九年级数学弧长及扇形的面积

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九年级数学：《弧长和扇形的面积》教学设计

《弧长和扇形的面积》教学设计北京市十一学校李鹏飞一、内容和内容解析（一）内容弧长和扇形的面积．（二）内容解析“弧长和扇形面积”作为圆这一章中的重要组成部分，是在研究了圆的有关性质，了解与圆有关的位置关系等之后，进一步研究的圆中有关弧、扇形、圆心角、圆等之间的数量关系．弧长公式是在是在圆周长公式的基础上，借助部分与整体之间的联系推导出来的．运用相同的研究方法，可以在圆面积公式的基础上推导出扇形面积公式，进而通过弧长公式表示扇形面积．应用这两个公式公式，可以计算一些与圆有关的简单组合图形的周长和面积．同时，学习这两个公式也为圆锥侧面积公式的推导打下了基础．二、目标和目标解析（一）教学目标1．理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长、扇形的面积．2．在弧长和扇形面积计算公式的探究过程中，感受转化、类比的数学思想．（二）目标解析达成目标1的标志是：学生能够理解1°的圆心角所对的弧长等于圆周长的，所对的扇形面积等于圆面积的；能够发现n°的圆心角所对的弧长和扇形面积都是1°的圆心角所对的弧长和扇形面积的n倍；能利用弧长表示扇形面积．并能利用公式计算简单组合图形的弧长和面积．达成目标2的标志是：在弧长和扇形面积公式的推导过程中，发现弧长与圆周长、扇形面积与圆面积都是部分与整体之间的关系，从而将计算弧长和扇形面积的问题转化为求圆周长和圆面积的一部分来解决，体会转化、类比的数学思想．三、教学问题诊断分析圆的周长和面积公式都是学生已经掌握的内容，学生能够感知到弧长和扇形面积分别与圆周长和面积有关，但是对于公式推导过程中圆心角的作用不易理解．教师可以利用特殊情况进行引导：先知道360°的圆心角所对的弧长即圆的周长，在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧长相等，越大的圆心角所对的弧越长等等，然后求180°的圆心角（半圆）所对的弧长，再通过求90°，60°的圆心角所对的弧长，逐渐认识弧长，再求1°的圆心角所对的弧长，再通过求2°，15°等等圆心角所对的弧长，最后探索n°的圆心角所对的弧长，通过n°圆心角与1°圆心角的倍数关系得出弧长公式．通过类比的方法得到扇形的面积公式．本节课的教学难点是：推导弧长和扇形面积公式的过程．四、教学过程设计1．推导并应用弧长公式问题1制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图1中所示的管道的展直长度L（结果取整数）．师生活动：（1）先给时间让学生分析题中条件：管道由三个图形组成（两条线段和一段弧），要求展直长度L，需要知道两条线段长和弧长；其中线段长已知，问题的关键是求弧长．（2）如何求100°的圆心角所对的弧长呢？（学生活动：分小组讨论求解方案）（3）老师引导：①圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？②180°的圆心角所对的弧长（半圆）是多少？③90°的圆心角所对的弧长（半圆）是多少？④在同圆或等圆中，每一个1°的圆心角所对的弧长有怎样的关系？⑤1°的圆心角所对的弧长是多少？⑥n°的圆心角所对的弧长是多少？由此引导学生逐步得出结论：n°的圆心角所对的弧长是1°的圆心角所对弧长的n倍，半径为R的圆周长为2πR，利用1°圆心角所对的弧长，再乘以n，就可以得到n°的圆心角所对的弧长为．（此时教师还要强调公式中n的意义，n表示1°的圆心角的倍数，它是不带单位的，公式中，180也是不带单位的．）（4）根据弧长公式，计算100°的圆心角所对的弧长，并完成问题解答．【设计意图】引导学生发现问题、分析问题和解决问题．首先抛出一个学生还不能解决（没学过）的问题：100°的圆心角所对的弧长如何计算？激起学生的求知欲望，引导学生自己去发现和探索未知的领域．然后搭台阶，通过一系列小问题，让学生逐步由已知领域（圆的周长），逐步探索、发现、认识未知的领域n°的圆心角所对的弧长计算公式，让学生学会思考，学会分析问题和解决问题，并从其中获得成功的体验．2．推导扇形面积公式问题2 同学们已经学习过扇形了，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．如何计算扇形面积？你能否类比研究弧长公式的方法推导出扇形面积的公式？师生活动：学生独立思考并讨论．类比弧长公式的研究过程（从求360°的圆心角所对的扇形面积出发，先研究180°、90°的圆心角所对的扇形面积，再研究1°的圆心角所对的扇形面积，再研究n°的圆心角所对的扇形面积），可以发现在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以1°的圆心角所对的扇形面积是圆面积的，即，则n°的圆心角所对的扇形面积为．【设计意图】类比弧长公式的发现过程，由学生独立思考、归纳出扇形面积公式．问题3 比较扇形面积公式和弧长公式，你能用弧长表示扇形面积吗？师生活动：学生独立思考并讨论．通过观察可以发现扇形面积公式中，分子含有因式，则分子可写成；分母360可写成180×2．所以弧长可以来表示扇形面积，，所以．其中l为扇形的弧长，R 为半径．此时教师可以引导学生，扇形面积的另一个计算公式与三角形的面积公式类似，只要把扇形看作是一个曲边三角形，把弧长l看成是底，半径R看成是高就可以了．设计意图：通过对比弧长和扇形面积公式，让学生发现可以通过弧长表示扇形面积，为圆锥侧面积公式的推导做准备．3．练习、巩固弧长和扇形面积公式例2 如图2，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0．6m，其中水面高0．3m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）．老师引导：（1）你能否在图中标出截面半径0．6m和水高0．3m？（线段AB和线段CD）（2）分析截面上有水部分图形的形状，如何求它的面积？（扇形面积－三角形面积）师生活动：（1）给时间让学生独立思考，并完成解题过程（老师巡视、个别指导）；（2）小组交流，并由小组推荐一名学生板书过程；（3）师生共同分析板书学生的解题过程．【设计意图】结合具体例子研究弓形的面积的求法．加深学生对扇形面积公式的理解和运用．同时小结不规则图形的解法：若图形为不规则图形时，要把它转化为规则图形来解决．练习教科书第113页练习第1，2，3题．师生活动：两名学生分别板书2,3题，其他学生在练习本上完成，教师巡视，指导．然后小组交流，并评价．【设计意图】练习1是对弧长公式进行辨析，半径和圆心角的大小都对弧长的大小有影响．练习2是巩固弧长公式．练习3是巩固扇形的面积公式．4．小结教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：（1）弧长和扇形面积公式是什么？你是如何得到这两个公式的？如何运用？（2）弧长与圆周长、扇形面积与圆面积之间有什么联系？【设计意图】通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心——弧长和扇形面积公式，并体会部分与整体之间的联系和类比、转化的数学思想．5．布置作业教科书习题24．4，2，4，6，8题．五、目标检测设计1．已知扇形的圆心角为70°，半径为1，则这个扇形的弧长是______．【设计意图】考查学生对弧长公式的掌握．2．已知扇形的圆心角为50°，半径为4cm，则扇形的面积是________cm2．【设计意图】考查学生对扇形面积公式的掌握．3．如图，正△ABC内接于⊙O，边长为4 cm，求图中阴影部分的面积．【设计意图】考查学生对扇形面积公式的掌握．。

九年级数学上册《弧长和扇形面积》教案、教学设计

二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力，能够理解并运用基本的几何概念和公式。在《弧长和扇形面积》这一章节中，学生将通过之前的学习，对圆的相关性质有了一定的了解，这为学习弧长和扇形面积打下了基础。然而，由于弧长和扇形面积的计算涉及圆心角、半径等多个变量，学生可能在综合运用这些知识解决实际问题时遇到困难。因此，在教学过程中，教师应关注以下几点：
3.能够通过实际操作，如使用量角器、圆规等工具，测量并计算出具体物体的弧长和扇形面积。
4.掌握弧长和扇形面积单位换算，能够灵活地在不同场景下应用。
（二）过程与方法
在教学过程中，教师将采用以下方法，帮助学生达成学习目标：
1.引导学生通过观察、探索、实践等活动，发现弧长和扇形面积的规律，培养学生的观察能力和探究精神。
-创设问题情境，鼓励学生提出问题、分析问题、解决问题，培养学生的批判性思维和创新意识。
-实施分层教学，为不同水平的学生提供不同难度的任务，确保每个学生都能在自身基础上得到提升。
-引入项目式学习，让学生在完成具体项目任务的过程中，将所学知识综合运用，提高解决实际问题的能力。
3.教学评价的设想：
-采用多元化的评价方式，包括课堂问答、小组讨论表现、课后作业、项目报告等，全面评估学生的学习效果。
-设计一些简单的实际应用题，如计算某段弧的长度、给定半径和圆心角的扇形面积，让学生运用公式进行解答。
2.提高拓展题：
-布置一些综合性的题目，如计算由多个扇形或不规则图形组成的总面积，要求学生结合所学知识，分析问题并给出解题步骤。
-鼓励学生尝试运用弧长和扇形面积的知识解决生活中的实际问题，如园林设计、建筑布局等。
-探究阶段：组织学生进行小组合作，利用教具和信息技术工具，探索圆心角、半径与弧长、扇形面积的关系，引导学生发现并理解计算公式。

北师大版数学九年级下册3.9《弧长及扇形的面积》说课稿

北师大版数学九年级下册3.9《弧长及扇形的面积》说课稿一. 教材分析弧长及扇形的面积是北师大版数学九年级下册第3.9节的内容。

这部分内容是在学生已经掌握了圆的性质、扇形的定义以及弧长的计算方法的基础上进行讲解的。

本节课的主要内容是引导学生探究扇形的面积计算公式，并能够运用该公式解决实际问题。

教材通过实例和练习，帮助学生理解和掌握扇形面积的计算方法，提高他们的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对圆的性质和弧长的计算方法有一定的了解。

然而，扇形面积的计算涉及到新的概念和思考方式，对于部分学生来说可能存在一定的难度。

因此，在教学过程中，我需要关注学生的学习情况，针对不同学生的需求进行引导和帮助，使他们能够顺利地理解和掌握扇形面积的计算方法。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：引导学生探究并理解扇形的面积计算公式，使学生能够运用该公式计算扇形的面积。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流和思考，培养学生的空间想象能力和几何思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们解决问题的积极性和合作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：引导学生探究扇形的面积计算公式，使学生能够理解和运用该公式。

2.教学难点：理解扇形面积计算公式的推导过程，掌握扇形面积的计算方法。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用问题驱动法和合作学习法。

通过提出问题，引导学生进行观察、思考和交流，激发他们的学习兴趣和解决问题的欲望。

同时，我将运用多媒体课件和实物模型等教学手段，帮助学生直观地理解扇形面积的计算方法。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些与扇形相关的实例，如扇形统计图、扇形切割等，引导学生回顾扇形的定义和弧长的计算方法，为新课的学习做好铺垫。

2.探究扇形面积的计算公式：引导学生观察和分析扇形的特征，让学生通过小组合作的方式，自主探究扇形面积的计算公式。

在学生探究的过程中，给予适当的引导和帮助。

九年级数学弧长和扇形面积

180
所以：r R
360
（2）因为圆锥的母线长=扇形的半径所以圆锥的高h为：h R2 r2
R2 ( R )2
360
例2、一个圆锥形零件的母线长为a，底面的半径为r，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积．
解圆锥的侧面展开后是一个扇形，该扇
形的半径为a，扇形的弧长为2πr，所以
一、弧长的计算公式
l n 2r nr
360
180
二、扇形面积计算公式
s

n r 2
360
或s

1 lr 2
圆锥的高
圆锥
我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做圆锥的母线
连接顶点S与底面圆的圆心O S 的线段叫做圆锥的高
母线 A
Or
思考：圆锥的母线和圆锥的高有那些性质？
圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和。
例1：如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角θ=144° 用这个扇形围成一个圆锥的侧面.
(1)求这个圆锥的底面半径r;
(2)求这个圆锥的高(精确到0.1) A
C
B
O
解：（1）因为此扇形的弧长=它所围成圆锥的底面圆周长所以有 2 r R
l
图 23.3.6
思考与探索：
将一个圆锥的侧面沿它的一条母线剪开铺平，思考圆锥中的各元素与它的侧面展开图中的各元素之间的关系
圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图是一个什么图形？
扇形
扇形的半径是什么？圆锥的母线长
扇形的弧长是什么？圆锥底面圆的周长
这个扇形的面积如何求？
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积。

人教版九年级数学上册24.4弧长和扇形面积教案

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调弧长和扇形面积的计算公式这两个重点。对于难点部分，如弧度的理解，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与弧长和扇形面积相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用硬纸板制作一个扇形，测量并计算其面积。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了弧长和扇形面积的基本概念、计算公式以及它们在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对弧长和扇形面积的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解弧长和扇形面积的基本概念。弧长是圆上两点间的弧与半径的对应圆心角的比值；扇形面积是由圆心、圆上两点和这两点间的弧所围成的图形。它们在工程、设计等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，计算一个半圆的弧长和面积，通过这个案例，我们可以了解弧长和扇形面积在实际中的应用，以及它们如何帮助我们解决问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《弧长和扇形面积》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在生活中是否遇到过需要计算圆的一部分长度或面积的情况？”比如，设计一个扇形花园，我们该如何计算它的面积？这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索弧长和扇形面积的奥秘。

浙教版数学九年级上册《3.8 弧长及扇形的面积》教案1

浙教版数学九年级上册《3.8 弧长及扇形的面积》教案1一. 教材分析《3.8 弧长及扇形的面积》是浙教版数学九年级上册的一部分，本节课主要介绍了弧长和扇形面积的计算方法。

通过本节课的学习，学生能够理解弧长和扇形面积的概念，掌握计算弧长和扇形面积的方法，并能够应用于实际问题中。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对图形的认识和理解有一定的基础。

但是，对于弧长和扇形面积的计算方法，学生可能较为陌生，需要通过实例和练习来加深理解和掌握。

三. 教学目标1.理解弧长和扇形面积的概念。

2.掌握计算弧长和扇形面积的方法。

3.能够应用弧长和扇形面积的计算方法解决实际问题。

四. 教学重难点1.弧长和扇形面积的概念。

2.计算弧长和扇形面积的方法。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实例和练习来引导学生理解和掌握弧长和扇形面积的计算方法。

同时，运用合作学习的方式，让学生在小组讨论和实践中共同解决问题，提高学生的参与度和积极性。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.练习题。

3.几何画板或者实物模型。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：一个自行车轮子一周的行驶距离是多少？引导学生思考和讨论，引出弧长的概念。

2.呈现（15分钟）通过PPT课件或者几何画板展示扇形的模型，引导学生观察和理解扇形的特征，讲解扇形的面积计算公式，并通过实例来演示计算过程。

3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，每组选择一道练习题进行计算，其他组进行评价和讨论。

教师巡回指导，解答学生的疑问，并强调计算过程中的注意事项。

4.巩固（10分钟）通过PPT课件或者几何画板展示一些典型的练习题，让学生独立进行计算，教师选取部分学生的答案进行讲解和分析，巩固学生对弧长和扇形面积计算方法的掌握。

5.拓展（10分钟）让学生思考和讨论一些拓展问题，例如：如何计算一个圆的周长和面积？如何计算一个扇形的弧长和面积？引导学生运用所学的知识解决实际问题。

九年级数学圆弧长与扇形面积

九年级数学圆弧长与扇形面积数学这门学科，别看它平时挺严肃，其实也有它俏皮的一面，尤其是在讲到圆弧长和扇形面积的时候。

这些概念不仅能让你在考试中大展拳脚，还能让你对圆圈有个更深刻的理解。

今天，我们就一起来聊聊这两个有趣的数学问题吧。

1. 圆弧长1.1 什么是圆弧长？圆弧长，顾名思义，就是圆上某一段弯弯曲曲的长度。

想象一下你在骑自行车绕着一个大圈行驶，你的轮胎在圆圈上留下的痕迹就是你走的圆弧长。

计算圆弧长有个简单的公式，真的是简便得让人拍案叫绝。

1.2 公式来啦！圆弧长的计算公式是 ( L = frac{theta}{360^circ} times 2pi r )，其中 ( theta ) 是圆心角的度数，( r ) 是圆的半径，( pi ) 是我们熟悉的圆周率，大约是3.14。

听起来有点复杂，但只要掌握了公式，就能轻松搞定。

拿个实际例子来试试吧。

比如说，圆的半径是5厘米，圆心角是60度，代入公式，就能算出圆弧长了。

2. 扇形面积2.1 扇形是什么？扇形，顾名思义，就是像扇子一样的形状。

想象你手里拿着一把扇子，展开的一部分就是扇形。

它的面积就是我们今天要计算的重点。

2.2 计算公式扇形的面积公式是 ( A = frac{theta}{360^circ} times pi r^2 )。

这里的 ( theta ) 也是圆心角的度数，( r ) 还是半径。

举个例子，如果一个扇形的圆心角是90度，半径是4厘米，那么面积就可以通过公式计算出来啦。

这样，不仅能帮助你解题，还能让你对形状有更直观的了解。

3. 实际应用3.1 圆弧长的实际运用圆弧长的计算可不是仅仅停留在数学课上哦。

比如说，你在设计一个圆形花坛，想知道围边的长度，或者做一个圆形的运动场地，圆弧长就派上用场了。

掌握了公式，你就能精确测量，做出完美设计。

3.2 扇形面积的实际运用扇形面积的计算也同样有用。

比如说，你在做一个蛋糕，要设计一个扇形的切块，知道每块的面积，就能均匀分配，保证每个人都能吃到美味的蛋糕。

弧长及扇形的面积公式

弧长及扇形的面积公式弧长的公式：弧长是弧上的一段弧线长度，表示为S，可以通过下面的公式来计算：S=rθ其中，S表示弧长，r表示弧的半径，θ表示圆心角（以弧度为单位）。

这个公式的推导可以通过以下几个步骤来得到：首先，我们将圆的半周长除以π，得到半径r之后，再用r乘以θ，即可得到弧长S。

需要注意的是，弧度是一个角度的度量单位，一个完整的圆的弧度是2π。

所以，如果我们知道了弧度的大小，就可以很容易地计算出弧长。

扇形的面积公式：扇形是由圆心角和半径所确定的一个图形，它是由一个圆的一部分构成，通常是从圆心到圆上的一段弧线，再与两个半径的延长线所围成的图形。

扇形的面积表示为A，可以通过下面的公式来计算：A=0.5r²θ其中，A表示扇形的面积，r表示扇形的半径，θ表示扇形的圆心角。

这个公式的推导可以通过以下几个步骤来得到：首先，我们将整个圆的面积除以2π，得到圆的半径r之后，再用r乘以圆心角的弧度θ，最后再除以2，即可得到扇形的面积A。

需要注意的是，公式中的θ必须使用弧度来表示。

因此，在计算扇形的面积之前，我们需要将角度转换为弧度。

将角度转换为弧度可以使用以下公式：弧度=角度×π/180。

另外，如果我们知道扇形的弧长S，也可以使用以下公式来计算扇形的面积A：A=0.5rS这个公式是根据弧长和扇形圆心角的关系来推导的。

总结：弧长和扇形的面积是圆的重要属性之一，它们可以通过简单的公式来计算。

在计算之前，我们需要明确圆的半径和圆心角（以弧度形式表示）。

然后，根据公式S=rθ和A=0.5r²θ或A=0.5rS，即可计算出弧长和扇形的面积。

人教版九年级数学上册第24章圆弧长和扇形面积

24.4 弧长和扇形面积
第1课时弧长和扇形面积
1.通过自主探究得出弧长的计算公式，体验从特殊到一般的学习
方法，发展学生的推理能力.
2.通过小组讨论推导出扇形面积公式，会推导弧长和扇形面积之
间的关系，学会利用类比的思想方法解决问题.
3.通过练习恰当熟练地运用公式计算弧长、扇形的面积，增强学
生的数学运用能力.
3
4.试着总结圆心角为 ᵒ的扇形面积公式.
扇形 =

=

教师讲评
知识点1．弧长（重点）

n°的圆心角所对的弧长为l= .

知识点2．扇形面积（重点）
1.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如
图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
2.扇形面积：
旧知回顾
还记得小学学过的圆的周长和面积公式吗？
(C=πd=2πr,S=πr²)
“欲穷千里目，更上一层楼”是唐朝诗人王之涣在《登鹳雀楼》一诗中的诗句
，那么同学们想过没有，如果真的要看千里之遥，要“站”多高呢？
如图，地球上B、C两点间的距离指的是球面上两点间的距离，也就是什么的
长？（弧BC的长）
假设弧BC的长为500km，如果地球的半径是6400km，你能算出视线AC的
(2)由(1)易得 =

,

=

, ∠

= °.
∴阴影部分的面积=扇形OAB的面积 −△ 的面积
=
×

− × ×

×

= −

.

九年级上册数学弧长和扇形面积

九年级上册数学弧长和扇形面积一、弧长公式。

1. 公式推导。

- 在圆中，圆心角n^∘所对的弧长l与圆周长C = 2π r（r为圆的半径）存在比例关系。

- 因为整个圆的圆心角是360^∘，所以圆心角为n^∘所对的弧长l=(n)/(360)×2π r=(nπ r)/(180)。

2. 应用示例。

- 例：已知圆的半径r = 5cm，圆心角n = 60^∘，求弧长l。

- 解：根据弧长公式l=(nπ r)/(180)，将r = 5cm，n = 60^∘代入公式，得到l=(60×π×5)/(180)=(5π)/(3)cm。

二、扇形面积公式。

1. 公式推导。

- 方法一：与弧长公式推导类似，因为扇形面积S与圆面积S=π r^2也存在比例关系，对于圆心角为n^∘的扇形，其面积S=(n)/(360)×π r^2。

- 方法二：由S=(1)/(2)lr（l为弧长，r为半径），把l = (nπ r)/(180)代入可得S=(1)/(2)×(nπ r)/(180)× r=frac{nπ r^2}{360}。

2. 应用示例。

- 例：已知扇形的半径r = 4cm，圆心角n = 90^∘，求扇形面积。

- 解：- 方法一：根据S=(n)/(360)×π r^2，将r = 4cm，n = 90^∘代入，得到S=(90)/(360)×π×4^2=4π cm^2。

- 方法二：先求弧长l=(nπ r)/(180)=(90×π×4)/(180)=2π cm，再根据S=(1)/(2)lr，l = 2π cm，r = 4cm，得到S=(1)/(2)×2π×4 = 4π cm^2。

三、弓形面积。

1. 弓形的定义。

- 弓形是由弦及其所对的弧组成的图形。

2. 弓形面积的计算。

- 当弓形所含的弧是劣弧时，弓形面积S_弓=S_扇-S_（S_扇为扇形面积，S_为三角形面积）。

九年级数学弧长和扇形的面积

C
A
O
D
B
思维激活：
（1）弧长公式涉及三个量弧长圆心角的度数弧所在的半径，知道其中两个量，就可以求第三个量。
（2）当问题涉及多个未知量时，可考虑用列方程组来求解
如图，三个同心扇形的圆心角∠AOB为120°，半径OA为 6cm，C、D是 AB 的三等分点，则阴影部分的面积等于 cm2
思维激活：有关求阴影部分的面积，要将图形通过旋转、平移、翻折等变换，转化为可求的图形的面积。
有水部分的面积 S=S扇形OAB -S△OAB
A
D
B
120 0.62 1 D
360 2
C
0.12 1 0.6 3 0.3
2
0.22 m2
练习园地
变式练习：（1）
如图，AB长8，CD长12，AC=12 求COD,小圆半径r和大圆半径R?
解：
如图，连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交与A点BC。
∵OC=0.6 DC=0.3
∴OD=OC-CD=0.3
在Rt△OAD中，OA=0.6
利用勾股定理可得，AD=0.3 3
1
在Rt△OAD中,OD= 2 OA
O
∴∠OAD=30°∠AOD=60°∠AOB=120°
Q P
h1 h2 r
； cloudtoken cloud token cloudtoken钱包 cloudtoken云钱包 cloudtoken注册
cloudtoken邀请码；
中国省内经济发展程度差异最小的省份之一，由404个岛屿组成，38所）多属蛙类，随地形由低及高和土质变化，浙江省下辖11个省辖市，截至2018年末，7%，8%；其中，社会事业编辑织里刺绣杭

九年级数学上册《弧长及扇形面积的计算》教案、教学设计

2.扇形面积的计算是另一个重点，学生需要理解扇形面积的定义，掌握扇形面积的计算公式，并能够应用于解决实际问题。
3.教学的难点在于如何引导学生将实际问题中的弧长和扇形面积问题转化为数学模型，以及如何在实际情境中进行单位换算。
（二）教学设想
1.引入环节：通过生活实例，如弯道的长度测量、园林设计中扇形花坛的面积计算等，引起学生对弧长和扇形面积的兴趣，自然导入新课。
2.新课展开：
a.通过动态演示或实物模型，让学生直观感受弧长的概念，引导他们发现弧长与圆周长之间的关系。
b.以小组合作的形式，让学生探索弧长和扇形面积的计算方法，鼓励他们从不同角度提出问题，解决问题。
c.教师适时进行引导和讲解，澄清学生的疑问，强调计算过程中的注意事项，如单位换算等。
3.实践应用：
a.设计具有挑战性的实际应用问题，让学生独立或合作完成，培养他们运用数学知识解决实际问题的能力。
3.拓展题：选择一道具有挑战性的问题，如计算不规则图形中包含的弧长或扇形面积。鼓励学生运用所学知识，结合其他数学工具（如三角函数）解决问题。
4.小研究：要求学生调查生活中应用弧长及扇形面积计算的实际例子，如建筑设计、园林规划等，并撰写一份小报告，分享他们的发现和体会。
5.小组作业：分配一个小组任务，让学生共同探讨弧长和扇形面积在体育运动中的应用，例如计算田径场上的弯道长度或足球场草坪的扇形修剪面积。
2.学生回答：学生可能会提到使用测量工具、步测等方法，教师给予肯定并引导：“今天我们将学习一种更精确的方法来计算弯道长度，那就是弧长的计算。”
（二）讲授新知
1.教学活动：教师通过动态演示或板书，向学生介绍弧长的概念，强调度量和非度量弧长的区别，并引导学生发现圆的周长与弧长之间的关系。

人教版九年级数学上册课件：24.4弧长和扇形面积(共19张PPT)

－
1353π6×0 152＝375π(cm2)．
9
能力提升
11．如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分．图2中，图形的相关数据：半径OA＝2 cm，∠AOB＝120°，则图2的周长为 83π ________cm.(结果保留π)
10
12．如图，在△ABC中，AC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△FGC，则图43中π 阴影部分的面积为________.
第二十四章圆
弧长和扇形面积
第一课时
知识展示
知识点 1 弧长公式 n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 l＝n1π8R0 ，其中 R 为半径．核心提示：在弧长公式中，已知 l、n、R 中的任意两个量，都可以求出第三个量．知识点 2 扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
分析：先用扇形OAB的面积－三角形OAB的面积求出上面空白部分面积，再用扇形OCD的面积－三角形OCD的面积－上面空白部分的面
积7．，如即图可，求5分出．别阴以影【五部边分黑形的A龙面BC积D江．E的顶哈点尔为圆滨心，中以1考为半】径作一五个个圆，扇则图形中的阴影弧部分长的面是积之1和1为π__c___m___.，半径是18
2
知识点 3 扇形面积公式 (1)n°圆心角的扇形面积公式：S 扇形＝n3π6R02 ，其中 R 为半径． (2)弧长为 l 的扇形面积公式：S 扇形＝12lR，其中 R 为半径．【典例】如图，半径为 12 的圆中，两圆心角∠AOB＝60°、∠COD＝120°，连接 AB、CD，求图中阴影部分的面积．
cm，则此扇形的圆心角是__________度． 71．2．如如图图，，分在别△以AB五C中边，形AACB＝CD4E，的将顶△点AB为C圆绕心点，C逆以时11为针1半旋0 径转作30五°得个到圆△，FG则C，图则中图阴中影阴部影分部的分面的积面之积和为为________________.. 一列火车以6每．小时【28 江km的苏速度泰经州过10中秒通考过弯】道．如那么图弯，道所分对的别圆心以角为正___三_____角__度形．(π的取3.3个顶点为圆心， 98．．一已段知铁扇边路形弯所长道在成圆为圆半弧径半形为，4径，圆弧弧画长的为弧半6径π，，是则2三扇km形.段面积弧为_围_____成____.的图形称为莱洛三角形．若正三角分积析，：即先可用求形扇出形阴边影OA部长B的分面为的积面6－积三．c角m形，OAB则的面该积求莱出上洛面三空白角部分形6面π积的，再周用扇长形为OCD_的_面__积_－__三_角c形mOC. D的面积－上面空白部分的面

《弧长和扇形面积》PPT课件人教版九年级数学

B
B
弧
O
圆心角
扇形
A
O
A
探究新知
判一判
下列图形是扇形吗？
×
×
×
√
√
探究新知
2
问题1 半径为r的圆,面积是多少？ S = r
问题2 ①360°的圆心角所对扇形的面积是多少？
②1°的圆心角所对扇形的面积是多少？
③n°的圆心角所对扇形的面积是多少？
r
O
问题3 下页图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，
∴=360°×

l
=288°
α
∴S=
πl2=2000π（cm2）
360°
解法二:
1
1
S= ×2πr·l= ×2π×40×50=2000π（cm2）.
2
2
解法三:
S=πr·
l= π×40×50=2000π （cm2）.
已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为
20cm，则这个圆锥的侧面积为
2
384
n r 2
S扇形 =
360
注意
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它
是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过
程记忆）.
探究新知
问题扇形的面积与哪些因素有关？
A
E
B
C
A
C
O
D
●
F
B
O●
D
圆心角大小不变时，对应
圆的半径不变时，扇形面
的扇形面积与半径有关，
积与圆心角有关，圆心角越
圆锥有无数条母线，它们都相等．
圆锥的高
S
பைடு நூலகம்

九年级数学第二十四章第4节弧长和扇形面积人教实验版知识精讲

九年级数学第二十四章第4节弧长和扇形面积人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：弧长和扇形面积 1. 弧长和扇形面积.2. 圆锥的侧面积和全面积.二、知识要点：1. 弧长和扇形面积（1）圆的周长公式C ＝2πR ，n °的圆心角所对的弧长l ＝n πR180.（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.（3）圆的面积公式S ＝πR 2，圆心角为n °的扇形的面积公式S 扇形＝n πR 2360. 当扇形所对的弧长为l 时，S 扇形＝12l R.2. 弓形面积（1）由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.（2）当弓形所含的弧是劣弧时，S 弓形＝S 扇形－S △；当弓形所含的弧是优弧时，S 弓形＝ S 扇形＋S △.3. 圆锥的侧面积和全面积连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线，圆锥的母线都相等. 如果把圆锥的侧面沿它的一条母线剪开，展开在一个平面上，那么它的展开图是一个扇形. 如图所示，这个扇形的半径是圆锥的母线长SA ，弧长是圆锥底面圆的周长.如图中，高SO ＝h ，底面圆的半径OA ＝r ，母线SA ＝l ，则有h 2＋r 2＝l 2，侧面展开图中，扇形的半径为1，弧长︵AC 为2πr .圆锥的侧面积S 侧＝12l ·2πr ＝πrl ；全面积S 全＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2.r三、重点难点：本节课的重点是计算弧长和扇形面积以及圆锥的侧面积和全面积. 难点是对弧长和扇形面积公式的理解和公式变形后的灵活运用.四、考点分析：圆的有关性质与圆的有关计算是近几年各地中考命题考查的重点内容，题型以填空题、选择题和解答题为主，也有以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型，分值一般为6~12分. 考查内容主要包括：圆的有关性质的应用；直线和圆、圆和圆位置关系的判定及应用；弧长、扇形面积、圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算；圆与相似、三角函数的综合运用.【典型例题】例1. 已知扇形的圆心角为270°，弧长为12π. 求扇形的面积.分析：根据扇形面积计算公式S ＝n πr 2360＝12lr . 已知n ＝270，l ＝12π. 不管用哪一个公式都必须先求出r ，可借助弧长公式l ＝n πr180求出r .解法一：设扇形半径为r .因为l ＝n πr 180，所以r ＝180l n π＝180×12π270×π＝8.所以S 扇形＝n πr 2360＝270×π×82360＝48π.解法二：设扇形半径为r . 由解法一知r ＝8.所以S 扇形＝12lr ＝12×12π×8＝48π.评析：扇形面积计算公式有两个，解题时要灵活选用. 特别是题目条件中弧长已知时，用S ＝12lr 计算较简便.例2. 如图所示，当半径为30cm 的圆（轮）转动过120°角时，传送带上的A 物体平移的距离为__________cm .分析：A 物体平移的距离相当于圆上的120°的圆心角所对的弧长. ∵R ＝30cm ，n ＝120，∴l ＝120·π·30180＝20π（cm ）.解：20π评析：关键是找出A 物体平移的距离与圆弧长的关系，也可以通过实验操作，或想象圆转动来确立. 在填答案时，由于没有确定精确度，故可以保留π.例3. （1）如图①所示，⊙A 、⊙B 、⊙C 两两不相交，且半径都是1，则图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为（）A. π12B. π8C. π6D. π2（2）如图②所示，有一圆锥形粮堆，从正面看它是一个边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路线长是__________m . （结果不取近似值）BB②③分析：（1）∵S 扇1＝n 1πR 2360，S 扇2＝n 2πR 2360，S 扇3＝n 3πR 2360. ∴S 阴＝S 扇1＋S 扇2＋S 扇3＝n 1πR 2360＋n 2πR 2360＋n 3πR 2360＝πR 2360（n 1＋n 2＋n 3）＝πR 2360×180＝π2，故正确答案为D. （2）设展开后扇形的圆心角为n °，则n π×6180＝π×6，解得n ＝180. 所以圆锥侧面展开后为半圆，且AB⊥AC. 在R t △ABP 中，AB ＝6，AP ＝3，则BP ＝35（m ）.解：（1）D （2）3 5例4. 如图所示，在R t △ABC 中，已知∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝6cm ，把△ABC 以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线上的点C ’处，那么AC 边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是__________cm 2. （不取近似值）A分析：图中的阴影部分可以看成是由△A ’BC ’与扇形ABA ’的和减去△ABC 与扇形CBC ’，由旋转得S △ABC ＝S △A ’BC ’，∠ABA ’＝180°－∠A ’BC ’＝180°－60°＝120°，AB ＝6cm ，又扇形CBC ’中，∠CBC ’＝∠ABA ’＝120°（旋转角），BC ＝12AB ＝12×6＝3（cm ），因此S 扇形ABA ’＝120×π×62360＝12π（cm 2），S 扇形CBC ’＝120×π×32360＝3π（cm 2），∴S 阴影部分＝S 扇形ABA ’－S 扇形CBC ’＝12π－3π＝9π（cm 2）.解：9π评析：组合图形（不规则图形）面积，通常将其转化成规则图形的面积或规则图形面积的和差.例5. 如图所示，已知R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝20cm ，BC ＝15cm ，以直线AB 为轴旋转一周，得到一个锥体，求这个几何体的表面积.分析：这个几何体的表面积是两个圆锥侧面积的和. 其中AB 为旋转轴，OC 为旋转半径，OC 就是△ABC 的高，可用面积法求得OC. 旋转结果为两个共底的圆锥，这两个圆锥的母线分别为AC 和BC.ACO解：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝20，BC ＝15. AB ＝AC 2＋BC 2＝202＋152＝25. ∵AB 为旋转轴，∴旋转半径OC ＝AC ·BC AB ＝20×1525＝12，且旋转结果为两个共底的圆锥.S 上＝12×2π×OC ×AC ＝π×12×20＝240π（cm 2），S 下＝12×2π×OC ×BC ＝π×12×15＝180π（cm 2），∴这个几何体的表面积S ＝240π＋180π＝420πcm 2. 答：这个几何体的表面积是420πcm 2.评析：本题考查学生的空间想像能力，对旋转体概念理解能力，对旋转体表面积的计算能力.【方法总结】1. 本课是关于圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、以及圆锥侧面积的计算，我们应该熟记它们的计算公式.2. 把不规则图形的面积通过“和差法”、“割补法”、“等积代换法”等方法转化成规则图形面积来解决.【预习导学案】（随机事件和概率）一、预习前知1. 随意地向上抛一枚硬币，落地后有几种可能？2. 在做“锤子、剪刀、布”的游戏时，你知道获胜的把握有多大吗？二、预习导学1. 必然事件是指__________，不可能事件是指__________，随机事件是指__________.2. 下列事件：（1）任意三角形内角和都是180°；（2）任意选择电视的某一频道，它正在播放新闻；（3）两条线段可以组成一个三角形，其中__________是必然事件，__________是不可能事件，__________是随机事件.3. 若一袋中装有大小、质地等完全相同的5个黑球、8个白球，在看不到球的情况下，随机摸出一球，摸到__________球的可能性大. 若想让摸到另一种颜色的球的可能性大，应如何设计__________.4. 概率是指事件发生的__________稳定在某个__________附近，则这个__________就叫做这个事件的概率. 如抛掷硬币时，“正面向上”的频率约为0.5，则说此事件发生的概率约为__________. 反思：（1）如何划分事件发生的可能性？（2）如何理解试验频率与概率的关系？（3）影响概率大小的因素有哪些？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 如图，已知⊙O 的半径OA ＝6，∠AOB ＝90°，则∠AOB 所对的弧AB 的长为（） A. 2π B. 3π C. 6π D. 12πAB2. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm ，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是（）A. 10π3cmB. 20π3cmC. 25π3cmD. 50π3cm3. 若扇形的圆心角是150°，扇形的面积是240πcm 2，则扇形的弧长是（） A. 5πcm B. 20πcm C. 40πcm D. 10πcm4. 如图所示，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 互不相交，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（）A. ππ C. 2ππ*5. 如图所示，正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的有（） A. （1）（2）（3） B. （2）（3）（4） C. （1）（3）（4） D. （1）（2）（3）（4）(1)(2)(3)(4)6. 如图，︵AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为︵AD 上任意一点，若AC ＝5，则四边形ACBP 周长的最大值是（）A. 15B. 20C. 15＋5 2D. 15＋5 5ABD*7. 如图，用两道绳子捆扎着三瓶直径均为8cm 的酱油瓶，若不计绳子接头（π取3），则捆绳总长是（）A. 24cmB. 48cmC. 96cmD. 192cm**8. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角是（） A. 60° B. 90° C. 120° D. 180°二、填空题1. 一条弧所对的圆心角为90°，半径为3，那么这条弧长为__________.2. 已知R t △ABC ，斜边AB ＝13 cm ，以直线BC 为轴旋转一周，得到一个侧面积为65πcm 2的圆锥，则这个圆锥的高等于__________.3. 如图所示为一弯形管道，其中心线上一段圆弧AB. 已知半径OA ＝60㎝，∠AOB ＝ 108，则管道的长度（即弧AB 的长）为__________cm （结果保留π）4. 某校校园里修了一个面积为16平方米的正方形花坛（如图所示），学校准备将阴影部分种上花，其余部分种草，则种花的面积是__________平方米.*5. 如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为__________（结果保留π）6. 小红要过生日了，为了筹备生日聚会，她准备自己动手用纸板制作圆锥形的生日礼帽. 如图所示，圆锥帽底面半径为9cm，母线长为36cm，请你帮助她计算制作一个这样的生日礼帽需要纸板的面积为__________.36cm9cm三、解答题1. 如图所示，圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A 点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径.*2. 如图所示，等腰R t△ABC中斜边AB＝4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于点D、E，图中阴影部分的面积是多少？请你把它求出来. （结果用π表示）3. 如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，若直角三角形ABC绕AB旋转所得的圆锥的侧面积和矩形ABCD绕AB旋转所得到的圆柱的侧面积相等，求BC的长.ADB C**4. 如图所示，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的X围面积是多少？【试题答案】一、选择题1. B2. B3. B4. B5. C6. C7. C8. D二、填空题1. 32π2. 12cm3. 36π4. 85. 38π 6. 324πcm 2三、解答题1. 将圆锥沿过A 点的母线展开，爬行最短路径是从展开扇形弧的一端沿直线爬行到另一端. 这一长度是33r .2. 连接OE ，则△OEB 是等腰直角三角形，且面积为1. 扇形OEF 的面积为14π，阴影部分面积为2－12π3. 根据题意12×2π×BC ×AC ＝2π×BC ，即AC ＝2，在R t △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝ 3.4. 活动X 围由3部分（图中阴影部分）组成：半径为14、圆心角为270°的扇形一个，半径为14－10＝4、圆心角为90°的扇形两个. 狗的活动面积是：270π×142360＋2×90π×42360＝155π。

初中数学圆的弧长及扇形面积公式 (含答案)

弧长及扇形面积第一部分知识梳理（一）、圆的弧长及扇形面积公式在半径为R 的圆中,n °的圆心角所对的弧长为C 1,以n °为圆心角的扇形面积为S 1弧长公式：弧长C 1＝180n R π 扇形面积公式： S 1＝2360n R π＝12C 1R注意：计算不规则图形的面积时，要转化成规则图形的面积进行计算。

（二）、圆锥的侧面积：注意：圆锥的侧面展开图是一个扇形其中：（1）h 是圆锥的高,r 是底面半径；（2）l 是圆锥的母线,其长为侧面展开后所得扇形的半径R ；（3）圆锥的侧面展开图是半径等于 l ,弧长等于圆锥底面周长C 的扇形.即： ①l =R ②180n Rπ=2πr ③h 2+r 2=l 2圆锥的侧面积 S 侧面积＝ πrl圆锥的全面积 S 全面积＝ πrl ＋πr 2第二部分中考链接一、有关弧长计算（一）、选择题1、（2018•淄博）如图，⊙O 的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC 的长为（）A 、2π B. 83π C 34π D. 43π1题图2题图 3题图 4题图 5题图2、（2018•黄石）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（）A ．23πB ．43πC ．2πD ．83π3、（2018•沈阳）如图，正方形ABCD 内接于O ，AB=2，则的长是（）A ．πB ．πC ．2πD ．π4、（2018•陵城区二模）一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B 点从开始至结束所走过的路径长度为（）A ．B ．C ．4D ．2+5、（2018•明光市二模）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，OA=2，∠OAB=30°，弦BC ∥OA ，则劣弧的长是（）A ．B ．C ．D ．6、（2019青岛）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（）A．π B．2π C．2π D．4π6题图 7题图 8题图7、（2019烟台）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（）A．B．πC．πD．π8、（2019泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π（二）、填空题1、（2018•潍坊）如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y=x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则的长是．．1题图 3题图 4题图5题图8题图2、（2018•连云港）一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为cm．3、（2018•永州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则的长为．4、（2018•盐城）如图，图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径OA=2cm，∠AOB=120°．则图2的周长为cm（结果保留π）．5、（2018常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O的半径是．6、（2018•温州）已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为．．7、（2018•白银）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为．8．（2019泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为cm．（三）、解答题1．（2018•湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．二、、有关扇形面积计算（一）、选择题1、（2018•德州）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）A．2B．C．πm2 D．2πm21题图2题图 3题图4题图2、（2018•广安）如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2B．π﹣C．π﹣2D．π﹣3、（2018•成都）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．6π4、（2018•绵阳）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A．（30+5）πm2B．40πm2C．（30+5）πm2D．55πm25．（2018•十堰）如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（）A．12π+18B．12π+36C．6D．66、（2018•山西）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣85题图6题图7题图8题图7、（2018•广西）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．B．C．2 D．28、（2018•威海）如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（）A．18+36πB．24+18πC．18+18πD．12+18π9题图10题图11题图12题图13题图9、（2019枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣12π10、（2019临沂）如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（）A．2+πB．2++πC．4+πD．2+π11、（2019宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）A．63﹣πB．63﹣2πC．63+πD．63+2π12. （2019四川南充）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A. 6π B. 33π C. 23π D. 2π13.（2019四川资阳）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A. 5πB. 6πC. 20πD. 24π（二）、填空题1、（2018青岛）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是．1题图2题图3题图4题图2、（2018•安顺）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为cm2．3、（2018•荆门）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB为直径的⊙O 交BC于点E，则阴影部分的面积为．4、（2018•重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）5、（2018•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．5题图6题图8题图9题图10题图6．（2018•香坊区）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为．7、（2018•哈尔滨）一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是cm2．8、(2019日照)如图，已知动点A 在函数4(0y x x=＞）的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，延长CA 交以A 为圆心AB 长为半径的圆弧于点E ，延长BA 交以A 为圆心AC 长为半径的圆弧于点F ，直线EF 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，当NF ＝4EM 时，图中阴影部分的面积等于．9、（2019泰安）如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A 、点C ，交OB于点D ，若OA ＝3，则阴影都分的面积为．10、（2019德州）如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，已知BC ＝，AC ＝3．则图中阴影部分的面积是．11、(2019无锡市)如图，在△ABC 中，AC ：BC ：AB ＝5：12：13，⊙O 在△ABC 内自由移动，若⊙O 的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为103，则△ABC 的周长为． A BABCOOCOOI HF GED11题图 12题图 12、（2019四川内江）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＜AD ，∠A ＝150°，CD ＝4，以CD 为直径的⊙O 交AD 于点E ，则图中阴影部分的面积为．（三）、解答题1、（2019东营）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AB 延长线上的一点，点C 在⊙O 上，且AC ＝CD ，∠ACD ＝120°．（1）求证：CD 是⊙O 的切线，（2）若⊙O 的半径为3，求图中阴影部分的面积．2、（2019无锡市）一次函数b kx y +=的图像与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴的正半轴相交于点B ，且sin ∠ABO 3OAB 的外接圆的圆心M 的横坐标为﹣3．（1）求一次函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．xy M BAO3．（2019·武汉）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，分别交AM 、BN于D 、C 两点（1）如图1，求证：AB 2＝4AD ·BC（2）如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积ODEMF EMO图1 图2 4．（2019·衡阳）如图，点A 、B 、C 在半径为8的⊙O 上，过点B 作BD ∥AC ，交OA 延长线于点D ，连接BC ，且∠BCA ＝∠OAC ＝30°．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）求图中阴影部分的面积．DAOCB三、圆锥（一）、选择题2、（2018•自贡）已知圆锥的侧面积是8πcm 2，若圆锥底面半径为R （cm ），母线长为l （cm ），则R 关于l 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．3、（2018•遵义）若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（）A．60πB．65πC．78πD．120π4、（2018•遂宁）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是（）A．4πB．8πC．12πD．16π5、（2018•东阳市模拟）已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．50πcm2C．60πcm2D．3πcm26、（2019东营）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）A．3B．C．3 D．3（二）、填空题1、（2018烟台）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON 的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=．1题图2题图3题图7题图8题图2、（2018徐州）如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为．3、（2018•郴州）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）4、（2018•聊城）用一块圆心角为216°的扇形铁皮，做一个高为40cm的圆锥形工件（接缝忽略不计），那么这个扇形铁皮的半径是cm．5、（2018•黑龙江）用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为．6、（2018•扬州）用半径为10cm ，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为cm．7、（2018•苏州）如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD，点O，A，B，C，D 均在格点上．若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形OCD围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2，则12rr的值为8、（2019聊城）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为．9．（2019无锡市）已知圆锥的母线成为5cm，侧面积为15πcm 2，则这个圆锥的底面圆半径为cm ．答案与提示：一、弧长计算（一）、选择题1、D2、D3、A4、B5、B6、B7、D8、C1、解：如图，连接CO，∵∠BAC=50°，AO=CO=3，∴∠ACO=50°，∴∠AOC=80°，∴劣弧AC的长为=，故选：D．1题图2题图3题图6题图8题图2、解：连接OD，∵∠ABD=30°，∴∠AOD=2∠ABD=60°，∴∠BOD=120°，∴的长==，故选：D．3、解：连接OA、OB，∵正方形ABCD内接于O，∴AB=BC=DC=AD，∴===，∴∠AOB=×360°=90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，解得：AO=2，∴的长为=π，故选：A．4、BC=AB=AC=1，∠BCB′=120°，∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′=2×12014=1803ππ⨯故选B．5、连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧长为6011= 1803ππ⨯．6、解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝4，∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝2π，故选：B．7、解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，∴△ADC∽△CEB，∴＝，即＝，∵tan∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，∵直线DE与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠ABC＝30°∴AC＝2AD＝2，∴AB＝4，∴⊙O的半径为2，∴的长为：＝π，故选：D．8、解：连接OA．OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．（二）、填空题1、201923π2、2π3、24π4、83π5、26、67、πa8、6π1、解：直线y=x，点A1坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1可知B1点的坐标为（2，2），以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，OA2==4，点A2的坐标为（4，0），这种方法可求得B2的坐标为（4，4），故点A3的坐标为（8，0），B3（8，8）以此类推便可求出点A2019的坐标为（22019，0），则的长是=．故答案为：．2、1203=2 180ππ⨯3、解：∵点A（1，1），∴OA==，点A在第一象限的角平分线上，∵以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，∴∠AOB=45°，∴的长为=．故答案为．4、解：由图1得：的长+的长=的长 ∵半径OA=2cm ，∠AOB=120°则图2的周长为：=故答案为：．5、连接OB.OC ，由∠BAC=60°得∠BOC=120°，1204=1803r ππ⨯ 得：r=26、解：设半径为r ，60=2180rππ⨯，解得：r=6，故答案为：6 7、解：如图．∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a ， ∴的长=的长=的长==，∴勒洛三角形的周长为×3=πa ．故答案为πa ．(三)、解答题1、证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°， ∵OC ∥BD ，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC ⊥AD ，∴AE=ED ；（2）∵OC ⊥AD ，∴，∴∠ABC=∠CBD=36°，∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，∴．二、有关扇形面积计算1、A2、C3、C4、A5、C6、A7、D8、C9、C 10、A 11、A 12、A 13、A 1、解：连接AC ，∵从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°， ∴AC 为直径，即AC=2m ，AB=BC ，∵AB 2+BC 2=22，∴AB=BC=m ，∴阴影部分的面积是=（m 2），故选：A ．2、解：连接OB 和AC 交于点D ，如图所示：∵圆的半径为2，∴OB=OA=OC=2，又四边形OABC 是菱形，∴OB ⊥AC ，OD=OB=1，在Rt △COD 中利用勾股定理可知：CD==，AC=2CD=2，∵sin ∠COD==，∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，∴S 菱形ABCO =OB ×AC=×2×2=2，S 扇形AOC ==，则图中阴影部分面积为S 菱形ABCO ﹣S 扇形AOC =π﹣2，故选：C ．1题图 2题图 5题图 7题图 8题图3、解：∵在□ABCD 中，∠B=60°，⊙C 的半径为3，∴∠C=120°， ∴图中阴影部分的面积是：=3π，故选：C ．4、解：设底面圆的半径为R ，则πR 2=25π，解得R=5，圆锥的母线长==，所以圆锥的侧面积=•2π•5•=5π；圆柱的侧面积=2π•5•3=30π，所以需要毛毡的面积=（30π+5π）m 2．故选：A ．5、解：如图，连接OD ，AD ，∵点C 为OA 的中点，∴OC=OA=OD ， ∵CD ⊥OA ，∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，∴△ADO 为等边三角形，OD=OA=12，OC=CA=6，∴CD=，6，∴S 扇形AOD ==24π，∴S 阴影=S 扇形AOB ﹣S 扇形COE ﹣（S 扇形AOD ﹣S △COD ）=﹣﹣（24π﹣×6×6）=18+6π．故选：C ．6、解：利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF 的面积﹣△ABD 的面积=﹣×4×2=4π﹣4，故选：A ． 7、解：过A 作AD ⊥BC 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵AD ⊥BC ，∴BD=CD=1，AD=BD=， ∴△ABC 的面积为=，S 扇形BAC ==π，∴莱洛三角形的面积S=3×π﹣2×=2π﹣2，故选：D ．8、解：作FH ⊥BC 于H ，连接FH ，如图，∵点E 为BC 的中点，点F 为半圆的中点，∴BE=CE=CH=FH=6， 226+125Rt △ABE ≌△EHF ，∴∠AEB=∠EFH ，而∠EFH+∠FEH=90°，∴∠AEB+∠FEH=90°，∴∠AEF=90°，∴图中阴影部分的面积=S正方形ABCD +S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF=12×12+12•π•62﹣12×12×6﹣12•65×65 =18+18π．故选：C．9、解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，故选：C．10、解：∵＝，∴AB＝AC，∵∠ACB＝75°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝BC＝2，作AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴AD经过圆心O，∴OD＝OB＝，∴AD＝2+，∴S△ABC＝BC•AD＝2+，S△BOC＝BC•OD＝，∴S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC＝2++﹣＝2+π，故选：A．12.连接OA、OB，则S阴=S扇形OAB=2606360π⨯=6π故选A13、圆所扫过的图形面积=长方形的面积+圆的面积=2π×2+π=5π二、填空题1、734-23π2、4π3、40π4、14π5、43π﹣36、8﹣2π7、6﹣π8、3 9、6π10、2.5π 11、34π 12、 13、25 14、233π+解：∵∠B=90°，∠C=30°，∴∠A=60°，∵OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠COF=120°，∵OA=2，∴扇形OGF的面积为：=∵OA为半径的圆与CB相切于点E，∴∠OEC=90°，∴OC=2OE=4，∴AC=OC+OA=6，∴AB=AC=3，∴由勾股定理可知：BC=3∴△ABC的面积为：×3×3=∵△OAF的面积为：×2×=，∴阴影部分面积为：﹣﹣π=﹣π故答案为：﹣π1题图 3题图 8题图2、解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC 绕圆心O 逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O ，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°， ∵AB=2cm ，∴OB=1cm ，OC′=，∴B′C′=，∴S 扇形B′OB ==π，S 扇形C′OC ==，∴阴影部分面积=S 扇形B′OB +S △B′C′O ﹣S △BCO ﹣S 扇形C′OC =S 扇形B′OB ﹣S 扇形C′OC =π﹣=π；3、解：连接OE 、AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，∴AE=AB=2，BE==2，∵OA=OB=OE ，∴∠B=∠OEB=30°，∴∠BOE=120°，∴S 阴影=S 扇形OBE ﹣S △BOE ，=﹣×，=﹣，=﹣，4、解：S 阴=S △ABD ﹣S 扇形BAE =×4×4﹣=8﹣2π，故答案为8﹣2π．5、解：∵矩形ABCD ，∴AD=2，∴S 阴影=S 矩形﹣S 四分之一圆=2×3﹣π×22=6﹣π，6、解：∵在⊙O 上，∠ACB=40°，∴∠AOB=2∠ACB=80°， ∴此扇形的半径为：=3．故答案为：3．7、解：设扇形的半径为Rcm ，∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm ， ∴=3π，解得：R=4，所以此扇形的面积为=6π（cm 2），故答案为：6π．8．解：作DF ⊥y 轴于点D ，EG ⊥x 轴于G ，∴△GEM ∽△DNF ，∵NF ＝4EM ，∴＝＝4，设GM ＝t ，则DF ＝4t ，∴A （4t ，），由AC ＝AF ，AE ＝AB ，∴AF ＝4t ，AE ＝，EG ＝， ∵△AEF ∽△GME ，∴AF ：EG ＝AE ：GM ，即4t ：＝：t ，即4t 2＝，∴t 2＝，图中阴影部分的面积＝+＝2π+π＝2.5π，11、解：连接OC ，作CH ⊥OB 于H ，∵∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，∴∠OAB ＝60°，AB ＝2OA ＝6，由勾股定理得，OB ＝＝3，∵OA ＝OC ，∠OAB ＝60°，∴△AOC 为等边三角形，∴∠AOC ＝60°，∴∠COB ＝30°， ∴CO ＝CB ，CH ＝OC ＝， ∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为：π．11题图12题图 13题图解：在Rt △ABC 中，∵BC ＝，AC ＝3．∴AB ＝＝2，∵BC ⊥OC ，∴BC 是圆的切线，∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴BD ＝BC ，∴AD ＝AB ﹣BD ＝2﹣＝，在Rt △ABC 中，∵sinA ＝＝＝，∴∠A ＝30°，∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴OD ⊥AB ，∴∠AOD ＝90°﹣∠A ＝60°， ∵＝tanA ＝tan30°，∴＝，∴OD ＝1，∴S 阴影＝＝．故答案是：．13、如图，圆心O 在△ABC 内所能到达的区域是△O 1O 2O 3，∵△O 1O 2O 3三边向外扩大1得到△ACB ，∴它的三边之比也是5∶12∶13， ∵△O 1O 2O 3的面积=103，∴O 1O 2=53，O 2O 3=4，O 1O 3=133，连接AO 1 与CO 2，并延长相交于I ，过I 作ID ⊥AC 于D ，交O 1O 2于E ，过I 作IG ⊥BC 于G 交O 3O 2于F ，则I 是Rt △ABC 与Rt△O 1O 2O 3的公共内心，四边形IEO 2F 四边形IDCG 都是正方形，∴IE =IF = 1223122313O O O O O O O O O O ⨯++ =23，ED =1，∴ID =IE +ED =53，设△ACB 的三边分别为5m 、12m 、13m ，则有ID =AC BC AC BC AB ⨯++=2m =53，解得m =56，△ABC 的周长=30m =25.14、连接OE,则S 阴=S 扇形OEC +S △OED =260212123336023ππ⨯+⨯⨯=（三）、解答题 1、（1）证明：连接OC ．∵AC ＝CD ，∠ACD ＝120°∴∠A ＝∠D ＝30°．∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A ＝30°．∴∠OCD ＝∠ACD ﹣∠ACO ＝90°．即OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线．（2）解：∵∠A ＝30°，∴∠COB ＝2∠A ＝60°．∴S 扇形BOC ＝，在Rt △OCD 中，CD ＝OC ，∴，∴，∴图中阴影部分的面积为．2、作MN ⊥OB,垂足为N,连接OM,则MN=12OA=3,OA=6 ,A(-6,0)由sin ∠ABO 3则∠A=60°tan ∠BAO=OBOA∴3 ∴B （0，3）设直线AB:y=kx+b,将A,B 点的坐标代入得：3,b=3∴3x+3 S 阴=S 扇形MAO -S △MAO 2120(23)1634332ππ⨯-⨯-3、证明：（1）如图1，连接OD ，OC ，OE ．∵AD ，BC ，CD 是⊙O 的切线， ∴OA ⊥AD ，OB ⊥BC ，OE ⊥CD ，AD ＝ED ，BC ＝EC ，∠ODE ＝12∠ADC ，∠OCE ＝12∠BCD ∴AD //BC ，∴∠ODE ＋∠OCE ＝12（∠ADC ＋∠BCD ）＝90°， ∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠DOE ＝∠OCE ．又∵∠OED ＝∠CEO ＝90°，∴△ODE ∽△COE ．∴OE ECED OE=，OE 2＝ED ·EC ∴4OE 2＝4AD ·BC ，∴AB 2＝4AD ·BC （2）解：如图2，由（1）知∠ADE ＝∠BOE ，∵∠ADE ＝2∠OFC ，∠BOE ＝∠2COF ，∴∠COF ＝∠OFC ，∴△COF 等腰三角形。

北师大版数学九年级下册《9 弧长及扇形的面积》教学设计

北师大版数学九年级下册《9 弧长及扇形的面积》教学设计一. 教材分析北师大版数学九年级下册第9节《弧长及扇形的面积》是本册内容的重要组成部分，主要介绍了弧长和扇形面积的计算方法。

本节内容是在学生掌握了圆的性质、扇形的定义等知识的基础上进行学习的，为后续学习圆锥、圆柱等几何图形奠定了基础。

教材从实际问题出发，引导学生探究弧长和扇形面积的计算方法，通过数学活动使学生体会数学与生活的紧密联系，提高学生运用数学解决实际问题的能力。

同时，本节内容涉及公式推导、几何画图等，有助于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的圆的性质、扇形的定义等知识，具备了一定的数学思维能力。

但部分学生在计算过程中容易出错，对公式的理解和运用不够熟练。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行指导和纠正。

三. 教学目标1.理解弧长和扇形面积的计算方法，掌握相关公式。

2.能够运用弧长和扇形面积公式解决实际问题。

3.提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

4.培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：弧长和扇形面积的计算方法，相关公式的推导和运用。

2.难点：对公式的理解和运用，解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入弧长和扇形面积的概念，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生参与公式的推导过程，提高学生的逻辑思维能力。

3.案例教学法：分析实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

4.小组合作学习：鼓励学生相互讨论、交流，提高学生的团队合作意识。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示弧长和扇形面积的计算方法及相关例题。

2.练习题：准备相关练习题，巩固所学知识。

3.几何画图工具：如圆规、直尺等，用于演示和讲解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例引入弧长和扇形面积的概念，引导学生思考如何计算弧长和扇形面积。

2.呈现（10分钟）教师展示课件，讲解弧长和扇形面积的计算方法，引导学生掌握相关公式。

初三九年级数学ppt课件弧长和扇形面积公式

5．方法小结：问题1：求一个图形的面积，而这个图形是未知图形时，我们应该把未知图形化为什么图形呢？问题2：通过以前的学习，我们又是通过什么方式把未知图形化为已知图形的呢？
活动6 达标检测2
1 ． 120°的圆心角所对的弧长是 12π cm ，则此弧所在的圆的半径是
________． 2 ．如图，在4×4 的方格中 (共有16 个方格 ) ，每个小方格都是边长为 1
活动5 反馈新知
1 ．已知扇形的半径为 3 cm ，面积为 3π cm2 ，则扇形的圆心角是 ________°，扇形的弧长是________cm.(结果保留π)(答案：120，2π) 2．师生共同完成教材第112页例2. 3．完成教材第113页练习第3题． 4．如图，已知扇形的圆心角是直角，半径是2，则图中阴影部分的面积是________．(结果不计算近似值)(答案：π－2)
的正方形． O ， A ， B 分别是小正方形的顶点，则扇形 OAB 的弧长等于
________．(结果保留根号及π)
3．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以AD的长为半径的⊙A 交BC边于点E，则图中阴影部分的面积为________．
活动7 课堂小结与作业布置课堂小结 1．弧长公式是什么？扇形的面积公式呢？是怎样推导出来的？如何理解这两个公式？这两个公式有什么作用？这两个公式有什么联系？ 2．在解决部分与整体关系的问题时，我们应学会用什么方法去解决？ 3．解决不规则图形的面积问题时，我们应用什么数学思想去添加辅助线？作业布置教材第115页习题24.4第1题的(1)，(2)题，第2～8题．
24．4
弧长和扇形面积
第1课时弧长和扇形面积公式
1．理解弧长与圆周长的关系，能用比例的方法推导弧长公式，并能利用弧长公式进行相关计算． 2．类比推导弧长公式的方法推导扇形面积公式，并能利用扇形面积公式进行相关计算．

北师大版九年级数学《弧长及扇形的面积》教学设计

教学内容：3.9弧长及扇形的面积教学目标（包括知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观）1.知识与能力：(1)经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程；(2)了解弧长计算公式和扇形面积计算公式，并运用公式解决问题。

2. 过程与方法：经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力。

3. 情感态度与价值观：通过用弧长和扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力。

教学资源1.教具准备：课前导学案。

2.采用多媒体课件辅助教学。

教学整体设计1.突出重点：探索弧长和扇形面积计算公式。

2.突破难点：运用弧长和扇形面积计算公式解决问题。

3.教学方法与教学手段：（1）、课堂组织策略：创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效的数学活动，组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中，理解勾股定理的应用。

（2）、学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，从而真正有效地理解和掌握知识。

（3）、辅助策略：借助实验，使学生直观形象地观察、实验、动手操作。

教学过程二次备课课前准备学生活动教师活动1.摆放好课本、练习本、学习用具；2.完成本节课的导学案。

检查：同桌相互检查课前准备。

目标解析抄在课本指定位置并体会：教师解读:1.探索弧长和扇形面积计算公式。

（重点）2.运用弧长和扇形面积计算公式解决问题。

（难点）知识回顾（5）结合下图回答以下四个问题。

1.已知⊙O 的半径为R ，⊙O 的周长是多少？⊙O 的面积是多少？2.什么是弧？3.什么是圆心角？4.什么是扇形？1.C=2πR ，S ⊙O ＝πR 22.圆上两点之间的部分。

如3.顶点在圆心，两边和圆相交所组成的角叫做圆心角。

如图中的∠AOB 。

人教版数学九年级上册说课稿24.4《弧长及扇形的面积》

人教版数学九年级上册说课稿24.4《弧长及扇形的面积》一. 教材分析《弧长及扇形的面积》是人教版数学九年级上册第24章的一部分，这一部分的内容是在学生已经掌握了圆的性质、弧长和扇形的基础上进行进一步的拓展。

本节课的主要内容是让学生了解弧长和扇形面积的计算方法，能够运用这些方法解决实际问题。

教材通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，让学生在解决问题的过程中自然地引入弧长和扇形面积的概念，从而达到理解并掌握知识的目的。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，对于圆的性质、弧长等知识也有一定的了解。

但是，对于弧长和扇形面积的计算方法，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。

此外，学生可能对于实际问题的解决还缺乏一定的思路和方法，需要教师的引导和启发。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解弧长和扇形面积的计算方法，能够运用这些方法解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过引入实际问题，让学生在解决问题的过程中自然地引入弧长和扇形面积的概念，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：弧长和扇形面积的计算方法。

2.教学难点：如何将实际问题与弧长和扇形面积的计算方法相结合，解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生通过自主学习、合作交流来掌握知识。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型和练习题，帮助学生直观地理解弧长和扇形面积的概念，提高学生的学习兴趣和参与度。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实际问题，如桥梁的跨度、扇形的面积等，激发学生的学习兴趣，引导学生思考如何解决这些问题。

2.新课导入：介绍弧长和扇形面积的概念，引导学生通过自主学习来理解这些概念。

3.案例分析：通过分析一些具体的案例，让学生了解弧长和扇形面积的计算方法，并能够运用这些方法解决问题。