三阶循环数列的通项公式
数列通项公式
数列通向公式的求解1、公式法：2、累加法：3、累乘法：4、a n与S n的关系：5、构造法：（1）、待定系数法：（2）、同除+待定系数：（3）、取倒数+待定系数：（4）、取对数+待定系数：（5）、连续三项：6、无穷递推关系式：（减去前n-1项剩下最后一项）7、连续两项：8、不动点法：→不动点：方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点。
数列通项公式典例分析:1、已知数列{a n}满足_________________2、已知数列{a n}满足_________________3、已知数列{a n}满足___________;___________4、已知数列{a n}满足__________________5、已知数列{a n}满足_________________6、已知数列{a n}满足_____________7、已知数列{a n}满足________________8、已知数列{a n}满足______________9、已知数列{a n}满足_________________10、已知数列{a n}满足__________11、已知数列{a n}满足__________________12、已知数列{a n}满足_________________13、已知数列{a n}满足__________________14、已知数列{a n}满足__________________15、已知数列{a n}满足_____________________16、已知数列满足，，则=________17、设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则=________18、在数列中，，，．则=______________19、数列中，，（n≥2）,则=______________20、已知数列的首项，，则=__________________21、设数列｛an｝满足,则=_______________22、已知数列满足且,则=___________23、设数列满足,则=______________。
数列的递推公式与通项公式前n项和公式
二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。
在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。
注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。
（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。
一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。
数列的极限与通项公式
数列的极限与通项公式数列是数学中的一个重要概念，经常在各个领域中被使用。
数列的极限与通项公式是数列研究中的关键内容，本文将介绍数列的基本概念，探讨数列极限及其性质，最后讲解数列的通项公式及应用。
一、数列的基本概念数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
一般用字母表示数列的一般项，常用形式为{a_n}或(a_1, a_2, a_3, ...)。
其中，a_n表示数列的第n项，n表示项的顺序。
二、数列的极限数列的极限是指当数列中的项数趋于无穷大时，数列中的项的极限值。
记作lim(a_n)或a_n→∞。
1. 数列的极限存在若存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，当n>N时，有|a_n - L| < ε，则称L为数列{a_n}的极限，并记作lim(a_n) = L。
2. 数列的极限性质（1）极限的唯一性：如果数列{a_n}有极限，则极限是唯一的。
（2）夹逼准则：若数列{a_n}，{b_n}，{c_n}满足a_n ≤ b_n ≤ c_n，并且lim(a_n) = lim(c_n) = L，则lim(b_n) = L。
（3）有界性：若数列{a_n}有极限，则数列是有界的。
（4）收敛数列与发散数列：若数列{a_n}有极限，则称之为收敛数列；反之，称为发散数列。
三、数列的通项公式数列的通项公式是表示数列第n项的一般形式。
通过通项公式，我们可以根据项的顺序n计算数列中的特定项的值。
1. 等差数列的通项公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都相等的数列。
若等差数列的首项为a_1，公差为d，则它的通项公式为a_n = a_1 + (n-1)d。
2. 等比数列的通项公式等比数列是指数列中任意两个相邻项之比都相等的数列。
若等比数列的首项为a_1，公比为q，则它的通项公式为a_n = a_1 * q^(n-1)。
3. 斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是指首项和第二项都为1，从第三项开始，每一项都是前两项之和的数列。
数列的通项公式求法 (2)
数列的通项公式求法一、累加法：一阶递推数列，系数相等1.（全国高考）已知数列{}n a 满足a 1=1,a n =a n-1+3n-1 (n ≥2) ; 求a n .2.已知数列{}n a 满足a 1=1, a n =a n-1+)2(,)1(1≥-n n n , 求a n3.已知数列{}n a 满足a 1=1, a n+1=a n +lg )11(n+求a n4.已知数列{}n a 满足a 1=1, nnn na a a +=+11, 求a n二．累乘法： 形如)(1n f a a n n=+ 1.数列{}n a 中，0)1(,0,121211=-⋅++>=++n n n n n na a a a n a a 且求数列的通项公式a n2.已知数列{}n a 中，a 1=1,n n n a nn a a 求,21+=+3.已知数列{}n a 满足n n n a a n S a 求,,2121⋅==三．构造等比数列：一阶递推数列，系数不相等1.已知数列{}n a 满足a 1=2，231+=+n n a a , 求a n2.已知数列{}n a 满足a 1=1, 1211+-=+n n a a ,求a n3,设二次方程36260112=+-=+-+βαβαβα满足，有两根x a x a n n 试用1+n n a a 表示 (2) 当{}的通项公式。
时，求n a a 671=四、公式法：⎩⎨⎧≥-==-)2(,)1(,11n S S n S a n n n1.已知数列{}n a 满足前n 项和S n =n 2+1,数列{}12+=n n a b ,且前n 项和为T n ,设n n n T T c -=+12.(1)求{}n a 和{}n b 的通顶公式； （2）判断{}n c 的单调性。
2.已知数列{},6921n S n a n n n -=⋅-项和的前则数列{}n a 的通项公式为______________3.（全国高考）已知数列{}n a 满足：n n S a a 31,111==+ (1)求a n ; (2) 求n a a a 242+++4.已知数列{}n a 满足 a n >0,其前n 项和为S n ,2111322,32++=+=n n n a S S a 且满足 (1)求数列{}n a 的通项公式； (2) .49111122242322<++++≥n a a a a n 时，求证：当5.设 数列{}n a 其前n 项和为S n , 且01,)1(，其中-≠-+=λλλn n a S （1）证明：数列{}n a 是等比数列；（2）设 数列{}n a 的公比为q=f(λ),数列 {}n b 满足)2,)((,2111≥∈==*-n N n b f b b n n , 求{}n b 的通项公式； （3)记{}.),11(1n n nn n T n C b a C 项和的前求数列，-==λ6.已知数列{}n a 满足,25212121221n a a a n n +=+++ 求{}n a 和前n 项和S n.7.（山东高考）数列{}n a 满足)(,333313221*-∈=++++N n na a a a n n (1)求a n ; (2)设{}n nn b a nb 求数列,=的前n 项和S n .五、.构造等差数列、等比数列 1. 数列{}n a 满足：a 1=1,221+=+n nn a a a , 求 a n_2数列 {}n a 中，)2(,2,111≥⋅==-n S S a a n n n , 求a n ;3、数列 {}n a 中，a 1=1,当)21(22-=≥n n n S a S n 时，有(1)求S n 的表达式； (2)设12+=n S b nn , 求数列{}n b 的前n 项和T n .4.已知)0(,3,2)(,≥x x f x 等差数列，又数列 {}n a 中a n >0,a 1=3,前n 项和S n 对的正整数都有1≥∀n )(S 1-=n n S f(1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 设{}n n n nn n T n b T a a b 项和，求的前为的等比中项，且是1,11+.5、 数列 {}n a 中，a n >0,前n 项和为,,21n nn n S a a S =+且 求a n6、正数数列{}n a 的前n 项和为S n ,且对任意正整数n 都有12+=n n a S (1)求数列{}n a 的通项公式； (2) 设11+⋅=n n n a a b ,求{}n b 的前n 项和T n .7、正数数列{}n a 中，前n 项和S n 满足2)2(81+=n n a S (1)求数列{}n a 的通项公式； (2) 若{}项和。
三阶递归序列的性质及其应用
单位代码 01学号 **********分类号 024密级毕业论文三阶递归序列的性质及其应用院(系)名称信息工程学院专业名称信息与计算科学学生姓名**指导教师***2015 年 5 月15 日三阶递归序列的性质及其应用摘要斐波那契序列是一种经典的递推关系序列，由于后来的研究发现使得斐波那契序列有越来越多的性质被人们所发现，越来越多的应用被人们所使用，因而引起了国际上好奇数学家们的极大关注．上个世纪有一本专门研究它的杂志——《Fibonacci Quarterly (斐波那契季刊)》于1963年开始发行，并且在美国还专门设立了斐波那契数委员会，研究和处理有关问题．如今所发现的许多生物和生活现象也都与斐波那契数密切相关，同时其推广和应用几乎渗透到数学的各个分支，并且在物理、生物等自然科学中起着重要作用．后来科学家和研究者们又将二阶的斐波那契序列进行推广，得到了广义的三阶递归序列和三阶斐波那契序列．其中三阶斐波那契序列形式多样，而把三阶斐波那契序列与矩阵法联系起来，一直受到人们的青睐．本文便利用三阶线性递归序列的系数矩阵的若当标准形推出了三阶斐波那契序列的通项表达式以及前n 项和计算公式的性质，并得到了一些与斐波那契数列相似的性质，本文同时也涉及了三阶斐波那契数列的运用问题．关键词：递归序列，三阶斐波那契序列，若当标准型，矩阵法Third-order Recursion Sequence’s Properties and its ApplicationsAuthor: Zou KeTutor: Tang FengjunAbstractThe Fibonacci sequence is a kind of classic sequence of recursive relations. Due to later studies had found that the Fibonacci sequence had more and more natures to be found, and that had more and more applies to be used by people, thus it had caused the mathematicians being curious in the world. In the last century the specializes of a magazine——《Fibonacci Quarterly》was launched in 1963.In the United States it also set up a special committee of Fibonacci number to study and deal with related issues. Now in many biological and life phenomenon are closely related to the Fibonacci Numbers. At the same time its popularization and application of pervades virtually were a branch of mathematics, and in the natural sciences such as physic, biology also played an important role.Later scientists and researchers had popularized the second order of the Fibonacci sequence, so that had obtained the generalized third-order recursion sequence and the third-order Fibonacci sequence. The three-order of the Fibonacci sequence had varied forms. As we all known, the third-order the Fibonacci sequence was linked with matrix method, also had been under the favor of people. In this paper, by using the third-order of the coefficient matrix of the linear recursion sequence when standard form being launched the third order item expressions of the Fibonacci sequence and the nature of the calculation formula of the first n items. People also got some properties which were similar to the Fibonacci sequence. This paper also involves the use of the three-order about the Fibonacci sequence problems. Keywords: Recursion sequence, the third order of the Fibonacci sequence, Jordan Standard, Matrix method目录1 绪论 (1)1.1 斐波那契序列简介 (1)1.2 矩阵方法的背景简介 (2)2 几种初级递推序列的介绍 (3)2.1 二阶斐波那契序列 (3)2.2 卢卡斯序列 (3)3 三阶线性递归序列 (5)3.1 三阶线性递归序列的定义 (5)3.2 三阶线性递归序列特征值与通项表达式 (5)3.2.1 若序列特征根两两不同 (5)3.2.2 若序列特征根两个相等 (6)3.2.3 若序列特征根全相等 (7)4 三阶线性递推序列通项及前n项和计算公式 (10)4.1 三阶线性递推序列通项及前n项和 (10)4.2 一类特殊的3 阶线性递推序列 (12)5 三阶斐波那契数列 (15)5.1 三阶斐波那契数列和矩阵的定义 (15)5.2 三阶斐波那契数列的通项表示的矩阵法及Cassini公式 (16)5.2.1 三阶斐波那契数列的通项表示的矩阵法 (16)5.2.2 三阶斐波那契数列的通项公式的Cassini公式 (16)5.3 三阶斐波那契数列通项表示的行列式形式 (17)5.4 r阶斐波那契数列及性质 (18)6 三阶线性递归序列的应用 (19)7 结论 (21)致谢 .......................................................................................................... 错误!未定义书签。
(完整版)数列通项公式及其求和公式
一、数列通项公式的求法（1）已知数列的前n 项和n S ,求通项n a ； （2）数学归纳法：先猜后证;（3）叠加法(迭加法)：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L ；叠乘法(迭乘法)：1223322111a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅=-----ΛΛ. 【叠加法主要应用于数列{}n a 满足1()n n a a f n +=+，其中()f n 是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成1()n n a a f n +-=，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出n a ，从而求出n s 】（4）构造法(待定系数法):形如1n n a ka b -=+、1nn n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列；【用构造法求数列的通项或前n 项和：所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的通项或前n 项和.】 （5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决.【根据递推公式求通项公式的常见类型】 ①1+1=,()n n a a a a f n =+型，其中()f n 是可以和数列，用累加法求通项公式，即1思路（叠加法）1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得111()n n i a a f n -=-=∑，即111()n n i a a f n -==+∑例题1：已知11a =，1n n a a n -=+，求n a解：∵1n n a a n -=+ ∴1n n a a n --=，依次类推有：122321122n n n n a a n a a n a a -----=--=--=、、…∴将各式叠加并整理得12n n i a a n =-=∑，121(1)2n nn i i n n a a n n ==+=+==∑∑ 思路（转化法）1(1)n n a pa f n -=+-，递推式两边同时除以np 得11(1)n n n n na a f n p p p ---=+，我们令n n n a b p =，那么问题就可以转化为类型一进行求解了.例题： 已知12a =，1142n n n a a ++=+，求n a解：∵1142n n n a a ++=+ ∴142nn n a a -=+，则111442nn n nn a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∵令4n n na b =，则112nn n b b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，依此类推有11212n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、22312n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、…、22112b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴各式叠加得1212nnn i b b =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，即122111*********n n n n n n n n i i i b b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ∴1441422n nnn n n n a b ⎡⎤⎛⎫=⋅=⋅-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦②1+1=,()n n a a a a f n =⋅型，其中()f n 是可以求积数列，用累乘法求通项公式，即1(2)(1)f f a思路（叠乘法）：1(1)n n a f n a -=-，依次类推有：12(2)n n a f n a --=-、23(3)n n a f n a --=-、…、21(1)af a =， 将各式叠乘并整理得1(1)(2)(3)na f f f a =⋅⋅⋅…(2)(1)f n f n ⋅-⋅-，即(1)(2)(3)n a f f f =⋅⋅⋅…1(2)(1)f n f n a ⋅-⋅-⋅例题：已知11a =，111n n n a a n --=+，求n a . 解：∵111n n n a a n --=+ ∴111n n a n a n --=+，依次类推有：122n n a n a n ---=、2331n n a n a n ---=-、…、3224a a =、2113a a = ∵11a =∴将各式叠乘并整理得112311n a n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+-…2143⋅⋅，即12311n n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+- (212)43(1)n n ⋅⋅=+ ③1+1=,n n a a a pa q =+型（其中p q 、是常数），可以采用待定系数法、换元法求通项公式，即1()11n n q q a p a p p +-=---，设1n n qba p=--，则1n n b pb +=.利用②的方法求出n b 进而求出n a 当1p =时，数列{}n a 是等差数列；当0,0p q ≠=时，数列{}n a 是等比数列； 当0p ≠且1,0p q ≠≠时，可以将递推关系转化为111n n q q a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭,则数列1nq a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以11qa p +-为首项，p 为公比的等比数列.思路（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1qp μ=-，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1111n n q q a a p p p -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，即1111n nq qa a p p p -⎛⎫=++ ⎪--⎝⎭ 例题：已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式 解：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=∵11a =∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列∴113422n n n a -++=⋅=，即123n n a +=-④1+1=,n n n a a a pa q =+型,其中p q 、是常数且0,1q q ≠≠，111n n n n a a p q q q q ++=⋅+,设n n n a b q =，则11n np b b q q+=⋅+思路（构造法）：11n n n a pa rq --=+，设11n n n n a a q q μλμ--⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()11n n q p q rq λμλ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而解得p q r p q λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩那么n na r qp q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以1a r q p q +-为首项，p q 为公比的等比数列 例题：已知11a =，112n n n a a --=-+，求n a 。
数列三阶递推公式求法
对于一个三阶数列，其一般形式为$a_n = b_1 a_{n-1} + b_2 a_{n-2} + b_3 a_{n-3} + c$，其中$b_1, b_2, b_3$ 和$c$ 是常数，$a_n$ 表示数列的第$n$ 项。
求解这样的数列的递推公式可以采用以下步骤：
假设数列的递推公式为$a_n = r^n$，其中$r$ 是待求的常数。
将递推公式代入原始数列的通项公式，得到$r^n = b_1 r^{n-1} + b_2 r^{n-2} + b_3 r^{n-3} + c$。
移项并整理得到$r^3 - b_1 r^2 - b_2 r - b_3 = 0$，这就是数列的特征方程。
求解特征方程得到其三个根$r_1, r_2, r_3$。
利用初始条件求解数列的系数，通常需要给出数列的前三项$a_1, a_2, a_3$。
将数列的通项公式表示为$a_n = A r_1^n + B r_2^n + C r_3^n$，其中$A, B, C$ 是待求的常数。
利用初始条件求解常数$A, B, C$。
得到数列的递推公式为$a_n = A r_1^n + B r_2^n + C r_3^n$。
需要注意的是，当特征方程的三个根都是实数时，数列的通项公式中会出现指数函数；当特征方程的根有一对共轭复数时，数列的通项公式中会出现正弦函数和余弦函数。
三类数列通项公式问题的解法
解题宝典数列通项公式问题的命题形式有很多种,这一问题的综合性较强.当遇到一些陌生的、复杂的递推式时,很多同学常常会束手无策.为解决这一问题，帮助同学们提高解题的效率，笔者对下列三类数列通项公式问题及其解法进行了总结.一、a n +1=pa n +q 型问题对于形如a n +1=pa n +q (p ,q 为常数)的数列通项公式问题，一般地，可将其转化为a n +1+λ=p (a n +λ)的形式，构造出等比数列{}a n +λ，然后通过对比系数建立关系式，求得λ=qp -1,便可根据等比数列的通项公式求出数列{}a n 的通项公式.例1.若数列{}a n 的前n 项和为S n ,且S n =n -5a n-85,n ∈N *,求数列{}a n 的通项公式.解：由S n =n -5a n -85,n ∈N *,①可得a 1=S 1=1-5a 1-85，即a 1=-14.而S n +1=()n +1-5a n +1-85,②将②-①可得a n +1=1-5()a n +1-a n ，设a n +1+x =56()a n -x ,则x =-1,即a n +1-1=56()a n -1,n ∈N *，所以{}a n -1是首项为a n -1=-15、公比为56的等比数列，则其通项公式为a n -1=-15×æèöø56n -1，则a n =-15×æèöø56n -1+1.我们首先由数列的通项公式与前n 项的和公式之间的关系：a n ={S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2,求得a n 的表达式.而该表达式形如a n +1=pa n +q (p ,q 为常数)，于是引入参数x ，构造出等比数列{}a n -1，根据等比数列的通项公式求出数列{}a n 的通项公式.二、a n =pa n -1+f ()n 型问题当遇到a n =pa n -1+f ()n 型的数列通项公式问题时，通常可根据题意寻找关于n 的函数g (n ),以此为切入点构造新的递推关系式：a n +g ()n =p [a n -1+g (n -1)],如此便可得到一个等比数列{}a n +g ()n ，继而根据等比数列的通项公式求出数列{}a n 的通项公式.例2.在数列{}a n 中，a 1=1，a n +1=2a n -n 2+3n ,n ∈N *,求数列{}a n 的通项公式.解：若{}a n +λn 2+μn 为等比数列，则存在q ≠0，使得a n +1+λ()n +12+μ()n +1=q ()a n +λn 2+μn 对任意n ∈N *恒成立，将a n +1=2a n -n 2+3n ，代入a n +1+λ()n +12+μ()n +1=q ()a n +λn 2+μn 中，可得()q -2a n +()λq -λ+1n 2+()μq -2λ-μ-3n -λ-μ，而a n +1+λ()n +12+μ()n +1=q ()a n +λn 2+μn 对任意n ∈N *恒成立，所以ìíîïïïïq -2=0,λq -λ+1=0,μq -2λ-μ-3=0,-λ-μ=0,解得ìíîïïq =2,λ=-1,μ=1.即当λ=-1，μ=1时，数列{}a n +λn 2+μn 是公比为2的等比数列，其通项公式为a n =2n -1+n 2-n .a n =pa n -1+f ()n 型的数列通项公式问题较为复杂.在解题时，我们需以关于n 的函数g (n )为切入点，构造出新等比数列，从而使问题获解.三、a n +1=pa n +q ∙r n 型问题对于形如a n +1=pa n +q ∙r n型的数列通项公式问题，我们一般可采用如下两种思路来求解.一是在递推式的两边同时除以r n ，二是在递推式两边同时乘以λ∙r n +1.然后将所得的关系式进行整理，将问题转化为求a n +1=pa n +q 型的数列通项公式问题进行求解.例3.已知a 0为常数，且a n =3n -1-2a n -1,n ∈N *.证明对于任意n ≥1,都有a n =15[]3n+(-1)n -1∙2n +(-1)n ∙2na 0.证明：∵a n =3n -1-2a n -1()n ∈N *，∴a n 3n =13-23∙a n -13n -1设b n =a n3n ,∴b n =-23∙a n -13n-1+13，∴b n -15=-23æèöøb n -1-15，∴{}b n -15是以b 1-15=23æèöø15-a 0为首项，-23为公比的等比数列，∴b n -15=æèöø15-a 0(-1)n -1æèöø23n，∴a n 3n =b n =æèöø15-a 0(-1)n -1æèöø23n+15，∴a n =15[]3n +(-1)n -1∙2n +(-1)n ∙2n a 0.这里在递推式的两边同时除以3n ，通过代换，将问题转化为a n +1=pa n +q 型问题，构造出等比数列，然后根据等比数列的通项公式来求得结果，证明结论.虽然数列通项公式问题具有一定的难度，但是我们只要学会将一些陌生的、非常规的数列问题转化为熟悉的、常规的数列问题，就可以将复杂的问题简单化，从而提高解答数列通项公式问题的效率.(作者单位:重庆市开州区陈家中学)熊启英43。
常见数列通项的求法
常见数列通项的求法
数列的通项公式是数列的核心，它描述了数列中每一项与项数之间的规律。
求数列的通项公式是数列问题中的重要内容。
以下是几种常见的求数列通项公式的方法：
1.观察法：通过对数列的前几项进行观察，找出规律，从而得到
通项公式。
2.累加法：对于形如an=an−1+f(n)的递推关系，其中f(n)是一个与
n有关的函数，通过累加得到an。
3.累乘法：对于形如an=an−1×f(n)的递推关系，其中f(n)是一个与
n有关的函数，通过累乘得到an。
4.构造法：通过构造新数列，将原数列的递推关系式转化为新数
列的递推关系式，从而求出通项公式。
5.数学归纳法：对于一些与n有关的数列，通过数学归纳法证明
其通项公式。
6.等差数列通项公式：an=a1+(n−1)d，其中d是公差。
7.等比数列通项公式：an=a1×qn−1，其中q是公比。
8.裂项相消法：对于分式形式的递推关系，通过裂项相消法求出
通项公式。
9.特征根法：对于一些特定形式的递推关系，通过特征根法求出
通项公式。
以上是常见的求数列通项公式的方法，具体使用哪种方法需要根据题目给出的条件和递推关系式来确定。
三阶循环数列的通项公式
三阶循环数列的通项公式首先，将数列的前三项设为a1、a2和a3、根据题目所给的条件，我们可以确定初始值如下：a1=c1;a2=c2;a3=c3;接下来，我们要找出数列的递推规律。
观察数列的前几项，我们可以发现每一项都可以通过前三项的关系来递推得出。
设第n项为an，则可以得到如下关系式：an+3 = an + an+1 +an+2我们可以通过这个递推关系来确定数列的通项公式。
首先，我们来求解根特征方程：r^3-r-1=0利用市区判别式法，我们可以得出根的表达式为：r1=1;r2=(-1+√5)/2;r3=(-1-√5)/2;根据根的表达式，我们可以得出通解为：an = A1 * r1^n + A2 * r2^n + A3 * r3^n接下来，我们需要确定待定系数A1、A2和A3的值。
为了确定这些系数，我们需要使用前三项的初始值。
将n分别代入1、2和3，我们可以得到如下三个方程：a1=A1*r1+A2*r2+A3*r3a2=A1*r1^2+A2*r2^2+A3*r3^2a3=A1*r1^3+A2*r2^3+A3*r3^3解这个三元一次方程组，我们可以得到A1、A2和A3的具体值。
将A1、A2和A3的值代入通解中，我们就得到了三阶循环数列的通项公式：an = (c1 * r1^n + c2 * r2^n + c3 * r3^n) / (r1 + r2 + r3)这就是三阶循环数列的通项公式。
最后，我们需要说明的是，这个推导过程是在假设根特征方程的根是实数的情况下进行的。
如果根是复数，那么通项公式将会有所不同。
但是，在实际应用中，复数情况出现的概率较低，因此我们可以使用以上的通项公式。
数列通项公式的九种求法
数列通项公式的九种求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
笔者总结出九种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，255a S =．求数列}a {n 的通项公式解：设数列}a {n 公差为)0d (d >∵931a ,a ,a 成等比数列，∴9123a a a =， 即)d 8a (a )d 2a (1121+=+，得d a d 12=∵0d ≠，∴d a 1=……………………①∵255S a =∴211)d 4a (d 245a 5+=⋅⨯+…………②由①②得：53a 1=，53d =∴n5353)1n (53a n =⨯-+= 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
二、累加法求形如1()n n a a f n --=（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，…n —1得到n —1个式子累加求得通项。
例2．已知数列{a n}中，a 1=1，对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a ． 解：由已知得11(1)n n a a n n --=+，121(1)n n a a n n ---=-，……，32134a a -=⨯，21123a a -=⨯，以上式子累加，利用111(1)1n n n n =-++得n a -1a =1111...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++⨯---+ =1121n -+，3121n a n ∴=-+ 点评：累加法是反复利用递推关系得到n —1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求{f(n)}的前n —1项的和，要注意求和的技巧．三、迭代法求形如1n n a qa d +=+(其中,q d 为常数) 的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。
谈谈三类递推数列通项公式的求法
思路探寻求递推数列的通项公式问题是一类难度系数较大的问题，侧重于考查同学们的运算和推理能力.求递推数列的通项公式问题中的递推式多种多样,解答这类问题的关键是合理整合递推式,将问题转化为简单的、易于求解的数列问题.本文主要分析三类递推数列通项公式的求法.一、a n +1=qa n -1+d 型递推数列对于形如a n +1=qa n -1+d （q ≠1,d ≠0）的递推数列问题，我们一般采用待定系数法进行求解.在解题时，要先设出待定系数m ，使a n +1+m =q (a n −1+m )，然后将其与原递推式中对应项的系数相比较，建立含有待定系数的方程或方程组，解方程或方程组，求出待定系数的值，就能构造出一个等比数列{}a n +m ，再根据等比数列的通项公式就可以求出数列{}a n 的通项公式.例1.在若数列{}a n 中，a 1=1，a n +1=12a n +1()n ∈N +，求a n .解：令a n +1+m =12()a n+m ，则m =-2，所以{}a n -2是首项为-1，公比为12的等比数列，所以a n -2=-æèöø12n -1，即a n =-æèöø12n -1+2.该递推式属于a n +1=qa n -1+d 型，因此我们需从a n +1=12a n +1入手，运用待定系数法进行求解.二、a n +1=ca n +f ()n 型递推数列当遇到形如a n +1=ca n +f ()n （c ≠0）型的数列递推式时，一般要先将递推式变形为a n +1f ()n =ca nf ()n +1的形式，然后令a n f ()n =b n ，得到b n +1=c q b n +1q ，这样便将问题转化求a n +1=qa n −1+d 型递推数列的通项公式.运用待定系数法构造出等比数列便可解答出来.例2.在数列{}a n 中，a 1=1，a n +1=3a n +2n ()n ∈N +，求a n .解：由a n +1=3a n +2n得2∙a n +12n +1=3∙a n 2n +1，令b n =a n 2n ，则b n +1=32b n +12.由待定系数法得b n +1+1=32(b n +12)，令c n =b n +1，则c n +1=32c n ，所以{}c n 是首项为c 1=b 1+1=32，公比为32的等比数列，所以c n =æèöø32n，b n =æèöø32n-1，即a n =2n ∙b n =32-2n .我们先通过换元，把分散的条件联系起来，让隐含的条件显露出来，将问题转化为求a n +1=qa n −1+d 型递推数列的通项公式.再运用待定系数法便可求出数列的通项公式.三、a n +1∙a n =ca n +1+da n 型递推数列对于形如a n +1∙a n =ca n +1+da n （c ≠0，d ≠0）递推数列，在求其通项公式时，我们先要在递推式的两边同时除以a n +1·a n ，得到c a n +da n +1=1，将问题转化为a n +1=qa n −1+d 型递推数列问题，再运用待定系数法求解即可.例3.已知数列{}a n 满足：a n ≠0，且a n =3a n -1a n -1+3()n ≥2，a 1=12，求数列的通项公式.解：在递推式a n =3a n -1a n -1+3的两边取倒数得1a n =1a n -1+13，所以数列{}a n 是首项为1a 1=2、公差为13的等差数列，所以1a n=2+()n -1∙13=13()n +5，所以a n =3n +5.我们先在递推式的两边取倒数，便可构造出首项为1a 1=2、公差为13的等差数列，再根据等差数列的通项公式求得数列的通项公式.虽然求递推式数列的通项公式问题的难度较大，但是我们只要掌握方法，善于整合数列的递推式，将问题转化为等比、等差数列问题进行求解，问题便能迎刃而解.在解题时，要抓住关键，重点分析数列的递推式，将其合理进行变形，如引入待定系数、取倒数、换元等，构造出等差、等比数列，根据等差、等比数列的通项公式进行求解.（作者单位：湖北省襄阳市南漳县第一中学）谈谈三类递推数列通项公式的求法石磊53Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
数列通项公式—常见9种求法
数列通项公式—常见9种求法数列通项公式是指能够直接给出数列中任意一项的公式。
找到数列通项公式可以帮助我们快速计算数列中的任意项，同时也能更好地理解数列的性质和规律。
在数学中，有多种方法可以求解数列通项公式，下面我们将介绍其中的9种常见方法。
1.递推关系法递推关系法是求解数列通项公式最常见的方法之一、当我们可以找到数列中每一项与前几项之间的关系时，可以利用递推关系求出通项公式。
例如，斐波那契数列中每一项都等于前两项的和，可以用递推关系f(n)=f(n-1)+f(n-2)来求解。
2.等差数列通项公式等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。
等差数列通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。
3.等比数列通项公式等比数列是指数列中每一项与前一项的比都相等的数列。
等比数列通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示第一项，r 表示公比。
4.幂数列通项公式幂数列是指数列中每一项都是一个幂函数的形式。
幂数列通项公式为an = ar^(n-1)，其中an表示第n项，a表示一些常数，r表示递增的比值。
5.组合数列通项公式组合数列是指数列中每一项都是由组合数形成的数列。
组合数列通项公式可以通过求解组合数来获得。
6.一元多项式数列通项公式一元多项式数列是指数列中的每一项都是由一元多项式形成的数列。
可以利用多项式的相关性质和求解方法获得数列通项公式。
7.递推与线性常系数齐次差分方程法递推与线性常系数齐次差分方程法是利用递推关系和差分方程的性质求解数列通项公式的方法。
8.高阶递推关系法当数列中每一项与前面多个项之间有复杂的关系时，可以利用高阶递推关系进行求解。
9.查找数列在数学常数表中的表达式有些数列的通项公式可以在数学常数表中找到，例如斐波那契数列中的通项公式可以在黄金分割数相关的公式中找到。
以上是数列通项公式的9种常见求法，每种方法都可以根据不同的数列规律和特点进行选择和运用。
由数列递推公式求通项公式的常用方法
21世纪，信息技术在各行各业都在运用，它已和人们的学习生活息息相关，掌握不好信息知识和信息技能，就难以高效地工作和生活。
初中信息技术的开设，引导着我们每个教学者探究如何采取适当的教学方法激发学生主动学习，提高信息技术的教学质量、提升学生素质。
一、编好导学案，培养学生独立探究的品质什么样的导学案才叫好的导学案？一要能激发学习动机，在学案中创设特定的情境和启发性的问题，引导学生积极思考和主动探索，能和实践紧密结合。
二要针对不同类型的信息课，设计不同的形式的导学案，新授课的导学案要着重关注学生的最近发展区，问题设计情境化，有启发性和探究性。
习题课的导学案应着重帮助学生总结解答典型问题的基本方法和基本思路，复习课导学应帮助学生梳理知识体系。
设计导学时要充分考虑学生在学习过程中可能会遇到的问题和困难，考虑怎样去帮助学生克服困难，导学思考题，要求将学习目标问题化、情境化。
能力训练题，每个知识点学完后，要给予适当的题目进行训练，但题目应少而精，要有利于学生巩固基础知识，突出易混淆的和需注意的知识点；能力提高题，主要是针对掌握程度好的学生设计的，这部分题目的设置可以多链接学生的疑点。
学生对每一项应该完成的任务都必须掌握和理解，才开始学习新的任务，这样才能保证收到效果。
比如，初中“网络课件构件设计”导学案设计。
①学习对象设计包括中哪五个环节？（内容结构设计、内容呈现设计、SCOS 设计、内容编序设计和元数据设计）。
②每个设计的方案是什么？(如：内容呈现设计，在画面中应该尽量删除无用的背景和多余的细节。
元数据设计，SCORM 中的元数据包括Assets 元数据、SCOS 元数据、学习活动元数据、内容组织元数据和内容聚合元数据。
元数据设计时可参照SCORM。
定义的九大类元数据元素及其应用情况，其中“M”为必选项，“O”为可选项，“NP”为不选项。
)导学案为提高课堂效益架设了一座快捷的桥梁，导学让学生在课前有一定的时间构思，在课堂上学生参与、学生创新潜质更易发挥。
三阶数列特征方程
三阶数列特征方程三阶数列特征方程是指一个数列的递推关系可以用一个三次方程来表示。
在数学中，数列是由一系列数字按特定规律排列而成的。
而特征方程则是描述数列递推关系的方程。
我们来介绍一下三阶数列。
三阶数列是指数列中每一项的值与它前面的三项有关。
例如，一个三阶数列的递推关系可以表示为：an = an-1 + an-2 + an-3，其中an表示数列中的第n项。
为了简化问题，我们假设这个三阶数列的初始条件已经给出，即数列中的前三项已知。
那么，我们可以通过解三阶特征方程来求解数列中的任意一项。
假设这个三阶特征方程为x^3 - px^2 - qx - r = 0，其中p、q、r是已知的常数。
我们可以通过求解这个方程得到它的三个根x1、x2、x3。
根据代数基本定理，这个方程一定有三个根，可以是实数也可以是复数。
有了这三个根，我们可以写出数列的通项公式。
假设x1、x2、x3分别是特征方程的三个根，那么数列的通项公式可以表示为an = A * x1^n + B * x2^n + C * x3^n，其中A、B、C是待定系数。
为了确定这些待定系数，我们可以利用数列的初始条件。
假设数列的前三项分别是a1、a2、a3，那么我们可以得到三个方程：a1 = A * x1 + B * x2 + C * x3a2 = A * x1^2 + B * x2^2 + C * x3^2a3 = A * x1^3 + B * x2^3 + C * x3^3通过求解这个方程组，我们可以得到A、B、C的具体值。
进而，我们就可以得到数列的通项公式，从而求解数列中的任意一项。
三阶数列特征方程的应用非常广泛。
例如，在金融领域，我们经常会遇到需要计算复利的问题。
复利是指在每个计息周期结束后将利息加到本金上，下一个周期的利息就是在上一个周期的基础上计算得到的。
复利的计算就可以通过三阶数列来实现。
在物理学、工程学等学科中，三阶数列特征方程也有着重要的应用。
三阶格林公式
三阶格林公式是格林公式的推广，它描述了三维空间中一个向量场通过一个封闭曲线的流量。
格林公式的核心思想是“环绕减去穿越”，即将向量场在一个封闭曲线上的流出量与流入量进行比较，从而得出向量场的环量。
三阶格林公式可以用于描述向量场的更高阶的特性，例如旋度和散度。
三阶格林公式的一般形式如下：
∮(Pdx + Qdy + Rdz) = ∫∫(∂Q/∂x - ∂P/∂y + ∂R/∂z) dS
其中，P、Q、R是定义在封闭曲线C内部的标量函数，dx、dy、dz分别是封闭曲线C上的三个方向上的微元向量，dS是封闭曲线C 上任意一点处的面积微元。
这个公式可以用于计算向量场在封闭曲线上的环量，也可以用于计算向量场的旋度和散度。
在具体应用中，需要将公式中的P、Q、R、dx、dy、dz和dS替换为具体的数值或表达式。
三阶数列特征方程
三阶数列特征方程三阶数列特征方程是指一个数列满足一个三次方程的递推关系。
这个方程可以用来描述数列中每一项与前几项之间的关系。
在这篇文章中，我们将探讨三阶数列特征方程的一些基本概念和性质，并且通过一些实际例子来说明其应用。
让我们来介绍一下三阶数列特征方程的定义。
一个三阶数列特征方程可以写成如下形式：an = a(n-1) + a(n-2) + a(n-3)其中，an表示数列中的第n项，a(n-1)表示第n-1项，a(n-2)表示第n-2项，a(n-3)表示第n-3项。
这个方程告诉我们，每一项的值都是前三项的和。
接下来，让我们来看一个具体的例子来说明三阶数列特征方程的应用。
假设我们有一个数列，前三项分别是1、2和3。
根据三阶数列特征方程，我们可以得到：a4 = a(4-1) + a(4-2) + a(4-3)= a3 + a2 + a1= 3 + 2 + 1= 6同样地，我们可以继续计算出数列的后续项。
例如，a5 = 11，a6 =20，a7 = 37，以此类推。
三阶数列特征方程在实际生活中有很多应用。
例如，在金融领域，它可以用来描述股票价格的变化趋势。
在自然科学领域，它可以用来描述物理系统的动力学行为。
在经济学领域，它可以用来描述经济指标的波动情况。
除了描述数列的递推关系，三阶数列特征方程还可以用来求解数列的通项公式。
通项公式可以将数列中的每一项表示为项数n的函数。
通过解三阶数列特征方程，我们可以得到一个关于n的多项式表达式，这个表达式就是数列的通项公式。
在数学研究中，解三阶数列特征方程是一个非常重要的课题。
数学家们通过研究特征方程的性质和解的形式，可以得到关于数列行为的深刻结论。
例如，当特征方程有三个不同的实根时，数列的通项公式将包含指数函数，这意味着数列会呈现指数增长或指数衰减的趋势。
总结起来，三阶数列特征方程是一种描述数列递推关系的工具。
它不仅可以用来计算数列的每一项，还可以用来求解数列的通项公式。
(完整版)求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十一种方法(方法全，例子全，归纳细)总述：一．利用递推关系式求数列通项的11 种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法) 、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法(目的是去递推关系式中出现的根号) 、数学归纳法、不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式) 、特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
、累加法1．适用于：a n 1 a n f (n) ------------------ 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
2．若a n 1 a n f (n) (n 2) ，a2 a1 f (1)a3 a2 f (2) LLa n 1 a n f ( n)n两边分别相加得a n 1 a1 f (n )k1例1已知数列｛a n ｝满足a n 1a n 2n 1, a i 1，求数列｛a n ｝的通项公式。
解：由 a n 1 a n 2n 1 得 a n 1 a n 2n 1 则a n (a n a n 1) (a n 1 a n 2) L @3a 2) (a 2 aja 1 [2( n 1) 1] [2( n 2) 1]L (2 21) (2 11) 12[(n 1) (n 2) L 2 1] (n 1) 1 (n 1)n 2 (n 1) 12(n 1)( n 1) 1 2n2所以数列｛a n ｝的通项公式为a n n 。
例2已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2 3n 1，印3，求数列 佝｝的通项公式。
解法一：由a n 1 a n n 2 31 得 a n 1a n n2 31则a n (a * an 1)(a n 1 a n 2) L(a 3 a 2) (a 2 a 1) a 1n (2 3 1 1) (2 3n 21)L (2 32 31 1) (2 31) 312(33n2L 32 ；31)(n 1)3「(1 3n1)2(n 1) 31 3n3 3 n 133 n1所以a n 3n n 1.解法二：时3an 2 3 1两边除以3n1，得鄴J 3 3a n 2 n3 32132)3 32 3a3na n 3a n 1)a n 1(an 1a n 1a n 2) (a n 2(尹z a2 q 色(3231)33n )1)12门22(n 1)313n 3n13n2Lan 13n22答案：n数、分式函数，求通项 an .① 若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 ② 若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和 ； ③ 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 ④ 若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
三项式通项公式
三项式通项公式三项式通项公式是数学中的一个重要公式，它描述了一个三项式的各项之间的关系。
三项式是由三个数相加（或相减）而得到的表达式，其中每一项都是一个常数乘以一个变量的幂。
通项公式则是用来表示三项式中第n项的表达式。
在数学课上，我曾经学过三项式通项公式，并且在解决一些数学问题时也用到过。
这个公式的形式如下：第n项 = C(n, 0) * a^(n-0) * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)是组合数，表示从n个元素中选取k个元素的方式数。
a和b是常数，表示三项式中相邻两项的比例关系。
这个公式的推导过程比较复杂，涉及到组合数的计算和幂运算。
举个例子来说明三项式通项公式的用途。
假设我们要展开一个三项式(a + b)^n，其中a和b是常数，n是一个非负整数。
我们可以通过三项式通项公式来计算出展开式中的每一项。
比如，当n=3时，展开式为：(a + b)^3 = C(3, 0) * a^3 * b^0 + C(3, 1) * a^2 * b^1 + C(3, 2) * a^1 * b^2 + C(3, 3) * a^0 * b^3化简得：(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3通过三项式通项公式，我们可以轻松地计算出展开式中的每一项，从而得到最终的结果。
尽管三项式通项公式在数学中有着重要的应用，但在实际生活中，我们可能很少直接用到它。
不过，通过学习和掌握这个公式，我们可以培养出一种逻辑思维和解决问题的能力。
同时，三项式通项公式也是更高级数学的基础，对于进一步学习数学和理解数学原理都非常重要。
总的来说，三项式通项公式是数学中的一个重要工具，它描述了一个三项式的各项之间的关系。