圆的基本性质培优

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圆的性质及相关定理

圆的性质及相关定理圆是几何学中的基本图形之一，它具有许多独特的性质和定理。

在本文中，我们将探讨圆的性质以及与之相关的一些定理。

一、圆的定义与基本性质圆可以被定义为平面上所有到一个给定点距离相等的点的集合。

这个给定点被称为圆心，而到圆心的距离被称为半径。

圆的基本性质包括以下几点：1. 圆的直径是通过圆心的一条线段，它的两个端点都在圆上。

直径的长度是半径长度的两倍。

2. 圆的周长是圆上任意两点之间的弧长，它等于圆的直径乘以π（pi）。

周长也可以被称为圆的周长。

3. 圆的面积是圆内部所有点的集合。

圆的面积等于半径的平方乘以π。

二、圆的相关定理在圆的研究中，有一些重要的定理被广泛应用。

下面我们将介绍其中几个。

1. 弧长定理弧长定理指出，在同一个圆上，两个弧所对应的圆心角相等时，它们的弧长也相等。

这个定理可以用来求解弧长，也可以用来证明一些与圆有关的性质。

2. 弧度制与角度制弧度制是一种用弧长来度量角度大小的方法。

在弧度制中，一个圆的周长被定义为2π弧度。

而角度制是我们常用的度量角度大小的方法。

两者之间可以通过一定的换算关系进行转换。

3. 切线定理切线定理是指与圆相切的直线与半径所构成的角是直角。

这个定理在解决与圆相关的几何问题时非常有用，可以帮助我们确定切线的位置和方向。

4. 正切定理正切定理指出，与圆相切的半径与切线所构成的角的正切值等于切线上相应弧所对应的角的正切值。

这个定理可以用来求解与切线相关的角度问题。

5. 弦切角定理弦切角定理是指，当一个弦与切线相交时，切线与弦所夹的角等于弦上所对应的弧所对应的角的一半。

这个定理可以用来求解与弦和切线相关的角度问题。

三、圆的应用圆的性质和定理在实际生活中有着广泛的应用。

以下列举几个例子：1. 圆的运动轨迹当一个点以固定的速度绕着另一个点旋转时，它的轨迹是一个圆。

这个性质被广泛应用在天文学中，用来描述行星、卫星等天体的运动。

2. 圆形建筑与设计圆形建筑具有独特的美学效果和结构稳定性。

第一讲培优圆的基本性质

第一讲圆的基本性质一、知识点圆的有关概念：特别注意：长度相等的弧是等弧吗? 圆的基本性质有：1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 • 如果弦长为2r ，圆的半径为R,那么弦心距为d . R 2 r 2.2、垂径定理 ____________________________________ 及其推论.此定理及推论，在证题中很重要，其内容不容易记忆，可这样理解：如果一条直线具备下列条件中的2条，就具备其他3条。

（1）经过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧。

3. 圆周角定理及其推论。

其中以下列两个结论应用最为广泛：（1）直径所对的圆周角是直角；（2）同弧所对的圆周角相等。

二、基础训练1. 下列结论正确的是（）A .弦是直径 B.弧是半圆 C .半圆是弧 D.过圆心的线段是直径2、 .给出下列命题（I ）垂直于弦的直线平分弦；（2 ）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3 ）平分弦的直线必过圆心（4 ）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。

其中正确的命题有（）3、下列命题中，真命题是（）B.2C.3D.4AB 是O O 的直径，CD 是弦.若AB = 10cm, CD = 8cm 那么A , B 两CD 的距离之和为（）A. 12cmB. 10cmC.8cmD.6cmB. 2个C. 3个D. 4个4、 A .相等的圆心角所对的弧相等C.度数相等的弧是等弧下列命题中，真命题的个数为①顶点在圆周上的角是圆周角； ③90°的圆周角所对的弦是直径; B.相等的弦所对的弧相等 D .在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等②圆周角的度数等于圆心角度数的一半; ④直径所对的角是直角；⑤圆周角相等，贝U 它们所对的弧也相等；⑥同弧或等弧所对的圆周角相等. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个5、直角二角形两直角边长分别为 .3和I ，那么它的外接圆的直径是（A.1 &如图, 点到直线7、如图，在以0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C, D 两点，AB=10cm, CD=6cm,则AC 的长为()A. 0. 5cmB. 1cmC. 1.5cmD. 2cm8、如图，点A,D,G,M 在半圆上，四边形 ABOC, DEOF,HMNO 匀为矩形，BC=a,EF=bNH=C, 则下列各式中正确的是()9、如图，CD 为。

圆的性质及相关定理

圆的性质及相关定理圆是几何学中的一个基本概念，是由平面上所有距离等于定值的点构成的图形。

在这篇文章中，我们将探讨圆的性质及相关定理，帮助读者更好地理解和应用圆的知识。

一、圆的基本性质1. 圆心和半径：每个圆都有一个圆心和一个半径。

圆心是圆上所有点的中心位置，通常用字母O表示。

半径是从圆心到圆上的任意点的距离，通常用字母r表示。

2. 直径：直径是通过圆心的任意两点间的线段。

直径的长度等于半径的两倍。

3. 弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的圆上的一部分。

圆上的弧可以根据其长度分为弧长和弧度。

4. 弦：弦是连接圆上任意两点的线段。

直径是最长的弦。

5. 弧度和角度：弧度是一个与圆的半径相关的度量单位，用符号rad表示。

角度是以度为单位的度量，用符号°表示。

二、圆的定理1. 切线定理：从圆外一点引一条切线，切线与半径的连线垂直。

2. 切线与弦定理：切线和弦的交点处的角等于从该点到弦的两个割线所夹的弧对应的角。

3. 弧中角定理：在同一个圆上，弧所对的圆心角相等，而弧所对的弦所夹的角则相等。

4. 圆心角定理：在同一个圆上，圆心角是其所对弧的两倍。

5. 弧长定理：同样大小的圆心角所对应的弧长相等。

6. 切割圆定理：如果有两个弧相交于圆心，它们所对的圆心角互补（和为180°）。

三、应用示例1. 计算圆的面积：圆的面积公式为A = πr²，其中A表示面积，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。

2. 计算圆的周长：圆的周长公式为C = 2πr，其中C表示周长，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。

3. 判断点是否在圆内：计算点到圆心的距离，如果小于半径，则点在圆内。

4. 判断两个圆是否相交：计算两个圆心之间的距离，如果小于两个半径之和，则两个圆相交。

总结：本文介绍了圆的基本性质和相关定理。

通过学习圆的性质，我们可以更好地理解和应用圆的知识，解决与圆相关的几何问题。

希望本文对读者有所帮助，并在几何学学习中起到指导作用。

2024年中考数学总复习考点培优训练第六章第一节圆的基本性质

A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
第1题图
第2题图
第一节圆的基本性质
3. 数学文化 (2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸，
问广几何？”结合题图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为
25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是( C )
第12题图
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ AC2 BC2 ＝10.
∵OD⊥AC，OA＝OC，
∴AE＝CE＝
1 2
AC＝4.
第10题解图
第一节圆的基本性质
∵OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝
1 2
BC＝3.
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，
48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为( A )
A. 32° B. 42°
C. 48° D. 52°
6. (2023泰安)如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，
∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是( A )
A. 25°
B. 30° C. 35° D. 40°
7. (2023巴中)如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则
第9题图
第一节圆的基本性质
10. (2022广州)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8， BC＝6. (1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧 AC于点D，连接CD( 保留作图痕迹，不写作法)；
第10题图
第一节圆的基本性质
【作法提示】分别以点A，C为圆心，大于 1 AC为半径画弧，在

圆的性质介绍中学生圆的基本性质

企业跨国并购存在的风险有哪些企业并购对于大家而言也行并不是个陌生的词，当一家企业有了足够的实力是，会通过并购其他企业来增强自己的实力，企业并购带来的不仅仅好处，同样也存在着风险，那么这次要带大家讨论的是有关于企业跨国并购存在的风险的知识了。

▲一、企业跨国并购存在的风险▲(一)▲信息不对称风险由于“信息不对称”现象的存在，在有效市场条件下，投资者依据这些信息进行并购决策，择优避劣。

然而，公司财务报表和股价等信息又有着明显的局限性。

公司财务报表和股价不可能与企业基本情况及变化完全一致，公司仍可在制度、原则允许的范围内隐藏不必公开的商业秘密。

可见，“信息不对称”的现象影响着并购行为，成为并购经营者必须严加关注和防范的一种风险。

▲(二)▲财务风险对价值的预测风险在确定要并购的企业后，并购双方最关心的问题莫过于以持续经营的观点合理地估算目标企业的价值并作为成交的底价，这是并购成功的基础。

目标企业的估价取决于并购企业对其未来自由现金流量和时间的预测。

对目标企业的价值评估可能因预测不当而不够准确，这就产生了并购公司的估价风险.并购的融资风险并购的融资风险主要是指能否按时足额地筹集到资金，保证并购的顺利进行，如何利用企业内部和外部的资金渠道在短期内筹集到所需的资金是关系到并购活动能否成功的关键。

并购对资金的需要决定了企业必须综合考虑各种融资渠道。

并购企业应针对目标企业负债偿还期限的长短，维持正常的营运资金，使投资回收期与借款种类相配合，合理安排资本结构。

▲(三)▲经营风险经验的外在风险。

一方面是在市场经济环境中，企业都面临着巨大的竞争压力，许多企业都在抢夺同一片市场，为自己争取更多的顾客群。

为了获得更多的顾客和销售收入，竞争对手经常调整自己的竞争策略。

使外部环境发生预期变化。

另一方面，政府政策变化对企业经营的影响。

经验的内部风险。

作为买方，企业所购买的应当是一个能够运营的目标公司的整体业务，而不仅仅是简单的资产总和，要做到这一点，企业集团必须做到拥有强大的经营管理能力作为支持，否则，将可能跌入经营不善的陷阱。

圆的基本性质培优(九上)

圆的基本性质培优（一）圆的基本性质有：一．是与圆相关的基本概念与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等；二．二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一中心对称图形．三．用圆的基本性质解题应注意：1．熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明；2．了解弧的特性及中介作用；3．善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化．【例题求解】【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为．注：由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来．圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性．【例2】如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( )A ．2B ．25C ．45 D ．16175 思路点拨所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过图形的某些顶点，通过设未知数求解．【例3】如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM=DC+CM ．思路点拨用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它．【例4】已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，EF ：FD ＝4：3．(1)求证：AF ＝DF ；(2)求∠AED 的余弦值；(3)如果BD ＝10，求△ABC 的面积．思路点拨 (1)证明∠ADE ＝∠DAE ；(2)作AN ⊥BE 于N ，cos ∠AED ＝AEEN ，设FE=4x ，FD ＝3x ，利用有关知识把相关线段用x 的代数式表示；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x 的值．⌒ ⌒注：本例的解答，需运用相似三角形、等腰三角形的判定、面积方法、代数化等知识方法思想，综合运用直线形相关知识方法思想是解与圆相关问题的关键．习题练习1．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD ＝3cm ，则过点D 的所有弦中，最小弦AB= ． 2．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB 、CD 、EF ，如果AB+CD=EF ，那么AB+CD 与EF 的大小关系是（）A ．AB+CD ＝EFB ．AB+CD ＞EFC ． AB+CD<EFD ．不能确定3. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若AB=10cm ，CD ＝8cm ，那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为( )A ．12cmB ．10cmC ． 8cmD ．6cm4. 一种花边是由如图的弓形组成的，弧ACB 的半径为5，弦AB ＝8，则弓形的高CD 为( )A ．2B ．25 C ．3 D ．316 5．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在弧BC 的中点A ′上，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为．6．如图，已知AB 为⊙O 的弦，直径MN 与AB 相交于⊙O 内，MC ⊥AB 于C ，ND ⊥AB 于D ，若MN=20，AB=68，则MC —ND= ．7．如图，已知⊙O 的半径为R ，C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC的度数为96°，BD 的度数为36°，动点P 在AB 上，则CP+PD 的最小值为．8．如图，已知⊙O 的两条半径OA 与OB 互相垂直，C 为AmB 上的一点，且AB 2+OB 2=BC 2，求∠OAC 的度数．⌒9．如图，已知圆内接△ABC 中，AB>AC ，D 为BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ，求证：BD 2-AD 2=AB ×AC ．10. 如图平面直角坐标系中，半径为5的⊙O 过点D 、H ，且DH ⊥x 轴，DH=8．（1）求点H 的坐标；（2）如图，点A 为⊙O 和x 轴负半轴的交点，P 为AH 上任意一点，连接PD 、PH ， AM ⊥PH 交HP 的延长线于M ，求的值；11．如图，直径为13的⊙O ′，经过原点O ，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，线段OA 、OB(OA>OB)的长分别是方程0602=++kx x 的两根．(1)求线段OA 、OB 的长；(2)已知点C 在劣弧OA 上，连结BC 交OA 于D ，当OC 2=CD ×CB 时，求C 点坐标；(3)在⊙O ，上是否存在点P ，使S △POD =S △ABD ?若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．⌒。

2024-2025学年浙教版九年级上册数学第三章圆的基本性质单元培优测试卷 (含详解)

圆的基本性质单元培优测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（）第1题图第2题图第4题图A．42°B．41°20'C．41°D．40°20'2．如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定3．在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，点B在第一象限内，AO=AB，∠OAB=120°，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转后，点B的坐标为（）A．(−3，3)B．(−3，0)C．(3，3)D．(−23，0)4．如图，在半圆O中，直径AB＝2，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D，点E是弧AD 的中点．连接OE，则OE的最小值为（）A．2−1B．2+1C．4−2D．22−25．△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，已知∠B=∠EAC，根据弦AB的变化，两人分别探究直线EF 与⊙O的位置关系：甲：如图1，当弦AB过点O时，EF与⊙O相切；乙：如图2，当弦AB不过点O时，EF也与⊙O相切；第5题图第6题图第7题图下列判断正确的是（）A ．甲对，乙不对B ．甲不对，乙对C ．甲乙都对D ．甲乙都不对6．如图，等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，⊙O 1经过⊙O 2的圆心O 2，若O 1O 2=2，则图中阴影部分的面积为（）A ．2πB ．43πC ．πD ．23π7．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点P 在边BC 上．结论Ⅰ：若⊙O 的半径为2，P 是边BC 的中点，则PE 的长为13；结论Ⅱ：连接PF ．若S △PEF =32，则EF 的长为π3，关于结论Ⅰ、Ⅱ，判断正确的是（）A ．只有结论Ⅰ对B ．只有结论Ⅱ对C ．结论Ⅰ、Ⅱ都对D ．结论Ⅰ、Ⅱ都不对8．已知等腰直角三角形OAC ，∠OAC ＝90°，以O 为圆心，OA 为半径的圆交OC 于点F ，过点F 作AC的垂线交⊙O 于点E ，交AC 于点B.连结AE ，交OC 于点D ，若OD ＝1+22，则AB 的长为（）第8题图第9题图第10题图A ．2B ．22C ．2+1D ．2+29．如图，在扇形BOC 中，∠BOC =60°，OD 平分∠BOC 交BC 于点D ，点E 为半径OB 上一动点．若OB =3，则阴影部分周长的最小值为（）A ．62+π2B ．22+π3C ．62+π3D ．2+2π310．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，点D 是半圆上两点，连结AC ，BD 相交于点P ，连结AD ，OD ．已知OD ⊥AC 于点E ，AB ＝2．下列结论其中正确的是（）①∠DBC +∠ADO ＝90°；②AD 2+AC 2＝4；③若AC ＝BD ，则DE ＝OE ；④若点P 为BD 的中点，则DE ＝2OE ．A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④二、填空题（每题4分，共24分）11．如图，OA 是⊙O 的半径，BC 是⊙O 的弦，OA ⊥BC 于点D ，AE 是⊙O 的切线，AE 交OC 的延长线于点E ．若∠AOC =45°，BC =2，则线段AE 的长为．第11题图第12题图第13题图12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2．以点A 为圆心，AD 长为半径作弧交AB 于点E ，再以AB为直径作半圆，与DE 交于点F ，则图中阴影部分的面积为．13．如图，直线l 与⊙O 相切于点A ，点C 为⊙O 上一动点，过点C 作CB ⊥l ，垂足为B ，已知⊙O 的半径为6，则BC +43AB 的最大值为　　．14．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，线段MN 在对角线BD 上运动，若⊙O 的面积为2π，MN =1，则（1）⊙O 的直径长为；（2）△AMN 周长的最小值是．第14题图第15题图第16题图15．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上的点，连接CD ，AC ，OD ，且AB =4，OD ∥AC ，设CD =x,AC =y ，则y 与x 之间的函数表达式为．16．如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ，DB 交AC于点G ，连结AD ．给出下面四个结论：①∠ABD ＝∠DAC ；②AF ＝FG ；③当DG ＝2，GB ＝3时，FG =142；④当BD =2AD ，AB ＝6时，△DFG 的面积是3，上述结论中，正确结论的序号有　　．三、综合题（17-19每题6分，20-21每题8分，22题12分，共46分）17．如图，已知OA是⊙O的半径，过OA上一点D作弦BE垂直于OA，连接AB，AE．线段BC为⊙O的直径，连接AC交BE于点F．（1）求证：∠ABE=∠C；（2）若AC平分∠OAE，求AFFC的值18．如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E．连接AB、OB、BC．（1）求证：∠CBO=∠ABD；（2）若AE=4cm，CE=16cm，求弦BD的长．19．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．（1）求证：点D为AC的中点；（2）若DF=4，AC=16，求⊙O的直径．20．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，AC＝BD，AC⊥BD．（1）猜想∠ACB的度数，并说明理由．（2）若⊙O的半径为10，∠BCD=60°，求四边形ABCD的面积．（3）若过圆心O作OF⊥BC于点F．求证：AD＝2OF．21．已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB=CD.（1）如图1，连接AD.求证：AM=DM.（2）如图2，若AB⊥CD，点E为弧BD上一点，BE=BC=α°，AE交CD于点F，连接AD、DE.①求∠E的度数(用含α的代数式表示).②若DE=7，AM+MF=17，求△ADF的面积.22．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC 于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE．（1）求证：点B在⊙M上．（2）当点D移动到使CD⊥BE时，求BC：BD的值．（3）当点D到移动到使∠CMG=30°时，求证：A E2+C F2=E F2．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 内接于圆O ，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠BCD 、∠EBC 分别是△EBC 和△ABF 的一个外角，∠EBC=∠A+∠F ，∠BCD=∠E+∠EBC ，∴∠BCD=∠E+∠A+∠F ，∴∠A+∠E+∠A+∠F=180°，∴2∠A+54°41'+43°19'=180°，解之：∠A=41°.故答案为：C. 2．【答案】C【解析】【解答】解：如图，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°，∵OC ⊥AB ，且AB =43，∴∠ADO=90°，且AD =12AB =23，∵sin ∠AOC=sin60°=AD AO，∴AO =ADsin60°=2332=4，∵OP=5＞AO=4，∴点P 在圆O 外部.故答案为：C. 3．【答案】D【解析】【解答】解：过B 作BH ⊥y 轴于H ，在Rt△ABH中，∠AHB=90°,∠BAH=180°−120°=60°,AB=OA=2，∴∠ABH=30°，∴AH=12AB=1，OH=OA+AH=3，由勾股定理得BH=AB2−AH2=3，∴B(3,3)，由题意，可得：B1(−3,3),B2(−23,0),B3(−3,−3),B4(3,−3),B5(23,0),B6(3,3),⋯，6次一个循环，∵2024÷6=337……2，∴第2024次旋转后，点B的坐标为(−23,0)，故答案为：D．4．【答案】A【解析】【解答】解：连接CO，如图，由三角形两边之差小于第三边，当C、O、E共线时，OE最小，设⏜AC的弧度为x，则⏜BC的弧度为180°-x，∵∠CAB=∠CAD，∴⏜CD的弧度为180°-x，由折叠知：⏜AEC=⏜AC=x，⏜AD=x-(180°-x）=2x-180°，∵点E为弧AD的中点，∴⏜AE=12⏜AD=x-90°，∴⏜CE=⏜AC-⏜AE=90°，∴⏜CE所对圆心角为90°，∵直径AB=2，∴ CE=2，∴OE= CE-OC=2−1.故答案为：A.5．【答案】C【解析】【解答】解：甲：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠B=90°，∵∠EAC=∠B，∴∠EAC+∠BAC=90°，∴EF⊥AB，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线；乙：作直径AM，连接CM，如图所示：即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∵∠EAC=∠B，∴∠EAC=∠AMC，∵AM是⊙O的直径，∴∠MCA=90°，∴∠MAC+∠AMC=90°，∴∠EAC+∠MAC=90°，∴EF⊥AM，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线．故答案为：C 6．【答案】D7．【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接CE 、OB 、OC ，过点D 作DH ⊥CE 于点H ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴∠BCD =∠CDE =(6−2)⋅180°6=120°，CD =DE ，∠BOC =360°6=60°，OB =OC ，∴∠DCE =∠DEC =12(180°−∠CDE)=30°，△OBC 是等边三角形，∴CH =EH =12CE =CD ⋅cos ∠DCE =3，∠PCE =∠BCD−∠DCE =90°，EF =BC =OB =OC =CD =2，∴CE =23，∵P 是边BC 的中点，∴CP =BP =12BC =1，∴PE =PC 2+CE 2=12+(23)2=13，故结论Ⅰ正确；设点N 是边BC 的中点，连接NO 并延长交EF 于点M ，连接OE 、OF ，过点D 作DH ⊥CE 于点H ，设正六边形ABCDEF 的边长为a ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴NM ⊥EF ，NM ⊥BC ，FM =EM =12EF =12a ，∠EOF =360°6=60°，EF ∥BC ，∴S △NEF =S △PEF =32，由Ⅰ的解答过程可知，CH=EH=12CE=CD⋅cos∠DCE=32a，∠NCE=∠BCD−∠DCE=90°，EF=BC=OB=OC=a，∴CE=3a，四边形NCEM是矩形，∴MN=CE=3a，∴12EF⋅MN=12×a×3a=32，∴a=1，∴EF的长为60π×1180=π3，故Ⅱ正确，故答案为：C.8．【答案】C【解析】【解答】解：过点O作AE的垂线交BE于点H，连接AH，如图所示：设⊙O的半径为R∵∠OAC = 90°，OA=AC=R∴∠O=∠C=45°∴∠E=12∠O==22.5°在Rt△0AC中，由勾股定理得：OC = OA2+AC2=2R∵OD=2∴CD=OC-OD=2R−2∵EB⊥AC，∠C =45°∴△BFC为等腰直角三角形，∴∠BFC= ∠DFE=∠C = 45°∴∠ADC= ∠E + ∠DFE =22.5°+45°=67.5°在Rt△ABE中，∠E =22.5°，∠ABE = 90°∴∠CAE =90°-∠E=67.5°∴∠CAE = ∠ADC∴AC=CD，即R= 2R−2，解得：r=2+2，即OA=2+2∵OH⊥AEOH是AE的垂直平分线∴AH = EH∴∠EAH= ∠E= 22.5°∴∠HAB = ∠CAE- ∠EAH= 67.5°-22.5°=45°∴△ABH为等腰直角三角形∴AB =BH∴∠OAE= ∠OAC-∠OAE = 90° - 67.5°= 22.5°.'.∠OAH = ∠OAE + ∠EAH = 45°∴OH⊥AE，∠EAH=22.5°∴∠AHO =90°-∠EAH = 90° - 22.5°= 67.5°∴∠AOH = 180°- ∠OAH- ∠AHO=180°-45°-67.5°= 67.5°∴∠AHO = ∠AOH = 67.5°∴AH =OA=2+2，在Rt△ABH中，AB = BH，AH=2+2由勾股定理得：A B2+B H2=A H2即2A B2=（2+2）2∴AB=2+1故答案为：2+1.9．【答案】A【解析】【解答】解：由于CD是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求CE+DE最小值即可作点D关于OB对称的对称点D′，连接CD′与直线OB交于点E，则OC=OD′，CE+DE=CD′，此时CE+DE为最小值连接OD′，∵OD平分∠BOC，∠BOC=60°，∴∠BOD =∠COD =12∠BOC =30°，∴∠BOD =∠BOD ′=30°，∠COD ′=90°，在Rt △COD ′中，CD ′=OC 2+OD ′2=2OC =2OB =32，CD =30π×3180=12π，阴影部分周长的最小值为12π+32=62+π2．故答案为：A ．10．【答案】B【解析】【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =∠ACB =90°，∵OD ⊥AC ，∴OD ∥BC ，∴∠DBC =∠BDO ，∵∠BDO +∠ADO =90°，∴∠DBC +∠ADO =90°，①正确；∵∠ACB =90°，∴B C 2+A C 2=A B 2=4，AB =2，根据条件无法得到BC =AD ，②错误；∵AC =BD ，∴⏜AD =⏜BD ，∴⏜AD =⏜BC ，∵OD ⊥AC ，∴⏜AD =⏜CD ，∴⏜AD=⏜BC=⏜CD，∴∠AOD=13×180°=60°，∵OA=OD，∴△AOD为等边三角形∵AE⊥OD，∴DE=OE，③正确；若点P为BD的中点，则PD=PB，∵∠PED=∠BCP=90°，∠EPD=∠CPB，∴△EPD≅△CPB(AAS)，∴DE=BC，∵OD⊥AC，O为AB的中点，∴BC=2OE，∴DE=2OE，④正确；故答案为：B.11．【答案】212．【答案】3+23π【解析】【解答】解：连接AF，EF，过点F作FH⊥AB于点H，∵以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，∴AD=AE=AF=2，∵再以AB为直径作半圆，与DE交于点F，∴AE=BE=2，AE=EF，∴AF=AE=EF=2，∴△AEF是等边三角形，∴∠FAE=∠AEF=60°，AH=1，∴FH=AH·tan∠FAE=AH·tan60°=3∴S扇形FAE=60π×22360=23π，S弓形AF=60π×22360−12×23=23π−3，∴S阴影部分=S半圆AB-S扇形FAE-S弓形AF=12×4π−23π−(23π−3)=3+23π故答案为：3+2 3π.13．【答案】83614．【答案】22；415．【答案】y=−12x2+416．【答案】①②③【解析】【解答】解：如图：连接DC，∵D是AC的中点，∴AD=DC，由圆周角定理的推论得：∠ABD=∠DAC，故①正确；∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAC+∠AGD=90°，∵DE⊥AB∴∠BDE+∠ABD=90°，∵∠ABD=∠DAC，∴∠BDE=∠AGD，∴DF=FG，∵∠BDE+∠ABD=90°，∠BDE+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠ABD，∵∠ABD=∠DAC，∴∠ADE=∠DAC，∴AF=FD，∴AF=FG，即②正确；在△ADG和△BDA，{∠ADG =∠BDA∠DAG =∠DBA ，∴△ADG ∽△BDA ，∴AD BD =GDAD ，即：AD 2+3=2AD，解得：AD =10，由勾股定理得：AG =AD 2+DG 2=10+4=14，∵AF =FG ，∴FG =12AG =142，故③正确；如图：假设半圆的圆心为O ，连接OD ,CO ,CD ，∵BD =2AD ，AB =6，D 是AC 的中点，∴AD =DC =13AB ,∴∠AOD =∠DOC =60°，∵OA =OD =OC ，∴△AOD ,△ODC 是等边三角形，∴OA =AD =CD =OC =OD =6，∴四边形ADCO 是菱形，∴∠DAC =∠OAC =12∠DAO =30°，∵∠ADB =90°，∴tan ∠DAC =tan30°=DGAD ，即33=DG 6，解得：DG =23，∴S △ADG =12AD ⋅DG =12×6×23=63，∵AF =FG∴S △DFG =12S △ADG =33，故④错误．故答案为：①②③．17．【答案】（1）证明：∵OA ⊥BE ，∴AB=AE，∴∠ABE=∠C；（2）解：∵AC平分∠OAE，∴∠OAC=∠EAC，∵∠EAC=∠EBC，∴∠OAC=∠EBC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C，∴∠EBC=∠C，∴BF=CF，由（1）∠ABE=∠C，∴∠ABE=∠C=∠EBC，∵BC为直径，∴∠BAC=90°，∴∠ABE+∠C+∠EBC=90°，∴∠ABE=30°，∴AF=12 BF，∴AF=12 CF，即AFCF=12．18．【答案】（1）证明：∵AC是直径，AC⊥BD ∴AB=AD∴∠ABD=∠C又∵OB=OC∴∠OBC=∠C∴∠CBO=∠ABD（2）解：∵AE=4cm，CE=16cm∴直径AC=AE+CE=20cm∴OA=OB=10cm∴OE=OA-AE=10-4=6cm∵AC是直径，AC⊥BD∴BE=ED= BO2−OE2=8cm∴BD=2BE=16cm19．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠OFA＝90°，∴OF⊥AC，∴AC＝CD，即点D为AC的中点；（2）解：OF⊥AC，∴AF＝12AC＝8，∵DF＝4，∴OF＝OD−DF＝OA−4，∵OA2＝AF2＋OF2，∴OA2＝82＋(OA−4)2，∴OA＝10，∴⊙O的直径为20．20．【答案】（1）解：∠ACB＝45°，理由如下：∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°．∴∠ABE＋∠BAE＝90°．∴AD＋BC＝180°．∴AB＋CD＝180°．∵AC＝BD，∴AC＝BD．∴AC−AD=BD−AD．∴AB=CD．∴AB＝90°．∴∠ACB＝45°．（2）解：如图，连结BO，DO，过点O作OH⊥BD交BD于点H.∵∠BCD=60°, ∴∠BOD=120°.∵OH⊥BD,∴∠BOH=60°, BH=DH.在Rt△BHO中，∠BOH=60°,OB=10，∴OH=5,BH=53.∴BD=103=AC.∴S四边形ABCD=12×103×103=150.（3）证明：如图，延长BO交⊙O于点M，连结CM，DM．∵OF⊥BC，∴BF＝CF，即点F是BC的中点．又∵点O是BM的中点，∴OF是△BCM的中位线．∴CM＝2OF．∵DM⊥BD，AC⊥BD，∴DM∥AC．∴AD＝CM．∴AD＝2OF．21．【答案】（1）证明：如图1，∵AB=CD，∴AB=CD，即AC+BC=BD+BC，∴AC =BD ，∴∠A =∠D ，∴AM =DM ；（2）解：①∠M =90°−12α°.理由如下：连接AC ，如图，∵BE =BC =α°，∴∠CAB =12α°，∵AB ⊥CD ，∴∠AMC =90°，∴∠M =∠C =90°−12α°；②∵BE =BC =α°，∴∠CAB =∠EAB ，∵AB ⊥CD ，∴AC =AF ，∴∠ACF =∠AFC ，∵∠ACF =∠E ，∠AFC =∠DFE ，∴∠DFE =∠E ，∴DF =DE =7，∵AM =DM ，∴AM =MF +7，∵AM +MF =17，∴MF +7+MF =17，解得MF =5，∴AM =12，∴S △ADF =12×7×12=42.22．【答案】（1）证明：根据题意得CM=DM=12CD，∵∠ABC=90°，∴BM=12 CD，∴CM=DM=BM，∴点B在⊙M上．（2）解：连接DE，如图，∵CD⊥BE，CD为⊙M直径，∴BD=DE，∠ABC=∠DEC=90°，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠DAE=∠ADE=45°，∴DE=AE，∴AD=2DE=2BD，∴AD+BD=AB=(2+1)BD，∴BC=(2+1)BD，∴BCBD=2+1．（3）证明：过点B作BN⊥BG，过点A作AN⊥AE，交BN于点N，连接DE，NE，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠DAC=∠BCA=45°，∴∠BAN=∠BCF=45°，∵M为CD的中点，∴MD =MB =MC ，∵∠CMG =∠MBC +∠MCB =30°，∴∠MDB =∠MBD =75°，∠MBC =∠MCB =15°，∠DCE =∠BCE−∠MCB =30°，∴∠EDC =∠EBC =60°，∴∠EBF =∠EBC−∠MBC =45°，∴∠EBF =∠EBN =45°，∴∠ABN =90°−∠ABF =∠CBF ，∵{∠ABN=∠CBFAB =BC ∠BAN =∠BCF ，∴△BAN≌△BCF(ASA)，∴AN =CF ，BN =BF ，∵{BN =BF∠NBE =∠FBE BE =BE ，∴△NBE≌△FBE(SAS)，∴NE =EF ，在Rt △AEN 中，N E 2=A N 2+A E 2，∴E F 2=C F 2+A E 2．。

九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十二讲关于圆的基本知识(含答案)

第十二讲关于圆的基本知识趣题引路】20世纪40年代美国数学家冯•诺伊曼等人编写了一本研究取胜对策的书.在这本书中有一个有趣的问题: 一只鼠在圆形的湖边碰上了猫，鼠连忙纵身跳到水里，猫不会游水，于是紧紧地盯住鼠，在湖边跟着鼠跑动，打算在鼠爬上岸时抓住它•已知猫奔跑的速度是鼠游水速度的2. 5倍.聪明的读者，你知道鼠怎样才能逃脱猫的追捕？解析如图12-1,鼠在点A碰上了猫，若鼠跳到湖里后径宜游到对岸点C；则猫从A到C要跑半个圆周，由于半圆长是直径的-^1.58（倍）＜2.5（倍），因此猫还是能抓住鼠，所以，鼠若要逃脱猫的追捕，就必须（原文是经字，好像不通）利用猫环湖跑动这一特点，跳下水以后先游到圆心O,看准猫当时所在的位垃如立刻转身朝着B对岸的点£＞游去，这时鼠要游的距离是半径OD,猫要跑的距离是半圆BCD,也就是OD的兀倍，兀〜3. 14＞2.5,所以当猫到点D时，鼠已经逃之夭夭了.图12-1知识延伸】圆是初中数学中重要的内容，圆的基本性质虽然比较简单但具有较强的适用性•确定圆的条件就是通过三个点找到圆心和半径，然后画图.弧、弦和直径的关系（垂径左理）是研究有关圆的知识的基础，垂径左理指的是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，立理的题设和结论共涉及5条：（1）过圆心；（2）垂直弦：（3）平分弦：（4）平分劣弧：（5）平分优弧.在这5条中只要2条成立，那么剩下3条也是成立的.这样理解和记忆垂径左理即揭示了定理中的条件和结论的内在联系.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，它具有旋转对称性，这是圆的最基本最重要的性质，是证明其他定理的工具.例两人轮流在一个圆桌上放同样大小的硬币.每人每次只能放一枚，且任何两枚硬币不能有重叠部分，谁先放完最后一枚使得对方再也找不到空地可以放下一枚硬币时，谁就获胜•问谁一左能获胜？他要想获胜，必须采取怎样的策略？解析先放的那个人一左能获胜，他首先在圆心放一枚硬币，然后不论对方怎样放一枚硬币，他都在对方放硬币的位宜关于圆心对称的位巻上再放一枚硬币，由于圆是关于圆心对称的图形，故只要对方有放硬币的地方，他就有放硬币的地方，可见最后胜利一左属于先放硬币的人.（下页提上来的，保持语段的完整性）点评几何中，（X，刃一（一X，—刃是以原点为对称中心的映射，这种映射叫做对称变换•圆是中心对称图形，先耙硬币放在圆桌的正中央，以后不管对方放在哪里，他下一步都把硬币放在对方硬币关于中心对称的地方，先放硬币的肯左获胜.例2 如图12-2, AABC中，周长AB+BC+AC=2・求证：ZEC —定能被一个直径为1的圆盖住.证明设A、D两点将zMBC周长分成相等的两部分，即AB+BD=AC+CD=\.似钢笔改动的录入）以AD的中点0为圆心，丄为半径画圆，它一立能盖住△ABC.这是因为在三角形中.一边上的中线小于2另两边和的一半，即OB<1（AB+BD）=1, OC<1（AC+CD）=1 ,2 2 2 2・・・B、C两点均在圆O内.而A2XAB+BD=1・：.OA<L，点 A 在<90 内，2即OO盖住了/XABC.点评这一问题典型地反映了覆盖问题的证明思路，第一部分是设计，第二部分是运用了一个熟知的结论证明（即三角形一边上的中线小于另两边和的一半）.从表面上看，是先设汁后证明，苴实，只有证明在胸, 才能得出设计.例3在美国的亚利桑那州，有一个巨大的右坑，它的直径1280m,深180m,据说它是在数千年以前, 一个巨大的陨石落到地上砸出来的•请你估算一下，这个巨大的陨石直径有多大？因此，(OC-DC)2+DB2=OB2.即（片180）2+（竺）2=妙2X2-360X+18024-6402=JI2,解得x= 1228m.这个巨大的陨石直径为2456m.点评有关弦、弦心距、半径、弓高的计算或涉及到弦、弦的中点的问题，通常是构造直角三角形或运用垂径立理.好题妙解】佳题新题品味例1已知如图12-4, AB为00的弦，OC丄于C,问O C+AC何时取最大值?S12-4解析连04、0B,过A作AD丄OB于D,设0A = OB=R, ZAOB=a,则AD=0A• sin a=R• sin a.S DAOB=—AD • OB2= -R• Rsin a= 1 /?2sin a,2 2（OC+ACgOG+AU+LAO OC=OA2^2S AAOH=/?2+/?2sin a.当“=90°时，sin 有最大值1,即（OC+AC）有最大值2疋，因而，当ZAOB=90° , OC+AC取得最大值R.点评一般地，最大、最小值常在某个特殊点取得，经试验后猜测，点A运动到和圆心的连线垂直于OB 时，OC+AC取得最大值.例2 一条60m宽的河上架有一座半径为55m的圆弧形拱桥，请问一顶部宽12m且高出水而8m的船能否通过此桥，请说明理由.E@12-5解析假左该船恰能通过桥时，桥的半径为/?，如图12-5, 表示水而宽，EF为船宽，MP为船顶到水面AB的距离，设O P=x(O为圆心)，依题意得，在RtZkOBP中，R2=302+F,①在RtAOEM中，用=(8+X)2+62,②①、②求得 /?= 10^34 >55,即船恰能通过时，桥的半径为10炉m,但现在桥的半径为55m,所以该船不能通过此桥.点评可先假定该船恰能通过桥，则12m宽的船顶为圆弧形拱桥的一弦，作出垂径和一条过该弦端点的半径，运用垂径左理及勾股立理求出这条半径/?，就能解决此问题.中考真题欣赏例1 (重庆市中考题)如图12-6, AM是00的直径，过00上一点B作BN丄AM,垂足为N,其延长线交OO于点C,弦CD交AM于点E(1)如果CD丄/W,求证：EN=NW(2)如果弦CD交AB于点F,且CD=AB,求证：C&=EF・ED；(3)如果弦CD、AB的延长线(根据网上2002年重庆中考数学试题添加，后而的解答也是这个意思)交于点F,且CD=AB.那么(2)的结论是否仍成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.图12』证明(1)连结BW 9：AM是直径，•••ZABM=90°・•: CD丄AB, :.BM〃CD A ZECN=ZMBN.9：AM丄BC,:・CN=BN.ARtACE/V^RtABM/V,:・EN=NM・(2)连结BD, BE、AC.•••点E是BC垂直平分线AM上一点,:.BE=EC.I CD=AB9 :. CD =AB , :. AD =BC , ••• ZACD=ZBDC.9：AB=AC, AE=AE. :.AABE^AACE,:・ZABE=ZACD=ZBDC, ZBED是公共角，•••△BEDs△FEB,—EF BE:.BE2=EF • ED. :.CE2=EF • ED.(3)结论成立证明如图12-7仿⑵可证ZBEQ'ACE、:・BE=CE, ZABE= ZACE.•••AB=CD, :. ZACB=ZDBC:.BD//AC. ZBDE+ZACE=180°=ZFBE+ZABE,:・ZBDE=ZFBE, ZBED是公共角，•••△BEDs&EB, A—=—EF EB:.BE^EF • ED、:.CE2=EF • ED.点评本题利用直径AM垂直BC和弦CD=AB这两个条件，得到弧相等，角相等，再利用三角形全等, 相似来解决问题.例2 (黄冈市中考题)已知，如图12-8, C为半圆上一点，AC =CE ,过点C作直径AB的垂线QP, P为垂足，弦AE分别交PC, CB于点D, F.(1)求证：AD=CD；气2(2)若DF=二，tanZ£C5=- > 求的长.4 4cE@12-7证明（1）连结人（7, V AC =CE , :.ZCEA = ZCAE.9：ZCEA=ZCBA, •••ZCBA=ZCAE・VAB是直径，A ZACB=90°・•:CP丄AB, :.ZCBA=ZACP・:.ZCAE= ZACP,:・AD=CD・⑵解析：ZACB=90° , ZCAE=ZACP.:.ZDCF=ZCFD. ：・AD=CD=DF=-・4••• ZECB= ZDAP. tanZEC5=-,4DP 3A tan ZDAP=一 =-PA 49：OP2+PA2=DA2, :.DP= - , PA=1, CP=2・4A ZAC5=90° , CP丄AB.:.'APCs'CPB, , APB=4.PC PB点评（1）利用AC =CE ,把圆周角，互余的角联系起来，从而解决问题.⑵利用RtAACF和ZACP=ZCAD这两个条件得到CD=DF,再转化ZECB为ZDAP,问题便迎刃而解.竞赛样题展示例(2000年“鲁中杯”绍兴四市、县初中数学联赛试题)已知如图12-9,在以O为圆心的圆中，弦CD 垂直于直径AB,垂足为H,弦BE与半径OC相交于点F,且OF=FC,弦DE与弦AC相交于点G.(1)求证：AG=GCx⑵若AG=* , AH:AB=\:3,求△CDG的面积与△BOF的而积.证明(1)连结AD. 9：AB是直径，AB丄CD••• BC =BD , ••• ZCAB=ZDAB. :. ZDAG=2ZCAB.V ZBOF= ZCAB+ZOCA,又9： ZCAB=ZOCA,:.ZB0F=2ZCAB, :. ZBOF= ZDAG.•••ZOBF=ZADG,:仏OBFs厶DAG,故竺=21r)A |•：0B=0C=20F, 9：AC=2AG,即AG=GC.(2)解析连结BC, A ZBCA=90° ,又••'CH丄AB, :.A^AH - AB・• •AH—— X AB= — X 6=2・3 3CH=J AC—AH丄=J(2®-22 = 2迈.:.S^ACD =丄CD • AH= - X4x/2 X2= 4迈.・・・AG=CG,：皿心沁=尹心= 由•: HBOF S HDAG点评由垂径左理处BC =BD ,从而得到孤所对的圆周角相等，将已始与未知之间的关系联系起来，再通过三角形相似、射影定理等解决问题.OF AGAG 2團12-9过关检测】4级1 •如图12-10, 00的直径AB 和弦CD 相交于点& 已知AE=\ cm. EB=5 cm, ZDEB=60c,,求仞的长. 2•如图12-11,公园里大观览车半径为25m,已知观览车绕圆心O 顺时针匀速转动，旋转一周用12mim 某人从观览车的最低处（地面A 处）乘车，问经过4min 后，此人距地而CD 的髙度是多少米？（观览车最低处距地而的髙度忽略不讣）4•已知AB 是00的直径，M 是OA 上的点，弦P0经过点M,且PM=M0•求证：3AP =B （）.3•如图12-12, AB 是OO 的直径，P 是OA 上一点,C 是00上一点，求证:D@12-115.如图12-13, 一根木棒(AB )长为么“斜靠在与地而(0M)垂直的墙壁(ON)上，与地而的倾角为60° , 若木棒A端沿NO下滑，B端沿OM向右滑行，于是木棒的中点P也随之运动.已知A端下滑到A'时，Af =(筋-血)心则中点P随之运动的路线有多长？6.当湖泊结冰时，有一只球浮在湖而上，将球取岀后在冰上留下一个球形凹洞，深8cm,洞口直径为24cm, 球的半径是多少厘米？B级1・已知点P到00的最小距藹为4cm,最大距离为8cm,求00的半径.2 •如图12-14,已知00的直径为4cm, M是劣弧AB的中点，从M作弦且MN=2苗cm, MN、AB交于点P,求ZAPM的度数.3•已知OO的半径为乩C、D是直径AB同侧圆周上的两点，AC的度数为96° , BD的度数为36。

数学培优竞赛新方法（九年级）-第15讲圆的基本性质

第15讲圆的基本性质知识纵横到顶点等于定长的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印。

圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦，弧，弦心距，圆心角，圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形。

用圆的基本性质解题应注意：1.熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明2.了解弧的特性及中介作用3.善于促成同圆或等圆不同名称等量关系的转化例题求解【例1】在半径为1的圆O 中，弦AC AB ,的长分别为3和2，则BAC Ð度数为_________ （黑龙江省中考题）思路点拨作出辅助线，解直角三角形，注意AC AB ,有不同的位置关系。

【例2】P 是圆O 内一点，圆O 的半径为15，P 点到圆心O 的距离为9，通过P 点，长度是整数的弦的条数是（）（江苏省竞赛题）5A 7B 10C 12D思路点拨过点P 最长的弦为圆O 的直径，最短的弦与OP 垂直（为什么），可求得过点P 点的弦长范围。

【例3】如图，已知点D C B A ,,,顺次在圆O 上，弧AB =弧BD ,AC BM ^于M ，求证CM DC AM +=（江苏省竞赛题）思路点拨用截长（截AM ）或补短（延长DC ）证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它。

【例4】如图，o Q 的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦AB CE ^，在弧AB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F 、M 。

（1）求COA Ð和FDM Ð的度数；（2）求证：FDM D ~COM D ；（3）如图，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在弧EB 上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线AB 于点F 、M ，试判断：此时是否有FDM D ~COM D ?证明你的结论。

（苏州市中考题）思路点拨（1）在C O G Rt D 中，利用OC OA OG 2121==；（2）证明FDM COM Ð=Ð，FMD CMO Ð=Ð；（3）利用图的启示思考。

JSEZ--数学培优辅导之六(圆的基本性质)

JSEZ---九年级数学辅导练习卷六（第三章圆）班级_________ 姓名____________一、圆的相关定义：1.圆的定义1：_______________________________________________________；2.圆的定义2：_______________________________________________________；3. 直径：弧：_____________,优弧:_____________；劣弧：_____________, 半圆弧：_______________________,弦：_________________________________。

4.右图：写出图中的：直径：____________,半径：___________________，弧：如__________________________________,共有_______条；优弧:_________________________________________________________________；劣弧：_________________________________________________________________；半圆弧：__________________________,弦:________________________________。

5.等弧：_____________________________________________.6.等圆：____________________________________________；7.同心圆:_____________________________________________二、点与圆的位置关系8.如果P 是圆所在平面内的一点，d 表示P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，则：练习1、两个圆的圆心都是O ，半径分别为1r 、2r，且1r＜OA ＜2r，那么点A 在（） A 、⊙1r 内 B 、⊙2r外 C 、⊙1r外，⊙2r 内 D 、⊙1r内，⊙2r 外练习2、一个点到圆的最小距离为4cm ，最大距离为9cm ，则该圆的半径是（） A 、2.5 cm 或6.5 cm B 、2.5 cm C 、6.5 cm D 、5 cm 或13cm练习3、 ⊙0半径为13cm ，圆心O 到直线l 的距离d=OD=5cm ．在直线l 上有三点P,Q,R ，且PD =12cm , QD<12cm , RD>12cm ，则点P 在，点Q 在，点R 在 . 练习4、 AB 为⊙0的直径，C 为⊙O 上一点，过C 作CD ⊥AB 于点D ，延长CD 至E ，使DE=CD ，那么点E 的位置（）A ．在⊙0 内B ．在⊙0上C ．在⊙0外D ．不能确定三、几点确定一个圆9、（1）经过一个已知点可以画____________个圆；（2）经过两个已知点可以画___________个圆；这样的圆的圆心在_____________________ 上；（3）过同在一条直线上的三个点能画圆吗？__________________；定理：经过确定一个圆。

圆培优讲义

《圆》培优讲义（一）一、圆的基本概念例：思考：车轮为什么是圆的？否则：试想，如果车轮是方的或者是椭圆的，坐车的人会有什么感觉？例：如图：AB、CB 为⊙O的两条弦，试说出图中的所有弧。

COBA例：判断对错1、长度相等的两条弧是等弧。

2、一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧。

3、两个半圆是等弧。

4、半径相等的弧是等弧。

5、半径相等的两个半圆是等弧。

6、分别在两个等圆上的两条弧是等弧。

例：下列说法错误的是A、直径相等的两个圆是等圆。

B、圆中最大的弦是通过圆心的弦。

C、同圆中，优弧和劣弧的和等于一个整圆。

D、直径是圆中最长的弦。

例：AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，OD//BC。

求证：OD 是AC 的垂直平分线ADOC B例：圆O 的半径为5，弦AB//CD，且AB=6，CD=8，求以两平行弦为底的梯形的面积。

对应练习：1. 设AB＝3 厘米，画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形：（1）和点 A 的距离等于2 厘米的点的集合；（2）和点 B 的距离等于2 厘米的点的集合；（3）和点 A、B 的距离都等于2 厘米的点的集合；（4）和点 A、B 的距离都小于2 厘米的点的集合B2. 在下面的矩形中，如果 OA、OB、OC、OD 的中点分别为E、F、G、H。

求证：E、F、G、H4 个点在同一个圆上。

二、圆的轴对称性例 1. 如图，已知在⊙O中，弦AB 的长为8 厘米，圆心O 到AB 的距离为3 厘米，求⊙O的半径。

EAO变式 1：如上图，若以 O 为圆心再画一个圆交弦 AB 于C，D，则AC 与BD 间可能存在什么关系?A C E D BO （1）A C D BO（2）变式 2：如下图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC＝BD 还成立吗?变式 4：如图，设 AO ＝BO ，求证 AC ＝BD 。

变式 5：如图，设 OC ＝OD ，求证 AC ＝BD 。

结论：得出解决这类题的关键在于利用垂径定理，由圆心 O 引弦 AB 的垂线。

九年级数学-培优专题讲义-圆的基本性质

圆的基本性质姓名：上课时间：1.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为______ ,若点P是弧BAD上一动点，则∠BPD大小是否会改变，若不变求出该角，若变化，请说明理由。

2. 如图，B为在⊙O的半径OC上一点（不与点O，C重合），点E在圆上，以OB，BE为边作矩形OBED，延长DO到点A，使OA＝OB，连接AC，则( )A．AC＞DB B．AC＜DBC．AC＝DB D．AC与BD的大小关系不能确定．第1题图第2题图考点一、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧考点二、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

考点三、圆周角定理及其推论圆周角定理基础巩固EDAOCB一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

考点四、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

例1：（19年元调）如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AD＝CB，求证：AB＝CD第18题图例2：如图，△ABC的顶点在⊙O上，点E，F分别为边AB，AC的中点．（1）求证点A，E，O，F在同一个圆上，并在图中画出该圆的圆心；（2）⊙O的直径MN＝4，点A固定，点B在半圆弧上运动，当点B从点M运动到点N的过程中，请直接写出点E运动路径的长．例3：如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=BC.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE.(1)求证：∠B=∠D；(2)若AB=13，BC﹣AC=7，求CE的长.典型例题NEOABMFEOB例4：在⊙O中,AB为直径,C为⊙O上一点．（1）如图1,过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=27°,求∠P的大小；（2）如图2,D为弧AC上一点,且OD经过AC的中点E,连接DC并延长,与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=10°,求∠P的大小．例5：如图，在四边形ABCD中，(1) 若∠BAD+∠BCD=1800，则图中有____ 对相等的角（小于1800）；（2）若∠BAC=∠BDC,且AB=AC ，证明：∠ADB=∠ACB .例6：（19年元调）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆(1) 如图1，求证：AD是⊙O的切线(2) 如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G①求证：AG＝BG②若AD＝2，CD＝3，求FG的长1.在⊙O 中，弦AB 的长为6，圆心O 到AB 的距离为4，则⊙O 的半径为（） A ．10B ．6C ．5D ．42.如图所示，点A ，B 和C 在⊙O 上，已知∠AOB ＝40°，则∠ACB 的度数是（）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°3.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点．若∠B ＝110°，则∠ADE 的度数为___________.4．如图，两个等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，O 1B 的延长线交⊙O 2于点C ，若∠O 1＝35°，则∠O 1O 2C 的度数为 A ．65° B ．70° C ．75° D ．80°．5.如图，在⊙O 中，半径OA ⊥弦BC ，点E 为垂足，点D 在优弧上．（1）若∠AOB=56°，求∠ADC 的度数；（2）若BC=6，AE=1，求⊙O 的半径．6.如图，OA 、OB 、OC 都是⊙O 的半径，∠AOB ＝2∠BOC(1) 求证：∠ACB ＝2∠BAC ；(2) 若AC 平分∠OAB ，求∠AOC 的度数7.如图,⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 的长为5，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D. （1）求BC 的长；（2）求弦BD 的长.A BCOAC BO 1O 28.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2。

2020-2021浙教版九年级数学上册第三章圆的基本性质单元培优测试卷(含解析)

2020-2021浙教版九年级数学上册第三章圆的基本性质单元培优测试卷一、选择题（共10题；共30分）1.下列说法错误的是（）A. 等弧所对的圆心角相等B. 弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数C. 经过三点可以作一个圆D. 三角形的外心到三角形各顶点距离相等2.如图，将△AOB绕点O逆时针方向旋转45度后得到ΔA′OB′，若∠AOB=10°，则∠AOB′的度数是（）A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°3.在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3 ：5，则DE的长为（）A. 6B. 9C. 12D. 154.如图，⊙O中，弧AB=AC，∠ABC=70°．则∠BOC的度数为（）A. 100°B. 90°C. 80°D. 70°5.如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC=38°，则锐角∠BDC的度数为（）A. 57°B. 52°C. 38°D. 26°6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=CD，A为弧BD 中点，∠BDC=60°，则∠ADB 等于（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°7.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点P 是弧CD 上的任意一点，则∠APB 的大小是（）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°8.如图，半径为10的扇形 AOB 中， ∠AOB =90° ， C 为弧AB 上一点， CD ⊥OA ， CE ⊥OB ，垂足分别为 D 、 E .若 ∠CDE 为 36° ，则图中阴影部分的面积为（）A. 10πB. 9πC. 8πD. 6π9.如图，放置在直线l 上的扇形OAB ．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA ＝2，∠AOB ＝45°，则点O 所经过的最短路径的长是（）A. 2π+2B. 3πC. 5π2D. 5π2+2 10.如图，将矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转得到矩形AEFG ，点B 的对应点E 落在边CD 上，且DE=EF ，若AD= √3 ，则弧CF 的长为( )A. 3π8B. 3π4C. √6π4D. π 二、填空题（共6题；共24分）11.如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB ，CD ，将线段AB 绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD 重合（点A 与点C 重合，点B 与点D 重合），则这个旋转中心的坐标为________．12.若一个扇形的弧长是 2πcm ，面积是 6πcm 2，则扇形的圆心角是________度．13.已知⊙O 的半径为13cm ，弦AB 的长为10cm ，则圆心O 到AB 的距离为________cm.14.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC ＝120°，AB ＝2 √3 ，以点O 为圆心，OB 长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为________.（结果保留π）15.如图， ΔABC 是 ⊙O 的内接正三角形，点O 是圆心，点D ，E 分别在边 AC ， AB 上，若 DA =EB ，则 ∠DOE 的度数是________度.16.如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离OE为________.三、解答题（共8题；共66分）17.如图，在△ABC中，∠BAC=100°，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，使得点B、C、D恰好在同一条直线上，求∠E的度数.18.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．19.如图，平面直角坐标系中，以点A（2，√3）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于B，C两点，若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点B，C，求此二次函数的函数关系式．AB.20.如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD＝√22（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G.设四边形BGEF的面积为s1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2，且s1＝s2.当AB＝2时，求AH的长.21.如图，在⊙O中，点P为弧AB的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD、PD相交于点E、N，连接BD、MN .（1）求证：N为BE的中点.（2）若⊙O的半径为8，弧AB的度数为90°，求线段MN的长.22.如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，∠BAC=30°，BC=1 .（1）点F到直线CA的距离是________；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转.①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为________；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE=OB时，求OF的长.23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．24.如图（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．①请按要求画图：将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′．连接BB′；②在①中所画图形中，∠AB′B＝________°．（2）（问题解决）如图2，在Rt△ABC中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．（3）（拓展延伸）如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．答案一、选择题1.解：A等弧所对的圆心角相等，故不符合题意；B、弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数，故不符合题意；C、经过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，故符合题意；D、三角形的外心到三角形各顶点距离相等，故不符合题意；故答案为：C.2.解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=10°，∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-10°=35°，故答案为：C．3.解：如图所示：∵直径AB＝15，∴BO＝7.5，∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，∵DE⊥AB ，∴DC＝√DO2−OC2=√7.52−4.52＝6，∴DE＝2DC＝12．故答案为：C．4.解：∵AB=AC，∴AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=180°-70°×2=40°，∵圆O是△ABC的外接圆，∴∠BOC=2∠A=40°×2=80°，故答案为：C．5.解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°,∵∠ABC=38°,∴∠CAB=90°−38°=52°,∴∠BDC=∠CAB=52°.故答案为：B.6.∵A为BD中点，∴AB=AD,∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，∵AB=CD，∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴3∠ADB+60°=180°，∴∠ADB=40°，故答案为：A．7.解：连接OA、OB、如图所示：＝60°，∵∠AOB＝360°6∴∠APC＝1∠AOC＝30°.2故答案为：B.8.连接OC交DE为F点，如下图所示：由已知得：四边形DCEO 为矩形.∵∠CDE=36°，且FD=FO ，∴∠FOD=∠FDO=54°，△DCE 面积等于△DCO 面积.S 阴影=S 扇形AOB −S 扇形AOC =90•π•102360−54•π•102360=10π .故答案为：A.9.解：如图，点O 的运动路径的长＝的长+O 1O 2+ 的长＝ 90·π·2180 + 45·π·2180 + 90·π·2180 ＝ 5π2，故答案为：C ．10.解：连接AF ，AC ，由旋转的性质及矩形的性质得，AD=BC=EF ，AB=AE ，∠D=∠DAB=∠B=90°，∵AD=DE ，∴△ADE 是等腰直角三角形，∴∠DAE=∠DEA=45°，AE= √2 AD= √6 ，∴∠EAB=45°，AB=AE=CD= √6 ，即得∠CAF=45°，在Rt △ABC 中，AC= √AB 2+BC 2 =3，∴ 弧CF 的长= 45×π×3180=34π . 故答案为：B二、填空题11.解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2），故答案为：（4，2）．12.解：扇形的面积= 1lr=6π，2解得：r=6，又∵l=nπ×6=2π，180∴n=60．故答案为：60．13.解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，则AC＝BC＝1AB＝5，2在Rt△OAC中，OC＝√132−52＝12，所以圆心O到AB的距离为12cm.故答案为：12.14.解：如图，设连接以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与AB，AD相交于E，F，连接EO，FO，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，∴AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，AB＝AD，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD＝2 √3，∠ABD＝∠ADB＝60°，∴BO＝DO＝√3，∵以点O为圆心，OB长为半径画弧，∴BO＝OE＝OD＝OF，∴△BEO，△DFO是等边三角形，∴∠DOF＝∠BOE＝60°，∴∠EOF＝60°，∴阴影部分的面积＝2×（S△ABD﹣S△DFO﹣S△BEO﹣S扇形OEF）＝2×（√34×12﹣√34×3﹣√34×3﹣60°×π×3360°）＝3 √3﹣π，故答案为：3 √3﹣π.15.连接OA，OB，作OH⊥AC，OM⊥AB，如下图所示：因为等边三角形ABC，OH⊥AC，OM⊥AB，由垂径定理得：AH=AM，又因为OA=OA，故△OAH ≅△OAM（HL）.∴∠OAH=∠OAM.又∵OA=OB,AD=EB,∴∠OAB=∠OBA=∠OAD,∴△ODA ≅△OEB（SAS）,∴∠DOA=∠EOB,∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB.又∵∠C=60°以及同弧AB，∴∠AOB=∠DOE=120°.故答案为：120.16.解：∵AC＝AD，∠A＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∵AO＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°，∴∠OCD＝45°，即△OCE是等腰直角三角形，在等腰Rt△OCE中，OC＝2；因此OE＝√2 .故答案为：√2 .三、解答题17. 解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，∴∠BAD=150°,AD=AB,∠E=∠ACB .∵点B、C、D恰好在同一条直线上∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，∴∠B=∠BDA，∴∠B=1(180°−∠BAD)=15°，2∴∠E=∠ACB=180°−∠BAC−∠B=180°−100°−15°=65° .18. 解：作OD⊥AB于E，交⊙O于点DAB∴AE=12∵AB=8∴AE=4在RtΔAEO中，AO=5∴OE=√OA2−AE2=3∴ED=2∴筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m19. 解：过点A作AD⊥BC于D，连接AC，则AD＝√3，AC＝2，∴CD＝√22+(√3)2=1，∴BD＝CD＝1，∴点B、C的坐标分别为：（1，0）、（3，0），∴二次函数的函数关系式为：y=(x−1)(x−3)=x2+4x+3．20. （1）证明：∵OA＝OB＝OC＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，AB，∵OA＝OB＝OC＝OD＝√22∴OA2+OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，即AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形（2）解：∵EF⊥BC，EG⊥AG，∴∠G＝∠EFB＝∠FBG＝90°，∴四边形BGEF是矩形，∵将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，∴∠DHE＝90°，DH＝HE，∴∠ADH+∠AHD＝∠AHD+∠EHG＝90°，∴∠ADH＝∠EHG，∵∠DAH＝∠G＝90°，∴△ADH≌△GHE（AAS），∴AD＝HG，AH＝EG，∵AB＝AD，∴AB＝HG，∴AH＝BG，∴BG＝EG，∴矩形BGEF是正方形，设AH＝x，则BG＝EG＝x，∵s1＝s2.∴x2＝2（2﹣x），解得：x＝√5﹣1（负值舍去），∴AH＝√5﹣1.21. （1）解：∵点P为AB的中点∴AP=PB∴∠PCE=∠PDE=∠PDB∵∠CEM=∠DEN∴ ∠PCE +∠CEM =∠DEN +∠PDE∴ ∠CME =∠DNE∵ PC ⊥AD∴ ∠EMC =∠DNE =90 °在 △DEN 和 △DBN 中{∠EDN =∠BDNDN =DN ∠DNE =∠DNB∴ △DEN ≅ △DBN∴ EN =BN∴点N 为BE 中点（2）解：连接CA ，AB ，OA ，OB ，如图所示：∵点 P 为 AB 的中点∴ AP =PB∠ECM =∠ACM在 △EMC 和 △AMC 中{∠EMC =∠AMC =90°CM =CM ∠ECM =∠ACM∴ △EMC ≅ △AMC∴ EM =AM ，即M 为AE 中点∵N 为BE 中点∴MN 为 △AEB 的中位线又∵ ⊙O 的半径为8， AB 的度数为 90°∴ ∠AOB =90° ，OA=OB=8∴ AB =8√2∴ MN =12AB =4√222. （1）1（2）π12解：作EH⊥CF于点H，如图4，在Rt△EFH中，∵∠F=60°，EF=1，∴FH=12,EH=√32，∴CH= 2−12=32，设OH=x，则OC=32−x，OE2=EH2+OH2=(√32)2+x2=34+x2，∵OB=OE，∴OB2=34+x2，在Rt△BOC中，∵OB2+BC2=OC2，∴34+x2+1=(32−x)2，解得：x=16，∴OF=12+16=23.解：（1）∵∠BAC=30°，∠ABC=90°，∴∠ACB=60°，∵Rt△ABC≌Rt△CEF，∴∠ECF=∠BAC=30°，EF=BC=1，∴∠ACF=30°，∴∠ACF=∠ECF=30°，∴CF是∠ACB的平分线，∴点F到直线CA的距离=EF=1；故答案为：1；（2 ）①线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：在Rt△CEF中，∵∠ECF=30°，EF=1，∴CF=2，CE= √3，由旋转的性质可得：CF=CA=2，CE=CG= √3，∠ACG=∠ECF=30°，∴S阴影=（S△CEF+S扇形ACF）－（S△ACG+S扇形CEG）=S扇形ACF－S扇形CEG= 30π×22360−30π×(√3)2360=π12；故答案为：π12；23. （1）解：如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）解：线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；（3）解：如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2＝EF2，∴12EA2+ 12CF2＝12EF2，∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH，即S△ABC＝S矩形BGKH，∴12S△ABC＝12S矩形BGKH，∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，∴S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO，∵S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，∴S△BMH：S△BGM＝8：9，∵BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，设BG＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k，∵AG＝3，∴AE＝3 √2，∴CF＝√2（k+3），EF＝√2（8k﹣3），∵EA2+CF2＝EF2，∴(3√2)2+[√2(k+3)]2=[√2(8k−3)]2，整理得：7k2﹣6k﹣1＝0，解得：k1＝﹣17（舍去），k2＝1．∴AB＝12，∴AO＝√22AB＝6 √2，∴⊙O的半径为6 √2．24. （1）解：①如图，△AB′C′即为所求．；45 （2）解：如图2中，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．∵∠C＝∠BAE＝∠H＝90°，∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠EAH＝90°，∴∠B＝∠EAH，∵AB＝AE，∴△ABC≌△EAH（AAS），∴BC＝AH，EH＝AC，∵BC＝CD，∴CD＝AH，∴DH＝AC＝EH，∴∠EDH＝45°，∴∠ADE＝135°．（3）解：如图③中，∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD＝kAB，∴DG＝kBC＝2k，∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG+∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG＝√DG2+CD2＝√4k2+9．∴BD＝CG＝√4k2+9．解：（1）②由作图可知，△ABB′是等腰直角三角形，∴∠AB′B＝45°，故答案为45．。

九年级(上)培优讲义：第5讲圆的基本性质

第5讲：圆的基本性质一、建构新知1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.2．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.3．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4．与圆有关的角：(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.二、经典例题例1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为．例2．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，求CD的长．变式：如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝．例3．如图，在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点E ．（1）若OC =5，AB =8，求tan ∠BAC ；（2）若∠DAC =∠BAC ，且点D 在⊙O 的外部，判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并加以证明．例4. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为F ，FH ∥BC ，连结AF 交BC 于E ，∠ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ．（1）证明：AF 平分∠BAC ；（2）证明：BF ＝FD .N MO C BA例5. 已知射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如图所示是点P在圆内移动时符合已知条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合已知条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比较写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.例6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=35，求⊙O的直径．三、基础演练1．如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于()．A．70°B．64°C．62°D．51°2．在半径为27m的圆形广场中心点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO为()．A．54m B．m C．m D．m3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于().A. (4π+8)cm2B. (4π+16)cm2C. (3π+8)cm2D. (3π+16)cm24．如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是().A. B. C. D.5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为() A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸6．在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，－4)，半径分别是和，则这两个圆的公切线（和两圆都相切的直线）有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条7．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )．A ．80°B ．100°C ．80°或100°D ．160°或200°8．如图所示，AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是( )．A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50° 9．如下左图，是的内接三角形，，点P 在上移动(点P 不与点A 、C 重合)，则的变化范围是_____.10．如图所示，EB 、EC 是⊙O 是两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E =46°，∠DCF =32°，那么∠A 的度数是____________.11．已知⊙O 1与⊙O 2的半径、分别是方程的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距=5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是______________ .12．已知圆的直径为13 cm ，圆心到直线的距离为6cm ，那么直线和这个圆的公共点的个数是______.13. 两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是______. 14. 已知正方形ABCD 外接圆的直径为，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK 的边长为_______________，面积为_______________．四、直击中考1.(2013年湖北)如，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为（） A .95 B . 245 C . 185 D . 522.（2013黑龙江）如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，AC 平分∠BAD ，AC 交BD 于点E ，CE =4，CD =6，则AE 的长为（）CADBA ．4B ．5C ．6D ．73．（2013江苏）如图，已知AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A ，点C 是的中点，则下列结论不成立的是（） A ．OC ∥AE B ．EC =BCC ．∠DAE =∠ABED ．AC ⊥OE4.（2013湖北）如图，DC 是⊙O 直径，弦AB ⊥CD 于F ，连接BC ，DB ，则下列结论错误的是（） A ．B ． A F =BFC ． O F =CFD ． ∠DBC =90°5.（2013湖北）如图，M 是CD 的中点，EM ⊥CD ，若CD =4，EM =8，则所在圆的半径为．6.（2013年广东）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，P Θ与x 轴交于O ,A 两点，点A 的坐标为（6,0），P Θ的半径为13，则点P 的坐标为____________.7.（2013四川）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足=31，连接AF 并延长交⊙O 于点E ，连接AD 、DE ，若CF =2，AF =3．给出下列结论：①△ADF ∽△AED ；②FG =2；③tan ∠E =；④S △DEF =4．其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．8．（2013浙江）如图，AE 是半圆O 的直径，弦AB =BC =4，弦CD =DE =4，连结OB ，OD ，则图中两个阴影部分的面积和为． 9. （2013江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （6，0），点B （0，6），动点C 在以半径为3的⊙O 上，连接OC ，过O 点作OD ⊥OC ，OD 与⊙O 相交于点D （其中点C 、O 、D 按逆时针方向排列），连接AB ．（1）当OC ∥AB 时，∠BOC 的度数为；（2）连接AC ，BC ，当点C 在⊙O 上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．（3）连接AD，当OC∥AD时：①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．10.（2013四川）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．五、挑战竞赛1.如图所示，△ABC的三边满足关系BC=12（AB+AC），O，I分别为△ABC的外心和内心，∠BAC的外角平分线交⊙O于点E，AI的延长线交⊙O于点D，DE交BC于点H．求证：（1）AI=BD；（2）OI=12 AE．第22题图②OPCBA六、每周一练1．在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C 作，如图所示．若AB =4，AC =2，S 1﹣S 2=，则S 3﹣S 4的值是（） A ．B ．C ．D ．2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形， AB ＝AC ，点P 是⋂AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ．如图②，若2524sin =∠BPC ，则PAB ∠tan 的值为． 3. 如图1，正方形ABCD 的边长为2，点M 是BC 的中点，P 是线段MC 上的一个动点（不与M 、C 重合），以AB 为直径作⊙O ，过点P 作⊙O 的切线，交AD 于点F ，切点为E ．（1）求证：OF ∥BE ；（2）设BP =x ，AF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）延长DC 、FP 交于点G ，连接OE 并延长交直线DC 与H （图2），问是否存在点P ，使△EFO ∽△EHG （E 、F 、O 与E 、H 、G 为对应点）？如果存在，试求（2）中x 和y 的值；如果不存在，请说明理由．。

32【提高】圆的基本概念和性质(培优课程讲义例题练习含答案)

圆的基本概念和性质—知识讲解（提高）【学习目标】1．知识目标：理解圆的有关概念和圆的对称性；2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，•圆的对称性进行计算或证明；3．情感目标：养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义及性质1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.【高清ID号：356996 关联的位置名称（播放点名称）：概念、性质的要点回顾】4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.【典型例题】类型一、圆的定义1．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，求证：点A、B、C、D在以点O为圆心的同一个圆上.【答案与解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OC=OB=OD，∴点A、B、C、D在以点O为圆心、OA为半径的圆上.【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等. 举一反三：【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形【答案】C.2．爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。

2020年秋浙教版九年级数学上册第3章圆的基本性质单元培优测试卷(Word版含解析

2020 年秋浙教版九年级数学上册第 3 章圆的基本性质单元培优测试卷解析版一、选择题（共 10 题；共 30 分）1.已知⊙O 的半径为 3，A 为线段 P O 的中点，则当 O P ＝5 时，点 A 与⊙O 的位置关系为（）A. 点在圆内B. 点在圆上C. 点在圆外D. 不能确定2.在绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（）A. B.C.D. 3.往直径为大深度为（的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽）=，则水的最 A. B. C. D. = 20° ，则 ∠的大小为（4.如图，是⊙O 的直径，点 C 、D 在⊙O 上， ∠）A. 40°B. 140°C. 160°D. 170°5.如图，点A ,B ,C ,D 在⊙O 上， ∠= 120° ，点B 是的中点，则 ∠ 的度数是（）A. 30° 6.如图，四边形 A BCD 是菱形，⊙O 经过点 A ，C ，D ，与 B C 相交于点 E ，连接 A C ，AE 。

若∠D=80°，则∠EAC 的度数是(B. 40°C. 50°D. 60°)A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°7.如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（）4 5342312A. B. C. D.8.如图，放置在直线l上的扇形O AB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径O A ＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（）A. 2π+2B. 3πC.D. +2229.如图，在扇形中，已知∠=90°，=2，过的中点C 作⊥，⊥√，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（）−1 C. −1−1A. −1B. D.2222110.如图，在平面直角坐标系中，Q 是直线y=﹣x+2 上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转290°，得到点，连接′，则的最小值为(′) ′A. 4√5B. √5C. 5√2D. 6√5535二、填空题（共6题；共24 分）11.在⊙O中，若弦垂直平分半径，则弦所对的圆周角等于________°.12.如图，AB 为⊙的直径，弦⊥于点H ，若=10，=8，则OH的长度为________．13.小明在手工制作课上，用面积为个圆锥的底面半径为________ ．2，半径为的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这14.如图，已知锐角三角形内接于半径为2的⊙，⊥于点，∠=60°，则=________．15.如图，正方形的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点B落在对角线上，则阴影部分的面积是________．316.如图，点C、D 分别是半圆A OB 上的三等分点，若阴影部分的面积为，则半圆的半径O A 的长为2________．三、解答题（共8题；共66分）17.如图，在△中，∠=100°，将△绕点A逆时针旋转150°，得到△，使得点B、C、D恰好在同一条直线上，求∠的度数.18.如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长．19.如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．（1）求证：∠BAC=2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．20.如图，将△绕点B顺时针旋转60 度得到，点C的对应点E恰好落在A B 的延长线上，连接A D.（1）求证：；（2）若A B=4，BC=1，求A，C 两点旋转所经过的路径长之和.21.如图，在△中，=，D 是A B 上一点，⊙O经过点A、C、D，交B C 于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：（1）四边形D BCF 是平行四边形（2）=22.如图，点M，分别在正方形的边，上，且∠=45°，把△绕点A 顺时针旋转90°得到△.（1）求证：△（2）若=3，≌△.=2，求正方形的边长.23.如图所示，已知 A ， B 两点的坐标分别为（2 √3 ，0），（0，10），是△AOB P C外接圆⊙ 上的一点，OP 交 AB 于点 D ．（1）当 OP ⊥AB 时，求 O P ；（2）当∠AOP ＝30°时，求 AP ．24.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O ，AC 为直径，AC 和 BD 交于点 E ，AB ＝BC ．（1）求∠ADB 的度数；（2）过 B 作 AD 的平行线，交 AC 于 F ，试判断线段 EA ，CF ，EF 之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过 E ，F 分别作 AB ，BC 的垂线，垂足分别为 G ，H ，连接 GH ，交 BO 于 M ，若 AG ＝3， S ：S ＝8：9，求⊙O 的半径．四边形 AGMO 四边形 CHMO答案一、选择题11.解：∵OA＝OP＝2.5，⊙O的半径为3，2∴OA＜⊙O半径，∴点A与⊙O的位置关系为：点在圆内.故答案为：A.2.解：ACD、不是由某个基本图形经过旋转得到的，故A CD 不符合题意；B、是由一个基本图形经过旋转得到的，故B符合题意.故答案为：B.3.解：过点O作O D⊥AB于D，交⊙O于E，连接O A，1 2=1×48=由垂径定理得：∵⊙O的直径为=，2，∴在∴==，中，由勾股定理得：−√26−242，=22=2==−=26−10=，∴油的最大深度为故答案为：．，4.解：∵∠BDC=20°∴∠BOC=2×20°=40°∴∠AOC=180°-40°=140°故答案为：B.5.连接O B，∵点B是弧A C 的中点，1∴∠AOB＝∠AOC＝60°，21由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝30°，2故答案为：A．6.∵四边形A BCD 是菱形，∠D=80°，11∴∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=50°，22∵四边形A ECD 是圆内接四边形，∠D=80°，∴∠AEB=∠D=80°，∴∠EAC=∠AEB-∠ACB=30°.故答案为：C.7.连接A C，设正方形的边长为a，∵四边形A BCD 是正方形，∴∠B=90°，∴AC为圆的直径，∴AC=√2AB= √2a，2=2≈2则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为：，√2232故答案为：C.8.解：如图，点O的运动路径的长＝的长+O O+1 2的长＝+ + ＝，2180180180故答案为：C．9.连接O C∵点C为弧AB 的中点∴∠在△和△中{∠=∠∠∠==∴△≅△∴==∠=90°=又∵∠=∠=∠=90°∴=1×1=1∴四边形C DOE 为正方形∵==2∴==1√正方形2√2)∴−−1由扇形面积公式得故答案为：B.===阴影扇形=正方形扇形2360210.解：作Q M⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，12+2)，则P M= ﹣1，QM= −1+2，设Q( ，−2∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N，在△PQM和△Q′PN中，∠∠′°=90={∠∠′，′==∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，12+2，Q′N=PM=﹣1，∴PN=QM=−1∴ON=1+PN=3−，21﹣)，∴Q′(3−，12155∴OQ′=( 3−)+( 1﹣)=m ﹣5m+10= (m﹣2) +5，2 2 2 2 2244当m=2 时，OQ′有最小值为5，2∴OQ′的最小值为√5，故答案为：B.二、填空题11.设弦垂直平分半径于点E，连接O B、OC、AB、AC，且在优弧B C 上取点F，连接B F、CF，∴OB=AB，OC=AC，∵OB=OC，∴四边形O BAC 是菱形，∴∠BOC=2∠BOE，1∵OB=OA，OE= ,21∴cos∠BOE=，2∴∠BOE=60°，∴∠BOC=∠BAC=120°，1∴∠BFC=∠BOC=60°，2∴弦所对的圆周角为120°或60°，故答案为：120 或60.12.连接O C，11Rt△OCH中，OC= AB=5，CH= CD=4；2由勾股定理，得：OH=即线段O H 的长为3．故答案为：3．2−=√5−4=3；222213.由1得：扇形的弧长= 2×2÷15=（厘米），=扇形圆锥的底面半径= ÷÷2=10（厘米）．故答案是：10．14.解：连接O B 和O C，∵△ABC内接于半径为2的圆O，∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，OB=OC=2，∵OD⊥BC，OB=OC，∴∠BOD=∠COD=60°，∴∠OBD=30°，1∴OD=OB=1，2故答案为：1.15.解：过E点作M N∥BC交A B、CD 于M、N 点，设A B 与E F 交于点P点，连接C P,如下图所示，∵B在对角线C F 上，∴∠DCE=∠ECF=45°，EC=1，∴△ENC为等腰直角三角形，∴MB=CN=√2EC= √2，22又B C=AD=CD=CE，且C P=CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，∴△PEC≌△PBC(HL)，∴PB=PE，又∠PFB=45°，∴∠FPB=45°=∠MPE，∴△MPE为等腰直角三角形，设M P=x ，则E P=BP= √，∵MP+BP=MB，∴+√=√2，解得=2√2，22∴BP=√=√21，=2×1××=1×(√21)=√21．∴阴影部分的面积=2故答案为：√21．16.解：如图，连接∵点C、D 分别是半圆A OB 上的三等分点，∠∠∠°=60,∴∵===∴△为等边三角形，∠∠°=60,∴∴∴∠∴==,∴∴==，扇形阴影2=,3602解得：=3,（负根舍去），故答案为：3三、解答题17. 解：∵将△绕点A逆时针旋转150°，得到△，∠°=150,∠∠.=∴=∵点B、C、D 恰好在同一条直线上∴△是顶角为150°的等腰三角形，∠∠，∴∴=∠1°∠°=15，=(180−2∠∠∠∠−°°°°.=180−100−15=65∴==180−°18. 解：如图，连接OC ，∵∠AOC＝2∠B ，∠DAC＝2∠B ，∴∠AOC＝∠DAC ，∴AO＝AC ，又∵OA＝OC ，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝1AD＝3cm ．219. （1）连接O A，如下图1所示：∵AB=AC，∴= ，∴OA⊥BC，∴∠BAO=∠CAO．∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAO，∴∠BAC=2∠ABD．（2）如图2中，延长A O 交B C 于H．①若B D=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DBC=2∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，∴8∠ABD=180°，∴∠C=3∠ABD=67.5°．②若C D=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，∴10∠ABD=180°，∴∠BCD=4∠ABD=72°．③若D B=DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述：∠C的值为67.5°或72°．（3）如图3中，过A点作A E BC 交B D 的延长线于E．//2则= = ，且B C=2BH，34 ∴ = = ， 3设 O B=OA=4a ，OH=3a ．则在 R t△ABH 和 R t△OBH 中，∵BH =AB ﹣AH =OB ﹣OH ，2 2 2 2 2 ∴25 - 49a =16a ﹣9a ， 22 2 25∴a= ，2 56 ∴BH= 5√2 ，4∴BC=2BH= 5√2 ．2故答案为： 5√2 ．220. （1）证明：由旋转性质得：是等边三角形 ∴ ∠ = ∠ （2）解：依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，所以 A ，C 两点经过的路径长之和为≅ ∠ = ∠ = 60° ∴ = ∴所以 ∠ ∴ ；= 60° + = . 5 180 180 3 21. （1）证明： ∵= ， ∠∠ ，， ∴ ∵∴ = ∠∠ ， = 又 ∠= ∠ , ∠∠= ∴ ∴ 四边形是平行四边形. （2）证明：如图，连接∠∠ ∠ ， ∠ ∠∠ = ∵ ∴ = = 四边形是 ⊙ 的内接四边形∠∠∠∠∴∵++=180°∴=180°∠∠∠∠∴∴∴== =22.（1）证明：由旋转的性质得：=∠=∠∵四边形ABCD是正方形∠∠∠∠=90°，即∠∠+=90°=90°∴∴∵∴∠=90°，即∠+=45°∠∠°°°=−=90−45=45=在△和△中，{∠=∠=45°=∴△≅△；（2）解：设正方形的边长为x，则==∵∴=3,==2−=−3,==−=−2由旋转的性质得：=2∴=+=2+3=5≅△由（1）已证：△=5又∵四边形ABCD是正方形∴=∠=90°∴则在△中，2+2=2，即−3)2+−2)2=52解得=6或=−1（不符题意，舍去）故正方形的边长为6.23.（1）解：∵A，B两点的坐标分别为（2√3，0），（0，10），∴AO＝2√3，OB＝10，∵AO⊥BO，∴AB＝√100+12＝4√7，∵OP⊥AB，∴10×2√3＝4√，CD＝DP，22∴CD＝5√21，7∴OP＝2CD＝10√21；7（2）解：连接C P，如图所示：∵∠AOP＝30°，∴∠ACP＝60°，∵CP＝CA，∴△ACP为等边三角形，1∴AP＝AC＝AB＝2 √7．224. （1）解：如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）解：线段E A，CF，EF 之间满足的等量关系为：EA +CF ＝EF ．理由如下：2 22如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作B N⊥BE，使B N＝BE，连接N C，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在R t△NFC中，CF +CN ＝NF ，22 2∴EA+CF ＝EF ；22 2（3）解：如图3，延长G E，HF 交于K，由（2）知E A +CF ＝EF ，22 2111∴EA+ CF＝EF ，2 2 2222∴S+S ＝S ，△EFK△AGE△CFH∴S+S +S △AGE△CFH＝S +S△EFK，五边形B GEFH 五边形B GEFH即S＝S△ABC ，矩形B GKH11∴S ＝S ，2△ABC2矩形B GKH∴S＝S ＝S ，△CBO△GBH△ABO∴S＝S△BGM， S ＝S△BMH，四边形C OMH 四边形A GMO∵S：S四边形A GMO ＝8：9，四边形C HMO ∴S：S ＝8：9，△BMH△BGM∵BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，设B G＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k，∵AG＝3，∴AE＝3 √2，∴CF＝√2（k+3），EF＝√2（8k﹣3），∵EA+CF ＝EF ，2 22∴(32)+[√+3)]=[√−3)]，√222整理得：7k ﹣6k﹣1＝0，21解得：k ＝﹣（舍去），k ＝1．1 7 2∴AB＝12，∴AO＝√2AB＝6 √2，2∴⊙O的半径为6√2．∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作B N⊥BE，使B N＝BE，连接N C，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在R t△NFC中，CF +CN ＝NF ，22 2∴EA+CF ＝EF ；22 2（3）解：如图3，延长G E，HF 交于K，由（2）知E A +CF ＝EF ，22 2111∴EA+ CF＝EF ，2 2 2222∴S+S ＝S ，△EFK△AGE△CFH∴S+S +S △AGE△CFH＝S +S△EFK，五边形B GEFH 五边形B GEFH即S＝S△ABC ，矩形B GKH11∴S ＝S ，2△ABC2矩形B GKH∴S＝S ＝S ，△CBO△GBH△ABO∴S＝S△BGM， S ＝S△BMH，四边形C OMH 四边形A GMO∵S：S四边形A GMO ＝8：9，四边形C HMO ∴S：S ＝8：9，△BMH△BGM∵BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，设B G＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k，∵AG＝3，∴AE＝3 √2，∴CF＝√2（k+3），EF＝√2（8k﹣3），∵EA+CF ＝EF ，2 22∴(32)+[√+3)]=[√−3)]，√222整理得：7k ﹣6k﹣1＝0，21解得：k ＝﹣（舍去），k ＝1．1 7 2∴AB＝12，∴AO＝√2AB＝6 √2，2∴⊙O的半径为6√2．∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作B N⊥BE，使B N＝BE，连接N C，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在R t△NFC中，CF +CN ＝NF ，22 2∴EA+CF ＝EF ；22 2（3）解：如图3，延长G E，HF 交于K，由（2）知E A +CF ＝EF ，22 2111∴EA+ CF＝EF ，2 2 2222∴S+S ＝S ，△EFK△AGE△CFH∴S+S +S △AGE△CFH＝S +S△EFK，五边形B GEFH 五边形B GEFH即S＝S△ABC ，矩形B GKH11∴S ＝S ，2△ABC2矩形B GKH∴S＝S ＝S ，△CBO△GBH△ABO∴S＝S△BGM， S ＝S△BMH，四边形C OMH 四边形A GMO∵S：S四边形A GMO ＝8：9，四边形C HMO ∴S：S ＝8：9，△BMH△BGM∵BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，设B G＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k，∵AG＝3，∴AE＝3 √2，∴CF＝√2（k+3），EF＝√2（8k﹣3），∵EA+CF ＝EF ，2 22∴(32)+[√+3)]=[√−3)]，√222整理得：7k ﹣6k﹣1＝0，21解得：k ＝﹣（舍去），k ＝1．1 7 2∴AB＝12，∴AO＝√2AB＝6 √2，2∴⊙O的半径为6√2．。

圆的基本性质培优

OF E D C B A 圆的基本性质培优（二）设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ，弧长公式：π180n R l = 扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法例1.已知正六边形的边长为1cm ，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm 长为半径画弧(如图)，则所得到的三条弧的长度之和为 cm (结果保留π)．分析：①可以先求出每段弧的长度，再求长度之和。

②观察每段弧所在圆的半径及圆心角，然后整体求解。

（常用之法也是简便方法）例 2.矩形ABCD 的边86AB AD ==，，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置1111A B C D 时(如图所示)，则顶点A 所经过的路线长是_________．分析：在每次翻滚过程中，要确定圆心和弧长及点 A 的位置。

例3.5，圆心角等于45︒的扇形AOB 内部作一个正方形CDEF ，使点C 在OA 上，点D E 、在OB 上，点F 在弧AB 上，则阴影部分的面积为____________．分析：割补法例4.如图，以△ABC 的边AC 为直径的半圆交AB 于D ，三边长a ，b ，c 能使二次函数)(21+)+(21=2a c bx x a c y 的顶点在x 轴上，且a 是方程z 2+z-20=0的一个根．（1）证明：∠ACB=90°；（2）若设b=2x ，弓形面积S 弓形AED =S 1，阴影部分面积为S 2，求（S 2-S 1）与x 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当b 为何值时，（S 2-S 1）最大？习题练习：AB CD第1题1.如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D相互外离，它们的半径都是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD，则图中四个扇形（阴影部分）的面积之和等于__________．（结果保留π）．第2题第3题第4题2.如图，扇形AOB的圆心角为直角，若OA＝4，以AB为直径作半圆，阴影部分的面积_________。

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