第3章-流体力学连续性方程微分形式
理解流体力学中的连续性方程
理解流体力学中的连续性方程流体力学是研究流体静力学和流体动力学的学科，涵盖了许多重要的基本方程。
其中，连续性方程是流体力学中的基础之一，用于描述流体在宏观尺度上的连续性。
理解连续性方程对于研究流体运动和分析流体现象具有重要意义。
本文将介绍连续性方程的定义、推导与应用，并探讨其中的物理意义。
一、连续性方程的定义与推导连续性方程描述了流体运动时，质量守恒的性质。
在宏观尺度上，流体的质量保持不变，由此可以得到连续性方程的数学表达式。
假设流体流动方向为坐标轴方向，流体通过某一截面的流量为Q，流动截面面积为A，则单位时间内通过截面的质量为Δm。
根据质量守恒原理，Δm应保持不变。
考虑时间间隔Δt内，流体运动导致流量Q发生变化。
根据定义，Δt时刻通过截面的质量为Δm1，Δt+Δt时刻通过截面的质量为Δm2。
根据质量守恒原理，Δm1+Δm2应等于Δm。
Δm1+Δm2 = ρ1QΔt + ρ2QΔt (1)其中，ρ1和ρ2分别为Δt时刻和Δt+Δt时刻的流体密度。
将流体密度表示为单位体积的质量，即ρ = m/V。
在Δt时间间隔内，流体的体积可以表示为：Δt时刻的体积为V1 = QΔt (2)Δt+Δt时刻的体积为V2 = QΔt + AΔx (3)其中，Δx为流体运动方向上的位移。
将公式（2）和（3）代入公式（1），得到：ρ1QΔt + ρ2QΔt = ρ1V1 + ρ2V2 (4)根据密度的定义，可以将公式（4）进一步推导为：ρ1Q + ρ2Q = ρ1Q + ρ2(Q + AΔx) (5)化简后可简化为：d(ρQ)/dt + A(ρv) = 0 (6)其中，v为流体的流速。
以上就是连续性方程的定义与推导过程。
连续性方程的表达形式可以用偏微分方程来表示，常被称为连续性方程的微分形式。
二、连续性方程的物理意义连续性方程描述了流体在运动过程中的连续性。
通过分析连续性方程，我们可以进一步理解其中的物理意义。
在连续性方程中，d(ρQ)/dt表示单位时间内流体质量的变化率，A(ρv)表示单位时间内流体通过截面边界的质量变化率。
流体力学-第三讲,流体力学基本方程组
--------式(5) 为积分形式的动量方程
dui d
pn
dt
n
fid n j jids
(6)
s
ji为应力张量,是对称张量
ji — —i为作用面方向，j 为面力方向
2021/7/22
13
d ui dt
d
f i d
s
n j
jids
(6)
pn n
为应力张量
ji — —i为作用面方向，j 为面力方向
s
pn
则：作用在τ和s上的总质量力和面积力为:
F
fd
(1)
pnds
(2)
s
体积τ内流体的动量为：
ud
(3)
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12
于是动量定理可以写成：
d dt
ud
f d
s
pnds
（4）
把雷诺第二输运方程
d dt
F d
dFd
dt
应用于式(4)
du d
dt
f d
s
pnds
(5)
也可表达为
第三章 流体力学基本方程组
➢ 雷诺输运方程 ➢ 连续性方程 ➢ 运动方程(动量方程) ➢ 能量方程
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1
第一节 雷诺输运方程
一、 随体导数
dF dt
F t
ui
F xi
F t
u
F
以欧拉空间坐标所表示的流体质 点的运动属性对时间的全导数.
二、 雅可比行列式的时间导数 :
dJ ui J uJ
ui
0
(3b)
7
d ivu
u
u
流体的连续性方程和动量方程
流体的连续性方程和动量方程流体力学是研究流体运动和流体力学性质的学科。
在流体力学中，连续性方程和动量方程是两个重要的基本方程。
本文将详细介绍流体的连续性方程和动量方程的定义和应用。
一、流体的连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒原理，表达了流体在空间和时间上的连续性。
连续性方程的数学表达形式为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·(ρv)表示速度矢量的散度。
该方程表示，流体的密度在一个闭合曲面上的变化率等于通过该曲面的质量流量。
连续性方程是基于质量守恒原理推导得出的。
它表明，在稳定流动条件下，流体在通道中的截面积变化时，速度会发生相应的变化，以保持质量的守恒。
根据连续性方程，我们可以推导出管道中的速度分布。
在管道的收缩段，速度增加，截面积减小，密度保持不变，从而保证质量守恒。
这也是为什么水管收缩后出水流速增加的原因。
二、流体的动量方程动量方程描述了流体运动的力学性质，表达了流体在空间和时间上的动量守恒。
动量方程的数学表达形式为：ρ(dv/dt) = -∇p + μ∇^2v + F其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，p是压强，μ是流体的粘度，∇p表示压强的梯度，∇^2v表示速度的拉普拉斯算子，F是外力的合力。
动量方程由牛顿第二定律推导而来。
它表示，在流体中，流体质点的动量变化等于合外力对质点的作用力。
动量方程用于描述流体在受力作用下的运动状态，通过求解动量方程，可以得到流体的速度分布。
根据动量方程，我们可以推导出流体中的压力分布。
在水管中，如果水流速度增大，则根据动量方程中的负梯度项，压力会降低。
这是因为速度增大会导致动能的增加，压力会减少以保持动量守恒。
综上所述，流体的连续性方程和动量方程是流体力学中的两个基本方程。
连续性方程描述了质量守恒原理，动量方程描述了动量守恒原理。
通过求解这两个方程，我们可以获得流体在空间和时间上的运动状态和力学性质。
流体力学中的连续性方程
流体力学中的连续性方程在流体力学中，连续性方程是描述流体运动过程中质量守恒的基本方程之一。
它阐述了流体在运动中质量的守恒原理，即在密度不变的条件下，流体在某一给定截面上的流量必须与该截面的流体入口和出口的流量相等。
本文将详细介绍连续性方程的含义、数学表达形式以及其在流体力学中的应用。
1. 连续性方程的含义连续性方程是基于质量守恒原理推导出来的，在没有外界质量输入或输出的情况下，流体质量在运动中必须保持不变。
该方程依赖于流体的不可压缩性，即密度在流场中不发生变化。
连续性方程描述了在任意给定截面上的流体运动情况，它表明流动的流体在同一截面上的进出量必须相等。
2. 连续性方程的数学表达形式连续性方程可以用数学形式来表示，通常使用流体的质量流率来描述流体在给定截面上的流动情况。
流体的质量流率定义为单位时间内通过给定截面的质量。
设流体通过某一截面的面积为A，流速为v，流体的密度为ρ，则流体的质量流率为ρAv。
根据质量守恒原理，流体在进入和离开给定截面时，质量流率必须相等，即:ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂其中，ρ₁和ρ₂分别为流体在截面一和截面二处的密度，A₁和A₂为截面一和截面二的面积，v₁和v₂为截面一和截面二处的流速。
3. 连续性方程的应用连续性方程在流体力学中有着广泛的应用。
首先，它用于解决流体力学问题中的流量分布和速度分布计算。
通过应用连续性方程，我们可以根据流量和密度的已知值，求解出流体的流速。
这对于通常需要研究流体的流动速度分布的问题非常有用。
其次，连续性方程也可用于设计流体力学实验。
通过选定不同的截面，我们可以实验测量流速和相应的流量，验证连续性方程是否成立。
实验结果与连续性方程的理论计算相符则证明了实验的准确性。
此外，连续性方程在物理建模和工程计算中也发挥着重要的作用。
根据流体的运动规律和边界条件，我们可以通过连续性方程建立数学模型，并通过求解连续性方程来预测和分析流体运动的行为。
综上所述，连续性方程在流体力学中具有重要的地位和作用。
工程流体力学第三章
物理量
比起流体质点本身， 比起流体质点本身，工程上我们更关心某一 时刻流体质点上所携带的一些特征参量，比如： 时刻流体质点上所携带的一些特征参量，比如： 速度、压强、温度、电流等。 速度、压强、温度、电流等。 我们把这些流体具有的特征参量统称为物理 我们把这些流体具有的特征参量统称为物理 流体具有的特征参量 流动参数。 也成为流动参数 量，也成为流动参数。 流体的流动是由流体具有的物理量来表征的， 流体的流动是由流体具有的物理量来表征的， 因此，描述流体的运动也就是表达流动参数在不 因此，描述流体的运动也就是表达流动参数在不 同空间位置上随时间的变化规律。 同空间位置上随时间的变化规律。
DV V ( M ', t + ∆t ) − V ( M , t ) = lim Dt ∆t →0 ∆t
L M’ M
V (M , t ) V ( M ' , t + ∆t )
3.1.3随体导数 随体导数
这里用 D 表示这种导数不同于牛顿定律 Dt 对速度的简单导数
L M’ M
DV V ( M ', t + ∆t ) − V ( M , t ) = lim Dt ∆t →0 ∆t
速度的变化有两方面的原因:
一方面的原因, 质点由M 点运动至M 点时,
'
时间过去了∆t,由于场的时间非定常性引 起速度的变化
另一方面, 质点由M 点运动至M '点时, 位置 发生了变化,由于场的空间不均匀性引起 速度的变化
3.1.3随体导数 随体导数
按照时间和空间引起速度变化,把极限分为两部分
DV V ( M ', t + ∆t ) − V ( M , t ) = lim Dt ∆t →0 ∆t
流体力学 第三章 流体动力学
vx vx vx dv x vx vx vy vz 解： （1）a x t x y z dt
(4 y 6 x) (4 y 6 x)t (6t ) (6 y 9 x)t (4t )
将t=2，x=2，y=4代入得
ax 4m / s 2
同理 ay 6m / s 2 m / s2 a 4i 6 j
满足连续性方程，此流动可能出现
例：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处
uz=0，求uz。 解：由
得 积分
u x u y u z 0 x y z u z 4 x 4 y z
uz 4( x y) z c
得 c=0
由z=0，uz=0
a.流体质点的加速度
dv a dt
dv x vx vx dx vx dy vx dz ax dt t x dt y dt z dt
同理
vx vx vx vx vx vy vz t x y z
ay
v y t
vx
是均匀流
3.流线与迹线 （1）流线——某瞬时在流场中所作的一条空间曲线，曲
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转 流线微分方程：
流线上任一点的切线方向 (dr ) 与该点速度矢量 (v ) 一致
dr v dx dy dz 0 vx vy vz
dy (a, b, c, t ) vy dt
dvy (a, b, c, t ) dt
dz (a, b, c, t ) vz dt
dv z (a, b, c, t ) az dt
流体力学3-3连续性方程
dxdydz
M x
同理可得：
( ux ) x ( u y ) y ( uz ) z
dxdydz dxdydz dxdydz
M y M z
质量守恒定律：单位时间内流出与流入六面体的流体质量差之总
和应 等于六面体内因密度变化而减少的质量
M x M y M z [
t
( ux ) x
( u y ) y
( uz ) z
]dxdydz dxdydz
t
流体的连续性微分方程的一般形式：
( u x ) x
( u y ) y
( u z ) z
0
物理意义：作为水力学三大方程之一，体现了运动与空 间的关系 适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流； 可压缩流体或不可压 缩流体。
第三节 连续性方程
一、连续性微分方程
在流场内取一微元六面体如图，边长为dx,dy,dz，中心点O’流速为 （ ux,uy,uz ） D' z C' 以x轴方向为例： 左表面流速 右表面流速
ux
1 u x 2 x
1 u x 2 x
u x dx x 2
A' M A o
dz o’ uy D dx
uz ux
B'
ux
N C
u x dx x 2
uM Байду номын сангаас x
dx
uN ux
dx
y
dy B
x
∴ 单位时间内x方向流出流进的质量流量差：
( ux ) x
( ux ) 1 ( ux ) M x M 右 M 左 [ u x 1 dx ] dydz [ u x 2 x 2 x dx]dydz
流体力学中的三大基本方程
vy 和 dxdydz y
v z dxdydz z
故单位时间内流出与流入微元体流体质量总变化为：
（ ） （ ） （ ） d x d y d z x y z x y z
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
2 2 g
：单位重量流体所具有的动能；
理解：质量为m微团以v 运动，具有mv2/2动能，若用 重量mg除之得v2/2g
三者之和为单位重量流体具有的机械能。
物理意义：
理想、不可压缩流体在重力场中作稳定 流动时，沿流线or无旋流场中流束运动 时，单位重量流体的位能，压力能和动 能之和是常数，即机械能是守恒的，且 它们之间可以相互转换 。
y y y y x y z y
运动方程：
y x z 0 x y z
2 y 2
2 2 2 1 p z z z z z z z f ( ) x y z z 2 2 2 t x y z z x y z
当地加速度：流场中某处流体运动速度对时间 的偏导数，反映了流体速度在固定位置处的时 间变化特性 迁移加速度：流场由于流出、流进某一微小区 域而表现出的速度变化率。
流体质点加速度
dx x x x x ax x y z dt t x y z dy y y y y ay x y z dt t x y z dz z z z z az x y z dt t x y z
a在三个坐标轴上的分量表示成：
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程：
d p x d x d y d z d x d y d z f d x d y d z x d t x
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• 符号说明
物理意义
z 单位重流体的位能（比位能）
p
单位重流体的压能（比压能）
u 2 单位重流体的动能（比动能）
2g
z
p
单位重流体总势能（比势能）
z
p
u2 2g
总比能
第四节 欧拉运动微分方程的积分
几何意义
位置水头 压强水头 流速水头 测压管水头 总水头
( Xdx Ydy
Zdz)
1
(
p x
0
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ，
与流出的流体体积（质量）之差等于零。
适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
第三节 流体动力学基本方程式
6
二、理想流体运动微分方程
理想流体的动水压强特性与静水压强的特性相同：
px py pz p
从理想流体中任取一(x,y,z)为 中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。
u2
( )dx ( )dy ( )dz
z x x 2
y 2
z 2
u2 d( )
2
由以上得：
gdz
d
(
p
)
d
u2 (
)
2
积分得：
z
p
u2 2g
C
第四节 欧拉运动微分方程的积分
• 理想势流伯努里方程
17
z
p
u2 2g
C
或
z1
p 1
u2 1
2g
z2
p2
u22 2g
物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，理想流体各点的总比能 相等即在整个势流场中，伯努里常数C均相等。（应用条件：“——”所示）
dxdydz
t
dxdydz
质量守恒定律：单位时间内流出与流入六面体的流体质量差之总和应
等于六面体内因密度变化而减少的质量，即：
( u
[
x
x
)
(uy )
y
( u z z
) ]dxdydz
t
dxdydz
• 流体的连续性微分方程的一般形式：
(u ) x
(u ) y
(u ) z
0
t x
y
z
适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流；可压
u x x
uy
u x y
uz
ux z
Y
1
p y
du
y
dt
u
y
t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
Z
1
p z
du
z
dt
u
z
t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流或不可压缩流体。
若加速度 dux dt
,
du y dt
,
duz等于0，则上式就可转化为 dt
形式完全相同，但含义不一样。 势流条件下积分形式是针对理想流体的恒定有势流动中的任 何质点，而不局限于同一流线。它不适用于有旋流。 沿流线积分形式是针对理想流体恒定流流动中同一条流线的 质点。它适用于有旋流。
End
21
工程流体力学电子教案第一版由毛根海教授 主持，浙江大学水利实验室开发研制而成。
开发组人员： 项目主持：毛根海 教授 脚本编写：毛根海、邵卫云、张燕 课件开发：胡卫红、邵卫云、张燕 素材准备：毛根海、邵卫云、张燕、洪源、章军军、 陈少庆等
欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距ds 的坐标分量），然而相加得：
( Xdx
Ydy
Zdz)
1
(
p x
dx
p y
dy
p z
dz)
dux dt
dx
duy dt
dy
duz dt
dz
<I>
<II>
<III>
一、在势流条件下的积分
考虑条件 1、恒定流
p 0 t
<II>= 1 dp
1 2
d (ux2
u
2 y
uz2 )
u2 d(
2
)
• 沿流线（或元流）的能量方程：
z
p
u2 2g
C
注意：积分常数C，在不可压缩恒定流流动中，沿同一流线保持不 变。 一般不同流线各不相同（有旋流）。
（应用条件：“——”所示，可以是有旋流）
第四节 欧拉运动微分方程的积分
19
1、实际流体区别于理想流体有何特点？理想流体的运动微
x
)
dx]dydz
[ u x
1 2
( u x
x
)
dx]dydz
(ux )
x
dxdydz
第三节 流体动力学基本方程式
X方向
( ux
x
)
dxdydz
同理可得：
y方向：
( u y
y
)
dxdydz
3 在dt时间内因密度变化而减少的 质量为：
dxdydz ( )dxdydz
t
z方向：
( uz
z
)
'zy p'zzx ’z
12
同样取一微元六面体作为控制体。
质量力 左右向压力 x向受力 前后面切力 上下向切力
x方向（牛顿第二运动定律 y
F ma ）：
xy pxx xz
dz dy
yx pyy
yz
'yz p'yy
'yx
zx
pzz zy
dx
p
X dxdydz
[ pxxdydz ( pxx
xx
x
分方程与实际流体的运动微分方程有何联系？
实际流体具有粘性，存在切应力；实际流体的运动微分方程中 等式的左边比理想流体运动微分方程增加了由于粘性而产生的切应 力这一项。
2、连续性微分方程有哪几种形式？不可压缩流体的连续性
微分方程说明了什么问题？
一般形式，恒定流，不可压缩流；质量守恒
20
3、 欧拉运动微分方程组在势流条件下的积分形式的应用 与沿流线的积分有何不同？
• 不可压缩粘性流体运动微分方程：纳维埃-斯托克斯方程（Navier-
Stokes，N-S)方程：
X
1
p x
v2ux
dux dt
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
Y
1
p y
v2u y
duy dt
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
Z
1
p z
v2uz
duz dt
uz t
dx)dydz]
[ yxdxdz ( yx
yx
y
dy)dxdz]
du
[ zxdydx ( zx
zx
z
dz)dydx]
dxdydz x
dt
p'xx 'xz 'xy
x
第三节 流体动力学基本方程式
考虑条件：
13
1）
不可压缩0
2）切应力与主应力的关系表达式
y x z y z x
I Xdx Ydy Zdz -gdz
II 1 (p dx p dy p dz) d p
x y z
III
dux dt
dx
du y dt
dy
duz dt
dz
16
由欧拉加(u速xx 度uxxxddutux y
ux y
ux
uzuxxuzx
u)dy xuyx(ux
1
第三章 流体动力学基础
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程 二、理想流体运动微分方程 三、粘性流体的运动微分方程
第四节 欧拉运动微分方程的积分
一、在势流条件下的积分 二、沿流线的积分
第三节 流体动力学基本方程式
2
一、连续性微分方程
在流场内取一微元六面体（如图），边长为dx,dy,dz，中心点O流速为
p
p x
dx 2
受力分析(x方向为例)：
1.表面力
y
∵理想流体，∴=0
左表面
PM
pM
A
(
p
dx 2
p x
)dydz
右表面
PN
pN
A
(p
dx 2
p x
)dydz
第三节 流体动力学基本方程式
z D'
C'
A'
B'
M p(x,y,z) N
dz A
dx
o’ Ddy
p
Cpx
dx 2
B
O
x
2.质量力
9
单位质量力在各坐标轴上分量为X,Y,Z，∴质量力为Xdxdydz
欧拉平衡微分方程
X
1
p x
0
Y
1
p y
0
Z
1
p z
0
第三节 流体动力学基本方程式
三、粘性流体的运动微分方程
11
1、粘性流体的特点
（1）实际流体的面积力包括：压应力和粘性引起的切应力。
该切应力由广义牛顿内摩擦定律确定：
xy
(
u x y
u
y
x
)
yx
yz