201x届九年级数学上册第四章图形的相似4.6利用相似三角形测高知能演练提升新版北师大版
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第六节利用相似三角形测高
2. 测量方法
知2－讲
(1)测量出标杆的长度、观测者眼睛到地面的高度；
(2)让标杆竖直立于地面，调整观测者的位置，使观测
者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端恰好在一条直
线上，测量出观测者的脚与标杆底端间的距离以及
与被测物体底端间的距离；
(3)根据标杆与被测物体平行推导出两个三角形相似，
利用对应边成比例求出被测物体的高度.
时刻测量参照物与被测物体的影长.
感悟新知
知1－练
例 1 某一时刻，身高1.6m的小明在太阳光下的影长是0.4m，
同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5m，则该旗
杆的高度是( )
A．1.25 m
B．10 m
C．20 m
D．8 m
解题秘方：建立相似三角形的模型，用“在同一时刻
太阳光下物体的高度与影长成比例”求解.
他与镜子的水平距离CE=0.5m，镜子E与旗杆的
底部A 处的距离AE=2m，且A，E，C三点在
同一水平直线上，则旗杆AB的高度为( D )
A．4.5 m
B．4.8 m
C．5.5 m
D．6 m
课堂小结
利用相似三角形测高
相似的 应用
测量高度 工具
光线 平面镜 标杆或皮尺
学习目标
课后作业
作业1 必做: 请完成教材课后习题 作业2 补充:
感悟新知
知2－练
解题秘方：本题关键是找出相似的三角形，然后根 据对应边的比相等列出方程求解.
感悟新知
解：∵∠DEF =∠BCD=90°，∠D=∠D，
知2－练
∴△DEF∽△DCB.∴BECF
=
DC DE
.
∵ DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，CD=8m，
北师大版九年级上册数学 4.6 利用相似三角形测高 同步练习(含解析)
1．解：设长臂端点升高x米，
则 ，
∴x＝8．
故选：D．
2．解：由相似三角形的性质，设树高x米，
则 ＝ ，
∴x＝5.1m．
故选：B．
3．解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE＝∠DCE＝90°，
又∵∠AEB＝∠DEC（对顶角相等），
∴△ABE∽△DCE，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：AB＝70m．
故选：D．
4．解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°∠D＝∠D
∴△DEF∽△DCB
∴ ＝
∵DF＝50cm＝0.5m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝20m，
∴由勾股定理求得DE＝40cm，
∴ ＝
∴BC＝15米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+15＝16.5米，
故选：D．
5．解：如图所示，过A作AG⊥DE于G，交BC与F，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴CD＝16.8m，
故答案为：16.8．
14．解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，
则DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴ ＝ ，
∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，
∴CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，
∴OC＝0.5m，
∴ ＝ ，
∴DG＝1.8m，
∴HF＝（10+80 ）cm．
故答案为：80 ，（10+80 ）；
12．解：由题意得：CD∥AB，
∴ ＝ ，
∵AB＝3.5cm，BE＝5m，DE＝3m，
∴ ，
∴CD＝2.1cm，
故答案为：2.1cm．
13．解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
新北师大九年级上4.6 利用相似三角形测高
3．如图，AB 表示一个窗户的高，AM 和 BN 表示射入
室内的光线，窗户的下端到地面的距离 BC = 1 m．已
知某一时刻 BC 在地面的影长 CN = 1.5 m，AC 在地面 的影长 CM = 4.5 m，求窗户的高度．
4、 一油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1米，
从桶盖小口斜插入桶内一端到桶底，另一端到小
C
A
B
E
D
方法3:利用镜子反射
（1）能否构建相似的三角形？说明理由。 （2）需要测出哪些长度？ A 1.6m １．同学眼睛到地面距离？ 2m ２．同学到镜子中标记的距离？
３．镜子到旗杆的距离？ 20m B E
C
D
（3）如何求旗杆的高？ 解： ABE CDE,AEB CED
ΔABE ∽ ΔCDE 方法要点： 光线的反射角等于入射角. AB BE 1.6
2 即： CD DE CD 20 解得： CD 16(m)
例题解析
例1、小红测得2m高的标杆在太阳光下的影长为 1.2m，同时又测得一颗树的影长为12m，请你计算 出这棵树的高度。
D
A
B C E
F
例2、 小明为测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一 根高为2m的标杆EF,然后小明前后调整自己的位置，当他与 树相距27m时，他的眼睛、标杆的顶端和树顶端在同一直线 上，已知小明身高1.6m,求树的高度。 C 解：如图，由题意得： AB=1.6m,EF=2m,BD=27m,FD=24m 过点A作AN ∥BD交CD于N、EF于M ∵ ∠EMA=∠CNA，∠EAM=∠CAN
１．上述几种测量方法的基本思路是什么？
综合运用三角形相似的判定条件和性质解决问题时，其方法是： （1）将实际问题转化为相似三角形问题； （2）想方设法找出一对相似三角形 （3）根据相似三角形性质，建立比例式，求出相应的量。
新北师大版九年级数学上第四章图形的相似4.6利用相似三角形测高0
方法1:利用阳光下的影子
1.图中两个三角形是否相似?
为什么? 2.利用阳光下的影子， 测量旗杆高度，需要 测出哪些数据才能计 算出高度？
因为△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ，
D
所以 AC BC ，
DF
EF
人高 人影 . 即 物高 物影
A 应用：若学生身高是1.6m, 其影长是2m,旗杆影长5m, B C E F 求旗杆高度.
【解析】设树的高度为xm，利用两个三角形相似可得x=7. 答案：7
2.(甘肃· 中考）在同一时刻，身高1.6m的小强在阳光下的影 长为0.8m，一棵大树的影长为4.8m，则这棵树的高度为
______m.
【解析】设这棵树的高度为xm，则 1.6∶x=0.8∶4.8， 解得x=9.6，即这棵树的高度为9.6m. 答案：9.6
九年级数学(上) 第四章
图形的相似
第 6节 利用相似三角形测高
回顾与复习
相似三角形的判定方法: 两角对应相等，两三角形相似. 三边对应成比例,两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 通过测量旗杆的高度，运用三角形相似的相关知识解 决一些实际问题.
一盗窃犯于夜深人静之时潜入某单位作 案，该单位的自动摄像系统录下了他作案的 全过程.请你为警方设计一个方案，估计该盗 窃犯的大致身高.
5 CD 所以 ， AB CA 5 1 所以 ， AB 2
5米
?
所以AB＝10.
答：Ａ，Ｂ两点间的距离是１０m.
1.(内江· 中考）如图，为了测量某棵树的高度，小明用 长为2m的竹竿作为测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的 顶端的影子终点恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与 这点相距6m，与树相距15m，则树的高度为_______m.
北师大版 九年级数学上册 第四章_4.6利用相似三角形测高_电子教案
第四章图形的相似4.6 利用相似三角形测高1.通过测量旗杆的高度的活动,巩固相似三角形有关知识,积累数学活动的经验.2.熟悉测量工具的使用技能,了解小镜子使用的物理原理.测量旗杆高度的数学依据,有序安排测量活动,并指导学生能顺利进行测量.(1)方法2中如何调节标杆,使眼睛、标杆顶端、旗杆顶端三点成一线.(2)方法3中镜子的适当调节.教师:今天我们要做一节活动课,任务是利用三角形相似的有关知识,测量我校操场上旗杆的高度.请同学们回忆判定两个三角形相似的有关条件.学生:两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似.教师:好,外边阳光明媚,天公作美,助我们顺利完成今天的活动课目——测量旗杆的高度.首先我们应该清楚测量原理.请同学们根据预习与讨论情况分组说明三种测量方法的数学原理.甲组:利用阳光下的影子.出示投影片§4.6A从图4-6-1中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形,即△EAD∽△ABC,因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出,根据EAAB=ADBC,可得BC=AB·ADEA,代入测量数据即可求出旗杆BC的高度.教师:有理有据.你们讨论得很成功.请乙组出代表说明方法2.乙组:利用标杆.出示投影片§4.6B如图4-6-2,当旗杆顶端、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线AD与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于点G,交标杆EF于点H,于是得△DHF∽△DGC.因为可以测量AE,AB的长度,观测者身高AD、标杆长EF,且DH=AE,DG=AB.由FHGC=DHDG,得GC=FH·DGDH.所以旗杆的高度BC=GC+GB=GC+AD.学生甲:我认为还可以这样做.过点D,F分别作EF,BC的垂线交EF于点H,交BC于点M,因标杆与旗杆平行,容易证明△DHF∽△DMC,由MCHF=DMDH,可求得MC的长.于是旗杆的长BC=MC+MB=MC+AD.乙组代表:如果这样的话,我认为测量观测者的脚到标杆底部的距离与标杆底部到旗杆底部的距离适合同学甲的做法.这样可以减少运算量.教师:你想得很周到,大家有如此出色的表现,老师感到骄傲,请丙组同学出代表讲解.丙组:利用镜子的反射.出示投影片§4.6C这里涉及物理上的反射镜原理,观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像,是倒立旗杆的顶端C′(如图4-6-3).∵△EAD∽△EBC′且△EBC′≌△EBC,∴△EAD ∽△EBC,测出AE,EB与观测者的身高AD,根据AEEB=ADBC,可求得BC=EB·ADAE. 教师:同学们清楚原理后,请按我们事先分好的三大组进行活动,为节省时间,每组分出三个小组分别实施三种方法,要求每小组中有观测员、测量员、记录员、运算员、复查员.活动内容是测量我校操场上的旗杆高度.［同学们紧张有序地进行测量］教师:通过大家的精诚合作与共同努力,现在各组都得到了要求的数据和最后的结果,请各组出示结果,并讨论下列问题:1.你还有哪些测量旗杆高度的方法?2.今天所用的三种测量方法各有哪些优缺点?通过下表对照说明测量数据的误差情况,以及测量方法的优劣性.出示投影片§4.6D对照上表,结合各组实际操作中遇到的问题,我们综合大家讨论的情况,做出如下结论.1.测量中允许有正常的误差.我校旗杆高度为20 m,同学们本次测量获得成功.2.方法一与方法三误差范围较小,方法二误差范围较大,因为肉眼观测带有技术性,不如直接测量、仪器操作得到的数据准确.3.大家一致认为方法一简单易行,是个好办法.4.方法三用到了物理知识,可以考查我们综合运用知识解决问题的能力.5.同学们提出“通过测量角度能否求得旗杆的高度呢”.有大胆的设想,老师很佩服,在大家学习了三角函数后,我相信会有更多的测量方法呢.·例题讲解1.如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高.分析：本题所叙述的内容可以画出如上图那样的几何图形，即DF=60厘米=0.6米，GF=12厘米=0.12米，CE=30米，求BC.由于△ADF∽△AEC,DF AF EC AC=，又△AGF∽△ABC，∴AF GFAC BC=，∴DF GFEC BC=，从而可以求出BC的长.解：∵AE⊥EC,DF∥EC，∴∠ADF=∠AEC,∠DAF=∠EAC，∴△ADF∽△AEC.∴DF AFEC AC=.又GF⊥EC,BC⊥EC，∴GF∥BC,∠AFG=∠ACB,∠AGF=∠ABC，∴△AGF∽△ABC，∴AF GFAC BC=，∴DF GFEC BC=.又DF=60厘米=0.6米，GF=12厘米=0.12米，EC=30米，∴BC=6米.即电线杆的高为6米.【巩固练习】教材随堂练习(学生总结,老师点评)本节课要掌握:测量旗杆高度的几种常用的方法,并且明白它们的数学原理——相似三角形的有关知识,初步积累一些数学建模的经验.课本习题4.10第2，3，4题。
九年级数学上册 第四章 图形的相似 4.6 利用相似三角形测高教案 (新版)北师大版-(新版)北师大
4.6 利用相似三角形测高课题利用相似三角形的有关知识测量旗杆（或路灯杆）的高度教学目标（一）教学知识点1.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验.2.熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理.（二）能力训练要求1.通过测量活动，使学生初步学会数学建模的方法.2.提高综合运用知识的能力.（三）情感与价值观要求在增强相互协作的同时，经历成功的体验，激发学习数学的兴趣.教学重点1.测量旗杆高度的数学依据.，并指导学生能顺利进行测量.教学难点，使眼睛、标杆顶端、旗杆顶部三点成一线.2.方法3中镜子的适当调节.教学方法1.分组活动.2.交流研讨作报告.工具准备小镜子、标杆、皮尺等测量工具各3套.教具准备投影片一：（记作§4.6 A）投影片二：（记作§4.6 B）投影片三：（记作§4.6 C）投影片四：调查数据表.（记作§4.6 D）教学过程Ⅰ.创设问题情境，引出课题［师］今天我们要做一节活动课，任务是利用三角形相似的有关知识，测量我校操场上旗杆的高度.请同学们回忆判定两三角形相似的有关条件.［生］两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似.Ⅱ.新课讲解 ［师］好，外边阳光明媚，天公作美，助我们顺利完成我们今天的活动课目——测量旗杆的高度.首先我们应该清楚测量原理.请同学们根据预习与讨论情况分组说明三种测量方法的数学原理.甲组：利用阳光下的影子.（出示投影片§4.6 A ）图①从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形（如图①），即△EAD ∽△ABC ，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据BC AD AB EA =可得BC =EAAD BA ⋅，代入测量数据即可求出旗杆BC 的高度. ［师］有理有据.你们讨论得很成功.请乙组出代表说明方法2.乙组：利用标杆.（出示投影片§4.6 B ）图②如图②，当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时，因为人所在直线AD 与标杆、旗杆都平行，过眼睛所在点D 作旗杆BC 的垂线交旗杆BC 于G ，交标杆EF 于H ，于是得△DHF ∽△DGC .因为可以量得AE 、AB ，观测者身高AD 、标杆长EF ，且DH =AE ， DG =AB由DG DH GC FH =得GC =DH DG FH ⋅.∴旗杆高度BC =GC +GB =GC +AD .［同学A ］我认为还可以这样做.过D 、F 分别作EF 、BC 的垂线交EF 于H ，交BC 于M ，因标杆与旗杆平行，容易证明 △DHF ∽△FMC∴由DHM FH MC = 可求得MCBC =MC +MB =MC +EF . 乙组代表：如果这样的话，我认为测量观测者的脚到标杆底部距离与标杆底部到旗杆底部距离适合同学A 的做法.这样可以减少运算量.［师］你想得很周到，大家有如此出色的表现，老师感到骄傲，请丙组同学出代表讲解.图③［丙组］利用镜子的反射.（出示投影片§4.6 C ）这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C ′，∵△EAD ∽△EBC ′且△EBC ′≌△EBC ∴△EAD ∽△EBC ，测出AE 、EB 与观测者身高AD ，根据BC AD EB AE =，可求得BC =AEAD EB ⋅.［师］同学们清楚原理后，请按我们事先分好的三大组进行活动，为节省时间，每组分出三个小组分别实施三种方法，要求每小组中有观测员，测量员，记录员，运算员，复查员.活动内容是：测量我校操场上的旗杆高度.［同学们紧X 有序的进行测量］［师］通过大家的精诚合作与共同努力，现在各组都得到了要求数据和最后结果，请各组出示结果，并讨论下列问题：1.你还有哪些测量旗杆高度的方法？2.今天所用的三种测量方法各有哪些优缺点？通过下表对照说明测量数据的误差情况，以及测量方法的优劣性. （出示投影片§4.6 D ）对照上表，结合各组实际操作中遇到的问题，我们综合大家讨论情况做出如下结论.1.测量中允许有正常的误差.我校旗杆高度为20 m ，同学们本次测量获得成功.2.方法一与方法三误差X 围较小，方法二误差X 围较大，因为肉眼观测带有技术性，不如直接测量、仪器操作得到数据准确.3.大家一致认为方法一简单易行，是个好办法.4.方法三用到了物理知识，可以考查我们综合运用知识解决问题的能力.“通过测量角度能否求得旗杆的高度呢”.有大胆的设想，老师很佩服，在大家学习了三角函数后相信会有更多的测量方法呢.Ⅲ.课堂练习高4 m 的旗杆在水平地面上的影子长6 m ，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m ，求该建筑物的高度.图4－37分析：画出上述示意图，即可发现：△ABC ∽△A ′B ′C ′ 所以B A AB ''=C B BC ''于是得，BC =6424⨯=''''⋅B A C B AB =16 （m ）. 即该建筑物的高度是16 m.Ⅳ.课时小结这节课我们通过分组活动，交流研讨，学会了测量旗杆高度的几种常用方法，并且明白了它的数学原理——相似三角形的有关知识，初步积累了一些数学建模的经验.Ⅴ.课后作业Ⅵ.活动与探究雨后初晴，同学们在操场上玩耍，可看到积水中的影子，你能否利用积水测量旗杆的高度？其中原理是什么？（借鉴课本中测量旗杆的高度的方法2）.板书设计。
九年级数学上册第四章图形的相似4.6利用相似三角形测高
x=12.
C
1.4m
1
2
D 2.1m E
18m
B
答：树高1２m.
12/11/2021
第十一页，共二十页。
2.如图,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小芳想用绳子测量A,B两点 之间的距离,但绳子的长度不够,一位同学帮她想了一个主意,先在地上 (dìshànɡ)取一个可以直接到达A,B两点的点C,找到AC,BC的中点D,E,若DE 的长为5m,则A,B两点的距离是多少？ 解：由题意知△CDE∽△CAB，
1.6∶x=0.8∶4.8，
解得x=9.6，即这棵树的高度为9.6m. 答案：9.6
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第十四页，共二十页。
3.甲、乙两盏路灯底部间的距离是30m，一天(yī tiān)晚上，当 小华走到距路灯乙底部5m处时，发现自己的身影顶部正好 接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5m，那么路灯甲的
高为______m．
12/11/2021
第十五页，共二十页。
【解析】设路灯(lùdēng)甲高为xm，由相似得 x=9，所以路灯甲的高为9m. 答案：9
，解得 5 = 1 . 5 30 x
12/11/2021
第十六页，共二十页。
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.利用阳光下的影子、标杆和镜子的反射，测量旗杆的高度. 2.当被测物体不能直接测量时，我们往往利用相似三角形的 性质(xìngzhì)测量物体.
【解析】设树的高度(gāodù)为xm，利用两个三角形相似可 得x=7. 答案：7
Hale Waihona Puke 12/11/2021第十三页，共二十页。
2.(甘肃·中考）在同一时刻，身高1.6m的小强在阳光下的影长为 0.8m，一棵大树(dà shù)的影长为4.8m，则这棵树的高度为
九年级数学上册第四章图形的相似6利用相似三角形测高学案新版北师大版
4.6 利用相似三角形测高一、三维目标知识目标：会运用三角形相似的判定定理和定义设计测量物体的高度方案。
能力目标：会利用三角形相似计算物体实际高度。
情感目标：在活动过程中,发展学生的数学应用意识,增强学生学习数学的自信心。
重点： 会利用相似三角形定义和判定定理计算物体实际高度。
难点 : 构造相似三角形的模型自学方法： 自学课本103--104页完成以下三个知识点自学要求：（1）先独立完成,有疑问与同桌,邻桌交流（2）小组交流讨论解决个人疑问二、自主梳理：（一）旧知识梳理：1、 相似三角形的性质：相似三角形的对应角_________,对应边_________；2相似三角形的判定：①___________________的两个三角形相似；②________________且___________的两个三角形相似；③______________________的两个三角形相似；（二）新知识梳理：（三）课堂探究1：利用阳光下的影子来测量旗杆的高度∵太阳的光线是_________的,∴________∥_________,∴∠AEB ＝∠CBD ,∵人与旗杆是________于地面的,∴∠ABE ＝∠CDB=_____°,∴△_______∽△_______ ∴BD BE CD AB = 即CD=BE BDAB ⋅2：利用标杆测量旗杆的高度B D CA E 如图,过点A 作AN ⊥DC 于N ,交EF 于M ．点拨：∵人、标杆和旗杆都_______于地面∴∠ABF ＝∠EFD ＝∠CDH ＝_______∴EF ∥CN,∴∠_____＝∠_____,∵∠3＝∠3,∴△______∽△______,∴CNEM AN AM = ∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离,标杆与人的身高的差EM 都已测量出,∴能求出CN ,∵∠ABF ＝∠CDF ＝∠AND ＝90°,∴四边形ABND 为________．∴DN ＝_______,∴能求出旗杆CD 的长3：利用镜子的反射(点拨：入射角＝反射角}∵入射角＝反射角∴∠________＝∠________ ∵人、旗杆都_________于地面∴∠B ＝∠D ＝_______°∴△________∽△________, ∴ DEBE CD AB = 四 随堂闯关：议一议五、 巩固练习、如图,利用标杆BE 测量建筑物DC 的高度,如果标杆BE 的长为1.2米,测得AB=1.6米,BC=8.4米,则楼高CD=___________米.六、自我评价：七：衔接中考： （佛山中考）旗杆的影子长6米,同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是10米,如果此时附近小树的影子长为3米,那么小树的高是___________米；。
北师大版九年级数学上册4.6：利用相似三角形测高导学案（含答案）
北师大版九年级数学上册4.6：利用相似三角形测高导学案（含答案）北师大版九年级数学上册第四章 4.6利用相似三角形测高导学案一、预习目标1．本节介绍了三种测量旗杆高度的方法，分别是利用阳光下的影子，利用标杆，利用镜子的反射．2．上述测量旗杆高度的方法都是依据相似三角形的性质的原理而设计的．3．同一时刻，物高与影长成正比．二、课堂精讲精练【例1】如图，小华用长为3.2 m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8 m与旗杆相距22 m，则旗杆的高为(A)A．12 m B．10 m C．8 m D．7 m【跟踪训练1】如图，身高为1.7 m的小明AB站在小河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A，E，C′在一条线上．如果小河BD的宽度为12 m，BE＝3 m，那么这棵树CD的高为5.1m.【例2】《铁血红安》在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩．某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上(如图)．已知小明的眼睛离地面1.65米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，由题意可得：AN＝2米，CN＝2－1.65＝0.35(米)，MN＝40米，AM＝AN＋MN＝42米．MF ＝1.65米．∵CN ∥EM ，∴△ACN ∽△AEM. ∴CN EM ＝AN AM . ∴242＝0.35EM . 解得EM ＝7.35.∴EF ＝EM ＋MF ＝7.35＋1.65＝9(米)．∴城楼的高度为9－1.7＝7.3(米)．【跟踪训练2】如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板DEF 的斜边DF 保持水平，并且边DE 与树顶B 在同一直线上，已知两条边DE ＝0.2 m ，EF ＝0.1 m ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5 m ，CD ＝4 m ，则树高AB 为3.5m.【例3】如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O ，A ，B ，C ，D 在同一条直线上)，测得AC ＝2 m ，BD ＝2.1 m ，如果小明眼睛距地面高度BF ，DG 为1.6 m ，试确定楼的高度OE.解：令OE ＝a m ，AO ＝b m ，CB ＝x m ，则由△GDC ∽△EOC ，得GD EO ＝CDOC ，即1.6a ＝2.1－x 2＋b，整理，得3.2＋1.6b ＝2.1a －ax ①，由△FBA ∽△EOA ，得FB EO ＝AB OA，即1.6a ＝2－x b，整理，得1.6b ＝2a －ax ②，将②代入①，得3.2＋2a －ax ＝2.1a －ax ，∴a ＝32，即OE ＝32，答：楼的高度OE 为32 m.【跟踪训练3】如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20 m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部．已知丁轩同学的身高是1.5 m ，两个路灯的高度都是9 m ，则两路灯之间的距离是30m.三、课堂巩固训练1．如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度．已知标杆BE 高1.2 m ，测得AB ＝1.6 m ，BC ＝12.4 m ，则建筑物CD 的高是(B)A ．9.3 mB ．10.5 mC ．12.4 mD ．14 m2．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A ，D 两个端点之间的距离为10 m ，AO BO ＝DO CO ＝23，则容器的内径是(C)A ．5 cmB ．10 cmC ．15 cmD ．20 cm3．在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示．若a1＝1米，a2＝10米，h＝1.5米，则这个学校教学楼的高度为15米．4．如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A 端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10 cm，已知AC与BC之比为5∶1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压50cm.5．如图，小超想要测量窗外的路灯PH的高度．星期天晚上，他发现灯光透过窗户照射在房间的地板上，窗户的最高点C落在地板B 处，窗户的最低点落在地板A处，小超测得窗户距地面的高度QD＝1 m，窗高CD＝1.5 m，并测得AQ＝1 m，AB＝2 m．请根据以上测量数据，求窗外的路灯PH的高度．解：∵DQ⊥BP，∴∠CQB＝90°.∵QD＝1 m，QA＝1 m，∴∠QAD＝45°.∵PH⊥PB，∴∠HAP＝∠HPA＝45°.∴PH＝PA，设PH＝PA＝x m，∵PH⊥PB，CQ⊥PB，∴PH∥CQ，∴△PBH∽△QBC，∴HPCQ＝PBQB，即x1＋1.5＝x＋21＋2.解得x＝10.答：窗外的路灯PH的高度是10 m.四、课堂总结1．测量旗杆的高度有三种方法：(1)利用阳光下的影子；(2)利用标杆(对应“A”字形)；(3)利用镜子反射(对应“8”字形)．它们都利用相似三角形的性质，在练习时一定要重视两个三角形为什么相似．2．对影子没“落地”问题的两种处理方法：①人为“抬高地平线”；②设法消除“障碍物”，让光线与水平地面相交，转化为常规影长问题．。
九年级数学上册 第四章 图形的相似 6 利用相似三角形测高 解决测量高招多素材 北师大版(2021
九年级数学上册第四章图形的相似６利用相似三角形测高解决测量高招多素材(新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第四章图形的相似6 利用相似三角形测高解决测量高招多素材（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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解决测量高招多近几年来测量问题备受中考命题者的青睐,而且测量的方法很多。
本文将举例介绍几种解答这类问题的方法。
一、 利用相似三角形的性质测量物体的高度或宽度例1．如图1，学校的围墙外有一旗杆AB ,甲在操场上的C 处直立3cm 高的竹竿CD ， 乙从C 处退到E 处,恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合，量得3CE =m ,乙的眼睛到地面的距离 1.5FE =m ,丙在1C 处也直立３m 高的竹竿11C D ，乙从E 处后退6m 到1E 处,恰好看到竹竿顶端1D 与旗杆顶端B 也重合，量得114C E m =，求旗杆AB 的高.图1分析:本题考察了相似三角形中比例线段的应用，难度稍大,表现在图形复杂，数据较多.设乙的水平视线与旗杆、竹竿的交点分别为G ,M ，N .经细致分析,发现问题集中在FDM ∆与FBG ∆，11F D N ∆与1F BG ∆上，且这两对三角形均相似，于是可设相关线段,BG x GM y ==，由FDM FBG ∆∆，可得1.533x y=+ ① 由111F D N F BG ∆∆，有1.5363x y =++。
② 由①,②联立方程组，解得{9,15.x y ==故旗杆AB 的高为9+1.5＝10。
九年级数学上册第四章图形的相似4.6利用相似三角形测高教学设计1新版北师大版
1.设置贴近学生生活的情景问题，使学生置身其中，提高学生的注意力，从而达到更有效地激发学生的情趣，使学生很快地进入学习状态．
2．学生从中感受到相似三角形的构造方法，同时复习应用了相似三角形的判定方法．体会数学来源于生活并服务于生活．
3．结合物理上的知识“入射角＝反射角”得到相似三角形，将物理与数学相结合，体会知识服务于生活这一理念.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1如图4－6－11，已知高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长24m，求该建筑物的高度．
图4－6－11
例2明明想用镜子测量一棵古松树的高，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图4－6－12所示，第一次他把镜子放在C点，人在F点正好在镜中看到树尖A；第二次他把镜子放在C′点，人在F′点正好看到树尖A.已知明明眼睛距地面1.70m，量得CC′为5.64m，CF为1.8m，C′F′为3.84m，求这棵古松树的高．
1.用源于生活的美丽图片吸引学生的注意力，激发他们的好奇心，调动学生的学习情趣，增强感性，诱发学生对新知识的需求．重点让学生明白利用三角形相似可求得不能直接测量的物体的高度，为本节课的学习做好铺垫.
2.回顾复习三角形相似的判定定理，为本节课奠定基础，同时揭示本节课课题，明确目标．引导学生结合实际生活理解相似三角形的应用——测高、测距离等.
图4－6－12
相似在生活中的应用就是利用相似的性质求物体的高度．通过练习可以让学生了解求物体高度的一些方法，同时提高了学生分析问题、解决问题的能力.
【拓展提升】
1．利用太阳光求物体的高度
例1如图4－6－13所示，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC＝1米，已知某一时刻BC在地面上的影长CN＝1.5米，AC在地面上的影长CM＝4.5米，求窗户的高度．
北师大版初中数学九年级上册《第四章图形的相似6利用相似三角形测高》赛课教案_0
4.6 利用相似三角形测高一、学习任务分析：利用相似三角形测量是被广泛应用于实际生活中的数学知识。
学会利用相似三角形对事物进行测量，不仅可以使学生更好的认识图形的相似，也能培养学生通过数学知识解决实际问题的数学素养，提高学生应用数学的意识和合作交流的能力。
《利用相似三角形测高》是在学生已经较为系统的研究了相似三角形的判定和应用的基础上进行学习和探究的。
本课立足于学生已有的相似三角形的知识和已有的生活经验，对如何利用相似三角形测量旗杆的方法进行了充分的讨论，从而以小组为单位，经过讨论、人员分工、测量数据等逐步探索，进行了较为完整的方案制定。
让学生通过自己的努力，完全参与，让学生加深认识和理解相似三角形的相关知识，也通过实地测量、计算、比较，体验成功的快乐。
《利用相似三角形测高》也为九年级下册学生利用三角函数测高垫下了坚实的基础，积累数学活动经验。
二、学情分析：学生在七年级下册学习过了图形的全等和全等三角形的相关知识，也经历过利用三角形全等测量不能直接测量的相关数据，即相似三角形的特殊情况，这对本节学生的理解和方案制定有了一定的基础知识和基本活动经验。
但本节的是测量像旗杆一样，不能直接度量的物体的高度，这为如何将物体与三角形结合起来，如何构造两个看不见的相似三角形，就是本节学生障碍所在。
在不同的方案制定前，首先要明白一些物理知识，如利用太阳光测量‘旗杆' 高度时，要明白在同一时刻同一地点，太阳光线是平行的，即能与地面形成的角度一样；利用平面镜侧高时，要用到光入射角等于反射角等等。
为了学生更科学更顺利的完成测量，本节课共分两课时，第一课时我组织学生进行充分讨论，并对学生提出的一些方法进行展示，进行了科学指导。
学生在课下又进行了方案制定，人员分工。
之后我对对每组的测高方案进行了审查，并进行了细节处理。
学生最后又打印成电子稿，以便在课上进行展示。
三、教学定位：教学目标：1、熟练应用三角形相似的判定掌握测量旗杆（或其他建筑物）高度的方法；2、通过设计测量旗杆高度的方案和实地测量、计算，学会由实物图形抽象成几何的方法，体会实际问题转化成数学模型的转化思想；3、发展学生合作交流意识，培养学生勇于探索、勇于发现、敢于尝试的科学精神。
九年级数学北师大版上册 第4章《4.6利用相似三角形测高》教学设计 教案
4.6利用相似三角形测高◇教学目标◇【知识与技能】运用相似三角形的判定定理和相似三角形的定义解决问题.【过程与方法】通过测量旗杆的高度综合运用相似三角形的判定定理和相似三角形的定义解决问题,提高应用意识,加深对相似三角形的理解和认识.【情感、态度与价值观】在分组合作和全班交流的过程中,进一步积累数学活动经验,增强数学学习的自信心.◇教学重难点◇【教学重点】运用相似三角形的判定定理和相似三角形的定义解决问题.【教学难点】运用相似三角形的判定定理和相似三角形的定义解决问题.◇教学过程◇一、情境导入在生活当中有些物体的高度是可以测量的,比如房子的高度,人的身高等,那么怎样测量旗杆的高度呢?二、合作探究探究点1利用阳光下的影子测量高度典例1某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度,在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF,如图所示,量出DF的影子EF的长度为1米,再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米,那么旗杆AC的高度为()A.6米B.7米C.8.5米D.9米[解析]由于太阳光线是平行光线,即DE∥AB,∴∠DEF=∠ABC,又∵∠DFE=∠ACB=90°,∴△DEF∽△ABC.∴EFBC =DFAC,即16=1.5AC,∴AC=9.[答案] D如图,为了测量一个大峡谷的宽度,地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O,再在他们所在的一侧选点A,B,D,使得AB⊥AO,BD⊥AB,然后确定DO和AB的交点C,测得AC=120 m,CB=60 m,BD=50 m,你能帮助他们算出峡谷的宽OA吗?[解析]∵OA⊥AB,BD⊥AB,∴OA∥BD,∴△AOC∽△BDC,∴OABD =ACBC,即OA50=12060,∴OA=100.答:这个峡谷的宽度是100 m.探究点2利用标杆或镜子的反射测量高度典例2如图,小明欲测量一座古塔的高度,他拿来一根竹竿竖直插在地面上,然后自己退后,使眼睛通过竹竿的顶端刚好看到塔顶,若小明眼睛离地面1.6 m,竹竿顶端离地面2.4 m,小明到竹竿的距离DF=2 m,竹竿到塔底的距离DB=33 m,求这座古塔的高度.[解析]作EH⊥AB于点H,交CD于点G.∵CD⊥BF,AB⊥BF,∴CD∥AB,∴△EGC∽△EHA,∴AHCG =EHEG.又∵CG=2.4-1.6=0.8,EHEG =33+22=352,∴AH=352×0.8=14,又∵BH=EF=1.6,∴AB=AH+BH=15.6.答:古塔的高度为15.6 m.如图,小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度,镜子与铁塔的距离EB=20米,镜子与小华的距离ED=2米,小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A.已知小华的眼睛距离地面的高度CD=1.5米,则铁塔AB的高度是多少米?[解析]根据反射角等于入射角可得∠1=∠2,∵∠1+∠AEB=90°,∠2+∠CED=90°,∴∠AEB=∠CED.又∵AB⊥BD,CD⊥BD, ∴∠ABE=∠CDE=90°, ∴△ABE∽△CDE,∴ABCD =EBED,又∵CD=1.5,EB=20,ED=2,∴AB1.5=202,AB=15.即铁塔的高度为15米.三、板书设计利用相似三角形测高1.利用阳光下的影子测量高度2.利用标杆或镜子的反射测量高度◇教学反思◇通过本节课的学习,学生做到了以下几个方面:首先,进一步熟悉了相似三角形的相关知识,并且将其应用到生活实际中去,加深对相似三角形的理解;其次,在分组合作和全班交流的过程中,进一步积累数学活动经验,增强数学学习的自信心.。
九年级数学上册第四章图形的相似6利用相似三角形测高教学
∠ABD=∠ECD=90゜
B
DC
∴⊿ABD∽⊿ECD
E
（两角分别相等(xiāngděng)的两个三角形相似），
∴ AB BD , EC CD
解得 AB BDEC11850~9.67(米 )
CD
61
答：河的宽度(kuāndù)AB约为96.7米.
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6.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影 长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近(kàojìn) 教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影
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讲授(jiǎngshòu)新课
一 运用相似三角形解决高度(长度)测量问题
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代 八大奇迹(qíjì)之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用 相似三角形的原理测量金字塔的高度，你能根据图示说出他 测量金字塔的原理吗？
又∵∠AOB=∠DFE=90°，
∴△ABO∽△DEF，
∴ = ，∴ = ，201 3
∴BO=134.
因此(yīncǐ)金字塔高134 m.
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测高方法(fāngfǎ)一：
测量不能到达顶部的物体的高度(gāodù)，可以用
“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
1.2 1.6 CD 14
1.6m
CD=10.5m.
1.2m
12.4m
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4.如图，左、右并排(bìngpái)的两棵大树的高分别是 AB =8 m和 CD=12 m， 两树底部的距离 BD=5 m，一个人估计自己的眼睛距地面 1.6 m．她 沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的
九年级数学上册第四章图形的相似6利用相似三角形测高教案北师大版(2021年整理)
河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇九年级数学上册第四章图形的相似6 利用相似三角形测高教案（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇九年级数学上册第四章图形的相似6 利用相似三角形测高教案（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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利用相似三角形测高课题利用相似三角形测高课时安排共（1）课时课程标准通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验.学习目标1。
通过测量活动,使学生初步学会数学建模的方法。
2。
提高综合运用知识的能力.教学重点“在平行光线的照射下，同一时刻不同物体的物高与影长成比例”的应用。
教学难点如何调节标杆，使眼睛、标杆顶端、旗杆顶部三点成一线.教学方法合作交流,共同探究课前作业让学生观察,引出新知:构造相似三角形，用相似三角形得到：物高与影长的关系教学过程教学课堂合作交流二次备课（修改环节一学生、影子的位置关系是垂直的，再加上太阳光线，构造出下图，你能证明△ABC∽△DEF吗?=BA BA物高物高物影长物影长或=AB BA物高物影长物高物影长2、环节二例题讲解：1、如图,阳光通过窗口照射到室内(太阳光线是平行光线），在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示）,已知亮区到窗口下墙脚的距离为EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高B C.课中作业小丽利用影长测量学校旗杆的高度.由于旗杆靠近一个建筑物,在某一时刻旗杆影子中的一部分映在建筑物的墙上。
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6.利用相似三角形测高
知能演练提升
ZHINENG YANLIAN TISHENG
能力提升
1.如图,铁道口的栏杆短臂长1 m,长臂长16 m.当短臂端点下降0.5 m时,长臂端点升高()
A.5 m
B.6 m
C.7 m
D.8 m
(第1题图)
(第2题图)
2.如图,小丽为了测量所住楼房的高度,她请来同学帮忙,测量了同一时刻她自己的影长和楼房的影长分别是0.5 m和10 m,已知小丽的身高为1.5 m,则楼房的高度为()
A.15 m
B.20 m
C.30 m
D.35 m
3.
如图,数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高,下午课外活动时她测得一根长为1 m的竹竿的影长是0.8 m,但当她马上测量树高时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上,她先测得留在墙壁上的影高为1.2 m,又测得地面的影长为2.6 m,请你帮她算一下,树高是()
A.3.25 m
B.4.25 m
C.4.45 m
D.4.75 m
4.在某时刻的阳光照耀下,身高160 cm的阿美的影长为80 cm,她身旁的旗杆的影长为10 m,则旗杆高为.
5.如图,是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,在点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后,刚好射到古城墙CD的顶端C处.已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.4
m,BP=2.1 m,PD=12 m,那么该古城墙CD的高度是.
6.
如图,梯子AB斜靠在墙壁上,梯子的底端B距墙60 cm,梯子上的点D距墙40 cm,BD长55 cm,求梯子AB的长度.
创新应用
7.王林想用镜子测量一棵古松树的高,但因树旁有一条小河,不能测量镜子与树之间的距离,于是他两次利用镜子,如图,第一次他把镜子放在C点,人在F点正好在镜中看到树尖A;第二次他把镜子放在C'处,人在F'处正好看到树尖A.已知王林眼睛距地面1.7 m,量得CC'为5.64 m,CF为1.8 m,C'F'为3.84 m,求这棵古松树的高.
答案：
能力提升
1.D
2.C
3.C
4.20 m
5.8 m
6.解因为DE⊥AC,BC⊥AC,
所以∠AED=∠ACB=90°.
又因为∠EAD=∠CAB,所以△AED∽△ACB.
所以.
由AD=AB-BD,可得.
由已知得,BD=55 cm,DE=40 cm,BC=60 cm,
所以.
解得AB=165 cm.
所以梯子的长度为165 cm.
创新应用
7.解由题意易知△ABC∽△EFC,△ABC'∽△E'F'C',
则.
所以,
解得AB=4.7.
答:这棵古松树的高为4.7 m.
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