几何概型及随机模拟

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]

高三新数学第一轮复习教案（讲座21）—几何概型及随机模拟

一．课标要求：

1．了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义；

2．通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。

二．命题走向

本讲内容在高考中所占比较轻，纵贯近几年的高考对概率要求降低，但本讲内容使新加内容，考试涉及的可能性较大。

预测07年高考：

（1）题目类型多以选择题、填空题形式出现，；

（2）本建考试的重点内容几何概型的求值问题，我们要善于将实际问题转化为概率模型处理。

三．要点精讲

1．随机数的概念

随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。

2．随机数的产生方法

（1）利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数；

（2）在Scilab 语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b 之间的随机数。

3．几何概型的概念

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；

4．几何概型的概率公式：

P （A ）=积）

的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A 。 5．几种常见的几何概型

（1）设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与线段l 在线段l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为：

P=l 的长度/L 的长度

（2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,则点落在区域g 上概率为：

P=g 的面积/G 的面积

（3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,则点落在区域V 上的概率为：

P=v 的体积/V 的体积

四．典例解析

题型1：线长问题

例1．一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T 表示所切两段绳子都不短于1米的事件，考虑事件T 发生的概率。

分析：类似于古典概型，我们希望先找到基本事件组，既找到其中每一个基本事件。注意到每一个基本事件都与唯一一个断点一一对应，故引例中的实验所对应的基本事件组中的

基本事件就与线段AB 上的点一一对应，若把离绳AB 首尾两端1的点记作M 、N ，则显然事件T 所对应的基本事件所对应的点在线段MN 上。由于在古典概型中事件T 的概率为T 包含的基本事件个数/总的基本事件个数，但这两个数字（T 包含的基本事件个数、总的基本事件个数）在引例1中是无法找到的，不过用线段MN 的长除以线段AB 的长表示事件T 的概率似乎也是合理的。

解：P （T ）=3/5。

例2．（磁带问题）乔和摩进行了一次关于他们前一天夜里进行的活动的谈话。然而谈

话却被监听录音机记录了下来，联邦调查局拿到磁带并发现其中有10秒钟

长的一段内容包含有他们俩犯罪的信息 然而后来发现，这段谈话的一部分

被联邦调查局的一名工作人员擦掉了，该工作人员声称她完全是无意中按

错了键，并从即刻起往后的所有内容都被榛掉了试问如果这10秒钟长的谈

话记录开始于磁带记录后的半分钟处，那么含有犯罪内容的谈话被部分或

全部偶然擦掉的概率将是多大？

解析：将3O 分钟的磁带表示为长度为3O

的线段R ，则代表10秒钟与犯罪活动有关的谈

话的区间为 r,如右图所示，10秒钟的谈话被

偶然擦掉部分或全部的事件仅在擦掉开始的

时间位于该区间内或始于该区间左边的任何

点。 因此事件r 是始于R 线段的左端点且长度为326121=+的事件。因此,02.090

23032

)(====的面积的面积R r r p 。 例3．假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？ 解：以两班车出发间隔 ( 0，

10 ) 区间作为样本空间 S ，

乘客随机地到达，即在这个长度是 10 的区间里任何一个

点都是等可能地发生，因此是

几何概率问题。

要使得等车的时间不超过 3 分钟，即到达的时刻应该是图中 A 包含的样本点， p=的长度的长度S a =10

3= 。 题型2：面积问题

例4．投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将

此板分成四个边长为1/2米的小方块。实验是向板中投镖，事件A

表示投中阴影部分为成功，考虑事件A 发生的概率。

分析与解答：类似于引例1的解释，完全可以把此引例中的

实验所对应的基本事件组与大的正方形区域联系在一起，既事件

组中的每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应，

则事件A 所包含的基本事件就与阴影正方形中的点一一对应，这

样我们用阴影正方形的面积除以大正方形的面积表示事件A 的概率是合理的。这一点我们0← S →10

完全可以用引例1的方法验证其正确性。

解析：P （A ）=（1/2）2/12=1/4。

例5．（CB 对讲机问题）（CB 即CitizenBand 市民波段的英文缩写）两个CB 对讲机持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3:0O 时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：0O 时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？

解：设x 和y 分别代表莉莉和霍伊距某地的距离，

于是400,300≤≤≤≤y x

则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对(x,y),这里

x ，y 都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数

对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个

几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置，

他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不

超过25公里时发生（如右图）因此构成该事件的点由满

足不等式

2522≤+y x 的数对组成，此不等式等价于62522≤+y x

右图中的方形区域代表基本事件组，阴影部分代

表所求事件，方形区域的面积为1200平方米公

里，而事件的面积为

()462525412ππ=⎪⎭

⎫ ⎝⎛， 于是有41.090

2480062512004/625====ππp 。 例6．(意大利馅饼问题)山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶 该靶为正方形板．边长为18厘米，挂于前门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为1厘米的最内层圆域时．可得到一个大馅饼；当击中半径为1厘米到2厘米之间的环域时，可得到一个中馅饼；如果击中半径为2厘米到3厘米之间的环域时，可得到一个小馅饼，如果击中靶上的其他部分，则得不到谄饼，我们假设每一个顾客都能投镖中靶，并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上，试求一顾客将嬴得：

（a ）一张大馅饼，

（b ）一张中馅饼，

（c ）一张小馅饼，

（d ）没得到馅饼的概率

解析：我们实验的样本空间可由一个边长为18的正方形表示。右图表明R 和子区域r 1、r 2、r 3和r,它们分别表示得大馅饼、中馅饼、小馅饼或没得到馅饼的事件。