流体力学基础连续性方程流体运动方程与能量方程
流体力学的基本方程式
流体力学的基本方程式流体力学是研究流体力学原理和现象的一门学科。
它主要研究流体的运动和变形规律，包括速度、压力、密度和温度等参数的分布及其相互关系。
流体力学的基本方程式包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程式用来描述流体的性质和运动，对于解决流体力学问题至关重要。
下面将逐一介绍这些方程式及其应用。
1. 连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒规律。
它基于质量守恒原理，即在流体中任意一点的质量净流入/流出率等于该点区域内质量的减少率。
连续性方程的数学表达式是：∂ρ/∂t + ∇•(ρV) = 0。
其中，ρ是流体的密度，t是时间，V是流体的流速矢量，∇•表示散度运算符。
连续性方程的应用范围广泛，例如用于描述气象学中的气流动力学、河流的水量和水质传输等。
2. 动量方程动量方程描述了流体的运动规律。
它基于牛顿第二定律，即流体的运动是由外力和内力共同作用的结果。
动量方程的数学表达式是：ρ(∂V/∂t + V•∇V) = -∇P + ∇•τ + ρg。
其中，P是压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
动量方程是解决流体流动问题的关键方程，可以用于模拟气象学中的风场、水力学中的水流、航空航天中的气体流动等。
3. 能量方程能量方程描述了流体的能量转换和传递规律。
它基于能量守恒原理，即在流体中任意一点的能量净流入/流出率等于该点区域内能量的减少率。
能量方程的数学表达式是：ρCv(∂T/∂t + V•∇T) = ∇•(k∇T) + Q - P(∇•V) + ρg•V。
其中，Cv是比热容，T是温度，k是热传导系数，Q是体积热源项。
能量方程可用于模拟热传导、对流和辐射现象，例如地下水温场、燃烧室的工作原理等。
流体力学的基本方程式是解决各种流体流动问题的基础，通过对这些方程式的应用，可以揭示流体的行为和性质，为实际工程和科学研究提供指导。
在实际应用中，还可以结合数值模拟和试验数据，进一步分析和预测流体力学问题的解，为工程决策和科学研究提供依据。
3 流体力学基础
流体动力学的基本概念
迹线:同一流体质点在连续时间内的运动轨迹称为迹线。
流线:
流管:流管是在流动空间中取出的一个微小的封闭曲
线，只要此曲线本身不是流线，则经过该密闭曲线 上每一点作流线，所构成的管状表面就称为流管。
在有限断面的流束中，与每条流线相互垂直的横 截面称为该流束的过流断面或有效断面，当流线 为互相平行的直线时，过流断面为平面；当流线 不是相互平行的直线时，过流断面是曲面。
对于非恒定流动，由于控制体内各点的参数均 随时间变化，因此在dt时间内，控制体内的动 量增量就不仅仅是流出流入控制体的动量差， 且还要加上控制体内部的动量增量，即
§2-5 流动液体的基本力学特性 五、动量方程（非恒定流动）
F d dt
u dV
V
A u un dA
6、流线：是某一瞬时液流中一条条标志其质点运动 状态的曲线，在流线上各点处的瞬时液流方向与该 点的切线方向重合。 对于恒定流动，流线形状不随时间变化。 流线不能相交，也不能转折，它是一条条光滑的曲 线。
§2-5 流动液体的基本力学特性
一、基本概念
7、流束：如果通过某截面A上所有各点画出 流线，这些流线的集合构成流束。
第二节 液体动力学
液体动力学研究液体在外力作用下运动规律， 即研究作用在液体上的力与液体运动之间的关系。 由于液体具有粘性，流动时要产生摩擦力，因此 研究液体流动问题时必须考虑粘性的影响。
描述方式：四大方程
连续方程， 运动方程 能量方程 动量方程
研究流体运动的方法
拉格朗日（Lagrange）法是从流场中
2 2g
图2-8 伯努利方程推导简图
§2-5 流动液体的基本力学特性
2、理想流体的伯努利方程
工程流体力学中的流体力学方程推导
工程流体力学中的流体力学方程推导工程流体力学是研究流体在各种工程中的力学行为和性质的学科。
在工程实践中，了解流体的运动规律和应力分布对设计和优化工程系统至关重要。
流体力学方程是描述流体运动的基本方程，其推导过程是工程流体力学的重要基础。
工程流体力学中的流体力学方程包括连续性方程、动量方程和能量方程。
首先，我们推导连续性方程。
连续性方程是描述质量守恒的基本方程。
根据质量守恒原理，单位时间内通过某一截面的流入和流出质量相等。
我们假设流体是不可压缩的，即密度恒定。
根据流体连续性原理，单位时间内通过截面的流入和流出质量之差与密度的乘积等于流体的质量改变率。
通过数学推导，可以得到连续性方程为：∇·(ρv) + ∂ρ/∂t = 0其中，∇·(ρv)表示速度矢量v的散度，∂ρ/∂t表示密度随时间的变化率。
接下来是动量方程的推导。
动量方程描述流体运动的力学规律。
根据牛顿第二定律，单位时间内作用在流体上的合外力等于流体动量的变化率。
根据流体动力学原理和应力张量的定义，可以推导出动量方程为：ρ(Dv/Dt) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，ρ(Dv/Dt)表示速度矢量v的准确导数，-∇p表示压力力，∇·τ表示应力张量的散度，ρg表示流体受重力作用的体积力。
最后是能量方程的推导。
能量方程描述流体内部能量的传输和变化。
根据能量守恒原理，单位时间内作用在流体上的合外力与单位时间内输入的热量、外界对流体做功和单位时间内能量的变化率之和相等。
根据热力学第一定律和流体力学原理，可以得到能量方程为：ρ(De/Dt) = -p∇·v + ∇·(k∇T) + ρg·v + Q其中，ρ(De/Dt)表示能量密度e的准确导数，-p∇·v表示压力力的功率，∇·(k∇T)表示热传导项，k表示热导率，∇·(k∇T)表示温度梯度的散度，ρg·v表示流体受重力作用在流体速度上做的功率，Q表示单位时间内输入的热量。
第三章 流体力学基本方程组-1
2017/1/14
图 3-1 流场中的微元平行六面体
4
一、直角坐标系下连续性微分方程式
先分析x轴方向，已知u和ρ都是坐标和时间的连续函数，即u=u (x，y，z，t)和ρ = ρ (x，y，z，t)。根据泰勒级数展开式，略去
高于一阶的无穷小量，得在dt时间内，沿轴方向从左边微元面积 dydz流入的流体质量为
(3-2)
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8
同理可得，在dt时间内沿y轴和z轴方向流体质量的变化分别 为：
( v ) d xd yd z d t y
( w)dxdydzdt z
因此，在dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为
u v w dxdydzdt y z x
图 3-1 流场中的微元平行六面体
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图 3-1 流场中的微元平行六面体
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dx dx x , y, z , t u x , y, z , t dydzdt 2 2
dx u dx ( x, y , z , t ) u ( x, y , z , t ) dydzdt t 2 t 2 dx u dx u dydzdt t 2 t 2
(3-6)
式（3-6）为可压缩流体定常三维流动的连续性方程。
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12
对不可压缩均质流体， ρ为常数，故式(3-6)成为
u v w 0 x y z
divV 0
(3-7)
式（3-7）为不可压缩流体定常三维流动的连续性的方程。它的 物理意义是：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量 等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积 流量相等。
流体力学最基本的三个方程
流体力学最基本的三个方程流体力学是研究流体运动及其相关物理现象的学科。
它的基础有三个最基本的方程，即连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
本文将详细介绍这三个方程的含义和应用。
一、连续性方程：连续性方程，也称为质量守恒方程，描述了流体运动中质量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂ρ/∂t+∇·(ρv)=0其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示向量的散度。
连续性方程的物理意义是说，质量在流体中是守恒的，即单位体积内的质量永远不会改变。
这是由于流体是连续的，无法出现质量的增减。
这个方程告诉我们，流体在流动过程中的速度变化与流体密度变化是相关的。
当流体流动速度较大时，密度通常会变小，反之亦然。
连续性方程的应用十分广泛。
在管道流动中，我们可以利用连续性方程来推导流速和截面积之间的关系。
在天气预报中，连续性方程被用来描述气象现象，如大气的上升和下沉运动，以及风的生成和消散等。
二、动量守恒方程：动量守恒方程描述了流体运动中动量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·(μ∇v) + ρg其中，p是流体的压强，μ是流体的黏度，g是重力加速度。
动量守恒方程可以理解为牛顿第二定律在流体力学中的推广。
它表示流体在外力作用下的加速度与压力梯度、黏性力、重力的平衡关系。
动量守恒方程的物理意义是说，流体的运动与施加在流体上的各种力密切相关。
当外力作用于流体时，会引起流体的加速度，也即速度的变化。
这个方程告诉我们，流体的加速度是与外力、黏性力和重力共同作用而产生的。
动量守恒方程的应用十分广泛。
在飞行器设计中，我们可以利用动量守恒方程来研究气动力的产生和改变。
在水力学中，动量守恒方程可以用来分析水流的运动、喷流和冲击等。
三、能量守恒方程：能量守恒方程描述了流体运动中能量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(κ∇T) + ρg·v +q其中，E是单位质量流体的比总能量（包括内能、动能和位能），T是流体的温度，κ是流体的热传导系数，q是单位质量流体的热源项。
流体动力学三大方程
流体动力学三大方程流体动力学是研究流体运动和流体力学性质的学科，它以三大方程为基础，这三大方程分别是连续性方程、动量方程和能量方程。
在本文中，将对这三大方程进行详细的介绍和解释。
1. 连续性方程连续性方程是描述流体质点的质量守恒的基本方程。
它表明在流体运动中，质量是守恒的，即单位时间内流入某一区域的质量等于单位时间内流出该区域的质量。
连续性方程的数学表达式是通过流体的速度场和流体密度来描述的。
在一维情况下，连续性方程可以表示为流体密度乘以速度的横向梯度等于零。
2. 动量方程动量方程描述了流体力学中质点的动量变化。
根据牛顿第二定律，动量方程可以表达为流体质点的质量乘以加速度等于质点所受到的合力。
在流体动力学中，动量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场和粘性力来描述的。
动量方程是解决流体力学问题的基础方程之一，它可以用来计算和预测流体的速度和压力分布。
3. 能量方程能量方程描述了流体质点的能量变化。
在流体动力学中，能量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场、密度和温度来描述的。
能量方程包括了流体的动能、压力能和内能的变化。
能量方程在研究流体的热力学性质和能量转化过程中起着重要的作用。
通过能量方程，可以计算和预测流体的温度分布和能量转化效率。
这三大方程是流体动力学研究中的核心内容，它们相互联系、相互依赖，共同构成了流体运动的基本规律。
连续性方程保证了质量守恒，动量方程描述了力学平衡，能量方程描述了能量转化。
在实际应用中，这些方程可以用来解决各种流体力学问题，如流体的流动特性、压力分布、速度场、能量转化等。
流体动力学三大方程——连续性方程、动量方程和能量方程是研究流体运动和流体力学性质的基础。
它们通过数学表达式描述了质量守恒、力学平衡和能量转化的规律。
这些方程的应用广泛，能够帮助我们理解和预测流体的运动和性质，对于工程设计、自然灾害和环境保护等领域都具有重要意义。
通过研究和应用这些方程，我们可以更好地掌握和利用流体动力学知识，为社会发展和人类福祉做出贡献。
流体力学基础连续性方程、流体运动方程与能量方程.PPT
14
根据动量定理
ρd d ud x d y d z (F b P x x P y y P z z)d x d y d z
约去 dxdydz ，得
du x d
Fbx
Pxx x
Pyx y
Pzx z
du y d
Fby
Pyx x
Pyy y
Pyz z
du z d
Fbz
Pzx x
同理
y(ρuyu)dzdxdyΔ
z(ρuzu)dxdydzΔ
10
EXIT
经全部控制面的恒定流动量通量的净变化率为
xuxuy uyu zuzudxdydz
ux
x(u)uy
yuuz
uuux uuy
z
x y
uuzzdxdydz
u•uu•udxdydz + (ρu )dxdydz
微元流体系统的动量变化率为：
第一章 流体力学基础 ——流体运动的微分方程
西安建筑科技大学粉体工程研究所 李辉
1
质量传递——连质续量性守方恒程定律 动量传递——纳动维量－定斯理托克斯方程 能量传递——能能量量方守程恒定律 状态方程
流体运 动微分 方程组
所有流体运动传递过程的通解
2
EXIT
1.3 流体运动的微分方程
• 质量守恒定律——连续性方程 • 动量定理——纳维-斯托克斯方程 • 能量守恒定律——能量方程 • 定解条件
3
EXIT
1.3.1 质量守恒定律——连续性方程
• 质量既不能产生，也不会消失，无论经历什么形式的运动， 物质的总质量总是不变的。
• 质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。
单组分流体运动过程中质量守恒定律的数学描述： 在控制体内不存在源的情况下，对于任意选定的控制体
流体力学中的三大基本方程
dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
16
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
17
向量形式：
dr
r f
1
gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
2x
z 2
)
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
( 2 y
x2
2 y
y 2
2 y )
z 2
19
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
( 2z
x 2
2z
y 2
2z )
z 2
1.
含有四个未知量（
，
x
y，完 z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件）→特解。
流体力学中三大基本方程
（ d t） d x d y d zd x d y d z d td x d y d z
t
t
单位时间内，微元体质量增量：
dtdxd/dyt dzdxdydz
t
t
（微团密度在单位时间内的变率及微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
t x （ x ） y （ y） z （ z） 0
ax
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
ay
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程：
得x方向上的运动微分方程：
d d txd x d y d z p xd x d y d z fx d x d y d z
单位体积流体的运动微分方程：
dx
dt
同理可得在单位时间内沿y，z方向流出 及 流入控制体的质
量差为
vy
d
x
d
yd和z
vz
dxdydz
y
z
故单位时间内流出及流入微元体流体质量总变化为：
x （ x） y （ y） z（ z） dxdydz
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
pxfx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
同理可得y,z方向上的：
流体力学基本方程
流体的本构关系
流体均匀各向同性 流体可承受正应力 静止流体不能承受剪切 运动流体不同速度层之间存在剪切力（粘性） 静止流体表面应力为
p ij
ij p ij dij
流体的本构关系
Resistentian, quae oritur ex defectu lubricitatis partuim fluidi, caeteris paribus, proportionalem esse velocitati, qua partes fluidi separantur ab invicem. Isaac Newton, 1687, From Section IX of Book II of his Principia
流体的输运系数
粘性系数（动量输运）： 热传导率（能量输运）： k
( p, T ) k ( p, T )
n
幂函数公式：
T 0 T0
k T k0 T0
1.5
n
Sutherland公式：
T T0 Ts 0 T0 T T
0
Du p f Dt
Euler Equation
1 p U 2 C 2
Bernoulli’s Equation
涡量方程
u 0 : Du 2 p f u Dt
0:
Du p f Dt
Skk u
1 v u ( ) 2 x y v y 1 w v ( ) 2 y z
1 w u ( ) 2 x z 1 w v ( ) 2 y z w z
单位体积变化率（描述流体均匀膨胀，压缩）
流体力学三大方程公式及符号含义
流体力学是研究流体运动和力学的学科，涉及流体的运动规律、压力、密度等物理性质。
在流体力学的研究中，三大方程公式是非常重要的理论基础，它们分别是连续方程、动量方程和能量方程。
本文将对这三大方程公式及其符号含义进行详细介绍。
一、连续方程连续方程是描述流体连续性的重要方程，它表达了流体在运动过程中质点的连续性。
连续方程的数学表达式为：\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，符号和含义说明如下：1.1 ∂ρ/∂t：表示密度随时间的变化率，ρ为流体密度。
1.2 ∇·(ρv)：表示流体质量流动率的散度，∇为Nabla算子，ρv为流体的质量流速矢量。
这一方程表明了在运动的流体中，质量是守恒的，即单位体积内的质量永远不会减少，这也是连续方程的基本原理。
二、动量方程动量方程描述了流体运动过程中动量的变化和传递，是流体力学中的核心方程之一。
其数学表达式为：\[ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau} + \mathbf{f} \]其中，符号和含义说明如下：2.1 ∂(ρv)/∂t：表示动量随时间的变化率。
2.2 ∇·(ρv⃗v)：表示动量流动率的散度。
2.3 -∇p⃗：表示流体受到的压力梯度力。
2.4 ∇·τ⃗：表示应力张量的散度，τ为流体的粘性应力张量。
2.5 f⃗：表示单位体积内流体受到的外力。
动量方程描述了流体内部和外部力之间的平衡关系，它是研究流体运动规律和动力学行为的重要方程。
三、能量方程能量方程描述了流体在运动过程中的能量变化规律，包括内能、压力能和动能等能量形式。
流体力学第四章
1.渐变流及其特性
渐变流过水断面近似为平面，即渐变流是流线接近于
平行直线的流动。均匀流是渐变流的极限。
动压强特性：在渐变流同一过水断面上，各点动压强
按静压强的规律式分布，即
注：上述结论只适用于渐变流或均匀流的同一过水断面上 的 各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同。
选取：控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均匀 流断面上。
即J=JP。 5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段
的流速水头。
6.如果测压管水头线在总流中心线以上，压强就 是正职；如相反，则压强为负值，则有真空。
4.总流能量方程在推导过程中的限制条件
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流；
（3）质量力只有重力，所研究的流体边界是静止 的（或处于平衡状态）；
取管轴0-0为基准面，测压管所在断面
1,2为计算断面（符合渐变流），断面的形
心点为计算点，对断面1,2写能量方程（4-
15），由于断面1，2间的水头损失很小，
可视
，取α1=α2=1，得
由此得：
故可解得：
式中,K对给定管径是常量，称为文丘里流 量计常数。
实际流量 ： μ——文丘里流量计系数，随流动情况和管
流体力学
第四章 流体动力学基础
本章是工程流体力学课程中最重要的一 章。本章建立了控制流体运动的微分方程， 即理想流体运动微分方程和实际流体的运 动微分方程；并介绍了求解理想流体运动 微分方程的伯努利积分形式；构建了工程 流体力学中应用最广的恒定总流运动的三 大基本方程：连续性方程、伯努利方程 （即能量方程）和动量方程。通过本章的 学习要培养综合运用三大基本方程分析、 计算实际总流运动问题的能力。
道收缩的几何形状而不同。
流体力学 第四章 能量方程
例题
• 求喷嘴对管子的作用力。忽略摩擦，油的相对密度
为0.85，已知截面1的计示压强为 Pe1=7×105 Pa ，d1=10cm，d2=4cm。
d1
d2
3.11黏性流体总流的伯努利方程
v2 p v2 p v u gz dA v u gz dA 0 2 2 A2 A1
质量力作功
表面力作功
d v2 u dV fv dV pn v dA Q 2 dt V CV CS
v v u 2 dV vn u 2 dA t CV CS fv dV pn v dA Q
d v2 v2 v2 u 2 dV t u 2 dV vn u 2 dA dt V CV CS
f v dV
CV
pn v dA
cs
Q
系统交换热量
CS CS CS
为0
管道流动 定常流动
v2 v2 p u gz dV vn u gz dA 0 t 2 2 CV CS
v2 p vn u gz dA 0 2 CS
例题
• 输油管道中安装一个收缩段以便测量流量Q
，管径d1=260mm，收缩到d2=180mm ，使用如图所示的缸套、活塞装置，活塞 直径D=300mm，油的密度为850kg/m3 ，如果固定活塞所要的力F=75N，求管中 油的体积流量Q。
例题
• 矿山排风管将井下废气排入大气，为了测量排风的
流量，在排风出口处装有一个收缩、扩张的管嘴， 其喉部处安装一个细管。下端插入水中。喉部流速 大，压强低，细管中出现一段水柱。已知空气密度 为1.25kg/m3，管径d1=400mm，d2=600mm ，水柱高h=45mm，求体积流量Q。
理论力学中的流体力学基础
理论力学中的流体力学基础在理论力学领域中，流体力学是研究液体和气体在力学规律下的行为及其相互作用的学科。
它是力学的一个重要分支，被广泛应用于工程、地质、天文等领域，为解释和预测自然现象和工程问题提供了重要理论基础。
本文将介绍理论力学中的流体力学基础，包括连续性方程、动量方程和能量方程等内容。
1. 连续性方程连续性方程是流体力学中最基本的方程之一，描述了流体质点在空间中的运动特性。
它基于质量守恒定律，即在任意给定的时间和空间内，流体质点所占据的体积是不变的。
数学上，连续性方程可以表达为：∇·v + ∂ρ/∂t = 0，其中，v是流体质点的速度矢量，ρ是流体的密度。
这个方程告诉我们，对于一个连续流体体系，如果流体速度增大，其密度将减小，反之亦然。
2. 动量方程动量方程描述了流体运动中的力和加速度之间的关系。
理解动量方程对于研究流体力学中的流动行为非常重要。
动量方程可以写成：ρ(dv/dt) = -∇p + ∇·τ + ρg，其中，ρ是流体的密度，dv/dt是速度矢量的时间导数，p是流体的压力，τ是模拟流体粘性的应力张量，g是重力加速度矢量。
这个方程说明了动量的变化率与压力梯度、摩擦力和重力之间的关系。
简单来说，当我们施加力于流体时，它将产生加速度，并随时间推移改变其速度和位置。
3. 能量方程能量方程是描述流体力学中的能量转移和转换的方程。
它如下所示：ρ[(∂e/∂t) + v·∇e] = -p∇·v + ∇·(k∇T) + ρv·g + Q，其中，e是单位质量的流体的内能，v是速度矢量，p是压力，k是热传导率，T是温度，g是重力加速度矢量，Q是单位质量的流体受到的外部能量源。
能量方程描述了流体在运动和传热时的能量转化过程。
它包括了压力做功、粘性耗散、重力势能转化、热传导和外部能量源等因素。
结语通过对理论力学中流体力学基础的讨论，我们了解到连续性方程、动量方程和能量方程在描述流体运动和相互作用方面的重要性。
流体(流体力学三大方程)
流体(流体力学三大方程)
流体力学是研究流体运动的一门科学。
它基于流体三大方程，即
连续性方程、动量方程和能量方程构建，并通过这些方程深入研究流
体在不同条件下的运动规律和性质。
首先，连续性方程是流体力学的基础之一。
这个方程描述了流体
的质量守恒，即相同质量的流体在相同时间内通过任意给定的流体体
积边界的质量是不变的。
这个方程使我们能够理解流体的流动速度和
流量的关系，为日常生活中各种流体系统的设计提供了指导。
其次，动量方程揭示了流体运动中的力学规律。
它表达了流体受
到的力和流体运动状态之间的关系。
通过研究动量方程，我们能够深
入了解流体在不同流速和受力情况下的行为，进而优化流体系统的设计，提高其运行效率。
最后，能量方程描述了流体在运动中的能量变化。
这个方程对于
研究流体的热力学性质非常重要，它考虑了流体在运动中受到的压力、温度和速度等影响。
通过能量方程的研究，我们能够更好地理解流体
系统中的热传递和能量转化过程，从而为改进流体系统的热能利用提
供指导。
总之，流体力学三大方程为我们深入理解流体运动提供了重要的
工具和方法。
通过对连续性方程、动量方程和能量方程的研究，我们
可以揭示流体在不同条件下的运动规律和性质，为流体力学的应用提
供指导。
无论是液体在管道中的流动、气体在发动机中的燃烧，还是
海洋中的涡流运动，流体力学的三大方程都发挥着重要的作用，对于解决实际问题起到了至关重要的作用。
因此，深入学习和理解这些方程，对于从事与流体运动相关的工程和科研工作的人来说是必不可少的。
流体力学考试复习资料
第二讲流体动力学基础【内容提要】流体运动的基本概念：恒定总流的连续性方程，恒定总流的能量方程【重点、难点】恒定总流的连续性方程和能量方程的运用。
【内容讲解】一、流体运动的基本概念(一)流线和迹线流线是在流场中画出的这样一条曲线：同一瞬时，线上各流体质点的速度矢量都与该曲线相切，这条曲线就称为该瞬时的一条流线。
由它确定该瞬时不同流体质点的流速方向。
流线的特征是在同一瞬时的不同流线一般情况下不能相交；流线也不能转折，只能是光滑的曲线。
迹线是某一流体质点在一段时间内运动的轨迹，迹线上各点的切线表示同一质点在不同时刻的速度方向。
(二)元流和总流在流场中任取一微小封闭曲线，通过曲线上的每一点均可作出一根流线，这些流线形成一管状封闭曲面称流管。
由于速度与流线相切，所以穿过流管侧表面的流体流动是不可能的。
这就是说位于流管中的流体有如被刚性的薄壁所限制。
流管中的液(气)流就是元流，元流的极限是一条流线。
总流是无限多元流的总和。
因此，在分析总流前，先分析元流流动，再将元流积分就可推广到总流。
与元流或总流的流线相垂直的截面称过流断面，用符号A表示其断面面积。
在流线平行时，过流断面为平面，流线不平行则过流断面为曲面。
(三)流量和断面平均流速(四)流动分类1．按流动是否随时间变化将流动分为恒定流和非恒定流。
若所有的运动要素(流速、压强等)均不随时间而改变称为恒定流。
反之，则为非恒定流。
恒定流中流线不随时间改变；流线与迹线相重合。
在本节中，我们只讨论恒定流。
2．按流动是否随空间变化将流动分为均匀流和非均匀流。
流线为平行直线的流动称为均匀流。
如等直径长管中的水流，其任一点的流速的大小和方向沿流线不变。
反之，流线不相平行或不是直线的流动称为非均匀流。
即任一点流速的大小或方向沿流线有变化。
在非均匀流中，当流线接近于平行直线，即各流线的曲率很小，而且流线间的夹角也很小的流动称为渐变流。
否则，就称为急变流。
渐变流和急变流没有明确的界限，往往由工程需要的精度来决定。
流体力学基本方程
流体力学基本方程流体力学是研究流体力学基本方程和流体运动的科学。
流体力学方程包括连续性方程、动量方程和能量方程。
下面将详细介绍流体力学基本方程及其应用。
一、连续性方程连续性方程描述了在任何给定的瞬间，流体质点的质量是守恒的。
它可写成以下形式：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ代表流体的密度，t代表时间，v代表速度矢量，∇代表向量的梯度运算符。
连续性方程的应用主要体现在流体质点的质量守恒和质点间的相互作用中。
在实际应用中，我们可以通过连续性方程来确定流体的流速分布、流体的流量以及管道的流场特性等重要参数。
二、动量方程动量方程描述了流体运动过程中动量的守恒。
它可写成以下形式：ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，p代表压力，τ代表应力张量，g代表重力加速度。
动量方程的应用主要涉及到流体的力学特性，即流体的加速度、流速变化以及流体受外力作用下的运动行为。
通过动量方程，我们可以计算流体的速度分布、流体的力与压力的关系以及物体受到流体作用力的情况。
三、能量方程能量方程描述了流体运动过程中能量的守恒。
它可写成以下形式：ρ(∂e/∂t + v·∇e) = -p∇·v + ∇·(k∇T) + ρQ其中，e代表单位质量流体的内能，k代表流体的导热系数，T代表温度，Q代表单位时间单位体积的热源。
能量方程的应用主要与流体的能量转化和传输有关。
通过能量方程，我们可以计算流体的温度分布、热传导现象以及流体在受热源作用下的温度变化等。
综上所述，流体力学基本方程包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程是研究流体运动和流体行为的重要基础。
通过对这些方程的研究和应用，我们可以深入了解流体力学的原理和现象，并在工程和科学领域中应用于流体的设计、分析和优化等工作中。
水流运动的基本原理有哪些
水流运动的基本原理有哪些水流运动的基本原理主要包括流体力学的基本原理、牛顿力学原理以及流体的性质和特点。
下面将详细介绍这些原理。
1. 流体力学的基本原理：流体力学是研究流体运动的学科，对于水流运动的研究具有重要意义。
其基本原理包括连续性方程、动量方程和能量方程。
（1）连续性方程：连续性方程是描述流体连续性的基本原理，即在稳态流动的情况下，流体的质量守恒。
连续性方程可以表述为：流入和流出流体的质量之和等于流过单位面积的质量流量。
（2）动量方程：动量方程描述了流体在流动过程中的动量变化。
根据牛顿第二定律，流体受到的合外力等于流体质量与加速度的乘积。
动量方程可以表示为：流体单位体积内的动量增量等于流体单位体积内合外力的作用。
（3）能量方程：能量方程描述了流体在流动过程中的能量变化。
根据能量守恒定律，流体的总能量等于流体的内能、动能和势能之和。
能量方程可以表示为：流体单位体积内的能量增量等于流体单位体积内的能量产生和能量耗散之差。
2. 牛顿力学原理：牛顿力学原理是描述物体运动的基本原理，也适用于水流运动的分析。
根据牛顿第二定律，物体受到的合外力等于物体质量与加速度的乘积。
在水流运动中，水流也受到外力的作用，如重力、浮力和摩擦力等。
根据牛顿力学原理，可以通过分析水流受力情况来确定水流的运动情况。
3. 流体的性质和特点：水是一种典型的流体，具有以下特点和性质对水流运动起到重要作用：（1）流体的连续性：流体具有连续性，即流体内部各点的性质是连续变化的。
水流运动过程中，水流速度和压力等物理量在空间上是连续分布的。
（2）流体的粘性：流体具有一定的粘性，即流体内部不同层之间存在相对滑动的阻力。
粘性会使水流受到内摩擦力的作用，导致水流的速度分布不均匀。
（3）流体的不可压缩性：水是可压缩性较小的流体，即在大多数流动条件下，水的密度变化可以忽略不计。
这一特性使得水流在传输、分配和控制过程中能保持较稳定的流动性能。
综上所述，水流运动的基本原理包括流体力学的基本原理、牛顿力学原理以及流体的特性和性质。
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x
ρuxudydzΔ
dx
Δ 时间经此两相对面元的动量净流出量为
x
(
ρuxu
)dydzdxΔ
同理
y
(
ρuyu
)dzdxdyΔ
z
(
ρuz
u
)dxdydzΔ
10
EXIT
经全部控制面的恒定流动量通量的净变化率为
x
ux
u
y
uy u
z
uz
u
dxdydz
ux
x
(u)
uy
y
u uz
标轴的分量为 ux ,u y ,uz
A:控制体内流体动量对时间的变化率
动量
时刻 ＋d 时刻
ρudxdydz
ρudxdydz
(ρudxdydz)Δ
(ρu )dxdydz
9
EXIT
B:动量通量的净变化率
ABCD面，Δ 时间内流入的动量
ρuxudydzΔ
EFGH面，Δ 时间内流出的动量
ρuxudydzΔ
Px
Px
Pxxi
Pxy
j
Px
z
k
P y Py Pyxi Pyyj Pyzk
Pz Pz Pzx i Pzy j Pzz k
作用于EFGH、BFGC、DHGC面上的应力分别为
Px
x
Px dx
Pxxi
Pxy j
Pxz k
x
( Pxx i
Pxy j
Pxzk )dx,
z
u
u
ux x
u
uy y
u
uz z
dxdydz
u •u u •u dxdydz + (ρu )dxdydz
微元流体系统的动量变化率为：
d
d
ρu
ρudivu
dxdydz
dρ
d
u
ρ
du
d
ρudivu
dxdydz
u
dρ
d
ρdivu
ρ
du
d
dxdydz
应用连续性方程
ρ du dxdydz
x方向 单位时间内通过左侧控制面流入微元控制体的质量（即质量流量）
ρu x dydz
通过右侧控制面流出微元控制体的质量速率
ρux
(ρu x x
)
dxdydz
(ρu x ) dxdydz
x
5
EXIT
A：流入与流出微元控制体的质量速率
之差
x方向
(ρu x ) dxdydz x
y方向
(ρuy ) dxdydz y
3
EXIT
1.3.1 质量守恒定律——连续性方程
• 质量既不能产生，也不会消失，无论经历什么形式的运动， 物质的总质量总是不变的。
• 质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。
单组分流体运动过程中质量守恒定律的数学描述： 在控制体内不存在源的情况下，对于任意选定的控制体
流入控制体 的质量速率
流出控制体 的质量速率
=
控制体内的 质量累计速率
A
B
18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程
4
EXIT
1.3.1 质量守恒定律——连续性方程
连续性方程的推导 边长为dx，dy，dz 的控制体微元
时刻A点流体密度为 ρ(x,y,z,)，速度u(x,y,z,)沿x，y，z三坐
标轴的分量为 ux ,u y ,uz
第一章 流体力学基础 ——流体运动的微分方程
西安建筑科技大学粉体工程研究所 李辉
1
质量传递——连质续量性守方恒程定律 动量传递——纳动维量－定斯理托克斯方程 能量传递——能能量量方守程恒定律 状态方程
流体运 动微分 方程组
所有流体运动传递过程的通解
2
EXIT
1.3 流体运动的微分方程
• 质量守恒定律——连续性方程 • 动量定理——纳维-斯托克斯方程 • 能量守恒定律——能量方程 • 定解条件
Pyx y
Pzx z
dxdydz,
Pxy
x
Pyy y
Pzy z
dxdydz,
Pxz x
Pyz y
Pzz z
dxdydz.
Px x
Py y
Pz z
dxdydz
作用在微元六面体 上的全部表面力
作用在微元六
面体上的力 = Fb dxdydz
+
Px xPy yຫໍສະໝຸດ Pz zdxdydz
雷诺输运定理
系统内物理量 的变化率
=
控制体内物理 量的变化率
+
物理量通过控制体控 制面的净流出速率
作用在控制体中流 控制体内流体动量
动量通量通过控制体
体的合外力 = 对时间的变化率 + 控制面的净变化率
C
A
B
8
EXIT
边长为dx，dy，dz 的控制体微元
时刻A点流体密度为ρ(x, y,z, ) ，速度u(x, y,z, 沿) x，y，z三坐
x
)
(ρu y
y
)
(ρu z
z
)dxdydz
ρ (ρux ) (ρuy ) (ρuz ) 0
x
y
z
本方程适用于单组分流体的任意流动形态。
d ρdivu 0
dτ
散度
7
EXIT
1.3.2 动量定理——纳维-斯托克斯方程
• 对一给定的流体系统，其动量的累积速率等于作用于其上的外 力总和 。
d
A+B
11
C:作用在控制体中流体的合外力
作用于微元六面体上的力包括质量力和表面力 质量力：设A点单位质量力为Fb，则微元上的质量力为
Fb dxdydz
表面力：分别考虑六个面上的应力(图a和b）
a. 作用在微元上的应力
b. 作用在微元x方向应力
12
作用于ABCD、AEHD、 AEFB面上的应力分别为
Py y Py dx Pyxi Pyy j Pyzk y (Pyxi Pyy j Pyzk )dy,
Pz z Pz dx Pzx i Pzy j Pzz k z (Pzx i Pzy j Pzz k )dz.
13
所有这六个面上的力在x，y，z轴上的投影分别是
Pxx x
15
du x d
Fbx
P x
2ux x 2
2ux y2
2ux z2
3
x
u x x
u y y
u z z
du y d
Fby
P y
2uy x 2
2uy y2
2uy z2
μ 3
y
u x x
u y y
u z z
14
根据动量定理
ρ
du
d
dxdydz
(Fb
Px x
Py y
Pz z
)dxdydz
约去 dxdydz，得
du x
d
Fbx
Pxx x
Pyx y
Pzx z
du y
d
Fby
Pyx x
Pyy y
Pyz z
du z
d
Fbz
Pzx x
Pzy y
Pzz z
运动方程的 微分形式
将式1.54和1.57带入化简可得动量方程
(ρu x
x
)
(ρuy y
)
(ρuz z
)dxdydz
z方向 (ρuz ) dxdydz z
B：微元控制体内的质量累计速率
密度
时刻
ρ
＋d 时刻 ρ ρ d
质量
ρdxdydz
ρ
ρ
d
dxdydz
ρ
ρ
d
dxdydz
ρdxdydz
d
ρ dxdydz
6
EXIT
ρ
dxdydz
(ρu x