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两直线的夹角
两直线的夹角
一 二.夹角的定义： 夹角的求法：
d2
d1
2 1
d d θ 1.余弦形式： 平面上两条直线相交时，构成了四个角。它们 θ 是两对对顶角。规定两条直线相交成的锐角（或直 L1 :a1x b1y c1 0 角）称为两直线的夹角。
如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0 设 L1 ， L2的 夹 角 为 α 。直线L 1 ， L2的 一 个 方 向 向 量 夹角的范围：[00 , 900] y 分别为： d1 ( b1 ,a1 ),d2 ( b 2 ,a 2 )y则 L2： L1 L1 π L2 α ； (1)若d1 ,d2夹角为θ [0 ， ]，则：α＝ α 2 x x π O O (2)若d1 ,d2夹角为θ ( , π)，则：α＝π -. 2 a1a 2 b1b 2 cosα ……夹角公式的余弦形式 2 2 2 2 a 1 b1 a 1 b 1
D A(- 5,3) B(0,6) B1
0
P(x,0)
C(0,2) C C O x O L B O O A(1,-2) B
x L xx
练习： 1.已 知 直 线 1 L ： 3x y 4 0 ,L 2 : mx 4y 7 0, 当m
0 为 何 值 时 ，1 L 与 L2夹 角 为 45 。
若直线L ，L2的斜率分别为k k2 (k1 k2 1) 1 1,
则： α＝θ θ 2 1
或： α＝π (θ θ 1 2)
x
O
k 2 k1 tanα 1 k 2 k1
……夹角公式的正切形式
π 注：当 k1 k 2＝ 1时，α＝ 。 2
例 2.已 直 线 L过 点 P（ 角 2 ， 3） ， 且另 与 直线 L ： x 3y 例5.已知B（0，6 ），C（0，2），在 x轴的负半轴上求 4.已知 知 正 方 形 AB CD的 对 角 线 AC在 直 线 x 2y 1 0 2 0 3.等 腰 RtΔ AB C的 直 顶 点 C和 一 点 B都 在 直 线 0 π 一点P，使 BPC最大，并求出最 大值。 上 ， 且 A（ 5， ， 3） ， 1， B（ m ,0） (m AB， 5), 求 顶 点 y B， C， 2x 3y 6 0上 A（ 2） ， 求 AC所 在 的 夹 角 为 ， 求 直 线 L的 方 程 。 y y y 3。 D的 直 线坐 的标 方 程 P(2, 3 ) L
一 二.夹角的定义： 夹角的求法：
d2
d1
2 1
d d θ 1.余弦形式： 平面上两条直线相交时，构成了四个角。它们 θ 是两对对顶角。规定两条直线相交成的锐角（或直 L1 :a1x b1y c1 0 角）称为两直线的夹角。
如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0 设 L1 ， L2的 夹 角 为 α 。直线L 1 ， L2的 一 个 方 向 向 量 夹角的范围：[00 , 900] y 分别为： d1 ( b1 ,a1 ),d2 ( b 2 ,a 2 )y则 L2： L1 L1 π L2 α ； (1)若d1 ,d2夹角为θ [0 ， ]，则：α＝ α 2 x x π O O (2)若d1 ,d2夹角为θ ( , π)，则：α＝π -. 2 a1a 2 b1b 2 cosα ……夹角公式的余弦形式 2 2 2 2 a 1 b1 a 1 b 1
D A(- 5,3) B(0,6) B1
0
P(x,0)
C(0,2) C C O x O L B O O A(1,-2) B
x L xx
练习： 1.已 知 直 线 1 L ： 3x y 4 0 ,L 2 : mx 4y 7 0, 当m
0 为 何 值 时 ，1 L 与 L2夹 角 为 45 。
若直线L ，L2的斜率分别为k k2 (k1 k2 1) 1 1,
则： α＝θ θ 2 1
或： α＝π (θ θ 1 2)
x
O
k 2 k1 tanα 1 k 2 k1
……夹角公式的正切形式
π 注：当 k1 k 2＝ 1时，α＝ 。 2
例 2.已 直 线 L过 点 P（ 角 2 ， 3） ， 且另 与 直线 L ： x 3y 例5.已知B（0，6 ），C（0，2），在 x轴的负半轴上求 4.已知 知 正 方 形 AB CD的 对 角 线 AC在 直 线 x 2y 1 0 2 0 3.等 腰 RtΔ AB C的 直 顶 点 C和 一 点 B都 在 直 线 0 π 一点P，使 BPC最大，并求出最 大值。 上 ， 且 A（ 5， ， 3） ， 1， B（ m ,0） (m AB， 5), 求 顶 点 y B， C， 2x 3y 6 0上 A（ 2） ， 求 AC所 在 的 夹 角 为 ， 求 直 线 L的 方 程 。 y y y 3。 D的 直 线坐 的标 方 程 P(2, 3 ) L
高二数学两条直线的夹角
A1A2+ B1B2
例3.等腰三角形一腰所在直线l1 的
方程是 x -2y –2=0 ，底边所在直线
l2 的方程是 x+y –1=0，点（- 2，0）
在另一条腰上，求这条腰所在直线
l3 的方程.
（图见黑板）
α的取值范围是（ 0，π2].
直线 l1：y = k1 x +b 1 、l2： y =
k2 x +b 2 ，的夹角为α，
若 1+k1 k2= 0时，α=
π
2
；
若 1+k1 k2≠ 0时，
பைடு நூலகம்
tanα=
k2 - k1 1+k2 k 1 .
约生长排列着五彩斑斓、风流寒酸的如同毒虫般的低矮植物和沉甸甸，轻飘飘，飘悠悠的怪异瓜果……两列高高的黑豹模样的闪着灵光的花柱在怪物丛中突兀而立，只 见从闪着灵光的花柱顶部垂下缕缕簇簇弧光般的光影，看上去仿佛深红色的流星伴随着深黄色的幻境飘飘而下……大道左侧不远处是一片乳白色的雪山，雪山旁边紫、 黑、红三色相交的林带内不时出现闪动的异影和怪异的叫声……大道右侧远处是一片水绿色的绿地，那里似乎还跳跃着一片墨灰色的风梅树林和一片纯蓝色的云榕树林 ……见有客到，随着一阵不易察觉的声响，大道两旁亮灰色的闪月钢基座上，正在喧闹的雾狗神和玉鹅魔立刻变成了一个个凝固的雕像……这时，静静的泉水也突然喷 出一簇簇、一串串直冲云霄的五光十色的钻石般的水柱和水泡般的水花……突然，满天遍地飞出数不清的彗星，顷刻间绚丽多姿的彗星就同时绽放，整个大地和天空立 刻变成了怪异的海洋……空气中瞬间游动出神奇的幽光之香……飞进主楼巍巍的淡橙色莲花形前门，无比空阔豪华的大厅让人眼前一亮，扑面而来的空气飘散着一种极 稀有的清亮幽香并能传出动听风声，这让人感觉有些迷茫怪异……大厅前方三尊超大的紫宝石色翡翠坐姿神像神态诡秘地笑着，好像想出了一个得意的妙计。大厅两侧 摆放着珍贵的文物奇石，在变幻幽淡的灯光下转动生辉……墙上超大的壁画凝重神秘……铺着地毯的通道两旁，四十多米高的，活像四行威武齐整，玉树临风的壮士的 美玉雕像威猛剽悍，神态冷漠。雕像之间八十多米高的，巨盆的葱绿色的秋角鼓锤形的霞虹奇花，肃穆而淡雅……抬头看去，大厅顶部上亿颗焰火雾淞般的梦幻吊灯， 把大厅装点得分外辉煌。大厅正面中央的宝座上仍然坐着主考官Ｙ．依佛奇兹首相两旁还是坐着那些副考官和监考官！一阵的钟声响过，主考官Ｙ．依佛奇兹首相站起 身来，然后看着蘑菇王子和知知爵士问道：“你们两个准备好没有？”蘑菇王子答道：“我们准备好了！”主考官Ｙ．依佛奇兹首相大声道：“那就开始吧！”Ｙ．依 佛奇兹首相刚刚说完，就见银橙色个穿着银橙色圣牛圣牛衣的司仪官同时用手朝空中一指，随着五道闪光，整个大厅像菊花一样展开怒放，然后纷纷向远方退去，逐渐 消失在地平线之下……接着只见一座几乎无底透明、正在凌空摇曳的巨大草根形运动场，发疯般地在蘑菇王子和知知爵士的脚下展现出来，而悬空摇曳的巨大运动场下 面竟然是一片壮丽空幽、清凉中有些温润的青远山色河滩！悬浮在半空的考场宏大巍峨、气势非凡，整个考场由八十座水滴形的青兰花色大型看台和一个东西长五公里 ，南北长六公
例3.等腰三角形一腰所在直线l1 的
方程是 x -2y –2=0 ，底边所在直线
l2 的方程是 x+y –1=0，点（- 2，0）
在另一条腰上，求这条腰所在直线
l3 的方程.
（图见黑板）
α的取值范围是（ 0，π2].
直线 l1：y = k1 x +b 1 、l2： y =
k2 x +b 2 ，的夹角为α，
若 1+k1 k2= 0时，α=
π
2
；
若 1+k1 k2≠ 0时，
பைடு நூலகம்
tanα=
k2 - k1 1+k2 k 1 .
约生长排列着五彩斑斓、风流寒酸的如同毒虫般的低矮植物和沉甸甸，轻飘飘，飘悠悠的怪异瓜果……两列高高的黑豹模样的闪着灵光的花柱在怪物丛中突兀而立，只 见从闪着灵光的花柱顶部垂下缕缕簇簇弧光般的光影，看上去仿佛深红色的流星伴随着深黄色的幻境飘飘而下……大道左侧不远处是一片乳白色的雪山，雪山旁边紫、 黑、红三色相交的林带内不时出现闪动的异影和怪异的叫声……大道右侧远处是一片水绿色的绿地，那里似乎还跳跃着一片墨灰色的风梅树林和一片纯蓝色的云榕树林 ……见有客到，随着一阵不易察觉的声响，大道两旁亮灰色的闪月钢基座上，正在喧闹的雾狗神和玉鹅魔立刻变成了一个个凝固的雕像……这时，静静的泉水也突然喷 出一簇簇、一串串直冲云霄的五光十色的钻石般的水柱和水泡般的水花……突然，满天遍地飞出数不清的彗星，顷刻间绚丽多姿的彗星就同时绽放，整个大地和天空立 刻变成了怪异的海洋……空气中瞬间游动出神奇的幽光之香……飞进主楼巍巍的淡橙色莲花形前门，无比空阔豪华的大厅让人眼前一亮，扑面而来的空气飘散着一种极 稀有的清亮幽香并能传出动听风声，这让人感觉有些迷茫怪异……大厅前方三尊超大的紫宝石色翡翠坐姿神像神态诡秘地笑着，好像想出了一个得意的妙计。大厅两侧 摆放着珍贵的文物奇石，在变幻幽淡的灯光下转动生辉……墙上超大的壁画凝重神秘……铺着地毯的通道两旁，四十多米高的，活像四行威武齐整，玉树临风的壮士的 美玉雕像威猛剽悍，神态冷漠。雕像之间八十多米高的，巨盆的葱绿色的秋角鼓锤形的霞虹奇花，肃穆而淡雅……抬头看去，大厅顶部上亿颗焰火雾淞般的梦幻吊灯， 把大厅装点得分外辉煌。大厅正面中央的宝座上仍然坐着主考官Ｙ．依佛奇兹首相两旁还是坐着那些副考官和监考官！一阵的钟声响过，主考官Ｙ．依佛奇兹首相站起 身来，然后看着蘑菇王子和知知爵士问道：“你们两个准备好没有？”蘑菇王子答道：“我们准备好了！”主考官Ｙ．依佛奇兹首相大声道：“那就开始吧！”Ｙ．依 佛奇兹首相刚刚说完，就见银橙色个穿着银橙色圣牛圣牛衣的司仪官同时用手朝空中一指，随着五道闪光，整个大厅像菊花一样展开怒放，然后纷纷向远方退去，逐渐 消失在地平线之下……接着只见一座几乎无底透明、正在凌空摇曳的巨大草根形运动场，发疯般地在蘑菇王子和知知爵士的脚下展现出来，而悬空摇曳的巨大运动场下 面竟然是一片壮丽空幽、清凉中有些温润的青远山色河滩！悬浮在半空的考场宏大巍峨、气势非凡，整个考场由八十座水滴形的青兰花色大型看台和一个东西长五公里 ，南北长六公
【数学课件】两条直线的位置关系---夹角
k3 1 1 k3
因为L1、L2、L3所围成的三角形 是等腰三角形，所以θ1=θ2
∴tanθ2=tanθ1= －3
k3 1 3 1 k3
解得 k3 =2 y=2 [ x－（－2）]
即2x－y+4 = 0
∴L3的方程是：2x－y+4 = 0
小 结：
1、L1到L2的角和L1与L2的夹角的定义； “到角有序，夹角无序”
或θ=π-（α1－α2）=π+（α2－α1）
∴tanθ=tan（α2－α1）或tanθ=tan π+（α2－α1） =tan（α2－α1）
tan tan2 tan1 k2 k1 1 tan2 tan1 1 k1k2
直线L1到L2的角公式：
tan k2 k1
2、求下列两条直线的夹角： ⑴y=3x－1，y=－1/3 ·x+4 （900）
⑵x－y=5；y=4，
（450）
⑶y=2x+1 ; x=2
(π/2-arctan2)
注意！！
求两条直线的到角和夹角的步骤：
1、看两直线的斜率是否都存在； 2、若都存在，看两直线是否垂直； 3、若两直线斜率都存在且不垂直
用公式求。
L1 L1
L2
是哪一条 呢？
A
一、直线L1到L2的角：
直线L1按逆时针方向旋转到与L2重合时所转的角，
叫做L1 到 L2的角。 图中θ1是L1到L2的角， θ2是L2到L1的角。
1 2
到角的范围：
0,
注 意
到角具有方向性！
θ2 θ1
L2 L1
做一做：
如图：德州市在城市建设中，需过A地修一 条道路L1与原有的高速公路L2连接，且与高速公 路成45度的角。由于设计者疏忽，在图纸上没有 标出L1，你能否在图纸上将L1标出，以使工程能 正常进行？
高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 课件
11.3 两条直线的夹角
我们已经学习了两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢？
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
系数确定直线的方程，方程确定直线及其位置， 所以可以利用方程系数来计算夹角。
例1
例2
例3
为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路遥 知马力，日久见人心！
身体健康，学习进步！ 漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。
合理安排时间，就等于节约时间。——培根 书都读得来的人，还怕有什么做不来的。 能说不能做，不是真智慧。 一分耕耘，一分收获。孩子们，你想明天收获幸福吗？那今天就努力学习吧。——刘玉春
小结
本节课学习了哪பைடு நூலகம்内容？
萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 小时候画在手上的表没有动，却带走了我们最好的时光。 你身边总有这样一种人：你成功了，他（她）当面恭喜你，暗地里妒嫉你；你失败了，他（她）当面安慰你，背地里笑话你。 通过云端的道路，只亲吻攀登者的足迹。 君子赠人以言，庶人赠人以财。——荀况 我的财富并不是因为我拥有很多，而是我要求的很少。 要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃 时间总会过去的，让时间流走你的烦恼吧！ 这个是世界上没有天才，所谓的天才只是比普通人多了百分之一的天赋。如果这个天赋运用不好，那么他就可能变成百分之十的累赘。 如果要给美好人生一个定义，那就是惬意。如果要给惬意一个定义，那就是三五知己、谈笑风生。 世上的事，不如己意者，那是当然的。 生命假如给予你的是一颗柠檬，不要抱怨，下工夫把它榨成一杯柠檬汁吧。 当你被压力压得透不过气来的时候，记住，碳正是因为压力而变成闪耀的钻石。 愚痴的人，一直想要别人了解他。有智慧的人，却努力的了解自己。
两条直线的 夹角
θ的取值范围是（0,π）.
设l1 到l2 的角是θ1， l2到 l1的角是θ2，
则θ1与θ2不一定相同，它们的关系是：
θ1+θ2= π其中θ1，θ2∈（0， π）
直线l1的斜率存在而直线l2的斜率不存在
y l2 l1
y l1
l2
1
1
2
o
x
1
2 o
1 x
1
2
1
1
2
1
求“两条直线的夹角 ”
l2
l1
l1
l2
设直线 l1：y = k1 x +b 1 、l2： y = k2 x +b2 ，
的夹角为α， l1 到l2 的角是θ1， l2到 l1的角
是θ2 若 若
1+k1 1+k1
k2= k2≠
0时， 0时，
2
1
2
tg1
k2 1
k1 k2k1
l2
:
y
x
1 5 0 l2 : 2x 3y 1 0
(3) l1 : x 5 0
l2 : 2x 4y 3 0
(4) l1 : 2 y 3 0
l2 : x 3y 2 0
例2、已知锐角△ABC的三边所在的 直线方程为：lAB:y=x+6; lBC:y=0; lCA:7x+4y-35=0,求△ABC 的三个内角。
1 ( 1) 1
8 11
26
tg 2
km k2 1 km k2
(
1 2
)
设l1 到l2 的角是θ1， l2到 l1的角是θ2，
则θ1与θ2不一定相同，它们的关系是：
θ1+θ2= π其中θ1，θ2∈（0， π）
直线l1的斜率存在而直线l2的斜率不存在
y l2 l1
y l1
l2
1
1
2
o
x
1
2 o
1 x
1
2
1
1
2
1
求“两条直线的夹角 ”
l2
l1
l1
l2
设直线 l1：y = k1 x +b 1 、l2： y = k2 x +b2 ，
的夹角为α， l1 到l2 的角是θ1， l2到 l1的角
是θ2 若 若
1+k1 1+k1
k2= k2≠
0时， 0时，
2
1
2
tg1
k2 1
k1 k2k1
l2
:
y
x
1 5 0 l2 : 2x 3y 1 0
(3) l1 : x 5 0
l2 : 2x 4y 3 0
(4) l1 : 2 y 3 0
l2 : x 3y 2 0
例2、已知锐角△ABC的三边所在的 直线方程为：lAB:y=x+6; lBC:y=0; lCA:7x+4y-35=0,求△ABC 的三个内角。
1 ( 1) 1
8 11
26
tg 2
km k2 1 km k2
(
1 2
)
两条直线的夹角(2020年整理).ppt
11.3-2两条直线的夹角
例2.已知直线l 经过点P(-2,1),与直线l0：3x-4y+5=0
的夹角为arccos 3 ，求直线l 的方程。 5
y
•P(2,1)
o
x
10:57:33
11.3-2两条直线的夹角
练习1
1.已知直线l经过原点，且与直线 y 3x 1
的夹角为
6
，求直线l的方程；
10:57:33
a2 + 12 ? 12 (- a)2
2
10:57:33
典型例题
11.3-2两条直线的夹角
例2.已知直线l 经过点P(-2,1),且与直线l0：3x-4y+5=0
的夹角为arccos 3 ，求直线l 的方程。
解:
5 1）直线斜率不存在时，验证知x+2＝0也满足题意;
2）当直线斜率存在时，设直线方程为y-1=k(x+2),
(3)l1 : y 3x 12,l2 : x y 0;
解：l1的方程化为一般式为：3x+y-12=0 根据 l1与l2的方程及两直线夹角公式可得:
cos 311 (1) 5
(1)2 32 12 (1)2 5
因为 0，,所2 以
arccos 5
5
即直线
10:57:33
l1和
l2的夹角为
为 l1与 l2的方向向量. 由向量的夹角公式得: cos
uur uur duur1 udur2
a1a2 b1b2
由cos cos
d1 d2
a12 b12 a22 b22
所以两直线的夹角公式: cos
a1a2 b1b2
问题:此时角 是唯一确定的吗?
两条直线的夹角
直线夹角 的大小. uur
uur
解:根据l1与l2的方程,取 d1 (b1, a1), d2 (b2, a2 )
为 l1与 l2的方向向量. 由向量的夹角公式得: cos
uur uur duur1 udur2
a1a2 b1b2
由cos cos
d1 d2
a12 b12 a22 b22
所以两直线的夹角公式: cos
典型例题
例1.求下列各组直线的夹角 ：
(2)l1 : 3x y 12 0,l2 : x 0;
解：（2）根据l1与l2的方程及两直线夹角公式可得:
cos 311 0 3 10
(1)2 32 12 02 10
因为 0，,所2 以
arccos 3 10
10
即直线
l1 和
l2 的夹角为
p
cos a =
= 0, \ a =
a2 + 12 ? 12 (- a)2
2
05:21:23
典型例题
例2.已知直线l 经过点P(-2,1),且与直线l0：3x-4y+5=0
的夹角为arccos 3 ，求直线l 的方程。
解:
5 1）直线斜率不存在时，验证知x+2＝0也满足题意;
2）当直线斜率存在时，设直线方程为y-1=k(x+2),
三、两直线夹角公式的推导 uur uur
两直线 l1、l2的夹角为 ;方向向量 d1、d2的夹角为
若 时: 若 为钝角时:
2
d1
于是得:cos cos
y
yd1
d2
d2
l2
d
x
2
l2
x
d1
o l1
直线与直线的夹角
角度计算
通过测量直线与直线的夹 角，可以计算其他角度， 如三角形中的角度、多边 形的内角和等。
空间几何
在三维空间中，直线与直 线的夹角是确定物体位置 和方向的重要参数，如方 向向量、法向量等。
建筑学中的夹角
建筑设计
建筑师在设计中会考虑到结构稳 定性、美观性和功能性，而直线 与直线的夹角是影响这些因素的
垂直线的夹角
总结词
垂直线之间的夹角为90度。
详细描述
当两条直线垂直时，它们之间的夹角为90度。这是因为垂直线与水平线垂直，形成直角，所以它们的 夹角为90度。
特殊角度的直线夹角
总结词
当两条直线之间的夹角为45度或135度时，它们是特殊角度的直线夹角。
详细描述
当两条直线之间的夹角为45度或135度时，它们形成特殊的直线夹角。这些角 度在几何学中具有特殊性质，常常用于解决几何问题或构造特殊的图形。
利用几何定理计算夹角
总结词
几何定理提供了一种直观的方式来计算直线与直线的夹角。这种方法通常适用于二维平 面上的直线。
详细描述
我们可以使用几何定理中的“角平分线定理”来计算夹角。这个定理告诉我们，如果一 条线段被两条直线所平分，那么这两条直线与线段所形成的角是相等的。通过这个定理
，我们可以找到两条直线的夹角。
夹角的范围
直线与直线的夹角范围是$0^{circ}$ 到$180^{circ}$，不包括$0^{circ}$ 和$180^{circ}$。
当两条直线垂直时，夹角为 $90^{circ}$；当两条直线平行或重合 时，夹角为$0^{circ}$或$180^{circ}$。
夹角的计算方法
计算直线与直线的夹角需要使 用三角函数和斜率的概念。
高一数学-《夹角和距离公式》课件
角时可以在两条异面直线上分别取出两个向量，通过求这两个向量所成的角来求异面直线所
成的角，但需注意异面直线所成角范围(0°，90°]，注意这两个角相互转化时范围的不同．
知识要点二：线段的长度的求法
1．利用 a·a＝|a|2 求有关线段的长度；
2．利用两点间的距离公式来求．
知识要点三：对平面法向量的理解 1．所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然，一个平面的法向 量有无数多个，它们是共线向量．由于过直线外一点作与已知直线垂直的平面有且只有一个， 因此，在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a，那么以向量 a 为法向量且经过 A 的平面是唯 一确定的． 2．求平面法向量的方法 (1)方法一：找到一条与已知平面垂直的直线，则该直线的任意方向向量都是该平面的法 向量． (2)方法二：待定系数法 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求 解，一般步骤如下： ①设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)． ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)． ③根据法向量的定义建立关于 x、y、z 的方程组
答案：x＜－4
知识要点一：异面直线所成角的求法
1．几何法：即先根据异面直线所成角的定义，在给定的图形中找出或作出角，然后再
加以证明，最后在一个三角形中进行计算．上述过程即“作—证—求”三步．
2．向量法：即利用
cos θ＝|aa|·|bb|＝
x1x2＋y1y2＋z1z2 x21＋y21＋z21· x22＋y22＋z22
中的一个变量赋予一个特值，即可确定平面的一个法向量．赋的值不同，所求平面的法向量 就不同，但它们是共线向量．
3．应用平面的法向量解决线面平行、面面平行问题 (1)设直线 l 的方向向量是 a，平面 α 的法向量是 u，则要证明 l∥α，只需证明 a⊥u，即 a·u＝0. (2)若能求出平面 α、β 的法向量 u、v，则要证明 α∥β，只需证明 u∥v.
两直线夹角课件
通过两直线的夹角，可以判断两条直 线是否平行、垂直或相交，从而确定 它们在几何图形中的位置关系。
通过两直线的夹角，可以构建出各种 几何图形，如三角形、四边形等。
计算角度
两直线夹角的大小可以通过几何计算 得到，可以用于计算其他角度或几何 量。
在解析几何中的应用
01
02
03
解析表达
两直线的夹角可以用解析 几何的方法表示，通过坐 标系和向量的运算来计算 。
02
两直线夹角的计算方法
利用三角函数计算直线夹角
总结词
通过利用三角函数中的正切、余切等函数，可以计算出两条直线线的斜率。然后，使用三角函数中的正切或余切函 数，将两个斜率相除，得到一个比值。最后，使用反正切函数来计算这个比值 对应的角度，即为两条直线的夹角。
电磁波的传播
在电磁学中，两直线夹角可以用于 表示电磁波的极化方向和传播方向 ，特别是在研究电磁波的干涉和衍 射等现象时。
04
两直线夹角的性质
直线夹角的性质定理
定理1
两直线夹角的大小与两直线的方向向量或方向模有关 ，具体为$theta = arccos(frac{overset{longrightarrow}{u} cdot overset{longrightarrow}{v}}{|overset{longrightarro w}{u}||overset{longrightarrow}{v}|})$，其中 $overset{longrightarrow}{u}$和 $overset{longrightarrow}{v}$分别是两直线的方向向 量。
利用向量计算直线夹角
总结词
通过向量的数量积和向量的模长，可以计算出两条直线的夹 角。
详细描述
两条直线所成的角PPT教学课件
初三语文组
基本目标
• 感受诗词经典，追溯文化渊源; • 提高审美品位，积蓄典雅语言。
要点与方法：
• 节律是特征，朗读以凸显之。 • 意象是风景，想像以再现之。 • 情感是灵魂，体验以沟通之。 • 语言是珍品，玩味以珍藏之。
五个环节
• 一、朗读全诗，力求读准——感知作品 • 二、弄懂字词，理顺语句——疏通作品 • 三、揣摩意象，领略意境——领会作品 • 四、自我感受，独特体验——感悟作品 • 五、赏析技巧，品味语言——鉴赏作品
—骆宾王
触景生情：
昔人已乘黄鹤去， 此地空余黄鹤楼。 黄鹤一去不复返， 白云千载空悠悠。 晴川历历汉阳树， 芳草凄凄鹦鹉洲。 日暮乡关何处是？ 烟波江上使人愁。 —崔颢《黄鹤楼》
绘景言志：
东临碣石，以观沧海。 水何澹澹，山岛竦峙。 树木丛生，百草丰茂。 秋风萧瑟，洪波涌起。 日月之行，若出其中， 星汉灿烂，若出其里。 幸甚至哉，歌以咏志。 —曹操《观沧海》
y
x o
提问：１.解析几何中怎样判断两条直线的平 行和垂直？
直线的斜率 或 以方程的特点观察
２、区分以下两组直线的相交程度用什
么量刻画？
２
１
４３
两条直线所成的角
想一想 ？
观察下列两组相交直线，自己下定义以便区
分两组对顶角
l2
l4
2
3
1
4
甲
l1
2
3 1
4
乙
l3
一、概念的建立
1、l1到 l2角的定义
• 第二、“画意”揣摩。即探寻画面所蕴含 的意义及作者所要表达的思想感情，这是由画 面向画意的转化；越是客观本然，越是符合作 者本意就越好。
• 第三、“画源”追溯。一种情况是意象成 因的分析，如周振甫先生就曾对杜甫<春夜喜 雨>的意象形成，作过具体阐释。另一种情况 是对作者心路历程的追寻，即要知道作者是在 怎样的生活背景和心理情绪下写出这一作品的 。
两条直线的夹角
11.3两条直线的夹角(2)教学目标理解直线夹角公式的推导，能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法..通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力教学重点理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角教学难点理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角教学方法师生互动教学过程设计说明引入1．引例：判断下列各组直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标（课本p16例1）．（1）01243:1=-+yxl，01127:2=--yxl；（2）01243:1=--yxl，3:2=xl；（3）01243:1=--yxl，0586:2=+-yxl．解：（参考课本p16~17）[说明]复习判断两直线的平行、重合、相交，以及求相交直线的交点坐标的方法.由此引出新的课题.思考并回答下列问题1．（对于上述（1）、（2）这样），当两条直线相交时，用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢？教具演示：两条直线相交，使其中一条直线绕定点旋转，让学生观察这两条直线的关系.解答：两条直线的夹角.2．回顾旧知：在初中平面几何中“两直线夹角”的定义是什么？解答：角是有公共端点的两条射线所组成的几何图形（如右图）．[说明]在复习旧知的基础上引人新课.概念分析关于两直线的夹角1、概念形成两条直线的夹角如右图，两条直线相交，一共构成几个角？它们有什么关系？怎样定义两条直线的夹角呢？平面上两条直线1l和2l相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，而两条相交直线夹角的取值范围是（]2,0π.现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出两条直线的方程时，它们的相对位置就确定了，它们的夹角也随之确定，那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢？[说明]①为什么规定锐角或直角为两直线的夹角，说明其合理性；②提出问题，给学生造成认知冲突，激发学生探索欲2、夹角公式的推导分析：直线的方向——方向向量——斜率——倾斜角——夹角之间的关系.由于直线的方向是由直线的方向向量或者斜率决定的，下面我们借助于这两条直线的方向向量来求得两直线的夹角. [说明] 引导学生画图分析，寻找夹角、倾斜角、方向向量之间的关系.通过类比，寻求思路. 设两条直线的方程分别为1l ：111=++c y b x a （11,b a 不全为零）2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）.设1l 与2l 的夹角为α，1l 与2l 的一方向向量分别为1d 与2d ，其夹角为θ，且1d =),(11a b -,2d =),(22a b -，当]2,0[πθ∈时，则θα=如图甲所示;当],2(ππθ∈时，则θπα-=,如图乙所示.于是得:2222212121212121|||||||||cos |cos b a b a b b a a d d d d +⋅++=⋅⋅==θα.即为直线1l 与2l 的夹角公式.特别地,当且仅当02121=+b b a a 时, 1l 与2l 的夹角为2π,即1l 与2l 垂直.也就是说:1l ⊥2l ⇔1d 垂直2d ⇔1n 垂直2n ⇔02121=+b b a a (其中1n ,2n 分别为1l 与2l 的一个法向量)补角；③小题（2）,注意结合图形,正确取舍课堂练习练习11.3（2）----1,3课堂小结1．本节课研究了两条直线的夹角，推导出两条直线的夹角公式的方法，要理解、体会其中的思想方法；2．会用两条直线垂直的充要条件解决与垂直有关的问题；3．熟练运用夹角公式求两条直线的夹角.注意不垂直的两条相交直线的夹角为锐角；4．进一步讨论了求直线方程的方法：运用待定系数法时，可设直线方程为点法向式、或点斜式方程，而在用点斜式方程时，需要分类讨论.作业1、书面作业：练习11.3（2）----2,4习题11.3 A组----10,11,122、思考题：光线沿直线l1：022=-+yx照射到直线l2：022=++yx上后反射，求反射线所在直线3l的方程.解由)2,2(2222-⎩⎨⎧=++=-+，得反射点的坐标为yxyx.设3l的方程为0)2()2(=++-ybxa（其中),(ban=为一法向量，ba,不同时为零）由反射原理,直线1l与2l的夹角等于2l与3l的夹角，得babababa211252552222-==⇒+⋅+=⋅+或,舍去ba2=(否则与l1重合) ,所以ba112-=,得3l的方程为26112=--yx.3．思考题：在y轴的正半轴上给定两点A（0，a），B（0，b），点A在点B上方，试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取到最大值. 答：abC=.[说明] ①作业1是课本习题，通过它来反馈知识掌握效果，巩固所学知识，强化基本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；②作业2、3设计成思考题，是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间，学生可以根据实际情况选用.。
空间中直线与直线所成的角(夹角)
感谢您的观看
THANKS
详细描述
当两条重合的直线在空间中相交，它 们之间的夹角是0度。这是因为重合的 直线实际上是同一条直线，所以它们 在任何点处的角度都是相同的。
05
直线与直线所成的角的计算 方法
利用三角函数计算角度
总结词
利用三角函数计算直线与直线所成的角度，需要知道直线的 倾斜角，然后通过三角函数关系计算出两直线之间的夹角。
详细描述
首先，我们需要确定两条直线的倾斜角。然后，使用三角函数 中的正切或余切函数，通过两条直线的斜率来计算它们之间的 夹角。具体地，设两直线的斜率为k1和k2，夹角为θ，则有 tan(θ/2) = |k2 - k1| / (1 + k1 * k2)。
利用向量计算角度
总结词
通过向量的点积和模长来计算直线与 直线所成的角度。首先，我们需要将 直线表示为向量，然后利用点积公式 和向量的模长来计算两向量之间的夹 角。
夹角的几何意义在解 析几何、射影几何等 领域有着广泛的应用。
夹角的大小反映了直 线之间的倾斜程度。
03
直线与直线所成的角的实际 应用
空间几何问题
确定物体位置关系
在空间几何问题中，通过 计算两条直线所成的角， 可以确定物体之间的相对 位置关系。
判断形状和性质
通过分析直线之间的夹角， 可以判断几何形状的性质， 如平行、垂直、相交等。
通过作出的几何图形，利 用量角器或三角板测量夹 角的度数。
利用向量计算
通过向量的点积和模长， 利用向量公式计算夹角的 余弦值，从而得出夹角的 度数。
02
直线与直线所成的角的性质
角度的范围
01
02
03
04
直线与直线所成的角， 其角度范围在0°到180° 之间。
两条直线的夹角
法二：设直线的一个法向量为 n (a, b) ,则直线 l 的点法向式方程为a( x 2) b( x 3) 0
k 3
整理得: ax by 2a
因为 l与 l0 的夹角为
3b 0
,由两直线夹角公式得：
3
11.3-2两条直线的夹角
1 cos 2 2 3 2 1 3 a b 整理得: a 3b a 2 b 2 2 即: b1 3a1b1 当 b 0 时直线 l 的方程为 x 2 0
于是得: cos cos
d1 y d2
d1 y d2
x
l2
l2
l1
1)
o
l1
2)
o
x
〔解决数学问题〕
11.3-2两条直线的夹角
问题一: 二条直线：l1 : a1 x b1 y c1 0 直线夹角 的大小.
l2 : a2 x b2 y c2 0
因为 0， ,所以 4 2 即直线 l1 和 l2 的夹角为 4
〔练习与评价〕
11.3-2两条直线的夹角
1、求下列直线的夹角。
(1)l1 : 3x y 1 0, l2 : x 3 y 4 0 (2)l1 : x y 1 0, l2 : x 2
〔应用数学知识〕
11.3-2两条直线的夹角
1.已知两直线方程分别为 l1 : 3x y 2 0, l2 : 2x y 3 0
求两直线的夹角 ．
解:根据 l1与 l2的方程及两直线夹角公式可得:
2 cos 2 (1)2 32 12 22
k 3
整理得: ax by 2a
因为 l与 l0 的夹角为
3b 0
,由两直线夹角公式得：
3
11.3-2两条直线的夹角
1 cos 2 2 3 2 1 3 a b 整理得: a 3b a 2 b 2 2 即: b1 3a1b1 当 b 0 时直线 l 的方程为 x 2 0
于是得: cos cos
d1 y d2
d1 y d2
x
l2
l2
l1
1)
o
l1
2)
o
x
〔解决数学问题〕
11.3-2两条直线的夹角
问题一: 二条直线：l1 : a1 x b1 y c1 0 直线夹角 的大小.
l2 : a2 x b2 y c2 0
因为 0， ,所以 4 2 即直线 l1 和 l2 的夹角为 4
〔练习与评价〕
11.3-2两条直线的夹角
1、求下列直线的夹角。
(1)l1 : 3x y 1 0, l2 : x 3 y 4 0 (2)l1 : x y 1 0, l2 : x 2
〔应用数学知识〕
11.3-2两条直线的夹角
1.已知两直线方程分别为 l1 : 3x y 2 0, l2 : 2x y 3 0
求两直线的夹角 ．
解:根据 l1与 l2的方程及两直线夹角公式可得:
2 cos 2 (1)2 32 12 22
两直线的夹角
③若光线从点P(2,3)射入，遇到直线n：2x+y-4=0后反射，且 反射光线经过点Q(8,3)，求入射光线和反射光线的方程。
l 1到l 2的角(l 2到l 1的角) l 1与l 2的夹角(所成的角)
(0，π)
l 1与l 2的夹角(所成的角)
( 0O ，90 O ］
1、两线垂直时夹角=到角=90 O 2、两线斜率存在且不垂直时：
A1 B1 C1 A2 B2 C2
l 1与 l 2垂直
A1A2+B1B2=0
所 学 知 识 的 回 顾
l 1到l 2的角
？
l 2到l 1的角 l 2与l 1的夹角
它们的关系？范围？
l 1与l 2的夹角
(0，π) y l2 θ1
M
( 0O ，90 O ］
1、两线垂直时夹角=到角=90 O 2、若l1到l2所成的角θ∈(00,900］时， 夹角=θ 3、两线斜率存在且不垂直时：
两直线的夹角
？
l 1 : A1x+B1y+C1=0
l 1与 l 2相交
l 1与 l 2平行
l 2 : A2x+B2y+C2=0 A1 B1 A1B2≠A2B1 A2 B2
A1B2-A2B1=0，B1C2-B2C1≠0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
l 1与 l 2重合
A1B2-A2B1=0，B1C2-B2C1=0
③等腰△一腰所在直线m的方程是x-2y-2=0，底边所在直线 n的方程是x+y-1=0，点(-2,0)在另一腰上，求这条腰l 所在的直 线方程。
例2：①求直线m：x-y-2=0关于直线n：x+2y+1=0对称的直线 方程。
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到角的范围：
0,
注 意
“到角”具有方向 性！
θ2 θ1
L2 L1
做一做：
如图：湖州市在城市建设中，需过A地修一 条道路L1与原有的高速公路L2连接，且L1到L2高 速公路的角45度。由于设计者疏忽，在图纸上没 有标出L1，你能否在图纸上将L1标出，以使工程 能正常进行？
L1 L1
L2
是哪一条 呢？
数学之美：美丽的分形几何图形
两条直线的位置关系
——两条直线的交点与夹角
忆一忆：
当直线L1和L2有斜截式方程： L1：y=k1x+b1，L2： y =k2x+b2
L1∥L2
K1=K2 且b1 b2
L1⊥L2
K1×K2= -1
一、两条直线的交点
(一)两直线交点与方程组解的关系 设两直线的方程是 L1：A1x+B1y+C1=0，L2 ： A2x+B2y+C2=0．
A2 A2 B1B2
证明：设两条直线L1，L2的斜率分别为k1、k2，则
k1
A1 B1
, k2
A2 B2
tan
k2 k1 1 k1k2
A2
A1
B2
B1
1 A2
A1
B2
B1
A1B2 A2 B1 A2 A2 B1B2
思考题：等腰三角形一腰所在直线L1的方程是x－2y－2=0， 底边所在直线L2的方程是x+y－1=0，点（－2，0）在另一 腰上，求这条腰所在直线L3的方程。（如下图）
A
练一练：
根据下列直线方程，在同一坐标系中作出直线L1，L2； 并标出L1到L2和L2到L1的角；同时探求两角的大小。
1、L1：y=x+1 L2:x=1
2、L1: y=x+1 L2: y= 3 x
L2
y
θ2 θ1
L1
y
θ1
L1
θ2
α11
α2
0
1
x
图一
α1 α2
0
x
L2 图二
已知两条相交直线 L1：y=k1x+b1，L2： y =k2x+b2。
tan k2 k1 1 2 3 1 k1k2 11 2
arctan 3, arctan 3.
利用计算器或查表可得：θ≈108026′,α≈71034′
练一练：
1、求下列直线L1到L2的角与L2到L1的角：
⑴L1：y= 12·x+2；L2：y=3x+7
⑵L1：x－y=5，L2：x+2y－3=0
求 直线L1到L2的角为θ。 当 k1k2= －1 时，L1⊥L2
则θ= 。
2
当k1k2≠－1 时，
Y L2 θ L1
α1 α2
O
X
Y L1
θ α2 O
L2 α1
X
图一
图二
设L1，L2的倾斜角分别是α1和α2，则k1=tanα1，k2=tanα2 由图可知θ=α2－α1
或θ=π-（α1－α2）=π+（α2－α1）
∴tanθ=tan（α2－α1）或tanθ=tan π+（α2－α1） =tan（α2－α1）
tan tan2 tan1 k2 k1 1 tan2 tan1 1 k1k2
直线L1到L2的角公式：
tan k2 k1
1 k1k2
注意：k1与 k2的顺序！
二、直线L1与L2的夹角：
当直线L1与L2相交但不垂直时，在θ和π－θ中有且仅 有一个角是锐角，我们把其中的锐角叫两直线的夹角， 记夹角为α。 直线L1与L2的夹角公式：
解：设L1，L2，L3的斜率分别为k1
Y
k2、k3，L1到L2的角是θ1，L2
L2
L3
到L3的角是θ2 ，则
θ2
k1
1 2 , k2
1
L1
O
X
tan1
k2 k1 1 k1k2
1ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
1 1
1 2
3
θ1
tan 2
k3 k2 1 k3k2
k3 1 1 k3
思考题：等腰三角形一腰所在直线L1的方程是x－2y－2=0， 底边所在直线L2的方程是x+y－1=0，点（－2，0）在另一 腰上，求这条腰所在直线L3的方程。（如下图）
1、看两直线的斜率是否都存在； 2、若都存在，看两直线是否垂直； 3、若两直线斜率都存在且不垂直
用公式求。
练习：已知直线L1：A1x+B1y+C1=0和L2：A2x+B2y+C2=0 （B1≠0，B2≠0，A1A2+B1B2≠0）直线L1到直线L2
的角是θ，求证: tan A1B2 A2 B1
没有解 平行。
2．(教材第35页，1．9练习第2题)判断 下列各对直线的位置关系，如果相交， 则求出交点的坐标：
1相交 2重合 3平行
一、直线L1到L2的角：
直线L1按逆时针方向旋转到与L2重合时所转的角，
叫做L1 到 L2的角。 图中θ1是L1到L2的角， θ2是L2到L1的角。
1 2
是否有唯一解．
例1 求下列两条直线的交点：
L1：3x+4y-2=0， L2： 2x+y+2=0
．解：方程组32xx
4y2 0 y20
x
y
2 2
∴L1与L2的交点是M(-2，2)．
推广：
方程组
A1x A2 x
B1 y C1 0 B2 y C2 0
有唯一解 相交；
有无数解 重合；
如果两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，交点 的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个 二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的 点必是直线L1和L2的交点。
因此，两条直线是否相交，就要看这两条直线的方程
所组成的方程组
A1x A2 x
B1 y C1 0 B2 y C2 0
tan k2 k1
1 k1k2
当直线L1⊥L2时，直线L1和L2的夹角是 2 。
夹角的范围： 00＜α≤900
三、应用：
3
例1：已知直线L1：y= －2x+3，L2：y=x－2
求L1到L2的角和L1、L2的夹角（用角度制表示）
解：由两条直线的斜率k1=－2，k2=1，得
tan k2 k1 1 2 3 1 k1k2 112
因为L1、L2、L3所围成的三角形
是等腰三角形，所以θ1=θ2
L2
Y
L3
∴tanθ2=tanθ1= －3
θ2
k3 1 3
L1
1 k3
O
X
θ1
解得 k3 =2
(L1到L2的角450 L2到L1的角1350 ） （L1到L2的角为π－arctan3，L2到L1的角为arctan3）
2、求下列两条直线的夹角：
⑴y=3x－1，y=－1 ·x+4 ⑵x－y=5；y=4，3 ⑶y=2x+1 ; x=2
（900）
（450）
( -arctan2)
2
注意！！
求两条直线的到角和夹角的步骤：