逻辑代数的基本定律
逻辑代数
一、逻辑代数的基本定律
结合律
分配律
A B C A B C A B C A B A C
A B C ( A B) ( A C )
A B C A B C
左右比较符合： ·变+，+变· 1变0，0变1 运算顺序不变
二、其它常用公式：
吸收律
A A B A
A ( A B) A
证明： 左边＝A(1+B)
证明： 左边＝A·A+A·B =A+AB
=A·1
=A =右边 练习：化简 AB+ABC 证明(A+B) ·(A+B+C)=A+B
=A
=右边
数字电路步入数字殿堂的台阶
2.3 逻辑代数的基本定律和规则
数字电路步入数字殿堂的台阶
2.4 逻辑代数的公式法化简
同一个逻辑函数可以写成不同形式的逻辑式，逻辑函数 式越简单，它所表示的逻辑关系越明显，也有利于用最少的 电子器件实现这个逻辑函数。
其中，最常用的为“与或”逻辑表达式。
最简“与或”式的标准： １.含的与项最少； －－门最少 ２.各与项中的变量数最少。 －－门的输入端最少 除此以外，还有与非式、或非式、或与式、与或非式
A B
A B A B
A
B
摩根定律
AB
A B
A B
0
0
0
1
0 1 1 1
1 0
1 1
1
1
1
1
0
1
0
0
A B A B
0
0
左右比较符合： 0 0 ·变+，+变· 1变0，0变1 0 1 运算顺序不变 0 0 公共非号不变
逻辑代数的基本定律及规则2010.9.23
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三变量最小项的编号
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最大项
最大项标准式是以“或与”形式出现的标准式。 最大项： 对于一个给定变量数目的逻辑函数， 所有变 量参加相“或”的项叫做最大项。 在一个最大项中， 每个 变量只能以原变量或反变量出现一次。 例如， 一个变量A有二个最大项： (2 ) A, A。
例题：化简函数
AB + AC + BC = AB + AC
F = ABC + AD + C D + BD
F = ABC + AD + C D + BD
= ABC + ( A + C ) D + BD
= AC ⋅ B + AC ⋅ D + BD
= AC ⋅ B + AC ⋅ D
= ABC + AD + C D
最小项
2 n 个最小项。最小项通 以此类推，n变量共有
常用 mi 表示。 最小项标准式：全是由最小项组成的“与或” 式，便是最小项标准式(不一定由全部最小项 组成)。 例如：
F ( ABC ) = A B C + BC + A C = A B C + ABC + A BC + AB C + AB C = ∑ m(0,3,4,6,7)
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逻辑代数的基本定律及规则
对合律： A = A
冗余律： AB + A C + BC = AB + A C
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逻辑代数的基本定律及规则
3 基本规则
代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有 出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然 成立。这个规则称为代入规则。 反演规则：对于任何一个逻辑函数F，想要得到F的反 函数，只需要将F中的所有“·”换成“＋”，“＋”换 成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反 变量，反变量换成原变量。 长春理工大学软件学院
数字电子技术基础13 逻辑代数中的基本定律144 逻辑代数中的基本定律
数字电子技术基础13. 逻辑代数中的基本定律主讲人：杨聪锟1. 布尔代数概述摩根定律 常量与变量之间的基本逻辑关系 交换律、结合律、分配律 布尔 代数常用 公式基本 定律 反演定律 对偶定律化简公式 求反公式 带入定律 多余项定律 吸收定律 1、2、3 推广一 推广二 推广三 推广四在任何包含变量 A 的逻辑公式中，若以另外一个逻辑表达式带入公式中所有 A 的位置（即替换 A ），公式仍然成立。
D AC D C B A D ABC F =+=A B C D A B C D A B C D +++=⋅++==⋅⋅⋅吸收定律1： AB A AB =+摩根定律： BA B A ⋅=+摩根定律的 推广二 原函数 反函数④ 长非号不变，保证原先运算优先级。
① “与”、“或”对调； ② 原变量、反变量对调； ③ 0、1对调；注意逻辑运算的优先级 【例】已知 ,求反函数 。
0+++=E D C B A F F 解： 1)(⋅⋅+⋅+=E D C B A F同样要注意 逻辑运算优先级 原表达式 对偶式④ 长非号不变，保证原先运算优先级。
① “与”、“或”对调；② 0、1对调；③ 变量不变； 解： CA AB BC C A AB +=++【例】写出多余项定律的对偶式，且加以证明。
))(())()((C A B A C B C A B A ++=+++同样要注意 逻辑运算优先级 原表达式 对偶式④ 长非号不变，保证原先运算优先级。
① “与”、“或”对调；② 0、1对调；③ 变量不变； A B A AB =+AAB A =+B A B A A +=+A B A A =+)(A B A B A =++))((ABB A A =+)(增加异或、同或的关系，对偶定律的推广 同样要注意 逻辑运算优先级 原表达式 对偶式④ 长非号不变，保证原先运算优先级。
① “与”、“或”对调；② 0、1对调；③ 变量不变； 使用对偶定律，可以根据一个成立的逻辑公式，得到与其结构上满足对偶关系的新公式。
逻辑代数的基本定理基本规则逻辑函数简化(18)
1、化简为最简与或表达式
乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与 或表达式。
Y A B E A B A C A C E B C B C D A B A C B C A B A C
最简与或表达式
14
2、最简与非-与非表达式
非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非 -与非表达式。 ②用摩根定律去 Y A B A C A B A C A B A C 掉下面的非号 ①在最简与或表达式的基础上两次取反
A ( B C ) AB AC
( A B ) ( A B ) A
A BC ( A B )( A C )
注意：1、在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运 算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最 后非运算，否则容易出错。
2、F的对偶式F’与反函数F不同，在求F’时不要求将 原变量和反变量互换，所以一般情况下，F’ ≠ F，只有在特殊情 况下才相等。
Y A B C D E
Y ( A B )( C D E )
Y A B C D E
8
பைடு நூலகம் P21 表2.3.4
对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函 数也相等。利用对偶规则 , 可以使要证明及要记忆的公式数目减 少一半。例如：
A B A B A
F与/或
与非/与
反演规则
两次求反 一次摩根定律
再用 一次摩根定律
再用 一次摩根定律
18
非 运 算 ： 1 0
0 1
3
（2）逻辑代数的基本定律
重点强调
P21 表2.3.4
逻辑代数的基本定律及规则
逻辑代数的基本定律及规则文章来源：互联网作者：佚名发布时间：2012年05月26日浏览次数： 1 次评论：[已关闭] 功能：打印本文一、逻辑代数相等：假定Ｆ、Ｇ都具有ｎ个相同变量的逻辑函数，对于这ｎ个变量中的任意一组输入，如Ｆ和Ｇ都有相同的输出值，则称这两个函数相等。
在实际中，可以通过列真值表来判断。
二、逻辑代数的基本定律：在逻辑代数中，三个基本运算符的运算优先级别依次为：非、与、或。
由此推出10个基本定律如下：1.交换律Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ；Ａ·Ｂ＝Ｂ·Ａ2.结合律Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ；Ａ·（ＢＣ）＝（ＡＢ）·Ｃ3.分配律Ａ·（Ｂ＋Ｃ）＝ＡＢ＋ＡＣ；Ａ＋ＢＣ＝（Ａ＋Ｂ）·（Ａ＋Ｃ）4.0－1律Ａ＋0＝Ａ；Ａ·1＝ＡＡ＋1＝1 ；Ａ·0＝05.互补律Ａ＋＝1 ；Ａ·＝06.重叠律Ａ·Ａ＝Ａ；Ａ＋Ａ＝Ａ7.对合律＝Ａ8.吸收律Ａ＋ＡＢ＝Ａ；Ａ·（Ａ＋Ｂ）＝ＡＡ＋Ｂ＝Ａ＋Ｂ；Ａ·（＋Ｂ）＝ＡＢＡＢ＋Ｂ＝Ｂ；（Ａ＋Ｂ）·（＋Ｂ）＝Ｂ9.反演律＝·；＝＋10.多余项律ＡＢ＋Ｃ＋ＢＣ＝ＡＢ＋Ｃ；(Ａ＋Ｂ）·（＋Ｃ）·（Ｂ＋Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ）·（＋Ｃ）上述的定律都可用真值表加以证明，它们都可以用在后面的代数化简中。
三、逻辑代数的基本规则：逻辑代数中有三个基本规则：代入规则、反演规则和对偶规则。
1.代入规则：在任何逻辑代数等式中，如果等式两边所有出现某一变量（如Ａ）的位置都代以一个逻辑函数（如Ｆ），则等式仍成立。
利用代入规则可以扩大定理的应用范围。
例：＝＋，若用Ｆ＝ＡＣ代替Ａ，可得＝＋＋2.反演规则：已知函数Ｆ，欲求其反函数时，只要将Ｆ式中所有的“·”换成“＋”，“＋”换成“·”；“0”换成“1”，“1”换成“0”时，原变量变成反变量，反变量变成原变量，便得到。
逻辑代数的基本定律
1
0
1
01
1
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10
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A
(1)
B C
D
& ≥1
P
A
(2)
B C
D
+P
A
B
(3) C
P
D
与或非逻辑
复合逻辑符号
2.1 逻辑代数
(4) 同或逻辑 P A ·B A B AB
若两个输入变量的值相同，输出为1，否则为0。
0
“和之积”式：
1
P ( A B C )( A B C )
1
1
( A B C )( A B C )
1
例 2-1 真值表
方法一：把每个输出为1的一组输入变量组合状态以逻辑乘 形式表示（原变量表示取值1，反变量表示取值0），再将所有 的这些逻辑乘进行逻辑加。这种表达式称为与－或表达式，或 称为“积之和”式。
P A B AB
方法二：把每个输出为0的一组输入变量组合状态以逻辑加 形式表示（原变量表示取值0，反变量表示取值1），再将所有 的这些逻辑加进行逻辑乘。这种表达式称为或－与表达式，或 称为“和之积”式。
P (A B)(A B)
2.1 逻辑代数
例1： 列出下列问题的真值表，并写出描述该问题的逻辑函数表
达式。有A、B、C ３个输入信号，当３个输入信号中有两个或两
逻辑代数基础
Y AC AB
AC( B B) AB(C C)
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC m5 m6 m7
例1：画出 Y AC AB 的卡诺图
Y ABC ABC ABC m5 m6 m7
输入变量 BC 00 A 0 0 1 00 01 11 10 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1
② 最小项的性质 对于任意一个最小项，只有一组变量取值使 它的值为1，而在变量取其它各值时，这个 最小项的值都是零； 不同的最小项，使它的值为1的那组变量取 值也不同； 对于变量的同一组取值，任意两个最小项 的乘积为零； 对于变量的同一组取值，所有最小项的逻辑 或为1。
第2章 逻辑代数基础
§2.1 逻辑代数 § 2.2 逻辑函数表达式的形式与变换 §2.3逻辑函数的化简
§2.1逻辑代数的基本规则和定理
逻辑代数（又称布尔代数），它是分析和 设计逻辑电路的数学工具。虽然它和普通代 数一样也用字母表示变量，但变量的取值只 有“0”，“1”两种，分别称为逻辑“0”和逻 辑 “1”。这里“0”和“1”并不表示数量的大小， 而是表示两种相互对立的逻辑状态。
③最小项的编号
注：下标与编码所对应的十进制数值相同
④函数的最小项表达式
将逻辑函数表达式化成一组最小项之和，称为 最小项表达式。任何一个函数均可表达成 唯一的 最小项之和。 如：
L( A, B, C ) ( AB AB C ) AB
( AB A B C ) AB AB ABC AB ABC A BC ABC ABC m3 m5 m 6 m 7 m(3,5,6,7)
逻辑代数的公式、定理
C)
A 0 0
分配律：
A
A
(B B
C) C
A (A
B B)
A (A
C C)
1 1
B A.B B.A
00 0 10 0 00 0 11 1
反演律（摩根定律）：
B A B
证明分配率：A+BA=(A+B)(A+C)
证明：
(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC
分配率 A(B+C)=AB+AC
=A+AB+AC+BC =A(1+B+C)+BC
等幂率AA=A
分配率 A(B+C)=AB+AC
=A+BC
0-1率A+1=1
（4）常用公式
还原律：
A
B
A
B
A
( A B) ( A B ) A
吸收率：
A A
(
A A
B B)
A A
A (A B) A B A A B A B
逻辑代数的公式、定理和规则
1、逻辑代数的公式和定理 （1）常量之间的关系
与运算：0 0 0 0 1 0 1 0 0 11 1 或运算：0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
非运算： 1 0
0 1
（2）基本公式
0-1
律：AA
0 A 1 A
A 1 1 A 0 0
互补律： A A 1 A A 0
（3）与非-与非表达式：Y A B AC
（4）或非-或非表达式：Y A B A C （5）与或非表达式：Y AB AC
1.3.1逻辑代数基本定律和规则
Y A C B D
应用反演规则应注意：
1.保持原来的运算优先顺序，即如果在原函数表达式中，AB 之间先运算，再和其它变量进行运算， 那么非函数的表达式 中，仍然是AB之间先运算。 2.不属于单个变量上的反号应保留不变。
Y AB C D C
Y ( A B)C D C
对偶规则：如果两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。
Y A(B C) Y AB CD
Y D A BC Y D ( A B) (C D)
利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。
1 A A
A(B C) AB AC
0 A A
A BC ( A B)( A C)
例如，在反演律中用BC 去代替等式中的 B，则新的等式仍成立。
BC代替等式中的B
ABC A BC A B C
02
如果将逻辑函数Y 中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成
“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，
则可得到的一个新的函数表达式 Y D, Y D 称为Y 的对偶式。
一
一、逻辑代数的基本定律：有10个基本定律
定律名称 0-1律 自等律 重叠律 互补律 交换律 结合律 分配律 吸收律 反演律 还原律
定律1
A·0=0 A·1=A A·A=A
A A 0
A·B=B·A A·(B·C )=(A·B )·C A·(B+C )=AB+AC
A(A+B )=A
AB A B
(B B
C) C
A (A
B B)
A A B A B A B
摩根定律
A B AB BA 00 0 0 01 0 0 10 0 0 11 1 1
逻辑代数中与普通代数相似的定律
逻辑代数中与普通代数相似的定律
逻辑代数是一种数学分支，用于研究命题和命题之间的关系。
它与普通代数有一些相似的定律，虽然表述和背景略有不同，但在一些基本规则上存在相似之处。
下面是一些逻辑代数中与普通代数相似的定律：
1.结合律：在逻辑代数中，结合律指的是多个命题使用相同的逻辑运算符进行组合时，括号的位置不会影响最终的结果。
这与普通代数中的结合律类似。
2.交换律：在逻辑代数中，交换律指的是逻辑运算符可以交换其操作数的位置，而不影响最终结果。
这类似于普通代数中的交换律。
3.吸收律：在逻辑代数中，吸收律指的是当一个命题与另一个命题进行某种逻辑运算时，如果其中一个命题是另一个命题的子集，那么运算结果将与子集相同。
这也类似于普通代数中的吸收律。
4.分配律：在逻辑代数中，分配律指的是逻辑运算符可以在多个命题之间分配。
例如，对于逻辑运算符AND和OR，分配律可以表述为：A AND(B OR C)=(A AND B)OR(A AND C)。
这与普通代数中的分配律相似。
5.恒等律：在逻辑代数中，恒等律指的是存在某个命题与逻辑运算符的组合，其结果始终等于该命题本身。
这类似于普通代数中的恒等律。
需要注意的是，逻辑代数和普通代数在符号和操作上存在差异，所以具体的表述可能有所不同。
但是它们都涉及到对命题和操作的规则和性质的研究，因此可以找到一些相似之处。
德摩根定律高中数学
德摩根定律高中数学德摩根定律是高中数学中的重要概念之一，它是由英国数学家奥古斯特斯·德摩根在19世纪提出的。
德摩根定律是逻辑代数中的一个基本定律，用于处理逻辑命题的否定、合取和析取。
德摩根定律的形式有两个方面，一个是对于否定的德摩根定律，另一个是对于合取和析取的德摩根定律。
对于否定的德摩根定律，它指出了两个否定的命题之间的关系。
假设有两个命题P和Q，那么德摩根定律表达了以下关系：非(P 且 Q) = 非P 或非Q非(P 或 Q) = 非P 且非Q从上述关系可以看出，对于一个命题的否定，可以分解为对其各个分量的否定，并且在分量之间进行逻辑运算（合取或析取）。
对于合取和析取的德摩根定律，它们分别描述了合取和析取的否定。
假设有两个命题P和Q，那么德摩根定律表达了以下关系：非(P 且 Q) = 非P 或非Q非(P 或 Q) = 非P 且非Q这些定律的意义在于，它们使我们能够通过对命题的否定和逻辑运算的组合，得到复杂命题的否定形式。
在解决逻辑问题和推理过程中，德摩根定律为我们提供了一种简洁而有效的方法。
在高中数学中，德摩根定律常常用于证明和推理过程。
例如，在代数运算中，我们经常需要对复杂的逻辑表达式进行化简。
德摩根定律提供了一种有效的方法，通过对命题的否定形式进行逻辑运算，可以简化复杂的表达式，使得问题的求解更加简单明了。
除了在代数运算中的应用，德摩根定律还可以用于解决实际问题。
在生活中，我们经常会遇到需要进行逻辑推理的情况，例如判断命题的真假、推导出新的结论等。
德摩根定律为我们提供了一个基本的工具，帮助我们进行逻辑推理，分析问题，得出正确的结论。
总结起来，德摩根定律是高中数学中的一个重要概念，它在逻辑代数中起着重要的作用。
德摩根定律通过对命题的否定和逻辑运算的组合，使我们能够处理复杂的逻辑问题和推理过程。
在解决代数运算问题和实际问题中，德摩根定律为我们提供了一个简洁而有效的方法。
通过学习和理解德摩根定律，我们能够提升逻辑思维能力，解决问题，得出正确的结论。
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逻辑代数的基本定律
逻辑代数的基本定律是指逻辑代数中的基础规则和定理，这些定理是逻辑代数中最基本的概念和方法。
逻辑代数是用数学方法来处理逻辑问题的一种方法，它将逻辑问题转化为数学问题，从而可以用数学方法来解决。
逻辑代数的基本定律主要包括以下几个方面：
1. 同一律
同一律是指一个逻辑表达式和它自身相与（或相或）的结果不变。
即A ∧ T = A，A ∨ F = A。
这个定律的意思是，当逻辑表达式与真值或假值相与（或相或）时，结果不变。
例如，如果有一个逻辑表达式A ∧ T，它与真值T 相与的结果仍然是A。
同样地，如果有一个逻辑表达式A ∨ F，它与假值 F 相或的结果仍然是 A。
2. 恒等律
恒等律是指一个逻辑表达式与一个恒等式相与（或相或）的结果相等。
即A ∧ A = A，A ∨ A = A。
这个定律的意思是，当逻辑表达式与一个恒等式相与（或相或）时，结果相等。
例如，如果有一个逻辑表达式A ∧ A，它与恒等式 A 相与的结果仍然是A。
同样地，如果有一个逻辑表达式A ∨ A，它与恒等式 A 相或的结果仍然是 A。
3. 交换律
交换律是指一个逻辑表达式中的两个变量相与（或相或）的顺序可以交换。
即A ∧ B = B ∧ A，A ∨ B = B ∨ A。
这个定律的意思是，当逻辑表达式中的两个变量相与（或相或）时，它们的顺序可以交换。
例如，如果有一个逻辑表达式A ∧ B，它与表达式B ∧ A 相与的结果是相等的。
同样地，如果有一个逻辑表达式A ∨ B，它与表达式B ∨ A 相或的结果是相等的。
4. 结合律
结合律是指一个逻辑表达式中的多个变量相与（或相或）时，可以任意加括号，而结果不变。
即A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C，A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C。
这个定律的意思是，当逻辑表达式中有多个变量相与（或相或）时，可以任意加括号，而结果不变。
例如，如果有一个逻辑表达式A ∧ (B ∧ C)，它与表达式(A ∧ B) ∧ C 相与的结果是相等的。
同样地，如果有一个逻辑表达式A ∨ (B ∨ C)，它与表达式(A ∨ B) ∨ C 相或的结果是相等的。
5. 分配律
分配律是指一个逻辑表达式中，一个变量同时与两个变量相与（或
相或）时，可以分开处理。
即A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A∧ C)，A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)。
这个定律的意思是，当逻辑表达式中一个变量同时与两个变量相与（或相或）时，可以分开处理。
例如，如果有一个逻辑表达式A ∧ (B ∨ C)，它与表达式(A ∧ B) ∨ (A ∧ C) 相与的结果是相等的。
同样地，如果有一个逻辑表达式A ∨ (B ∧ C)，它与表达式(A ∨ B) ∧ (A ∨ C) 相或的结果是相等的。
逻辑代数的基本定律是逻辑代数中最基础的概念和方法，它们是逻辑代数中最基础的规则和定理，可以帮助我们更好地理解和处理逻辑问题。
在实际应用中，我们可以根据这些定律来设计和解决逻辑问题，从而提高我们的工作效率和准确性。