空间解析几何 二次曲面共15页文档
第八节二次曲面
z
(c z1 )
2
1
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及 也为椭圆. (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面. 的截痕
x2 y2 z2 椭球面的伸缩法： 2 2 2 1 a b c
x 2 y2 （1）将xoy面上的椭圆 2 1 2 a b
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.
(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到)
5 柱面
x 2 y2 2 1 椭圆柱面 2 a b
双曲柱面
抛物柱面 母线平行于 z 轴
x2 y2 2 1 2 a b
x2 a y
母线平行于 z 轴
母线平行于 z 轴
内容小结
( p, q 同号)
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方 程
x5
x y 9
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
y x 1
高数A
c
a
x
O
b y
2. 抛物面
x2 y2 (1) 椭圆抛物面 2 2 z a b
x2 由xoz面上的抛物线： 2 z a 2 2 x y z 绕z轴旋转，得一旋转抛物面： 2 a b a 再将其沿y轴方向伸缩 倍： y y, b a
即得椭圆抛物面：
x2 y2 z 2 p 2q ( p , q 同号)
结论1：将平面曲线 C ：F ( x , y ) = 0 沿 y 轴方向伸缩 倍而得到平面曲线C´的平面方程为： y F ( x, ) 0
空间解析几何-第3章-常见的曲面2
截线为双曲线
y = h
y
x
z
o
③当 时
截线为直线
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
(0 , b , 0)
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
③当 时
截线为直线
②当 时
①当 时
（1）单叶双曲面与x，y轴分别交于（±a，0，0）， （0，±b，0）而与z轴无实交点. 上述四点称为单叶双曲面的实顶点， 而与z轴的交点（0，0，±ci） 称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0， 代入得x,y轴上的截距为: ， ； 在z轴上没有截距.
*
空间解析几何
第3章 常见的曲面2
本章主要内容
柱面 2 锥面 3 旋转曲面 4 曲线与曲面的参数方程 5 椭球面 6 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面） 7 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面） 8 二次直纹面 9 作图
五种典型的 二次曲面
§3.5 五种典型的二次曲面
x
y
z
o
2°用y = 0 截曲面
3°用x = 0 截曲面
1°用z = 0 截曲面
x
z
y
O
4.主截线
Cx＝0
Cy＝0
两条主抛物线具有相同的顶点,对称轴和开口方向
————其为点（0，0，0）
————xoz 面上的抛物线
主抛物线
———— yoz 面上的抛物线
有相同的定点（0，0，0） 相同的对称轴z轴，开口均向z轴正方向
单叶双曲面 双叶双曲面
x
y
o
z
x
y
o
z
单叶双曲面
2二次曲面分类简介
或
x cos1 cos 1 cos1 x y cos2 cos 2 cos 2 y
z cos3 cos 3 cos 3 z
空间直角坐标变换
一般的空间直角坐标 (点) 变换公式:
x y
x cos1 x cos2
y cos 1 z cos y cos 2 z cos
1
d1 2 d2
z x cos3 y cos 3 z cos 3 d3
或
x cos1 cos 1 cos1 x d1 y cos2 cos 2 cos 2 y d2 ,
z cos3 cos 3 cos 3 z d3
空间直角坐标变换
空间一般坐标变换公式, 还可以由新坐标系的 三个坐标面来确定.
x2 y2 a2 b2 1;
x2 y2 a2 b2 1;
x2 a2
y2 b2
0;
二次曲面的类型
[12] 双曲柱面: [13] 一对相交平面:
x2 y2 a2 b2 1;
x2 a2
y2 b2
0;
[14] 抛物柱面:
x2 2 py;
[15] 一对平行平面:
x2 a2 , a 0.
[16] 一对平行平面:
a13 a23 a33 z
x
x
y
z
A0
y
z
用不变量判断二次曲面类型
记 F1(x, y, z) = a11x + a12y + a13z + b1
F2(x, y, z) = a12x + a22y + a23z + b2
F3(x, y, z) = a13x + a23y + a33z + b3
空间解析几何常见的曲面
c
o a
by
x
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化，因此椭球面 可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生 .
用平行于xoy坐标面的平面截割椭球面，得截线的方程为：
? ? ?
x a
2 2
?
y2 b2
? 1?
h2 c2
(5)
?? z ? h
y
x
4 主截线
与三坐标平面z = 0，y = 0和x = 0交于三条曲线
? x2 ?? a 2
?
y2 b2
?
?1
?? z ? 0
—xoy面上的 椭圆叫做腰 椭圆
? ? ?
y b
2 2
?
z2 c2
?1
?? x ? 0
—yoz面 上的双曲 线
? ? ?
x a
2 2
?
z2 c2
?1
—xoz面上
?? y ? 0
z2 c2
?
1 与三个坐标面的交线
xOy面
:
?? ?
x2 a2
?
y2 b2
?1
?? z ? 0
xOz面
:
?? ?
x2 a2
?
z2 c2
?
1
?? y ? 0
yOz面
:
?? ?
y2 b2
?
z2 c2
?
1
?? x ? 0
椭球面的主截线（主椭圆）
z 椭球面
o
x
y
5.平截线：
z
x2 ? y2 ? z2 ? 1 a 2 b2 c2
简单的二次曲面
柱面上任取一点 P(x,y,z)
z
沿母线与 xoy平面的交点是 P?(x,y,0)
P(x,y,z)
P ?(x,y,0) 在准线上，从而柱面上 任一点 P 的坐标均满足方程
o
y
F(x,y)=0.
x
P?(x,y,0)
柱面方程：F(x,y)=0
准线方程
?F (x, y) ?
? ?
z
?
0.
0,
柱面的 特征：
? ?
y
?
a sin ?
?? z ? b?
(? ? ? t,
螺旋线的重要 性质：
b? v)
?
上升的高度与转过的角度成正比．
即 ? : ? 0 ? ? 0 ? ? , z : b? 0 ? b? 0 ? b? , ? ? 2? , 上升的高度 h ? 2b? 螺距
M f ( y, z) ? 0
（2）点 M 到 z 轴的距离
d ? x 2 ? y2 ? | y1 |
o
y
x
将 z1 ? z, y1 ? ? x 2 ? y2 代入 f ( y1 , z1 ) ? 0
将 z1 ? z, y1 ? ? x 2 ? y2 代入 f ( y1 , z1 ) ? 0
? ? 得方程 f ? x 2 ? y2 , z ? 0,
?
1
曲 面
? y2 z2
（2）椭圆
? ?
a
2
?
c2
?
1绕y
轴和z
轴；
?? x ? 0
绕 y 轴旋转
y2 x2 ? z2 a2 ? c2 ? 1
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 ? a2
第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程
第3讲 空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节 曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱 面 4二次曲面第四节 空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章 空间解析几何与向量代数第三节 曲面及其方程一、 曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。
三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。
四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。
例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。
例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。
例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节 空间曲线及其方程一、 空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、 空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。
空间解析几何-第3章-常见的曲面2
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就 表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐 标轴的标注要符合右手系的原则.
1、椭圆抛物面
x2 a2
, 椭圆
z h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
y
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b时
截线为双曲线
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝b 时
截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
用y = h 截曲面
①当 h b 时
②当 h b 时
③当 h ＝b 时
x2 Cyh： a2
x2 Czh： a2
y2 b2
h2 c2
1,
z h.
结论：双叶双曲面可看作由 一个椭圆的变动（大小位置 都改变）而产生，该椭圆在 变动中，保持所在平面与 x
xOy 面平行，且两轴的端点
分别在两定双曲线上滑动.
z
o
y
（2）用 y t截曲面
空间解析几何-第3章 常见的曲面2
单叶双曲面 双叶双曲面
抛物面
椭圆抛物面 双曲抛物面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
x2 y 2 h2 2 2 1＋ 2 , Cz h： b c 椭圆 a z h.
z
O x y
结论：单叶双曲面可看作由一 个椭圆的变动（大小位置都改 变）而产生，该椭圆在变动中， 保持所在平面与xOy 面平行， 且两对顶点分别在两定双曲线 上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
（1）双叶双曲面与x轴、y轴不交，而与 z轴交于（0，0，±c），此为其实顶点. （2）用x=0,y=0代入，得曲线在z轴上的 截距，而在x,y轴上无截距.
z
x
o
y
3 图形范围
x2 y 2 z2 2 1 2 2 a b c
，易知
所以曲面分成两叶，一叶在 z c 的上方，另一叶在 z c 平面的下方，曲面在面的上半空间下半空间延伸到无穷。
z
此时的单叶双曲面是双曲线
y2 z2 1, : b2 c2 x 0
o
b
y
绕虚轴（即 z 轴）旋转形成的 x .
单叶旋转双曲面
例 用一组平行平面 z h （ h 为任意实数）截割单叶双曲面
x2 y 2 z 2 2 2 1 a b 得一族椭圆，求这些椭圆焦点的轨迹. 2 a b c
（0，±b，0）而与z轴无实交点.
上述四点称为单叶双曲面的实顶点， 而与z轴的交点（0，0，±ci） 称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0，
二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释
二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：二次曲线和二次曲面是解析几何学中重要的研究对象，它们具有许多美妙的几何性质。
在本文中，我们将讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面等。
通过对这些曲线和曲面的特点和性质进行深入的研究，我们可以更好地理解它们在几何学中的应用和意义。
本文将分析这些曲线和曲面的方程、图像和几何特征，帮助读者全面了解它们的分类和区分。
希望本文能够对二次曲线和二次曲面的研究有所启发，并为相关领域的学习和研究提供参考和帮助。
文章结构部分内容如下:1.2 文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将概述二次曲线和二次曲面的概念，说明文章结构和目的。
在正文部分，将详细讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线以及椭球面、抛物面、双曲面的形态和特点。
最后在结论部分，对文章进行总结，并探讨二次曲线和二次曲面在实际应用中的意义，展望未来可能的发展方向。
整个文章结构严谨有序，逻辑清晰，旨在帮助读者更深入地了解二次曲线和二次曲面的分类和特性。
文章1.3 目的：本文旨在对二次曲线和二次曲面进行分类和介绍，帮助读者更好地理解和区分不同类型的二次曲线和曲面。
通过本文的阐述，读者将了解椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面的定义、性质和特点。
同时，本文也旨在展示二次曲线和曲面在数学、物理和工程等领域的应用，以及未来对其研究的展望。
通过本文的阅读，读者将深入了解二次曲线和曲面的重要性和应用价值。
": {}}}}请编写文章1.3 目的部分的内容2.正文2.1 二次曲线的分类二次曲线是一个二次方程所描述的平面曲线。
在代数几何学中，二次曲线可以分为三种基本类型：椭圆、抛物线和双曲线。
这些曲线在平面上具有不同的几何性质和形态。
2.1.1 椭圆椭圆是一个闭合的曲线，其定义为所有到两个定点的距离之和等于一个常数的点的集合。
空间解析几何-第4章二次曲面的一般理论
例2 化简二次曲线方程 x2 4xy 4 y2 12x y 1 0 ， 并画出它的图形． 例3 化简二次曲线方程 5x2 4xy 2 y 2 24x 12 y 18 0 并画出它的图形．
§4.8.2 二次曲线与直线的相关位 置
二次曲线的概念
由二元二次方程
a11 x2 2a12 xy a22 y 2 2a13 x 2a23 y a33 0
所表示的曲线叫做二次曲线(quadratic curve).
注：1. a11 , a12 , a13 不全为零；
2.方程中系数的规律:下标“1”代表“x”，
下标“2”代表“y”，交叉项前有2.
( I ) a11 x a22 y a33 0, a11a22 0;
2 2
( II ) a22 y 2a13 x 0, a22 a13 0;
2
( III ) a22 y 2 a33 0, a22 0.
定理5.6.2 通过适当选取坐标系，二次曲线 的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：
I2 I2 I2
a11 a12 a21 a22 a11 a12 a21 a22 a11 a12 a21 a22
0 0 0
椭圆型曲线： 抛物型曲线: 双曲型曲线：
2. 二次曲线的中心与渐近线 定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所 有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C 叫做二次曲线的中心(central point). 定理5.2.1 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心， 其充要条件是：
定义5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型曲线 (elliptic quadratic curve)， 有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型曲线 (parabolic quadratic curve)， 有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型曲线 (hyperbolic quadratic curve).
空间解析几何-第4章二次曲面的一般理论
定义5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型曲线 (elliptic quadratic curve)， 有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型曲线 (parabolic quadratic curve)， 有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型曲线 (hyperbolic quadratic curve).
( I ) a11 x a22 y a33 0, a11a22 0;
2 2
( II ) a22 y 2a13 x 0, a22 a13 0;
2
( III ) a22 y 2 a33 0, a22 0.
定理5.6.2 通过适当选取坐标系，二次曲线 的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：
Байду номын сангаас
变换叫做转轴（坐标旋转）．
x x cos y sin y x sin y cos
y'
y P x' j' j i' O i
( 为坐标轴的旋转角 )
x
3.平面直角一般坐标变换
x x cos y sin x0 y x sin y cos y0
0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
a11 x0 x a12 ( x0 y xy0 ) a22 y0 y a13 ( x x0 ) a23 ( y y0 ) a33 0
证明：
设M0 (x0，y0) 是二次曲线（1)上的任一点，则过 M0的直线l的方程总可以写成下面的形式：
．这种坐标变换叫做移轴（坐标平移）．
二次曲面
z
与平面 y = y1 的交线为 （2’） ）
2 y 其轴 轴 x = 2 p z − 其轴//z 抛物线 2q y12 顶点 0, y1 , y = y 1 2q
2 1
x
y
与曲面相截， （3）用坐标面 yoz ( x = 0)，x = x1 与曲面相截，均得抛物线 ）
z
L
α
M(0, y, z)
y
两边平方
x
2
z =a (x + y )
2 2 2
11
x2 z2 eg2:求坐标面 xoz 上的双曲线 2 − 2 = 1 分别绕 x a c
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 + z2 − =1 2 2 a c
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 + y2 z2 − 2 =1 2 a c
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面 旋转双曲面. 旋转双曲面
12
三、椭球面
x y z + 2 + 2 = 1 (1)范围： x ≤ a, a2 b c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y2 2 + 2 =1 , b a z = 0
2
2
2
y ≤ b,
16
四、抛物面 1. 椭圆抛物面
x y + = z （ p 与 q 同号） 同号） 2 p 2q
a ) p > 0, q > 0 z
b) p < 0, q < 0
2
2
z o x y
x
o
y
17
二次曲面分类简介
空间直角坐标变换
若取1 为yOz面, 2 为xOz面, 3 为xOy面,
则原系到新系旳坐标变换公式为:
x
A1x
B1 y C1z D1 A12 B12 C12
y
A2 x
B2 y C2 z D2 A22 B22 C22
,
z
A3 x
B3 y C3z D3 A32 B32 C32
(一) 椭球面 [1] 椭球面: [2] 点:
[3] 虚椭球面:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1;
x2 y2 z2 a2 b2 c2 0;
x2 y2 z2 1;
a2 b2 c2
上页 下页 结束
二次曲面旳类型
(二) 双曲面 [4] 单叶双曲面:
[5] 双叶双曲面: (三) 二次锥面 [6] 二次锥面: (四) 抛物面
其中a11, a22, a33, a12, a13, a23不全为零.
()
记 F(x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy
+ 2a13xz + 2a23yz + 2b1x + 2b2y + 2b3z + c
上页 下页 结束
用不变量判断二次曲面类型
则
a11 a`12 a13 b1 x
上页 下页 结束
空间直角坐标变换
点旳坐标变换公式:
x y
c11x c21x
c12 y c22 y
c13z d1 c23z d2
,
z c31x c32 y c33z d3
x c11 c12 c13 x d1 y c21 c22 c23 y d2 . z c31 c32 c33 z d3
五. 二次曲面、椭球面、抛物面、双曲面、椭圆锥面
同理：yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f ( y, x2 z2 ) 0. 绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点：
出现某两变量的平方和.
11
(3) 常见的旋转曲面
① 圆柱面： x2 y2 a2
直线C：
y x
a 0
绕z轴旋转而成. z
x
o
y
12
13
yoz 面上直线:
z y cot
x 0
z
绕z 轴旋转一周所得的圆锥面方程：
z x2 y2 cot
o
y
令 b cot，则
x
z b x2 y2.
14
③ 旋转双曲面
x x
双曲线
x2 a2
z2 c2
1
y 0
o
z
oo
z
y
y
绕 x轴旋转而成的曲面:
x2 a2
y2 c2
都可通过配方研究它的图形.
5
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： 2. 两个基本问题 (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
6
二、几种特殊的曲面及其方程
1. 平面 Ax By Cz D 0 2. 球面 以M0 (x0 , y0 , z0 )为球心，R 为半径的 球面方程为
x2 y2 z2 R2
o
x
z R2 x2 y2 表示上(下)球面 .
M0
M
y
4
例2 研究方程 x2 y2 z2 2x 4 y 0 表示怎样 的曲面.
解 配方得 此方程表示: 球心为 M0(1, 2, 0),
二次曲面与空间曲线.ppt
行于x轴。如果 y1 b ，所得截痕为一对相交于点
(0, b,0) 的直线，其方程为
x
a
z c
0,
y b;
x
z
0,
a c
y b;
第六章 相似矩阵及二次型
29
类似地，用平面 x 0 和平行于x 0 的平面截
单叶双曲面，所得截痕也是双曲线，两平面 x a 截单叶双曲面所得截痕是两对相交的直线。
综合上面的讨论，可知椭球面的形状如图6.6 所示。
椭球面的对称中心，对称轴和对称平面分别
称为它的中心、主轴和主平面。椭球面与三个对
称轴有三个交点，称为它的顶点。如果 a b c，
则 a,b,c ，就分别称为半长轴、半中轴和半短轴。
第六章 相似矩阵及二次型
25
2. 单叶双曲面 由方程
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
第六章 相似矩阵及二次型
13
3. 柱面 表示空间一般曲面的方程F(x, y, z) 0 有三个
变量。如果只有两个变量，那么它所描述的曲面 有什么特点？例如 F(x, y) 0 。对于空间 点 M (x, y, z) ，只要 x, y 满足 F(x, y) 0 ，则该点 就在方程所描述的曲面上，而与z轴的坐标无关， 先分析一个具体的例子。
§7 二次曲面与空间曲线 一、二次曲面 二、二次曲面 三、空间曲线及其方程
第六章 相似矩阵与二次型
1
一、二次曲面
1. 曲面方程概念
在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点
的几何轨迹。在这样的意义下，如果曲面S 与三 元方程
F(x, y, z) 0
有下述关系：
（9）
（1）曲面 上任意一点的坐标都满足方程（9）
空间解析几何常见的曲面
O x
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b 时
截线为双曲线
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
②当 h b 时
x
截线为双曲线
z
o
y
用平行于坐标面的平面截割
3 图形的范围
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
z
由方程 x2 y2 1 知，即曲面存在于椭圆柱面
a2 b2
x2 a2
y2 b2
1
之外，从而曲面与z轴无交点，
并且在xoy面的上,下半空间延到无穷远.
o
y
x
4 主截线
与三坐标平面z = 0，y = 0和x = 0交于三条曲线
x2
a
2
y2 b2
4.主截线：
平行截割用法坐：标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察
其交线（即截口）的形状，然后加以综合，从而了解曲面 的全貌。
截口是曲面与平面的交线
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
与三个坐标面的交线
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
与三个坐标面的交线
x2
xOy面
:
a
2
y2 b2
1
z 0
x2
xOz面
:
a2
z2 c2
1
y 0
空间解析几何 第四章一般二次曲线与二次曲面
第四章一般二次曲线与二次曲面这一章讨论用一般方程给出的二次曲线，在适当选取的坐标系中可以把它们的一般方程化成标准方程，从而达到判断一般方程所表示的曲线的类型与位置的目的。
其次用不变量对二次曲线与二次曲面进行分类。
§4.1直角坐标变换平面上的一般坐标变换可以看成是平移与旋转两种变换连续进行的结果。
因此下面先分别介绍这两种变换，再研究一般的坐标变换。
4.1.1平面直角坐标平移设Oxy 和O x y '''是同一个平面上的两个直角坐标系，它们的轴的方向和度量单位相同，只是原点位置不同（图4-1-1），那么平面上任意一点P 在坐标系Oxy 中的坐标(,)x y 和在坐标系O x y '''中的坐标(,)x y ''有什么联系呢？设O '在Oxy 中的坐标为00(,)x y ，从点P 向各坐标轴作平行线，从图4-1-1中容易看出：x x x y y y '=+⎧⎨'=+⎩ （4.1.1） 这就是将原点O 平移到00(,)O x y '的坐标变换，其中(,)x y 和(,)x y ''分别是平面上同一点P 在旧坐标系Oxy 和新坐标系O x y '''中的坐标。
这种坐标变换叫做平移。
如果用旧坐标表示新坐标，那么有x x x y y y '=-⎧⎨'=-⎩ （4.1.2） （4.1.1）和（4.1.2）都是平移公式。
x'x图4-1-1例1 用平移化简22490x x y --+=，并画出它的图形。
解 原方程可以移项、配方成 2(1)4(2)x y -=-将原点O 移到(1,2)O '，即作平移：12x x y y '=-⎧⎨'=-⎩那么，在新坐标系O x y '''中，方程简化成24x y ''=。
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e
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例5 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.
A
B
C
D
E
F
P1
e1
e2
e3
.
,
,
3
2
1
叫做空间向量的基底
这时
e
e
e
.
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
3
2
1
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
关系式
线性表示的
，
，
用
先求
取不共面的三向量
就可以了
三点重合
下只需证
两组对边中点分别为
其余
它的中点为
§1.5 标架与坐标
§1.7 两向量的数量积
§1.9 三向量的混合积
§1.8 两向量的向量积
第二章 轨迹与方程
§2.1 平面曲线的方程
§2.2 曲面的方程
§2.3 空间曲线的方程
第三章 平面与空间直线
§3.1 平面的方程
§3.3 两平面的相关位置
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
关的向量叫做线性无关
性相
叫做线性相关，不是线
个向量
那么
（
＝
使得
个数
在不全为零的
，如果存
个向量
对于
定义
n
n
n
n
n
a
a
a
n
a