graph

图的定义（4）
×
限制： 1,不能有自身到自身的边 （即环）。 2，两个顶点v和w关联的边 不能多于一条（多重 图）。
×
C8
C1
C9
C4 C5
×
C7 C6
×
C3 C2
7.1.2
图的基本术语(1)
• 1) 顶点(vertex) 图中的数据元素。如图中的1、2、3、4或a、b、c、d。 • 2) 有向图（directed graph）
思考： 前面学习过的存储结构类型有哪些？ 哪些适合图的存储？
7.2.1 图的存储结构－邻接矩阵(1)
1) 邻接矩阵(Adjacency Matrix)的定义 邻接矩阵(Adjacency Matrix)是表示顶点之间相邻关系的矩阵。设G＝(V， E)是具有n个顶点的图，则G的邻接矩阵是具有如下性质的n阶方阵。包 含两个部分： • 记录各个顶点信息的顶点表， • 一个表示各个顶点之间关系的邻接矩阵。 设图 G = (V, E)是一个有 n 个顶点(按照0，1，2，…，n-1的顺序 编号)的图，则图的邻接矩阵是一个二维数组 arcs[n][n] ： Arcs[i][j]= 1 0 如果<i, j>∈E 或者(i,j)∈E。 其他情况。
课堂练习：
【例1】 设图G=(V,E)，V={a,b,c,d,e}， E={<a,b>,<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,c>,<e,d>。回答下列问题： ① 求与顶点b相关联的弧； ② 是否存在从顶点c到b的路径？ ③ 求ID(d)、OD(d)、TD(d); ④ 画出各个强连通分量。
a
b c
11) 子图(subgraph) 设有两个图 G＝(V, E) 和 G’＝(V’, E’)。若 V’包含于 V 且 E’ 包含于E, 则称 图G’ 是 图G 的子图。
V1 V3 V1 V3 V4
V2 V4 V2
V1 V3 V1
V2 V4
V1 V3 V2
V2
V3
V2 V3
V4
图G3 子图例子
V3
V5
V5
部分成员函数的实现（1）
Graph::Graph(int num) //构造函数，构造一个空的邻接矩阵 { for (int i=0;i<num;i++) //初始化一个n×n的邻接矩阵 for (int j=0;j<num;j++) Arcs[i][j]=0; //数据元素之间的关系初值为0 CurrentNumArcs=0; //当前边的数目为0 }
V5
其中V是结点(在图中称为顶点)的有限集合，称为顶点（vertex）：
V={v|v数据元素} E是数据元素之间关系集合，也叫做边（edge）的集合：
E={<v,w>或（v,w）}|v,wV}
通常，图G顶点的集合记为V(G)，边的集合记为E(G)。
7.1.1
图的定义（2）
V1 V3 V4
图1
V2
7.1.2
图的基本术语(2)
4) 顶点的度（degree)
• 无向图：顶点v的度是与v相关联的边的条数，记做：TD(V) • TD(V2)= 3 V1 V2 • TD(V5)=
2
V3 V4
• 有向图： • • • •
V5
C8
C9
C1
C3 C2
C4
TD(c8)= TD(c3)= OD(c3)= ID(c3)=
例二：写出下列网络的邻接矩阵
0
1
2
3
0
7 9
2
5 3
0
1 2 3
0
∞ ∞ 9
∞
0 ∞
7
∞ ∞
∞
6 5 0
1
6
∞ 0
7.2.1
邻接矩阵——存储表示
int MaxVertexes＝20//定义最大的顶点数 class Graph { private： SeqList Vertexes;//存储顶点信息的顺序表。 arcType arcs[MaxVertexes][MaxVertexes];//存储边信息的矩阵 int currentNumArcs; //当前边的数目 public： Graph（int num＝MaxVertexes); //构造最大顶点数的矩阵 IsEmpty() //判断图是否为空 int InsertVertex(vertexType &v) // 在图中插入顶点v int InsertArc(int v1,int v2); //在图中插入边（v1，v2） void DeleteVertex(int v); //删除顶点v及依附与v的边 int DeleteArc(int v1,int v2); //删除依附与顶点v1和v2的边 } //以无向图为例
d
• 解：图G=(V,E)可画成图G1 • ① 与顶点b相关联的弧有两条： <a,b>和<b,d>； • ② 不存在从顶点c到b的路径； • ③ ID(d)=2，OD(d)=1，TD(d)=3； • ④ 强连通分量。如图b
图G1
e
a
b d
图b
c
e
本章要点



7.1 图的基本概念（重点） 7.2 图的存储结构 7.3 图的遍历与连通性 7.4 最小生成树（重点） 7.5 最短路径（重点、难点） 7.6 活动网络 本章小结
V5
带权的图：路径长度是路径上各边的权的和。
A→B→D→E路径长度： 12 D→E→G的路径长度： 15
7.1.2
图的基本术语(5)
8）简单路径和回路（cycle） 简单路径：若路径上各顶点 v1, v2,..., vm 均不互相重复, 则称这 样的路径为简单路径。
回路：若路径上第一个顶点 v1 与最后一个顶点vm 重合, 则称这样 的路径为回路或环 。
例一：写出下列图的邻接矩阵
0 0 1 0 1 1
1 1 0 0
2 1 0 0
3 1 1 0
0
2
1
3
2
3
0 1
1
0 0 0 0 1
1
1 0 0 0 0
0
2 1 0 0 0
0
3 0 1 1 0
0
2
1
3
2 3
邻接矩阵的特点
• • • • 无向图： 1，无向图的邻接矩阵是对称的。 2，矩阵对角线始终为0。 3，无向图中: Vi的度：所在行1的个数， 或所在列1的个数 (所在行值的总和) (或所在行值的总和) 有向图： 1，有向图的邻接矩阵是可能非对称。 2，矩阵对角线始终为0。 3，有向图中: Vi的出度：所在行1的个数 (所在行值的总和) OD (vi)=
V1 V3 V4
无向图G4
V2
V5
从V1出发，沿边（V1,V4）,(V4,V3),(V3,V5)到达V5。 则序列: (V1,V4,V3,V5)称为从V3到V5的路径。
7.1.2
7）路径长度
图的基本术语（6）
不带权的图：路径长度是指此路径上边的条数。
V1 V3 V4
V2
v1→v4→v3→v5路径长度： 3 v1→v2→v5的路径长度： 2
7.1.2
图的基本术语(7)
9) 权(weight)
与图边或弧相关的数叫做权。权是某些信息的数字化抽象。带权 的图称为网络（network）。
10）邻接点（adjacent vertex）
如果（v，w）是无向图G的一条边，称v和w互为邻接顶点，称这 条边依附于顶点v和w。
7.1.2
图的基本术语(8)
C8
C1
C9
C4
C7
C6
C3
V5
C2
C5
图2
7.1.1 图的定义（3）
无序
无向图
图中的顶点对（v,w）是无序 的，称为无向图（undirected graph）
C8
C1
C9
C4 C5
C7 有序 C6 有向图
C3 C2
图中的顶点对<v,w>是有序 的，称为有向图（directed graph）
7.1.1
部分成员函数的实现（2）
int Graph::InsertArc(int v1,int v2) //在图中插入边(v1,v2),插入成功返回1，否则返回0。 { if(v1<0‖v1 >= Vertexes.len ‖ v2<0‖v2 >= Vertexes.len ‖v1＝＝v2) return 0; Arcs[v1][v2]=1; Arcs[v2 ][v1]=1; CurrentNumArcs++; 0 1 2 3 return 1; }
7.1 图的基本概念（重点） 7.2 图的存储结构 7.3 图的遍历与连通性 7.4 最小生成树（重点） 7.5 最短路径（重点、难点） 7.6 活动网络 本章小结
7.1.1
图的定义（1）
V1 V2
V3
V4
图1 图是由非空结点的集合及结点间的关系（边）集合构成的一种数据结构： Graph＝（V,E）
对于图G1=(V,E)，其中E中的
顶点对是有序的，即每条边 都是有方向的则称G为有向图。 有向图的边称为弧：<v,w> 3) 无向图（undirected graph） 对于图G2=(V,E)，其中E中顶点对是无序的，则称G为无向图。无向图中 存在（v,w）E必有（w,v）E。
2 3
1 2
C5 • TD(V)= OD(V)+ID(V) • 以顶点v为起点有向边的条数的成为顶点v出度，记做：OD(V) • 以顶点v为终点有向边的条数的成为顶点v入度，记做：ID(V)