两条直线的夹角.ppt

A2 A2 B1B2
证明：设两条直线L1，L2的斜率分别为k1、k2，则
k1
A1 B1
, k2
A2 B2
tan
k2 k1 1 k1k2
A2
A1
B2
B1
1 A2
A1
B2
B1
A1B2 A2 B1 A2 A2 B1B2
思考题：等腰三角形一腰所在直线L1的方程是x－2y－2=0， 底边所在直线L2的方程是x+y－1=0，点（－2，0）在另一 腰上，求这条腰所在直线L3的方程。（如下图）
是否有唯一解．
例1 求下列两条直线的交点：
L1：3x+4y-2=0， L2： 2x+y+2=0
．解：方程组32xx
4y2 0 y20
x
y
2 2
∴L1与L2的交点是M(-2，2)．
推广：
方程组
A1x A2 x
B1 y C1 0 B2 y C2 0
有唯一解 相交；
有无数解 重合；
没有解 平行。
2．(教材第35页，1．9练习第2题)判断 下列各对直线的位置关系，如果相交， 则求出交点的坐标：
1相交 2重合 3平行
一、直线L1到L2的角：
直线L1按逆时针方向旋转到与L2重合时所转的角，
叫做L1 到 L2的角。 图中θ1是L1到L2的角， θ2是L2到L1的角。
1 2
∴tanθ=tan（α2－α1）或tanθ=tan π+（α2－α1） =tan（α2－α1）
tan tan2 tan1 k2 k1 1 tan2 tan1 1 k1k2
直线L1到L2的角公式：
tan k2 k1
1 k1k2
注意：k1与 k2的顺序！
二、直线L1与L2的夹角：
当直线L1与L2相交但不垂直时，在θ和π－θ中有且仅 有一个角是锐角，我们把其中的锐角叫两直线的夹角， 记夹角为α。 直线L1与L2的夹角公式：
(L1到L2的角450 L2到L1的角1350 ） （L1到L2的角为π－arctan3，L2到L1的角为arctan3）
2、求下列两条直线的夹角：
⑴y=3x－1，y=－1 ·x+4 ⑵x－y=5；y=4，3 ⑶y=2x+1 ; x=2
（900）
（450）
( -arctan2)
2
注意！！
求两条直线的到角和夹角的步骤：
因为L1、L2、L3所围成的三角形
是等腰三角形，所以θ1=θ2
L2
Y
L3
∴tanθ2=tanθ1= －3
θ2
k3 1 3
L1
1 k3
O
X
θ1
ห้องสมุดไป่ตู้
解得 k3 =2
如果两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，交点 的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个 二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的 点必是直线L1和L2的交点。
因此，两条直线是否相交，就要看这两条直线的方程
所组成的方程组
A1x A2 x
B1 y C1 0 B2 y C2 0
tan k2 k1 1 2 3 1 k1k2 11 2
arctan 3, arctan 3.
利用计算器或查表可得：θ≈108026′,α≈71034′
练一练：
1、求下列直线L1到L2的角与L2到L1的角：
⑴L1：y= 12·x+2；L2：y=3x+7
⑵L1：x－y=5，L2：x+2y－3=0
解：设L1，L2，L3的斜率分别为k1
Y
k2、k3，L1到L2的角是θ1，L2
L2
L3
到L3的角是θ2 ，则
θ2
k1
1 2 , k2
1
L1
O
X
tan1
k2 k1 1 k1k2
1
1 2
1 1
1 2
3
θ1
tan 2
k3 k2 1 k3k2
k3 1 1 k3
思考题：等腰三角形一腰所在直线L1的方程是x－2y－2=0， 底边所在直线L2的方程是x+y－1=0，点（－2，0）在另一 腰上，求这条腰所在直线L3的方程。（如下图）
数学之美：美丽的分形几何图形
两条直线的位置关系
——两条直线的交点与夹角
忆一忆：
当直线L1和L2有斜截式方程： L1：y=k1x+b1，L2： y =k2x+b2
L1∥L2
K1=K2 且b1 b2
L1⊥L2
K1×K2= -1
一、两条直线的交点
(一)两直线交点与方程组解的关系 设两直线的方程是 L1：A1x+B1y+C1=0，L2 ： A2x+B2y+C2=0．
tan k2 k1
1 k1k2
当直线L1⊥L2时，直线L1和L2的夹角是 2 。
夹角的范围： 00＜α≤900
三、应用：
3
例1：已知直线L1：y= －2x+3，L2：y=x－2
求L1到L2的角和L1、L2的夹角（用角度制表示）
解：由两条直线的斜率k1=－2，k2=1，得
tan k2 k1 1 2 3 1 k1k2 112
求 直线L1到L2的角为θ。 当 k1k2= －1 时，L1⊥L2
则θ= 。
2
当k1k2≠－1 时，
Y L2 θ L1
α1 α2
O
X
Y L1
θ α2 O
L2 α1
X
图一
图二
设L1，L2的倾斜角分别是α1和α2，则k1=tanα1，k2=tanα2 由图可知θ=α2－α1
或θ=π-（α1－α2）=π+（α2－α1）
1、看两直线的斜率是否都存在； 2、若都存在，看两直线是否垂直； 3、若两直线斜率都存在且不垂直
用公式求。
练习：已知直线L1：A1x+B1y+C1=0和L2：A2x+B2y+C2=0 （B1≠0，B2≠0，A1A2+B1B2≠0）直线L1到直线L2
的角是θ，求证: tan A1B2 A2 B1
到角的范围：
0,
注 意
“到角”具有方向 性！
θ2 θ1
L2 L1
做一做：
如图：湖州市在城市建设中，需过A地修一 条道路L1与原有的高速公路L2连接，且L1到L2高 速公路的角45度。由于设计者疏忽，在图纸上没 有标出L1，你能否在图纸上将L1标出，以使工程 能正常进行？
L1 L1
L2
是哪一条 呢？
A
练一练：
根据下列直线方程，在同一坐标系中作出直线L1，L2； 并标出L1到L2和L2到L1的角；同时探求两角的大小。
1、L1：y=x+1 L2:x=1
2、L1: y=x+1 L2: y= 3 x
L2
y
θ2 θ1
L1
y
θ1
L1
θ2
α11
α2
0
1
x
图一
α1 α2
0
x
L2 图二
已知两条相交直线 L1：y=k1x+b1，L2： y =k2x+b2。