流体力学基础连续性方程流体运动方程与能量方程
流体力学的基本方程式
流体力学的基本方程式流体力学是研究流体力学原理和现象的一门学科。
它主要研究流体的运动和变形规律，包括速度、压力、密度和温度等参数的分布及其相互关系。
流体力学的基本方程式包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程式用来描述流体的性质和运动，对于解决流体力学问题至关重要。
下面将逐一介绍这些方程式及其应用。
1. 连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒规律。
它基于质量守恒原理，即在流体中任意一点的质量净流入/流出率等于该点区域内质量的减少率。
连续性方程的数学表达式是：∂ρ/∂t + ∇•(ρV) = 0。
其中，ρ是流体的密度，t是时间，V是流体的流速矢量，∇•表示散度运算符。
连续性方程的应用范围广泛，例如用于描述气象学中的气流动力学、河流的水量和水质传输等。
2. 动量方程动量方程描述了流体的运动规律。
它基于牛顿第二定律，即流体的运动是由外力和内力共同作用的结果。
动量方程的数学表达式是：ρ(∂V/∂t + V•∇V) = -∇P + ∇•τ + ρg。
其中，P是压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
动量方程是解决流体流动问题的关键方程，可以用于模拟气象学中的风场、水力学中的水流、航空航天中的气体流动等。
3. 能量方程能量方程描述了流体的能量转换和传递规律。
它基于能量守恒原理，即在流体中任意一点的能量净流入/流出率等于该点区域内能量的减少率。
能量方程的数学表达式是：ρCv(∂T/∂t + V•∇T) = ∇•(k∇T) + Q - P(∇•V) + ρg•V。
其中，Cv是比热容，T是温度，k是热传导系数，Q是体积热源项。
能量方程可用于模拟热传导、对流和辐射现象，例如地下水温场、燃烧室的工作原理等。
流体力学的基本方程式是解决各种流体流动问题的基础，通过对这些方程式的应用，可以揭示流体的行为和性质，为实际工程和科学研究提供指导。
在实际应用中，还可以结合数值模拟和试验数据，进一步分析和预测流体力学问题的解，为工程决策和科学研究提供依据。
3 流体力学基础
流体动力学的基本概念
迹线:同一流体质点在连续时间内的运动轨迹称为迹线。
流线:
流管:流管是在流动空间中取出的一个微小的封闭曲
线，只要此曲线本身不是流线，则经过该密闭曲线 上每一点作流线，所构成的管状表面就称为流管。
在有限断面的流束中，与每条流线相互垂直的横 截面称为该流束的过流断面或有效断面，当流线 为互相平行的直线时，过流断面为平面；当流线 不是相互平行的直线时，过流断面是曲面。
对于非恒定流动，由于控制体内各点的参数均 随时间变化，因此在dt时间内，控制体内的动 量增量就不仅仅是流出流入控制体的动量差， 且还要加上控制体内部的动量增量，即
§2-5 流动液体的基本力学特性 五、动量方程（非恒定流动）
F d dt
u dV
V
A u un dA
6、流线：是某一瞬时液流中一条条标志其质点运动 状态的曲线，在流线上各点处的瞬时液流方向与该 点的切线方向重合。 对于恒定流动，流线形状不随时间变化。 流线不能相交，也不能转折，它是一条条光滑的曲 线。
§2-5 流动液体的基本力学特性
一、基本概念
7、流束：如果通过某截面A上所有各点画出 流线，这些流线的集合构成流束。
第二节 液体动力学
液体动力学研究液体在外力作用下运动规律， 即研究作用在液体上的力与液体运动之间的关系。 由于液体具有粘性，流动时要产生摩擦力，因此 研究液体流动问题时必须考虑粘性的影响。
描述方式：四大方程
连续方程， 运动方程 能量方程 动量方程
研究流体运动的方法
拉格朗日（Lagrange）法是从流场中
2 2g
图2-8 伯努利方程推导简图
§2-5 流动液体的基本力学特性
2、理想流体的伯努利方程
工程流体力学中的流体力学方程推导
工程流体力学中的流体力学方程推导工程流体力学是研究流体在各种工程中的力学行为和性质的学科。
在工程实践中，了解流体的运动规律和应力分布对设计和优化工程系统至关重要。
流体力学方程是描述流体运动的基本方程，其推导过程是工程流体力学的重要基础。
工程流体力学中的流体力学方程包括连续性方程、动量方程和能量方程。
首先，我们推导连续性方程。
连续性方程是描述质量守恒的基本方程。
根据质量守恒原理，单位时间内通过某一截面的流入和流出质量相等。
我们假设流体是不可压缩的，即密度恒定。
根据流体连续性原理，单位时间内通过截面的流入和流出质量之差与密度的乘积等于流体的质量改变率。
通过数学推导，可以得到连续性方程为：∇·(ρv) + ∂ρ/∂t = 0其中，∇·(ρv)表示速度矢量v的散度，∂ρ/∂t表示密度随时间的变化率。
接下来是动量方程的推导。
动量方程描述流体运动的力学规律。
根据牛顿第二定律，单位时间内作用在流体上的合外力等于流体动量的变化率。
根据流体动力学原理和应力张量的定义，可以推导出动量方程为：ρ(Dv/Dt) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，ρ(Dv/Dt)表示速度矢量v的准确导数，-∇p表示压力力，∇·τ表示应力张量的散度，ρg表示流体受重力作用的体积力。
最后是能量方程的推导。
能量方程描述流体内部能量的传输和变化。
根据能量守恒原理，单位时间内作用在流体上的合外力与单位时间内输入的热量、外界对流体做功和单位时间内能量的变化率之和相等。
根据热力学第一定律和流体力学原理，可以得到能量方程为：ρ(De/Dt) = -p∇·v + ∇·(k∇T) + ρg·v + Q其中，ρ(De/Dt)表示能量密度e的准确导数，-p∇·v表示压力力的功率，∇·(k∇T)表示热传导项，k表示热导率，∇·(k∇T)表示温度梯度的散度，ρg·v表示流体受重力作用在流体速度上做的功率，Q表示单位时间内输入的热量。
第三章 流体力学基本方程组-1
2017/1/14
图 3-1 流场中的微元平行六面体
4
一、直角坐标系下连续性微分方程式
先分析x轴方向，已知u和ρ都是坐标和时间的连续函数，即u=u (x，y，z，t)和ρ = ρ (x，y，z，t)。根据泰勒级数展开式，略去
高于一阶的无穷小量，得在dt时间内，沿轴方向从左边微元面积 dydz流入的流体质量为
(3-2)
2017/1/14
8
同理可得，在dt时间内沿y轴和z轴方向流体质量的变化分别 为：
( v ) d xd yd z d t y
( w)dxdydzdt z
因此，在dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为
u v w dxdydzdt y z x
图 3-1 流场中的微元平行六面体
2017/1/14 5
图 3-1 流场中的微元平行六面体
2017/1/14 6
dx dx x , y, z , t u x , y, z , t dydzdt 2 2
dx u dx ( x, y , z , t ) u ( x, y , z , t ) dydzdt t 2 t 2 dx u dx u dydzdt t 2 t 2
(3-6)
式（3-6）为可压缩流体定常三维流动的连续性方程。
2017/1/14
12
对不可压缩均质流体， ρ为常数，故式(3-6)成为
u v w 0 x y z
divV 0
(3-7)
式（3-7）为不可压缩流体定常三维流动的连续性的方程。它的 物理意义是：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量 等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积 流量相等。
流体力学最基本的三个方程
流体力学最基本的三个方程流体力学是研究流体运动及其相关物理现象的学科。
它的基础有三个最基本的方程，即连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
本文将详细介绍这三个方程的含义和应用。
一、连续性方程：连续性方程，也称为质量守恒方程，描述了流体运动中质量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂ρ/∂t+∇·(ρv)=0其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示向量的散度。
连续性方程的物理意义是说，质量在流体中是守恒的，即单位体积内的质量永远不会改变。
这是由于流体是连续的，无法出现质量的增减。
这个方程告诉我们，流体在流动过程中的速度变化与流体密度变化是相关的。
当流体流动速度较大时，密度通常会变小，反之亦然。
连续性方程的应用十分广泛。
在管道流动中，我们可以利用连续性方程来推导流速和截面积之间的关系。
在天气预报中，连续性方程被用来描述气象现象，如大气的上升和下沉运动，以及风的生成和消散等。
二、动量守恒方程：动量守恒方程描述了流体运动中动量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·(μ∇v) + ρg其中，p是流体的压强，μ是流体的黏度，g是重力加速度。
动量守恒方程可以理解为牛顿第二定律在流体力学中的推广。
它表示流体在外力作用下的加速度与压力梯度、黏性力、重力的平衡关系。
动量守恒方程的物理意义是说，流体的运动与施加在流体上的各种力密切相关。
当外力作用于流体时，会引起流体的加速度，也即速度的变化。
这个方程告诉我们，流体的加速度是与外力、黏性力和重力共同作用而产生的。
动量守恒方程的应用十分广泛。
在飞行器设计中，我们可以利用动量守恒方程来研究气动力的产生和改变。
在水力学中，动量守恒方程可以用来分析水流的运动、喷流和冲击等。
三、能量守恒方程：能量守恒方程描述了流体运动中能量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(κ∇T) + ρg·v +q其中，E是单位质量流体的比总能量（包括内能、动能和位能），T是流体的温度，κ是流体的热传导系数，q是单位质量流体的热源项。
流体动力学三大方程
流体动力学三大方程流体动力学是研究流体运动和流体力学性质的学科，它以三大方程为基础，这三大方程分别是连续性方程、动量方程和能量方程。
在本文中，将对这三大方程进行详细的介绍和解释。
1. 连续性方程连续性方程是描述流体质点的质量守恒的基本方程。
它表明在流体运动中，质量是守恒的，即单位时间内流入某一区域的质量等于单位时间内流出该区域的质量。
连续性方程的数学表达式是通过流体的速度场和流体密度来描述的。
在一维情况下，连续性方程可以表示为流体密度乘以速度的横向梯度等于零。
2. 动量方程动量方程描述了流体力学中质点的动量变化。
根据牛顿第二定律，动量方程可以表达为流体质点的质量乘以加速度等于质点所受到的合力。
在流体动力学中，动量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场和粘性力来描述的。
动量方程是解决流体力学问题的基础方程之一，它可以用来计算和预测流体的速度和压力分布。
3. 能量方程能量方程描述了流体质点的能量变化。
在流体动力学中，能量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场、密度和温度来描述的。
能量方程包括了流体的动能、压力能和内能的变化。
能量方程在研究流体的热力学性质和能量转化过程中起着重要的作用。
通过能量方程，可以计算和预测流体的温度分布和能量转化效率。
这三大方程是流体动力学研究中的核心内容，它们相互联系、相互依赖，共同构成了流体运动的基本规律。
连续性方程保证了质量守恒，动量方程描述了力学平衡，能量方程描述了能量转化。
在实际应用中，这些方程可以用来解决各种流体力学问题，如流体的流动特性、压力分布、速度场、能量转化等。
流体动力学三大方程——连续性方程、动量方程和能量方程是研究流体运动和流体力学性质的基础。
它们通过数学表达式描述了质量守恒、力学平衡和能量转化的规律。
这些方程的应用广泛，能够帮助我们理解和预测流体的运动和性质，对于工程设计、自然灾害和环境保护等领域都具有重要意义。
通过研究和应用这些方程，我们可以更好地掌握和利用流体动力学知识，为社会发展和人类福祉做出贡献。
流体力学基础连续性方程、流体运动方程与能量方程.PPT
14
根据动量定理
ρd d ud x d y d z (F b P x x P y y P z z)d x d y d z
约去 dxdydz ，得
du x d
Fbx
Pxx x
Pyx y
Pzx z
du y d
Fby
Pyx x
Pyy y
Pyz z
du z d
Fbz
Pzx x
同理
y(ρuyu)dzdxdyΔ
z(ρuzu)dxdydzΔ
10
EXIT
经全部控制面的恒定流动量通量的净变化率为
xuxuy uyu zuzudxdydz
ux
x(u)uy
yuuz
uuux uuy
z
x y
uuzzdxdydz
u•uu•udxdydz + (ρu )dxdydz
微元流体系统的动量变化率为：
第一章 流体力学基础 ——流体运动的微分方程
西安建筑科技大学粉体工程研究所 李辉
1
质量传递——连质续量性守方恒程定律 动量传递——纳动维量－定斯理托克斯方程 能量传递——能能量量方守程恒定律 状态方程
流体运 动微分 方程组
所有流体运动传递过程的通解
2
EXIT
1.3 流体运动的微分方程
• 质量守恒定律——连续性方程 • 动量定理——纳维-斯托克斯方程 • 能量守恒定律——能量方程 • 定解条件
3
EXIT
1.3.1 质量守恒定律——连续性方程
• 质量既不能产生，也不会消失，无论经历什么形式的运动， 物质的总质量总是不变的。
• 质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。
单组分流体运动过程中质量守恒定律的数学描述： 在控制体内不存在源的情况下，对于任意选定的控制体
流体力学中的三大基本方程
dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
16
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
17
向量形式：
dr
r f
1
gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
2x
z 2
)
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
( 2 y
x2
2 y
y 2
2 y )
z 2
19
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
( 2z
x 2
2z
y 2
2z )
z 2
1.
含有四个未知量（
，
x
y，完 z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件）→特解。
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x
ρuxudydzΔ
dx
Δ 时间经此两相对面元的动量净流出量为
x
(
ρuxu
)dydzdxΔ
同理
y
(
ρuyu
)dzdxdyΔ
z
(
ρuz
u
)dxdydzΔ
10
EXIT
经全部控制面的恒定流动量通量的净变化率为
x
ux
u
y
uy u
z
uz
u
dxdydz
ux
x
(u)
uy
y
u uz
标轴的分量为 ux ,u y ,uz
A:控制体内流体动量对时间的变化率
动量
时刻 ＋d 时刻
ρudxdydz
ρudxdydz
(ρudxdydz)Δ
(ρu )dxdydz
9
EXIT
B:动量通量的净变化率
ABCD面，Δ 时间内流入的动量
ρuxudydzΔ
EFGH面，Δ 时间内流出的动量
ρuxudydzΔ
Px
Px
Pxxi
Pxy
j
Px
z
k
P y Py Pyxi Pyyj Pyzk
Pz Pz Pzx i Pzy j Pzz k
作用于EFGH、BFGC、DHGC面上的应力分别为
Px
x
Px dx
Pxxi
Pxy j
Pxz k
x
( Pxx i
Pxy j
Pxzk )dx,
z
u
u
ux x
u
uy y
u
uz z
dxdydz
u •u u •u dxdydz + (ρu )dxdydz
微元流体系统的动量变化率为：
d
d
ρu
ρudivu
dxdydz
dρ
d
u
ρ
du
d
ρudivu
dxdydz
u
dρ
d
ρdivu
ρ
du
d
dxdydz
应用连续性方程
ρ du dxdydz
x方向 单位时间内通过左侧控制面流入微元控制体的质量（即质量流量）
ρu x dydz
通过右侧控制面流出微元控制体的质量速率
ρux
(ρu x x
)
dxdydz
(ρu x ) dxdydz
x
5
EXIT
A：流入与流出微元控制体的质量速率
之差
x方向
(ρu x ) dxdydz x
y方向
(ρuy ) dxdydz y
3
EXIT
1.3.1 质量守恒定律——连续性方程
• 质量既不能产生，也不会消失，无论经历什么形式的运动， 物质的总质量总是不变的。
• 质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。
单组分流体运动过程中质量守恒定律的数学描述： 在控制体内不存在源的情况下，对于任意选定的控制体
流入控制体 的质量速率
流出控制体 的质量速率
=
控制体内的 质量累计速率
A
B
18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程
4
EXIT
1.3.1 质量守恒定律——连续性方程
连续性方程的推导 边长为dx，dy，dz 的控制体微元
时刻A点流体密度为 ρ(x,y,z,)，速度u(x,y,z,)沿x，y，z三坐
标轴的分量为 ux ,u y ,uz
第一章 流体力学基础 ——流体运动的微分方程
西安建筑科技大学粉体工程研究所 李辉
1
质量传递——连质续量性守方恒程定律 动量传递——纳动维量－定斯理托克斯方程 能量传递——能能量量方守程恒定律 状态方程
流体运 动微分 方程组
所有流体运动传递过程的通解
2
EXIT
1.3 流体运动的微分方程
• 质量守恒定律——连续性方程 • 动量定理——纳维-斯托克斯方程 • 能量守恒定律——能量方程 • 定解条件
Pyx y
Pzx z
dxdydz,
Pxy
x
Pyy y
Pzy z
dxdydz,
Pxz x
Pyz y
Pzz z
dxdydz.
Px x
Py y
Pz z
dxdydz
作用在微元六面体 上的全部表面力
作用在微元六
面体上的力 = Fb dxdydz
+
Px xPy yຫໍສະໝຸດ Pz zdxdydz
雷诺输运定理
系统内物理量 的变化率
=
控制体内物理 量的变化率
+
物理量通过控制体控 制面的净流出速率
作用在控制体中流 控制体内流体动量
动量通量通过控制体
体的合外力 = 对时间的变化率 + 控制面的净变化率
C
A
B
8
EXIT
边长为dx，dy，dz 的控制体微元
时刻A点流体密度为ρ(x, y,z, ) ，速度u(x, y,z, 沿) x，y，z三坐
x
)
(ρu y
y
)
(ρu z
z
)dxdydz
ρ (ρux ) (ρuy ) (ρuz ) 0
x
y
z
本方程适用于单组分流体的任意流动形态。
d ρdivu 0
dτ
散度
7
EXIT
1.3.2 动量定理——纳维-斯托克斯方程
• 对一给定的流体系统，其动量的累积速率等于作用于其上的外 力总和 。
d
A+B
11
C:作用在控制体中流体的合外力
作用于微元六面体上的力包括质量力和表面力 质量力：设A点单位质量力为Fb，则微元上的质量力为
Fb dxdydz
表面力：分别考虑六个面上的应力(图a和b）
a. 作用在微元上的应力
b. 作用在微元x方向应力
12
作用于ABCD、AEHD、 AEFB面上的应力分别为
Py y Py dx Pyxi Pyy j Pyzk y (Pyxi Pyy j Pyzk )dy,
Pz z Pz dx Pzx i Pzy j Pzz k z (Pzx i Pzy j Pzz k )dz.
13
所有这六个面上的力在x，y，z轴上的投影分别是
Pxx x
15
du x d
Fbx
P x
2ux x 2
2ux y2
2ux z2
3
x
u x x
u y y
u z z
du y d
Fby
P y
2uy x 2
2uy y2
2uy z2
μ 3
y
u x x
u y y
u z z
14
根据动量定理
ρ
du
d
dxdydz
(Fb
Px x
Py y
Pz z
)dxdydz
约去 dxdydz，得
du x
d
Fbx
Pxx x
Pyx y
Pzx z
du y
d
Fby
Pyx x
Pyy y
Pyz z
du z
d
Fbz
Pzx x
Pzy y
Pzz z
运动方程的 微分形式
将式1.54和1.57带入化简可得动量方程
(ρu x
x
)
(ρuy y
)
(ρuz z
)dxdydz
z方向 (ρuz ) dxdydz z
B：微元控制体内的质量累计速率
密度
时刻
ρ
＋d 时刻 ρ ρ d
质量
ρdxdydz
ρ
ρ
d
dxdydz
ρ
ρ
d
dxdydz
ρdxdydz
d
ρ dxdydz
6
EXIT
ρ
dxdydz
(ρu x