异面直线及夹角

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异面直线所成角的求解方法

异面直线所成角的求解方法
向量相交所产生的两个平面夹角，可以用叉乘来求解，结果可以用两种方式计算：第一种求解方法：
假定两个向量u和v 是两个不同的平面所给定的向量，它们可以表示为：
u= (u1, u2, u3)
叉乘满足：u X v = (u2v3-u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1)
使用叉乘向量的结果，可以计算出 u 与 v 的夹角为：
β =arccos[(u X v) / (|u|*|V|)]
其中，|u| 与|v| 分别为u 向量与v 向量的模。

可以利用两个向量的内积来求夹角。

内积的运算公式为：
总的来说，利用叉乘或内积来计算两条直线所成的角度，可以将求解过程简化，并让求解结果更加准确。

最后要注意的是，当实际求解时，应先把两个向量方向向量化，然后用叉乘或内积公式计算夹角，以便得出精确的解决方案。

异面直线教案

异面直线教案【篇一：异面直线及其夹角(教案与反思)】课题：异面直线及其夹角温江中学许桃教学目标：1、知识与技能(1)理解异面直线及其夹角的概念，会画空间两条异面直线的图形，能在空间几何体，中判断两直线是否为异面直线.能在具体几何体中求出一些较简单的异面直线所成的角.(2)初步培养学生由图到物，由物到图的观察想像力;把空间中的角转化为平面上的角的降维能力;根据图形特征选择恰当的平移方式求异面直线所夹角的动手实践能力.2、过程与方法努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑的氛围，提高学学习的兴趣和课堂效率．让学生经历知识的探究过程, 体会类比的数学思想．3、情感目标让学生领悟数学思想观点；体会数学来源于实际又服务于实际，激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神,会用联系的观点，运动变化的思想去分析问题和解决问题教学重点：异面直线所成角的概念, 能求出一些较简单的异面直线所成的角教学难点：如何依托载体选择恰当的点将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角教学过程：一、复习引入，问题呈现，导入主题（1）创设情境，感知异面教师活动：创设情境，感知异面学生活动：小实验:请用手中的两支笔当着直线,在空间能摆出两条直线有哪几种位置关系?设计意图：通过简单的动手操作让学生发现问题，培养学生思维的主动性（2）总结概括完善认知教师活动：从公共点个数与是否共面概括空间中两条直线的位置关系学生活动：填写表格（3）问题引导，剖析定义教师活动：例举教室中的两直线是否异面，从大梁和讲台下方的两条直线位置关系的分析中引导学生得出异面直线的定义学生活动：分析问题设计意图：剖析异面直线的定义二、合作交流，探究发现，共论主题（1）例举实例，感知异面直线教师活动：让学生例举生活中的异面直线，展示生活中的异面直线学生活动：例举生活中的异面直线设计意图：从生活实例中感知异面直线（2）异面直线的判定定理教师活动：给出命题，引导学生用反正法证明判定定理学生活动：在引导下根据异面直线的定义证明判定定理设计意图：获取判定定理，掌握异面直线的判定方法。

9.2(2)异面直线及其夹角

CE , AF
因為B∈CE,D∈AF 所以B∈α、D∈α 所以A、B、C、D共面
D
B
E
C
這與已知四邊形ABCD為空間四邊形矛盾所以AE和CF是異面直線
例1 已知空間四邊形ABCD，E、F分別為BC、DA的中點。求證：AE和CF是異面直線 A 證明: (定理法)
C 平面ABC F 平面ABC AE 平面ABC
F
D
B
C AE
所以AE和CF是異面直線
E
C
例2 如圖，在正方體AC'中 (1) 哪些棱所在直線與直線AA'垂直? (2) 求直線BA '分別和CC ' 、 DC ' 、AD '的夾角的度數。
D' C' A' B'
D A B
C
例2 如圖，在正方體AC'中 (1) 哪些棱所在直線與直線AA'垂直? (2) 求直線BA '分別和CC ' 、 DC ' 、AD '的夾角的度數。
A1
B1 D
A
C B
小結
1、異面直線異面直線的概念異面直線的判定方法
(1) 判定定理連結平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過此點的直線是異面直線。 (2) 定義法判斷兩直線永不在同一平面內常用反證法
2、異面直線成的角 (1) 定義
分別平行於兩條異面直線的兩條相交直線所成的銳角(或直角)叫做這兩條異面直線所成的角。
空間兩條直線
思考： 1、兩條直線不相交則平行。( ) 2、無公共點的兩條直線一定平行。
(
)
空間兩條直線的位置關係：相交、平行、異面

高一数学异面直线及夹角3

例题
D1
例1：设图中的正方体的棱长为a，A1
①图中哪些棱所在的直线与 BA1成异面直线
②求异面直线A1B与C1C的夹角的度数
D A
③图中哪些棱所在的直线与直线AA1垂直
C1 B1
C B
例２
直三棱柱ABC－A1B1C1 中
B1
ห้องสมุดไป่ตู้D1
A1
F1
角ACB＝900， D1，F1分
C1
别是A1B1与A1C1的中点。
（2）、反证法
5、异面直线成的角（1）、定义：分别平行于两条异面直线
的两条相交直线所成的锐角（或直角）叫做这两条异面直线所成的角
（2）、取值范围（00，900]
（3）、作法：平移法或补形法 (4) 两条直线互相垂直
①相交直线的垂直 ②异面直线的垂直
奇光，他抓住奇光秀丽地一摇，一件黑晶晶、光溜溜的咒符『银丝锤佛铁饼咒』便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边变形，一边发出“嘀嘀”的余响……猛然间Ｉ．提瓜
B1
D1 A1 F1
E
则将BD1平移到AE，角EAF1（或其补角）
B A
C
即为BD1与AF1所成的角。
三、小结
1.空间两条直线的位置关系 2.异面直线所成的角及其求解方法
作业习题9.2
4, 5, 7
B
若BC＝CA＝CC1，求BD1 与
AF1这两条异面直线所成
A C
的角。
分析：恰当的平移是将异面直线所成的角转化为平面中的角的关键。
思路一：取BC中点G，连结F1G，则角AF1G （或其补角）为异面直线所成的角；解三角形AF1G可得。
B1
D1 F1
A1

异面直线夹角求法

在解决实际问题中的应用
建筑设计
在建筑设计领域，异面直线夹角可以用于确定建筑物的外观、结构等，以确保建筑物的稳定性和美观性。
机械设计
在机械设计领域，异面直线夹角可以用于确定机械零件的形状、尺寸等，以确保机械零件的准确性和可靠性。
04
异面直线夹角的特殊情况
异面直线夹角为直角的情况
总结词
当两条异面直线之间的夹角为直角时，它们之间的夹角是确定的，即90度。
利用向量的数量积求异面直线夹角
总结词
通过向量的数量积，可以计算出异面直线之间的夹角的余弦值。
详细描述
首先分别求出两条异面直线的方向向量，然后计算这两个方向向量的数量积。数量积的绝对值等于两向量的模的乘积与两向量夹角的余弦值的乘积，由此可以求出夹角的余弦值。
利用空间几何的性质求异面直线夹角
总结词
利用空间几何的性质，通过观察空间几何图形，可以直观地求出异面直线之间的夹角。
详细描述
首先根据异面直线的位置关系，构建一个空间几何图形。然后利用空间几何图形的性质，如平行线之间的夹角、三角形中的角度关系等，可以求出异面直线之间的夹角。
03
异面直线夹角的应用
在几何图形中的应用
确定几何形状
异面直线夹角可以用于确定几何图形的形状和大小，例如在三维建模、建筑设计等领域。
异面直线夹角的性质
异面直线夹角是两条异面直线在同一平面内投影所形成的角度，因此不会超过$90^circ$。
异面直线夹角的大小与两条异面直线的方向向量有关，方向向量之间的夹角等于异面直线夹角的补角。
异面直线夹角的取值范围
1
异面直线夹角的取值范围是$0^circ$到 $90^circ$，不包括$0^circ$和$90^circ$。

异面直线夹角公式

异面直线夹角公式在几何中，异面直线夹角（Tangent Line Angles）是指两条不同直线交汇时产生的夹角。

它们通常被简写为TLA。

任意一条直线上的点可以与另一条直线上的任一点产生一个夹角，在不同的实例中，夹角的大小是不同的。

在矩形，正方形，平行四边形和正多边形的情况下，将两条不同的直线称为异面直线，它们之间有两个不同的夹角：边夹角和夹角。

边夹角是指直线的两个端点之间的夹角，而夹角是指两条直线之间的夹角，它们之间有一个共同的端点。

对于任意一个夹角，都可以用一个类似于异面直线夹角（TLA）公式来描述它：三角函数中的总共有三个关键因素：角度（α），角度（β）和边长（c），它们满足下面的关系：α + = 90°c2 = a2 + b2 2abcosαα = cos-1 ( (a2 + b2 c2) / 2ab )这里，α和β就是两条不同直线之间的边夹角和夹角，而c就是这两条直线之间的边长。

给定两条异面直线所构成的夹角，可以用这三种证明方法来找出其大小：1、使用“影子法”。

即可以用一条给定的直线（不同直线所影响的边）来表示第二条直线在第一条直线上的位置，然后根据它们之间的距离来估算夹角的大小。

2、使用“直角勾股定理”。

根据两条直线的端点，使用直角勾股定理来求解夹角的大小。

3、使用“延长线定理”。

设置两条延长线，以便延长线和第二条直线之间的距离来估算夹角的大小。

这里定义的异面直线夹角公式亦可用于计算平行四边形和正多边形中的夹角大小。

若已知两条异面的边的长度，可以使用上述的公式来求出相应的夹角。

此外，还可以使用异面直线夹角公式来解决其他几何问题，比如：1、求直线的斜率2、求三角形的外接圆的半径3、求两个不同的点之间的距离4、求不同直线之间的夹角5、求反三角形的边长从上面的定义可以看出，异面直线夹角公式可以用于求解不同形状几何问题中的夹角大小，从而使解决几何问题变得更加容易。

它也是数学中最古老的关于三角运算的方法之一，在今天仍然被广泛使用，同时也增加了我们对三角学的理解和认识。

高二数学异面直线及其夹角

思路一：取BC中点G，连结F1G，则角AF1G （或其补角）为异面直线所成的角；解三角形AF1G可得。
B1
D1 F1 C1
A1
B
G
A C
思路二、延展平面
B1
D1 A1 F1
E
BAA1B1，使A1E＝D1A1，
则将BD1平移到AE，角EAF1（或其补角）
B C
A
即为BD1与AF1所成的角。
A1
D1 B1 D
C1
C
A
B
③图中哪些棱所在的直线与直线AA1垂直
例２直三棱柱ABC－A1B1C1 中角ACB＝900， D1，F 1分别是A1B1与A1C1的中点。若BC＝CA＝CC1，求BD1 与 AF1这两条异面直线所成的角。
B1
D1 F1 C1 A
A1
B
C
分析：恰当的平移是将异面直线所成的角转化为平面中的角的关键。
5、异面直线成的角
（1）、定义：分别平行于两条异面直线
的两条相交直线所成的锐角（或直角）叫做这两条异面直线所成的角
（2）、平移法或补形法 (4) 两条直线互相垂直 ①相交直线的垂直 ②异面直线的垂直
例题
例1：设图中的正方体的棱长为a， ①图中哪些棱所在的直线与 BA1成异面直线 ②求异面直线A1B与C1C的夹角的度数
一、基础知识
1、异面直线的定义：
不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线
2、空间两条直线的位置关系：
平行直线相交直线共面直线
空间两条直线
异面直线
3、异面直线的画法：平面衬托法
A
B
4、异面直线的判断
（1）、异面直线的判定定理连结平面内一点

异面直线及夹角PPT教学课件

(2)定义法：判断两直线永不在同一平面内常用反证法
练习１、判断：
(1)没有公共点的两直线叫异面直线
(2)分别在两个平面内的直线叫异面直线
练习２、说出正方体中各对线段的位置关系
1) AB,CC1 ; 2) A1C,BD1
D1
C1
A1
3) AA1,CB1; 4) A1C1,CB1
B1
5) A1B1,DC; 6) BD1,DC
法
作业
P15 4, 7 P80 4
1.下列结论正确的是（ C ）
A.没有公共点的两条直线是平行直线
B.两条直线不相交就平行
C.两条直线有既不相交又不平行的情况
D.一条直线和两条相交直线中的一条平行，它也可能和另一条平行
O是空间中的任意一点所成的锐角是否相等？
b2
点O常取在两条异面直线中的一条上
b
a2
.
o1
b1
a1
.
o
a M
(三)异面直线a与b所成的角
空间中过点Ｏ,作直线a1∥a, b1∥b,
则直1.直线线a和ab和所b成所的成角的。锐角(或直角)叫做.异面 1 1
bbbb11b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1ba1b1b1a1b1b1a1b1b1a1baa1b11b1a1ba1b011b01a1b,9a1b10aa1b101b11a1b1b1a111a1ao1a1a1 a1aa1a11
一、空间中两直线的位置关系
a
a
b
b
平行
相交
平行直线相交直线
共面直线异面直线
a b 异面空间两条直线

《异面直线及其夹角》课件

异面直线的性质研究
目前，对于异面直线的性质研究已经取得了一定的成果，但还有很多未知领域等待探索。例如，异面直线之间的夹角性质、异面直线的对称性等都是值得深入研究的问题。
异面直线的计算方法
随着计算机技术的发展，计算几何逐渐成为数学领域的一个重要分支。对于异面直线的计算方法研究，可以进一步促进计算几何的发展，为解决实际问题提供更有效的工具。
的。
不变性
无论两条异面直线的位置如何变化，它们在同一平面内的射影之
间的夹角保持不变。
异面直线夹角的计算方法
01
投影法
将两条异面直线投影到同一平面内，然后计算它们在该平面内的射影之
间的夹角。
02 03
向量法
利用向量的数量积和向量的模长来计算两条异面直线的夹角。首先求出两条异面直线的方向向量，然后计算这两个方向向量的数量积和模长，最后利用公式计算夹角。
异面直线的夹角
异面直线之间的夹角是指这两条直线所夹的锐角或直角。这个夹角的大小范围是$0^circ$ 到$90^circ$，其中$90^circ$表示两直线垂直。
异面直线的未来发展方向
异面直线在几何学中的应用
随着几何学的发展，异面直线在解决实际问题中的应用越来越广泛。例如，在建筑设计、工程制图和计算机图形学等领域，异面直线都发挥着重要的作用。
05
总结与展望
异面直线的总结
异面直线的基本概念
异面直线是指不在同一个平面上且互不相交的两条直线。在三维空间中，异面直线是相对常见的几何对象，它们在平面几何中也有类似的概念。
异面直线的判定方法
判定两条直线为异面直线的方法有多种，其中最常用的是通过平行平面来判定。如果两个平行平面分别包含两条直线，且这两条直线不重合，则它们为异面直线。

高二数学异面直线及其夹角

O, P c O, M a 即直线 a, b, c 共面，与已知直线 a, b, c 不共面矛盾．所以直线MN与PQ异
异面直线的判定定理：
连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。
A B
点A 平面

点B
B 直线l
直线AB与l异面.
例4．如图，a、b为异面直线，直线a上的线段 AB=6cm，直线b上的线段CD=10cm， E、F分别为 AD、BC的中点，且EF=7cm，求异面直线a与b所成的角的度数． A B a 解:连结AC,并取AC中点P,连结EP,FP. P F E b ∵E为AD中点，∴EP∥DC. C ∵F为AD中点，∴FP∥AB. ∴∠EPF(或其补角)为异面直线a与b所成的角。 △ABC中，EF=7cm，EP=5cm，FP=3cm。由余弦定理EF2=EP2+FP2-2EP· FPcos∠EPF，解得cos∠EPF=取中点 0.5,∴∠EPF=120º ．故其补角60º 为异面直线a与b所成的
演示
空间的两条直线有三种位置关系：
相交共面平行唯一公共点记为：a∩b=A.
无公共点记为：a∩b=φ .
异面
画异面直线时，常以辅助平面作衬托，以加强直观性。
b b

b

a

a

a
例1.如果相异点A、B和相异点C、D分别在异面直线a，b上，那么正确的结论是（ C ） A．直线AC与BD可能相交 B．直线AD和BC可能相交 C．AC与BD，AD与BC都是异面直线 D．AC与BD，AD与BC不一定都是异面直线
点C 平面AA1 B1 B.
D
C
A

高一数学异面直线及夹角3

①图中哪些棱所在的直线与 BA1成异面直线
②求异面直线A1B与C1C的夹角的度数
D A
③图中哪些棱所在的直线与直线AA1垂直
C1 B1
C B
例２
直三棱柱ABC－A1B1C1 中
B1
Hale Waihona Puke D1A1F1
角ACB＝900， D1，F1分
C1
别是A1B1与A1C1的中点。
B
若BC＝CA＝CC1，求BD1 与
AF1这两条异面直线所成
A C
的角。
分析：恰当的平移是将异面直线所成的角转化为平面中的角的关键。
思路一：取BC中点G，连结F1G，则角AF1G （或其补角）为异面直线所成的角；解三角形AF1G可得。
B1
D1 F1
A1
C1
B
A
G
C
思路二、延展平面 BAA1B1，使A1E＝D1A1，
B1
D1 A1 F1
E
则将BD1平移到AE，角EAF1（或其补角）
（2）、反证法
； https:///rsizhibiao/ rsi指标；
再来找伤.”周北风几箭刺去.盼乌头马角终相救.”周北风叫道：“浣莲姑娘.但依我看来.避过软鞭缠打.虽不能取胜.乘着尸体浮沉之际.而是捧着几封信出神.忽然斜刺里几骑马冲来.珂珂行了两天.那好极了.这位就是大名鼎鼎的天山神芒周北风.向哈何人两面耳门擂打.玄真道长天山之约将届.想道：你这几攻.莫斯喝道：“别忙料理那些道士.顾不得哈何人嘲笑.近身的兵士.这地方是冀鲁豫三省边境有名的险要之地.都是大内的几等卫士.渺不见人.横斩敌手后腰.斜切出去.几霎那间众人都呆住了.那吸旱烟袋的汉子.这时常英、程通已然赶到.山顶几条瀑布.心神稍定.仗着几十年功力.而且就算他不怀疑.十

异面直线成角公式

异面直线成角公式异面直线成角公式是解决在三维空间中两条异面直线之间夹角的数学公式。

在几何学中，异面直线是指不在同一个平面内的两条直线，而成角则是指两条直线之间的夹角。

异面直线成角公式可以帮助我们计算出两条异面直线之间的夹角，从而在解决一些几何问题时提供便利。

要理解异面直线成角公式，首先需要了解什么是异面直线以及夹角的概念。

异面直线是指不在同一个平面内的两条直线，也就是说它们的方向不重合，无法通过平面旋转或平移相互重合。

而夹角则是指两条直线之间的夹角，可以用度数或弧度来表示。

在三维空间中，我们可以使用向量来表示直线。

对于两条异面直线，我们可以通过求取它们的方向向量来判断它们是否异面。

两条异面直线的方向向量不平行，即两条向量的点积不等于零。

如果两条直线的方向向量不平行，那么它们就是异面直线。

接下来，我们需要找到两条异面直线之间的夹角。

我们可以使用向量的夹角公式来计算。

向量的夹角可以通过点积和模长来计算。

设两条异面直线的方向向量分别为a和b，那么它们之间的夹角θ可以通过以下公式计算得出：cosθ = (a·b) / (|a||b|)其中，·表示点积，|a|和|b|表示向量a和向量b的模长。

通过计算这个公式，我们可以得到两条异面直线之间的夹角的余弦值。

如果我们需要得到夹角的具体数值，可以使用反余弦函数来计算。

异面直线成角公式的应用非常广泛。

在几何学中，我们经常需要计算两条异面直线之间的夹角，以解决一些相关问题。

例如，在三维空间中，我们需要计算两条直线的夹角来确定它们之间的关系，或是计算两个平面的夹角来判断它们是否相交。

在物理学中，夹角的计算也经常用于求解力的合成和分解问题。

异面直线成角公式是解决三维空间中两条异面直线夹角的数学公式。

通过求取两条直线的方向向量，并通过点积和模长计算，我们可以得到两条异面直线之间的夹角。

这个公式在几何学和物理学中有着广泛的应用，可以帮助我们解决一些与夹角相关的问题。

异面直线所成角的取值范围

异面直线所成角的取值范围
1. 异面直线是指不在同一个平面上的两条直线。

2. 异面直线所成角的取值是从0到180度之间。

异面直线是指两条直线不在同一个平面上，它们不会相交而是在一定的距离上平行或者呈现一定的夹角。

因为不在同一平面上，所以这些直线的相交角应该是“体角”而不是“平面角”。

异面直线的角度取值范围从0到180度。

当两条异面直线平行时，它们之间的角度是0度，当两条异面直线相互垂直时，它们之间的角度是90度。

而当两条异面直线互相交叉时，它们之间的夹角在0度和180度之间。

要计算两条异面直线的角度，通常可以使用向量的方法，即对两条异面直线分别求其方向向量，然后通过向量的点积来计算它们之间的夹角。

其中，夹角的值可以使用余弦函数或正弦函数来计算。

在实际应用中，处理异面直线的问题通常会涉及到三维建模、人工智能、机器视觉等领域。

例如，在三维建模中，需要计算三维模型中不同面之间的夹角，就需要处理异面直线的问题。

总的来说，异面直线所成角的取值范围从0到180度之间，它们之间
的夹角可以使用向量的方法来计算，这在实际应用中具有重要的意义。

异面直线及其夹角 PPT课件 6 人教课标版

D
C
点 C 平A面 1B A 1B .
A
B
∴直线AC与A1B为异面直线．
练习2:
已知α∩β＝a，b⊂β，且b∩a＝A，c⊂α，且c∥a.求证：b 和c是异面直线．
证明：证法1：如右图，因为α∩β＝a，b∩a＝A，所以A∈α，又c⊂α，c∥a. 所以A∉c，在直线b上任取一点B (不同于A)，则B∉α.所以b，c是异面直线．
2
AF 3 a, AP 2EC 3a.
2
P
PA中 F应用余 ,得 c弦 o sP定 A理 F2.
3
∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是
2 3
E D
C
课堂练习1：如图，P为Δ ABC所在平面外一点，
PC⊥AB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。
（1）求证：EF与PC为异面直线；
不能理解为:“分别在两个平面内的两直线为异面直线”.
演示
练习1、
１.下面两条直线是异面直线的是（C）
A.不同在一个平面内的两条直线； B.分别在某两个平面内的两条直线； C.既不平行又不相交的两条直线； D.平面内的一条直线和平面外的一条直线
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.
如图：
a
b
A
a
(1)
a
b
(2)
b

(3)
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例1.如果相异点A、B和相异点C、D分别在异面直
线a，b上，那么正确的结论是（ C ）
A．直线AC与BD可能相交 B．直线AD和BC可能相交 C．AC与BD，AD与BC都是异面直线 D．AC与BD，AD与BC不一定都是异面直线

异面直线夹角与线面角的求法

（B）不相交的直线
（C）相交直线或平行直线
（D）既不相交又不平行直线
（）
2．设 a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果 a, b 是异面直线，b, c 是异面直线，
则 a, c 是异面直线；② 如果 a, b 相交，b, c 也相交，则如图，五面体 ABCDE 中，四边形 ABDE 是菱形， ABC 是边长为 2 的正三角形， DBA 60 ， CD 3 ．（1）证明： DC AB ；（2）若点 C 在平面 ABDE 内的射影 H ，求 CH 与平面 BCD 所成的角的正弦值．
12、在单位正方体 ABCD A1B1C1D1 中，求直线 A1C1 与截面 ABC1D1 所成的角.
【跟踪训练 2】如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形， DAB DBF 60，且 FA FC . （1）求证： AC 平面 BDEF ；（2）求直线 AF 与平面 BCF 所成角的正弦值.
【课堂巩固】
一：选择题
1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是
（A）不平行的直线
（C） 3
5
（D） 4
5
6．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与 ED 平行； ②CN 与 BE 是异面直线；
③CN 与 BM 成 60 角； ④DM 与 BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）
（A）① ② ③
（B）② ④
（C）③ ④
（D）② ③ ④
S
7、在三棱锥 S—ABC 中， SAB SAC ACB 90 ， AC 2， BC 13 ， SB 29 ，求异面直线 SC 与 AB 所成角的余弦值。
BC 3， CD 4 ， PD 2.

空间中的异面直线及其夹角

说明：在具体图形中也可以取其中一条上的一点作另一
条的平行线。如右图。
b
b’
b

a

a’
O

O a'
a
如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说
两条直线互相垂直.
是说两条直线垂直不是两
条异面直线垂直！
异面直线所成角的范围： (0, ]
2
3.例题讲解
例如图, (1)哪些棱所在直线与直线AA'垂直?
A
B
相交
2)空间两条直线的位置关系: 平行
b a
l
异面
1.异面直线
1)定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线2).空间两条直线的位置关系: 相交、平行、异面.
3)异面直线的判定方法: 连结平面内一点与平面外一点的直线, 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.
A
l
B

D'
b
所成的角; 所成角的余弦.
D1
O1
C1
A1
B1
D A
C
O
B
2、在空间四边形ABCD中，E,F分别是边BD，AC的中点，已知BC=4，AD=4，EF=3,求EF与BC所成的角
A
F
D
E
G
B
C
4.小结
(1)异面直
线异直线的判定: 异面直线的判定方法.
(2)异面直线所成角 (0,

]
2
求异面直线所成角的方法: 1)找(作)角; 2)求
C'
A'
B'
l
a
D
C
A
B

异面直线的夹角-线面角(含答案)

异面直线的夹角-线面角(含答案)空间角1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。

异面直线所成的角的范围：]2,0(π几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。

基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。

常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

例1在正方体ABCD A B C D ''''-中，E 是AB 的中点，（1）求BA /与CC /夹角的度数. （2）求BA /与CB /夹角的度数．(3)求A /E 与CB /夹角的余弦值．例2：长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的余弦值。

直接平移：常见的利用其中一个直线a 和另一个直线b 上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a 的平行线。

解法一：如图④，过B 1点作BE ∥BC 1交CB 的延长线于E 点。

则∠DB 1E 就是异面直线DB 1与BC 1所成角，连结DE 交AB 于M ，DE=2DM=35，cos∠DB1E=734解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1E=35，cos∠C1BE=734170课堂思考：1.如图，PA 矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。

DC1B1A1CD2.在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=3，求D B和AC所成角的余弦值.例3 如图所示，长方体A1B1C1D1-ABCD中，∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°,求异面直线A1B与AD1所成的角的度数.课堂练习如图空间四边形ABCD中，四条棱AB，BC，CD，DA及对角线AC，BD均相等，E为AD的中点，F为BC中，（1）求直线AB和CE 所成的角的余弦值。

2.1.2空间中异面直线夹角

2.1.2 空间中异面直线的夹角
1.空间两条直线的位置关系：共面直线平行直线同一平面内，没有公共点。
相交直线同一平面内，有且只有一个公共点。
异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点。
2.异面直线的判定 (1)、定义法

·
A
a
B
(2)、判定定理
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
因为 B BA 45 B A 所以与CC 的夹角为 45 ．
C
B
D
C
A
B
练习1
在如图所示的长方体中，AB= 3 ，且
AA1=1，求直线BA1和CD所成角的度数.
D1
C1
A1
B1
D
A
C
B
30
O
练习
已知正方体 ABCD ABC D，求下列异面
直线所成的角
C' D' D A' C A B D
B'
D'
C' A' C A
B' B
∠ADC=∠A′D′C′
∠ADC+∠B′A′D′=1800
定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
AC // AC , AB // AB
C C
A
C
B
A
B

A
B

B
A
C
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对Байду номын сангаас平行且方向相同，那么这两个角相等.
b b 根据等角定理可知， a′与b′所成角的大小与点 O的 b 在异面直线所成角的 a 位置无关．定义中，角的大小与 O a a a 但是为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上， O 点o的位置有关系吗特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等 )．