关于污水处理费用的数学模型(doc 8页)
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有关污水处理费用的数学模型
摘要
我们就工厂污水处理费用问题建立了一个最优化模型。该模型在确保排入江中后的江水污染浓度符合国家标准规定的水的污染浓度的条件下，考虑了江水污染浓度和工厂处理后的水的污染浓度问题。
在第二问中，设定还未与居民点对面工厂混合的水为该居民点的上游。
最后，我们用LINGO软件求出最优解，即工厂处理的最小费用。
关键词：江水流量污染浓度自净数学模型
1．问题的提出：
如下图，有若干工厂的污水经排污口流入某江，各口有污水处理站，处理站对面是居民点，工厂1上游江水流量和污水浓度，国家标准规定的水的污染浓度，以及各个工厂的污水流量和污水浓度均已知道。设污水处理费用与污水处理前后的浓度差及污水流量成正比，使每单位流量的污水下降一个浓度单位需要的处理费用（称处理系数）为已知。处理后的污水与江水混合，流到下一个排污口之前，自然状态下的江水也会使污水浓度降低一个比例系数（称自净系数），该系数可以估计，试确定各污水处理厂出口的污水浓度，使在符合国家标准规定的条件下总的费用最小。
先建立一般情况的数学模型，再求以下的具体问题：
设上游江水流量为1000*1012L/min，污水浓度为0.8mg/l，3个工厂的污水流量均为5*1012l/min，污水浓度（从上游到下游排列）分别为100，60，50(mg/l)，处理系数均为1万元/((1012l/min)*(mg/l)，3个工厂之间的两段江面的自净系数（从上游到下游）分别为0.9和0.6。国家标准规定水的污染浓度不能超过1mg/l
（1）、为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？
（2）、如果只要求三个居民点上游的不污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？
2．问题的分析：
根据题目中：污水处理费用与污水处理前后的浓度差及污水流量成正比，得
Q i=k(P i1-p i2)*C i;
其中，Qi 表示任一工厂的处理费用，K表示处理系数，Pi1表示任一工厂处理前的小的污染浓度，Pi2表示此工厂处理后的水的污染浓度，Ci表示这个工厂的污水流量。
而总费用就是三个工厂处理费用的总和，即：
Q=Q1+Q2+Q3；
其中，Q表示处理总费用，Q1，Q2，Q3分别表示三个工厂的处理费用。
3．问题的假设：
工厂处理后的污水一排入江中，就立即与江水混合；
江水流量和污水流量都是一定的，不会再发生变化；
4．符号说明：
C：表示工厂上游的江水流量；
C1：表示3个工厂的污水流量；
P：表示国家标准规定的水的污染浓度；
P11：表示工厂1的未处理的污水浓度；
P12：表示工厂1处理后的污水浓度；
P21：表示工厂2的未处理的污水浓度
P22：表示工厂2处理后的污水浓度；
P31：表示工厂3的未处理的污水浓度；
P32：表示工厂3处理后的污水浓度；
K1：表示处理系数；
K2：表示自净系数；
Q：表示污水处理费用。
5．模型的建立与求解：
问题一：
第一个工厂的污水处理费用：
Q1=K1（P11-P12）*C1；
同理：
第二、第三工厂的污水处理费用为：
Q2=K1（P21-P22）*C1；
Q3=K1（P31-P32）*C1；
总费用：Q=K1（P11-P12+P21-P22+P31-P32）*C1；
约束条件：处理后的污水与江水混合后的污染浓度要符合国家标准。以第一工厂为例：（C1*P12+C*P1）/（C1+C）<=P;
同理：工厂2、3的分别为：
（K2（CP1+C1P12）/（C1+C）*C+P22*C1）/（2C1+C）<=P;
(K2’(K2((CP1+C1P12)/(C1+C))*C+P22*C1)/(2C1+C))*C+P32))/(3C1+C)<=P;
用LINGO软件求得结果如下：总费用为485万，P12=44，P22=22，P32=50。
问题二：居民点1的上游江水污染浓度为0.8，已达国家标准。
居民点2的上游江水污染浓度0.9（CP1+C1P12）/（C1+C）<=P;
此时费用Q=0.9(P11-P12)*C1;
居民点3的上游江水污染浓度(0.6(0.9（CP1+C1P12）/（C1+C）)*C+C1P22)/(2C1+C)<=P;
此时费用：Q=（P21-P22）*C1；
总费用：Q=（P11-P12+P21-P22）*C1；
用LINGO软件求得结果如下：
总费用为：183万，P12=63.33333; P22=60
六．附件：
用LINGO软件求解程序如下：
问题一：
6．问题的分析：
根据题目中：污水处理费用与污水处理前后的浓度差及污水流量成正比，得
Q i=k(P i1-p i2)*C i;
其中，Qi 表示任一工厂的处理费用，K表示处理系数，Pi1表示任一工厂处理前的小的污染浓度，Pi2表示此工厂处理后的水的污染浓度，Ci表示这个工厂的污水流量。
而总费用就是三个工厂处理费用的总和，即：
Q=Q1+Q2+Q3；
其中，Q表示处理总费用，Q1，Q2，Q3分别表示三个工厂的处理费用。
7．问题的假设：
工厂处理后的污水一排入江中，就立即与江水混合；
江水流量和污水流量都是一定的，不会再发生变化；
8．符号说明：
C：表示工厂上游的江水流量；
C1：表示3个工厂的污水流量；
P：表示国家标准规定的水的污染浓度；
P11：表示工厂1的未处理的污水浓度；
P12：表示工厂1处理后的污水浓度；
P21：表示工厂2的未处理的污水浓度
P22：表示工厂2处理后的污水浓度；
P31：表示工厂3的未处理的污水浓度；
P32：表示工厂3处理后的污水浓度；
K1：表示处理系数；
K2：表示自净系数；
Q：表示污水处理费用。
9．模型的建立与求解：
问题一：
第一个工厂的污水处理费用：
Q1=K1（P11-P12）*C1；
同理：
第二、第三工厂的污水处理费用为：
Q2=K1（P21-P22）*C1；
Q3=K1（P31-P32）*C1；
总费用：Q=K1（P11-P12+P21-P22+P31-P32）*C1；
约束条件：处理后的污水与江水混合后的污染浓度要符合国家标准。以第一工厂为例：（C1*P12+C*P1）/（C1+C）<=P;
同理：工厂2、3的分别为：
（K2（CP1+C1P12）/（C1+C）*C+P22*C1）/（2C1+C）<=P;
(K2’(K2((CP1+C1P12)/(C1+C))*C+P22*C1)/(2C1+C))*C+P32))/(3C1+C)<=P;
用LINGO软件求得结果如下：总费用为485万，P12=44，P22=22，P32=50。
问题二：居民点1的上游江水污染浓度为0.8，已达国家标准。
居民点2的上游江水污染浓度0.9（CP1+C1P12）/（C1+C）<=P;
此时费用Q=0.9(P11-P12)*C1;
居民点3的上游江水污染浓度(0.6(0.9（CP1+C1P12）/（C1+C）)*C+C1P22)/(2C1+C)<=P;
此时费用：Q=（P21-P22）*C1；
总费用：Q=（P11-P12+P21-P22）*C1；
用LINGO软件求得结果如下：
总费用为：183万，P12=63.33333; P22=60
六．附件：
用LINGO软件求解程序如下：
问题一：