广州市越秀区2019-2020学年上学期期末考高二数学试卷附答案解析
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷及答案解析
第 1 页 共 16 页2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小題给出的四个选项中，只有一只符合题目要求的.1．（5分）命题“∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3＜0”的否定是（ ） A ．∀x ≤0，x 2﹣4x +3＜0 B ．∃x 0≤0，x 02﹣4x 0+3＜0C ．∀x ＞0，x 2﹣4x +3≥0D ．∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3≥02．（5分）双曲线x 264−y 236=1的焦距是（ ）A ．10B ．20C ．2√7D ．4√73．（5分）在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＝3a n ﹣1+2（n ≥2），则a 3＝（ ） A ．2B ．6C ．8D ．144．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =π6，B =π4，a =√6，则b ＝（ ） A ．2√3B ．3√62C ．3√3D ．2√65．（5分）已知点P （﹣2，4）在抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A ．（0，2） B ．（0，4） C ．（2，0）D ．（4，0）6．（5分）已知双曲线x 2m−y 22=1的焦点与椭圆x 24+y 2=1的焦点相同，则m ＝（ ）A ．1B ．3C ．4D ．57．（5分）“﹣1＜m ＜3”是“方程x 2m+1+y 27−m=1表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．（5分）已知双曲线x 216−y 248=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是该双曲线上的一点，且|PF 1|＝10，则|PF 2|＝（ ） A ．2或18B ．2C ．18D ．49．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin 2B ＝b cos A cos B ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定。
2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学试卷附解答
2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学试卷一、填空题（每小题 3分，共36 分）1.关于,x y 的二元一次方程的增广矩阵为123015-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += 。
【答案】8-2.已知(5,1),(3,2)OA OB =-=，则AB 对应的坐标是 。
【答案】）（3,23.已知直线420ax y +-=与直线10x ay ++=重合,则a = 。
【答案】2-4.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 中点，F 为BC 中点，则直线1A E 与1C F 的位置关系是 。
【答案】相交5.圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于 。
【答案】26.已知复数22iz i+=，则z 的虚部为 。
【答案】1- 7..经过动直线20kx y k -+=上的定点，方向向量为(1,1)的直线方程是 。
【答案】02=+-y x8.复数34i +平方根是 。
【答案】）（i +±29.过点(),0M 且和双曲线2222x y -=有相同的焦点的椭圆方程为 。
【答案】13622=+y x 10.已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为12,F F P ，为双曲线C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于 。
【答案】4811.平面上一机器人在行进中始终保持与点(1,0)F 的距离和到直线1x =-的距离相等。
若机器人接触不到过点(1,0)P -且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是 。
【答案】）（）（+∞∞,11-,-【解析】由抛物线定义可知，机器人的轨迹方程为x y 42=，过点)0,1(-P 且斜率为k 的直线方程为)1(+=x k y 代入x y 42=，可得0)42(2222=+-+k x k x k ， 机器人接触不到过点)0,1(-P 且斜率为k 的直线，04)42422<--=∆∴k k （，1-<∴k 或1>k . 12.已知圆M :22(1)1x y +-=，圆N :22(1)1x y ++=.直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于,A B 两点，2l 与圆N 相交于,C D 两点。
2019-2020学年广州市越秀区高二下学期期末数学试卷
2019-2020学年广州市越秀区高二下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1.投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m−ni)2为纯虚数的概率为()A. 16B. 14C. 13D. 1122.已知离散型随机变量X的概率分布列如表：X0123P0.20.30.4c则实数c等于()A. 0.5B. 0.24C. 0.1D. 0.763. 已知函数，则在点处的切线的倾斜角为()A. B. C. D.4. 关于某设备的使用年限(年)和所支出的维修费用(万元)有如下表的统计资料：使用年限(年)23456维修费用(万元) 2.2 3.8 5.5 6.57.0若由资料可知对呈线性相关关系，经计算线性回归直线方程中的，据此估计使用年限为10年时，维修费用是()万元．A. 10.15B. 10.08C. 12.38D. 13.615. 下列判断错误的是()A. “am2<bm2”是“a<b”的充分不必要条件B. 命题“∀x∈R，x3−x2−1≤0”的否定是“∃x∈R，x3−x2−1>0”C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D. 若pΛq为假命题，则p，q均为假命题6. 从1、2、3、4、5五个数字中任选两个组成个位和十位数字不同的两位数，这个数字是偶数的概率为()A. B. C. D.7. 某公司新招聘8名员工，随机平均分配给下属的甲、乙两个部门，则事件“两名英语翻译人员不在同一部门，另外三名电脑编程人员也不在同一部门”发生的概率为()A. 1835B. 1535C. 1235D. 9358. 甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为()A. 110B. 910C. 14D. 486259. 在(x+y)n的展开式中，若第8项系数最大，则n的值可能等于()A. 14，15B. 15，16C. 16，17D. 13，14，1510. 设点，，若直线与线段(包括端点)有公共点，则的最小值为()A. B. C. D. 111. 在面积为9的正方形内部随机取一点，则能使的面积大于3的概率是()A. B. C. D.12. 如果函数f(x)对其定义域内的两个实数x1、x2，都满足不等式f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2，则称函数f(x)在其定义域内具有性质M.给出下列函数：①y=√x；②y=x2；③y=2x；④y=log2x.其中具有性质M的是()A. ①④B. ②③C. ③④D. ①②③④二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 复数z满足z(1+i)=2−2i(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为______ ．14. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年广东省广州市越秀区高二上学期期末数学试题(附解析)
2019-2020学年广东省广州市越秀区高二上学期期末数学试题一、单选题1．抛物线2y x =的焦点坐标是（ ） A ．1(,0)2B ．1(,0)4C ．1(0,)2D ．1(0,)4【答案】B【解析】 由抛物线的方程2y x =，可知12p =，所以抛物线的焦点坐标为1(,0)4，故选B. 2．双曲线221169x y -=的一条渐近线方程是（ ） A ．340x y -= B ．430x y -= C ．9160x y -= D ．1690x y -=【答案】A【解析】直接由双曲线的渐近线的定义可得渐近线的方程． 【详解】解：由双曲线的方程可得216a =，29b =，焦点在x 轴上，所以渐近线的方程为：34b y x x a =±=，即340±=x y ，故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．3．命题“若a ，b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题是( ) A ．若a ，b 都是偶数，则+a b 不是偶数 B ．若a ，b 都是偶数，则+a b 不是偶数 C ．若a ，b 不全是偶数，则+a b 不是偶数 D ．若+a b 不是偶数，则a ，b 不全是偶数 【答案】C【解析】根据命题的否定和命题之间的关系确定结论即可． 【详解】解：否命题就是对原命题的条件和结论同时进行否定，则命题“若a ，b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题为：若a ，b 不全是偶数，则+a b 不是偶数 ． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，属于基础题．4．设0a >，0b >，则“b a >”是“椭圆22221x y a b+=的焦点在y 轴上”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】利用椭圆的焦点在y 轴上的充要条件即可得出． 【详解】解：“b a >”⇔“椭圆22221x y a b +=的焦点在y 轴上”， ∴“b a >”是“椭圆22221x y a b+=的焦点在y 轴上”的充要条件．故选：C ． 【点睛】本题考查了椭圆的焦点在y 轴上的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.5，甲获胜的概率是0.2，则乙不输的概率是（ ） A ．0.8 B ．0.7C ．0.3D ．0.2【答案】A【解析】利用互斥事件概率加法公式直接求解． 【详解】解：甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.5，甲获胜的概率是0.2， ∴乙不输的概率是：10.20.8p =-=． 故选：A ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．6．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[10,15)和[25,30)为二等品，在区间[10,15)和[30,35)为三等品．用频率估计概率，现从这批产品中随机抽取1件，则其为三等品的概率是（ ）A ．0.03B ．0.05C ．0.15D ．0.25【答案】D【解析】由频率分布直方图得在区间[10,15)和[30,35)的频率为(0.020.03)50.25+⨯=，由此能求出从这批产品中随机抽取1件，其为三等品的概率． 【详解】解：在区间[10,15)和[30,35)为三等品， 由频率分布直方图得：在区间[10,15)和[30,35)的频率为(0.020.03)50.25+⨯=， ∴从这批产品中随机抽取1件，其为三等品的概率是0.25． 故选：D ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 7．如图，在四面体OABC 中，2OM MA →→=，BN NC →→=，则MN →=（ ）A ．111222OA OB OC →→→+-B ．221332OA OB OC →→→+-C ．121232OA OB OC →→→-+D ．211322OA OB OC →→→-++【答案】D【解析】由已知直接利用向量的加减法运算得答案． 【详解】解：∵2OM MA →→=，BN NC →→=，∴12()23MN ON OM OB OC OA →→→→→→=-=+-211322OA OB OC →→→=-++．故选：D ．【点睛】本题考查空间向量基本定理，属于基础题．8．长方体1111ABCD A B C D -中，1AD CD ==，12DD =，则直线1DB 与直线1BC 所成角的余弦值为（ ） A ．3010B ．1010C ．7010D ．31010【答案】A【解析】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解． 【详解】解：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)D ，(1,1,0)B ，1(1,1,2)B ，1(0,1,2)C ， ∴1(1,1,2)DB →=，1(1,0,2)BC →=-，由111111cos ,||||DB BC DB BC DB BC →→→→→→⋅<>=⋅3301065==⋅． 得直线1DB 与直线1BC 所成角的余弦值为3010． 故选：A ．【点睛】本题考查利用空间向量求解空间角，属于中档题．9．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不大于6的概率记为1p ，点数之和大于6的概率记为2p ，点数之和为奇数的概率记为3p ，则（ ） A ．123p p p << B ．132p p p <<C ．213p p p <<D ．312p p p <<【答案】B【解析】使用列举法求出三个概率，再比较大小． 【详解】解：随机掷两枚质地均匀的骰子共有36个基本事件，它们发生的可能性相等． 其中向上的点数和不大于6的基本事件共有15个，分别是(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，11553612P ∴==． 点数之和大于6的基本事件共有21个，分别是(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．22173612P ∴==． 由于骰子的点数奇偶数相同，故点数之和为偶数的概率312P =． 132p p p ∴<<．故选：B ． 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题．10．为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，已知101220ii x==∑，1011610ii y==∑，ˆ4b=，该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为（ ）厘米. A ．165 B ．168C ．173D ．178【答案】C【解析】由已知求得x ，y 的值，结合4b =求得a ，可得线性回归方程，取25x =求得y 值即可． 【详解】解：10112202210i i x x ====∑，1011161016110i i y y ====∑， 又y bx a =+，4b =，∴16142273a y bx =-=-⨯=． ∴y 关于x 的线性回归方程为473y x =+． 取25x =，得42573173y =⨯+=（厘米）． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，属于基础题．11．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为92，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的标准差为（ ）A ．4B ．2C ．5D 5【答案】B【解析】由平均数求得x 的值，再计算7个剩余分数的方差和标准差． 【详解】解：将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉一个最低分，7个剩余分数的平均分为92； 最低分是87，当9x =时，剩余7个数分别是89、90、91、92、94、95、98， 平均值为1(89909192949598)92.7927⨯++++++≈>， 所以8x ≤，计算剩余7个数的平均值为190(101245)927x +⨯-++++++=， 解得3x =；所以7个剩余分数的方差为：217s =⨯2228992)(9092)[92)((91-+-+-2222(9292)(9392)(9492)(9592)4]+-+-+-+-=．所以标准差为2s =． 故选：B ． 【点睛】本题考查了利用茎叶图求平均数和方差、标准差的应用问题，也考查了运算求解能力，属于基础题． 12．已知圆锥曲线C 的方程是225658x xy y -+=，则下列命题中是假命题的是（ ）A ．曲线C 上的点的横坐标x 的取值范围是101022⎡-⎢⎣⎦B ．曲线C 关于直线y x =对称C ．曲线C 上的点到曲线C 的对称中心的最远距离为2D ．曲线C 的离心率是12【答案】D【解析】由关于y 的二次方程2256580y xy x -+-=有实数解，运用判别式非负，解得x 的范围，可判断A ；将x换为y ，y 换为x ，方程不变，可判断B ；由旋转变换公式可得22x y ⎧=⎪⎪⎨''⎪=⎪⎩，代入原方程化简可得椭圆方程，由椭圆的性质可判断C ，D ． 【详解】解：方程225658x xy y -+=，可看做关于y 的二次方程2256580y xy x -+-=，根据方程有实数解的条件可得223645(58)0x x ∆=-⨯-≥，解得10102x，故A 正确； 将x 换为y ，y 换为x ，可得方程225658x xy y -+=不变，则圆锥曲线C 关于直线y x =对称；同样将x 换为y -，y 换为x -，可得方程225658x xy y -+=不变，则圆锥曲线C 关于直线y x =-对称，故B 正确；由旋转变换公式可得22x y ⎧=⎪⎪⎨''''⎪=⎪⎩，代入曲线C 的方程可得()2562x y ''-⨯-⨯22''''+()2582x y ''+⨯=， 化为2214x y ''+=，即为椭圆方程，且长轴长为4，即曲线C 上的点到曲线C 的对称中心O 的最远距离为2，离心率为41324e -==，故C 正确，D 错误． 故选：D ．【点睛】本题考查圆锥曲线的方程和性质，考查化简变形能力和运算能力、推理能力，以及数形结合思想，属于难题．二、填空题13．命题“0x ∃∈R ，2010x +”的否定是_________． 【答案】对任意0x ∈R ，使2010x +>【解析】本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可. 【详解】解：∵命题“存在0x ∈R ，使2010x +≤”是一个特称命题∴命题“存在0x ∈R ，使2010x +≤”的否定是“对任意0x ∈R ，使2010x +>” 故答案为：对任意0x ∈R ，使2010x +>【点睛】本题考查命题的否定，正确解答本题，关键是掌握住命题的否定的定义及书写规则，对于两特殊命题特称命题与全称命题的否定，注意变换量词．14．一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽取一个容量为21的样本，那么应抽取男运动员的人数是________． 【答案】12【解析】先求出男运动员的人数占的比例，再用样本容量乘以此比例，即为所求． 【详解】解：男运动员的人数占的比例为40440307=+，故应抽取的男运动员的人数为421127⨯=人，故答案为：12． 【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题．15．已知点(1,2,0)A 和向量(3,4,12)a →=-，若2AB a →→=，则点B 的坐标是_________． 【答案】(7,10,24)-【解析】设(B x ，y ，)z ，由向量坐标运算法则和向量相等的定义得1(-x ，2y -，)(6z =，8，24)-，由此能求出B 点坐标． 【详解】解：点(1,2,0)A 和向量(3,4,12)a →=-，2AB a →→=， 设(,,)B x y z ，则(1,2,)(6,8,24)x y z --=-， 解得7x =，10y =，24z =-， ∴点B 的坐标(7,10,24)-． 故答案为：(7,10,24)-． 【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查向量坐标运算法则和向量相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 16．在相距1000m 的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相距2s ，已知声速340m /s ．以AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则炮弹爆炸点所在曲线的方程为________．【答案】221115600134400x y -=【解析】由题意可得双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，且由双曲线的定义可得a ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系进而求出双曲线的方程． 【详解】解：由题意可得双曲线的焦点在x 轴上，中心在原点，且21000c =，22340a =⨯，即500c =，340a =， 所以22222500340134400b c a =-=-=，2115600a =，所以双曲线的方程为：221115600134400x y -=；故答案为：221115600134400x y -=．【点睛】考查由双曲线的定义求标准方程的求法，属于基本知识直接应用题，双基考查题，属于基础题．三、解答题17．一个盒子里装有标号为1，2，4，8的4张标签．（1）从盒中不放回地随机取两张标签，求取出的标签上的数字之和不大于5的概率．（2）从盒中有放回地随机取两张标签，求第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率．【答案】（1）13（2）38【解析】（1）从盒中不放回地随机取两张标签，基本事件总数246n C==，利用列举法取出的标签上的数字之和不大于5包含的基本事件有2个，由此能求出取出的标签上的数字之和不大于5的概率．（2）从盒中有放回地随机取两张标签，基本事件4416n=⨯=，第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字包含的基本事件有6个，由此能求出第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率．【详解】解：（1）一个盒子里装有标号为1，2，4，8的4张标签．从盒中不放回地随机取两张标签，基本事件总数246n C==，取出的标签上的数字之和不大于5包含的基本事件有：（1，2），（1，4），共2个，∴取出的标签上的数字之和不大于5的概率2163 p==．（2）从盒中有放回地随机取两张标签，基本事件4416n=⨯=，第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字包含的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，8），（2，4），（2，8），（4，8），共6个，∴第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率63168 p．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18．某家庭记录了使用节水龙头100天的日用水量数据，得到频数分布表如下：日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)频数21026203210（1）作出使用了节水龙头100天的日用水量数据的频率分布直方图．（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．43m 的概率．（3）求该家庭使用节水龙头的日用水量的中位数的估计值（结果精确到0．01）． 【答案】（1）见解析（2）0.58（3）0.36【解析】（1）由频数分布表能作出使用节水龙头100天的日用水量数据的频率分布直方图． （2）由频数分布表能估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.4m 的概率．（3）由频率分布直方图得[0，0.3)的频率为(0.21 2.6)0.10.38++⨯=，[0.3，0.4)的频率为20.10.2⨯=，由此能求出该家庭使用节水龙头的日用水量的中位数的估计值． 【详解】解：（1）由频数分布表作出使用了节水龙头100天的日用水量数据的频率分布直方图如下：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．43m 的概率为：21026200.58100P +++==．（3）由频率分布直方图得：[0,0.3)的频率为(0.21 2.6)0.10.38++⨯=，[0.3,0.4)的频率为20.10.2⨯=，∴该家庭使用节水龙头的日用水量的中位数的估计值（结果精确到0．01）为：0.50.380.30.10.360.2-+⨯=．【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查概率、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，D 为的中点．（1）求证：1C D AD ⊥；（2）求二面角11A C D A --的正切值． 【答案】（1）见解析（22【解析】（1）推导出11C D AA ⊥，111C D A B ⊥，从而1C D ⊥平面11ABB A ，由此能证明1C D AD ⊥．（2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角11A C D A --的正切值． 【详解】（1）证明：∵在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，D 为的中点．∴11C D AA ⊥，111C D A B ⊥， ∵1111AA A B A =，∴1C D ⊥平面11ABB A ，∵AD ⊂平面11ABB A ，∴1C D AD ⊥．（2）解：以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0)A ，1(2,0,2)A ，1(0,0,2)C ，1(0,2,2)B ，(1,1,2)D1(2,0,2)AC →=-，(1,1,2)AD →=-，设平面1ADC 的法向量(,,)n x y z =，则122020n AC x z n AD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x =，得(1,1,1)n →=-， 平面11AC D 的法向量(0,0,1)m →=， 设二面角11A C D A --的平面角为θ， 则||1cos 3||||m n m n θ→→→→⋅==⋅，12sin 133θ=-=， ∴二面角11A C D A --的正切值为sin tan 2cos θθθ==．【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．20．已知直线4x =与抛物线2:2C y px =（0p >）相交于A ，B 两点，且OAB 是等腰直角三角形．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 过定点(2,1)-，斜率为k ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 只有一个公共点？【答案】（1）24y x =（2）0k =或1k =-或12k =【解析】（1）将4x =代入抛物线的方程，求得A ，B 的坐标，由等腰直角三角形的性质可得OA OB ⊥，再由两直线垂直的条件，解方程可得p ，进而得到抛物线的方程；（2）由题意可得直线l 与抛物线的对称轴平行，可得0k =，又直线和抛物线相切，联立直线方程和抛物线方程，运用判别式为0，可得所求值．【详解】解：（1）直线4x =与抛物线2:2C y px =（0p >）相交于A ，B 两点，可设(4,22)A p ，(4,22)B p -，又OAB 是等腰直角三角形，可得OA OB ⊥， 则2222144p p-⋅=-，解得2p =， 即有抛物线的方程为24y x =；（2）直线l 过定点(2,1)-，斜率为k ，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+， 当直线l 平行于抛物线的对称轴x 轴，可得直线与抛物线只有一个公共点，即0k =； 当直线l 与抛物线相切时，可得直线与抛物线只有一个公共点， 由2124y kx k y x=++⎧⎨=⎩可得222[2(12)4](12)0k x k k x k ++-++=，0k ≠， 由2[2(12)4]k k ∆=+--()2224(12)16120k k k k+=--=，解得1k =-或12k =， 综上可得0k =或1k =-或12k =，直线l 与抛物线C 只有一个公共点． 【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，主要是直线和抛物线有交点，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PAD △是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAB ；（2）若6AB =，3AD =，试问在线段DE 上是否存在点Q ，使得直线BQ 与平面PCD 33？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）存在，DQ 93． 【解析】（1）由已知证明AB ⊥平面PAD ，则AB DE ⊥，再由DE PA ⊥，结合线面垂直的判定可得DE ⊥平面PAB ；（2）取AD 中点O ，则OP AD ⊥，则OP ⊥底面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以OA ，OP 为x ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明在线段DE 上存在点Q ，使得直线BQ 与平面PCD 所成角的正弦值为3322，并求得DQ 93． 【详解】（1）证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =，而AB AD ⊥，∴AB ⊥平面PAD ，则AB DE ⊥，在等边三角形PAD 中，∵E 为P A 的中点，∴DE PA ⊥， 又PAAB A =，PA ⊂平面PAB ，AB平面PAB∴DE ⊥平面PAB ；（2）解：取AD 中点O ，则OP AD ⊥，则OP ⊥底面ABCD ， 以O 为坐标原点，分别以OA ，OP 为x ，z 轴建立空间直角坐标系．则3,6,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,0,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,6,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，330,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，333,0,44E ⎛ ⎝⎭． 假设线段DE 上是否存在点Q ，使得直线BQ 与平面PCD 所成角的正弦值为3322， 设DQ DE λ→→=（01λ），则9334DQ λ→⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，9333,6,44QB DB DQ λλ→→→⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭． 设平面PDC 的一个法向量为n (x,y,z)→=，333,0,22DP →⎛= ⎝⎭，(0,6,0)DC →=． 由33302260n DP x z n DC y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，取1z =-，得(3,0,1)n →=-．由|cos ,|QB n →→<>=||||||QB n QB n →→→→⋅=⋅2233332339272336416λλλ-=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭， 解得：34λ=或4λ=（舍）． ∴279316DQ →⎛= ⎝⎭，则93||DQ →=∴在线段DE 上存在点Q ，使得直线BQ 与平面PCD 所成角的正弦值为3322，DQ 的长为938．【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，属于中档题．22．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的离心率为63，1F 、2F是椭圆C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F △面积的最大值为2 （1）求椭圆C 的方程；（2）若Q 是椭圆C 上的一个动点，点M ，N 在椭圆2213x y +=上，O 为原点，点Q ，M ，N 满足3OQ OM ON →→→=+，则直线OM 与直线ON 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）2213010x y +=（2）是定值，且定值为13-． 【解析】（1）根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可求出椭圆方程；（2）设0(Q x ，0)y ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，所以2200330x y +=，221133x y +=，222233x y +=，由3OQ OM ON→→→=+得01201233x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，代入22003x y +得2200121233276(2)x y x x y y +=+++，所以121220x x y y +=，即12OM ON k k =-，从而得到直线OM 与直线ON 的斜率之积为定值，且定值为12-． 【详解】解：（1）由题意可知：22263102c abc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222301020a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为：2213010x y +=；（2）设()00,Q x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，∴2200330x y +=，221133x y +=，222233x y +=，∵3OQ OM ON →→→=+，∴()()()001122,,3,x y x y x y =+，∴01201233x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，∴()()22220012123333x y x x y y +++=+=2222112211226931827x x x x y y y y +++++327=++()12126330x x y y +=，∴121230x x y y +=，∴121213y y x x =-，即13OM ON k k ⋅=-， ∴直线OM 与直线ON 的斜率之积为定值，且定值为13-． 【点睛】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．。
2019-2020学年广东省广州市高二上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年广东省广州市高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题 1．数列12-，14，18-，116，的一个通项公式是（ ）A ．12n- B ．(1)2n n- C ．1(1)2n n+-D ．1(1)2nn --【答案】B【解析】从前4项找出规律，即可得出该数列的通项公式. 【详解】()111122-=-⨯，()2211142-⨯=，()3311182--=⨯，()44111162=-⨯所以其通项公式是：(1)2nn-故选：B 【点睛】本题主要考查了利用观察法求数列通项公式，属于基础题.2．某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是（ ） A ．65只 B ．56只 C ．55只 D ．66只【答案】D【解析】根据题意得出第n 天和第1n -天蜜蜂只数的关系，得出数列{}n a 为等比数列，根据通项公式求出即可. 【详解】设第n 天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂n a 只，16a = 由题意可得：115n n n a a a --=+，即16nn a a -=，所以数列{}n a 为等比数列 即6n n a =所以第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是666a =故选：D 【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.3．已知命题p:∃,ln 20x R x x ∈+-=,命题q:∀2,2x x R x ∈≥,则下列命题中为真命题的是（） A ．p ∧q B ．⌝p ∧q C ．p ∧⌝q D ．⌝p ∧⌝q【答案】C【解析】【详解】试题分析：由已知可构造函数()ln 2f x x x =+-，因为()1ln11210f +-=-<=，()2ln 222ln 2ln10f =+-==＞，所以存在()1,2x ∈，使方程成立，即命题p 为真命题；又因为3x =时，有328=，239=，此时3223<，所以命题q 为假命题，则q ⌝为真，故正确答案为C.【考点】函数零点、常用逻辑用语.4．（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.5．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若sinsin 2A Ca b A +=，则cos B =（ ） A ．12- B ．12C． D．2【答案】B【解析】由诱导公式得sincos 22A C B+=，利用正弦定理的边化角公式以及二倍角的正弦公式得出1sin 22B =，结合二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】sinsin =cos 2222A C B B π+⎛⎫=- ⎪⎝⎭又sinsin 2A Ca b A +=，所以sin cos sin sin 2B A B A =0,sin 0A A π<<∴≠,则1cos sin cos 2sin cos sin 222222B B B B B B =⇒=⇒= 211cos 12sin 1222B B =-=-= 故选：B 【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式，涉及诱导公式，二倍角公式，属于中档题.6．直线1l ，2l 互相平行的一个充分条件是（ ）A ．1l ，2l 都平行于同一个平面B ．1l ，2l 与同一个平面所成的角相等C ．1l 平行于2l 所在的平面D ．1l ，2l 都垂直于同一个平面 【答案】D【解析】由题意下列哪个选项可以推出直线1l ，2l 互相平行即可，选项A 中1l 与2l 不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项B 中1l 与2l 不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项C 中1l 与2l 不仅可以平行还可能异面直线；故选D 7．如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得B 处的灯塔在海轮的正北方向20海里处，海轮按西偏南15%的方向航行了10分钟后到达C 处，此时测得灯塔在海轮的北偏东30的方向，则海轮的速度为（ ）A ．2/分B ．2海里/分C 3海里/分D 2海里/分【答案】D【解析】由正弦定理求解即可. 【详解】由题意可得：90301545BCA ∠=︒-︒-︒=︒ ，180(45105)30B ∠=︒-︒+︒=︒由正弦定理可得：sin sin AB ACBCA B =∠∠，即120sin 2102sin 22AB BAC BCA⨯⋅∠===∠1022=海里/分 故选：D 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于中档题. 8．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A ．158B ．162C ．182D ．32【答案】B【解析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查. 【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.9．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，若4AF=，，2BC BF=，且AFBF>，则此抛物线的方程为（ ） A ．2yx = B ．22y x = C ．24y x = D ．28y x =【答案】C【解析】根据直角三角形的边角关系以及抛物线的性质求得60AFM ∠=︒，利用直角三角形的边角关系得出A 的坐标，代入抛物线方程，即可求出p . 【详解】过点A 作x 轴的垂线，垂足于点M ，过点B 作准线的垂线交准线于点N由抛物线的定义可知：12BNFB BC ==在直角CNB ∆中，1cos 2BN CBN BC ∠==，则60CBN ∠=︒所以60AFM ∠=︒ 又4AF=，所以sin 6023,cos602AM AF FM AF =︒==︒=则(2,23)2p A +由22122p p ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：6p =-(舍)，2p = 即此抛物线的方程为24y x = 故选：C 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，属于中档题.10．四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，且1AB BC ==，点E 是AC 的中点，异面直线AD 与BE 所成角为θ，且cos θ=，则该四面体的体积为（ ）A ．13B ．23C ．43D ．83【答案】A【解析】建立空间直角坐标系，利用数量积求夹角的公式以及棱锥的体积公式求解即可. 【详解】分别以,,BC BA BD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设BD a =11(0,1,0),(0,0,0),(,,0),(0,0,)22A B E D a11(0,1,),(,,0)22AD a BE =-=cos AD BE AD BE θ===⎛⋅⋅2a =该四面体的体积为111112323⨯⨯⨯⨯= 故选：A【点睛】本题主要考查了利用向量法求线线角以及棱锥的体积公式，属于中档题. 11．以下几种说法①命题“0a ∃>，函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”为真命题 ②命题“已知x ，y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题 ③“22x x ax +≥在[1,2]x ∈恒成立”等价于“对于[1,2]x ∈，有()2max min2()xx ax +≥”④ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a b >”是“22cos A cos B <”的充要条件. 其中说法正确的序号为（ ） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④【答案】D【解析】由判别式判断①；判断其逆否命题的真假得出②的真假；取特殊值2a =判断③；由正弦定理的边化角公式，不等式的性质以及二倍角的余弦公式判断④. 【详解】当0a >时，则440a ∆=+>，则①错误；②的逆否命题“已知x ，y R ∈，若2x =且1y =，则3x y +=”为真命题，则②正确；当2a =时，满足22x x ax +≥在[1,2]x ∈恒成立，但是()2max min2)34(xx ax =<=+所以③错误；2222sin sin sin sin 12sin 12sin cos2cos2a b A B A B A B A B >⇔>⇔>⇔-<-⇔<则“a b >”是“22cos A cos B <”的充要条件，即④正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查了判断命题的真假以及充分必要条件的证明，属于中档题.12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若2121()0F F F A F A +⋅=，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．22124y x -=B ．22134x y -= C ．221169x y -=D ．221916x y -=【答案】D【解析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得2212AF F F c ＝＝，由双曲线的定义可得122AF a c +=，再由三角形的余弦定理，可得35c a =，45c b =，即可得到所求方程． 【详解】因为()21210F F F A F A +⋅=， 所以()()2122120F F F A F F F A +⋅-+=得到22221AF F F =，即有2212AF F F c ＝＝，由双曲线的定义可得122AF a c +=，根据题意，在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-， 所以127cos 25AF F ∠=-， 即()2224422722225c c a c c c +-+=-⨯⨯，整理得35c a =，而45b c ==， 所以得到:3:4a b =，即22:9:16a b =，根据选项可知双曲线的标准方程可能为221916x y -=，故选D. 【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．二、填空题13．双曲线221412x y -=的焦点到渐近线的距离为__________．【答案】程，由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】4c ==故双曲线的右焦点为(4,0)F0y -=则右焦点到渐近线的距离为：d ==故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质以及点到直线的距离公式，属于基础题. 14．在ABC ∆中，1AB =，AC =4B π∠=，则C ∠=__________．【答案】6π【解析】由正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得：1sin 1sin 2AB B C AC===，解得56C π=(舍)，6C π=故答案为：6π【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.15．已知三棱锥 A BCD -每条棱长都为1，点E ，G 分别是AB ，DC 的中点，则GE AC ⋅=__________．【答案】1-【解析】构造一个正方体，三棱锥A BCD -放入正方体中，建立坐标系利用数量积公式求解即可. 【详解】将三棱锥A BCD -放入如下图所示的正方体中，且棱长为22分别以,,OC OD OB 为,,x y z 轴222222222(,,),(,0,0),(,,0),(,,)222244442A C G E (0,02222,),(0,,)GE AC ==-- 122)(=2GE AC ∴⋅=--⨯ 故答案为：12-【点睛】本题主要考查了求空间向量的数量积，属于中档题. 16．已知数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈，且23n n n b a π=，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则2020S =__________．【答案】1-【解析】由题设条件以及等差数列的性质得出2n a n =，进而得出2cos 3n n b n π=，利用诱导公式求出32313,,k k k b b b --，即可求得2020S . 【详解】1(1)(1)n n na n a n n +=+++111n na a n n+∴-=+ ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差与首项都为121(1)nn a n a n n∴=+-⇒= 2cos3n n b n π∴=3241(32)cos 2(32)32k b k k k ππ-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 3121(31)cos 2(31)32k b k k k ππ-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭33cos 23k b k k k π==3231332k k k b b b --+∴=+，20203674212020(36742)101022b b ⨯-=-⨯-=-=-= ()()()1234562017201820192020202031673101022b b b b b b b b b S b ++++++++++==⨯-=-故答案为：12- 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，诱导公式，数列求和，属于较难题.17．已知等差数列{}n a 中，526a a -=，且1a ，6a ，21a 依次成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若335n S =，求n 的值.【答案】（1）23n a n =+ （2）15n =【解析】(1)由526a a -=求出公差，由等比数列的性质求出1a ，即可得出数列{}n a 的通项公式；(2)由(1)得出数列{}n b 的通项公式，利用裂项求和法求解即可. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ， 因为526a a -=，所以36d =，解得2d =因为1a ，6a ，21a 依次成等比数列，所以26121a a a =， 即()()211152202a a a +⨯=+⨯，解得15a =所以23n a n =+. （2）由（1）知()()1112325n n n b a a n n +==++，所以11122325n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 所以1111111257792325n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()525n n =+，由()352535n n =+，得15n =【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用裂项求和法求数列的和，属于中档题.18．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin =+b a C c A .（1）求A ； （2）若a =ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）4A π= （2）2【解析】(1)由正弦定理的边化角公式化简即可得出A ； (2)由余弦定理以及基本不等式得出三角形面积的最大值. 【详解】解：（1）由正弦定理可得：sin sin sin sin B AcosC C A =+()sin sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C A C A C C A +=+=+∴ sin 0C ≠，cos sin A A ∴=又()0,A π∈，4A π∴=（2）1sin 24S bc A bc == 由余弦定理可得，22282cos 4a b c bc π==+- 又222b c bc +≥故(42bc ≤=+，当且仅当b c =时，等号成立.所以24S =≤所以面积最大为2. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式、余弦定理解三角形以及基本不等式的应用，属于中档题. 19．已知m 为实数，命题:p 方程221214x y m m -=--表示双曲线； 命题:q 函数21()lg 4f x mx x m ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的定义域为R . （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若命题p 与命题q 有且只有一个为真命题， 求实数m 的取值范围.【答案】（1）12m <或4m > （2）12m <或14m <≤ 【解析】(1)由双曲线的方程特点列出不等式求解即可； (2)将定义域问题转化为不等式的恒成立问题求出命题q 为真时m 的取值范围，讨论p 真q 假和p 假q 真两种情况，列出相应不等式组，求解即可得出实数m 的取值范围. 【详解】解（1）若命题p 为真命题，则()()2140m m -->， 即m 的取值范围是12m <或4m >（2）若命题q 为真，即2104mx x m -+>恒成立， 则00m >⎧⎨∆<⎩有2010m m >⎧⎨-<⎩，1m 命题p 、q 一真一假.当p 真q 假时，1421m m m ⎧<>⎪⎨⎪≤⎩或得12m < 当p 假q 真时，1421m m ⎧≤≤⎪⎨⎪>⎩得14m <≤ 1m ∴<或14m <≤【点睛】本题主要考查了根据方程表示双曲线求参数的范围以及根据命题的真假求参数的范围，属于中档题.20．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到点()1,0F 的距离和它到直线1x =-的距离相等，记点P 的轨迹为C . （1）求C 的方程；（2）设点A 在曲线C 上，x 轴上一点B （在点F 右侧）满足AF FB=，若平行于AB 的直线与曲线C 相切于点D ，试判断直线AD 是否过点()1,0F ？并说明理由.【答案】（1）24y x = （2）直线AD 过点(1,0)F ，理由见解析【解析】(1)由抛物线的定义求出C 的方程；(2)根据抛物线的定义表示出点,A B 的坐标，根据坐标写出直线AB 的斜率，进而得到直线l 的方程，将直线l 与抛物线方程联立，结合判别式得出1m k =，进而得出点D 的坐标，求出直线AD 的斜率，讨论21k ≠和21k =，得出直线AD 的方程，即可判断直线AD 是否过点()1,0F . 【详解】解：（1）根据抛物线的定义得，动点P 的轨迹是以()1,0F 为焦点，直线1x =-的抛物线.24y x =（2）由题设()00,A x y ，则01AF x =+，又AFFB=，故()02,0B x +令平行于AB 的直线:l y kx m =+，则02AB y k k ==-，()2,2A k k ∴-将直线:l y kx m =+代入24y x =，得2()4kx m x +=， 整理222(24)0k x km x m +-+=……①222(24)40km k m ∴∆=--=，1km ∴=当0AB k =时，直线AB 为x 轴，此时不存在平行于AB 的直线与曲线C 相切于点D 即0k ≠10m k∴=≠ 所以①可以化为222120k x x k -+=21D x k ∴=，2D y k =，212,D k k ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭当21k ≠时2222222111AD kk k k k k k k k+===--- ()222:21kAD y k x k k∴+=--， 22:(1)1kAD y x k∴=--，过定点(1,0)F 当21k =时，:1AD x =也过点(1,0)F ，故直线AD 过点(1,0)F 【点睛】本题主要考查了利用定义求抛物线的方程以及抛物线中直线过定点问题，属于较难题. 21．如图1，在矩形ABCD中，AB =BC =E 、P分别在线段DC 、BC 上，且5DE =，152DP =，现将AED ∆沿AE 折到'AED ∆的位置，连结'CD ，'BD ，如图2（1）证明：'AE D P ⊥；（2）记平面'AD E 与平面'BCD 的交线为l .若二面角'B AE D --为23π，求l 与平面'D CE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）15【解析】(1)建立坐标系证明AE DP ⊥，再由线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质证明'AE D P ⊥；(2)根据公理3得到平面'AD E 与平面'BCD 的交线，再根据二面角定义得到二面角 'B AE D --的平面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求l 与平面'D CE 所成角的正弦值. 【详解】解：（1）证明：如图1，线段,DP AE 交于点O 在Rt PCD ∆中，由35DC AB ==，152DP =，2235PC DP DC =-=以点A 为坐标原点，建立直角坐标系，则(5,25AE =，3535,PD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭即35355250AE PD ⋅=-⨯+⨯= AE DP ∴⊥，从而有AE OD ⊥，AE OP ⊥，即在图2中有AE OD '⊥，AE OP ⊥，OD OP O '⋂=，,OD OP '⊂平面POD ' AE ∴⊥平面POD 'D P '⊂平面POD '，AE D P '∴⊥；（2）延长AE ，BC 交于点Q ，连接'D Q根据公理3得到直线'D Q 即为l ，再根据二面角定义得到23D OP π'∠=.在平面'POD 内过点O 作底面垂线，O 为原点，分别以OA 、OP 、及所作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标 则(0,3D '-，(1,0,0)E -，(11,0,0)Q -，(3,4,0)C -， (11,1,3D Q '=--，(2,4,0)EC =-，(1,3ED '=-， 设平面'D EC 的一个法向量为(, , )n x y z =，由24030n EC x y n ED x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩'， 取1y =，得32,1,3n ⎛=- ⎝⎭. l ∴与平面D CE '所成角的正弦值为15cos ,n D Q n D Q n D Q '⋅'=='⋅【点睛】本题主要考查了由线面垂直证线线垂直以及利用向量法证明线面角，属于较难题.22．已知椭圆22:236C x y +=.（1）求椭圆C 的短轴长和离心率；（2）过点()2,0的直线l 与椭圆C 相交于两点M ，N ，设MN 的中点为T ，点()4,0P ，判断TP 与TM 的大小，并证明你的结论.【答案】（1）短轴长e =（2）TM TP >，证明见解析【解析】(1)由椭圆的性质求解即可；(2) 当l 为斜率k 不存在时，由直线l 方程与椭圆方程的交点求得TM ，TP 从而判断TP 与TM 的大小；当l 为斜率k 存在时，由直线l 方程与椭圆方程联立，结合韦达定理得出12x x +，12x x ，再由数量积公式以及圆的性质求解即可.【详解】解：（1）由题意可知，椭圆22:236C x y +=可变形为22:13618x y C +=6a ∴=，b =c =故短轴长为2e =（2）解：当l 为斜率k 不存在时，l 为2x =时，代入22:236C x y +=可得4y =±，此时()2,0T ，4TM ∴=，2TP =，TM TP ∴>，当l 为斜率k 存在时，设:(2)l y k x =-代入到22:236C x y +=，得2222(2)36x k x +-=()22222188360k x k x k ∴+-+-=令()11,M x y ，()22,N x y 则2122821k x x k +=+，212283621k x x k -=+，此时()114,PM x y =-，()224,PN x y =-，()()()()()()212121212444422PM PN x x y y x x k x x ∴⋅=--+=--+-- ()()()()212124422x x k x x =--+--()()()2221212142164k x x k x x k =+-++++()()()222222283618421642121k k k k k k k -++=-++++ ()()()()()222222222291424214212121k k k k k k k k k ⎡⎤-++++⎢⎥=-+⨯+++⎢⎥⎣⎦ 22654021k k --=⨯<+ 90MPN ∴∠>︒，点P 在以MN 为直径的圆内部. 所以TM TP >， 综上所述，TMTP > 【点睛】本题主要考查了椭圆的基本性质以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题.。
2019-2020学年 广东省广州市白云区 高二上学期期末教学质量检测数学试题(解析版)
2019-2020学年广东省广州市白云区高二上学期期末教学质量检测数学试题一、单选题1．设集合{}2|340A x x x =+-<，{|230}B x x =+≥，则A B =I （ ） A ．3(4,]2-- B ．3[,1)2-- C ．3[,1)2-D ．3[,4)2【答案】C【解析】解一元二次不等式求得集合A ，解一元一次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()()234410x x x x +-=+-<解得()4,1A =-，有2+30x ≥解得3,2B ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭，所以3,12A B ⎡⎫⋂=-⎪⎢⎣⎭. 故选：C 【点睛】本小题主要考查集合交集，考查一元二次不等式、一元一次不等式的解法，属于基础题.2．已知向量()3,1,2a =-v，()6,2,b t =-v ，且a b v v P ，则t =（ ）A ．10B ．-10C ．4D ．-4【答案】D【解析】根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得t 的值. 【详解】 由于//a b r r，所以62312t -==-，解得4t =-. 故选：D 【点睛】本小题主要考查空间向量共线的坐标表示，属于基础题.3．双曲线221169x y -=的焦距为（ ）A ．10B C ．D ．5【答案】A 【解析】由方程，，则，即，则焦距为.4．设命题[0]:,1p x ∀∈，都有210x -≤.则p ⌝为( )A ．0[0,1]x ∃∈，使2010x -≤ B ．[0,1]x ∀∈，使210x -≥ C ．0[0,1]x ∃∈，使2010x ->D ．[0,1]x ∀∈，使210x ->【答案】C【解析】根据全称命题的否定为特称命题,即得解. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，命题[0]:,1p x ∀∈，都有210x -≤的否定为：0[0,1]x ∃∈，使2010x ->故选：C 【点睛】本题考查了全称命题的否定为特称命题，考查了学生概念理解的能力，属于基础题.5．若a b c d ,,,为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b <，则||||a c b c < B ．若22ac bc <，则a b < C ．若a b <，c d <，则a c b d -<- D ．若a b <，c d <，则ac bd <【答案】B【解析】利用不等式的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，当0c =时，不符合，故A 选项错误.对于B 选项，由于22ac bc <，所以0c ≠，所以a b <，所以B 选项正确.对于C 选项，如2,3,2,3,23,23a b c d ====<<，但是a c b d -=-，所以C 选项错误.对于D 选项，由于a b c d ,,,的正负不确定，所以无法由a b <，c d <得出ac bd <，故D 选项错误. 故选：B 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.6．已知n v为平面α的一个法向量，l 为一条直线，则“l n ⊥v”是“//l α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】将“l n ⊥r”与“//l α”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】当“l n ⊥r”时，由于l 可能在平面α内，所以无法推出“//l α”. 当“//l α”时，“l n ⊥r”.综上所述，“l n ⊥r ”是“//l α”的必要不充分条件.故选：B 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查线面平行和法向量，属于基础题. 7．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC a ==，1AA ，则异面直线1AC 与1CD 所成角的余弦值为（ ） A ．15B．6CD．2【答案】C【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线1AC 与1CD 所成角的余弦值. 【详解】以D 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，依题意()()()()11,0,0,0,,0,0,,A a C a C a D，所以()()11,,0,AC a a CD a =-=-u u u u ru u u u r，设异面直线1AC 与1CD 所成角为θ，则1111cos 5AC CD AC CD θ⋅===⋅u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r .故选：C【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的余弦值的计算，属于基础题.8．已知各项均为正数的数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若337S a =，且2a 与4a 的等差中项为5，则5S =（ ） A ．29 B ．31C ．33D ．35【答案】B【解析】将已知条件转化为1,a q 的形式，解方程求得q ，根据等差中项列方程，由此解得1a .进而求得5S 的值. 【详解】由337S a =，得12337a a a a ++=，所以3126()0a a a -+=，即2610q q --=，所以12q =,13q =-（舍去）．依题意得2410a a +=，即31()10a q q +=，所以116a =． 所以55116[1()]231112S -==-． 故选:B ．【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查等差中项的性质，考查等比数列前n 项和，属于基础题.9．命题“若{}n a 是等比数列，则n n kn k na a a a +-=（n k >且*,n k N ∈）的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】先判断原命题为真命题，由此得出逆否命题是真命题；判断出原命题的逆命题为真命题，由此判断原命题的否命题也是真命题，由此确定假命题的个数. 【详解】若{}n a 是等比数列，则n a 是n k a -与n k a +的等比中项，所以原命题是真命题， 从而，逆否命题是真命题；反之，若(*)n n k n k n a a n k n k a a +-=>∈N ，,，则当1k =时，11(1*)n n n na a n n a a +-=>∈N ,， 所以{}n a 是等比数列，所以逆命题是真命题，从而，否命题是真命题． 故选:A ． 【点睛】本小题主要考查四种命题及其相互关系，考查等比数列的性质，属于基础题.10．双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若PO PF ⊥,则PFO △的面积为（ ） ABC ．12D．2【答案】D【解析】先求得双曲线的渐近线方程，由此求得对应的倾斜角，解直角三角形求得三角形PFO 的边长，由此求得以PFO ∆的面积. 【详解】双曲线22:13y C x -=的渐近线方程为y =，无妨设60POF ∠=o ，因为PO PF ⊥，||2OF c ==，所以得||2cos 601PO ==o,||2sin 60PF ==o所以PFO ∆的面积为131322⨯⨯=． 故选:D ． 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的几何性质，考查双曲线中的三角形的面积计算，属于基础题.11．为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体1111D C B A ，该项目由长方形核心喷泉区ABCD （阴影部分）和四周绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD 的面积为21000m ，绿化带的宽分别为2m 和5m （如图所示）.当整个项目占地1111D C B A 面积最小时，则核心喷泉区BC 的长度为（ ）A ．20mB ．50mC ．1010mD ．100m【答案】B【解析】设BC x =，得到CD 的值，进而求得矩形1111D C B A 面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最小值，，而根据基本不等式等号成立的条件求得此时BC 的长. 【详解】设BC x =，则1000CD x =，所以11111000(10)(4)A B C D S x x=++Y 100001040(4)x x =++100001040241440x x≥+=g ， 当且仅当100004x x=，即50x =时，取“=”号， 所以当50x =时，1111A B C D S Y 最小． 故选:B ． 【点睛】本小题主要考查矩形面积的最小值的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 12．在三棱锥D ABC -中，22AB BC ==4DA DC AC ===，平面ADC ⊥平面ABC ，点M 在棱BC 上，且DC 与平面DAMAM =（ ） ABC．D【答案】A【解析】建立空间直角坐标系，设出M 点坐标，利用DC 与平面DAM 所成角的正弦M 点的坐标，进而求得AM 的长. 【详解】取AC 中点O ，易证：OD AC ⊥,OD OB ⊥,AC OB ⊥.如图，以O 为坐标原点，OB uuu r的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -. 由已知得()0,0,0O,()2,0,0B ,()0,2,0A -,()0,2,0C,D,(0,2,AD =u u u r,(0,2,DC =-u u u r.设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-u u u r.设平面DAM 的法向量(),,n x y z =r.由0AD n ⋅=u u u r r ,0AM n ⋅=u u u u r r得20(4)0y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，可取,)n a a =--r，所以sin cos ,DC n θ=〈〉==u u u r r解得4a =-（舍去），43a =，所以||AM ==u u u u r故选:A ．【点睛】本小题主要考查根据线面角的正弦值求线段的长度，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．已知实数,x y 满足约束条件1010330x x y x y -≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为__________．【答案】7【解析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线20x y +=到可行域边界点()2,3B 的位置，此时2z x y =+取得最大值为2237⨯+=. 故答案为：7【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14．某学校启动建设一个全新的信息化“未来报告厅”，该报告厅的座位按如下规则排列：从第二排起，每一排都比前一排多出相同的座位数，且规划第7排有20个座位，则该报告厅前13排的座位总数是__________． 【答案】260【解析】将问题转化为等差数列来解决，根据已知条件以及等差数列前n 项和公式，求得所求的坐标总数. 【详解】因为从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数， 所以座位数n a 构成等差数列{}n a . 因为720a =，所以113713713()1321326022a a a S a +⨯====.故答案为：260 【点睛】本小题主要考查利用等差数列解决实际生活中的问题，属于基础题.15．已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，2POF V 为正三角形，则C 的离心率为__________．【答案】31-【解析】结合等边三角形的性质和椭圆的定义列方程，化简后求得椭圆的离心率. 【详解】如图,因为2POF V 为正三角形，所以12||||||OF OP OF ==， 所以12F PF ∆是直角三角形.因为2160PF F ∠=o，21||2F F c =，所以2||PF c =,1||3PF c=. 因为21||||2PF PF a +=，所以32c c a +=即3131c a ==-+，所以31e =-. 故答案为：31-【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，属于基础题. 16．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===,1160BAD DAA BAA ︒∠=∠=∠=,则1BD =__________．2【解析】用基底表示出1BD u u u u r ，然后利用向量数量积的运算，求得1BD u u u u r .【详解】因为111BD AD AB AD AA AB=-=+-u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以2211()BD AD AA AB =+-u u u u r u u u r u u u r u u u r222111222AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+++--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g1112cos602cos602cos602=+++⨯-⨯-⨯=o o o ，所以1||BD BD ==u u u u r【点睛】本小题主要考查空间向量法计算线段的长，属于基础题.三、解答题17．记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.【答案】（1）*(2)10n a n n ∈=-N （2）当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【解析】（1）将已知条件转化为1,a d 的形式列方程，由此解得1,a d ，进而求得{}n a 的通项公式.（2）根据等差数列前n 项和公式求得n S ，利用配方法，结合二次函数的性质求得n S 的最大值及对应n 的大小.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．由2219a a =，得140a d +=，由618S =，得1532a d +=， 于是18a =,2d =-．所以{}n a 的通项公式为*(2)10n a n n ∈=-N ．（2）由（1）得(1)8(2)2n n n S n -=+⨯- 29n n =-+2981()24n =--+ 因为*n ∈N ，所以当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式基本量的计算，考查等差数列前n 项和的最值的求法，属于基础题.18．已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴是x 轴，并且经过点()1,2-，抛物线C 的焦点为F ，准线为l .（1）求抛物线C 的方程；（2）过Fh 与抛物线C 相交于两点A 、B ，过A 、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为D 、E ，求四边形ABED 的面积.【答案】（1）24y x =（2 【解析】（1）根据抛物线上点的坐标，求得抛物线的方程.（2）设出直线h 的方程，与抛物线方程联立，解出交点,A B 的坐标，结合抛物线的定义和梯形面积公式，求得四边形ABED 的面积.【详解】（1）根据题意，设抛物线C 为22(0)y px p =>，因为点(1,2)-在抛物线上，所以2(2)2p -=，即2p =．所以抛物线C 的方程为24y x =．（2）由（1）可得焦点(1,0)F ，准线为:1l x =-．不妨设11(,)A x y ，2212(,)()B x y x x >过F h 的方程为1)y x =-．由243(1)y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得231030x x -+=， 所以13x =，213x =．代入3(1)y x =-，得123y =，2233y =-．所以(3,23)A ，123(,)3B -． 所以1||42p AD x =+=， 24||23p BE x =+=， 128||||33DE y y =-=． 因为四边形ABED 是直角梯形，所以四边形ABED 的面积为1643(||||)||2AD BE DE +=． 【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的交点坐标，考查梯形面积的计算，属于中档题.19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PB PD =.（1）证明：平面APC ⊥平面BPD ；（2）若PB PD ⊥，60DAB ∠=︒，2AP AB ==，求二面角A PD C --的余弦值.【答案】（1）见解析（2）57- 【解析】（1）通过菱形的性质证得BD AC ⊥，通过等腰三角形的性质证得BD PO ⊥，由此证得BD ⊥平面APC ，从而证得平面APC ⊥平面BPD .（2）方法一通过几何法作出二面角A PD C --的平面角，解三角形求得二面角的余弦值.方法而通过建立空间直角坐标系，利用平面APD 和平面CPD 的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：记AC BD O =I ，连接PO ．因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，O 是,BD AC 的中点．因为PB PD =，所以PO BD ⊥．因为AC PO O =I ，所以BD ⊥平面APC ．因为BD ⊂平面BPD ，所以平面APC ⊥平面BPD ．（2）因为底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=o ，2AP AB ==，所以BAD ∆是等边三角形，即2BD AB ==．因为PB PD ⊥，所以112PO BD ==．又sin 60AO AB ==o 2AP =，所以222PO AO AP +=，即PO AO ⊥．方法一：因为O 是AC 的中点，所以2CP AP ==，因为2CD AB ==，所以CP CD =，所以PAD ∆和PCD ∆都是等腰三角形．取PD 中点E ，连接,AE CE ，则AE PD ⊥，且CE PD ⊥，所以AEC ∠是二面角A PD C --的平面角．因为PO BD ⊥，且112PO OD BD ===，所以DP ==．因为2AE CE ===，2AC AO ==， 所以2225cos 27AE CE AC AEC AE CE +-∠==-g ． 所以二面角A PD C --的余弦值为57-．方法二：如图，以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -， 则(3,0,0)A ，(0,1,0)D -，(0,0,1)P ，(3,0,0,)C -，所以(3,1,0)DA =u u u r ，(0,1,1)DP =u u u r ，(3,1,0)DC =-u u u r ．设平面APD 的法向量为1(,,)n x y z =u r由11·0·0DA n DP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u v u v u u u v u v ，得300x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 令3y =-，得1(1,3,3)n =-u r .同理，可求平面PDC 的法向量2(1,3,3)n =-u u r ．所以121212cos ||||n n n n n n =u r u u r u r u u r g u r u u r , 22222211(3)33(3)1(3)313(3)⨯+-⨯+⨯-=+-+++-57=-． 所以，二面角A PD C --的余弦值为57-．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*n S n n N =∈，数列{}n b 满足12b =，()*1322,n n b b n n -=+≥∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：数列{}1n b +是等比数列；（3）设数列{}n c 满足1n n n a c b =+，其前n 项和为n T ，证明：1n T <. 【答案】（1）*21()n a n n =-∈N （2）见解析（3）见解析【解析】（1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式. （2）通过证明1131n n b b -+=+，证得数列{1}n b +是等比数列，并求得首项和公比. （3）由（2）求得{}n b 的通项公式，由此求得n c 的表达式，利用错位相减求和法求得n T ，进而证得1n T <.【详解】（1）当1n =时，111a S ==．当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．检验，当1n =时11211a ==⨯-符合．所以*21()n a n n =-∈N ．（2）当2n ≥时，1111113213(1)3111n n n n n n b b b b b b -----++++===+++， 而113b +=，所以数列{1}n b +是等比数列，且首项为3，公比为3．（3）由（2）得 11333-+=⋅=n n n b ，211(21)()133n n n n n a n c n b -===-+， 所以1231n n n T c c c c c -=+++++L231111111()3()5()(23)()(21)()33333n n n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅L ① 23411111111()3()5()(23)()(21)()333333n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅L ② 由①-②得12342111111(21)()2[()()()()]3333333n n n T n +=--⋅+++++L ， 21111()[1()]1133(21)()21331()3n n n -+-=--⋅+-11111(21)()()3333n n n +=--⋅+- 2221()()333n n +=-， 所以11(1)()3n n T n =-+． 因为1(1)()03n n +>，所以1n T <． 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等比数列的证明，考查错位相减求和法，考查运算求解能力，属于中档题.21．如图，已知圆A ：22(1)16x y ++=，点()10B ,是圆A 内一个定点，点P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线1l 和半径AP 相交于点Q .当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设过点()4,0D 的直线2l 与曲线C 相交于,M N 两点（点M 在,D N 两点之间）.是否存在直线2l 使得2DN DM =u u u v u u u u v？若存在，求直线2l 的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）22143x y +=（2）存在，5(4)6y x =-或5(4)6y x =--． 【解析】（1）结合垂直平分线的性质和椭圆的定义，求出椭圆C 的方程.（2）设出直线2l 的方程，联立直线2l 的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用2DN DM =u u u r u u u u r ，结合向量相等的坐标表示，求得直线2l 的斜率，进而求得直线2l 的方程.方法一和方法二的主要曲边是直线2l 的方程的设法的不同.【详解】（1）因为圆A 的方程为22(1)16x y ++=，所以(1,0)A -，半径4r =．因为1l 是线段AP 的垂直平分线，所以||||QP QB =．所以||||||||||4AP AQ QP AQ QB =+=+=．因为4||AB >，所以点Q 的轨迹是以(1,0)A -，(1,0)B 为焦点，长轴长24a =的椭圆．因为2a =，1c =，2223b a c =-=，所以曲线C 的方程为22143x y +=． （2）存在直线2l 使得2DN DM =u u u r u u u u r．方法一：因为点D 在曲线C 外，直线2l 与曲线C 相交，所以直线2l 的斜率存在，设直线2l 的方程为(4)y k x =-．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >， 由22143(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(34)32(6412)0k x k x k +-+-=． 则21223234k x x k+=+， ① 2122641234k x x k -=+， ② 由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=--+->，解得1122k -<<． 因为2DN DM =u u u r u u u u r，所以2142(4)x x -=-，即2124x x =-． ③ 把③代入①得21241634k x k +=+，22241634k x k-+=+ ④ 把④代入②得2365k =，得k =±，满足1122k -<<． 所以直线2l的方程为：4)y x =-或4)y x =-． 方法二：因为当直线2l 的斜率为0时，(2,0)M ，(2,0)N -，(6,0)DN =-u u u r ，(2,0)DM =-u u u u r此时2DN DM ≠u u u r u u u u r ．因此设直线2l 的方程为：4x ty =+．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >， 由221434x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)24360t y ty +++=． 由题意知22(24)436(34)0t t ∆=-⨯+>，解得2t <-或2t >， 则1222434t y y t +=-+， ① 1223634y y t =+， ② 因为2DN DM =u u u r u u u u r ，所以212y y =． ③ 把③代入①得12834t y t =-+，221634t y t =-+ ④ 把④代入②得2536t =，t =2t <-或2t >． 所以直线2l的方程为4)y x =-或4)y x =-． 【点睛】 本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.22．已知函数2()()(,)f x x mx m n m n =-++∈R .（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()3,1-，求实数,m n 的值；（2）设2m =-，若不等式()23f x n n >-+对x R ∀∈都成立，求实数n 的取值范围； （3）若3n =且()1,x ∈+∞时，求函数()f x 的零点.【答案】（1）2m =-，1n =-．（2）(,1)(3,)-∞-+∞U （3）见解析【解析】（1）根据根与系数关系列方程组，解方程组求得,m n 的值.（2）将不等式2()3f x n n >-+转化为22222x x n n +->-+，求得左边函数()222g x x x =+-的最小值，由此解一元二次不等式求得n 的取值范围.（3）利用判别式进行分类讨论，结合函数()f x 的定义域，求得函数()f x 的零点.【详解】（1）因为不等式()0f x <的解集为(3,1)-，所以-3,1为方程()0f x =的两个根， 由根与系数的关系得3131m m n -+=⎧⎨-⨯=+⎩，即2m =-，1n =-． （2）当2m =-时，2()2(2)f x x x n =++-，因为不等式2()3f x n n >-+对x R ∀∈都成立，所以不等式22222x x n n +->-+对任意实数x 都成立．令22()22(1)3g x x x x =+-=+-，所以2min ()2g x n n >-+．当1x =-时，min ()3g x =-，所以232n n ->-+，即2230n n -->，得1n <-或3n >，所以实数n 的取值范围为(,1)(3,)-∞-+∞U ．（3）当3n =时，()2()(3)1f x x mx m x =-++>，函数()f x 的图像是开口向上且对称轴为2m x =的抛物线， 22()4(3)412m m m m ∆=--+=--．①当∆<0，即26m -<<时，()0f x >恒成立，函数()f x 无零点．②当0∆=，即2m =-或6m =时，（ⅰ）当2m =-时，1(1,)2m x ==-∉+∞，此时函数()f x 无零点． （ⅱ）当6m =时，3(1,)2m x ==∈+∞，此时函数()f x 有零点3． ③当>0∆，即2m <-或6m >时，令2()(3)0f x x mx m =-++=，得12m x -=，22m x += (1)40f =>．（ⅰ）当2m <-时，得12(1)40m x f ⎧=<-⎪⎨⎪=>⎩，此时121x x <<，第 21 页 共 21 页 所以当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 无零点．（ⅱ）当6m >时，得32(1)40m x f ⎧=>⎪⎨⎪=>⎩，此时121x x <<，所以当(1,)x ∈+∞时，函数()f x． 综上所述：当6m <，(1,)x ∈+∞时，函数()f x 无零点；当6m =，(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有一个零点为3；当6m >，(1,)x ∈+∞时，函数()f x有两个零点：2m -，． 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式解集，考查根与系数关系，考查不等式恒成立问题的求解，考查函数零点问题的研究，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
2019-2020学年广东省广州市越秀区高二上学期期末数学试题解析
绝密★启用前2019-2020学年广东省广州市越秀区高二上学期期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．抛物线2y x =的焦点坐标是（ ） A ．1(,0)2B ．1(,0)4C ．1(0,)2D ．1(0,)4答案：B由抛物线的方程2y x =，可知12p =，所以抛物线的焦点坐标为1(,0)4，故选B. 2．双曲线221169x y -=的一条渐近线方程是（ ） A ．340x y -= B ．430x y -= C ．9160x y -= D ．1690x y -=答案：A直接由双曲线的渐近线的定义可得渐近线的方程． 解：解：由双曲线的方程可得216a =，29b =，焦点在x 轴上，所以渐近线的方程为：34b y x x a =±=，即340±=x y ， 故选：A ． 点评：本题考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．3．命题“若a ，b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题是( ) A ．若a ，b 都是偶数，则+a b 不是偶数 B ．若a ，b 都是偶数，则+a b 不是偶数 C ．若a ，b 不全是偶数，则+a b 不是偶数 D ．若+a b 不是偶数，则a ，b 不全是偶数 答案：C根据命题的否定和命题之间的关系确定结论即可． 解：解：否命题就是对原命题的条件和结论同时进行否定，则命题“若a ，b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题为：若a ，b 不全是偶数，则+a b 不是偶数 ．故选：C ． 点评：本题主要考查四种命题之间的关系，属于基础题．4．设0a >，0b >，则“b a >”是“椭圆22221x y a b+=的焦点在y 轴上”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C利用椭圆的焦点在y 轴上的充要条件即可得出． 解：解：“b a >”⇔“椭圆22221x y a b+=的焦点在y 轴上”，∴“b a >”是“椭圆22221x y a b+=的焦点在y 轴上”的充要条件．故选：C ． 点评：本题考查了椭圆的焦点在y 轴上的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.5，甲获胜的概率是0.2，则乙不输的概率是（ ） A ．0.8 B ．0.7C ．0.3D ．0.2答案：A利用互斥事件概率加法公式直接求解． 解：解：甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.5，甲获胜的概率是0.2， ∴乙不输的概率是：10.20.8p =-=． 故选：A ． 点评：本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．6．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[10,15)和[25,30)为二等品，在区间[10,15)和[30,35)为三等品．用频率估计概率，现从这批产品中随机抽取1件，则其为三等品的概率是（ ）A ．0.03B ．0.05C ．0.15D ．0.25答案：D由频率分布直方图得在区间[10,15)和[30,35)的频率为(0.020.03)50.25+⨯=，由此能求出从这批产品中随机抽取1件，其为三等品的概率． 解：解：在区间[10,15)和[30,35)为三等品， 由频率分布直方图得：在区间[10,15)和[30,35)的频率为(0.020.03)50.25+⨯=， ∴从这批产品中随机抽取1件，其为三等品的概率是0.25． 故选：D ． 点评：本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．7．如图，在四面体OABC 中，2OM MA →→=，BN NC →→=，则MN →=（ ）A ．111222OA OB OC →→→+-B ．221332OA OB OC →→→+-C ．121232OA OB OC →→→-+D ．211322OA OB OC →→→-++答案：D由已知直接利用向量的加减法运算得答案． 解：解：∵2OM MA→→=，BN NC →→=，∴12()23MN ON OM OB OC OA →→→→→→=-=+-211322OA OB OC →→→=-++．故选：D ．点评：本题考查空间向量基本定理，属于基础题．8．长方体1111ABCD A B C D -中，1AD CD ==，12DD =，则直线1DB 与直线1BC 所成角的余弦值为（ ） A 30B 10C ．70 D 310答案：A以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解． 解：解：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(1,1,0)B ，1(1,1,2)B ，1(0,1,2)C ， ∴1(1,1,2)DB →=，1(1,0,2)BC →=-，由111111cos ,||||DB BC DB BC DB BC →→→→→→⋅<>=⋅3065==⋅． 得直线1DB 与直线1BC 30． 故选：A ．点评：本题考查利用空间向量求解空间角，属于中档题．9．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不大于6的概率记为1p ，点数之和大于6的概率记为2p ，点数之和为奇数的概率记为3p ，则（ ） A ．123p p p << B ．132p p p <<C ．213p p p <<D ．312p p p <<答案：B使用列举法求出三个概率，再比较大小． 解：解：随机掷两枚质地均匀的骰子共有36个基本事件，它们发生的可能性相等． 其中向上的点数和不大于6的基本事件共有15个，分别是(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，11553612P ∴==． 点数之和大于6的基本事件共有21个，分别是(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．22173612P ∴==． 由于骰子的点数奇偶数相同，故点数之和为偶数的概率312P =． 132p p p ∴<<．故选：B ． 点评：本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题．10．为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，已知101220ii x==∑，1011610i i y ==∑，ˆ4b=，该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为（ ）厘米. A ．165 B ．168C ．173D ．178答案：C由已知求得x ，y 的值，结合4b=$求得$a ，可得线性回归方程，取25x =求得y 值即可． 解：解：10112202210i i x x ====∑，1011161016110i i y y ====∑， 又y bx a =+$$$，4b=$， ∴$16142273ay bx =-=-⨯=$． ∴y 关于x 的线性回归方程为$473y x =+． 取25x =，得42573173y =⨯+=（厘米）． 故选：C ． 点评：本题考查线性回归方程的求法，属于基础题．11．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为92，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的标准差为（ ）A ．4B ．2C ．5D 5答案：B由平均数求得x 的值，再计算7个剩余分数的方差和标准差． 解：解：将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉一个最低分，7个剩余分数的平均分为92；最低分是87，当9x =时，剩余7个数分别是89、90、91、92、94、95、98， 平均值为1(89909192949598)92.7927⨯++++++≈>， 所以8x ≤，计算剩余7个数的平均值为190(101245)927x +⨯-++++++=， 解得3x =；所以7个剩余分数的方差为：217s =⨯2228992)(9092)[92)((91-+-+-2222(9292)(9392)(9492)(9592)4]+-+-+-+-=．所以标准差为2s =． 故选：B ． 点评：本题考查了利用茎叶图求平均数和方差、标准差的应用问题，也考查了运算求解能力，属于基础题．12．已知圆锥曲线C 的方程是225658x xy y -+=，则下列命题中是假命题的是（ ）A ．曲线C 上的点的横坐标x的取值范围是22⎡-⎢⎣⎦B ．曲线C 关于直线y x =对称C ．曲线C 上的点到曲线C 的对称中心的最远距离为2D ．曲线C 的离心率是12答案：D由关于y 的二次方程2256580y xy x -+-=有实数解，运用判别式非负，解得x 的范围，可判断A ；将x 换为y ，y 换为x ，方程不变，可判断B；由旋转变换公式可得x y ⎧=⎪⎪⎨''''⎪=⎪⎩，代入原方程化简可得椭圆方程，由椭圆的性质可判断C ，D ． 解：解：方程225658x xy y -+=，可看做关于y 的二次方程2256580y xy x -+-=， 根据方程有实数解的条件可得223645(58)0x x ∆=-⨯-≥，解得22x -，故A 正确；将x 换为y ，y 换为x ，可得方程225658x xy y -+=不变，则圆锥曲线C 关于直线y x =对称；同样将x 换为y -，y 换为x -，可得方程225658x xy y -+=不变，则圆锥曲线C 关于直线y x =-对称， 故B 正确；由旋转变换公式可得22x y ⎧=⎪⎪⎨''''⎪=⎪⎩，代入曲线C 的方程可得()2562x y ''-⨯-⨯22''''⨯+()2582x y ''+⨯=， 化为2214x y ''+=，即为椭圆方程，且长轴长为4，即曲线C 上的点到曲线C 的对称中心O 的最远距离为2，离心率为4134e -==，故C 正确，D 错误． 故选：D ．点评：本题考查圆锥曲线的方程和性质，考查化简变形能力和运算能力、推理能力，以及数形结合思想，属于难题．二、填空题13．命题“0x ∃∈R ，2010x +…”的否定是_________． 答案：对任意0x ∈R ，使2010x +>本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可. 解：解：∵命题“存在0x ∈R ，使2010x +≤”是一个特称命题∴命题“存在0x ∈R ，使2010x +≤”的否定是“对任意0x ∈R ，使2010x +>” 故答案为：对任意0x ∈R ，使2010x +>点评：本题考查命题的否定，正确解答本题，关键是掌握住命题的否定的定义及书写规则，对于两特殊命题特称命题与全称命题的否定，注意变换量词．14．一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽取一个容量为21的样本，那么应抽取男运动员的人数是________． 答案：12先求出男运动员的人数占的比例，再用样本容量乘以此比例，即为所求． 解：解：男运动员的人数占的比例为40440307=+，故应抽取的男运动员的人数为421127⨯=人，故答案为：12． 点评：本题主要考查分层抽样，属于基础题．15．已知点(1,2,0)A 和向量(3,4,12)a →=-，若2AB a →→=，则点B 的坐标是_________． 答案：(7,10,24)-设(B x ，y ，)z ，由向量坐标运算法则和向量相等的定义得1(-x ，2y -，)(6z =，8，24)-，由此能求出B 点坐标．解：解：点(1,2,0)A 和向量(3,4,12)a →=-，2AB a →→=， 设(,,)B x y z ，则(1,2,)(6,8,24)x y z --=-， 解得7x =，10y =，24z =-， ∴点B 的坐标(7,10,24)-． 故答案为：(7,10,24)-．点评：本题考查点的坐标的求法，考查向量坐标运算法则和向量相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．16．在相距1000m 的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相距2s ，已知声速340m /s ．以AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则炮弹爆炸点所在曲线的方程为________．答案：221115600134400x y -=由题意可得双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，且由双曲线的定义可得a ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系进而求出双曲线的方程． 解：解：由题意可得双曲线的焦点在x 轴上，中心在原点，且21000c =，22340a =⨯，即500c =，340a =，所以22222500340134400b c a =-=-=，2115600a =，所以双曲线的方程为：221115600134400x y -=；故答案为：221115600134400x y -=．点评：考查由双曲线的定义求标准方程的求法，属于基本知识直接应用题，双基考查题，属于基础题．三、解答题17．一个盒子里装有标号为1，2，4，8的4张标签．（1）从盒中不放回地随机取两张标签，求取出的标签上的数字之和不大于5的概率． （2）从盒中有放回地随机取两张标签，求第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率． 答案：（1）13（2）38（1）从盒中不放回地随机取两张标签，基本事件总数246n C ==，利用列举法取出的标签上的数字之和不大于5包含的基本事件有2个，由此能求出取出的标签上的数字之和不大于5的概率．（2）从盒中有放回地随机取两张标签，基本事件4416n=⨯=，第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字包含的基本事件有6个，由此能求出第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率．解：解：（1）一个盒子里装有标号为1，2，4，8的4张标签．从盒中不放回地随机取两张标签，基本事件总数246n C==，取出的标签上的数字之和不大于5包含的基本事件有：（1，2），（1，4），共2个，∴取出的标签上的数字之和不大于5的概率2163 p==．（2）从盒中有放回地随机取两张标签，基本事件4416n=⨯=，第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字包含的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，8），（2，4），（2，8），（4，8），共6个，∴第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率63168p==．点评：本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18．某家庭记录了使用节水龙头100天的日用水量数据，得到频数分布表如下：日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)频数21026203210（1）作出使用了节水龙头100天的日用水量数据的频率分布直方图．（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．43m的概率．（3）求该家庭使用节水龙头的日用水量的中位数的估计值（结果精确到0．01）． 答案：（1）见解析（2）0.58（3）0.36（1）由频数分布表能作出使用节水龙头100天的日用水量数据的频率分布直方图． （2）由频数分布表能估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.4m 的概率． （3）由频率分布直方图得[0，0.3)的频率为(0.21 2.6)0.10.38++⨯=，[0.3，0.4)的频率为20.10.2⨯=，由此能求出该家庭使用节水龙头的日用水量的中位数的估计值． 解：解：（1）由频数分布表作出使用了节水龙头100天的日用水量数据的频率分布直方图如下：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．43m 的概率为：21026200.58100P +++==．（3）由频率分布直方图得：[0,0.3)的频率为(0.21 2.6)0.10.38++⨯=， [0.3,0.4)的频率为20.10.2⨯=，∴该家庭使用节水龙头的日用水量的中位数的估计值（结果精确到0．01）为：0.50.380.30.10.360.2-+⨯=．点评：本题考查频率分布直方图的作法，考查概率、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，D 为的中点．（1）求证：1C D AD ⊥；（2）求二面角11A C D A --的正切值． 答案：（1）见解析（22（1）推导出11C D AA ⊥，111C D A B ⊥，从而1C D ⊥平面11ABB A ，由此能证明1C D AD ⊥．（2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角11A C D A --的正切值． 解：（1）证明：∵在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，D 为的中点．∴11C D AA ⊥，111C D A B ⊥，∵1111AA A B A =I ，∴1C D ⊥平面11ABB A ， ∵AD ⊂平面11ABB A ，∴1C D AD ⊥．（2）解：以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0)A ，1(2,0,2)A ，1(0,0,2)C ，1(0,2,2)B ，(1,1,2)D1(2,0,2)AC →=-，(1,1,2)AD →=-，设平面1ADC 的法向量(,,)n x y z =r，则12202n AC x zn AD x y z⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩u u u u rru u u rr，取1x=，得(1,1,1)n→=-，平面11AC D的法向量(0,0,1)m→=，设二面角11A C D A--的平面角为θ，则||cos3||||m nm nθ→→→→⋅==⋅，12sin133θ=-=，∴二面角11A C D A--的正切值为sintan2cosθθθ==．点评：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．20．已知直线4x=与抛物线2:2C y px=（0p>）相交于A，B两点，且OABV是等腰直角三角形．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l过定点(2,1)-，斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线C只有一个公共点？答案：（1）24y x=（2）0k=或1k=-或12k=（1）将4x=代入抛物线的方程，求得A，B的坐标，由等腰直角三角形的性质可得OA OB⊥，再由两直线垂直的条件，解方程可得p，进而得到抛物线的方程；（2）由题意可得直线l与抛物线的对称轴平行，可得0k=，又直线和抛物线相切，联立直线方程和抛物线方程，运用判别式为0，可得所求值．解：解：（1）直线4x =与抛物线2:2C y px =（0p >）相交于A ，B 两点，可设(4,22)A p ，(4,22)B p -，又OAB V 是等腰直角三角形，可得OA OB ⊥， 则22221p p-⋅=-，解得2p =， 即有抛物线的方程为24y x =；（2）直线l 过定点(2,1)-，斜率为k ，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+， 当直线l 平行于抛物线的对称轴x 轴，可得直线与抛物线只有一个公共点，即0k =； 当直线l 与抛物线相切时，可得直线与抛物线只有一个公共点，由2124y kx k y x=++⎧⎨=⎩可得222[2(12)4](12)0k x k k x k ++-++=，0k ≠， 由2[2(12)4]k k ∆=+--()2224(12)16120k k k k+=--=，解得1k =-或12k =， 综上可得0k =或1k =-或12k =，直线l 与抛物线C 只有一个公共点． 点评：本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，主要是直线和抛物线有交点，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PAD △是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAB ；（2）若6AB =，3AD =，试问在线段DE 上是否存在点Q ，使得直线BQ 与平面PCD 所成角的正弦值为3322？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由． 答案：（1）见解析（2）存在，DQ 93．（1）由已知证明AB ⊥平面PAD ，则AB DE ⊥，再由DE PA ⊥，结合线面垂直的判定可得DE ⊥平面PAB ；（2）取AD 中点O ，则OP AD ⊥，则OP ⊥底面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以OA ，OP 为x ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明在线段DE 上存在点Q ，使得直线BQ 与平面PCD，并求得DQ． 解：（1）证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD I 平面ABCD AD =， 而AB AD ⊥，∴AB ⊥平面PAD ，则AB DE ⊥， 在等边三角形PAD 中，∵E 为PA 的中点，∴DE PA ⊥， 又PA AB A =I ，PA ⊂平面PAB ，AB Ì平面PAB ∴DE ⊥平面PAB ；（2）解：取AD 中点O ，则OP AD ⊥，则OP ⊥底面ABCD ， 以O 为坐标原点，分别以OA ，OP 为x ，z 轴建立空间直角坐标系． 则3,6,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，3,0,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,6,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，P ⎛ ⎝⎭，34E ⎛ ⎝⎭． 假设线段DE 上是否存在点Q ，使得直线BQ 与平面PCD， 设DQ DE λ→→=（01λ剟），则9,0,44DQ λ→⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，93,6,4QB DB DQ λ→→→⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭．设平面PDC 的一个法向量为n (x,y,z)→=，32DP →⎛= ⎝⎭，(0,6,0)DC →=．由30260n DP x nDC y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩u u ur r u u u r r ，取1z =-，得1)n →=-． 由|cos ,|QB n →→<>=||||||QB n QB n →→→→⋅=⋅22=， 解得：34λ=或4λ=（舍）．∴2793,0,16DQ→⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，则93||8DQ→=．∴在线段DE上存在点Q，使得直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为33，DQ的长为93．点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，属于中档题．22．已知椭圆2222:1x yCa b+=（0a b>>6，1F、2F是椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，且12PF F△面积的最大值为102（1）求椭圆C的方程；（2）若Q是椭圆C上的一个动点，点M，N在椭圆2213xy+=上，O为原点，点Q，M，N满足3OQ OM ON→→→=+，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．答案：（1）2213010x y+=（2）是定值，且定值为13-．（1）根据题意列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，即可求出椭圆方程；（2）设0(Q x，)y，1(M x，1)y，2(N x，2)y，所以2200330x y+=，221133x y+=，222233x y+=，由3OQ OM ON→→→=+得01201233x x xy y y=+⎧⎨=+⎩，代入22003x y+得2200121233276(2)x y x x y y+=+++，所以121220x x y y+=，即12OM ONk k=-g，从而得到直线OM与直线ON的斜率之积为定值，且定值为12-．解：解：（1）由题意可知：222c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222301020a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为：2213010x y +=； （2）设()00,Q x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，∴2200330x y +=，221133x y +=，222233x y +=， ∵3OQ OM ON →→→=+，∴()()()001122,,3,x y x y x y =+，∴0121233x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，∴()()22220012123333x y x x y y +++=+=2222112211226931827x x x x y y y y +++++327=++()12126330x x y y +=，∴121230x x y y +=，∴121213y y x x =-，即13OM ON k k ⋅=-， ∴直线OM 与直线ON 的斜率之积为定值，且定值为13-． 点评：本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．。
19-20学年广东省高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)
19-20学年广东省高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∃x≤0，x2≥0”的否定是()A. ∀x≤0，x2≥0B. ∀x≤0，x2<0C. ∃x>0，x2>0D. ∃x<0，x2≤02.双曲线x210−y210=1的焦距为()A. 3√2B. 4√5C. 3√3D. 4√33.在数列{a n}中，a1=1，a n=1+(−1)na n−1(n≥2)，则a5等于()A. 32B. 53C. 85D. 234.在△ABC中，若c=2，a=√3，∠A=π6，则sinC=()A. √33B. √32C. 13D. √225.已知点P(−2,4)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上，则该抛物线的焦点坐标是()A. (0,2)B. (0,4)C. (2,0)D. (4,0)6.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线截椭圆x24+y2=1所得弦长为4√33，则此双曲线的离心率等于()A. √2B. √3C. √62D. √67.“1<m<3”是“方程x2m−1+y23−m=1表示椭圆”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知双曲线C:x216−y248=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为C上一点，F1Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =QP⃗⃗⃗⃗⃗ ，O为坐标原点，若|PF1|=10，则|OQ|=()A. 10B. 1或9C. 1D. 99.在△ABC中，cos2A2=b+c2c，则△ABC的形状为()A. 直角三角形B. 等腰三角形或直角三角形C. 正三角形D. 等腰直角三角形10. 已知直线y =kx +3与椭圆x 216+y 24=1有两个公共点，则实数k 的取值范围是( )A. (√54,+∞) B. (−∞,−√54) C. (−∞,−√54)∪(√54,+∞) D. (−√54,√54)11. 等差数列{a n }中，已知a 7>0，a 3+a 9<0，则{a n }的前n 项和S n 的最小值为( )A. S 4B. S 5C. S 6D. S 712. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作平行于C 的渐近线的直线交C 于点P.若PF 1⊥PF 2，则C 的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为4，则椭圆的方程为______ ．14. 设a >0，b >0，且a +b =1，则1a +1b +1ab 的最小值为______ ．15. 如图，一辆汽车在一条水平公路上向西行驶，到A 处测得公路北侧有一山顶D 在西偏北30°方向上，行驶300m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°方向上，仰角为30°，则此山的高度CD =________m ．16. 已知抛物线C ：y 2=4x ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为(2,2)，则直线l 的方程为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p ：(x +2)(x −6)≤0，q ：2−m ≤x ≤2+m ．(Ⅰ)若m =5，“p 或q ”为真命题，“¬p ”为真命题，求实数x 的取值范围； (Ⅱ)若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且△ABC 的面积为10√3，a +b =13，∠C =60°，求这个三角形的各边长．19. 已知抛物线C ：x 2=8y 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点．(1)若直线l 的方程为y =x +3，求|MF|+|NF|的值；(2)若直线l 的斜率为2，l 与y 轴的交点为P ，且MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求|MN|．20. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a n =S n +1(n ∈N ∗)(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =(2n +1)⋅a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PD⊥平面ABCD，∠PAD=∠DAB=60°，E为AB的中点．(1)证明：PE⊥CD．(2)求二面角A−PE−C的余弦值．22.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，左顶点肘(−a,0)到直线xa+yb=1的距离d=8√217．(1)求C的方程；(2)设直线l：y=kx+m与C相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于P，Q两点，O为坐标，求△OPQ面积的取值范围．原点，若直线OA，OB的斜率之积为−34-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查命题的否定，全称量词命题与存在量词命题的否定关系，是基础题． 直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题，写出结果即可． 解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以，命题“∃x ≤0，使得x 2≥0”的否定是∀x ≤0，x 2<0． 故选B ．2.答案：B解析：解：双曲线x 210−y 210=1中，a 2=10，b 2=10，∴c 2=a 2+b 2=20． ∴c =2√5， ∴2c =4√5．双曲线的焦距为：4√5． 故选：B ． 双曲线x 210−y 210=1中，a 2=10，b 2=10，求出c ，从而得到焦距2c ． 本题考查双曲线的简单性质，确定c 是关键．3.答案：D解析：本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力． 利用数列的递推关系式，求出前5项即可． 解：数列{a n }中，a 1=1，a n =1+(−1)n a n−1(n ≥2)，则a2=1+1=2，a3=1+−12=12，a4=1+112=3，a5=1+−13=23．故选：D．4.答案：A解析：解：在△ABC中，由于：c=2，a=√3，∠A=π6，利用正弦定理：asinA =csinC，解得：sinC=2⋅1 2√3=√33，故选：A．直接利用正弦定理和特殊角的三角函数的值求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5.答案：C解析：本题考查抛物线的简单几何性质，抛物线的焦点坐标及准线方程，考查计算能力，属于基础题．由题意求得抛物线方程，求得焦点坐标，即可求解．解：由P(−2,4)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上，即−2=−p2，则p=4，故抛物线的焦点坐标为：(2,0)，故选：C．6.答案：B解析：本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题． 求出双曲线的渐近线方程，与椭圆的方程联立，利用弦长转化求解即可． 解：设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线为bx −ay =0，则：{bx −ay =0x 24+y 2=1, 消去y 可得：x =√a 2+4b 2，y =√a 2+4b 2， 一条渐近线截椭圆x 24+y 2=1所得弦长为4√33，可得：4a 2+4b 2a 2+4b 2=(2√33)2=43，可得2a 2=b 2=c 2−a 2，解得e =ca =√3． 故选：B ．7.答案：B解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，属于基础题． 根据椭圆的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 解：若方程x 2m−1+y 23−m =1表示椭圆， 则满足{m −1>03−m >0m −1≠3−m ，即{m >1m <3m ≠2,即1<m <3且m ≠2，此时1<m <3成立，即必要性成立， 当m =2时，满足1<m <3，但此时方程x 2m−1+y 23−m =1等价为x 21+y 21=1为圆，不是椭圆，不满足条件，即充分性不成立， 故“1<m <3”是“方程x 2m−1+y 23−m =1表示椭圆”的必要不充分条件，故选B ．8.答案：D解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 利用双曲线的定义，结合已知条件，转化求解|OQ|即可．解：双曲线C ：x 216−y 248=1可得a =4，b =4√3，c =8，c −a =4，由双曲线的定义可知：||PF 1|−|PF 2||=2a =8， 因为|PF 1|=10，所以|PF 2|=18或|PF 2|=2(舍去)， P 为C 上一点，F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以Q 为线段PF 1的中点， 所以|OQ|=12|PF 2|=9． 故选：D ．9.答案：A解析：本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理与两角和的正弦的应用，属于中档题． 解：在△ABC 中，∵cos 2A2=1+cosA 2=b+c 2c=b 2c +12， ∴cosA 2=sinB 2sinC，∴sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC =cosAsinC ， ∴sinAcosC =0， ∵sinA >0， ∴cosC =0，C =π2， ∴△ABC 的形状是直角三角形， 故选A ．10.答案：C解析：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，解题的关键是熟练掌握直线与椭圆直线与椭圆的位置关系的计算，根据已知及直线与椭圆的位置关系的计算，求出实数k 的取值范围．解：由{y =kx +3,x 216+y 24=1得(4k 2+1)x 2+24kx +20=0， 当Δ=16(16k 2−5)>0，即k >√54或k <−√54时，直线和椭圆有两个公共点．故选C ．11.答案：C解析：利用等差数列通面公式推导出a 6<0.a 7>0，由此能求出{a n }的前n 项和S n 的最小值．本题考查数列的前n 项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．解：∵等差数列{a n }中，a 3+a 9<0，∴a 3+a 9=2a 6<0， 即a 6<0.又a 7>0，∴{a n }的前n 项和S n 的最小值为S 6． 故选：C ．12.答案：D解析：本题考查求双曲线的离心率，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 设P(x,y)，通过联立直线PF 2的方程、直线PF 1的方程及双曲线方程，计算即可得出答案． 解：如图，设P(x,y)，根据题意可得F 1(−c,0)、F 2(c,0)，双曲线的渐近线为y=bax，直线PF2的方程为y=ba(x−c)，①即直线PF1的方程为y=−ab(x+c)，②又点P(x,y)在双曲线上，∴x2a2−y2b2=1，③联立①③，得x=a2+c22c，联立①②，得x=b2−a2a2+b2×c=b2−a2c，∴a2+c22c =b2−a2c，即a2+a2+b2=2b2−2a2，∴b2=4a2，∴e=ca=√c2a2=√a2+b2a2=√5a2a2=√5．故选D．13.答案：x216+y24=1解析：解：椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，短轴长为4，即有b=2，e=ca =√32，a2−b2=c2，解得a=4，c=2√3，则椭圆方程为x216+y24=1．故答案为：x216+y24=1．由题意可得b=2，e=ca =√32，a2−b2=c2，解方程可得a=4，进而得到椭圆方程．本题考查椭圆的方程和性质，主要椭圆的离心率的运用，考查运算能力，属于基础题．14.答案：8解析：解：∵a>0，b>0，且a+b=1，则1a+1b+1ab=2ab≥2(a+b2)2=8，当且仅当a=b=12时取等号．故答案为：8．a>0，b>0，且a+b=1，可得1a +1b+1ab=2ab，再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．15.答案：50√6解析：解：由题意可知∠BAC=30°，∠ABC=180°−75°=105°，AB=300，∠CBD=30°，在△ABC中，由三角形的内角和定理可知∠ACB=45°，由正弦定理得：，即√22=BC12，解得BC=150√2．在Rt△BCD中，tan∠CBD=CDBC =√33，∴CD=√33BC=50√6．故答案为50√6．在△ABC中根据正弦定理计算BC，在△BCD中，根据锐角三角函数的定义计算CD．本题考查了正弦定理解三角形，属于基础题．16.答案：x−y=0解析：解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由中点坐标公式可得，y1+y2=4，则y12=4x1，y22=4x2，两式相减可得(y1−y2)(y1+y2)=4(x1−x2)，∴k AB=1，∴直线AB的方程为y−2=1×(x−2)即x−y=0．故答案为：x−y=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y12=4x1，y22=4x2，两式相减，可求直线AB的斜率，进而可求直线AB 的方程本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查抛物线的性质，考查运算求解能力，解题时要认真审题，注意韦达定理的灵活运用．属于基础题．17.答案：解：对于p：由(x+2)(x−6)≤0，解得−2≤x≤6，(Ⅰ)当m=5时，q：−3≤x≤7，∵“p或q”为真命题，“¬p”为真命题，∴p假q真，由{x<−2或x>6−3≤x≤7，得−3≤x<−2或6<x≤7，∴实数x的取值范围为[−3,−2)∪(6,7].(Ⅱ)设A=[−2,6]，B=[2−m,2+m]，∵q是p的充分不必要条件，∴B⊊A．当B=⌀时，2−m>2+m，解得m<0，当B≠⌀时，∴{2−m≤2+m2−m≤−22+m≥6，得m≥4，∴实数m的取值范围为(−∞,0)∪[4，+∞)．解析：本题考查了复合命题的真假判断方法、充要条件、集合之间的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．对于p：由(x+2)(x−6)≤0，解得−2≤x≤6，(Ⅰ)当m=5时，q：−3≤x≤7.由“p或q”为真命题，“¬p”为真命题，可得p假q真，解出即可．(Ⅱ)设A=[−2,6]，B=[2−m,2+m]，由于q是p的充分不必要条件，可得B⊊A.分类讨论：当B=⌀时，当B≠⌀时，即可得出．18.答案：解：∵△ABC中，S=12ab⋅sin C，∴10√3=12absin60°，即ab=40，又a+b=13，∴解得：a=5，b=8或a=8，b=5，∴c2=a2+b2−2abcos C=49，∴解得：c=7．故三角形三边长为a =5 cm ，b =8 cm ，c =7 cm 或a =8 cm ，b =5 cm ，c =7 cm ．解析：由已知及三角形面积公式可求ab =40，结合a +b =13，可得a ，b 的值，利用余弦定理可求c ，从而得解．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19.答案：(1)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{x 2=8y y =x +3，整理得y 2−14y +9=0，则y 1+y 2=14， 因为M ，N 在抛物线上，所以|MF|+|NF|=y 1+2+y 2+2=18； (2)设P(0,t)，则直线l 的方程为y =2x +t ， 联立{x 2=8y y =2x +t ，整理得x 2−16x −8t =0，则x 1+x 2=16，x 1x 2=−8t ， 由Δ=162+32t >0可求出t >−8，又MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以点N 为线段MP 的中点，所以x 1=2x 2， 从而可求出x 1=323，x 2=163，此时−8t =5129，t =−649>−8，计算可知|MN|=√1+k 2|x 1−x 2|=16√53．解析：本题考查抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系，属于中档题．(1)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{x 2=8yy =x +3，整理得y 2−14y +9=0，利用韦达定理和抛物线的定义求解；(2)设P(0,t)，则直线l 的方程为y =2x +t ，联立{x 2=8yy =2x +t ，整理得x 2−16x −8t =0，利用韦达定理，结合MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即x 1=2x 2，由弦长公式求解|MN|． 20.答案：解：(1)当n =1时，2a 1=S 1+1=a 1+1，解得a 1=1．n ≥2时，2a n−1=S n−1+1，可得：2a n −2a n−1=a n ，可得a n =2a n−1.. 数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，a n =2n−1．(2)b n =(2n +1)⋅a n =(2n +1)⋅2n−1．∴数列{b n }的前n 项和T n =3×1+5×2+7×22+⋯+(2n +1)⋅2n−1． 2T n =3×2+5×22+⋯+(2n −1)⋅2n−1+(2n +1)⋅2n ， ∴−T n =3+2×(2+22+⋯+2n−1)−(2n +1)⋅2n=1+2×2n −12−1−(2n +1)⋅2n ，可得：T n =(2n −1)⋅2n +1．解析：(1)当n =1时，2a 1=S 1+1=a 1+1，解得a 1.n ≥2时，2a n−1=S n−1+1，可得：a n =2a n−1..利用等比数列的通项公式可得a n ．(2)b n =(2n +1)⋅a n =(2n +1)⋅2n−1.利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：证明：(1)连结DE ，BD ，∵四边形ABCD 是菱形，且∠DAB =60°，E 为AB 的中点， ∴DE ⊥AB ，∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AB ， 又DE ∩PD =D ，∴AB ⊥平面PDE ， ∴AB ⊥PE ，∵AB//CD ，∴PE ⊥CD ． 解：(2)设AC ，BD 交点为O ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则P(−1,0，2√3)，A(0,−√3,0)，E(12,−√32,0)，C(0,√3,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,2√3)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,−2√3)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−3√32,0)， 设平面APE 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3y +2√3z =0n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12x +√32y =0，取z =1，得n ⃗ =(√3,−1,1)， 设平面PCE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +√3y −2√3z =0m⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −3√32z =0，取y =1，得m ⃗⃗⃗ =(3√3,1，2)，设二面角A −PE −C 的平面角为θ，由图知θ为钝角， ∴cosθ=−|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√5⋅√32=−√104． ∴二面角A −PE −C 的余弦值为−√104．解析：(1)连结DE ，BD ，推导出DE ⊥AB ，PD ⊥AB ，从而AB ⊥平面PDE ，进而AB ⊥PE ，由此能证明PE ⊥CD ．(2)设AC ，BD 交点为O ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −PE −C 的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：(1)由e =12，得c =12a ，又b 2=a 2−c 2，所以b =√32−a ．由左顶点M(−a,0)到直线xa +yb =1，即bx +ay −ab =0的距离d =8√217， 得√a 2+b 2=8√217，即√a 2+b2=8√217， 把b =√32−a 代入上式，解得a =4，所以b =2√3，c =2．所以椭圆C 的方程为x 216+y 212=1． (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，将直线AB 的方程y =kx +m(k ≠0)与椭圆方程联立，得{x 216+y 212=1,y =kx +m,即(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−48=0， 则Δ=48(16k 2+12−m 2). 所以x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−483+4k 2．因为k OA⋅k OB=−34⇒34x1x2+y1y2=0．所以(34+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0．所以4m2−483+4k2(34+k2)−8k2m23+4k2+m2=0．整理得m2=8k2+6，此时Δ>0，又点P(−mk,0)，Q(0,m)，所以S▵OPQ=12⋅|m|⋅|mk|=12⋅m2|k|=4k2+3|k|=4|k|+3|k|≥4√3，(当且仅当k2=34，取“=”)综上所述，△OPQ面积的取值范围是[4√3,+∞)．解析：本题主要考查直线与椭圆位置关系，椭圆综合应用题，属困难题．(1)根据左顶点(−a,0)到直线xa+yb=1距离公式得√a2+b2=8√217，把b=√32−a代入上式即可求得椭圆方程；(2)直线l与椭圆联立，用k把△OPQ面积表示出来，然后利用基本不等式即可求得面积的范围．。
2019-2020学年广东省广州市高级中学高二数学文上学期期末试题含解析
2019-2020学年广东省广州市高级中学高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 三个数之间的大小关系是（）A..B.C. D ．参考答案：C略2. 某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用框图表示，这种框图通常称为( )A．程序流程图 B．工序流程图 C．知识结构图 D．组织结构图参考答案：D3. “a>2且b>2”是“a+b>4且ab>4”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A略4. 某人进行了如下的“三段论”推理：如果，则是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点。
你认为以上推理的A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确参考答案：A5. 函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为（）A．y=﹣4sin（x+）B．y=4sin（x﹣）C．y=﹣4sin（x﹣）D．y=4sin（x+）参考答案：A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】观察函数的图象可得A，由图可得周期T=16，代入周期公式T=可求ω，再把函数图象上的最值点代入结合已知φ的范围可得φ的值，即可得解．【解答】解：由函数的图象可得最大值为4，且在一周期内先出现最小值，所以A=﹣4，观察图象可得函数的周期T=16，ω==，又函数的图象过（2，﹣4）代入可得sin（+φ）=1，∴φ+=2kπ+，∵|φ|＜，∴φ=，∴函数的表达式y=﹣4sin（x+）．故选：A．6. 圆心为，且过点的圆的方程为A、 B、C、 D、参考答案：A7. 已知命题p：命题q：则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】利用指数函数的性质可得命题的真假，由对数函数的性质，可知命题的真假，再根据复合命题的真值表即可得到答案。
广东省2019-2020学年第一学期高二期末考试数学试题及答案
（1）当 a = 3 时，若 p 为真命题，求 m 的取值范围；
（2）当 a 0 时，若 p 为假命题是 q 为真命题的充分不必要条件，求 a 的取值范围.
18.
ABC 的内角
A，B
，C
的对边分别为 a ， b
， c ，已知 b
=
2a
，
c2 a2
=1+ 4
3 sin C .
（1）求 C ；
（2）若 c = 2 7 ，求 ABC 的面积.
6
4
（）
A. 2 3
B. 3 6 2
C. 3 3
D. 2 6
5. 已知点 P (−2, 4) 在抛物线 y2 = 2 px ( p 0) 的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
A. (0, 2)
B. (0, 4)
C. (2,0)
D. (4,0)
6. 已知双曲线 x2 − y2 = 1 的焦点与椭圆 x2 + y2 = 1的焦点相同，则 m = （ ）
广东省 2019～202分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分.考试时间 120 分钟. 2. 请将各题答案填写在答题卡上. 3. 本试卷主要考试内容：人教 A 版必修 5，选修 2—1.
第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求的.
m2
4
A. 1
B. 3
C. 4
D. 5
1
7. “ −1 m 3 ”是“方程 x2 + y2 = 1表示椭圆”的（ ） m+1 7−m
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试题一、单选题1．命题“00x ∃>，200430x x -+<”的否定是（ ） A ．0x ∀≤，200430x x -+< B ．0x ∀>，2430x x -+≥C ．00x ∃≤，200430x x -+≥D ．00x ∃>，200430x x -+≥【答案】B【解析】本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可． 【详解】解：命题“00x ∃>，200430x x -+<”是特称命题，故其否定为：0x ∀>，2430x x -+≥ 故选：B 【点睛】本题考查命题的否定，正确解答本题，关键是掌握住命题的否定的定义及书写规则，对于两特殊命题特称命题与全称命题的否定，注意变换量词，属于基础题．2．双曲线2216436x y -=的焦距是（ ）A ．10B ．20C ．D ．【答案】B【解析】双曲线的方程得8a =，6b =，可求10c ==，即可求出焦距． 【详解】解：双曲线2216436x y -=中8a =，6b =，10c ∴==， 220c ∴=．故选：B ． 【点睛】本题考查的重点是双曲线的几何性质，解题的关键是掌握c ，属于基础题．3．在数列{}n a 中，10a =，()1322n n a a n -=+≥，则3a =（ ） A ．2 B ．6C ．8D ．14【答案】C【解析】根据数列的递推公式求出2a ，即可求得3a . 【详解】解：因为10a =，132n n a a -=+， 所以21322a a =+=， 则32328a a =+=. 故选：C 【点睛】本题考查利用递推公式求数列的项的问题，属于基础题. 4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，6A π=，4B π=，a =则b =（ ） A．B．2C．D．【答案】A【解析】直接利用正弦定理得到sin sin a Bb A=，代入数据计算得到答案. 【详解】根据正弦定理sin sin a b A B =，所以sin 21sin 2a Bb A===.故选：A 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.5．已知点()2,4P -在抛物线()220y px p =>的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A ．()0,2 B ．()0,4C ．()2,0D ．()4,0【答案】C【解析】首先表示出抛物线的准线，根据点()2,4P -在抛物线的准线上，即可求出参数p ，即可求出抛物线的焦点. 【详解】解：抛物线()220y px p =>的准线为2p x =-因为()2,4P -在抛物线的准线上22p∴-=- 4p ∴=28y x ∴=故其焦点为()2,0故选：C 【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题.6．已知双曲线2212x y m -=的焦点与椭圆2214x y +=的焦点相同，则m =（ ）A ．1B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】由椭圆的方程可得焦点坐标，根据双曲线的性质即可得m 的值. 【详解】在椭圆2214x y +=中，2a =，1b =，c =，即椭圆的焦点坐标为()，∴双曲线2212x y m -=的焦点为()，∴23m +=，解得1m =， 故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的焦点坐标以及双曲线的焦点坐标，属于中档题.7．“13m -<<”是“方程22117x y m m+=+-表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】方程22117x y m m+=+-表示椭圆解得13m -<<或37m <<，根据范围大小判断得到答案. 【详解】因为方程22117x ym m +=+-表示椭圆，所以107017m m m m+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得13m -<<或37m <<.故“13m -<<”是“方程22117x y m m+=+-表示椭圆”的充分不必要条件.故选：A 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.8．已知双曲线2211648x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是该双曲线上的一点，且110PF =，则2PF =（ ）A ．2或18B ．2C ．18D ．4【答案】C【解析】首先根据1PF a c <+可判断出点P 在该双曲线左支上，再根据双曲线的定义即可得结果. 【详解】在双曲线2211648x y -=中，4a =，b =8c =，因为11012PF a c =<+=，所以点P 在该双曲线左支上，则212241018PF a PF =+=⨯+=， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，判断出点P 的位置是解题的关键，属于中档题. 9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a B b A B =，则ABC ∆的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】B【解析】根据正弦定理得到2sin sin sin cos cos A B B A B =，化简得到()sin cos 0B A B -+=，计算得到答案.【详解】2sin cos cos a B b A B =，所以2sin sin sin cos cos A B B A B =，所以()sin sin sin cos cos 0B A B A B -=，即()sin cos 0B A B -+=. 因为0A π<<，0B π<<，所以2A B π+=，故ABC ∆是直角三角形.故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理和三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的综合应用.10．直线l ：2y kx =+与椭圆C ：2212x y +=有公共点，则k 的取值范围是（ ）A．22⎡-⎢⎣⎦B．,,22⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭UC．⎡⎣D．(),-∞+∞U【答案】B【解析】联立直线与曲线方程消元，利用根的判别式求出参数的取值范围. 【详解】解：联立直线与椭圆方程得22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2212860k x kx +++= 二次项系数2121k +≥因为直线l ：2y kx =+与椭圆C ：2212x y +=有公共点，()()22841260k k ∴∆=-⨯+⨯≥解得2k ≥或2k ≤-即,22k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭U 故选：B【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系求参数的取值范围，属于基础题. 11．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最小值，且111210a a -<<，则使得0n S >成立的n 的最小值是（ ） A ．11 B ．12C ．21D ．22【答案】D【解析】由题意可知公差0d >，又111210a a -<<，故120a >，110a <，且11120a a +>，根据前n 项和公式及下标和公式，可得其220S >，21S 0<即可得解. 【详解】解：由题意可得等差数列{}n a 的公差0d >.因为111210a a -<<，所以120a >，110a <，所以11120a a +>，则()()1121211122221102a a a a S +==+>，2111S 210a =<.故使得0n S >成立的n 的最小值是22.故选：D 【点睛】本题考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题.12．双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线l 交1l 于点P ，交2l 于点Q ，若12PQ F P =u u u r u u u r，则双曲线的离心率为（ ）A ．BC ．2D ．3【答案】B【解析】设1l ：b y x a =-，2l ：by x a =，联立方程得到2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再计算2PQ b =，OQ =4224430c a c a -+=，计算得到答案.【详解】记O 为坐标原点.由题意可得()1,0F c -，不妨设1l ：b y x a =-，2l ：by x a=则直线l ：()a y x c b =+.联立()a y x c b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2a x c aby c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭故1PF b =，OP a =.因为12PQ F P =u u u r u u u r ，所以12PQ PF = 所以2PQ b =，OQ =22221cos QOF ∠=.因为2tan b QOF a ∠=，所以2cos aQOF c∠=，22220ac+=，整理得4224430c a c a -+=，则42430e e -+=解得e =故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的离心率问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.二、填空题13．椭圆224624x y +=的短轴长是______. 【答案】4【解析】椭圆标准方程为22164x y +=，再直接利用椭圆的短轴公式得到答案.【详解】椭圆方程为22164x y +=，则2b =，则短轴长是24b =.故答案为：4 【点睛】本题考查了椭圆的短轴长，属于简单题. 14．已知0a b >>，且2a b +=，则515a b+的最小值是______. 【答案】185【解析】变形得到()51151525a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开利用均值不等式得到答案.【详解】因为2a b +=，所以()511511526525255b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0a b >>，所以525b a a b +≥，当且仅当53a =，13b =时，等号成立 所以511261825255a b ⎛⎫+≥⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：185【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，变换()51151525a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭是解题的关键. 15．从某建筑物的正南方向的A 处测得该建筑物的顶部C 的仰角是45︒，从该建筑物的北偏东30°的B 处测得该建筑物的顶部C 的仰角是30°，A ，B 之间的距离是35米，则该建筑物的高为______米.【答案】【解析】设该建筑物的高OC h =（O 为该建筑物的底部），由题意可得OA h =，OB =，利用余弦定理求得h 的值.【详解】解：设该建筑物的高OC h =（O 为该建筑物的底部），由题意可得OA h =，OB =，35AB =，150AOB ∠=︒，则2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-∠，即22223532h h ⎛=+-⨯- ⎝⎭，解得h =【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.16．已知抛物线C ：24y x =，点Q 在x 轴上，直线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点，若直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，则点Q 的坐标是______. 【答案】()2,0-【解析】设出()22121212,,,,4,04,y y M y N y y y Q a ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点，即,,M N P 三点共线，//PM PN u u u u r u u u r，根据直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，MQ NQ k k =，即可求出Q 点坐标. 【详解】考虑直线l ：()2240m x y m ---+=，即()2240m x x y ---+=，所以直线恒过定点()2,0P ，设()22121212,,,,4,04,y y M y N y y y Q a ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 直线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点， 即,,M N P 三点共线，//PM PN u u u u r u u u r，2212122,,2,44y y PM y PN y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ，22122122044y y y y ⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2212212122044y y y y y y --+= 化简得： ()1212204y y y y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭所以128y y =-，直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，1222124,4MQ NQ y y k k y y a a =+-=-即222112044y y y a y a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立 22121212044y y y y ay ay -+-= ()121204y y a y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则1204y y a -= 所以1224y y a ==-即点Q 的坐标是 ()2,0- 故答案为：()2,0- 【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，关键在于合理使用点的坐标关系将题目所给条件转化为代数运算求解参数.三、解答题17．已知p ：函数()()0f x ax m a =-≠在区间[)1,+∞上单调递增，q ：关于x 的不等式20x mx m ++≤的解集非空.（1）当3a =时，若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当0a >时，若p 为假命题是q 为真命题的充分不必要条件，求a 的取值范围. 【答案】（1）(],3-∞； （2）[)4,+∞.【解析】（1）当3a =时，()3f x x m =-，根据单调性得到13m≤，计算得到答案. （2）p 为假命题，则m a >；q 为真命题，则0m ≤或4m ≥；根据充分不必要条件得到范围大小关系得到答案. 【详解】（1）当3a =时，()3f x x m =-.因为p 为真命题，所以13m≤，即3m ≤， 故m 的取值范围是(],3-∞. （2）因为p 为假命题，所以1ma>，因为0a >，所以m a >. 记满足p 为假命题的m 的取值集合为(),A a =+∞. 因为q 为真命题，所以240m m -≥，解得0m ≤或4m ≥. 记满足q 为真命题的m 的取值集合为(][),04,B =-∞+∞U . 因为p 为假命题是q 为真命题的充分不必要条件所以集合A 是集合B 的真子集，则4a ≥.故a 的取值范围是[)4,+∞. 【点睛】本题考查了命题的真假判断，充分不必要条件，根据充分不必要条件得到范围的大小关系是解题的关键.18．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b a =，221c C a=+. （1）求C ；（2）若c =ABC ∆的面积.【答案】（1）23C π=； （2）【解析】（1）利用余弦定理得到22254cos c a a C =-，再根据221c C a=+整理得到1sin 62C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，计算得到答案.（2）根据（1）代入数据计算得到c =2a =，24b a ==.，代入面积公式计算得到答案. 【详解】（1）因为2b a =，所以222222cos 54cos c a b ab C a a C =+-=-.所以2254cos 1c C C a=-=+，整理得1sin 62C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.又因为()0,C π∈，所以23C π=.（2）由（1）可知23C π=，22254cos c a a C =-，又因为c = 所以2a =，24b a ==.所以1sin 2ABC S ab C ∆==. 【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，意在考查学生对于三角公式的灵活运用. 19．已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于,M N 两点. （1）若直线l 的方程为3y x =+，求||||MF NF +的值；（2）若直线l 的斜率为2，l 与y 轴的交点为P ，且2MP NP =u u u r u u u r，求||MN .【答案】（1）18；（2）3. 【解析】（1）设出点的坐标联立直线与抛物线的方程，消去x ，由韦达定理可得1214y y +=，由抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等即可得结果.（2）可设直线l 的方程为2y x t =+，联立直线与抛物线的方程，消去y ，结合韦达定理以及2MP NP =u u u r u u u r可解出1323x =，2163x =，根据弦长公式12|||MN x x =-即可得结果. 【详解】（1）设()11,M x y ，()22,N x y .联立28,3,x y y x ⎧=⎨=+⎩整理得21490y y -+=，则1214y y +=.因为,M N 均在抛物线C 上，所以12||||418MF NF y y +=++=. （2）设(0,)P t ，则直线l 的方程为2y x t =+.联立28,2,x y y x t ⎧=⎨=+⎩整理得21680x x t --=，则1216x x +=，128x x t =-， 且216320t ∆=+>，即8t >-.因为2MP NP =u u u r u u u r，所以点N 为线段MP 的中点，所以122x x =.因为1216x x +=，所以1323x =，2163x =， 此时51289t -=，6489t =->-，故123216|||33MN x x ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，直线与抛物线相交时所得的弦长问题，注意抛物线性质的应用，属于中档题.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*123n n S a a n N=-∈，数列{}nb 满足14b =，()*21n n n b S na n N =++∈.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）13-=n n a ； （2）()25354n nn T +⨯-=. 【解析】（1）利用公式1n n n a S S -=-化简得到()*132,n n a a n n N -=≥∈，再利用14b =计算11a =得到数列{}n a 的通项公式. （2）由（1）可得13-=n n a ，则()133n n b n -=+⨯，再利用错位相减法计算前n 项和.【详解】（1）因为()*123n n S a a n N=-∈，所以()*111232,n n Sa a n n N --=-≥∈，所以()*12332,n n n a a a n n N-=-≥∈，即()*132,nn a a n n N -=≥∈.因为14b =，()*21n n n b S na n N =++∈，所以111214b S a =++=，所以11a =. 故数列{}n a 是以1为首项，以3为公比的等比数列，1113n n n a a q --==.（2）由（1）可得13-=n n a ，则()()121333n n n n n b S na n a n -=++=+=+⨯，从而()214536333n n T n -=+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，①()23343536333n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯L ，②①-②得()212433333n nn T n --=+++⋅⋅⋅+-+⨯()335254333222n n nn n -+=+-+⨯=-⨯，故()25354n nn T +⨯-=. 【点睛】本题考查了求通项公式，利用错位相减法计算前n 项和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB AD ⊥，//AD BC ，PA PB PD ==，2PE EC =，O 为BD 的中点.（1）证明：OP ⊥平面ABCD ；（2）若2AB =，243BC AD ==，4PA =，求二面角C BD E --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）25. 【解析】（1）取AD 的中点F ，连接,PF OF ，易得AD PF ⊥，OF AD ⊥，由线面垂直判定定理可得AD ⊥平面POF ，进而AD OP ⊥，再将PO BD ⊥与线面垂直判定定理相结合即可得结果.（2）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，可求出平面BDE 的一个法向量(3,1,4)m =-，取平面BCD 的一个法向量(0,0,1)n =r，根据图象结合||cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=〈〉=u r ru r r u r r 即可得结果. 【详解】（1）证明：取AD 的中点F ，连接,PF OF . 因为PA PD =，F 为AD 的中点，所以AD PF ⊥. 因为O 为BD 中点，F 为AD 的中点，所以//OF AB . 因为AB AD ⊥，所以OF AD ⊥，因为OF PF F ⋂=，OF ⊂平面POF ，PF ⊂平面POF ，所以AD ⊥平面POF . 又OP ⊂平面POF ，所以AD OP ⊥.因为PB PD =，O 为BD 的中点，所以PO BD ⊥.因为AD BD D =I ，AD ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以OP ⊥平面ABCD .（2）解：以O 为坐标原点，FO 所在直线为x 轴，平行AD 的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，∵PA PB PD ==， ∴122OA OB OD BD ====，∴3OP = 则(0,0,0)O ，(1,3,0)B ，(3,0)D -，(1,33,0)C ，(0,0,23)P ，因为2PE EC =，所以2,3E ⎛ ⎝⎭，故(2,BD =-u u u r，53DE ⎛= ⎝⎭u u u r .设平面BDE 的法向量(,,)m x y z =u r，则20503m BD x m DE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u vu u u v不妨取x =4)m =-平面BCD 的一个法向量(0,0,1)n =r，记二面角C BD E --的大小为θ，由图可知θ为锐角，则||cos |cos ,|5||||m n m n m n θ⋅=〈〉===u r ru r r ur r . 【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，利用向量法求二面角的大小，求出面的法向量是解题的关键，属于中档题.22．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为点A 在椭圆E 上，且OA 的（O 为坐标原点）. （1）求椭圆E 的标准方程.（2）已知动直线l 与圆O ：()2220x y tt +=>相切，且与椭圆E 交于P ，Q 两点.是否存在实数t ，使得OP OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在3t = 【解析】（1）根据焦距和椭圆的几何意义即可求出椭圆标准方程；（2）分别对斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，相切即圆心到直线距离等于半径，OP OQ ⊥即向量的数量积为零，进行代数运算即可求解.【详解】（1）因为OA，所以b =因为椭圆E的焦距为2c =，即c =所以2224a b c =+=，故椭圆E 的标准方程是22142x y +=；（2）①当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 与圆O 相切，所以直线l 的方程为x t =±，则直线l 与椭圆E的交点为,t ⎛ ⎝⎭或,t ⎛- ⎝⎭， 因为OP OQ ⊥，所以2212128204t x x y y t -+=-=，所以243t =，即3t =， ②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y .联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222214240k x kmx m +++-=， 则122421km x x k +=-+，21222421-=+m x x k ， 因为()11,P x y ，()22,Q x y 在直线l 上，所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，将122421km x x k +=-+，21222421-=+m x x k 代入上式，得()2222212222442121k m k m y y m k k -=-+++222421m k k -=+， 因为OP OQ ⊥，所以22212122224402121m m k x x y y k k --+=+=++，即()22341m k =+， 因为动直线l 与圆Ot =，所以222413m t k ==+，即3t =，综上，存在3t =，使得OP OQ ⊥. 【点睛】此题考查根据椭圆的几何意义求解椭圆方程，根据直线与曲线的位置关系结合韦达定理解决探索性问题.。
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试及答案
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试及答案一、单选题1．命题“00x ∃>，200430x x -+<”的否定是（ ） A ．0x ∀≤，200430x x -+< B ．0x ∀>，2430x x -+≥ C ．00x ∃≤，200430x x -+≥ D ．00x ∃>，200430x x -+≥【答案】B【解析】本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可． 【详解】解：命题“00x ∃>，200430x x -+<”是特称命题， 故其否定为：0x ∀>，2430x x -+≥ 故选：B 【点睛】本题考查命题的否定，正确解答本题，关键是掌握住命题的否定的定义及书写规则，对于两特殊命题特称命题与全称命题的否定，注意变换量词，属于基础题．2．双曲线2216436x y -=的焦距是（）A ．10B ．20C ．D ．【答案】B【解析】双曲线的方程得8a =，6b =，可求10c ==，即可求出焦距．解：双曲线2216436x y -=中8a =，6b =，10c ∴==， 220c ∴=．故选：B ． 【点睛】本题考查的重点是双曲线的几何性质，解题的关键是掌握c ，属于基础题．3．在数列{}n a 中，10a =，()1322n n a a n -=+≥，则3a =（ ） A ．2 B ．6 C ．8 D ．14【答案】C【解析】根据数列的递推公式求出2a ，即可求得3a . 【详解】解：因为10a =，132n n a a -=+， 所以21322a a =+=， 则32328a a =+=. 故选：C 【点睛】本题考查利用递推公式求数列的项的问题，属于基础题. 4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，6A π=，4B π=，a =b =（）A ．BC ．D ．【解析】直接利用正弦定理得到sin sin a Bb A=，代入数据计算得到答案. 【详解】根据正弦定理sin sin a b A B =，所以sin 21sin 2a Bb A===.故选：A 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力. 5．已知点()2,4P -在抛物线()220y px p =>的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A ．()0,2 B ．()0,4 C ．()2,0 D ．()4,0【答案】C【解析】首先表示出抛物线的准线，根据点()2,4P -在抛物线的准线上，即可求出参数p ，即可求出抛物线的焦点. 【详解】 解：抛物线()220ypx p =>的准线为2p x =-因为()2,4P -在抛物线的准线上22p∴-=- 4p ∴=28y x ∴=故其焦点为()2,0故选：C 【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题.6．已知双曲线2212x y m -=的焦点与椭圆2214x y +=的焦点相同，则m =（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A【解析】由椭圆的方程可得焦点坐标，根据双曲线的性质即可得m 的值. 【详解】在椭圆2214x y +=中，2a =，1b =，c =即椭圆的焦点坐标为()，∴双曲线2212x y m -=的焦点为()，∴23m +=，解得1m =， 故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的焦点坐标以及双曲线的焦点坐标，属于中档题.7．“13m -<<”是“方程22117x y m m +=+-表示椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】方程22117x y m m +=+-表示椭圆解得13m -<<或37m <<，根据范围大小判断得到答案. 【详解】因为方程22117x ym m +=+-表示椭圆，所以107017m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得13m -<<或37m <<.故“13m -<<”是“方程22117x y m m +=+-表示椭圆”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.8．已知双曲线2211648x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是该双曲线上的一点，且110PF =，则2PF =（ ） A ．2或18 B ．2C ．18D ．4【答案】C【解析】首先根据1PF a c <+可判断出点P 在该双曲线左支上，再根据双曲线的定义即可得结果. 【详解】在双曲线2211648x y -=中，4a =，b =8c =，因为11012PF a c =<+=，所以点P 在该双曲线左支上，则212241018PF a PF =+=⨯+=，故选：C. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，判断出点P 的位置是解题的关键，属于中档题.9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a B b A B =，则ABC ∆的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】B【解析】根据正弦定理得到2sin sin sin cos cos A B B A B =，化简得到()sin cos 0B A B -+=，计算得到答案. 【详解】2sin cos cos a B b A B =，所以2sin sin sin cos cos A B B A B =，所以()sin sin sin cos cos 0B A B A B -=，即()sin cos 0B A B -+=. 因为0A π<<，0B π<<，所以2A B π+=，故ABC ∆是直角三角形. 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理和三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的综合应用. 10．直线l ：2y kx =+与椭圆C ：2212x y +=有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．22⎡-⎢⎣⎦B ．6,,22⎛⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭C ．⎡⎣D ．(),6,⎡-∞+∞⎣【答案】B【解析】联立直线与曲线方程消元，利用根的判别式求出参数的取值范围. 【详解】解：联立直线与椭圆方程得22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2212860k xkx +++=二次项系数2121k +≥因为直线l ：2y kx =+与椭圆C ：2212x y +=有公共点， ()()22841260k k ∴∆=-⨯+⨯≥解得k ≥或k ≤即6,,k ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭故选：B 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系求参数的取值范围，属于基础题.11．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最小值，且111210aa -<<，则使得0n S >成立的n 的最小值是（ ） A ．11 B ．12 C ．21 D ．22【答案】D【解析】由题意可知公差0d >，又111210a a -<<，故120a >，110a <，且11120a a +>，根据前n 项和公式及下标和公式，可得其220S >，21S 0<即可得解.【详解】解：由题意可得等差数列{}n a 的公差0d >.因为111210a a -<<，所以120a >，110a <，所以11120a a +>，则()()1121211122221102a a a a S +==+>，2111S 210a =<.故使得0n S >成立的n 的最小值是22.故选：D 【点睛】本题考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题.12．双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线l 交1l 于点P ，交2l 于点Q ，若12PQ F P =，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D ．3【答案】B【解析】设1l ：b y x a =-，2l ：by x a =，联立方程得到2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再计算2PQ b =，OQ =4224430c a c a -+=，计算得到答案.【详解】记O 为坐标原点.由题意可得()1,0F c -，不妨设1l ：by x a=-，2l ：b y x a= 则直线l ：()a y x c b =+.联立()a y x c b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2a x cab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭故1PF b =，OP a =.因为12PQ F P =，所以12PQ PF =所以2PQ b =，OQ =22221cos QOF ∠=.因为2tan b QOF a ∠=，所以2cos aQOF c∠=， 22220ac=，整理得4224430c a c a -+=，则42430e e -+=解得e =故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的离心率问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.二、填空题13．椭圆224624x y +=的短轴长是______. 【答案】4【解析】椭圆标准方程为22164x y +=，再直接利用椭圆的短轴公式得到答案. 【详解】 椭圆方程为22164x y +=，则2b =，则短轴长是24b =. 故答案为：4 【点睛】本题考查了椭圆的短轴长，属于简单题.14．已知0a b >>，且2a b +=，则515a b +的最小值是______. 【答案】185【解析】变形得到()51151525a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开利用均值不等式得到答案. 【详解】因为2a b +=，所以()511511526525255b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0a b >>，所以525b a a b +≥，当且仅当53a =，13b =时，等号成立所以511261825255a b ⎛⎫+≥⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：185【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，变换()51151525a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭是解题的关键. 15．从某建筑物的正南方向的A 处测得该建筑物的顶部C 的仰角是45︒，从该建筑物的北偏东30的B 处测得该建筑物的顶部C 的仰角是30，A ，B 之间的距离是35米，则该建筑物的高为______米. 【答案】【解析】设该建筑物的高OC h =（O 为该建筑物的底部），由题意可得OA h =，OB =，利用余弦定理求得h 的值.【详解】解：设该建筑物的高OC h =（O 为该建筑物的底部），由题意可得OA h =，OB =，35AB =，150AOB ∠=︒，则2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-∠，即2222353h h ⎛=+-⨯ ⎝⎭，解得h =【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题. 16．已知抛物线C ：24y x =，点Q 在x 轴上，直线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点，若直线QM与直线QN 的斜率互为相反数，则点Q 的坐标是______. 【答案】()2,0-【解析】设出()22121212,,,,4,04,y y M y N y y y Q a ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点，即,,M N P 三点共线，//PM PN ，根据直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，MQ NQ k k =，即可求出Q 点坐标. 【详解】考虑直线l ：()2240m x y m ---+=，即()2240m x x y ---+=， 所以直线恒过定点()2,0P ，设()22121212,,,,4,04,y y M y N y y y Q a ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 直线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点， 即,,M N P 三点共线，//PM PN ，2212122,,2,44y y PM y PN y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22122122044y y y y ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2212212122044y y y y y y --+= 化简得：()1212204y y y y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭所以128y y =-，直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，1222124,4MQ NQ y y k k yy a a =+-=-即222112044y y y a y a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立 22121212044y y y y ay ay -+-= ()121204y y a y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则1204y y a -= 所以1224y y a ==- 即点Q 的坐标是 ()2,0- 故答案为：()2,0- 【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，关键在于合理使用点的坐标关系将题目所给条件转化为代数运算求解参数.三、解答题17．已知p ：函数()()0f x ax m a =-≠在区间[)1,+∞上单调递增，q ：关于x 的不等式20x mx m ++≤的解集非空.（1）当3a =时，若p 为真命题，求m 的取值范围； （2）当0a >时，若p 为假命题是q 为真命题的充分不必要条件，求a 的取值范围.【答案】（1）(],3-∞； （2）[)4,+∞.【解析】（1）当3a =时，()3f x x m =-，根据单调性得到13m≤，计算得到答案.（2）p 为假命题，则m a >；q 为真命题，则0m ≤或4m ≥；根据充分不必要条件得到范围大小关系得到答案. 【详解】（1）当3a =时，()3f x x m =-.因为p 为真命题，所以13m ≤，即3m ≤，故m 的取值范围是(],3-∞. （2）因为p 为假命题，所以1ma>，因为0a >，所以m a >.记满足p 为假命题的m 的取值集合为(),A a =+∞. 因为q 为真命题，所以240m m -≥，解得0m ≤或4m ≥. 记满足q 为真命题的m 的取值集合为(][),04,B =-∞+∞. 因为p 为假命题是q 为真命题的充分不必要条件 所以集合A 是集合B 的真子集，则4a ≥.故a 的取值范围是[)4,+∞.【点睛】本题考查了命题的真假判断，充分不必要条件，根据充分不必要条件得到范围的大小关系是解题的关键.18．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b a =，221c C a =+. （1）求C ； （2）若c =ABC ∆的面积.【答案】（1）23C π=； （2）【解析】（1）利用余弦定理得到22254cos c a a C =-，再根据221c C a=+整理得到1sin 62C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，计算得到答案.（2）根据（1）代入数据计算得到c =2a =，24b a ==.，代入面积公式计算得到答案. 【详解】（1）因为2b a =，所以222222cos 54cos c a b ab C a a C =+-=-.所以2254cos 1c C C a =-=+，整理得1sin 62C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 又因为()0,C π∈，所以23C π=.（2）由（1）可知23C π=，22254cos c a a C =-，又因为c = 所以2a =，24b a ==. 所以1sin 232ABC S ab C ∆.【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，意在考查学生对于三角公式的灵活运用. 19．已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于,M N 两点.（1）若直线l 的方程为3yx，求||||MF NF +的值；（2）若直线l 的斜率为2，l 与y 轴的交点为P ，且2MP NP =，求||MN .【答案】（1）18；（2【解析】（1）设出点的坐标联立直线与抛物线的方程，消去x ，由韦达定理可得1214y y +=，由抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等即可得结果.（2）可设直线l 的方程为2y x t =+，联立直线与抛物线的方程，消去y ，结合韦达定理以及2MP NP =可解出1323x =，2163x =，根据弦长公式12|||MN x x =-即可得结果.【详解】（1）设()11,M x y ，()22,N x y .联立28,3,x y y x ⎧=⎨=+⎩整理得21490y y -+=，则1214y y +=.因为,M N 均在抛物线C 上，所以12||||418MF NF y y +=++=. （2）设(0,)P t ，则直线l 的方程为2y x t =+.联立28,2,x y y x t ⎧=⎨=+⎩整理得21680x x t --=，则1216x x +=，128x x t =-， 且216320t ∆=+>，即8t >-.因为2MP NP =，所以点N 为线段MP 的中点，所以122x x =. 因为1216x x +=，所以1323x =，2163x =， 此时51289t -=，6489t =->-，故123216|||333MN x x ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，直线与抛物线相交时所得的弦长问题，注意抛物线性质的应用，属于中档题.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*123n n S a a n N =-∈，数列{}n b 满足14b =，()*21n n n b S na n N =++∈.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和nT .【答案】（1）13-=n na； （2）()25354n nn T +⨯-=.【解析】（1）利用公式1n n n a S S -=-化简得到()*132,n n a a n n N -=≥∈，再利用14b =计算11a =得到数列{}n a 的通项公式.（2）由（1）可得13-=n na ，则()133n n b n -=+⨯，再利用错位相减法计算前n 项和. 【详解】（1）因为()*123n n S a a n N =-∈，所以()*111232,n n S a a n n N --=-≥∈， 所以()*12332,n n n a a a n n N -=-≥∈，即()*132,n n a a n n N -=≥∈. 因为14b =，()*21n n n b S na n N =++∈，所以111214b S a =++=，所以11a =.故数列{}n a 是以1为首项，以3为公比的等比数列，1113n n n a a q --==.（2）由（1）可得13-=n na，则()()121333n n n n n b S na n a n -=++=+=+⨯，从而()214536333n n T n -=+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，① ()23343536333n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯，②①-②得()212433333n nn T n --=+++⋅⋅⋅+-+⨯()335254333222n n nn n -+=+-+⨯=-⨯， 故()25354n nn T +⨯-=.【点睛】本题考查了求通项公式，利用错位相减法计算前n 项和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB AD ⊥，//AD BC ，PA PB PD ==，2PE EC =，O为BD 的中点.（1）证明：OP ⊥平面ABCD ； （2）若2AB =，243BC AD ==4PA =，求二面角C BD E --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）25.【解析】（1）取AD 的中点F ，连接,PF OF ，易得AD PF ⊥，OF AD ⊥，由线面垂直判定定理可得AD ⊥平面POF ，进而AD OP ⊥，再将PO BD ⊥与线面垂直判定定理相结合即可得结果.（2）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，可求出平面BDE 的一个法向量(3,1,4)m =-，取平面BCD 的一个法向量(0,0,1)n =，根据图象结合||cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=〈〉=即可得结果. 【详解】（1）证明：取AD 的中点F ，连接,PF OF . 因为PA PD =，F 为AD 的中点，所以AD PF ⊥. 因为O 为BD 中点，F 为AD 的中点，所以//OF AB .因为AB AD ⊥，所以OF AD ⊥，因为OF PF F ⋂=，OF ⊂平面POF ，PF ⊂平面POF ，所以AD ⊥平面POF .又OP ⊂平面POF ，所以AD OP ⊥.因为PB PD =，O 为BD 的中点，所以PO BD ⊥. 因为ADBD D =，AD ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD .（2）解：以O 为坐标原点，FO 所在直线为x 轴，平行AD的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，∵PA PB PD ==， ∴122OA OB OD BD ====，∴3OP =则(0,0,0)O ，(1,3,0)B ，(3,0)D -，(1,33,0)C ，(0,0,3)P ，因为2PE EC =，所以223,23,3E ⎛ ⎝⎭，故(2,3,0)BD =-，5233,33DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.设平面BDE 的法向量(,,)m x y z =，则22305233033m BD x m DE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩不妨取3x =3,1,4)m =-平面BCD 的一个法向量(0,0,1)n =，记二面角C BD E --的大小为θ，由图可知θ为锐角，则||cos |cos ,|||||25m n m n m n θ⋅=〈〉===【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，利用向量法求二面角的大小，求出面的法向量是解题的关键，属于中档题.22．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为，点A 在椭圆E 上，且OA O 为坐标原点）.（1）求椭圆E 的标准方程.（2）已知动直线l 与圆O ：()2220xy t t +=>相切，且与椭圆E交于P ，Q 两点.是否存在实数t ，使得OP OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在3t =【解析】（1）根据焦距和椭圆的几何意义即可求出椭圆标准方程；（2）分别对斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，相切即圆心到直线距离等于半径，OP OQ ⊥即向量的数量积为零，进行代数运算即可求解. 【详解】（1）因为OA 的最小值是，所以b =因为椭圆E 的焦距为2c =，即c =所以2224a b c =+=，故椭圆E 的标准方程是22142x y +=；（2）①当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 与圆O 相切，所以直线l 的方程为x t =±，则直线l 与椭圆E的交点为,2t ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭或,2t ⎛-± ⎪⎝⎭， 因为OP OQ ⊥，所以2212128204t x x y y t -+=-=，所以243t =，即t =，②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y .联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222214240k x kmx m +++-=，则122421km x x k +=-+，21222421-=+m x x k ，因为()11,P x y ，()22,Q x y 在直线l 上，所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，将122421km x x k +=-+，21222421-=+m x x k 代入上式，得()2222212222442121k m k m y y m k k -=-+++222421m k k -=+，因为OP OQ ⊥，所以22212122224402121m m k x x y y k k --+=+=++，即()22341m k =+，因为动直线l 与圆Ot =，所以222413m t k ==+，即3t =，综上，存在t =，使得OP OQ ⊥.【点睛】此题考查根据椭圆的几何意义求解椭圆方程，根据直线与曲线的位置关系结合韦达定理解决探索性问题.第 21 页共 21 页。
19-20学年广东省广州市天河区高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)
19-20学年广东省广州市天河区高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )A. a n =n−1n+2(n ∈N ∗) B. a n =n−12n+1(n ∈N ∗) C. a n =2(n−1)2n−1(n ∈N ∗)D. a n =2n2n+1(n ∈N ∗)2. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人在第四天和第五天共走了( )A. 60里B. 48里C. 36里D. 24里3. 已知命题p ：∀x ∈R ，x 2−x +1<0；命题q ：∃x ∈R ，x 2>2x ，则下列命题中为真命题的是( )A. p ∧qB. ¬p ∧qC. p ∧¬qD. ¬p ∧¬q4. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n }的公差为( )A. 1B. 2C. 4D. 85. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c−bc−a =sinAsinC+sinB ，则B =( )A. π6B. π4C. π3D. 3π46. 直线l 1，l 2平行的一个充分条件是( )A. l 1，l 2都平行于同一个平面B. l 1，l 2与同一个平面所成的角相等C. l 1平行于l 2所在的平面D. l 1，l 2都垂直于同一个平面7. 如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N 处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A. 20(√2+√6)海里/小时B. 20(√6−√2)海里/小时C. 20(√6+√3)海里/小时D. 20(√6−√3)海里/小时8. 祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sℎ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是( )A. 158B. 162C. 182D. 329. 如图，过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC|=2|BF|，|AF|=4，则p 的值为A. 1B. 2C. 3D. 410. 在三棱锥D −ABC 中，AC =BC =BD =AD =√2CD ，且线段AB 的中点O 恰好是三棱锥D −ABC 的外接球的球心．若三棱锥D −ABC 的体积为4√33，则三棱锥D −ABC 的外接球的表面积为 ( )A. 64πB. 16πC. 8πD. 4π11. 已知命题p ：∀x ∈R ，x 2+2x −a >0.若p 为真命题，则实数a 的取值范围是( )A. a >−1B. a <−1C. a ≥−1D. a ≤−112. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为3√7的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则此双曲线的标准方程可能为( )A.x 23−y 2=1B. x 2−y 23=1C.x 23−y 26=1D.x 26−y 23=1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 双曲线x 22−y 24=1的焦点到渐近线的距离为______．14. 在△ABC 中，若AC =6，cosB =45，C =π4,则AB =____．15. 已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足CE⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6，则cosC =______．16. 在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=(−1)n (a n +1)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 2017=________． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知数列{a n }为等差数列，a 7−a 2=10，且a 1,a 6,a 21依次成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =1a n a n+1，数列{b n }的前n 项和为S n ，若S n =225，求n 的值．18. 在△ABC 中，a,b,c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，a(sinA −sinB)=(c −b)(sinB +sinC)．(1)求角C 的值；(2)若a =4b ，求sinB 的值．19.已知命题，命题．(Ⅰ)分别求p为真命题，q为真命题时，实数m的取值范围；(Ⅱ)当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数m的取值范围．20.在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F(1,0)的距离和它到直线x=−1的距离相等，记点P的轨迹为C．(1)求C得方程；(2)设点A在曲线C上，x轴上一点B(在点F右侧)满足|AF|=|FB|.平行于AB的直线与曲线C相切于点D，试判断直线AD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．21.如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD=8，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，满足AEED =CFFD=12，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，BD′=8√53．(1)证明：D′F⊥BH；(2)求BD′与平面ACD′所成的角的正弦值．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2√3，离心率为12，过右焦点F的直线l与椭圆C交于不同两点M，N.线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0)．(1)求椭圆C的方程；(2)求y0的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了数列的通项公式的求法，是基础题．观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式．解：观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式a n=2(n−1)2n−1(n∈Z∗).故选C．2.答案：C解析：由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第4天和第5天共走的路程．本题考查了函数模型的选择及等比数列的通项公式、等比数列的前n项和，是基础的计算题．解：记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=12的等比数列，由S6=378，得S6=a1(1−1 26 )1−12=378，解得：a1=192，∴a4=192×123=24,a5=192×124=12，∴此人第4天和第5天共走了24+12=36里．故选C．3.答案：B解析：本题考查复合命题的判定，为基础题．先判断命题p，q的真假，再根据复合命题的真假表进行判断．解：命题p:x 2−x +1=(x −12)2+34>0，所以命题为假命题， 所以¬p 为真命题；命题q ：当x =3时，32>23， 所以命题q 为真命题， 所以¬q 为假命题 所以¬p ∧q 为真命题． 故选B ．4.答案：C解析：本题考查等差数列公式的求法及应用以及等差数列求和公式的应用，是基础题．利用等差数列通项公式及前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n }的公差． 解：∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 4+a 5=24，S 6=48，∴{a 1+3d +a 1+4d =246a 1+6×52d =48, 解得a 1=−2，d =4， ∴{a n }的公差为4． 故选C ．5.答案：C解析：解：已知等式利用正弦定理化简得：c−bc−a =ac+b ，即c 2−b 2=ac −a 2， ∴a 2+c 2−b 2=ac ， ∴cosB =a 2+c 2−b 22ac=12，∵B 为三角形的内角， ∴B =π3． 故选：C ．已知等式右边利用正弦定理化简，整理得到关系式，再利用余弦定理表示出cos B ，将得出的关系式代入求出cos B的值，即可确定出B的度数．此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．6.答案：D解析：本题考查判断两条直线平行的方法，平面的基本性质及推论等基础知识，考查空间想象能力，属于基础题．解：对选项A，l1与l2还可能相交或成异面直线，故A错；对于B：l1与l2还可能为相交或异面直线，故B错；另外，对于选项C，l1与l2不一定平行，故C错；对于选项D，根据直线与平面垂直的性质定理，D正确．故选D．7.答案：B解析：解：由题意知SM=20，∠NMS=45°，∴SM与正东方向的夹角为75°，MN与正东方向的夹角为60°∴∠SNM=105°∴∠MSN=30°，△MNS中利用正弦定理可得，MNsin30∘=20sin105∘．MN=20×12√2+√64=10(√6−√2)海里∴货轮航行的速度v=10(√6−√2)12海里/小时故选：B由题意知SM=20，∠SNM=105°，∠NMS=45°，∠MSN=30°，△MNS中利用正弦定理可得MNsin30∘=20sin105∘，代入可求MN，进一步利用速度公式即可本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，然后利用数学知识进行求解．8.答案：B解析：本题考查由三视图求面积、体积.关键是由三视图还原原几何体是中档题．由三视图还原原几何体可知该几何体为直五棱柱由两个梯形面积求得底面积代入体积公式得答案．解：由三视图还原原几何体如图，，该几何体为直五棱柱底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，即S五边形ABCDE =12(4+6)×3+12(2+6)×3=27．高为6，则该柱体的体积是V=27×6=162．故选B．9.答案：B解析：本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，转化化归的思想方法，属中档题．解：如图，过A作AD垂直于抛物线的准线，垂足为D，过B作BE垂直于抛物线的准线，垂足为E，G为准线与x轴的焦点，由抛物线的定义，|BF|=|BE|，|AF|=|AD|=4，∵|BC|=2|BF|，∴|BC|=2|BE|，则∠DCA=30°，∴|AC|=2|AD|=8，可得|CF|=8−4=4，∴|GF|=|CF|2=2，即p=|GF|=2，故选B．10.答案：B解析：本题考查三棱锥的体积计算公式、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．依题意，由三棱锥D−ABC的体积为4√33，求得球的半径，即可求得结果．解：设棱锥D−ABC的外接球的半径为R，由球心O恰好是线段AB的中点，得AC⊥BC，AD⊥DB，由AC=BC=BD=AD=√2CD，所以AC=BC=BD=AD=√2CD=√2R，AB⊥OD，AB⊥OC，所以OC=OD=CD=R，即三角形DOC为正三角形，AB⊥面DOC，所以V D−ABC=13SΔDCO×AB=13×√34R3×2R=4√33．解得：R=2，所以三棱锥D−ABC的外接球的表面积为．故选B.11.答案：B解析：解：若命题p：∀x∈R，x2+2x−a>0为真命题，则△=4+4a<0，解得：a<−1，故选：B若命题p：∀x∈R，x2+2x−a>0为真命题，则△=4+4a<0，解得实数a的取值范围．本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，全称命题，函数恒成立问题，难度中档．12.答案：B解析：本题考查的是双曲线的几何性质以及运算求解能力和化归转化的数学思想，属于中档题． 根据(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得到|F 2F1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2c ，且，然后由余弦定理得到|AF 1|=3c 和双曲线的定义得a ：b =1：√3，结合选项即可得到答案． 解：由(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 可知|F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2c ，且，在△AF 1F 2中，由余弦定理得，解得|AF 1|=3c ，由双曲线的定义得3c −2c =2a ， ∴e =ca =2，则a ：b =1：√3， ∴双曲线的标准方程可能为 x 2−y 23=1．故选B ．13.答案：2解析：本题考查的是双曲线的简单性质，属基础题，求出双曲线的焦点坐标，渐近线方程，利用距离公式求解即可； 解：双曲线x 22−y 24=1的一个焦点(√6,0)，一条渐近线方程为：y =√2x ， 双曲线x 22−y 24=1的焦点到渐近线的距离为：√2·√6√2+1=2，故答案为2．14.答案：5√2解析：本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题型．首先根据cosB =45求出sin B ，再利用正弦定理即可求解．解：∵cosB =45，∴B 为锐角，∴sinB =35， ∵AC =6，C =π4,由正弦定理得ACsinB =ABsinC ， ∴635=√22，∴AB =5√2．故答案是5√2．15.答案：13解析：此题考查了向量数量积的定义，向量加减法法则，是中档题． 利用E 为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 之间的关系即可解决． 解：如图，∵ CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CE =2ED ， 由 AE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6得 ( DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅( CB ⃗⃗⃗⃗⃗ − CE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−6， 得 DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ CE ⃗⃗⃗⃗⃗ − DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6， 得− ED ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2−9+ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6， 得 1 3 CD⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1， ，∴cosC =13， 故答案为：13．16.答案：−1007解析：本题考查了分类讨论方法、分组求和方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．a n+1=(−1)n(a n+1)，可得a2n+1=a2n+1，a2n=−a2n−1−1.因此a2n+1+a2n−1=0，a2n+2+ a2n=−2.利用分组求和即可得出．解：∵a n+1=(−1)n(a n+1)，∴a2n+1=a2n+1，a2n=−a2n−1−1．∴a2n+1+a2n−1=0，a2n+2+a2n=−2．∴S2017=a1+(a3+a5)+⋯+(a2015+a2017)+(a2+a4)+⋯+(a2014+a2016)=1+0−2×504=−1007．故答案为−1007．17.答案：解：(1)设数列{a n}的公差为d，因为a7−a2=10，所以5d=10，解得d=2．因为a1，a6，a21依次成等比数列，所以a62=a1a21，即(a1+5×2)2=a1(a1+20×2)，解得a1=5.所以a n=2n+3．(2)由(1)知b n=1a n a n+1=1(2n+3)(2n+5)，所以b n=12(12n+3−12n+5)，所以，由n5(2n+5)=225，得n=10．解析：本题考查等差数列的通项公式和等比中项性质，考查裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．(1)设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；(2)求得b n=1a n a n+1=1(2n+3)(2n+5)=12(12n+3−12n+5)，运用裂项相消求和可得S n，解方程可得n．18.答案：解：(1)在△ABC中，因为a(sin A−sin B)=(c−b)(sin B+sin C)，由正弦定理，得a(a−b)=(b+c)(c−b)，即a2+b2−c2=ab．由余弦定理c2=a2+b2−2abcos C，得cos C=12．因为0<C<π，所以C=π3；(2)(解法1)因为a=4b及a2+b2−c2=ab，得c2=16b2+b2−4b2=13b2，即c=√13b.由正弦定理，得，所以sin B=√3926．(解法2)由正弦定理，得sin A=4sin B．由A+B+C=π，得sin(B+C)=4sin B．因为C=π3，所以12sin B+√32cos B=4sin B，即7sin B=√3cos B．因为sin2B+cos2B=1，解得sin2B=352．在△ABC中，因为sin B>0，所以sin B=√3926．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，考查了正，余弦定理解三角形的应用，属于中档题;(1)根据题目条件，由正弦定理得到a2+b2−c2=ab，由余弦定理得到cos C=12，因为0<C<π，所以C=π3；(2)因为a=4b及a2+b2−c2=ab，得到c=√13b，由正弦定理即可得到sin B=√3926．19.答案：解：(1)∃x∈[2,8]，，m≥−1log2x，又x∈[2,8]时，−1log2x ∈[−1,−13]，∴p为真命题时，m≥−1．∵∀x∈R,4mx2+x+m≤0，∴m<0且Δ=1−16m2≤0，∴q为真命题时，m≤−14．(2)∵p∨q为真命题且p∧q为假命题时，∴p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假，有{m ≥−1m >−14解得m >−14；当p 假q 真，有{m <−1m ≤−14解得m <−1；∴p ∨q 为真命题且p ∧q 为假命题时，m <−1或m >−14．解析：(1)分别求出命题p 为真命题，命题q 为真命题，m 的取值范围； (2)通过讨论“p 真，q 假”或“p 假，q 真”的情况，得到不等式组，解出即可．20.答案：解：(Ⅰ)因为动点P 到点F(1,0)的距离和它到直线x =−1的距离相等，所以动点P 的轨迹是以点F(1,0)为焦点，直线x =−1为准线的抛物线． 设C 的方程为y 2=2px ，则p2=1，即p =2． 所以C 的轨迹方程为y 2=4x ； (Ⅱ)设A(m 24,m)，则B(m 24+2,0)，所以直线AB 的斜率为k=m−2=−m2．设与AB 平行，且与抛物线C 相切的直线为y=−m2x+b，由{y2=4xy=−m2x+b，得my2+8y−8b=0，由Δ=64−4⋅m⋅8b=0，得b=−2m，所以y=−4m ，所以点D(4m2,−4m)，当m24≠4m2，即m≠±2时，直线AD 的方程为y−m=m+4mm24−4m2(x−m24)，整理得y=4mm2−4(x−1)，所以直线AD 过点(1,0)，当m24=4m2，即m=±2时，直线AD 的方程为x=1，过点(1,0)，综上所述，直线AD过定点(1,0)．解析：本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．(Ⅰ)由动点P到点F(1,0)的距离和它到直线x=−1的距离相等，可得动点P的轨迹是以点F(1,0)为焦点，直线x=−1为准线的抛物线，由已知求得p，则抛物线方程可求；(Ⅱ)设A(m24,m)，则B(m24+2,0)，可得直线AB的斜率为k.进一步由判别式法求得AB方程，求得D的坐标，分情况写出直线AD的方程，分析得答案．21.答案：证明：(1)由菱形性质得AC⊥BD，OB=12BD=4，由勾股定理得OC=OA=2，又已知AEED =CFFD=12，∴AC//EF，∴EF⊥BD，∴EF⊥BH，由OH=13OD，得BH=163，D′H=DH=83，又BD′=8√53，∴BD′2=BH 2+D′H 2，∴BH ⊥D′H ，∴BH ⊥平面D′EF ，∴D′F ⊥BH ．解：(2)由(1)得直线BD ，EF ，HD′两两相互垂直，如图，以H 为坐标原点，分别以HF 、HD 、HD′为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则H(0,0，0)，A(−3,−43,0)，C(3,−43,0)，D′(0,0，83)，B(0,−163,0)，BD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,163,83)，AD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,43,83)，CD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,43,83)， 设n⃗ =(x,y ，z)是平面ACD′的一个法向量， 则{n ⃗ ⋅AD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3x +43y +83z =0n⃗ ⋅CD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +43y +83z =0，取z =1，得n ⃗ =(0,−2,1)， 设BD′与平面ACD′所成角为θ，则sinθ=|cos <n ⃗ ,BD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅BD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|BD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×8√53=35．∴BD′与平面ACD′所成的角的正弦值为35．解析：(1)推导出AC ⊥BD ，AC//EF ，从而EF ⊥BD ，EF ⊥BH ，再推导出BH ⊥D′H ，从而BH ⊥平面D′EF ，由此能证明D′F ⊥BH ．(2)以H 为坐标原点，分别以HF 、HD 、HD′为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD′与平面ACD′所成的角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.答案：(1)由题意可得：2b =2√3，c a =12，又a 2=b 2+c 2，联立解得b =√3，a =2，c =1. ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2) 当斜率存在时，设直线MN 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 中点T(x′,y′)，把y =k(x −1)代入椭圆方程，得到方程(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0， 则x 1+x 2=8k 24k +3，x 1x 2=4k 2−124k +3，x′=4k 24k +3，y′=k(x′−1)=−3k4k 2+3，所以MN 的中垂线的方程为y −y′=−1k (x −x′)，令x =0，得y 0=1k x′+y′=k4k 2+3=14k+3k，当k>0时，4k+3k ≥4√3，则y0∈(0,√312]；当k<0时，4k+3k ≤−4√3，则y0∈[−√312,0),当斜率不存在时，显然y0=0，当k=0时，MN的中垂线为y轴.综上，y0的取值范围是[−√312,√312]．解析：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段的垂直平分线方程、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．(1)由椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)短轴长为2√3，且离心率为12，可得b=√3,，ca=12，又a2=b2+c2，联立解得即可．(2)当直线MN⊥x轴时，线段MN的垂直平分线为x轴，可得y0=0.当直线MN的斜率存在时，可设直线MN的方程为y=k(x−1)(k≠0)，与椭圆方程联立化为(3+4k2)x2−8k2x+4k2−12=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，线段MN的中点为Q，利用根与系数的关系及其中点坐标公式可得，可得线段MN的垂直平行线的方程，对k分类讨论即可得出．。
广州市越秀区2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题含解析
【点睛】本题考查了椭圆的焦点在 轴上的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.5，甲获胜的概率是0.2，则乙不输的概率是（ ）
A。 0。8B. 0。7C. 0。3D. 0.2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用互斥事件概率加法公式直接求解．
【详解】解：甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是 ,甲获胜的概率是 ，
解得 ;
所以7个剩余分数的方差为:
．
所以标差、标准差的应用问题，也考查了运算求解能力，属于基础题．
12。已知圆锥曲线C的方程是 ，则下列命题中是假命题的是( ）
A. 曲线C上的点的横坐标x的取值范围是
B。 曲线C关于直线 对称
C。 曲线C上的点到曲线C的对称中心的最远距离为2
8.长方体 中， ， ，则直线 与直线 所成角的余弦值为（ )
A。 B。 C。 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
以 为坐标原点,分别以 , ， 所在直线为 , , 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解．
【详解】解：以D为坐标原点，分别以DA，DC， 所在直线为x,y，z轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， , ,
∴第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率 ．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
18.某家庭记录了使用节水龙头100天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
日用水量
频数
2
10
26
20
32
10
（1）作出使用了节水龙头100天的日用水量数据的频率分布直方图．
广东省广州市中学(高中部)2019-2020学年高二数学文上学期期末试题含解析
广东省广州市中学(高中部)2019-2020学年高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值为（）参考答案：A略2. 已知函数，则其导数A． B． C． D．参考答案：D3. 已知集合，函数y=ln（2x+1）的定义域为集合B，则A∩B=( )A．B．C．D．参考答案：A考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：由对数的真数大于零求出集合B，由交集的运算求出A∩B．解答：解：由2x+1＞0得x，则集合B=（），又集合，则A∩B=（]，故选：A．点评：本题考查对数函数的定义域，以及交集的运算，属于基础题．4. 已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋l＝0平行，则a＝A.－1B.2C.0或－2D.－1或2参考答案：A5. 已知平面的法向量为，点不在内，则直线与平面的位置关系为A．B．C．与相交不垂直D．参考答案：D6. 如图是用斜二测画法画出△AOB的直观图，则△AOB的面积为▲；图11参考答案：略7. 在等比数列中，已知，，则a17+a18+a19+a20=（）A、32B、-32C、64D、－64参考答案：A略8. 若、为实数，则下面一定成立的是（）A．若,则 B．若,则C．若,则 D．若,则参考答案：C9. 利用反证法证明“若，则x=0且y=0”时，下列假设正确的是（）A．x≠0且y≠0 B．x=0且y≠0C．x≠0或y≠0 D．x=0或y=0参考答案：C10. 将一根长为a的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，此事件是（）A．必然事件 B．不可能事件C．随机事件D．不能判定参考答案：C【考点】随机事件．【分析】首先要了解随机事件的概念：在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，然后判断题目是可能事件非必然事件，排除即得到答案．【解答】解：将一根长为a的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，这个事件是可能发生的事件，但不是必然事件．所以事件是随机事件．故答案选择C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若是上的增函数，且，设，若“”是“的充分不必要条件，则实数的取值范围是______.参考答案：12. 已知椭圆的方程为，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若为正三角形，则椭圆的离心率等于_________.参考答案：【分析】先求出FQ的长，在直角三角形FMQ中，由边角关系得，建立关于离心率的方程，解方程求出离心率的值.【详解】解：由已知得：，因为椭圆的方程为，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若为正三角形，所以，所以，故答案：.13. 从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则共有____________多少种参赛方法（用数字作答）．参考答案：252略14. 两平行线与直线之间的距离.参考答案：15. 若0＜α＜，0＜β ＜且tanα＝，tanβ＝，则α＋β的值是________．参考答案：略16. 已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC=3S，则椭圆的离心率为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】如图所示，S△ABC=3S，可得|AF2|=2|F2C|．A，直线AF2的方程为：y=（x﹣c），代入椭圆方程可得：（4c2+b2）x2﹣2cb2x+b2c2﹣4a2c2=0，利用x C×（﹣c）=，解得x C．根据，即可得出．【解答】解：如图所示，∵S△ABC=3S，∴|AF2|=2|F2C|．A，直线AF2的方程为：y﹣0=（x﹣c），化为：y=（x﹣c），代入椭圆方程+=1（a＞b＞0），可得：（4c2+b2）x2﹣2cb2x+b2c2﹣4a2c2=0，∴x C×（﹣c）=，解得x C=．∵，∴c﹣（﹣c）=2（﹣c）．化为：a2=5c2，解得．故答案为：．17. 执行如图的程序框图，若输入x=12，则输出y=．参考答案：考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=4，y=时由于||＜1，此时满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=12，y=6，不满足条件|y﹣x|＜1，x=6，y=4不满足条件|y﹣x|＜1，x=4，y=由于||＜1，故此时满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为．故答案为：．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环时y的值是解题的关键，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
广东省广州市八区2019_2020学年高二数学上学期期末教学质量监测试题含解析
广东省广州市八区2019-2020学年高二数学上学期期末教学质量监测试题（含解析）本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁一、选择题：本大题共12小题，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的. 1.设集合{}2|340A x x x =+-<，{|230}B x x =+≥，则A B =（ ）A. 3(4,]2-- B. 3[,1)2-- C. 3[,1)2-D. 3[,4)2【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合A ，解一元一次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()()234410x x x x +-=+-<解得()4,1A =-，有2+30x ≥解得3,2B ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭，所以3,12A B ⎡⎫⋂=-⎪⎢⎣⎭.故选：C【点睛】本小题主要考查集合交集，考查一元二次不等式、一元一次不等式的解法，属于基础题.2.已知向量()3,1,2a =-，()6,2,b t =-，且a b ，则t =（ ） A. 10 B. -10C. 4D. -4【答案】D【解析】 【分析】根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得t 的值. 【详解】由于//a b ，所以62312t -==-，解得4t =-. 故选：D【点睛】本小题主要考查空间向量共线的坐标表示，属于基础题.3.双曲线221169x y -=的焦距为（ ）A. 10B. 7C. 27D. 5【答案】A 【解析】 由方程，，则，即，则焦距为.4.设命题p ：[]0,1x ∀∈，都有210x -≤，则p ⌝为（ ）.A. []00,1x ∃∈，使2010x -≤B. []0,1x ∀∈，都有210x -≤C. []00,1x ∃∈，使2010x ->D. []0,1x ∀∈，都有210x -> 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可. 【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即p ⌝：[]00,1x ∃∈，使2010x ->，故选：C .【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题.5.若a b c d ,,,为实数，则下列命题正确的是（ ）A. 若a b <，则||||a c b c <B. 若22ac bc <，则a b <C. 若a b <，c d <，则a c b d -<-D. 若a b <，c d <，则ac bd <【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，当0c时，不符合，故A 选项错误.对于B 选项，由于22ac bc <，所以0c ≠，所以a b <，所以B 选项正确.对于C 选项，如2,3,2,3,23,23a b c d ====<<，但是a c b d -=-，所以C 选项错误.对于D 选项，由于a b c d ,,,的正负不确定，所以无法由a b <，c d <得出ac bd <，故D 选项错误. 故选：B【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.6.已知n 为平面α的一个法向量，l 为一条直线，则“l n ⊥”是“//l α”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】将“l n ⊥”与“//l α”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】当“l n ⊥”时，由于l 可能在平面α内，所以无法推出“//l α”. 当“//l α”时，“l n ⊥”.综上所述，“l n ⊥”是“//l α”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查线面平行和法向量，属于基础题. 7.在长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC a ==，1AA =，则异面直线1AC 与1CD 所成角的余弦值为（ ）A. 1 5B.5C.5D.2【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线1AC与1CD所成角的余弦值.【详解】以D为原点建立空间直角坐标系，如图所示，依题意()()()()11,0,0,0,,0,0,,3,0,0,3A a C a C a a D a，所以()()11,,3,0,,3AC a a a CD a a=-=-，设异面直线1AC与1CD所成角为θ，则22111135cos552AC CD a aa aAC CDθ⋅-+===⋅⋅.故选：C【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的余弦值的计算，属于基础题.8.已知各项均为正数的数列{}n a为等比数列，n S是它的前n项和，若337S a=，且2a与4a的等差中项为5，则5S=（）A. 29B. 31C. 33D. 35【答案】B【解析】【分析】将已知条件转化为1,a q 的形式，解方程求得q ，根据等差中项列方程，由此解得1a .进而求得5S 的值.【详解】由337S a =，得12337a a a a ++=，所以3126()0a a a -+=，即2610q q --=，所以12q =,13q =-（舍去）．依题意得2410a a +=，即31()10a q q +=，所以116a =． 所以55116[1()]231112S -==-． 故选:B ．【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查等差中项的性质，考查等比数列前n 项和，属于基础题. 9.命题“若{}n a 是等比数列，则n n k n k na aa a +-=（n k >且*,n k N ∈）的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】A 【解析】 【分析】先判断原命题为真命题，由此得出逆否命题是真命题；判断出原命题的逆命题为真命题，由此判断原命题的否命题也是真命题，由此确定假命题的个数.【详解】若{}n a 是等比数列，则n a 是n k a -与n k a +的等比中项，所以原命题是真命题， 从而，逆否命题是真命题；反之，若(*)n n k n k n a a n k n k a a +-=>∈N ，,，则当1k =时，11(1*)n n n na a n n a a +-=>∈N ,， 所以{}n a 是等比数列，所以逆命题是真命题，从而，否命题是真命题． 故选:A ．【点睛】本小题主要考查四种命题及其相互关系，考查等比数列的性质，属于基础题.10.双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若PO PF ⊥,则PFO △的面积为（ ）A.32B.32C.12D.3 【答案】D 【解析】 【分析】先求得双曲线的渐近线方程，由此求得对应的倾斜角，解直角三角形求得三角形PFO 的边长，由此求得以PFO ∆的面积.【详解】双曲线22:13y C x -=的渐近线方程为3y x =±，无妨设60POF ∠=，因为PO PF ⊥，||2OF c ==，所以得||2cos 601PO ==,||2sin 603PF ==，所以PFO ∆的面积为13132⨯⨯=． 故选:D ．【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的几何性质，考查双曲线中的三角形的面积计算，属于基础题. 11.为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体1111D C B A ，该项目由长方形核心喷泉区ABCD （阴影部分）和四周绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD 的面积为21000m ，绿化带的宽分别为2m 和5m （如图所示）.当整个项目占地1111D C B A 面积最小时，则核心喷泉区BC 的长度为（ ）A. 20mB. 50mC. 1010mD. 100m【答案】B 【解析】 【分析】设BC x =，得到CD 的值，进而求得矩形1111D C B A 面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最小值，，而根据基本不等式等号成立的条件求得此时BC 的长. 【详解】设BC x =，则1000CD x=，所以11111000(10)(4)A B C D S x x=++100001040(4)x x =++10401440x x≥+=， 当且仅当100004x x=，即50x =时，取“=”号， 所以当50x =时，1111A B C D S 最小．故选:B ．【点睛】本小题主要考查矩形面积的最小值的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.12.在三棱锥D ABC -中，AB BC ==4DA DC AC ===，平面ADC ⊥平面ABC ，点M 在棱BC 上，且DC 与平面DAM AM =（ ）C. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出M 点坐标，利用DC 与平面DAM 所成角的正弦值为4列方程，解方程求得M 点的坐标，进而求得AM 的长.【详解】取AC 中点O ，易证：OD AC ⊥,OD OB ⊥,AC OB ⊥.如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -. 由已知得()0,0,0O,()2,0,0B ,()0,2,0A -,()0,2,0C ,D ,(0,2,AD =,(0,2,DC =-.设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-.设平面DAM 的法向量(),,n x y z =.由0AD n ⋅=,0AM n ⋅=得2230(4)0y z ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，可取(3(4),3,)n a a a =--， 所以222|2323|3sin cos ,443(4)3a a DC n a a a θ+=〈〉==-++， 解得4a =-（舍去），43a =， 所以224845||33AM ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选:A ．【点睛】本小题主要考查根据线面角的正弦值求线段的长度，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上.13.已知实数,x y 满足约束条件1010330x x y x y -≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为__________．【答案】7 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线20x y +=到可行域边界点()2,3B 的位置，此时2z x y =+取得最大值为2237⨯+=. 故答案为：7【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14.某学校启动建设一个全新的信息化“未来报告厅”，该报告厅的座位按如下规则排列：从第二排起，每一排都比前一排多出相同的座位数，且规划第7排有20个座位，则该报告厅前13排的座位总数是__________． 【答案】260 【解析】 【分析】将问题转化为等差数列来解决，根据已知条件以及等差数列前n 项和公式，求得所求的坐标总数.【详解】因为从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数， 所以座位数n a 构成等差数列{}n a . 因为720a =，所以113713713()1321326022a a a S a +⨯====.故答案为：260【点睛】本小题主要考查利用等差数列解决实际生活中的问题，属于基础题.15.已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，2POF 为正三角形，则C 的离心率为__________． 【答案】31- 【解析】 【分析】结合等边三角形的性质和椭圆的定义列方程，化简后求得椭圆的离心率. 【详解】如图,因2POF 为正三角形，所以12||||||OF OP OF ==，所以12F PF ∆是直角三角形.因为2160PF F ∠=，21||2F F c =，所以2||PF c =,1||3PF c =. 因为21||||2PF PF a +=，所以32c c a +=即3131ca ，所以31e =-.故答案为：31-【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，属于基础题.16.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===,1160BAD DAA BAA ︒∠=∠=∠=,则1BD =__________．2【解析】 【分析】用基底表示出1BD ，然后利用向量数量积的运算，求得1BD .【详解】因为111BD AD AB AD AA AB=-=+-， 所以2211()BD AD AA AB =+- 222111222AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+++--1112cos602cos602cos602=+++⨯-⨯-⨯=，所以1||2BD BD ==2【点睛】本小题主要考查空间向量法计算线段的长，属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.【答案】（1）*(2)10n a n n ∈=-N （2）当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【解析】【分析】（1）将已知条件转化为1,a d 的形式列方程，由此解得1,a d ，进而求得{}n a 的通项公式.（2）根据等差数列前n 项和公式求得n S ，利用配方法，结合二次函数的性质求得n S 的最大值及对应n 的大小.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．由2219a a =，得140a d +=，由618S =，得1532a d +=， 于是18a =,2d =-．所以{}n a 的通项公式为*(2)10n a n n ∈=-N ．（2）由（1）得(1)8(2)2n n n S n -=+⨯- 29n n =-+2981()24n =--+ 因为*n ∈N ，所以当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式基本量的计算，考查等差数列前n 项和的最值的求法，属于基础题.18.已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴是x 轴，并且经过点()1,2-，抛物线C 的焦点为F ，准线为l .（1）求抛物线C 的方程；（2）过F h 与抛物线C 相交于两点A 、B ，过A 、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为D 、E ，求四边形ABED 的面积.【答案】（1）24y x =；（2 【解析】【分析】（1）设抛物线为()220y px p =>，根据点()1,2-在抛物线上，求出p ，得到结果；（2）不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，直线h 的方程为()31y x =-，联立直线与抛物线得231030x x -+=，解出方程，然后求解A 、B 坐标，转化求解四边形的面积.【详解】（1）根据题意，设抛物线为()220y px p =>，因为点()1,2-在抛物线上，所以()222p -=，即2p =，所以抛物线的方程为24y x =.（2）由（1）可得焦点()10F ，，准线为:1l x =-，不妨设()11,A x y ，()22,B x y ()12x x >，过F 且斜率为3的直线h 的方程为()31y x =-，由()24 31y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得231030x x -+=，所以13x =，213x =，代入()31y x =-，得123y =，2233y =-，所以()3,23A ，123,3B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，所以142pAD x +==，2423p BE x +==，1283DE y y =-=，因为四边形ABED 是直角梯形，所以四边形ABED 的面积为()164329AD BE DE +⨯=.【点睛】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PB PD =.（1）证明：平面APC ⊥平面BPD ；（2）若PB PD ⊥，60DAB ∠=︒，2AP AB ==，求二面角A PD C --的余弦值.【答案】（1）见解析（2）57- 【解析】【分析】（1）通过菱形的性质证得BD AC ⊥，通过等腰三角形的性质证得BD PO ⊥，由此证得BD ⊥平面APC ，从而证得平面APC ⊥平面BPD .（2）方法一通过几何法作出二面角A PD C --的平面角，解三角形求得二面角的余弦值.方法而通过建立空间直角坐标系，利用平面APD 和平面CPD 的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：记ACBD O =，连接PO ． 因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，O 是,BD AC 的中点．因为PB PD =，所以PO BD ⊥．因为AC PO O =，所以BD ⊥平面APC ．因为BD ⊂平面BPD ，所以平面APC ⊥平面BPD ．（2）因为底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=，2AP AB ==，所以BAD ∆是等边三角形，即2BD AB ==．因为PB PD ⊥，所以112PO BD ==． 又sin 603AO AB ==2AP =，所以222PO AO AP +=，即PO AO ⊥．方法一：因为O 是AC 的中点，所以2CP AP ==，因为2CD AB ==，所以CP CD =，所以PAD ∆和PCD ∆都是等腰三角形．取PD 中点E ，连接,AE CE ，则AE PD ⊥，且CE PD ⊥，所以AEC ∠是二面角A PD C --的平面角．因为PO BD ⊥，且112PO OD BD ===，所以DP ==．因2AE CE ===，2AC AO ==， 所以2225cos 27AE CE AC AEC AE CE +-∠==-． 所以二面角A PD C --的余弦值为57-． 方法二：如图，以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则A ，(0,1,0)D -，(0,0,1)P ，(C ， 所以(3,1,0)DA =，(0,1,1)DP =，(3,1,0)DC =-．设平面APD 的法向量为1(,,)n x y z =由11·0·0DA n DP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得00y y z +=+=⎪⎩， 令3y =-，得1(1,n =-.同理，可求平面PDC 的法向量2(1,n =．所以121212cos ||||n n n n n n =,22222211(3)33(3)1(3)313(3)⨯+-⨯+⨯-=+-+++-57=-．所以，二面角A PD C--的余弦值为57-．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.数列{}n a的前n项和为n S，且()2*nS n n N=∈，数列{}n b满足12b=，()*1322,n nb b n n-=+≥∈N.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）求证：数列{}1nb+是等比数列；（3）设数列{}n c满足1nnnacb=+，其前n项和为nT，证明：1nT<.【答案】（1）*21()na n n=-∈N（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）利用11,1,2nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a的通项公式.（2）通过证明1131nnbb-+=+，证得数列{1}nb+是等比数列，并求得首项和公比.（3）由（2）求得{}n b的通项公式，由此求得n c的表达式，利用错位相减求和法求得n T，进而证得1nT<.【详解】（1）当1n=时，111a S==．当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．检验，当1n =时11211a ==⨯-符合．所以*21()n a n n =-∈N ．（2）当2n ≥时，1111113213(1)3111n n n n n n b b b b b b -----++++===+++， 而113b +=，所以数列{1}n b +是等比数列，且首项为3，公比为3．（3）由（2）得 11333-+=⋅=n n n b ，211(21)()133n n n n n a n c n b -===-+， 所以1231n n n T c c c c c -=+++++ 231111111()3()5()(23)()(21)()33333n n n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ① 23411111111()3()5()(23)()(21)()333333n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ② 由①-②得12342111111(21)()2[()()()()]3333333n n n T n +=--⋅+++++， 21111()[1()]1133(21)()21331()3n n n -+-=--⋅+- 11111(21)()()3333n n n +=--⋅+- 2221()()333n n +=-， 所以11(1)()3n n T n =-+． 因为1(1)()03n n +>，所以1n T <． 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等比数列的证明，考查错位相减求和法，考查运算求解能力，属于中档题.21.如图，已知圆A ：22(1)16x y ++=，点()10B ,是圆A 内一个定点，点P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线1l 和半径AP 相交于点Q .当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设过点()4,0D 的直线2l 与曲线C 相交于,M N 两点（点M 在,D N 两点之间）.是否存在直线2l 使得2DN DM =？若存在，求直线2l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在，54)y x =-或54)y x =-． 【解析】【分析】（1）结合垂直平分线的性质和椭圆的定义，求出椭圆C 的方程.（2）设出直线2l 的方程，联立直线2l 的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用2DN DM =，结合向量相等的坐标表示，求得直线2l 的斜率，进而求得直线2l 的方程.方法一和方法二的主要曲边是直线2l 的方程的设法的不同.【详解】（1）因为圆A 的方程为22(1)16x y ++=，所以(1,0)A -，半径4r =．因为1l 是线段AP 的垂直平分线，所以||||QP QB =．所以||||||||||4AP AQ QP AQ QB =+=+=．因为4||AB >，所以点Q 的轨迹是以(1,0)A -，(1,0)B 为焦点，长轴长24a =的椭圆．因为2a =，1c =，2223b a c =-=， 所以曲线C 的方程为22143x y +=．（2）存在直线2l 使得2DN DM =．方法一：因为点D 在曲线C 外，直线2l 与曲线C 相交，所以直线2l 的斜率存在，设直线2l 的方程为(4)y k x =-．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >， 由22143(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(34)32(6412)0k x k x k +-+-=． 则21223234k x x k+=+， ① 2122641234k x x k-=+， ② 由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=--+->，解得1122k -<<． 因为2DN DM =，所以2142(4)x x -=-，即2124x x =-． ③ 把③代入①得21241634k x k +=+，22241634k x k-+=+ ④ 把④代入②得2365k =，得k =，满足1122k -<<． 所以直线2l的方程为：4)y x =-或4)y x =-． 方法二：因为当直线2l 的斜率为0时，(2,0)M ，(2,0)N -，(6,0)DN =-，(2,0)DM =- 此时2DN DM ≠．因此设直线2l 的方程为：4x ty =+．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >， 由221434x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)24360t y ty +++=．由题意知22(24)436(34)0t t ∆=-⨯+>，解得2t <-或2t >， 则1222434t y y t +=-+， ① 1223634y y t =+， ② 因为2DN DM =，所以212y y =． ③ 把③代入①得12834t y t =-+，221634t y t =-+ ④ 把④代入②得2536t =，t =2t <-或2t >．所以直线2l 的方程为4)y x =-或4)y x =-． 【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.22.已知函数2()()(,)f x x mx m n m n =-++∈R .（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()3,1-，求实数,m n 的值；（2）设2m =-，若不等式()23f x n n >-+对x R ∀∈都成立，求实数n 的取值范围； （3）若3n =且()1,x ∈+∞时，求函数()f x 的零点.【答案】（1）2m =-，1n =-．（2）(,1)(3,)-∞-+∞（3）见解析【解析】【分析】（1）根据根与系数关系列方程组，解方程组求得,m n 的值.（2）将不等式2()3f x n n >-+转化为22222x x n n +->-+，求得左边函数()222g x x x =+-的最小值，由此解一元二次不等式求得n 的取值范围.（3）利用判别式进行分类讨论，结合函数()f x 的定义域，求得函数()f x 的零点.【详解】（1）因为不等式()0f x <的解集为(3,1)-，所以-3,1为方程()0f x =的两个根， 由根与系数的关系得3131mm n -+=⎧⎨-⨯=+⎩，即2m =-，1n =-．（2）当2m =-时，2()2(2)f x x x n =++-，因为不等式2()3f x n n >-+对x R ∀∈都成立，所以不等式22222x x n n +->-+对任意实数x 都成立．令22()22(1)3g x x x x =+-=+-，所以2min ()2g x n n >-+．当1x =-时，min ()3g x =-，所以232n n ->-+，即2230n n -->，得1n <-或3n >，所以实数n 的取值范围为(,1)(3,)-∞-+∞．（3）当3n =时，()2()(3)1f x x mx m x =-++>，函数()f x 的图像是开口向上且对称轴为2mx =的抛物线，22()4(3)412m m m m ∆=--+=--．①当∆<0，即26m -<<时，()0f x >恒成立，函数()f x 无零点．②当0∆=，即2m =-或6m =时，（ⅰ）当2m =-时，1(1,)2mx ==-∉+∞，此时函数()f x 无零点．（ⅱ）当6m =时，3(1,)2mx ==∈+∞，此时函数()f x 有零点3．③当>0∆，即2m <-或6m >时，令2()(3)0f x x mx m =-++=，得1x =，2x =(1)40f =>．（ⅰ）当2m <-时，得12(1)40m x f ⎧=<-⎪⎨⎪=>⎩，此时121x x <<，所以当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 无零点．（ⅱ）当6m >时，得32(1)40m x f ⎧=>⎪⎨⎪=>⎩，此时121x x <<，所以当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有． 综上所述：当6m <，(1,)x ∈+∞时，函数()f x 无零点；当6m =，(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有一个零点3；当6m >，(1,)x ∈+∞时，函数()f x． 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式解集，考查根与系数关系，考查不等式恒成立问题的求解，考查函数零点问题的研究，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
19-20学年广东省广州市越秀区高二上学期期末数学试卷(含答案解析)
19-20学年广东省广州市越秀区高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 抛物线x 2=20y 的焦点坐标为( )A. (−5,0)B. (5,0)C. (0,5)D. (0,−5)2. 双曲线x 29−y 216=1的渐近线方程是( )A. 4x ±3y =0B. 16x ±9y =0C. 3x ±4y =0D. 9x ±16y =03. 命题“若a +b 是偶数，则a ，b 都是偶数”的否命题为( )A. 若a +b 不是偶数，则a ，b 都不是偶数B. 若a +b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数C. 若a +b 是偶数，则a ，b 不都是偶数D. 若a +b 是偶数，则a ，b 都不是偶数4. “n >m ”是“方程x 2m+y 2n=1表示焦点在y 轴上的双曲线”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件5. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )A. 56B. 25C. 16D. 136. 对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图，根据标准，产品长度在区间上为一等品，在区间和上为二等品，在区间和上为三等品，用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )A. 0.09B. 0.20C. 0.25D. 0.457. 如图，在三棱锥OABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，点M 在OA 上，且OM =2MA ，N 为BC中点，则NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 23a⃗−12b⃗ −12c⃗ B. −23a⃗+12b⃗ +12c⃗C. −12a⃗+12b⃗ +12c⃗ D. −23a⃗+23b⃗ −12c⃗8.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=2BC，则直线BC1与直线A1C所成角的余弦值为()A. −√55B. √53C. √55D. 2√559.同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为()A. 112B. 121C. 19D. 11110.为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y∧=b∧x+a∧，已知∑10i=1x i=225，∑10i=1y i=1600，b∧=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为()A. 160B. 163C. 166D. 17011.如图是2017年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m、n均为数字0～9中的一个)，在去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则有()A. a1>a2B. a1，a2的大小与m的值有关C. a2>a1D. a1，a2的大小与m，n的值有关12.如图，两个椭圆x225+y29=1，y225+x29=1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上任意一点，给出下列三个判断：①P到F1(−4,0)、F2(4,0)、E1(0,−4)、E2(0,4)四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y=x、y=−x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36．上述判断中正确命题的个数为()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.命题“存在x∈R，2x≤0”的否定是________．14.一支游泳队有男运动员32人，女运动员24人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为14的样本，则抽取男运动员的人数为________．15.已知向量a⃗=(2,−1,4)，b⃗ =(−4,2,x)，c⃗=(1,x,2)，若(a⃗+b⃗ )⊥c⃗，则x等于________．16.在平面直角坐标系xOy中，已知方程x24−m −y22+m=1表示双曲线，则实数m的取值范围是____________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率：(1)标签的选取是无放回的；(2)标签的选取是有放回的．18.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表：日用水[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)量频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表：日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)频数151310165(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.3m3的概率(3)估计该家庭使用节水龙头后，一个月能节省多少水？(一个月按30天计算，)19.如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，∠ABE=60∘，G为BE的中点．(1)求证：AG⊥平面ADF；(2)若AB=√3BC，求二面角D−CA−G的余弦值．20.过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|=2．(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)若抛物线C上存在一点M，使得MA⊥MB，求直线l的斜率k的取值范围．21.四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD是正三角形，PB⊥AD，E为AD的中点，二面角P−AD−B为60°．(1)证明：AD⊥平面PBE；(2)求点P到平面ABCD的距离；(3)求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(−12,√144)，且离心率为√22.过点(√2,−√2)的直线l与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P为椭圆C的右顶点，探究：k PM+k PN是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．(其中，k PM，k PN分别是直线PM，PN的斜率)-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：抛物线x 2=20y 的焦点坐标为(0,5)． 故选：C ．直接利用抛物线的标准方程求解焦点坐标即可．本题考查抛物线的焦点坐标的求法，简单性质的应用，考查计算能力．2.答案：A解析：解：∵双曲线方程为x 29−y 216=1，∴a =3，b =4，由∵双曲线的焦点在x 轴上，∴渐近线方程为y =±ba x =±43x 化简，得，4x ±3y =0 故选：A ．先根据双曲线的标准方程求出a ，b 的值，因为焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为y =±ba x ，把a ，b 的值代入即可．本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，关键是求出a ，b 的值．3.答案：B解析：本题考查否命题的定义，属于基础题．弄清楚原命题的条件和结论，将原命题的条件和结论都否定可得到其否命题．解：命题“若a +b 是偶数，则a ，b 都是偶数”的否命题为“若a +b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数”． 故选B ．4.答案：B解析：解：方程x 2m+y 2n=1表示焦点在y 轴上的双曲线⇔{n >0m <0， ∵n >m 推不出{n >0m <0，{n >0m <0⇒n >m ，∴n>m是{n>0m<0的必要而不充分条件，故选：B．首先方程得出x2m +y2n=1表示焦点在y轴上的双曲线的等价条件{n>0m<0，然后根据充分条件和必要条件的定义可作出判断．本题考查了双曲线方程、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：A解析：本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择合适的概率公式，属于基础题．利用互斥事件的概率加法公式即可得出．解：∵甲不输包括甲获胜和两人下次和棋．∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率P=13+12=56．故选A．6.答案：D解析：本题主要考查频率分布直方图的应用，利用矩形的面积表示频率，计算矩形的面积即可，比较基础．根据频率分布直方图，分别求出对应区间[15,20)和[25,30)上的频率即可．解：由频率分布直方图可知，对应区间[15,20)和[25,30)上的频率分别为0.04×5=0.20和1−0.02×5−0.04×5−0.06×5−0.03×5=0.25，∴二等品的频率为0.20+0.25=0.45．故从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是0.45．故选D．7.答案：A解析：本题考查了空间向量的加减运算及数乘运算，考查了空间向量的基本定理，属于基础题． 结合向量的加减法运算求解即可． 解：如图所示：MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又OM =2MA ，N 为BC 中点，∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC =−23a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗ ，所以NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ −12b ⃗ −12c ⃗ ， 故选A ．8.答案：C解析：解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，∵AB =AA 1=2BC ，设BC =1， ∴B(1,2，0)，C 1(0,2，2)， A 1(1,0，2)，C(0,2，0)，∴BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,−2)， 设直线BC 1与直线A 1C 所成角为θ，则cosθ=|cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|√5⋅√9|=√55．∴直线BC 1与直线A 1C 所成角的余弦值为√55．故选：C ．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC 1与直线A1C所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．9.答案：C解析：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．基本事件空间总数为6×6=36，利用列举法求出点数之和为5的个数，由此能示出所得点数之和为5的概率．解：基本事件空间总数为6×6=36，其中点数之和为5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)共4个，所以同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为p=436=19．故选：C．10.答案：C解析：本题考查回归直线方程的求法及回归直线方程的应用，考查计算能力，属于基础题．由数据求得样本中心点，由回归直线方程必过样本中心点，代入即可求得a^，将x=24代入回归直线方程即可估计其身高．解：由线性回归方程为ŷ=4x+â，则x=110∑x i10i=1=22.5，y=110∑y i10i=1=160，则数据的样本中心点(22.5,160)，由回归直线方程样本中心点，则â=y−4x=160−4×22.5=70，∴回归直线方程为ŷ=4x+70，当x=24时，ŷ=4×24+70=166，则估计其身高为166，故选C．11.答案：A解析：解：由题意知去掉一个最高分和一个最低分以后，两组数据都有五个数据，代入数据可以求得甲的平均分为a1=80+15×(1+5+5+m+9)=84+m5，乙的平均分为a2=80+15×(1+2+4+4+7)=83.6，m≥0，∴a1>a2．故选：A．由题意计算平均分a1、a2的值，再比较大小．本题考查了平均数与茎叶图的应用问题，是基础题．12.答案：C解析：本题考查了椭圆的定义及对称性，属于基础题．根据椭圆的定义可知①错误；根据椭圆的对称性可知②正确；根据椭圆的短轴长确定曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，故③正确．解：对于①，若点P在椭圆x225+y29=1上，P到F1(−4,0)、F2(4,0)两点的距离之和为定值、到E1(0,−4)、E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故错；对于②，根据椭圆的对称性，曲线C关于直线y=x、y=−x均对称，故正确；对于③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确．故选C．13.答案：对任意的x∈R，2x>0解析：本题考查存在量词命题的否定，利用特称命题的否定是全称命题，先变量词，然后否定结果即可．解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题存在x∈R，2x≤0”的否定是：对任意的x∈R，2x>0．故答案为：对任意的x∈R，2x>0．14.答案：8解析：解：设抽取男运动员的人数为x，则1456=x32，解得x=8，故答案为：8根据分层抽样的定义，即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，利用分层抽样的定义建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．15.答案：−2解析：本题考查了空间向量的坐标运算，向量垂直，向量的数量积，属于基础题．由(a⃗+b⃗ )⊥c⃗得(a⃗+b⃗ )·c⃗=0，带入具体坐标进行计算即可得到x的值．解：∵a⃗=(2,−1,4)，b⃗ =(−4,2,x)，∴a⃗+b⃗ =(−2,1,4+x)，∵c⃗=(1,x,2)，，∴(a⃗+b⃗ )·c⃗=0，∴−2+x+2(x+4)=0，∴x=−2．故答案为−2．16.答案：(−2,4)解析：本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题．解：∵方程x24−m −y22+m=1表示的图形是双曲线，∴(4−m)(2+m)>0，∴−2<k<4，故答案为(−2,4)．17.答案：解：解：(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，无放回地从5张标签随机地选取两张标签的基本事件有：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，总数为2×6个两张标签上的数字为相邻整数基本事件为{1,2}，{2,3}，{3,4}，总数为2×3个∴根据等可能事件的概率公式得到P=612=12；(2)由题意知本题是一个等可能事件的概率，有放回地从5张标签随机地选取两张标签的基本事件有：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，和(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，共有2×6+4=16个为{1,2}，{2,3}，{3,4}，总数为2×3个∴根据等可能事件的概率公式得到P=616=38解析：(1)本题是一个等可能事件的概率，无放回地从5张标签随机地选取两张标签的基本事件可以通过列举得到共有12种结果．满足条件的事件也可以通过列举得到结果数，得到概率．(2)本题是一个等可能事件的概率，有放回地从5张标签随机地选取两张标签的基本事件可以通过列举得到结果，两张标签上的数字为相邻整数基本事件，得到概率．本题考查等可能事件的概率，考查利用列举法求出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，本题是一个基础题，第一问是一个不放回问题，第二问是一个放回问题，注意题目的条件．18.答案：解：(1)由频数分布表，作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图如下：(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.30m3的频率为：0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1=0.38，∴该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.3m3的概率的估计值为0.48．(3)该家庭末使用节水龙头50天日用水量的平均数为：(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48，x1−=150该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为：(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35，x2−=150估计使用节水龙头后，一个可节省水(0.48−0.35)×30=3.9m3．解析：(1)由频数分布表，能作出使用节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图．(2)由该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.30m3的频率，该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.3m3的概率的估计值．(3)求出该家庭末使用节水龙头50天日用水量的平均数和该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数，由此能求出估计使用节水龙头后，一个可节省水的数量．本题考查日用水量数据的频率分布直方图、概率、平均数的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：解：(Ⅰ)∵矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，∴AD ⊥AB ，∵矩形ABCD ∩菱形ABEF =AB ，∴AD ⊥平面ABEF ，∵AG ⊂平面ABEF ，∴AD ⊥AG ，∵菱形ABEF 中，∠ABE =60∘，G 为BE 的中点．∴AG ⊥BE ，即AG ⊥AF ∵AD ∩AF =A ，∴AG ⊥平面ADF ．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知AD,AF,AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，AD 为z 轴，建立空间A直角坐标系，设AB =√3BC =√3，则BC =1,AG =32，故A(0,0,0)，C(32,−√32,1)，D(0,0,1)，G(32,0,0)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,−√32,1)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,0,0)，设平面ACD 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则{n 1→⋅AC →=32x 1−√32y 1+z 1=0n 1→⋅AD →=z 1=0，取y 1=√3，得n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0)，设平面ACG 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)，则{n 2→⋅AC →=32x 2−√32y 2+z 2=0n 2→⋅AG →=32x 2=0，取y 2=2，得n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,2,√3)，设二面角D −CA −G 的平面角为θ，则cosθ=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32×7=√217，易知θ为钝角， ∴二面角D −CA −G 的余弦值为−√217．解析：本题考查面面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)推导出AB ⊥BC ，从而BC ⊥平面ABEF ，进而BC ⊥AG ，再求出AG ⊥BE ，从而AG ⊥平面BCE ，由此能证明平面ACG ⊥平面BCE;(2)以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D −CA −G 的余弦值．20.答案：解：(Ⅰ)由抛物线的定义得|AF |等于点A 到准线y =p2的距离，∴|AF |=|y A |+p 2=1+p 2=2 ，解得p =2，∴抛物线C 的方程为x 2=4y. .(Ⅱ)抛物线C 的焦点为F (0,1)，由题意知，直线的斜率存在，设直线l 的方程为y =kx +1；且设点A ，B ，M 的坐标分别为A (x 1,x 124) , B (x 2,x 224) , M (x 0,x 024)，由方程组{x 2=4y y =kx +1，消去y 得x 2−4kx −4=0， 由韦达定理得x 1+x 2=4k , x 1x 2=−4，∵MA ⊥MB , ∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即(x 1−x 0,x 12−x 024)·(x 2−x 0,x 22−x 024)=0，即(x 1−x 0)(x 2−x 0)[1+(x 1+x 0)(x 2+x 0)16]=0， ∵M 不与A ，B 重合∴(x 1−x 0)(x 2−x 0)≠0，∴1+(x 1+x 0)(x 2+x 0)16=0 ，即x 1x 2+(x 1+x 2)x 0+x 02+16=0，∴x 02+4kx 0+12=0 ，Δ=16k 2−48≥0，解得k ≤−√3或k ≥√3∴直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤−√3或k ≥√3．解析：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．(Ⅰ)利用抛物线的定义，结合|AF|=2，即可求得抛物线的方程；(Ⅱ)假设抛物线C 上存在一点M ，使得MA ⊥MB ，将直线方程y =kx +1代入抛物线方程，利用韦达定理及MA ⊥MB ，即可求出k 的取值范围．21.答案：证明：(1)∵△PAD 是正三角形，E 为AD 中点，∴AD ⊥PE ，∵AD ⊥PB ，PE 与PB 是平面PBE 内的两条相交线，∴AD ⊥平面PBE ．解：(2)∵AD ⊥平面PBE ，BE ⊂平面PBE ，∴AD ⊥BE ，∴∠PEB 是二面角P −AD −B 的平面角，∴∠PEB =60°，∵AD ⊥平面PBE ，AD ⊂平面ABCD ，∴平面PBE ⊥平面ABCD ，作PF ⊥BE ，垂足为F ，则PF ⊥平面ABCD ，∴PF =PE ⋅sin∠PEB =√3⋅sin60°=32， ∴点P 到面ABC 的距离为32．(3)∵AD ⊥BE ，E 为AD 中点，∴AB =BD ，即△ABD 为正三角形，以E 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A(1,0，0)，B(0,√3,0)，P(0,√32,32)，D(−1,0，0)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√32,32)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，0)， 设m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)是平面ABP 的一个法向量， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3y =0m ⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√32y +32z =0，取x =3，得m ⃗⃗⃗ =(3,√3,1)， ∵AD//BC ，∴AD 与平面APB 所成的角和BC 与平面APB 所成的角相等，设BC 与平面APB 所成角为θ，∴sinθ=|cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=3√1313． ∴直线BC 与平面PAB 所成角的正弦值为3√1313．解析：(1)推导出AD ⊥PE ，AD ⊥PB ，由此能证明AD ⊥平面PBE ．(2)由AD ⊥平面PBE ，得AD ⊥BE ，从而∠PEB 是二面角P −AD −B 的平面角，∠PEB =60°，推导出平面PBE ⊥平面ABCD ，作PF ⊥BE ，垂足为F ，则PF ⊥平面ABCD ，由此能求出点P 到面ABC 的距离．(3)以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC 与平面PAB 所成角的正弦值． 本题考查线面垂直的证明，考查点到直线的距离的求法，考查线面的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.答案：解：(1)由题意得：{ 14a 2+1416b 2=1e =c a =√22a 2=b 2+c 2，解得：a 2=2，b 2=1． 所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1．(2)①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为：x =√2，与椭圆C 交于一点，不符合题意，舍去； ②若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为：y +√2=k(x −√2)，即：kx −y −√2k −√2=0．联立{x 22+y 2=1kx −y −√2k −√2=0得：(1+2k 2)x 2−(4√2k 2+4√2k)x +4k 2+8k +2=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(√2,0)，所以{x 1+x 2=4√2k 2+4√2k 1+2k x 1x 2=4k 2+8k+21+2k 2， k PM =1x −√2k PN =2x −√2，∴k PM +k PM =y x 1−√2y x 2−√2=(kx −√2k −√2)(x −√2)+(kx −√2k −√2)(x −√2)(x 1−√2)(x 2−√2)=2k √2(x 12x x −√2(x +x )+2=1．所以k PM +k PN 为定值，该定值为1．解析：本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了计算能力，变形化简能力．(1)根据椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(−12,√144)，且离心率为√22，列方程组，求解即可； (2)设出直线的方程y +√2=k(x −√2)， 联立{x 22+y 2=1kx −y −√2k −√2=0得：(1+2k 2)x 2−(4√2k 2+4√2k)x +4k 2+8k +2=0，计算x1+x2，x1x2,k PM+k PN代入计算即可.。
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广州市越秀区2019-2020学年上学期期末考高二数学试卷一、单选题1．抛物线2y x =的焦点坐标是（ ） A ．1(,0)2B ．1(,0)4C ．1(0,)2D ．1(0,)42．双曲线221169x y -=的一条渐近线方程是（ ）A ．340x y -=B ．430x y -=C ．9160x y -=D ．1690x y -=3．命题“若a ，b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题是( ) A ．若a ，b 都是偶数，则+a b 不是偶数 B ．若a ，b 都是偶数，则+a b 不是偶数 C ．若a ，b 不全是偶数，则+a b 不是偶数 D ．若+a b 不是偶数，则a ，b 不全是偶数4．设0a >，0b >，则“b a >”是“椭圆22221x y a b+=的焦点在y 轴上”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.5，甲获胜的概率是0.2，则乙不输的概率是（ ） A ．0.8B ．0.7C ．0.3D ．0.26．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[10,15)和[25,30)为二等品，在区间[10,15)和[30,35)为三等品．用频率估计概率，现从这批产品中随机抽取1件，则其为三等品的概率是（ ）A ．0.03B ．0.05C ．0.15D ．0.257．如图，在四面体OABC 中，2OM MA →→=，BNNC →→=，则MN→=（ ）A ．111222OA OB OC →→→+-B ．221332OA OB OC →→→+-C ．121232OA OB OC →→→-+D ．211322OA OB OC →→→-++8．长方体1111ABCD A B C D -中，1AD CD ==，12DD =，则直线1DB 与直线1BC 所成角的余弦值为（ ）A B C D 9．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不大于6的概率记为1p ，点数之和大于6的概率记为2p ，点数之和为奇数的概率记为3p ，则（ ）A ．123p p p <<B ．132p p p <<C ．213p p p <<D ．312p p p <<10．为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+，已知101220ii x==∑，1011610i i y ==∑，ˆ4b=，该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为（ ）厘米. A ．165 B ．168 C ．173 D ．17811．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为92，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的标准差为（ ）A ．4B ．2C ．5D 12．已知圆锥曲线C 的方程是225658x xy y -+=，则下列命题中是假命题的是（ ）A ．曲线C 上的点的横坐标x 的取值范围是⎡⎢⎣⎦B ．曲线C 关于直线y x =对称C ．曲线C 上的点到曲线C 的对称中心的最远距离为2D ．曲线C 的离心率是12二、填空题13．命题“0x ∃∈R ，2010x +…”的否定是_________．14．一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽取一个容量为21的样本，那么应抽取男运动员的人数是________． 15．已知点(1,2,0)A 和向量(3,4,12)a→=-，若2AB a →→=，则点B 的坐标是_________．16．在相距1000m 的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相距2s ，已知声速340m /s ．以AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则炮弹爆炸点所在曲线的方程为________． 三、解答题17．一个盒子里装有标号为1，2，4，8的4张标签．（1）从盒中不放回地随机取两张标签，求取出的标签上的数字之和不大于5的概率．（2）从盒中有放回地随机取两张标签，求第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率．（1）作出使用了节水龙头100天的日用水量数据的频率分布直方图．（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．43m 的概率．（3）求该家庭使用节水龙头的日用水量的中位数的估计值（结果精确到0．01）．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，D 为的中点．（1）求证：1C DAD ⊥；（2）求二面角11A C D A --的正切值．20．已知直线4x =与抛物线2:2C y px =（0p >）相交于A ，B 两点，且OAB V 是等腰直角三角形．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 过定点(2,1)-，斜率为k ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 只有一个公共点？21．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PAD △是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAB ；（2）若6AB =，3AD =，试问在线段DE 上是否存在点Q ，使得直线BQ 与平面PCD ？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由．22．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>，1F 、2F是椭圆C 的左、右焦点，P 是椭圆C上的一个动点，且12PF F △面积的最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）若Q 是椭圆C 上的一个动点，点M ，N 在椭圆2213x y +=上，O 为原点，点Q ，M ，N 满足3OQ OM ON →→→=+，则直线OM 与直线ON 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．解析广州市越秀区2019-2020学年上学期期末考高二数学试卷一、单选题1．抛物线2y x =的焦点坐标是（ ） A ．1(,0)2B ．1(,0)4C ．1(0,)2D ．1(0,)4【答案】B【解析】 由抛物线的方程2y x =，可知12p =，所以抛物线的焦点坐标为1(,0)4，故选B. 2．双曲线221169x y -=的一条渐近线方程是（ ）A ．340x y -=B ．430x y -=C ．9160x y -=D ．1690x y -=【答案】A【解析】直接由双曲线的渐近线的定义可得渐近线的方程． 【详解】解：由双曲线的方程可得216a =，29b =，焦点在x 轴上，所以渐近线的方程为：34b y x x a =±=，即340±=x y ，故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．3．命题“若a ，b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题是( ) A ．若a ，b 都是偶数，则+a b 不是偶数B ．若a ，b 都是偶数，则+a b 不是偶数C ．若a ，b 不全是偶数，则+a b 不是偶数D ．若+a b 不是偶数，则a ，b 不全是偶数 【答案】C【解析】根据命题的否定和命题之间的关系确定结论即可． 【详解】解：否命题就是对原命题的条件和结论同时进行否定，则命题“若a ，b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题为：若a ，b 不全是偶数，则+a b 不是偶数 ． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，属于基础题．4．设0a >，0b >，则“b a >”是“椭圆22221x y a b+=的焦点在y 轴上”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】利用椭圆的焦点在y 轴上的充要条件即可得出． 【详解】解：“b a >”⇔“椭圆22221x y a b +=的焦点在y 轴上”，∴“b a >”是“椭圆22221x y a b+=的焦点在y 轴上”的充要条件． 故选：C ． 【点睛】本题考查了椭圆的焦点在y 轴上的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.5，甲获胜的概率是0.2，则乙不输的概率是（ ） A ．0.8 B ．0.7C ．0.3D ．0.2【答案】A【解析】利用互斥事件概率加法公式直接求解． 【详解】解：甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.5，甲获胜的概率是0.2， ∴乙不输的概率是：10.20.8p =-=．故选：A ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．6．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[10,15)和[25,30)为二等品，在区间[10,15)和[30,35)为三等品．用频率估计概率，现从这批产品中随机抽取1件，则其为三等品的概率是（ ）A ．0.03B ．0.05C ．0.15D ．0.25【答案】D【解析】由频率分布直方图得在区间[10,15)和[30,35)的频率为(0.020.03)50.25+⨯=，由此能求出从这批产品中随机抽取1件，其为三等品的概率． 【详解】解：在区间[10,15)和[30,35)为三等品， 由频率分布直方图得：在区间[10,15)和[30,35)的频率为(0.020.03)50.25+⨯=， ∴从这批产品中随机抽取1件，其为三等品的概率是0.25． 故选：D ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 7．如图，在四面体OABC 中，2OMMA →→=，BNNC →→=，则MN→=（ ）A ．111222OA OB OC →→→+-B ．221332OA OB OC →→→+-C ．121232OA OB OC →→→-+D ．211322OA OB OC →→→-++【答案】D【解析】由已知直接利用向量的加减法运算得答案． 【详解】 解：∵2OMMA →→=，BNNC →→=，∴12()23MN ON OM OB OC OA →→→→→→=-=+-211322OA OB OC →→→=-++．故选：D ．【点睛】本题考查空间向量基本定理，属于基础题．8．长方体1111ABCD A B C D -中，1AD CD ==，12DD =，则直线1DB 与直线1BC 所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】A【解析】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解． 【详解】解：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)D ，(1,1,0)B ，1(1,1,2)B ，1(0,1,2)C ， ∴1(1,1,2)DB →=，1(1,0,2)BC →=-，由111111cos ,||||DB BC DB BC DB BC →→→→→→⋅<>=⋅==． 得直线1DB 与直线1BC所成角的余弦值为． 故选：A ．【点睛】本题考查利用空间向量求解空间角，属于中档题．9．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不大于6的概率记为1p ，点数之和大于6的概率记为2p ，点数之和为奇数的概率记为3p ，则（ ）A ．123p p p <<B ．132p p p <<C ．213p p p <<D ．312p p p <<【答案】B【解析】使用列举法求出三个概率，再比较大小． 【详解】解：随机掷两枚质地均匀的骰子共有36个基本事件，它们发生的可能性相等． 其中向上的点数和不大于6的基本事件共有15个，分别是(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，11553612P ∴==． 点数之和大于6的基本事件共有21个，分别是(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．22173612P ∴==． 由于骰子的点数奇偶数相同，故点数之和为偶数的概率312P =． 132p p p ∴<<．故选：B ． 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题．10．为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+，已知101220ii x==∑，1011610i i y ==∑，ˆ4b=，该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为（ ）厘米. A ．165 B ．168 C ．173 D ．178【答案】C【解析】由已知求得x ，y 的值，结合4b=$求得$a ，可得线性回归方程，取25x =求得y 值即可． 【详解】解：10112202210i i x x ====∑，1011161016110i i y y ====∑， 又y bx a =+$$$，4b=$，∴$16142273a y bx=-=-⨯=$． ∴y 关于x 的线性回归方程为$473y x =+． 取25x =，得42573173y =⨯+=（厘米）． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，属于基础题．11．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为92，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的标准差为（ ）A ．4B ．2C ．5D 【答案】B【解析】由平均数求得x 的值，再计算7个剩余分数的方差和标准差． 【详解】解：将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉一个最低分，7个剩余分数的平均分为92； 最低分是87，当9x =时，剩余7个数分别是89、90、91、92、94、95、98，平均值为1(89909192949598)92.7927⨯++++++≈>， 所以8x ≤，计算剩余7个数的平均值为190(101245)927x +⨯-++++++=，解得3x =；所以7个剩余分数的方差为：217s =⨯2228992)(9092)[92)((91-+-+-2222(9292)(9392)(9492)(9592)4]+-+-+-+-=．所以标准差为2s =．故选：B ．【点睛】本题考查了利用茎叶图求平均数和方差、标准差的应用问题，也考查了运算求解能力，属于基础题．12．已知圆锥曲线C 的方程是225658x xy y -+=，则下列命题中是假命题的是（ ）A ．曲线C 上的点的横坐标x 的取值范围是22⎡-⎢⎣⎦B ．曲线C 关于直线y x =对称C ．曲线C 上的点到曲线C 的对称中心的最远距离为2D ．曲线C 的离心率是12【答案】D【解析】由关于y 的二次方程2256580y xy x -+-=有实数解，运用判别式非负，解得x 的范围，可判断A ；将x 换为y ，y 换为x ，方程不变，可判断B；由旋转变换公式可得x y ⎧=⎪⎪⎨''''⎪=⎪⎩，代入原方程化简可得椭圆方程，由椭圆的性质可判断C ，D ． 【详解】解：方程225658x xy y -+=，可看做关于y 的二次方程2256580y xy x -+-=，根据方程有实数解的条件可得223645(58)0x x ∆=-⨯-≥，解得x ，故A 正确； 将x 换为y ，y 换为x ，可得方程225658x xy y -+=不变，则圆锥曲线C 关于直线y x =对称；同样将x 换为y -，y 换为x -，可得方程225658x xy y -+=不变，则圆锥曲线C 关于直线y x =-对称，故B 正确；由旋转变换公式可得x y ⎧=⎪⎪⎨''''⎪=⎪⎩，代入曲线C 的方程可得()2562x y ''-⨯-⨯''''+()2582x y ''+⨯=，化为2214x y ''+=，即为椭圆方程，且长轴长为4，即曲线C 上的点到曲线C 的对称中心O 的最远距离为2，离心率为2e ==，故C 正确，D 错误．故选：D ．【点睛】本题考查圆锥曲线的方程和性质，考查化简变形能力和运算能力、推理能力，以及数形结合思想，属于难题．二、填空题13．命题“0x ∃∈R ，2010x +…”的否定是_________． 【答案】对任意0x ∈R ，使2010x +>【解析】本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可. 【详解】解：∵命题“存在0x ∈R ，使2010x +≤”是一个特称命题∴命题“存在0x ∈R ，使2010x +≤”的否定是“对任意0x ∈R ，使2010x +>” 故答案为：对任意0x ∈R ，使2010x +> 【点睛】本题考查命题的否定，正确解答本题，关键是掌握住命题的否定的定义及书写规则，对于两特殊命题特称命题与全称命题的否定，注意变换量词．14．一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽取一个容量为21的样本，那么应抽取男运动员的人数是________． 【答案】12【解析】先求出男运动员的人数占的比例，再用样本容量乘以此比例，即为所求． 【详解】解：男运动员的人数占的比例为40440307=+，故应抽取的男运动员的人数为421127⨯=人，故答案为：12． 【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题． 15．已知点(1,2,0)A 和向量(3,4,12)a →=-，若2AB a →→=，则点B 的坐标是_________．【答案】(7,10,24)-【解析】设(B x ，y ，)z ，由向量坐标运算法则和向量相等的定义得1(-x ，2y -，)(6z =，8，24)-，由此能求出B 点坐标． 【详解】解：点(1,2,0)A 和向量(3,4,12)a→=-，2AB a →→=，设(,,)B x y z ，则(1,2,)(6,8,24)x y z --=-， 解得7x =，10y =，24z =-，∴点B 的坐标(7,10,24)-． 故答案为：(7,10,24)-． 【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查向量坐标运算法则和向量相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．16．在相距1000m 的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相距2s ，已知声速340m /s ．以AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则炮弹爆炸点所在曲线的方程为________．【答案】221115600134400x y -=【解析】由题意可得双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，且由双曲线的定义可得a ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系进而求出双曲线的方程． 【详解】解：由题意可得双曲线的焦点在x 轴上，中心在原点，且21000c =，22340a =⨯，即500c =，340a =， 所以22222500340134400b c a =-=-=，2115600a =，所以双曲线的方程为：221115600134400x y -=；故答案为：221115600134400x y -=．【点睛】考查由双曲线的定义求标准方程的求法，属于基本知识直接应用题，双基考查题，属于基础题．三、解答题17．一个盒子里装有标号为1，2，4，8的4张标签．（1）从盒中不放回地随机取两张标签，求取出的标签上的数字之和不大于5的概率．（2）从盒中有放回地随机取两张标签，求第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率． 【答案】（1）13（2）38【解析】（1）从盒中不放回地随机取两张标签，基本事件总数246n C ==，利用列举法取出的标签上的数字之和不大于5包含的基本事件有2个，由此能求出取出的标签上的数字之和不大于5的概率．（2）从盒中有放回地随机取两张标签，基本事件4416n =⨯=，第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字包含的基本事件有6个，由此能求出第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率． 【详解】解：（1）一个盒子里装有标号为1，2，4，8的4张标签． 从盒中不放回地随机取两张标签， 基本事件总数246n C ==，取出的标签上的数字之和不大于5包含的基本事件有：（1，2），（1，4），共2个， ∴取出的标签上的数字之和不大于5的概率2163p ==． （2）从盒中有放回地随机取两张标签， 基本事件4416n =⨯=，第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字包含的基本事件有： （1，2），（1，4），（1，8），（2，4），（2，8），（4，8），共6个， ∴第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率63168p ==． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．（1）作出使用了节水龙头100天的日用水量数据的频率分布直方图．（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．43m 的概率．（3）求该家庭使用节水龙头的日用水量的中位数的估计值（结果精确到0．01）． 【答案】（1）见解析（2）0.58（3）0.36【解析】（1）由频数分布表能作出使用节水龙头100天的日用水量数据的频率分布直方图． （2）由频数分布表能估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.4m 的概率．（3）由频率分布直方图得[0，0.3)的频率为(0.21 2.6)0.10.38++⨯=，[0.3，0.4)的频率为20.10.2⨯=，由此能求出该家庭使用节水龙头的日用水量的中位数的估计值． 【详解】解：（1）由频数分布表作出使用了节水龙头100天的日用水量数据的频率分布直方图如下：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．43m 的概率为：21026200.58100P +++==．（3）由频率分布直方图得：[0,0.3)的频率为(0.21 2.6)0.10.38++⨯=， [0.3,0.4)的频率为20.10.2⨯=，∴该家庭使用节水龙头的日用水量的中位数的估计值（结果精确到0．01）为：0.50.380.30.10.360.2-+⨯=．【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查概率、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，D 为的中点．（1）求证：1C DAD ⊥；（2）求二面角11A C D A --的正切值．【答案】（1）见解析（2【解析】（1）推导出11C D AA ⊥，111C D A B ⊥，从而1C D ⊥平面11ABB A ，由此能证明1C DAD ⊥．（2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角11A C D A --的正切值．【详解】（1）证明：∵在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，D 为的中点．∴11C D AA ⊥，111C D A B ⊥，∵1111AA A B A =I ，∴1C D ⊥平面11ABB A ， ∵AD ⊂平面11ABB A ，∴1C DAD ⊥．（2）解：以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0)A ，1(2,0,2)A ，1(0,0,2)C ，1(0,2,2)B ，(1,1,2)D1(2,0,2)AC →=-，(1,1,2)AD →=-，设平面1ADC 的法向量(,,)n x y z =r ， 则122020n AC x z n AD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩u u u u r r u u u r r ，取1x =，得(1,1,1)n →=-， 平面11AC D 的法向量(0,0,1)m →=，设二面角11A C D A --的平面角为θ，则||cos ||||m n m n θ→→→→⋅==⋅，sin θ== ∴二面角11A C D A --的正切值为sin tan cos θθθ==．【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 20．已知直线4x =与抛物线2:2C y px =（0p >）相交于A ，B 两点，且OAB V 是等腰直角三角形．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 过定点(2,1)-，斜率为k ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 只有一个公共点？【答案】（1）24y x =（2）0k=或1k =-或12k =【解析】（1）将4x =代入抛物线的方程，求得A ，B 的坐标，由等腰直角三角形的性质可得OA OB ⊥，再由两直线垂直的条件，解方程可得p ，进而得到抛物线的方程； （2）由题意可得直线l 与抛物线的对称轴平行，可得0k =，又直线和抛物线相切，联立直线方程和抛物线方程，运用判别式为0，可得所求值． 【详解】解：（1）直线4x =与抛物线2:2C y px =（0p >）相交于A ，B 两点，可设A ，(4,B -，又OAB V 是等腰直角三角形，可得OA OB ⊥1=-，解得2p =， 即有抛物线的方程为24y x =；（2）直线l 过定点(2,1)-，斜率为k ，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+， 当直线l 平行于抛物线的对称轴x 轴，可得直线与抛物线只有一个公共点，即0k =；当直线l 与抛物线相切时，可得直线与抛物线只有一个公共点，由2124y kx k y x=++⎧⎨=⎩可得222[2(12)4](12)0k x k k x k ++-++=，0k ≠， 由2[2(12)4]k k ∆=+--()2224(12)16120k k k k+=--=，解得1k =-或12k =， 综上可得0k =或1k =-或12k =，直线l 与抛物线C 只有一个公共点． 【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，主要是直线和抛物线有交点，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PAD △是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAB ；（2）若6AB =，3AD =，试问在线段DE 上是否存在点Q ，使得直线BQ 与平面PCD？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）存在，DQ的长为． 【解析】（1）由已知证明AB ⊥平面PAD ，则AB DE ⊥，再由DE PA ⊥，结合线面垂直的判定可得DE ⊥平面PAB ；（2）取AD 中点O ，则OP AD ⊥，则OP ⊥底面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以OA ，OP 为x ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明在线段DE 上存在点Q ，使得直线BQ 与平面PCD 所成角的正弦值，并求得DQ的长为． 【详解】（1）证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD I 平面ABCD AD =，而AB AD ⊥，∴AB ⊥平面PAD ，则AB DE ⊥， 在等边三角形PAD 中，∵E 为PA 的中点，∴DE PA ⊥， 又PA AB A =I，PA ⊂平面PAB ，AB Ì平面PAB ∴DE ⊥平面PAB ；（2）解：取AD 中点O ，则OP AD ⊥，则OP ⊥底面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以OA ，OP 为x ，z 轴建立空间直角坐标系．则3,6,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,0,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,6,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,0,2P ⎛ ⎝⎭，3,0,44E ⎛ ⎝⎭． 假设线段DE 上是否存在点Q ，使得直线BQ 与平面PCD所成角的正弦值为22， 设DQ DE λ→→=（01λ剟），则94DQ λ→⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，93,6,4QB DB DQ λ→→→⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭．设平面PDC 的一个法向量为n (x,y,z)→=，3,0,22DP →⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(0,6,0)DC →=．由30260n DP x nDC y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩u u ur r u u u r r ，取1z =-，得1)n →=-．由|cos ,|QB n→→<>=||||||QB n QB n →→→→⋅=⋅=解得：34λ=或4λ=（舍）．∴2716DQ →⎛=⎝⎭，则||8DQ →=． ∴在线段DE 上存在点Q ，使得直线BQ 与平面PCD，DQ．【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，属于中档题．22．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>，1F 、2F是椭圆C 的左、右焦点，P 是椭圆C上的一个动点，且12PF F △面积的最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）若Q 是椭圆C 上的一个动点，点M ，N 在椭圆2213x y +=上，O 为原点，点Q ，M ，N 满足3OQ OM ON →→→=+，则直线OM 与直线ON 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）2213010x y +=（2）是定值，且定值为13-．【解析】（1）根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可求出椭圆方程；（2）设0(Q x ，0)y ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，所以2200330x y +=，221133x y +=，222233x y +=，由3OQ OM ON →→→=+得0121233x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，代入22003x y +得2200121233276(2)x y x x y y +=+++，所以121220x x y y +=，即12OM ON k k =-g ，从而得到直线OM 与直线ON 的斜率之积为定值，且定值为12-． 【详解】解：（1）由题意可知：222c abc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222301020a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为：2213010x y +=；（2）设()00,Qx y ，()11,M x y ，()22,N x y ，∴2200330x y +=，221133xy +=，222233x y +=，∵3OQ OM ON →→→=+， ∴()()()001122,,3,x y x y x y =+，∴0121233x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，∴()()22220012123333x y x x y y +++=+=2222112211226931827x x x x y y y y +++++327=++()12126330x x y y +=，∴121230x x y y +=，∴121213y y x x =-，即13OM ON k k ⋅=-， ∴直线OM 与直线ON 的斜率之积为定值，且定值为13-． 【点睛】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．。