e e +=，故可求得2e ⎫∈+∞⎪⎪⎣⎭【考点】椭圆双曲线共焦点的二级结论三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (2022 成都高二上期末考试 17)已知ABC ∆的三个顶点是()()()4,0,6,7,0,3A B C . (1)求AC 边所在的直线方程；(2)求经过AB 边的中点，且与AC 边平行的直线l 的方程. 【解析】(2022 成都高二上期末考试 18)某班主任对全班50名学生进行了作业量多少与手机网游的调查，数据如下表：(1)若随机地抽问这个班的一名学生，分别求时间“认为作业不多”和时间“喜欢手机网游且认为作业多”的概率；(2)若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生. 现要从这5名学生中任取2名学生了解情况，求其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率. 【解析】(2022 成都高二上期末考试 19)已知圆C 的圆心()1,2C ，且圆C 经过点()5,5P . (1)求圆C 的一般方程；(2)若圆()222:0O x y m m +=>与圆C 恰有两条公切线，求实数m 的取值范围.【解析】(2022 成都高二上期末考试 20)为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动. 为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了50名学生的得分(得分均为整数，满分为100分)进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[)60,70，第二组[)70,80，第三组[)80,90，第四组[]90,100(单位：分)，得到如下的频率分布直方图.(1)求图中m 的值，估计此次竞赛活动学生得分的中位数；(2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动得分的平均值. 若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖.【解析】(2022 成都高二上期末考试 21)已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，直线3y =与抛物线在第一象限的交点为A ，且4AF =.(1)求抛物线的方程；(2)经过焦点F 作相互垂直的两条直线12,l l ，与抛物线分别交于,P Q 和,M N 四点. 若,C D 分别是线段,PQ MN 的中点，求FC FD ⋅的最小值.【解析】(2022 成都高二上期末考试22)已知点P是圆(22++=上任意一点，)0C x y:16A是圆C内一点，线段AP的垂直平分线与半径CP相交于点Q.(1)当P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹E 的方程；(2)设不经过坐标原点O ，且斜率为12的直线l 与曲线E 相交于,M N 两点，记,OM ON 的斜率分别为12,k k ，以,OM ON 为直径的圆的面积分别为12,S S . 当12,k k 都存在且不为0时，试探究1212S S k k 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.【解析】。

成都市高二上期末调研考试数学试卷及答案

成都市高二上期末调研考试数学试卷及答案

成都市2008——2009学年度上期期末调研考试高二数学一、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，把正确的序号填在机读卡的指定位置上．1．若点M 在直线a 上，直线b 在平面a 内，则M 与a ，b 与a 之间的关系可用符号表示为【 】(A),M a b a ∈∈ (B),M a b a ⊂∈ (C),M a b a ∈⊂ (D),M a b a⊂⊂2．若直线1:(1)3l ax a y +-=与如2:1l x ay +=互相垂直，则a 的值为【 】(A)2- (B)2 (C)0或2- (D)0或23．下列图形中不一定是平面图形的是【 】 (A)三角形 (B)梯形 (C)对角线相交的四边形 (D)边长相等的四边形4．(文科做)抛物线2y x =的焦点坐标是【 】(A)1(,0)2(B)1(0,)2(C)1(,0)4(D)1(0,)4(理科做)抛物线22y bx =的焦点坐标是【 】(A)1(0,)4b(B)1(0,)8b (C)(,0)2b (D)(,0)4b 5．已知x 、y 满足约束条件2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则z y x =-的取值范围是【 】(A)[]2,1-- (B)[]2,1- (C)[]1,2- (D)[]1,26．对于空间任意直线l (l 可能和平面a 平行或相交，也可能在平面a 内)，在平面a 内必有直线m 与l 【 】 (A)平行 (B)相交 (C)垂直 (D)异面7．(文科做)若圆224240x y x y +---=关于直线240ax by +-=对称，则a b +的值是【 】 (A)2- (B)1- (C)2 (D)4(理科做)若圆224240x y x y +---=关于直线240ax by +-=对称，则ab 的最大值是【 】(A)1(B)2(C)2 (D)48．与椭圆而2211625x y +=共焦点，且两条准线间的距离为103的双曲线方程为【 】 (A)22145x y -= (B)22153x y -= (C)22154y x -= (D)22153y x -=9．在Rt △ABC 中，已知6,8,90AB AC A ==∠=°．若△ABC 所在平面a 外的一点P 到三个顶点A 、B 、C 的距离都为13，点P 在a 内的射影是O ，则线段PO 的长为【 】(A)12 (B)13 (C)9 (D)710．关于不同的直线a 、b 与不同的平面α、β，有下列四个命题【 】①a ∥α，b ∥β且α∥β，则a ∥b ；②a ⊥α，b ⊥β且α⊥β，则a ⊥b ；③a ⊥α，b ∥β且α∥β，则a ⊥b ；④a ∥α，b ⊥β且α⊥β，则a ∥b ．其中真命题的序号是【 】 (A)①② (B)③④ (C)①④ (D)②③1l ．已知椭圆221mx ny +=与直线1x y +=相交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OM 的斜率为2，则nm的值为【 】(A)22 (B)12(C)2 (D)2 12．(文科做)在平面内，已知P 是定线段AB 外一点，满足下列条件：2,25,0PA PB PA PB PA PB -=-=⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．则△PAB 的面积为【 】(A)3 (B)4 (C)8 (D)16 (理科做)在平面内，已知P 是定线段AB 外一点，满足下列条件：2,25,0PA PB PA PB PA PB -=-=⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．则△PAB 的内切圆面积为【 】(A)2(23)π(B)2(23)π- (C)2(35)π+(D)2(35)π-二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．过点(2,3)P 且以(1,3)a =为方向向量的直线l 的方程为 ． 14．已知边长为2的正三角形ABC 在平面a 内，PA a ⊥，且1PA =，则点P 到直线 BC 的距离为 ．15．已知双曲线的一条渐近线方程是32y x =，焦距为7为 ．16．下面是关于圆锥曲线的四个命题：①抛物线22y px =的准线方程为2p y =-； ②设A 、B 为两个定点，a 为正常数，若2PA PB a +=u u u r u u u u r，则动点P 的轨迹为椭圆，③方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④平面内与定点(5,0)A 的距离和定直线16:5l x =的距离之比为54的点的轨迹方程为221169x y -=．其中所有真命题的序号为 ． 三、解答题：(本大题共6小题，共74分)17．光线从点(2,3)M 射到x 轴上一点后被x 轴反射，反射光线所在的直线1l 与直线2:32130l x y -+=平行，求1l 和2l 的距离．18．如图，已知ABCD 是矩形，M 、N 分别是PC 、PD 上的点，且PA ⊥平面ABCD ，求证：AM PC ⊥19．已知点(2,0)A 关于直线1:40l x y +-=的对称点为A '，圆22:()()4(0)C x m y n n -+-=>经过点A 和A '，且与过点(0,22)B -的直线2l 相切，求直线2l 的方程。

2023-2024学年四川省成都市校级联考高二(上)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年四川省成都市校级联考高二(上)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年四川省成都市校级联考高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量a =(1,1,2),b =(−3,2,0)，则a +b 在a 上的投影向量为( )A. (32,32,322) B. (1510, 1510, 3010)C. (34,34,3 24) D. (−25,35, 25)2.平面直角坐标系内，与点A(1,1)的距离为1且与圆(x−1)2+(y−4)2=4相切的直线有( )A. 4条B. 3条C. 2条D. 0条3.设−A 、−B 分别是事件A 、B 的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则下列结论不正确的是( )A. P(A)+P(−A )=1B. 若A 、B 是互斥事件，则P(A ∩B)=P(A)P(B)C. P(A ∪−A )=1D. 若A 、B 是独立事件，则P(A ∩B)=P(A)P(B)4.如图，在平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°，则AC1⋅BD 1=( )A. 12B. 1C. 32D. 25.在样本频率分布直方图中共有9个小矩形，若其中1个小矩形的面积等于其他8个小矩形面积和的25，且样本容量为210，则该组的频数为( )A. 28B. 40C. 56D. 606.已知双曲线C ：x 22−y 24=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作其中一条渐近线的垂线，垂足为P ，则|P F 2|为( )A.3B. 23C. 2D. 47.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，其上有两点A ，B ，若AB 的中点为M ，满足MF 的斜率等于1，则|BF|的最大值是( )A. 7B. 8C. 5+23D. 108.半径为R 的光滑半球形碗中放置着4个半径为r 的质量相同的小球，且小球的球心在同一水平面上，今将另一个完全相同的小球至于其上方，若小球不滑动，则Rr 的最大值是( )A. 25+1B. 27+1C. 211+1D. 213+1二、多选题：本题共4小题，共20分。

2022-2023学年四川省成都市高二上册期末数学(理)质量检测试题(含解析)

2022-2023学年四川省成都市高二上册期末数学(理)质量检测试题(含解析)

2022-2023学年四川省成都市高二上册期末数学（理）质量检测试题一、单选题1．某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②，那么完成上述2项调查应采用的抽样方法是A ．①用随机抽样法，②用系统抽样法B ．①用分层抽样法，②用随机抽样法C ．①用系统抽样法，②用分层抽样法D ．①用分层抽样法，②用系统抽样法【正确答案】B【分析】调查社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以分层抽样最佳；由于②样本容量不大，且抽取的人数较少，故可用随机抽样法．【详解】对于①，因为社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以要从中抽一个样本容量是100的样本应该用分层抽样法；对于②，由于样本容量不大，且抽取的人数较少，故可采用简单随机抽样法抽取样本所以选B本题考查收集数据的方法，当总体中的个体较少时，一般用简单随机抽样；当总体中的个体较多时，一般用系统抽样；当总体由差异明显的几部分组成时，一般用分层抽样，属于基础题．2．下面命题正确的是（）A ．“若0ab ≠，则0a ≠”的否命题为真命题；B ．命题“若任意的1x <，则21x <”的否定是“存在1x ≥，则21x ≥”；C ．设,R x y ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件；D ．设,a b R ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件．【正确答案】D【分析】对于A ，写出其否命题，判断其真假即可；对于B ，写出其否定即可判断；对于C ，D ，根据充分条件和必要条件的概念判断即可.【详解】对于A ，“若0ab ≠，则0a ≠”的否命题为“若0ab =，则0a =”，否命题显然是假命题，故A 不正确；对于B ，命题“若任意的1x <，则21x <”的否定是“存在1x <，则21x ≥”，故B 不正确；对于C ，由2x ≥且2y ≥能够推出224x y +≥，由224x y +≥不能够推出2x ≥且2y ≥，所以“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的充分不必要条件，故C 不正确；对于D ，由0a ≠不能够推出0ab ≠，由0ab ≠能够推出0a ≠，所以“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，故D 正确.故选：D3．直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为2，则直线的倾斜角为（）A ．3πB ．3π-或3πC ．3π或23πD ．6π或56π【正确答案】C【分析】根据垂径定理求出直线斜率，再求倾斜角得选项.【详解】因为2222|233|4()(),321k k k-+=+∴=±+，因此直线的倾斜角为3π或23π，故选：C本题考查垂径定理以及斜率与倾斜角关系，考查基本分析求解能力，属基础题.4．执行下面的程序框图，如果输入的3N =，那么输出的S =A ．1B ．32C ．53D ．52【正确答案】C【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件3K >，跳出循环，计算输出S 的值．【详解】由程序框图知：输入3N =时，1K =，0S =，T 1=，第一次循环1T =，1S =，2K =；第二次循环12T =，13122S =+=，3K =；第三次循环16T =，1151263S =++=，4K =；满足条件3K >，跳出循环，输出53S =，故选C ．本题主要考查了循环结构的程序框图，当循环的次数较少时，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法，当循环次数较多时，寻找其规律，注意循环的终止条件是解题的关键，属于基础题．5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．y =B ．y =C ．12y x =±D ．2y x=±【正确答案】A【分析】依题意2c a=，再根据222c a b =+，即可得到223b a =，从而求出渐近线方程；【详解】解：因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，即2c e a ==，又222c a b =+，所以2222222214c a b b e a a a +===+=，所以223b a =，所以b a =C 的渐近线方程为y =；故选：A6．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A ．至少有一个白球与都是红球B ．恰好有一个白球与都是红球C ．至少有一个白球与都是白球D ．至少有一个白球与至少一个红球【正确答案】B【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.【详解】解：对于A ，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A 错误；对于B ，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，所以两个事件互斥而不对立，故B 正确；对于C ，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C 错误；对于D ，事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球”，所以这两个事件不是互斥的，故D 错误.故选：B.7．已知点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则1y z x =+的取值范围是（）A ．1[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ，B ．122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．122⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【正确答案】C【分析】根据不等式组作出可行域，根据1yz x =+的几何意义:可行域内的点(,)x y 与(1,0)-连线的斜率求解即可.【详解】由约束条件212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩作出可行域如图:1yz x =+的几何意义是可行域内的点(,)x y 与(1,0)-连线的斜率，由可行域可知，当取点(0,2)B 时，连线斜率最大，所以z 的最大值为20201z -==+，当取点(1,1)A 时，连线斜率最小，所以z 的最小值为101112z -==+，则1y z x =+的取值范围是122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选:C.本题主要考查了简单线性规划问题中的目标函数范围问题，属于中档题，解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解目标函数的几何意义.8．变量x 与y 的数据如表所示，其中缺少了一个数值，已知y 关于x 的线性回归方程为 1.2 3.8y x =-，则缺少的数值为（）x2223242526y2324▲2628A ．24B ．25C ．25.5D ．26【正确答案】A【分析】可设出缺少的数值，利用表中的数据，分别表示出x 、y ，将样本中心点()x y 带入回归方程，即可求得参数.【详解】设缺少的数值为a ，则2223242526245x ++++==，2324262810155a ay +++++==，因为回归直线方程经过样本点的中心，所以101 1.224 3.85a+=⨯-，解得24a =.故选：A ．9．已知抛物线C ：212y x =的焦点为F ，准线为l ，点A 在C 上，AB l ⊥于B ，若π3FAB ∠=，则AF =（）A ．4B ．12CD ．【正确答案】B【分析】结合抛物线定义，ABF △为正三角形，即可解决.【详解】由题知抛物线C ：212y x =，开口向右，6P =，记准线l 与x 轴交于点D ，因为AB l ⊥，根据抛物线定义有：AF AB =，因为π3FAB ∠=，所以ABF △为正三角形，所以ππ,33AFB AFx ∠=∠=，所以π3BFD ∠=因为焦点到准线的距离为6P =，所以12BF =，所以12AB AF ==，故选：B10．设集合{}|2,0A x a x a a =--<，命题p ：1A ∈，命题q ：2A ∈，若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则a 的取值范围是（）A ．01a <<或2a >B ．01a <<或2a ≥C ．12a <≤D ．12a ≤≤【正确答案】C【详解】试题分析：p q ∨ 为真命题，p q ∧为假命题∴当p 真q 假时有21{122a a a a --⇒≤≤＜＜＜，当p 假q 真时有，故1{22a a a a ≤⇒∈∅--＜＜综上：12a ≤＜故答案为12]（，．复合命题的真假性判断和应用11．已知O 为坐标原点，双曲线C ：()222104x y b b-=>的右焦点为F ，以OF 为直径的圆与C 的两条渐近线分别交于与原点不重合的点A ，B ，若OA OB +=，则ABF △的周长为（）A ．6B ．C ．4+D ．4+【正确答案】B【分析】结合双曲线图像对称性，可得AB x ⊥轴，根据圆的性质和双曲线a ，b ，c 的关系可计算出||AF ，|BF |，||AB 的长度，进而求出ABF △的周长.【详解】设AB 与x 轴交于点D ，由双曲线的对称性可知AB x ⊥轴，||||OA OB =，2AB AD =，又因为OA OB +=，所以OA =，即2AD OA =，所以60AOF ∠=︒，因为点A 在以OF 为直径的圆上，所以OA AF ⊥，OA 所在的渐近线方程为by x a=，点(c,0)F 到渐进线by x a=距离为bc a AF b ==，所以2OA a ==，所以tan 60AF BF OA ==︒=sin 60AD BD OA ==︒，所以ABF △的周长为AF BF AD BD +++=故选：B12．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点，且满足AP BP <，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈ ，29λμ=，则该椭圆的离心率为A ．35B ．1213C ．35或1213D ．45【正确答案】A【详解】分析：根据向量共线定理及29λμ=，AP BP < ，可推出λ，μ的值，再根据过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），可推出P ，B 两点的坐标，然后求出过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 的方程，即可求得A 点的坐标，从而可得a ，b ，c 三者关系，进而可得椭圆的离心率.详解：∵A 、P 、B 三点共线，(),OP OA OB R λμλμ=+∈∴1λμ+=又∵29λμ=∴1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵AP BP < ∴2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限）∴2(,)b P c a ，2(,b B c a-∵过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点∴直线1l 的方程为为1x ya b+=-∴()(,)a c bA c a+∵2133OP OA OB =+ ∴222()1()33b a c b b a a a+=⋅+⋅-，即2b a c =+.∴22224()2a c a ac c -=++，即223520a c ac --=.∴25230e e +-=∵(0,1)e ∈∴35e =故选A.点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．二、填空题13．抛物线28y x =的焦点到准线的距离是______.【正确答案】116【分析】化方程为标准方程，焦点到准线的距离【详解】抛物线28y x =化为标准方程为抛物线218x y =，则其焦准距为116=p ，即焦点到准线的距离是116.故11614．执行下面的程序后输出的第3个数是______．【正确答案】2【分析】运行程序，执行循环语句，即可求解.【详解】由题意，运行程序：第一次输出的数是1，第二次输出的数是13122x =+=，第三次输出的数是31222x =+=，故2.15．在定圆上随机取三点A 、B 、C ，则ABC 是锐角三角形的概率等于______．【正确答案】14##0.25【分析】根据题意，设,,A B C ∠∠∠对应的弧度数分别为,,πx y x y --，得到试验的全部结果构成事件：}{(,)0π,0π,0πB x y x y x y =<<<<<+<，再根据记“ABC 是锐角三角形”为事件A ，πππ(,)0,0,π222A x y x y x y ⎧⎫=<<<<<+<⎨⎬⎭⎩，作图，可得其概率的值.【详解】设,,A B C ∠∠∠对应的弧度数分别为,,πx y x y --，则试验的全部结果构成事件：}{(,)0π,0π,0πB x y x y x y =<<<<<+<，记“ABC 是锐角三角形”为事件A ，则πππ(,)0,0,π222A x y x y x y ⎧⎫=<<<<<+<⎨⎬⎭⎩，如下图阴影部分，结合图像，ABC 是锐角三角形的概率为1()4P A =.故1416．已知直线y kx =与椭圆C ：222212x y b b +=交于A ，B 两点，弦BC 平行y 轴，交x 轴于D ，AD 的延长线交椭圆于E ，下列说法中正确的命题有______．①椭圆C 的离心率为：2；②12AE k k =；③12AE BE k k ⋅=-；④以AE 为直径的圆过点B ．【正确答案】②③④【分析】根据椭圆C 的方程得到：222a b =，22c b =，即可求得椭圆的离心率；由椭圆的对称性知A 、B 关于原点对称，设()00,A x y ，则()00,B x y --，()0,0D x -，结合斜率公式可以判断②；设(),E m n ，联立直线()0:2k AE y x x =+和椭圆222212x y C b b+=:，得到：()222222002240k x k x x k x b +++-=，根据根与系数的关系和E 在直线AE 上得到1BE k k=-，即可判断③和④.【详解】由题意得：222a b =，则2222c a b b =-=，所以椭圆的离心率2c e a =，所以①错误；又由椭圆的对称性知A 、B 关于原点对称，设()00,A x y ，则()00,B x y --，()0,0D x -，由斜率公式得：002AD y k x =，000022AB y y k k x x ===，由题知0k ≠则12AD k k =，所以②正确；由上得直线AE 的方程为()02k y x x =+，设(),E m n ，则()02k n m x =+，则()000000022BE k m x y n y y k k m x m x m x +++===++++，联立直线AE 和椭圆C 得：()222222002240k x k x x k x b +++-=，因为直线AE 经过点D ，点D 在椭圆C 内，则0∆>，所以200222k x x m k -+=+，将其代入002BE y k k m x =++，又00k y x =，所以220202212222BE k k k k k y k x k k ⎛⎫++=+⨯-=-=- ⎪⎝⎭，则1BE AB k k ⋅=-，即BE AB ⊥，所以以AE 为直径的圆过点B ，所以④正确；又1122AE BE k k k k ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，所以③正确；故②③④.三、解答题17．已知圆C 上有两个点A ()2,3，B ()4,9，且AB 为直径．(1)求圆C 的方程；(2)已知P ()0,5，求过点P 且与圆C 相切的直线方程．【正确答案】(1)()()223610x y -+-=(2)35y x =-+【分析】（1）由中点坐标公式求出圆心C 坐标，再求出半径，即可得到圆的方程；（2）先判断点P 在圆C 上，再求得直线PC 的斜率，从而得到切线的斜率，即可求解.【详解】（1）因为圆C 的直径为AB ，故其圆心为C ()3,6，其半径为12AB ，故圆C 的方程为：()()223610x y -+-=．（2）因为()()22035610-+-=，故P 在圆C 上，连接PC ，而直线PC 的斜率：561033PC k -==-，故圆C 在P 处的切线的斜率为3k =-，故所求切线的方程为：35y x =-+．18．某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率布直方图，其统计数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100].（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求这50名问卷评分数据的中位数；（3）从评分在[40，60）的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60）的概率.【正确答案】（1）0.006；（2）76；（3）310.【分析】(1)由频率分布直方图的各小矩形的面积和为1可得：()0.028 2 0.0232 0.0156 0.004101a +⨯+++⨯=，解之可得答案；(2)由频率分布的直方图可得设中位数为m ，列出方程()()0.004 0.006 0.023210 700.0280.5m ++⨯+-⨯=，解之可得答案；(3)由频率分布直方图可知评分在[40，60)内的人数和评分在[50，60)内的人数，再运用列举法可求得概率.【详解】(1)由频率分布直方图可得：()0.028 2 0.0232 0.0156 0.004101a +⨯+++⨯=，解得a =0.006；(2)由频率分布的直方图可得设中位数为m ，故可得()()0.004 0.006 0.023210 700.0280.5m ++⨯+-⨯=，解得m =76，所以这50名问卷评分数据的中位数为76.(3)由频率分布直方图可知评分在[40，60)内的人数为0.004 50100.00610505⨯⨯+⨯⨯=(人)，评分在[50，60)内的人数为0.00650103⨯⨯=(人)，设分数在[40，50)内的2人为12,a a ，分数在[50，60)内的3人为123,,b b b ，则在这5人中抽取2人的情况有：()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ，共有10种情况，其中分数在在[50，60)内的2人有()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ，有3种情况，所以概率为P =310.本题考查频率直方图的识别和计算，以及运用列举法求古典概率的问题，属于中档题.19．已知双曲线C 的焦点在x 轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为3y x =．(1)求C 的标准方程；(2)若直线1:12l y x =-与双曲线C 交于A ，B 两点，求||AB ．【正确答案】(1)2213x y -=(2)【分析】（1）焦点在x 轴上，设方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>根据题意求出,a b 即可（2）设点，联立方程组，消元得一元二次方程，由韦达定理，然后利用弦长公式计算即可【详解】（1）因为焦点在x 轴上，设双曲线C 的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由题意得24c =，所以2c =，①又双曲线C的一条渐近线为3y x =，所以b a =，②又222+=a b c ，③联立上述式子解得a =1b =，故所求方程为2213x y -=；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立2211213y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，整理得213604x x +-=，由2134((6)1504∆=-⨯⨯-=>，所以1212x x +=-，1224x x =-，即AB ===20．某书店销售刚刚上市的高二数学单元测试卷，按事先拟定的价格进行5天试销，每种单价试销1天，得到如下数据：单价/元1819202122销量/册6156504845由数据知，销量y 与单价x 之间呈线性相关关系．(1)求y 关于x 的回归直线方程；附：()()()121ni i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-$$．(2)预计以后的销售中，销量与单价服从（1）中的回归直线方程，已知每册单元测试卷的成本是10元，为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为多少元？【正确答案】(1) 4132y x =-+(2)21.5元【分析】（1）根据表中数据求得x 和y ，再求得b和 a ，即可得到y 关于x 的回归直线方程；（2）由题意得获得的利润241721320z x x =-+-，结合二次函数的性质即可求解.【详解】（1）由表格数据得1819202122205x ++++==，6156504845525y ++++==．则()()5140i i i x x y y =--=-∑，()52110i i x x=-=∑，则40410b -==- ， ()52420132a y bx =-=--⨯= ，则y 关于的回归直线方程为 4132y x =-+.（2）获得的利润()()210413241721320z x x x x =--+=-+-，对应抛物线开口向下，则当()17221.524x =-=⨯-时，z 取得最大值，即为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为21.5元．21．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>P 到一个焦点的距离的最小值为1)-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点(0,1)M -的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．【正确答案】（1）221189x y +=；（2）过定点(0,3)，理由见解析.【分析】（1）利用2c a =，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3a c -=，求解a ，c ，得到b ，即可求出椭圆方程；（2）当直线l 的斜率为0时，令1y =-，则4x =±，此时以AB 为直径的圆的方程为22(1)16x y ++=．当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为229x y +=，求出两个圆的交点坐标，即可得到猜想以AB 为直径的圆恒过定点(0,3)T ．对一般情况证明如下：设过点(0,1)M -的直线l 的方程为1y kx =-与椭圆C 交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则221218y kx x y =-⎧⎨+=⎩利用韦达定理，通过数量积证明TA TB ⊥．即可得到结论．【详解】（1）由题意2c a =，故a ，又椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为1)，所以3a c -=-，解得3c =，a =，所以2229b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为221189x y +=；(2)当直线l 的斜率为0时，令1y =-，则4x =±，此时以AB 为直径的圆的方程为2(1)16x y ++=．当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为229x y +=，联立2222(1)169x y x y ⎧++=⎨+=⎩解得0x =，3y =，即两圆过点(0,3)T ．猜想以AB 为直径的圆恒过定点(0,3)T ．对一般情况证明如下：设过点(0,1)M -的直线l 的方程为1y kx =-与椭圆C 交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则221218y kx x y =-⎧⎨+=⎩整理得22(12)4160k x kx +--=，所以121222416,1212k x x x x k k +==-++．因为1122121212(,3)(,3)3()9TA TB x y x y x x y y y y =--=+-++ 121212(1)(1)3(11)9x x kx kx kx kx =+----+-+21212(1)4()16k x x k x x =+-++22222216(1)1616(12)16160121212k k k k k k -+-+=-+=+=+++，所以TA TB ⊥．所以存在以AB 为直径的圆恒过定点T ，且定点T 的坐标为(0,3)．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆与圆的位置关系的应用，考查定值定点问题，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．22．如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S.（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.【正确答案】（1）2，=1x -；（2）1()2,0G .【分析】(1)由焦点坐标确定p 的值和准线方程即可；(2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得12S S 的最小值和点G 的坐标.【详解】(1)由题意可得12p =，则2,24p p ==，抛物线方程为24y x =，准线方程为=1x -.(2)设()()1122,,,A x y B x y ，设直线AB 的方程为()1,0y k x k =->，与抛物线方程24y x =联立可得：()2222240k x k x k -++=，故：1212242,1x x x x k+=+=，()12121242,4y y k x x y y k +=+-==-⨯=-，设点C 的坐标为()33,C x y ，由重心坐标公式可得：1233G x x x x ++=321423x k ⎛⎫++ ⎝=⎪⎭，1233G y y y y ++=3143y k =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令0G y =可得：34y k =-，则233244y x k ==.即222144123382G k x k k ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎝=⎭=，由斜率公式可得：131322311313444AC y y y y k y y x x y y --===-+-，直线AC 的方程为：()33134y y x x y y -=-+，令0y =可得：()()231331331334444Q y y y y y y y y y x x -+-+=+=+=-，故()11112218121323118223G F y S x x y y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⨯=⨯- ⎪=⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝=⨯⎭⎣⎦，且()()32213311822423Q G y y y S x x y k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤=⨯-⨯-=---⎢⎥⎣⎦，由于34y k=-，代入上式可得：12222833y S k k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由12124,4y y y y k+==-可得1144y y k -=，则12144y k y =-，则()()()2211122121112281233222284433y y S y S y y k k k y k -==⎛⎫-+--⎛⎫⨯- ⎭ ⎪⎝⎭⎪⎝()212142488168y y =--++-21≥=当且仅当21214888y y-=-，即218y =+1y =.此时12144y k y ==-281223G x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=，则点G 的坐标为()2,0G .直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。

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成都市2008——2009学年度上期期末调研考试高二数学一、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，把正确的序号填在机读卡的指定位置上．1．若点M 在直线a 上，直线b 在平面a 内，则M 与a ，b 与a 之间的关系可用符号表示为【 】(A),M a b a ∈∈ (B),M a b a ⊂∈ (C),M a b a ∈⊂ (D),M a b a⊂⊂2．若直线1:(1)3l ax a y +-=与如2:1l x ay +=互相垂直，则a 的值为【 】(A)2- (B)2 (C)0或2- (D)0或23．下列图形中不一定是平面图形的是【 】 (A)三角形 (B)梯形 (C)对角线相交的四边形 (D)边长相等的四边形4．(文科做)抛物线2y x =的焦点坐标是【 】(A)1(,0)2(B)1(0,)2(C)1(,0)4(D)1(0,)4(理科做)抛物线22y bx =的焦点坐标是【 】(A)1(0,)4b(B)1(0,)8b (C)(,0)2b (D)(,0)4b 5．已知x 、y 满足约束条件2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则z y x =-的取值范围是【 】(A)[]2,1-- (B)[]2,1- (C)[]1,2- (D)[]1,26．对于空间任意直线l (l 可能和平面a 平行或相交，也可能在平面a 内)，在平面a 内必有直线m 与l 【 】 (A)平行 (B)相交 (C)垂直 (D)异面7．(文科做)若圆224240x y x y +---=关于直线240ax by +-=对称，则a b +的值是【 】 (A)2- (B)1- (C)2 (D)4(理科做)若圆224240x y x y +---=关于直线240ax by +-=对称，则ab 的最大值是【 】(A)1(B)2(C)2 (D)48．与椭圆而2211625x y +=共焦点，且两条准线间的距离为103的双曲线方程为【 】 (A)22145x y -= (B)22153x y -= (C)22154y x -= (D)22153y x -=9．在Rt △ABC 中，已知6,8,90AB AC A ==∠=°．若△ABC 所在平面a 外的一点P 到三个顶点A 、B 、C 的距离都为13，点P 在a 内的射影是O ，则线段PO 的长为【 】(A)12 (B)13 (C)9 (D)710．关于不同的直线a 、b 与不同的平面α、β，有下列四个命题【 】①a ∥α，b ∥β且α∥β，则a ∥b ；②a ⊥α，b ⊥β且α⊥β，则a ⊥b ；③a ⊥α，b ∥β且α∥β，则a ⊥b ；④a ∥α，b ⊥β且α⊥β，则a ∥b ．其中真命题的序号是【 】 (A)①② (B)③④ (C)①④ (D)②③1l ．已知椭圆221mx ny +=与直线1x y +=相交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OM 的斜率为2，则nm的值为【 】(A)22 (B)12(C)2 (D)2 12．(文科做)在平面内，已知P 是定线段AB 外一点，满足下列条件：2,25,0PA PB PA PB PA PB -=-=⋅=．则△PAB 的面积为【 】(A)3 (B)4 (C)8 (D)16 (理科做)在平面内，已知P 是定线段AB 外一点，满足下列条件：2,25,0PA PB PA PB PA PB -=-=⋅=．则△PAB 的内切圆面积为【 】(A)2(23)π(B)2(23)π- (C)2(35)π+(D)2(35)π二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．过点(2,3)P 且以(1,3)a =为方向向量的直线l 的方程为 ． 14．已知边长为2的正三角形ABC 在平面a 内，PA a ⊥，且1PA =，则点P 到直线 BC 的距离为 ．15．已知双曲线的一条渐近线方程是32y x =，焦距为7为 ．16．下面是关于圆锥曲线的四个命题：①抛物线22y px =的准线方程为2p y =-； ②设A 、B 为两个定点，a 为正常数，若2PA PB a +=，则动点P 的轨迹为椭圆，③方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④平面内与定点(5,0)A 的距离和定直线16:5l x =的距离之比为54的点的轨迹方程为221169x y -=．其中所有真命题的序号为 ． 三、解答题：(本大题共6小题，共74分)17．光线从点(2,3)M 射到x 轴上一点后被x 轴反射，反射光线所在的直线1l 与直线2:32130l x y -+=平行，求1l 和2l 的距离．18．如图，已知ABCD 是矩形，M 、N 分别是PC 、PD 上的点，且PA ⊥平面ABCD ，求证：AM PC ⊥19．已知点(2,0)A 关于直线1:40l x y +-=的对称点为A '，圆22:()()4(0)C x m y n n -+-=>经过点A 和A '，且与过点(0,22)B -的直线2l 相切，求直线2l 的方程。

20．(本小题满分12分)如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，M 、N 分别是PC 、AD 的中点．(Ⅰ)求证：MN ∥平面PAB(Ⅱ)若2,23MN BA PA ===，求异面直线PA 与MN 所成角的大小．21．(文科做)已知右焦点为F 的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率233e =，其右准线与经过第一象限的渐近线交于点P ，且P 的纵坐标为32．(Ⅰ)求双曲线的方程；(Ⅱ)求直线PF 被抛物线28y x =截得的线段长．(理科做)已知圆22(4)25x y ++=的圆心为1M ，圆22(4)1x y -+=的圆心为2M ，一个动圆与这两个圆都外切．(Ⅰ)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)若经过点2M 的直线与(Ⅰ)中的轨迹C 有两个交点A 、B ，求11AM BM 的最小值．22．(文科做)已知一个动圆与圆221:(1)1M x y ++=外切，同时又与圆222:(1)25M x y -+=内切．(Ⅰ)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(II)设经过圆1M 的圆心且不与坐标轴垂直的直线交(Ⅰ)中的轨迹C 于两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求G 点横坐标的取值范围．(理科做)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(0,1)j +，△OFQ 的面积为 且3,3OF FQ m OM OQ j ==+．(Ⅰ)设4m <<，求向量OF 与向量FQ 的夹角的取值范围；(II)设以O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且2,1)OF c m c ==．是否存在点Q ，使OQ 最短？若存在，求出此时椭圆的方程；若不存在，请说明理由．成都市2008~2009学年上期期末调研考试高二数学参考答案及评分意见一、选择题：（每小题5分，共60分）1.C2.D3.D4. 文C 理B5.B6.C7. 文C 理A8.C9.A 10.D 11.A. 12. 文B 理D 二、填空题：（每小题4分，共16分）13.33-=x y ； 14. 2 15.13422=-y x 或者14322=-x y ； 16.③④ 三、解答题：（共74分）17.解：设()3,2-M 关于x 轴对称的点M '为，易知点M '的坐标为(-2,-3)。

……2分∵反射光线1l 的反向延长线必过M '（-2，-3）， ……2分又直线1l 与已知直线2l 平行，∴2321==l l k k 。

……2分 ∴直线1l 的方程为023=-y x 。

……2分 由两条平行直线间的距离公式，可得132301322=+-=d 。

……3分∴所求的直线1l 和直线2l 的距离为13。

……1分 18.证明：∵AM 为平面PCD 的斜线，MN 为斜线AM 在平面PCD 的射影， ……2分又MN ⊥PC 交PC 于M ，∴由三垂线定理，可知AM ⊥PC. ……1分 19.解：∵圆C 经过点A(2 , 0) 和点Aˊ，又点A(2 , 0)和点Aˊ关于直线1l 对称，∴由垂径定理，可知直线1l 必过圆C 的圆心。

……1分联立方程，可得()⎩⎨⎧=+-=+.42,422n m n m 解得⎩⎨⎧==2,2n m 或⎩⎨⎧==.0,4n m ……2分 ∵n ＞0，∴所求的圆的方程为()().42222=-+-y x ……1分∵过点B ()22,0-的直线2l 与该圆相切，易知B ()22,0-在圆外。

……1分∴过点B ()22,0-与该圆相切的切线一定有两条。

……1分不妨设直线2l 的方程为.22-=kx y ……1分 则有122222+--=k k d =2 ……2分解之，得1=k . ……1分 易知另一条切线的方程.0=x ……1分∴所求的直线方程为22-=x y 或.0=x ……1分20.（Ⅰ）21.(文)解：（Ⅰ）由题意，知双曲线12222=-by a x 的右准线方程为,2c a x = ……1分 经过第一象限的双曲线的渐近线的方程为.x aby = ……1分联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==xa b y c a x ,2可得点.,2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c ab c a P ……1分（Ⅱ）由（Ⅰ），可知点P 的坐标为,23,23⎪⎪⎭⎫⎝⎛双曲线的焦点的坐标为()0,2F . ……1分而()0,2F 也是抛物线x y 82=的焦点，设PF 所在的直线方程为()23--=x y ，与抛物线相交于()11,y x A 、()22,y x B 两点。

……1分联立()⎪⎩⎪⎨⎧=--=xy x y 8,232 可得.0122032=+-x x ……1分其两根1x 、2x 分别是A 、B 的横坐标，∴.32021=+x x ……1分 ∴有抛物线的焦点弦长公式，可知.33221=++=p x x AB ……1分32∴直线PF被抛物线截得的线段长为.……1分3。

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