广州市高二上学期期末数学试卷D卷
广东省广州市天河区2023-2024学年高二上学期期末数学试题
13．若方程 x2 y2 2x m 0 表示一个圆，则实数 m 的取值范围是
．
14．已知数列an 满足 a1 1 an1 3an 2，则an 的通项公式为
．
15．已知点 A(0, 2) 和 B(0, 2) ，椭圆 y2 x2 1上一点 P 满足| PA | | PB | 2 ，则
4 PB 平面 ABCD ．
(1)求证： AP CD ； (2)若平面 PCD 与平面 PCB 夹角的余弦值为 3 ，求四棱锥 P ABCD 的体积．
3 21．甲乙两家新能源汽车企业同时量产，第一年的全年利润额均为 p 万元根据市场分析
和预测，甲企业第
n
年的利润额比前一年利润额多
3
p
2 3
n
B．[4, 2]
C．[3, 3]
二、多选题 9．已知直线 l1 : ax y 1 0, l2 : 2x (a 1) y 2a 0 ，且 l1//l2 ，则（ ）
A． a 2
B． a 1
C． l1 与 l2 间的距离为 5
D． l1 的一个方向向量为 (1, 2)
10．若动点 P(x, y) 与两定点 M (2,0), N(2,0) 的连线的斜率之积为常数 k（ k 0 ），则点
Can满足 a5a7 5 ，若 a2a4a8am 25 ，则正整数 m 的值为（ ）
A．11
B．10
C．9
D．8
3．直线 l : x cos y sin 2 0 与圆 O : x2 y2 1的位置关系为（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
A．5
B．6
C．7
D．8
8．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C : (x 1)2 ( y 2)2 2，若圆
2023-2024学年广州市高二数学上学期期末教学质量监测卷附答案解析
2023-2024学年广州市高二数学上学期期末教学质量监测卷2024.1试卷满分150分.考试用时120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知抛物线的焦点是(0,2)F ，则抛物线的标准方程是（）A ．28y x=B ．28x y =C ．28y x=-D ．28x y=-2．已知空间向量(2,1,3)m =-- ，(4,1,)n x =- ，且m n ⊥ ，则x 的值为（）A ．3B ．2C ．3-D ．4-3．已知倾斜角为π4的直线的方向向量为(1,)k ，则k 的值为（）A ．1-B ．22C ．22D ．14．椭圆2212516x y +=与椭圆221(16)2516x y m m m +=<--的（）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等5．若两条平行直线340(0)x y m m -+=<与360x ny ++=之间的距离是3，则m n +=（）A ．13-B ．9-C ．17D ．216．过直线40l y +-=上一点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为,A B .若π3APB ∠=，则点P 的坐标为（）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．2)-或(0,4)C．D．-或+7．已知双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，12,F F 为其左、右焦点，过2F 的直线l 与双曲线右支相交于,A B两点，且1π2F AB ∠=，15tan 12ABF ∠=，则双曲线的离心率为（）A．3BC．3D8．数列{}n a 满足2(1)21n n n a a n ++-=-，前12项和为158，则1a 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知数列{}n a 的前n 项和公式为2n S n n =-，则（）A ．3S ，6S ，9S 成等差数列B ．3a ，6a ，9a 成等差数列C ．数列{}n a 是递增数列D ．数列{}n S 是递增数列10．已知圆22:(2)(2)4C x y -+-=，直线:(13)(1)240(R)l x y λλλλ+++--=∈，则（）A ．直线l 恒过定点(1,2)B ．直线l 与圆C 相交C ．直线l 被圆C 截得的弦最短时，直线l 的方程为20x y +-=D ．圆C 上不存在三个点到直线l 的距离等于211．设,A B 为双曲线2214y x -=上的两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A ．(2,0)B ．(2,4)-C ．(1,4)D ．(1,1)-12．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 与11BAA B 是边长为2的正方形，平面11BCC B ⊥平面11BAA B ，,M N 分别在1BC 和1AB 上，且(0BM AN a a ==<<，则（）A ．直线//MN 平面ABCB ．当1a =时，线段MN 的长最小C ．当22a =时，直线MN 与平面11BAA B 所成角的正切值为13D ．当a =MNB 与平面1MNB 夹角的余弦值为13三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知ABC 的三个顶点是(5,1)A -，(1,1)B ，(2,3)C ，则边AB 上的高所在直线的方程为.14．正四面体A BCD -的棱长为2，设AB a =，AC b = ，ADc = ，则()a a b c ⋅++=.15．已知数列{}n a 满足11a =，12(1)n n na n a +=+，则{}n a 的通项公式n a =.16．抛物线有如下光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，O 为坐标原点，抛物线21:2C y x=-，一条平行于x 轴的光线m 射向抛物线C 上的点A （不同于点O ），反射后经过抛物线C 上另一点B ，再从点B 处沿直线n 射出.若直线OA 的倾斜角为3π4，则入射光线m 所在直线的方程为；反射光线n 所在直线的方程为.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，111a b ==，224a b +=，36S =.(1)求{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)求数列1n S⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14AA =，,E F 分别为线段AB ，1AA 的中点.(1)求直线1A C与EF 所成角的余弦值；(2)求点1B 到平面CEF 的距离.19．已知圆C 的方程为222422210x y x my m m +-++-+=.(1)求m 的取值范围；(2)当1m =时，求圆22:40O x y +-=与圆C 的公共弦的长.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，222AD DC CB ===，E 为PD 的中点.(1)证明：//CE 平面PAB ；(2)若60PAB ∠=︒，求平面PAB 与平面PBC 的夹角的余弦值.21．已知数列{}n a 满足12a =，1210n n n a a a +-+=，*N n ∈(1)求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；(2)设11n n c a =-，记集合{}*2,N k n n k c k ≤≤∈中元素的个数为k b ，求使122024k b b b +++> 成立的最小正整数k 的值.22．如图，在圆22:1O x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PD ，D 为垂足，点M 在DP 的延长线上，且2DM DP=，当点P 在圆O 上运动时，记点M 的轨迹为曲线C （当点P 经过圆与y 轴的交点时，规定点M 与点P 重合）.(1)求曲线C 的方程；(2)过点(,0)T t 作圆22:1O x y +=的切线l 交曲线C 于,A B 两点，将AB 表示成t 的函数，并求AB的最大值.1．B【分析】根据焦点坐标直接写出抛物线方程.【详解】因为抛物线的焦点是(0,2)F ，则抛物线的标准方程是28x y =.故选：B 2．C【分析】m n ⊥ 时，0m n ⋅=r r，利用坐标进行运算即可.【详解】因为(2,1,3)m =-- ，(4,1,)n x =- ，且m n ⊥ ，所以241(1)3930m n x x ⋅=-⨯+⨯--=--=，解得3x =-，故选：C.3．D【分析】首先得到直线的斜率，再由方向向量求出k .【详解】因为直线的倾斜角为π4，所以直线的斜率为πtan 14=，又直线的方向向量为(1,)k ，所以1k =.故选：D4．D【分析】由椭圆方程即可求得,,a b c ，进而即可求解.【详解】因为第一个椭圆的115,4a b ==，则焦距为6，所以长轴长为10，短轴长为8,离心率为35，第二个椭圆的22a b =6=，所以长轴长为所以A ，B ，C 错误，D 正确，故选：D.5．A【分析】根据两直线平行求出n ，再由两平行线间的距离公式求出m .【详解】因为直线340(0)x y m m -+=<与360x ny ++=，所以343n =-⨯，解得n =-4，又两条平行直线340(0)x y m m -+=<与3460x y -+=之间的距离是3，所以3d =，解得21m =（舍去）或9m =-，所以13m n +=-.故选：A 6．B【分析】根据点P 在直线设为),43Pa-，结合题中条件可求得4OP =，利用两点间的距离公式建立方程，求解即可.【详解】因为点P 在直线40l y +-=上，可设),43Pa-，又,PA PB 是圆的两条切线，且π3APB ∠=，所以OA PA ⊥,π6OPA ∠=,2OA =,所以4OP =,4=，化为220a a -=，解得0a =或2a =，所以点P 坐标为()()0,4,2-，故选：B.7．C【分析】设()10AF m m =>，即可表示出AB 、1BF ，再根据双曲线的定义得到103am =，再在12Rt AF F 中利用勾股定理即可求出离心率.【详解】设()10AF m m =>，则22AF m a =-，又1π2F AB ∠=，15tan 12ABF ∠=，所以1512AF AB=，即1121255AF mAB ==，则1135mBF ==，又122BF BF a-=，122AF AF a-=，所以1122114BF AF BF AF BF AF AB a +--=+-=，即645m a =，所以103a m =，则1103a AF =，所以243a AF =，在12Rt AF F 中2221212AF AF F F +=，即()222104233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3c e a ==.故选：C8．B【分析】由2(1)21nn n a a n ++-=-，推出24612a a a a ++++ 和13511a a a a ++++ ，再利用前12项和为158求解.【详解】因为2(1)21nn n a a n ++-=-，所以423a a +=，8611a a +=，121019a a +=，2468101233a a a a a a ∴+++++=，又315375971,5,9,13a a a a a a a a -=-=-=-=，11917a a -=，1357911a a a a a a ∴+++++()()()()()11997755331123456a a a a a a a a a a a =-+-+-+-+-+117132935415615833a =+⨯+⨯+⨯+⨯+=-，15a ∴=.故选：B 9．BCD【分析】根据2n S n n =-，可求得3S ，6S，9S 的值，可判定选项A ；结合函数2()f x x x =-的单调性，可判定选项D ；根据2n ≥时，1n n n a S S -=-可求得22n a n =-，继而可判定选项B,C.【详解】因为2n S n n =-，所以23336S =-=,266630S =-=,299972S =-=,则639630624723042S S S S -=-=≠-=-=,故3S ，6S ，9S 不成等差数列，A 错误；又函数2()f x x x =-的对称轴为12x =，所以函数2()f x x x =-在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增；故数列{}n S 是递增数列，则D 正确；又110a S ==，当2n ≥时，()()2211122n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，10a =满足上式，故22n a n =-，则数列{}n a 是递增数列，C 正确；切6396104616106a a a a -=-==-=-=，故3a ，6a ，9a 成等差数列，B 正确，故选：BCD.10．BC【分析】首先求出直线l 过定点坐标，求出定点与圆心的距离，即可判断A 、B 、D ，当直线l 垂直于定点与圆心的连线时弦长最短，即可判断C.【详解】直线:(13)(1)240(R)l x y λλλλ+++--=∈即()()3420x y x y λ+-++-=，令34020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点()1,1，故A 错误；因为()()22121224-+-=<，所以点()1,1在圆内，所以直线l 与圆C 相交，故B 正确；圆22:(2)(2)4C x y -+-=的圆心为()2,2C ，半径2r =，令()1,1A，所以21121AC k -==-，当直线l 与AC 垂直时直线l 被圆C 截得的弦最短，此时直线l 的方程为()11y x -=--，即20x y +-=，故C 正确；因为AC ==l 的距离等于2-D 错误.故选：BC 11．AC【分析】考虑直线斜率不存在时，中点在x 上，可判定A ；当直线斜率存在时，设出直线方程，联立直线方程和双曲线方程消元后，利用韦达定理，得到中点坐标之间的关系，再根据二次项系数不等于零及0∆>验证B,C,D 即可.【详解】当直线AB 的斜率不存在时，设为x n =，依题知1n <-或1n >，此时线段AB 的中点为(),0n ，则选项A 中点满足题意，则A 正确；当直线AB 的斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，联立2214y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得()2224240k x kmx m -+++=，由题知240k -≠①，()()2222Δ44440k m k m =--+>，化简为224k m <+②，设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点为()00,x y ，则()1212122228,244km mx x y y k x x m k k --+=+=++=--，所以00224,44km m x y k k --==--，即004y x k =，对于B,可得2k =-，不满足条件①，故B 错误；对于C,可得1,3k m ==，满足条件①②故C 正确；对于D ，可得4,3k m =-=-不满足条件②，故D 错误；故选：AC.12．AC【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量解立体几何.【详解】如图建立空间直角坐标系,则()()()0,0,0,0,2,0,2,0,0B A C 11(0,0,2),(2,0,2)B C 所以1(2,0,2)=BC ，1(0,2,2)AB =-因为(0BM AN a a ==<<设11,AN AB BM BC λλ== ，（01λ<<，且λ=所以()()2,0,2,0,22,2M N λλλλ-所以()2,22,0MN λλ=--，易知平面ABC 的一个法向量为()10,0,2BB =因为10MN BB = 且MN ⊄平面ABC ，所以直线//MN 平面ABC ，故A 正确.MN =当12λ=即a =MN 故B 不正确.当22a =时14λ=此时13,,022MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 平面11BAA B 的一个法向量为()2,0,0BC =·cos ,MN BC MN BC MN BC==所以直线MN 与平面11BAA B 所成角的正弦值为可以求得直线MN 与平面11BAA B 所成角的余弦值为10所以直线MN 与平面11BAA B 所成角的正切值为13，故C 正确.取MN 的中点O ，连接11,,,BO B O BN B M,因为三角形MNB 与三角形1MNB 都是等边三角形，所以1BOB ∠为二面角的平面角，112,BB BO B O==,2222>+⎝⎭⎝⎭,根据余弦定理可得11cos 3BOB ∠=-所以平面MNB 与平面1MNB 夹角的余弦值为13-，故D 不正确.故选：AC13．210x y --=【分析】根据与直线AB 垂直可求得斜率，又过点(2,3)C ，根据直线的点斜式方程即可求解.【详解】因为(5,1)A -，(1,1)B ，所以111512--==--AB k ,则边AB 上的高所在直线的斜率为2，又该直线过点(2,3)C ，所以所求直线方程为32(2)y x -=-，即210x y --=，故答案为：210x y --=.14．8【分析】根据空间向量数量积的定义及运算律计算可得.【详解】在正四面体A BCD -中π3BAC BAD DAC ∠=∠=∠=，2AB AC AD ===，又AB a =，AC b = ，AD c = ，所以22ππ()222cos 22cos 833a a b c a a b a c ⋅++=+⋅+⋅=+⨯⨯+⨯⨯=.故答案为：815．1*2,n n n -⨯∈N 【分析】对已知递推关系的等式两边同时除以()1n n +，可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，可求得结果.【详解】11a = ，()121n nna n a +=+，121n n a a n n +∴=⨯+，又111a =，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公比的等比数列，112n na n -∴=⨯，解得12n n a n -=⨯，*N n ∈.故答案为：12n n -⨯，*N n ∈.16．12y =18y =-【分析】首先得到直线OA 的方程，联立直线与抛物线方程，求出A 点坐标，即可得到直线m 的方程，再求出直线AF 的方程，联立直线AF 与抛物线方程，求出B 点坐标，即可求出直线n 的方程.【详解】抛物线21:2C y x=-的焦点为1,08F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为直线OA 的倾斜角为3π4，所以直线OA 的方程为y x =-，由212y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则入射光线m 所在直线的方程为12y =，则14211328AFk ==-⎛⎫--- ⎪⎝⎭，所以直线AF 的方程为4138y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由2413812y x y x ⎧⎛⎫=-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩，解得13218x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11,328B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则反射光线n 所在直线的方程为18y =-.故答案为：12y =，18y =-17．(1)n a n =;12n n b -=(2)21n n T n =+【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式及等差数列的前n 项和公式建立方程组，解出即可；（2）因为11121n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，裂项相消求和即可.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的等比为q ，因为224a b +=，36S =，111a b ==，所以14336d q d ++=⎧⎨+=⎩，解得12d q =⎧⎨=⎩()111n a n n=+-⨯=，12n n b -=.（2）因为n a n=，所以()11()22n n n n a a n S ++==，则()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以1211111···+n n nT S S S S -=+++111111112122311n n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪-+⎝⎭122212111n n n n ⎛⎫=-=-= ⎪+++⎝⎭.18．(1)【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则()0,2,0C ，()12,0,4A ，()2,1,0E ，()2,0,2F ，()12,2,4B ，所以()12,2,4CA =-，()0,1,2EF =-，设直线1A C与EF 所成角为θ，则11cos CA EF CA EFθ⋅=⋅ ，所以直线1A C 与EF 所成角的余弦值为306.（2）因为()12,0,4CB =，()2,1,0CE =-uur，()2,2,2CF =-，设平面CEF 的法向量为(),,n x y z = ，则202220n CE x y n CF x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取()1,2,1n = ，所以点1B 到平面CEF 的距离166CB n d n ⋅= .19．(1){}13m m -<<11【分析】（1）把圆C 的方程化为标准式，建立不等式，解出即可；（2）先判断两圆相交，两圆方程相减，得到公共弦所在直线方程，利用勾股定理计算即可.【详解】（1）因为圆C 的方程为222422210x y x my m m +-++-+=化为标准方程为()()222232x y m m m -++=+-所以2320m m +->，解得13m -<<所以m 的取值范围为{}13m m -<<.（2）当1m =时，圆C 的方程为()()22214x y -++=，所以圆C 的圆心坐标()2,1C -，半径12r =,已知圆22:40O x y +-=，所以圆O 的圆心坐标O ()0,0，半径22r =,根据两点公式可得()()221220105O O =-+--又因为121204r r r r -=<+=，所以两圆相交，联立()()22222144x y x y ⎧-++=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减并化简可得其公共弦方程为4250x y --=，由点()2,1C -到直线4250x y --=的距离为：52d ，设弦长为l，则122l ==，所以l =所以圆22:40O x y +-=与圆C.20．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取PA 的中点M ，连接BM ，EM ，即可证明四边形BCEM 为平行四边形，从而得到//CE BM ，即可得证；（2）取AD 的中点O ，连接OP 、OB ，即可求出PB ，从而得到PO OB ⊥，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）取PA 的中点M ，连接BM ，EM ，E 为PD 的中点，//EM AD ∴，12EM AD BC ==，∴四边形BCEM 为平行四边形，//CE BM ∴．CE ⊄ 平面PAB ，BM⊂平面PAB ，//CE ∴平面PAB ．（2）取AD 的中点O ，连接OP 、OB ，易证四边形OBCD 为正方形，所以OB AD ⊥，OP AD ⊥，则1OA OD OB OP DC =====，所以2AB AP ==,又60PAB ∠=︒，所以APB △为等边三角形，所以2PB 222OB OP BP +=，所以PO OB ⊥，又OB OD O = ，,OB OD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，如图以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,0,1P ．所以()0,1,1PA =--，()1,1,0AB =，()1,0,1PB =-，()1,1,1PC =-，设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n PA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00y z x y --=⎧⎨+=⎩，取()1,1,1n =- ，设平面PBC 的一个法向量为(),,m a b c =，则00m PC m PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00a b c a c +-=⎧⎨-=⎩，取()1,0,1m = ，设平面PAB 与平面PBC 的夹角为α，则26cos 32m n m n α⋅===⋅⨯ ，所以平面PAB 与平面PBC 的夹角的余弦值为6.21．(1)证明见解析(2)11【分析】（1）利用等差数列的定义证明即可；（2）根据题意可得21kk b k =-+，利用分组求和求出12k b b b +++ 表达式，结合单调性解不等式即可.【详解】（1）由题意可知121n n n a a a +=-，所以()()()()()()111111111111111111211n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++------====-----++--++，所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1111a =-，公差为1的等差数列.（2）由（1）可知()11111n n c n n a ==+-⨯=-，所以集合{}*2,N kn k n k ≤≤∈中元素的个数为21kk -+，即21kk b k =-+，所以()()123123...222...2123...k k b b b b k k++++=++++-+++++()()122121112212222k k k k k k k+-+=-+=--+-，由指数函数的图象和性质可得210kk b k =-+>恒成立，所以12kb b b +++ 单调递增，因为1121012011221010200122b b b +-+++=-⨯+⨯= ，1121112111221111403922b b b +-+++=-⨯+⨯= ，所以使122024k b b b +++> 成立的最小正整数k 为11.22．(1)2214x y +=(2)11t AB t =±=>，2【分析】（1）设(),M x y ，00(,)P x y ，则()00,D y ，，依题意可得点P 是线段PM 的中点，则02xx =，0y y =，再由点P 在圆O 上，代入即可求出动点的轨迹方程；（2）首先判断1t ≥，求出1t =±时AB，当1t >时设切线l 的方程为()y k x t =-()1t >，由直线与圆相切求出2211k t =-，再联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，表示出弦长，再由基本不等式计算可得.【详解】（1）设(),M x y ，00(,)P x y ，则()00,D y ，因为2DM DP=，所以点P 是线段PM 的中点，得02xx =，0y y =，因为点P 在圆221x y +=上，所以22001x y +=，所以2214x y +=，所以，动点M 的轨迹C 的方程为2214x y +=.（2）当11t -<<时点(,0)T t 在圆内，此时过点(,0)T t 不能得到圆O 的切线，故弦AB 不存在，当1t =（1t =-）时切线方程为1x =（=1x -），对于2214x y +=，令1x =，解得2y =±，所以AB =当1t >时切线l 的斜率存在，设斜率为k ，则切线l 的方程为()y k x t =-()1t >，1=，所以2211k t =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，由()2214y k x t xy ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()22222148440k x tk x k t +-+-=，将2211k t =-代入得()223840t x tx +-+=所以248480t ∆=->，所以12283t x x t +=+，12243x x t =+，所以AB =，所以11t AB t =±=>，又当1t >时23AB t t ==+，当且仅当t =时取等号，所以max 2AB =.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.。
广州市数学高二上学期理数期末考试试卷D卷
广州市数学高二上学期理数期末考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2017高二下·莆田期末) 命题“∀m∈[0，1]，x+ ≥2”的否定形式是（）A . ∀m∈[0，1]，x+ ＜2B . ∃m∈[0，1]，x+ ≥2C . ∃m∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），x+ ≥2D . ∃m∈[0，1]，x+ ＜22. （1分） (2016高二下·普宁期中) 等差数列{an}的公差为2，若a2 ， a4 ， a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（）A . n（n+1）B . n（n﹣1）C .D .3. （1分）椭圆的右焦点到直线的距离是（）A .B .C . 1D .4. （1分） (2015高二上·余杭期末) 不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤2a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣2]B . （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C . [2，+∞）D . a∈R5. （1分）已知F1 ， F2是双曲线-=1（a，b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A . （1，+∞）B .C .D .6. （1分） (2018高二上·嘉兴期末) 如图，在三棱锥中，点D是棱AC的中点，若，，，则等于（）A .B .C .D .7. （1分） (2015高二上·抚顺期末) 已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3=S6 ，则数列的前5项和为（）A . 或5B . 或5C .D .8. （1分） (2018高二上·南阳月考) 已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是（）A .B .C . 6D .9. （1分）“且”是“为第三象限角”的（）A . 充要条件B . 必要不充分条件C . 充分不必要条件D . 既不充分也不必要条件10. （1分）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）A .B .C .D .11. （1分） (2015高一下·普宁期中) 若3a+4b=ab，a＞0且b＞0，则a+b的最小值是（）A .B .C .D .12. （1分）(2018·银川模拟) 已知分别双曲线的左右焦点，是抛物线与双曲线的一个交点，若，则抛物线的准线方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值是________．14. （1分） (2015高二上·仙游期末) 命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为________．15. （1分） (2016高二上·黑龙江期中) 抛物线y=4x2的焦点坐标是________．16. （1分）(2018高二下·沈阳期中) 如图，已知三棱锥，，，，、分别是棱、的中点，则直线与所成的角的余弦值为________．三、解答题 (共7题；共14分)17. （2分） (2015高三上·江西期末) 在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acosB，ccosC，bcosA成等差数列．（1）求角C的值；（2）求2sin2A+cos（A﹣B）的范围．18. （2分） (2015高二上·宝安期末) 设命题p：x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0，x∈R），命题q：﹣x2+5x﹣6≥0，x∈R．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19. （2分） (2019·恩施模拟) 在直角坐标系中，椭圆的方程为，左右焦点分别为，，为短轴的一个端点，且的面积为 .设过原点的直线与椭圆交于两点，为椭圆上异于的一点，且直线，的斜率都存在， .（1）求的值；（2）设为椭圆上位于轴上方的一点，且轴，、为曲线上不同于的两点，且，设直线与轴交于点，求的取值范围.20. （2分）如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB=AD=2，点G为AC的中点．（Ⅰ）求证：EG∥平面ABF；（Ⅱ）求三棱锥B﹣AEG的体积；（Ⅲ）试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由21. （2分）(2020·化州模拟) 已知椭圆E:过点(0,1)且离心率 .(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)设动直线l与两定直线l1:x﹣y=0和l2:x+y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆E有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.22. （2分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数）．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求x+2y的最小值．23. （2分） (2017高三下·新县开学考) 已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）解不等式：f（x+1）+f（x+2）＜4；（2）已知a＞2，求证：∀x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、答案：略2-1、答案：略3-1、答案：略4-1、答案：略5-1、答案：略6-1、7-1、答案：略8-1、答案：略9-1、答案：略10-1、答案：略11-1、答案：略12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共14分) 17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、答案：略18-2、答案：略19-1、答案：略19-2、答案：略21-1、22-1、23-1、答案：略23-2、答案：略第11 页共11 页。
2023-2024学年广东省广州市等三高二上册期末联考数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省广州市等三高二上册期末联考数学试题一、单选题1．命题“1x ∀>，都有21x >”的否定为（）A ．1x ∃<，使得21x <B ．1x ∀>，都有21x <C ．1x ∃>，使得21x ≤D ．1x ∃≤，使得21x ≤【正确答案】C【分析】根据全称量词命题的否定的知识求得正确答案.【详解】原命题的全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到是否定结论而不是否定条件，所以C 选项正确.故选：C2．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于实轴对称，13i z =+，则12z z =（）A ．10B ．9i --C ．9i -+D ．－10【正确答案】A【分析】由题意可得23i z =-，根据复数的乘法运算即可求解.【详解】因为复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于实轴对称，13i z =+，所以23i z =-，则()()123i 3i 9110z z =+-=+=.故选：A.3．直线l 过点()1,2P -，且倾斜角是直线230x y -+=的倾斜角的两倍，则直线l 的方程为（）A ．460x y --=B ．420x y +-=C ．4320x y ++=D ．43100x y --=【正确答案】C【分析】设直线230x y -+=的倾斜角为α，可得出tan 2α=，利用二倍角的正切公式可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出直线l 的方程，化为一般式即可.【详解】设直线230x y -+=的倾斜角为α，则tan 2α=，由题意可知，直线l 的斜率为22tan 4tan 21tan 3k ααα===--，因此，直线l 的方程为()4213y x +=--，即4320x y ++=.故选：C.本题考查直线方程的求解，涉及二倍角正切公式的应用，求出直线的斜率是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.4．某学生体重为kg m ，处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳膊的最大拉力大小均为N 3mg （重力加速度大小为g ），如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹角最大为（）A ．6πB ．π3C ．π2D ．2π3【正确答案】B【分析】设两只胳膊拉力最大时的夹角为,(0,π)θθ∈，根据力的平衡可得12||F F mg +=，结合向量的数量积的运算，即可求得答案.【详解】由题意，不妨设当该学生两只胳膊的拉力最大时，他两只胳膊的夹角最大为,(0,π)θθ∈，设此时两只胳膊的拉力为12,F F ,则12||||F F mg = N,则12||F F mg += ，即有2212||()F F mg += ，所以22212122()F F F F mg ++⋅=，即2222111()()2()cos ()333mg mg mg mg θ++⨯⨯⨯=，故1cos 2θ=，故π3θ=，故选：B5．如图，已知圆锥的母线长3SA =，一只蚂蚁从A 点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A的最短距离为）A ．1B ．2C 2D 3【正确答案】A【分析】根据蚂蚁从A 点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A 的最短距离，结合圆锥的侧面展开图，求出展开图扇形的圆心角，根据弧长与底面圆的周长建立方程，求出底面半径.【详解】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图一只蚂蚁从A 点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A 的最短距离为AA '，则33AA '=由3SA SA ='=,所以99271cos 2332ASA +-'∠==-⨯⨯，则23ASA π'∠=设底面半径为r ，扇形半径为3R =，则2233l R r αππ===⨯.所以1r =.故选：A.6．已知圆C ：222230x y mx m +-++=的一条切线过点()2,1P ，则实数m 的取值范围是（）A ．(],4∞-B ．()(),13,4-∞-⋃C ．()3,4D ．()(],13,4-∞- 【正确答案】D【分析】根据二元二次方程表示圆、P 点在圆C 外，列不等式来求得m 的取值范围.【详解】方程222230x y mx m +-++=表示圆，则()()224230m m -+>，()()223310m m m m --=-+>，解得1m <-或3m >.由于圆C 的一条切线过点()2,1P ，所以2221423820,4m m m m +-++=-≥≤，所以m 的取值范围是()(],13,4-∞- .故选：D7．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线l 交抛物线于M ，N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于点P.已知PFMN是一个定值，则该定值为（）A ．2B．2C ．14D ．12【正确答案】D【分析】设出直线l 的方程并与抛物线方程联立，求得,MN PF ，由此求得定值.【详解】,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()()1122,,,M x y N x y ，依题意可知直线l 的斜率存在，设其方程为()022p pk y k x kx k ⎛⎫=-=-≠ ⎪⎝⎭，由222pk y kx y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 并化简得()22222204p k k x k p p x -++=，则()212121222222,k p p p p x x p y y k x x p k k k ++==++=+-=，所以弦MN 的垂直平分线为2212pp p k y x k k ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪-=--⎢⎥⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令0y =解得232P p px k =+，所以22322p p p p PF p k k=+-=+，而12222pMN x x p p k=++=+，所以12PF MN =.故选：D8．已知数列{}n a 满足112222n n n a a a n -++⋅⋅⋅+=⋅，记数列{}n a tn -的前n 项和为n S ，若10n S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ．1211,1110⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1211,1110⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1110,109⎡⎤⎢⎣⎦D ．1110,109⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】利用退一作差法求得n a ，求得n S 的表达式，结合二次函数的性质求得t 的取值范围.【详解】由112222n n n a a a n -++⋅⋅⋅+=⋅，当1n =时，12a =，当2n ≥时，由112222n n n a a a n -++⋅⋅⋅+=⋅得()211212212n n n a a a n ---++⋅⋅⋅+=-⋅，两式相减并化简得()12n a n n =+≥，1a 也符合上式，所以1n a n =+，令()111n n b a tn n tn t n =-=+-=-+，()()()1111111n n b b t n t n t +-=-++--+=-⎡⎤⎣⎦为常数，所以数列{}n b 是等差数列，首项12b t =-，所以()221113222n t t n t tS n n n -+-+--=⨯=+，对称轴为332122tt n t t--=-=---，由于10n S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，所以10239.510.522t t t -⎧<⎪⎪⎨-⎪≤-≤⎪-⎩，解得12111110t ≤≤，所以t 的取值范围是1211,1110⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A与前n 项和有关的求通项的问题，可考虑利用“退一作差法”来进行求解，和11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩类似.求解等差数列前n 项和最值有关的问题，可结合二次函数的性质来进行求解.二、多选题9．已知空间向量()2,1,1a =-- ，()3,4,5b =.则下列结论正确的是（）A ．()3,1,8c =- 与a ，b共面B ．()2a b a+ //C ．a 在b上的投影向量的模长是2D ．a 与b夹角的余弦值为6-【正确答案】ACD【分析】对四个选项一一验证：对于A ：利用空间向量共面定理证明；对于B ：直接利用向量的共线定理判断；对于C ：直接求出a 在b 上的投影向量的模长，即可判断；对于D ：直接求出a 与b夹角的余弦值，即可判断.【详解】对于A ：因为空间向量()2,1,1a =-- ，()3,4,5b = ，()3,1,8c =- ，所以3c a b =+.所以c 与a ，b共面.故A 正确；对于B ：因为向量()2,1,1a =-- ，()3,4,5b = ，所以()21,2,7a b +=- .因为127211-≠≠--，所以()2a b a + //不成立.故B 错误；对于C ：a 在b上的投影向量的模长为cos 2a b a b θ⋅= .故C 正确；对于D ：a 与b夹角的余弦值为cos ,a b a b a b⋅==-⨯故D 正确.故选:ACD10．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，下列说法正确的是（）A ．若对2n ∀≥，*n ∈N ，有112n n n a a a -+=+，则数列{}n a 一定是等差数列B ．若对2n ∀≥，*n ∈N ，有211n n n a a a -+=⋅，则数列{}n a 一定是等比数列C ．已知()2,n S pn qn p q =+∈R ，则{}n a 一定是等差数列D ．已知()10nn S a a =-≠，则{}n a 一定是等比数列【正确答案】AC【分析】利用等差，等比数列的定义和性质，以及等差，等比数列的前n 项和的形式，可逐一判断.【详解】由()1122n n n a a a n -+=+≥和等差中项的性质，可得数列{}n a 是等差数列，即A 正确；当0n a ≠时，由()2112n n n a a a n -+=⋅≥和等比中项的性质，可得数列{}n a 是等比数列，即B 不正确；由等差数列前n 项和()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，得n S 可看成n 的二次函数，且不含常数项，则C 正确；由等比数列前n 项和()10nn S a a =-≠，若1a =，则0n S =，所以0n a =，则此时数列{}n a 不是等比数列，则D 错.故选：AC11．PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一，如图是某地12月1日至10日的PM2.5日均值（单位：3μg /m ）变化的折线图，则（）A ．这10日PM2.5日均值的80%分位数为60B ．前5日PM2.5日均值的极差小于后5日PM2.5日均值的极差C ．前5日PM2.5日均值的方差大于后5日PM2.5日均值的方差D ．这10日PM2.5日均值的中位数为43【正确答案】BD【分析】根据百分位数、极差、方差、中位数等知识确定正确答案.【详解】这10个数据从小到大排列是.30,32,34,40,41,45,48,60,78,80A 选项，100.88⨯=，所以这10日PM2.5日均值的80%分位数为6078692+=，A 选项错误.B 选项，前5日PM2.5日均值的极差为413011-=，后5日PM2.5日均值的极差为804535-=，B 选项正确.C 选项，通过观察可知，前5日PM2.5日均值的波动程度小于后5日PM2.5日均值的波动程度，所以前5日PM2.5日均值的方差小于后5日PM2.5日均值的方差，C 选项错误.D 选项，中位数是4145432+=，D 选项正确.故选：BD12．已知F 为椭圆C ：22142x y +=的左焦点，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则（）A ．14AF BF +的最小值为94B ．直线BE 的斜率为2kC ．ABE 面积的最大值为2D ．0PA AB ⋅= 【正确答案】ABD【分析】先由椭圆与过原点直线的对称性知，4AF BF +=，再利用1的代换、利用基本不等式可判断A ；由对称性，可设()00,A x y ，则()00,B x y --，()0,0E x ，则可得直线BE 的斜率与k 的关系可判断B ；由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k 的函数关系式，再求函数最值可判断C ；先由A 、B 对称且与点P 均在椭圆上，可得2212PA PBb k k a ⋅=-=-，又由C 项可知12PB BE k k k ==，得1PA AB k k ⋅=-，即90PAB ∠=︒，可判断D.【详解】对于A ，设椭圆C 的右焦点为F '，连接AF '，BF '，则四边形AF BF '为平行四边形，AF BF ∴+24AF AF a '=+==，()414114195444BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2BF AF =时等号成立，故A 正确；对于B ，设()00,A x y ，则()00,B x y --，()0,0E x ，故直线BE 的斜率000012BE y k x x +==⋅+0012yk x =，故B 正确；对于C ，由22142x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩得x =，A B y y ∴-=ABE ∴的面积241412122A A B k S x y y k k k=-==≤++当且仅当2k =±时等号成立，故C 错误；对于D ，设(),P m n ，直线PA 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ，则PA PBk k ⋅=2200022000n y n y n y m x m x m x -+-⋅=-+-，又点P 和点A 在椭圆C 上，22142m n ∴+=①，2200142x y +=②，①-②得22022012n y m x -=--，易知12PB BE k k k ==，则1122PA k k ⋅=-，得1PA k k =-，11PA AB k k k k ⎛⎫∴⋅=-⋅=- ⎪⎝⎭，90PAB ∴∠=︒，即0PA AB ⋅= ，故D 正确.故选:ABD.三、填空题13．已知()f x =()f x 的定义域为______.【正确答案】3,14⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据偶次根式及对数有意义即可求解.【详解】由题意可知，要使()f x =()0.5430log 430x x ->⎧⎨-≥⎩，解得34314x x ⎧>⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩，即314x <≤.所以函数()f x 的定义域为3,14⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为.3,14⎛⎤⎥⎝⎦14．已知抛物线()220y px p =>的焦点到准线l 的距离为4，若l 与双曲线C ：()22210,02x y a b b-=>>的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线C 的离心率为________.【分析】先求得p 然后根据三角形的面积求得b ，进而求得双曲线的离心率.【详解】由于抛物线()220y px p =>的焦点到准线l 的距离为4，所以4p =，所以直线l 的方程为2x =-，双曲线C 的一条渐近线方程为y x =，令2x=-得y =，所以l与双曲线两条渐近线所围成的三角形面积为()12212b ⨯⨯===，所以c =，所以双曲线的离心率为2c e a ==.15．设一个平面内有n 条直线(),3n n ∈≥N ，其中任意两条直线都不平行，且任意三条直线都不经过同一点.记这n 条直线将该平面分割成了n a 个部分，则n a =________.（用含n 的代数式表示）【正确答案】222n n ++【分析】先列举得到数列{}n a 前三项的值，然后由第()2n n ≥条直线被前n 1-条直线分割成n 段，每一段将它所在的原区域一分为二，得到()12n n a a n n --=≥，再利用累加法求解.【详解】12432,4,7,11====a a a a ，…，因为第()2n n ≥条直线与前n 1-条直线都相交且不共点，所以它被前n 1-条直线分割成n 段，每一段将它所在的原区域一分为二，即在原区域上增加了n 个，故()12n n a a n n --=≥，所以()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-，2234n =+++++ ()()1222-+=+n n 222++=n n .故答案为:222n n ++.16．已知矩形ABCD 中3AB =，AD =，现将ACD 沿对角线AC 向上翻折（如图所示），若在翻折过程中，点D 到点B 的距离在22⎤⎢⎥⎣⎦内变化时，点D 的运动轨迹的长度等于________.【正确答案】π4【分析】根据已知，可知点D 的运动轨迹是圆弧，做辅助线，将BD 的长度的变化范围转化为二面角D AC B --的变化范围，再由弧长公式计算即得.【详解】如图所示：在矩形ABCD 中，过点D 作DF AC ⊥交AC 于点F ，交AB 于点G ，过点B 作BE DF ⊥交DF 于点E ，故点D 的运动轨迹是以F 为圆心，以DF 为半径的圆弧，DFE ∠为二面角D AC B --的平面角.∵3AB =，AD =，32AD DC DF AC ⨯∴==，π,3ACB CF ∠==，3sin 2EF ACB BC =∠⨯=，1cos 2BE CF ACB BC =-∠⨯-翻折后BE DF ⊥，BE EF ⊥，,,DF EF F DF EF ⋂=⊂平面DFE ，BE ∴⊥平面DFE .∵DE ⊂平面DFE ,BE DE ∴⊥.当2BD =时，32DE ===，故DEF 是等边三角形，所以π3DFE ∠=.当2BD =时，2DE ===，因为3,22EF DF DE ===,所以222EF DF DE +=,所以π2DFE ∠=.则点D 的运动圆弧所对应的圆心角为πππ236-=.故点D 的运动轨迹的长度是π3π624r α=⨯=.故答案为:π4.四、解答题17．在①sinsin 2Ab a B π-=()sin 2cos B b A =-这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，__________.(1)求角A 的大小；(2)已知2,8AB AC ==，若,BC AC 边上的两条中线,AM BN 相交于点P ，求MPN ∠的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】(1)3A π=；【分析】（1）若选①，由诱导公式及正弦定理得cossin 2AA =，结合倍角公式即可求得1sin22A =2cos A A =-，结合辅助角公式得sin()16A π+=，即可求解；（2）建立平面直角坐标系，求出,AM BN，由cos cos ,MPN AM BN ∠=uuu r uuu r 结合向量夹角公式即可求解.【详解】（1）若选①，sin cos sin 222A A b b a B π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，由正弦定理得sin cos sin sin 2A B A B =，又sin 0B >，则cossin 2sin cos 222A A A A ==，又cos 02A >，即1sin 22A =，又()0,A π∈，则3A π=；()sin sin 2cos A B B A =-，又sin 0B >2cos A A =-，cos 2sin()26A A A π+=+=，则sin()16A π+=，又()0,A π∈，则3A π=；（2）以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，过A 点垂直于AC 的直线为y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，易得(8,0)C ，由3A π=可得B，则9((4,0)2M N，则(9(3,2AM BN ==- ，则932cos cos ,AM BN MPN AM BN AM BN ⨯-⋅∠===uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .18．如图所示，用4个电子元件组成一个电路系统，有两种连接方案可供选择，当且仅当从A 到B 的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性.这4个电子元件中，每个元件正常工作的概率均为()01p p <<，且能否正常工作相互独立，当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路.(1)求方案①中从A 到C 的电路为通路的概率P .（用p 表示）；(2)分别求出按方案①和方案②建立的电路系统正常工作的概率1P 、2P （用p 表示）；比较1P 与2P 的大小，并说明哪种连接方案更稳定可靠.【正确答案】(1)(2)p p -；(2)221(2)P p p =-，222(2)P p p =-；12P P >，按方案①的连接方案更稳定可靠.【分析】(1)根据给定条件利用对立事件和相互独立事件的概率公式列式计算作答.(2)利用对立事件和相互独立事件的概率公式列式计算出1P 、2P ，再作差比较大小作答.【详解】（1）方案①中，从A 到C 的电路为通路即是两个电子元件至少一个正常工作，当电子元件都不正常时，即从A 到C 的电路不通的概率为2(1)p -，所以从A 到C 的电路为通路的概率21(1)(2)P p p p =--=-.（2）方案①中，由(1)知，从C 到B 的电路为通路的概率为(2)p p -，从A 到B 的电路系统正常工作必须是从A 到C 的电路和从C 到B 的电路都为通路，于是得2221[(2)](2)P p p p p =-=-，方案②中，每一个支路中的两个电子元件都正常工作，该支路即为通路，其概率为2p ，由(1)知，从A 到B 的电路系统正常工作的概率为222221(1)(2)P p p p =--=-，而01p <<，则222222221213(2)(2)2(1)2[()024P P p p p p p p p p p -=---=-+=-+>，即12P P >，所以按方案①的连接方案更稳定可靠.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，13n S +是6与2n S 的等差中项()N n *∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)是否存在正整数k ，使不等式()()21N nn n k a S n *-<∈恒成立，若存在，求出k 的最大值；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)*11,(N )3n n a n -=∈(2)存在，11【分析】（1）法一：根据13n S +是6与2n S 的等差中项，利用等差中项得113nn S S +=+，由,n n a S 关系得113n n a a +=，从而可得数列通项.法二：根据13n S +是6与2n S 的等差中项，利用等差中项得113nn S S +=+，根据该式的结构特征，利用构造法，可构造出等比数列3{}2n S -，从而求得n S ，进而利用,n n a S 关系得到数列的通项.（2）根据（1）知数列是等比数列，所以可以得到其前n 项和;代入2*(1)(N )n n n k a S n -<∈化简，n 为奇数时恒成立，n 为偶数时将其转化为二次函数在固定区间恒成立问题，利用单调性可判断是否存在这样的正整数k .【详解】（1）法一：因为13n S +是6与2n S 的等差中项，所以1626n n S S ++=（*N n ∈），即113n n S S +=+，（*N n ∈）①，当2n ≥时有113n n SS -=+②，①-②得：111()3n n n n S S S S +--=-，即113n n a a +=对2n ≥都成立，又根据①有21113S S =+，即121113a a a +=+，所以2113=a a ，所以*11,(N )3n n a n -=∈.所以数列{}n a 是首项为1,公比为13的等比数列.法二：因为13n S +是6与2n S 的等差中项，所以1626n n S S ++=（*N n ∈），即113nn S S +=+，（*N n ∈），由此得1313()232n n S S +-=-（*N n ∈），又11331222S a -=-=-，所以数列3{}2n S -是以12-为首项，13为公比的等比数列，得1311(223n n S --=-⋅，即1311(223n n S -=-⋅（*N n ∈），所以，当2n ≥时，12113113111[(][()]()2232233n n n n n n a S S ----=-=-⋅--⋅=，又1n =时11a =也适合上式，所以*11,(N )3n n a n -=∈.（2）根据（1）的结论知：数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，所以其前n 项和为111(323n n S -=-（*N n ∈），原问题等价于()221111((33231n n n k ---<-（*N n ∈）①恒成立.当n 为奇数时，①左边恒为负，右边恒为正，所以对任意正整数k 不等式恒成立；当n 为偶数时，①等价于()2111123033n n k --⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，令113n t -⎛⎫= ⎪⎝⎭，有103t <<，则①等价于2230kt t +-<在103t <<恒成立，因为k 为正整数，二次函数223y kt t =+-的对称轴显然在y 轴左侧，当103t <<时二次函数为增函数，故只须21123033k ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，解得012k <<，*k ∈N ，所以存在符合要求的正整数k ，且其最大值为11.20．已知圆M ：()2224x y -+=，点()()1,R P t t -∈.(1)若0=t ，求以P 为圆心且与圆M 相切的圆的方程；(2)若过点P 的两条直线被圆M 截得的弦长均为且与y 轴分别交于点S 、T ，34ST =，求t 的值.【正确答案】(1)()2211x y ++=或()22125x y ++=(2)1t =或1t =-【分析】（1）由题意，可设圆P 的方程为()2221x y r ++=，判断出点P 在圆外，则圆P 与圆M 外切或内切，分类讨论两圆内切与外切两种情况，列方程求解r ，从而可得圆P 的方程；（2）先排除过点P 与x 轴垂直的情况，从而设过点P 的直线方程为()1y t k x -=+，再根据圆的弦长公式建立方程并化简可得228610k tk t ++-=，结合根与系数的关系以及34ST =，从而可得t 的方程，解方程即可得解.【详解】（1）当0=t 时，()1,0P -，设圆P 的方程为()2221x y r ++=，因为()2212094--+=>，所以点P 在圆外，所以圆P 与圆M 外切或内切，又()2,0M ，圆M 的半径为2，当两圆外切时：()221PM r =+=--，可得1r =；当两圆内切时：()221PM r =-=--，可得=5r ；所以以P 为圆心且与圆M 相切的圆的方程为()2211x y ++=或()22125x y ++=.（2）若过点()1,P t -的直线与x 轴垂直时，直线方程为=1x -，圆心M 到直线=1x -的距离为3，直线与圆相离，不满意题意；设过点P 的直线方程为()1y t k x -=+，即0kx y k t -++=，1==，化简得228610k tk t ++-=，设直线PS 、PT 的斜率分别为12,k k ，则122123418t k k t k k ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，且()222363214320t t t ∆=--=+>，对过点P 的直线()1y t k x -=+，令0x =，得y k t =+，()()120,,0,S k t T k t ∴++，12344ST k k ∴=-===，解得1t =±，所以1t =±.方法点睛：解决直线与圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、圆的条件；（2）强化利用几何法求解圆的弦长，代入公式l =算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率等问题．21．如图，已知正三棱锥-P ABC 的侧面是直角三角形，AB =D 是底面ABC 的中心，点E ∈平面PAB ，且DE ⊥平面PAB ，直线PE 交AB 于点G .(1)证明：G 是AB 的中点；(2)若EF ⊥平面PBC ，且垂足为点F ，请找出点F 的位置，并求出二面角D FC B --的正弦值.【正确答案】(1)证明详见解析(2)点F 在PB 上，且2PF =，二面角D FC B --的正弦值为11【分析】（1）通过证明AB PG ⊥来证得G 是AB 的中点.（2）通过线面垂直以及线线平行等知识确定F 点的位置，建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角D FC B --的余弦值并转化为正弦值.【详解】（1）由于点D 是正三棱锥-P ABC 底面ABC 的中心，所以PD ⊥平面ABC ，由于AB ⊂平面ABC ，所以PD AB ⊥，由于DE ⊥平面PAB ，,AB PG ⊂平面PAB ，所以,DE AB DE PG ⊥⊥，由于,,DE PD D DE PD =⊂ 平面PDE ，所以AB ⊥平面PDE ，由于PG ⊂平面PDE ，所以AB PG ⊥，由于PA PB =，所以G 是AB 的中点.（2）由（1）可知,,C D G 三点共线，由于,,,,PA PB PA PC PB PC P PB PC ⊥⊥⋂=⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC ，过E 作//EF PA ，交PB 于F ，则EF PB ⊥且EF ⊥平面PBC ，由于三角形PAB 是等腰直角三角形，AB PG ⊥，所以π4EPF ∠=，12PG AB ==1133DG CG PD=⨯=⨯==，所以11222DE DE⨯==，所以PE=πcos24PF==，故点F在PB上，且2PF=，连接,DF FC，依题意可知,,PA PB PC两两相互垂直，以,,PB PC PA分别为,,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系，()()()()2,0,0,0,6,0,0,0,6,6,0,0F C A B，由于D是正三角形ABC的中心，所以()2,2,2D.()()0,2,2,2,6,0DF FC=--=-，设平面DFC的法向量为(),,n x y z=，则220260n DF y zn FC x y⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，故可设()3,1,1n=--.平面BFC的一个法向量为()0,0,1m=，设二面角D FC B--为θ，则cosm nm nθ⋅=⋅sinθ=22．已知双曲线C:22221(0,0)x y a ba b-=>>的左右顶点分别是12A A、且经过点(M，双曲线的右焦点2F，不与坐标轴平行的直线l与双曲线交于P、Q两点（异于12A A、），P关于原点O的对称点为S.（1）求双曲线C的标准方程;（2）若直线1A S 与直线2A Q 相交于点T ，直线OT 与直线PQ 相交于点R ，证明：在双曲线上存在定点E ，使得RME 的面积为定值，并求出该定值.【正确答案】（1）22142x y -=；（2）存在(4,E，定值为.【分析】（1）根据题意建立关系求出,a b 即可得出方程；（2）设出直线方程，与双曲线联立，得出韦达定理，利用韦达定理表示出直线OT 的斜率，即可得出点R 在定直线2x =-上，即可求解.【详解】（1）设双曲线的右焦点2(,0)F c ，一条渐近线为0ay bx +=，则由题可得221661a b b ⎧-=⎪⎨⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以双曲线的标准方程为22142x y -=；（2）设()()()()11221100,,,,,,,P x y Q x y S x y T x y --，设直线:,(0)l y kx m k =+≠，联立直线与双曲线22142x y y kx m⎧-=⎪⎨⎪=+⎩可得()()222124240,2k x kmx m k ---+=≠±，由0∆>可得2242m k >-，所以0m ≠，则()22212121212222224424,,,12121212m km m m k x x x x y y y y k k k k -+-+==+==----，12212812kx y x y k -+=-，由题12(2,0),(2,0)A A -，由1,,T S A 三点共线可得010122y y x x -=+-+，即010122x x y y +-=，由2,,T Q A 三点共线可得020222y y x x =--，即020222x x y y --=，相加可得()12211201201212222242x y x y y y x x x y y y y y k m+-+--=+==-，所以直线00:22y k my x x O x T -==，联立直线,OT PQ 可得22k m y x y kx m-⎧=⎪⎨⎪=+⎩可得2x =-，因此点R 在定直线2x =-上，则使得RME 的面积为定值的点E 一定为过点M 且与直线2x =-平行的直线与双曲线的交点，此时(4,E，则162RME S =⨯=△.方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.。
2022-2023学年广东省广州市高二上学期期末数学质量检测试卷(含解析)
2022-2023学年广东省广州市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．已知集合{}{}3,2,1,0,1,13,Z A B x x n n =---==-∈，则A B = （）A ．{}3,1--B ．{}2,1-C ．{}3,1,1--D ．{}2,0-【正确答案】B【分析】先利用整数集Z 的概念与列举法得到集合B ，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为{}{}{}3,2,1,0,1,13,Z ,5,2,1,4,A B x x n n =---==-∈=-- ，所以{}2,1A B ⋂=-.故选：B.2．下列各代数式中，最小值为2的是（）A ．1x x+B ．221x x +C 2D ．142x x+-【正确答案】B【分析】对选项逐个用基本不等式处理，但是要满足基本不等式成立的条件“一正二定三相等”.【详解】对于A 不能保证0x >，故A 错误；对于B 由基本不等式得2212x x +≥=（当且仅当221x x =即1x =±时取""=），故B 正确；对于C 22=≥=≠，所以无法取得最小值，故C 错误；对于D 不能保证0x >，故D 错误.故选：B3．奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()132xf x =+，则()2023f =（）A ．72-B ．32C ．72D ．552【正确答案】A【分析】由()(4)f x f x =+，可得到函数()f x 的周期是4，利用函数的周期性和奇偶性，将()2023f转化为()1f -，代入函数解析式求解即可.【详解】解：已知奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，()f x ∴是以4为周期的奇函数，又当()0,2x ∈时，()132xf x =+，()()()()1172023311322f f f f ⎛⎫∴==-=-=-+=- ⎪⎝⎭，故选：A.4．设0.311531log 3,log 5,()5a b c ===，则（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．b c a<<D ．b a c<<【正确答案】D【分析】分别求出,,a b c 的范围，再比较大小.【详解】根据对数换底公式可知，1555log 3log 3log 51a ==->-=-，所以10a -<<，1333log 5log 5log 31b ==-<-=-，所以1b <-，0.3105c ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以b a c <<.故选：D5．若()0,πa ∈，22sin cos 5a a +=，则tan a =（）A ．35-B ．45-C ．34-D ．14-【正确答案】C【分析】根据同角三角函数的平方关系先求出4cos 5α=-，3sin 5α=，然后再利用商的关系即可求解.【详解】因为22sin cos 5a a +=，所以22sin cos 5a a =-，又因为22sin cos 1αα+=，所以221cos (cos 152αα-+=，解得：4cos 5α=-或24cos 25α=，则3sin 5α=或7sin 25α=-，因为()0,πa ∈，所以4cos 5α=-，3sin 5α=，则3tan 4α=-，故选.C6．若样本数据122018,,,x x x 的标准差为3，则数据12201841,41,,41x x x --- 的方差为（）A ．11B ．12C ．143D ．144【正确答案】D【分析】根据数据方差公式()()2D aX b a D X +=求解即可.【详解】因为样本数据122018,,, x x x 的标准差为3，所以方差为9，所以数据12201841,41,,41--- x x x 的方差为249144⨯=.故选：D.7．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且()23P A a =-，()122P B a =-，则实数a 的取值范围是（）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】D【分析】根据互斥事件的知识列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】由于,A B 互斥，且,A B 发生的概率均不为0，所以0231102121023212a a a a ⎧⎪<-<⎪⎪<-<⎨⎪⎪<-+-≤⎪⎩，解得1223a ≤<，所以a 的取值范围是12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D8．等差数列{}n a ，{}n b 前n 项和分别为n S 与n T ，且(32)(21)n n n T n S +=+，则537b b a +=（）A ．3041B ．3043C ．1823D ．1846【正确答案】A【分析】根据等差数列前n 项和的特点，由已知设出,n n S T ，分别求出其通项公式,n n a b ，代入537b b a +计算可得答案.【详解】设等差数列{}n a ，{}n b 的首项和公差分别为1112,,,a d b d ，则120,0d d ≠≠，因为(32)(21)n n n T n S +=+，由等差数列前n 项和的特点，故可设(32),(21)n n S An n T An n =+=+，其中A 为非零常数，由2(32)32n S An n An An =+=+，当1n =时，115a S A ==，当2n ≥时，()()()2213231216n n n a S S An An A n A n An A -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦，当1n =时上式仍旧适合，故6n a An A =-，同理可得，当(21)n T An n =+时，4n b An A =-，所以53720123030424141b b A A A A A a A A A +-+-===-.故选：A.二、多选题9．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，且,,,,22ED AD ED CD FB AB FB BC AB ED FB ⊥⊥⊥⊥===，则（）A ．三棱锥F ABC -的体积为23B ．EM ⊥平面AFC C ．三棱锥F ACE -的体积为2D ．EF ⊥平面AFC【正确答案】ABC【分析】根据题意建立如图空间直角坐标系，利用三棱锥的体积公式直接计算即可判断A ；利用空间向量证明空间中的位置关系即可判断BD ；利用空间向量法求出平面ACE 的法向量，进而求出点F 到平面ACE 的距离，结合三棱锥的体积公式计算即可判断C.【详解】由,,,BF AB BF BC AB BC B AB BC ⊥⊥=⊂ 、平面ABC ，得BF ⊥平面ABC ，由题意知，,,DA DC DA DE DC DE ⊥⊥⊥，建立如图空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,1),(1,1,0)D A C E F M ，得(2,2,0),(2,0,2),(0,2,1),(1,1,2)AC AE AF EM =-=-==- ，(2,2,1),(2,0,1)EF FC =-=-- ，对A ：11122213323F ABC ABC V S BF -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，故A 正确；对B ：由0,0EM AF EM FC ⋅=⋅=，得,EM AF EM FC ⊥⊥，又,AF FC F AF FC =⊂ 、平面AFC ，所以EM ⊥平面AFC ，故B 正确；对C：由AC AE CE ===1602ACE S ︒=⨯= .设平面ACE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则220220n AC x y n AE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x =，得1,1y z ==，所以(1,1,1)n = ，故点F 到平面ACE的距离为AF nd n⋅=所以11233F ACE ACE V S d -=⋅=⨯= ，故C 正确；对D ：由3,0,3EF AF EF AC EF FC ⋅=⋅=⋅=-，得EF ⊥平面AFC 不成立，故D 错误.故选：ABC.10．如图，P 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n-=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论不正确的是（）A ．12,PF m a PF m a=+=-B ．若60θ=︒，则2221314e e +=C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2b nθ=【正确答案】ACD【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断A ；由余弦定理计算判断B ，C ；由余弦定理、二倍角的余弦计算判断D 作答.【详解】依题意，121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得12,PF a m PF a m =+=-，A 不正确；令12||2F F c =，由余弦定理得：22222222212122212||||||()()42cos 2||||2()()PF PF F F a m a m c a m c PF PF a m a m a m θ+-++--+-==+--，当60θ=︒时，22234a m c +=，即22()3()4a m c c+=，因此2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2222a m c +=，即22()()2a m c c+=，有2212112e e +=，而221201e e <<<，则有22222222121122()22e e e e e e +<+=，解得22122e e >+，C 不正确；22222222222222222221()2()()cos ()()1()n a m c a c c m b n b n a m a c c m b n bθ-+-----====--+-++，22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222θθθθθθθθθ--=-==++，于是得22221()1tan 21tan 1()2n b n bθθ--=++，解得22tan()2n b θ=，而tan 0,02n b θ>>，因此tan 2nbθ=，D 不正确.故选：ACD 三、填空题11．若复数z 满足i i z z +=⋅（i 为虚数单位），则z =__________．【正确答案】2【分析】根据复数的除法运算求出z ，再求模即可得解.【详解】∵i i z z +=⋅，∴()1i i z -=-，即()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -+-===---+，∴z =故2．12．若直线120kx y k -+-=与圆229x y +=分别交于M 、N 两点.则弦MN 长的最小值为___________.【正确答案】4【分析】分析直线过定点，再由勾股定理即可求解.【详解】由圆229x y +=可得圆心()0,0O ，半径为3，直线120kx y k -+-=，即()210k x y --+=，直线过定点P (2,1)，又因为22219+<，所以点在圆的内部，当圆心到直线MN 距离最大时，弦长MN 最小，此时OP MN ⊥，此时4MN ===，故4.13．把函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数()πsin 4g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【正确答案】12##0.5【分析】利用反推法与三角函数图像变换得到()f x 的解析式，再计算π6f ⎛⎫⎪⎝⎭即可.【详解】由题可知，要得到()f x ，需将()πsin 4g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，向左平移π3个单位长度，得到πππsin sin 3412y x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到()1πsin 212f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以1πs 2i 1n πππsin 212666f ⎛⎫⨯+⎛⎫== ⎪⎝⎭= ⎪⎝⎭.故答案为.1214．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右顶点分别为12,A A ，点M 在直线x c =上运动，若12A MA ∠的最大值为60 ，则双曲线C 的离心率为__________.【正确答案】233##233【分析】根据题意结合两角差的正切公式整理可得12222tan ac a m A mMA ∠=-+，利用基本不等式求其最大值，即可得223a c a=-，运算求解即可.【详解】设双曲线的右焦点为F ，MF m =，则12212,tan tan MA A MA MF MF m mF A F c a A F c a∠∠====+-，由题意可得：()21212212212tan tan tan tan 1tan tan MA MA A A MA MA MA A MA M F A F A F ∠∠∠∠∠∠∠-==+-22222221m mam ac a c a m m c a m c a m c a c a m--+===-+-+⨯+-+，∵22222222c a c a m m c a m m--+≥⨯=-，当且仅当22c a m m -=，即22m c a b =-=时等号成立，∴1222n 3ta A MA a c a∠≤=-，整理可得：2243a c =，故22243c e a ==，即233e =.故答案为.233四、解答题15．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos sin C cB b=.(1)求角C 的大小；(2)点D 为边AC 的中点，2BD =，设,BC x CD y ==，求BCD △面积的最大值.【正确答案】(1)π3C =3【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到tan 3C =，从而求得角C ；（2）利用余弦定理与基本不等式求得4xy ≤，从而利用三角形面积公式即可求得BCD △面积的最大值.【详解】（13cos sin C cB b=，所以由正弦定理得3cos sin sin sin C CB B =3cos sin C C =，故tan 3C =，又0πC <<，所以π3C =.（2）在BCD △中，,,2BC x CD y BD ===，所以由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅⋅，即224x y xy =+-，又2242x y xy xy xy xy =+-≥-=，当且仅当2x y ==时，等号成立，则4xy ≤，所以13sin 324BCD S xy C xy =⋅ 2x y ==，故BCD △316．已知数列{}n a 满足{}131152，，n n a a a a +==-是公差为1的等差数列.(1)证明：{}n a n +是等比数列；(2)求{}n a 的前n 项和n S .【正确答案】(1)答案见解析(2)21422n n n n S +++=-，N n *∈.【分析】对于（1），证明11n n a n a n+++=+常数即可；对于（2），由（1）可知2nn a n =-，后可求得n S .【详解】（1）根据题意有2132212a a a a -+=-，即2222152,2a a a -+=-=，所以()1212211n n a a a a n n +-=-+-=-，故()112n n a n a n +++=+，所以{}n a n +是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）可知，()11122n n n a n a -+=+⨯=，所以2nn a n =-，所以()()222212n n n S =+++-+++ ()1212212n n n +-=⋅--.()2111422222n n n n n n +++++=--=-，其中N n *∈.17．四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，PA AB =，平面PAB ⊥平面PBC .(1)证明：AB ⊥BC ；(2)设M 为PC 上的点，求PC 与平面ABM 所成角的正弦值的最大值.【正确答案】(1)证明过程见解析【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直证明出线面垂直，得到AE ⊥BC ，结合PA ⊥BC ，得到线面垂直，证明出BC ⊥平面PAB ，AB ⊥BC ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值的最大值.【详解】（1）如图，过点A 作AE ⊥PB 于点E ，因为平面PAB ⊥平面PBC ，交线为PB ，且AE ⊂平面PAB ，所以AE ⊥平面PBC ，因为BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥BC ，因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BC ，因为PA AE A = ，,PA AE ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，因为AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥AB；（2）因为底面ABCD 是菱形，且BC ⊥AB ，所以四边形ABCD 为正方形，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB =1，则()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1A B C P ，()()1,0,0,1,1,1AB CP ==-- ，设CM CP λ= ，01λ≤≤，则()()()1,1,01,1,11,1,AM AC CM AC CP λλλλλ=+=+=+--=-- ，设平面ABM 的法向量为(),,n x y z = ，则()()()()()(),,1,0,00,,1,1,110n AB x y z x n AM x y z x y z λλλλλλ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅--=-+-+=⎪⎩，解得：0x =，不妨令y λ=，则1z λ=-，故()0,,1n λλ=- ，设PC 与平面ABM 所成角大小为θ，则sin cos ,CP n n CP n θ⋅===⋅，=当12λ=时，sinθ=sin 3θ=，所以PC 与平面ABM 所成角的正弦值的最大值为3.18．已知动圆P 的圆心P 在y 轴的右侧，圆P 与y 轴相切且与圆C ：222x y x +=外切.(1)求动圆圆心P 的轨迹E 方程；(2)过圆心C 作直线l 与轨迹E 和圆C 交于四个点，自上而下依次为,,,A M N B ，若AM MN NB ，，成等差数列，求直线l 的方程；【正确答案】(1)24(0)y x x =>(2)y =或y =+【分析】（1）根据相切和外切得到圆心P 到直线=1x -的距离等于圆心到()1,0C 的距离，轨迹为抛物线，计算得到答案.（2）确定2MN =得到6AB =，设出直线，联立方程，得到根与系数的关系，根据弦长公式计算即可.【详解】（1）设动圆P 的半径为r ，圆C ：()2211x y -+=，圆心为()1,0C ，半径为1，则1PC r =+，又圆心P 到y 轴的距离为r ，则圆心P 到直线=1x -的距离为1r +，由抛物线的定义得圆心P 的轨迹E 方程为抛物线，且12p =，2p =，故轨迹方程为：24(0)y x x =>（2）由圆C 的半径为1可得2MN =，AM MN NB ，，成等差数列，故24AM NB MN +==，又AM NB AB MN +=-，6AB =，设直线:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立214x my y x =+⎧⎨=⎩，2440y my --=，121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，6AB ===，解得212m =，2m =±，此时0∆>成立，所以直线l的方程为1x y =+，即y =y =。
广东省广州市六区2022-2023学年高二上学期期末数学试题(答案版)
2022学年第一学期期末教学质量监测高二数学（试题）一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线10y ++=的倾斜角是A.6π B.3πC.23π D.56π【答案】C 【解析】【分析】求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角.10y ++=的斜率为31k =-=，因此，该直线的倾斜角为23π，故选C.【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.2.准线方程为2x =的抛物线的标准方程为（）A.24y x =- B.28y x=- C.24y x= D.28y x=【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得，抛物线28y x =-，可得4p =，且开口向左，其准线方程为2x =.故选B ．考点：抛物线的几何性质．3.双曲线2212x y -=的离心率是（）A.32B.2C.32D.22【答案】B 【解析】【分析】由双曲线的方程知22,a b 再由222c a b =+求得2c ，即可求得双曲线的离心率.【详解】由双曲线2212x y -=知，222,1a b ==则2223c a b =+=，则离心率62c e a ===.故选：B4.经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且垂直于直线3240x y -+=的直线的方程是（）A.23130x y +-=B.23120x y +-=C.230x y -=D.2350x y --=【答案】B 【解析】【分析】联立方程计算交点为()3,2，根据直线垂直得到23k =-，得到直线方程.【详解】280210x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，故直线交点为()3,2，直线3240x y -+=的斜率132k =，故垂直于它的直线斜率23k =-，故所求直线方程为()2323y x =--+，整理得到23120x y +-=.故选：B5.在三棱柱11ABC A B C -中，M ，N 分别为11A C ，1B B 的中点，若1MN xAB y AC z AA =++则(),,x y z =（）A.111,,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B.111,,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.111,,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D.111,,22⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】利用空间向量的运算法则得到11122MN AB AC AA --=，得到答案.【详解】11111122MA A A AB BN M AC AA B N A AA =+++=--++111122AB AC AA x AB y AC z AA =--=++ ，故111,,22x y z ==-=-.()11,,1,,22x y z ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故选：A6.动圆P 过定点M (0，2)，且与圆N ：()2224x y ++=相内切，则动圆圆心P 的轨迹方程是（）A.()22103x y y -=< B.2213x y -=C.()22103y x y -=< D.2213y x +=【答案】A 【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心P 的轨迹方程.【详解】圆N ：()2224x y ++=的圆心为()0,2N -，半径为2，且4MN =设动圆P 的半径为r ，则,2PM r PN r ==-，即2PM PN MN -=<.即点P 在以,M N 为焦点，焦距长为24c =，实轴长为22a =，虚轴长为2b ==的双曲线上，且点P 在靠近于点N 这一支上，故动圆圆心P 的轨迹方程是()22103x y y -=<故选：A7.椭圆2212516x y +=的一个焦点是F ，过原点O 作直线(不经过焦点)与椭圆相交于A ，B 两点，则ABF △的周长的最小值是（）A.14B.15C.18D.20【答案】C【解析】【分析】不妨取F 为左焦点，1F 为右焦点，连接1AF ，1BF ，则1AFBF 为平行四边形，ABF △的周长大于等于22a b +，计算得到答案.【详解】如图所示：不妨取F 为左焦点，1F 为右焦点，连接1AF ，1BF ，则1AFBF 为平行四边形，ABF △的周长为122218AF BF AB AF AF AB a AB a b ++=++=+≥+=，当A ，B 为椭圆上下顶点时等号成立.故选：C8.已知数列{n a }满足11a =，()1112022nn n na a ++-=-，记数列{n a }的前n 项和为n S ，则2023S =（）A.506B.759C.1011D.1012【答案】A 【解析】【分析】根据数列递推公式()1112022nn n na a ++-=-可知，当n 为偶数时，即可出现分组求和()()123202220232023S a a a a a =++⋅++⋅⋅+，再利用累加根据等差数列求和公式即可求得结果.【详解】由递推公式()1112022nn n na a ++-=-可得，23120222a a -=+；45120224a a -=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅20222023202212022a a +-=；而()()12320202302222322022200042022122212112S a a a a a ++⎪⎛⎫=++⋅⋅⋅++=+-⋅⋅⋅⎝⎭()2101212101110620221250650=-++⋅⋅⋅+=-=故选：A二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知()1,1,2a =- ，()2,2,4b =--，则（）A.a =B.()23,3,6a b -=-C.a b ⊥D.a ∥b【答案】AD 【解析】【分析】根据向量的坐标模长公式、线性运算、数量积的坐标表示、共线向量定理逐项判断即可.【详解】对A ，因为()1,1,2a =- ，所以a == A 正确；对B ，()()()21,1,222,2,45,5,10a b -=----=-，故B 不正确；对C ，()()1,1,22,2,4228120a b ⋅=-⋅--=---=-≠，所以,a b 不垂直，故C 不正确；对D ，()()2,2,421,1,22b a =--=--=-，所以a ∥b ，故D 正确.故选：AD.10.数列{}n a 满足110a =，()122n n a a n -=-≥，则（）A.数列{}n a 是递减数列B.28n a n =+C.点(,n n a )都在直线212y x =-+ D.数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为32【答案】AC 【解析】【分析】根据数列的递推关系式()122n n a a n -=-≥，可判断数列的单调性及，可判断A；又可得数列{}n a 为等差数列，求得等差数列通项公式，即可判断B,C ；由等差数列的前n 项和公式结合二次函数的性质，即可求得n S 的最大值，可判断D .【详解】数列{}n a 满足110a =，()122n n a a n -=-≥，即()1202n n a a n --=-<≥，所以数列{}n a 是递减数列，故A 正确；且数列{}n a 是以110a =为首项，2d =-为公差的等差数列，所以()()()111012212n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+，则点(,n n a )都在直线212y x =-+上，故B 不正确，C 正确；数列{}n a 的前n 项和()()2121021211121112224n n a a n n n S n n n +-+⎛⎫===-+=--+⎪⎝⎭，又因为*11N 2n =∉，所以5n =时，530S =，6n =时，630S =，则n S 的最大值为30，故D 不正确.故选：AC .11.过双曲线C ：2214y x -=的左焦点1F 作直线l 与双曲线C 的右支交于点A ，则（）A.双曲线C 的渐近线方程为2y x =±B.点1F 到双曲线C 的渐近线的距离为4C.直线l 的斜率k 取值范围是{}22k k -<<D.若1AF 的中点在y 轴上，则直线l 的斜率255k =±【答案】ACD 【解析】【分析】双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，A 正确，计算点到直线的距离得到B 错误，根据渐近线得到斜率k 取值范围是{}22k k -<<，C 正确，确定A，得到)4A或)4A-，计算斜率得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，正确；对选项B：()1F ，取渐近线方程为20x y +=，距离为2d ==，错误；对选项C ：渐近线方程为2y x =±，故斜率k 取值范围是{}22k k -<<，正确；对选项D ：1AF 的中点在y 轴上，则A2514y -=，得到4y =±，故)4A或)4A-，()1F，斜率为5k =±，正确.故选：ACD12.过直线l ：40x y ++=上的动点P 分别作圆C 1：222x y +=与圆C 2：()2268x y -+=的切线，切点分别为A ，B ，则（）A.圆C 1上恰好有两个点到直线l的距离为B.|PA |C.12PC PC +的最小值为D.直线l 上存在两个点P ，使得2PB PA =【答案】BCD 【解析】【分析】确定两圆圆心和半径，()10,0C到直线的距离为d ==，1r =，A 正确，1PC的最小值为B，C 正确，计算轨迹方程为圆，再判断直线和圆的位置关系得到D 正确，得到答案.【详解】圆C 1：222x y +=，圆心()10,0C，半径1r ；圆C 2：()2268x y -+=，圆心()26,0C，半径2r =，对选项A ：()10,0C到直线的距离为d ==1r =，故只有1个点满足条件，错误；对选项B：PA =1PC=，故PA的最小值为，正确；对选项C ：设()10,0C 关于直线的对称点为()00,Q x y ，则00001 4022y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得0044x y =-⎧⎨=-⎩，故()4,4Q --，1222PC PC PQ PC QC +=+≥==对选项D ：2PB PA =，即224PB PA =，即()222222114PC r PC r -=-，设(),P x y ，则()()22226842x y x y -+=+--，整理得到()22216x y ++=，轨迹为圆心为()2,0-，半径为4的圆，4=<，直线和圆相交，有2个交点，正确.故选：BCD三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.经过点()31A ，，且与直线250x y +-=平行的直线的方程为___________.【答案】270x y +-=【解析】【分析】根据直线平行得到2k =-，得到()231y x =--+，整理得到答案.【详解】直线与直线250x y +-=平行，则2k =-，直线方程为()231y x =--+，即270x y +-=.故答案为：270x y +-=14.若数列{n a }为等差数列，2820a a +=，则数列{n a }的前9项和9S =__________.【答案】90【解析】【分析】利用等差数列的性质得到()28992a a S +⨯=，代入数据计算得到答案.【详解】()()192899920990222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故答案为：9015.图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，水面宽4m ，水面下降2m 后，水面宽8m ，则桥拱顶点O 离水面l 的距离为___________.【答案】23【解析】【分析】建立直角坐标系，直线l 交抛物线于,A B 两点，抛物线方程为22x py =-，()0p >，()2,A m -，对应的坐标为()4,2m --，代入抛物线，解得答案.【详解】如图所示，建立直角坐标系，直线l 交抛物线于,A B 两点，抛物线方程为22x py =-，()0p >，设()2,A m -，水面下降2m 后，水面宽8m ，对应的坐标为()4,2m --，则()421622pm p m =-⎧⎨=--⎩，解得323p m =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故拱顶点O 离水面l 的距离为23.故答案为：2316.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是1,AD B B 的中点，动点P 在底面正方形ABCD 内(包括边界)，若1//B P 平面1A MN ，则CP 长度的最大值为__________.【答案】174【解析】【分析】以正方体的顶点A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求平面1A MN 的法向量，设(),,0P x y ，且[],0,1x y ∈，求1B P，根据1//B P 平面1A MN ，可得,x y满足的等式关系，并用y 表示x ，确定y 的取值范围，利用空间中两点距离公式得CP ，结合二次函数的性质，即可确定CP 长度的最大值.【详解】如图，以正方体的顶点A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()()()()()()()()11110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1A B C D A B C D ，110,,0,1,0,22M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭动点P 在底面正方形ABCD 内(包括边界)，则设(),,0P x y ，且[],0,1x y ∈则()11,,1B P x y =-- ，设平面1A MN 的法向量为(),,n a b c = ，又11111,0,,0,,122A N A M ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 则1111002210202a c A N n a c A M nbc b c ⎧-=⎧⎪⎧⋅==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅=⎪⎪⎪⎩=-=⎩⎪⎩ ，令2c =，则()1,4,2n = 因为1//B P 平面1A MN ，所以()()11,,11,4,21420B P n x y x y ⋅=--⋅=-+-=，即430x y +-=，则[]430,1x y =-+∈，所以13,24y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则CP ===由二次函数的性质可得当12y =时，12CP =，34y =时，17142CP =>，所以CP 长度的最大值为174.故答案为：174.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在等差数列{}n a 中，49a =-，76a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，求使不等式0n S >成立的n 的最小值.【答案】（1）13n a n =-（2）26【解析】【分析】（1）根据等差数列公式得到112a =-，1d =，得到通项公式.（2）计算212522n S n n =-，解不等式得到答案.【小问1详解】等差数列{}n a 中，1493a a d ==-+，7166a a d =+=-，故112a =-，1d =，故()121113n a n n =-+-⨯=-.【小问2详解】()2112512222n n n S n n n -=-+=-，0n S >，即2125022n n ->，解得25n >，故n 的最小值为2618.已知圆C 经过()10A -，，()23B ，两点，且圆心C 在直线240x y --=上.（1）求圆C 的方程；（2）过点()32，的直线l 与圆C 交于P ，Q两点，如果PQ =，求直线l 的方程.【答案】（1）()2229x y -+=（2）3x =或3410x y --=.【解析】【分析】（1）计算AB 的垂直平分线，计算交点得到圆心，再计算半径得到答案.（2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式结合弦长公式计算得到答案.【小问1详解】3121AB k ==+，,A B 的中点为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，故AB 的垂直平分线为1322y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，即2y x =-+，2 240y x x y =-+⎧⎨--=⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩，故圆心为()2,0C ，半径3R ==，故圆方程为()2229x y -+=.【小问2详解】当直线l斜率不存在时，此时PQ =，满足条件，直线方程为3x =；当直线l 斜率存在时，设直线方程为()32y k x =-+，即320kx y k --+=，PQ =，故圆心到直线的距离为1d ===，解得34k =，故直线方程为3332044x y --⨯+=，即3410x y --=.综上所述：直线l 的方程为3x =或3410x y --=.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14,2BC AB BB ===，点E 是1BB 的中点.（1）求1BD 与AE 所成角的余弦值；（2）求1BD 与平面ACE 所成角的正弦值.【答案】（1）30（2）21【解析】【分析】（1）根据长方体以A 为原点，1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求解1,BD AE ，按照异面直线夹角余弦公式求解1BD 与AE 所成角的余弦值即可；（2）由（1）求平面ACE 的法向量与直线1BD 的方向向量1BD ，再利用空间向量坐标运算解求得1BD 与平面ACE 所成角的正弦值.【小问1详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，14,2BCAB BB ===，如图，以A 为原点，1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()()()()()11110,0,0,2,0,0,2,4,0,0,4,0,0,0,2,2,0,2,2,4,2,0,4,2,2,0,1A B C D A B C D E ，所以()()12,4,2,2,0,1BD AE =-=，则11130cos ,30BD AE BD AE BD AE ⋅==-⋅ ，则1BD 与AE 所成角的余弦值为3030；【小问2详解】设平面ACE 的法向量为(),,n x y z = ，又()()2,4,0,2,0,1AC AE == ，()12,4,2BD =- ，所以024022020AC n x y x y x z z x AE n ⎧⋅=+==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨+==-⋅=⎩⎩⎪⎩ ，令1y =，则()2,1,4n =-所以111414cos ,21BD n BD n BD n ⋅==⋅ ，故1BD 与平面ACE 所成角的正弦值为41421.20.已知数列{n a }的前n 项和为n S ，19a =，()139Nn n S S n +*=+∈.（1）求证:数列{n a }是等比数列；（2）若3log n n b a =，n n n c a b =，求数列{n c }的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析；（2）2(21)394n n n T ++⨯-=．【解析】【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥得数列{}n a 的递推关系，从而由等比数列定义得证结论；（2）由错位相减法求和．【小问1详解】139n n S S +=+，2n ≥时，139n n S S -=+，相减得：13n n a a +=，又19a =，221939S a a =+=+,213a a =,所以13n na a +=，*n ∈N ,所以{}n a 是等比数列，首项是9，公比是3；【小问2详解】由（1）得11933n n n a -+=⨯=，3log 1n n b a n ==+，1(1)3n n c n +=+⋅，2312333(1)3n n T n +=⨯+⨯+++⨯ ，则3412323333(1)3n n n T n n ++=⨯+⨯++⨯++⨯ ，相减得231222333(1)3n n n T n ++-=⨯+++-+⨯ 29(139(1)313n n n +⨯-=+-+⨯-）291()322n n +=-+⨯，∴2(21)394n n n T ++⨯-=．21.如图，在三棱锥-P ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB BC ==，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，PBC 为正三角形，平面PBC ⊥平面ABC .（1）求点B 到平面PAC 的距离；（2）在线段PC 上是否存在异于端点的点M ，使得平面PAC 和平面MDE 夹角的余弦值为7？若存在，确定点M 的位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）4217（2）存在点M ，使得平面PAC 和平面MDE 夹角的余弦值为77，此时M 为PC 中点【解析】【分析】（1）根据线面关系证得,PD DB PD DE ⊥⊥，BC DE ⊥，则以D 为原点，,,DB DE DP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标求平面PAC 的法向量与PB ，即可求得点B 到平面PAC 的距离；（2）由（1）知平面PAC 的法向量，设PM PC λ= ，且()0,1λ∈，利用空间向量的坐标求平面MDE 的法向量，根据平面与平面夹角余弦值的向量的坐标运算列方程，即可求得λ的值，从而确定M 的位置.【小问1详解】连接PD ，因为PBC 为正三角形，又D 为BC 中点，所以PD BC ⊥，因为平面PBC⊥平面ABC ，平面PBC ⋂平面ABC BC =，PD ⊂平面PBC ，所以PD ⊥平面ABC ，又,DB DE ⊂平面ABC ，所以,PD DB PD DE ⊥⊥，因为90ABC ∠=︒，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以//DE AB ，AB BC ⊥，所以BC DE ⊥，则如图，以D 为原点，,,DB DE DP 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，因为4AB BC ==，则()()()()(()0,0,0,2,0,0,2,0,0,2,4,0,0,0,,0,2,0D B C A P E -，设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，由于(()2,0,,4,4,0PC AC =--=-- ，则0204400PC n x x x y x y AC n ⎧⎧⎧⋅=--==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨--==-⎪⎪⋅=⎪⎩⎩⎩ ，令1z =，则()n =又(2,0,PB =- ，则点B 到平面PAC的距离为4217PB n n ⋅== ；【小问2详解】由（1）可知()n = 是平面PAC 的一个法向量，由题可设PM PC λ= ，且()0,1λ∈，则(()2,02,0,PM λλ=--=-- ，所以(()()0,0,2,0,2,0,DM DP PM λλ=+=+--=- ，设平面MDE 的法向量为(),,m a b c = ，由于()0,2,0DE = ，则()332000200a c DM m a c DE m b b λλ⎧⎧⎧-+=⋅==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅=⎪=⎪⎪⎩⎩=⎩ ，令c λ=，则),0,m λ= ，所以7cos ,7n m n m n m ⋅===⋅ ，整理得22310λλ-+=，解得12λ=或1λ=（舍），故存在点M ，使得平面PAC 和平面MDE 夹角的余弦值为77，此时M 为PC 中点.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点到两个焦点的距离之和为短轴的两个顶点和两个焦点连接成的四边形为正方形.（1）求椭圆C 的方程；（2）设点,A B 为椭圆C 上的两点，O 为坐标原点，32OA OB k k ⋅=-，求OA OB ⋅ 的取值范围.【答案】（1）22184x y +=（2）[]1,1-【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义求解即可；（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，再利用斜率的计算公式和数量积的坐标表示即可求解，注意讨论斜率不存在的情况.【小问1详解】由题意可得2a =，22b c =，又因为椭圆中222a b c =+，所以a =2b =，2c =，故椭圆C 的方程为22184x y +=.【小问2详解】当直线AB 斜率存在时，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为y kx m =+，联立2228y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222124280k x kmx m +++-=，()()222216412280k m k m ∆=-+->，即2284k m +>，所以122412km x x k -+=+，21222812m x x k-=+，因为121232OA OB y y k k x x ⋅==-，所以()212122343212m y y x x k--=-=+，又因为()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m=++=+++222222222848121212m km m k k km m k k k ---=⋅+⋅+=+++，所以()222223481212m m k k k---=++，即2223k m +=，所以()222212122222234284423211212121221m m m k OA OB x x y y k k k k k -----⋅=+=-===-++++++ ，因为2112k ≤+，所以2211112k-<-+≤+，即11OA OB -<⋅≤ ，当直线AB 斜率不存在时，设(),A m n ，(),B m n -，m -<<0m ≠，所以32OA OB n n k k m m ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，解得2223n m =，又因为A 在椭圆上，则2228m n +=，所以22m =，23n =，所以221OA OB m n ⋅=-=- ，综上OA OB ⋅ 的取值范围为[]1,1-.。
广东省广州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(解析版)
白云中学2022学年度上学期期末测试2023.1.9高二数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟. 2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目等按要求填涂在选择题答题卡上；3．第Ⅰ卷的答案必须答在选择题答题卡上；第Ⅱ卷用黑色字迹的钢笔或签字笔按各题要求答在答卷相应位置上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知直线l 的倾斜角为，则直线l 的斜率为（ ） 120︒A. B.C. 0D. 11-【答案】A 【解析】【分析】根据直线倾斜角和斜率的定义即可求得结果. 【详解】由斜率的定义可知，直线l 的斜率,tan120tan(18060)tan 60k ==-=-=即直线l 的斜率为. 故选：A.2. 已知圆，则圆心坐标、圆的半径分别是（ ） 224240x y x y +-+-=A. ，3 B. ，3 C. ，3D. ，9()2,1-()2,1-()2,1--()2,1-【答案】A 【解析】【分析】将圆的一般式化为标准式，写出圆心和半径.【详解】变形为，224240x y x y +-+-=()()22219x y -++=故圆心为，半径为3. ()2,1-故选：A3. 已知为等差数列，，则（ ） {}n a 54a =46a a +=A. 4 B. 6C. 8D. 10【答案】C 【解析】【分析】由等差数列性质，，求出式子的值. 4652a a a +=【详解】因为是等差数列，所以. {}n a 4652248a a a +==⨯=故选：C.4. 已知直线，若，则实数的值为（ ） 12:320,:310l x y l x ay -+=--=12l l ⊥a A. 1 B.C. D.1212-1-【答案】D 【解析】【分析】对进行分类讨论，代入求解即可. a 121k k =-g【详解】当时，直线的斜率， 0a =1:320l x y -+=113k =直线的斜率不存在，此时两条直线不垂直； 2:310l x ay --=当时，直线的斜率， 0a ≠1:320l x y -+=113k =直线的斜率， 2:310l x ay --=23k a=因为，所以， 12l l ⊥121k k =-g所以，解得：. 13113a a⨯==-1a =-故选：D.5. 已知圆与圆的位置关系是（ ）221:4470C x y x y ++-+=()()222:2516C x y -+-=A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切【答案】B 【解析】【分析】先将圆转化成标准形式，分析两圆的圆心和半径，求出圆心距，然后利用圆与圆的位置关系1C 进行判断即可【详解】根据题意，圆 ， 即 ，其圆心为 221:4470C x y x y ++-+=22(2)(2)1x y ++-=()2,2- ， 半径 ，1R =圆 ，其圆心为 ，半径，222:(2)(5)16C x y -+-=(2,5)4r =两圆的圆心距 ，有 ，则两圆外切， 125C C ==12C C R r =+故选：B.6. 四棱锥中，设，，，.则（ ）P ABCD -BA a = BC b =BP c =13PE PD = BE =A.B.112333a b c ++ 211323a b c +-C.D.112333a cb +- 212323a b c ++ 【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量基本定理，先表示出，可得，进而根据PD a b c =+-111333PE a b c =+- ，即可得出结果.BE BP PE =+【详解】，PD PB BA AD BA BC BP a b c =++=+-=+-所以.11113333PE PD a b c ==+- 所以.111112333333B a c E BP P b c a b c E ++-=+=+=+ 故选：A.7. 已知，是异面直线，，，，，且，，则与a b ,A B a ∈,C D b ∈AC b ⊥BD b ⊥2AB =1CD =a b 所成的角是（ ） A. B.C.D.30 45 60 90 【答案】C 【解析】【分析】先计算出 ,再根据计算夹角的余弦值，即可写出答案 AB CD ⋅cos =AB CD AB CDθ⋅【详解】设 ，,AB CD θ=由，可得：，， AC b ⊥BD b ⊥AC CD ⊥BD CD ⊥故可得：，，0AC CD ⋅= 0BD CD ⋅=，22()1AB CD AC CD DB CD AC CD CD DB CD CD ⋅=++⋅=⋅++⋅== 又 ， ，1cos =2AB CD AB CD θ⋅∴= [0,180]θ︒︒∈=60θ︒∴故与所成的角是. a b 60 故选：C.8. 设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则1F 2F C 2213y x -=O P C 2OP =的面积为（ ）12PF F △A.B. 3C.D. 21252【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线方程可得焦点坐标，，由得出点在以()120F -，()220F ，12122OP F F ==P 12F F 为直径的圆上，根据勾股定理和双曲线的定义可得，结合三角形面积公式计算即可.126PF PF =【详解】由已知，不妨设，，因为， ()120F -，()220F ，12122OP F F ==所以点在以为直径的圆上，即是以为直角顶点的直角三角形， P 12F F 12F F P P 故，即，又，2221212PF PF F F +=221216PF PF +=1222PF PF a -==所以，2221212121242162PF PF PF PF PF PF PF PF =-=+-=-解得，所以， 126PF PF =1212132F F P S PF PF ==△故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列命题中，正确的命题有（ ）A. 是，共线的充要条件a b a b +=- a bB. 若，则存在唯一的实数，使得//a b λa b λ= C. 对空间中任意一点和不共线的三点 ，，，若，则，，，O A B C 243OP OA OB OC =-+P A B C 四点共面D. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底{},,a b c {},2,3a b b c c a +++【答案】CD 【解析】【分析】对A ，向量、同向时不成立；a ba b a b +=- 对B ， 为零向量时不成立；b对C ，根据空间向量共面的条件判定； 对D ，根据能成为基底的条件判定.【详解】对A ，向量、同向时，，只满足充分性，不满足必要性，A 错误； a ba b a b +≠- ∴∴对B ，应该为非零向量，故B 错误；b对C ，由于得，，243OP OA OB OC =-+1324PB PA PC =+ 若共线，则三向量共线，故，，三点共线，与已知矛盾，,PA PC ,,PA PC PBA B C 故不共线，由向量共面的充要条件知共面，而过同一点 ，所以，,PA PC,PB PA PC ,,PB PA PC ,P P ，，四点共面，故C 正确；A B C 对D ，若为空间的一个基底，则，，不共面，{},,a b c a b c假设，，共面，设，a b + 2b c + 3c a + ()()23a b x b c y c a +=+++ 所以 ，无解，故，，不共面， 13102yx x y =⎧⎪=⎨⎪=+⎩a b + 2b c + 3c a + 则构成空间的另一个基底，故D 正确．{},2,3a b b c c a +++ 故选： CD ．10. 关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）A. 若数列的前项和（为常数）则数列为等差数列 {}n a n 2n S an bn c =++,,a b c {}n a B. 若数列的前项和，则数列为等差数列{}n a n 122n n S +=-{}n a C. 数列是等差数列，为前项和，则仍为等差数列 {}n a n S n 232,,,n n n n n S S S S S --⋯D. 数列是等比数列，为前项和，则仍为等比数列． {}n a n S n 232,,,n n n n n S S S S S --⋯【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，结合等差数列、等比数列通项公式和前项和的性质，逐项判定，即可求解. n 【详解】根据题意，结合等差数列、等比数列的性质依次分析：对于A 中，若数列的前项和，{}n a n 2n S an bn c =++当时，由等差数列的性质，可得数列为等差数列； 0c ={}n a 当时，则数列从第二项其为等差数列，所以A 不正确；0c ≠{}n a 对于B 中，若数列的前项和，{}n a n 122n n S +=-可得，则成等比数列，112213322,4,8a S a S S a S S ===-==-=123,,a a a则数列不是等差数列，所以B 不正确；{}n a 对于C 中，数列是等差数列，为前项和，则 {}n a n S n 232,,,n n n n n S S S S S --⋯即为 ，1212221223,,,n n n n n n n a a a a a a a a a +++++++++++++ 可得（常数），仍为等差数列，所以C 正确；22322n n n n n n S S S S S S n d --=--== 对于D 中，数列是等比数列，为前项和，{}n a n S n 当时，若为偶数时，均为，不是等比数列， 1q =-n 232,,,n n n n n S S S S S --⋯0所以是等比数列，为前项和，则不一定为等比数列． {}n a n S n 232,,,n n n n n S S S S S --⋯故选：ABD.11. 下列选项正确的有（ ）A.表示过点，且斜率为2的直线 02-=-x x y y ()00,P x y B. 是直线的一个方向向量()2,1a =240x y --=C. 以，为直径的圆的方程为 ()4,1A ()1,2B -()()()()41120--+-+=x x y y D. 直线恒过点 ()()()121140R m x m y m m ++---=∈()2,1【答案】BCD 【解析】【分析】根据直线和圆的性质，逐个判断每个选项. 【详解】A 选项：方程，，点不在直线上，A 选项错误； 02-=-x x y y 0y y ≠()00,P x y B 选项：因为直线的斜率为， 所以是直线的一个方向向量，B 240x y --=12(2,1)a =240x y --=选项正确；C 选项：设是所求圆上任意一点，则 ， ()M x y ，AM BM ⊥因为，，()41AM x y =-- ，()12BM x y =-+，所以 ，()(4)(1)(1)20AM BM x x y y ⋅=--+-+=即所求圆的方程为，C 选项正确； ()(4)(1)(1)20x x y y --+-+=D 选项：直线方程化为， ())R (2410m x y x y m +-+--=∈由 ， 解得 ，所以直线恒过定点，D 选项正确. 24010x y x y +-=⎧⎨--=⎩21x y =⎧⎨=⎩()2,1故选：BCD12. 已知曲线C 的方程为，则（ ）()221R 13x y m m m+=∈+-A. 当时，曲线C 为圆1m =B. 当时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为 5m=y x =C. 当时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆 1m >D. 不存在实数m 使得曲线C【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定的方程，利用选项中的条件计算判断A ，B ，C ；否定结论，导出矛盾判断D 作答.【详解】在曲线C 的方程中，且，()221R 13x y m m m+=∈+-1m ≠-3m ≠对于A ，当时，曲线C 的方程为，曲线C为半径的圆，A 正确；1m =222x y +=对于B ，当时，曲线C 的方程为，曲线C 是双曲线，其渐近线方程为，B5m =22162x y -=y =正确；对于C ，由选项B 知，当时，曲线C ：是双曲线，C 不正确；51m =>22162x y -=对于D ，假定存在实数m 使得曲线C ， 则有，且，显然无解，(1)(3)0m m +-<|1||3|m m +=-所以不存在实数m 使得曲线C ，D 正确. 故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知点是点在坐标平面内的射影，则____________．M ()3,4,5A Oyz OM =【解析】【分析】根据射影坐标的特征可得点坐标，由向量模长坐标运算可求得结果.M 【详解】由题意知：，，. ()0,4,5M ()0,4,5OM ∴=OM ∴== .14. 已知在数列中，，，则等于____________． {}n a 11a =11112n n a a +=+10a 【答案】211【解析】【分析】根据题意可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭12得解．【详解】解：因为，所以，则数列是以为首项，为公差的等11112n n a a +=+11112n n a a +-=1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =12差数列， 则，故，所以．()1111111222n n n a a =+-⨯=+101111110222a =⨯+=10211a =故答案为：． 21115. 已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，则__________． F 2:4C y x =()03,P y C PF =【答案】 4【解析】【分析】由抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线，所以, 2:4C y x =12p=因为是抛物线的焦点，点在抛物线上， F 2:4C y x =()03,P y C 由抛物线的定义可得：. 33142pPF =+=+=故答案为：.416. 直线与双曲线：（，）的一条渐近线平行，过抛物线：的焦lE 22221x y a b-=0a >0b >l C 24y x=点，交于，两点，若，则的离心率为______. C A B 5AB =E 【解析】【分析】首先根据抛物线的焦点弦长求出直线的斜率，从而得出双曲线渐近线的斜率，再利用l ba即可求出双曲线的离心率. c e a ====【详解】∵抛物线的方程为：，∴的焦点为，C 24y x =C ()1,0F ∵直线与双曲线的一条渐近线平行，∴直线的斜率存在， l E l 设直线的斜率为，则直线的方程为：，l k l ()1y k x =-由，消去，化简得（），()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩y ()2222240k x k x k -++=Δ0>设，，，到抛物线准线的距离分别为，，()11,A x y ()22,B x y A B A d B d 则，，，， 212224k x x k++=121=x x 1112A p d x x =+=+2212B p d x x =+=+由抛物线的定义，，解得， 212224225A B k AB AF BF d d x x k+=+=+=++=+=2k =±又∵双曲线：（，）渐近线方程为，E 22221x y a b-=0a >0b >b y x a =±∵直线与双曲线的一条渐近线平行，∴， l E 2ba=∴双曲线的离心率为. c e a ======.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知直线l ：与x 轴的交点为A ，圆O ：经过点A ．240x y -+=()2220x y r r +=>（1）求r 的值；（2）若点B 为圆O 上一点，且直线垂直于直线l ，求弦长． AB ||AB【答案】（1）2； （2. 【解析】【分析】（1）求出，代入圆的方程即可求解；()2,0A -O （2）根据直线垂直于直线l ，可求直线的斜率，根据点斜式可求直线的方程，再利用垂径定AB AB AB 理即可求解. 【小问1详解】在中，令，得，故. 240x y -+=0y =2x =-()2,0A -因为圆O ：经过点A ，所以，解得.()2220x y r r +=>()()222200r r -+=>2r =【小问2详解】直线l 的斜率为2，因为直线垂直于直线l ，所以直线的斜率为. AB AB 12-所以直线的方程为，即. AB ()1022y x -=-+220x y ++=圆心到直线， O AB =所以. AB ==18. 在等比数列{}中，． n a 122554a a a +==（1）求{}的通项公式； n a （2）求数列{}的前n 项和S n ． 3214n a n +-【答案】（1）； 114n n a -=（2）. 2114n n -+【解析】【分析】（1）由已知得，，再求出公比，进而写出通项公式； 11a =214a =（2）由（1）得，应用分组求和，结合等差等比前n 项和公式求S n ． 33212144n n a n n +-=+-【小问1详解】由题设，，则的公比， 11a =214a ={}n a 2114a q a ==所以. 114n n a -=【小问2详解】 由（1）知：， 33212144n n a n n +-=+-所以.211(1)111(1)443(...)2(12...)321444214n n n n n S n n n -+=⨯++++⨯+++-=⨯+⨯--2114n n =-+19. 如图，在正三棱柱中，点为的中点，．111ABC A BC -D 1AB 1AA ==（1）证明：平面；BC ∥1AC D （2）求直线到平面的距离．BC 1AC D 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】(1)根据线面平行判定定理证明即可.(2)把到平面的距离转化为到平面的距离,应用空间向量法求解即可.BC 1AC D C 1AC D 【小问1详解】连接交于点，点为的中点,点为的中点1AC 1AC E E 1AC D 1A B∵是的中位线，DE 1A BC ∴，平面,平面.BC DE ∥BC ⊄1AC D DE ⊂1AC D ∴平面．BC ∥1AC D 【小问2详解】如图建立空间直角坐标系由（1）得，直线到平面的距离即为点C 到平面的距离d ，BC 1AC D 1AC D因为，，，， ()0,1,0A -()0,1,0C 12D -(10,1,C 所以， ()0,2,0AC = 且，，(10,2,AC =12AD = 设平面的法向量为， 1AC D (),,n x y z =r 由于可得，100AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00y y ⎧+=⎪++=故取，()1n =-得，AC n d n ⋅== 因此直线到平面． BC 1AC D 20. 已知数列中，，且满足.{}n a 18a =1523n n n a a +=-⋅（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； {}3n n a -{}n a （2）若，求数列的前项和.()3n n n b n a =-{}n b n n S 【答案】（1）证明见解析；35n n n a =+（2） ()1541516n n n S ++-⨯=【解析】【分析】（1）等号两边同时减去，用定义即可证明；13n +（2）用错位相减法即可求解.【小问1详解】，1523n n n a a +=-⋅∴()11355353n n n n n n a a a ++-=-⋅=-数列是以为首项，以5为公比的等比数列.∴{}3n n a -1135a -=，∴13555n n n n a --=⨯= ∴35n n n a =+【小问2详解】35n n n a =+，∴()35n n n n b n a n =-=⨯ ∴123n n S b b b b =++++ 即①，1231525355nn S n =⨯+⨯+⨯++⨯ ②， ∴234151525355n n S n +=⨯+⨯+⨯++⨯ 由①②得：-，12314151515155n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯ ， ()15154515n n n S n +--=-⨯-化简得：. ()1541516n n n S ++-⨯=21. 平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折PAC △ABC AC PAC △ABC AC 叠使得平面平面，为斜边的中点.PAC ⊥ABC M AB（1）求证：.AC PM ⊥（2）求与平面所成角的正弦值.PC PAB （3）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，PB N CNM ⊥PAB PN PB 说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2； （3）存在，. 13PN PB =【解析】 【分析】（1）取中点，连接，可由线面垂直证明线线垂直得证；AC D ,MD PD （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角；（3）求出平面CNM 的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积为0求解即可.【小问1详解】取中点，连接，如图，AC D ,MD PD又为的中点，M AB ，由，则，//MD BC ∴AC BC ⊥MD AC ⊥又为等腰直角三角形，，,PAC △PA PC ⊥PA PC =，又，平面，PD AC ∴⊥MD PD D ⋂=,MD PD ⊂PMD 平面，又平面，AC ∴⊥PMD PM ⊂PMD.M AC P ∴⊥【小问2详解】由（1）知，，又平面平面，是交线，平面， PD AC ⊥PAC ⊥ABC AC PD ⊂PAC 所以平面，即两两互相垂直，故以为原点，为x 、y 、z 轴正PD ⊥ABC ,,PD AC DM D ,,DA DM DP 方向建立空间直角坐标系，如图，设，则， 2AC =(1,0,0),(1,2,0),(1,0,0),(0,0,1)P A B C --，，，(1,0,1)CP ∴= (1,0,1)AP =- (1,2,1)BP =- 设为平面的一个法向量，(,,)n x y z = PAB 则，令，即， 020AP n x z BP n x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1z =(1,1,1)n = 设与平面所成角为， PC PAB θ，sin cos ,CP n CP n CP nθ⋅∴==== 即与平面. PC PAB 【小问3详解】若存在N 使得平面平面，且，， CNM ⊥PAB PN PBλ=01λ≤≤则，解得 ，又， (1,2,1)PN PB λλ→→==--(,2,1)N λλλ--(0,1,0)M 则，，(1,2,1)CN λλλ=-- (1,1,0)CM = 设是平面CNM 的一个法向量，(,,)m a b c = 则，令b =l ，则， (1)2(1)00CN m a b c CM m a b λλλ⎧⋅=-++-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 13(1,1,)1m λλ-=-- ，解得， 131101m n λλ-∴⋅=-++=- 13λ=故存在N 使得平面平面，此时. CNM ⊥PAB 13PN PB =22. 已知圆：，圆：，一动圆与圆和圆同时内切. 1F 2240x y x ++=2F 224120x y x +--=1F 2F （1）求动圆圆心的轨迹方程；M （2）设点的轨迹为曲线，两互相垂直的直线，相交于点，交曲线于，两点，交M C 1l 2l 2F 1l C M N 2l 圆于，两点，求与的面积之和的取值范围.1F P Q PQM PQN V 【答案】（1） 2213y x -=（2）[12,)+∞【解析】【分析】（1）根据动圆圆心到两定点距离的关系可以判断其为双曲线；（2）分两种情况讨论，每一种情况中计算、，从而求得面积的表达式，再求范围即可.||MN ||PQ 【小问1详解】由：，得，可知，其半径为， 1F 2240x y x ++=22(2)4x y ++=1(2,0)F -2由：，得，可知，其半径为. 2F 224120x y x +--=22(2)16x y -+=2(2,0)F 4设动圆半径为，动圆圆心到的距离为，到的距离为，则有r 1F n 2F m 或，即，得， 224n r n m m r +=⎧⇒-=⎨+=⎩224n r m n m r +=⎧⇒-=⎨+=⎩||22n m a -==1a =又，21||422a F F c ==>所以动圆圆心的轨迹是以，为焦点的双曲线，由，可得，M 1F 2F 222c a b =+23b =所以动圆圆心的轨迹方程为； M 2213y x -=【小问2详解】①当直线的斜率存在时，由题意，，设：，与双曲线联立1l 0k ≠1l 2y kx k =-， 2222222(3)443013y kx k k x k x k y x =-⎧⎪⇒-+--=⎨-=⎪⎩由于其于双曲线有两个不同的交点，所以，得且， 2422230Δ164(3)(4+3)=36+360k k k k k ⎧-≠⎨=+->⎩23k ≠20k ≠且，226(1)||3k MN k +==-设：，即， 2l 12y x k k=-+20x ky +-=设圆到直线的距离为，则，1F 2ld d ==因为交圆于，两点，故，得.2l 1F P Q 2d <23k >且，||PQ ==由题意可知，MN PQ ⊥所以12PQM PQN S S PQ MN +=⨯⨯== 因为，可得.23k >12PQM PQN S S +>V V ②当直线的斜率不存在时，，，1l ||4PQ =||6MN =所以， 146122PQM PQN S S +=⨯⨯=V V 综上. 12PQM PQN S S +≥V V。
2022-2023学年广东省广州市高二上册期末数学质量检测试题(含解析)
2022-2023学年广东省广州市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．已知()A 3,5，()1,7B ，则直线AB 的倾斜角大小是（）A ．45︒B ．60︒C ．120︒D ．135︒【正确答案】D【分析】设出直线的倾斜角，利用倾斜角与斜率的关系求出tan 1α=-，进而求出倾斜角.【详解】设直线AB 的倾斜角为α，则75tan 113α-==--，因为[)0,πα∈，所以135α=︒.故选：D2．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(234)P ,,在平面xOy 内射影的坐标为（）A ．(230),,B ．(230)-,,C ．(2,0,4)D ．(034),,【正确答案】A【分析】根据射影的概念，由点(234)P ,,在平面xOy 内射影的z 轴方向坐标变为0，其它方向坐标不变即可得解.【详解】点(234)P ,,在平面xOy 内的射影，即向平面xOy 作垂线，垂足为射影，故x 轴和y 轴方向的坐标不变，z 轴方向坐标变为0，故射影的坐标(230),,.故选：A3．圆221:140C x y x +-=与圆()()222:3425C x y -+-=的位置关系为（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【正确答案】B【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，再判断两圆位置关系作答.【详解】依题意，圆221:(7)49C x y -+=的圆心1(7,0)C ，半径17r =，圆()()222:3425C x y -+-=的圆心2(3,4)C ，半径25r =，则有12||C C ==121212||r r C C r r -<<+，所以圆1C 与圆2C 相交.故选：B4．椭圆22143x y +=与椭圆()221343x y m m m+=<--的（）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【正确答案】D【分析】分别求出两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率和焦距即可判断.【详解】解：椭圆22143x y +=的长轴长为4，短轴长为122=，焦距为2；椭圆()221343x y m m m+=<--的长轴长为，离心率为=，焦距为2=；故两个椭圆的焦距相等.故选：D.5．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2022项中有（）个奇数A ．1012B ．1346C ．1348D ．1350【正确答案】C【分析】由斐波那契数列的前几项分析该数列的项的奇偶规律，由此确定该数列的前2022项中的奇数的个数.【详解】由已知可得1a 为奇数，2a 为奇数，3a 为偶数，因为21n n n a a a ++=+，所以4a 为奇数，5a 为奇数，6a 为偶数，…………所以31n a +为奇数，32n a +为奇数，33n a +为偶数，又2022=3674⨯故该数列的前2022项中共有1348个奇数，故选：C.6．已知F 是抛物线24x y =的焦点，,M N 是该抛物线上两点，6MF NF +=，则MN 的中点到x 轴的距离为（）A ．12B ．1C ．2D ．3【正确答案】C【分析】根据抛物线的几何性质求出MN 中点的纵坐标即可.【详解】抛物线24x y =的焦点()0,1F ，准线方程为1y =-，设点()11,M x y ，()22,N x y ，由抛物线的定义可得12121126MF NF y y y y +=+++=++=，即124y y +=，则MN 中点的纵坐标为1222y y +=，即MN 的中点到x 轴的距离为2，故选.C7．已知直线l ：()()2110m x m y m ++++=经过定点P ，直线l '经过点P ，且l '的方向向量()3,2a =，则直线l '的方程为（）A ．2350x y -+=B ．2350x y --=C ．3250x y -+=D ．3250x y --=【正确答案】A【分析】直线l 方程变为()210x y m x y ++++=，可得定点P ()1,1-.根据l '的方向向量()3,2a =，可得斜率为23，代入点斜式方程，化简为一般式即可.【详解】()()2110m x m y m ++++=可变形为()210x y m x y ++++=，解0210x y x y +=⎧⎨++=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩，即P 点坐标为()1,1-.因为()23,231,3a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以直线l '的斜率为23，又l '过点P ()1,1-，代入点斜式方程可得()2113y x -=+，整理可得2350x y -+=.故选：A.8．某牧场2022年年初牛的存栏数为500，预计以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出60头牛.设牧场从2022年起每年年初的计划存栏数依次为1c ，2c ，3c ，…，n c ，…，其中*n ∈N ，则下列结论不正确的是（）（附：51.2 2.4883≈，61.2 2.9860≈，71.2 3.5822≈，101.2 6.1917≈.）A ．2540c =B ．1n c +与n c 的递推公式为1 1.260n n c c +=-C ．按照计划2028年年初存栏数首次突破1000D ．令1012310S c c c c =++++ ，则108192S ≈（精确到1）【正确答案】C【分析】可以利用“每年存栏数的增长率为20%”和“每年年底卖出60头”建立1n c ＋与n c 的关系，用待定系数法构造等比数列，求出n c 通项公式即可求解.【详解】由题意得1500c =，并且1 1.260n n c c +=-，故B 正确；则211.260 1.250060540c c =-=⨯-=，故A 正确；设()1 1.2n n c x c x +-=-，则1 1.20.2n n c c x +=-，则0.2x ＝60，则x ＝300，∴()1300 1.2300n n c c +-=-，即数列{300n c -}是首项为1300200c -=，公比为1.2的等比数列，则1300200 1.2n n c --=⨯，则1300200 1.2n n c -=+⨯，令13002001.21000n n c -=+⨯>，则11.2 3.5n ->，∵61.2 2.9860≈，71.2 3.5832≈，∴n －1≥7，则n ≥8，故2029年年初存栏数首次突破1000，故C 错误；()101010123101 1.23001020030001000 1.211 1.2S c c c c -=++++=⨯+⨯=+⨯-- ≈3000＋1000×(6.1917－1)≈8192，故D 正确.故选：C.二、多选题9．已知圆()()22:121M x y -+-=，则（）A ．圆M 关于直线10x y -+=对称B ．圆M 关于直线10x y ++=对称的圆为()()22321x y +++=C ．直线l 过点()2,0且与圆M 相切，则直线l 的方程为3460x y +-=D ．若点(),P a b 在圆M 的最小值为3【正确答案】ABD【分析】利用圆心在直线上判断A ；利用圆心关于直线对称判断B ；利用直线2x =也符合题意判断C ；利用圆心到定点的距离减去半径判断D.【详解】圆()()22:121M x y -+-=的半径为1，圆心为(1,2)M ，(1,2)M 在直线10x y -+=上，所以圆M 关于直线10x y -+=对称，A 正确；因为()()22321x y +++=的半径为1，圆心为(3,2)N --，所以MN 的中点坐标为(1,0)E -，(1,0)E -在直线10x y ++=上，又因为22113MN k +==+，直线:10l x y ++=的斜率为1-，所以MN l ⊥，所以M N ，关于直线l 对称，即两圆半径相等圆心关于直线:10l x y ++=对称，所以两圆关于直线:10l x y ++=对称，B 正确；因为直线2x =经过()2,0，且其到圆心(1,2)M 的距离等于半径1，所以直线2x =也与圆M 相切，故C 错误；(),P a b 到()3,2F -的距离，因4MF ==，的最小值为1413MF -=-=，D 正确.故选：ABD.10．已知拋物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于()()1122,,,P x y Q x y 两点，点P 在l 上的射影为1P ，则下列说法正确的是（）A ．若125x x +=，则7PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条【正确答案】ABC【分析】根据焦点弦公式即可判断A ；求出线段PQ 的中点坐标及圆的半径，从而可判断B ；根据抛物线的定义可得1PM PP PM PF MF +=+≥，即可判断C ；分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合根的判别式即可判断D.【详解】解：由题意127PQ x x p =++=，故A 正确；拋物线2:4C y x =的准线:1l x =-，122P x Q x =++，则以PQ 为直径的圆的半径1212x x r +=+，线段PQ 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，则线段PQ 的中点到准线的距离为1212x xr ++=，所以以PQ 为直径的圆与准线l 相切，故B 正确；拋物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ，1PM PP PM PF MF +=+≥当且仅当,,M P F 三点共线时，取等号，所以1PM PP +≥C 正确；对于D ，当直线斜率不存在时，直线方程为0x =，与抛物线只有一个交点，当直线斜率存在时，设直线方程为1y kx =+，联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩，消x 得2440ky y -+=，当0k =时，方程得解为1y =，此时直线与抛物线只有一个交点，当0k ≠时，则16160k ∆=-=，解得1k =，综上所述，过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线有3条，故D 错误.故选：ABC.11．如图，已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，F 为线段1BC 的中点，E 为线段11A C 上的动点，则下列四个结论正确的是（）A ．点F 到直线1AAB ．点E 到直线BD 距离的最小值为1C ．三棱锥1B ACE -的体积是定值13D ．当E 为11A C 的中点时，EF 与1AD 所成的角等于60︒【正确答案】ABD【分析】对于A ，利用中位线定理证得四边形FGAH 是平行四边形，结合线面垂直的性质推得1HF AA ⊥，再利用勾股定理求得HF 即可判断；对于B ，当E 为11A C 的中点时，利用线面垂直的判定定理证得EO 是异面直线11A C 与BD 的公垂线，从而得以判断；对于C ，利用线面平行的判定定理证得11//AC 面1AB C ，从而利用等体积法求得三棱锥1B ACE -的体积，由此判断即可；对于D ，利用线线平行将EF 与1AD 所成的角转化为1A B 与1BC 所成的角，从而在等边11A BC V 求得其角为60︒，从而得以判断.【详解】对于A ，记1,BC AA 的中点为,G H ，连结,,FG AG HF ，如图1，又因为F 为线段1BC 的中点，所以1//FG CC ，112FG CC =，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11AA CC =，所以1//FG AA ，112FG AA AH ==，故四边形FGAH 是平行四边形，所以//HF GA ，HF GA =，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥面ABCD ，又GA ⊂面ABCD ，所以1AA AG ⊥，故1HF AA ⊥，所以点F 到直线1AA 的距离为HF ，因为在Rt ABG △中，GA =2HF GA ==，所以点F 到直线1AA A 正确；.对于B ，当E 为11A C 的中点时，连结AC 交BD 于O ，连结11B D ，易得1111B D A C E = ，如图2，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以1AA BD ⊥，在正方形ABCD 中，易得AC BD ⊥，因为1AA AC A = ，1,AA AC ⊂面11AA CC ，所以BD ⊥面11AA CC ，因为EO ⊂面11AA CC ，所以BD EO ⊥，同理：11AC EO ⊥，故EO 是异面直线11A C 与BD 的公垂线，所以当E 为11A C 的中点时，动点E 到直线BD 距离最小，且为EO ，此时，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11AA CC =，所以四边形11AAC C 是平行四边形，故11//A C AC ，11A C AC =，又,E O 是11,AC AC 的中点，所以1//A E AO ，1A E AO =，所以四边形1AA EO 是平行四边形，所以11EO AA ==，所以动点E 到直线BD 距离的最小值为1，故B 正确；.对于C ，连结11,,AC AB B C ，如图3，由选项B 可知11//A C AC ，因为11A C ⊄面1AB C ，AC ⊂面1AB C ，所以11//AC 面1AB C ，因为E 为线段11A C 上的动点，所以E 到面1AB C 的距离与1C 到面1AB C 的距离相等，所以111111B ACE E AB C C AB C A B CC V V V V ----===，易得AB ⊥面11BB C C ，1111111111222B CC S B C CC =⋅=⨯⨯=，所以1111111113326A B CC B CC V SAB -=⋅=⨯⨯=，即三棱锥1B ACE -的体积是定值16，故C 错误；.对于D ，当E 为11A C 的中点时，连结1A B ，1AD ，如图4，因为,E F 为111,AC BC 的中点，所以1//EF A B ，又与选项B 同理得11//AD BC ，所以1A B 与1BC 所成的角为EF 与1AD 所成的角，即11A BC ∠，易得1111A B BC AC ==，所以11A BC V 是正三角形，故1160A BC ∠=︒，所以EF 与1AD 所成的角为60︒，故D 正确..故选：ABD.12．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列{}n a ，正方形数构成数列{}n b ，则下列说法正确的是（）A ．12311111n n a a a a n ++++=+ B ．1225既是三角形数，又是正方形数C ．12311112nb b b b ++++< D ．N*m ∀∈，2m ≥，总存在p ，N *q ∈，使得m p q b a a =+成立【正确答案】BCD【分析】根据给定信息，求出数列{}n a 、{}n b 的通项，再逐一分析各个选项即可判断作答.【详解】依题意，数列{}n a 中，11a =，21324312,3,4,,n n a a a a a a a a n --=-=-=-= ，2n ≥，于是得121321(1)()()()1232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=，11a =满足上式，数列{}n b 中，11b =，21324313,5,7,,21n n b b b b b b b b n --=-=-=-=- ，2n ≥，于是得2121321()()()135(21)n n n b b b b b b b b n n -=+-+-++-=++++-= ，11b =满足上式，因此2(1),2n n n n a b n +==，对于A ，12112()(1)1n a n n n n ==-++，则1231111122(1)11n n a a a a n n ++++=-=++ ，A 不正确；对于B ，因为245049(491)122522+==，则491225a =，又2122535=，则351225b =，B 正确；对于C ，221144112()(2)(21)(21)2121n b n n n n n n ==<=-+--+，则12311111111112[(1)()()]2(1)2335212121n b b b b n n n ++++<-+-++-=-<-++ ，C 正确；对于D ，N*m ∀∈，2m ≥，取,1p m q m ==-，则21(1)(1)22p q m m m m m m m a a a a m b -+-+=+=+==，所以N*m ∀∈，2m ≥，总存在p ，N *q ∈，使得m p q b a a =+成立，D 正确.故选：BCD易错点睛：裂项法求和问题，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．三、填空题13．已知直线1:2210l x y --=，2:10l x ay ++=.若12//l l ，则实数=a ______.【正确答案】1-【分析】根据平行直线的性质进行求解即可.【详解】因为12//l l ，所以有122121a a ⎧=⎪⎪-⎨⎪≠⎪--⎩，解得1a =-，故1-14．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，G 为11B C 的中点，若该六面体的棱长都为2，1160BAD A AB A AD ∠=∠=∠=︒，则AG =______.17【分析】根据给定条件，取空间向量的一个基底，再利用空间向量数量积及运算律求出向量的模作答.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，令1,,AB a AD b AA c === ，显然,,a b c 不共面，两两夹角为60 ，因为G 为11B C 的中点，则1111122AG AB BB B G AB AA AD a b c =++=++=++ ，而||||||2a b c === ，1||||cos 602222a b b c a c a c ⋅=⋅=⋅==⨯⨯= ，所以2222222111||()2222224244AG a b c a b c a b b c a c ++=+++⋅+⋅+⋅=+⨯++++ 17=1715．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，M 是双曲线右支上一点，连接1MF 交双曲线C 左支于点N ，若2MNF 是等边三角形，则双曲线的离心率为______.7【分析】记等边2MNF 的边长为m ，利用双曲线的定义得到4m a =，进而在12NF F △中利用余弦定理求得7c a =，从而求得双曲线的离心率.【详解】因为2MNF 是等边三角形，不妨记2MF m =，所以2MN NF m ==，由双曲线的定义得122MF MF a -=，故12MF a m =+，所以()1122NF MF MN a m m a =-=+-=，又由双曲线的定义得212NF NF a -=，所以22m a a -=，故4m a =，所以12NF a =，24NF m a ==，在12NF F △中，12120FNF ∠=︒，则2221212122cos120F F NF NF NF NF =+-︒，所以222144162242c a a a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，整理得227c a =，故7c a =，所以双曲线的离心率为7c e a==.故答案为.7.16．已知椭圆C ：2214x y +=的左､右焦点分别是1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，则2ABF △的内切圆面积的最大值为___________.【正确答案】4π【分析】设直线AB 的方程为3x ty =，()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,y y y y +，由2121212ABF S F F y y =-△示面积，并变形后应用基本不等式得最大值，从而可得内切圆半径最大值，即得面积最大值．【详解】解：直线AB 的斜率不能为0，但可不存在.设直线AB 的方程为3x ty =，()11,A x y ，()22,B x y ，由22314x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得()2242310t y +--=，122234t y y t +=+，12214y y t =-+，则2121212ABF SF F y y =⋅-()212121342y y y y =⋅+-=====≤2=（当且仅当t =时等号成立）.设2ABF △的内切圆半径为r ，2248AF BF AB a ++==，则()22122AF BF AB r ++⋅≤，12r ≤，则2ABF △的内切圆面积的最大值为2124ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故4π．四、解答题17．已知圆C 的圆心在直线10x y +-=，且与直线20x y -=相切于点()0,0.(1)求圆C 的方程；(2)直线l 过点()3,3P -且与圆C 相交，所得弦长为4，求直线l 的方程.【正确答案】(1)()()22215x y -++=(2)3x =或3430x y ++=【分析】（1）分析可知圆心在直线20x y +=上，联立两直线方程，可得出圆心的坐标，计算出圆的半径，即可得出圆C 的方程；（2）利用勾股定理求出圆心到直线l 的距离，然后对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数，即可得出直线l 的方程.【详解】（1）解：过点()0,0且与直线20x y -=垂直的直线的方程为20x y +=，由题意可知，圆心C 即为直线20x y +=与直线10x y +-=的交点，联立2010x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，故圆C 的半径为r ==因此，圆C 的方程为()()22215x y -++=.（2）解：由勾股定理可知，圆心C 到直线l 的距离为1d ==.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =，圆心C 到直线l 的距离为1，满足条件；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()33y k x +=-，即330kx y k ---=，由题意可得1d ===，解得34k =-，此时，直线l 的方程为()3334y x +=--，即3430x y ++=.综上所述，直线l 的方程为3x =或3430x y ++=.18．已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列,满足15a =,且2930,,a a a 成等比数列.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若数列{}n b 满足()*1n n n b b a n N +-=∈,且13b =求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【正确答案】(Ⅰ)23n a n =+；(Ⅱ)n =T 13112212n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.【分析】(Ⅰ)利用等比中项性质和等差数列的通项公式列方程，可解得公差d 的值，进而求得等差数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)根据题意，由累加法求出数列{}n b 的通项公式，再通过裂项相消法求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠,依题意得()()()2111298a d a d a d ++=+又15a =,解得2d =,所以23n a n =+.(Ⅱ)依题意得123n n b b n +-=+,即121n n b b n --=+(2n ≥且*n N ∈)所以()()()112211...n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+-+,()()()22132121...5322n n n n n n ++=++-+++==+.对13b =上式也成立,所以()2n b n n =+,即()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭,所以1111111113111...23243522212n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了累加法求数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，考查了推理能力与计算能力.形如()1n n a a f n +-=的数列{}n a 均可利用累加法求通项公式.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，AB BC ⊥，//AD BC ，2BC =，1BA =，3AD =，PB E 为棱PA 上一点，且AE AP λ= .(1)若BE //平面PCD ，求实数λ的值；(2)若BE ⊥平面PAD ，求直线BE 和平面PCD 所成角的正弦值.【正确答案】(1)1320【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，表达出()1E λ-，求出平面PCD 的法向量，从而BE m ⊥ ，列出方程，求出13λ=；（2）求出平面PAD 的法向量，结合第一问得到的()1E λ-，列出方程组，求出14λ=，从而利用线面角的正弦值求解公式得到答案.【详解】（1）因为PB ⊥底面ABCD ，,BC AB ⊂平面ABCD ，所以PB ⊥BC ，PB ⊥AB ，又因为AB BC ⊥，所以,,AB BC PB 两两垂直，以B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，BP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，因为2BC =，1BA =，3AD =，PB AE AP λ= ，所以()()(()()0,0,0,1,0,0,,0,2,0,1,3,0B A P C D ，设(),,E a b c ，故()(1,,1,0,a b c λ-=-，解得：1,0,a b c λ=-==，故()1E λ-，()1BE λ=- ，设平面PCD 的法向量为(),,m x y z = ，则()(()(,,0,2,20,,1,3,30m PC x y z y m PD x y z x y ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩ ，令1z =，解得：22y x ==-，故22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，由题意得：BE m ⊥，即()102222BE m λ⎛⎫⋅=-⋅-=-++= ⎪ ⎪⎝⎭，解得：13λ=；（2）设平面PAD 的法向量为()111,,x n y z = ，则()(()(11111111111,,1,0,0,,1,3,30n PA x y z x z n PD x y z x y z ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩ ，令11z =，则1x =10y =，故)0,1n = ，由于BE ⊥平面PAD ，所以//BE n ，设BE tn = ，即100t tλ⎧-=⎪=⎨=，解得：14λ=，故34BE ⎛= ⎝⎭，由（1）得：平面PCD的法向量为m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设直线BE 和平面PCD 所成角的正弦值为θ，故sin cos ,20m BE m BE m BE θ⋅===⋅ ，直线BE 和平面PCD20．已知正项数列{}n a ，其前n 项和为(),12n n n S a S n N *=-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设()112n n n b n a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【正确答案】（1）13n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）1173,4433,4n n n n n T n n ++⎧---⎪⎪=⎨+-⎪⎪⎩为奇数为偶数．【分析】（1）S n 前后两项作差消去，求得a n 的前后两项关系，从而求得an 的通项公式；（2）由（1）求得bn ，对n 分奇数，偶数两种情况讨论，分组求和求得数列前n 项和.【详解】解：（1）由已知12n n a S =-，①所以有1112n n a S ++=-，②②-①，得112n n n a a a ++-=-，即13n n a a +=，∴113n n a a +=，所以数列{}n a 是公比为13的等比数列．又1111212a S a =-=-，∴113a =．所以1111333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）得()()()()1121312n n n n n n b n n a ⎛⎫=-+=-⋅+-⋅ ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，()()2343333321234n n T n =-+-+-⋯-+-+-+-⋯-()()()3131121122132222n n n n n -----++--⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭113373144n n n n ++----=--=-当n 为偶数时，()()2343333321234n n T n =-+-+-⋯++-+-+-⋯+()()()()31311222132222n n n n n ---⎛⎫-+-++⎛⎫=+⋅+⋅ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭113343344n n n n ++-++-=+=综上所述，1173,4433,4n n n n n T n n ++⎧---⎪⎪=⎨+-⎪⎪⎩为奇数为偶数方法点睛：（1）通过an +1=Sn +1-Sn 得到an 前后两项的关系，从而求得通项公式；（2）对于含有(-1)n 的问题可以讨论n 的奇偶性，即可去掉该项，然后按照分组求和的方法求得数列前n 项和.21．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点.(1)求证：平面BAE ⊥平面1A BD ；(2)求平面1DBA 和平面1BAA 夹角的余弦值；(3)在线段1B B （含端点）上是否存在点M ，使点M 到平面1A BD 的距离为5？若存在，请指出点M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)见解析；；(3)存在，M 与点1B 重合时，满足题意.【分析】(1)由题意可证明BD AE ⊥和1A D AE ⊥，即可证明平面BAE ⊥平面1A BD ；(2)先找出二面角，再转化到三角形中解三角形即可；(3)存在点M ，运用等体积法验证即可说明.【详解】（1）证明：因为1AA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥BD ，又ABD △为边长为2的正三角形，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥，1AA AC A= 所以BD ⊥平面11AAC C ，AE ⊂平面11AAC C ，所以BD AE ⊥①,又1()AA D CAE SAS ≅V V ，所以1AA D CAE ∠=∠，所以1A AE AEC ∠=∠，所以1190A AE AA D ∠+∠=︒，所以190A OA ∠=︒(O 为AE 与1A D 的交点)，所以1AE A D ⊥②，又因为1BD A D D = ③,由①②③可得⊥AE 平面1A BD ，又因为AE ⊂平面BAE ，所以平面BAE ⊥平面1A BD ；（2）解：设1AE A D O ⋂=,过A 作1AF A B ⊥于F ，连接OF ,因为⊥AE 平面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ，所以⊥AE 1A B ，又因为1AF A B ⊥，AF AE A ⋂=，则1A B ⊥平面AEF ,OF ⊂平面AEF ,所以1A B ⊥OF ，所以OFA ∠为平面1DBA 和平面1BAA 夹角，在1Rt AA B △中，112AF A B ===在1AA D △中，11,AA AD A D AO ⋅=⋅，所以AO =，所以Rt AOF 中，OF =所以cos 5OF OFA AF ∠==；（3）当点M 与点1B 重合时，点M 到平面1A BD ，取11A C 中点1D ，连接111,B D DD ,则1B B ∥1DD ，所以11,,B B D D ,四点共面，又1DD ⊥平面111A B C ，11AC ⊂平面111AB C ，所以1DD ⊥11A C ，又11B D ⊥11A C ，1111B D DD D = ,所以11A C ⊥平面11BDD B ，设点1B 到平面1A BD 的距离为h ，又1111B A BD A B BD V V --=,即11111133A BDB BD h S A D S ⋅=⋅V V ,即111111()1()3232h A D BD BD BB ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅,2=解得5h =.故在线段1B B 存在点M （端点1B 处），使点M 到平面1A BD .22．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为()1F ，)2F ，动点M 满足212MF MF -=．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若动点M 在双曲线C 上，设双曲线C 的左支上有两个不同的点P ，Q ，点()4,0N ，且ONP ONQ ∠=∠，直线NQ 与双曲线C 交于另一点B ．证明：动直线PB 经过定点．【正确答案】(1)()22119y x x -=≤-(2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线的定义求得,a b 的值得双曲线方程；（2）确定PQ 垂直于x 轴，设直线BP 的方程为x my n =+，设()11,P x y ，()22,B x y ，则()11,Q x y -，直线方程代入双曲线方程，由相交求得m 范围，由韦达定理1212,y y y y +，利用N 、B 、Q 三点共线，且NQ 斜率存在，由斜率相等得出12,y y 的关系，代入韦达定理的结论可求得n 的值，从而得直线BP 所过定点．【详解】（1）因为21122MF MF F F -=<=所以，动点M 的轨迹是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的左支，则22a =，可得1a =，3b ==，所以，点M 的轨迹方程为()22119y x x -=≤-；（2）证明：∵ONP ONQ ∠=∠，∴直线PQ 垂直于x 轴，易知，直线BP 的斜率存在且不为0，设直线BP 的方程为x my n =+，设()11,P x y ，()22,B x y ，则()11,Q x y -，联立22990x my n x y =+⎧⎨--=⎩，化简得：()2229118990m y mny n -++-=，直线与双曲线左支、右支各有一个交点，需满足13m >或13m <-，∴1221891mn y y m -+=-，21229991n y y m -=-，又()()22222221836911910m n m n m n =---=+->△，又N 、B 、Q 三点共线，且NQ 斜率存在，∴NQ NB k k =，即121244y y x x -=--，∴()()122144y my n y my n -+-=+-，∴()()1212240my y n y y +-+=，∴()22299182409191n mn m n m m --⋅+-⋅=--，化简得：()()()21814180m n n mn -+--=，∴()2140n n n ---=，∴410n -=，即14n =，满足判别式大于0，即直线BP 方程为14x my =+，所以直线BP 过定点1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
广东省广州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(含答案解析)
广东省广州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A．
11 1a b c →→→
-
-+
二、多选题
三、填空题
四、双空题
(1)证明：//DE 平面ABP (2)求直线CP 与平面DCE 22．已知椭圆C ：22x y a b +2F ，T 为椭圆C 上任意一点，(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知()0,1A ，过点0,⎛ ⎝与x 轴的交点分别为P ，
参考答案：
则()()(0,2,0,2,2,0,0,2,1D C E 而,,DE AD DC AD DE ⊥⊥⋂则平面DCE 的一个法向量为设直线CP 与平面DCE 所成角为则2cos 1sin 1θθ⎛=-=- ⎝所以直线CP 与平面DCE 所成角的正切值为22．(1)2
21
2
x y +=(2)证明见解析
【分析】（1）依题意可得c a bc a ⎧⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎩
（2）设直线l 的方程为y kx =出韦达定理，由直线AM 、方程，再令0x =，得到2y =【详解】（1）解：因为椭圆又当T 位于上顶点或者下顶点时，又222a b c =+，所以1b c ==。
广州市天河区2022-2023学年高二上学期期末数学试题与答案
广州市天河区2022-2023学年高二上学期期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线l：30x ++=的倾斜角θ为（）A.6π B.3πC.23πD.56π【答案】D【解析】30x ++=的倾斜角θ满足tan k θ==，故56πθ=.故选：D.2.数列15-，17，19-，111，……的通项公式可能是n a =（）A.(1)32nn -+ B.1(1)23n n --+ C.(1)23n n -+ D.1(1)32n n --+【答案】C【解析】数列的分母5,7,9, 形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为()51223n n +-⨯=+，所以()123nn a n -=+.故选：C.3.若抛物线22(0)y px p =>上横坐标为52的点到焦点的距离为5，则p 的值为（）A.52B.2C.4D.5【答案】D【解析】由题意可得：抛物线22(0)y px p =>开口向右，焦点坐标为(,0)2p ，准线方程为：2px =-，因为抛物线上横坐标为52的点到焦点的距离为5，由抛物线的定义可得：55()52222p p --=+=，解之可得：5p =，故选：D .4.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设AB a =，AD b =，1AA c = ，若点P 满足1149A P A C=，则AP 等于（）A.445999a b c ++ B.544999a b c ++C.445999a b c -++ D.544999a b c -- 【答案】A 【解析】∵1111ABCD A B C D -是平行六面体，∴111111AC A D A B A A b a c =++=+-，114445()9999AP AA A P c b a c a b c=+=++-=++ ，故选：A ．5.圆C 1：2240x y +-=与圆C 2：2244120xy x y +-+-=的位置关系是（）A.内含B.内切C.相交D.外切【答案】C 【解析】1C 标准方程是224x y +=，圆心为1(0,0)C ，半径为2r =，2C 标准方程22(2)(220x y -++=），圆心2(2,2)C -，半径R =12C C =，022<<，因此两圆相交，故选：C ．6.若动点P 在直线1y x =+上，动点Q 在曲线22x y =-上，则|PQ |的最小值为（）A.14B.24C.2D.18【答案】B【解析】设与直线1y x =+平行的直线l 的方程为y x m =+，∴当直线l 与曲线22x y =-相切，且点Q 为切点时，P ，Q 两点间的距离最小，设切点()00,Q x y ， 22x y =-，所以212y x =-，y x ∴'=-，0011x x ∴-=⇒=-，012y ∴=-，∴点11,2Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴直线l 的方程为12y x =+，,P Q ∴两点间距离的最小值为平行线12y x =+和1y x =+间的距离，,P Q ∴两点间距离的最小值为4=.故选：B .7.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板（）A.1125块B.1134块C.1143块D.1152块【答案】B【解析】记从中间向外每环扇面形石板数为{}n a ，{}n a 是等差数列，且公差为9d =，19a =，设每层有k 环，则3n k =，3402n S =，{}n a 是等差数列，则232,,k k k k kS S S S S --也成等差数列，所以()()2322k k k k k S S S S S -=+-，所以23()3402n k k S S S =-=，21134k k S S -=，故选：B ．8.已知(0,7)A ，(0,7)B -，(12,2)C ，以C 为焦点的椭圆过A 、B 两点，则椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程为（）A.()221148x y y -=≤- B.()221148x y y -=≥C.(22148y x y -=≤-D.(22148y x y -=≥【答案】A 【解析】因为()0,7A ，()0,7B -，()12,2C ，所以13AC ==，15BC ==，14AB =，因为,A B 都在椭圆上，所以AF AC BF BC+=+，214AF BF BC AC -=-=<，故F 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的下支，又214c AB ==，22a AF BF =-=，即7c =，1a =，所以248b =，因此F 的轨迹方程是22148x y -=（1y ≤-）.故选：A.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列说法中正确的是（）A.方程22210x y x +-+=表示的曲线是圆B.椭圆22143x y +=的长轴长为2C.双曲线221169x y -=的渐近线方程为34y x =±D.抛物线22x y =的准线方程是18x =-【答案】CD 【解析】选项A:()2210x y -+=表示点()1,0，故A 错误；选项B:22143x y +=，2,a b ==长轴长为24a =，短轴长2b =B 错误；选项C:43x y =±化简34y x=±，选项C 正确；选项D:抛物线22x y =表示成标准方程为212y x =，122p =，焦点坐标为1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭准线为18x =-,选项D 正确；故选：CD.10.△ABC 的三个顶点坐标为A (4，0)，B (0，3)，C (6，7)，下列说法中正确的是（）A.边BC 与直线3210x y -+=平行B.边BC 上的高所在的直线的方程为32120x y +-=C.过点C 且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为130x y +-=D.过点A 且平分△ABC 面积的直线与边BC 相交于点D (3，5)【答案】BD【解析】直线BC 的斜率为732603k -==-，而直线3210x y -+=的斜率为32，两直线不平行，A 错；BC 边上高所在直线斜率为32-，直线方程为3(4)2y x =--，即32120x y +-=，B 正确；过C 且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为130x y +-=，过原点时方程为76y x=，C 错；过点A 且平分△ABC 面积的直线过边BC 中点，坐标为(3,5)，D 正确．故选：BD ．11.设数列{}n a 满足()12335212n a a a n a n ++++-= ，记数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为nS ，则（）A.12a = B.221n a n =-C.21n nS n =+ D.1n n S na +=【答案】ABD 【解析】由题意()12335212n a a a n a n++++-= ，当1n =时，得12a =，令()12335212n n T a a a n a n=++++-= ，则当2n ≥时，()11231352322n n T a a a n a n --=++++-=- 所以()1212n n n T T n a --=-=，即221n a n =-．又1n =时，122211a ==⨯-也成立，∴221n a n =-，故数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式为()()21121212121n n n n =-+--+，∴11111111113355723212121n S n n n n =-+-+-++-+----+ 1212121n n n =-=++，即有1n n S na +=．故选：ABD ．12.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 、G 分别为棱BC 、CC 1、BB1的中点，则下列选项中正确的是（）A.点A 到直线EF的距离为2B.平面AEF 截正方体所得截面为五边形C.三棱锥1A-AEF 的体积为23D.存在实数λ、μ使得1λμ=+ AG AF AE 【答案】ACD【解析】连接AC，由已知AE =，EF =3AF ====，2222cos 22AF EF AE AFE AF EF +-∠==⋅，AEF △中，2sin 2AFE ∠=，点A 到直线EF的距离为sin 322AF AFE ∠=⨯=，A正确；连接1BC ，则由,E F 分别是1,BC CC 中点得1//EF BC ，又正方体中易得11//BC AD ，因此1//EF AD ，∴1D ∈平面AEF ，从而截面为四边形1AEFD ，B 错；由已知点F 到直线1AA的距离行于AC =，1122EA A S =⨯⨯=!平面1A AE 即为平面11ACC A ，1//CF AA ，1AA ⊂平面1A AE ，CF ⊄平面1A AE ，则//CF 平面1A AE，∴F ，C 到平面1A AE 的距离相等，∴11A AEF E AA FV V --=，由正方体性质知B 到平面11ACC A，E 是BC 中点，则E 到平面1A AE 的距离为22d =，∴11111223323A AEF E AA F AA E V V S d --===⨯=!，C 正确；GF 与11A D 平行且相等（可由11B C 传递），则11A GFD 是平行四边形，11//AG D F ，1D F ⊂平面1AEFD ，1A G ⊄平面1AEFD ，∴1//A G 平面1AEFD ，实际上11AG D F = ，而在平面AEF 中，,AE AF 不共线，,AE AF可作为平面AEF 的基底，从而存在实数λ、μ使得1E D A AF F λμ=+ ，即1λμ=+ AG AF AE ，D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在各项均为正数的等比数列{na }中，若24354624a a a a a a ++=，则35a a +=_________．【答案】2【解析】等比数列{}n a 各项均为正数，∴22233552435435624()a a a a a a a a a a a a ++=++=+=，352a a +=（负值舍去）.故答案为：2.14.如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB 为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．早季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到_________米．【答案】8【解析】画出圆拱图示意图，设圆半径为R ,雨季时水位方程()22213R R --=，解得5R =；旱季时水位方程()2222R DE R -+=，解得4DE =，所以此时水面跨度为28DE =.所以答案为8.15.如图，在棱长为2的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD 中，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为_________．【答案】23【解析】如图，连接DN ，取DN 中点G ，连接MG ，又M 是AD 中点，则//MG AN ，所以异面直线AN ，CM 所成角是CMG ∠或其补角，由已知3AN CM ==1322MG AN ==，1322NG DN ==，又DN BC ⊥，222237()122CG NG NC =+=+=，MCG △中，373244cos 33232CMG +-∠=⨯⨯，∴异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为23．故答案为：23．16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，过F 点作圆222x y b +=的一条切线，切点为T ，延长FT 交椭圆C 于点A ，若T 为线段AF 的中点，则椭圆C 的离心率为_________．【答案】53【解析】设椭圆的左焦点为1F ,连接1AF ，OT ,由几何关系可知112OT AF b ==，则TF ==，即AF =，由椭圆的定义可知12AF AF a+=，即22b a +=且222c a b =-，整理得2320b ab -=，解得23b a =，53e ====.故答案为：3.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{na }为等差数列，nS 是其前n 项和，且315S =，1516a a +=．数列{nb }中，11b =，()*112+=∈n n b b n N ．（1）分别求数列{na }，{nb }的通项公式；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和nT ．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为315S =，1516a a +=，则1113315416a d a a d +=⎧⎨++=⎩，解得：123a d =⎧⎨=⎩，所以23(1)31n a n n =+-=-.又因为11b =，()*112+=∈n n b b n N ，所以数列{}n b 是以1为首项，以12为公比的等比数列，则11111((22n n n b --=⨯=，故数列{n a }，{n b }的通项公式分别为：23(1)31n a n n =+-=-，11111((22n n n b --=⨯=.（2）由（1）可知：11(31)()2n n n a b n -+=-+，所以112233n n nT a b a b a b a b =++++++++ 123123()()n n a a a a b b b b =+++++++++ 11[1()](231)21212n n n ⨯-+-=+-12312222n n n -⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.18.已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过坐标原点O 和点A (3)．（1）求圆C 的标准方程；（2）求过点P (4，4)与圆C 相切的直线方程．解：（1）设圆心C 坐标为(,0)a ，由a =2a =，∴圆半径为2r OC ==，圆方程为22(2)4x y -+=；（2）易知直线4x =与圆C 相切，当切线斜率存在时设方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k --+=，2=，解得34k =，切线方程为34(4)4y x -=-，即3440x y -+=，综上切线方程为3440x y -+=或4x =．19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB AC ===，D 、E 、F 分别是棱11A B 、1CC 、BC的中点．（1）求证：DF //平面11A ACC ；（2）若11AE A B ⊥，求平面DEF 与平面ABC 的夹角的余弦值．（1）证明：取AC 中点M ,连接1,FM A M，1A D AB∥，且112A D AB =，又FM AB ∥，12FM AB =，11,A D FM A D FM∴=∥，∴四边形是1A DFM 平行四边形，1DF A M ∴∥,又DF ⊄平面111,A ACC A M ⊂平面11A ACC ，所以DF ∥平面11A ACC .（2）解：因为11AE A B ⊥，11//A B AB，所以AE AB ⊥，又因为直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB ⊥且1AA AE A ⋂=，1,AA AE ⊂平面11A ACC ，所以⊥AB 平面11A ACC ，又⊂AC 平面11A ACC ，所以⊥AB AC ，所以AB 、AC 、1AA 两两垂直，故以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题知，12AA AB AC ===，所以()0,0,0A ，()0,2,1E ，()1,1,0F ，()10,0,2A ，()12,0,2B ，()1,0,2D ，设平面DEF 的法向量为(),,n x y z =，()1,2,1DE =--，()0,1,2DF =-，则00n FE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，200x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩，取1y =，得()1,1,1n =，平面ABC 的一个法向量()0,0,1m =，3cos ,3m n m n m n⋅<>===所以平面DEF 与平面ABC 的夹角的余弦值为33.20.设数列{na }的前n 项和为nS ，已知11a =，22a =，且*2+1+3+3()+=∈n n n a S S n N ．（1）求证：23n na a +=；（2）求2nS ．（1）证明：由条件，对任意*n ∈N ，有2133n n n a S S ++=-+*()∈n N ，因而对任意*,2n N n ∈≥，有1133n n n a S S +-=-+*()∈n N ，两式相减，得2113n n n n a a a a +++-=-，即23,(2)n n a a n +=≥，又121,2a a ==，所以3121121333()33a S S a a a a =-+=-++=，故对一切*n ∈N ，23n n a a +=．（2）解：由（1）知，0n a ≠，所以23n n a a +=，于是数列21{}n a -是首项11a =，公比为3的等比数列，数列2{}n a 是首项12a =，公比为3的等比数列，所以112123,23n n n n a a ---==⨯，于是21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a -=+++=+++++++1113(31)(133)2(133)3(133)2n n n n ----=+++⨯++=⨯++=．所以123(31)33222n n nS +=-=-.21.如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =1，E 为AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 折起到1A DE △(1A ∉平面ABCD )的位置．（1）判断当△ADE 折起到什么位置时，四棱锥1A BCDE-的体积最大(无需证明)，并求出这个最大体积；（2）若1AC =，点M 在线段A 1C 上，当直线BM 与平面DEC 所成角的正弦值为1010时，试判断点M 的位置．解：（1）取DE 中点O ．连接1AO ，则1AO DE ⊥，折叠过程中1AO 始终与DE 垂直，因此当1A O ⊥平面BCDE 时，1A 点到平面BCDE 的距离最大为1AO ，由1AO ⊂平面1A DE，得平面1A DE ⊥平面BCDE ，由已知122A O =，21321122BCDE ABCD AED S S S =-=⨯-⨯=!，111132233224A BCDE BCDE V S A O -=⋅=⨯⨯=；（2）由已知ED CE ==222DE CE CD +=，DE CE ⊥，又CE =2OE =，∴2OC ===，1AC =，所以22211A C A O OC =+，1A O OC ⊥，又1AO DE ⊥，DE OC O = ，,DE OC ⊂平面BCDE ，∴1A O ⊥平面BCDE ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，其中//CE x轴．12A，2,0)2C -，122,22A C =--，设x 轴与CD 交于点N ，则N 为CD 中点，连接BN ，BN 交OC 于点P ，由DN 与BE 平行且相等得DEBN 是平行四边形，所以//BN DE ，于是P 为CE 中点，22NP OE ==，1222BP CE ==，因此BN BP PN =+=，所以2,2B，122(22BA =- ，设11,,)22A M A C λλλ==-- ，(01)λ<<，则112222,)2222BM BA A M λλ=+=--+-+ ，平面DEC 的一个法向量是(0,0,1)n = ，因为直线BM 与平面DEC 所成角的正弦值为1010，所以cos ,10n BM n BM n BM⋅==，解得12λ=（2λ=舍去），所以M 是1AC 中点．22.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为()3,0F，点(P 在双曲线C上．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）设A 、B 分别为双曲线C 的左、右顶点，若过点F 的直线l 交双曲线C 的右支于M 、N 两点，设直线AM 、BN 的斜率分别为1k 、2k ，是否存在实数λ使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得，2222222341a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2245a b ⎧=⎨=⎩，故双曲线C 的标准方程为22145x y -=；（2）直线l 交双曲线C 的右支于M 、N 两点，故斜率不为0，设为3x my =+，联立双曲线方程化简得()225430250my my -++=，()()()222304255440010m m m D =-创-=+>，则223025,5454M N M Nm y y y y m m +=-=--，直线l 与右支交于两点，则225054M N y y m =<-，则，()2,0A -，()2,0B ，12,022N MM N y y k k x x ==¹+-，()()()()122122552MM N M N M N MM N N M N M M N N N y y x y my my y y k x y k y x y my my y y x -+++====+++-，∵65M N M N y y m y y +=-，∴()56M N M N my y y y =-+，∴()()125151 666552555666M N M M NM N N M Ny y y y ykk y y y y y-++-===--++-+，∴存在15λ=-使得12k kλ=.。
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广州市高二上学期期末数学试卷D卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）已知p：直线a与平面α内无数条直线垂直，q：直线a与平面α垂直，则p是q的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
3. （2分） (2017高三上·威海期末) 设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列四个命题为真命题的是（）
①若m⊥α，n⊥m，则n∥α；
②若α∥β，n⊥α，m∥β，则n⊥m；
③若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
④若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β．
A . ②③
B . ③④
C . ②④
D . ①④
4. （2分） (2018高二上·汕头期末) 已知集合，，则（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）过轴上的点的直线与抛物线交于两点，若为定值，则实数
的值为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2017高三上·定州开学考) 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（）
A . 30°
B . 45°
C . 60°
D . 90°
7. （2分） (2018高二上·南阳月考) 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则的面积为（）
A .
B .
C .
D . 或
8. （2分）已知变量x，y满足约束条件，则的最小值为（）
A . 3
B . 1
C . －5
D . －6
9. （2分）(2017·漳州模拟) 曲线C是平面内与两个定点F1（﹣2，0），F2（2，0）的距离之积等于9的点的轨迹．给出下列命题：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标轴对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的周长有最小值10；
④若点P在曲线C上，则△F1PF2面积有最大值．
其中正确命题的个数为（）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
10. （2分） (2018高三上·河北月考) 对任意的，总有，则的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共6题；共6分)
11. （1分）(2017·浦东模拟) 如图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为________．
12. （1分） (2016高二下·桂林开学考) 棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球表面积为________．
13. （1分） (2016高二上·湖南期中) 若椭圆 =1（a＞b＞0）上的任意一点P到右焦点F的距离|PF|均满足|PF|2﹣2a|PF|+c2≤0，则该椭圆的离心率e的取值范围为________．
14. （1分）已知四棱椎P﹣ABCD的底面是边长为6的正方形，且该四棱椎的体积为96，则点P到面ABCD的距离是________．
15. （1分） (2017高二下·呼伦贝尔开学考) 若x∈（1，+∞），则y=x+ 的最小值是________．
16. （1分）直线过点P（5，6），它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则此直线方程为________
三、解答题 (共4题；共30分)
17. （5分）（1）已知圆C经过O（0，0），Q（﹣2，2）两点，且被直线y=1截得的线段长为2．求圆C 的方程．
（2）已知点P（1，1）和圆x2+y2﹣4y=0，过点P的动直线l与圆交于A，B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
18. （10分） (2017高一下·黄石期末) 正四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是边长2为的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形．
（1）求正四棱锥V﹣ABCD的体积．
（2）求二面角V﹣BC﹣A的平面角的大小．
19. （5分） (2019高三上·浙江期末) 已知直线与椭圆恰有一个公共点
，与圆相交于两点.
（I）求与的关系式；
（II）点与点关于坐标原点对称.若当时，的面积取到最大值，求椭圆的离心率.
20. （10分） (2017高一下·龙海期中) 某食品厂定期购买面粉．已知该厂每天需用面粉6t，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．（1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210t时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共6题；共6分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共4题；共30分) 17-1、
18-1、
18-2、19-1、20-1、
20-2、。