污水处理模型

污水处理模型

前提概要

随着经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题，而水资源更是关系着每个居民的日常生活，因此对于污水处理这一特殊的问题我们在解决时就应该本着高效的原则去实施，在这个污水处理问题中，我们先建立了一般情况下的模型，然后将该模型应用到实际问题中从而解决了实际问题。在模型的建立中我们要考虑工厂的净化能力，江水的自净能力，在保证江水经这一系列的处理后在到达下一个居民点后要达到国家标准，还要花费最少，对该问题进行全面的分析后可知这是一个运筹学方面关于线性规划的最优解问题，在该模型的建立中我们针对江水污水浓度在每个居民点之前小于国家标准这一条件对其建立线性约束条件，然后综合考虑费用最小，在结合三个处理厂各自的情况后关于费用抽象数模型的目标函数，然后应用LINDO软件求解该问题。

问题的提出

如下图，有若干工厂的污水经排污口流入某江，各口有污水处理站，处理站对面是居民点。工厂1上游江水流量和污水浓度，国家标准规定的水的污染浓度，以及各个工厂的污水流量和污水浓度均已知道。设污水处理费用与污水处理前后的浓度差与污水流量成正比，使每单位流量的污水下降一个浓度单位需要的处理费用（称处理系数）为已知。处理后的污水与江水混合，流到下一个排污口之前，自然状态下的江水也会使污水浓度降低一个比例系数（称自净系数），该系数可以估计。试确定各污水处理站出口的污水浓度，使在符合国家标准规定的条件下总的处理费用最小。

工厂1 工厂2 工厂3

处理站1 处理站2 处理站3

江水

居民点1 居民点2 居民点3

问题的分析

通过对该污水处理所花费用最少问题的分析，我们可知在此问题中有多个污水浓度，江水的原始污水浓度，工厂排出的污水浓度，处理厂排出的污水浓度，以及当处理厂排出污水与江水混合后再经江水自净后的浓度，在这几个浓度中只有经处理厂排出的污水的浓度是未知的，其关系着整个问题，要使总费用最少，江中每段的污水浓度都达到国家标准，江水中污水浓度在到达下一居民点之前须达到国家标准1（mg/l），那么问题的重点就在于对污水浓度的认识。在问题中有三个工厂以及对应的三个污水处理厂，那么这三个污水处理厂各向江中投放的污水浓度就要有一个界值，又因当处理厂将污水排到江中之后污水会随着江水不断向下游移动，因此下游污水的浓度与上游污水的浓度是紧密相关的，即江面中每段污水的浓度都是有联系的，在模型的建立过程中我们就要考虑应用递推的方法进行相邻两端之间污水浓度的联系，在问题的求解中因所花费用都是用来对污水的处理，因此对个处理厂排出的污水浓度的确定就显得至关重要，只有确定了这三个未知数即这三个界值后，我们才能建立目标函数从而进一步得到最小花费。基于对江水浓度的限定与对花费最少两方面的考虑，我们建立了线性规划模型。

具体问题分析如下：

对于第一个问题

(1)为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准,最少需要花费多少费用的

解也就是说对于工厂1所排出的污水经过污水处理厂处理后的污水与江水混合后的污水浓度就得达到国家标准。同时工厂2，3排出的经过处理的污水与江水经过自净的水混合后也要达到国家标准。这样在求解具体问题的时候每个限制条件在江水与工厂排出的水混合时进行设定。

对于第二个问题

(2)如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准最少需要花费多少费用,对居民点1来说其上游的江水污水浓度为0.8(mg/l),低于国家的标准污水浓度，无需考虑。也就是说在第二，三个居民点之前，污水浓度必须达到国家标准，这时处理问题的限制条件发生在第二三个居民点处。这时工厂1排出的污水经过污水厂的处理之后与江水混合再经过江水自净到达居民点2 之前须达到国家标准，居民点3同理。

问题假设与符号说明：假设在两个江面之间的江水流量和污水浓度在一小段范围内变化不大，即将一段江面看做一个点，我们对该点进行处理。

X1:工厂1排出污水的浓度;X2:工厂2排出污水的浓度;X3:工厂3排出污水的浓度。Y1:工厂1排出的污水经过处理厂处理后的浓度;Y2:工厂2排出的污水经过处理厂处理后的浓度。Y3:工厂3排出的污水经过处理厂处理后的浓度。

Z1:处理厂1排出的污水浓度与江水混合后的浓度(问题2中加入自净)。

Z2:处理厂2排出的污水浓度与江水混合后的浓度(问题2中加入自净)。

Z3:处理厂3排出的污水浓度与江水混合后的浓度(问题2中加入自净)。

F1:处理厂1处理所用的处理费用;F2:处理厂2处理所用的处理费用。

F3:处理厂3处理所用的处理费用。

问题的分析：

首先求解问题是求 Min F1+F2+F3

两个问题具体分析：

1：保证所有地段即保证污水与江水混合一刹那就符合国家标准低于1mg/l。

即

2：保证所有居民段即在上式上加入自净系数。即：

模型的建立：

决策目标：Min F1+F2+F3

处理厂排出的污水:

工厂排出的污水::

X1=100

X2=60

X3=50

问题1：

处理厂排出口的污水混合后浓度(这时的污水浓度最高所以保证此刻的污水浓度低于1即可)：

处理厂1：z1:

处理厂2：

处理厂3：

问题2：

到达居民点1之前的上游污水浓度为一开始的江水污染浓度忽略不计。

到达居民点2之前的上游污水浓度:

到达居民点3之前的上游污水浓度:z3:

模型求解：

没有出现决策变量的乘积。可以用LINGO得出最优解。

问题1：

Global optimal solution found.

Objective value: 489.5000

Infeasibilities: 0.000000

Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost

F1 295.0000 0.000000 F2 194.5000 0.000000 F3 0.000000 1.000000 X1 100.0000 0.000000 X2 60.00000 0.000000 X3 50.00000 0.000000 Y1 41.00000 0.000000 Y2 21.10000 0.000000 Y3 50.00000 0.000000 Z1 1.000000 0.000000 Z2 1.000000 0.000000 Z3 0.8433498 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 489.5000 -1.000000

2 0.000000 -5.000000

3 0.000000 -5.000000