异面直线及其夹角课件
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异面直线及其夹角 PPT课件 3 人教课标版
•
38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。
•
39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。
•
40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。
•
41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。
•
42、自信人生二百年，会当水击三千里。
•
43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。
•
30、经验是由痛苦中粹取出来的。
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31、绳锯木断，水滴石穿。
•
32、肯承认错误则错已改了一半。
•
33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。
•
34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。
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35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。
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36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。
•
37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。
11
1
1
11
②由BB 1 直线 CC
∥CC 1 可知，∠ B1BA1 1 的夹角，所以BA 1 与
等于异面直线 BA
CC 1 的夹角为45 0
1与
③直线AB,BC,CD,DA, A 1B 1,B 1C 1,C 1D 1,D 1A 1都与 AA 1
垂直。
练习：①两条异面直线是指（D）
A、 在空间中不相交的两条直线。
D.平行、相交或异面
2．垂直与同一直线的两条直线的位置关系时（）D
A.平行
B.异面
C.平行或异面
D.平行、相交或异面
3. 如 图 ， 长 方 体 中 ⑴ 哪 些 棱 所 在
直 线 与 直 线 AA1 成 异 面 直 线 且 互
高二数学异面直线及其夹角课件
平行、相交、异面.
（1）从公共点的数目来看，可分为： ①有且只有一个公共点则两直线相交 两直线平行 ②没有公共点则
两直线为异面直线 （2）从是否共面来讲，可分为： 两直线相交 ①在同一平面内 两直线平行 ②不在同一平面内则两直线为异面直线
在空间四边形ABCD中，点E、F分别为CD、
异面直线 BC的中点，则直线AB和EF是两条________
2
].
4、如果两条异面直线a、b所成角是直角，那么 我们就说两条直线互相垂直，仍记作a⊥b.
六、求解异面直线所成角的思维方法 以及步骤：
1、作（找）角：平移相交，体现了空间 到平面的化归思想. 2、求角：灵活构建角所在三角形，求 解三角形.
七、小结：
1. 异面直线的概念. 2. 空间两直线的位置关系. 3. 异面直线的判定定理. 4. 异面直线所成的角. 5. 求解异面直线所成角的思维方法以及步骤.
八、课后作业： 1、做好复习；
2、查阅书籍或上网查找关于异面直线的判 定定理的证明，参考网址：
F
B
则∠FB1C(或其补角)即为异面直线 C AE与B1C所成的角. 连接FC， 在Δ FB1C中, FB1=FC= 22 12 5, B1C= 22 22 2 2, 由余弦定理得
10 即异面直线AE与B1C所成角的余弦值为 5
FB12 +B1C2 -FC 2 10 cos FB1C= 2FB1 B1C 5
直线A1C1和BD1的位置关系是什么？
D1
C1
A1
B1
D
A
C
B
四、异面直线的画法
b
b
b a
a
《异面直线及其夹角》课件
异面直线的性质研究
目前，对于异面直线的性质研究已经取得了一定的成果，但还有很多未知领域等待探索。例如，异面直线之间的夹角 性质、异面直线的对称性等都是值得深入研究的问题。
异面直线的计算方法
随着计算机技术的发展，计算几何逐渐成为数学领域的一个重要分支。对于异面直线的计算方法研究， 可以进一步促进计算几何的发展，为解决实际问题提供更有效的工具。
的。
不变性
无论两条异面直线的位置如何变 化，它们在同一平面内的射影之
间的夹角保持不变。
异面直线夹角的计算方法
01
投影法
将两条异面直线投影到同一平面内，然后计算它们在该平面内的射影之
间的夹角。
02 03
向量法
利用向量的数量积和向量的模长来计算两条异面直线的夹角。首先求出 两条异面直线的方向向量，然后计算这两个方向向量的数量积和模长， 最后利用公式计算夹角。
异面直线的夹角
异面直线之间的夹角是指这两条直线所夹的锐角或直角。这个夹角的大小范围是$0^circ$ 到$90^circ$，其中$90^circ$表示两直线垂直。
异面直线的未来发展方向
异面直线在几何学中的应用
随着几何学的发展，异面直线在解决实际问题中的应用越来越广泛。例如，在建筑设计、工程制图和计算机图形学等 领域，异面直线都发挥着重要的作用。
05
总结与展望
异面直线的总结
异面直线的基本概念
异面直线是指不在同一个平面上且互不相交的两条直线。在三维空间中，异面直线是相对 常见的几何对象，它们在平面几何中也有类似的概念。
异面直线的判定方法
判定两条直线为异面直线的方法有多种，其中最常用的是通过平行平面来判定。如果两个 平行平面分别包含两条直线，且这两条直线不重合，则它们为异面直线。
目前，对于异面直线的性质研究已经取得了一定的成果，但还有很多未知领域等待探索。例如，异面直线之间的夹角 性质、异面直线的对称性等都是值得深入研究的问题。
异面直线的计算方法
随着计算机技术的发展，计算几何逐渐成为数学领域的一个重要分支。对于异面直线的计算方法研究， 可以进一步促进计算几何的发展，为解决实际问题提供更有效的工具。
的。
不变性
无论两条异面直线的位置如何变 化，它们在同一平面内的射影之
间的夹角保持不变。
异面直线夹角的计算方法
01
投影法
将两条异面直线投影到同一平面内，然后计算它们在该平面内的射影之
间的夹角。
02 03
向量法
利用向量的数量积和向量的模长来计算两条异面直线的夹角。首先求出 两条异面直线的方向向量，然后计算这两个方向向量的数量积和模长， 最后利用公式计算夹角。
异面直线的夹角
异面直线之间的夹角是指这两条直线所夹的锐角或直角。这个夹角的大小范围是$0^circ$ 到$90^circ$，其中$90^circ$表示两直线垂直。
异面直线的未来发展方向
异面直线在几何学中的应用
随着几何学的发展，异面直线在解决实际问题中的应用越来越广泛。例如，在建筑设计、工程制图和计算机图形学等 领域，异面直线都发挥着重要的作用。
05
总结与展望
异面直线的总结
异面直线的基本概念
异面直线是指不在同一个平面上且互不相交的两条直线。在三维空间中，异面直线是相对 常见的几何对象，它们在平面几何中也有类似的概念。
异面直线的判定方法
判定两条直线为异面直线的方法有多种，其中最常用的是通过平行平面来判定。如果两个 平行平面分别包含两条直线，且这两条直线不重合，则它们为异面直线。
异面直线及其夹角 PPT课件 5 苏教版
C1
∴ 四边形AA1C1C是
∴AC ∥A1C1 ∵∠BC1A1为BC1与A1C１所成的角 A ∵A1B＝BC1=A1C1 ∴∠BC1A1=600
所以，异面直线BC1和AC所成角为600
D B
C
A
E M D F C
B
练习：在三棱锥ABCD中AD=BC=2a，E， F分别是AB，CD的中 点EF= ，求 3 aAD和 BC所成的角
归纳小结:
（1）平移法：即根据定义，以“运
动”的观点，用“平移转化”的方法， 使之成为相交直线所成的角。
具体地讲是利用平行四边形或中位线得 到平面角
（2）补形法：把空间图形补成 熟悉的或完整的几何体，如正方 体、平行六面体等，其目的在于 易于发现两条异面直线的关系。
本课小结:
余弦定理
直角三角形
异面直线及其夹角
复习： ⑴空间两条直线的位置关系有几种？
空间两条直线的位置关系归纳为：
位置关系 相交直线 平行直线 异面直线 是否共面 公共点情况 记 法
在同一个平 有且只有一 面内 个公共点 没有公共点 不同在任何 一个平面内
a∩b＝A a∥ b
(2) 怎样 表示异面直线?b Aຫໍສະໝຸດ ba
b
a
a
（3)如图：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB与A1C具有怎样的位置关 系？ D1 C1 B A 1 A1
B
D A B
α
C
假设AB与A1C共面,过点C和AB的平面只有一个. 所以 直线A1C和AB都应在ABCD内. 于是 点A1在平面ABCD内. 这与点A1在平面ABCD外矛盾， 所以 直线A1C和AB是异面直线.
.
(6)异面直线所成的角
高二数学课件异面直线及夹角
β b α a β b a α
β
b α a
如何来刻划两条异 面直线的相对位 置？
夹角
距离
如何度量其 大小呢？
(1).定义：a、b是两条异面直线，过空间任一点O作 a'∥a ，b'∥ b，则a ' 、 b'所成的锐角(或直角) 就是异面直线a、b所成的角。 b a/ 思考：
a
• O
b/
1.由于点O的任意性，这样作出的角有多少个？ 大小有什么关系? 2.异面直线所成角的范围是（0， 2 ]
D1
C1
B1
D
C
A
B
D1 A1 D A B
C1
F1
B1 C
E1
F
E
基础训练：
如图，正方体中， 1. A1B1与C1C所成的角 2. AD与B1B所成的角 3. A1D与BC1所成的角 4. D1C与A1A所成的角 5. A1D与AC所成的角
A D B C A1 D1
C1
B1
能力训练：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm，
说明：
E 异面直线所成角的范围是（0， ]，在把异面直
A
B
F
解题思想是：化归与转化，即空间问题平面化
解题方法是：平移
解题步骤是：①作角；②证角；③求角（解 三角形）；④结论。
提高训练：
AB=BC=2,E,F 分别是 AB、 CD ADA
E
D
变式：若 AD与 BC所成的角为 60 ，则 EF=——————
G F
C
授课人：贾玉香
1、理解并掌握异面直线的画法。 2、熟练掌握空间两条直线的位置 关系。 3、理解异面直线夹角的概念及两 条异面直线互相垂直的概念,会求 异面直线的夹角。
β
b α a
如何来刻划两条异 面直线的相对位 置？
夹角
距离
如何度量其 大小呢？
(1).定义：a、b是两条异面直线，过空间任一点O作 a'∥a ，b'∥ b，则a ' 、 b'所成的锐角(或直角) 就是异面直线a、b所成的角。 b a/ 思考：
a
• O
b/
1.由于点O的任意性，这样作出的角有多少个？ 大小有什么关系? 2.异面直线所成角的范围是（0， 2 ]
D1
C1
B1
D
C
A
B
D1 A1 D A B
C1
F1
B1 C
E1
F
E
基础训练：
如图，正方体中， 1. A1B1与C1C所成的角 2. AD与B1B所成的角 3. A1D与BC1所成的角 4. D1C与A1A所成的角 5. A1D与AC所成的角
A D B C A1 D1
C1
B1
能力训练：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm，
说明：
E 异面直线所成角的范围是（0， ]，在把异面直
A
B
F
解题思想是：化归与转化，即空间问题平面化
解题方法是：平移
解题步骤是：①作角；②证角；③求角（解 三角形）；④结论。
提高训练：
AB=BC=2,E,F 分别是 AB、 CD ADA
E
D
变式：若 AD与 BC所成的角为 60 ，则 EF=——————
G F
C
授课人：贾玉香
1、理解并掌握异面直线的画法。 2、熟练掌握空间两条直线的位置 关系。 3、理解异面直线夹角的概念及两 条异面直线互相垂直的概念,会求 异面直线的夹角。
苏教版异面直线及其夹角课件
另一条直线垂直。
( )
例 1.如图,在正方体A C'中 (1)哪些棱所在直线与直线AA'垂 直?
(2)求直线BA' 分别和CC' 、 DC' 、AD' 的夹角的度数.
D' A'
D A
解:(1)与直线AA' 垂直的直线有:
C' AB、BC、CD、DA、 A' B' 、B' C' 、
B'
O
C' D' 、D' A'
l
B
假设直线AB和l 不是异面直线, 则直线AB和l 共面,
设这个平面为, A A ,A B B A
这与已知点A在平面外矛盾.
所以直线AB和l 是异面直线.
2.异面直线所成的角
已知两条异面直线a、b, 经过空间任一点O, 分别作 直线a' ∥a，b' ∥b，把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异 面直线a、b所成的角(或夹角).
F分别是AB、CD的中点，
G
D F C
且EF＝5，AC＝6，BD＝8，则异面直线AC与 BD的夹角为多少？
解GE答⁄：⁄A取CB，CG中F点＝G12 ，B连D结且EGGF、⁄⁄GF，BD则，G所E＝以1∠2 AECG且F是 异面直线AC与BD的夹角，且GE＝3，GF＝4，所以
ED2＋GF2＝EF2，所以EGF＝90o，所以异面直线AC
异面直线及其夹角
复习提问：
平行
1. 空间的两条直线的位置关系有那几种?
共面
相交
异面
思考：
1、两条直线不相交则平行。( x ) 2、无公共点的两条直线一定平行。
异面直线及其夹角公开课一等奖课件省赛课获奖课件
一、基础知识 1、异面直线的定义：
不同在任何一种平面内的两条直线叫作异面直线
2、空间两条直线的位置关系：
平行直线 相交直线
共面直线 异面直线
空间两条直线
3、异面直线的画法：平面烘托法
A B
4、异面直线的判断 （1）、异面直线的鉴定定理 连结平面内一点 与平面外一点的直线，和这个平面内不通 过此点的直线是异面直线
A C
的角。
分析：恰当的平移是将异面直线所成的角 转化为平面中的角的核心。
思路一：取BC中点G， 连结F1G，则角AF1G （或其补角）为异面 直线所成的角；解三 角形AF1G可得。
B1
D1 F1
A1
C1
B
A
G
C
思路二、延展平面 BAA1B1，使A1E＝D1A1，
B1
D1 A1 F1
E
则将BD1平移到AE， 角EAF1（或其补角 ）
（2）、反证法
5、异面直线成的角 （1）、定义： 分别平行于两条异面直线
的两条相交直线所成的锐角（或直角）叫 做这两条异面直线所成的角
（2）、取值范畴（00，900]
（3）、作法：平移法或补形法 (4) 两条直线互相垂直
①相交直线的垂直 ②异面直线的垂直的正方体的棱长为a，A1
①图中哪些棱所在的直线与 BA1成异面直线
②求异面直线A1B与C1C的夹 角的度数
D A
③图中哪些棱所在的直线与直线AA1垂直
C1 B1
C B
例２
直三棱柱ABC－A1B1C1 中
B1
D1
A1
F1
角ACB＝900， D1，F1分
C1
别是A1B1与A1C1的中点。
B
不同在任何一种平面内的两条直线叫作异面直线
2、空间两条直线的位置关系：
平行直线 相交直线
共面直线 异面直线
空间两条直线
3、异面直线的画法：平面烘托法
A B
4、异面直线的判断 （1）、异面直线的鉴定定理 连结平面内一点 与平面外一点的直线，和这个平面内不通 过此点的直线是异面直线
A C
的角。
分析：恰当的平移是将异面直线所成的角 转化为平面中的角的核心。
思路一：取BC中点G， 连结F1G，则角AF1G （或其补角）为异面 直线所成的角；解三 角形AF1G可得。
B1
D1 F1
A1
C1
B
A
G
C
思路二、延展平面 BAA1B1，使A1E＝D1A1，
B1
D1 A1 F1
E
则将BD1平移到AE， 角EAF1（或其补角 ）
（2）、反证法
5、异面直线成的角 （1）、定义： 分别平行于两条异面直线
的两条相交直线所成的锐角（或直角）叫 做这两条异面直线所成的角
（2）、取值范畴（00，900]
（3）、作法：平移法或补形法 (4) 两条直线互相垂直
①相交直线的垂直 ②异面直线的垂直的正方体的棱长为a，A1
①图中哪些棱所在的直线与 BA1成异面直线
②求异面直线A1B与C1C的夹 角的度数
D A
③图中哪些棱所在的直线与直线AA1垂直
C1 B1
C B
例２
直三棱柱ABC－A1B1C1 中
B1
D1
A1
F1
角ACB＝900， D1，F1分
C1
别是A1B1与A1C1的中点。
B
异面直线及其夹角ppt 北师大版
D A
C
B
练习5:已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为 a.O为底面中心，F为DD1中点E在A1B1上,求 AF与OE所成的角
D1
E A1 F B1 C1
D C N A O
B
练习6、空间四边形 P-ABC中，M，N分 别是PB，AC的中点， PA=BC=4，MN=3， 求PA与BC所成的角？
P
M
A
E B
N
C
练习7、是BCD平面外一点，E、F分别是BC、 AD的中点，
(1)求证：EF与BD是异面直线； (2)若ACBD，AC＝BD，求EF与BD所成角。
A F B E C G D
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
读一本好书，就是和许多高尚的人谈话。 ---歌德 书籍是人类知识的总结。书籍是全世界的营养品。 ---莎士比亚 书籍是巨大的力量。 ---列宁 好的书籍是最贵重的珍宝。 ---别林斯基 任何时候我也不会满足，越是多读书，就越是深刻地感到不满足，越感到自己知识贫乏。 ---马克思 书籍便是这种改造灵魂的工具。人类所需要的，是富有启发性的养料。而阅读，则正是这种养料。 ---雨果 喜欢读书，就等于把生活中寂寞的辰光换成巨大享受的时刻。 ---孟德斯鸠 如果我阅读得和别人一样多，我就知道得和别人一样少。 ---霍伯斯[英国作家] 读书有三种方法：一种是读而不懂，另一种是既读也懂，还有一种是读而懂得书上所没有的东西。 ---克尼雅日宁[俄国剧作家・诗人] 要学会读书，必须首先读的非常慢，直到最后值得你精读的一本书，还是应该很慢地读。 ---法奇(法国科学家) 了解一页书，胜于匆促地阅读一卷书。 ---麦考利[英国作家] 读书而不回想，犹如食物而不消化。 ---伯克[美国想思家] 读书而不能运用，则所读书等于废纸。 ---华盛顿(美国政治家) 书籍使一些人博学多识，但也使一些食而不化的人疯疯颠颠。 ---彼特拉克[意大利诗人] 生活在我们这个世界里，不读书就完全不可能了解人。 ---高尔基 读书越多，越感到腹中空虚。 ---雪莱(英国诗人) 读书是我唯一的娱乐。我不把时间浪费于酒店、赌博或任何一种恶劣的游戏；而我对于事业的勤劳，仍是按照必要，不倦不厌。 ---富兰克林 书读的越多而不加思索，你就会觉得你知道得很多；但当你读书而思考越多的时候，你就会清楚地看到你知道得很少。 ---伏尔泰(法国哲学家、文学家) 读书破万卷，下笔如有神。---杜甫 读万卷书，行万里路。 ---顾炎武 读书之法无他，惟是笃志虚心，反复详玩，为有功耳。 ---朱熹 读书无嗜好，就能尽其多。不先泛览群书，则会无所适从或失之偏好，广然后深，博然后专。 ---鲁迅 读书之法，在循序渐进，熟读而精思。 ---朱煮 读书务在循序渐进；一书已熟，方读一书，勿得卤莽躐等，虽多无益。 ---胡居仁[明] 读书是学习，摘抄是整理，写作是创造。 ---吴晗 看书不能信仰而无思考，要大胆地提出问题，勤于摘录资料，分析资料，找出其中的相互关系，是做学问的一种方法。---顾颉刚 书犹药也，善读之可以医愚。 ---刘向 读书破万卷，胸中无适主，便如暴富儿，颇为用钱苦。 ---郑板桥 知古不知今，谓之落沉。知今不知古，谓之盲瞽。 ---王充 举一纲而万目张，解一卷而众篇明。 ---郑玄
异面直线及其夹角 PPT课件 6 人教课标版
D
C
点 C 平A面 1B A 1B .
A
B
∴直线AC与A1B为异面直线．
练习2:
已知α∩β＝a，b⊂β，且b∩a＝A，c⊂α，且c∥a.求证：b 和c是异面直线．
证明：证法1：如右图，因为α∩β＝a，b∩a＝A， 所以A∈α，又c⊂α，c∥a. 所以A∉c，在直线b上任取一点B (不同于A)，则B∉α.所以b，c是异面直线．
2
AF 3 a, AP 2EC 3a.
2
P
PA中 F应用余 ,得 c弦 o sP定 A理 F2.
3
∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是
2 3
E D
C
课堂练习1：如图，P为Δ ABC所在平面外一点，
PC⊥AB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。
（1）求证：EF与PC为异面直线；
不能理解为:“分别在两个平面内的两直线为异面 直线”.
演示
练习1、
１.下面两条直线是异面直线的是（C）
A.不同在一个平面内的两条直线； B.分别在某两个平面内的两条直线； C.既不平行又不相交的两条直线； D.平面内的一条直线和平面外的一条直线
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托.
如图：
a
b
A
a
(1)
a
b
(2)
b
(3)
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例1.如果相异点A、B和相异点C、D分别在异面直
线a，b上，那么正确的结论是（ C ）
A．直线AC与BD可能相交 B．直线AD和BC可能相交 C．AC与BD，AD与BC都是异面直线 D．AC与BD，AD与BC不一定都是异面直线
异面直线及其夹角课件
03
题目：已知直线$a，b$ 为异面直线，过直线 $a$与直线$b$平行的平 面( )
04
A.有一个 B.至多有一个 C.不存在 D.至多有一个 或不存在
提高习题
题目：在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，E为棱CD的中点，有下列四个结论： ${①A}_{1}E perp BD；{②A}_{1}E perp AC；{③A}_{1}E perp BD_{1}；{④A}_{1}E perp BC_{1}$．其中正确的结论序号是____．(写出所有正确结论的编号)
题目：已知直线$a，b$为异面直线，过直线$a$与直线$b$平行的平面( )
A.至多有一个 B.不存在 C.有且只有两个 D.有且只有1个
综合习题
• 题目：已知空间中不共面的四点$O，A，B，C$，若$\overset{\longrightarrow}{OA} \cdot \overset{\longrightarrow}{OB} = \overset{\longrightarrow}{OB} \cdot \overset{\longrightarrow}{OC} = \overset{\longrightarrow}{OC} \cdot \overset{\longrightarrow}{OA} = - 1$，则$\bigtriangleup ABC$的形状是( )
02
异面直线夹角的范围是$0^circ$ 到$90^circ$，且夹角的大小不依 赖于直线的选取。
异面直线夹角的性质
异面直线夹角具有对 称性，即交换两条直 线的位置不会改变夹 角的大小。
异面直线夹角的大小 与两条直线的方向向 量或方向向量的模有 关。
异面直线夹角不会超 过$90^circ$，且不 会小于$0^circ$。
异面直线及其夹角 PPT课件 2 人教课标版
(2)定义法：判断两直线永不在同一平面内 常用反证法
练习１、判断：
(1)没有公共点的两直线叫异面直线 (2)分别在两个平面内的直线叫异面直线 练习２、说出正方体中各对线段的位置关系 1) AB,CC1 ; 2) A1C,BD1
A1 D1 B1 C1
3) AA1,CB1; 4) A1C1,CB1
5) A1B1,DC; 6) BD1,DC
①图中哪些棱所在的直线 与BA1成异面直线
D1
A1 B1 D
C1
②求异面直线A1B与C1C的夹 角的度数 A
C
B
③图中哪些棱所在的直线与直线AA1垂直
练习３、Ｐ14 ４
例2.
E,F分别是 练习４、空间四边形ABCD中，
对角线BD,AC的中点，若BC=AD=2EF， 求直线EF与直线AD所成的角
A
A
D
B
C
(三)异面直线a与b 所成的角
空间中过点Ｏ,作直线a1∥a, b1∥b, 则直线a1和b1所成的锐角(或直角)叫做异面 直线a和b所成的角 b1 a 1 b
1.平移法
a2
a
O
2.范围: 3.两直线所成角为900时, 称两直线垂直
0 0 （0 ，90 ]
记为:
a b
例1. 设图中的正方体的棱长为a，
§9.2异面直线及其 夹角(1)
一、空间中两直线的位置关系
a
b
平行
b
a
b
a
异面
相交
共面直线 异面直线
平行直线 相交直线
空间两条直线
(一)异面直线: 不同在任何一个平面内的 两条直线 1、注意：既不平行且不相交 2、画法： 平面衬托法
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（1）AB与CC1；
D1
C1
（2）AB1与CD1；A1
B1
D
A D1
异面直线及其夹角
C B
直线所成的角：
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
C1
（2）AB1与CD1；A1
B1
（3）AB1与CD；
D
C
A
B
异面直线及其夹角
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
M
A1
B1
D
C
A
B 异面直线及其夹角
例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中 点，求：
（1）异面直线AM与CN所成角的大小；
（2）异面直线AM与BD所成角的大小；
（3）异面直线AM与BD1所成角的大小。
D1
C1
A1
M
S
B1
D
C
A
B 异面直线及其夹角
例4：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2
D1
C1
（2）AB1与CD1；A1
B1
D
A D1
异面直线及其夹角
C B
直线所成的角：
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
C1
（2）AB1与CD1；A1
B1
D
A D1
异面直线及其夹角
C B
直线所成的角：
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
（2）AB1与CD1；A1
（3）AB1与CD；
D
（4）AB1与BC1。A
异面直线及其夹角
C1 B1
C B
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
（2）AB1与CD1；A1
（3）AB1与CD；
B1
D
A D1
异面直线及其夹角
C B
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
C1
（2）AB1与CD1；A1
B1
D
A D1
异面直线及其夹角
C B
直线所成的角：
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
G分别是BC,AD的中点，AC=BD=2，
FG= 3 ，求异面直线AC,BD所成的
角。
A
M
G
D B
F 异面直线及C其夹角
例2 已知空间四边形ABCD中， F、
G分别是BC,AD的中点，AC=BD=2，
FG= 3 ，求异面直线AC,BD所成的
角。
A
G
D B
F
M
异面直线及C其夹角
例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中 点，求：
C1
A1
B1
D A
异面直线及其夹角
C B
直线所成的角：
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
C1
A1
B1
D A
异面直线及其夹角
C B
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
C1
（2）AB1与CD1；A1
方法归纳： 补形法 如正方体、长方体等，其目的在于易于发
（1）异面直线AM与CN所成角的大小；
D1
C1
M
A1
B1
N
D
C
A
B 异面直线及其夹角
例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中 点，求：
（1）异面直线AM与CN所成角的大小；
D1
C1
M
A1
B1
N
D
C
A
Q B 异面直线及其夹角
例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中 点，求：
cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成 角的余解弦：值如。图，连B1D1与A1C1 交于O1，
取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B， 为什么？
于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补
角）
A 1
D 1 O1
C 1
B 1
M
D
C
A
B
异面直线及其夹角
解法二：
如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面
BC1的方体B1F，
连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1 D1
所成的角(或补角)，
A1
C1 B1
F1 E1
在A1C1E中，
D
C
A 1 C 1=5 ,A 1 E = 25 ,C 1 E = 3 A
F
B
E
由余弦定理得
cosA1C1E=
5 5
A1C1与BD1所成角的余弦值为
5 5
把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，
D
（4）AB1与BC1。A
ห้องสมุดไป่ตู้
异面直线及其夹角
C1 B1
C B
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
（2）AB1与CD1；A1
（3）AB1与CD；
D
（4）AB1与BC1。A
异面直线及其夹角
C1 B1
C B
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）异面直线AM与CN所成角的大小；
（2）异面直线AM与BD所成角的大小；
D1
C1
M
A1
B1
D
C
A
R B 异面直线及其夹角
例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中 点，求：
（1）异面直线AM与CN所成角的大小；
（2）异面直线AM与BD所成角的大小；
（3）异面直线AM与DBD1 1所成角的大小C1。
（1）AB与CC1；
D1
（2）AB1与CD1；A1
（3）AB1与CD；
D
（4）AB1与BC1。A
异面直线及其夹角
C1 B1
C B
例2 已知空间四边形ABCD中， F、
G分别是BC,AD的中点，AC=BD=2，
FG= 3 ，求异面直线AC,BD所成的
角。
A
G
D B
F 异面直线C及其夹角
例2 已知空间四边形ABCD中， F、
（1）异面直线AM与CN所成角的大小；
D1
C1
M
A1
B1
N
D
C
A
P B 异面直线及其夹角
例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中 点，求：
（1）异面直线AM与CN所成角的大小；
（2）异面直线AM与BD所成角的大小；
D1
C1
M
A1
B1
D
C
A
B 异面直线及其夹角
例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中 点，求：
异面直线所成的角
异面直线及其夹角
直线所成的角：
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
C1
A1
B1
D A
异面直线及其夹角
C B
直线所成的角：
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1